De Thi HSG TX Huong Tra Toan 9 Moi 2013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ HƯƠNG TRÀ. KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ NĂM HỌC 2012-2013. MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút. Ngày thi 28/02/2012 ––––––––––––––––– Người chấm 2 Mã phách. ĐỀ CHÍNH THỨC. Điểm. Người chấm 1. ....................... ...................................... .................................... .............. Câu 1 (2 điểm): Cho biểu thức M =. 2 √ x − 21 x −9 √ x+ 20. –. √ x +5 + 2 √ x+1 với x √x− 4 √ x −5. 0 và x. 16, x. 25. a. Rút gọn rồi tính giá trị của M khi x = 3 – 2 √ 2 b. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức M có giá trị nguyên. Câu 2 (4 điểm): a+ b+c 3 2.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x – 5 √ x −2 + 2013. 2.1. Cho a. 0, b. 0, c. 0. Chứng minh rằng. √. √ a+ √ b+ √ c 3. Câu 3 (4 điểm): 3.1. Cho a1, a2, a3, …, a2012 là 2012 số nguyên có tổng bằng 2012.2013. Đặt P = a31 + 3 3 3 a2 + a3 + … + a2012 . Chứng minh rằng P chia hết cho 6. 3.2. Cho đa thức f(x) = x2 – x – 2. Hãy tính giá trị của biểu thức Q = f(a).f(b).f(c) trong trường hợp a, b, c là 3 số thực đôi một khác nhau và thỏa mãn điều kiện a 3 + 3a2 – 2a = b3 + 3b2 – 2b = c3 + 3c2 – 2c = 6. Câu 4 (4 điểm): ¿ 2(x + y)=3 xy 3 ( y + z)=4 yz 4.1. Giải hệ phương trình 4(x + z)=5 xz ¿{{ ¿. 4.2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 đường thẳng (d1): y = 2; (d3): y = –. 1 x + 3; (d2): y = 2x – 3. 4 x – 2. Gọi A là giao điểm của (d 1) với (d3), B là giao điểm của (d2) với (d3) 3. và C là giao điểm của (d1) với (d2). Tính diện tích tam giác ABC. Câu 5 (2 điểm): Cho tam giác ABC có phân giác góc B ^ A C cắt cạnh BC tại D. Chứng 2 minh rằng AD = AB.AC – DB.DC Câu 6 (4 điểm): Cho AB = BC = CA là ba dây của đường tròn (O; R). M là điểm tùy ý trên đường tròn (O; R). Chứng minh rằng MA + MB + MC 4R. --- Hết ---.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHÂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013. MÔN: TOÁN 9. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ HƯƠNG TRÀ. Câu. Nội dung 2 √ x − 21 x −9 √ x+ 20. Cho biểu thức M =. –. Điểm. √ x +5 + 2 √ x+1 √x− 4 √ x −5. a. Rút gọn và tính giá trị của M + Với x Câu 1a (1 điểm). +. 0 và x. 2 √ x+1 √ x −5 √x x √ −4. 16, x. 2 √ x − 21 ( √ x − 4)( √ x − 5). =. 2 √ x − 21 √ x +5 – x −9 √ x+ 20 √x− 4 2 √ x+1 √ x +5 + = … = √x− 4 √ x −5. 25 ta có: M = –. + Khi x = 3 – 2 √ 2 = ( √ 2− 1 )2. √x. Ta có √ x = √ 2 – 1 ⇒ M =. √x− 4. 0,5. √2 −1 = 3 − 4 √ 2 √2 −5 23. =. 0,5. b. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức M có giá trị nguyên 4 √x− 4 √x− 4 + Để ý rằng nếu x Z thì √ x không phải là một phân số thực sự (. √x. Ta có M = Câu 1b (1 điểm). =1+. chỉ có thể là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ) suy ra M có giá trị nguyên khi và chỉ khi x là các số nguyên thỏa mãn điều kiện x 0, x 16, x 25 và √ x – 4 là ước số nguyên của 4. ⇒ {– 4; – 2; – 1; 1; 2; 4}. √x – 4 + Giải và đối chiếu điều kiện ta suy ra x {0; 4; 9; 36; 64}. Cho a. 0, b. 0, c. √. 0. Chứng minh rằng 2. Câu 2.1 (2 điểm). 0,5. √x. √a+ √ b+ √ c. a+ b+c 3. 3. + ∀ a, b, c 0 ta có ( √ a − √ b ) 0 ⇒ a+b 2 √ ab . Tương tự ⇒ b + c 2 √ bc ; c + a 2 √ ac + ⇒ 2(a + b + c) 2 √ ab + 2 √ bc + 2 √ ac 2 2 2 ⇒ 3(a + b + c) ( √ a ) + ( √ b ) + ( √ c ) + 2 √ ab + 2 √ bc + 2 2 √ ac = ( √ a+ √ b+ √c ) . ⇒. +. a+b+ c 3. (. √ a+ √ b+√ c 3. 2. ). √. ⇒. √a+ √ b+ √ c. 0,5. a+ b+c 3. 0,75 0,75. 0,5. 3. Câu 2.2 (2 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x – 5 √ x −2 + 2013 + Điều kiện để P xác định là x 2.. 0,25 2. + Với x. 2 ta có P = x – 5 √ x −2. + 2013 = … =. (√ x − 2− 52 ). 8027 4. + Vì. (. √ x − 2−. 5 2. 2. ). Thi HSG thị xã năm học 2012-2013. 0 với mọi x. 2. ⇒. P. 8027 4. +. 0,75 0,5. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> + Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất bằng. 8027 4. khi x =. 33 4. 0,5. Cho a1, a2, a3, …, a2012 là 2012 số nguyên có tổng bằng 2012.2013. Đặt P = a31 + a32 + a33 + … + a32012 . Chứng minh rằng P chia hết cho 6. + Để ý rằng với mọi số nguyên a thì a3 – a = (a – 1).a. (a + 1) là tích của ba nên a3 – a ⋮ 2 và a3 – a ⋮ 3. Khi đó vì ƯCLN(2; 0,5 Câu 3.1 số nguyên liên tiếp 3 ⇒ ⋮ a –a 6. (1) (1,5 điểm) 3) = 1 nên + Từ (1) suy ra P – (a1 + a2 + a3 … + a2012) = ( a31 – a1) + ( a32 – a2) + … 0,5 3 + ( a2012 – a2012) chia hết cho 6 (2). 0,5 + Vì a1 + a2 + a3 … + a2012 = 2012.2013 ⋮ 6 (3). Do đó, từ (2) và (3) ta 3 3 3 3 ⋮ 6 suy ra P = a1 + a2 + a3 + … + a2012 Cho đa thức f(x) = x2 – x – 2. Hãy tính giá trị của biểu thức Q = f(a).f(b).f(c) trong trường hợp a, b, c là 3 số thực đôi một khác nhau và thỏa mãn điều kiện a 3 + 3a2 – 2a = b3 + 3b2 – 2b = c3 + 3c2 – 2c = 6. + Từ a3 + 3a2 – 2a = 6 ⇒ … ⇒ (a + 3)(a – √ 2 )(a + √ 2 ) = 0 0,75 ⇒ a {– 3; – √ 2 ; √ 2 }. Câu 3.2 (2,5 điểm) + Tương tự ⇒ b, c {– 3; – √ 2 ; √ 2 }. Khi đó vì a, b, c là 3 số thực đôi một khác nhau ⇒ a, b, c là ba phần tử của tập hợp {– 3; – 0,5 ; }. √2 √2 + Ta lại có f(x) = x2 – x – 2 = (x + 1)(x – 2). Vậy Q = f(a).f(b).f(c) = (– 3 + 0,75 1)(– 3 – 2)(– √ 2 + 1)(– √ 2 – 2)( √ 2 + 1)( √ 2 – 2) = – 20 ¿ 2( x + y)=3 xy 3 ( y + z)=4 yz Giải hệ phương trình 4( x + z)=5 xz ¿{{ ¿. + Từ hệ đã cho ta thấy nếu một trong ba số x; y; z bằng 0 thì suy ra hai số còn lại bằng 0 vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) là một nghiệm của hệ. + Trường hợp xyz 0:. Câu 4.1 (2 điểm). ¿ 2(x + y)=3 xy 3 ( y + z)=4 yz 4(x + z)=5 xz ¿{{ ¿ ¿ 1 17 = x 24 1 19 = y 24 1 13 = z 24 ¿{{ ¿. ⇒. ⇔. ¿ 24 x= 17 24 y= 19 24 z= 13 ¿{{ ¿. ¿ 1 1 3 + = x y 2 1 1 4 + = y z 3 1 1 5 + = z x 4 ¿{{ ¿. ⇒. 1 1 1 + + x y z. =. 49 24. ⇒. + Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (x; y; z) = (0; 0; 0) và (x; y; z) = ( Câu 4.2. 24 24 24 ; ; ) 17 19 13. + Vẽ được ba đường thẳng (d1) , (d2), (d3).. Thi HSG thị xã năm học 2012-2013. 0,25. 1,25. 0,5 0,75. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> + Tính đúng tọa độ các giao điểm A(–3; 2); B(0; – 2); C(3; 4) (2 điểm). + SABC = SABM + SCBM =. 0,75. 1 BM.(AD + CE) = 15 (đơn vị diện tích) 2. 0,5. y. 3. x. -2. Dựng đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi E là giao điểm của (O) và AD. ^C = A ^ + AB EC ; B ^ AD =. Câu 5 (2 điểm). A. 0,5. E^ AC ⇒ Δ BAD Δ EAC ⇒ AB AD = AE AC ⇒ AB.AC = AD.AE = AD.(AD. O B. 0,5. + DE) = AD2 + AD.DE (1) + Ta lại có. Câu 6 (4 điểm). Δ BDA. C. D. E. Δ EDC. ⇒. BD = DA. DE DC. ⇒. DB.DC =. AD.DE (2). + Từ (1) và (2) ⇒ AB.AC = AD2 + DB.DC ⇒ AD2 = AB.AC – DB.DC Cho AB = BC = CA là ba dây của đường tròn (O; R). M là điểm tùy ý trên tròn (O; R). Chứng minh rằng MA + MB + MC 4R. – Trường hợp điểm M thuộc cung A nhỏ BC và không trùng với C (hoặc B). + Trên đoạn MA lấy điểm D sao cho MD = MB. Tam giác MBD là tam O giác đều (?). D Δ ABD = Δ + Lập luận ⇒ C CBM ⇒ MC = DA. M + ⇒ MA + MB + MC = MA + (MD + DA) = 2MA. + Vì MA OA + OM = 2R ⇒ MA + MB + MC = 2MA 4R . + Dấu bằng “=” xảy ra khi và chỉ khi AM là đường kính của (O; R). – Trường hợp M trùng với B (hoặc C) thì MB = 0 và MA + MB + MC =. Thi HSG thị xã năm học 2012-2013. 1,0 đường. 1,5. 0,5 0,5 0,5. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> BA + BC < (OB + OA) + (OB + OC) = 4R nên kết luận vẫn đúng. – Trường hợp điểm M thuộc cung nhỏ BA hoặc AC: Chứng minh tương tự. – Tóm lại: Với mọi điểm M thuộc (O; R) thì MA + MB + MC 4R.. 0,5 0,5. Ghi chú: + Đáp án là gợi ý của một cách giải, các cách giải khác, đúng, giám khảo căn cứ biểu điểm của từng câu để chấm. + Biểu điểm chi tiết (đến 0,25) của các câu, tổ giám khảo bàn bạc, thống nhất. + Điểm của toàn bài không làm tròn.. Thi HSG thị xã năm học 2012-2013. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>