Luận văn sư phạm Khái niệm dầy đặc trong đại số theo nghĩa topo

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

LÊ LAN HƯƠNG

JACOBSON RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ PHỔ DỤNG
TRÊN MỘT VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ

Chuyên ngành : Đại số
Mã số
: 1.01.03
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN
PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ

Tp.HCM, 2005


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên trong luận văn này, tôi xin gởi đến PGS-TS Bùi Tường Trí_Khoa
Toán Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, người thầy đã tận tình hướng
dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc
nhất.
Tôi xin chân thành cảm ơn TS Trần Huyên, PGS_TS Bùi Xuân Hải,
TS Nguyễn Viết Đông, PGS-TS Mỵ Vinh Quang, Q thầy cô trong khoa Toán và
phòng Khoa Học Công Nghệ _ Sau Đại Học đã tham gia giảng dạy, quản lý lớp
học, đã trực tiếp truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên giúp đỡ, tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Thành phố Hồ Chí Minh , 2005

Học viên cao học khoá 13
Lê Lan Hương


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU.
HỆ THỐNG KÝ HIỆU.
CHƯƠNGI : CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ KHÔNG GIAO HOÁN
I.1 : Tóm tắt những kiến thức cơ sở ............................................... Trang 1
I.2 : Các radical của một đại số ..................................................... Trang 6
I.3 : Ideal nguyên tố và ideal nửa nguyên tố ............................... Trang 12
CHƯƠNG II :CÁC PI-ĐẠI SỐ
II.1 : Các định nghóa và một số kết quả hình thức.
Định lí Kaplansky-Amitsur-Levitzki .............................................. Trang 17
II.2 : Các PI-đại số thoả mãn đồng nhất thức chính qui mạnh. .... Trang 38
II.3 : Địa phương hóa giao hoán .Đại số nguyên tố thoả mãn đồng nhất
thức thật sự..................................................................................... .Trang 43
II.4 : Các định nghóa tương đương của PI-đại số........................... Trang 53
II.5 : Các đồng nhất thức của một đại số. Các PI-đại số phổ dụng .Trang 57
CHƯƠNG III:
JACOBSON RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ PHỔ DỤNG.................. Trang 60
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


TÀI LIỆU THAM KHẢO
™ TIẾNG ANH :
[1] N. JACOBSON
LECTURE NOTES IN MATHEMATICS 441
PI_ALGEBRAS AN INTRODUCTION

SPRINGER_VERLAG_BERLIN_HEIDELBERG_NEWYORK1975
[2] I.N. HERSTEIN
NON COMMUTATIVE RINGS
A.M.S 1968
[3] M.F.ATIYAH, I.G. MACDONALD
INTRODUCTION TO COMMUTATIVE ALGEBRA
ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY. MASSACHUSETTS 1969
™ TIẾNG VIỆT :
[1] MỴ VINH QUANG
ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG, BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG.
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC 1998.
[2]NGUYỄN CANG – NGUYỄN ĐĂNG PHẤT
GIỚI THIỆU TÓM TẮT CUỘC ĐỜI VÀ SỰ NGHIỆP CÁC NHÀ TOÁN HỌC (TẬP II).
NHÀ XUẤT BẢN TRẺ.
[3] NINH QUANG THĂNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC :
VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ-1998
[4] NGUYỄN THỊ HỒNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC :
ĐA THỨC TÂM TRÊN ĐẠI SỐ CÁC MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG TRÊN CÁC ĐẠI
SỐ KHAÙC-2004


LỜI MỞ ĐẦU
Jacobson Nathan _ nhà toán học Mỹ gốc Ba Lan là một chuyên gia trong
lónh vực Lý thuyết các Vành và Module. Năm 1943, ông đưa ra khái niệm
radical của một vành, được giới toán học cho là thỏa đáng hơn khái niệm
cùng loại mà Gottfied Kother thuộc trường phái Emmy Nother đã đưa ra.
Người ta gọi Jacobson radical của một vành giao hoán A là giao của các
ideal tối đại của A, ký hiệu là : radA. Jacobson chứng minh rằng radA là tập

các phần tử a của A sao cho 1 - ax, với x∈A, là khả nghịch trong vành A.
Tổng quát hơn, nếu A là đại số không giao hoán thì Jacobson radical của A
được định nghóa là tập hợp tất cả các phần tử của A linh hóa được tất cả các
mun bất khả quy trên A.
Trong luận văn này, dựa trên cơ sở lý thuyết của đại số không giao hoán và
các PI-đại số, chúng tôi tìm hiểu về tính chất của Jacobson radical của các
PI-đại số và hơn nữa là xem xét Jacobson radical của các PI-đại số phổ
dụng trên một vành giao hoán có đơn vị.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương I: Chúng tôi trình bày các vấn đề cơ bản của đại số không giao
hoán, các khái niệm radical của một đại số, các định nghóa và tính chất của
ideal nguyên tố, ideal nửa nguyên tố.
Chương II: Chúng tôi trình bày một số định nghóa và tính chất của các PIđại số, trong đó có trình bày một định lí cơ bản về đồng nhất thức đa thức,
đó là định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzki. Đồng thời, chúng tôi cũng xem
xét các PI-đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính quy mạnh và địa phương
hóa giao hoán. Từ đó, chúng tôi trình bày các định nghóa tương đương của
PI-đại số, đưa ra khái niệm và một số tính chất của các PI-đại số phổ dụng.
Chương III: Chúng tôi trình bày tính chất của Jacobson Radical của các PIđại số phổ dụng.


HỆ THỐNG KÝ HIỆU
Rad A

: Jacobson Radical của A.

ln(A)

: lower nil radical cuûa A.

L(A)

: levitzki nil radical cuûa A.

Un(A)

: Upper nil radical của A.

IΔ A

: I là ideal hai phía của A.

I

Δl A

: I là ideal trái của A.

I Δ lmax A

: I là ideal trái tối đại của A.

[x,y]=xy-yx

: Giao hoán tử của x và y.

Tr(a)

: vết của ma trận a.

Sgn( π )

: dấu của phép thế π .

[M :F]

: số chiều của M trên F.

B⊂ A

: B chứa trong A.

Mn(K)

: Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K.

A[x]

: Vành các đa thức của ẩn x trên A.

A[ x1 ,x 2 ,...,x n ] : Vành các đa thức của n ẩn x1 ,x 2 ,...,x n trên A.

End VF

: Tập hợp các phép biến đổi tuyến tính của V trên F.


KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày được một số kết quả về các
PI-đại số như sau:
™ Định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzki:

Giả sử A là đại số nguyên thủy. Khi đó A thỏa mãn đồng nhất thức thật
sự khi và chỉ khi A là đại số đơn và hữu hạn chiều trên tâm C của nó.
Nếu d là bậc nhỏ nhất của đồng nhất thức thật sự của A thì d = 2n là số
chẵn và [A:C] = n2 , đồng thời A thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn Sd.
™ Nếu A là đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính quy mạnh bậc d thì
ln(A) = L(A) = Un(A).
™ Bất kỳ đồng nhất thức f(x1,…,xm) của A đều là đồng nhất thức của As
(với As xem như là đại số trên K). Chiều ngược lại vẫn đúng nếu mỗi
phần tử của S là chính quy đối với A.
™ Nếu A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố thỏa mãn các
đồng nhất thức thật sự có bậc bị chặn thì bất kỳ ideal I

≠ (O) của A

có giao khác không với tâm C của A.
™ Các định nghóa tương đương của PI-đại số:
A là PI-đại số ⇔ ∃ f là đồng nhất thức của A: SfA = A.
m
A là PI-đại số ⇔ ∃ n, m : A thỏa mãn đồng nhất thức S2n
.

Sau đó, chúng tôi trình bày định nghóa và một số tính chất của các PI-đại số
phổ dụng trên một vành giao hoán có đơn vị K :
¾ Cho A là một PI-đại số trên vành giao hoán K và I = I(A) là tập tất cả
các đồng nhất thức của A. Khi đó I là một T-ideal của K{X}.


¾ Một PI-đại số phổ dụng là một đại số có dạng U = UI = K{X}/I, trong
m
đó I là một T-ideal của K{X} chứa S2n

, với m, n nào đó.

¾ Nếu U = K{X}/I là PI-đại số phổ dụng thì U là PI-đại số và I là
ideal chứa tất cả các đồng nhất thức của U.
Chúng tôi cũng chứng minh được một số tính chất của Jacobson radical,
Upper nil radical, Lower nil radical của một đại số A như sau :
œ Nếu A là PI – đại số thì : ln(A) = L(A) = Un(A) ⊂ radA.
œ Neáu A là PI – đại số nửa nguyên tố thì : ln(A) = L(A) = Un(A) = 0.
œ Nếu A là PI – đại số nửa nguyên tố có tâm C thỏa ann A radC = 0
thì A[ λ ] là PI – đại số nửa nguyên thủy. Khi đó, ta coù :
ln(A[λ ]) = L(A[λ ]) = Un(A[λ ]) = rad(A[λ ]) = 0

œ Đặc biệt : Nếu A là PI – đại số phổ dụng thì radA là một nil ideal.
Khi đó : ln(A) = L(A) = Un(A) = radA.
œ Hơn thế nữa, nếu U = K{X}/I là PI-đại số phổ dụng, I=<[x1,x2]> thì
U là PI-đại số phổ dụng giao hoán. Mà PI-đại số phổ dụng giao
hoán là đại số đa thức với các biến đếm được và các biến giao hoán
được với nhau. Do đó, áp dụng kết quả radU là một Nil ideal đối
với vành các đa thức n ẩn trên một vành giao hoán có đơn vị K,
chúng ta có một con đường khác ngoài cách chứng minh trực tiếp để
đi đến kết quả sau đây : Rad(K [x1 ,x 2 ,...,x n ] ) = Nil(K [x1 ,x 2 ,...,x n ] ).
Tuy nhiên, ngoài việc tìm hiểu tính chất của Jacobson Radical của các PIđại số, PI-đại số phổ dụng, còn rất nhiều khía cạnh khác của PI-đại số cần
được tiếp tục nghiên cứu và giải quyết. Đó chẳng hạn là : xem xét ideal In
gồm các đồng nhất thức của Mn(K); những ứng dụng của PI-đại số đối với
các đại số đơn tâm hữu hạn chiều trên một trường, …vv, …


Vì thời gian và khả năng nghiên cứu còn hạn chế nên những phần trình bày
trong luận văn này khó tránh khỏi thiếu sót.Kính mong Quý thầy cô và các
bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và lượng thứ.

Thành phố Hồ Chí Minh, 2005
Người thực hiện
Lê Lan Hương


1

CHƯƠNG I:

CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ KHÔNG GIAO HOÁN
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm và kết quả căn bản được
sử dụng đến trong luận văn này. Trong đó, chúng tôi chủ yếu xét phạm trù các
đại số có đơn vị (không nhất thiết giao hoán) trên một vành giao hoán có đơn vị
K. Trừ khi được chỉ ra rõ ràng, các mun đều được hiểu là các mun trái, ideal
được hiểu là ideal hai phía.
I.1.

TÓM TẮT NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ

Định nghóa I.1.1
A được gọi là đại số trên vành K nếu:
A là K_mun, A là vành và ∀ k ∈ K, ∀ a,b ∈ A: k(ab) = (ka)b = a(kb)
Định nghóa I.1.2
Cho A là một K_đại số. Đại số đối của A, ký hiệu là Ao, là một đại số mà Ao = A
như là K_mun và tích a ∗ b được xác định bởi a ∗ b = b.a, với ∀ a,b ∈ A
Định nghóa I.1.3
Nếu A,B là các K_đại số, M là K_mun thì một A_B_song mun là một
A_mun trái, B_mun phải và có tính chất kết hợp sau ñaây:
(ax)b = a(xb), ∀ a ∈ A, b ∈ B, x ∈ M
Lưu ý:

• Tích tenxơ của các mun và đại số, trừ trường hợp đặc biệt, được hiểu là
tích tenxơ trên K. Ta viết M ⊗ N thay vì M ⊗K N.
• Nếu A, B là các K_ đại số thì A ⊗ B là một K_ đại số.


2

• Một A_B_ song mun có thể đồng nhất với A ⊗ Bo_ mun nếu
(a ⊗ b)x = axb (*)
Ngược lại, một A ⊗ Bo_ mun có thể xem như là một A_B_ song mun nếu
ax = (a ⊗ 1)x ; xb =(1 ⊗ b)x.
• Ta viết Ae = A ⊗ Ao thì :A là một Ae _mun được xác định bởi (*).Và
mun con của A (với A xem là Ae _mun) là ideal của A.
Định nghóa I.1.4
Cho M là một A_ mun, ký hiệu EndA M (hay End M) là tập hợp các tự đồng
cấu trên M. Khi đó:

•

η ∈ EndA M , x ∈ M thì x η là kết quả tác động của η đối x.

• Với η , ξ ∈ EndA M thì η ξ được định nghóa bởi x( η ξ ) = (x η ) ξ , ∀ x ∈ M.
• Vành giao hoán tử của A trên M, ký hiệu là C(M), định bởi
C(M) = { η ∈ EndA M / η .Ta = Ta. η , ∀ a ∈ A}
trong đó, Ta : M → M, m

ma.

Định nghóa I.1.5
Cho M làmột A_mun.Khi đó, tập hợp các phần tử của A mà linh hóa toàn bộ

M, ký hiệu là : annA M, được xác định bởi : annA M = { a∈ A / aM = 0 }
Định nghóa I.1.6
Cho M là một A_mun, M được gọi là A_mun bất khả quy nếu M ≠ 0 và M
không có mun con nào khác ngoài 0 và M.
Mệnh đề I.1.1


3

Các khẳng định sau đây là tương đương:
i>
M là A_mun bất khả quy.
ii>
M = Ax, với 0 ≠ x ∈ M.
iii> M ≅ A/I, với I Δ lmax A.
Định nghóa I.1.7
M được gọi là A_mun trung thành nếu : Ma = 0 ⇒ a = 0.
Định nghóa I.1.8

•

Một đại số A được gọi nguyên thủy nếu nó có một A_mun bất khả quy trung

thành.

•

Một ideal ρ của đại số A được gọi là ideal nguyên thủy nếu A/ ρ là đại số

nguyên thủy.

Bổ Đề Schur:
Nếu M là A_mun bất khả quy thì C(M) là một thể
Định nghóa I.1.9
Cho A là đại số nguyên thủy, M là A_mun bất khả quy trung thành. Nếu
Δ =C(M) thì theo bổ đề Schur, Δ là một thể. Ta có thể xem M như là một không

gian vectơ trên Δ . Khi đó:
A được gọi là tác động dày đặc trên M (hoặc dày đặc trên M) nếu :
Với mỗi n : ϑ1 ,ϑ2 ,...,ϑn ∈ M độc lập tuyến tính trên Δ và bất kỳ n phần tử
ω1 , ω2 ,..., ωn ∈ M, ∃ r∈ A sao cho ωi = ϑi .r, với i = 1,2,…n.

Mệnh đề I.1.2

(định lý dày đặc)


4

Cho A là đại số nguyên thủy, M là A_mun bất khả quy trung thành. Nếu
Δ =C(M) thì A là một vành dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của M trên Δ .

Định nghóa I.1.10
Đại số A được gọi là đại số đơn nếu A ≠ 0 và A không có ideal nào khác ngoài 0
và A.
Lưu ý :
Cho A là đại số đơn.
Gọi C ={c ∈ A / cx = xc, ∀ x ∈ A} là tâm của A.
Khi đó C là trường và A có thể xem là đại số trên C.
Định nghóa I.1.11
Giả sử K là một trường. Đại số A được gọi là đơn tâm trên trường K nếu A đơn và

tâm của A đẳng cấu với K.
Định nghóa I.1.12
Giả sử K là một trường. Trường con F của K được gọi là trường con tối đại nếu F
không bị chứa nghiêm ngặt trong một trường con lớn hơn của K.
Mệnh đề I.1.3
Cho D là một thể có tâm là C, F là trường con tối đại của D. Khi đó : D ⊗C F là
vành dày đặc các phép biến đổi các tuyến tính của D, nếu xem D như là không
gian vectơ trên trường F.
Định nghóa I.1.13


5

Đại số A được gọi Artin (trái) nếu bất kỳ tập khác rỗng các ideal trái của nó đều có
phần tử tối tiểu.
Mệnh đề I.1.4

(Định lý Wedderburn_ Artin)

Cho A là một vành Artin đơn. Khi đó A ≅ D n với D n là vành các ma trận vuông cấp
n trên thể D. Hơn nữa, n là duy nhất và D sai khác một đẳng cấu. Ngược lại, với
bất kỳ thể D, D n là một vành Artin đơn.
Định nghóa I.1.14
Giả sử { A α } là một họ các đại số. Tích trực tiếp

∏A
α

α

được định nghóa bởi tập

tích Đề-các của các A α mà được đưa vào cấu trúc đại số phù hợp.
Một đại số con A của

∏A
α

α

được gọi là một tích trực tiếp con của họ { A α } nếu

hạn chế trên A của mỗi phép chiếu ∏α , ký hiệu là ∏α A , là toàn cấu.
Lưu ý :
Khi A là tích trực tiếp con của { A α }, ta goïi Bα = Ker ∏α A thì A/ Bα ≅ A α và

∩B

α

= 0.

α

Ngược lại, giả sử A là một đại số bất kỳ và { Bα } là họ các ideal trong A sao cho

∩B

α

= 0. Khi đó A sẽ đẳng cấu với tích trực tiếp con của họ { A α }, trong ñoù

α

A α = A/ Bα .


6

I.2.

CÁC RADICAL CỦA MỘT ĐẠI SỐ.

Trong phần này, chúng tôi trình bày các định nghóa và một số kết quả về các
radical của một đại số A : Jacobson radical, upper nil radical, lower nil radical và
Levitzki nil radical.
Định nghóa I.2.1
Cho M là A_mun bất khả quy, Jacobson radical của A, ký hiệu là rad A, được
định nghóa như sau :
rad A =

∩

annA M

M bất khả quy

Định nghóa I.2.2
Một đại số A được gọi là nửa nguyên thủy nếu rad A = 0.
Định nghóa I.2.3

• Một phần tử a∈ A được gọi là tựa chính quy nếu ∃ b ∈ A: a + b – ab = 0, b
được gọi là tựa nghịch đảo của a.

• Một ideal (một phía hoặc hai phía) được gọi là tựa chính quy nếu tất cả các
phần tử của nó là tựa chính quy.
Lưu ý:

• a là tựa chính quy ⇔ 1-a khả nghịch
• rad A là ideal tựa chính quy chứa mọi ideal phải tựa chính quy và ideal
trái tựa chính quy.

• Rad A = {z / az là tựa chính quy,với ∀ a∈ A }
= {z / za là tựa chính quy,với ∀ a∈ A }
Định nghóa I.2.4


7

Một ideal một phía (hoặc 2 phía ) được gọi là nil ideal nếu mọi phần tử của nó là
lũy linh.
Mệnh đề I.2.1
rad A chứa tất cả các nil ideal một phía.
Chứng minh
Nếu z là lũy linh ⇒ ∃ n : zn = 0
⇒ z là tựa chính quy, với tựa nghịch đảo là ω = - (z+z2+…+zn-1 ) . ■

Bây giờ, gọi A[ λ ] là đại số đa thức theo biến λ với hệ số thuộc A. Ta có kết
quả sau đây của Amitsur:
Mệnh đề I.2.2

Nếu A không có nil ideal khác 0 thì A[ λ ] là nửa nguyên thủy
Tiếp theo đây, chúng tôi trình bày các định nghóa và bổ đề về đại số luỹ linh, lũy
linh địa phương, và nil đại số. Từ đó chúng ta có cơ sở để tiếp cận với các khái
niệm upper nil radical, lower nil radical, và Levitzki nil radical.
Định nghóa I.2.5
Cho đại số A. Khi đó:

• A được gọi là lũy linh nếu ∃ m : Am = 0
• A được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra
một đại số con lũy linh.

• A được gọi là nil đại số nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh.
• Một ideal của A được gọi là lũy linh (lũy linh địa phương, nil ideal ) nếu xem là
đại số thì nó là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số )
Nhận xét: Mọi ideal lũy linh đều là lũy linh địa phương và mọi ideal lũy linh địa
phương đều là nil ideal.


8

Hơn nữa, các bổ đề sau là dễ thấy:
Bổ đề I.2.1

• Đại số con và ảnh đồng cấu của một đại số lũy linh ( lũy linh địa phương, nil
đại số) là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số).

• Nếu B là ideal của A sao cho B và A/B là các ideal lũy linh (lũy linh địa
phương, nil ideal ) thì A là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số).
Bổ đề I.2.2
Nếu N1, N2 là các ideal lũy linh (lũy linh địa phương, nil ideal) của A thì N1 + N2

cũng vậy.
Chứng minh
Do đẳng cấu (N1 + N2)/N2 ≅ N1/(N1 ∩ N2) và kết hợp với bổ đề I.2.1 ta có điều
phải chứng minh. ■
Bổ đề I.2.3
Nếu {Ni }là họ các nil ideal (ideal lũy linh địa phương) thì

∑N

i

là nil ideal(ideal

lũy linh địa phương).
Mệnh đề I.2.3
1. Tồn tại duy nhất một nil ideal (ideal lũy linh địa phương) tối đại của đại số
A chứa mọi nil ideal (ideal lũy linh địa phương) của A.
2. Tồn tại ideal lũy linh địa phương tối đại của đại số A chứa mọi ideal một
phía lũy linh địa phương.
Chứng minh
Từ bổ đề I.2.3, ta suy ra ngay phần thứ nhất của mệnh đề.
Ta chứng minh (2) nhö sau :


9

Giả sử L là ideal lũy linh địa phương tối đại của đại số A và I là ideal trái lũy
linh địa phương của A. Khi đó I + IA là ideal lũy linh địa phương của A.
Thật vậy, lấy { bi } là một tập hữu hạn các phần tử bất kỳ của I + IA và ta viết:
bi = ci +

∑c a

ij ij

với ci ,cij ∈ I; aij ∈ A

j

Xét tập hữu hạn S ={ ci ,cij,aij ck, aij ckl }thì : ci ,cij ∈ I ; aij ck, aij ckl ∈ I (vì I Δ l A)
Do đó S là tập con của I ⇒ tồn tại số tự nhiên m sao cho tích của m phần tử bất
kỳ của S bằng 0.
Mà tích của r phần tử của tập {bi} là tổng của các số hạng, mà mỗi số hạng là
tích của r phần tử thuộc S hoặc là tích của r phần tử của S nhân về bên phải các
phần tử thuộc A.
Vì thế, tích của m phần tử bất kỳ của {bi} là bằng 0 ⇒ I + IA là ideal lũy linh
địa phương của A. Mà L là ideal lũy linh địa phương tối đại ⇒ I + IA ⊂ L.
Do I ⊂ I + IA ⇒ I ⊂ L . ■
Định nghóa I.2.6
Nil ideal tối đại của một đại số A được gọi là upper nil radical của A, ký hiệu là Un(A)
Định nghóa I.2.7
Ideal lũy linh địa phương tối đại của một đại số A được gọi là Levitzki nil radical
của A, ký hiệu là L(A).

Định nghóa I.2.8


10

Tổng các ideal lũy linh của đại số A không nhất thiết là ideal lũy linh. Gọi tổng

này là N(0), ta định nghóa một dãy siêu hạn các ideal như sau:
Với N(0) đã được xác định như ở trên.
Nếu α là một số thứ tự không giới hạn và α = β + 1, ta định nghóa : N( α ) laø ideal
trong A sao cho N( α )/N( β ) là tổng tất cả các ideal lũy linh của A/N( β ).
Nếu α là một số thứ tự giới hạn, ta định nghóa: N( α ) =

∪ N(β)

β≺ α

Rõ ràng N( α ) ⊂ N( α ' ) nếu α ≺ α ' cho nên tồn tại một số thứ tự τ đầu tiên sao
cho N(τ ) = N(τ + 1). Do N(0) là nil ideal nên N( τ ) là nil ideal. Khi đó N( τ ) được
gọi là lower nil radical của A, ký hiệu là ln(A).
Sau đây chúng ta xem xét một số tính chất về các radical nói trên :
Mệnh đề I.2.4
A/Un(A) không chứa nil ideal khác 0. Suy ra: Un (A/Un(A)) = 0
Chứng minh
Giả sử B = C/Un(A) là nil ideal của A/Un(A). Ta cần chứng minh B = 0.
Thật vậy, ∀ x ∈ B thì ∃ m : ( x ) = 0 (do B laø nil ideal) ⇒ xm ∈ Un(A)
m

⇒ ∃ k:

(x m ) k = 0 , do Un(A) laø nil ideal ⇒ x ∈ Un(A)

⇒ x = 0. Do đó: B = 0 .

Vì vậy, A/Un(A) không chứa nil ideal khác 0. Do đó, Un (A/Un(A)) = 0. ■
Mệnh đề I.2.5
A/ln(A) không chứa ideal lũy linh khác 0.

Chứng minh


11

Theo định nghóa I.2.8 : ln(A) = N( τ ) = N( τ + 1) maø N( τ + 1) laø ideal trong A
sao cho N( τ + 1)/N( τ ) là tổng các ideal lũy linh của A/N( τ ). Suy ra: tổng các
ideal lũy linh của A/N( τ ) bằng không.
Do đó A/N( τ ) không chứa ideal lũy linh khác 0 ⇒ A/ln(A) không chứa ideal lũy
linh khác 0. ■
Mệnh đề I.2.6
L(A/L(A)) = 0
Chứng minh
Giả sử B/L(A) là ideal lũy linh địa phương của A/L(A). Do L(A) và B/L(A) lũy
linh địa phương nên B lũy linh địa phương (do bổ đề I.2.1)
⇒ B ⊂ L(A), do định nghóa I.2.7
⇒ B/L(A) = 0 ⇒ A/L(A) chỉ có 0 là ideal lũy linh địa phương duy nhất
⇒ L(A/L(A)) = 0. ■

Mệnh đề I.2.7
ln(A) ⊂ L(A) ⊂ Un(A) ⊂ radA
Chứng minh
Vì mọi ideal lũy linh đều lũy linh địa phương nên N(0) là lũy linh địa phương(do
bổ đề I.2.3).
Theo cách xây dựng ln(A) suy ra : ln(A) = N(τ ) là lũy linh địa phương. Do tính
tối đại của L(A) ⇒ ln(A) ⊂ L(A). (1)
Hơn nữa, vì L(A) là lũy linh địa phương ⇒ L(A) là nil ideal. Do tính tối đại của
Un(A) ⇒ L(A) ⊂ Un(A). (2)
Vì Un(A) là nil ideal ⇒ Un(A) ⊂ radA. (3)
Từ (1),(2),(3) ta có : ln(A) ⊂ L(A) ⊂ Un(A) ⊂ radA. ■

12

I.3.

IDEAL NGUYÊN TỐ VÀ IDEAL NỬA NGUYÊN TỐ

Định nghóa I.3.1
Một ideal P của một đại số A được gọi là nguyên tố nếu :
BC ⊂ P ⇒ B ⊂ P hoặc C ⊂ P, với B, C là các ideal của A.
Định nghóa I.3.2
A được gọi là đại số nguyên tố nếu 0 là ideal nguyên tố của A, tức là :
BC = 0 ⇒ B = 0 hoặc C = 0, với B, C là các ideal của A.
Mệnh đề I.3.1
Nếu A là đại số nguyên thủy thì A nguyên tố
Chứng minh
Do A là đại số nguyên thủy ⇒ ∃ M là mun bất khả trung thành của A.
Gọi B,C là các ideal khác 0 của A khi đó : (BC) M = B(CM) = BM = M
Do đó : BC ≠ 0.■
Mệnh đề I.3.2
Các khẳng định sau đây là tương đương :
i>A là đại số nguyên tố.
ii>bAc = 0 ⇒ b = 0 hoặc c = 0.
iii>linh hóa tử bên trái của ideal trái khác 0 bất kỳ của A là 0.
iv>linh hóa tử bên phải của ideal phải khác 0 bất kỳ của A là 0.
Chứng minh
(i) ⇒ (ii)

Giả sử bAc = 0 ⇒ A.bAc.A = (AbA) (AcA) = 0

⇒ AbA = 0 hoaëc AcA = 0 ⇒ b = 0 hoaëc c = 0

(ii) ⇒ (iii): Gọi 0 ≠ I Δ l A. giả sử bI = 0 :


13

Laáy c ∈ I, c ≠ 0 ⇒ Ac ⊂ I ⇒ bAc = 0 ⇒ b = 0 , do (ii)
(iii) ⇒ (i): Giả sử B,C Δ A : BC = 0, giả sử C ≠ 0
⇒ B = 0 , do (iii). Vậy A nguyên tố.

Bằng cách tương tự ta cũng có ngay : (iii) ⇒ (iv) ⇒ (i) ■
Định nghóa I.3.3
Một đại số A được gọi là nửa nguyên tố nếu A không có ideal lũy linh khác 0.
Nhận xét : Nếu A là đại số nguyên tố thì A nửa nguyên tố.
Định nghóa I.3.4
Một ideal B của A được gọi là nửa nguyên tố nếu đại số thương A/B là nửa nguyên
tố.
Mệnh đề I.3.3
Đại số A là nửa nguyên tố ⇔ A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố
Chứng minh
Giả sử A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố A α . Gọi N là ideal lũy
linh của A. Theo định nghóa I.2.5, ∃ n : Nn = 0.
Khi đó : N α =

∏

α

(N) là ideal lũy linh của A α , ∀α

Mà A α là đại số nguyên tố ⇒ N α = 0, ∀α ⇒ N = 0 ⇒ A không có ideal lũy linh
khác 0 ⇒ A là đại số nửa nguyên tố.
Ngược lại, giả sử A là đại số nửa nguyên tố .
Lấy B ≠ 0 là ideal của A. Chọn 0 ≠ b1 ∈ B. Khi đó : Ab1A ⊂ B, Ab1A ≠ 0
⇒ (Ab1A) 2 = Ab1Ab1A ≠ 0 (do A laø nửa nguyên tố) ⇒ b1Ab1 ≠ 0
⇒ ∃ a1 ∈ A : b 2 = b1a1b1 ≠ 0, b 2 ∈ B


14

Tiếp tục lập luận tương tự , chúng ta được một dãy các phần tử khác 0 chứa trong
B : b1 , b 2 = b1a1b1 , b3 = b 2a 2 b 2 , ...., bi = bi−1a i−1bi−1 ,...
Dạng của những phần tử này chỉ ra rằng : nếu k > i, j thì b k = bi a ijb j , với a ij ∈ A
Do bi ≠ 0 ⇒ {0} ∩ { bi } = φ.
Xeùt ∑ là tập gồm các ideal P của A thỏa maõn : P ∩ { b i } = φ thì tập này khác
rỗng nên theo bổ đề Zorn ta có tồn tại P là phần tử tối đại trong ∑ .
Ta chứng minh P là ideal nguyên tố của A.
Thật vậy, giả sử C, D Δ A thỏa C ⊄ P, D ⊄ P. Khi đó với C1 = C + P
⇒ C1 ∉ ∑ (do P tối đại trong ∑ ) ⇒ C1 ∩ { bi } ≠ φ ⇒ ∃ bi ∈ C1 .

Tương tự ∃ b j ∈ D1 , với D1 = D + P. Do đó, với k > I, j thì : b k = bi a ijb j ∈ C1 D1
⇒ C1 D1 ⊄ P ⇒ CD ⊄ P (do C1 D1 ⊂ CD + P) ⇒ P là ideal nguyên tố của A.

Hơn nữa, do P ∩ { b i } = φ, { b i } ⊂ B ⇒ B ⊄ P.
Như vậy, với mọi ideal B khác 0 của A, tồn tại P là ideal nguyên tố của A : B ⊄ P
Suy ra :

∩

P =0

P nguyên tố

Do đó, A là tích trực tiếp của các đại số nguyên tố A/P. ■
Mệnh đề I.3.4
ln(A) trùng với giao các ideal nguyên tố của A
Để chứng minh mệnh đề này, trước hết ta xét hai bổ đề sau:
Bổ đề I.3.1
Nếu B Δ A và {Iα } α∈A là một họ các ideal của A chứa B thì
Chứng minh : hiển nhiên. ■
Bổ đề I.3.2

∩ (I

α∈A

) = (

α/B

∩

α∈A

Iα ) / B


15

C/B là ideal nguyên tố của A/B khi và chỉ khi C là ideal nguyên tố của A chứa B
Chứng minh
Cho C/B là ideal nguyên tố của A/B. Ta chứng minh C nguyên tố.
Thật vậy, giả sử mn ∈ C. Khi đó mn + B ∈ C/B ⇒ (m+B)(n+B) ∈ C/B
⇒ m+B ∈ C/B hoaëc n+B ∈ C/B (do C/B nguyên tố)
⇒ m ∈ C hoặc n ∈ C. Vậy C nguyên tố.

Ngược lại, giả sử C là ideal nguyên tố của A chứa B. Ta chứng minh C/B nguyên
tố.
Thật vậy, nếu (m + B)(n + B) ∈ C/B, ∀ m, n ∈ C ⇒ mn + B ∈ C/B ⇒ mn ∈ C
⇒ m ∈ C hoaëc n ∈ C (do C nguyên tố)
⇒ m+B ∈ C/B hoặc n+B ∈ C/B. Vậy C/B nguyên tố. ■

Chứng minh mệnh đề I.3.4 :
Đặt N’ =

∩

P

P nguyên tố

Theo bổ đề I.3.1 và bổ đề I.3.2 ta có :

∩

P/N' nguyên tố

(P / N ') = (

∩

P)/N' = 0

P nguyên tố
P ⊃ N'

⇒ A/N’ là nửa nguyên tố (do mệnh đề I.3.3)
⇒ A/N’ không chứa ideal lũy linh khác 0.

Nếu N là ideal lũy linh của A thì (N + N’)/N’ ≅ N/(N ∩ N’)
⇒ (N + N’)/N’ là ideal lũy linh của A/N’ ⇒ (N + N’)/N’ = 0 ⇒ N ⊂ N’
⇒ N(0) ⊂ N’, với N(0) là tổng của tất cả các ideal lũy linh của A.

Giả sử N( β ) ⊂ N’ thì : bằng cách chứng minh tương tự ta có N’ chứa mọi ideal
N ⊃ N( β ) sao cho N/N( β ) là lũy linh. Suy ra N’ ⊃ N( β + 1). Phép quy nạp siêu
hạn cho ta N’ ⊃ N( τ ) = ln(A).
Ngược lại, do A/N( τ ) = A/ln(A) không chứa ideal lũy linh khác 0 (do mệnh đề
I.2.5) nên A/N( τ ) nửa nguyên tố


16

⇒

P/N(τ ) = 0 (do mệnh đề I.3.3) ⇒

∩

Mà N’ =

∩

P nguyên tố

∩

P = N( τ ) (do bổ đề I.3.1)

P nguyên tố
P ⊃ N(τ )

P/N(τ ) nguyên tố

P ⊂

∩

P = N( τ ) ⇒ N’ ⊂ N( τ )

P nguyên tố
P ⊃ N(τ )

Vậy N’ = N( τ ) = ln(A). ■
Nhận xét :
Từ mệnh đề I.3.4 ta suy ra : A là đại số nửa nguyên tố khi và chỉ khi ln(A) = 0.