Rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp cho học sinh thông qua việc giải bài tập hình học không gian lớp 11

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:
RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN CÁC THAO TÁC TƢ DUY
PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP CHO HỌC SINH THƠNG QUA
VIỆC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11

Sinh viên thực hiện : Lê Hoàng Thảo My
Chuyên ngành

: Sƣ phạm tốn học

Lớp

: 11ST

Ngƣời hƣớng dẫn : Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2015


Khóa Luận

LỜI CẢM ƠN
Để hồn thành khóa luận này, tơi xin chân thành cảm ơn cô giáo – Th.S Ngô
Thị Bích Thủy đã tận tình, chu đáo hƣớng dẫn tơi trong suốt thời gian hồn thành
khóa luận. Bên cạnh đó, tôi cũng xin cảm ơn tổ thƣ viện trƣờng ĐHSP-ĐHĐN đã
hỗ trợ tơi trong q trình tìm tài liệu cho khóa luận. Và cuối cùng, tơi xin cảm ơn
các bạn lớp 11ST đã đóng góp ý kiến để khóa luận đƣợc hoàn chỉnh.

Đà Nẵng, ngày 24 tháng 04 năm 2015
Lê Hoàng Thảo My

1


Khóa Luận

MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA
LỜI CẢM ƠN .........................................................................................................1
MỤC LỤC...............................................................................................................2
MỞ ĐẦU .................................................................................................................4
1. Lý do chọn đề tài...........................................................................................4
2. Mục đích .......................................................................................................5
3. Nhiệm vụ .......................................................................................................5
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ..............................................................................5
5. Cấu trúc nghiên cứu khoa học ......................................................................6
CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN ..............................................................................7
I.1. Thao tác tƣ duy phân tích và tổng hợp .......................................................7
I.1.1. Khái niệm của hai thao tác tƣ duy phân tích và tổng hợp ..................7
I.1.2. Mối liên hệ giữa hai thao tác tƣ duy phân tích và tổng hợp ...............9
I.1.3. Tác dụng của hai thao tác tƣ duy phân tích và tổng hợp ....................10
I.2. Dạy học giải bài tập toán .............................................................................11
I.2.1. Yêu cầu cơ bản khi giải bài toán .........................................................11

2


Khóa Luận

I.2.2. Các bƣớc tiến hành khi dạy giải bài tốn (bốn bƣớc giải của Polya)..13
I.3. Đặc điểm hình học không gian lớp 11 ..........................................................15
I.4. Thực trạng dạy và học hình học khơng gian lớp 11 ở phổ thơng .................15
CHƢƠNG II: RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN CÁC THAO TÁC TƢ DUY
PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP CHO HỌC SINH THƠNG QUA VIỆC GIẢI BÀI
TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 ............................................................17
II.1. Các bài toán cơ bản ....................................................................................17
II.1.1. Bài toán 1 ..........................................................................................17
II.1.2. Bài toán 2 ..........................................................................................19
II.1.3. Bài toán 3 ..........................................................................................23
II.1.3. Bài toán 4 ..........................................................................................26
II.2. Các bài toán nâng cao...................................................................................28
II.2.1. Bài toán 1 ...........................................................................................28
II.2.2. Bài toán 2 ...........................................................................................30
II.2.3. Bài toán 3 ...........................................................................................33
KẾT LUẬN .............................................................................................................40
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................41

3


Khóa Luận

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nâng cao chất lƣợng dạy học nói chung, chất lƣợng dạy học mơn tốn nói
riêng đang là một u cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nƣớc ta hiện nay. Để
thực hiện yêu cầu này bƣớc quan trọng là đổi mới nội dung và phƣơng pháp dạy
học.

Dạy học là quá trình thống nhất biện chứng giữa việc dạy của thầy và việc
học của trị. Muốn nâng cao chất lƣợng dạy học thì chúng ta cần phải quan tâm
nhiều đến hoạt động học tập của học sinh. Điều đó địi hỏi giáo viên phải tổ chức
việc dạy tốn sao cho học sinh ln ln đứng trƣớc những vấn đề mang tính tốn
học cần giải quyết. Chính những tình huống có vấn đề sẽ kích thích học sinh tƣ
duy, tích cực suy nghĩ. Vì vậy, việc rèn luyện và phát triển các thao tác tƣ duy cho
học sinh là một nhiệm vụ cấp thiết trong công tác giảng dạy của ngƣời giáo viên.
Một trong những thao tác tƣ duy quan trọng đó là thao tác tƣ duy phân tích và tổng
hợp.
Tuy nhiên, việc rèn luyện các thao tác tƣ duy phân tích và tổng hợp cho học
sinh ở các trƣờng phổ thơng cịn nhiều hạn chế. Do đó, ngƣời giáo viên cần tìm
những nội dung kiến thức phù hợp để rèn luyện năng lực tƣ duy này cho học sinh.
Qua quá trình nghiên cứu Sách giáo khoa Hình học 11- Nâng cao, tơi nhận
thấy hai chƣơng “ Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song
song” và “ Vectơ trong không gian. Quan hệ vng góc” chứa nhiều yếu tố để rèn
luyện các thao tác tƣ duy phân tích và tổng hợp.
4


Khóa Luận

Với những lí do trên, tơi đã quyết định chọn đề tài “Rèn luyện và phát triển
các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp cho học sinh thơng qua việc giải bài
tập hình học khơng gian lớp 11”.
2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh rèn luyện các thao tác tƣ duy phân tích và tổng hợp thơng qua
việc giải bài tập hình học khơng gian lớp 11.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt đƣợc những mục đích trên, bài khóa luận có những nhiệm vụ:
a) Trên cơ sở nghiên cứu tài liệu và sách giáo khoa hình học nâng cao 11, nêu

ra một số nội dung của việc rèn luyện tƣ duy phân tích và tổng hợp cho học
sinh.
b) Đƣa ra hai dạng bài tập cơ bản và bài tập nâng cao để rèn luyện và phát triển
tƣ duy cho học sinh theo mức độ khó dần.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
a) Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa hình học nâng
cao 11, sách tham khảo và các tài liệu trên mạng khác.
b) Phƣơng pháp nghiên cứu thực tế: Tiến hành tìm hiểu sơ bộ và rút ra một số
nhận xét về việc rèn luyện tƣ duy cho học sinh khi học hình học khơng gian lớp 11
ở trƣờng phổ thông.

5


Khóa Luận

c) Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: Sử dụng thao tác phân tích và tổng hợp qua
một số giờ dạy ở các lớp đã chọn. Trên cơ sở đó đánh giá, bổ sung và sửa đổi để
bài dạy tốt hơn.
5. Nội dung nghiên cứu
Gồm ba phần:
- Phần mở đầu:
- Phần nội dung: có hai chƣơng
+ Chƣơng I: Cơ sở lí luận.
+ Chƣơng II: Rèn luyện và phát triển các thao tác tƣ duy phân tích và tổng
hợp cho học sinh thơng qua việc giải bài tập hình học khơng gian lớp 11.
- Phần kết luận:

6

Khóa Luận

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Thao tác tƣ duy phân tích và tổng hợp
Thao tác tƣ duy phân tích và tổng hợp là hai thao tác cơ bản nhất của mọi quá
trình tƣ duy.
1.1.1. Khái niệm của hai thao tác tƣ duy phân tích và tổng hợp
1.1.1.1. Thao tác phân tích
Phân tích là q trình tách các bộ phận của sự vật, hiện tƣợng tự nhiên của
hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng cũng nhƣ các mối liên hệ và
quan hệ giữa chúng theo một hƣớng xác định.
Ví dụ:
Phân tích một bài tốn đƣợc hiểu là tách các yếu tố trong bài toán làm cho nó
xuất hiện hết các yếu tố (yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm, các số liệu,..) đồng thời làm
xuất hiện mối liên hệ giữa các yếu tố, từ đó xuất hiện cấu trúc, mơ hình các dạng
tốn quen thuộc.
Q trình phân tích nhằm mục đích nghiên cứu chúng một cách đầy đủ, sâu
sắc hơn và chính nhƣ vậy mới nhận thức đƣợc một cách trọn vẹn các sự vật, hiện
tƣợng.

7


Khóa Luận

1.1.1.2. Thao tác tổng hợp
Tổng hợp là một hoạt động nhận thức phản ánh của tƣ duy, dùng trí óc hợp lại
các phần của cái toàn thể hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác
nhau đã đƣợc tách ra nằm trong cái tồn thể.

Ví dụ:
Sau khi học bài “Khoảng cách”, thì ta tổng hợp lại các cách xác định khoảng
cách của hai đƣờng thẳng chéo nhau a và b nhƣ sau:
- Cách 1: xác định đoạn vng góc chung IJ của a và b .
Khi đó d  a; b   IJ
- Cách 2: Tìm mặt phẳng  P  , sao cho:

 P  a
 P  // b
Khi đó d  a; b   d  b;  P  
- Cách 3: Tìm hai mặt phẳng  P  ,  Q  sao cho:

 P  a
Q   b
 P  //  Q 
8


Khóa Luận

Khi đó d  a; b   d   P  ;  Q  
Trong tƣ duy, tổng hợp là thao tác đƣợc xem là mang dấu ấn sáng tạo và gắn
với tƣ duy sáng tạo.
1.1.2. Mối liên hệ giữa hai thao tác tƣ duy phân tích và tổng hợp
Phân tích và tổng hợp khơng bao giờ tách rời nhau, chúng là hai mặt đối lập
của q trình thống nhất; bởi vì trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái
tồn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó vì phân tích một cái toàn thể ra
thành từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ mối liên hệ giữa các phần của
cái tồn thể ấy. Phân tích một cái tồn thể chính là con đƣờng để nhận thức cái
tồn thể sâu sắc hơn.

Sự thống nhất giữa phân tích và tổng hợp cịn đƣợc thể hiện ở chỗ: cái tồn
thể ban đầu (tổng hợp I) định hƣớng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích ở mặt nào,
khía cạnh nào. Kết quả của sự phân tích là cái tồn thể ban đầu đƣợc nhận thức sâu
sắc hơn (tổng hợp II).
Ví dụ: Để chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi, thì trƣớc hết ta nhớ lại khái
niệm hình thoi: “Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau”. Khi đó ta
sẽ phân tích nhƣ sau:
- Ý thứ nhất: tứ giác ABCD là hình bình hành thì có thể chứng minh một
trong ba trƣờng hợp:
+ Có hai cặp cạnh đối song song.
+ Có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
9


Khóa Luận

+ Có hai đƣờng chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đƣờng.
- Ý thứ 2: Có hai cạnh kề bằng nhau thì có thể chứng minh:
AB  BC hoặc AB  AD hoặc AD  DC hoặc DC  BC

Sau đó tùy thuộc vào giả thiết của bài tốn mà ta tổng hợp lại để chứng minh
đƣợc tứ giác ABCD là hình thoi.
1.1.3. Tác dụng của hai thao tác tƣ duy phân tích và tổng hợp
Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trƣờng hợp riêng lẻ
nằm trong một khái niệm, một định lí, …..
Ví dụ:
Sau khi học định lí: “ Nếu mặt phẳng  P  chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau
và cùng song song với mặt phẳng  Q  thì  P  //  Q  ”. Nếu gặp bài toán chứng
minh hai mặt phẳng  P  và  Q  song song với nhau thì học sinh sẽ dựa vào các dữ
kiện của bài tốn để có thể áp dụng định lí một cách phù hợp. Cụ thể, ta phải đi

phân tích nhƣ sau:
+ Tìm đƣờng thẳng a sao cho a   P  và a //  Q 
+ Tìm đƣờng thẳng b sao cho b   P  và b //  Q 
+ Hai đƣờng thẳng a và b phải cắt nhau
Từ những thuộc tính riêng lẻ đó, học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính xác,
đầy đủ một đối tƣợng.
10


Khóa Luận

Ví dụ:
Từ ví dụ trên, nếu ta đã tìm đƣợc hai đƣờng thẳng a và b nhƣ thế thì ta đã
chứng minh đƣợc  P  //  Q  .
Đây là hai thao tác cơ bản đƣợc sử dụng để tiến hành những thao tác khác.
1.2. Dạy học giải bài tập toán
1.2.1. Yêu cầu cơ bản khi dạy giải bài tốn
Lời giải khơng có sai lầm: Lời giải khơng có sai sót về kiến thức tốn học, về
suy luận và tính tốn, về hình vẽ và kí hiệu, về trình bày, …
Ví dụ:
Khi giải phƣơng trình

sin x
 0 , học sinh chỉ nêu điều kiện là cos x  0 và
tan x

giải ra nghiệm của sin x  0 mà qn rằng cịn phải có thêm điều kiện sin x  0 ,
nên phƣơng trình vơ nghiệm.
Lời giải phải có cơ sở lí luận: Nghĩa là phải dựa vào các định nghĩa, định lí,
tính chất, qui tắc, cơng thức,… đã đƣợc học, các giả thiết đã cho.

Ví dụ:
Khi giải bất phƣơng trình

x
 1  x thì lập tức suy ra x  (1  x)(1  x) với
1 x

điều kiện x  1. Mà không để ý rằng khi nhân hai vế của bất phƣơng trình cho
một số dƣơng thì bất phƣơng trình mới giữ nguyên chiều và nhân hai vế của bất
phƣơng trình cho một số âm thì phải đổi chiều.
11


Khóa Luận

Lời giải phải đầy đủ: Lời giải phải bao hàm hết tất cả các khả năng có thể xảy
ra đối với một tình huống.
Ví dụ:
Cho AB và điểm C , hãy dựng điểm D sao cho CD  AB . Thì học sinh
thƣờng chỉ xét trƣờng hợp C  AB
C

D

A

B

Mà thiếu sót trƣờng hợp C  AB

A

B

C

D

Lời giải đơn giản nhất:
Ví dụ:
Giải phƣơng trình (4  5) x 2  (2  5) x  6  0 . Nhiều học sinh giải bằng
cách lập  . Trong khi đó có lời giải đơn giản hơn là: nhận thấy a  b  c  0 , suy
ra hai nghiệm của phƣơng trình là x1  1 và x2 

12

6
8  2 5

3
4 5


Khóa Luận

1.2.2. Các bƣớc tiến hành khi dạy giải bài tốn (bốn bƣớc giải của Polya)
Bước 1: Phải tìm hiểu kĩ nội dung bài tập
- Cái gì phải tìm? Cái gì đã cho? Cái phải tìm cần thỏa mãn những điều kiện
gì? Những điều kiện đó có đủ để xác định cái phải tìm khơng? Có mâu thuẫn với
nhau khơng?

- Hãy vẽ hình thật cẩn thận.
- Hãy tách các điều kiện ra với nhau.
Bước 2: Xây dựng chƣơng trình giải
Để tìm đƣờng lối giải, phải tìm sự liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm; phải
dùng phƣơng pháp phân tích; nếu cần thì xét những bài tốn trung gian.
- Đã lần nào gặp bài tốn này chƣa? Có thể gặp bài tập dƣới một hình thức
khác?
- Đã gặp một bài tập tƣơng tự nhƣ thế chƣa?
- Hãy nghiên cứu cái phải tìm! Đã gặp bài tập nào có cái phải tìm tƣơng tự
chƣa?
- Đây là một bài tập đã giải và tƣơng tự bài tập phải làm. Bài tập ấy có giúp
ích gì khơng? Có thể áp dụng kết quả bài tập đó khơng? Có thể đƣa vào những
phần tử phụ để có thể áp dụng bài tập đã biết không?

13


Khóa Luận

- Có thể phát biểu bài tập dƣới một hình thức khác khơng? Hãy thay các khái
niệm trong đề bài bằng định nghĩa của chúng.
- Nếu chƣa tìm đƣợc lời giải của bài tập đã cho, hãy cố gắng giải một bài tập
tƣơng tự và dễ hơn. Có thể giải một phần của bài tập không? Hãy bỏ đi một vài
điều kiện của bài tập và xét sự thay đổi của cái phải tìm. Có thể nghĩ ra những giả
thiết khác để giúp xác định cái phải tìm khơng?
- Có thể biến đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai, để cho chúng gần
nhau hơn không?
- Đã sử dụng hết những cái đã cho chƣa? Đã xét hết các điều kiện chƣa? Đã
chú ý đến hết các khái niệm có trong đề bài chƣa?
Bước 3: Thực hiện chƣơng trình giải

Hãy kiểm tra từng bƣớc thực hiện. Có thấy rõ là từng bƣớc đều đúng khơng,
có thể chứng minh đƣợc khơng?
Bước 4: Nghiên cứu lời giải
- Có thể thử lại kết quả khơng? Có cần thử lại cả q trình giải khơng? Lời
giải đã đầy đủ chƣa? Triệt để chƣa?
- Có thể đi đến cùng bằng phƣơng pháp khác khơng? Có thể xét kết quả ở một
khía cạnh khác khơng?
- Có thể sử dụng phƣơng pháp giải hay kết hợp vào một bài tập khác đƣợc
không?

14


Khóa Luận

1.3. Đặc điểm hình học khơng gian lớp 11
Hình học không gian là môn học trừu tƣợng, đa dạng và phức tạp hơn hình
học phẳng nhƣng có mối liên hệ mật thiết với hình học phẳng. Đặc biệt rất gắn bó
với thực tế và tạo mối liên hệ Tốn học với thực tế đời sống con ngƣời.
Hình học khơng gian lớp 11 tập trung thể hiện hai nội dung:
+ Nội dung 1: Đƣờng thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song
song.
+ Nội dung 2: Vectơ trong không gian. Quan hệ vng góc.
Các bài tập của hai nội dung trên trong hình học khơng gian 11 nói riêng và
các bài tập trong hình học khơng gian nói chung đóng vai trị quan trọng trong q
trình rèn luyện năng lực các thao tác tƣ duy và trí tuệ cho học sinh, tạo cho học
sinh cơ hội để rèn luyện và phát triển thao tác tƣ duy phân tích và tổng hợp.
1.4. Thực trạng dạy và học hình học khơng gian lớp 11 ở phổ thông
Trong thời gian thực tập sƣ phạm ở trƣờng phổ thông, thông qua những tiết
dạy, tiết dự giờ và qua ý kiến thăm dò, khảo sát một số giáo viên ở trƣờng

thì tơi nhận thấy thực trạng dạy và học hình học khơng gian cịn có những khó
khăn :
- Việc phát huy năng lực phân tích, tổng hợp của học sinh chƣa thực sự đạt
hiệu quả.
- Học sinh cịn thụ động trong q trình lĩnh hội kiến thức, tính tự giác chƣa
cao, đặc biệt là những học sinh có học lực trung bình trở xuống.
15


Khóa Luận

Những khó khăn này do nhiều nguyên nhân :
- Hình học khơng gian là mơn học trừu tƣợng.
- Việc làm bài tập của học sinh cịn mang tính hình thức và đối phó.
- Việc rèn luyện thao tác phân tích, tổng hợp cho học sinh chƣa đƣợc quan
tâm đúng mức.
……
Thực trạng trên đã đặt ra yêu cầu cấp thiết là chúng ta phải chú trọng phát huy
năng lực phân tích và tổng hợp cho học sinh để giúp học sinh giải bài tập tốt hơn,
đặc biệt là các em có học lực trung bình trở xuống.

16


Khóa Luận

CHƢƠNG 2: RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN CÁC THAO
TÁC TƢ DUY PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP CHO HỌC
SINH THƠNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC
KHƠNG GIAN LỚP 11

2.1. Các bài toán cơ bản
2.1.1. Bài toán 1
Cho hai đƣờng thẳng a và b cắt nhau tại điểm I , đƣờng thẳng c cắt đƣờng
thẳng a tại điểm A ( A  I ), cắt đƣờng thẳng b tại điểm B ( B  I ). Chứng tỏ ba
đƣờng thẳng a, b, c cùng nằm trong một mặt phẳng.
Hoạt động giáo viên

Hoạt động học sinh

+ Giáo viên hƣớng dẫn học sinh phân + Học sinh đọc lại đề bài và phân tích
tích giả thiết và kết luận.
GT a  b  I

giả thiết, kết luận dƣới sự hƣớng dẫn
của giáo viên.

c  a  A, ( A  I )
c b  B, ( B  I )

KL a, b, c cùng thuộc một mặt phẳng

17


Khóa Luận

+ Cho học sinh vẽ hình

c

b

A
a

I

B

+ Trƣớc hết, chúng ta chú ý đến giả thiết
a  b  I và điều phải chứng minh

a, b, c cùng nằm trong một mặt phẳng .

+ a và b cắt nhau thì có tồn tại một mặt + Có tồn tại.
phẳng  P  chứa chúng không?
+ Vậy gọi  P  là mặt phẳng xác định
bởi hai đƣờng thẳng a và b thì khi đó
muốn chứng minh a , b , c cùng nằm
trong một mặt phẳng thì chỉ cần chứng
minh c   P  .
+ Hai điểm A và B có quan hệ nhƣ thế + A và B cùng thuộc mặt phẳng  P  .
nào với mặt phẳng  P  ?

A  c  a 
 A  a   P 
Vì 

B  c  b 
 A  b   P 

 A P

B   P 

+ Tổng hợp lại xem thử đã có thể chứng
minh c   P  chƣa?

18


Khóa Luận

+ A, B   P  , vậy theo định lí: “Nếu một
đƣờng thẳng đi qua hai điểm phân biệt
của một mặt phẳng thì mọi điểm của
đƣờng thẳng đều nằm trong mặt phẳng
đó” thì c   P  .
+ Kết luận

+ Vậy a , b , c cùng thuộc một mặt
phẳng.

* Từ bài toán này nếu chúng ta bỏ đi giả * Nếu A  B  I thì a , b , c có thể
thiết A  I và B  I thì a , b , c có cịn khơng cùng thuộc một mặt phẳng.
thuộc một mặt phẳng nữa khơng?
c

a
b

I

2.1.2. Bài tốn 2
Cho hai đƣờng thẳng chéo nhau a và b . Chứng minh rằng có duy nhất một
cặp mặt phẳng song song với nhau, mỗi mặt phẳng đi qua một trong hai đƣờng
thẳng ấy.

19


Khóa Luận

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

+ Giáo viên hƣớng dẫn học sinh phân + Học sinh đọc lại đề bài và phân tích
giả thiết, kết luận dƣới sự hƣớng dẫn

tích giả thiết kết luận.

của giáo viên.

GT a, b chéo nhau

 P   a , Q   b
 P  //  Q 
KL tồn tại duy nhất cặp mặt phẳng

 P  , Q 

+ Chú ý là bài tốn có hai u cầu:
1. Tồn tại hai mặt phẳng

 P

2. Có duy nhất hai mặt phẳng

và  Q 

 P

và

 P

và + Là quan hệ song song.

Q 
 Chứng minh tính tồn tại:
+ Quan hệ của hai mặt phẳng

 Q  là gì?
*  P  //  Q  nên ta dùng những kiến thức
song song vào để giải quyết bài toán
20


Khóa Luận

này.
+ Lấy A  a , qua A dựng đƣờng thẳng + a cắt b ' tại A .
b ' song song với b . Nhận xét quan hệ

giữa a và b ' ?
 a và b ' xác định một mặt phẳng

 P .
+ Tƣơng tự, lấy B  b , qua B dựng + a ' cắt b tại B .
đƣờng thẳng a ' song song với a . Nhận
xét quan hệ giữa a ' và b ?
 a ' và b xác định một mặt phẳng

Q  .
+ Cho học sinh vẽ hình.
A
P

a

b'

a'
Q

+ Khi đó, ta có: a   P  , b   Q  . Và
a // a '  a //  Q 

b ' // b  b ' //  Q 

21

B
b


Khóa Luận

  P  //  Q 

+ Kết luận

+ Vậy tồn tại hai mặt phẳng

 P

và

Q  .
 Chứng minh tính duy nhất
+ Để chứng minh tính duy nhất cho một
hình  H  ta thƣờng giả sử có một hình

H 
1

thỏa mãn u cầu bài tốn và tồn

tại độc lập với cách dựng đƣợc hình

 H  . Sau đó ta sẽ chứng minh theo hai
cách:
- Cách 1: Chứng minh  H    H1 
- Cách 2: Bổ sung giả thiết  H    H1 
Và chứng minh ra điều vơ lí để suy ra
điều giả sử là sai, suy ra  H    H1  .
+ Vận dụng một trong hai cách trên để + Giả sử có một cặp mặt phẳng  P ' ,
chứng minh bài toán trên.

 Q '

mà

 P '  a ,  Q '  b

và

 P ' //  Q ' . Khi đó  Q '  a ' (vì a // a ' )
và  P '  b ' (vì b ' // b ).

22


Khóa Luận

suy ra mp  Q ' đƣợc xác định bởi hai
đƣờng thẳng a ' và b và mp  P ' đƣợc
xác định bởi hai đƣờng thẳng a và b '
Vậy  P    P ' và  Q    Q ' .

2.1.3. Bài toán 3
Cho hai đƣờng thẳng cắt nhau b và c cùng nằm trong mặt phẳng  P  . Chứng
minh rằng nếu đƣờng thẳng a vng góc với cả b và c thì nó vng góc với mọi
đƣờng thẳng nằm trong mặt phẳng  P  .
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

+ Giáo viên hƣớng dẫn học sinh phân + Học sinh đọc lại đề bài và phân tích
tích giả thiết và kết luận.
GT b, c   P  ; b, c cắt nhau

giả thiết, kết luận dƣới sự hƣớng dẫn
của giáo viên.

a b, a  c

KL a vng góc với mọi đƣờng
thẳng nằm trong mặt phẳng  P 

+ Cho học sinh vẽ hình.

+ Vẽ hình

23


Khóa Luận

a

b
P

c

+ Trƣớc hết, ta thấy điều cần chứng
minh là a vng góc với mọi đƣờng
thẳng nằm trong mặt phẳng  P  , nên ta
sẽ gọi d là đƣờng thẳng bất kì nằm
trong mặt phẳng  P  và khi đó ta chỉ
cần chứng minh a  d .
+ Cho học sinh nhắc lại các cách chứng + Để chứng minh hai đƣờng thẳng
minh hai đƣờng thẳng vng góc với vng góc với nhau, ta chứng minh góc
nhau.

giữa hai đƣờng thẳng đó bằng 90 :
- Cách 1: Tính trực tiếp số đo góc
giữa hai đƣờng thẳng bằng 90 .
- Cách 2: Chứng minh tích vơ hƣớng
của hai vectơ chỉ phƣơng của hai đƣờng
thẳng bằng 0.

+ Nhìn lại giả thiết của bài tốn thì

24