de thi HSG toan 9 thanh binh

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYỆN CAO LÃNH Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện - Năm học:2009 -2010 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn: Toán (Lớp 8) ------ Đề Chính thức -----Ngày thi: 23 / 05 / 2010 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) *** Đề thi gồm có 01 (một) trang *** Bài 1: (4 điểm) a) Giải phương trình:. 29 − x 27 − x 25 − x 23 − x 21 − x + + + + =−5 21 23 25 27 29. b) Cho x + y = 5 và x2 + y2 = 23. Tính giá trị biểu thức: A = x3 + y3 Bài 2: (5 điểm) a) Cho tam giác vuông có cạnh huyền là a, hai cạnh góc vuông là b và c, diện tích là S. Chứng minh rằng: 4S = (a + b + c)(b + c – a) b) Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm D trên đáy BC vẽ đường thẳng vuông góc với BC và cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt ở E, F . Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Chứng minh rằng A là trung điểm của HK. Bài 3: (3 điểm) Chứng minh rằng: A = n3(n2 – 7)2 – 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n. Bài 4: (4 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M, N. a) Chứng minh rằng CM.DN = a2 b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng MKN = 900. c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất ? Bài 5: (4 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc b) Cho:. a b c + + =1 . b+c c +a a+b. Chứng minh rằng:. a2 b2 c2 + + =0 .HẾT b+c c +a a+b.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> UBND HUYỆN CAO LÃNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. BÀI Bài 1 a). ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện - NH:2009 -2010 Môn: Toán (Lớp 8) Ngày thi: 23 / 05 / 2010 *** Đáp án gồm có 02 (hai) trang *** NỘI DUNG. - Cộng 1 vào mỗi phân thức ở vế trái và cộng 5 vào vế phải của phương trình, 1 1 1 1 1 ( 50 − x ) + + + + =0 ta được: 21 23 25 27 29 ⇔ x = 50. (. ). 2. b) Bài 2 a). Bài 3. 2. - Ta có: x + y = 5 và x + y = 23 nên tính được xy = 1 - Do đó: A = x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2 – xy) = 5.(23 – 1) = 110 - Ta có: (b +c + a)(b + c – a) = (b +c)2 – a2 = b2 + 2bc + c2 – a2 = 2bc (vì theo Pytago có: a 2 = b2 + c2 ) - Mà S =. b). ĐIỂM. 29 − x 27 − x 25 − x 23 − x 21 − x + + + + =−5 21 23 25 27 29. 1 bc 2. nên 4S = 2bc. Vậy 4S = (a + b + c)(b + c – a) H E Gọi I và O là tâm các hcn BDEH và CDFK. - Ta có: BÂ1 = DÂ1 và CÂ1 = DÂ2 (t/c hình chữ nhật) A mà BÂ1 = CÂ1 (gt) nên BÂ1 = DÂ1 = CÂ1 = DÂ2 Do đó BE // DK và DH // CA I F Suy ra AIDO là hình bình hành K nên AO = ID ; mà HI = ID (t/c hcn) O Do đó AO = HI ; ta lại có AO // HI 1 2 1 C B 1 D Suy ra AOIH là hình bình hành nên AH // IO và AH = IO (1) - CM tương tự, AIOK là hình bình hành nên AK // IO và AK = IO (2) - Từ (1) và (2) suy ra H, A, K thẳng hàng và AH = AK Vậy A là trung điểm của HK. Ta có: A = n3 (n2 – 7)2 – 36n = n[n2 (n2 – 7)2 – 36] = n[(n3 – 7n)2 – 62] = n(n3 – 7n – 6)(n3 – 7n + 6) = (n – 3)(n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - Đây là tích của bảy số nguyên liên tiếp, nên: A chia hết cho 5 ; chia hết cho 7 ; chia hết cho 9 ; chia hết cho 16 (vì có một bội của 5 ; một bội của 7 ; hai bội của 3 ; ba bội của 2 mà trong đó có một bội của 4) - Vậy A chia hết cho 5040 (vì các số 5, 7, 9, 16 đôi một nguyên tố cùng nhau ; mà 5.7.9.16 = 5040). 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0, 5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 4 a). - Ta có : AB // MN. K A. ⇒. B. F. ⇒. E. CM CE AF BA = = = BA BE FD DN 2. CM.DN = AB = a. 2. a. N. b). c). Bài 5 a). b). C. D. 0,5. M. CM DA = CB DN. 0, 5. - Do đó Δ CMB đồng dạng Δ DAN (c.g.c) nên CMB = DAN 0 0 Suy ra CMB + DNA = 90 . Vậy MKN = 90 - Độ dài MN nhỏ nhất ⇔ CM + DN nhỏ nhất. mà CM.DN = a2 là không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất ⇔ CM = DN - Khi đó CM2 = a2 , CM = DN = a ; nên độ dài MN nhỏ nhất bằng 3a khi và chỉ khi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc = (a + b)(ab + bc + ca) + c(ab + bc + ca) – abc = (a + b)(ab + bc + ca) + abc + c2(a + b) – abc = (a + b)(ab + bc + ca + c2) = (a + b )(b + c)(c + a). 0,5 0,5. - Ở câu a ta có. CM AB = AB DN. 1,0. nên. a b c + + =1 với (a + b + c) b+c c +a a+b a2 +a(b+c ) b2 +b( c+ a) c 2+ c (a+ b) ta được: + + =a+b+ c b+ c c+ a a+ b a2 b2 c2 ⇒ + a+ + b+ + c=a+b+ c b+c c+ a a+b 2 2 2 a b c + + =0 - Vậy : b+c c +a a+b. - Nhân hai vế của. 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5. * Ghi chú: - Điểm chi tiết đến 0,25 điểm. - Khuyến khích tính sáng tạo của thí sinh, thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm, nếu lí luận chặt chẽ, đưa đến kết quả đúng giám khảo cho điểm tối đa. HẾT..

<span class='text_page_counter'>(4)</span>