Bảng tóm tắt kiến thức toán 12 học kỳ 1

www.thuvienhoclieu.com

TĨM TẮT KIẾN THỨC ƠN TẬP HỌC KỲ I MƠN TOÁN 12
Kiến thức 1: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Định lí Viet thuận

2. Định lí Viet đảo
  S
�
�
 .  P
Nếu  ,  là hai số có: �
thì chúng là 2 nghiệm phương trình:

Phương trình bậc hai ( ax  bx  c  0 )
2

 Tổng 2 nghiệm:
 Tích 2 nghiệm:

S  x1  x2 
P  x1.x2 

b
a

x 2  Sx  P  0

c
a

3. Điều kiện nghiệm của phương trình
bậc hai
 Có 2 nghiệm trái dấu � a.c  0






4. Phương trình bậc hai chứa tham số thỏa
điều kiện cho trước
 x1 < a < x 2

�  0
��
Có 2 nghiệm cùng dấu �P  0

�x1  a  0
�  0
��
��
( x1  a )( x2  a )  0
�x2  a  0 �

0
�
�
� �S  0
�P  0
�

Có 2 nghiệm cùng dương
0
�
�
� �S  0
�P  0
�
Có 2 nghiệm cùng âm



x1 < x 2 < a

�  0
�x1  a  0
�
��
��
( x1  a )  ( x2  a )  0
�x2  a  0 �
( x1  a )( x2  a )  0
�



a < x1 < x 2

0
�
�x1  a  0

�
��
��
( x1  a )  ( x2  a )  0
�x2  a  0 �
( x1  a )( x2  a )  0
�

Kiến thức 2: ĐẠO HÀM
1. Hàm sơ cấp
1. Hàm thường
gặp

 C  � 0
n

 u  �  u

1

 u  � 2u�u

 x  � 1

 x  � n.x

2. Hàm hợp
1. Hàm thường gặp

n 1

 x  � 2 1 x

� u '
�1 �
� � 2
�u � u

.u �

3. Quy tắc tính
* Quy tắc:

 u �v  '  u '�v '
 u.v  '  u '.v  v '.u

�u � u '.v  v '.u
� �
�v �
v2

* CT Tính nhanh:

1.

� ad  bc
�ax  b �
�
�
�cx  d �  cx  d  2

www.thuvienhoclieu.com

Trang 1


www.thuvienhoclieu.com
� 1
�1 �
� � 2
�x � x

2. Hàm lượng giác

2. Hàm lượng giác

cos u
 sin u  � u.�

 sin x  � cos x

.sin u
 cos u  � u�

 cos x  �  sin x

 tan u  �

 tan x  �

1

cos 2 x
1
 cot x  �  2
sin x

3. Hàm mũ-logarit

 a  '  a .ln a
x

x

e 'e
x

x

1
 log a x  
x.ln a
1
 ln x  ' 
x
'

u�

cos2 u

u�
 cot u  �  2
sin u

3. Hàm mũ-logarit
.a .ln a
 a  '  u�
u

u

 e  '  u '.e
u

u

u'
 log a u  
u.ln a
u'
 ln u  ' 
u
'

�
�ax 2  bx  c �
adx 2  2aex  be  dc
2. �

� dx  e �

�
 dx  e  2
�
�
�
�ax 2  bx  c �
(ab1  a1b)x 2  2(ac1  a 1c)x  (bc1  b1c)
3. � 2

�
(a1x 2  b1x  c1 ) 2
�a1x  b1x  c1 �

4. Ứng dụng
1. Phương trình tiếp tuyến

y  f '  x0  .  x  x0   y0

 x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm
f' x
+  0  là hệ số góc
+

2. Ứng dụng trong vật lí
Một chuyển động với quãng đường
+ Vận tốc:
+ Gia tốc:

s t

v(t )  s '  t 

có:

a(t )  v '(t )  s ''  t 

Kiến thức 3: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ
1. Khảo sát sự biến thiên
2. Tìm cực trị
 Các bước khảo sát
 Cách 1: Dùng BBT
Bước 1: Tìm tập xác định
(Tương tự các bước như mục 1)
Bước 2: Tính y’
 Cách 2: Dùng y’’
Bước 3: Tìm nghiệm của y’ và những điểm y’ Bước 1: Tìm tập xác định
khơng xác định
Bước 2: Tính y’
Bước 4: Lập bảng biến thiên
Bước 3: Tìm các nghiệm xi của y’
Bước 5: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch
Bước 4: Tính y ''
biến
 Áp dụng giải phương trình
Bước 5: Tính y ''( xi )
+ Nếu f tăng (giảm) và f (x0)  a thì phương Bước 6: Kết luận
y ''( xi )  0 � xi
là điểm cực đại
trình f (x)  a có nghiệm duy nhất là x  x0
y ''( xi )  0 � xi

là điểm cực tiểu
Nếu f tăng và g giảm và f (x0 )  g(x0 ) thì
+
phương trình f (x)  g(x) có nghiệm duy nhất
là x  x0
+ Nếu f tăng (giảm) trên tập xác định
D thì: f (u)  f (v) � u  v (v�iu,v �D)
3. Tìm max, min
 Max, min trên đoạn [a;b]
Bước 1: Tìm tập xác định

4. Tìm tiệm cận
 Tiệm cận ngang
www.thuvienhoclieu.com

Trang 2


www.thuvienhoclieu.com

Bước 2: Tính y’
Bước 3: Tìm các điểm xi là nghiệm của y’
hoặc là điểm mà y’ không xác định trên
khoảng (a,b)
Bước 4: Tính các giá trị f(xi), f(a), f(b)
Bước 5: So sánh và kết luận Max, min.
 Max, min trên khoảng hoặc nửa
khoảng
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính y’

Bước 3: Tìm nghiệm của y’ và những điểm y’
không xác định trên khoảng (a,b)
Bước 4: Lập bảng biến thiên
Bước 5: Kết luận Max, min

lim y  y1

Bước 1: Tính x ��
� y  y1
là tiệm cận ngang
lim y  y2

Bước 2: Tính x ��

� y  y2 là tiệm cận ngang

Chú ý: Nếu hai giới hạn bằng nhau thì đths có một TCN

 Tiệm cận đứng
Bước 1: Tìm những điểm x0 là những điểm
không xác định của hàm số( với hàm phân thức
thường là nghiệm của mẫu)
lim x  �
�
Bước 2: Kiểm tra điều kiện: x �x
hoặc
lim x  �
�

0

x � x0

� x  x0

là tiệm cận đứng.

Kiến thức 4: CÁC DẠNG ĐỒ THỊ
Số nghiệm y '
y

O

2 nghiệm
(2 cực trị)

1. Hàm số bậc ba

y  ax 3  bx 2  cx  d  a �0 

y

x

O

a0

a0

y

y

1 nghiệm
(0 cực trị)

O

x

x

O

a0

www.thuvienhoclieu.com

x
a0

Trang 3


y

www.thuvienhoclieu.com

y

O

O

x

x

Vô nghiệm
(0 cực trị)
a0

Số nghiệm y '

a0

2. Hàm số bậc bốn trùng phương

y  ax 4  bx 2  c  a �0 

3 nghiệm
(3 cực trị)

a0

a0

a0

a0

1 nghiệm
(1 cực trị)

3. Hàm phân thức bậc nhất

www.thuvienhoclieu.com

y

ax  b
,  ab  bc �0 
cx  d

Trang 4


www.thuvienhoclieu.com

+ Đồ thị
khơng có cực
trị
+ Có tâm đối
xứng là giao
điểm 2 tiệm
cận

ad  bc  0

ad  bc  0

4. Các dạng toán liên quan đến đồ thị
 Tương giao hai đồ thị (tìm giao điểm)
y  f ( x); y  g ( x)

Bước 1: Tìm nghiệm x0 của phương trình
hồnh độ giao điểm f ( x)  g ( x)
Bước 2: Thay vào công thức f ( x) hoặc g ( x) .
Được tung độ y0  f ( x0 )  g ( x0 )

+ Giao với trục hồnh (trục Ox):

Cơng thức:
( x0 ; y0 )
f '( x0 )

y  y0  f '( x0 )( x  x0 )

là tọa độ tiếp điểm

Là hệ số góc

* Các trường hợp đặc biệt:
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng:

� Giao điểm M ( x0 ; y0 )

* Các trường hợp đặc biệt:

 Phương trình tiếp tuyến

d : y  ax  b

y0

� f '( x0 )  a

+ Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng:

+ Giao với trục tung (trục Oy): x  0

d : y  ax  b

� f '( x0 ).a  1

Kiến thức 5: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
1. Tịnh tiến đồ thị hàm số
 
Hàm số y  f x có đồ thị là đường cong  C 
 
 Đồ thị hs y = f x + a : Tịnh tiến  C  lên
trên a đơn vị.

 
 Đồ thị hs y = f x - a : Tịnh tiến  C 
xuống dưới a đơn vị.


 Đồ thị hs y = f x + a : Tịnh tiến  C 
sang trái a đơn vị.



 Đồ thị hs y = f x - a : Tịnh tiến  C 

sang phải a đơn vị.

2. Suy biến đồ thị
 
Hàm số y  f x có đồ thị là đường cong  C 
 
 Đồ thị hs y = -f x : Lấy đối xứng (C) qua
Ox
 
 Đồ thị hs y = f -x : Lấy đối xứng (C) qua
Oy

 Đồ thị hs y = f  x  :

+ Giữ nguyên phần đồ thị  C  bên phải Oy, bỏ
phần bên trái
+ Lấy đối xứng phần đồ thị  C  được giữ lại

www.thuvienhoclieu.com

Trang 5


www.thuvienhoclieu.com

qua Oy.

 
 Đồ thị hs y = f x :

+ Giữ nguyên phần đồ thị  C  nằm trên Ox , bỏ
phần đồ thị  C  phía dưới Ox .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị  C  bị bỏ qua Ox

�
�f  x �0
y  f  x � �
�y  �f  x
 Đồ thị hs
+ Giữ nguyên phần đồ thị  C  nằm trên Ox , bỏ
phần đồ thị nằm phía dưới Ox

+ Lấy đối xứng phần đồ thị  C  được giữ lại
qua Ox .

Kiến thức 6: LŨY THỪA – MŨ - LOGARIT
1. Lũy thừa
 Tính chất

 Định nghĩa
Lũy thừa mũ nguyên dương: a
Lũy thừa mũ nguyên âm:
0
Lũy thừa mũ 0: a  1
m
n

an 

Lũy thừa mũ hữu tỉ: a  a

Lũy thừa mũ vô tỉ: a
n

a �
a   a  
a
 a  

a

( a ��)

n

1
an

m

( a �0 )
( a �0 )

( a  )   a . 

( ab)  a �

b

( a 0)
(a  0)




�a � a
� � 
�b � b

2. Căn bậc n
 Tính chất
Với a, b là các số dương:

 Định nghĩa
n
Số a là căn bậc n của b nếu a  b
 Chú ý:
n
+ Số dương b có 2 căn bậc chẵn: � b
n
+ Số thực b bất kì có 1 căn bậc lẻ: b

n

a. n b  n ab

n

a na

b
b

n

www.thuvienhoclieu.com

(b  0)
Trang 6


www.thuvienhoclieu.com

 n a

+ 0  0 (n  �*, n 2)
n

m n

n

 n a m (a  0)

a  mn a

n�

u n l�
�a
an  �
u n ch�
n
�a n�

3. Logarit
 Quy tắc tính

 Định nghĩa


Với 2 số dương a, b và a �0 :   log a b � a  b
Logarit thập phân: log10 b  log b  lg b

Logarit tự nhiên:
 Tính chất
log a a  1
log a 1  0

m

Lơgarit của tích: log a (b1.b2 )  log a b1  log a b2

log e b  ln b

Lôgarit của thương:
Lôgarit của lũy thừa

a loga b  b
log a a  

log a

b1
 log a b1  log a b2
b2


: log a b   log a b

Đổi cơ số:
log a b 

Đặc biệt

log c b
log c a � log c a.log a b  log c b

:

log a b 

1
1
log a b  log a b
log b a ;


4. So sánh hai lũy thừa và logarit
 So sánh hai lũy thừa cùng cơ số
 So sánh hai logarit cùng cơ số


log a b1  log a b2 � b1  b2
a a �  
+ Nếu a  1 :
+ Nếu a  1 :


+ Nếu 0  a  1 : a  a �   
+ Nếu 0  a  1 : log a b1  log a b2 � b1  b2

 So sánh hai lũy thừa cùng số mũ (cơ số
dương)
m
m
+ Nếu m  0 : a  b � a  b
m
m
+ Nếu m  0 : a  b � a  b

Kiến thức 7: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
1. Hàm số lũy thừa
 Dạng tổng quát
y  x với  ��

2. Hàm số mũ
 Dạng tổng quát

y  a x , (a  0, a �1).
www.thuvienhoclieu.com

3. Hàm số logarit
 Dạng tổng quát
y  log a x, ( a  0, a �1)
Trang 7


www.thuvienhoclieu.com

TXĐ:
+  nguyên dương: D  �
+  nguyên âm hoặc bằng 0:
D  �\  0

D   0; �
+  không nguyên:
 Đạo hàm
( x  )�
  .x 1.

Đối với hàm hợp:
(u )�
  .u 1.u '

TXĐ:

D�

 Đạo hàm
(a x )�
 a x .ln a
x
 ex
Đặc biệt: (e )�
Đối với hàm hợp:
( a u )�
 u�
.a u .ln a
u
 eu .u�
Đặc biệt: (e )�

TXĐ:

D   0; �

 Đạo hàm

 log a x  �
Đặc biệt:

1
x.ln a
(ln x)�


1
x

Đối với hàm hợp:

 log a u  �
Đặc biệt:

u�
u.ln a

(ln u )�


u�
u

Kiến thức 8: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình mũ
 Phương trình mũ cơ bản
x

Dạng TQ: a  bvới 0  a �1 .
Nghiệm:
+ Nếu b �0 thì phương trình vơ nghiệm.
x
+ Nếu b  0 thì a  b� x  loga b.
 Một số phương pháp giải
- Đưa về cùng cơ số (chú ý trường hợp cơ số
là ẩn cần xét thêm trường hợp cơ số bằng 1)
- Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ)
- Logarit hóa.

2. Phương trình logarit
 Phương trình logarit cơ bản
Dạng TQ: log a x  b với 0  a �1 .

Điều kiện: x  0

b
Nghiệm: log a x  b � x  a

 Một số phương pháp giải
(Chú ý đặt điều kiện phương trình)
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ.
- Mũ hóa.

Kiến thức 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Bất phương trình mũ
 Bất phương trình mũ cơ bản
x
Dạng TQ: a  b
x
x
x
(hoặc a  b; a �b; a �b)
Nghiệm:
+ Nếu b<0:

(với 0  a �1 )

2. Bất phương trình logarit
 Bất phương trình logarit cơ bản
log a x  b
(với 0  a �1 )
Dạng TQ:
log a x  b; log a x �b; log a x �b )
(hoặc
Điều kiện: x  0

www.thuvienhoclieu.com

Trang 8


www.thuvienhoclieu.com
x

BPT a < b vô nghiệm

Nghiệm:

x
BPT a > b vô số nghiệm
+ Nếu b>0:
x

a>1

a >b
x  loga b

x

a x  loga b

0 < a < 1 x  loga b
x  loga b
� Cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, bé hơn 1 đảo

chiều
 Một số phương pháp giải
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ)
- Logarit hóa.

a>1

loga x > b

loga x < b

x  ab

x  ab

0 < a < 1 x  ab
x  ab
� Cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, bé hơn 1 đảo

chiều
 Một số phương pháp giải
(Chú ý đặt điều kiện bất phương trình)
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ.
- Mũ hóa.

Kiến thức 10: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Tam giác vuông

a 2  b2  c2
b 2  ab '
c 2  ac '
h2  b ' c '
1
1 1
 2 2
2
h
b c
ah  bc

(Pitagpo)

b
a
c
cos B  sin C 
a
b

tan B  cotC 
c
c
cot B  tan C 
b

sin B  cos C 

2. Tam giác thường

Định lí cosin:
cosA 

b2  c 2  a 2
2bc

a 2  b 2  c 2  2bc.cosA �
a
b
c


 2R
Định lí sin: sinA sinB sinC

Độ dài trung tuyến:
Diện tích tam giác:
(r là bán kính đường trịn nội tiếp)
(R là bán kính đường trịn ngoại
tiếp tam giác)

p

a b c
2 )

(với
Chú ý: Với tam giác đều cạnh a
www.thuvienhoclieu.com

Trang 9


www.thuvienhoclieu.com

Diện tích:

S ABC 

a2 3
4

AM 

Trung tuyến:
3. Diện tích các hình
Hình Abình hành

A
D cạnh a
Hình

vng
2
Diện tích: S ABCD  a

S ABCD  BC. AH

Đường
chéo:
B
C AC  BD  a 2

B

H

a 3
2

D

 AB. AD
.sin A
C

A
D
Hình
chữ nhật cạnh
a, b

S ABCD  a.b
B

C
A
Hình thoi
1
S ABCD  AC.BD
B
D
2
 AB. AD.sin A
C
 AB. AD.sin B

HìnhAthang
S
B

ABCD
H



D

( AD  BC ). AH
C
2

Kiến thức 11: KHỐI ĐA DIỆN
1. Khối chóp

2. Khối lăng trụ
S

1
V = B.h
3
Thể tích:

Thể tích: V = B.h
D
O
C

Lăng trụ đều:
+ Là lăng trụ đứng
+ Đáy là đa giác đều
+ Các cạnh bên bằng
nhau

Khối chóp tam giác đều S.ABC
+ Đáy là tam giác đều
+ Hình chiếu của đỉnh là trọng tâm của đáy
+ Các cạnh bên bằng nhau.

..
Khối hộp chữ nhật: V = abc

Khối chóp tứ giác đều S.ABCD
S
+ Đáy là hình vng.
+ Hình chiếu của đỉnh là giao điểm
A AC và BBD.
+ Các cạnh bên bằng nhau.
’
’
A

C
’

B

www.thuvienhoclieu.com
C

Trang 10


www.thuvienhoclieu.com

Tỉ số thể tích
VS.A ���
SA �SB �SC �
BC
=
.
.

VS.ABC
SA SB SC
3
Khối lập phương: V = a

Kiến thức 12: MẶT TRÒN XOAY
1. Mặt nón

2. Mặt trụ
A

r
D

h

B

Đường sinh: l  OM
Đường cao: h  OI
Bán kính đáy: r  IM
Diện tích xung quanh:

S xq   rl

Stp  S đ  S xq   r 2   rl

1
V   r 2h
3

Thể tích:

C

Đường sinh: l  DC
Đường cao: h  AB  l
Bán kính đáy: r  AD  BC

2
Diện tích đáy: S đ   r

Diện tích tồn phần:

r

Diện tích xung quanh:

S xq  2 rl

Diện tích tồn phần:
Stp  S2 đ  S xq  2 r 2  2 rl  2 r (r  l )
2
Thể tích: V   r h
3. Mặt cầu

2
Diện tích mặt cầu: S  4 R

4
V   R3

3
Thể tích khối cầu:

www.thuvienhoclieu.com

Trang 11


www.thuvienhoclieu.com

Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Chú ý:
1. OH  d (O, (P))
2. Trường hợp mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường trịn bán kính r , ta có:
OH 2  R 2  r 2

www.thuvienhoclieu.com

Trang 12