Tài liệu Hệ phương trình-bất phương trinh chứa dấu giá trị tuyệt đối - Phạm Thành Luân doc

115
CHƯƠNG 3:
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ
TUYỆT ĐỐI.
A. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1.Đònh nghóa và tính chất:
a. Đònh nghóa :
a nếu a 0
a
a nếu a 0
≥
⎧
=
⎨
−≤
⎩

b. Tính chất :
*
a0≥

*aaa−≤≤

*a b a b+≤+
dấu “ =” khi
ab 0≥

*a b a b−≤+
dấu “ =” xảy ra khi

ab 0≤

2. Phương pháp giải toán:
a. Dạng cơ bản:
AB ABA B=⇔=∨=−
cách1
22
AB⇔=
cách 2
B0
AB
AB
≥
⎧
=⇔
⎨
=±
⎩
cách 1
A0 A0
AB A B
≥≤
⎧⎧
⇔∨
⎨⎨
==−
⎩⎩
cách 2
b. Các dạng khác:
Ta thường xét dấu các biểu thức trong các dấu trò tuyệt đối để

khử dấu trò tuyệt đối trên mỗi khoảng. Giải phương trình trên mỗi
khoảng.
Có thể dùng ẩn phụ.

116
II. CÁC VÍ DỤ.
Ví dụ 1:
Giải phương trình:
2x 2 3x 1 5 (1)++ −=

Giải
Xét dấu x + 2 và x – 1

.
7
x2:(1) 2(x2)2(x1)5x
4
≤ −⇔−+−−=⇔=−
(loại)
. 2x1:(1) 2(x2)2(x1)5 0x65:
− << ⇔ + − − =⇔ += vô nghiệm
.
3
x1:(1) 2(x2)2(x1)5 x
4
≥⇔++−=⇔=
(loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình:
3x 5y 9 0 (1)
2x y 7 0 (2)
⎧
++=
⎪
⎨
−−=
⎪
⎩

(ĐH Hàng Hải năm 1998).
Giải
Nhận xét: (1) Cho ta:
y0,xR
< ∀∈

(2) Cho ta: x 0, y R>∀∈
⇒
hệ chỉ có nghiệm khi x > 0, y < 0
Hệ
3x 5y 9 0
2x y 7 0
++=
⎧
⇔
⎨
+−=
⎩
giải ra:

44 39
x,y
77
==−

Vậy hệ có nghiệm
44 39
x,y
77
⎛⎞
==−
⎜⎟
⎝⎠


117
Ví dụ 3:
Đònh m để phương trình:
22
2x 10x 8 x 5x m
−+−=−+
có 4 nghiệm phân biệt.
Giải
Phương trình cho
22
2x 10x 8 x 5x m
⇔− + − − + =

Đặt f(x) =
22

2x 10x 8 x 5x
−+−−+

Ta có:
2
2
x 5x 8 với x 1 x 4
f(x)
3x 15x 8 với 1 x 4
⎧
−+ ≤∨≥
⎪
=
⎨
−+− ≤≤
⎪
⎩

2x 5 với x 1 x 4
f'(x)
6x 15 với 1 x 4
−≤∨≥
⎧
=
⎨
−+ ≤≤
⎩

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt
khi và chỉ khi:
43
4m
4
<< .
Ví dụ 4:

Giải và biện luận:
2
2m x m
m
x(m0) (1)
xx
+
+=≠

Giải
Điều kiện: x
≠
0
(1)
22
x 2m x m m (2)
⇔+ +=

Đặt
22 2
txm xtm x t 2mtm=+ ⇒=− ⇒ = − +

118
22 2
(2) t 2mt m 2m t m
⇔− + + =
2
2
t0
t0
t0
t4mt
⎡
≥
⎧
⎪
⎢
⎨
=
⎪
⎢
⎩
⇔
⎢
<
⎧
⎪
⎢
⎨
⎢
−

⎪
⎩
⎣

t0
t4m
m0
=
⎡
⎢
=
⎧
⎢
⎨
⎢
<
⎩
⎣

.
t0 x m= ⇒=−

. t 4m x 3m(m 0)
= ⇒= <
Tóm lại:
m < 0: Phương trình có 2 nghiệm: x
1
= 3m ; x
2
= - m

m > 0: một nghiệm x
2
= - m
m = 0: VN (loại vì x = 0)
Ví dụ 5:

Đònh m để phương trình có nghiệm duy nhất:
2
x2mx1x1 (1)+ +=+

Giải
Ta có:
222
x1
(1)
(x 2mx 1) (x 1)
≥
⎧
⎪
⇔
⎨
++=+
⎪
⎩

22
x1 x1

x (2m 1)x 0 (2) x (2m 1)x 2 0 (3)
≥− ≥−

⎧⎧
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
+−= +++=
⎪⎪
⎩⎩

(2) x 0 x 1 2m
⇔ =∨=−
Ta nhận thấy x = 0 thỏa điều kiện
x1,≥−
nê điều kiện cần để phương
trình (1) có nghiệm duy nhất là:
12m 0
1
mm1
12m 1
2
−=
⎡
⇔ =∨ >
⎢
−<−
⎣

Thử lại: + với
2
1
m:(3)x2x20

2
=⇔++= VN
+ Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 0
+ Với m > 1: (3) cho af(-1 ) = - 2m + 2 < 0
⇒ (3) có nghiệm x > -1 ⇒ không có nghiệm duy nhất (loại)
Vậy
1
m
2
= .

119
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.
1.1. Giải phương trình:
32x x
5
23x x2
−−
=
++−


1.2. Xác đònh k để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt.
2
(x 1) 2 x k−=−


1.3. Tìm tham số a sao cho phương trình:
22
2x 3x 2 5a 8x 2x−−=−−

có nghiệm duy nhất.

1.4. Đònh m để phương trình có nghiệm:
22
x2xmx3xm1−+=+−−

1.5. Đònh m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt :
22
2x (2m 1)x m 2 x (m 1)x 2 m−+++=−−+−



120
Hướng dẫn và giải tóm tắt

1.1. Bảng xét dấu :

Xét các trường hợp :
*
2
x:
3
≤ − phương trình cho
23
x
3x 23
5x
9
2x 4 9

x2
⎧
=−
−
⎪
⇔=⇔ ⇔=−
⎨
−−
⎪
≠−
⎩

thỏa
2
x
3
≤ − .
*
2
x0:
3
− <≤ phương trình cho
1
x
3x 1
5x
7
4x 7
x0
⎧

=
−
⎪
⇔ =⇔ ⇔=
⎨
⎪
≠
⎩
không
thoả điều kiện
2
x0
3
−<≤
.
*
3
0x :
2
< ≤ phương trình cho
33x 3
5x
4x 23
−
⇔=⇔= thỏa điều kiện
3
0x
2
< ≤ .
*

3
x:
2
> phương trình cho
3
x
3x
19
5x
4x
3
x
2
⎧
=−
⎪
−+
⎪
⇔ =⇔ ⇔∈∅
⎨
⎪
>
⎪
⎩

Tóm lại nghiệm :
23 3
xx
923
=− ∨ = .

121
1.2.
2
2
2
2(x k) (x 1)
(x 1) 2x k(1)
2(x k) (x 1)
⎡
−=−
−= − ⇔
⎢
⎢
−=−−
⎣

2
2
x4x2k10 (2)
x2k1 (3)
⎡
−++=
⇔
⎢
⎢
=−
⎣

Để phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ Điều kiện là phương trình (2),
(3), mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt và chúng không có
nghiệm chung.
Nhận xét nếu (2) và (3) có nghiệm chung thì nghiệm chung phải là
nghiệm của hệ phương trình :
2
2
x4x2k10 (2)
x2k1 (3)
⎧
−++=
⎪
⎨
=−
⎪
⎩

(3)
2
2k x 1⇔=+ thế vào (2), ta được :
22 2
x4xx20(x1)0x1k1−++=⇔− =⇔=⇒=

Ta loại k = 1
Với k 1≠ , điều kiện :
'0
13
2k 1 0 k k 1
22
k1

∆>
⎧
⎪
−> ⇔ < < ∧ ≠
⎨
⎪
≠
⎩


1.3.
22
2x 3x 2 5a 8x 2x−−=−−
22
2x 8x 2x 3x 2 5a⇔++−−=

Đặt
2
22
1
4x 5x 2 nếu x x 2
2
f(x) 2x 8x 2x 3x 2
1
11x + 2 nếu - x 2
2
⎧
+− ≤−∨≥
⎪
⎪

=++ −−=
⎨
⎪
<<
⎪
⎩

1
8x 5 nếu x x 2
2
f'(x)
1
11 nếu x 2
2
⎧
+≤−∨≥
⎪
⎪
⇒=
⎨
⎪
−<<
⎪
⎩


122
Bảng biến thiên:

Bảng biến thiên cho ta phương trình có nghiệm duy nhất

57 57
a
16.5 80
−
⇔=− =

1.4.
22
x2xmx3xm1− +=+−−
(*)
(*)
2
222 2
x3xm10
(x 2x m) (x 3x m 1)
⎧
+−−≥
⎪
⇔
⎨
−+ = +−−
⎪
⎩

2
2
x3xm10
5x 2m 1 2x x 1 0
⎧
+−−≥

⎪
⇔
⎨
= +∨ + −=
⎪
⎩

22
x 3xm10 x 3xm10

2m 1 1
xx1x
52
⎧⎧
+ −−≥ + −−≥
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
+
==−∨=
⎪⎪
⎩⎩

Đặt
2
f(x) x 3x m 1= +−−

* Có nghiệm
2m 1
3

f0
m3m
5
4
f( 1) 0 m 3 m R
3
1
m
f0
4
2
⎡
+
⎛⎞
⎡
≥
≤− ∨ ≥
⎢
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎢
⎢
⎢
⇔−≥ ⇔ ≤− ⇔∈
⎢
⎢
⎢
⎛⎞
⎢

⎢
≤
≥
⎜⎟
⎢
⎢
⎣
⎝⎠
⎣


123
1.5.
22
2x (2m 1)x m 2 x (m 1)x 2 m−+++=−−+−

22
22
2x (2m 1)x m x (m 1)x 2 m
2x (2m 1)x m 2 x (m 1)x 2 m
⎡
−+++=−−+−
⇔
⎢
⎢
−+++=−+−−+
⎣

2
2

g(x)
x(m2)x2m0 (1)
3x 3mx 4 0 (2)
⎡
−+ + =
⇔
⎢
⎢
−+=
⎣


Để phương trình cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân
biệt, (2) có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm phân biệt của (1) và (2)
khác nhau.
(1) có :
2
112
(m 2) 0 m 2: x m,x 2∆= − > ⇔ ≠ = =

(2) có :
2
2
43 43
9m 48 0
mm
33
g(m) 0
8
g(2) 0

m
3
⎧
−
⎧
∆= − >
<∨>
⎪
⎪
⎪
≠⇔
⎨⎨
⎪⎪
≠
≠
⎩
⎪
⎩