Tài liệu Phương pháp vec tơ trong không gian-Phạm kim Chung pptx

1




Lời nói đầu.


Khi dạy hình học không gian tôi cảm thấy rất phiền khi lúc nào cũng phải mang cái thớc
bên mình để có thể vẽ đợc những cái hình không gian phức tạp , lúc còn là học sinh tôi cũng
cảm giác rằng những bài toán hình học không gian là những bài toán khó vì để giải quyết nó buộc
tôi phải có những tởng tợng không gian phong phú và tôi cũng cảm nhận đợc điều này trớc
sự nhăn nhó của học sinh .
Tôi vẫn mong muốn rằng có thể đọc đợc một tài liệu nào đó mà có thể cho tôi một phơng
pháp đỡ t duy trên hình vẽ hơn ; Tôi đã cố gắng tìm tòi và đọc đợc một số tài liệu hay nh: Tạp
chí TH&TT; Quy trình giải các bài toán hình học bằng pp véc tơ (Nguyễn Văn Lộc); Toán nâng
cao hình học (Phan Huy Khải) ; Hình học KG(Trần Văn Hạo) ; Giải toán hình học (Trần Thành
Minh) ; Hình học không gian (Sa-r-gin) và một số tài liệu khác trong đó có rất nhiều phơng
pháp tôi tâm đắc nh phơng pháp véc tơ, phơng pháp đại số hoá, phơng pháp trải tứ diện ,
phơng pháp chiếu vuông góc,song song, phơng pháp sử dụng các phép biến hình Tôi cũng đã
thử nghiệm một vài phơng pháp khi dạy trên lớp , và tôi nhận thấy pp véc tơ là khá phù hợp với
năng lực hs đồng thời có thể giúp học sinh có những chuẩn bị tốt khi học hình giải tích (lớp 12).
Vì vậy tôi cố gắng viết ra một tài liệu cho riêng tôi, phù hợp với phong cách giảng dạy của tôi
hơn ; Nhng tôi vẫn cảm thấy rằng nó cha thật vừa ý , nhân tiện tổ có đa ra yêu cầu viết một
chuyên đề nên tôi có dịp đa nó ra để mình có thể thu thêm nhiều ý kiến đóng góp ,phê bình quý
báu cho công tác giảng dạy sau này.
Trong bài viết tôi thiên về việc giải quyết những bài toán SGK , còn những bài toán khác
chỉ mang tính chất phụ hoạ cho phơng pháp véc tơ mà thôi.
Vì thời gian viết chuyên đề quá ngắn nên một số phần nh: góc, thể tích,mặt cầu, bất đẳng thức
hình họccha kịp làm, hy vọng rằng với sự góp ý của các thầy cô tôi sẽ viết đợc một tài liệu

có chất hơn.
Rất mong đợc sự đóng góp quý báu của các thầy cô!


Thanh Long ngày 18/03/2007.
Phạm Kim Chung






a, lý thuyết Phơng pháp véc tơ:

I). Quy trình giải toán

Bớc 1: Lựa chọn Hệ véc tơ gốc.-> Phiên dịch các giả thiết , kết luận của bài toán hình học đã cho
ra ngôn ngữ véc tơ.
Bớc 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các hệ thức véc
tơ theo hệ véc tơ gốc .
Bớc 3: Chuyển các kết luận véc tơ sang các tính chất hình học tơng ứng .

VD1: (Bài tập 7.Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,CD và G là
trung điểm của đoạn thẳng MN.
a). Chứng minh rằng đờng thẳng AG đi qua trọng tâm A của tam giác BCD. Phát biểu kết luận
tơng tự đối với các đờng thẳng BG,CG và DG.
b). Chứng minh GA=3GA.

BG: Chọn hệ
{ }

,,,AABACAD
JJJK JJJK JJJK
làm cơ sở.
A

*Phiên dịch giả thiết , kết luận theo hệ véc tơ gốc.
+Giả thiết:
M là trung điểm của AB
1
2
AMA=
JJJJKJJK

2
B
J

N là trung điểm CD
1
()
2
ANADAC+
JJJK JJJK JJJK
=

.
G là trung điểm đoạn MN

()()
11

24
AGAMAN ABACAD= + = ++
JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
.(1)
A là trọng tâm tam giác BCD
()
1
'
3
AAABACAD++=
JJJJKJJJK JJJK JJJK
.(2)
+ Dễ thấy yêu cầu của bài toán tơng đơng với yêu cầu chứng minh
(H.1)
A
G
N
M
B
D

2
'
3
AGA=
C
A
JJJK JJJJK

Từ (1),(2) ta dễ dàng giải quyết bài toán trên.

II, Một số tính chất cần ghi nhớ
Để giải quyết một bài toán hình học không gian bằng phơng pháp véc tơ học sinh cần nắm vững các khái
niệm và tính chất sau:
1). Quy tắc 3 điểm:
ABBC AC+=
JJJK JJJK JJJK
, với A,B,C là 3 điểm bất kì trong không gian.
2). Quy tắc hiệu 2 véc tơ chung gốc:
AB
JJJK
là một véc tơ cho trớc thì với mọi điểm O bất kì , ta có:

ABOBOA=
JJJKJJJKJJJK
.
3). Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác OABC là hình bình ta luôn có :
OB OA OC=+
JJJKJJJK JJJK
.
4). Tính chất trung điểm: Nếu M là trung điểm đoạn AB thì:
JJJ JJJ K
+ .
0MB MA+=
K K
,OB OM
JJJK JJJK JJJJK
GB GC =
JK KJJJK K
OB OC OG=
JJJK JJJK JJJK JJJK

+
OA+=
với mọi điểm O.
2
5).Tính chất trọng tâm của tam giác : Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì:
JJ JJJ
+
GA++
.
0
+
OA++
với mọi điểm O.
3
6). Tích vô hớng của 2 véc tơ:
( )
. cos ,ABCD AB CD AB CD=
JJJKJJJK JJJK JJJK JJJKJJJK
.
7). Điều kiện để 2 véc tơ cùng phơng : Véc tơ
a
G
cùng phơng với véc tơ
(0)bb

3

GG
:kRakb =
G G

.
G
8). Điều kiện để 3 điểm thẳng hàng. ĐK cần và đủ để 3 điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng là:
0:kABkA = C
JJJK JJJK
.
9). Điều kiện để 2 véc tơ vuông góc:
.0AB CD AB CD =
G
JJJK JJJK JJJK JJJK
.
10). Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ gọi là đồng phẳng nếu 3 đờng thẳng chứa chúng cùng song song với một
mặt phẳng.
11).Công thức về mối liên hệ giữa độ dài và tích vô hớng 2 véc tơ:
+
()
2
22
1
.
2
ab

a b a b

=+


GG G G G G
+

()
2
22
1
.
2
ab

a b a b

=


GG G G G G
12). Nếu là 3 véc tơ không đồng phẳng thoả mãn :
,,abc
GGG
1112 22
x aybzcxaybzc++=++
G GG G G G
thì:
12
12
12
x x
yy
zz
=

=


=

.
13). Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
1
thì với điểm O bất kì ta có:
1
OA kOB
OM
k

=

JJJK JJJK
JJJJK
.
14). Trong không gian cho hệ
{ }
,,,OOAOBOD
JJJK JJJKJJJK
. Điểm D
()mp ABC

thì
OD

,( 1; , , )OA OB OC R

=++ ++=
JJJK JJJK JJJK JJJK

b, Các dạng bi tập
*Bi tập hình thnh phơng pháp .
Dạng 1 .
Bi tập phân tích một véc tơ theo 3 véc tơ không đồng phẳng

(Xem khái niệm 3 véc tơ đồng phẳng mục A-II-10)
VD2: Cho tứ diện ABCD . Các trung tuyến AA
1
và BB
1
của tam giác ABC cắt nhau tại M . Có thể
biểu diễn véc tơ theo bộ ba véc tơ nào ,trong các bộ ba véc tơ đã cho sau đây?
DM
JJJJK
1).
,,DA DC DB
JJJK JJJK JJJK

2).
1
,,
1
D
J
AAA BB
JJK JJJK JJJK

.
3).
11
,,ABDAAB
JJJKJJJK JJJJK
.
D
1).
()
1
3
DM DA DB DC=++
JJJJK JJJK JJJK JJJK


2).
11
2
0.
3
DM DA AA BB=+ +
JJJJK JJJK JJJK JJJK



3). Do A
1
B
1
//AB nên 3 véc tơ trên là

đồng phẳng , mặt khác véc tơ
DM
JJJJK
không đồng
phẳng với 2 véc tơ nào trong 3 véc tơ trên , do vậy
DM
JJJJK

không biểu diễn đợc theo các véc tơ:
11
,,ABDAAB
JJJKJJJK JJJJK


VD3: Cho tứ diện ABCD . Điểm M là trọng tâm của tam giác ABC .
Hãy biễu diễn
DM
JJJJK
theo các véc tơ:
,,DA AC CB
JJJKJJJKJJJK
.
(H.2)
B
1
A
1
M
A
C

B

HD: (Xem hình 2.). M là trọng tâm của tam giác ABC nên:
(
1
3
DM DA DB DC=++
)
JJJJK JJJK JJJK JJJK
. Vậy để giải quyết bài
toán ta cần biểu diễn theo 3 véc tơ
,DB DC
JJJK JJJK
,,DA AC CB
JJJKJJJKJJJK
.Ta có:
+
DBDAACCB=++
JJJK JJJK JJJK JJJK
và
DCDAAC=+
JJJK JJJK JJJK
Từ đó suy ra:
()
1
32
3
DM DA AC CB=++
JJJJK JJJKJJJKJJJK
.

Bi tập tự giải:
1).Cho tứ diện ABCD . M và N là trung điểm DB và DC . Hãy phân tích các véc tơ
,, theo ,,AMBNMN DADBDC
JJJJK JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK
.
2). Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O .
a). Hãy phân tích .
theo , ,SD SA SB SC
JJJKJJKJJKJK
JJ
b). Hãy phân tích các véc tơ theo các véc tơ
,,,SA SB SC SD
JJK JJK JJJKJJJK
,,ABACSO
JJJKJJJKJJJK
.
3).Cho hình lập phơng ABCD.ABCD . Gọi O là tâm của hình lập phơng và I là tâm của mặt CDDC . Hãy
phân tích các véc tơ
', theo , ,AOAI ABADAA
K JK JK JJK JK
1 1
1
11
;;
JJJ J JJ J JJJ
.
4). Cho hình lăng trụ tam giác ABCA B C .

4
1

a). Đặt
ACcBAaCBb== =
GG G
KJJJKJJJK
JJJJ
. Hãy phân tích véc tơ
1
theo , ,AAabc
G GG
JJJK
.
b). M là trung điểm đoạn B
1
C . Hãy phân tích véc tơ
1
theo , ,AMAAABAC
JJJJK JJJK JJJK JJJK
.
5). Cho tứ diện ABCD . M và N là các điểm chia các đoạn thẳng DB, AC theo tỉ số
;
MD NA
m
MB NC
= n=
. Hãy phân
tích véc tơ
theo , ,MNABDABC
JJJJK JJJK JJJK JJJK
JJ
.

6). Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Từ điểm S vẽ 3 tiếp tuyến SA, SB, SC với mặt cầu (A,B,C là các tiếp điểm ).
Hãy phân tích véc tơ biết rằng ba véc tơ này từng cặp tạo với nhau góc 60
theo , ,SO SA SB SC
JJJKJJKJJKJK
0
.

----------------------------------------------------------------------------

Dạng 2:
Bi tập lựa chọn hệ véc tơ gốc .

* Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán bằng phơng pháp véc tơ . Nói chung
việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn 2 yêu cầu:
+ Hệ véc tơ gốc phải là 3 véc tơ không đồng phẳng .
+ Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ véc
tơ một cách đơn giản nhất.

VD4: (Bài tập 6- Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD với P,Q lần lợt là trung điểm của AB và CD . Gọi R
là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BR=2RC và S là giao điểm của cạnh AD với mp(PRQ) . Chứng minh
rằng AS=2SD.
BG:
A


Chọn hệ
{ }
,,,AABACAD
JJJK JJJK JJJK
làm cơ sở. Ta có:

P là trung điểm AB
1
2
APAB
JJJKJJJK
=

Q là trung điểm CD
()
1
2
AQACAD= +
JJJK JJJK JJJK

R nằm trên BC và BR=2RC
12
33
ARABA= +
JJJK JJJK JJJK
C

Yêu cầu bài toán tơng đơng với việc chứng minh :
2
2 hay
3
ASSD AS AD==
JJJKJJJKJJJKJJJ
(H.3)
B
R

S
P
C
Q
D
K
.
Giả sử
ASkAD=
JJJKJJJ
K
. Điểm S thuộc mp(PQR) do đó tồn tại
,, R


sao cho:
(Xem mục A-II-14)
;( 1)AS AP AQ AR

=++ ++=
JJJK JJJK JJJK JJJK
Hay
()
11 12
22 33
kAD AB AC AD AB AC


=+ ++ +

JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
11 12 1
23 23 2
kAD AB AC AD


=+ ++ +


JJJK JJJK JJJK JJJK

1
11
0
23
12
0
23
1

2
k




++=

+=




+=



=



2
3
k=
(Xem mục A-II-12), suy ra đpcm.
Bình luận : Với chứng minh trên ta nhận thấy pp véc tơ có thể tránh cho chúng ta phải kẻ thêm nhũng hình phụ
phức tạp, đó cũng chính là điểm yếu của học sinh khi học hình học không gian.
Ta sẽ xét sang VD khác , để nhận thấy rõ hơn u điểm của phơng pháp véc tơ.
VD5:(Bài tập 5-Tr86-SGK11) Chứng minh rằng nếu đờng thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ
diện ABCD là đờng vuông góc chung của AB và CD thì AC=BD, AD=BC.
BG:

Giả sử M,N là trung điểm của AB, CD.
Chọn hệ
{ }
,,,AABACAD
JJJK JJJK JJJK

làm cơ sở.
A
M là trung điểm của AB

1
2
AMA=

5
B
JJJJKJJKJ
.
N là trung điểm CD
1
()
2
ANADA= +C
JJJK JJJK JJJK
.

(
1
2
)
MNANAM ACADAB== +
JJJJK JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK
.
CD AD AC=
JJJK JJJK JJJK
.

+ MN vuông góc với AB nên:

()
1
.0 .0
4
MN AB AC AD AB AB
(H.4)
M
N
C
B
D

= + =
JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJKJJJK
.

2
0 . . (1)AB AC AB AD AB= +
JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK

+ MN vuông góc với CD nên:


()(
1
.0
4

MN CD AC AD AB AD AC
)
0
= + =
JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK


2
2
. . (2)AD AC AB AC AB AD= +
JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
Lấy (2)-(1) theo vế ta đợc:
()
2
22
ADABACBCADB= ==
JJJK JJJK
C
.
Cộng vế theo vế ta đợc AC=BD. Suy ra điều phải chứng minh.

Bình luận:
+Mặc dù là bài tập SGK ,tuy nhiên bài toán trên là bài tập khó kể cả với những HSG , vì việc vẽ hình phụ để giải
quyết bài toán bằng phơng pháp hình học KG thuần tuý là không đơn giản.
+ Bài toán còn có thể giải bằng phơng pháp đại số hoá bằng cách đặt AB=x; AC=y; AD=z sau đó áp dụng công
thức trung tuyến cũng là một phơng pháp hay.

Bi tập tự giải:

1)(Bài tập 4-Tr41-SGK11).Chứng minh rằng tổng bình phơng tất cả các đờng chéo của hình hộp bằng tổng bình

phơng tất cả các cạnh của hình hộp đó.
2)(Bài tập 1-Tr59-SGK11). Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau . Chứng minh rằng :

'', AB' ', AD' 'ACBD CD CB
.
3)(Bài tập 2-Tr59-SGK11) .Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a , gọi M là trung điểm của BC . Tính cosin của góc
n
()
,ABDM
.
4)( Bài tập 3-Tr59-SGK11). Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c.
a). Chứng minh rằng các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó .
b). Tính cosin của góc hợp bởi các đờng thẳng AC và BD.
5)( Bài tập 3-Tr69-SGK11). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết rằng SA=SC, SB=SD.
Chứng minh rằng :
a). .
()SO mp ABCD
b). .
AC SD
6) ( Bài tập 5-Tr69-SGK11). Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu
AB CD
và thì
AC BD AD BC
.
7) ( Bài tập 7-Tr69-SGK11). Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc . Kẻ
H nằm trên mp(ABC) . Chứng minh :
(OH mp ABCD )
a) H là trực tâm tam giác ABC
b)
222

1111
OH OA OB OC
=++
2
.
8) ( Bài tập 8-Tr86-SGK11) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SC=SD =
2a
.
Gọi I và J lần lợt là trung điểm của AD và BC .
a). Chứng minh mp(SIJ) vuông góc với mp(SBC).
b).Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AD và SB.

--------------------------------------------------------------------

*bi tập phân theo các dạng toán giải đợc bằng pp véc tơ.

Một câu hỏi thờng gặp ở học sinh khi dạy phơng pháp véc tơ là : Những bài toán có dạng nh thế nào thì giải
đợc bằng phơng pháp véc tơ ?, dạng toán nào thì phơng pháp véc tơ là u điểm ? , đờng lối giải quyết nó nh
thế nào ? Thực ra để trả lời đợc câu hỏi đó là rất khó vì các bài toán sơ cấp nói chung và hình học không gian nói
riêng là khó tìm một phơng pháp nào là có thể giải quyết hết các bài toán nếu nh không muốn nói là không thể.
Tuy nhiên đối với các bài tập SGK chúng ta có thể làm rõ đợc phần nào, ví dụ đối với những hs trung bình có thể
dừng lại ở các bài toán có giả thiết và kết luận đơn giản nh trung điểm, trọng tâm , vuông góc; đối với những hs
khá có thể nâng cao lên ở những bài toán khoảng cách , tính góc , thẳng hàng, đẳng thức hình học; đối với
những hs giỏi có thể thêm những dạng toán về sự đồng phẳng , đồng quy,bất đẳng thức hình học, quan hệ song
song ,vuông góc ở mức độ khó hơn.


Dạng 1:
Bi tập về trọng tâm tam giác , tứ diện
.

+ M là trung điểm AB
()
1
2
OM OA OB= +
JJJJKJJJK JJJK

+G là trọng tâm tam giác ABC
( )
1
3
OG OA OB OC= ++
JJJG
JJJK JJJKJJJK

(Với mọi điểm O bất kì trong không gian )

VD6: Cho hình hộp ABCD.ABCD. Mặt phẳng (ABD) cắt đờng chéo AC tại M. Chứng minh M là
trọng tâm của tam giác ABD.

6

HD: Chọn hệ véc tơ cơ sở
{ }
,',,AAA ABAD
JJJJK JJJK JJJK

Phân tích bài toán:

7

*Giả thiết:
Mặt phẳng (ABD) cắt đờng chéo AC tại M.
Suy ra:
+
': 'M AC k R AM k AC =
JJJJK K
k AA AB AB+
JJJJK JJJJK JJJK JJJK
JJJJ

hay
AM =+

()
'

(' )
'
MmpABD
AM AA AB AD


= + +
JJJJK JJJJK JJJK JJJK


( )
,, : 1R

++=


*Yêu cầu bài toán tơng đơng với việc chứng
C
(H.5)
M
B
D
D
B
A
C
minh:
()
1
'
3
AMAAABAD=++
JJJJKJJJJK JJJK JJJK

A
Với việc lập hệ phơng trình và giải quyết tơng tự VD4 , ta suy ra đpcm.

Bi tập tự giải:
1). Cho hình hộp xiên ABCD.ABCD . Gọi P,Q,R là ảnh đối xứng của điểm D qua các điểm A, B, C . Chứng
tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện PQRD.
2). Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N,P,Q lần lợt là trung điểm của AB,BC,CD,DA . Chứng minh 2 tam giác ANP và
CMQ có chung trọng tâm.
3). Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và ABCD có cùng trọng tâm khi và chỉ khi:

''' 'AA BB CC DD+++ =0
G
JJJ JJJ JJJJK JK JKJJJJK
.
4). Cho tứ diện ABCD . Gọi A, B, C ,D lần lợt là các điểm trên các cạnh AB,BC,CD,DA sao cho:

'' ''
''' '
AA BB CC DD
k
AB BC CD DA
=== =
.
Chứng minh hai tứ diện ABCD và ABCD có cùng trọng tâm.
5). Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Gọi P,R theo thứ tự là trung điểm của AB, A
1
D
1
; Gọi P
1
,Q ,Q

1
,R
1
theo thứ tự
là giao điểm của các đờ ch ủa c m t (ABCD), (CDDng éo c cá ặ
1
C
1
), (A
1
B
B
1
C
1
D
1
),(ADD
1
A
1
).
a). Chứng minh rằng :
111
0PP QQ RR++=
G
JJJK JJJJK JJJK
.
b). Chứng minh hai tam giác PRQ và P
1

R
1
Q
1
có cùng trọng tâm.

----------------------------------------------------------------------------------

Dạng 2:
bi tập về các điểm thẳng hng.
Để chứng minh 3 điểm P, M, N thẳng hàng ta chứng minh:
( , R: 1)AP AM AN

= ++=
JJJK JJJJK JJJK

trong đó A là điểm bất kì (thông thờng A là gốc của hệ cơ sở).

VD7: Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a . Gọi P,Q là các điểm xác định bởi :

' , ' 'APADCQC= = D
;
M là trung điểm BB . Chứng minh rằng P, M, Q thẳng hàng .


HD:
Chọn hệ
{ }
', ' , ' ' , ' 'AAA aAB bAD c===
GG

JJJJK JJJJJK JJJJJK
G
làm cơ sở.