Tay ninh 2013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VAØ ĐAØO TẠO TÂY NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH NAÊM HOÏC 2012 - 2013 Khoùa thi ngaøy 06/11/2012 Môn: TOÁN. Buổi thi thứ hai Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) -----------------------------------------------------------------ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi) Baøi 1: (5 ñieåm) Giaûi phöông trình. x 2  1  x  2  3( x 2  3x  1). Baøi 2: (5 ñieåm)  a1 1  a (an )2  2an ( a ) Cho dãy số n xác định bởi  n 1 (với n là số nguyên dương) n ak Sn  . Tìm lim Sn ? 1  a ( S ) k  1 k  1 Xét dãy số n xác định bởi. Baøi 3: (5 ñieåm) 2013 Giả sử số A 2012 được phân tích thành tổng n số nguyên dương a1 , a2 ,..., an . Xét số B a13  a23  ...  an3 . Tìm dö trong pheùp chia B cho 3.. Baøi 4: (5 ñieåm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. đường tròn (C1) tâm O1 bàng tiếp góc C, tiếp xúc cạnh AB taïi C', tieáp xuùc phaàn keùo daøi cuûa caïnh BC taïi E, tieáp xuùc phaàn keùo daøi cuûa caïnh AC taïi G. Đường tròn (C2) tâm O2 bàng tiếp góc B, tiếp xúc cạnh AC tại B', tiếp xúc phần kéo dài của cạnh BC tại F, tiếp xúc phần kéo dài của cạnh AB tại H. Hai đường thẳng EG và FH cắt nhau tại P. Chứng minh rằng PA vuông góc với BC. --- Heát ---.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SỞ GIÁO DỤC VAØ ĐAØO TẠO TÂY NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH NAÊM HOÏC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN BUỔI THI THỨ HAI Baøi Baøi 1 (5 ñieåm). Hướng dẫn chấm  x  1 0  3  13 Ñieàukieän :  x  2 0  x 2  x 2  3x  1 0  2. Phương trình đã cho tương đương với:. Ñieåm 1. 1. x 2  1  x  2  2 x 2  1 x  2 3( x 2  3 x  1) . ( x 2  1)( x  2)  x 2  5 x. . ( x 2  3x  2)( x  1) ( x 2  3 x  2)  2( x  1). 1 1. a  x 2  3x  2 Ñaët  thì a  0; b  0 vaø b  x 1 2.  a a a a ab a  2b      2 0  2 (còn  1 bị loại ) b b  b b 2. Baøi 2 (5 ñieåm). 2. a 2  x 2  3x  2 2 x  1  x 2  7 x  2 0 b 7  57 7  57  x (coøn x  bị loại) 2 2. 1. Từ giả thiết đã cho, ta có: 1 a1  a2  ...  an  an 1  ... suy ra (an ) là dãy tăng Giả sử (an ) là dãy bị chặn trên, khi đó tồn tại số L sao cho lim an L (L 1). 1.  L 0 lim an 1 lim  (an )2  2an   L L2  2 L    L  1 Do đó Voâ lyù vì L 1 . Vaäy (an ) khoâng bò chaën treân. Suy ra lim an . 1. Với k là số nguyên dương thì. Suy ra : ak 1  ak (ak )2  ak (1  ak )ak  ak  . 1. ak 1 (ak )2  2ak. ak 1  ak 1  ak. ak ak 1  ak 1 1    1  ak 1 (1  ak )(1  ak 1 ) 1  ak 1  ak 1. Cho k nhận các giá trị 1, 2, 3, ..., n và cộng lại theo vế thì được: n ak 1 1 1 1 Sn      1  a1 1  an 1 2 1  an 1 k 1 1  ak 1 1 1  1 Vaäy lim Sn lim      2 1  an 1  2. 1 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Baøi 3 (5 ñieåm). n  A 20122013 a1  a2  ...  an  B  A  (ak3  ak )   3 3 3 B a1  a2  ...  an k 1 Từ giả thiết ta có: . 1. 3 Với mọi k 1, n thì ak  ak ak (ak  1)(ak  1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp neân chia heát cho 3. 1. Suy ra: B - A chia heát cho 3 hay B  A(mod 3). 1. Vì 2012 671.3  1 neân 2012  1(mod 3)  A 20122013 ( 1)2013 (mod 3). 1. Vaäy A  1(mod 3)  B  1(mod 3) hay B chia cho 3 thì dö laø 2.. 1. Goïi D laø giao ñieåm cuûa PA vaø BC 1 1   ' AO neân O ; A; O thaúng haøng (*) GAO  GAC '  HAB ' B 1 2 1 2 2 2 Vì. 1. Baøi 4 (5 ñieåm). AG AO1  (1) AH AO2. Từ hai tam giác đồng dạng AGO1 và AHO2 ta có:  DE dt(PDE ) PE .sin DPE Maët khaùc :    DF dt(PDF ) PF.sin DPF    PE sin PFE sin BHF sin AHP       PF sin PEF sin CGE sin AGP   DE sin AHP .sin DPE AP AG AG Do đó :    (2)   DF sin AGP AH AP AH .sin DPF DE AO1 Từ (1) và (2) suy ra :  (**) DF AO2 Từ (*) và (**) suy ra AD / / O1E  PA  BC --- Heát ---. 1. 1 1 1.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>

<span class='text_page_counter'>(5)</span>