nhi thuc niuton

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chủ đề 10 :. NHỊ THỨC NEWTƠN. A/ BAØI TAÄP MAÃU: 11. 1  1   A  x  2    x 2   x  x   1. Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức:. 7. Giaûi: Công thức khai triển của biểu thức là: 11. k. k 11 k 11. A  C x k 0 11. 7  1  n 2    2   C7 x x   n 0.  . 7 n. 1 xn. 7. k.  A    1 C11k x11 3 k   C7n x14  3 n k 0. n 0. Để số hạng chứa x5 vậy k=2 và n=3. 2 3 Vậy hệ số của x5 là C11  C7 90. 0 1 2 1004 2. Tính tổng: S C2009  C2009  C2009  ...  C2009. Giaûi: S C. 0 2009. C. 1 2009.  S C. C. 2009 2009. 2 2009. C.  ...  C 2008 2009. C. 1004 2009. 2007 2009. (1) 1005 k n k  ...  C2009 (2) (vì Cn Cn ). 2009 0 1 2 1004 1005 2009  2S C2009  C2009  C2009  ...  C2009  C2009  ...  C2009  1  1.  S 22008 n. 1− x ¿ 3. Khai triển và rút gọn biểu thức 1− x ¿2 +. ..+ n¿ thu được đa thức 1− x+ 2¿ Tính hệ số a8 biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn 1 7 1 + = . C 2n C 3n n. Ta cã. §ã lµ. 1 7 1 + 3= ⇔ 2 C n Cn n n≥ 3 2 7 .3 ! 1 + = n(n −1) n( n− 1)( n− 2) n ¿{ 8 8 8 .C 8 +9 . C9 =89.. Giaûi:. P( x)=a0 + a1 x +.. .+a n x. n. ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ⇔ n≥3 n2 −5 n −36=0 ⇔ n=9 . ¿{ 9. Suy ra a8 lµ hÖ sè cña. 4. Tính tổng. x. 8. 1−x ¿ . trong biÓu thøc 1− x ¿ 8+ 9 ¿ 8¿. 0 S C2009  2C12009  3C22009  ...  2010C2009 2009. Xét đa thức:. f(x) x(1  x). 2009. x(C. 0 2009. .. Giaûi:  C12009 x  C22009 x 2  ...  C2009 x 2009 ) 2009. 0 2009 2010 C2009 x  C12009 x2  C22009 x3  ...  C2009 x . 0 2 2009 2009 f / (x) C2009  2C12009 x  3C2009 x 2  ...  2010C2009 x. *. Ta có: 0  f / (1) C2009  2C12009  3C22009  ...  2010C2009 2009. (a). / 2009  2009(1  x)2008 x (1  x)2008 (2010  x) Mặt khác: f (x) (1  x)  f / (1) 2011.22008 (b). *. 2008 Từ (a) và (b) suy ra: S 2011.2 ..  .  5. Chứngminh k,n  Z thõa mãn 3 k n ta luơn cĩ: Cnk  3Cnk  1  2Cnk  2 Cnk3  Cnk  3  Cnk  2. k n. k 1 n. k 2 n. k n 3. k 3 n. .. Giaûi:  C  Cnk  3Cnk  1  3Cnk  2  Cnk  3 Cnk3 k 2 n. C  3C  2C C  C Ta có: (5) k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3 k k 1 k 2 k k 1 VT(5) Cn  Cn  2 Cn  Cn  Cn  Cn Cn 1  2Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cnk  11  Ckn 12. . = 6.. Cnk2  Cnk 12 Cnk3. . .  . ( điều phải chứng minh). x x 1 x 2 2 x 3 k Giải phương trình C x  2Cx  C x Cx 2 ( Cn là tổ hợp chập k của n phần tử) Giaûi:. 2  x 5  ĐK :  x  N x x 1 x 1 x 2 2 x 3 x x 1 2 x 3 x 2 x 3 Ta có Cx  Cx  Cx  Cx Cx 2  Cx 1  Cx1 Cx2  Cx2 Cx2  (5  x)! 2!  x 3 2 4 6 100 7. Tính giá trị biểu thức: A 4C100  8C100 12C100  ...  200C100 . Giaûi:. Ta có: . 1 x. 100. 0 1 2 100 100 C100  C100 x  C100 x 2  ...  C100 x. (1). .

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 x. 100. 0 1 2 3 100 100 C100  C100 x  C100 x 2  C100 x 3  ...  C100 x. (2). Lấy (1)+(2) ta được:. 1 x. 100.  1 x. 100. 0 2 4 100 100 2C100  2C100 x 2  2C100 x 4  ...  2C100 x. Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được 99. 100  1  x   100  1  x . 99. 2 4 100 99 4C100 x  8C100 x3  ...  200C100 x. Thay x=1 vào 99 2 4 100 => A 100.2 4C100  8C100  ...  200C100. 8. Tìm hệ số x3 trong khai triển. (. 2. x+. 2 x. n. ). 1 3 2 n −1 23 biết n thoả mãn: C2 n +C 2 n+. . .+ C2 n =2. Khai triển: (1+x)2n thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12 Giaûi: Khai triển:. (. 2 x+ x 2. 12. 12. ) =∑ C k=0. k 12. k. 2 x. 24− 3 k. hệ số x3: C712 27 =101376. 9. T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x2 trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña biÕt r»ng n lµ sè nguyªn d¬ng tháa m·n: ( Cnk lµ sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö). Giaûi:. 2. I =∫ ¿. 1 1 1 ¿ C 0n x+ C 1n x 2 + C 2n x 3 +⋯+ C n x n+1 ¿20 2 3 n+1 n. (. ). 0. 2. 3. n +1. suy ra I ¿ 2C 0n + 2 C1n + 2 C 2n+⋯+ 2. C n (1) 3 n+1 n 3n+1 −1 n+1 2 1+ x ¿ ¿ 0= n+ 1 MÆt kh¸c (2) 1 I= ¿ n+1 2 3 n +1 n+1 Tõ (1) vµ (2) ta cã ¿ 2C 0n + 2 C1n + 2 C 2n+⋯+ 2 C nn ¿ 3 − 1 2 3 n+1 n+1 n+1 Theo bµi ra th× 3 −1 =6560 ⇔3 n+1=6561 ⇒n=7 n+1 n+1 7 7 14 −3 k 7 −k 1 7 1 k 1 k 4 k =∑ k C 7 x Ta cã khai triÓn √ x+ 4 =∑ C 7 ( √ x ) 4 2 √x 0 2 √x 0 2 14 −3 k Sè h¹ng chøa x2 øng víi k tháa m·n =2 ⇔ k =2 4 2. (. ). 1 4. 2√x 2 3 n +1 2 2 2 6560 2C 0n + C1n + C 2n+⋯+ C nn= 2 3 n+1 n+ 1. n. 1+ x ¿ dx ¿ ¿. (. √ x+. ( ). ). n.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> VËy hÖ sè cÇn t×m lµ. 1 2 21 C 7= 2 4 2. 10. Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A 3n −8 C 2n+ C1n=49 . Điều kiện n  4 Giaûi: n. n. 2. k 2 k n −k Ta có: ( x + 2 ) =∑ C n x 2 k=0. Hệ số của số hạng chứa x8 là Cn4 2 n− 4 Ta có: A n  8Cn  Cn 49  (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49  n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0  (n – 7)(n2 + 7) = 0  n = 7 Nên hệ số của x8 là C74 23 =280 B- BAØI TẬP TỰ LUYỆN : 1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 3. ( 2.. 2. 1 2 x+ 5 √x. 1. 18. ). (ĐH_Khối. , (x>0).. số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C +C +⋯+C =2048 . ( C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 3. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10. 1 2n. 3 2n. D. 2008). 2 n −1 2n. k n. 4. 4. (ĐH_Khối D 2005) 2. 2. 2. Tìm. M=. Tính giá trị biểu thức 2. Cn +1 +2C n+2 +2 C n+3 +C n+4 =149 (n là số nguyên dương, n phần tử và Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử). k. An. 3. A n+1 +3 An , ( n+1 ) !. biết rằng. là số chỉnh hợp chập k của. 5. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của. (. 3. 1. √ x+ 4 √x. 7. ). với x>0.. 6. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n. 0 1 2 n n 7. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho Cn +2 C n+ 4 C n +⋯+ 2 C n=2048 . 8. (ĐH_Khối B 2008). Chứng minh rằng. n+1 1 1 1 + k+1 = k k n+2 C n+1 C n+1 C n. (. ). (n, k là các số nguyên. dương, k≤n, Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử). 9. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: 3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử)..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 10. (ĐH_Khối C0n +. B. 2. 2003) 3. Cho. n. là. n +1. 2 − 1 1 2 −1 2 2 −1 n k C n+ C n +⋯+ C n , ( Cn 2 3 n+1. số. nguyên. dương.. Tính. tổng. là số tổ hợp chập k của n phần tử)... 11. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức a0 +. a1 a +⋯+ nn =4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,… 2 2. an. 12. (ĐH_Khối A 2007). 1 1 1 3 1 5 1 22 n −1 1 1 C2 n + C2 n + C 2 n+ ⋯+ C 22 n− = C2 n , ( n 2 4 6 2n 2n+1. Chứng minh rằng. k. là số tổ hợp chập k của n phần tử). 13. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của Cn. (. 1 7 +x 4 x. n. ). , biết rằng C12 n +1+C 22 n+1 +⋯+C n2n +1=220 − 1 , (n nguyên dương và Cnk là số tổ. hợp chập k của n phần tử). 14. (ĐH_Khối A 2005) C. 1 2 n +1. − 2. 2C. 2 2 n+1. 2. +3 .2 C. 3 2n +1. Tìm 3. −4.2 C. 4 2 n+1. số. nguyên. dương. n. 2 n 2 n+1 k +⋯+ ( 2 n+1 ) . 2 C 2 n+1=2005 , ( Cn. sao cho là số tổ hợp. chập k của n phần tử). 15. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8. 16. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của. (. 1 + x5 3 √ x. n. ). n k , biết rằng Cnn +1 +4 −C n+3 =7 ( n+3 ) , (n nguyên dương, x>0, ( Cn. là số tổ hợp. chập k của n phần tử). 17. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức. (2. x− 1 2. −x n. +2 3. x− 1 n 2. x −1 n − 1 2. −x 3. x−1 2. − x n −1 3. ) =C (2 ) +C ( 2 ) (2 ) +⋯+C ( 2 )(2 ) 0 n. 1 n. n −1 n. −x n 3. ( ). +C nn 2. (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó C3n =5 C1n và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. 2n. 7 2  3x  18. (ĐH-A DB2-2005) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển ña thức:  biết 1 3 5 2 n 1 k rằng n là số nguyên dương thoả mãn: C2 n 1  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2n 1 1024 ( Cn là tổ hợp chập k. của n phần tử ) 19. (ĐH A–DB1-2006) Aùp dụng công thức Newtơn (x2+x)100. Chứng minh rằng: 99. 0 100. 100C. 1 1  1    101C100    2  2. 20. (ĐH-D-2004). 100 99 100.  ...  199C.  1    2. 198 100 100.  200C.  1    2. 199. 0. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của. 7. 1  3  x4  x  với x > 0.  8.  1  x 2  1  x   . 21. (ĐH-A-2004) Tìm hệ số của x trong khai triển của biểu thức:  8.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 8 22. (ĐH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của: n.  1 5  n 1 n  3 x  x  , biết rằng: Cn 4  Cn 3 7(n  3) ( n là số nguyên dương, x > 0 ). 3n 3 23. (ĐH-D-2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n  3 là hệ số của x trong khai triển thành x đa thức của . 2.  1. n. n.  x  2  . Tìm n để. a3n  3 26n.. 26 24. (ĐH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của: n.  1 7 1 2 3 n 20  4 x  x  , biết rằng: C2 n 1  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1 2  1. ( n là số nguyên dương, x > 0 ). 25. (ĐH B –DB2-2007) Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A 3n −8 C 2n+ C1n=49 .. 26. (ĐH D -DB1-2007) Chứng minh với mọi n nguyên dương luôn có nC 0n − ( n −1 ) C1n +. ..+ (− 1 )n −2 C nn −2 + ( − 1 )n −1 C nn −1=0 . 27. (ĐH A –DB2-2008) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Newton (1+3x)2n biết rằng A 3n +2 A 2n=100 (n là số nguyên dương) 28. (ĐH B –DB1-2008) Cho số nguyên n thỏa mãn. A3n+C 3n =35(n ≥ 3) . Tính tổng (n −1)(n −2). − 1¿ n . n2 .C nn S=22 .C 2n −32 C3n +42 C4n − .. .. . ..+¿. 29. (ĐH B –DB2-2008) Khai triển nhị thức Newton n. 0. n. 1. x+ 1¿ =C n x +Cn x. n −1. 2. +C n x. n −2. n. +.. . .+ Cn. ¿. 30. (ĐH D –DB1-2008) Chứng minh rằng với n là số nguyên dương n.2n C0n  (n  1).2n  1 C1n  ....  2C nn  1 2n.3n  1. 1 2x Cho khai triển: . 31. (ĐH-A-2008). a0 . a0 , a1,....., an. n. a0  a1 x  ...  an x n .. * Trong đó n  N và các hệ số. a a1  ...  nn 4096 2 2 . Tìm số lớn nhất trong các số: a0 , a1 ,..., an .. thỏa mãn hệ thức: 32. (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức: n. n. x x 1 x 1  x2 1    0 1 3 2  2  2  Cn  2   Cn  2 2       . n 1. x 1  3x    3x  n 1  2  2   ...  Cn  2   2      . n 1. n.  3x  C  2    ( n là số nguyên n n. 3 1 dương ). Biết rằng trong khai triển đó Cn 5Cn và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.. 33. (ĐH-A-2005) C. 1 2 n 1.  2.2C. 2 2 n 1.  3.2 C23n1  4.23 C24n 1  ...   2n  1 .2 2 n C22nn11 2005.. 34. (ĐH-B-2003) Cn0 . 2. Tìm số nguyên dương n sao cho: 2. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:. 3. 2 1 1 2 1 2 2n 1  1 n Cn  Cn  ...  Cn . 2 3 n 1. 35. (ĐH-D-2002). 0 1 2 n n Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn  2Cn  4Cn  ...  2 Cn 243..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> M. 36. (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức: C. 2 n 1.  2C. 2 n2.  2C. 2 n 3. C. 2 n4. 149. An41  3 An3 ,  n  1 !. ( n là số nguyên dương ).. biết rằng:.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>