BT GIOI HAN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. Năm học 2012 - 2013. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. CHUYÊN ĐỀ: CÁCH TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN VẤN ĐỀ 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A.Một số giới hạn thường gặp:. 3 3. x x. B.Định lí:  . lim un a u lim n 0  lim vn  vn Nếu  thì lim un a  0  lim  un .vn    lim vn  Nếu  thi lim un a  0  lim vn 0 u lim n   v  0, n  n vn 0 Nếu  n thì.  VD6: Tìm các giới hạn sau: a ) lim  4n  n 2  1 2n3  2 n  1 b) lim 3 3n  n  3. c) lim d ) lim. n2  n  n 4n 2  1  n  1 4  2n  3n 2.   2. n 1. e) lim.  5.3n. . n2  2n  3  n. . Giải:  4 1  a ) lim  4n  n 2  1 lim  n 2 .   1  2     n   n 2 Vì lim n  1  4 lim   1  2   1  0 n  n 2 1  3 2 2n  2n  1 n n 2 b) lim 3 lim 1 3 3n  n  3 3 2  3 3 n n 2. 3.  1 1 1 n2  1    n n 1  n 1  1 n n n n 2   n n c ) lim lim lim lim  2 1 1 1 3 1  4n  1  n  1  n 4 2 n 1 4  2 1  n2  4  2   n  1 n n n n   2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. d ) lim. 4  2n  3n 2.   2. n 1.  5.3n. Năm học 2012 - 2013. lim. n. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. 4  2n  9.3n n.  2.   2   5.3n. n.  1  2 4     9 9 3 3 lim    n   5   2  2.    5  3 . e) lim. 2n  3. . . n 2  2n  3  n lim. 2. n  2n  3  n. 3 n lim 1 2 3 1   2 1 n n 2. BÀI TOÁN ÁP DỤNG Dạng 1: BT1: Tìm các giới hạn sau: a) lim   2n 3  5n  9 . c) lim  6 n4  n  1. b) lim  8n  3n 9  1. d ) lim  2  3n  7n 2 . Dạng 2: BT2: Tìm các giới hạn sau: 2n  1 5n 3  2 n  1 7 n 2  3n a ) lim b) lim c) lim 2  3n  2 n  2 n3 n 2 2 3 3 2n  1  3n  1 n  2n  1 d ) lim 3 e) lim f ) lim 3n  3n  3 2n  5  3n  4 2 2 n  1  n  10   4n5  3n 2 g ) lim h) lim 3  3n2  2   1  4n3   n  1  3n  3. BT3: Tìm các giới hạn sau: 3. 8n 3  2 n a ) lim  n 3. 2n  1 8n  1. c) lim 3. e) lim. n3  1  3n 2. n  n 1. b) lim.  2n. . n 1. n 3. .  n  1  3  2n . d ) lim. 3n  n2  n  5  2n. f ) lim. n 1  2  3  ...  2 n 3n 2  n  2. Dạng 3: BT4: Tìm các giới hạn sau: 3  4n a ) lim 1  3.4n 1 n.  4.5n 1 2.4n  3.5n.   3 c) lim. n.   2   3n b) lim n 1   2   3n1 d ) lim. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. 2n  3n  4.5n 2 2n 1  3n 2  5n1 “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. Năm học 2012 - 2013. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. Dạng 4: BT5: Tìm các giới hạn sau:.  4 n  5n  2 n  c) lim  3n  9n  1  2. a ) lim. b) lim. 2. d ) lim. . . n. . n3  2 n 2  n. . 2n  1 . 3. BÀI TẬP BT6: Tìm các giới hạn sau:. . a) lim  3n  5  2n3 . b) lim n . 4n 2  1  3n  2. e) lim. f ) lim. 2. n  4n  n. 4n 2  1 i) lim 2 2n  n n  2   5n  m) lim n 1 n 2 3 5. n k ) lim. 2. 3n 2  n  1  n3  n 2  2 2 n 1  3n  11 g ) lim n 2 3  2 n 3  4 c) lim.  n   2n  1.  n3  3n  1. . . .  2 n 3  2n  1 6  8n 11n 3. 3  2n j ) lim 2n  3 n) lim. n 2  2n  3. n 2  2n  1  n  1. o) lim. l ) lim. 4n 2  2 n  n  1 9 n 2  n  2n. d ) lim. 3n  4n 1 1  5n. h) lim  7  6n  9n 4 . 1  3  8n3  3n  1 2n  3 p) lim. n2  3  3. 4n 2  1. 27n3  n  3. *BT7: Tìm các giới hạn sau: 3n  2 n1 a ) lim n n 1 5 3 c) lim. b) lim. ( 3n3  1).  2n  2 .  5n  1. 2010. 3n3  2n  1.  2n. 2. 4. 10.  1 .  2n  3. 5. 2009. .  3n 2  4 .  1 1 1  d ) lim    ...   n  n  1   1.2 2.3  1  1 1 e) lim    ...    2n  1  2n 1   1.3 3.5  1  1  1  f ) lim   1  2   1  2  ....  1  2    2   3   n  g ) lim. 1  2  3  4  ...   2n  1  2n 4n 2  1. 9n 1   i ) lim  8n  1  4n  n  5  h) lim 3n  5  3. 3. 2. 2. n j ) lim  4n    2    . VẤN ĐỀ 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. Năm học 2012 - 2013. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. VẤN ĐỀ 2.1: Tính giới hạn hàm bằng định nghĩa lim f ( x). Tìm. : Phương pháp: x  x0. Giả sử.  xn  là dãy số bất kì thỏa. xn  x0 ; xn  x0. Tìm lim f ( xn ) Chú ý: Trường hợp x  x0 ; x  x0 ; x   chứng minh tương tự. BÀI TẬP BT8: Áp dụng định nghĩa tìm các giới hạn sau: . x2  5x  4 2 x  1 2 x  3x 1 x 1 c) lim 2 x 2  x  2. . 2x  3 x   5  4 x. a ) lim. b) lim. d ) lim  x 2  x  1 x  . VẤN ĐỀ 1.2: Một số dạng thường gặp Dạng 1: Tính giới hạn hàm bằng phép thế lim f ( x)  f  x0 . x  x0. BT9: Tìm các giới hạn sau: a ) lim   5 x 3  4 x  2  x 0. 2 x  3x2 x  1 4 x 1. b) lim. x 2  2 x  1 c) lim 4 x 1 x  x 1. x 2  3x  3 d ) lim x 2 x 7 0 Dạng 2: Dạng vô định 0 f ( x) lim lim f ( x)  lim g ( x) 0 x x x  x0 Tìm 0 g ( x) (với x  x0 ). Phương pháp: Khử dạng vô định  Chia tử và mẫu cho x  x0 : lim. x  x0.  x  x0  f1 ( x) lim f1 ( x) f ( x)  lim g ( x) x x0  x  x0  g1 ( x) x x0 g1 ( x). f1 ( x ) 0 g1 ( x ) có dạng 0 thì lại chia tử và mẫu cho x  x0 và khử tiếp. Nếu f ( x) hay g ( x) có chứa biểu thức dưới dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu. lim. Nếu. x  x0. . thức liên hiệp, trước khi chia tử và mẫu cho x  x0 . a 2  b 2  a  b   a  b  a 3  b 3  a  b   a 2  ab  b 2 . Chú ý:. a 3  b 3  a  b   a 2  ab  b 2 . BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. Năm học 2012 - 2013. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. ax 2  bx  c a x  x. x x.  1  2  Đa thức ax  bx  c có hai nghiệm x1; x2 thì  Dùng lược đồ Hoocner để phân tích đa thức thành nhân tử đối với những đa thức bậc cao. 2. ax 2  bx  c a  x  x0 . x1  x2 x0. 2.  Nếu thì VD7: Tìm các giới hạn sau: 2 x 2  3x  1 x  1 x2  1. a ) lim. 1  2x  1 3x. b) lim x 0. Giải: 1  2  x  1  x   2 x  3 x 1 2  a ) lim  lim 2 x  1 x   1 x 1  x  1  x  1 2. 2 x 1 1  x  1 x  1 2.  lim. . 1  2x  1 lim x 0 3x. b) lim x 0. lim x 0. 3x. 2x 3x. . . . 1  2 x 1. . 1 2x  1. lim x 0. . 1  2 x 1. . 1  2 x 1 2. 3. . . 1  2 x 1. . 1 3. BÀI TẬP BT10: Tìm các giới hạn sau: a )lim x 3. x 2  2 x  15 x 3 2. e)lim. x  2. BT1. 2 x  8x  8  3x  6. x2  4 x 2  x 2  5 x  6. b) lim. c)lim x 3. x2  x  6 x2  5 x  6. 2. 2x  5x  3 1   2 2 g )lim  2   x   4 x  18 x  10 x 1 x  1 x  1  2. f ) lim1. d ) lim1 x. 2. 6 x2  5x 1 2 x2  7 x  3. 3 3   h) lim  2  2  x  2 x  3x  2 x  5x  6  . 1: Tìm các giới hạn sau: 3. x3. x. BT12: Tìm các giới hạn sau: a)lim x 0. e)lim x 5. 2x x 9  3 x 5 x 2  25. b) lim. x 3  2 2x2  2. f ) lim. xa  2x. x 1. x 0. c)lim x 2. a. x x2 x 2  3x  2. 2 x 3 x 7 x 2  49. d ) lim. ;  a  0. BT13: Tìm các giới hạn sau:. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. Năm học 2012 - 2013. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG.  lim f ( x) x   g ( x ) DẠNG 3: DẠNG VÔ ĐỊNH  [ ]  Khử dạng vô định  n.  Chia tử và mẫu cho x (với n là số mũ bậc cao nhất của biến x). k  Nếu f ( x) hay g ( x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa x ra ngoài dấu căn (với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn)  x x 2  x   x. Chú ý: 3.  x 0   x  0. x3 x. VD8: Tính các giới hạn sau: 2 x 2  3x 1 a )lim x    2  3 x  4 x 2. b) lim. x  . x 2  2 x  3x 4 x2 1  x  3. 3x  5 x   2 x 2 1. c) lim.  4 x2 1 x   2 x. d ) lim. Giải: 3 1  2 2 x  3x  1 x x  1 a )lim  lim x    2  3 x  4 x 2 x    2 3 2  4 2 x x 2. 2. 2. b) lim. x  . x  2 x  3x 4 x2 1  x  3.  1 lim. 2 3 x.  lim. x  . .  2 2 2 x 2  1    3x x 1   3x  x 1   3x x  x x  lim  lim x    x    1   1 1 x2  4  2   x  3 x 4 2  x 3  x 4  2  x 3 x   x x. 2 3. 1 3  1 2 x x 3 5  2 3x  5 x x 0 c) lim 2  lim x   2 x  1 x   1 2 2 x 1  4 2 2  4 x 1 x  d ) lim  lim x   x   2 1 2 x  2 x x 1   lim   4  2   4  0 x   x   Vì x  .  4.  2 1 lim  2   0 x x. x  . BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. Năm học 2012 - 2013. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. 2 1   0 , x  2 x2 x. BÀI TẬP BT14: Tìm các giới hạn sau: (3x 2  8)  2 x  1 b) lim x   5  4 x3 4 x 2  3x  6 f ) lim x   2x  3 3  x  2 x3 j ) lim x    3  2 x  5 x3. 3x3  5 x  6 a )lim x   1  4 x3  x2  2 x4  x  7 e)lim x   1  5 x5 3x 2  5 i) lim x   4  x.  5x  7 x   3  2 x x x 1 g ) lim 2 x   3 x  2 x  7 c) lim. 7 x   2 x  1 x  2x2  8 h) lim x   5x 2  4. d ) lim. BT15: Tìm các giới hạn sau: x2  x 1. a )lim. x   3. x3  x  1. x   3. 4x2  2  5x. c) lim. x   3. 9 x 2 1  4 x 3  2x. b) lim. d ) lim.  8 x3  x  1  x. x  . x3  2 x  3 x. 3x . 4 x2  5. BT16: Tìm các giới hạn sau:. 2x  1 lim a) x   x  1 2 3x(2x  1) lim x    (5x  1)(x 2  2x) d). lim. x  . x   1. 3x  5x. lim. 2. 3x 3  2 x 2  1 lim 4 f) x   4 x  3 x  2 (x  1) 2 (7x  2) 2 x   (2x  1) 4 i). x 4  3x 2 1 lim 3 h) x    x  2 x  2. k). lim. x . 2. 4x  2x 1  2  x 9x  3x  2x. p). lim. 4x 2  1 3x  1 lim. 2. lim l) x  . 2. x  2x  3  4x  1 2. x  . x x 1. 2 c) x   x  x  1. 3x 3  2 x  2 lim 3 2 e) x    2 x  2 x  1. (2x  3) 2 (4x  7)3 lim x   (3x  4) 2 (5x 2  1). o). lim. b). x3  2x2  2 lim 2 g) x   3 x  x  1. j). x 2 1. 4x  1  2  x. x 2  3x  2 x 3x  1. x x 3 2 q) x   x  1 lim. DẠNG 4:    Khử dạng vô định    : Nhân và chia biểu thức liên hợp nếu có biểu thức chứa biến dưới dấu căn thức. VD9: Tìm các giới hạn sau: a )lim. x  . . 4x2  x  2  2x. . b) lim. x  . . x2  2x  3  x. . Giải:. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. b) lim. x  .  lim. x  . Năm học 2012 - 2013. . . 2x  3. x 2  2 x  3  x  lim. 2. x  . 2x  3  2 3  x2  1   2   x x x  . x  2x  3  x.  lim. x  . 2x   2 x 1    x. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. 2x  3.  lim. 2. x  . x  2x  3  x 3 2 3 x  lim 1 x   3   2 3  x  1   2  1 x2  x x  . BÀI TẬP BT17: Tính các giới hạn sau:.  b) lim  9x  3x  1  3x   c) lim  x 3  3 x  4 x  1  d ) lim  x  2 x  3  x  1 e)lim  3x  1  9 x  1  f ) lim  x  5 x  4  x  2  g )lim  x  x  x  1  h) lim  x  3 x 1  x  a ) lim 2 x  4 x 2  3 x  2. 2. x  . x  . 2. 2. x  . x  . 2. 2. x  . x  . 3. 3. 3. x  . BT1. 2. 8: Tính các giới hạn sau:. 1. lim (2 x3  3 x) x  . 2 lim x 2  3 x  4 x  . 2. lim ( x  x  x). x  . 8). 7). 13) x . x  . 15. lim ( x 2  3 x  2  x  1). ) x  . 17). x  . lim ( x 2  3 x  1  x  3). x  . 3. lim ( x 3  x 2  x). lim ( 4 x 2  x  3  2 x  1). x  . 19. lim ( x  2 x  1 . 14). lim ( x 2  3x  2  x  2). 2. lim ( x  x  x  x). x  . 9). lim ( x 2  2 x  4  x ). x  . lim ( x 2  3x  2  x  2). 12) x  . 21). 2. x  . x  . 2. 3. 2. lim ( x  4x  3  x  3x  2). 11) x  . x  . 3. 6.. lim ( x 2  3 x  2  x). lim (3x  2  9x  12x  3). 16). x  . lim (2x  1  4x 2  4x  3). lim x( x 2  5  x ). 3. 2. lim ( x  x  x). x  . x  . 3. 3.. 5. lim ( x  2  x  2). 4. lim ( x 2  3x  2  x). 10). 3. x  . ) x  . 18) 3. lim ( x 2  1  x 3  1). 20) x  . 2. x  3x ). BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. Năm học 2012 - 2013. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. VẤN ĐỀ 2.3: Giới hạn vô cực VD10: Tìm các giới hạn: a ) lim   x3  x 2  x  1. b) lim. x  . . c )lim 2 x  x  . 4 x2  2x  1. x 4. 1 x.  x  4. 2. . Giải a ) lim   x 3  x 2  x  1 x  . Vì.   1 1 1   lim  x 3   1   2  3    x   x x x    3 lim x   x  . 1 1 1   lim   1   2  3   1  0 x x x   1 x b) lim   2 x 4  x  4 x  . Vì. lim  1  x   3  0 x 4. 2. lim  x  4  0 x 4.  x  4. . 2. c) lim 2 x  x  .  0 , x 4 4x2  2 x  1.   lim  2 x  x   . . 2 1   x2  4   2   x x   .  2 1   lim  2 x  x 4   2  x   x x    2 1   lim  2 x  x 4   2  x   x x     2 1   lim  x  2  4   2     x   x x     lim x  . Vì. x  . BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. Năm học 2012 - 2013. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG.  2 1  lim  2  4   2  4  0 x   x x  . BÀI TẬP BT15: Tìm các giới hạn sau: a ) lim  2  3 x  5 x. 2. e) lim  1  8 x  x. . x  . 3. x  . 2. . d ) lim.  4  5x x  5 (5  x) 2. h) lim. b) lim  7 x  4 x  2  f )lim  6 x  x  2 . g )lim. x  . 5. 3x2  4 x  5 x   x 3. 4  5x x   2 (  x  2) 2. c)lim. 4. x  .  x2  7 x  9 x   2x  4. VẤN ĐỀ 2.4: Giới hạn một bên BÀI TẬP BT16: Tìm các giới hạn : 3x  6 x2 1 x2 1 c) lim  b)lim x    2 x 1 x  1 x 1 x  1 x2 2 2 x  3x  2 x  5 x  10 e) lim  f )lim x 5 x    1 x 1 x 2  25 a )lim. d ) lim  x    2. 3x  6 x2.  x 2  3x  2 , x 1  2 f ( x)  x  1  x , x 1  2 BT17: Cho hàm số lim f ( x) ; lim f ( x) ;lim f ( x ). Tìm. x 1. x 1. (nếu có). x 1.  1 x  1 x  x f ( x)   5  4  x  x 1 BT18: Cho hàm số. Tìm. lim f ( x) ; lim f ( x) ;lim f ( x). x  0. x 0. x 0. ,x 0 , x 0. (nếu có). 2.  4 x ,x2  f ( x )  2 x 2  6 x  4   1  2.m.x , x 2  BT19: Cho hàm số Với giá trị nào của m thì hàm số y  f ( x) có giới hạn khi x  2 . Tính giới hạn này.  6 x  x ,x 3  f ( x)  x 2  9 m.x  2 , x 3 . BT20: Cho hàm số Với giá trị nào của m thì hàm số y  f ( x) có giới hạn khi x  3 . Tính giới hạn này.. BÀI TẬP TỔNG HỢP BT21: Tìm các giới hạn sau: BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. Năm học 2012 - 2013. a )lim  2 x 3  3x  4  x  2. x 3. 3. e) lim. 6 x  2 x 1 1  2 x3  2 x. g )lim. . x  . x  . f ) lim. x  . 3x 1  4 x 5 5 x 3x 2  12 x 12 k )lim x 2 x2  4.  n)lim  x  . x  . . x 0. 4 x2  5 x  6  2 x. 3x  1 x   2 x  4. d ) lim. . h)lim. l )lim. x 2  3x  1. m)lim x . . 4x 9x  3. c)lim. 3x 2  7 x  2 x  2 2x  4 2 x  5x  4 j )lim 2 x  2 3x  2 x  1. 4 x2  5x  6  2 x. i)lim. 3 x x2  9. b)lim. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. x  . . . x 2  2 x 1  x  1. o) lim  x 2  5 x 3  2 . . x  . 2 x2  x  3 x   x 2. . p)lim. x2  2 x 1  x  1. *BT22: Tìm các giới hạn sau:. 1 x a ) lim. x  . h)lim x 0. 1. 2 x3  5 x 2  2 x  3 b) lim 3 2 x  3 4 x  12 x  4 x  3. x. x 0. e) lim. 3. (2 x  1)5 .  3x 2  1 2. 3. c ) lim x 8. 2 3 x 3 x 5 x 2  25. x 8 3 x 2. d ) lim. 4.  3x  x 1  2 x  3. 7. f )lim x 0. 1 x  3 1 x x. g )lim x 1. x  8  x  15  7  x 2  3x  2. x2  2x  6  x2  2 x  6 x  4  x4 2 k )lim 2 x 5 x  4x  3 5 x. *BT23: Tìm các giới hạn sau:. *BT24: Tìm các giới hạn sau:. *BT25: Tìm các giới hạn sau:. *BT26: Tìm các giới hạn sau:. *BT27: Tìm các giới hạn sau:. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. Năm học 2012 - 2013. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. BAØI TẬP THAM KHẢO - ĐỂ LUYỆN TẬP .Baøi 1. Duøng ñònh nghóa, CMR: lim(2x  3) 7. a). x 2. x 1 1 x  3 2(x  1) b) lim. x 2  3x  2 lim  1 x 1 c) x  1. Bài 2. Tìm các giới hạn sau 3. 2. lim(x  5x  10x). a). b). x 0. 2x 2  3x  1 lim 2 d) x   2  x  4x  2 1   1 lim   3 e) x  1  1  x 1  2x . f). tan x  s in2x lim cos x j) x  0. h). x 2  5x  6 lim x  1 x 2 c) x  3. lim x1. x2  4. lim. 3. x  3x  2 sin x lim  x x. x 0. 2. g). 1 x  1 x x. lim. x1. tgx   x. lim. k). x. 4. 0 Daïng voâ ñònh 0. 1. Tìm các giới hạn sau: x2  4. lim. 2 a) x  2 x  3x  2 x 2  2x lim 2 d) x  2  2x  6x  4. g) j). 2x2  x  6 2 x3  8. lim. x. lim. x 3. x 3  5x 2  3x  9 x 4  8x 2  9. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. b). lim. x2  1. x  1 x 2. lim.  3x  2. x 3  3x  2. 4 e) x  1 x  4x  3. h). lim x 3. x 4  x 2  72 x2  2x  3. 2x 4  8x 3  7x 2  4x  4 3 2 k) x  1 3x  14x  20x  8 lim. lim. x 2  5x. 2 c) x  5 x  25 x 3  x 2  x 1 lim 2 f) x  1  x  3x  2. x5 1 3 i) x   1 x  1 lim. l). x 3  3x 2  9x  2 2 x3  x  6. lim. x. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. Năm học 2012 - 2013. 1   2 lim  2   x 1 x  1 x  1  m). GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. 3   1 lim   x  1  1  x 1  x 3  n) 2 x  (a  1)x  a lim x3  a3 q) x a. (x  h) 3  x 3 h p) h  0 lim. o). lim. H = x  2. L=. x 3  27 2 J = x 3 x  4x  3 lim. lim. 1 x 2. F= R=. lim x1. x. x n  nx  n  1 lim x 1 (x  1) 2 k). N=. 2x 2  5x  2 4x 2  1. D=. lim. x 3  2x 2  6x  4 8  x3. I= O=. x 3  4x 2  6x  3 x2  x  2 P = x 1 8x 3  64 lim 2 M = x  2 x  5x  6 lim. x5  1 x3  1. 1 2. x. 2x 2  3x  1 lim 2 G = x   1  x  4x  5. x3  x2  x  1  x 2  5x  6. x 2. 4x 2  1 4x 3  2x 2  1. lim. lim x1. x4  a4 a x a. lim. x 2  x  30 lim 2 B = x  5 2x  9x  5 x 2  4x  3 lim 2 E = x  1 x  2x  3. x 4  16 x 2  2x. (1  x) 2. x 1. r).  x 2  x 4 2(x  h)3  2x 3 lim  2  lim  2 x  1 x  5x  4 3(x  3x  2)   h s) h  0 t) 2. Tìm các giới hạn sau: 4 x 2  x  18 lim 3 A = x 2 x  8 x 1 lim x   1 x 3  2x 2  x  2 C=. lim. x  5x 5  4x 6. x1. lim. x 2. Q=. x3  1 x2  x. lim. x 3  x 2  5x  2 x 2  3x  2 x 3  3x  2 x 2  2x  1. lim x1. 3. Tìm các giới hạn sau: a). x 1 . lim x 0. x 2  x 1 x. b). 2x  7  3. lim. x 1x. 3. 2.  4x  3 h). lim x 2. e) x . 3. x 1. lim. 3x  2  4x 2  x  2 x 2  3x  2 i) x  1 x  x 2 lim x 2 4x 1  3 p). x 0 3. x2  2x  6  4 x 1 x3  2x  1. x 1  1 x 1  1. x  5  2x  1 x 4. lim. 1 3 1 x lim 2 o) x  0 2 x  x. m) lim. 4. x 7. x 3 2 49  x 2. 2 x 2 2 c) x  2 x  3x  2 lim. 2  x2  3 2 f) x  1  x  3 x  2 lim. d) g). 4x  1  3 x2  4. lim x 2. x  x 2 x3  8. x 1 2 i) x   1 2 x  5 x  3 lim. lim. lim. 3. n) 3. t). lim x 1. lim. x  2. 2x  12  x x 2  2x. x 7  2 x1. j) x). 3 5x 4 1 5  x. lim. x. lim. x1. 3. 3 8x k) x  1 2x  5  x lim. x 2  23 x 1 (x  1) 2. lim. r) x  1 3 x1 lim 4 x 1 x1 v). 3. x7  2 x1. s) w). lim. x13. 3. x1 4x  4  2. 4. Tính các giới hạn sau:. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. x 1  x  4  3 lim x a. x  0. x 1  3 x 1 x. lim. d. x . 0. Năm học 2012 - 2013. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. x9167 lim b. x0x. c.. x  3  3 3x  5 lim x2  1 e. x  1. lim. x 0 3. lim. 3. x 1  x  4  3 x. 8x  11 . x 7. 2. x  3x  2. f. x  1.  Daïng voâ ñònh . 1. Tìm các giới hạn sau: 2x  1 lim a) x   x  1 2 3x(2x  1) lim x    (5x  1)(x 2  2x) d) x 4  3x 2  1 3 h) x    x  2 x  2 lim. l) n). x 2  3x  2 x 3x  1. lim. x  . 4x 2  1  1  x. x  . x 2  2x  3  4x  1. lim. 4x 2  1  2  x. x  . lim. 3. s) x   . lim. x   1. b). 3x  5x. lim. 2. k). x . lim. (2x  3) 2 (4x  7)3 x   (3x  4) 2 (5x 2  1) j) lim. m). lim. x  . x 2  3x  2 x 3x  1. 4x 2  2x  1  2  x. x  . o). 3x 3  2 x 2  1 lim 4 f) x   4 x  3 x  2. 4x 2  1 3x  1. lim. x x 1. 2 c) x   x  x  1. 3x 3  2 x  2 lim 3 2 e) x    2 x  2 x  1 (x  1) 2 (7x  2)2 lim x   (2x  1) 4 i). x 2  x  2  3x  1. lim. 2. x 1. 9x 2  3x  2x. p). x x 3 x   x 2  1 q). lim. lim. 3. r) x   . x3  2 x 2  x 2x  2. (x x  x  1)( x  1) (x  2)(x  1) t) x  . ( x 3  2 x 2 )2  x 3 x 3  2 x 2  x 2 3x 2  2 x. lim. Giới hạn một bên. 1. Tìm các giới hạn sau a). x2  2x 3x  1. lim. x 2. x 1 lim d) x  1 x  1 f) i). lim. x 4. b) x  2 lim. e) x  0. 2x. x 0. lim. lim. 4x 2  x 3. x 3 x 4. x 2  3x  3 lim 2 k) x   2 x  x  2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. g) x  2. lim. x  2. lim. l) x  1. . c). lim. x 1. x 1 x 1. x2 x3 2x. x 2  3x  3 x 2. lim. j). . 3x  1 2. lim. h) x  2. x 2  3x  3 x 2. x 2  3x  3 x2  x  2 x 3  3x  2 x 2  5x  4.  1 x  lim  x  x  x  0  g). “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. h). Năm học 2012 - 2013. x2 x 2 x 1. lim. x  1. lim. i). x.  2. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. 1  cos 2x  x 2. 2. Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái của hs f(x) tại x o và xét xem hàm số có giới hạn tại xo không ?  x 2  3x  2 (x  1)  2 x  1 a) f(x)   x (x  1)  2 với x o 1  1 x  1  c) f (x)  3 1  x  1 3/ 2  với x o 0. 4  x 2 (x  2)  b) f(x)  x  2 1  2x (x  2)  với x o 2. x 0 x 0. 3. Tìm A để hàm số sau có giới hạn tại xo: x 3  1 (x  1)  f(x)  x  1 Ax  2 (x 1) . a). với x0 = 1.  x  6  2x  9 x 3 A  3 f (x)  x  4x 2  3x 3x 2  2 x 3  b) với x0 = 3 D¹ng 1: x  a Bµi 1: Thay vµo lu«n. 2 5 x −3 1) lim 3 2) lim 4 x −3 3) x →− 1 x +2 x→ 3 2 x+7. (. 2. x x→ 3 x − x −6 Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö. 2 x +3 x − 10 1) lim 2 x→ 2 3 x − 5 x −2 2 x − a¿ ¿ 3) n n n −1 x −a − na ( x − a) lim ¿ x→ a 1 3 − 5) lim 3 x→ 1 1− x 1− x 3 3 7) lim ( x +h ) − x h h→0 x −1 8) lim x→ 1 1 − √ x 2 10) lim x + 2 x −15 x+5 x →− 5 4) lim. (. √. 3. ). BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. ). 5) lim 5 x − 1 2 x +7 x→ 1. √. n. 2 x 4 +3 x +2 x →− 2 x 2 − x+ 2 x 2+ 5 x +3 6) lim 3 2 x →− 2 2 x +2 x +x +6 lim. √ 3. n. 2) lim x −a x→ a x −a x − 1¿ 2 ¿ 4) n x −nx +n −1 lim ¿ x→ 1. 6) lim. x→ 1. ( 1−nx − 1−1 x ) n. 2 9) lim x +2 x −15 x −3 x→ 3 3 11) lim x −1 x→ 1 x (x +5)− 6. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI 3. 2. Năm học 2012 - 2013. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG 2. x +3 x − 9 x −2 x +3 x − 4 13) lim 3 2 x→ 2 x →− 4 x −x−6 x +4 x x 2 − 5 x+6 x 3+ 3 x 2 +2 x 14) lim 2 15) lim 2 x →− 4 x −12 x+20 x →− 2 x − x − 6 x 4 −1 x 3+ 4 x 2 +4 x 16) lim 2 17) lim 2 x→ 1 x +2 x −3 x →− 2 x − x − 6 Bµi 3: Nh©n lîng liªn hîp (cã mét c¨n bËc hai) 4 2 5−x 1) lim √ x + 5− 3 . 2) lim √ x +9 −2 3) lim x→ 5 x −7 x −2 √5 − √ x x→ 7 x→ 2 x 3 x − 5− 1 4) lim √ 5) lim x→ 0 √ 1+ x − 1 x−2 x→ 2 2 x +1 6) lim 7) lim √ 1+ x + x −1 2 x →− 1 √ 6 x +3+3 x x x→ 0 2 x +4 − 3 8) lim √ 2 9) lim √1 −2 x+ x − ( 1+ x ) x→ 5 x −25 x x→ 0 3 x−3 10) lim 11) lim x − √ 3 x −2 x→ 3 √ 2 x+10 − 4 x−1 x→ 1 n x − 2− 2 1+ x − 1 √ √ 12) lim (n N, n  2) 13) lim x−6 x x→ 6 x→ 0 2 2 x − √ 3 x +1 √4 x − x− 2 14) lim 3 x − 2− 15) lim 2 x→ 1 x→ 1 x 2 −1 x −3 x+ 2 3 x −1 16) lim x − √ 3 x +58 17) lim 2√ x→ 1 x +2 x −3 x −2 x→ 2 Bµi 4: Nh©n lîng liªn hîp (cã hai c¨n bËc hai) ❑ ❑ 1) lim √ 5+ x − √5 − x 2) lim √ 1+ x − √1 − x x x x→ 0 x→ 0 ❑ 3) lim √ 2 x −1 − √ x 4) lim √ a+ x − √ a (a > 0) x −1 x x→ 1 x→ 0 2 ❑ √ 4 x 2 − x −2 5) lim √ 1+ x − √ x + x+1 6) lim √3 x − 2− 2 x→ 1 x x − 3 x+2 x→ 0 3 3 3 x − 2− √ 4 x 2 − x −2 √1 −3 x+ x2 − √ 1+ x 7) lim √ 10) lim 2 x x→ 1 x→ 0 x − 3 x+2 3 3 3 3 x − 2+ √ 1− x + x 2 8) lim √ a+ x − √ a 9) lim √ x x→ 0 x→ 1 x 2 −1 Bµi 5: Nh©n lîng liªn hîp (cã mét c¨n bËc ba) 3 3 3 x a) lim √ 1+4 x −1 b) lim √ 4 x −2 c) lim 1 − √ x +1 d) lim 3 x→ 0 √ x +1− 1 x 3x x→ 0 x→ 2 x −2 x→ 0 Bµi 6: Nh©n lîng liªn hîp (c¶ tö vµ mÉu) 2 ❑ 3− √ 5+x x − √ x+ 2 1) lim 2) lim 3) lim x − √ x x →4 1 −√5 − x x→ 2 √ 4 x+1 −3 x→ 1 √ x −1 3 3 √ x +1 √x − 1 √3 x − 1 4) lim 5) 9) lim lim 4 2 x →− 1 √ x +3 −2 x→ 1 √ x − 1 x→ 1 √ x − 1 2 4−x −2 7+2 x − 5 √ x−8 6) lim √ 7) lim √ 8) lim 3 2 x → 64 4 − √ x x→ 0 √ 9− x −3 x→ 9 √ x −3 Bµi 7: Nh©n lîng liªn hîp (cã c¶ c¨n bËc hai vµ c¨n bËc ba) 3 3 3 3 x − 2− √ 4 x 2 − x −2 5 − x 3 − √ x2 +7 2 1− x − 8 − x √ √ √ √ 1) lim 2) lim 3) lim x x→ 0 x→ 1 x→ 1 x 2 − 3 x+2 x2 −1 12) lim. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI 3. √ 4 x 2 − x −2 4) lim √3 x − 2− 2 x→ 1 x − 3 x+2 3 7) lim √ 1+2 x − √ 1+7 x x x→ 0 D¹ng 2: Giíi h¹n mét bªn 8+2 x −2 x → −2+¿ √ 1) √ x +2 lim. Năm học 2012 - 2013 3. 5) lim √ x +7 − √ 5 − x x −1 x→ 1. 2). lim. ¿. ¿. 2. 3 x − 6+ √ x − 4 x +4 x −2 x→ 2. lim. 5). 6). 7). 8). 9). 10). x → 0+¿. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG 2. 3. 6) lim √ 3 x+ 4 − √ 8+5 x x x→ 0. 2 √x − 3 x 3 √ x −2 x. ¿ 3 x −1 ; x ≤ 1 4) x 2 +1 ; x >1 . ¿ f ( x )={ ¿. 3). lim f ( x) x→ 1. ¿ 3 x2 +2 x+ 1; x ≥ 0 sin x . T×m lim f ( x) ; ; x <0 x→ 1 x ¿ f ( x ) ={ ¿ ¿ o ; x< 0 x 2 ; 0 ≤ x<1 . T×m lim f ( x) ; lim f ( x) 2 x→ 1 x→ 0 − x − 2 x +1 ; x ≥ 1 ¿ f ( x )={ { ¿ ¿ mx 2 ; x ≤ 2 3 ; x >2 ¿ f ( x)={ ¿ ¿ 2 |x − 5 x +6|; x >2 . Tìm m để hàm số có giới hạn tại x = 2. mx + 4 ; x ≤ 2 ¿ f ( x)={ ¿ ¿ 1 (2 x 2+ 3) ; x ≤ 1 5 f ( x) ; lim f ( x) 6 −5 x ; 1< x <3 . T×m lim x→ 1 x→ 3 x −3 ; x ≥ 3 ¿ f ( x )={ { ¿ x 4 +1 x → −3+¿ 2 2x 11) lim x + 4 x +3 2 3 x→ 0 √ 4 x + x lim ¿. ∞ . Khi đó chúng ta phải khử: ∞ Chó ý: Khi x  - hoÆc x  + mµ chia cho x th× ph¶i chó ý tíi dÊu. x 3 +3 x+ 1 1) lim 2) lim ( √ x+ √ x − √ x ) 2 3 x →+∞ x → ∞ 2 −6 x − 6 x 20 30 ( 2 x −3 ) ( 3 x+2 ) 2 2 3) lim 6) lim ( √ x −7 x +1 − √ x −3 x +2 ) 50 x →+∞ x→∞ ( 2 x+1 ) Dạng 3: x  : Có các dạng vô định:  -  ; 0x ;. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. Năm học 2012 - 2013. n. lim x ( √ x 2 +1− √ x2 −2 ). 4). 5). x →+∞. 7) lim. x →+∞. ( √ x 2 − 4 x +1− √ x2 −9 x ). lim ( x −4 ± √ x − 7 x +2 ). 15). lim ( 2 x+ 1± √ 4 x 2 +4 x +3 ) 3. lim ( √ x 3 −2 x2 − x − x ). 18) lim. x→∞. x →+∞. 3. lim ( √ x 3 − x 2+ 3 x − x +1 ). 13). 14). x→∞. lim. 16). x →+∞. lim. x →+∞. ( √ x +√ x +√ x − √ x − √ x − √ x ). 17). 1 19) lim x →+∞ √ x . ( √ x +1− √ x −1 ) 21) lim ( √ x+ 2− 2 √ x − 1+ √ x ) lim. x →+∞. 20). √ x . ( √ x +3 − √ x − 1 ) 3. 3. 2. 3. 3. ( √3 x+ √3 x + √ 3 x − √ 3 x ). ( √ x + 2 x 2 − √ x2 −2 x ). lim. ( √ x 2+ x − x +2 ). lim. ( √ x 2+ 2 x −2 √ x 2 + x+ x ). x →+∞. x →+∞. x →+∞. 23) 26). x →+∞. 27). lim x →+∞ 3 3. 2 2 24) lim x . ( √ x + 4 − √ x − 3 ). lim ( √ 2 x +5 − √2 x −7 ). 25). ( √ ( x +a ) ( x+ b ) − x ). ( √ x 2 −1 − x ). x →+∞. 22). x →+∞. lim. x →+∞. n. xn lim ( √ x 2 − 2 x +1− √ x2 −6 x +3 ). 11). x →+∞. 12). lim 8). x →+∞. 10). ( x − √ x 2 − 1 ) − ( x + √ x 2 −1 ). x →+∞. 2. 9). GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. lim. x →+∞. √ x −2 . ( √ x +3 − √ x − 1 ) 3. lim ( √ x 3 +6 x 2 − x ). x→∞. 2. lim ( √ x + x + 1− √ x − x +1 ). x→∞. VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng K và x0  K Hàm số y  f ( x) liên tục tại x0 nếu thỏa:  lim f ( x )  f ( x0 )  x  x0  lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0  x  x0  g ( x) f ( x)   a. ( x  x0 ) ( x x0 ).  Xét tính liên tục của hàm số dạng : lim  g ( x ). Tìm x x. 0. . . Hàm số liên tục tại x0.  lim  g ( x)  a x  x0.  g ( x)  f ( x ) a  h( x )  Xét tính liên tục của hàm số dạng :  lim  f ( x)  lim  f ( x) . x x Hàm số liên tục tại x=x0 VD11: Xét tính liên tục của hàm số:. x  x0. 0. .  x2  1  f ( x)  x  1 a  Cho hàm số :. ( x  x0 ) ( x x0 ) ( x  x0 )  f ( x0 ) a. ( x 1) ( x 1) a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số tại x =1 0. Giải : Hàm số xác định với mọi x thuộc R. Ta có: f(1) = a BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. lim x 1. Năm học 2012 - 2013. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. x2  1 ( x  1)( x  1) lim lim( x  1) 2 x 1 x  1 x 1 x 1. Nếu a = 2 thì hàm số liên tục tại x0 =1 Nếu a ≠ 2 thì hàm số không liên tục tại x0 =1 . ( x 1) ax  2 f ( x)  2  x  x  1 ( x  1) Cho hàm số :. .Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục. số. Giải : x > 1 ta có f(x) = ax + 2 hàm số liên tục trên R x <1 ta có f(x) = x2 + x -1 hàm số liên tục trên R Khi x = 1: Ta có : f(1) = a+2 lim f ( x) lim( ax  2) a  2 . x  1. x 1. lim f ( x) lim( x 2  x  1) 1  x 1. x 1. Hàm số liên tục tại x0 =1 nếu a= -1 Hàm số gián đoạn tại x0=1 nếu a≠1 Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1. Hàm số liên tục trên (-∞;1)∪(1;+ ∞) nếu a=1. BÀI TẬP BT23: Xét tính liên tục của hàm số  2 x 2  14 x  16 , x  8  f ( x)  x 8 18 , x  8  x0  8; x0 2. Tại BT24: Xét tính liên tục của hàm số 1  2 x  3 , x 2  f ( x )  2  x 2 x  3 , x 2 . Tại x0 2; x0 4. BT25 Xét tính liên tục của hàm số.  x 3  2  x 1  1 f ( x )  4  x2  1  2  x  6x  7. , x 1 , x 1 , x 1. Tại x0 1; x0 0. BT26 Xét tính liên tục của hàm số  x 2  3x  2 , x 1  x  1 f ( x)   1 , x 1  2. Trên TXĐ. BT27 Xét tính liên tục của hàm số BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. Năm học 2012 - 2013.  x 2  x  4 , x 2  f ( x)  x  2 ,x 2  2  x  3x  2. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. Trên TXĐ.. BT28 Tìm a để hàm số  3x 2  4 x  1 , x  1  f ( x)  x 2  1 2a.x  1 , x  1 . Liên tục tại x0  1. BT29 Tìm m để hàm số x x2 ,x 2  2 f ( x )  x  4  m.x  3 , x 2  4. Liên tục tại x0 2. BT30 Tìm m để hàm số  x 4  f ( x )  3. x  2  m. . . , x 4 , x 4. Liên tục trên. D  0; 4 . VẤN ĐỀ 4: Chứng minh pt f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (a;b) Phương pháp:  Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]  Chứng tỏ f(a).f(b) <0 Khi đó f(x) bằng 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (a;b) Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tìm các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x)=0 có 2, 3 nghiệm thì ta tìm 2, 3 khoảng rời nhau và trên mội khoảng f(x) = 0 đều có nghiệm. BT31 Chứng minh rằng phương trình: 3 a) 3 x  2 x  5 0 có ít nhất một nghiệm. 4 2 b) 4 x  2 x  x 3. có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng.   1;1. 3  2; 2 c) 2 x  6 x  1 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn  5 4 2 d) x  7 x  3x  x  2 0 có ít nhất một nghiệm.      ;  e) cos 2 x 2sin x  2 có ít nhất hai nghiệm trong  6  5 3 f) x  5 x  4 x  1 0 có năm nghiệm phân biệt 2. 5. 2. g) (m  1) x  (11m  10) x  1 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2)* BT32 CMR các phương sau luôn có nghiệm:. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> TRƯỜNG THPT LÊ LỢI. Năm học 2012 - 2013. GIÁO VIÊN : CAO VĂN QUẢNG. a ) m( x  1)  x  2   2 x  1 0 b) (m2  2m  2) x3  2 x  1 0 c) cos x  m.cos 2 x 0 3. d )  1  m 2   x  1  x 2  x  3 0. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: GIỚI HẠN. “ Sự học cũng như Thuyền không tiến ắt sẽ lùi ! ”. 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span>