Phuong trinh bac hai

<span class='text_page_counter'>(1)</span>“SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I- CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHUYẾT (CÓ HỆ SỐ b = 0 HOẶC c = 0) 1. Định nghĩa: 2 Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai ) là phương trình có dạng : ax  bx  c 0 Với x là ẩn, a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số và a 0 . Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình bậc hai : a) 5x2 - 3x - 2 = 0 có a = 5, b = - 3, c = - 2 b) 7x2 - 7 = 0 có a = 7, b = 0, c = -7 2 c) 9x - 9x = 0 có a = 9, b = -9, c = 0 2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai có hệ số b = 0 hoặc c = 0 * Trường hợp c = 0, phương trình có dạng: ax2 + bx = 0.  A 0   B 0 Phương pháp giải: Đặt thừa số chung để đưa về phương trình tích: A.B = 0  x 0  x=0  x( ax +b)=0     x  b ax+b=0  a  Ta có: ax2 + bx = 0 VD 1: Giải phương trình: 4x2 – 8x = 0. Giải.  4 x 0  x  2 0 . 4x2 – 8x = 0 ⇔ 4x( x-2) = 0 ⇔. [ x=0 [ [ x=2. ⇔. Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = 2 *Trường hợp b = 0, phương trình có dạng: ax2 + c=0  . Nếu a.c > 0 thì phương trình vô nghiệm. Nếu a.c < 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt áp dụng quy tắc chuyển vế và đưa phương. c a. ±. √. trình về dạng x2 = rồi giải, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1,2=  Víi c = 0, ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm x = 0. + NÕu b = c = 0 (ph¬ng tr×nh khuyÕt b vµ c) th× ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng ax2 = 0 + NÕu b; c  0: C1: Đa về phơng trình tích đối với học sinh lớp 7, 8. C2: NhÈm nghiÖm b»ng viÐt. C3: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän (/). C4: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän ()... VD 2: Phương trình x2 + 2 = 0 vô nghiệm vì a = 1, c = 2; 1.2 = 2 > 0 VD 3: Giải phương trình: 5x2 – 100 = 0 Giải: 5x2 – 100 = 0 ⇔ 5x2 = 100 ⇔. ±2 √5. x2 = 20 ⇔ x =. 2 √5. Vậy phương trình có hai nghiệm x1 =. ; x2 = -. 2 √5. 3. VÝ dô ¸p dông: Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số a, b, c. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 1. c a.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” BT: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai ? Xác định các hệ số a, b, c của phương trình đó: a). 4x3 + 2x2 + 7x - 9 = 0. b) 6x2 + 2x - 3 = 4x2 + 3 2. c) 7x2 + 2x = 3 + 2x d) −2 √ 2 x + √ 2 x +8=8 3 Giải : a) Phương trình 4x + 2x2 + 7x - 9 = 0 không phải là phương trình bậc hai b) Phương trình 6x2 + 2x - 3 = 4x2 + 3 ⇔ 6x2 + 2x – 3 - 4x2 - 3 = 0 ⇔ 2x2 + 2x - 6 = 0 Là phương trình bậc hai có a = 2, b = 2, c = - 6 c) Phương trình 7x2 + 2x = 3 + 2x ⇔ 7x2+2x -3 -2x = 0 ⇔ 7x2 – 3 =0 Là phương trình bậc hai có a = 7, b = 0 , c = -3 2. d) Phương trình −2 √ 2 x + √ 2 x +8=8 ⇔. −2 √2 x 2 + √ 2 x +8−8=0. ⇔ -2. √2. x2 +. √2 √2. x. =0. Là phương trình bậc hai có a = -2 ,b= Dạng 2: Giải phương trình: BT: Giải các phương trình sau: a) 2x2 + 5x = 0, b) 5x2 - 15 = 0, Giải a) 2x2 + 5x = 0. √2. ,c=0 c) x2 + 2010 = 0. [ x=0. ⇔ x (2x + 5 ) = 0. [ x=− ⇔. Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 0 và x = b) 5x2 - 15 = 0 ⇔. 5x2 = 15 ⇔ x2 = 3. 5[ 2 . 5 2. ⇔ x=. Vậy phương trình có hai nghiệm : x = √ 3 và x = c) x2 + 2010 = 0 Có a = 1, c = 2010, a.c = 2010 > 0. Vậy phương trình vô nghiệm. 4. Bài tập đề nghị. ±√ 3 √3. Bài 1: Các phương trình sau đây đâu là phương trình bậc hai, chỉ rõ các hệ số a, b, c của chúng. a) 2x2 + 5x + 1 = 0, b) 2x2 – 2x = 0 2. c) −√ 3x = 0, d) 4x + 5 = 0 2 Giải: a, 2x + 5x + 1 = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = 5, c = 1. b) 2x2 – 2x = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = -2, c = 0. 2. c) −√ 3x = 0 là phương trình bậc hai có a = - √ 3 , b = 0, c = 0. d) 4x + 5 = 0 không phải là phương trình bậc hai. 2 Bài 2: Đưa các phương trình sau về phương trình dạng ax  bx  c 0 và giải các phương trình đó: a) 5x2 +. √ 8x. =. 2( 4 x  2) ,. b). Giải. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 2. √ 7 x 2 +7 x−86=−( x+86 ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. a) 5x 2  8 x  8 x  2  5x 2  8 x . 8 x  2 0  5 x 2  2 0  x . Vậy phương trình có hai nghiệm b,  . x. 2 5. và. 2. x . 2 5 2 5. √ 7 x +7 x−86=−( x+86 ) 7 x 2  7 x  86  x  86  7 x 2  8 x 0  x.  x 0    7 x  8 0. . 7 x 2  7 x  86  x  86 0. . 7 x  8 0.  x 0   x  8  7. 8 7 Vậy phương trình có hai nghiệm x 0 và II. áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để xét số nghiªm ph¬ng tr×nh bËc hai. 2 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: ax +bx+c=0(a 0)  b 2  4ac .NÕu b =2b ' th×  ' = b ' 2 - ac 1. Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi . Ta cã thÓ xÐt hai trêng hîp: +Trêng hîp 1: x . c NÕu a = 0,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= b ..  +Trêng hîp 2 :. a 0 0. hoÆc. . a 0  ' 0. . . a 0 0. a 0  ' 0. hoÆc 2.Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi . b  b   b'   '  b'   ' ; ; 2a 2a a a x1= x2= x1 = ; x2= => hoặc. . a 0 0. hoÆc 3.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi. b b' => x1= x2= - 2a x1= x2= - a hoặc. 4. Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm khi.. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. . a 0 0. hoÆc. 3. . . a 0  ' 0. a 0  ' 0.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” 2. 2. VD1:Cho phơng trình 2x -(4m+3)x+2m -1=0.Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng trình. a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b.Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp d. Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 2 2 Gi¶i:  =(4m+3) -4.2(2m -1)=24m+17.. a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi .. . a 0 0 .  b.Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi. c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi.. . . 2 0  17 24m 17 0  m  24. . a 0 0. . . 2 0 24m 17 0.  m.  17 24.  17  20  m   24m 17 0 24   17 0   224m  m  17 0 24. a 0 0 . a 0 0. d. Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm khi. 2 VD 2 :Cho phơng trình mx -2(m-1)x+(m-4)=0 .Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng trình. a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b.Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp d. Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 2 ' '2 2 2  (m  1)    0   Gi¶i: Ta cã :a 0 m ,  = b -ac= -m(m-4)=m -2m+1-m +4m=2m+1 a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi . +Trêng hîp 1:. c m 4 NÕu a=0  m=0 ,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= b 2(m  1) =2.. +Trêng hîp 2 :. . a 0 0 . .  m0  m 1  2. m 0 2m 10 . b.Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi.. c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi.. d. Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm khi.. . . . a 0 0 . a 0 0. . a 0 0.  . . m 0 2m 10. . m 0 2m 10.  mo   1  m 2.  m 0   m 12. m 0 2m 10.  m 0   1  m 2. III- Cách giải Một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai : Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b,c phụ thuộc tham số m GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. 1/ Dạng toán 1 : Biện luận sự có nghiệm của phương trình (1) a/ Phương pháp giải: Xét hệ số a * Nếu a =const ( hằng số )  = b2- 4ac hoặc  ’ = b’2 – ac Lập biệt thức + Nếu  > 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có hai nghiệm phân biệt b  b  ; ; 2a 2a x1 = x2=. b x1= x2= - 2a. +Nếu  =0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có nghiệm kép + Nếu  < 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) vô nghiệm trên R * Nếu hệ số a có chứa tham số ta xét : + Giả sử a = 0  m = mo  phương trình (1) trở thành bx +c = 0 (2) c - Nếu b 0 ( với m = mo) thì (2) có 1 nghiệm x = - b cũng là nghiệm của (1) - Nếu b = 0 và c = 0 ( với m = mo)  (2) vô định  (1) vô định - Nếu b = 0 và c 0 ( với m = mo)  (2) vô nghiệm  (1) vô định + Nếu a  0  = b2- 4ac hoặc  ’ = b’2 – ac Lập biệt thức - Nếu  > 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có hai nghiệm phân biệt  b  b  ; ; 2a 2a x1 = x2=. b -Nếu  =0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có nghiệm kép x1= x2= - 2a - Nếu  < 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) vô nghiệm trên R Sau đó tóm tắt phần biện luận trên . b/ Ví dụ : VD1 Biện luận sự có nghiệm của phường trình sau theo tham số m: x2 – 4x + m = 0 (1)  ’ = b’2 – ac = 4 – m Giải: Ta có ’ + Nếu  > 0  4 – m > 0  m < 4  (1) có hai nghiệm phân biệt  ( 2)  4  m  ( 2)  4  m 2  4  m 2  4  m 1 1 x1= ; x2= + Nếu  ’ = 0  4 – m = 0  m = 4  (1) có nghiệm kép 2 x1=x2=- 1 = 2  ’ < 0  4 – m < 0  m < 4  (1) vô nghiệm + Nếu Vậy :Với m < 4 phương trình đã cho có his nghiệm phân biệt x1= 2  4  m ; x2 = 2  4  m Với m = 4 phương trình có nghiệm kép x1=x2 =2 Với m > 4 phương trình vô nghiệm. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” VD2: Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (m+1) x2 + 2mx + m -3 =0 (1) Giải *Nếu (m+1) = 0  m = -1 phương trình (1) trở thành -2x – 4 = 0 4  x =-  2 = - 2 là nghiệm của (1) *Nếu m +1  0  m  - 1  ’ = m2 – (m+1)(m-3) = m2- (m2 -3m +m – 3) = 2m +3 Ta có 3 + Nếu  ’ > 0  2m + 3 > 0  m > - 2 thì phương trình có hai  m  2m  3  m  2m  3 m 1 m 1 nghiệm phân biêt : x1= ; x2 = 3 + Nếu  ’ = 0  2m + 3 = 0  m =- 2 thì phương trình có nghiệm kép 3  ’ < 0  2m +3 < 0  m < - 2 thì phương trình vô nghiệm + Nếu Vậy : Với m =-1 phương trình (1) có một nghiệm x =-2 3 Với m > - 2 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. m x 1 = x2 = - m  1.  m  2m  3  m  2m  3 m 1 m 1 . x1= ; x2 = 3 m Với m = - 2 phương trình(1) có nghiệm kép x 1 = x2 = - m  1 3 Với m < - 2 phương trình (1) vô nghiệm (Trong qua trình thực hiện HS có thể mắc sai lầm như sau  ’ = m2 – (m+1)(m-3) = m2- (m2 -3m +m – 3) = 2m +3 Ta có 3 ’ + Nếu  > 0  2m + 3 > 0  m > - 2 thì phương trình có hai  m  2m  3  m  2m  3 m 1 m 1 nghiệm phân biêt : x1= ; x2 = 3 m + Nếu  ’ = 0  2m + 3 = 0  m =- 2 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - m  1 3 + Nếu  ’ < 0  2m +3 < 0  m < - 2 thì phương trình vô nghiệm 3 Vậy : Với m > - 2 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  m  2m  3  m  2m  3 m 1 m 1 . x1= ; x2 = 3 m Với m = - 2 phương trình(1) có nghiệm kép x 1 = x2 = - m  1 3 Với m < - 2 phương trình (1) vô nghiệm Như vậy h/s đã bỏ sót nghiêm “trong trương hợp m = - 1” là x = - 2 ) VD3: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : (m - 1)x2 + (2m – 3 0 x + m + 2 = 0 (1) Giải:TH1: NÕu m – 1 = 0  m = 1 Lúc đó (1)  - x + 3 = 0  x = 3. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” TH2: Nếu m - 1  0  m  1 thì phơng trình (1) là phơng trình bậc hai đối với x có  = (2m - 3)2 – 4 (m – 1) (m+ 2) = - 16m + 17. NÕu NÕu. Δ< 0 m ≠1 ⇔ ¿ 17 m > 16 m ≠1 17 ⇔ m > 16 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿. th× ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm. Δ= 0 m ≠1 17 ⇔ m= 16 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. −2 m+3 =7 2( m−1) th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp: x1= x2 = Δ >0 m ≠1. ⇔ 1≠ m <. NÕu. {¿. ¿ ¿. 17 16. ¿ ¿. −2m+3±√−16 m+17 2(m−1 ) th× ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt: x1,2 =. VËy... VD4: BiÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x3 - m (x + 2) + 8 = 0 (1) theo m Giai: Bµi to¸n nµy míi nh×n häc sinh cho lµ ph¬ng tr×nh bËc 3 cha biÕt c¸ch gi¶i. Hớng dẫn các em đa (1) về dạng tích trong đó có một nhân tử bậc nhất và một nhân tử bậc hai. (1)  (x + 2) (x2 - 2x + 4 - m) Nh vËy sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sÏ phô thuéc vµo sè nghiÖm cña: F(x) = x2 - 2x + 4 - m C¸c em ph¶i biÖn luËn ' = m - 3 NÕu m < 3 ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x = -2 x + 2=0 f (−2 )≠0 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. NÕu m = 3 vµ th× (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = -2, x = 1; m = 3 Nếu m > 3 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt khác - 2 khi đó (1) có 3 nghiệm phân biệt.. 2 / Dạng toán 2. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có nghiệm. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” a/ Phương pháp giải Để phương trình (1) có nghiệm thì :  a 0 a 0   (  ' ) 0 b  0  Hoặc (I) hoặc  (II) (Nếu hệ số a là hằng số thì ta giải hệ (II) ,nếu hệ số a có chứa tham số ta phải giải cả (I) và (II) các giá trị của m cần tìm là tất cả các giá tri của m thoả mãm (I) hoặc (II) b/ Ví dụ VD1: Với những giá trị nào của m thì phương trình x2 + 3x – m = 0 có nghiệm Giải Ta có :  = b2- 4ac = 9 + 4m 9 Để phương trình trên có nghiệm thì :   0  9 + 4m  0  m - 4 9 Vậy với m - 4 thì phương trình (4) luôn có nghiệm VD2 Tìm điều kiện của m để phương trình (m+1) x2 – (2m + 1)x + m = 0 (4) có nghiệm Giải: Để phương trình (4) có nghiệm thì :. m  1 0  Hoặc  (2m 1) 0 (I) m  1 0  Giải (I)  (2m  1) 0. hoặc. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. m  1 0  2  ( (2m  1))  4( m  1)m 0. 8. (II).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. 1 ta có m+1=0  m = - 1, và -(2m+1) 0 suy ra m - 2. phương trình có nghiệm. m  1 0  2  ( (2m  1))  4( m  1)m 0. Giải (II) Ta có m +1 0  m -1  = (-(2m+1))2 – 4(m+1)m 0  4m2 + 4m +1 – 4m2 – 4m  0   0  m 1 Vậy với m - 2 hoặc m -1 thì phương trình đã cho luôn có nghiệm VD3: Cho ph¬ng tr×nh: (m2 - 4) x2 + 2 x + 1 = 0 (1) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm. b) Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất. Giai: Để giải câu (a) cần lu ý học sinh xét trờng hợp a = 0 vì khi đó hệ số a chứa tham số. A=0m=2 Khi nµy (1) chØ cã nghiÖm khi m = 2 cßn m = - 2 th× (1) v« nghiÖm. a≠0 §Ó gi¶i c©u (b); thêng häc sinh chØ xÐt trêng hîp: Δ'≥0 a=0 Bá qua trêng hîp b≠0. {. {. Mµ ë c©u (a) trêng hîp m = 2 th× a = 0 vµ b ≠ 0.. −. 1 8. Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt khi m = 2 VD4 Cho ph¬ng tr×nh (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham sè m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó? c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)? Gi¶i. 3 a) + NÕu m-1 = 0  m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0  x = 2 (lµ nghiÖm). + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2. 2 (1) cã nghiÖm  ’ = 3m-2  0  m  3. 2 + KÕt hîp hai trêng hîp trªn ta cã: Víi m  3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 3 b) + NÕu m-1 = 0  m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0  x = 2 (lµ nghiÖm) + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2. 2 (1) cã nghiÖm duy nhÊt  ’ = 3m-2 = 0  m = 3 (tho¶ m·n m ≠ 1) 1 1 − =− =3 m−1 2 −1 3 Khi đó x = 3 +VËy víi m = 1 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2 2 víi m = 3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 3 GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” c) Do ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 2 nªn ta cã:. 3 (m-1)22 + 2.2 - 3 = 0  4m – 3 = 0  m = 4 3 1 − Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 = 4 -1= 4 ≠ 0) −3 −3 = =12⇒ x 2 =6 m−1 1 − 4 Theo ®inh lÝ Viet ta cã: x1.x2 = 3 VËy m = 4 vµ nghiÖm cßn l¹i lµ x2 = 6. 3/Dạng toán 3. Tìm điều kiện của m để (1) có hai nghiệm phân biệt. a/ Phương pháp giải.  a 0  '   ( ) 0. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi b/ Ví dụ VD1: Tìm điều kiện của m để phương trình (m+3)x2 – (2m +1)x +m = 0 (5) có hai nghiệm phân biệt GiảiPhương trình (5) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m  3 0  2  ( (2m  1))  4(m  3) m  0 Ta có m +3 0  m  - 3 và  = (-(2m+1))2 – 4(m+3)m > 0  4m2 +4m + 1 – 4m2 – 12m > 0 1  - 8m +1 > 0  m < 8 1 Vậy với m  - 3 và m < 8 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt VD2: Tìm điều kiện của m để phương trình 2x2 – 3x + m +1 = 0 (6) có hai nghiệm phân biệt Giải Để phương trình (6) có hai nghiệm phân biệt thì  > 0 1 Thật vậy ta có  = (-3)2 – 4.2(m+1) > 0  9 – 8m – 8 > 0  m < 8 1 Vậy với m < 8 thì phương trình (6) luôn có hai nghiệm phân biệt. 4/ Dạng toán 4. Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có một nghiệ. a/ Phương pháp giải. Phương trình (1) có một nghiệm khi và chỉ khi. a 0  b 0. hoặc. a 0   0. b/ Ví Dụ VD1 : tìm điều kiện của m để phương trình mx2 + (m + 1 )x +3m = 0 (7) có một nghiệm Giải: Phương trình (7) có một nghiệm khi và chỉ khi  m 0 m 0   2 m  1 0 (I) hoặc   (m 1)  4m3m 0 (II). GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” Giải (I):. m 0 m 0   m  1 0  m  1 Giải (II):Ta có m 0 và  = (m + 1)2 – 4m3m =0  m2 +2m +1 – 12m2 = 0  -11m2 +2m +1 = 0 (*) Có  = 12 –(-11)1 = 12 suy ra (*) có hai nghiệm phân biệt  1  12  1  12 m1=  11 ; m2 =  11 m 0  1  12  1  12  Vậy với m  1 hoặc m 0 và m1=  11 ; m2 =  11 thì phương trình đã cho có một nghiệm VD2 : Với giá trị nào của m thi phương trình x2 – 2mx +4 = 0 (8) có một nghiệm Giải: Phương trình (8) có một nghiệm khi và chỉ khi  = 0  m2 – 4 = 0  (m +2 )( m – 2 ) = 0  m = 2 hoặc m = - 2 Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thi phương trình (8) có một nghiệm. 5/ Dạng toán 5 :. Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. a/ Phương pháp giải ` Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu thì :  0 và P > 0 b/ Ví Dụ VD: Tìm điều kiện của m để phương trình 2x2 – 3x + m +1 = 0 (9) có hai nghiệm cùng dấu  ( 3) 2  4.2( m  1) 0   m 1 0 P  2 Giải: Phương trình (9) có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi :  1 2 Ta có  = (- 3) - 4.2 (m + 1 )  0  9 – 8m – 8  0  - 8m + 1  0  m  8 m 1 Và P = 2 > 0  m + 1 > 0  m > - 1 1 Vậy với -1 < m  8 thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu. 6/ Dạng toán 6 :. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm dương. a/ Phương pháp giải.  , ( ' ) 0  c  P   0 a  b   S  a  0 Để phương trình (1) có hai nghiệm dương thi : b/ Ví Dụ VD:. Tìm điều kiện của m để phương trình x2 – 4x +m = 0 (10) có hai nghiệm dương. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”.    ' 4  m 0(1)   P m  0(2)  4  S   0(3) 1 Giải: Để phương trình (10) có hai nghiệm dương thì :  (1)  4 – m  0  m  4 (2)  m > 0 (3)  4 > 0  m Vậy với 0 < m  4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương. 7/ Dạng toán 7:. Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm âm. a/ Phương pháp giải   , (  ' ) 0  c  P   0 a  b   S  a  0 Để phương trình (1) có hai nghiệm âm thì : b/ Ví Dụ VD: Tìm điều kiện của m để phương trình (m+3)x2 – (2m +1)x +m = 0 (11) có hai nghiệm âm   ( (2m  1)) 2  4(m  3)m 0(1)  m   0(2) P  m 3   (2m  1)   S  m  3  0(3) Giải: Phương trình (11) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi : (1)  (-(2m + 1))2 – 4(m + 3 )m  0  4m2+ 4m + 1 -4m2 – 12m 0 1  - 8m +1  0  m  8 m  0 m  0 m   (2)  m  3 > 0  m (m + 3 ) > 0  m  3  0 (I) hoặc m  3  0 (II) (I)  m > 0 và m + 3 > 0  m > - 3 (II)  m < 0 và m + 3 < 0  m < -3 Vậy m(m + 3 ) > 0  m > 0 hoặc m < - 3  (2m  1) (3)  m  3 < 0  - ( 2m + 1 ) (m + 3 ) < 0  2m  1  0  2m  1  0     m  3  0 (*) hoặc  m  3  0 (**) 1 (*)  2m + 1 > 0  m > - 2 và m + 3 > 0  m > - 3 1 (**)  2m + 1 < 0  m < - 2 và m + 3 < 0  m < - 3. 1 Vậy -(2m + 1 )( m + 3 ) < 0  m > - 2 GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 12. hoặc m < - 3.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. 1 Vậy phương trình trên có hai nghiệm âm khi và chỉ khi ; 0 < m  8 hoặc m < - 3. 8/ Dạng toán 8. Tìm điều kiện của m để (1) có hai nghiệm trái dấu. a/ Phương pháp giải Phương trinh (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi :  >0 và P < 0 hoặc a.c < 0 b/ Ví Dụ VD1 : Tìm điều kiện của m để phương trình 2 x2 + 3x + m + 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu Giải  32  4.2( m  1)  0   m 1 0 P  2 Phương trình trên có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi :  Ta có  = 32 - 4.2(m+1) > 0  9 – 8m – 8 > 0 1  -8m + 1 > 0  m < 8 m 1 2 <0  m+1<0  m<-1 Và hoặc 2( m+ 1) < 0  m < - 1 Vậy để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì : m < -1 VD2 : Với giá trị nào của m thì phương trình : mx2 + 2(m+1)x + (m – 1) = 0 có hai nghiêm trái dấu Giải  ' (m  1) 2  m(m  1)  0   m 1 0 P  m Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì :  Ta có  ’= (m+1)2 – m(m-1) > 0  m2 + 2m + 1 – m2 + m > 0 1  3m + 1 > 0  m > - 3 m  1  0 m  1  0 m 1 m 1   Và P = m < 0  m < 0  (m-1)m < 0  hoặc m  0 hoặc m  0. m  1  0 m  1    m  0 +, m  0 m  1  0  +, m  0. m  1   m  0. 1 Vậy với - 3 < m < 0 hoặc 0 < m < 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu VD3: Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có ít nhất 1 nghiệm không âm : x2+ mx + (2m – 4 ) = 0 (1) Giai: C¸ch 1: Ta cã  = (m- 4)2 0 P = 2m – 4 S = -m Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ∀m Phơng trình có 2 nghiệm đều âm khi: GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” P > 0 S < 0 ⇔ ¿ m −4 > 0 −m < 0 ⇔ ¿ m > 2 m > 0 ⇔ m > 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. 2. {. Vậy điều kiện để phơng trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm là m 2 C¸ch 2:  = (m- 4)2 0 P = 2m – 4 S = -m NÕu P 0  m  2 th× ph¬ng tr×nh (1) lu«n  nghiÖm kh«ng ©m. NÕu P > 0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm cïng dÊu. §Ó tho¶ m·n bµi to¸n th× S > 0 P > 0 S > 0 ⇔ ¿ m > 2 m < 0 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿. Do đó (kh«ng x¶y ra) VËy m  2 C¸ch 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1):  = (m- 4)2 0 ⇒ x1 = 2 - m x2 = - 2 ph¶i cã x1  0  m  2 VËy m  2. 9/Dạng toán 9 Tìm điều kiện của tham số để (1) có một nghiệm x = x1 tìm nghiệm kia a/ Phương pháp giải Thay x = x1 vào (1) ta có: ax12 + bx1+ c = 0 Thay giá trị m = mo vào (1)  x1,x2 P Hoặc tính x = S – x hoặc x = x1 2. 1.  m = mo. 2. b/ Ví Dụ VD1 Định m để phương trình x2 +3x – m = 0 có một nghiệm bằng -2 .Tìm nghiệm kia Giải+ Do phương trình trên có một nghiệm bằng -2 nên ta có : (-2)2 + 3(-2) – m = 0  4 – 6 – m = 0  m=-2 Vậy với m = -2 thì phương trình trên có một nghiệm bằng – 2 + Tìm nghiệm còn lại Cách 1 : Thay m = -2 vào (1) ta được x2 + 3x + 2 = 0 Phương trình trên có dạng a-b + c = 0 nên có hai nghiệm -1 và -2 . Vậy nghiệm thứ hai là x = - 1 Cách 2:Ta có x1 + x2 = -3  x2= - 3 – x1 = -3 –(-2) = - 1 2 Cách 3:Ta có : x1x2= -m = 2  x2 = 2 = - 1 VD2: Với giá trị nào của m thì phương trình : x2 + mx +3 = 0 có một nghiệm bằng 1 ? Tìm nghiệm kia Giải* Do phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1 nên ta có : 12 + m.1 + 3 = 0  m + 4 = 0  m = - 4 Vậy với m = - 4 thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1 * Tìm nghiệm còn lại  x2 = 4 – x1 = 4 -1 = 3 Ta có : x1+x2 = - m = 4 VD3 : Biết rằng phương trình : x2 + 2(d – 1)x + d2 + 2 = 0 (Với d là tham số ) có một nghiệm x = 1 . Tìm nghiệm còn lại của phương trình này. Giải * Do phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1 nên ta có : 12 + 2( d- 1 ) 1 + d2 + 2 = 0  d=-1 d2 + 2d + 1 = 0  (d + 1 )2 = 0. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. *Tìm nghiệm còn lại Ta có x1 + x2 = - 2(d- 1) = -2 (-1 – 1 ) = 4  x2 = 4 – x1 = 4 – 1 = 3  x2 = 4. 10/Dạng toỏn 10: Biểu thức đối xứng của hai nghiệm.. - Nhắc lại biểu thức F (x1; x2) gọi là đối xứng. - Nếu F (x2; x2) đối xứng biểu diễn qua hai biểu thức đối xứng cơ bản S = x1 + x2 vµ P = x1x2 - NÕu ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã hai nghiÖm th×:. −. b a. S = x1 + x2 vµ vµ P = x1x2 = c/a. VD 1 cho f(x) = 2x2 + 2 (m + 1) x + m2 + 4m + 3 Gäi x1; x2 lµ c¸c nghiÖm cña f(x). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = x1x2 - 2x1 - 2x2  Giai:- Häc sinh thêng m¾c sai lÇm kh«ng cÇn xem xÐt f(x) cã nghiÖm hay kh«ng mµ ¸p dông lu«n hÖ thøc: 2. S = x1 + x2 = - (m + 1) vµ P = - CÇn lu ý c¸c em f(x) cã nghiÖm   ≥ 0  (m + 1) (-m-5) ≥ 0 Khi đó áp dụng hệ thức.. m +4 m+3 2  - 5 ≤ m ≤ -1. 2. m +4 m+3 2. S = -(m +1) vµ P = BiÓu thÞ A theo S vµ P. m2 +8 m+7 | | 2. A= Đến đây học sinh lại quên mất điều kiện có m khử dấu trị tuyệt đối Vì - 5 ≤ m ≤ -1 nên m2 + 8m + 7 ≤ 0 do đó 2. m2 + 8 m+7 9−(m+ 4 ) 9 = ≤ 2 2 2 A=9 X¶y ra dÊu b»ng khi m = -4. VËy mµ A = 2 khi m = -4 VD 2: Tìm m để phơng trình: 3x2 + 4 (m-1)x + m2 - 4m + 1 = 0. 1 1 1 + = ( x 1+ x 2 ) x x2 2 1 Cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n.. Giai: Với bài toán này học sinh cũng bỏ qua không xét xem với điều kiện nào của m thì phơng trình đã cho cã nghiÖm mµ ¸p dông lu«n hÖ thøc. 2 4( m−1) m −4 m+1 3 3 S = x1 + x2 = vµ P =. Tríc hÕt ph¶i xÐt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm  ' > 0  m2 + 4m + 1 > 0  m < - 2 -. √3. 1 1 , x 1 x2 Điều kiện thứ 2 là P ≠ 0 để có. hoÆc m > - 2 +. √3. (*).  m ≠ +2  √ 3 Một sai lầm học sinh thờng mắc phải đó là khi tính. 1 1 1 + = ( x +x ) x 1 x2 2 1 2  2(x +x ) = (x +x )x x hai vế của đẳng thức 1 2 1 2 1 2. x1 + x2 liÒn rót gän ®i Điều đó không thể đợc vì có thể có giá trị của m làm cho x1 + x2 = 0 - Nh¾c cho häc sinh ph¶i chuyÓn vÕ ®a vÒ d¹ng tÝch:  (x1 + x2)(2 - x1x2) = 0 GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”  4(m - 1)(-m2 + 4m + 5) = 0 m=1  m = -1 Lo¹i v× §K (*) m=5 VËy m = 1 hoÆc m = 5 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n ®Çu bµi.. 11/Dạng toán 11: Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn  x1 +  x2 =  (*) a/ Phương pháp giải Để (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì: b    0 (**) và  x1  x2  a (1)  (2) c  (3)  x1 x2  a   x1,x2  .x1   x2  Giải hệ Thay các giá trị của x1 và x2  vào (2)  m Chọn các giá trị của m thoả mãn (**) b/ Ví Dụ VD1 Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = 0 (I) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện : 2x1 + 3x2 = 0 (*) Giải Để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì   ( a  2) a  2 (1)  x1  x2  1 2  = (a – 2 ) – 4.1.( - 2a)  0 và   2a  (2)  2a  x1.x2  1 (3)  2 x  3 x  0  1 2    a2 + 4a + 4  0  (a + 2 )2  0  a  R  x1  x2 a  2  2 x1  2 x2 2(a  2)   2 x  3 x2 0   2 x1  3x2 0  x2 = - 2(a – 2 ) Từ (1) và (2) ta có hệ  1 Thay x2 vào (1) ta được x1 = 3(a – 2 ) Thay x1,x2 vào (2) ta được -2(a – 2 )3(a – 2) = - 2a  6(a – 2 )2 = 2a  6a2 – 24a + 24 = 2a.  6a2 – 26a + 24 = 0  3a2 – 13a + 12 = 0. 4  = 5  a1 = 3 , a2 = - 3.  Có  = 132 -4.3.12 = 169- 144 = 25 4 Vậy với a = 3 hoặc a = -3 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) VD2: Với giá trị nào của m thì phương trình : x2 -8x + m + 5 = 0 (I) có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 10 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) là:  ’ = (-4)2 – (m+5)  0 và (1) (2) x  x  8 1 2 (3) .  x1.x2 m  5 2 x  3x 10  1 2. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”  ’  0  (-4)2 –(m + 5)  0  16 - m – 5  0  11 – m  0  m  11  x1  x2 8 2 x1  2 x2 16   2 x  3 x2 10  2 x1  3 x2 10 Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình  1  x2=- 6 thay x2 vào phương trình (1) ta được x1 = 14 Thay x1,x2 vào phương trình (2) ta có 14(-6) = m + 5  m = -89 kết hợp với (1’) vậy giá trị m cần tìm là : m = -89. Ta có. Tìm m để phương trình : mx2 +2(m- 1)x +m – 2 = 0 (I) có hai nghiệm thoả mãn 3x1 – x2 = 2 (*) Giải: Để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì:  ’ = (m- 1 )2 – m(m- 2)  0 và 2(m  1)  (1)  x1  x2  m (2)  m 2   x1.x2  m  (3) 3x1  x2 2   VD3. (3). Ta có  ’  0 . m2 – 2m +1 – m2 +2m  0  1  0  m (1’) 2(m  1)   x1  x2  m  (m  1) 3x1  x2 2  4x1 = 2 - 2 m Từ (1) và (3) ta cóv hệ phương trình 2 1 3  4m  4x1 = m  x1= 2m thay x1 vào (3) ta được x2 = 2m Thay x1,x2 vào (2) ta được : 1 3  4m m  2 3  4m m  2   4m 2 2m . 2m = m m  3 – 4m = 2m(m-2) 2m2 =3  m =. . 3 2. Kết hợp với (1’) suy ra giá trị m cần tìm là m =. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 17. . 3 2.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” VD4 : T×m m sao cho: x2 - (2m + 1)x + m2 + 1 = 0 cã 2 nghiÖm x1, x2 víi 1 = 2x2 Giai: Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm   ≥ 0  4m - 3 ≥ 0  m ≥3/4 BiÓu thÞ S = x 1 + x 2=2 m + 1 P = x 1 x 2 =m + 1 ⇔ ¿ 3 x 2=2 m + 1 2 x {. ¿. 2 2. =m 2 + 1 ¿. ¿ ¿. ¿. Rút x2 theo m đợc hệ thức m2 - 8m + 7 = 0 Từ đó ta có m = 1 hoặc m = 7 VD5: Chøng minh hÖ thøc: (k + 1)2 ac = kb2 (víi k ≠ -1) Giai: Là điều kiện cần và đủ để phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm đồng thời nghiệm này gấp k lÇn nghiÖm kia. Hớng dẫn học sinh xác định điều kiện cần, điều kiện đủ của bài toán. + §iÒu kiÖn cÇn: Ph¬ng tr×nh ax2 + bx = c = 0 (a ≠ 0) Gi¶ sö cã nghiÖm x1, x2 vµ x1 = kx2 Th× ta cã hÖ thøc: (k + 1)2 ac = kb2 (víi k ≠ -1) BiÓu thÞ S = x1 + x2 = -b/a P = x1 x2 = c/a ⇔ ( k +1 ) x 2 =−b / a kx 2 2 =c / a ¿ ¿ {¿ ¿ ¿ 1 2. (Sö dông ®iÒu kiÖn x = kx ) Khử x2 đợc hệ thức cần chứng minh: (k + 1)2 ac = kb2 +Điều kiện đủ: Ta có hệ thức (k + 1)2 ac = kb2 Ph¶i chøng minh ph¬ng thøc ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã nghiÖm x1 = kx2 Rút ac từ hệ thức đã có (liên quan đến ). 2. kb 2 Vì k ≠ - 1 khi đó ac = (b+1 ) 2 2 b ( k−1) ≥0 2 (k +1 ) =. Do đó phơng trình có hai nghiệm.. −b− √ Δ kb = 2a a(k+1 ) x1 = −b+ √ Δ b =− 2a a(k+1) x2 = VËy x1 + kx2 VD6: Tìm m để phơng trình có nghiệm: mx2 - 2 (m - 1) x + 3 (m - 2) = 0 Cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 tho¶ m·n x1 + 2x2 = 1 2− √. Giai: BiÓu thÞ. ⇔ Δ ' > 0 a ≠0 ⇔ ¿ 5 <m <2 +√ 5 m≠ 0 ¿ ¿ {¿ ¿ ¿. 2 ( m−1) m 3( m−2 ) P = x 1 x 2= m ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ S= x 1 + x 2 =. BiÓu thÞ x1 theo x2 tõ hÖ thøc x1 + x2 = 1 Tính x2 theo m để khử x2 đợc: 3m2 - 8m + 4 = 0  m = 2 hoÆc m = 2/3. 12/Dạng toán 12: Tìm điều kiện của m để phương trình (I)có hai nghiệm thoả mãn x12 + x22 = k (*) a/ Phương pháp giải. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” Để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì :   0 và   x 21  x 2 2 ( x1  x2 )  2 x1 x2 k (1)  (2) b   x1  x2  a  (3) c   x1.x2  a. Thay (2),(3) vào (1) ta có : S2- 2P = k (4) giải (4)  m .Chọn m thoả mãn (*’) b/ Ví Dụ VD1:. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình : x2 +mx +m +7 = 0 (I) x12  x22 10 có hai nghiệm thoả mãn. GiảiĐiều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là :  0   = m2- 4(m + 7)  0  m2 – 4m – 28  0 (+) 2 2 2 Ta có : x1  x2 ( x1  x2 )  2 x1.x2 = 10 (1) mà.  x1  x2  m (2)  x . x  m  7 1 2. Thay (2) vào (1) ta được : m2 - 2(m+7) = 10  m2 – 2m - 14 = 10  m2 – 2m – 24 = 0 (4) Phương trình (4) có hai nghiệm là m1=6 , m2= - 4 Thay các giá trị của m vao (+) ta có : Với m1= 6 thay vào (+) ta có : 62 - 4.6 – 28 0 vô lý Với m2 =-4 thay vào (+) ta có : 42 – 4.(-4) -28 =4  0 Vậy với m = -4 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) VD2:. Hảy xác định các giá trị của m để phương trình :. 2 2 x2 + (m- 2 )x - (m2 + 1) = 0 (I) có hai nghiệm thỏa mãn : x1  x2 5 (*) Giải : Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là:  0  (m – 2)2 + 4(m2 + 1)  0  m (**)  phương trình (I) luôn có hai nghiệm phân biệt 2 2 Ta có : x1  x2  (x + x )2 – 2x .x = 5 (1’) trong đó. 1. 2 2. 1. 2. x1+ x2 = –(m-2) và x1.x2 =-(m + 1 ) thay vào (1’) ta được : (m – 2)2 + 2(m2 + 1) = 5   m2 – 4m + 4 + 2m2 +2 – 5 = 0 3m2 – 4m + 1 = 0 1 1  m1 = 1 V m2 = 3 Kết hợp với (**) Vậy giá trị m cần tìm là : m = 1 V m = 3 VD3:. Tìm a để phương trình :. x2 - (a-2)x - 2a = 0 (I). 2 2 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện : x1  x2 =8 (*) Giải: Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là :.  0  (a- 2)2 – 4.1.(-2a)  0.  a2- 4a +4 + 8a 0 GV: AYLIGIO.BACHTUYET !.  a2 + 4a + 4  0 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”.  (a + 2 )2  0  a  R 2 2 Ta có x1  x2 = (x1+x2 )2 – 2x1x2 = 8 (1) trong đó x1+x2 = a-2 và x1.x2 = - 2a Thay vào (1) ta được : (a- 2)2 – 2(-2a) = 8  a2 – 4a +4 + 4a = 8  a2 = 4  a =  2 Vậy với a = 2 hoặc a = - 2 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*). 13/ Dạng toán 13 Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn 1 1  x1 x2 = n (*) a/ Phương pháp giải Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) là : 1 1   0 (1’) và x1 x2 = n  x +x = nx .x (1’’) 1. 2. 1. 2. b c Trong đó x1+x2 =- a , x1.x2 = a Giải (1’’) kết hợp với (1’) suy ra điều kiện của m b/ Ví Dụ VD1 Tìm các gia trị của m để phương trình :. 1 1 7  (m + 1) x2 – 2(m – 1)x +m – 2 = 0 (I) có hai nghiệm thoả mãn : x1 x2 = 4 (*) ' Giải: Điều kiện để (I) có hai nghiệm là :   0  (m – 1)2 – (m+1)(m-2)  0  m2 – 2m +1 – m2 +m +2  0  - m + 3  0  m  3 (1’) 1 1 x1  x2 7   4  4(x + x ) = 7x x (2’) Ta có x1 x2 = x1 x2 1. 2. 1 2. 2( m  1) m 2 Mà x1+ x2 = m  1 và x1x2 = m  1 thay vào (2’) ta được : 2(m  1) m 2 4 m  1 =7 m  1  8(m – 1) (m + 1) = 7 (m – 2)( m + 1) ( m - 1) (*’)  8m2 – 8 = 7m2 – 7m – 14  m2 +7m + 6 = 0  m1 = - 1 và m2 = - 6 Kết hợp với (1’) và (*’) vậy giá trị của m cần tìm là : m = - 6 VD2: Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = 0 (I) 1 1   có hai nghiệm x , x thoả mãn điều kiện : x1 x2 k (*) 1. 2. Giải: Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là :   0  (a – 2 )2 – 4.1.( - 2a)  0  a2- 4a +4 + 8a 0  a2 + 4a + 4  0  (a + 2 )2  0  a  R (1’) 1 1   Ta có : x1 x2 k  x + x = k x x (*’) 1. 2. 1 2. Mà. x1+ x2 = a – 2 và x1x2 = - 2a Thay vào (*’) ta được : a – 2 = k (- 2a)  2ka + a – 2 = 0  (2k + 1)a– 2 = 0 2  a = 2k  1 2 Kết hợp với (1’) suy ra giá trị của a cần tìm là : a = 2k  1. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. 14/ Dạng toán 14. Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn. 3 3 điều kiện : x1  x2 t (*). a/ Phương pháp giải. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) là : 3 3 2 2  0 (1’) và x1  x2 t  (x1+x2 )( x1  x1 x2  x2 ) = t  (x1 + x2 )((x1 + x2)2-2x1x2 – x1x2) = t  (x1 + x2 )((x1 + x2)2- 3x1x2) = t  (x1+ x2)3 – 3x1x2(x1+ x2) = t (1’’) b c Trong đó x1+x2 =- a , x1.x2 = a Giải (1’’) kết hợp với (1’) suy ra điều kiện của m b/ Ví Dụ VD1 Với giá trị nào của m thì phương trình : x2 -8x + m + 5 = 0 (I) 3 3 có hai nghiệm x ,x thỏa mãn x1  x2  4 (*) 1. 2. GiảiĐiều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là:  ’  0  (-4)2 –(m + 5)  0  16 - m – 5  0  11 – m  0  m  11 (1’) 3 3 2 2 x1  x2   Ta có 4 (x1+x2 )( x1  x1 x2  x2 ) = 4  (x1 + x2 )((x1 + x2)2-2x1x2 – x1x2) = 4  (x1 + x2 )((x1 + x2)2- 3x1x2) = 4  (x1+ x2)3 – 3x1x2(x1+ x2) = 4 (1’’) Trong đó x1+x2 =8 , x1.x2 = m + 5 Thay vào (1’’) ta được : 83 – 3.8 (m + 5) = 4  512 – 124 – 24m = 0  388 – 24m = 0 388 97   m = 24 6 Kết hợp với (1’) Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) VD2 : Xác định m để phương trình : x2 + 3x - m +10 = 0 (I) 3 3 có hai nghiệm thoả mãn x1  x2 3 (*) Giải: Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là :  ’  0  32 - ( - m + 10)  0  9 + m – 10  0  m – 1  0  m  1 (1’) 3 3 2 2 Ta có : x1  x2 3  (x1+x2 )( x1  x1 x2  x2 ) = 3  (x1 + x2 )((x1 + x2)2-2x1x2 – x1x2) = 3  (x1 + x2 )((x1 + x2)2- 3x1x2) = 3  (x1+ x2)3 – 3x1x2(x1+ x2) = 3 (1’’) Trong đó x1+x2 =- 3 , x1.x2 = - m + 10 Thay vào (1’’) ta được : (- 3)3 – 3 (-3) (-m + 10) = 3  -27 - 9m + 90 = 3 20  -9m + 60 = 0  m= 3 20 Kết hợp với (1’) suy ra giá trị của m cần tìm là : m = 3. 15/Dạng toán 15 :. Tìm điều kiện của m để phương trình (1) vô nghiệm. a/ Phương pháp giải  a 0  b 0 a 0  c 0 Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi :  (I) hoặc , ( ')  0 (II) Giải (I) và (II) suy ra giá tri của m cần tìm b/ Ví Dụ VD: Tìm các giá trị của m để phương trình : (m + 1) x2 – 2(m – 1)x +m – 2 = 0 (1) vô nghiệm Giải. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. m  1 0  m  1 0  m  1 0  m  2 0 Phương trình (I) vô nghiệm khi và chỉ khi :  (I) hoặc   '  0 (II)   Giải (I) suy ra m = 1 và m 2 (2) Giải (II) Ta có: m + 1 0  m -1 và  ’ < 0   (m – 1)2 – (m+1)(m-2) <0  m2 – 2m +1 – m2 +m +2 < 0  -m+3< 0  m > 3 (3)  Từ (2) và (3) suy ra Vậy với m = 1 và m 2 hoặc m > 3 thì phương trình đã cho vô nghiệm. 16/Dạng toán 16 :. NghiÖm h÷u tû cña ph¬ng tr×nh bËc 2.. VD1: Cho ph¬ng tr×nh : x2+ mx + n = 0 (*) (m, n Z) a, Chứng minh rằng: nếu phơng trình (*) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó là số nguyên . b, T×m nghiÖm h÷u tØ cña ph¬ng tr×nh (*) khi n = 3. Gi¶i : a, NÕu (1) cã nghiÖm x = 0 th× tho¶ m·n. a ≠0 NÕu (1) cã nghiÖm h÷u tØ x = b trong đó a; b Z; bZ*+ ; (a; b) = 1. a 2 a +m +n=0 b b. (). Ta cã  a2 = -mab –nb2  a2: b mà (a; b) = 1 nên b = 1 do đó xZ b, Khi n = 3 ph¬ng tr×nh (*) cã d¹ng x2 + mx + 3 = 0 = m2 – 12 §Ó (*) cã nghiÖm h÷u tØ th×  chÝnh ph¬ng. §Æt m2 – 12 = k2 (kN)  m2 – k2 = 12  (m-k) (m+k) = 12 ¿ m+ k =6 m−k = 2 ¿ [ ¿ m+ k =−2 m− k =− 6 ¿ [ {¿ ¿ ¿. ¿  V× m+ k , m-k lµ íc cña 12, cïng tÝnh ch½n lÎ, m+k ¿. m-k.. [m=4 [ [m=−4. nªn Víi m = 4 ph¬ng tr×nh (*) lµ x2 + 4x + 3 = 0 cã 2 nghiÖm x1 = -1 x2 = - 3 Víi m= -4 ph¬ng tr×nh (*) lµ : x2 - 4x + 3 = 0 cã 2 nghiÖm x1 = 1 x2 = 3 VD2: Cho biÕt: x = √ 2 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x3 + ax2 + bx + c = 0 (a, b, cQ). T×m c¸c nghiÖm cßn l¹i? Gi¶i:Ta cã  = n2 + 16 > 0. NÕu nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ c¸c sè nguyªn th× n2 + 16 chÝnh ph¬ng §Æt n2 + 16 = k2 (kZ)  n2 – k2 = 16  (n-k) (n+k) = 16 Ta thÊy (n+k), (n-k) cïng tÝnh ch½n lÎ do (n+k) – (n –k) = 2k mµ tÝch=16 (ch½n) nªn (n+k) vµ (n-k) cïng ch½n. do n+k  n-k .nªn n+k 8 2 4 n-k -2 -8 -4 n 3 -3 0 GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” Víi n = 3 th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2-7x+6 = 0  x1 = 1 x2 = 6 Víi n = -3 th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2-x- 6 = 0 x1 = -2 x2=3 2 Víi n = 0 th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x - 4x = 0  x1 = 0 x2 = 4 Vậy n 3; -3;0 thì phơng trình đã cho có nghiệm nguyên. 17/Dạng toán 17 :. Quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña 2 ph¬ng tr×nh bËc hai. - XÐt ba mèi quan hÖ quan träng 1. Hai ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung. 2. Hai phơng trình tơng đơng. 3. Hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm xen kÏ. A- Hai ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung: ax2 + bx + c = 0 vµ a'x2 + b'x + c' = 0 cã nghiÖm chung nÕu hÖ 2. ax + bx + c = 0 2 a'x + b'x + c' = 0 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. cã nghiÖm NÕu hÖ cã chøa tham sè c¶ hai Èn ay + bx + c = 0 a'y + b'x + c' = 0 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. đặt y = x2 đợc Hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chung  hÖ hai Èn x, y cã hÖ tho¶ m·n y = x2 VD 1: Tìm m để hai phơng trình: x2 + mx + 1 = 0 và x2 + x + m = 0 có nghiệm chung. y + mx + 1 = 0 y+ x + m =0 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. Giai: §Æt y = x2 ≥ 0 hÖ cã nghiÖm chung Tính định thức (học sinh thờng tìm  ≥ 0 cho cả hai phơng trình đã cho rồi giả sử (x0; y0) là nghiệm chung cña hai ph¬ng tr×nh). D = m - 1. HÖ cã nghiÖm duy nhÊt nÕu D ≠ 0  m ≠ 1. Tìm đợc x = -1; y = -m - 1 V× y = x2  - m - 1 = 1  m = -2. D = 0  m = 1 hai phơng trình đều vô nghiệm nên không có nghiệm chung. VD 2: Chøng minh r»ng nÕu hai ph¬ng tr×nh.x2 + p1x + q1 = 0 vµ x2 + p2x + q2 = 0 cã nghiÖm chung th× (q1 - q2) + (p1 - p2) (q2p1 - q1p2) = 0 C¸ch lµm t¬ng tù vÝ dô 1: Trêng hîp D = 0  p1 = p2 hÖ cã nghiÖm khi q1 = q2 VD3: Tìm các giá trị của a để 2 phơng trình sau có ít nhất 1 nghiệm chung x2+ ax + 8 = 0 (1) x2 + x + a = 0 (2) Gi¶i: Giả sử xo là nghiệm chung của 2 phơng trình . Khi đó ta có: x02 + ax0 + 8 = 0 (1/) x02+ x0 + a = 0 (2/)  (a-1)x0 + 8 - a = 0. a−8 NÕu a  1 th× x0 = a−1. .Thay vµo (2/) vµ rót gän ta cã a - 24a +72 = 0  (a + 6) (a2- 6a +12) = 0 3. [a+6=0 [ 2 [a −6a+12=0.  a=-6 Víi a = - 6 ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh : x2- 6x + 8 = 0, cã 2 nghiÖm x1 = 2 x 2= 4 ph¬ng tr×nh (2) trë thµnh: x2+x- 6 = 0 cã 2 nghiÖm x1 = 2 x2 = - 3 do đó (1) và (2) có 1 nghiệm chung là x = 2 Víi a = 1 th× (1) trë thµnh x2 +x+8 = 0, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm . (2) trë thµnh x2 +x+1 = 0, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm . VËy víi a = -6 th× 2 ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm chung B- Hai phơng trình tơng đơng: Hai phơng trình vô nghiệm là tơng đơng. Hai phơng trình có nghiệm dựa vào định lý Viét để suy ra điều kiện phải tìm của tham số. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” VD 1: Tìm m để hệ hai phơng trình.x2 - mx + 2m - 3 = 0 (1) và x2 - (m2 + m - 4) x + 1 = 0 (2) Giai: Tơng đơng hai phơng trình vô nghiệm (học sinh thờng bỏ qua trờng này). Δ1 < 0 Δ2 < 0 ⇔ ¿ [ − 3 < m <− 2 [ [ 1 <m <2 2 <m <6 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. §iÒu nµy kh«ng x¶y ra.. x 1 + x 2= m=m 2 + m− 4 x 1 x 2=2 m−3 =1 ⇔ m= 2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. (1) vµ (2) cã nghiÖm x1, x2 th× VD 2: Tìm m và n để hai phơng trình.x2- (m + n)x - 3 = 0 (1) và x2 - 2x + 3m - n - 5 = 0 Giai: Tơng đơng XÐt (1) cã nghiÖm  = (m + n)2 + 12 > 0 Gọi x1, x2 là nghiệm. Để (1) và (2) tơng đơng thì (2) có nghiệm x1, x2 Dùng hệ thức Viét để tìm m n. x 1 + x 2 =m + n =2 x 1 x 2 =−3 =3− n−5 ⇔ ¿ m =1 n =1 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. 18/Dạng toán 18 :. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc tham sè.. Ph¬ng ph¸p chung: B1: Tìm điều kiện của m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 B2: Ap dông hÖ thøc viÐtta cã x1+x2 = f(m) x1.x2 = g(m) B3: Khử m ta đợc hệ thức cần tìm. VD1: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2mx – m2 = 0 T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo m. Gi¶i: / 2 - Ta thấy  = 2m  0 do đó phơng trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2; ∀ m - Ta cã x1 + x2 = 2m (1) x1. x2 = - m2 (2) x 1+ x 2. 2 Tõ (1)  m = x 1+ x 2 2 Thay m = vµo (2) ta cã : (x1+x2)2 + 4x1x2 = 0 VËy hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc m lµ: (x1+x2)2 + 4x1x2 = 0 VD 2: Cho ph¬ng tr×nh: mx2 - (2m + 3) x + m - 4 = 0 a) T×m m ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2. b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1x2 kh«ng phô thuéc tham sè. Giai: - Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. − -  > 0  28m + 9 > 0  m >. 9 28. 3 m−4 m - BiÓu thÞ S = x1 + x2 = 2 + m vµ P = x1x2 = - Khử tham số đợc: 4(x1+x2) + 3x1x2 = 11. 19/Dạng toán 19 :. ThiÕt lËp ph¬ng tr×nh bËc hai.. NÕu cã hai sè x1, x2 mµ x1 + x2 = S vµ x1x2 = P th× x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh X2 - SX + P = 0. VD: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh: x2 + px + q = 0 cã hai nghiÖm x1, x2 kh¸c 0. H·y lËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã. 1 hai nghiÖm x 1. 1 vµ x 2 ;. Giai: Với bài toán này không cần điều kiện  ≠ 0 vì đầu bài đã giả sử phơng trình có nghiệm x1, x2 khác 0.. ¸p dông hÖ thøc ViÐt:. x1 + x2 =− p x 1 x2 =q ⇔ ¿ 1 1 p + =− x1 x2 q 1 1 1 = x1 x2 q ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. p 1 x+ =0⇔ qx 2 +px +1=0 q Ph¬ng tr×nh cÇn lËp: x2 + q 20/Dạng toán 20: Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai A) Phương trình trùng phương VD 1: Giải phương trình sau : a) x4 -13x2 +36 = 0 (1) Cách giải: -Đặt x2 = t với điều kiện t 0. Khi đó phương trình (1) trở thành : t2 -13t +36 = 0 (2). -Giải phương trình (2)  =b2 4ac = 25 Vì  >0 nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là : t1=9 ( giá trị này thỏa mãn điều kiện t 0) t1=4 ( giá trị này thỏa mãn điều kiện t 0) - Thay trở lại cách đặt ẩn phụ đặt ban đầu. +) Với t=t1=9  x2 = 9  x=  9  x= 3  x1=3 hoặc x2=-3. +) Với t=t2=4  x2 = 4  x=  4  x= 2  x3=2 hoặc x4=-2. - Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt là : x1=3; x2=-3; x3=2 ; x4=-2. b) x4 -15x2 -16 = 0 (1) KQ: x1=4; x2=-4. 4 2 c) x +26x +25 = 0 (1) KQ: Phương trình vô nghiệm. d) x4 -12x2 +36 = 0 (1) KQ:x1= 6 ; x2=- 6 . e) x4 - 9x2 + 8 = 0 (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3=2 2 ; x4=-2 2 . Ví dụ 2: Giải phương trình sau : 1 1 a ) 4x4 - 5x2 + 1 = 0 (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3= 2 ; x4=- 2 . 4 2 b) x - 5x + 4 = 0 (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3=2 ; x4=-2. 4 2 c) x - 48x -49 = 0 (1) KQ: x1=7; x2=-7. 4 2 d) x - 19x + 18 = 0 (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3=3 2 ; x4=-3 2 . e) 4x4 + x2 -5 = 0 (1) KQ: x1=1; x2=-1 f) 3x4 + 4x2 + 1 = 0 (1) KQ: Phương trình vô nghiệm. g) 2x4 - 3x2 -2 = 0 (1) KQ: x1= 2 ; x2=- 2 4 2 h) 3x +10x + 3 = 0 (1) KQ: Phương trình vô nghiệm. 1 1 i ) 9x4 - 10x2 + 1 = 0 (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3= 3 ; x4=- 3 . k) 5x4 +2x2 -16 = 10-x2 (1). KQ: x1= 2 ; x2=- 2 .. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 26.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” l) 0,3x4 - 1,8x2 +1,5 = 0 (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3= 5 ; x4=- 5 . 1 1 1 2 m) 4x2 +1 = 4- x (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3= 2 ; x4=- 2 8 2 n) x2 - 8 = 1- x (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3=2 2 ; x4=-2 2 . B. Phơng trình: sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai. Ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠0). c ≤0 NÕu P = a th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm NÕu P > 0 xÐt ®iÒu kiÖn  ≥ 0. −. b a. NÕu P > 0 th× xÐt dÊu cña S = cho biết kết quả so sánh giá trị tuyệt đối các nghiệm. VD 1: Tìm m để phơng trình: x2 - 2mx + (m + 1) x - m + 1 = 0 (1) có nghiệm duy nhất Giai: §Æt Èn phô ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai: X = x - m với 0 ≤ X ta đợc phơng trình X2 + (m = 1) X - m2 + 1 = 0(2) Tìm điều kiện để (2) có nghiệm   ≥ 0. 3  m ≤ -1 hoÆc m ≥ 5. NÕu X lµ nghiÖm cña (2) th× X = x - m   x =  X + m XÐt X = 0  x = m X≠0x=mX Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt  (2) cã nghiÖm X1, X2 tho¶ m·n X1≤ X2 = 0 §a vÒ ph¬ng tr×nh hçn hîp: P= 0 S ≤ 0 ⇔ ¿ 1− m2 = 0 − m − 1≤ 0 ⇔ ¿ m= ±1 m≥ −1 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿. VËy m =  1 Trong thực tế ta có thể sử dụng phơng trình bậc hai để giải những loại phơng trình sau: 1. Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu. 2. Ph¬ng tr×nh bËc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 3. Ph¬ng tr×nh bËc 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx = 0 4. ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng: ax4 + bx2+ c = 0 5. Ph¬ng tr×nh håi quy: ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = 0 6. Ph¬ng tr×nh d¹ng: (x+ a)(x+b)(x+c)(x+d) = m víi a+b = c+ d 7. Ph¬ng tr×nh d¹ng: (x+a)4 + (x+b)4 = c 8. Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 9. Ph¬ng tr×nh v« tû. 10. Phương trình tích. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” ........................................... VD1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:. x 2 −3 x+ 6 1 = 2 x −3 x −9. a, b, 3x4 + 4x2 + 1 = 0 c, x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 d, (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – 4 = 0 VD2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 2 2 x +2 x +2 5 − +2= 2 2 2 a, x −2 x+2 x +3 x 2. 4x =5 2 b, x2+ ( x+2) 21/Dạng toỏn 21: Hệ đối xứng hai ẩn.. Hệ đối xứng hai ẩn x, y  biểu diễn từng phơng trình theo x + y và x.y; Đặt S = x + y và P = x . y đợc hệ chứa các ẩn mới S và P Gi¶i hÖ t×m S vµ P. C¸c sè x vµ y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. X2 - SX + P = 0. Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh chøa Èn X.. VD 1: Gi¶i hÖ. x + y =2 x 3 + y 3 =26 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. x + y =2 ( x+ y )3 −3 xy ( x + y )=26 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ S =2 S 3 −3 SP =26 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. Giai: Làm xuất hiện x + y và x. y đợc. Đặt S = x + y = 2, P = xy đợc T×m S = 2 vµ P = -3 NghiÖm cña hÖ (-1; 3) vµ (3; -1) Chú ý: Nếu hệ đối xứng nêu trên có nghiệm (a; b) nó cũng có nghiệm (b; a). x √ y + y √ x=30 x √ x+ y √ y=35 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. VD 2: Gi¶i hÖ Giai: Trớc hết đặt điều kiện x ≥ 0 và y ≥ 0. §Æt Èn phô U =  §a hÖ vÒ. √x. vµ V =. √y. (U, V ≥ 0). UV ( U +V )=30 3 ( U +V ) −3 UV ( U +V )=25 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ SP =30 S 3 +3 SP=35 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. Đặt S = U + V và P = U. V đợc hệ Chó ý U vµ V lµ nghiÖm kh«ng ©m cña ph¬ng tr×nh t2 - 5t + 6 = 0  t = 2 vµ t = 3 √ x= 2 √ y =3. ®a vÒ. {¿. ¿ ¿¿ ¿. VD 3: Tìm m để. Giải tìm đợc S = 5 và P = 6.. √ x =3 √ y =2. ¿ ¿¿ ¿ hoÆc NghiÖm √ x +1 + √ y−1=m x + y =m 2 −4 m+6 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ hÖ {¿. Giai: Tìm điều kiện để tồn tại các câu §Æt Èn phô u = √ x+1 vµ v y−1  u2 = x + 1 và v2 = y - 1 đợc hệ. √. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. cña hÖ (4; 9) vµ (9 ; 4).. cã nghiÖm. x ≥−1 y ≥1 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. (víi u ≥ 0, v ≥ 0) 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” u2 + v. {. u + v =m = m 2− 4 m + 6 ⇔ ¿ S= m P=u . v ¿. 2. ¿ ¿ ¿. ¿. S= m S −2 P =m 2− 4 m +6 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. ⇔ S =m P=2 m−3 ¿ ¿ {¿ ¿ ¿. 2.  u, v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh t2 - mt + 2m - 3 = 0 (*) v× u ≥ 0 vµ v ≥ 0 nªn (*) kh«ng cã nghiÖm ©m. Δ ≥0 P≥ 0 S≥ 0 ⇔ ¿ 2 m − 8 m + 12 ≥ 0 2 m − 3≥ 0 m ≥0 ⇔ ¿ [ m ≥6 [ 3 [ ≤m ≤2 2 { ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿. Gi¶i hÖ bÊt ph¬ng tr×nh VD 4: BiÕt r»ng c¸c sè x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y = 2. H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: F = x3 + y3. Giai: Tìm điều kiện của F để có nghiệm (thờng học sinh bỏ qua điều kiện này). Từ đó có thể tìm đợc min F x + y =2 3 + y 3= F ⇔ ¿ x + y =2 3 ( x+ y ) − 3 xy ( x + y )= F ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ x. HÖ cã nghiÖm. S =2 − 3 PS = F ⇔ ¿ S =2 8− F P = 6 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ S. Đặt S = x + y và P = xy đợc x, y lµ nghiÖm cña t2 - 2t + Cã nghiÖm  ' ≥ 0  1 VËy min F = 2 khi x = y = 1. 3. 8−F =0(∗) 6 8−F ≥0 , F≥2 6. 22/Dạng toỏn 22: Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng bậc hai. Cho đờng bậc hai y = f(x) và đờng thẳng y = ax + b. Hoành độ điểm chung của hai đờng là nghiệm của phơng trình f(x) = ax + b (*) - Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì hai đờng cắt nhau tại hai điểm. - Nếu (*) có một nghiệm kép thì hai đờng thẳng tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ là nghiệm kép. Khi đó đờng thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thì hàm số y = f(x). - Nếu (*) vô nghiệm thì hai đờng thẳng không có điểm chung. VD 1: Chứng minh rằng đờng thẳng y = -x luôn cắt parabol y = x2 - 2 (m + 2)x + m2 + 3m = -x có hai nghiÖm ph©n biÖt vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm kh«ng phô thuéc vµo m. Giai: - Ph¬ng tr×nh x2 - 2(m +2) x + m2 + 3m = -x cã hai nghiÖm ph©n biÖt  ' > 0 ' = 9 > 0 - Hoành độ giao điểm xA, xB là nghiệm của phơng trình, khi đó xA = m và xB = m + 3. - Tìm tung độ của A và B: yA = -m - 3 - ¸p dông c«ng thøc kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm AB =. √( x B−x A )2+( y A− y B )2=√18=3 √ 2 2. x −2 x x−1 VD 2: Cho hµm sè y =. kh«ng phô thuéc vµo m.. a) Chứng minh rằng đờng thẳng y = -x + k luôn cắt đồ thì tại hai điểm phân biệt A, B. b) T×m k sao cho OA  OB. Giai: Ph¬ng tr×nh x2 - 2x = (x - 1) (-x + k) cã hai nghiÖm ph©n biÖt    0  (k - 1)2 + 8 > 0k OA  OB  tÝch c¸c hÖ sè b»ng - 1 Hệ số của OA, OB là tỷ số giữa tung độ và hoành độ tơng ứng. y A −x A + k y A −x+ k = = xA xA a = yB a = yB 1. a1a2 = - 1 . x A x B−( x A + x B )k +k 2 =−1(∗) xA xB. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 29.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” k +3 2 k x B= 2 ¿. x A + x B= xA {¿. ¿¿. ¸p dông hÖ thøc ViÐt: Tõ (*) k2 - k = 0  k = 0 hoÆck = 1 Loại k = 0 vì khi đó a1a2 = 1. ¿. BÀI TẬP TỔNG HỢP 2. BT 1.Cho phơng trình (m-4)x -2mx+m-2=0,trong đó m là tham số a.Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=3. b.Tìm m để phơng trình có nghiệm x= 2 . c.Tìm m để -ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp -ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2. Gi¶i : a.víi m=3 ta cã -x -6x+1=0 '  ' =(-3) 2 +1=10;  = 10. 10 ; x 2 =-3+ 10. ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt  x 1 =-3-. b. Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= 2 ,thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã (m-4)2-2 2 m+m-2=0  m=10(3+2 2 ).  m4 m 4  m4 a 0    'm  (m  4)(m  2) 0   3  0 c.-Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi. . '. 2. 4 m 1  3  ' b m 4 4 2 4 3 Ta cã x 1 = x 2 = a =. -Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt. . a 0  ' 0. .  m 4  m 4  3. m m m 4. C«ng thøc tÝnh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x 1 = BT 2.Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh 2. a. 2x - (2-k)x=k(k-2).. 4 3. 2. m ; x2 =. m. m 4. 2. b. (2k-1) x -4kx+1=0. 2. Giải : a.Phơng trình đã cho có thể viết 2x -(2-k)x-k(k-2)=0.  =(2-k) 2 +8k(k+2)=4-4k+k 2 +8k 2 +16k=9k 2 +12k+4=(3k+2) 2 0 víi mäi k. Vậy phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi k .. 1 1 b.- NÕu 2k-1=0 hay k= 2 th× -4kx+1=-2x+1=0,ta cã nghiÖm x= 2 .. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 30. 4 3.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. 1 ' 2 2 2 2 - Nếu 2k-1 0 hay k  2 thì ta tìm đợc  =(-2k) -(2k-1) =4k -4k +4k-1=4k-1 0 1 Tøc lµ k  4 ,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. 1 1 VËy víi k > 4 vµ k  2 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2k  4k  1 2k  4k  1 2 2 x 1 = (2k  1) ;x 2 = (2k  1). . 1 2.  2k   2 b (2k  1) 2 1 1 2 (  1) 2 Víi k = 4 ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm kÐp x 1 = x 2 =- a = 1 Víi k < 4 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm '. 2. BT 3.Cho ph¬ng tr×nh x +7x-5=0.Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh . a.Tæng vµ tÝch cña hai nghiÖm b.Tổng các nghịch đảo của hai nghiệm c.Tæng c¸c b×nh ph¬ng cña hai nghiÖm d.B×nh ph¬ng cña hiÖu hai nghiÖm e.Tæng c¸c lËp ph¬ng cña hai nghiÖm Giải :Ta thấy rằng phơng trình đã cho luôn có nghiệm vì các hệ số avà c khác dấu. a.Tæng cña hai nghiÖm lµ S=x 1 +x 2 =-7 vµ tÝch cña hai nghiÖm lµ P= x 1 .x 2 =-5.. 1 1 x 2  x1  7 7     x x x .x 5 5 1 2 1 2 b. Tổng các nghịch đảo của hai nghiệm là x 2  x 2 2 (x1  x 2 ) 2  2x1x 2 (  7) 2  2(  5) 49  10 59 c.Tæng c¸c b×nh ph¬ng cña hai nghiÖm 1 d.B×nh ph¬ng cña hiÖu hai nghiÖm lµ. (x1  x 2 ) 2 x12  x 2 2  2x1.x 2 59+10=69.. e.Tæng c¸c lËp ph¬ng cña hai nghiÖm lµ. x13  x 23 (x1  x 2 )3  3x1.x 2 (x1  x 2 ) (  7)3  3(  5)( 7)  343  105  448. 2. BT 4.Cho ph¬ng tr×nh 2x +(2p-1)x+p-1=0 a.Tìm p để phơng trình có hai nghiệm phân biệt . b.Tìm p để cả hai nghiệm đều dơng. c.T×m mét hÖ thøc kh«ng phô thuéc vµo p.. 3 Gi¶i :a.Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi  =(2p-1) - 4.2(p-1)=(2p-3) > 0  p 2 2. 2. . b.Phơng trình có hai nghiệm đều dơng ta giải hệ phơng trình.  x x ab 0  1 22p 0  p 12  x .x c 0   p  10   p 1  a 2  1. 1. 2. 2. Hệ phơng trình vô nghiệm ,không có giá trị nào của p để cả hai nghiệm đều dơng.. 1  2p p 1 1  2p 2p  2 1 x1  x 2   2 vµ P= x1.x 2 = 2 nªn ta cã :S+2P= 2 + 2 2 c. Do S= 1 x1  x 2  2x1.x 2  2 VËy hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo p lµ 2. BT 5.Cho ph¬ng tr×nh x - mx + m-1=0 víi m lµ tham sè . a.Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 31.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. x1 2  x 2 2 .. b.Gäi x 1 ,x 2 lµ c¸c nghiÖm .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A= Gi¶i . a.Ta cã mäi m . 2.  m 2  4(m  1) m 2  4m  4 (m  2) 2 0m ,vËy ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi 2. 2. 2. 2 2 2 b. A= x1  x 2 = x1  x 2 +2x 1 x 2 -2x 1 x 2 =(x 1 +x 2 ) - 2x 1 x 2 = m -2(m-1)= m -2m+2=. 2 2 2 m -2m+1+1=(m-1) +1 1  m  A nhá nhÊt b»ng 1 khi (m-1) =0  m=1 2. BT 6.Cho ph¬ng tr×nh x - 2x + m =0 víi m lµ tham sè . a.Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 đều là số dơng.. x1 x 2 10   x x1 3 b. T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x 1 ,x 2 tháa m·n : 2 Giải: a.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng là :. .  ' 0 S0,P 0. . 1 m 0 2 0,m 0. . m 1 m 0.  0  m 1 '. b.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt  =1-m > 0  m<1(1) Khi đó S=x 1 +x 2 =2 và P= x 1 .x 2 = m nên :. x1 x 2 10 x12  x 2 2  10 (x1  x 2 ) 2  2x1x 2  10      3 x1 x 2 3 x 2 x1 3  x1.x 2 2 S  2P  10 4  2m  10    P 3 m 3 §iÒu kiÖn m 0 (2)   Ta cã 3(4-2m)=-10m 4m=-12 m=-3 tháa m·n (1),(2). 2. 2. BT 7. Cho ph¬ng tr×nh x + 2(m+1)x + m =0 ,víi m lµ tham sè . a.Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=2 . b.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt . c.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng (-2). 2. Gi¶i:a.Khi m=2 thay vµo ph¬ng tr×nh ,ta cã x + 6x + 4=0.  ' =3 2 -4=5,  = 5 Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x 1 = -3+ 5 , x 2 =-3- 5 .. 1 b.Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi  =(m+1) - m =2m+1>0  m > 2 '. 2. 2. c.Phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng (-2).. 1 - Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi  >0  m > 2 '. - Theo hÖ thøc Vi- Ðt ta cã.  x  x ab  x .x c   a 1. 1. 2. 2. . x1  x 2  2( m 1) x1 .x 2 m 2. (1). - Theo gi¸ thiÕt , ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng (-2) , gi¶ sö x 1 =-2 .Tõ hÖ ph¬ng tr×nh (1) ta cã. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 32.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”.  x  2(m 1)2 (2)  m x 2 2. 2. 2. 2. -Tõ hÖ ph¬ng tr×nh (2), rót gän hai vÕ ta cã m +4m=0  m(m+4)=0 . . m 0 m  4. 1 Víi m=-4 (lo¹i),m=0 (tháa m·n) ®iÒu kiÖn m > 2 . Vậy m=0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng (-2). 2. 2. BT 8. Cho ph¬ng tr×nh (m+1)x + 5x + m -1=0 ,víi m lµ tham sè . a.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. b.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó có một nghiệm b»ng 4. Gi¶i:a.Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu khi.  a 0  m 10  x .x c 0   m  1   a   m 1 0 2. 1. m  1 m  10. 2. . m  1 m 1. b.Phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng 4. -¸p dông hÖ thøc Vi-Ðt ta cã.  x x ab  x .x c  a 1 1. 2. 2.  x x  m51 (I)  m 1  x .x  m 1 1. 2. 2. . 1. 2. 2 Thay gi¸ trÞ x 1 =4 vµo (I) ta cã m +16m+35=0  m 1 =-8+ 29 ;m 2 =-8- 29. Các giá trị m 1 , m 2 đều thỏa mãn điều kiện m<1 và m -1 Vậy m=-8+ 29 ;m=-8- 29 phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó có một nghiệm b»ng 4. 2. BT 9.Cho ph¬ng tr×nh (m+1)x - 2(m-10x + m-3 =0 ,víi m lµ tham sè . a.Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña m kh¸c (-1). b.Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu c. Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai nghiệm đó có nghiệm này gấp đôi nghiÖm kia . Gi¶i :a.Ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi. . a 0  ' 0. . .  (m  1)  ( m 1)(m  3) 0 m 10. 2. m  1 4 0. VËy ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña m  -1. b.-Theo câu a ,ta đã có  >0 với mọi giá trị m -1 -Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu khi. c m 3 x1.x 2   0 0 a  m 1. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 33.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”.  .  mm31  mm3 1. m  30 m 10. m 3    m  1 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu khi m>3 hoÆc m<-1 m  30 m 10. c x1.x 2   0 a c.Theo c©u a ,b ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu khi  >0 vµ ta cã m>3 hoÆc m<-1. MÆt kh¸c theo hÖ thøc Vi-Ðt ta cã :.  x x ab  x .x c  a 1. 2. 1. 2.  1)  x x 2(m  x x m  3m 1 (I)  m1 1. . 2. 1 2. Víi gi¶ thiÕt cho x 1 =2x 2 ,thay vµo (I) ta cã.  3x 2(mm11)  2 x m  3  m 1 1. 2 1. 2. .  2(m  1)  m 3  3(m  1)   2(m  1)  . 2. Rút ra ta đợc : m - 2m- 35 = 0  m 1 =-5 ;m 2 =7 .Với giá trị m 1 ;m 2 đều thỏa mãn điều kiện m >3 và m <1. Vậy phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia khi m=-5 hoặc m=7. 2. BT 10.Cho ph¬ng tr×nh m(x -4x+3)+2(x-1)=0. 1 a.Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=- 2 . b. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m . c.Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm nguyên.. 1 2 Gi¶i: a.Víi m=- 2 .Ta cã x -8x+7=0 c Cã a+b+c = 1+(-8)+7 = 0  x 1 =1;x 2 = a =7. 2. b.Phơng trình đã cho trở thành : mx -2(m-1)x+3m-2=0 (1) + Víi m=0 ,(1)  2x-2=0  x=1..  ' 4m 2  4m  1  3m 2  2m m 2  2m  1 (m  1) 2 0 m .. + Víi m 0 : VËy ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m. c.Ta cã m(x -4x+3)+2(x-1)= (x-1)  XÐt ph¬ng tr×nh m(x-3)+2 = 0 2. m(x  3)  2 0. 3m  2 2 §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm th× m 0 khi mx-3m+2=0  x= m =3- m . §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm nguyªn th× 2m hay m= 1;m= 2 2. BT 11.Cho ph¬ng tr×nh x - (m+2)x+2m = 0 (1) a.Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=-1 2. b.Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 ,x 2 thỏa mãn (x 1 +x 2 ) - x 1 .x 2 5. 2. Gi¶i:a.Víi m=-1 .Ta cã x - x-2 = 0 Cã a-b+c= 1-(-1)+(-2)=0  x 1 =-1,x 2 =2. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 34.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” b. Ta cã:  =(m+2) -4.2m=m + 4m + 4- 8m = m - 4m + 4 = ( m- 2) 0 m . VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm m . 2. 2. 2. 2. 2 2 2 2 Ta cã (x 1 +x 2 ) - x 1 .x 2 =m +2m+4 5  m +2m+ 1+3 5  m +2m+ 1 5-3.  (m+1) 2  2  - 2 m+1  2  -1- 2 m  2 -1 2. BT 12.Cho ph¬ng tr×nh x - px + p-1 = 0 a.Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña p . 2. 2. b.TÝnh theo p gi¸ trÞ biÓu thøc M=x 1 +x 2 - 6x 1 .x 2 . c.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M. Gi¶i:a.Ta cã trÞ cña p ..  p 2  4p  4 (p  2) 2 0p .Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ 2. 2. 2. 2. b.Ta cã M=x 1 +x 2 - 6x 1 .x 2 =(x 1 +x 2 ) -2x 1 .x 2 - 6x 1 .x 2 =(x 1 +x 2 ) -8x 1 .x 2 2. 2. 2. 2. = p - 8(p-1) = p - 8p + 8 = p - 8p + 16 - 8 = (p-4) - 8. 2 2 c.M=(p-4) - 8 -8,vậy M đạt giá trị nhỏ nhất M=-8 khi (p-4) =0  p-4=0  p=4.. 2. BT 13.Chøng minh r»ng nÕu c¸c hÖ sè cña hai ph¬ng tr×nh bËc hai x +p 1 x+q 1 =0 vµ 2. x +p 2 x+ q 2 =0 ,liªn hÖ víi nhau bëi hÖ thøc p 1 p 2 =2(q 1 +q 2 ) th× Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghÞªm. 2. 2. Gi¶i : Gäi ph¬ng tr×nh x +p 1 x+q 1 =0 (1) vµ x +p 2 x+ q 2 =0 (2) 2. 2 p Ta cã 1 =p 1 -4 q 1 ;  2 = 2 -4 q 2 ;. 1 +  2 = p 1 2 -4 q 1 + p 2 2 -4 q 2 = p 1 2 + p 2 2 - 4(q 1 + q 2 ). V× 2(q 1 +q 2 )= p 1 p 2  4(q 1 + q 2 ) = 2p 1 p 2 . 2. 2 2 2 2  p  p2  0 Do đó 1 +  2 = p 1 + p 2 - 4(q 1 + q 2 )= p 1 + p 2 -2p 1 p 2 = 1 §iÒu nµy chøng tá Ýt nhÊt mét trong hai biÖt thøc 1 hoÆc  2 ph¶i >0 .VËy Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh. cã nghiÖm. 2. BT 14.Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax + bx + c = 0 cã nghiÖm nÕu mét trong hai ®iÒu kiÖn sau a) a( a + 2b + 4c ) < 0 b) 5a + 3b + 2c = 0 Gi¶i:Ta cã  b  4ac . 2. 2 2 2 2 2 2 a( a + 2b + 4c ) = a +2ab+4ac < 0  a +b +2ab < b -4ac  b -4ac > ( a+b) 0   0,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm . 2 2 2 2 b) 5a + 3b + 2c = 0  10a +6ab+4ac=0  (3a+b) + a = b -4ac 0   0,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm .. 2. 2. BT 15.Chøng minh r»ng nÕu hai ph¬ng tr×nh bËc hai x +p 1 x+q 1 =0 vµ x +p 2 x+ q 2 =0 cã nghiÖm 2. chung th× : (q 1 - q 2 ) +(p 1 -p 2 )(q 2 p 1 -q 1 p 2 )=0. Giai:Hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chung. . x 2  p1x q1 0 x 2  p 2 x q 2 0. 2. §Æt y=x ,ta cã. cã nghiÖm. . y  p1x  q1 0 y  p 2 x q 2 0. p 2  p1 q1p 2  p1q 2 p  p 2 vµ y= p 2  p1 .Do y=x 2 suy ra -NÕu p 1 p 2 ,gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ta cã x= 1 GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 35.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. q1p2  p1q 2 p 2  p1 p 2  p1 =( p1  p 2 ) 2 ,khai triển biến đổi ta có :(q 1 -q 2 ) 2 +( q 1 -q 2 )( q 2 p 1 -q 1 p 2 )=0.. . p1x  y  q1 p1x  y  q 2. -NÕu p 1 =p 2 ta cã hÖ dạng 0 = 0, hiến nhiên đúng.. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. Hệ này có nghiệm ,suy ra q 1 =q 2 .Do đó đẳng thức cần chứng minh có. 36.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 37.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 38.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 39.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 40.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !”. 2 x 2   m  4  x  m 0 Bài 8: Cho phương trình a) Tìm m biết x = 3 là một nghiệm của phương trình ? b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m? Giải: 2 a) Phương pháp: Vì x0 là một nghiệm của phương trình nên ax 0  bx0  c phải bằng 0 Vì phương trình nhận x=3 là một nghiệm nên: 2.32   m  4  .3  m 0  18  3m  12  m 0   2m  6  m 3 Vậy với m = 3 phương trình đã cho nhận x = 3 là một nghiệm. 2 b) Để phương trình ax  bx  c 0 luôn có nghiệm thì  0 Ta có: 2. m4.2 2 m816 2. m16 2 Vì m 0 với mọi m do đó  m  16  0 với mọi m Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. 2. Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( Èn sè x) a) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm d) T×m m sao cho nghiÖm sè x1, x2 cña ph¬ng tr×nh tho¶ m·n x12+x22 ¿ e) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m f) H·y biÓu thÞ x1 qua x2 2. Gi¶ia) Ta cã: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) =. 1 15 + 2 4. ( ) m−. 12 15 ≥0 >0 2 víi mäi m; 4   > 0 víi mäi m. ( ) m−. Do  Ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Hay ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm (®pcm) b) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3 VËy m > -3 c) Theo ý a) ta cã ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0 ⇔ 2 ( m − 1 )< 0 −( m + 3 )> 0 ⇔ ¿ m < 1 m < −3 ⇔ m< −3 ¿ ¿ { ¿ ¿ ¿. VËy m < -3 d) Theo ý a) ta cã ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo bµi A  10  4m2 – 6m  0  2m(2m-3)  0. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 41. 10..

<span class='text_page_counter'>(42)</span> “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” 2. ⇔ ¿ m ≥0 m − 3≥ 0. 2. ¿ [ ¿ m ≤0 m − 3≤ 0 ¿ [ ⇔ ¿ ¿ m ≥0 3 m≥ 2 ¿. ¿ [ ¿ m ≤0 3 m≤ 2 ¿ [. 3 VËy m  2 hoÆc m  0. {. ¿. ¿. ¿. e) Theo ý a) ta cã ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm x1 + x 2= 2 ( m − 1 ) x 1 . x2 =− ( m + 3 ) ⇔ . ¿ x 1 + x 2 =2 m − 2 2 x 1 . x 2=− 2 m − 6 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿. Theo định lí Viet ta có:  x1 + x2+2x1x2 = - 8 VËy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 lµ hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc m 8+ x 2 x 1=− 1+2 x2 f) Tõ ý e) ta cã: x1 + x2+2x1x2 = - 8  x1(1+2x2) = - ( 8 +x2)  8+x 2 1 x 1=− x 2≠− 1+2 x 2 ) 2 VËy ( Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2x + m-1= 0 ( m lµ tham sè) a) Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1. y 1 =x1 +. 1 x2 ;. y 2 =x2 +. c) LËp ph¬ng tr×nh Èn y tho¶ m·n tr×nh ë trªn Gi¶i a) Ta cã ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau. 1 x1. víi x1; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng. ⇔ ' Δ ≥0 P =1 ⇔ ¿ 2− m ≥ 0 m −1 =1 ⇔ ¿ m ≤2 m =2 ⇔ m =2 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿. VËy m = 2 b) Ta cã ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm    0  2 – m  0  m  2 (*) Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2) Theo bµi: 3x1+2x2 = 1 (3). x 1 + x 2= − 2 3 x 1 + 2 x 2= 1 ⇔ ¿ 2 x 1 + 2 x 2 = − 4 3 x 1 + 2 x 2= 1 ⇔ ¿ x 1 = 5 x 1 + x 2= − 2 ⇔ ¿ x 1 = 5 x 2 = − 7 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿. Tõ (1) vµ (3) ta cã: ThÕ vµo (2) ta cã: 5(-7) = m -1  m = - 34 (tho¶ m·n (*)) VËy m = -34 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m d) Với m  2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2) x1+ x2 1 1 −2 2m y 1 + y 2 =x 1 + x 2 + + =x 1 + x 2 + =−2+ = x x x x m−1 1−m 1 2 1 2 Khi đó:. y 1 y 2 =( x 1 +. 2. 1 1 1 1 m )( x2 + )=x 1 x 2 + + 2=m−1+ + 2= x2 x1 x1 x2 m−1 m−1 2. 2m m  y1; y2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: y2 - 1−m .y + m−1 Ph¬ng tr×nh Èn y cÇn lËp lµ: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0. GV: AYLIGIO.BACHTUYET !. 42. = 0 (m≠1). (m≠1) (m≠1).

<span class='text_page_counter'>(43)</span>