Một số phép biến đổi tích phân và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG
KHOA TOÁN
−−− −−−

NGUYỄN THỊ NGỌC HIỆP

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Cử nhân Toán - Tin

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học:
TH.S PHAN ĐỨC TUẤN

Đà Nẵng, 5/2012


2

MỤC LỤC
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1. Các phép biến đổi tích phân
1.1

1.2

1.3

1.4

7

Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Tích chập đối với phép biến đổi Fourier . . . . . .

11

Phép biến đổi Fourier sin và Fourier cosin . . . . . . . .

13

1.2.1

Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.2

Tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosin và
Fourier sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.1

Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.2

Tích chập đối với phép biến đổi Laplace . . . . .

20

Phép biến đổi Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Chương 2. Một số ứng dụng
2.1

2.2

25

Ứng dụng của phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . .

25

2.1.1

Giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . .

25

2.1.2

Giải phương trình tích phân . . . . . . . . . . . .

27

2.1.3

Giải phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . .

30

Ứng dụng của phép biến đổi Fourier sin và Fourier cosin
cho phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . .

2.3

5

33

2.2.1

Phương trình tán xạ 1-chiều trên nửa đường thẳng 33

2.2.2

Phương trình Laplace trong phần tư mặt phẳng .

36

Ứng dụng của phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . .

36

2.3.1

Giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . .

36

2.3.2

Giải phương trình tích phân . . . . . . . . . . . .

40

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


3

2.3.3
2.4

Giải phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . .

41

Ứng dụng của phép biến đổi Hankel cho phương trình đạo
hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.5

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


4

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn thầy Phan Đức Tuấn, là thầy hướng dẫn,
đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn tận tình trong suốt
quá trình em thực hiện đề tài của mình. Đồng thời em xin gửi lời cảm
ơn đến thầy cô khoa Tốn đã ln ủng hộ và tạo điều kiện để em có thể
hồn thành luận văn. Em xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến quý thầy cô
trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã trang bị cho em hành trang kiến
thức vơ cùng q giá và bổ ích trong suốt 4 năm học.

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


5

LỜI NÓI ĐẦU
Nhiều vấn đề trong kỹ thuật đưa đến việc giải một phương trình vi
phân thường, phương trình đạo hàm riêng hay phương trình tích phân.
Như việc nghiên cứu sự đổi dạng của chùm tia sáng vô hạn trong mơi
trường đàn hồi dẫn đến việc giải một phương trình vi phân thường:

d4 u
EI 4 + κu = W (x), −∞ < x < ∞.
dx
Khi nghiên cứu các dao động của dây, màng sóng, sóng âm, sóng đàn
hồi, sóng điện trường,.. dẫn đến việc giải các phương trình đạo hàm riêng
như phương trình Eliptic:
uxx + uyy = 0, −∞ < x < ∞, y ≥ 0.
Trong cơ học lượng tử, xung lượng của các hạt cơ bản được biểu diễn
qua một phương trình tích phân Fredholm:
K(x, y)ϕ(y)dy.

ϕ(x) =
Ω

Một vấn đề đặt ra là đi tìm lời giải cho các phương trình vi phân, tích
phân trong các bài tốn kĩ thuật. Việc sử dụng các phép biến đổi tích
phân để giải các phương trình kể trên ra đời rất sớm và liên tục phát triển
cho đến tận ngày nay. Có vai trò đặc biệt quan trọng trong lý thuyết
này phải kể đến trước hết là phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier
sin, Fourier cosin, Hartley, tiếp theo là phép biến đổi Laplace, phép biến
đổi Mellin, sau đó là các phép biến đổi tích phân Hankel, KontorovichLebedev,... Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết tích
chập của các phép biến đổi tích phân cũng xuất hiện vào khoảng đầu
thế kỉ XX. Nhờ vào việc kết hợp giữa phép biến đổi tích phân và định
lý tích chập của nó cung cấp một cách biểu diễn nghiệm tường minh
Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


6

cho bài toán biên với giá trị ban đầu. Trong luận văn này, em xin giới
thiệu một số phép biến đổi tích phân: Fourier, Fourier sin, Fourier cosin,
Laplace và Hankel và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các phương
trình vi phân, tích phân và đạo hàm riêng. Ngồi phần mở đầu, kết luận
luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1, trình bày về các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sin,
Fourier cosin, Laplace và Hankel với một số tính chất cơ bản của các
phép biến đổi. Đặc biệt là định lý và tính chất của tích chập của các
phép biến đổi tích phân.
Chương 2, trình bày về ứng dụng của các phép biến đổi trong việc giải
các phương trình vi phân, tích phân, đạo hàm riêng.

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Nguyễn Thị Ngọc Hiệp

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


7

Chương 1
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

1.1

Phép biến đổi Fourier

1.1.1

Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.1.1 (khả tích tuyệt đối). Hàm f (x) được gọi là khả tích
tuyệt đối trên −∞ < x < ∞ nếu
∞

|f (x)|dx < ∞.

(1.1)

−∞

Định nghĩa 1.1.2 (phép biến đổi Fourier). Phép bến đổi Fourier của
f (x), kí hiệu là
{f (x)} = F(k), k ∈ R
và được xác định bởi tích phân:
∞

1
{f (x)} = F(k) = √
2π

e−ikx f (x)dx.

(1.2)

−∞

Điều kiện đủ để tích phân (1.2) tồn tại là f khả tích tuyệt đối trên
(−∞, ∞).
Ví dụ 1.1.1. Cho hàm
f (x) = exp(−ax2 ).

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


8

Ta có phép biến đổi tích phân Fourier của hàm f là
∞

1
F (k) = √
2π
1
=√
2π

2

e−ikx−ax dx
−∞
∞

ik 2 k 2
exp − a(x + ) −
dx
2a
4a

−∞

k2
1
= √ exp(− )
4a
2π

∞
2

e−ay dy

−∞

1
k2
= √ exp(− ).
4a
2π
Ví dụ 1.1.2. Xét hàm

1
f (x) =

0

nếu |x| ≤ 1,
nếu |x| > 1,

Phép biến đổi Fourier của hàm f là
1
{f (x)} = √
2π
1
=√
2π

f (x)e−ixy dy
R
1

2 sin x
.
π x

e−ixy dy =

−1

Nhận xét 1.1.1. Theo Ví dụ 1.1.2 ta thấy ảnh Fourier của hàm khả
tích tuyệt đối có thể khơng khả tích tuyệt đối.
Định nghĩa 1.1.3 (hàm tốt). Cho g(x) là một hàm nhận giá trị thực
hay phức xác định trên R. Giả sử g khả vi vô hạn và mỗi đạo hàm có
khuynh hướng tiến tới 0 khi |x| → ∞ nhanh hơn bất kỳ lũy thừa dương

của x−1 hay nói cách khác, giả sử rằng mỗi số nguyên dương N và n ta
có:
lim xN g (n) (x) = 0,

|x|→∞

thì g(x) được gọi là một hàm tốt. Tập các hàm tốt ký hiệu là S.
Nhận xét 1.1.2. Nếu f (x) là hàm tốt thì f (x) khả tích tuyệt đối.
Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


9

Định lý 1.1.1. Biến đổi Fourier của một hàm tốt là một hàm tốt.
Chứng minh. Biến đổi Fourier của một hàm tốt f (x) tồn tại và nó được
cho bởi

∞

1
{f (x)} = F (k) = √
2π

e−ikx f (x)dx.
−∞

Tính đạo hàm cấp n của hàm F (k) và tích phân từng phần N lần, ta
thu được

∞

(−1)N

1
√
F (n) (k) ≤
(−ik)N 2π
∞

1
≤ N√
2π
|k|
1

e

−ikx

dN
{(−ix)n f (x)}dx
N
dx

−∞

dN
{xn f (x)} dx.
N

dx

−∞

Rõ ràng, tất cả đạo hàm tiến tới 0 nhanh như |k|−N khi |k| → ∞ cho
bất kỳ N > 0. Như vậy F (k) là một hàm tốt.
Định nghĩa 1.1.4 (phép biến đổi Fourier ngược). Phép biến đổi Fourier
ngược của hàm F (k) được ký hiệu
−1

{F(k)} = f (x),

và được xác định bởi
∞
−1

1
{F(k)} = f (x) = √
2π

eikx F (k)dk.

(1.3)

−∞

Định lý 1.1.2 (Định lý ngược). Nếu f (x) là hàm tốt thì
∞

1

f (x) = √
2π

eikx F (k)dk =

−1

{F (k)},

(1.4)

−∞

trong đó, F (k) = {f (x)}.
Nhận xét 1.1.3. Từ định lý ngược ta có cơng thức tích phân Fourier
 ∞

∞
1
 f (ξ)e−ikξ dξ  eikx dk.
f (x) =
(1.5)
2π
−∞

Khóa Luận Tốt Nghiệp

−∞

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp

10

{f (x)} = F (k) thì:

Định lý 1.1.3. Nếu
(a)(Tính chuyển đổi)

{f (x − a)} = e−ika {f (x)}

(1.6)

(b)(Tính mở rộng)
1
k
F( )
|a| a

(1.7)

{f (−x)} = {f (x)}

(1.8)

{eiax f (x)} = F (k − a)

(1.9)

{F (x)} = f (−k)

(1.10)

{f (ax)} =
(c)(Tính liên hợp)

(d)(Phép tịnh tiến)

(e)(Tính đối ngẫu)

(f)(Tính hợp thành)
∞

∞

F (k)g(k)eikx dk =

f (ξ)G(ξ − x)dξ

(1.11)

−∞

−∞

Ở đây G(k) = {g(x)}.
Định lý 1.1.4. Nếu f (x) là hàm khả tích tuyệt đối thì:
(i) F (k) bị chặn trong −∞ < k < ∞.
(ii) F (k) liên tục trong −∞ < k < ∞.
Chứng minh. Theo định nghĩa ta có:

∞

1
|F (k)| ≤ √
2π

∞

e−ikx
−∞

1
|f (x)| dx = √
2π

−∞

c
|f (x)|dx = √ ,
2π

∞

|f (x)|dx = const. Ta chứng minh được (i). Ta đi chứng minh

với c =
−∞

(ii), ta có:
∞

1
|F (k + h) − F (k)| ≤ √
2π
Khóa Luận Tốt Nghiệp

∞

e−ihx − 1 |f (x)| dx ≤
−∞

2
π

|f (x)|dx,
−∞

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


11

khi lim e−ihx − 1 = 0 với mọi x ∈ R, ta thu được:
h→0

∞

1
lim |F (k + h) − F (k)| ≤ lim √
h→0

h→0
2π

e−ihx − 1 |f (x)| dx = 0,
−∞

ta thấy rằng F (k) liên tục.
Định lý 1.1.5 (Bổ đề Riemann - Lebesgue). Nếu F (k) = {f (x)} thì:
lim |F (k)| = 0.

|k|→∞

Định lý 1.1.6. Nếu f (x) khả vi liên tục và f (x) → 0 khi x → ∞ thì:
{f (x)} = (ik) {f (x)} = ikF (k).
1.1.2

(1.12)

Tích chập đối với phép biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.1.5 (tích chập). Tích chập của 2 hàm số khả tích f (x)
và g(x) đối với phép biến đổi tích phân Fourier được ký hiệu (f ∗ g)(x)
và được xác định bởi
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
2π

f (x − ξ)g(ξ)dξ.

(1.13)

−∞

Trong q trình nghiên cứu về tích chập, nhân tử

√1
2π

thường bị bỏ

qua và khơng gây ảnh hưởng gì đến các tính chất của tích phân dạng
chập. Vì vậy, nhân tử

√1
2π

nhiều lúc có thể bỏ qua.

Ví dụ 1.1.3.
Tìm tích chập của f (x) = cos(x) và g(x) = exp(−a |x|), a > 0
Ta có:
∞

(f ∗ g)(x) =

∞

f (x − ξ)g(ξ)dξ =

−∞

−∞
∞

0

cos(x − ξ)eaξ dξ +

=
−∞
0

=

cos(x − ξ)e−a|ξ| dξ

cos(x − ξ)e−aξ dξ

0
−aξ

cos(x + ξ)e
−∞

∞

= 2 cos x
0

Khóa Luận Tốt Nghiệp

∞

dξ +

cos(x − ξ)e−aξ dξ

0

cos ξe−aξ dξ =

2a cos x
(1+a2 ) .

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


12

Định lý 1.1.7 (định lý tích chập). Nếu

{f (x)} = F (k) và

{g(x)} =

G(k) thì:
{(f ∗ g)(x)} = F (k)G(k),

(1.14)

−1

(1.15)

hay
(f ∗ g)(x) =

{F (k)G(k)},

hoặc tương đương với
∞

∞

eikx F (k)G(k)dk.

f (x − ξ)g(ξ)dξ =
−∞

(1.16)

−∞

Tính chất đại số của tích chập

Tích chập có các tính chất đại số sau:
(a)(Giao hốn)
f ∗ g = g ∗ f.
(b)(Kết hợp)

f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h.
(c)(Phân phối)
(αf + βg) ∗ h = α(f ∗ h) + β(g ∗ h).
(d)(Đồng nhất)
f∗

√

2πδ = f =

√

2πδ ∗ f.

Định lý 1.1.8 (đẳng thức Parseval cho biến đổi Fourier). Nếu {f (x)} =
F (k) và

{g(x)} = G(k) thì:
∞

∞

f (x)g(x)dx =
−∞

Khóa Luận Tốt Nghiệp

F (k)G(k)dk.

(1.17)

−∞

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


13

1.2
1.2.1

Phép biến đổi Fourier sin và Fourier cosin
Định nghĩa và tính chất

Trong cơng thức (1.5) chúng ta biểu diễn hàm số mũ exp [ik(x − ξ)] ở
dạng hàm lượng giác và sử dụng tính chẵn, lẻ của các hàm sin và cosin
tương ứng. Như vậy (1.5) có thể viết lại
∞

1
f (x) =
π

∞

f (ξ) cos k(x − ξ)dξ.

dk

(1.18)

−∞

0

Đây là một phiên bản khác của cơng thức tích phân Fourier. Trong nhiều
vấn đề vật lý, hàm f (x) triệt tiêu rất nhanh khi |x| → ∞ đảm bảo sự
tồn tại của tích phân lặp (1.18). Xét hàm f (x) là một hàm chẵn và khai
triển hàm cosin trong (1.18), ta thu được:
∞

2
f (x) = f (−x) =
π

∞

cos kxdk
0

f (ξ) cos kξdξ.

(1.19)

0

Đây được gọi là cơng thức tích phân Fourier cosin. Tương tự, cho một
hàm lẻ f (x), ta thu được công thức tích phân Fourier sin:
∞

∞

2
f (x) = −f (−x) =
π

f (ξ) sin kξdξ.

sin kxdk
0

(1.20)

0

Từ cơng thức tích phân (1.19),(1.20) đưa đến định nghĩa phép biến đổi
Fourier cosin, Fourier sin như sau:
Định nghĩa 1.2.1 (phép biến đổi Fourier cosin). Phép biến đổi Fourier
cosin của hàm f được ký hiệu
c {f (x)}

= Fc (k),

và được xác định bởi
∞
c {f (x)}

= Fc (k) =

2

π

cos kxf (x)dx.

(1.21)

0

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


14

Ví dụ 1.2.1.
−ax
}
c {e

=

2
a
,a > 0
π (a2 + k 2 )

Thật vậy,
∞
−ax

}
c {e

=

∞

1
e−ax cos kxdx =
2

2
π

2
π

0

[e−(a−ik)x + e−(a+ik)x ]dx.
0

Do đó:
−ax
}
c {e

=

1

2

2
1
1
[
+
]=
π a − ik a + ik

2
a
.
π (a2 + k 2 )

Định nghĩa 1.2.2 (phép biến đổi Fourier cosin ngược). Phép biến đổi
Fourier cosin ngược được xác định:
∞
−1
c {Fc (k)}

2
π

= f (x) =

cos kxFc (k)dk.

(1.22)

0

Định nghĩa 1.2.3 (phép biến đổi Fourier sin). Phép biến đổi tích phân
Fourier sin được ký hiệu
s {f (x)}

= Fs (k),

và được xác định
∞
s {f (x)}

= Fs (k) =

2
π

sin kxf (x)dx.

(1.23)

0

Ví dụ 1.2.2. Với hàm:
x

2
erfc(x) = √
π

e−α dα.
0

Tìm:
s {erfc (ax)} .

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


15

Ta có:
∞
s {erfc (ax)}

2
π

=

√

erfc (ax) sin kxdx
0
∞

2 2
=

π

∞

ax

0

√
2 2
=
π
√

exp(−t2 )dt

sin kxdx

t/a

∞

exp(−t2 )dt
0
∞

sin kxdx
0

kt

2 2
exp(−t2 ) 1 − cos( ) dt
πk
a
0
√ √
√
2 2
π
π
k2
=
−
exp − 2
πk
2
2
4a
k2
21
1 − exp − 2
.
=
πk
4a
=

Định nghĩa 1.2.4 (phép biến đổi Fourier sin ngược). Phép biến đổi
Fourier sin ngược được xác định:
∞

−1
s {Fs (k)}

= f (x) =

2
π

sin kxFs (k)dk.

(1.24)

0
c {f (x)}

Định lý 1.2.1. Nếu

= Fc (k) và

s {f (x)}

= Fs (k) thì:

1
k
= Fc ( ), a > 0,
(1.25)
a
a
1

k
(1.26)
s {f (ax)} = Fs ( ), a > 0.
a
a
Chú ý 1.2.1. Với điều kiện thích hợp thì các tính chất sau là đúng:
c {f (ax)}

c {f

c {f

s {f

Khóa Luận Tốt Nghiệp

(x)} = kFs (k) −

2
f (0).
π

2
f (0).
π
s {f (x)} = −kFc (k).

(x)} = −k 2 Fc (k) −

(x)} = −k 2 Fs (k) +

2
kf (0).
π

(1.27)
(1.28)
(1.29)
(1.30)

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


16

1.2.2

Tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosin và Fourier
sin

Định nghĩa 1.2.5 (Tích chập Fourier cosin). Tích chập của hai hàm
f, g đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosin được ký hiệu (f ∗ g)(x)
c

và được xác định
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
c

2π

f (ξ)[g(x + ξ) + g(|x − ξ|]dξ.
0

Định lý 1.2.2 (định lý tích chập Fourier cosin). Nếu
và

c {g(x)}

c {f (x)}

= Fc (k)

= Gc (k) thì
c {(f

∗ g)(x)}(k) = Fc (k)Gc (k),

(1.31)

c

hay tương đương:
∞

∞

1
Fc (k)Gc (k) cos kxdk =

2

f (ξ)[g(x + ξ) + g(|x − ξ|]dξ.

(1.32)

0

0

Định nghĩa 1.2.6 (Tích chập Fourier sin). Tích chập của hai hàm f, g
đối với phép biến đổi tích phân Fourier sin được ký hiệu (f ∗ g)(x) và
s

được xác định
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
s
2π

f (ξ)[g(|x − ξ| − g(x + ξ)]dξ.
0

Định lý 1.2.3 (định lý tích chập Fourier sin). Nếu
và

s {g(x)}

s {f (x)}

= Fs (k)

= Gs (k) thì
s {(f

∗ g)(x)}(k) = Fs (k)Gs (k),
s

(1.33)

hay tương đương:
∞

∞

1
Fs (k)Gs (k) sin kxdk =
2
0

Khóa Luận Tốt Nghiệp

f (ξ)[g(|x − ξ|] − g(x + ξ)dξ.

(1.34)

0

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


17

Định lý 1.2.4 (đẳng thức Parseval cho biến đổi Fourier cosin).
∞

∞

|Fc (k)|2 dk =
0

|f (x)|2 dx

(1.35)

0

Định lý 1.2.5 (đẳng thức Parseval cho biến đổi Fourier sin).
∞

∞
2

|f (x)|2 dx

|Fs (k)| dk =
0

1.3
1.3.1

(1.36)

0

Phép biến đổi Laplace
Định nghĩa và tính chất

Từ cơng thức tích phân Fourier (1.5) ta biểu diễn hàm f1 (x) trên R
như sau:

∞

1
f1 (x) =
2π

∞

eikx dk
−∞

e−ikt f1 (t)dt.

(1.37)

−∞

Ta có f1 (x) ≡ 0 trong x ∈ (−∞; 0):
f1 (x) = e−cx f (x)H(x) = e−cx f (x), x > 0.

(1.38)

Với H(x) là hàm bước nhảy (hay hàm dời) Heaviside được xác định:

1 nếu x > 0
H(x) =
.
0 nếu x ≤ 0
Với c là số dương cố định thì (1.37) trở thành
ecx
f (x) =
2π

∞

∞

eikx
−∞

exp{−t(c + ik)}f (t)dt.

(1.39)

0

Đổi biến c + ik = s, idk = ds, ta viết lại (1.39) là

ecx
f (x) =
2πi

c+i∞

e−st f (t)dt.

exp{(s − c)x}ds
c−i∞

Khóa Luận Tốt Nghiệp

∞

(1.40)

0

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


18

Định nghĩa 1.3.1 (phép biến đổi Laplace ). f (t) là hàm (có thể là hàm
số phức) biến số thực t, t > 0 thì phép biến đổi Laplace của hàm f (t)
được định nghĩa bởi tích phân sau:
∞

L{f (t)} = f¯(s) =

e−st f (t)dt, Re s > 0 .

(1.41)

0

Với e−st là hạt nhân của phép biến đổi, s là biến phức của phép biến đổi.
Định nghĩa 1.3.2 (phép biến đổi Laplace ngược). Theo công thức (1.40)
ta định nghĩa phép biến đổi ngược của phép biến đổi Laplace như sau:
c+i∞

1
L−1 {f¯(s)} = f (t) =
2πi

est f¯(s)ds, c > 0.

(1.42)

c−i∞

Hiển nhiên L và L−1 là tốn tử tích phân tuyến tính.
Ví dụ 1.3.1. Nếu f (t) = 1 khi t > 0 thì
∞

1
e−st dt = .
s

f¯(s) = L{1} =
0

Ví dụ 1.3.2. Nếu f (t) = eat , a = const thì
∞

L{eat } = f¯(s) =

e−(s−a)t dt =

1
, s > a.
s−a

0

Định nghĩa 1.3.3 (hàm số mũ cấp a). Hàm f (t) được gọi là hàm số
mũ cấp a, (a > 0) và t ∈ [0; ∞) nếu tồn tại một hằng số dương K sao
cho với mọi t > T :
|f (t)| ≤ Keat .

(1.43)

Kí hiệu: f (t) = O(eat ); t → ∞. Tương tự ta có:
lim e−bt |f (t)| ≤ K lim e−(b−a)t = 0, b > a.

t→∞

t→∞

(1.44)

Đơn giản ta gọi hàm f (t) là số mũ cấp khi t → ∞ và f (t) không bao giờ
lớn hơn Keat khi t → ∞.
Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


19

Định lý 1.3.1 (điều kiện tồn tại của phép biến đổi Laplace). Nếu hàm
f (t) liên tục hoặc liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn (0; T ), và
số mũ cấp eat , thì phép biến đổi Laplace của f (t) tồn tại với mọi s khi
Re s > a
Chứng minh.
Ta có:
f¯(s) =

∞

−st

e

∞

f (t)dt ≤

0

e

−st

∞

|f (t)| dt ≤ K

e−t(s−a) dt =

0

0

K
s−a ,

khi Re s > a.
Định lý 1.3.2. Nếu L{f (t)} = f¯(s) thì
L{e−at f (t)} = f¯(s + a).

(1.45)

với a là hằng số thực
Chứng minh. Theo định nghĩa ta có:
∞

e−(s+a)t f (t)dt = f¯(s + a).

L{f (t)} =
0

Định lý 1.3.3. Nếu L{f (t)} = f¯(s) thì
L{f (t)H(t − a)} = e−as f¯(s) = e−as L{f (t)},

(1.46)

Hay tương đương
L{f (t)H(t − a)} = e−as L{f (t + a)}.

(1.47)

Với hàm H(t − a) được định nghĩa như sau:

1 nếu t > a
H(t − a) =
.
0 nếu t <= a
Định lý 1.3.4. Nếu L{f (t)} = f¯(s) thì
L{f (t)} = sL{f (t)} − f (0) = sf¯(s) − f (0),
Khóa Luận Tốt Nghiệp

(1.48)

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


20

L{f (t)} = s2 L{f (t)} − sf (0) − f (0) = s2 f¯(s) − sf (0) − f (0), (1.49)

hay tổng quát hơn là:
L{f n (t)} = sn f¯(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f (0) − ... − sf n−2 (0) − f n−1 (0).

(1.50)
1.3.2

Tích chập đối với phép biến đổi Laplace

Định lý 1.3.5 (Định lý tích chập của phép biến đổi Laplace). Nếu
L{f (t)} = f¯(s) và L{g(t)} = g¯(s) thì
L{f (t) ∗ g(t)} = L{f (t)}L{g(t)} = f¯(s)¯
g (s).

(1.51)

hay tương đương
L−1 {f¯(s)¯
g (s)} = f (t) ∗ g(t).

(1.52)

Ở đây,f (t) ∗ g(t) được gọi là tích chập của f (t) và g(t) và được xác định
bởi tích phân
t

f (t) ∗ g(t) =

f (t − τ )g(τ )dτ .

(1.53)

0

Chú ý 1.3.1. Tích chập có các tính chất sau đây:
f (t) ∗ {g(t) ∗ h(t)} = {f (t) ∗ g(t)} ∗ h(t),

(1.54)

f (t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f (t).

(1.55)

f (t) ∗ {ag(t) + bh(t)} = af (t) ∗ g(t) + bf (t) ∗ h(t).

(1.56)

f (t) ∗ {ag(t)} = {af (t)} ∗ g(t) = a{f (t) ∗ g(t)}.

(1.57)

L{f1 ∗ f2 ∗ f3 ∗ ... ∗ fn } = f¯1 (s)f¯2 (s)...f¯n (s).

(1.58)

L{f ∗n } = {f¯(s)}n .

(1.59)

Với a, b là const, f ∗n = f ∗ f ∗ f ∗ ... ∗ f là tích chập cấp n

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


21

1.4

Phép biến đổi Hankel

Định nghĩa 1.4.1 (biến đổi Fourier và nghịch đảo trong không gian 2
chiều).
∞

∞

1
{f (x, y)} = F (k, l) =
2π

exp{−i(κ·r)}f (x, y)dxdy,

(1.60)

−∞ −∞
∞

∞

1
−1
{F (k, l) = f (x, y) =
2π

exp{−i(κ·r)}F (k, l)dkdl,

(1.61)

−∞ −∞

với r = (x, y) và κ = (k, l).
Định nghĩa 1.4.2 (tích phân của hàm Bessel).
2π+φ0

Jn (κr) =

1
2π

exp[i(nα − κr sin α)]dα.

(1.62)

φ0

Nhận xét 1.4.1. Với (x, y) = r(cos θ, sin θ) và (k, l) = κ(cos φ, sin φ) để
κ · r = κr cos(θ − φ) thì

∞

1
F (κ, φ) =
2π

2π

exp[−iκr cos(θ − φ)]f (r, θ)dθ.

rdr
0

(1.63)

0

Giả sử f (r, θ) = exp(inθ)f (r) và đổi biến θ − φ = α − π2 ta rút gọn (1.63)
được:
2π+φ0

∞

1
F (κ, φ) =
2π

π
exp[in(φ − )+i(nα−κr sin α)]dα (1.64)
2

rf (r)dr
0

φ0

với φ0 = ( π2 − φ)
Ta sử dụng cơng thức tích phân Bessel (1.62) khi đó tích phân (1.64) trở
thành:
∞

π
F (κ, φ) = exp[in(φ − )]
2

rJn (κr)f (r)dr

(1.65)

0

π
= exp[in(φ − )]f˜n (κ).
2
Khóa Luận Tốt Nghiệp

(1.66)
SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp

22

Định nghĩa 1.4.3 (phép biến đổi Hankel). f˜n (κ) được gọi là biến đổi
Hankel của f (r) được định nghĩa là:
∞

Hn {f (r)} = f˜n (κ) =

rJn (κr)f (r)dr.

(1.67)

0

Nhận xét 1.4.2. Giả định rằng (1.66) thì biến đổi Fourier ngược (1.4.1)
trở thành
∞

1
einθ f (r) =
2π

2π

exp[iκr cos(θ − φ)]F (κ, φ)dφ

κdκ
0
∞

1
=
2π

0
2π

π
exp[in(φ − ) + iκ cos(θ − φ)]dφ.
2

κf˜n (κ)dκ
0

0

π
π
đổi biến θ − φ = −(α + ) vàθ0 = −(θ + )
2
2
∞

1
=
2π

2π+θ0

κf˜n (κ)dκ

0

exp[in(θ + α) − iκr sin α]dα
θ0

∞

κJn (κr)f˜n (κ)dκ.

= einθ
0

Định nghĩa 1.4.4 (Phép biến đổi Hankel ngược). Nghịch đảo biến đổi
Hankel được xác định:
∞

κJn (κr)f˜n (κ)dκ.

Hn−1 [f˜n (κ)] = f (r) =

(1.68)

0

Nhận xét 1.4.3 (cơng thức tích phân Hankel). Cơng thức tích phân
Hankel là
∞

∞

κJn (κr)f˜n (κ)dκ

f (r) =
0

pJn (κp)f (p)dp.

(1.69)

0

Ví dụ 1.4.1. Biến đổi Hankel bậc 0 của r−1 exp(−ar) là
∞

1
f˜(κ) = H0 { exp(−ar)} =
r

exp(−ar)J0 (κr)dr = √
0

Khóa Luận Tốt Nghiệp

1
.
κ2 + a2

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp

23

Ví dụ 1.4.2. Biến đổi Hankel bậc 1 của f (r) = e−ar là
∞

f˜(κ) = H1 {e−ar } =

re−ar J1 (κr)dr =
0

κ
3

(a2 + κ2 ) 2

.

Định lý 1.4.1 (tính tỉ lệ của tích phân Hankel). Nếu Hn {f (r)} = f˜n (κ)
thì
Hn {f (ar)} =

1 ˜ κ
fn ( ), a > 0.
a2
a

(1.70)

Chứng minh. Theo định nghĩa ta có,
∞

∞

1
rJn (κr)f (ar)dr = 2
a

Hn {f (ar)} =
0

κ
1
κ
sJn ( s)f (s)ds = 2 f˜n ( ).
a
a
a
0

Định lý 1.4.2 (đạo hàm của biến đổi Hankel). Nếu f˜n (κ) = Hn {f (r)}
thì
Hn {f (r)} =

κ
[(n − 1)f˜n+1 (κ) − (n + 1)f˜n−1 (κ)], n ≥ 1,
2n
H1 {f (r)} = −κf˜0 (κ),

(1.71)
(1.72)

với [rf (r)] triệt tiêu khi r → 0 và r → ∞.
Định lý 1.4.3. Nếu Hn {f (r)} = f˜n (κ) thì
n2
1 d df
n2
Hn {(∇ − 2 )f (r)} = Hn {
(r ) − 2 f (r)} = −κf˜n (κ),
r
r dr dr
r
2

(1.73)

với rf (r) và rf (r) triệt tiêu khi r → 0 và r → ∞.
Định lý 1.4.4 (đẳng thức Parseval cho phép biến đổi Hankel). Nếu
f˜(κ) = Hn {f (r)} và g˜(κ) = Hn {g(r)} thì
∞

∞

κf˜(κ)˜
g (κ)dκ.

rf (r)g(r)dr =
0

Khóa Luận Tốt Nghiệp

(1.74)

0

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


24

Chứng minh. Về mặt hình thức ta được:
∞

∞

κf˜(κ)˜
g (κ)dκ =
0

∞

κf˜(κ)dκ
0

rJn (κr)g(r)dr
0

Hốn vị thứ tự phép lấy tích phân
∞

=

∞

κJn (κr)f˜(κ)dκ =

rg(r)dr
0

Khóa Luận Tốt Nghiệp

∞

0

rg(r)f (r)dr
0

SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp


25

Chương 2
MỘT SỐ ỨNG DỤNG

2.1
2.1.1

Ứng dụng của phép biến đổi Fourier
Giải phương trình vi phân thường

Xét phương trình vi phân thường cấp n với hệ số hằng
Ly(x) = f (x),

(2.1)

L là toán tử vi phân cấp n sinh bởi:
L ≡ an Dn + an−1 Dn−1 + ... + a1 D + a0 ,
với an , an−1 , ..., a1 , a0 là const, D ≡

d
dx

(2.2)

là hàm sinh. Áp dụng biến đổi

Fourier cho cả 2 phía của (2.1) ta được:
[an (ik)n + an−1 (ik)n−1 + ... + a1 (ik) + a0 ]Y (k) = F (k),
ở đây,

{y(x)} = Y (k) và

{f (x)} = F (k). Hay tương đương,
P (ik)Y (k) = F (k),

với

n

ar z r .

P (z) =
r=0

Như vậy
Y (k) =

F (k)
= F (k)Q(k),
P (ik)

với
Q(k) =

Khóa Luận Tốt Nghiệp

(2.3)

1
.
P (ik)
SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp