Chuyên đề khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ôn thi THPT 2021 - Nguyễn Bảo Vương - TOANMATH.com
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (35.32 MB, 825 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên, đồ thị Định lí (thừa nhận): Giả sử hàm số y f (x ) có đạo hàm trên khoảng K . Nếu f (x ) 0, x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K . Nếu f (x ) 0, x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K . Nếu f (x ) 0, x K thì hàm số không đổi trên khoảng K .. y Đồng biến. O y. Hình dáng đồ thị Nếu hàm số đồng biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi lên. Nếu hàm số nghịch biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi xuống. Câu 1.. a. x. b Nghịch biến. O. a. b. x. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 1 . B. 0;1 . C. 1;1 . D. 1; 0 . Câu 2.. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ; 1 . B. 0;1 . C. 1;0 . D. 1; .. Câu 3.. Câu 4.. (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; 0 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 . (Kim Liên - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?. A. 1; .. B. ;1 .. C. 1; .. D. ; 1 .. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 5.. (Mã 101 - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;0 B. ;0 C. 1; D. 0;1. Câu 6.. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. 0; . B. 0; 2 . C. 2;0 . D. ; 2 .. Câu 7.. (Mã 103 - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau : Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;1 B. 1; C. ;1 D. 1;0 . Câu 8.. (Mã 101 - 2019) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0; 2 . B. 0; . C. 2;0 . D. 2; .. Câu 9.. (Mã 102 - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; . B. 1; . C. 1;1 . D. ;1 .. Câu 10.. (Mã 104 -2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2;3 B. 3; C. ; 2 D. 2; . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(3)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 11.. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0; B. ; 2 C. 0;2 D. 2;0. Câu 12.. (Đề Minh Họa 2020 – Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 1 . B. 0;1 . C. 1;0 . D. ;0 .. Câu 13.. (Đề Minh Họa 2020 – Lần 2) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; . B. 1; 0 . C. 1;1 . D. 0 ;1 .. Câu 14.. (Mã 102 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; . B. 1;1 . C. 0;1 . D. 1;0 .. Câu 15.. (Mã 103 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã chođồng biến trên khoảng nào dưới đây A. (2; 2) B. (0; 2) C. (2;0) D. (2; ) .. Câu 16.. (Mã 104 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 3; 0 . B. 3;3 . C. 0;3 . D. ; 3 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 17. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?. 1 A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; . 2 B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; 3 .. C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 3; . 1 D. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ; và 3; . 2 Câu 18. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:. Hàm số nghịch biến trong khoảng nào? A. 1;1 . B. 0;1 . Câu 19.. C. 4; .. D. ; 2 .. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1 B. 1;1 C. 1;0 D. 0;1. Câu 20.. (Mã 102 – 2020 – Lần 2) Cho hàm số y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;0 . B. ; 1 . C. 0;1 . D. 0; .. Câu 21.. (Mã 107 – 2020 Lần 2) Cho hàm số y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên.. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(5)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;1 . B. ;0 . C. 1; . Câu 22.. D. 1;0 .. (Mã 103 – 2020 – Lần 2) Cho hàm số y f x có đồ thị là đường cong hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;0 . B. ; 1 . C. 0; . D. 0;1 .. Câu 23. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 1 . B. 1;1 . C. 0; . D. ; . Câu 24. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;1. B. 1; 2. C. 1; 2. D. 2; . Câu 25. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 1. B. 1;1. C. 1; 2. D. 0;1.. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(6)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 26. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; 2 . B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1; . C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 1; 2 . D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ;1 . Câu 27. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào? y. A. ;0 .. 4. B. 1;3 .. 2. C. 0; 2 . D. 0; .. 1. O. 2. x. 3. Câu 28. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào? A. 2;0 . B. ;0 . C. 2;2 . D. 0; 2 . Câu 29. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào? y. A. 1;1 .. 3. B. 2; 1 . C. 1; 2 . D. 1; . Câu 30.. 1 2. 1 1. O. 2. x. 1. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng A. 1;0 . B. 2; 1 . C. 0;1 . D. 1;3 .. Câu 31.. (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(7)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. Hàm số đồng biến trên ;0 và 0; . B. Hàm số đồng biến trên 1;0 và 1; . C. Hàm số đồng biến trên 1;0 1; . D. Hàm số đồng biến trên ; 1 1; .. Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Bước 2. Tính đạo hàm y f ( x). Tìm các điểm xi , (i 1,2, 3,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dưa vào bảng biến thiên.. Câu 1.. (Mã 110 - 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ; ? A. y . Câu 2.. x 1 x2. B. y x3 x. x 1 x3. x2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x 1 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; D. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1. (Đề Tham Khảo - 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ; ?. x2 . C. y 3x3 3x 2 . D. y 2 x3 5 x 1. x 1 (Mã 110 - 2017) Cho hàm số y x3 3x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?. A. y x 4 3x 2 . Câu 4.. D. y . (Đề Tham Khảo - 2017) Cho hàm số y . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 Câu 3.. C. y x3 3x. B. y . A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2. C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; . Câu 5.. (Dề Minh Họa - 2017) Hỏi hàm số y 2 x 4 1 đồng biến trên khoảng nào? 1 1 A. ;0 . B. ; . C. 0; . D. ; . 2 2 . Câu 6.. (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 1 , x . Mệnh đề nào dưới. Câu 7.. đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1. C. Hàm số đồng biến trên khoảng ; . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 . (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y x3 2 x 2 x 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . 1 C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 3 Câu 8.. 1 B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 3 1 D. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 3 . (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y x 4 2 x2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(8)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 Câu 9.. 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? x 1 B. (0; ) C. ( ; 0) D. ( 1;1). (Mã 123 - 2017) Hàm số y A. ( ; ). Câu 10.. D. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 . 2. (Mã 123 - 2017) Cho hàm số y x3 3x 2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 và đồng biến trên khoảng 0; B. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0 và đồng biến trên khoảng 0; C. Hàm số đồng biến trên khoảng ; D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; . Câu 11.. (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y 2 x 2 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; B. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0 C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1. x3 Câu 12. (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2019) Cho hàm số y x 2 x 2019 3 A. Hàm số đã cho đồng biến trên . B. Hàm số đã cho nghịch biến trên ;1 .. C. Hàm số đã cho đồng biến trên ;1 và nghịch biến trên 1; . D. Hàm số đã cho đồng biến trên 1; và nghịch biến trên ;1 . Câu 13.. (Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2019) Hàm số y A. R\ 3 .. B. R .. 5 2x nghịch biến trên x3 C. ; 3 . D. 3; .. (Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2019) Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ? A. y x3 3 x 2 . B. y x 4 2 x 2 2 . C. y x 3 2 x 2 4 x 1 . D. y x 3 2 x 2 5 x 2 . Câu 15. (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - 2019) Hàm số y x 3 3 x 2 2 đồng biến trên khoảng Câu 14.. A. 0; 2 . Câu 16.. B. ;0 . B. 3; .. C. 1; .. D. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; .. (THPT Ngô Quyền - Hải Phòng - 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đạo hàm f x 1 x . A. ;1 . Câu 19.. D. ;0 .. (Chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - 2019) Cho hàm số y x 4 2 x 2 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 .. Câu 18.. D. 4; .. (HSG - TP Đà Nẵng - 2019) Hàm số y x4 4 x3 đồng biến trên khoảng A. ; .. Câu 17.. C. 1; 4 .. 2. 3. x 1 3 x . Hàm số B. ; 1 .. y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?. (HSG 12 - TP Nam Định - 2019) Hàm số y A. 1;3 .. B. ; 1 .. C. 1;3 .. D. 3; .. 1 3 x x 2 3x 2019 nghịch biến trên 3 C. ; 1 và 3; . D. 3; .. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(9)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 20.. (Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2019) Hàm số y 2018 x x 2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? B. 2018; . C. 0;1009 . D. 1; 2018 . A. 1010; 2018 .. Câu 21.. (Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2019) Hàm số y x 3 3 x 2 4 đồng biến trên tập hợp nào trong các tập hợp được cho dưới đây? A. 2; . B. 0; 2 . C. ;0 2; . D. ;0 .. Câu 22.. (SGD&ĐT Hà Nội - 2018) Hàm số y f x có đạo hàm y x 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên . B. Hàm số nghịch biến trên ;0 và đồng biến trên 0; . C. Hàm số đồng biến trên . D. Hàm số đồng biến trên ;0 và nghịch biến trên 0; .. Câu 23.. (THPT Lương Thế Vinh - HN - 2018) Hàm số y x 3 3 x nghịch biến trên khoảng nào? A. ; 1 .. Câu 24.. B. ; .. C. 1;1 .. D. 0; .. (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hàm y x 2 6 x 5 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 5; .. B. Hàm số đồng biến trên khoảng 3; .. C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 .. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;3 .. Câu 25. (Thpt Kinh Môn - HD - 2018) Cho hàm số y x 3 3 x 2 1 , kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số là đúng nhất: A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 và nghịch biến trên các khoảng ; 0 ; 2; ; B. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 ; C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 và đồng biến trên các khoảng ; 0 ; 2; ; D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 và 2; . Câu 26.. 3. (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 2 , với mọi. x . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; 3 . B. 1; 0 . C. 0; 1 . Câu 27.. D. 2; 0 .. 1 1 (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số y x 3 x 2 12 x 1 . Mệnh đề nào sau đây 3 2 là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 3; 4 .. B. Hàm số đồng biến trên khoảng 4; . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 4 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3; . -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(10)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. Chuyên đề 1. TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH MỤC TIÊU 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó Xét hàm số bậc ba y f ( x) ax 3 bx 2 cx d . – Bước 1. Tập xác định: D . – Bước 2. Tính đạo hàm y f ( x) 3ax 2 2bx c. a f ( x ) 3a 0 + Để f ( x) đồng biến trên y f ( x) 0, x m ? 2 f ( x ) 4b 12ac 0 a f ( x ) 3a 0 + Đề f ( x) nghịch biến trên y f ( x) 0, x m ? 2 f ( x ) 4b 12ac 0 Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai f ( x) ax 2 bx c. a 0 a 0 Để f ( x) 0, x f ( x) 0, x 0 0 Câu 1.. Câu 2.. (Đề Tham Khảo Lần 2 2020)Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số 1 f ( x) x3 mx 2 4 x 3 đồng biến trên . 3 A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . (Mã 123 - 2017) Cho hàm số y x 3 mx 2 4 m 9 x 5 , với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ; A. 5. Câu 4.. B. 4 C. 6 D. 7 1 3 Cho hàm số y x mx 2 3m 2 x 1 . Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên 3 . m 1 m 1 A. . B. 2 m 1 . C. 2 m 1 . D. . m 2 m 2 Tìm m để hàm số y x3 3mx 2 3 2m 1 1 đồng biến trên .. Câu 5.. A. Không có giá trị m thỏa mãn. B. m 1 . C. m 1 . D. Luôn thỏa mãn với mọi m . Tìm điều kiện của tham số thực m để hàm số y x3 3x 2 3 m 1 x 2 đồng biến trên .. Câu 3.. Câu 6.. Câu 7.. A. m 2 .. B. m 2 .. C. m 0 .. D. m 0 . 1 3 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y x mx 2 4 x m đồng biến 3 trên khoảng ; . A. 2;2 .. B. ;2 .. C. ; 2 .. D. 2; .. 1 Giá trị của m để hàm số y x3 – 2mx 2 m 3 x – 5 m đồng biến trên là. 3 3 3 3 A. m 1 . B. m . C. m 1 . D. m 1 . 4 4 4. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(11)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 8.. (Chuyên KHTN - Hà Nội - 2020) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 m 1 x 2 3x 2 đồng biến trên là A. 4;2 .. Câu 9.. C. ; 4 2; . D. ; 4 2; . (Đề Tham Khảo - 2017) Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y m 2 1 x 3 m 1 x 2 x 4 nghịch biến trên khoảng ; . B. 4;2 .. A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 Câu 10. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số hàm số 1 y m 2 m x 3 2mx 2 3 x 2 đồng biến trên khoảng ; ? 3 A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 0 . 3 2 Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y mx mx m m 1 x 2 đồng biến trên . 4 A. m 3 và m 0 . 4 C. m . 3. B. m 0 hoặc m D. m . 4 . 3. 4 . 3. Câu 12. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y . m 3 x 2mx 2 3m 5 x đồng 3. biến trên . A. 4 . B. 2 . C. 5 . D. 6 . 3 2 Câu 13. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y m 1 x 3 m 1 x 3x 2 đồng biến biến trên ? A. 1 m 2 . B. 1 m 2 . C. 1 m 2 . D. 1 m 2 Câu 14. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018) Số giá trị nguyên của m để hàm số y (4 m 2 ) x3 (m 2) x 2 x m 1 1 đồng biến trên bằng. A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . Câu 15. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2018) Số các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn 100;100 để hàm số y mx3 mx 2 m 1 x 3 nghịch biến trên là:. A. 200 . B. 99 . C. 100 . D. 201 . Câu 16. (Liên trường Nghệ An - 2020) Tổng bình phương của tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 3m 2 12 x 3 3 m 2 x 2 x 2 nghịch biến trên là? Câu 17.. A. 9 . B. 6 . C. 5 . D. 14 . (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y m 2 1 x 3 m 1 x 2 x 4 nghịch biến trên khoảng ; . A. 2.. B. 1. ax b Xét hàm số nhất biến y f ( x) cx d. C. 0.. D. 3.. d – Bước 1. Tập xác định: D \ c a.d b.c – Bước 2. Tính đạo hàm y f ( x) (cx d ) 2 + Để f ( x) đồng biến trên D y f ( x) 0, x D a.d b.c 0 m ? + Để f ( x) nghịch biến trên D y f ( x) 0, x D a.d b.c 0 m ? Lưu ý: Đối với hàm phân thức thì không có dấu " " xảy ra tại vị trí y.. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(12)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. mx 2m 3 Câu 18. (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá xm trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S . A. Vô số B. 3 C. 5 D. 4 mx 4m Câu 19. (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị xm nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S . A. 4 B. Vô số C. 3 D. 5 Câu 20.. (THPT Hoa Lư A - 2018) Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số y . m 1 x 2 xm. đồng. biến trên từng khoảng xác định của nó? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Câu 21. (SGD&ĐT Bắc Giang - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số x m2 đồng biến trên từng khoảng xác định của nó? y x4 A. 5 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . x2m Câu 22. (THPT Hà Huy Tập - 2018) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y nghịch x 1 biến trên các khoảng mà nó xác định? A. m 1 . B. m 3 . C. m 3 . D. m 1 . mx 4 Câu 23. (SỞ GD&ĐT Yên Bái - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y xm nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. m 2 m 2 A. . B. 2 m 2 . C. . D. 2 m 2 . m2 m2 Câu 24. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để mx 2 hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng xác định 2x m m 2 m 2 A. . B. 2 m 2 . C. . D. 2 m 2 . m 2 m 2 Dạng 2. Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước ax b Tìm Tìm tham số m để hàm số y đơn điệu trên khoảng ; . cx d d Tìm tập xác định, chẳng hạn x . Tính đạo hàm y . c Hàm số đồng biến y 0 (hàm số nghịch biến y 0 ). Giải ra tìm được m 1 . d d và có x ; nên ; . Giải ra tìm được m c c Lấy giao của 1 và 2 được các giá trị m cần tìm.. Vì x . 2 .. Các trường hợp đặc biệt: ax b Hàm số y ad bc 0 đồng biến trên từng khoảng xác định khi: ad bc 0 cx d ax b Hàm số y ad bc 0 nghịch biến trên từng khoảng xác định khi: ad bc 0 cx d ad bc 0 ax b Hàm số y ad bc 0 đồng biến trên khoảng ; khi: d cx d c . Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(13)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. ax b Hàm số y cx d. Hàm số y . ax b cx d. Hàm số y . ax b cx d. Câu 1.. Câu 2.. ad bc 0 ad bc 0 nghịch biến trên khoảng ; khi: d c ad bc 0 d ad bc 0 đồng biến trên khoảng ; khi: c d c ad bc 0 d ; nghịch biến trên khoảng khi: ad bc 0 c d c. mx 4 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu xm giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; ? A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . x4 (Mã 101 – 2020 – Lần 1) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y xm ; 7 đồng biến trên khoảng là (Đề Tham Khảo Lần 1 2020) Cho hàm số f x . A. 4;7 . Câu 3.. B. 4;7 .. C. 4;7 .. D. 4; .. (Mã 102 – 2020 – Lần 1) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y . x5 xm. đồng biến trên khoảng ; 8 là A. 5; . Câu 4.. B. 5;8 .. D. 5;8 .. (Mã 103 – 2020 – Lần 1) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y đồng biến trên khoảng ( ; 5) A. (2; 5] . B. [2;5) .. Câu 5.. C. 5;8 .. C. (2; ) .. x2 xm. D. (2;5) .. (Mã 104- 2020 – Lần 1) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y . x3 xm. đồng biến trên khoảng ; 6 là A. 3; 6 . Câu 6.. B. 3; 6 .. C. 3; .. D. 3;6 .. (Mã 104-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y . x2 đồng biến trên x 3m. khoảng ; 6 . A. 2 Câu 7.. B. 6. C. Vô số. D. 1. (Mã 103-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y . x 1 nghịch biến x 3m. trên khoảng 6; ? A. 0. B. 6. C. 3. D. Vô số. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(14)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 8.. (Mã 101- 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y . x2 đồng biến x 5m. trên khoảng ; 10 ? B. Vô số. A. 2 Câu 9.. C. 1. D. 3. (Mã 102 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y . x6 nghịch biến x 5m. trên khoảng 10; ? A. Vô số. B. 4. C. 5. D. 3. Câu 10. (Chuyên KHTN - 2020) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y . mx 4 đồng xm. biến trên khoảng 1; là A. 2;1 . Câu 11.. B. 2; 2 .. C. 2; 1 .. D. 2; 1 .. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m mx 1 1 để hàm số y nghịch biến trên khoảng ; . m 4x 4 A. m 2 . B. 1 m 2 . C. 2 m 2 . D. 2 m 2 .. mx 2m 3 với m là tham số. Gọi S là tập hợp xm tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng 2; . Tìm số phần tử của S. A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 1 . x 18 Câu 13. (ĐHQG Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x 4m nghịch biến trên khoảng 2; ? Câu 12.. (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho hàm số y . B. 0 .. A. Vô số. Câu 14.. C. 3 .. D. 5 .. (Sở Hà Tĩnh - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y . mx 9 nghịch 4x m. biến trên khoảng 0;4 ? A. 5 . Câu 15.. B. 11.. C. 6 .. D. 7 .. (Sở Yên Bái - 2020) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y . mx 3m 4 xm. nghịch biến trên khoảng 1; m 1 C. . D. 1 m 4 . m 4 Câu 16. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 3 x 18 m 2020; 2020 sao cho hàm số y nghịch biến trên khoảng ; 3 ? xm A. 2020 . B. 2026 . C. 2018 . D. 2023 . Câu 17. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số A. 1 m 4 .. B. 1 m 1 .. x4 nghịch biến trên khoảng 3;4 . 2x m A. Vô số. B. 1 . C. 3 . y. Câu 18.. D. 2 . (Chuyên KHTN - Hà Nội - Lần 3) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số mx 4 nghịch biến trên khoảng 0; ? y xm A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 5 . Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(15)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dạng 3. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước Tìm tham số m để hàm số y f x ; m đơn điệu trên khoảng ; . Bước 1: Ghi điều kiện để y f x ; m đơn điệu trên ; . Chẳng hạn: Đề yêu cầu y f x ; m đồng biến trên ; y f x ; m 0 . Đề yêu cầu y f x ; m nghịch biến trên ; y f x ; m 0 .. Bước 2: Độc lập m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là g x , có hai trường hợp thường gặp :. m g x , x ; m max g x . ; . m g x , x ; m min g x . ; . Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g x trên D (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Từ đó suy ra m . Câu 1.. Câu 2.. Câu 3.. (Mã 101 – 2020 -Lần 2) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3 3 x 2 4 m x đồng biến trên khoảng 2; là A. ;1. B. ; 4. C. ;1. A. ; 2 .. B. ;5 .. C. ;5 .. D. ; 4 (Mã 102 – 2020 – Lần 2) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3x 2 5 m x đồng biến trên khoảng 2; là D. ; 2 .. (Mã 103 – 2020 – Lần 2) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 3 x 2 2 m x đồng biến trên khoảng 2; là A. ; 1 .. Câu 4.. B. ; 2 . C. ; 1 . D. ; 2 . (Mã 104 – 2020 – Lần 2) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 3 x 2 1 m x đồng biến trên khoảng 2; là. A. ; 2 . Câu 5.. Câu 6.. B. ;1 .. C. ; 2 .. D. ;1 .. (Đề Tham Khảo 2019) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3 6 x 2 4m 9 x 4 nghịch biến trên khoảng ; 1 là 3 3 A. ; B. 0; C. ;0 D. ; 4 4 Cho hàm số y x 3 3 x 2 mx 4 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến. trên khoảng ;0 là A. 1;5 .. B. ; 3 .. C. ; 4 .. D. 1; .. mx 3 7 mx 2 14 x m 2 3. Câu 7.. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y f ( x ) . Câu 8.. giảm trên nửa khoảng [1; ) ? 14 14 14 14 A. ; . B. 2; . C. ; . D. ; . 15 15 15 15 3 2 Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y x 3mx m nghịch biến trên khoảng 0;1 ? A. m 0 .. Câu 9.. B. m . 1 . 2. C. m 0 .. D. m . 1 . 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x 3 3 x 2 mx 1 đồng biến trên khoảng. ;0 . A. m 0 . B. m 2 . C. m 3 . D. m 1 . 3 2 Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3mx 9m 2 x nghịch biến trên Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(16)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. khoảng 0;1 . 1 A. 1 m . 3. C. m 1 .. 1 . 3 1 D. m hoặc m 1 . 3. B. m . 1 Câu 11. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y x3 mx 2 2m 1 x m 2 nghịch biến trên 3 khoảng 2;0 . . 1 1 C. m . D. m . 2 2 3 2 Câu 12. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y x 3 x mx 2 tăng trên khoảng 1; . A. m 0 .. B. m 1 .. A. m 3 . B. m 3 . C. m 3 . D. m 3 . 3 2 Câu 13. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x mx m 6 x 1 đồng biến trên khoảng 0; 4 là: A. ;3 .. B. ;3 .. C. 3;6 .. D. ;6 . 3. 2. Câu 14. Tìm tất cả các giá thực của tham số m sao cho hàm số y 2 x 3 x 6mx m nghịch biến trên khoảng 1;1 . 1 1 . B. m . C. m 2 . D. m 0 . 4 4 Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x3 6 x 2 mx 1 đồng biến trên khoảng 0; ?. A. m . A. m 12 . B. m 12 . C. m 0 . D. m 0 . 3 2 Câu 16. Tìm m để hàm số y x 3x 3mx m 1 nghịch biến trên 0; . A. m 1 . B. m 1 . C. m 1 . D. m 1 . Câu 17. (THPT Chuyên Hạ Long - 2018) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y x3 3 2m 1 x 2 12m 5 x 2 đồng biến trên khoảng 2; . Số phần tử của S bằng Câu 18.. A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 0 . (Chuyên KHTN - 2018). Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m y x 3 mx 2 m 6 x 1 đồng biến trên khoảng 0; 4 là: A. ;6 .. B. ;3 .. C. ;3 .. để hàm số. D. 3;6 .. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số 1 2 f x x 3 mx 2 m 6 x đồng biến trên khoảng 0; ? 3 3 A. 9. B. 10. C. 6. D. 5. Câu 20. (Chuyên Sơn La - 2020) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 6 x 2 4m 9 x 4 nghịch biến trên khoảng ; 1 là Câu 19.. 3 A. ; . 4 . Câu 21.. 3 B. ; . 4 . (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y . C. 0; .. D. ;0 .. x3 m 1 x 2 3 m 1 x 1 . Số các giá trị nguyên của 3. m để hàm số đồng biến trên 1; là A. 7. B. 4. C. 5. D. 6. Câu 22. (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Số giá trị nguyên thuộc khoảng 2020; 2020 của tham số m để hàm số y x3 3x 2 mx 2019 đồng biến trên 0; là A. 2018 .. B. 2019 .. C. 2020 .. D. 2017 .. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(17)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 23.. (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc 2020; 2020 để hàm số. y x3 6 x 2 mx 1 đồng biến trên 0; . A. 2004 . Câu 24.. B. 2017 .. C. 2020 .. D. 2009 .. . . (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f x x3 m 1 x 2 2m2 3m 2 x 2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2; ?. Câu 25.. A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc 2020; 2020 sao cho hàm số y 2 x3 mx2 2 x đồng biến trên khoảng 2;0 . Tính số phần. tử của tập hợp S . A. 2025 . B. 2016 . C. 2024 . D. 2023 . Câu 26. (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Với mọi giá trị m a b , a , b thì hàm số y 2 x3 mx 2 2 x 5 đồng biến trên khoảng 2;0 . Khi đó a b bằng A. 1. B. 2 . C. 3 . Dạng 4. Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng cho trước Câu 1.. Câu 2.. Câu 3.. Câu 4.. Câu 5.. Câu 6.. Câu 7.. D. 5 .. (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y . tan x 2 tan x m. đồng biến trên khoảng 0; . 4 A. m 0 hoặc 1 m 2 B. m 0 C. 1 m 2 D. m 2 (Đề Tham Khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 1 y x 3 mx 5 đồng biến trên khoảng 0; 5x A. 0 B. 4 C. 5 D. 3 S (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Gọi là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để 1 1 hàm số f x m 2 x 5 mx 3 10 x 2 m 2 m 20 x đồng biến trên . Tổng giá trị của tất cả 5 3 các phần tử thuộc S bằng 5 1 3 A. . B. 2 . C. . D. . 2 2 2 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số m đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó là y x 1 x2 A. 0;1 . B. ;0 . C. 0; \ 1 . D. ; 0 .. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số cos x 3 nghịch biến trên khoảng ; y cos x m 2 0 m 3 0 m 3 A. . B. . C. m 3 . D. m 3 . m 1 m 1 (4 m) 6 x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m 6 x m trong khoảng 10;10 sao cho hàm số đồng biến trên 8;5 ? (Hoàng Hoa Thám 2019) Cho hàm số y . A. 14 . B. 13 . C. 12 . D. 15 . (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm 1 3 số y x 4 mx đồng biến trên khoảng 0; . 4 2x A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0 .. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(18)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 8.. ln x 4 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y với m là tham số. Gọi S là tập hợp các ln x 2m giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng 1; e . Tìm số phần tử của S .. A. 3 Câu 9.. Câu 10.. Câu 11.. Câu 12.. Câu 13.. Câu 14.. Câu 15.. Câu 16.. Câu 17.. Câu 18.. Câu 19.. B. 2. C. 1 D. 4 cos x 2 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm m để hàm số y đồng biến trên khoảng 0; cos x m 2 m 2 m 0 A. B. m 2 C. D. 1 m 1 m 2 1 m 2 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 3 9 y x 4 x 2 2m 15 x 3m 1 đồng biến trên khoảng 0; ? 4 2 A. 2. B. 3. C. 5. D. 4. m 2 3m Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 3 x đồng biến trên x 1 từng khoảng xác định của nó? A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 3 . cos x 2 Tìm m để hàm số y nghịch biến trên khoảng 0 ; 2 cos x m m 0 A. m 2 . B. . C. m 2 . D. m 2 . 1 m 2 (Toán Học Tuổi Trẻ Số 5 2018) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y 8cot x m 3 .2cot x 3m 2 (1) đồng biến trên ; . 4 A. 9 m 3 . B. m 3 . C. m 9 . D. m 9 . ln x 4 (Toán Học Tuổi Trẻ Số 6 2018)Cho hàm số y với m là tham số. Gọi S là tập hợp ln x 2m các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng 1; e . Tìm số phần tử của S . A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1 . (THPT Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm m ln x 2 nghịch biến trên e 2 ; . y ln x m 1 A. m 2 hoặc m 1 . B. m 2 hoặc m 1 . C. m 2. D. m 2 hoặc m 1 . (Chuyên Lương Thế Vinh - 2018) Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm 1 y cos3 x 4 cot x m 1 cos x đồng biến trên khoảng 0; ? 3 A. 5 . B. 2 . C. vô số. D. 3 . (Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm 1 m đồng biến trên 5; ? y x 5 x2 A. 10 . B. 8 . C. 9 . D. 11 . (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm 3 1 y x 4 m 1 x 2 4 đồng biến trên khoảng 0; . 4 4x A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm x2 y mx ln x 1 đồng biến trên khoảng 1; ? 2. số. số. số. số. số. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(19)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 20.. A. 3 . B. 4 . C. 2 . (Chuyên Vinh - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên. D. 1 . m 10;10 . để hàm số. y m 2 x 4 2 4m 1 x 2 1 đồng biến trên khoảng 1; ?. Câu 21.. A. 15 . B. 6 . C. 7 . D. 16 . (Chuyên Thái Bình - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2018; 2018 để hàm số y x 2 1 mx 1 đồng biến trên ; . A. 2017 . B. 2019 . C. 2020 .. D. 2018 . mx 1. Câu 22.. Câu 23.. Câu 24.. Câu 25.. Câu 26.. (Lê Quý Đôn - Quảng Trị- 2018) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y 2 x m nghịch biến 1 trên ; . 2 1 1 1 A. m 1;1 . B. m ;1 . C. m ;1 . D. m ;1 . 2 2 2 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số x2 2x m nghịch biến trên khoảng (1;3) và đồng biến trên khoảng (4;6) . y x 1 A. 6 . B. 7 . C. 5 . D. 4 . 1 ln x 1 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y . Có bao nhiêu giá trị nguyên của 1 ln x m 1 tham số m thuộc 5;5 để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 3 ;1 . e 7 6 5 A. . B. . C. . D. 4 . (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số ln x 6 y đồng biến trên khoảng 1;e ? ln x 2m A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số f x m 2020 x 2co s x sin x x nghịch biến trên ?. A. Vô số. B. 2. C. 1. D. 0. (Chuyên Quang Trung - 2020) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y ln( x 2 4) mx 12 đồng biến trên là 1 1 1 1 1 A. ; . B. ; C. (; . D. ; 2 2 2 2 2 m Câu 28. (Chuyên Thái Bình - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số y x 3 mx 2 12 x 2 m luôn đồng biến trên khoảng 1; ? Câu 27.. A. 18 . B. 19 . C. 21 . D. 20 . Câu 29. (ĐHQG Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 8;8 sao cho hàm số y 2 x3 3mx 2 đồng biến trên khoảng 1; ? A. 10. B. 9. C. 8. D. 11. Câu 30. (Sở Ninh Bình) Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y x4 2mx2 1 đồng biến trên khoảng 3; . Tổng giá trị các phần tử của T bằng A. 9 .. B. 45 .. C. 55 .. D. 36 .. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(20)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 31.. (Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y . m sin x cos 2 x. nghịch biến trên 0; . 6 A. m 1 . Câu 32.. (Yên. Lạc. 2. -. Vĩnh. Phúc. 5 . 4 Cho hàm. C. m . B. m 2 . -. 2020). D. m 0 . số. y f x. có. đạo. hàm. f x 3x 2 6 x 4, x . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc 2020;2020 của tham số m để hàm số g x f x 2m 4 x 5 nghịch biến trên 0; 2 ?. A. 2008 . B. 2007 . C. 2018 . D. 2019 . (Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn x 4 mx3 x 2 10;10 sao cho hàm số y mx 2020 nghịch biến trên khoảng 0;1 ? 4 3 2 A. 12. B. 11. C. 9. D. 10. Câu 34. (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số f x m 2020 x 2cos x sin x x nghịch biến trên ?. Câu 33.. Câu 35.. A. Vô số. B. 2 . C. 1 . D. 0 . (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 2 - 2020) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực m để hàm số y ln x 2 4 mx 12 đồng biến trên là. 1 1 1 1 B. ; . C. ; . D. ; . 2 2 2 2 3 2 Câu 36. (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 2 x x mx1 đồng biến trên 1;2 . 1. . A. ; . 2 . A. m 8 .. B. m 1 .. C. m 8 .. D. m 1 .. -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(21)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. Chuyên đề 1. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH 9 – 10 ĐIỂM Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x) Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x . f u x . Bước 2: Sử dụng đồ thị của f x , lập bảng xét dấu của g x . Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x . f u x . Bước 2: Hàm số g x đồng biến g x 0 ; (Hàm số g x nghịch biến g x 0 ) (*) Bước 3: Giải bất phương trình * (dựa vào đồ thị hàm số y f x ) từ đó kết luận khoảng đồng Câu 1.. biến, nghịch biến của hàm số. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y f ( x) . Hàm số y f '( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y f (2 x ) đồng biến trên khoảng. A. 2; Câu 2.. B. 2;1. C. ; 2. D. 1;3. (Mã đề 104 - 2019) Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x như sau:. Hàm số y f 5 2 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 3;4 . Câu 3.. B. 1;3 .. C. ; 3 .. D. 4;5 .. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu của f ( x) như sau:. Hàm số y f 3 2 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;2 . Câu 4.. B. 2;3 .. C. ; 3 .. D. 3;4 .. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f ( x ) có bảng dấu f ( x) như sau:. Hàm số y f (5 2 x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 3;5 .. B. 5; .. C. 2;3 .. D. 0; 2 .. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(22)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 5.. (Mã đề 101 - 2019) Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f ' x như sau:. Hàm số y f 3 2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2;1 . Câu 6.. B. 2;4 .. C. 1;2 .. D. 4; .. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu như sau:. Hàm số y f x 2 2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2;1 . Câu 7.. B. 4; 3 .. C. 0;1 .. D. 2; 1 .. (Chuyên Thái Nguyên -2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x trên . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y f ' x . Hàm số g x f x x 2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? 3 A. ; . 2 3 B. ; . 2 1 C. ; . 2 . Câu 8.. 1 D. ; . 2 . (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y f 2 x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. ;0 . Câu 9.. B. 0;1 .. C. 1; 2 .. D. 0; .. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hàm số f ( x ) , đồ thị hàm số y f ( x ) như hình vẽ dưới đây. Hàm số y f 3 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 4;6 . B. 1;2 . C. ; 1 . D. 2;3 .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(23)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 10.. (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hàm số y f x . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g ( x) f ( x 2 2). Mệnhvđề nào sai?. Câu 11.. A. Hàm số g x nghịch biến trên ; 2 . B. Hàm số g x đồng biến trên 2; . C. Hàm số g x nghịch biến trên 1;0 . D. Hàm số g x nghịch biến trên 0; 2 . (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số y f ' x như hình bên.. Hỏi hàm số g x f 3 2 x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 1; Câu 12.. B. ; 1. C. 1;3. D. 0;2. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau:. Hàm số y f x 2 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2; 1 . Câu 13.. B. 2; .. C. 0;2 .. D. 1;0 .. (Chuyên KHTN - 2020) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau.. Hàm số y f 2 3 x đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 2;3 . Câu 14.. B. 1; 2 .. C. 0;1 .. D. 1;3 .. (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số y f x biết hàm số f x có đạo hàm f x và hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Đặt g x f x 1 . Kết luận nào sau đây đúng?. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(24)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 3; 4 . B. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 0;1 . C. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 2; . D. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 4;6 . Câu 15.. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x y. 2. 5. . 0. . . 0. . Hàm số g x f 3 2 x đồng biến trên khoảng nào sau đây A. 3; . Câu 16.. B. ; 5 .. C. 1;2 .. D. 2;7 .. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ. Xét hàm số g x f x 2 2 . Mệnh đề nào dưới đây sai?. Câu 17.. A. Hàm số g x nghịch biến trên 0;2 .. B. Hàm số g x đồng biến trên 2; .. C. Hàm số g x nghịch biến trên 1;0 .. D. Hàm số g x nghịch biến trên ; 2 .. (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số y f x . Biết rằng hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới.. Hàm số y f 3 x 2 đồng biến trên khoảng A. 0;1 . Câu 18.. B. 1;0 .. C. 2;3 .. D. 2; 1 .. (Sở Ninh Bình) Cho hàm số bậc bốn y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y f ' x . . . như hình vẽ. Hàm số y f x 2 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(25)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 2;3 . Câu 19.. B. 3; 2 .. C. 1;1 .. D. 1;0 .. (Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y f x có đồ thị hàm đạo hàm y f x như hình vẽ. Hàm số g x f 2019 2020 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?. A. 1;0 . Câu 20.. B. ; 1 .. C. 0;1 .. D. 1; .. (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho hàm số y f x . Biết đồ thị hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g x f 2 x 3x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?. 1 1 1 1 1 A. ; . B. ; . C. ; . D. 2; . 3 2 3 2 2 Câu 21. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị f '( x ) như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f ( x 2 x) ?. A. 10 .. B. 11 .. C. 12 .. D. 13 .. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(26)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x) Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x . f u x v x . Bước 2: Sử dụng đồ thị của f x , lập bảng xét dấu của g x . Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x . f u x v x . Bước 2: Hàm số g x đồng biến g x 0 ; (Hàm số g x nghịch biến g x 0 ) (*) Bước 3: Giải bất phương trình * (dựa vào đồ thị hàm số y f x ) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 3: (Trắc nghiệm) Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x . f u x v x . Bước 3: Hàm số g x đồng biến trên K g x 0, x K ; (Hàm số g x nghịch biến trên K g x 0, x K ) (*). Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào g x để loại các phương án sai. Câu 1.. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau. x f x. . . 1 0. . 2 0. . 3 0. 4 0. . . Hàm số y 3 f x 2 x3 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 1 . Câu 2.. B. 1;0 .. C. 0;2 .. D. 1; .. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số f x . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình bên. Hàm số g x f 1 2 x x 2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? y 1. –2. O. 4 x. –2. 3 A. 1; . 2 Câu 3.. 1 B. 0; . 2. C. 2; 1 .. D. 2;3 .. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau. Hàm số y f x 1 x3 12 x 2019 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; .. B. 1;2 .. C. ;1 .. D. 3; 4 .. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(27)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 4.. (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau:. Hàm số y 2 f 1 x x 2 1 x nghịch biến trên những khoảng nào dưới đây A. ; 2 . Câu 5.. B. ;1 .. C. 2;0 .. D. 3; 2 .. (Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số bậc bốn y f ( x) có đồ thị của hàm số y f ( x ) như hình vẽ bên.. Hàm số y 3 f ( x) x3 6 x 2 9 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 0; 2 . Câu 6.. B. 1;1 .. C. 1; .. D. 2; 0 .. (Học Mãi 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y f x như hình bên. Hỏi đồ thị hàm số y f x 2 x có bao nhiêu điểm cực trị?. y 2 x O. 2 2. Câu 7.. A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g x f x 1 . 2019 2018 x đồng biến trên khoảng 2018. nào dưới đây?. A. 2 ; 3 .. B. 0 ; 1 .. C. -1 ; 0 .. D. 1 ; 2 .. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(28)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 8.. (Sở Ninh Bình 2019) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau. Hàm số y 2 f x 2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. 4; 2 . Câu 9.. B. 1; 2 .. C. 2; 1 .. D. 2; 4 .. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x . Biết đồ thị hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y f 3 x 2 2018 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?. A. 1; 0 Câu 10.. B. 2; 3. C. 2; 1. D. 0; 1. (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số đa thức f x có đạo hàm trên . Biết. f 0 0 và đồ thị hàm số y f x như hình sau.. Hàm số g x 4 f x x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 4; . Câu 11.. B. 0; 4 .. C. ; 2 .. D. 2 ; 0 .. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số f ( x) liên tục trên có đồ thị hàm số y f ( x ) cho như hình vẽ. Hàm số g ( x ) 2 f x 1 x 2 2 x 2020 đồng biến trên khoảng nào? A. (0;1) .. B. (3;1) .. C. (1;3) .. D. (2;0) .. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(29)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 12.. (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số. g x f 3 x 1 9 x 3 . f x có đồ thị như hình bên. Hàm số. 9 2 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 2. A. 1;1 . B. 2;0 . C. ;0 . Câu 13.. D. 1; .. (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. . . Hàm số g x f e x 2 2020 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?. 3 A. 1; . 2 B. 1; 2 . C. 0; .. 3 D. ; 2 . 2 Câu 14.. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số f x có đồ thị hàm số f x như hình vẽ.. Hàm số y f cos x x 2 x đồng biến trên khoảng A. 2;1 . B. 0;1 . C. 1; 2 . D. 1; 0 . Câu 15.. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. y 3 x. -4 3. O. -4 9 Hàm số g ( x) f 3 x 2 1 x 4 3 x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây. 2. 2 3 3 A. ; . 3 3 . Câu 16.. 2 3 B. 0; . 3 . C. 1; 2 .. 3 3 D. ; . 3 3 . (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(30)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 2 Hàm số y f 2 x 1 x3 8x 5 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3 1 D. 1; . 2 (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Cho hàm số y f ( x) liên tục trên có đồ thị hàm số y f ( x) cho như hình vẽ.. A. ; 2 . Câu 17.. B. 1; .. C. 1; 7 .. Hàm số g ( x) 2 f x 1 x 2 2 x 2020 đồng biến trên khoảng nào? A. 0;1 . Câu 18.. B. 3; 1 .. C. 1; 3 .. D. 2; 0 .. (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số f x như hình vẽ. Hàm số g x f 1 e x 2020 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0; . Câu 19.. 1 B. ;1 . 2 . 1 C. 0; . 2. D. 1;1 .. (THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.. Hàm số y 2 f x 2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. 2;4 . Câu 20.. B. 4;2 .. C. 2; 1 .. D. 1;2 .. (THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f x xác định và liên tục trên và có đạo hàm. f x thỏa mãn. f x 1 x x 2 g x 2019 với g x 0 , x . Hàm số. y f 1 x 2019 x 2020 nghịch biến trên khoảng nào? A. 1; .. B. 0;3 .. C. ;3 .. D. 3; .. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(31)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 21. Cho hàm số y f x xác định trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:. Biết f x 2, x . Xét hàm số g x f 3 2 f x x3 3x 2 2020 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 2; 1 . B. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0;1 . C. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 3; 4 . D. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 2;3 . Câu 22. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. 3. 2. Hàm số y f x 3. f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; 2 .. B. 3 ; 4 .. C. ; 1 .. D. 2 ; 3 .. Câu 23. Cho hàm số y f x có đồ thị nằm trên trục hoành và có đạo hàm trên , bảng xét dấu của biểu thức f x như bảng dưới đây.. Hàm số y g x . f x2 2x f x2 2 x 1. nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?. 5 B. 2; . C. 1; 3 . D. 2; . 2 Dạng 3. Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác. A. ;1 .. Câu 1.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên . Biết hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m 5;5 để hàm số g x f x m nghịch biến trên khoảng 1;2 . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?. A. 4 .. B. 3 .. C. 6 .. D. 5 .. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(32)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 2.. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và bảnng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau:. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y f x 3 4 x m nghịch biến trên khoảng 1;1 ? A. 3 . Câu 3.. B. 0 .. C. 1.. D. 2 .. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hàm số f x có đạo hàm trên và f 1 1 . Đồ thị hàm số. y f x như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số. y 4 f sin x cos 2 x a nghịch biến trên 0; ? 2. Câu 4.. A. 2 . B. 3 . C. Vô số. D. 5 . (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị. 1 2 x m 1 2019 , với m là tham số thực. Gọi 2 S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y g x đồng biến trên khoảng 5;6 . y f x như hình vẽ. Đặt g x f x m . Tổng tất cả các phần tử trong S bằng A. 4 . B. 11 . C. 14 . D. 20 .. Câu 5.. (Sở Hà Nội - Lần 2 - 2020) Cho hàm số y ax4 bx3 cx2 dx e, a 0 . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng 6; 6 của tham số m để hàm số Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(33)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. g x f 3 2 x m x 2 m 3 x 2m2 nghịch biến trên 0;1 . Khi đó, tổng giá trị các. phần tử của S là A. 12. Câu 6.. B. 9.. C. 6.. D. 15.. (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 2 - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị y f x như hình vẽ bên. Đặt g x f x m . 2 1 x m 1 2019 , 2. với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y g x đồng biến trên khoảng 5; 6 . Tổng tất cả các phần tử trong S bằng:. A. 4 . Câu 7.. B. 11 .. C. 14 .. D. 20 .. Cho hàm số y f x liên tục có đạo hàm trên . Biết hàm số f ' x có đồ thị cho như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc 2019; 2019 để hàm só g x f 2019 x mx 2 đồng biến trên 0;1. Câu 8.. A. 2028 . B. 2019 . Cho hàm số y f ( x ) có đồ thị. C. 2011 . D. 2020 f ( x ) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên. 1 m 2020; 2020 để hàm số g x f 2 x 3 ln 1 x 2 2mx đồng biến trên ; 2 ? 2 . A. 2020 .. B. 2019 .. C. 2021 .. D. 2018 .. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(34)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 9.. Cho hàm số f x liên tục trên và có đạo hàm f x x 2 x 2 x 2 6 x m với mọi x . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 2020; 2020 để hàm số g x f 1 x nghịch biến trên khoảng ; 1 ? A. 2016 .. B. 2014 .. C. 2012 .. D. 2010 .. Câu 10. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên R . Hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.. 1 2 2m x 2020 , với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các 2 giá trị nguyên dương của m để hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 3; 4 . Hỏi số phần tử Xét hàm số g x f x 2m . của S bằng bao nhiêu? A. 4 . B. 2 .. C. 3 .. D. Vô số.. Câu 11. Cho hàm số f x có đạo hàm trên là f x x 1 x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10; 20 để hàm số y f x 2 3x m đồng biến trên khoảng 0; 2 ? A. 18 .. B. 17 .. C. 16 .. D. 20 . 2. 3. Câu 12. Cho các hàm số f x x3 4 x m và g x x 2 2018 x 2 2019 x 2 2020 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2020; 2020 để hàm số g f x đồng biến trên 2; ? A. 2005 .. B. 2037 .. C. 4016 . 2. D. 4041 .. Câu 13. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 1 x 2mx 1 với mọi x . Có bao nhiêu số 2. nguyên âm m để hàm số g x f 2 x 1 đồng biến trên khoảng 3;5 ? A. 3 B. 2 C. 4 Câu 14. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. D. 6. Có bao nhiêu số nguyên m 2019 để hàm số g x f x 2 2 x m đồng biến trên khoảng. 1; ? Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(35)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 2016. B. 2015. C. 2017. D. 2018. Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm số f x trên . Biết rằng hàm số y f x 2 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số f x đồng biến trên khoảng nào?. A. ;3 , 5; .. B. ; 1 , 1; . C. 1;1 .. D. 3; 5 .. Câu 16. Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm số f x trên . Biết rằng hàm số y f x 2 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng nào?. A. 3; 1 , 1;3 .. B. 1;1 , 3;5 .. C. ; 2 , 0; 2 .. D. 5; 3 , 1;1 .. Câu 17. Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm số f x trên . Biết rằng hàm số y f x 2 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng nào?. A. ; 2 . Câu 18. Cho. hàm. 3 5 C. ; . 2 2. B. 1;1 . số. y f x 2. có. f x . f x x x 1 x 4 . 3. đạo. hàm. cấp. 3. liên. D. 2; . tục. trên. . và. thỏa. mãn. 2. với mọi x và g x f x 2 f x . f x . Hàm số. h x g x 2 2 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ;1 .. B. 2; .. C. 0;1 .. D. 1;2 .. Câu 19. Cho hàm số y f ( x ) xác định trên . Hàm số y g ( x) f ' 2 x 3 2 có đồ thị là một parabol với tọa độ đỉnh I 2; 1 và đi qua điểm A 1; 2 . Hỏi hàm số y f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 5;9 .. B. 1; 2 .. C. ;9 .. D. 1;3 .. Câu 20. Cho hàm số y f x , hàm số f x x3 ax 2 bx c a, b, c có đồ thị như hình vẽ Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(36)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Hàm số g x f f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; .. B. ; 2 .. 3 3 D. ; . 3 3 . C. 1;0 .. Câu 21. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 2 2 x 3, x . Có bao nhiêu giá trị nguyên. . . của tham số m thuộc đoạn 10; 20 để hàm số g x f x 2 3x m m2 1 đồng biến trên. 0;2 ? A. 16.. B. 17.. C. 18.. D. 19. Câu 22. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và đồ thị của hàm số y f ' x như hình vẽ.. 1 2 x m 1 2019 với m là tham số thực. Gọi S là tập các giá trị 2 nguyên dương của m để hàm số y g x đồng biến trên khoản 5;6 .Tổng các phần tử của S Đặt g x f x m . bằng: A. 4 .. B. 11.. C. 14 .. D. 20.. Câu 23. Cho hàm số y f x là hàm đa thức có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ.. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m , m Z , 2020 m 2020 để hàm số 8 g x f x 2 mx 2 x 2 x 6 đồng biến trên khoảng 3; 0 3 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(37)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. B. 2020. C. 2019. Câu 24. Cho hàm số f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình sau. A. 2021.. D. 2022.. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m đề hàm số g ( x) 4 f ( x m) x 2 2mx 2020 đồng biến trên khoảng (1;2). A. 2 .. B. 3 .. C. 0 .. D. 1.. Câu 25. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 1 x 1 x 4 ; x .Có bao nhiêu số nguyên. 2x m 2020 để hàm số g x f m đồng biến trên 2; . 1 x A. 2018 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2021 Câu 26. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 1 e x , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn 2019; 2019 để hàm số y g x f ln x mx 2 mx 2 nghịch biến trên 1; e 2 . A. 2018.. B. 2019.. C. 2020.. D. 2021.. -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(38)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên, đồ thị Định lí (thừa nhận): Giả sử hàm số y f (x ) có đạo hàm trên khoảng K .. y. Đồng biến. Nếu f (x ) 0, x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K . Nếu f (x ) 0, x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K . Nếu f (x ) 0, x K thì hàm số không đổi trên khoảng K .. O y. Hình dáng đồ thị Nếu hàm số đồng biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi lên. Nếu hàm số nghịch biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi xuống. Câu 1.. a. x. b Nghịch biến. O. a. b. x. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 1 . B. 0;1 . C. 1;1 .. D. 1;0 . Lời giải Chọn D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1;0 và 1; Câu 2.. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ; 1 . B. 0;1 . C. 1;0 .. D. 1; .. Lời giải Chọn C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1;0 . Câu 3.. (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(39)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; 0 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 . Lời giải Chọn D Theo bảng xét dấu thì y ' 0 khi x (0;2) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) . Câu 4.. (Kim Liên - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?. A. 1; .. B. ;1 .. C. 1; .. D. ; 1 .. Lời giải Chọn D Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ; 1 và 1;1 . Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ; 1 . Câu 5.. (Mã 101 - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;0 B. ;0 C. 1; . D. 0;1. Lời giải Chọn D Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng 0;1 và ; 1 . Câu 6.. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. 0; . B. 0; 2 . C. 2;0 .. D. ; 2 .. Lời giải Chọn C Từ bảng biến thiên, suy ra trên khoảng 2;0 hàm số đồng biến. Câu 7.. (Mã 103 - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau :. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(40)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;1 B. 1; C. ;1. D. 1;0 . Lời giải Chọn A Câu 8.. (Mã 101 - 2019) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0; 2 . B. 0; . C. 2;0 .. D. 2; .. Lời giải Chọn A Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng 0; 2 thì f ' x 0 . Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 . Câu 9.. (Mã 102 - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; . B. 1; . C. 1;1 .. D. ;1 .. Lời giải Chọn B Câu 10.. (Mã 104 -2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2;3 B. 3; C. ; 2 . D. 2; . Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(41)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 11.. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0; . B. ; 2. C. 0;2. D. 2;0. Lời giải Chọn D Câu 12.. (Đề Minh Họa 2020 – Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 1 .. B. 0;1 .. C. 1;0 .. D. ;0 .. Lời giải Chọn C Câu 13.. (Đề Minh Họa 2020 – Lần 2) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; . B. 1; 0 . C. 1;1 .. D. 0 ;1 .. Lời giải Chọn D Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ; 1 và 0;1 . Câu 14.. (Mã 102 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau.. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; . B. 1;1 . C. 0;1 .. D. 1;0 .. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(42)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn C Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ; 1 và 0;1 . Câu 15.. (Mã 103 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:. Hàm số đã chođồng biến trên khoảng nào dưới đây A. (2; 2) B. (0; 2) C. (2;0). D. (2; ) .. Lời giải Chọn B Câu 16.. (Mã 104 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 3; 0 .. B. 3;3 .. C. 0;3 .. D. ; 3 .. Lời giải Chọn A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 3;0 và 3; . Câu 17. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?. 1 A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; . 2 B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; 3 .. C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 3; . 1 D. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ; và 3; . 2 Lời giải Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(43)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn C Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 3; . Câu 18. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:. Hàm số nghịch biến trong khoảng nào? A. 1;1 . B. 0;1 .. C. 4; .. D. ; 2 .. Lời giải Chọn B Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;1 . Câu 19.. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?. A. 1. B. 1;1. C. 1;0 . D. 0;1. Lời giải Chọn C Từ đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng 1;0 và 1; . Chọn Câu 20.. (Mã 102 – 2020 – Lần 2) Cho hàm số y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?. A. 1;0 .. B. ; 1 .. C. 0;1 .. D. 0; .. Lời giải Chọn A Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(44)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Dựa vào đồ thị của hàm số y f x ta có: Hàm số y f x nghịch biến trên các khoảng 1;0 và 1; , đồng biến trên các khoảng. ; 1 Câu 21.. và 0;1 .. (Mã 107 – 2020 Lần 2) Cho hàm số y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên.. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;1 .. B. ;0 .. C. 1; .. D. 1;0 .. Lời giải Chọn A Từ đồ thị hàm số y f x ta có hàm số đồng biến trên hai khoảng ; 1 và 0;1 chọn đáp án Câu 22.. A.. (Mã 103 – 2020 – Lần 2) Cho hàm số y f x có đồ thị là đường cong hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?. A. 1;0 .. B. ; 1 .. C. 0; .. D. 0;1 .. Lời giải Chọn A Câu 23. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?. A. ; 1 .. B. 1;1 .. C. 0; .. D. ; .. Lời giải Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(45)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn B Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 . Câu 24. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?. A. 1;1.. B. 1; 2.. C. 1; 2.. D. 2; .. Lời giải Chọn C Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 nên nghịch biến trên khoảng. 1; 2. Câu 25. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?. A. ; 1.. B. 1;1.. C. 1; 2.. D. 0;1.. Lời giải Chọn D Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có trên khoảng 0;1 đồ thị hàm số đi xuống (theo chiều từ trái qua phải) nên nghịch biến trên khoảng 0;1. Câu 26. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên.. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; 2 . B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1; . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(46)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 1; 2 . D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ;1 . Lời giải Chọn D Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có trên khoảng ;1 đồ thị hàm số đi xuống (theo chiều từ trái qua phải) nên nghịch biến trên khoảng ;1 . Câu 27. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào? y 4 2. O. A. ;0 .. B. 1;3 .. 1. 2. 3. C. 0; 2 .. x. D. 0; .. Lời giải Chọn C Xét đáp án A, trên khoảng ;0 đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại. Xét đáp án B, trên khoảng 1;3 đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại. Xét đáp án C, trên khoảng 0;2 đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên chọn. Xét đáp án D, trên khoảng 0; đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại. Câu 28. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?. A. 2;0 .. B. ;0 .. C. 2;2 .. D. 0; 2 .. Lời giải Chọn A Xét đáp án A, trên khoảng 2;0 đồ thị hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên chọn. Xét đáp án B, trên khoảng ;0 đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng xuống là hàm số đồng nghịch biến nên loại. xét đáp án C, trên khoảng 2; 2 đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến và có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại. Xét đáp án D, trên khoảng 0; 2 đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại. Câu 29. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào? Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(47)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. y 3. 1 2. 1 1. O. 2. x. 1. A. 1;1 .. B. 2; 1 .. C. 1; 2 .. D. 1; .. Lời giải Chọn A Xét đáp án A, trên khoảng 1;1 đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên chọn. Xét đáp án B, trên khoảng 2; 1 đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại. Xét đáp án C, trên khoảng 1;2 đồ thị có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến và có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại. Xét đáp án D, trên khoảng 1; đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại. Câu 30.. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên.. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng A. 1;0 . B. 2; 1 .. C. 0;1 .. D. 1;3 .. Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 và 0;1 . Câu 31.. (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?. A. Hàm số đồng biến trên ;0 và 0; . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(48)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. B. Hàm số đồng biến trên 1;0 và 1; . C. Hàm số đồng biến trên 1;0 1; . D. Hàm số đồng biến trên ; 1 1; . Lời giải Chọn B Hàm số đồng biến trên 1;0 và 1; . Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.. Bước 2. Tính đạo hàm y f ( x). Tìm các điểm xi , ( i 1, 2, 3,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0. hoặc không xác định. Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dưa vào bảng biến thiên.. Câu 1.. (Mã 110 - 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ; ? A. y . x 1 x2. B. y x3 x. C. y x3 3x. D. y . x 1 x3. Lời giải Chọn B Vì y x3 x y 3x 2 1 0, x . Câu 2.. x2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x 1 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; (Đề Tham Khảo - 2017) Cho hàm số y . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1. D. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 Lời giải. Chọn D Tập xác định: \ 1 . Ta có y ' Câu 3.. 3. x 1. 2. 0 , x \ 1 .. (Đề Tham Khảo - 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ; ? A. y x4 3x2 .. B. y . x2 . x 1. C. y 3x3 3x 2 .. D. y 2 x3 5 x 1.. Lời giải Chọn C Hàm số y 3x3 3x 2 có TXĐ: D .. y 9 x2 3 0, x , suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ; . Câu 4.. (Mã 110 - 2017) Cho hàm số y x3 3x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2 . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; Lời giải. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(49)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn B x 0 Ta có y 3x 2 6 x ; y 0 . x 2 Lập bảng biến thiên rồi suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 Câu 5.. (Dề Minh Họa - 2017) Hỏi hàm số y 2 x 4 1 đồng biến trên khoảng nào? A. ;0 .. 1 B. ; . 2 . C. 0; .. 1 D. ; . 2 . Lời giải Chọn C y 2 x 4 1 . Tập xác định: D Ta có: y 8 x3 ; y 0 8 x 3 0 x 0 suy ra y 0 1 Giới hạn: lim y ; lim y x . x . Bảng biến thiên:. . . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0; . Câu 6.. (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 1 , x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1. C. Hàm số đồng biến trên khoảng ; . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 Lời giải. Chọn C Do hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 1 0 x nên hàm số đồng biến trên khoảng. ; . Câu 7.. (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y x 3 2 x 2 x 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?. 1 B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 3 1 1 C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; D. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 3 3 Lời giải Chọn B x 1 Ta có y 3 x 2 4 x 1 y 0 x 1 3 Bảng biến thiên: A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(50)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 . 3 Câu 8.. (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y x 4 2 x2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1. C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1. D. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 Lời giải. Chọn A TXĐ: D . x 0 y 4 x 4 x ; y 0 4 x 4 x 0 x 1 x 1 3. 3. Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng 1; 0 , 1; ; hàm số nghịch biến trên các khoảng. ; 1 , 0;1 . Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 . Cách 2: Dùng chức năng mode 7 trên máy tính kiểm tra từng đáp án. Câu 9.. 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? x 1 B. (0; ) C. ( ; 0) D. ( 1; 1). (Mã 123 - 2017) Hàm số y A. ( ; ). 2. Lời giải Chọn B Ta có y . Câu 10.. 4 x. x. 2. 1. . 2. 0x0. (Mã 123 - 2017) Cho hàm số y x 3 3 x 2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 và đồng biến trên khoảng 0; B. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0 và đồng biến trên khoảng 0; C. Hàm số đồng biến trên khoảng ; D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(51)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có: +) TXĐ: D . +) y ' 3x2 3 0, x , do đó hàm số đồng biến trên . Câu 11.. (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y 2 x 2 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 Lời giải. Chọn A Ta có D , y . 2x. ; y 0 x 0 . 2 x2 1 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 và đồng biến trên khoảng 0; . Câu 12.. (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2019) Cho hàm số y . x3 x 2 x 2019 3. A. Hàm số đã cho đồng biến trên . B. Hàm số đã cho nghịch biến trên ;1 . C. Hàm số đã cho đồng biến trên ;1 và nghịch biến trên 1; . D. Hàm số đã cho đồng biến trên 1; và nghịch biến trên ;1 . Lời giải Chọn A 2. Ta có y x 2 2 x 1 x 1 0, x và y 0 x 1 (tại hữu hạn điểm) Do đó hàm số đã cho đồng biến trên Câu 13.. (Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2019) Hàm số y A. R\ 3 .. B. R .. 5 2x nghịch biến trên x3. C. ; 3 .. D. 3; .. Lời giải Chọn C Hàm số y . y'. 11. x 3. 2. 5 2x có tập xác định là D \ 3 . x3. 0, với x D .. Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ; 3 và 3; . Câu 14.. (Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2019) Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ? A. y x3 3 x 2 . B. y x 4 2 x 2 2 . C. y x 3 2 x 2 4 x 1 .. D. y x 3 2 x 2 5 x 2 . Lời giải. Chọn C y x 3 2 x 2 4 x 1 y ' 3 x 2 4 x 4 2 x 2 ( x 2)2 0, x . Do đó hàm số nghịch biến trên . Câu 15.. (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - 2019) Hàm số y x 3 3 x 2 2 đồng biến trên khoảng A. 0; 2 .. B. ;0 .. C. 1; 4 .. D. 4; .. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(52)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn A Tập xác định D . Ta có: y 3x 2 6 x .. x 0 y 0 . x 2 Bảng xét dấu của y như sau:. Nhìn vào bảng xét dấu của y ta thấy hàm số y x 3 3 x 2 2 đồng biến trên khoảng 0; 2 . Vậy hàm số y x 3 3 x 2 2 đồng biến trên khoảng 0; 2 . Câu 16.. (HSG - TP Đà Nẵng - 2019) Hàm số y x 4 4 x3 đồng biến trên khoảng A. ; .. B. 3; .. C. 1; .. D. ;0 .. Lời giải Chọn B Tập xác định D . Ta có y 4 x3 12 x 2 Cho y 0 4 x3 12 x 2 0. x 0 . x 3 Bảng xét dấu. Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng. . . 3 ; nên cũng đồng biến trên. khoảng 3; . Câu 17.. (Chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - 2019) Cho hàm số y x 4 2 x 2 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 .. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; .. C. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0 .. D. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; . Lời giải. Chọn D Tập xác định: D . Đạo hàm: y 4 x 3 4 x . x 1 y 1 Xét y 0 4 x 4 x 0 x 0 y 2 . x 1 y 1 3. Bảng biến thiên: Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(53)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng 2; . Câu 18.. (THPT Ngô Quyền - Hải Phòng - 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đạo hàm 2. 3. f x 1 x x 1 3 x . Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?. A. ;1 .. B. ; 1 .. C. 1;3 .. D. 3; .. Lời giải Chọn C x 1 Ta có: f x 0 1 x x 1 3 x 0 x 1 . x 3 Bảng xét dấu: 2. 3. Hàm số đồng biến trên các khoảng 1;3 . Câu 19.. 1 (HSG 12 - TP Nam Định - 2019) Hàm số y x3 x 2 3x 2019 nghịch biến trên 3 A. 1;3 . B. ; 1 . C. ; 1 và 3; . D. 3; . Lời giải Chọn A Tập xác định D . y x 2 2 x 3 . x 1 Cho y 0 . x 3 Ta có bảng xét dấu của y như sau:. 1 Nhìn vào bảng xét dấu của y ta thấy hàm số y x 3 x 2 3x 2019 nghịch biến trên khoảng 3. 1;3 . 1 Vậy hàm số y x 3 x 2 3x 2019 nghịch biến trên khoảng 1;3 . 3 Câu 20.. (Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2019) Hàm số y 2018 x x 2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 1010; 2018 . B. 2018; .. C. 0;1009 .. D. 1; 2018 .. Lời giải Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(54)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chọn A TXĐ: D 0;2018 y . . 2018 x x 2. 2x 2 2018 2018 x x. 2. 1009 x. . 2018 x x 2. ; y 0 x 1009. y ' 0 x 1009;2018 , suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 1009; 2018 , suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 1010; 2018 , chọn A. Câu 21.. (Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2019) Hàm số y x 3 3 x 2 4 đồng biến trên tập hợp nào trong các tập hợp được cho dưới đây? A. 2; . B. 0; 2 .. C. ;0 2; . D. ;0 . Lời giải. Chọn B x 0 Ta có: y 3 x 2 6 x ; y 0 . x 2. Dựa vào bảng biến thiên thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; 2 . Câu 22.. (SGD&ĐT Hà Nội - 2018) Hàm số y f x có đạo hàm y x 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên . B. Hàm số nghịch biến trên ;0 và đồng biến trên 0; . C. Hàm số đồng biến trên . D. Hàm số đồng biến trên ;0 và nghịch biến trên 0; . Lời giải 2. y 0 x 0 x 0. x. ∞. y'. 0 +. 0. +∞ + +∞. y ∞ Câu 23.. (THPT Lương Thế Vinh - HN - 2018) Hàm số y x 3 3 x nghịch biến trên khoảng nào? A. ; 1 .. B. ; .. C. 1;1 .. D. 0; .. Lời giải Tập xác định D .. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(55)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 Ta có y 3 x 2 3; y 0 . x 1 Ta có bảng xét dấu y :. Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 . Câu 24.. (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hàm y x 2 6 x 5 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 5; .. B. Hàm số đồng biến trên khoảng 3; .. C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 .. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;3 . Lời giải. Tập xác định: D ;1 5; . Ta có y . x 3 2. x 6x 5. 0 , x 5; .. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 5; . Câu 25. (Thpt Kinh Môn - HD - 2018) Cho hàm số y x3 3 x 2 1 , kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số là đúng nhất: A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 và nghịch biến trên các khoảng ;0 ; 2; ; B. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 ; C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 và đồng biến trên các khoảng ;0 ; 2; ; D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 và 2; . Lời giải Ta có hàm số xác định trên . x 0 . y x 3 3 x 2 1 y 3 x 2 6 x 0 x 2 Bảng biến thiên. Vậy đáp án A là đúng nhất. Câu 26.. 3. (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 2 , với mọi. x . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; 3 . B. 1; 0 . C. 0; 1 .. D. 2; 0 .. Lời giải x 0 Ta có: f x 0 . x 2 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(56)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Đồng thời f x 0 x 0;2 nên ta chọn đáp án theo đề bài là 0; 1 . Câu 27.. 1 1 (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số y x3 x 2 12 x 1 . Mệnh đề nào sau đây 3 2 là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 3;4 .. B. Hàm số đồng biến trên khoảng 4; . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 4 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3; . Lời giải y x x 12 2. x 4 y 0 x 3 Bảng biến thiên. Hàm số đồng biến trên khoảng 4; . -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(57)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. Chuyên đề 1. TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH MỤC TIÊU 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó Xét hàm số bậc ba y f ( x) ax 3 bx 2 cx d . – Bước 1. Tập xác định: D . – Bước 2. Tính đạo hàm y f ( x) 3ax 2 2bx c. a f ( x ) 3a 0 + Để f ( x) đồng biến trên y f ( x) 0, x m ? 2 f ( x ) 4b 12ac 0 a f ( x ) 3a 0 + Đề f ( x) nghịch biến trên y f ( x) 0, x m ? 2 f ( x ) 4b 12ac 0 Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai f ( x) ax 2 bx c. a 0 a 0 Để f ( x) 0, x f ( x) 0, x 0 0 Câu 1. (Đề Tham Khảo Lần 2 2020)Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số 1 f ( x) x3 mx 2 4 x 3 đồng biến trên . 3 A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn A Ta có f ( x ) x 2 2mx 4 . Hàm số đã cho đồng biến trên khi và chỉ khi f ( x) 0, x (Dấu ‘=’ xảy ra tại hữu hạn điểm). Ta có f ( x) 0, x ' 0. ' m2 4 0 2 m 2 . Vì m nên m 2; 1;0;1; 2 , vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 2.. (Mã 123 - 2017) Cho hàm số y x 3 mx 2 4 m 9 x 5 , với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ; A. 5. B. 4. C. 6 Lời giải. D. 7. Chọn D Ta có: +) TXĐ: D +) y ' 3 x 2 2mx 4m 9 . a 3 0 Hàm số nghịch biến trên ; khi y ' 0, x ; 2 ' m 3 4 m 9 0 m 9; 3 có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(58)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 3.. 1 Cho hàm số y x 3 mx 2 3m 2 x 1 . Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên 3 . m 1 m 1 A. . B. 2 m 1 . C. 2 m 1 . D. . m 2 m 2 Lời giải Chọn B TXĐ: D , y x 2 2mx 3m 2 .. Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi y 0 , x . a 1 0 2 m 1 . 2 m 3m 2 0 Câu 4.. Tìm m để hàm số y x3 3mx 2 3 2m 1 1 đồng biến trên . A. Không có giá trị m thỏa mãn. C. m 1 .. B. m 1 . D. Luôn thỏa mãn với mọi m . Lời giải. Chọn C y 3x 2 6mx 3 2m 1 2. Ta có: 3m 3.3. 2m 1 . Để hàm số luôn đồng biến trên thì 0 2. 9m 2 18m 9 0 9 m 2 2m 1 0 9 m 1 0 m 1 . Câu 5.. Tìm điều kiện của tham số thực m để hàm số y x3 3x 2 3 m 1 x 2 đồng biến trên . A. m 2 .. B. m 2 .. C. m 0 . Lời giải. D. m 0 .. Chọn D Tập xác định: D . Ta có: y 3x 2 6 x 3 m 1 YCBT y 0, x 9m 0 m 0 .. Câu 6.. 1 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y x3 mx 2 4 x m đồng biến 3 trên khoảng ; . A. 2;2 .. B. ; 2 .. C. ; 2 .. D. 2; .. Lời giải Chọn A Ta có: y x 2 2mx 4 . Hàm số đồng biến trên khoảng ; khi và chỉ khi y 0, x ; . m 2 4 0 2 m 2 .. Câu 7.. 1 Giá trị của m để hàm số y x3 – 2mx 2 m 3 x – 5 m đồng biến trên là. 3 3 3 3 A. m 1 . B. m . C. m 1 . D. m 1 . 4 4 4 Lời giải Chọn A. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(59)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Ta có tập xác định D . y x 2 – 4mx m 3 .. y 0 x 2 – 4mx m 3 0 . Hàm số đã cho đồng biến trên khi và chỉ khi y 0, x , đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn 2. điểm 0 2m 1. m 3 0 4m 2 m 3 0 Vậy Câu 8.. 3 m 1. 4. 3 m 1. 4. (Chuyên KHTN - Hà Nội - 2020) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số. y x3 m 1 x 2 3x 2 đồng biến trên là A. 4;2 .. C. ; 4 2; . D. ; 4 2; .. B. 4;2 .. Lời giải Chọn A Tập xác định: D . Ta có: y 3x 2 2 m 1 x 3 . Hàm số y x3 m 1 x 2 3x 2 đồng biến trên khi và chỉ khi y 0, x . 2. m 1 9 0 m 2 2 m 8 0 4 m 2.. Vậy m 4; 2 . Nếu hệ số a chứa tham số thì phải xét trường hợp a 0 và a 0 Câu 9.. (Đề. Tham. Khảo. -. 2017). Hỏi. có. bao. nhiêu. số. nguyên. m. để. hàm. số. y m 2 1 x 3 m 1 x 2 x 4 nghịch biến trên khoảng ; .. A. 0. B. 3. C. 2 Lời giải. D. 1. Chọn C TH1: m 1. Ta có: y x 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên . Do đó nhận m 1. TH2: m 1 . Ta có: y 2 x 2 x 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên . Do đó loại m 1 . TH3: m 1. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ; y 0 x , dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên . 3 m 2 1 x 2 2 m 1 x 1 0 , x . 1 m 1 m2 1 0 m2 1 0 a 0 1 1 m 1 . Vì 2 2 2 0 m 1 4m 2 0 2 m 1 m 1 3 m 1 0 m nên m 0 . Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m 0 hoặc m 1 . Câu 10. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số hàm số 1 y m 2 m x3 2mx 2 3 x 2 đồng biến trên khoảng ; ? 3 A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(60)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn A y m 2 m x 2 4mx 3 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; y 0 với x . + Với m 0 ta có y 3 0 với x Hàm số đồng biến trên khoảng ; . + Với m 1 ta có y 4 x 3 0 x . 3 m 1 không thảo mãn. 4. m 1 2 m 1 m m 0 m 0 3 m 0 . + Với ta có y 0 với x 2 m 3m 0 m 0 3 m 0 Tổng hợp các trường hợp ta được 3 m 0 .. m m 3; 2; 1;0 . Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra. Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y mx3 mx 2 m m 1 x 2 đồng biến trên . 4 A. m 3 và m 0 . 4 C. m . 3. B. m 0 hoặc m D. m . 4 . 3. 4 . 3. Lời giải Chọn C TH1: m 0 y 2 là hàm hằng nên loại m 0 . TH2: m 0 . Ta có: y 3mx 2 2mx m m 1 . Hàm số đồng biến trên f '( x ) 0 x 4 2 m 2 3m 2 m 1 0 m 4 3m 0 4 m 3 m 3 3m 0 m 0 m 0. Câu 12. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y biến trên . A. 4 .. B. 2 .. m 3 x 2mx 2 3m 5 x đồng 3. C. 5 . Lời giải. D. 6 .. Chọn D Ta có y mx 2 4mx 3m 5 . Với a 0 m 0 y 5 0 . Vậy hàm số đồng biến trên . Với a 0 m 0 . Hàm số đã cho đồng biến trên khi và chỉ khi m 0 a 0 y 0, x 2 0 2m m 3m 5 0. m 0 m 0 2 0 m 5. m 5m 0 0 m 5 Vì m m 0;1; 2;3; 4;5 .. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(61)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 13. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y m 1 x3 3 m 1 x 2 3x 2 đồng biến biến trên ? A. 1 m 2 .. B. 1 m 2 .. C. 1 m 2 . Lời giải. D. 1 m 2. Chọn C Ta có y 3 m 1 x 2 6 m 1 x 3 .. m 1 0 Hàm số đã cho đồng biến trên khi và chỉ khi y 0, x m 1 0 0 m 1 m 1 m 1 m 1 1 m 2. 9 m 12 9 m 1 0 1 m 2 Câu 14.. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018) Số giá trị nguyên của m để hàm số y (4 m 2 ) x3 (m 2) x 2 x m 1 1 đồng biến trên bằng. A. 5 .. B. 3 .. C. 2 . Lời giải. D. 4 .. TH1: 4 m2 0 m 2 . m 2 : 1 y x 1 hàm số luôn tăng trên m 2 (nhận).. 1 m 2 : 1 y 4 x 2 x 3 là hàm số bậc hai nên tăng trên khoảng ; , giảm trên 8 1 khoảng ; m 2 (loại). 8 TH2: 4 m 2 0 . 2. y 3 4 m 2 x 2 2 m 2 x 1 . m 2 3 4 m 2 4m 2 4m 8 . hàm số đồng biến trên y 0 x . 2 a 0 4 m 0 m 2; 2 2 m 1; 2 . m m 1 ; m 0 ; m 1 . 4m 4m 8 0 0 m 1; 2 Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.. Câu 15.. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2018) Số các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn 100;100 để hàm số y mx3 mx 2 m 1 x 3 nghịch biến trên là: A. 200 .. B. 99 .. C. 100 . Lời giải. D. 201 .. Trường hợp 1: m 0 . Ta có: y x 3 có y 1 0 với mọi x nên hàm số luôn đồng biến trên trên . Do đó loại m 0 . Trường hợp 2: m 0 . Ta có: y 3mx 2 2mx m 1 , 2m 2 3m m 2m 3 Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi y 0 với mọi x m 0 m 0 3 m 0 m . 2 m 2m 3 0 0 2m 3 0 Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(62)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vì m là số nguyên thuộc đoạn 100;100 nên m 2; 3;...; 99; 100 . Vậy có 99 giá trị m . Câu 16.. (Liên trường Nghệ An - 2020) Tổng bình phương của tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 3m 2 12 x 3 3 m 2 x 2 x 2 nghịch biến trên là? B. 6 .. A. 9 .. C. 5 . Lời giải. D. 14 .. Chọn C Tập xác định: D . Ta có: y 9 m 2 4 x 2 6 m 2 x 1 . Hàm số nghịch biến trên y ' 0x ( dấu " " xãy ra tại hữu hạn x ) TH1: m 2 4 0 m 2 . + Với m 2 ta có y ' 1 0 x nên m 2 thỏa mãn. + Với m 2 ta có y ' 24 x 1 0 x . 1 (không thỏa với mọi x ) nên loại m 2 . 24. TH2: m 2 4 0 m 2 . Ta có a 9 m 2 4 0 2 m 2 m y ' 0, x 0 m 2 m 0;1 V 2 ' 2 0 m 2 9 m 2 9 m 4 0. ậy m 0;1; 2 02 12 22 5 . Câu 17.. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y m 2 1 x 3 m 1 x 2 x 4 nghịch biến trên khoảng ; .. A. 2.. B. 1.. C. 0. Lời giải. D. 3.. Chọn A Ta có y 3 m 2 1 x 2 2 m 1 x 1 Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ; y 0, x 3 m 2 1 x 2 2 m 1 x 1 0, x .. * Trường hợp 1: m 2 1 0 m 1 . + Với m 1 , ta được 1 0, x (luôn đúng), suy ra m 1 (nhận). + Với m 1 , ta được 4 x 1 0 x . 1 , suy ra m 1 (loại). 4. * Trường hợp 2: m 2 1 0 m 1 . 2. . . Ta có m 1 3 m2 1 m2 2m 1 3m2 3 4m2 2m 2 . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(63)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 m 1 2 1 m 1 0 Để y 0 , x 2 1 m 1. 2 4m 2m 2 0 2 m 1. Tổng hợp lại, ta có tất cả giá trị m cần tìm là . 1 m 1. 2. Vì m , suy ra m 0;1 , nên có 2 giá trị nguyên của tham số m . Xét hàm số nhất biến y f ( x) . ax b cx d. d – Bước 1. Tập xác định: D \ c – Bước 2. Tính đạo hàm y f ( x) . a.d b.c (cx d ) 2. + Để f ( x) đồng biến trên D y f ( x) 0, x D a.d b.c 0 m ? + Để f ( x) nghịch biến trên D y f ( x) 0, x D a.d b.c 0 m ? Lưu ý: Đối với hàm phân thức thì không có dấu " " xảy ra tại vị trí y.. mx 2m 3 với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá xm trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S . A. Vô số B. 3 C. 5 D. 4 Lời giải Chọn B. Câu 18. (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y . y' . m2 2 m 3. x m. 2. hàm số đồng biến trên khoảng xác định khi 1 m 3 nên có 3 giá trị của m. nguyên. mx 4m với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị xm nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S . A. 4 B. Vô số C. 3 D. 5 Lời giải Chọn D m 2 4m . D \ m ; y 2 x m. Câu 19. (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y . Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y 0, x D m 2 4 m 0 0 m 4 . Mà m nên có 3 giá trị thỏa mãn. Câu 20.. (THPT Hoa Lư A - 2018) Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số y biến trên từng khoảng xác định của nó? A. 1. B. 0.. C. 2. Lời giải. m 1 x 2 xm. đồng. D. 3.. TXĐ: D \ m Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(64)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. y . m 2 m 2. x m. 2. .. Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của ta cần tìm m để y 0 trên ; m và. m; . và dấu " " chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên các khoảng đó. ĐK: m 2 m 2 0 2 m 1. Vì m nên m 1, 0 . Câu 21.. (SGD&ĐT Bắc Giang - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số x m2 đồng biến trên từng khoảng xác định của nó? x4 A. 5 . B. 3 . C. 1 . Lời giải y. TXĐ: D \ 4 , y . 4 m2. x 4. 2. D. 2 .. .. Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó thì 4 m2 0 2 m 2 . Do đó có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn. Câu 22.. (THPT Hà Huy Tập - 2018) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y biến trên các khoảng mà nó xác định? A. m 1 . B. m 3 .. C. m 3 . Lời giải. x2m nghịch x 1. D. m 1 .. Với m 1 thì hàm số là hàm hằng x 1 nên không nghịch biến. Ta có y . m 1. x 1. 2. , x 1 .. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định khi và chỉ khi y 0, x 1 m 1 . Câu 23.. (SỞ GD&ĐT Yên Bái - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. m 2 m 2 A. . B. 2 m 2 . C. . m2 m2 Lời giải Tập xác định D ; m m; . Ta có y . mx 4 xm. D. 2 m 2 .. mx 4 m2 4 . Vì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó nên y' 2 xm x m. m 2 . m 2 4 0 m2 Câu 24.. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để mx 2 hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng xác định 2x m m 2 m 2 A. . B. 2 m 2 . C. . D. 2 m 2 . m 2 m 2 Lời giải. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(65)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Ta có: y . m 2 4. 2x m. 2. m , x 2. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi m 2 4 0 2 m 2 . Dạng 2. Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước Câu 1.. (Đề Tham Khảo Lần 1 2020) Cho hàm số f x . mx 4 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu xm. giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; ? B. 4 .. A. 5 .. C. 3 . Lời giải. D. 2 .. Chọn D Tập xác định D \ m . Đạo hàm f x . m2 4. x m. 2. .. Hàm số đồng biến trên 0; khi và chỉ khi 2 2 m 2 m 40 f x 0 x 0; 2 m 0 . m 0 m 0; . Do m m 1;0 . Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài. Câu 2.. (Mã 101 – 2020 – Lần 1) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y . x4 xm. đồng biến trên khoảng ; 7 là A. 4;7 .. B. 4;7 .. C. 4;7 .. D. 4; .. Lời giải Chọn B Tập xác định: D \ m . Ta có: y . m4. x m. 2. .. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; 7 y 0 , x ; 7 . m 4 0 m 4 m 4 4m7. m ; 7 m 7 m 7 Câu 3.. (Mã 102 – 2020 – Lần 1) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y . x5 xm. đồng biến trên khoảng ; 8 là A. 5; .. B. 5;8 .. C. 5;8 .. D. 5;8 .. Lời giải Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(66)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn B Điều kiện x m . m5 Ta có y 2 x m Để hàm số y . x5 đồng biến trên khoảng ; 8 thì xm. m 5 0 y 0 5 m 8. m ; 8 m 8 Câu 4.. (Mã 103 – 2020 – Lần 1) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y . x2 xm. đồng biến trên khoảng ( ; 5) A. (2; 5] .. B. [2;5) .. C. (2; ) .. D. (2;5) .. Lời giải Chọn A Tập xác định: D \ m . Ta có: y ' . m2 ( x m) 2. y ' 0x (; 5) m 2 0 Hàm số đồng biến trên khoảng (; 5) 2 m5. m (; 5) m 5 Câu 5.. (Mã 104- 2020 – Lần 1) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y . x3 xm. đồng biến trên khoảng ; 6 là A. 3; 6 .. B. 3; 6 .. C. 3; .. D. 3;6 .. Lời giải Chọn A Hàm số xác định khi: x m 0 x m . x3 m3 y y 2 xm x m y 0, x ; 6 Hàm số đồng biến trên khoảng ; 6 khi và chỉ khi: m ; 6 . m 3 m 3 m 3 0 3 m6. m 6; m 6 m 6 Vậy: m 3;6 . Câu 6.. (Mã 104-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y . x2 đồng biến trên x 3m. khoảng ; 6 . A. 2. B. 6. C. Vô số Lời giải. D. 1. Chọn A Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(67)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Tập xác định: D ; 3m 3m; . Ta có y . 3m 2. x 3m . 2. 2 3m 2 0 m 2 Hàm số đổng biến trên khoảng ; 6 3 m2. 3 6 3m m 2 Mà m nguyên nên m 1; 2 . Câu 7.. (Mã 103-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y . x 1 nghịch biến x 3m. trên khoảng 6; ? A. 0. B. 6. C. 3 Lời giải. D. Vô số. Chọn C Tập xác định D \ 3m ; y . 3m 1. x 3m . 2. .. x 1 nghịch biến trên khoảng 6; khi và chỉ khi: x 3m 1 y 0 3m 1 0 1 m 3 2 m . 3 6; D 3m 6 m 2. Hàm số y . Vì m m 2; 1;0 . Câu 8.. (Mã 101- 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y . x2 đồng biến x 5m. trên khoảng ; 10 ? B. Vô số. A. 2. C. 1 Lời giải. D. 3. Chọn A TXĐ: D \ 5m . y' . 5m 2. x 5m . 2. .. 5m 2 0 Hàm số đồng biến trên khoảng ; 10 khi và chỉ khi 5m 10; . 2 2 m m 2. 5 5 5m 10. Vì m nguyên nên m 1;2 . Vậy có 2 giá trị của tham số m . Câu 9.. (Mã 102 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y . x6 nghịch biến x 5m. trên khoảng 10; ? A. Vô số. B. 4. C. 5. D. 3. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(68)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Chọn B Tập xác định D \ 5m . y . 5m 6. x 5m . 2. 6 y 0, x D 5m 6 0 m Hàm số nghịch biến trên 10; khi và chỉ khi 5 . 5m 10; 5m 10 m 2. Mà m nên m 2; 1;0;1 . Câu 10. (Chuyên KHTN - 2020) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y . mx 4 đồng xm. biến trên khoảng 1; là A. 2;1 .. C. 2; 1 .. B. 2; 2 .. D. 2; 1 .. Lời giải Chọn C Đạo hàm y Do. m 2 4. x m. đó. 2. 0, x m .. hàm. số. đồng. biến. trên. 1; . khi. 2 2 m 4 0 m 4 0 y 0, x 1; x m 0, x 1; x m, x 1; . 2 m 2 2 m 1 . m 1 Câu 11.. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m mx 1 1 để hàm số y nghịch biến trên khoảng ; . m 4x 4 A. m 2 . B. 1 m 2 . C. 2 m 2 . D. 2 m 2 . Lời giải Chọn B m Tập xác định: D \ . 4. Ta có y . m2 4. m 4x . 2. .. m2 4 0 2 m 2 1 Hàm số nghịch biến trên khoảng ; khi và chỉ khi m m 1 1 4 4 ; 4 4 4 . 2 m 2 1 m 2 . m 1 Vậy 1 m 2 .. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(69)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. mx 2m 3 Câu 12. (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho hàm số y với m là tham số. Gọi S là tập hợp xm tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng 2; . Tìm số phần tử của S. A. 5 .. B. 3 .. C. 4 . Lời giải. D. 1 .. Chọn C Điều kiện xác định: x m . Ta có: y . m 2 2m 3. x m. 2. .. Để hàm số nghịch biến trên khoảng 2; thì: y 0; x 2; m 2 2m 3 0 3 m 1 2 m 1 . x m m 2 m 2. Vậy giá trị nguyên của m là S 2; 1;0 . Câu 13.. (ĐHQG Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y . x 18 x 4m. nghịch biến trên khoảng 2; ? B. 0 .. A. Vô số.. C. 3 . Lời giải. D. 5 .. Chọn D Điều kiện x 4m . Ta có y . x 18 4m 18 y . 2 x 4m x 4m . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 2; . 9 m y 0 4 m 18 0 2 1 m 9 . 2 2 4m 2; 4 m 2 m 1 2 Vì m nên m 0;1;2;3;4 . Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m để hàm số y . x 18 x 4m. nghịch biến trên khoảng 2; . Câu 14.. (Sở Hà Tĩnh - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y . mx 9 nghịch 4x m. biến trên khoảng 0;4 ? A. 5 .. B. 11.. C. 6 . Lời giải. D. 7 .. Chọn C. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(70)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. m . 4 m2 36 Ta có: y ' . 2 4 x m Điều kiện: x . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;4 y ' 0, x 0;4 . 6 m 6 6 m 6 m 36 0 m 0 m 0 0m6. m 4 m m 16 0;4 4 4 4 2. Vì m nên m0,1, 2,3, 4,5 . Vậy có 6 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 15.. (Sở Yên Bái - 2020) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y . mx 3m 4 xm. nghịch biến trên khoảng 1; A. 1 m 4 .. B. 1 m 1 .. m 1 C. . m 4 Lời giải. D. 1 m 4 .. Chọn B. y . m 2 3m 4. x m. 2. Để hàm số nghịch biến trên khoảng 1; thì y 0, x 1; . m 2 3m 4 0 m 1; 4 1 m 1 . m 1 m 1; . Câu 16.. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 3x 18 m 2020; 2020 sao cho hàm số y nghịch biến trên khoảng ; 3 ? xm A. 2020 . B. 2026 . C. 2018 . D. 2023 . Lời giải Chọn D Điều kiện: x m nên m ; 3 y. 3 x 18 3m 18 y' xm x m 2. Để hàm số y . 3x 18 nghịch biến trên khoảng ; 3 thì 3m 18 0 m 6 xm. Vì m 2020; 2020 và m ; 3 nên m 2; 2020 Vậy có 2023 giá trị m nguyên thoả mãn. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(71)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 17.. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số. x4 nghịch biến trên khoảng 3;4 . 2x m A. Vô số. B. 1 . C. 3 . y. D. 2 .. Lời giải Chọn D. m . 2. Tập xác định D \ Có y . m8. 2x m. 2. Hàm số nghịch biến trên 3;4 y 0 x 3;4 . m8. 2x m. 2. 0 x 3;4 . m 8 m 8 0 m 3 8 m 6 . m 2 m 8 3; 4 m 2 4 2 Do m nguyên âm nên m 7; 6 , gồm 2 giá trị thỏa mãn. Câu 18.. (Chuyên KHTN - Hà Nội - Lần 3) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số mx 4 y nghịch biến trên khoảng 0; ? xm A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 5 . Lời giải Chọn B TXĐ: D Ta có y . m. m2 4. x m. 2. .. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi. y 0, x 0 m 2 4 0 2 m 2 0 m 2. m 0; m 0 m 0 Vậy số giá trị nguyên của tham số m là 2 . Dạng 3. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước Câu 1.. (Mã 101 – 2020 -Lần 2) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3 3 x 2 4 m x đồng biến trên khoảng 2; là A. ;1. B. ; 4. C. ;1. D. ; 4 . Lời giải Chọn B Ta có. y ' 3 x 2 6 x 4 m . ycbt y ' 0, x 2; 3 x 2 6 x 4 m 0, x 2; m 3 x 2 6 x 4, x 2; Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(72)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. m min g x với g x 3 x 2 6 x 4 2; . Ta có. g ' x 6x 6 g ' x 0 6x 6 0 x 1. Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m 4 thỏa yêu cầu bài toán. Vậy: m ; 4 thì hàm số đồng biến trên khoảng 2; . Câu 2.. (Mã 102 – 2020 – Lần 2) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số. y x3 3x 2 5 m x đồng biến trên khoảng 2; là A. ; 2 .. C. ;5 .. B. ;5 .. D. ; 2 .. Lời giải Chọn C Ta có y 3 x 2 6 x 5 m . Hàm số đã cho đồng biến trên 2; khi và chỉ khi y 0, x 2; 3 x 2 6 x 5 m 0, x 2 m 3 x 2 6 x 5, x 2 . Xét hàm số f x 3x 2 6 x 5 trên khoảng 2; . Có f x 6 x 6 , f x 0 6 x 6 0 x 1 (lo¹i) . Bảng biến thiên. Từ bàng biến thiên ta có m 3x 2 6 x 5, x 2 m 5 . Vậy m ;5 . Câu 3.. (Mã 103 – 2020 – Lần 2) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 3 x 2 2 m x đồng biến trên khoảng 2; là A. ; 1 .. C. ; 1 .. B. ; 2 .. D. ; 2 .. Lời giải Chọn D Ta có y ' 3x 2 6 x 2 m . Để hàm số đồng biến trên khoảng 2; khi và chỉ khi y ' 0, x 2; 3 x 2 6 x 2 m 0, x 2; m 3 x 2 6 x 2, x 2; .. Xét hàm số f x 3 x 2 6 x 2, x 2; . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(73)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. f ' x 6x 6 ; f ' x 0 6x 6 0 x 1.. Bảng biến thiên:. Từ bảng biến thiên ta thấy m 2 . Vậy m ; 2 . Câu 4.. (Mã 104 – 2020 – Lần 2) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3 3 x 2 1 m x đồng biến trên khoảng 2; là A. ; 2 .. B. ;1 .. C. ; 2 .. D. ;1 .. Lời giải Chọn D Ta có y 3 x 2 6 x 1 m . Hàm số đồng biến trên khoảng 2; y 0 , x 2; . 3x 2 6 x 1 m 0 , x 2; 3x 2 6 x 1 m , x 2; . Xét hàm số g x 3 x 2 6 x 1 với x 2; . g x 6 x 6 ; g x 0 , x 2; .. Bảng biến thiên g x :. Vậy m 1 . Câu 5.. (Đề Tham Khảo 2019) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 6 x 2 4m 9 x 4 nghịch biến trên khoảng ; 1 là 3 A. ; 4 . B. 0; . C. ; 0. 3 D. ; 4 . Lời giải Chọn A Ta có y 3 x 2 12 x 4m 9 Để hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 thì y 3 x 2 6 x 4m 9 0 x ; 1 4m 3x 2 12 x 9 x ; 1 4m min f x , ;1. f x 3 x 2 12 x 9. Ta có f ' x 6 x 12; f ' x 0 x 2 . Khi đó, ta có bảng biến thiên. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(74)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Suy ra min f x 3 4m 3 m ;0. Câu 6.. 3 . 4. Cho hàm số y x3 3 x 2 mx 4 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng ;0 là B. ; 3 .. A. 1;5 .. C. ; 4 .. D. 1; .. Lời giải Chọn B Ta có y 3 x 2 6 x m . Để hàm số đồng biến trên khoảng ;0 thì y 0, x ;0 . 3x 2 6 x m 0, x ;0 m 3x 2 6 x, x ;0 . Đặt g x 3x 2 6 x , hàm số g x có bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên ta có m 3x 2 6 x, x ;0 m 3 . Câu 7.. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y f ( x) . mx3 7 mx 2 14 x m 2 3. giảm trên nửa khoảng [1; ) ? 14 A. ; . 15 . 14 B. 2; . 15 . 14 C. ; . 15 Lời giải. 14 D. ; . 15 . Chọn A Tập xác định D , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình 14 m (1) mx 2 14mx 14 0, x 1 , tương đương với g ( x) 2 x 14 x Dễ dàng có được g ( x) là hàm tăng x 1; , suy ra min g ( x) g (1) x 1. Kết luận: (1) min g ( x) m x 1. Câu 8.. 14 15. 14 m 15. Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y x 3 3mx 2 m nghịch biến trên khoảng 0;1 ? A. m 0 .. B. m . 1 . 2. C. m 0 .. D. m . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 1 . 2.
<span class='text_page_counter'>(75)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn D. x 2m y ' 3 x 2 6 mx 0 x 0 Hàm số y x 3 3mx 2 m nghịch biến trên khoảng 0;1 2 m 1 m Câu 9.. 1 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3 x 2 mx 1 đồng biến trên khoảng. ;0 . A. m 0 .. B. m 2 .. C. m 3 . Lời giải. D. m 1 .. Chọn C Tập xác định: D . Đạo hàm: y 3 x 2 6 x m . Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 khi và chỉ khi y 0 , x 0 3 x 2 6 x m 0 , x 0 . Cách 1: 3 x 2 6 x m 0 , x 0 3 x 2 6 x m , x 0 .. Xét hàm số f x 3x 2 6 x trên khoảng ;0 , ta có:. f x 6 x 6 . Xét f x 0 6 x 6 0 x 1 . Ta có f 1 3 . Bảng biến thiên:. Dựa vào bảng biến thiên, ta có: m 3 . Cách 2: Ta có 9 3m . Nếu 0 m 3 thì y 0 x y 0 x 0 . Nếu 0 thì y có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Khi đó để y 0 x 0 thì ta phải có 0 x1 x2 . Điều này không thể xảy ra vì S x1 x2 2 0 . Vậy m 3 . Cách 3: 3. 2. Phương án B: Với m 3 ta có y x 3 3 x 2 3 x 1 x 1 . Khi đó y 3 x 1 0 x . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ;0 . Vậy B là đáp án đúng. Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 3mx 2 9m 2 x nghịch biến trên khoảng 0;1 . 1 A. 1 m . 3. C. m 1 .. 1 . 3 1 D. m hoặc m 1 . 3. B. m . Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(76)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Chọn D Tập xác định D . x m . y 3 x 2 6mx 9m 2 ; y 0 3 x 2 6mx 9m 2 0 x 2 2mx 3m 2 0 x 3m Nếu m 3m m 0 thì y 0; x nên hàm số không có khoảng nghịch biến. Nếu m 3m m 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng m;3m . m 0 1 Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 m . 3 3m 1 1 Kết hợp với điều kiện ta được m . 3. Nếu m 3m m 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng 3m; m . 3m 0 Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 m 1 . m 1 Kết hợp với điều kiện ta được m 1 . 1 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 khi m 1 hoặc m . 3. 1 Câu 11. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y x3 mx 2 2m 1 x m 2 nghịch biến trên 3 khoảng 2;0 . . A. m 0 .. B. m 1.. 1 C. m . 2 Lời giải. 1 D. m . 2. Chọn C. x 1 2 . Ta có: y x 2mx 2m 1. Cho y 0 x 2 2mx 2m 1 0 x 2m 1 . Nếu 1 2m 1 thì ta có biến đổi y 0 1 x 2m 1 . (trường hợp này hàm số không thể nghịch biến trên khoảng 2;0 ). Xét 2m 1 1 ta có biến đổi y 0 x 2m 1;1 .. . Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(77)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng 2;0 thì 2;0 2m 1;1 .. 1 2m 1 2 m . . 2 Câu 12. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y x3 3 x 2 mx 2 tăng trên khoảng 1; . A. m 3 .. B. m 3 .. C. m 3 . Lời giải. D. m 3 .. Chọn B Đạo hàm : y 3 x 2 6 x m YCBT y 0, x 1; .. 3x 2 6 x m 0, x 1; m 3x 2 6 x, x 1; Xét hàm số: f x 3x 2 6 x, x 1; f x 6 x 6 f x 0 x 1 .. lim f x , f 1 3 . Do đó : m f x , x 1; m 3 .. x . Câu 13. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 mx 2 m 6 x 1 đồng biến trên khoảng 0; 4 là: B. ;3 .. A. ;3 .. C. 3;6 .. D. ;6 .. Lời giải Chọn B y 3x 2 2mx m 6 . Để hàm số đồng biến trên khoảng 0; 4 thì: y 0 , x 0; 4 . tức là 3x 2 2mx m 6 0 x 0;4 Xét hàm số g x . 3x 2 6 m x 0; 4 2x 1. 3x 2 6 trên 0; 4 . 2x 1. x 1 0; 4 , g x 0 2 x 1 x 2 0; 4 Ta có bảng biến thiên: g x . 6 x 2 6 x 12. Vậy để g x . 2. 3x 2 6 m x 0; 4 thì m 3 . 2x 1. Câu 14. Tìm tất cả các giá thực của tham số m sao cho hàm số y 2 x3 3x 2 6mx m nghịch biến trên Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(78)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. khoảng 1;1 . A. m . 1 . 4. B. m . 1 . 4. C. m 2 .. D. m 0 .. Lời giải Chọn C Ta có y 6 x 2 6 x 6m . Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 khi và chỉ khi y 0 với x 1;1 hay m x 2 x với. x 1;1 . Xét f x x 2 x trên khoảng 1;1 ta có f x 2 x 1 ; f x 0 x . 1 . 2. Bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên ta có m f x với x 1;1 m 2 . 6m 0 m 0 y 1 0 m 2. * Có thể sử dụng y 0 với x 1;1 12 6m 0 m 2 y 1 0 Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x 3 6 x 2 mx 1 đồng biến trên khoảng 0; ? A. m 12 .. B. m 12 .. C. m 0 . Lời giải. D. m 0 .. Chọn A Cách 1:Tập xác định: D . Ta có y 3 x 2 12 x m Trường hợp 1:. 3 0 (hn) m 12 Hàm số đồng biến trên y 0, x 36 3m 0 Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên 0; y 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 x2 0 (*) Trường hợp 2.1: y 0 có nghiệm x 0 suy ra m 0 . Nghiệm còn lại của y 0 là. x 4 (không thỏa (*)) Trường hợp 2.2: y 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa 36 3m 0 0 x1 x2 0 S 0 4 0(vl ) không có m .Vậy m 12 m P 0 0 3 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(79)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Cách 2:Hàm số đồng biến trên 0; m 12 x 3 x 2 g ( x), x (0; ) . Lập bảng biến thiên của g ( x) trên 0; .. Câu 16. Tìm m để hàm số y x3 3x 2 3mx m 1 nghịch biến trên 0; . A. m 1 .. B. m 1 .. C. m 1 . Lời giải. D. m 1 .. Chọn A Ta có y 3x 2 6 x 3m 3 x 2 2 x m . Vì hàm số liên tục trên nửa khoảng 0; nên hàm số nghịch biến trên 0; cũng tương đương hàm số nghịch trên 0; khi chỉ khi y 0, x 0, .. x 2 2 x m 0 x 0; m x 2 2 x f x x 0; .. m min f x f 1 1 0; . Câu 17.. (THPT Chuyên Hạ Long - 2018) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y x 3 3 2m 1 x 2 12m 5 x 2 đồng biến trên khoảng 2; . Số phần tử của S bằng A. 1 .. B. 2 .. C. 3 . Lời giải. D. 0 .. Tập xác định D . y 3 x 2 6 2m 1 x 12m 5 . Hàm số đồng biến trong khoảng 2; khi y 0 , x 2; 3 x 2 6 2m 1 x 12m 5 0 , x 2; . 3x 2 6 2m 1 x 12m 5 0 m . Xét hàm số g x g x . 3x 2 6 x 5 với x 2; . 12 x 1. 3x 2 6 x 1 12 x 1. 2. 3x 2 6 x 5 12 x 1. 0 với x 2; hàm số g x đồng biến trên khoảng 2; .. 5 . 12 Vậy không có giá trị nguyên dương nào của m thỏa mãn bài toán. Do đó m g x , x 2; m g 2 m . Câu 18.. (Chuyên KHTN - 2018). Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 mx 2 m 6 x 1 đồng biến trên khoảng 0; 4 là: A. ;6 .. B. ;3 .. C. ;3 .. D. 3;6 .. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(80)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải y 3 x 2mx m 6 . Để hàm số đồng biến trên khoảng 0; 4 thì: y 0 , x 0; 4 . 2. tức là 3 x 2 2mx m 6 0 x 0; 4 Xét hàm số g x . 3x 2 6 m x 0; 4 2x 1. 3x 2 6 trên 0; 4 . 2x 1. x 1 0; 4 , g x 0 2 x 1 x 2 0; 4 Ta có bảng biến thiên: g x . 6 x 2 6 x 12. Vậy để g x Câu 19.. 2. 3x 2 6 m x 0; 4 thì m 3 . 2x 1. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số 1 2 f x x 3 mx 2 m 6 x đồng biến trên khoảng 0; ? 3 3 A. 9. B. 10. C. 6. D. 5. Lời giải. Chọn B Ta có f ' x x 2 2mx m 6 1 2 Hàm số f x x 3 mx 2 m 6 x đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi 3 3 f ' x 0, x 0; .. Xét hàm số y f ' x x 2 2mx m 6 trong 3 trường hợp: Trường hợp 1: m 0. y f ' x x 2 6 0, x . Lúc này hàm số f x đồng biến trên nên cũng đồng biến trên. 0; 1 . Trường hợp 2: m 0 , ta có bảng biến thiên của hàm số y f ' x x 2 2mx m 6 như sau:. m 6 0 f ' x 0, x 0; 6 m 0 2 . m 0 Trường hợp 3: m 0 , ta có bảng biến thiên của hàm số y f ' x x 2 2mx m 6 như sau: Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(81)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m2 m 6 0 f ' x 0, x 0; 0 m 3 3 . m 0 Từ 1 , 2 và 3 suy ra có 10 giá trị nguyên của m để hàm số f x . 1 3 2 x mx 2 m 6 x 3 3. đồng biến trên khoảng 0; . Câu 20.. (Chuyên Sơn La - 2020) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số. y x3 6 x 2 4m 9 x 4 nghịch biến trên khoảng ; 1 là 3 A. ; . 4 . 3 B. ; . 4 . C. 0; .. D. ;0 .. Lời giải Chọn A Ta có: y 3 x 2 12 x 4m 9 . Ycbt 3x 2 12 x 4m 9 0, x ; 1 3 2 x 4 x 3 , x ; 1 4 3 2 m x 2 1 , x ; 1 4 3 2 3 m min x 2 1 . x ; 1 4 4 m. Câu 21.. (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y . x3 m 1 x 2 3 m 1 x 1 . Số các giá trị nguyên của 3. m để hàm số đồng biến trên 1; là A. 7.. B. 4.. C. 5. Lời giải. D. 6.. Chọn C Ta có: y x 2 2 m 1 x 3 m 1 . Ycbt x 2 2 m 1 x 3 m 1 0, x 1; 2. m 1 3 m 1 m2 5m 4 . Trường hợp 1: 0 m2 5m 4 0 m 1;4 . Ta được 4 giá trị nguyên của m . Trường hợp 2: m 1 0 m 2 5m 4 0 . Khi đó phương trình x 2 2 m 1 x 3 m 1 0 có hai m 4 nghiệm phân biệt x1 x2 1 x1 1 x2 1 0 x1 x2 2 0 2 m 1 2 0 x1 1 x2 1 0 x1 x2 x1 x2 1 0 3 m 1 2 m 1 1 0 0m2. Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(82)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Kết hợp với điều kiện ta được 0 m 1 . Khi đó có 1 giá trị nguyên của m . Vậy có 5 giá trị nguyên của m . Câu 22.. (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Số giá trị nguyên thuộc khoảng 2020; 2020 của tham số m để hàm số y x3 3x 2 mx 2019 đồng biến trên 0; là A. 2018 .. B. 2019 .. C. 2020 . Lời giải. D. 2017 .. Chọn D Ta có y 3 x 2 6 x m . Hàm số đồng biến trên khi y 0, x 0; 3x2 6 x m 0, x 0; 3 x 2 6 x m, x 0; . 1. Xét hàm số f x 3x 2 6 x trên 0; Ta có f x 6 x 6, f x 0 x 1. Do đó min f x f 1 3 0; . 1 m 3. Kết hợp với giả thiết ta được m 2020; 3 . Nên có 2017 số nguyên thỏa mãn Vậy chọn Câu 23.. D.. (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc 2020; 2020 để hàm số. y x3 6 x 2 mx 1 đồng biến trên 0; . A. 2004 .. B. 2017 .. C. 2020 . Lời giải. D. 2009 .. Chọn D Ta có: y 3x 2 12 x m . Hàm số đồng biến trên 0; khi và chỉ khi. y 0, x 0; 3x 2 12 x m 0, x 0; . Do đó m 3 x 2 12 x, x 0; m max g x với g x 3x 2 12 x . 0; . 2. Ta có: g x 3 x 2 12 12, x 0; nên max g x 12 g 2 . 0; . Vậy m 12 . Số các số nguyên m cần tìm là: 2020 12 1 2009 . Câu 24.. . . (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f x x3 m 1 x 2 2m2 3m 2 x 2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2; ? A. 2 .. B. 3 .. D. 5 .. C. 4 . Lời giải. Chọn C. . . . f x x3 m 1 x 2 2m 2 3m 2 x 2 f x 3x 2 2 m 1 x 2m 2 3m 2. . . Nhận xét 2m2 3m 2 0 m nên f x 3x 2 2 m 1 x 2m2 3m 2 0 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương .
<span class='text_page_counter'>(83)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2; khi và chỉ khi f x 0 với mọi x 2; . . . 3. 3.4 4 m 1 2m2 3m 2 0 3. f 2 0 Điều này xảy ra khi S x1 x2 2 2 2 2 m 2 m 6 0 3 3 2 m m 1 2 2 m 2 2 m 5 3 Do m nguyên nên m 2; 1;0;1 . Câu 25.. (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc sao cho hàm số y 2 x3 mx2 2 x đồng biến trên khoảng 2;0 . Tính số phần. 2020; 2020 . tử của tập hợp S . A. 2025 .. B. 2016 .. C. 2024 . Lời giải. D. 2023 .. Chọn C Ta có y 2 x3 mx 2 2 x y 6 x 2 2mx 2 . Hàm số đã cho đồng biên trên khoảng 2;0 y 6 x 2 2mx 2 0, x 2; 0 1 m 3 x , x 2;0 . x 1 Xét hàm số g x 3 x , x 2; 0 x g x 3 . 1 1 3 . g x 0 3 2 0 x 2 x x 3. Bảng biến thiên. x. 2. g x . 0. g x. 13 2. . 3 3 . 0. . 0. 2 3. Từ. bảng. biến. thiên. suy. ra. m 2 3 .. Mà. m , m 2020; 2020 . nên. m 2019; 2018;...; 4 .. Vậy có 2016 giá trị nguyên của tham số m thuộc. 2020; 2020 . sao cho hàm số. y 2 x3 mx2 2 x đồng biến trên khoảng 2;0 .. Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(84)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 26.. (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Với mọi giá trị m a b ,. a , b . thì hàm số. y 2 x3 mx 2 2 x 5 đồng biến trên khoảng 2;0 . Khi đó a b bằng A. 1.. B. 2 .. C. 3 . Lời giải. D. 5 .. Chọn D Ta có: y 6 x 2 2mx 2 . Hàm số đồng biến trên khoảng 2;0 khi y 0, x 2;0 . 3x 2 mx 1 0, x 2;0 3 x 2 1 mx 3 x . 1 m. x. Xét hàm số f x 3 x . 3x 2 1 1 1 3x 2 1 1 f x 0 0 x ; f x 3 2 ; 2 2 x x x x 3. Bảng biến thiên của hàm số f x .. Từ bảng biến thiên để f x m , x 2;0 a 2 thì max f x m m 2 3 a b 5 . 2;0 b 3 Dạng 4. Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng cho trước Câu 1.. (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến trên khoảng 0; . 4 A. m 0 hoặc 1 m 2 B. m 0. C. 1 m 2 Lời giải. tan x 2 tan x m. D. m 2. Chọn A Đặt t tan x , vì x 0; t 0;1 4 t2 Xét hàm số f t t 0;1 . Tập xác định: D \ m tm 2m Ta có f t . 2 t m . tan x 2 Ta thấy hàm số t x tan x đồng biến trên khoảng 0; . Nên để hàm số y đồng tan x m 4 biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi: f t 0 t 0;1 4 Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(85)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m 2 2 m 0 2m 0 t 0;1 m 0 m ; 0 1; 2 2 m 0;1 t m m 1 Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 1 y x 3 mx 5 đồng biến trên khoảng 0; 5x A. 0 B. 4 C. 5 D. 3 Lời giải Chọn B 1 y 3x2 m 6 x 1 Hàm số đồng biến trên 0; khi và chỉ khi y 3 x 2 m 6 0, x 0; x 1 1 3 x 2 6 m, x 0; . Xét hàm số g ( x ) 3 x 2 6 m , x 0; x x x 1 6 6( x8 1) , g ( x) 0 g ( x) 6 x 7 7 x x x 1(loai) Bảng biến thiên:. Dựa vào BBT ta có m 4 , suy ra các giá trị nguyên âm của tham số m là 4; 3; 2; 1 Câu 3.. (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để 1 1 hàm số f x m 2 x 5 mx 3 10 x 2 m 2 m 20 x đồng biến trên . Tổng giá trị của tất cả 5 3 các phần tử thuộc S bằng 5 1 3 A. . B. 2 . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Ta có f x m 2 x 4 mx 2 20 x m 2 m 20 m 2 x 4 1 m x 2 1 20 x 1 m 2 x 1 x 1 x 2 1 m x 1 x 1 20 x 1. x 1 m 2 x 1 x 2 1 m x 1 20 x 1 f x 0 2 2 m x 1 x 1 m x 1 20 0 * Ta có f x 0 có một nghiệm đơn là x 1 , do đó nếu * không nhận x 1 là nghiệm thì. f x đổi dấu qua x 1 . Do đó để f x đồng biến trên thì f x 0, x hay * nhận. x 1 làm nghiệm (bậc lẻ). Suy ra m2 1 11 1 m 1 1 20 0 4m2 2m 20 0 . Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(86)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Tổng các giá trị của m là Câu 4.. 1 . 2. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số m đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó là y x 1 x2 A. 0;1 . B. ;0 . C. 0; \ 1 . D. ; 0 . Lời giải • Tập xác định: D \ 2 . Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi: m 0, x D y ' 0, x D 1 2 x 2 2. m x 2 , x D 2. Xét hàm số f x x 2 ta có: f ' x 2x 4 f ' x 0 x 2. Bảng biến thiên:. Câu 5.. Vậy, để hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó thì m 0 . (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số cos x 3 nghịch biến trên khoảng ; y cos x m 2 0 m 3 0 m 3 A. . B. . C. m 3 . D. m 3 . m 1 m 1 Lời giải Điều kiện: cos x m . Ta có: y . ( m 3). cos x m . 2. .( s in x ) . ( m 3). cos x m . 2. .sin x. 2 Vì x ; s in x 0 , cos x m 0, x ; : cos x m . 2 2 Để hàm số nghịch biến trên khoảng ; y 0 x ; 2 2 m 3 m 3 0 m 3 0 0 m 3 m 1 . m 1; 0 m 1 cos x m x 2 ; m 0 . Chú ý : Tập giá trị của hàm số y cos x, x ; là 1;0 . 2 . Câu 6.. (Hoàng Hoa Thám 2019) Cho hàm số y . (4 m) 6 x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m 6 x m. trong khoảng 10;10 sao cho hàm số đồng biến trên 8;5 ? Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(87)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 14 .. C. 12 .. B. 13 .. D. 15 .. Lời giải. . . Đặt t 6 x vì x 8;5 t 14; 1 và t 6 x đồng biến trên 8;5 . Hàm số trở thành y . (4 m)t 3 m 2 4m 3 tập xác định D \ m y ' . t m ( t m) 2. m 2 4m 3 0 m 14 Để hàm số đồng biến trên khoảng 14; 1 m 14 1 m 1 . m 3 m 1. . . m 9, 8, 7, 6, 5, 4, 1, 0, 4,5, 6, 7,8,9 có 14 giá trị. Câu 7.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm 1 3 số y x 4 mx đồng biến trên khoảng 0; . 4 2x A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0 . Lời giải 3 Tập xác định : D . y x 3 m 2 . 2x Ta có: hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi y 0 với x 0; 3 3 0, x 0; x 3 2 m, x 0; 2 2x 2x 3 m Min f x ,với f x x 3 2 1 . 0; 2x Cách 1: x3 m . 3 x 3 x3 1 1 1 1 5 2 2 2 55 5 . 2 2x 2 2 2x 2x 2x 2 2 5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1 . Do đó Min f x 2 . 0; 2 5 5 Từ 1 và 2 ta có m m . Do m nguyên âm nên m 1 hoặc m 2 . 2 2 Vậy có hai giá trị nguyên âm của tham số m thỏa mãn điều kiện bài ra. Cách 2: 3 Xét hàm số f x x 3 2 , x 0; . 2x 3 Ta có f x 3 x 2 3 , f x 0 x 1 . x Bảng biến thiên x 0 2 – 0 f x Theo bất đẳng thức Cauchy ta có f x x3 . f x. 5 2. Từ bảng biến thiên ta có m . 5 5 m . Do m nguyên âm nên m 1 hoặc m 2 . 2 2. Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(88)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vậy có hai giá trị nguyên âm của tham số m thỏa mãn điều kiện bài ra. Câu 8.. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y . ln x 4 với m là tham số. Gọi S là tập hợp các ln x 2m. giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng 1; e . Tìm số phần tử của S . A. 3. B. 2. C. 1 Lời giải. D. 4. Chọn C y f x . ln x 4 ln x 2m. Đặt t ln x , điều kiện t 0;1 g t . 2 m 4 t4 ; g t 2 t 2m t 2m . Để hàm số f x đồng biến trên 1; e thì hàm số g t đồng biến trên 0;1. g t 0, t 0;1 . 2m 4. t 2m . 2. 0, t 0;1. 1 m2 2m 4 0 2 2m 0;1 m 0. S là tập hợp các giá trị nguyên dương S 1 . Vậy số phần tử của tập S là 1 . Câu 9.. cos x 2 đồng biến trên khoảng 0; cos x m 2 m 0 C. D. 1 m 1 1 m 2. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm m để hàm số y m 2 A. m 2. B. m 2. Lời giải Chọn C Ta có y ' . . sin x ,sin x 0 x 0; . 2 cos x m 2m. 2. Do đó: Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi 2 2 m 0 m 2 m 0 . m 0;1 1 m 2 cos x m 0 x 0; 2 Câu 10. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 3 9 y x 4 x 2 2m 15 x 3m 1 đồng biến trên khoảng 0; ? 4 2 A. 2. B. 3. C. 5. D. 4. Lời giải 3 Yêu cầu bài toán y 3x 9 x 2m 15 0 x 0; và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm. thuộc 0; 3x3 9 x 15 2m x 0; . Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(89)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Xét hàm số: g ( x) 3x3 9 x 15 trên 0; . Ta có: g ( x) 9 x 2 9 . x 1. g x 0 . x 1 (l ) Bảng biến thiên:. Từ BBT ta có: 2m 9 m . 9 2. Vậy m { 4; 3; 2; 1} . Câu 11. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 3 x từng khoảng xác định của nó? A. 4 . B. 2 .. m 2 3m đồng biến trên x 1. D. 3 .. C. 1 . Lời giải. Tập xác định D \ 1 .. 3 x 1 m2 3m m 2 3m y . y 3x 2 x 1 x 1 2. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi y 0 ,. x 1 m2 3m 0 3 m 0 . Do m m 3; 2; 1;0 . Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 12. Tìm m để hàm số y A. m 2 .. cos x 2 nghịch biến trên khoảng cos x m. m 0 B. . 1 m 2. 0; 2 . C. m 2 .. D. m 2 .. Lời giải Đặt t cos x . Ta có: t sin x 0, x 0; . 2 hàm số t cos x nghịch biến trên khoảng 0 ; . 2. Do đó hàm số y . cos x 2 t 2 nghịch biến trên khoảng 0 ; hàm số y đồng biến trên cos x m t m 2. khoảng 0;1 . Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(90)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Tập xác định D \ m . Hàm số y . t 2 2m đồng biến trên khoảng 0;1 y 0, t 0;1 . 2 t m t m. 2 m 0 m 2 1 m 2 1 m 1 m . m 0 m 0 m 0 m 0 cos x 2 Vậy với thì hàm số y nghịch biến trên khoảng 0; . cos x m 2 1 m 2 Câu 13.. (Toán Học Tuổi Trẻ Số 5 2018) Tìm tất cả các giá trị của. y 8cot x m 3 .2cot x 3m 2 (1) đồng biến trên ; . 4 A. 9 m 3 . B. m 3 . C. m 9 .. m. để hàm số. D. m 9 .. Lời giải. Đặt 2cot x t vì x ; nên 0 t 2 . Khi đó ta có hàm số: y t 3 m 3 t 3m 2 (2). 4 y 3t 2 m 3 . Để hàm số (1) đồng biến trên ; thì hàm số (2) phải nghịch biến trên 4 . 0; 2. hay. 3t 2 m 3 0, t 0; 2 m 3 3t 2 , t 0; 2 .. Xét hàm số: f t 3 3t 2 , t 0; 2 f t 6t . f t 0 t 0 .. Ta có bảng biến thiên:. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 9 f t 3, t 0; 2 .. Vậy hàm số (1) đồng biến trên ; khi m 9 . 4 Câu 14.. ln x 4 với m là tham số. Gọi S là tập hợp ln x 2m các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng 1; e . Tìm số phần tử của S . (Toán Học Tuổi Trẻ Số 6 2018)Cho hàm số y . A. 2 .. B. 4 .. C. 3 .. D. 1 .. Lời giải 1 2. Điều kiện ln x 2m 0 m ln x .. Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(91)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 Do x 1;e nên ln x 0;1 m ; 0 ; . 2 1 4 2m Ta có y x . 2 ln x 2m . Để hàm số đồng biến trên khoảng 0;1 thì y 0 với mọi x 0;1 1 4 2m x 0 4 2m 0 m 2 . 2 ln x 2m . Do m là số nguyên dương nên m 1 . Câu 15. (THPT Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số m ln x 2 nghịch biến trên e 2 ; . y ln x m 1 A. m 2 hoặc m 1 . B. m 2 hoặc m 1 . C. m 2. D. m 2 hoặc m 1 . Lời giải Tập xác định D 0; \ e m 1 . Cách 1: y . m2 m 2 x ln x m 1. 2. m 1 m 2 m 2 0 Vậy yêu cầu bài toán tương đương m 1 m 2 m 2 2 e e ; m 1 2. Cách 2: Đặt t ln x , ta biết rằng hàm số f x ln x đồng biến trên e 2 ; .. m 2 m 2 mt 2 Xét hàm số g t với t 2; , ta có g t . 2 t m 1 t m 1 Vậy hàm số ban đầu nghịch biến trên e 2 ; hàm số g nghịch biến trên. m 1 m 1 g t 0 m 2 m 2 0 m 2 m 2 m 2 2; m 1 2; m 1 2 m 1 2 m 1 Câu 16.. (Chuyên Lương Thế Vinh - 2018) Có bao nhiêu số nguyên âm m 1 y cos3 x 4 cot x m 1 cos x đồng biến trên khoảng 0; ? 3 A. 5 . B. 2 . C. vô số. D. 3 . Lời giải 4 4 - Ta có: y cos 2 x.sin x 2 m 1 .sin x sin 3 x 2 m.sin x . sin x sin x - Hàm số đồng biến trên 0; khi và chỉ khi y 0 , x 0; . để hàm số. 4 m.sin x 0 , x 0; sin 2 x 4 sin 2 x 3 m , x 0; 1 . sin x sin 3 x . Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(92)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 4 , trên 0; . sin 3 x 12cos x 6 sin 5 x 6 2 cos x . sin x Có g x 2sin x.cos x 2 cos x . sin 4 x sin 4 x sin 4 x - Xét hàm số: g x sin 2 x . g x 0 x . 2. 0; .. Bảng biến thiên:. - Do đó: 1 m min g x m 5 m 5 . x 0; . Lại do m nguyên âm nên m 5; 4; 3; 2; 1 . Vậy có 5 số nguyên âm. Câu 17.. (Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số 1 m y x5 đồng biến trên 5; ? x2 A. 10 . B. 8 . C. 9 . D. 11 . Lời giải Tập xác định: D \ 2 . Đạo hàm: y 1 . m 1. x 2. 2. . x2 4 x m 3. x 2. 2. .. Xét hàm số f x x 2 4 x 3 trên 5; . Đạo hàm: f x 2 x 4 . Xét f x 0 x 2 y 1 . Ta có: f 5 8 . Bảng biến thiên:. 2. x 2 0 với mọi x 5; nên y 0 , x 5; khi x 5; . Dựa vào bảng biến thiên ta có: m 8 m 8 . Mà m nguyên âm nên ta có: m 8; 7 ; 6; 5; 4; 3; 2; 1 . Do. và chỉ khi f x m ,. 1 m đồng biến trên 5; . x2 Câu 18. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số 3 1 y x 4 m 1 x 2 4 đồng biến trên khoảng 0; . 4 4x A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải 1 Ta có y 3x3 2 m 1 x 5 . x Vậy có 8 giá trị nguyên âm của m để hàm số y x 5 . Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(93)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số đồng biến trong khoảng 0; khi và chỉ khi y 0 với x 0; .. y 0 2 m 1 3x 2 Xét g x 3x 2 . 1 . x6. 1 6 với x 0; . Ta có g x 6 x 7 ; g x 0 x 1 6 x x. Bảng biến thiên:. 2 m 1 g x 2 m 1 4 m 3 .. Vì m nguyên dương nên m 1, 2,3 . Vậy có 3 giá trị m nguyên dương thỏa mãn bài toán. Câu 19. (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số x2 mx ln x 1 đồng biến trên khoảng 1; ? 2 A. 3 . B. 4 . C. 2 . y. D. 1 .. Lời giải Ta có y x m Để hàm số y . 1 . x 1. x2 mx ln x 1 đồng biến trên khoảng 1; thì y 0 với x 1; 2. 1 m với x 1; m min f x . 1; x 1 1 Xét hàm số f x x trên khoảng 1; ta có x 1 x. f x x 1 Câu 20.. 1 1 2 x 1. x 1. 1 1 3 min f x 3 . Do m nên m 1; 2;3 . 1; x 1 . (Chuyên Vinh - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên. m 10;10 . để hàm số. y m 2 x 4 2 4m 1 x 2 1 đồng biến trên khoảng 1; ?. A. 15 .. B. 6 .. C. 7 . D. 16 . Lời giải 2 + Với m 0 , hàm số trở thành y 2 x 1 đồng biến trên 0; nên hàm số cũng đồng biến trên khoảng 1; , do đó m 0 thỏa mãn. + Với m 0 , hàm số đã cho làm hàm số trùng phương với hệ số a m2 0 .. x 0 2 2 2 3 y 4m x 4 4m 1 x 4 x m x 4m 1 , y 0 2 4m 1 . x m2 4m 1 Để hàm số đồng biến trên khoảng 1; thì phương trình x 2 vô nghiệm hoặc có hai m2 nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho 1 x1 x2 1. . . Facebook Nguyễn Vương 37.
<span class='text_page_counter'>(94)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 1 4m 1 0 m m 4 4 4m 1 0 1 1 . m 2 3 m 4m 1 4 4 1 2 2 m m 4m 1 0 m 2 3. . . . Vậy điều kiện để hàm số đồng biến trên 1; là m ; 2 3 2 3; . Vì m nguyên, m 10;10 nên m 9; 8;...; 0; 4;5;...;9 , có 16 giá trị. Câu 21.. (Chuyên Thái Bình - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2018; 2018 để hàm số y x 2 1 mx 1 đồng biến trên ; . A. 2017 .. B. 2019 .. C. 2020 . Lời giải. D. 2018 .. TXĐ : D . x y m. 2 x 1 Hàm số đồng biến trên y 0 , x m . x 2. x 1 x. Xét f x . x2 1. , x 1 .. trên .. lim f x 1 ; lim f x 1 .. x . f x . x . 1. x. 2. 1 x 2 1. x. Ta có: m . 2. 0 , x nên hàm số đồng biến trên .. , x m 1 .. x 1 Mặt khác m 2018; 2018 m 2018; 1 . Vậy có 2018 số nguyên m thoả điều kiện. mx 1. Câu 22.. (Lê Quý Đôn - Quảng Trị- 2018) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y 2 x m nghịch biến 1 trên ; . 2 . A. m 1;1 .. 1 B. m ;1 . 2 . 1 C. m ;1 . 2 Lời giải. 1 D. m ;1 . 2 . mx 1. mx 1 1 Hàm số y 2 x m nghịch biến trên ; khi và chỉ khi hàm số y nghịch biến trên xm 2 1 ; . 2 Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(95)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m2 1 mx 1 Xét hàm số y , ta có: y . 2 xm x m. 1 m 1 m 2 1 0 mx 1 1 1 Hàm số y nghịch biến trên ; 1 m 1. 1 xm 2 2 m 2 m 2 Câu 23.. (Chuyên Hưng Yên - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số x2 2 x m y nghịch biến trên khoảng (1;3) và đồng biến trên khoảng (4;6) . x 1 A. 6 . B. 7 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn D. x2 2 x 2 m . ( x 1)2 Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) và đồng biến trên khoảng (4;6) khi và chỉ khi Ta có y . y 0, x (1;3) y 0, x (4;6) x 2 2 x 2 m 0, x (1;3) m x 2 2 x 2, x (1;3) (*) 2 2 x 2 x 2 m 0, x (4; 6) m x 2 x 2, x (4;6). Xét hàm số g ( x) x 2 2 x 2, g ( x) 2 x 2 ta có bảng biến thiên của g ( x ) như sau. Từ bảng biến thiên của g ( x ) ta có (*) 3 m 6 , và vì m là số nguyên nên chọn. m 3;4;5;6 . Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. Câu 24.. (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y . 1 ln x 1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của 1 ln x m. 1 tham số m thuộc 5;5 để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 3 ;1 . e A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có đạo hàm của y . 1 ln x 1 1 m là y . 2 x 1 ln x ( 1 ln x m) 2 1 ln x m. 1 1 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 3 ; 1 khi và chỉ khi y 0, x 3 ;1 e e Facebook Nguyễn Vương 39.
<span class='text_page_counter'>(96)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 m 0 m 1 1 1 (*) 1 ln x m 0, x 1 ln x m 0, x 3 ;1 3 ;1 e e 1 1 1 Xét hàm số g ( x) 1 ln x , x 3 ;1 , ta có g ( x) 0, x 3 ;1 do đó ta có 2 x 1 ln x e e bảng biến thiên của hàm số g ( x ) như sau. m 1 Qua bảng biến thiên ta có (*) , kết hợp với m 5;5 ta có 6 giá trị nguyên của m (2; 1). m là m 5; 4; 3; 2; 1;0 . Câu 25.. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số ln x 6 y đồng biến trên khoảng 1;e ? ln x 2m A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn A Đặt t ln x thì t ln x đồng biến trên khoảng 1;e và t 0;1 Ta được hàm số f t . t 6 6 2m . Điều kiện t 2m và f t . 2 t 2m t 2m . ln x 6 t 6 đồng biến trên khoảng 1;e khi và chỉ khi hàm số f t đồng ln x 2m t 2m 1 2m 1 1 m 2 2m 0;1 m3 biến trên khoảng 0;1 . 2m 0 2 m 0 f t 0 6 2 m 0 m 0 m 3 Hàm số y . Vì m nguyên dương nên m 1; 2 .. ln x 6 đồng biến trên khoảng 1;e . ln x 2m (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số f x m 2020 x 2co s x sin x x nghịch biến trên ?. Vậy có 2 giá trị nguyên dương của m để hàm số y Câu 26.. A. Vô số.. B. 2.. C. 1. Lời giải. D. 0.. Chọn C Ta có: Hàm số f x m 2020 x 2cosx sin x x nghịch biến trên khi và chỉ khi Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(97)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. f x 0 x m 2sin x 1 cosx 1 0 x 2m sin x cosx 1 m 1 ; x Ta lại có: 2m sin x co s x . 4m. 2. 1 sin 2 x co s 2 x 4m 2 1. 2m sin x co s x 4m 2 1 . Dấu bằng xảy ra khi 2m cosx sin x. Do đó. 1 Câu 27.. 1 m 0 m 1 2 4m 2 1 1 m 2 2 m0 2 3 4m 1 1 2 m m 3m 2m 0. (Chuyên Quang Trung - 2020) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y ln( x 2 4) mx 12 đồng biến trên là 1 A. ; . 2 . 1 1 B. ; 2 2. 1 C. (; . 2 Lời giải. 1 D. ; 2 . Chọn A + TXĐ: + Ta có y , m. 2x 2x m .Hàm số đồng biến trên 2 m 0, x x 4 x 4 2. 2 x , x x2 4. Xét f ( x) . 2( x 2 4) 2 x , f ( x ) 0 x 2 . Ta có: x2 4 ( x 2 4). Bảng biến thiên. Vậy giá trị m cần tìm là m Câu 28.. 1 2. (Chuyên Thái Bình - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y x 3 mx 2 12 x 2m luôn đồng biến trên khoảng 1; ?. A. 18 .. B. 19 .. C. 21 . Lời giải. D. 20 .. Chọn D Xét f x x3 mx 2 12 x 2m . Ta có f x 3x 2 2mx 12 và f 1 13 m . Để hàm số y x 3 mx 2 12 x 2m đồng biến trên khoảng 1; thì có hai trường hợp sau Trường hợp 1: Hàm số f x nghịch biến trên 1; và f 1 0 . Facebook Nguyễn Vương 41.
<span class='text_page_counter'>(98)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Điều này không xảy ra vì lim x3 mx 2 12 x 2m . x . Trường hợp 2: Hàm số f x đồng biến trên 1; và f 1 0 . 3 6 3 x 2 2mx 12 0, x 1 m x , x 1 2 x . 13 m 0 m 13 * 3 6 3 6 3 6 Xét g x x trên khoảng 1; : g x 2 ; g x 0 2 0 x 2 . 2 x 2 x 2 x Bảng biến thiên:. Từ bảng biến thiên suy ra m . 3 6 x , x 1 m 6 . 2 x. Kết hợp * suy ra 13 m 6 . Vì m nguyên nên m 13; 12; 11;...;5;6 . Vậy có 20 giá trị nguyên của m . Câu 29.. (ĐHQG Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 8;8 sao cho hàm số y 2 x3 3mx 2 đồng biến trên khoảng 1; ? A. 10.. B. 9.. C. 8.. D. 11.. Lời giải Chọn B. f ( x) 2 x3 3mx 2 f '( x) 6 x 2 3m Nếu m 0 : f '( x) 0, x hàm số f ( x) nghịch biến trên ℝ. Hàm số y f ( x) đồng biến trên 1; f 1 0 m Nếu m 0 : f '( x) 0 x . 4 m 0. 3. m 2. Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(99)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m 1 2 m m 1 f 0 2 2 m 3 2 ( L) m m 2 ( L) 2 1 4 0m . Hàm số y f ( x) đồng biến trên 1; m m 3 2m 2 2 0 f 0 2 m 2 m 4 1 m 2 3 f (1) 0 m ℤ, m 8;8 m 7; 6;...; 1;0;1 .. Câu 30.. (Sở Ninh Bình) Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số. y x4 2mx 2 1 đồng biến trên khoảng 3; . Tổng giá trị các phần tử của T bằng A. 9 .. B. 45 .. C. 55 . Lời giải. D. 36 .. Chọn B + Tập xác định: D . + Ta có y 4 x 3 4mx 4 x x 2 m Theo đề m 0 nên y 0 có 3 nghiệm phân biệt x m , x 0, x m .. Để hàm số đồng biến trên khoảng 3; thì y 0, x 3; m 3 m 9 Vì m nguyên dương nên m 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ( là cấp số cộng ) Vậy Tổng giá trị các phần tử của T bằng Câu 31.. 9 1 9 45 . 2. (Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y . m sin x cos 2 x. nghịch biến trên 0; . 6 A. m 1 .. B. m 2 .. 5 C. m . 4 Lời giải. D. m 0 .. Chọn C Ta có y . cos2 x 2m sin x 2sin 2 x 1 2m sin x sin 2 x cos3 x cos3 x. Facebook Nguyễn Vương 43.
<span class='text_page_counter'>(100)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Để hàm số nghịch biến trên 0; thì 6 y 0, x 0; sin 2 x 2 m sin x 1 0 , x 0; , vì cos3 x 0, x 0; 1 6 6 6 1 Đặt sin x t , t 0; . 2 t2 1 1 1 Khi đó 1 t 2 2mt 1 0, t 0; m , t 0; 2 2t 2 2. Ta xét hàm f t . Ta có f t . t2 1 1 , t 0; 2t 2. 2 t 2 1 4t. 2. 1 0, t 0; . 2. Bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra 2 m Câu 32.. (Yên. Lạc. 2. -. Vĩnh. Phúc. 5 . 4 -. 2020). Cho. hàm. số. y f x. có. đạo. hàm. f x 3x 2 6 x 4, x . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc 2020;2020 của tham số m để hàm số g x f x 2m 4 x 5 nghịch biến trên 0;2 ?. A. 2008 .. B. 2007 .. C. 2018 . Lời giải. D. 2019 .. Chọn A Ta có g x f x 2m 4 . Hàm số g x f x 2m 4 x 5 nghịch biến trên 0;2 khi g x 0, x 0; 2 . f x 2m 4 0, x 0; 2 3x 2 6 x 4 2m 4, x 0;2 . Xét hàm số h x 3x 2 6 x 4 h x 6 x 6 . Ta có BBT:. Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(101)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Vậy 2m 4 28 m 12 . Vì m nguyên thuộc 2020;2020 nên có 2008 giá trị thỏa mãn. Câu 33.. (Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn x 4 mx3 x 2 mx 2020 nghịch biến trên khoảng 0;1 ? 4 3 2 B. 11. C. 9. D. 10. Lời giải.. 10;10 sao cho hàm số A. 12.. y. Chọn B Ta có y x3 mx 2 x m . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;1 khi và chỉ khi. y 0, x 0;1 hay x 3 x m x 2 1 , x 0;1 . Vì x 0;1 : x 2 1 0 nên x 3 x m x 2 1 , x 0;1 m x, x 0;1 m 0 . Mặt khác m 10;10 nên có 0 10 11 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 34.. (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số. f x m 2020 x 2cos x sin x x nghịch biến trên ? B. 2 .. A. Vô số.. D. 0 .. C. 1 . Lời giải. Chọn C Ta có f x sin x 2m cos x m 1 x 2020m có đạo hàm liên tục trên . Cần tìm m nguyên để f / x cos x 2m sin x m 1 0, x. max cos x 2m sin x m 1 0 1 4m2 m 1 0 1 4m2 1 m x. m 1 1 m 0 2 2 m 0 . Kết hợp m nguyên có m 0 . 2 2 3 1 4m 1 2m m 3 m 0. Câu 35.. (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 2 - 2020) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực m để hàm số y ln x 2 4 mx 12 đồng biến trên là 1. 1 1 B. ; . 2 2. . A. ; . 2 . . 1. . . C. ; . 2. 1. . D. ; . 2 . Lời giải Chọn A. 2x m, x . x 4 Hàm số đã cho đồng biến trên y ' 0x (vì y ' 0 chỉ có hữu hạn nghiệm) Ta có y ' . . 2. 2x 2x m 0x m 2 x . x 4 x 4 2. Facebook Nguyễn Vương 45.
<span class='text_page_counter'>(102)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 2x ( x 2)2 2x 1 0x 2 x trên . Ta có 2 2 2 x 4 2( x 4) x 4 2 Do đó, m Câu 36.. 2x 1 x m . 2 x 4 2. 3. 2. (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 2 x x mx1 đồng biến trên 1;2 . A. m 8 .. B. m 1 .. C. m 8 . Lời giải. D. m 1 .. Chọn B 3. 2. Ta có: y 3 x 2 2 x m .2 x x mx1.ln 2 Hàm số đồng biến trên 1;2 y 0 , x 1; 2 3. 2. 3 x 2 2 x m .2 x x mx1.ln 2 0 , x 1;2 . 3x 2 2 x m 0 , x 1; 2 m 3x 2 2 x , x 1; 2 m max 3 x 2 2 x . 1;2 . Xét hàm số f x 3 x 2 2 x , với x 1;2 . Ta có: f x 6 x 2 . Cho f x 0 6 x 2 0 x . 1 . 3. Bảng biến thiên:. Vậy m 1 thỏa yêu cầu bài toán.. -------------------- HẾT --------------------. Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(103)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. Chuyên đề 1. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH 9 – 10 ĐIỂM Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x) Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x . f u x . Bước 2: Sử dụng đồ thị của f x , lập bảng xét dấu của g x . Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x . f u x . Bước 2: Hàm số g x đồng biến g x 0 ; (Hàm số g x nghịch biến g x 0 ) (*) Bước 3: Giải bất phương trình * (dựa vào đồ thị hàm số y f x ) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Câu 1.. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y f ( x) . Hàm số y f '( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y f (2 x ) đồng biến trên khoảng. A. 2; . B. 2;1. C. ; 2. D. 1;3. Lời giải Chọn B Cách 1: x (1; 4) Ta thấy f '( x) 0 với nên f ( x ) nghịch biến trên 1; 4 và ; 1 suy ra x 1 g ( x ) f ( x ) đồng biến trên (4; 1) và 1; . Khi đó f (2 x ) đồng biến biến trên khoảng ( 2;1) và 3; . Cách 2: x 1 Dựa vào đồ thị của hàm số y f x ta có f x 0 . 1 x 4 Ta có f 2 x 2 x . f 2 x f 2 x . Để hàm số y f 2 x đồng biến thì f 2 x 0 f 2 x 0 2 x 1 x 3 . 1 2 x 4 2 x 1 Câu 2.. (Mã đề 104 - 2019) Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x như sau: Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(104)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Hàm số y f 5 2x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 3;4 .. B. 1;3 .. C. ; 3 .. D. 4;5 .. Lời giải Chọn D Ta có y f 5 2 x 2 f 5 2 x . 5 2 x 3. x 4. y 0 2 f 5 2x 0 5 2 x 1 x 3 . 5 2 x 1. x 2. 5 2 x 3 x 4 f 5 2x 0 ; 1 5 2 x 1 2 x 3 5 2 x 1 x 2 f 5 2x 0 . 3 5 2 x 1 3 x 4 Bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên hàm số y f 5 2 x đồng biến trên khoảng 4;5 . Câu 3.. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu của f ( x) như sau:. Hàm số y f 3 2 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;2 .. B. 2;3 .. C. ; 3 .. D. 3;4 .. Lời giải Chọn D Ta có y 2. f 3 2 x 0 f 3 2 x 0 3 2 x 3 x 3 1 3 2 x 1 1 x 2. Vậy chọn A. Câu 4.. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f ( x) có bảng dấu f ( x) như sau:. Hàm số y f (5 2 x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 3;5 .. B. 5; .. C. 2;3 .. D. 0;2 .. Lời giải Chọn D Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(105)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số y f ( x) có tập xác định là suy ra hàm số y f (5 2 x) có tập xác định là . Hàm số y f (5 2 x) có y 2. f (5 2 x), x .. 3 5 2 x 1 3 x 4 y 0 f (5 2 x) 0 . 5 2 x 1 x 2 Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 ; 3;4 . Do đó B phương án chọn. Câu 5.. (Mã đề 101 - 2019) Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f ' x như sau:. Hàm số y f 3 2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2;1 .. B. 2;4 .. C. 1;2 .. D. 4; .. Lời giải Chọn A. y 2. f 3 2 x . 3 3 2x 1 Hàm số nghịch biến khi y 0 2. f 3 2 x 0 f 3 2 x 0 3 2x 1 2 x 3 . x 1 Vậy chọn đáp án Câu 6.. B.. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu như sau:. Hàm số y f x 2 2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2;1 .. B. 4; 3 .. C. 0;1 .. D. 2; 1 .. Lời giải Ta có: Đặt: y g ( x ) f x 2 2 x ; g ( x) f ( x 2 2 x) 2 x 2 . f ( x 2 2 x) x 1 x 1 x 1 2 2 2 x 2 0 x 2 x 2( VN ) g ( x) 0 2 x 2 . f ( x 2 2 x) 0 2 x 1 2 2 x 2x 1 f ( x 2 x) 0 x 1 x 2 2 x 3 x 3 (Trong đó: x 1 2 ; x 1 2 là các nghiệm bội chẵn của PT: x 2 2 x 1 ) + Ta có bảng biến thiên. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(106)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số y f x 2 2 x nghịch biến trên khoảng 2; 1 . Chú ý: Cách xét dấu g ( x ) :. . . Chọn giá trị x 0 1; 1 2 x 2 2 x 0 g (0) f (0) 0 ( dựa theo bảng xét dấu của. . . hàm f ( x ) ). Suy ra g ( x) 0 x 1; 1 2 , sử dụng quy tắc xét dấu đa thức “ lẻ đổi, chẵn không” suy ra dấu của g ( x ) trên các khoảng còn lại Câu 7.. (Chuyên Thái Nguyên -2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x trên . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y f ' x . Hàm số g x f x x 2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?. 3 A. ; . 2 . 3 B. ; . 2 . 1 C. ; . 2 Lời giải. 1 D. ; . 2 . Phương pháp Hàm số y g x nghịch biến trên a; b g ' x 0 x a; b và bằng 0 tại hữu hạn điểm. Cách giải Ta có: g ' x 1 2 x f ' x x 2 . Hàm số y g x nghịch biến trên a; b g ' x 0 x a; b và bằng 0 tại hữu hạn điểm. Ta có g ' 1 3 f ' 2 0 Loại đáp án A, B và D Câu 8.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(107)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số y f 2 x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. ;0 .. B. 0;1 .. C. 1; 2 .. D. 0; .. Lời giải Chọn B Hàm số y f 2 x 2 có y ' 2 x. f ' 2 x 2 . x 0 x 0 2 1 2 x 2 1 x 1 0 x 1 2 y ' 2 x. f ' 2 x 0 x 0 x 0 x 1 2 x 2 1 x 1 x 1 2 2 x 2 Do đó hàm số đồng biến trên 0;1 . Câu 9.. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hàm số f ( x ) , đồ thị hàm số y f ( x) như hình vẽ dưới đây.. Hàm số y f 3 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 4;6 .. B. 1;2 .. C. ; 1 .. D. 2;3 .. Lời giải Ta có:. y f 3 x f 3 x f 3 x 0 . 3 x f 3 x. 3 x f 3 x. 3 x ( x 3) f 3 x 0. 3 x 0 . 3 x 0. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(108)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 3 x 1 L x 1 x 7 3 x 1 N x 2 3 x 4 N x 3 L x 4 . Ta có bảng xét dấu của f 3 x :. Từ bảng xét dấu ta thây hàm số y f 3 x đồng biến trên khoảng 1;2 . Câu 10.. (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hàm số y f x . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g ( x) f ( x 2 2). Mệnhvđề nào sai?. A. Hàm số g x nghịch biến trên ; 2 . B. Hàm số g x đồng biến trên 2; . C. Hàm số g x nghịch biến trên 1;0 . D. Hàm số g x nghịch biến trên 0; 2 . Lờigiải ChọnA x 0 x 0 x 0 2 2 Ta có g '( x) 2 x. f '( x 2) 0 x 2 1 x 1 2 f ( x 2) 0 x2 2 2 x 2 x 2 Từ đồ thị f '( x ) ta có f '( x 2 2) 0 x 2 2 0 x 2 BBT. Từ BBT ta thấy đáp án C sai Câu 11.. (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số y f ' x như hình bên.. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(109)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hỏi hàm số g x f 3 2 x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 1; . B. ; 1. C. 1;3. D. 0;2. Lời giải Chọn B x 2 Ta có f ' x 0 x 2 x 5. Khi đó g ' x 2 f ' 3 2 x 5 x 2 3 2 x 2 1 Với g ' x 0 f ' 3 2 x 0 3 2 x 2 x 2 3 2 x 5 x 1 . Bảng biến thiên:. Câu 12.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau:. Hàm số y f x 2 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2; 1 .. B. 2; .. C. 0;2 .. D. 1;0 .. Lời giải Xét hàm số g x f x 2 . Ta có: g ' x 2 x. f ' x 2 2 . 2. x 0 x 1 x 0 x 0 x 0 2 2 x 1 . x 2 1 x 1 g ' x 0 2 f ' x 2 0 x2 2 2 x2 4 x 2 x 2. Ta có bảng xét dấu g ' x : Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(110)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dựa vào bảng xét dấu g ' x ta thấy hàm số y f x 2 2 nghịch biến trên khoảng 0; 2 Câu 13.. (Chuyên KHTN - 2020) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau.. Hàm số y f 2 3 x đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 2;3 .. B. 1; 2 .. C. 0;1 .. D. 1;3 .. Lời giải Chọn A Đặt g x f 2 3 x g x 3. f 2 3 x Ta có g x 0 f 2 3 x 0 2 3 x 3 0 2 3x 1 5 x 3 . 1 x 2 3 3. 1 2 5 Suy ra hàm số g x đồng biến trên các khoảng ; và ; , do đó hàm số đồng biến trên 3 3 3 khoảng 2;3 . Câu 14.. (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số y f x biết hàm số f x có đạo hàm f x và hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Đặt g x f x 1 . Kết luận nào sau đây đúng?. A. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 3; 4 . B. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 0;1 . C. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 2; . D. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 4;6 . Lời giải Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(111)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chọn B g x f x 1 . Ta có: g x f x 1 x 1 5 x 4 Hàm số g x đồng biến g x 0 f x 1 0 . 1 x 1 3 0 x 2 3 x 1 5 2 x 4 Hàm số g x nghịch biến g x 0 f x 1 0 . x 1 1 x 0 Vậy hàm số g x đồng biến trên khoảng 0; 2 ; 4; và nghịch biến trên khoảng 2; 4 ;. ;0 . Câu 15.. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x y. 2. 5. . . 0. . 0. . Hàm số g x f 3 2 x đồng biến trên khoảng nào sau đây A. 3; .. B. ; 5 .. C. 1;2 .. D. 2;7 .. Lời giải Chọn C Ta có g ' x 2 x ln 2. f ' 3 2 x . Để g ( x ) f 3 2 x đồng biến thì g ' x 2 x ln 2. f ' 3 2 x 0 f ' 3 2 x 0 5 3 2 x 2 0 x 3 .. Vậy hàm số đồng biến trên 1;2 . Câu 16.. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ. Xét hàm số g x f x 2 2 . Mệnh đề nào dưới đây sai?. A. Hàm số g x nghịch biến trên 0;2 .. B. Hàm số g x đồng biến trên 2; .. C. Hàm số g x nghịch biến trên 1;0 .. D. Hàm số g x nghịch biến trên ; 2 .. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(112)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Chọn C Ta có g x x 2 2 . f x 2 2 2 x. f x 2 2 .. x 0 2 f x 2 0 2 Hàm số nghịch biến khi g x 0 x. f x 2 0 x 0 2 f x 2 0 Từ đồ thị hình của hàm số y f x như hình vẽ, ta thấy. f x 0 x 2 và f x 0 x 2 . x 0 x 0 x 0 x 0 2 2 + Với x 2 x 2 . 2 f x 2 0 x 2 2 x 4 x 2 . x 0 x 0 x 0 2 2 0 x2. + Với 2 f x 2 0 x 2 2 x 4 Như vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 2 , 0;2 ; suy ra hàm số đồng biến trên. 2;0 và 2; . Do 1;0 2;0 nên hàm số đồng biến trên 1;0 . Vậy C sai. Câu 17.. (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số y f x . Biết rằng hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới.. Hàm số y f 3 x 2 đồng biến trên khoảng A. 0;1 .. B. 1;0 .. C. 2;3 .. D. 2; 1 .. Lời giải Chọn B Cách 1: Đặt y g x f 3 x 2 . Ta có: g x 2 x. f 3 x 2 .. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(113)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 0 x 0 2 x 0 3 x 6 x 3 . g x 0 2 x. f 3 x 2 0 2 3 x 2 1 x 2 f 3 x 0 3 x 2 2 x 1 Bảng xét dấu của g x : x. g x . 3. . . 2. . 0. 1. . 0. 0. 0. . 0. 1. . 0. 2. . 0. . 3. . 0. . Suy ra hàm số y f 3 x 2 đồng biến trên mỗi khoảng: 3; 2 , 1;0 , 1; 2 , 3; . Vậy hàm số y f 3 x 2 đồng biến trên khoảng 1;0 . Cách 2: Dựa vào đồ thị của y f x ta chọn y f x x 6 x 1 x 2 . Đặt y g x f 3 x 2 . Ta có: g x 2 x. f 3 x 2 2 x 9 x 2 4 x 2 1 x 2 . x 0 x 3 . g x 0 x 2 x 1 Bảng xét dấu của g x : x. g x . 3. . . 0. 2. . 1. . 0. 0. 0. . 0. 1. . 0. 2. . 0. . 3. . 0. . Suy ra hàm số y f 3 x 2 đồng biến trên mỗi khoảng: 3; 2 , 1;0 , 1; 2 , 3; . Vậy hàm số y f 3 x 2 đồng biến trên khoảng 1;0 . Câu 18.. (Sở Ninh Bình) Cho hàm số bậc bốn y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y f ' x . . . như hình vẽ. Hàm số y f x2 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?. A. 2;3 .. B. 3; 2 .. C. 1;1 .. D. 1;0 .. Lời giải Chọn B. . . Đặt g x f x 2 2 , hàm số có đạo hàm trên . Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(114)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. g x 2 xf x 2 2 , kết hợp với đồ thị hàm số y f x ta được: x 0 x 0 2 x 0 x 2 2 g x 0 2 x 3 . 2 x 22 f x 2 0 x 3 2 x 2 5 2 x 2 Từ đồ thị đã cho ta có f x 0 x 5 x 3 2 x 2 2 2 4 x 2 0 Suy ra f x 2 2 0 2 2 . x 2 5 x 3 x 3 . 2 x 2 2 5 2 f x 2 0 0 x2 3 3 x 3 . Và lập luận tương tự 2 x 2 2. . . Bảng biến thiên ( Dấu của g x phụ thuộc vào dấu của 2 x và f x2 2 trên từng khoảng). . . . Dựa vào bảng biến thiên hàm số nghịch biền trên ; 3 và 0; 3 chọn đáp án. Câu 19.. (Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y f x có đồ thị hàm đạo hàm y f x như hình vẽ. Hàm số g x f 2019 2020 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?. A. 1;0 .. B. ; 1 .. C. 0;1 .. D. 1; .. Lời giải Chọn D Ta có g x 2019 2020 x f 2019 2020 x 2020 f 2019 2020 x ,. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(115)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 2019 2020 x 1 x 1009 2019 2020 x 1 1010 f 2019 2020 x 0 2017 2019 2020 x 2 x 2020 2019 2020 x 4 403 x 404 Bảng biến thiên. 2017 1009 ; Dựa vào bảng biến thiên, hàm số g x đồng biến trên từng khoảng , 1; . 2020 1010 Câu 20.. (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho hàm số y f x . Biết đồ thị hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g x f 2 x 3x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?. 1 1 A. ; . 3 2. 1 B. ; . 2 . 1 C. ; . 3 Lời giải. 1 D. 2; . 2 . Chọn C Cách 1. Ta có g x 2 6 x . f 2 x 3x 2 . 2 6 x 0 1 g x 0 2 6 x . f 2 x 3x 0 2 x 3x 2 1 x 3 2 x 3x 2 2 Bảng xét dấu của g x 2. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(116)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 Từ bảng trên ta có hàm số g x f 2 x 3x 2 đồng biến trên khoảng ; 3 Cách 2: g x 2 6 x . f 2 x 3x 2 Để hàm số g x f 2 x 3 x 2 đồng biến thì. 2 6 x 0 2 6 x 0 g x 0 2 6 x . f 2 x 3x 2 0 2 2 f 2 x 3x 0 f 2 x 3x 0 1 x 2 6 x 0 3 1 x Trường hợp 1. 2 2 2 x 3x 1 3 f 2 x 3x 0 2 2 x 3x 2 1 2 6 x 0 x Trường hợp 2. hệ vô nghiệm 3 2 x 3 x 2 0 f 2 1 2 x 3x 2 . 1 Vậy hàm số g x f 2 x 3x 2 đồng biến trên khoảng ; 3 Câu 21. 1: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị f '( x ) như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f ( x 2 x ) ?. A. 10 .. B. 11 .. C. 12 .. D. 13 .. Lời giải Chọn B. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(117)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 Ta có y ' (2 x 1) f '( x x) ; x x m có nghiệm khi và chỉ khi m . 4 2. 2. Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm f '( x ) cắt trục hoành tại 5 điểm trong đó 1 điểm có hoành độ nhỏ hơn . 1 và có một tiệm cận. 4. 1 và 1 điểm không xác định thì y ' 0 có 4 hai nghiệm. Từ đây dễ dàng suy ra hàm y f ( x 2 x) có 11 cực trị.. Khi đó ứng với mỗi giao điểm có hoành độ lớn hơn . Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x) Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x . f u x v x . Bước 2: Sử dụng đồ thị của f x , lập bảng xét dấu của g x . Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x . f u x v x . Bước 2: Hàm số g x đồng biến g x 0 ; (Hàm số g x nghịch biến g x 0 ) (*) Bước 3: Giải bất phương trình * (dựa vào đồ thị hàm số y f x ) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 3: (Trắc nghiệm) Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x . f u x v x . Bước 3: Hàm số g x đồng biến trên K g x 0, x K ; (Hàm số g x nghịch biến trên K g x 0, x K ) (*). Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào g x để loại các phương án sai. Câu 1.. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau. x f x. . . 1 0. . 2 0. . 3 0. . 4 0. . . Hàm số y 3 f x 2 x3 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 1 .. B. 1;0 .. C. 0; 2 .. D. 1; .. Lời giải Chọn B Ta có: y 3 f x 2 x 2 3 Với x 1;0 x 2 1; 2 f x 2 0 , lại có x 2 3 0 y 0; x 1;0 Vậy hàm số y 3 f x 2 x3 3x đồng biến trên khoảng 1;0 . Chú ý: +) Ta xét x 1; 2 1; x 2 3; 4 f x 2 0; x 2 3 0 Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2 nên loại hai phương án A, D. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(118)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. +) Tương tự ta xét x ; 2 x 2 ;0 f x 2 0; x 2 3 0 y 0; x ; 2 Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 nên loại hai phương án B. Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số f x . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình bên. Hàm số g x f 1 2 x x 2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? y 1 –2. 4. O. x. –2. 3 A. 1; . 2. 1 B. 0; . 2. C. 2; 1 .. D. 2;3 .. Lời giải Chọn A Ta có : g x f 1 2 x x 2 x g ' x 2 f ' 1 2 x 2 x 1 Đặt t 1 2 x g x 2 f t t. t 2 x Vẽ đường thẳng y và đồ thị hàm số f ' x trên cùng một hệ trục 2 g ' x 0 f 't . 2 t 0 t Hàm số g x nghịch biến g ' x 0 f ' t 2 t 4 3 1 x 2 1 2 x 0 1 2x 2. Như vậy f 1 2 x 2 2 4 1 2 x x3 2. 3 1 3 Vậy hàm số g x f 1 2 x x 2 x nghịch biến trên các khoảng ; và ; . 2 2 2 3 1 3 3 Mà 1; ; nên hàm số g x f 1 2 x x 2 x nghịch biến trên khoảng 1; 2 2 2 2 Câu 3.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(119)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số y f x 1 x3 12 x 2019 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; .. B. 1;2 .. C. ;1 .. D. 3; 4 .. Lời giải Ta có y f x 1 3 x 12 f t 3t 2 6t 9 f t 3t 2 6t 9 , với t x 1 2. Nghiệm của phương trình y 0 là hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số. y f t ; y 3t 2 6t 9 . Vẽ đồ thị của các hàm số y f t ; y 3t 2 6t 9 trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:. Dựa vào đồ thị trên, ta có BXD của hàm số y f t 3t 2 6t 9 như sau: t0 1. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng t t0 ;1 . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng. x 1; 2 t0 1;1 . Câu 4.. (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau:. Hàm số y 2 f 1 x x 2 1 x nghịch biến trên những khoảng nào dưới đây A. ; 2 .. B. ;1 .. C. 2;0 .. D. 3; 2 .. Lời giải.. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(120)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x. y 2 f 1 x . 1 .. 2. x 1. x. 1 0 , x 2; 0 . x2 1 Bảng xét dấu: Có. 2 f 1 x 0, x 2; 0 . 2 f 1 x Câu 5.. x 2. x 1. 1 0, x 2; 0 .. (Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số bậc bốn y f ( x ) có đồ thị của hàm số y f ( x) như hình vẽ bên.. Hàm số y 3 f ( x) x3 6 x 2 9 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 0; 2 .. B. 1;1 .. C. 1; .. D. 2; 0 .. Lời giải Hàm số f ( x) ax bx cx dx e, (a 0) ; f ( x) 4ax 3 3bx 2 2cx d . Đồ thị hàm số y f ( x ) đi qua các điểm ( 4;0), (2;0), (0; 3), (2;1) nên ta có: 4. 3. 2. 5 a 96 256a 48b 8c d 0 32a 12b 4c d 0 b 7 24 d 3 7 32a 12b 4c d 1 c 24 d 3. 15 55 5 Do đó hàm số y 3 f ( x) x 3 6 x 2 9 x; y 3 f ( x) x 2 4 x 3 3 x 3 x 2 x 8 12 24. x 11 y 0 x 0 . Hàm số đồng biến trên các khoảng (11;0) và 2; . x 2. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(121)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 6.. (Học Mãi 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y f x như hình bên. Hỏi đồ thị hàm số y f x 2 x có bao nhiêu điểm cực trị?. y 2 x O. 2 2. A. 4 .. C. 2 .. B. 3 .. D. 1.. Lời giải Chọn B Đặt g x f x 2 x .. g x f x 2 . Vẽ đường thẳng y 2 .. y y2. 2. x O. 2 2. phương trình g x 0 có 3 nghiệm bội lẻ. đồ thị hàm số y f x 2 x có 3 điểm cực trị. Câu 7.. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g x f x 1 . 2019 2018 x đồng biến trên khoảng 2018. nào dưới đây?. A. 2 ; 3 .. B. 0 ; 1 .. C. -1 ; 0 .. D. 1 ; 2 .. Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(122)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Ta có g x f x 1 1 . x 1 1 x 0 . g x 0 f x 1 1 0 f x 1 1 x 1 2 x 3 2019 2018 x Từ đó suy ra hàm số g x f x 1 đồng biến trên khoảng -1 ; 0 . 2018 Câu 8.. (Sở Ninh Bình 2019) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau. Hàm số y 2 f x 2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. 4; 2 .. B. 1; 2 .. C. 2; 1 .. D. 2; 4 .. Lời giải Xét y g x 2 f x 2019 . x 2 x 1 Ta có g x 2 f x 2019 2 f x , g x 0 . x 2 x 4 Dựa vào bảng xét dấu của f x , ta có bảng xét dấu của g x :. Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 1; 2 . Câu 9.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x . Biết đồ thị hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y f 3 x 2 2018 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?. A. 1; 0. B. 2; 3. C. 2; 1. D. 0; 1. Lời giải Chọn A Ta có f 3 x 2 2018 2 x. f 3 x 2 . x 0 x 0 2 3 x 6 x 3 2 2 x. f 3 x 0 . 2 x 2 3 x 1 x 1 3 x 2 2 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(123)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Bảng xét dấu của đạo hàm hàm số đã cho. Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên 1; 0 . x f 3 x 2 2 xf 3 x 2 . Câu 10.. 3. . 2. 1. 0. 1. . 0. . 0. . 0. . 0. . . 0. . 0. . 0. . 0. 0. 0. . . 3. 2. 0. . 0. 0. 0. . (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số đa thức f x có đạo hàm trên . Biết. f 0 0 và đồ thị hàm số y f x như hình sau.. Hàm số g x 4 f x x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 4; .. B. 0; 4 .. C. ; 2 .. D. 2 ; 0 .. Lời giải Chọn B Xét hàm số h x 4 f x x 2 trên . Vì f x là hàm số đa thức nên h x cũng là hàm số đa thức và h 0 4 f 0 0 . 1 Ta có h x 4 f x 2 x . Do đó h x 0 f x x . 2. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(124)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y x , ta có 2 h x 0 x 2;0; 4. Suy ra bảng biến thiên của hàm số h x như sau:. Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số g x h x như sau:. Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số g x đồng biến trên khoảng 0; 4 . Câu 11.. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số f ( x) liên tục trên có đồ thị hàm số y f ( x ) cho như hình vẽ. Hàm số g ( x ) 2 f x 1 x 2 2 x 2020 đồng biến trên khoảng nào? A. (0;1) .. B. (3;1) .. C. (1;3) .. D. (2;0) .. Lời giải Chọn A Ta có đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số y f ( x ) tại các điểm x 1; x 1; x 3 như hình vẽ sau:. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(125)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 1 x 1 Dựa vào đồ thị của hai hàm số trên ta có f ( x ) x và f ( x ) x . 1 x 3 x 3 + Trường hợp 1: x 1 0 x 1 , khi đó ta có g ( x) 2 f 1 x x 2 2 x 2020 . Ta có g ( x) 2 f 1 x 2(1 x) . 1 1 x 1 0 x 2 g ( x) 0 2 f 1 x 2(1 x) 0 f 1 x 1 x . 1 x 3 x 2 0 x 1 Kết hợp điều kiện ta có g ( x) 0 . x 2 + Trường hợp 2: x 1 0 x 1 , khi đó ta có g ( x) 2 f x 1 x 2 2 x 2020 .. g ( x) 2 f x 1 2( x 1) x 1 1 x 0 g ( x) 0 2 f x 1 2( x 1) 0 f x 1 x 1 . 1 x 1 3 2 x 4 Kết hợp điều kiện ta có g ( x ) 0 2 x 4 . Vậy hàm số g ( x ) 2 f x 1 x 2 2 x 2020 đồng biến trên khoảng (0;1) . Câu 12.. (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số. g x f 3 x 1 9 x 3 . A. 1;1 .. f x có đồ thị như hình bên. Hàm số. 9 2 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 2. B. 2;0 .. C. ;0 .. D. 1; .. Lời giải Chọn D. 9 2 x g x 3 f 3 x 1 27 x 2 9 x 2 Hàm số đồng biến tương đương g x 0 3 f 3 x 1 27 x 2 9 x 0 Xét hàm số g x f 3 x 1 9 x 3 . f 3 x 1 3 x 3 x 1 0 * . Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(126)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Đặt t 3 x 1 * f t t 1 t 0 f t t 2 t Vẽ parabol y x 2 x và đồ thị hàm số f x trên cùng một hệ trục. 2 3 x0 1 t 1 1 3 x 1 1 2 Dựa vào đồ thị ta thấy f t t t . t 2 3 x 1 2 x 3 Câu 13.. (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. . . Hàm số g x f e x 2 2020 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?. 3 A. 1; . 2. B. 1; 2 .. C. 0; .. 3 D. ; 2 . 2 . Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị hàm số y f x suy ra f x 0 x 3 và f x 0 x 3 .. g x e x f ex 2 .. f e. 2 0 f e. Hàm số g x f e x 2 2020 nghịch biến nếu g x 0 ex. x. x. 2 0 e x 2 3 e x 5 x ln 5 .. 3 Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên 1; . 2 Câu 14.. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số f x có đồ thị hàm số f x như hình vẽ.. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(127)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số y f cos x x 2 x đồng biến trên khoảng A. 2;1 .. B. 0;1 .. C. 1; 2 .. D. 1;0 .. Lời giải Chọn C Đặt hàm g x f cos x x 2 x . Ta có: g x sin x. f cos x 2 x 1 . Vì cos x 1;1 nên từ đồ thị f x ta suy ra f cos x 1;1 . Do đó sin x. f cos x 1 , x . Ta suy ra g x sin x. f cos x 2 x 1 1 2 x 1 2 x 2 g x 0, x 1 . Vậy hàm số đồng biến trên 1; 2 .. Câu 15.. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. y 3 x. -4 3. O. -4 9 Hàm số g ( x) f 3 x 2 1 x 4 3 x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây. 2. 2 3 3 A. ; . 3 3 . 2 3 B. 0; . 3 . C. 1; 2 .. 3 3 D. . 3 ; 3 . Lời giải Chọn A TXĐ: D Ta có: g x 6 xf 3 x 2 1 18 x 3 6 x 6 x f 3 x 2 1 3 x 2 1 Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(128)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 0 x 0 2 x 0 3 x 1 4 (VN ) 3 g x 0 x 2 2 2 3 3x 1 0 f 3 x 1 3 x 1 2 2 3 3 x 1 3 x 3 Bảng xét dấu:. 2 3 3 Vậy hàm số đồng biến trong khoảng ; . 3 3 . Câu 16.. (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau. 2 Hàm số y f 2 x 1 x3 8x 5 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3 A. ; 2 .. B. 1; .. 1 D. 1; . 2 . C. 1; 7 . Lời giải. Chọn D Ta có y 2 f 2 x 1 2 x 2 8 . Xét y 0 2 f 2 x 1 2 x 2 8 0 f 2 x 1 4 x 2 Đặt t 2 x 1 , ta có f t Vì. t 2 2t 15 4. t 2 2t 15 0, t 3;5 . Mà f (t ) 0, t 3; 2 . 4. t 2 2t 15 t 3; 2 . 4 1 Suy ra 3 2 x 1 2 2 x . Vậy chọn phương án 2 Nên f t . Câu 17.. D.. (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Cho hàm số y f ( x) liên tục trên có đồ thị hàm số y f ( x) cho như hình vẽ.. Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(129)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số g ( x) 2 f x 1 x 2 2 x 2020 đồng biến trên khoảng nào? A. 0; 1 .. B. 3; 1 .. C. 1; 3 .. D. 2; 0 .. Lời giải Chọn A 2. +Với x 1 , ta có g x 2 f x 1 x 1 2021 g x 2 f x 1 2 x 1 . Hàm số đồng biến 2 f x 1 2 x 1 0 f x 1 x 1. * .. 1 t 3 2 x 4 Đặt t x 1 , khi đó * f t t . t 1 x 0 (loai ) 2. +Với x 1, ta có g x 2 f 1 x 1 x 2021 g x 2 f 1 x 2 1 x Hàm số đồng biến 2 f 1 x 2 1 x 0 f 1 x 1 x. ** .. 1 t 1 0 x 2 0 x 1 Đặt t 1 x , khi đó ** f t t . t 3 x 2 x 2 Vậy hàm số g x đồng biến trên các khoảng ; 2 , 0;1 , 2;4 . Câu 18.. (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số f x như hình vẽ. Hàm số g x f 1 e x 2020 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0; .. 1 B. ;1 . 2 . 1 C. 0; . 2 Lời giải. D. 1;1 .. Chọn C g x e x f 1 e x Do e x 0, x nên g x 0 f 1 e x 0 1 e x 3 x ln 2 , dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm. Nên g x nghịch biến trên ;ln 2 . So với các đáp án thì chỉ có C thỏa mãn.. Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(130)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 19.. (THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.. Hàm số y 2 f x 2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. 2;4 .. B. 4;2 .. C. 2; 1 .. D. 1;2 .. Lời giải Chọn D Ta có y ' 2 f ' x x 2 x 1 y ' 0 2 f ' x 0 x 2 x 4 Từ bảng xét dấu của f ' x ta có. Từ bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 , 1;2 và 4; Câu 20.. (THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f x xác định và liên tục trên và có đạo hàm. f x thỏa mãn. f x 1 x x 2 g x 2019 với g x 0 , x . Hàm số. y f 1 x 2019 x 2020 nghịch biến trên khoảng nào? A. 1; .. B. 0;3 .. C. ;3 .. D. 3; .. Lời giải Chọn D Đặt h x f 1 x 2019 x 2020 . Vì hàm số f x xác định trên nên hàm số h x cũng xác định trên . Ta có h x f 1 x 2019 . Do h x 0 tại hữu hạn điểm nên để tìm khoảng nghịch biến của hàm số h x , ta tìm các giá trị của x sao cho h x 0 f 1 x 2019 0 f 1 x 2019 0 x 0 x 3 x g 1 x 0 x 3 x 0 (Do g x 0 , x ) . x 3 Vậy hàm số y f 1 x 2019 x 2020 nghịch biến trên các khoảng ;0 và 3; . Câu 21. Cho hàm số y f x xác định trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:. Biết f x 2, x . Xét hàm số g x f 3 2 f x x3 3x 2 2020 . Khẳng định nào sau đây đúng? Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(131)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 2; 1 . B. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0;1 . C. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 3; 4 . D. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 2;3 . Lời giải Chọn D Ta có: g ' x 2 f ' x f ' 3 2 f x 3x 2 6 x . Vì f x 2, x nên 3 2 f x 1 x Từ bảng xét dấu f ' x suy ra f ' 3 2 f x 0, x Từ đó ta có bảng xét dấu sau:. Từ bảng xét dấu trên, loại trừ đáp án suy ra hàm số g x nghịch biến trên khoảng 2;3 . Câu 22. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. 3. 2. Hàm số y f x 3. f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; 2 .. B. 3 ; 4 .. C. ; 1 .. D. 2 ; 3 .. Lời giải Chọn D 2. Ta có y 3. f x . f x 6. f x . f x . = 3f x . f x . f x 2 f x 0 x x1 , 4 | x1 1 y 0 f x 2 x x2 , x3 ,3, x4 | x1 x2 1 x3 2; 4 x4 f ' x 0 x 1, 2,3, 4 Lập bảng xét dấu ta có. Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(132)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Do đó ta có hàm số nghịch biến trên khoảng 2 ; 3 . Câu 23. Cho hàm số y f x có đồ thị nằm trên trục hoành và có đạo hàm trên , bảng xét dấu của biểu thức f x như bảng dưới đây.. Hàm số y g x . f x2 2 x f x2 2x 1. nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?. 5 B. 2; . 2 . A. ;1 .. C. 1; 3 .. D. 2; .. Lời giải Chọn C g x . x. 2. 2 x . f x 2 2 x . f x. 2. . 2x 1. 2. . 2 x 2 0 g x 0 f x2 2 x 0 . 2 x 2 . f x2 2 x . f x. 2. . 2x 1. x 1 x 2 2 x 2 x 2 2 x 1 x2 2 x 3 . 2. .. x 1 x 1 x 3. Ta có bảng xét dấu của g x :. Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số y g x nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1;3 . Dạng 3. Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác Câu 1.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên . Biết hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m 5;5 để hàm số g x f x m nghịch biến trên khoảng 1;2 . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?. A. 4 .. B. 3 .. C. 6 . Lời giải. D. 5 .. Ta có g x f x m . Vì y f x liên tục trên nên g x f x m cũng liên tục trên. . Căn cứ vào đồ thị hàm số y f x ta thấy. x m 1 x 1 m g x 0 f x m 0 . 1 x m 3 1 m x 3 m Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(133)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số g x f x m nghịch biến trên khoảng 1;2. 2 1 m m 3 3 m 2 . 0 m 1 1 m 1 Mà m là số nguyên thuộc đoạn 5;5 nên ta có S 5; 4; 3;0;1 . Vậy S có 5 phần tử. Câu 2.. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và bảnng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau:. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y f x 3 4 x m nghịch biến trên khoảng 1;1 ? A. 3 .. B. 0 .. C. 1. Lời giải. D. 2 .. Chọn C Đặt t x 3 4 x m t 3 x 2 4 nên t đồng biến trên 1;1 và t m 5; m 5 Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để hàm số f t nghịch biến trên khoảng m 5; m 5 . m 5 2 m 3 Dựa vào bảng biến thiên ta được m3 m 5 8 m 3 Câu 3.. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hàm số f x có đạo hàm trên và f 1 1 . Đồ thị hàm số. y f x như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số. y 4 f sin x cos 2 x a nghịch biến trên 0; ? 2. A. 2 .. B. 3 .. C. Vô số. Lời giải. D. 5 .. Chọn B 2. Đặt g x 4 f sin x cos 2 x a g x 4 f sin x cos 2 x a .. 4cos x. f sin x 2sin 2 x 4 f sin x cos 2 x a g x . 2 4 f sin x cos 2 x a Ta có 4 cos x. f sin x 2 sin 2 x 4 cos x f sin x sin x . Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(134)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Với x 0; thì cos x 0,sin x 0;1 f sin x sin x 0 . 2 Hàm số g x nghịch biến trên 0; khi 4 f sin x cos 2 x a 0, x 0; 2 2 4 f sin x 1 2sin 2 x a, x 0; . 2 Đặt t sin x được 4 f t 1 2t 2 a, t 0;1 (*). Xét h t 4 f t 1 2t 2 h t 4 f t 4t 4 f t 1 . Với t 0;1 thì h t 0 h t nghịch biến trên 0;1 . Do đó (*) a h 1 4 f 1 1 2.12 3 . Vậy có 3 giá trị nguyên dương của a thỏa mãn. Câu 4.. (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị. 1 2 x m 1 2019 , với m là tham số thực. Gọi 2 S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y g x đồng biến trên khoảng 5;6 . y f x như hình vẽ. Đặt g x f x m . Tổng tất cả các phần tử trong S bằng. A. 4 .. B. 11 .. C. 14 . Lời giải. D. 20 .. Chọn C Xét hàm số g x f x m . 1 2 x m 1 2019 2. g x f x m x m 1. Xét phương trình g x 0 1 Đặt x m t , phương trình 1 trở thành f t t 1 0 f t t 1 2 Nghiệm của phương trình 2 là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y f t và y t 1 Ta có đồ thị các hàm số y f t và y t 1 như sau:. Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(135)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. t 1 x m 1 Căn cứ đồ thị các hàm số ta có phương trình 2 có nghiệm là: t 1 x m 1 t 3 x m 3. Ta có bảng biến thiên của y g x . m 1 5 5 m 6 Để hàm số y g x đồng biến trên khoảng 5;6 cần m 1 6 m 2 m 3 5 Vì m * m nhận các giá trị 1;2;5;6 S 14 .. Câu 5.. (Sở Hà Nội - Lần 2 - 2020) Cho hàm số y ax4 bx3 cx2 dx e, a 0 . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng 6; 6 của tham số m để hàm số g x f 3 2 x m x 2 m 3 x 2m2 nghịch biến trên 0;1 . Khi đó, tổng giá trị các. phần tử của S là A. 12.. B. 9.. C. 6. Lời giải. D. 15.. Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(136)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn B g ' x 2 f ' 3 2 x m 2 x m 3 .. Xét. Xét. phương. trình. g ' x 0 ,. đặt. t 2 t t 3 2x m thì phương trình trở thành 2. f ' t 0 t 4 . 2 t 0 . 5m m3 1 m , x2 , x3 . Lập bảng xét dấu, đồng thời lưu ý 2 2 2 nếu x x1 thì t t1 nên f x 0 . Và các dấu đan xen nhau do các nghiệm đều làm đổi dấu. . Từ đó, g ' x 0 x1 . đạo hàm nên suy ra g ' x 0 x x2 ; x1 ; x3 . Vì. hàm. số. nghịch. biến. trên. 0;1. nên. g ' x 0, x 0;1. từ. đó. suy. ra. 3 m 5m 2 01 2 và giải ra các giá trị nguyên thuộc 6; 6 của m là -3; 3; 4; 5. Từ đó 1 1 m 2 chọn câu B. Câu 6.. (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 2 - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị y f x như hình vẽ bên. Đặt g x f x m . 2 1 x m 1 2019 , 2. với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y g x đồng biến trên khoảng 5; 6 . Tổng tất cả các phần tử trong S bằng:. A. 4 .. B. 11 .. C. 14 . Lời giải. D. 20 .. Chọn C Ta có g x f x m x m 1 Cho g x 0 f x m x m 1 Đặt x m t f ' t t 1 Khi đó nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f t và và đường thẳng y t 1. Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(137)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. t 1 Dựa vào đồ thị hàm số ta có được f t t 1 t 1 t 3 Bảng xét dấu của g t . Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số g t đồng biến trên khoảng 1; 1 và 3; 1 t 1 1 x m 1 m 1 x m 1 Hay t 3 x m 3 x m 3 m 1 5 6 m 1 5 m 6 Để hàm số g x đồng biến trên khoảng 5; 6 thì m 3 5 6 m 2. Vì m là các số nguyên dương nên S 1; 2; 5; 6 Vậy tổng tất cả các phần tử của S là: 1 2 5 6 14 . Câu 7.. Cho hàm số y f x liên tục có đạo hàm trên . Biết hàm số f ' x có đồ thị cho như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc 2019; 2019 để hàm só g x f 2019 x mx 2 đồng biến trên 0;1. A. 2028 .. B. 2019 .. C. 2011 . Lời giải. D. 2020. Chọn D Ta có g ' x 2019 x ln 2019. f ' 2019 x m . Ta lại có hàm số y 2019 x đồng biến trên 0;1 . Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(138)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Với x 0;1 thì 2019 x 1; 2019 mà hàm y f ' x đồng biến trên 1; nên hàm. y f ' 2019 x đồng biến trên 0;1 Mà 2019 x 1; f ' 2019 x 0 x 0;1 nên hàm h x 2019 x ln 2019. f ' 2019 x đồng biến trên. 0;1 Hay h x h 0 0, x 0;1 Do vậy hàm số g x đồng biến trên đoạn 0;1 g ' x 0, x 0;1. m 2019 x ln 2019. f ' 2019 x , x 0;1 m min h x h 0 0 x 0;1. Vì m nguyên và m 2019;2019 có 2020 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 8.. Cho hàm số y f ( x ). f ( x ) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên. có đồ thị. 1 m 2020; 2020 để hàm số g x f 2 x 3 ln 1 x 2 2mx đồng biến trên ; 2 ? 2 . A. 2020 .. B. 2019 .. C. 2021 . Lời giải. D. 2018 .. Chọn B + Ta có g x 2 f 2 x 3 . 2x 2m . 1 x2. 1 khi và chỉ khi ;2 2 x x 1 g x 0, x 1; 2 m f 2 x 3 , x ; 2 m min f 2 x 3 2 1 1 x 2 1 x 2 x ;2 . Hàm. số. g x. đồng. biến. trên. 2 . 1 1 + Đặt t 2 x 3 , khi đó x ; 2 t 2;1 . 2 Từ đồ thị hàm f x suy ra f t 0, t 2;1 và f t 0 khi t 1 . 1 Tức là f 2 x 3 0, x ; 2 min f 2 x 3 0 khi x 1 . 2 1 2 x ;2 2 . . Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(139)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x + Xét hàm số h x trên khoảng 1 x2. x2 1 1 . Ta có h x và ; 2 2 2 1 x2 . h x 0 x 2 1 0 x 1 . 1 Bảng biến thiên của hàm số h x trên ; 2 như sau: 2 . Từ bảng biến thiên suy ra h x . 1 1 min h x khi x 1 . 3 1 2 2 x ;2 2 . 1 Từ 1 , 2 và 3 suy ra m . 2. Kết hợp với m , m 2020; 2020 thì m 2019; 2018;....; 2; 1 . Vậy có tất cả 2019 giá trị m cần tìm. Câu 9.. Cho hàm số f x liên tục trên và có đạo hàm f x x 2 x 2 x 2 6 x m với mọi x . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 2020; 2020 để hàm số g x f 1 x nghịch biến trên khoảng ; 1 ? B. 2014 .. A. 2016 .. C. 2012 . Lời giải. D. 2010 .. Chọn C 2. 2. Ta có: g x f 1 x 1 x x 1 1 x 6 1 x m . x 1 x 1 x 2 4 x m 5 2. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng ; 1. g x 0, x 1 * , (dấu " " xảy ra tại hữu hạn điểm). Với x 1 thì x 1 0 và x 1 0 nên * x 2 4 x m 5 0, x 1 2. m x 2 4 x 5, x 1 . Xét hàm số y x 2 4 x 5 trên khoảng ; 1 , ta có bảng biến thiên:. Từ bảng biến thiên suy ra m 9 . Kết hợp với m thuộc đoạn 2020; 2020 và m nguyên nên m 9;10;11;...; 2020 . Facebook Nguyễn Vương 37.
<span class='text_page_counter'>(140)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vậy có 2012 số nguyên m thỏa mãn đề bài. Câu 10. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên R . Hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.. 1 2 2m x 2020 , với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các 2 giá trị nguyên dương của m để hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 3; 4 . Hỏi số phần tử Xét hàm số g x f x 2m . của S bằng bao nhiêu? A. 4 . B. 2 .. C. 3 . Lời giải. D. Vô số.. Chọn B Ta có g ' x f ' x 2m 2m x . Đặt h x f ' x x . Từ đồ thị hàm số y f ' x và đồ thị hàm số y x trên hình vẽ suy 3 x 1 ra: h x 0 f ' x x . x 3. 3 x 2 m 1 2 m 3 x 2 m 1 Ta có g ' x h x 2m 0 . x 2m 3 x 2m 3 Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(141)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Suy ra hàm số y g x nghịch biến trên các khoảng 2m 3;2m 1 và 2m 3; .. 2m 3 3 3 m3 Do đó hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 3; 4 2m 1 4 2 . 2m 3 3 m 0 Mặt khác, do m nguyên dương nên m 2;3 S 2;3 . Vậy số phần tử của S bằng 2. Từ đó chọn đáp án B. Câu 11. Cho hàm số f x có đạo hàm trên là f x x 1 x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10; 20 để hàm số y f x 2 3x m đồng biến trên khoảng 0; 2 ? A. 18 .. B. 17 .. C. 16 .. D. 20 .. Lời giải Chọn A Ta có y f x 2 3x m 2 x 3 f x 2 3x m . Theo đề bài ta có: f x x 1 x 3 x 3 suy ra f x 0 và f x 0 3 x 1 . x 1 Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 khi y 0, x 0; 2 . 2 x 3 f x 2 3x m 0, x 0; 2 . Do x 0; 2 nên 2 x 3 0, x 0; 2 . Do đó, ta có: x 2 3 x m 3 m x 2 3x 3 y 0, x 0; 2 f x 2 3 x m 0 2 2 x 3x m 1 m x 3x 1. m max x 2 3 x 3 m 13 0;2 . m min x 2 3 x 1 m 1 0;2 Do m 10;20 , m nên có 18 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu đề bài. 2. 3. Câu 12. Cho các hàm số f x x3 4 x m và g x x 2 2018 x 2 2019 x 2 2020 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2020; 2020 để hàm số g f x đồng biến trên 2; ? A. 2005 .. B. 2037 .. C. 4016 . Lời giải. D. 4041 .. Chọn B Ta có f x x3 4 x m , 2. 3. g x x 2 2018 x 2 2019 x 2 2020 a12 x12 a10 x10 ... a2 x 2 a0 . Suy ra f x 3x 2 4 , g x 12a12 x11 10a10 x9 ... 2a2 x . 11 9 Và g f x f x 12a12 f x 10a10 f x ... 2a2 f x . . 10. 8. . f x f x 12a12 f x 10a10 f x ... 2a2 .. Dễ thấy a12 ; a10 ;...; a2 ; a0 0 và f x 3 x 2 4 0 , x 2 . Facebook Nguyễn Vương 39.
<span class='text_page_counter'>(142)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. . 10. . 8. Do đó f x 12a12 f x 10a10 f x ... 2a2 0 , x 2 .. Hàm số g f x đồng biến trên 2; khi g f x 0 , x 2 f x 0 , x 2 .. x 3 4 x m 0 , x 3 m x 3 4 x , x 2 m max x3 4 x 16 . 2; . Vì m 2020;2020 và m nên có 2037 giá trị thỏa mãn m . 2. Câu 13. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 1 x 2 2mx 1 với mọi x . Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x f 2 x 1 đồng biến trên khoảng 3;5 ? A. 3. B. 2. C. 4 Lời giải. D. 6. Chọn A Ta có: g x 2 f '(2 x 1) 2(2 x 1)(2 x 2) 2 [(2 x 1)2 2m(2 x 1) 1] Đặt t 2 x 1 Để hàm số g x đồng biến trên khoảng 3;5 khi và chỉ khi g x 0, x 3;5 t (t 2 2mt 1) 0, t 7;11 t 2 2mt 1 0, t 7;11 2m Xét hàm số h(t ) . t 2 1 , t 7;11 t. t 2 1 t 2 1 trên 7;11 , có h '(t ) t t2. BBT:. t 2 1 50 , t 7;11 2m max h t m 7;11 t 14 Vì m m { 3; 2; 1} . Dựa vào BBT ta có 2m . Câu 14. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Có bao nhiêu số nguyên m 2019 để hàm số g x f x 2 2 x m đồng biến trên khoảng. 1; ? A. 2016.. B. 2015.. C. 2017. Lời giải. D. 2018.. Chọn A Ta có g x x 2 2 x m f x 2 2 x m 2 x 1 f x 2 2 x m . Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(143)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số y g x đồng biến trên khoảng 1; khi và chỉ khi g x 0, x 1; và g x 0 tại hữu hạn điểm 2 x 1 f x 2 2 x m 0, x 1; . x 2 2 x m 2, x 1; f x 2 2 x m 0, x 1; 2 x 2 x m 0, x 1; Xét hàm số y x 2 2 x m , ta có bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên ta có TH1: x 2 2 x m 2, x 1; m 1 2 m 3 . TH2: x 2 2 x m 0, x 1; : Không có giá trị m thỏa mãn. Vậy có 2016 số nguyên m 2019 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm số f x trên . Biết rằng hàm số y f x 2 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số f x đồng biến trên khoảng nào?. A. ;3 , 5; .. B. ; 1 , 1; . C. 1;1 .. D. 3; 5 .. Lời giải. Chọn B Hàm số y f x 2 2 có đồ thị C như sau:. Dựa vào đồ thị C ta có: f x 2 2 2, x ;1 3; f x 2 0, x ;1 3; .. Đặt x* x 2 suy ra: f x * 0, x* ; 1 1; . Facebook Nguyễn Vương 41.
<span class='text_page_counter'>(144)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vậy: Hàm số f x đồng biến trên khoảng ; 1 , 1; . Câu 16. Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm số f x trên . Biết rằng hàm số y f x 2 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng nào?. A. 3; 1 , 1;3 .. B. 1;1 , 3;5 .. C. ; 2 , 0; 2 .. D. 5; 3 , 1;1 .. Lời giải Chọn B Hàm số y f x 2 2 có đồ thị C như sau:. Dựa vào đồ thị C ta có: f x 2 2 2, x 3; 1 1;3 f x 2 0, x 3; 1 1;3 .. Đặt x* x 2 suy ra: f x * 0, x* 1;1 3;5 . Vậy: Hàm số f x đồng biến trên khoảng 1;1 , 3;5 . Câu 17. Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm số f x trên . Biết rằng hàm số y f x 2 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng nào?. A. ; 2 .. B. 1;1 .. 3 5 C. ; . 2 2 Lời giải.. D. 2; .. Chọn B Hàm số y f x 2 2 có đồ thị C như sau:. Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(145)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Dựa vào đồ thị C ta có: f x 2 2 2, x 1;3 f x 2 0, x 1;3 . Đặt x* x 2 thì f x * 0, x* 1;1 . Vậy: Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 1;1 . Cách khác: Tịnh tiến sang trái hai đơn vị và xuống dưới 2 đơn vị thì từ đồ thị C sẽ thành đồ thị của hàm y f x . Khi đó: f x 0, x 1;1 . Vậy: Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 1;1 . Phân tích: Cho biết đồ thị của hàm số f x sau khi đã tịnh tiến và dựa vào đó để xét sự đồng biến của hàm số f x . Câu 18. Cho. hàm. số. y f x 2. có. f x . f x x x 1 x 4 . 3. đạo. hàm. cấp. 3. liên. tục. trên. . và. thỏa. mãn. 2. với mọi x và g x f x 2 f x . f x . Hàm số. h x g x 2 2 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ;1 .. B. 2; .. C. 0;1 .. D. 1;2 .. Lời giải Chọn D Ta có g x 2 f x f x 2 f x . f x 2 f x . f x 2 f x . f x ; 2 3 Khi đó h x 2 x 2 g x 2 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x x 2 2 x 1 x 2 2 x 4 . x 0 x 1 h x 0 x 2 x 1 2 Ta có bảng xét dấu của h x . Suy ra hàm số h x g x 2 2 x đồng biến trên khoảng 1; 2 . Câu 19. Cho hàm số y f ( x ) xác định trên . Hàm số y g ( x) f ' 2 x 3 2 có đồ thị là một parabol với tọa độ đỉnh I 2; 1 và đi qua điểm A 1; 2 . Hỏi hàm số y f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 5;9 .. B. 1; 2 .. C. ;9 .. D. 1;3 .. Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương 43.
<span class='text_page_counter'>(146)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Xét hàm số g ( x) f ' 2 x 3 2 có đồ thị là một Parabol nên có phương trình dạng:. y g ( x) ax 2 bx c. P. b b 4 a 4a b 0 2 Vì P có đỉnh I 2; 1 nên 2a . g 2 1 4a 2b c 1 4a 2b c 1 . P. đi qua điểm A 1; 2 nên g 1 2 a b c 2. 4a b 0 a 3 Ta có hệ phương trình 4a 2b c 1 b 12 nên g x 3x 2 12 x 11 . a b c 2 c 11 Đồ thị của hàm y g ( x ) là. Theo đồ thị ta thấy f '(2 x 3) 0 f '(2 x 3) 2 2 1 x 3 . Đặt t 2 x 3 x . t 3 t 3 khi đó f '(t ) 0 1 3 5t 9. 2 2. Vậy y f ( x ) nghịch biến trên khoảng 5;9 . Câu 20. Cho hàm số y f x , hàm số f x x3 ax 2 bx c a, b, c có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g x f f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; .. B. ; 2 .. C. 1;0 .. 3 3 D. . 3 ; 3 . Lời giải Chọn B Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(147)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Vì các điểm 1;0 , 0;0 , 1;0 thuộc đồ thị hàm số y f x nên ta có hệ:. 1 a b c 0 a 0 b 1 f x x 3 x f '' x 3x 2 1 c 0 1 a b c 0 c 0 Ta có: g x f f x g x f f x . f '' x x3 x 0 3 x x 1 3 2 Xét g x 0 g x f f ' x . f x 0 f x x 3 x 1 0 3 x x 1 3 x 2 1 0 x 1 x 0 x x1 ( x1 1,325 ) x x2 ( x2 1,325) 3 x 3 Bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên ta có g x nghịch biến trên ; 2 Câu 21. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 2 2 x 3, x . Có bao nhiêu giá trị nguyên. . . của tham số m thuộc đoạn 10; 20 để hàm số g x f x 2 3x m m2 1 đồng biến trên. 0;2 ? A. 16.. B. 17.. C. 18. Lời giải. D. 19.. Chọn C t 3 Ta có f ' t t 2 2t 3 0 * . t 1. . Có g ' x 2 x 3 f ' x2 3x m. . Vì 2 x 3 0, x 0; 2 nên g x đồng biến trên 0;2 g ' x 0, x 0; 2. f ' x2 3x m 0, x 0;2 x 2 3 x m 3, x 0; 2 x 2 3 x m 3, x 0; 2 2 2 (**) x 3 x m 1, x 0; 2 x 3 x m 1, x 0; 2 m 3 10 m 13 Có h x x 2 3x luôn đồng biến trên 0; 2 nên từ (**) m 1 0 m 1. m 10; 20 Có 18 giá trị của tham số m. Vì m Facebook Nguyễn Vương 45.
<span class='text_page_counter'>(148)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vậy có 18 giá trị của tham số m cần tìm. Câu 22. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và đồ thị của hàm số y f ' x như hình vẽ.. 1 2 x m 1 2019 với m là tham số thực. Gọi S là tập các giá trị 2 nguyên dương của m để hàm số y g x đồng biến trên khoản 5;6 .Tổng các phần tử của S Đặt g x f x m . bằng: A. 4 .. B. 11.. C. 14 . Lời giải. D. 20.. Chọn C Ta có g ' x f ' x m x m 1 Đặt h x f ' x x 1 . Từ đồ thị y f ' x và đồ thị y x 1 trên hình vẽ ta suy ra 1 x 1 h x 0 x 3. 1 x m 1 m 1 x m 1 Ta có g ' x h x m 0 x m 3 x m 3 Do đó hàm số y g x đồng biến trên các khoảng m 1; m 1 và m 3; m 1 5 5 m 6 Do vậy, hàm số y g x đồng biến trên khoảng 5;6 m 1 6 m 2 m 3 5. Do m nguyên dương nên m 1;2;5;6 , tức S 1; 2;5;6 Tổng các phần tử của S bằng 14. Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(149)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 23. Cho hàm số y f x là hàm đa thức có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ.. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m , m Z , 2020 m 2020 để hàm số 8 g x f x 2 mx 2 x 2 x 6 đồng biến trên khoảng 3;0 3 A. 2021. B. 2020. C. 2019. Lời giải Chọn B Ta có g x 2 xf x 2 4 mx x 2 2 x 3 .. D. 2022.. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 3; 0 suy ra g x 0, x 3;0 . 2 xf x 2 4 mx x 2 2 x 3 0, x 3; 0 f x 2 2 m x 2 2 x 3 0, x 3; 0 . f x. 2. 2m x. m max 3;0. 2. 2 x 3 , x 3;0 m . f x2 2 x 2 2 x 3. f x2 2 x 2 2 x 3. , x 3; 0 . .. Ta có 3 x 0 0 x 2 9 f x 2 3 dấu “ ” khi x 2 1 x 1 . 2. x 2 2 x 3 x 1 4 0 x 2 2 x 3 4, x 3; 0 . 1 1 , dấu “ ” khi x 1 . x 2x 3 4 f x2 3 3 Suy ra , x 3;0 , dấu “ ” khi x 1 . 2 2 x 2 x 3 2.4 8 . 2. max 3;0 . f x2 . 3 . 8 2 x 2 x 3 2. 3 Vậy m , mà m , 2020 m 2020 nên có 2020 giá trị của tham số m thỏa mãn bài 8 toán. Câu 24. Cho hàm số f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình sau.. Facebook Nguyễn Vương 47.
<span class='text_page_counter'>(150)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m đề hàm số g ( x) 4 f ( x m) x 2 2mx 2020 đồng biến trên khoảng (1;2). B. 3 .. A. 2 .. C. 0 . Lời giải. D. 1.. Chọn A Ta có g ' ( x ) 4 f ' ( x m) 2 x 2m g ' ( x) 0 f ' ( x m) . xm (*) 2. Đặt t x m thì (*) f ' (t ) Vẽ đường thẳng y . t 2. x trên cùng hệ trục Oxy với đồ thị y f x như hình vẽ sau 2. 2 t 0 m 2 x m t 2 t 4 x m 4 Hàm số g (x ) đồng biến trên khoảng (1;2) g ' ( x) 0 x 1;2 Từ đồ thị ta có f ' (t ) . m 2 1 2 m 2 m 3 m 4 1 m 3 Vì m nguyên dương nên m 2;3. Vậy có hai giá trị nguyên dương của m đề hàm số g (x ) đồng biến trên khoảng (1;2). Câu 25. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 1 x 1 x 4 ; x .Có bao nhiêu số nguyên. 2 x m 2020 để hàm số g x f m đồng biến trên 2; . 1 x A. 2018 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2021 Lời giải Chọn B Ta có: g x . 3. x 1. 2. 2x f m. 1 x . Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(151)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số g x đồng biến trên 2; . g x 0; x 2; . 3. x 1. 2. 2x f m 0; x 2; 1 x . 2 x f m 0; x 2; 1 x Ta có: f x 0 . x 1 1 x 4. x 1 x 1 x 4 0 . 2 x 1 x m 1; x 2; 2 x Do đó: f m 0; x 2; 1 x 1 2 x m 4; x 2; 1 x 2 x Hàm số h x m ; x 2; có bảng biến thiên: 1 x. 1 2. Căn cứ bảng biến thiên suy ra: Điều kiện 2 không có nghiệm m thỏa mãn. Điều kiện 1 m 1 m 1,kết hợp điều kiện m 2020 suy ra có 2019 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nhận xét: Có thể mở rộng bài toán đã nêu như sau: Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 1 x 1 x 4 ; x .Có bao nhiêu số nguyên. 2 x m 2020 để hàm số g x f h m đồng biến trên 2; . 1 x Câu 26. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 1 e x , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn 2019; 2019 để hàm số y g x f ln x mx 2 mx 2 nghịch biến trên 1; e 2 . A. 2018.. B. 2019.. C. 2020. Lời giải. D. 2021.. Chọn B. 1 Trên 1; e 2 ta có g ' x . f ' ln x 2mx m ln x 1 2 x 1 m x Để hàm số y g x nghịch biến trên 1; e 2 thì g ' x ln x 1 2 x 1 m 0, x 1; e 2 ln x 1 2 x 1 m 0, x 1; e2 . ln x 1 m, x 1; e 2 2x 1. Facebook Nguyễn Vương 49.
<span class='text_page_counter'>(152)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. ln x 1 Xét hàm số h x trên 1; e 2 , ta có h ' x 2x 1. 1 2 ln x x 0, x 1; e2 , từ đây suy ra 2 2 x 1. . m 1 . Vậy có 2019 giá trị nguyên của m thỏa bài toán. -------------------- HẾT --------------------. Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(153)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH 5-6 ĐIỂM Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số y, y’ -Định lí cực trị Điều kiện cần (định lí 1): Nếu hàm số y f (x ) có đạo hàm trên khoảng (a ;b ) và đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x thì f (x ) 0. Điều kiện đủ (định lí 2): Nếu f (x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số y f (x ) đạt cực tiểu tại điểm x . Nếu f (x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số y f (x ) đạt cực đại tại điểm x . Định lí 3: Giả sử y f (x ) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x h; x h ), với h 0. Khi đó: Nếu y (x ) 0, y (x ) 0 thì x là điểm cực tiểu. Nếu y (x o ) 0, y (xo ) 0 thì x là điểm cực đại. - Các THUẬT NGỮ cần nhớ Điểm cực đại (cực tiểu) của hàm số là x , giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số là f (x ) (hay y CĐ hoặc yCT ). Điểm cực đại của đồ thị hàm số là M (x ; f (x )). y (x ) 0 Nếu M (x ; y ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số y f (x ) M ( x ; y ) y f ( x ) . Câu 1.. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 2 . B. 3 . Câu 2.. C. 0 .. D. 4 .. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(154)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Hàm số đã cho đạt cực đại tại A. x 2 . B. x 2 . Câu 3.. D. 2 .. C. 2 .. D. 3 .. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 2 . B. 2 . Câu 6.. C. 0 .. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau.. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 3 . B. 2 . Câu 5.. D. x 1 .. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm f x có bảng biến thiên như sau:. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 3 . B. 5 . Câu 4.. C. x 1 .. C. 3 .. D. 1 .. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(155)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 3 . B. 3 . Câu 7.. C. 0. D. 1. (Mã 104 - 2018) Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:. A. 3 Câu 10.. B. Hàm số có bốn điểm cực trị D. Hàm số không có cực đại. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 5 B. 2 Câu 9.. D. 2 .. (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại x 5 C. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 Câu 8.. C. 1 .. B. 1. C. 2. D. 0. (Mã 110 - 2017) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Tìm giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã cho. A. yCĐ 2 và yCT 0. B. yCĐ 3 và yCT 0. C. yCĐ 3 và yCT 2 D. yCĐ 2 và yCT 2 Câu 11.. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(156)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Hàm số đạt cực đại tại: A. x 2 . B. x 3 . C. x 1 . D. x 2 . 4 2 Câu 12. (Mã 103 - 2018) Cho hàm số y ax bx c ( a , b , c ) có đồ thị như hình vẽ bên.. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 B. 0 Câu 13.. B. x 3 .. C. x 1 .. D. x 2 .. (Mã 123 - 2017) Cho hàm số y f ( x) có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây sai A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3 C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 Câu 15.. D. 2. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Hàm số đạt cực đại tại A. x 2 . Câu 14.. C. 1. B. Hàm số có hai điểm cực tiểu D. Hàm số có ba điểm cực trị. (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(157)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x 2 . B. x 2 . Câu 16.. C. x 1 .. D. x 3 .. (Mã 102 - 2018) Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d a, b, c, d có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số này là. A. 3 Câu 17.. B. 2. D. 1. (Mã 101 - 2019) Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x 1 . B. x 3 . Câu 18.. C. 0. C. x 2 .. D. x 1 .. (Mã 101 - 2018) Cho hàm số y ax3 bx2 cx d a, b, c, d có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là. A. 2 Câu 19.. B. 0. D. 1. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Hàm số đạt cực đại tại điểm A. x 1 B. x 0 Câu 20.. C. 3. C. x 5. D. x 2. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(158)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Điểm cực đại của hàm số đã cho là A. x 3 . B. x 1 . C. x 2 . D. x 3 . Câu 21. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Điểm cực đại của hàm số đã cho là A. x 3 . B. x 1 . Câu 22.. C. x 2.. D. x 1.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Điểm cực đại của hàm số đã cho là A. x 2 . B. x 3 . Câu 24.. D. x 2 .. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau :. Điểm cực đại của hàm số đã cho là A. x 3. B. x 2. Câu 23.. C. x 1 .. C. x 1 .. D. x 3 .. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x như sau:. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(159)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0 . B. 2 . Câu 25.. D. 3 .. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số f x có bảng xét dấu của f x như sau:. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 . B. 0 . Câu 26.. C. 1.. C. 2 .. D. 1.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x liên tục trên và có bảng xét dấu của f x như sau:. Số điểm cực đại của hàm số đã cho là A. 4 . B. 1. Câu 27.. C. 3 .. D. 4 .. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f ( x) liên tục trên và có bảng xét dấu của f ( x) như sau:. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 2. B. 4. Câu 29.. D. 3 .. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm f x liên tục trên và có bảng xét dấu f x như sau:. Số điểm cực tiểu của hàm số là A. 1 . B. 2 . Câu 28.. C. 2 .. C. 3.. D. 1.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x liên tục trên R có bảng xét dấu f ' x . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là: A. 3. B. 1.. C. 2.. D. 4.. Dạng 2. Tìm cực trị của hàm số khi biết y, y’ Bài toán: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu (nếu có) của hàm số y f ( x). Phương pháp: Sự dụng 2 qui tắc tìm cực trị sau: Quy tắc I: sử dụng nội dụng định lý 1 Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Bước 2. Tính đạo hàm y f ( x). Tìm các điểm xi , ( i 1, 2, 3,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4. Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị (dựa vào nội dung định lý 1).. Quy tắc II: sử dụng nội dụng định lý 2 Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(160)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Bước 2. Tính đạo hàm y f ( x). Giải phương trình f ( x) 0 và kí hiệu xi , ( i 1, 2, 3,..., n) là các nghiệm. của nó. Bước 3. Tính f ( x) và f ( xi ). Bước 4. Dựa vào dấu của y ( xi ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi :. + Nếu f ( xi ) 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi . + Nếu f ( xi ) 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi . 3. Câu 1.. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 1 x 4 , x . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 1 .. Câu 2.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 1 x 4 , x . Số. 3. điểm cực đại của hàm số đã cho là A. 2 . B. 3 . Câu 3.. D. 1 . 3. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có f x x x 1 x 4 , x . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 4 .. Câu 4.. C. 4 .. C. 1 .. B. 3 .. D. 2 . 3. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x x x 1 x 4 , x . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 2 B. 3. C. 4. D. 1. Câu 5.. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) x( x 1)( x 2)3 , x R . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 1 B. 3 C. 2 D. 5. Câu 6.. (Mã 101 - 2019) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ( x) x x 2 , x . Số điểm cực trị của. 2. hàm số đã cho là A. 2 . Câu 7.. C. 0 .. D. 3 . 2. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 1 , x R. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 2 .. Câu 8.. B. 1.. C. 1.. B. 0 .. D. 3 . 2. (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 1 , x . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 1 .. B. 2 .. C. 3 .. D. 0 .. Câu 9.. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm f ( x) x( x 2)2 , x . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1.. Câu 10.. (THPT. Lê. Quý. Dôn. Dà. Nẵng. 2019). Cho. hàm. số. f x. có. đạo. hàm. f ' x x 1 x 3 x x 2 với mọi x . Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là 2. A. x 2 . Câu 11.. 3. 4. B. x 3 .. C. x 0 .. D. x 1 .. (Chuyên Sơn La 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 3 x 1 x 2 , x . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 1 . B. 3 .. C. 5 .. D. 2 .. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(161)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 12.. (VTED 2019) Hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x 2 ... x 2019 , x R . Hàm số y f x có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 1008. B. 1010. C. 1009. D. 1011 3. Câu 13. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Hàm số f x có đạo hàm f x x 2 x 1 x 2 ,. x . Hỏi f x có bao nhiêu điểm cực đại? A. 2 . B. 0 . C. 1.. D. 3 . 2. Câu 14. (THPT Cù Huy Cận 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm là f x x x 1 x 2 x . Số điểm cực trị của hàm số là? A. 5 . B. 2 . Câu 15. (Sở. Bình. Phước 2. D. 3 .. C. 1 . Cho. 2019) 3. hàm. f x. số. có. đạo. hàm. 4. f x x 1 x 2 x 3 x 4 , x . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 Câu 16. (THPT. C. 2. B. 5 Gia. Lộc. Hải. Dương. 2019). Cho. D. 4 hàm. số. f x. có. đạo. hàm. 2. f x x x 1 x 2 , x . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là. A. 5 . Câu 17.. B. 2 .. D. 3 .. C. 1.. (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 x 2 3 x 4 9 . Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 3 .. Câu 18. (THCS. B. 4 . - THPT. Nguyễn. C. 2 . Khuyến 2019) Nếu. D. 1. hàm. số. f x. có. đạo. hàm là. f ' x x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 thì tổng các điểm cực trị của hàm số f x bằng 4. A. 1 . Câu 19.. B. 2 .. C. 1.. D. 0 .. y f x có đạo hàm. (Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Cho hàm số 3. . . f ' x x x 2 2 x x 2 2 x . Số điểm cực trị của hàm số là A. 4 Câu 20.. B. 1. D. 3. C. 2. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và f x x 1 x 2 . A. 3. 2. x 3 . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: B. 1. C. 0. D. 2 3. Câu 21. (Đề Minh Họa 2017) Tìm giá trị cực đại yC§ của hàm số y x 3 x 2 . A. yC§ 1 Câu 22.. B. yC§ 4. C. yC§ 1. 2x 3 có bao nhiêu điểm cực trị? x 1 B. 3 C. 0. D. yC§ 0. (Mã 104 - 2017) Hàm số y A. 1. D. 2. 2. x 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x 1 A. Cực tiểu của hàm số bằng 3 B. Cực tiểu của hàm số bằng 1 C. Cực tiểu của hàm số bằng 6 D. Cực tiểu của hàm số bằng 2. Câu 23. Cho hàm số y . Câu 24. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Điểm cực đại của đồ thị hàm số y x 3 6 x 2 9 x có tổng hoành độ và tung độ bằng A. 5 . B. 1 . C. 3 . D. 1 . Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(162)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 25.. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm giá trị cực tiểu yCT của hàm số y x3 3x 4 . A. yCT 6. B. yCT 1. C. yCT 2. D. yCT 1. Câu 26. (THPT Cù Huy Cận 2019) Giá trị cực tiểu yCT của hàm số y x 3 3x 2 4 là: B. yCT 3 . C. yCT 2 . D. yCT 4 . A. yCT 0 . Câu 27. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Đồ thị hàm số y x 4 x 2 1 có bao nhiêu điểm cực trị có tung độ là số dương? B. 1. C. 2 . D. 0 . A. 3 . Câu 28.. (Hsg Bắc Ninh 2019) Hàm số nào dưới đây không có cực trị? 2x 2 x2 1 B. y C. y x 2 2 x 1 A. y x 1 x. D. y x 3 x 1. Câu 29. (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số y x 4 2 x 2 1 . Xét các mệnh đề sau đây 1) Hàm số có 3 điểm cực trị. 2) Hàm số đồng biến trên các khoảng 1; 0 ; 1; . 3) Hàm số có 1 điểm cực trị. 4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 ; 0;1 . Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên? A. 2. B. 1. C. 4.. D. 3.. Câu 30.. (THPT Ba Đình 2019) Tìm giá trị cực đại của hàm số y x 3 3 x 2 2 . A. 2 . B. 0 . C. 2 . D. 1.. Câu 31.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Hàm số y cực tiểu tại điểm: A. x 3 .. Câu 32.. C. x 1 .. D. x 1 .. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Điểm cực đại của đồ thị hàm số y x3 3 x 1 là: A. M 1; 1 .. Câu 33.. B. x 3 .. 1 4 1 3 5 2 x x x 3x 2019m m đạt 4 3 2. B. N 0;1 .. C. P 2; 1 .. D. Q 1;3 .. 1 (Sở Ninh Bình 2019) Hàm số y x 3 x 2 3 x 1 đạt cực tiểu tại điểm 3 A. x 1 . B. x 1 . C. x 3 . D. x 3 .. Câu 34.. (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Tìm số điểm cực trị của hàm số y x 4 2 x 2 . A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.. Câu 35.. (Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 x 2 5 x 5 là 5 40 B. 0; 5 C. ; D. 1;0 A. 1; 8 3 27 . Câu 36. Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị? 2x 3 A. y . B. y x 4 . C. y x3 x . D. y x 2 . x2 -------------------- HẾT --------------------. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(163)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. Chuyên đề 2. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0 Bước 1. Tính y ' x0 , y '' x0 Bước 2. Giải phương trình y ' x0 0 m ? y '' 0 x0 CT Bước 3. Thế m vào y '' x0 nếu giá trị y '' 0 x0 CD Dạng 1.1 Hàm số bậc 3. Câu 1.. (Mã 110 - 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y cực đại tại x 3 . A. m 1. B. m 7. 1 3 x mx 2 m 2 4 x 3 đạt 3. C. m 5. D. m 1. Câu 2.. (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm m để hàm số y x 3 2mx 2 mx 1 đạt cực tiểu tại x 1 A. không tồn tại m . B. m 1 . C. m 1 . D. m 1;2 .. Câu 3.. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3 x 2 mx 1 đạt cực tiểu tại x 2 . A. m 0 . B. m 4 . C. 0 m 4 . D. 0 m 4 .. Câu 4.. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 y x 3 mx 2 m 2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3 . 3 A. m 1, m 5 . B. m 5 . C. m 1 . D. m 1 .. Câu 5.. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Có bao 1 y x 3 mx 2 m 2 m 1 x 1 đạt cực đại tại x 1 . 3 A. 0 B. 2 C. 1. nhiêu. số. thực. m để. hàm. số. D. 3. Câu 6.. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 y x 3 mx 2 m 2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3 . 3 A. m 1, m 5 . B. m 5 . C. m 1 . D. m 1 .. Câu 7.. (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - 2019) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y x3 3m 1 x 2 m2 x 3 đạt cực tiểu tại x 1 . A. 5;1 .. B. 5 .. C. .. D. 1 .. Câu 8.. (THPT Kinh Môn - 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 y x3 mx 2 m 1 x 1 đạt cực đại tại x 2 ? 3 A. m 2 . B. m 3 . C. Không tồn tại m . D. m 1 .. Câu 9.. (Chuyên ĐHSPHN - Lần 3 - 2019) Tập hợp các số thực m y x3 3mx 2 (m 2) x m đạt cực tiểu tại x 1 là. A. 1 . B. 1 . C. . D. R .. để hàm số. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(164)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dạng 1.2 Hàm số đa thức bậc cao, hàm căn thức … Câu 10.. (Chuyên QH Huế - Lần 2 - 2019) Xác định tham số m sao cho hàm số y x m x đạt cực trị tại x 1 . A. m 2 . B. m 2 . C. m 6 . D. m 6 .. Câu 11.. (Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y m 1 x 4 m 2 2 x 2 2019 đạt cực tiểu tại x 1 . A. m 0 .. B. m 2 .. C. m 1.. D. m 2 .. Câu 12. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho hàm số y f x xác định trên tập số thực và có. . đạo hàm f ' x x sin x x m 3 x 9 m 2. 3. x ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị. nguyên của m để hàm số y f x đạt cực tiểu tại x 0 ? A. 6 Câu 13.. B. 7. D. 4. C. 5. (Mã 101 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số y x 8 m 2 x 5 m 2 4 x 4 1 đạt cực tiểu tại x 0 ? A. Vô số. B. 3. C. 5. m. để hàm số. D. 4. Câu 14. (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số x 5 mx 4 y 2 đạt cực đại tại x 0 là: 5 4 A. m . B. m 0 . C. Không tồn tại m . D. m 0 . Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của. m. thuộc khoảng. 2019;2019. m 1 5 m 2 4 x x m 5 đạt cực đại tại x 0 ? 5 4 A. 101. B. 2016 . C. 100 .. để hàm số. y. Câu 16.. (Mã 104 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số y x 8 m 3 x 5 m 2 9 x 4 1 đạt cực tiểu tại x 0 ? A. 6. Câu 17.. D. 10 .. B. Vô số. C. 4. B. Vô số. C. 7. để hàm số. m. để hàm số. D. 7. (Mã 103 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số y x 8 m 4 x 5 m 2 16 x 4 1 đạt cực tiểu tại x 0 . A. 8. m. D. 9. Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x12 (m 5) x 7 (m 2 25) x 6 1 đạt cực đại tại x 0 ? A. 8 B. 9 C. Vô số D. 10 Câu 19. (Mã 102 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số y x8 (m 1) x5 (m2 1) x 4 1 đạt cực tiểu tại x 0? A. 3 B. 2 C. Vô số D. 1 Dạng 2. Tìm m để hàm số có n cực trị Hàm số có n cực trị y 0 có n nghiệm phân biệt.. Xét hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d : a 0 Hàm số có hai điểm cực trị khi 2 . b 3ac 0 Hàm số không có cực trị khi y 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Xét hàm số bậc bốn trùng phương y ax 4 bx 2 c. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương m. để hàm số.
<span class='text_page_counter'>(165)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số có ba cực trị khi ab 0. Hàm số có 1 cực trị khi ab 0. Câu 1.. Biết rằng hàm số y x a x b x 3 có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?. Câu 2.. A. ab 0 . B. ab 0 . C. ab 0 . D. ab 0 . (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y mx3 2mx2 (m 2) x 1 không có cực trị. 3. 3. B. m 6;0 .. A. m ( ; 6) (0; ) .. C. m 6;0 .. D.. m 6;0 . Câu 3.. (Đề Tham Khảo 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y m 1 x 4 2 m 3 x 2 1 không có cực đại? A. 1 m 3. Câu 4.. B. m 1. C. m 1. D. 1 m 3. (Chuyên Sơn La - Lần 2 - 2019) Để đồ thị hàm số y x 4 m 3 x 2 m 1 có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì tất cả các giá trị thực của tham số m là A. m 3 . B. m 3 . C. m 3. D. m 3 .. Câu 5.. (Quang Trung - Bình Phước - Lần 5 - 2019) Cho hàm số y x 4 2mx 2 m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có 3 cực trị A. m 0 . B. m 0 . C. m 0 . D. m 0 .. Câu 6.. (Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y m 2 x 4 m 2 2019 m x 2 1 có đúng một cực trị? A. 2019 .. B. 2020 .. C. 2018 .. D. 2017 .. Câu 7.. (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y x3 3 m 1 x 2 3 7m 3 x . Gọi. Câu 8.. S là tập các giá trị nguyên của tham số m để hàm số không có cực trị. Số phần tử của S là A. 2 . B. 4 . C. 0 . D. Vô số. (HSG - TP Đà Nẵng - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x 4 4mx3 3 m 1 x 2 1 có cực tiểu mà không có cực đại. . 1 7 . 3 1 7 C. m ; . 3 . A. m ;. Câu 9.. 1 7 ;1 1. 3 . B. m . 1 7 1 7 ; 1. 3 3. D. m . (HSG 12 - Bắc Ninh - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 2 x 1 x 2 2mx 5 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có đúng một điểm cực trị? A. 0 . B. 5 . C. 6 . D. 7 .. Câu 10.. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x3 y mx 2 2mx 1 có hai điểm cực trị. 3 m 2 A. 0 m 2 . B. m 2 . C. m 0 . D. . m 0. Câu 11.. (THPT Ba Đình 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3 x 2 2mx m có cực đại và cực tiểu? 3 3 3 3 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 2. Câu 12.. 1 (Chuyên Bắc Giang 2019) Tập hợp các giá trị của m để hàm số y x3 mx 2 m 2 x 1 có 3 hai cực trị là: Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(166)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. ; 1 2; . D. 1; 2. B. ; 1 2; C. 1; 2 . Câu 13.. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho hàm số y mx 4 x 2 1 . Tập hợp các số thực m để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị là A. 0; . B. ;0 . C. 0; . D. ;0 .. Câu 14.. (THPT Yên Định Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y mx4 (2m 1) x2 1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có đúng một điểm cực tiểu. 1 1 A. Không tồn tại m . B. m 0. C. m . D. m 0. 2 2. Câu 15.. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x 4 2 m 2 m 6 x 2 m 1 có ba điểm cực trị. A. 6 .. B. 5 .. D. 3 .. C. 4 .. Câu 16.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Hàm số y mx 4 m 1 x 2 1 2m có một điểm cực trị khi A. 0 m 1 . B. m 0 m 1 . C. m 0 . D. m 0 m 1 .. Câu 17.. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m trên miền 10;10 để hàm số y x4 2 2m 1 x2 7 có ba điểm cực trị? A. 20. Câu 18.. B. 10. D. 11. C. Vô số. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số y mx 4 m 2 6 x 2 4 . Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số có ba điểm cực trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại ? A. 4 B. 3 C. 2 D. 5. Câu 19.. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mx 4 m 1 x 2 1 2m có một cực trị. A. m 1. Câu 20.. (Chuyên. B. m 0 Lào. Cai 4. -. C. 0 m 1 2020). Cho. hàm. D. m 0 m 1 số. f x. có. đạo. hàm. 3. f x x 2 x 2 x 4 x 2 2 m 3 x 6m 18 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f x có đúng một điểm cực trị? B. 7 . B. 5 . C. 8 . D. 6 . Câu 21.. (Chuyên Sơn La - 2020) Gọi S là tập hợp những giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị trên . 1 1 1 f (x ) m 2 .e 4x m.e 3x e 2x (m 2 m 1)e x . Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 4 3 2 2 2 1 A. B. . C. . D. 1. 3 3 3 Dạng 3. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị Phương trình hai đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba là phần dư của phép chia của y cho y ' y h( x1 ) Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho y) : y y q ( x) h( x) 1 y2 h( x2 ) Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y h( x).. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(167)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 1.. (Mã 123 - 2017) Đồ thị hàm số y x 3 3x 2 9 x 1 có hai cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ? A. M 0; 1 B. N 1; 10 C. P 1; 0 D. Q 1;10 . Câu 2.. (Mã 104 - 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 2m 1 x 3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x 2 1 . 3 3 1 1 A. m B. m C. m D. m 2 4 2 4. Câu 3.. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y 2m 1 x m 3 song song với đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 1 3 1 3 A. m . B. m . C. m . 4 2 4. D. m . 1 . 2. Câu 4.. Đồ thị của hàm số y x3 3x 2 9 x 1 có hai điểm cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB . A. P 1;0 . B. M 0; 1 . C. N 1; 10 . D. Q 1;10 .. Câu 5.. (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2018) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 3m 1 x 3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x 2 1 . 1 A. . 3. Câu 6.. B. . 1 . 6. C. m . 1 . 6. 1 D. . 3. (TT Tân Hồng Phong - 2018) Tìm tổng tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y 2 x3 3 m 1 x 2 6m 1 2m x song song đường thẳng y 4 x . 1 A. m . 3. B. m . 2 . 3. C. m . 2 . 3. D. m 1 .. Câu 7.. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- 2018) Biết đồ thị hàm số y x3 3x 1 có hai điểm cực trị A , B . Khi đó phương trình đường thẳng AB là A. y 2 x 1 . B. y 2 x 1. C. y x 2. D. y x 2 .. Câu 8.. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 2 x 2 m 3 x m có hai điểm cực trị và điểm M 9; 5 nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị. A. m 1. B. m 5. C. m 3. D. m 2.. Câu 9.. (Nguyễn Khuyến 2019) Đường thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y x 3 2 x m đi qua điểm M 3;7 khi m bằng bao nhiêu? A. 1.. Câu 10.. C. 3.. D. 0.. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 3m 1 x 3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x 2 1 . 1 A. m . 6. Câu 11.. B. 1 .. 1 B. . 3. C.. 1 . 3. D. . 1 . 6. (TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Giả sử A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số f x x 3 ax 2 bx c và đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ. Tìm giá trị nhỏ nhất của P abc ab c . Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(168)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. Câu 12.. 16 . 25. B. 9 .. C. . 25 . 9. D. 1 .. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 3mx 2 2 có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A , B và M 1; 2 thẳng hàng. A. m 2 .. B. m 2 .. C. m 2 .. D. m 2 ; m 2 .. Dạng 4. Tìm m để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Bài toán tổng quát: Cho hàm số y f ( x; m) ax 3 bx 2 cx d . Tìm tham số m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp: — Bước 1. Tập xác định D . Tính đạo hàm: y 3ax 2 2bx c. a y 3a 0 — Bước 2. Để hàm số có 2 cực trị y 0 có 2 nghiệm phân biệt 2 y (2b) 4.3ac 0 và giải hệ này sẽ tìm được m D1. b S x1 x2 a — Bước 3. Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình y 0. Theo Viét, ta có: P x x c 1 2 a — Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P. Từ đó giải ra tìm được m D2 . — Bước 5. Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m D1 D2 .. Lưu ý: — Hàm số bậc 3 không có cực trị y 0 không có 2 nghiệm phân biệt y 0. — Trong trường hợp điều kiện K liên quan đến hình học phẳng, tức là cần xác định tọa độ 2 điểm cực trị A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) với x1 , x2 là 2 nghiệm của y 0. Khi đó có 2 tình huống thường gặp sau: Nếu giải được nghiệm của phương trình y 0, tức tìm được x1 , x2 cụ thể, khi đó ta sẽ thế vào hàm số đầu đề y f ( x; m) để tìm tung độ y1 , y2 tương ứng của A và B.. Nếu tìm không được nghiệm y 0, khi đó gọi 2 nghiệm là x1 , x2 và tìm tung độ y1 , y2 bằng cách thế vào phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị. Để viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị, ta thường dùng phương pháp tách đạo hàm (phần dư bậc nhất trong phép chia y cho y) , nghĩa là: y h( x1 ) Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho y) : y y q ( x) h( x) 1 y2 h( x2 ) Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y h( x).. Dạng toán: Tìm tham số m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (cùng phía, khác phía d): Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng: Cho 2 điểm A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) và đường thẳng d : ax by c 0. Khi đó: Nếu (ax A by A c) (axB byB c) 0 thì A, B nằm về 2 phía so với đường thẳng d . Nếu (ax A by A c) (axB byB c) 0 thì A, B nằm cùng phía so với đường d . Trường hợp đặc biệt: Để hàm số bậc ba y f ( x) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(169)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Oy phương trình y 0 có 2 nghiệm trái dấu và ngược lại. Để hàm số bậc ba y f ( x) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục hoành Ox đồ thị hàm số y f ( x) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt phương trình hoành độ giao điểm f ( x) 0 có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm). Dạng toán: Tìm m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (đối xứng và cách đều): Bài toán 1. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B đối xứng nhau qua đường d : — Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu m D1. — Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A, B. Có 2 tình huống thường gặp: + Một là y 0 có nghiệm đẹp x1 , x2 , tức có A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ). + Hai là y 0 không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là và lấy A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) .. x x y y — Bước 3. Gọi I 1 2 ; 1 2 là trung điểm của đoạn thẳng AB. 2 2 d AB ud 0 Do A, B đối xứng qua d nên thỏa hệ m D2 . I d I d — Bước 4. Kết luận m D1 D2 . Bài toán 2. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d: — Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu m D1. — Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A, B. Có 2 tình huống thường gặp: + Một là y 0 có nghiệm đẹp x1 , x2 , tức có A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ). + Hai là y 0 không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là và lấy A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) . — Bước 3. Do A, B cách đều đường thẳng d nên d ( A; d ) d ( B; d ) m D2 . — Bước 4. Kết luận m D1 D2 . Lưu ý: Để 2 điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I I là trung điểm AB. Câu 1.. Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3x 2 m có hai điểm cực trị A , B thỏa mãn OA OB ( O là gốc tọa độ)? 3 1 5 A. m . B. m 3 . C. m . D. m . 2 2 2. Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2017) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm 1 số y x3 mx 2 m2 1 x có hai điểm cực trị A và B sao cho A, B nằm khác phía và cách 3 đều đường thẳng d : y 5 x 9 . Tính tổng tất cả các phần tử của S . A. 3 B. 6 C. 6 D. 0. . Câu 3.. (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị 2 2 hàm số y x 3 mx 2 2 3m 2 1 x có hai điểm cực trị có hoành độ x 1 , x2 sao cho 3 3 x1 x2 2 x1 x2 1 . A. 1.. Câu 4.. . B. 0 .. C. 3 .. D. 2 .. (Chuyên KHTN - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y mx 3 (2m 1) x 2 2mx m 1 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành? Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(170)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 4. Câu 5.. B. 2.. C. 1.. D. 3.. (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2020) Cho hàm số y x3 m 6 x 2 2m 9 x 2. Tìm. m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành. m 2 A. . m 6. Câu 6.. B. m 2.. C.. 25 4. D.. B. m 3; 1 .. C. m 3;5 .. D. m 1;3 .. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 8 x 2 m 2 11 x 2 m 2 2 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Ox . A. 4. B. 5. C. 6.. Câu 9.. 8 3. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y x3 3mx 2 3m 1 với m là một tham số thực. Giá trị của m thuộc tập hợp nào sau đây để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d : x 8 y 74 0 . A. m 1;1 .. Câu 8.. C. m 6.. 1 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y mx 3 m 1 x 2 3 m 2 x 2018 3 với m là tham số. Tổng bình phương tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x1 ; x2. thỏa mãn x1 2 x2 1 bằng 40 22 A. B. 9 9 Câu 7.. m 2 m 6 . D. 3 m 2. D. 7.. (Chuyên Hạ Long 2019) Cho hàm số y x 3 2m 1 x 2 m 1 x m 1 . Có bao nhiêu giá trị của số tự nhiên m 20 để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành? A. 18 . B. 19 . C. 21 . D. 20 .. Câu 10.. (Chuyên KHTN 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của hàm số y x 3 m 1 x 2 m 2 2 x m 2 3 có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía khác nhau đối với trục hoành? A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 .. Câu 11.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tìm tất cả cả các giá trị của tham số m để y x 3 3x 2 mx 1 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x12 x22 6 A. m 3 B. m 3 C. m 1. D. m 1. Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f x 2 x 3 6 x 2 m 1 có các giá trị cực trị trái dấu? A. 7 . Câu 13.. C. 2 . 3. D. 3 . 2. (Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hàm số y 2 x 3 m 1 x 6 m 2 x 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng 2;3 . A. m 1; 4 \ 3 .. Câu 14.. B. 9 .. B. m 3; 4 .. C. m 1;3 .. D. m 1; 4 .. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hàm số y x3 3mx 2 4m2 2 có đồ thị C và điểm. C 1; 4 . Tính tổng các giá trị nguyên dương của m để C có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4. A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(171)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 15.. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y 2 x 3 3 m 1 x 2 6 m 2 x 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng 2; 3 .. A. m 1; 3 3; 4 . B. m 1; 3 . Câu 16.. D. m 1; 4 .. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số: y 3x3 2 m 1 x 2 3mx m 5 có hai điểm cực trị x1 ; x2 đồng thời y x1 . y x2 0 là: A. 21. Câu 17.. C. m 3; 4 .. B. 39. C. 8. D. 3 11 13. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số y x 3 3mx 2 27 x 3m 2 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 5 . Biết S a; b . Tính. T 2b a . A. T 51 6. B. T 61 3. C. T 61 3. D. T 51 6. Câu 18.. (Sở Bắc Giang 2019) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số x3 y 2 x 2 mx 3 có hai điểm cực trị x1 , x2 4 . Số phần tử của S bằng 3 A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .. Câu 19.. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm y x3 4 m 2 x 2 7 x 1 có hai điểm cực trị x1; x2 x1 x2 thỏa mãn x1 x2 4 A. m 5 .. 1 B. m . 2. C. m 3 .. số. 7 D. m . 2. Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để điểm M (2m3 ; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y 2 x 3 3(2m 1) x 2 6m(m 1) x 1 (C ) một tam giác có diện tích nhỏ nhất? A. 0 B. 1 C. 2 D. không tồn tại Câu 21.. (HSG Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số thực m để đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y x 3 3mx 2 cắt đường tròn C có tâm I 1;1 , bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. 2 5 2 3 1 3 2 3 A. m B. m C. m D. m 2 2 2 3. Câu 22.. (VTED 2019) Biết đồ thị hàm số y x3 ax 2 bx c có hai điểm cưc trị M x1 ; y1 , N x2 ; y2 thỏa mãn x1 y1 y2 y1 x1 x2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P abc 2ab 3c bằng A. . 49 4. B. . 25 4. . C. . 841 36. D. . 7 6. . Câu 23. Cho hàm số y x3 3mx 2 3 m2 1 x m3 m ( m là tham số). Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và I 2; 2 . Tổng tất cả các giá trị của m để ba điểm I , A , B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 là 4 14 2 20 A. B. C. D. 17 17 17 17 Câu 24. Cho hàm số y x 3 6mx 4 có đồ thị Cm . Gọi m0 là giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của Cm cắt đường tròn tâm I 1;0 , bán kính 2 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất. Chọn khẳng định đúng A. m0 3; 4 . B. m0 1; 2 . C. m0 0;1 . D. m0 2;3 . Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(172)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 25.. 1 3 1 2 x mx 4 x 10 , với m 3 2 là tham số; gọi x1 , x2 là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Giá trị lớn nhất của biểu thức. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Cho hàm số y . P x12 1 x22 1 bằng. A. 4 . Câu 26.. B. 1.. C. 0 .. D. 9 .. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Cho hàm số y x 3 3mx 2 3 m 2 1 x m3 , với m là tham số; gọi C là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị C luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Xác định hệ số góc k của đường thẳng d. 1 1 A. k . B. k . C. k 3 . D. k 3 . 3 3. Câu 27.. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Biết m0 là giá trị của tham số m để hàm số y x 3 3 x 2 mx 1 có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho x12 x2 2 x1 x2 13 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m0 1;7 . B. m0 7;10 . C. m0 15; 7 . D. m0 7; 1 .. Câu 28.. Câu 29.. 1 1 (THPT Thanh Miện I - Hải Dương 2018) Biết rằng đồ thị hàm số f x x 3 mx 2 x 2 3 2 có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là 7 . Hỏi có mấy giá trị của m ? A. 3 . B. 1 . C. Không có m . D. 2 . (Phan Đăng Lưu - Huế - 2018) Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số f x x 3 3 x 4 và M x0 ; 0 là điểm trên trục hoành sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ. nhất, đặt T 4 x0 2015 . Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng? A. T 2017 . B. T 2019 . C. T 2016 . D. T 2018 . Câu 30. (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Tổng tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y x3 3mx 2 4m3 có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là 2 1 1 A. . B. . C. 0 . D. . 2 2 4 Câu 31.. (THPT Triệu Thị Trinh - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y x 3 5 x 2 m 4 x m có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành. A. .. Câu 32.. B. ;3 3; 4 .. C. ;3 3; 4 .. D. ; 4 .. a a (trong đó là phân số tối giản và a , b * ) là giá trị của tham b b 2 2 số m để hàm số y x3 mx 2 2 3m 2 1 x có 2 điểm cực trị x1 , x2 sao cho 3 3 x1 x2 2 x1 x2 1 . Tính giá trị biểu thức S a 2 b 2 . A. S 13 . B. S 25 . C. S 10 . D. S 34 . (CTN - LẦN 1 - 2018) Biết. Câu 33. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x 3 x 2 mx 1 nằm bên phải trục tung. Tìm số phần tử của tập hợp 5;6 S . A. 2 . B. 5 . C. 3 . D. 4 .. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(173)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 34.. (THPT Nghen - Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số y x3 3x 2 3 m2 1 x 3m 2 1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x 2? A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 0 .. Câu 35.. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 3mx 2 2 có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A , B và M 1; 2 thẳng hàng. A. m 2 .. D. m 2 ; m 2 . m 3 Câu 36. (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số y x m 1 x 2 3 m 2 x 2 . Hàm 3 số đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x1 2 x2 1 khi m a và m b . Hãy tính tổng a b . 8 8 5 5 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 Câu 37.. B. m 2 .. C. m 2 .. (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho hàm số y 2 x3 3 m 1 x 2 6mx m3 . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB 2 . A. m 0 . B. m 0 hoặc m 2 . C. m 1 .. Câu 38.. D. m 2 .. (THPT Phú Lương - Thái Nguyên - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y mx 3 3mx 2 3m 3 có hai điểm cực trị A, B sao cho 2 AB 2 OA2 OB 2 20 (trong đó. O là gốc tọa độ) A. m 1 .. B. m 1 .. m 1 C. . m 17 11. m 1 D. . m 17 11. Dạng 5. Tìm m để hàm số trùng phương có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Một số công thức tính nhanh “thường gặp“ liên quan cực trị hàm số y ax 4 bx 2 c. a 0: tiểu. 1 cực trị: ab 0 1 cực a 0 : 1 cực đại. 3 cực trị: ab 0 a 0 : 1 cực a 0 : 2 đại, đại, 2 cực tiểu 1 cực tiểu. cực. b b b4 b b A(0; c ), B ; , C ; AB AC , BC 2 2 2a 4 a 2a 4a 16a 2a 2a với b2 4ac 3. b Phương trình qua điểm cực trị: BC : y và AB, AC : y xc 4a 2a 3 5 , luôn có: 8a (1 cos ) b3 (1 cos ) 0 cos b 8a và S 2 b Gọi BAC b3 8a 32a 3 2 Phương trình đường tròn đi qua A, B, C : x 2 y 2 c n x c.n 0, với n và bán b 4a b3 8a kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R 8ab. Câu 1.. (THPT Lương Thế Vinh - 2018) Cho hàm số y x 4 2 x 2 2 . Diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có giá trị là Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(174)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. S 3 . Câu 2.. B. S . 1 . 2. C. S 1 .. D. S 2 .. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Tìm m đề đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 1 có ba điểm cực trị. A 0; 1 , B, C thỏa mãn BC 4? A. m 2 .. B. m 4 .. C. m 4 .. D. m 2 .. Câu 3.. (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x 4 2mx 2 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân 1 1 A. m 3 . B. m 1 . C. m 3 . D. m 1 . 9 9. Câu 4.. (Mã 105 -2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x 4 2mx 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 . A. 0 m 1 B. m 0 C. 0 m 3 4 D. m 1. Câu 5.. (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần 2 - 2020) Cho hàm số y x 4 2mx 2 2m 2 m 4 có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn ABCD là hình thoi với D 0; 3 . Số m thuộc khoảng nào sau đây? 1 9 9 A. m ; . B. m ; 2 . 2 5 5 . Câu 6.. 1 C. m 1; . 2 . (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2 m 1 x 2 m 2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. Số phần tử của tập hợp S là A. 2 . B. 0 .. Câu 7.. D. m 2;3 .. C. 4 .. D. 1 .. (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng 2019) Cho hàm số y x 4 2mx 2 1 1 . Tổng lập phương các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính R 1 bằng 1 5 5 5 A. . B. . C. 2 5 . D. 1 5 . 2 2. Câu 8.. (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2m2 x2 m 4 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều?. . . A. m 0; 3; 3. . . B. m 0; 6 3; 6 3. C. m . . 6. . 3; 6 3. . . D. m 3; 3. Câu 9.. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Tìm m để đồ thị hàm số y x 4 2m 2 x 2 1 có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân. A. m 1 . B. m 1;1 . C. m 1;0;1 . D. m .. Câu 10.. (Toán Học Tuổi Trẻ Số 5) Tìm tất cả các giá trị m sao cho đồ thị hàm số y x 4 m 1 x 2 2m 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 120 . A. m 1 C. m . Câu 11.. 2 . 3. 3. 1 . 3. 3. B. m 1 . 2 , m 1 . 3. 3. D. m 1 .. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị C của hàm số y x 4 2m 2 x 2 m 4 5 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm số phần tử của S .. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(175)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 1 . Câu 12.. B. 0 .. C. 2 .. D. 3 .. (Chuyên Quang Trung - 2018) Cho hàm số y x 4 2mx 2 2m 2 m 4 có đồ thị C . Biết đồ thị. C . có ba điểm cực trị A , B , C và ABDC là hình thoi trong đó D 0; 3 , A thuộc trục tung. Khi đó m thuộc khoảng nào? 1 9 1 9 A. m ; 2 . B. m 1; . C. m 2;3 . D. m ; . 2 5 2 5 (THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình - 2018) Cho hàm số y x 4 2mx 2 2 có đồ thị Cm . Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. A. m 3 3 . B. m 3 3 . C. m 1 . D. m 1 . Câu 14. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Gọi A , B , C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 4 2 x 2 4 . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng Câu 13.. A. 1 . Câu 15.. B. 2 1 .. C.. 2 1 .. D.. 2.. (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Cho hàm số y x 4 2 m 4 x 2 m 5 có đồ thị Cm . Tìm m để Cm có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.. A. m 1 hoặc m Câu 16.. 17 . B. m 1 . 2. C. m 4 .. D. m . 17 . 2. (Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x 4 2mx 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 .. A. m 1 . B. 0 m 1 . C. 0 m 3 4 . D. m 0 . Câu 17. (Liên Trường - Nghệ An -2018) Gọi m0 là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng A. m0 1;0 . B. m0 2; 1 . C. m0 ; 2 . D. m0 1;0 . Câu 18.. (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x 4 2 m 1 x 2 m 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. A. m 0 .. B. m 1; m 0 .. C. m 1 .. D. m 1; m 0 .. Câu 19.. (THPT Triệu Thị Trinh - 2018) Cho hàm số: y x 4 2mx 2 m 2 m . Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị lập thành tam giác có một góc bằng 120 . 1 1 1 1 A. m . B. m 3 . C. m 3 . D. m . 3 3 3 3. Câu 20.. (THPT Thái Phiên - Hải Phòng - 2018) Đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 m có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm cực trị này có bán kính bằng 1 thì giá trị của m là: 1 5 1 5 A. m 1; m . B. m 1; m . 2 2 1 5 1 5 C. m 1; m . D. m 1; m . 2 2 Dạng 6. Tìm m để hàm số bậc 2 trên bậc 1 có cực trị thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 1.. (Toán Học Tuổi Trẻ Số 5) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm x2 2 x 3 số y . 2x 1 A. y 2 x 2 . B. y x 1 . C. y 2 x 1 . D. y 1 x . Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(176)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 2.. (ĐHQG Hà Nội - 2020) Điều kiện của tham số m để hàm số y là A. m 0 .. Câu 3.. Câu 4.. B. m 1 .. x 2 mx có cực đại và cực tiểu 1 x. C. m 2 .. D. m 2 .. (Chuyên KHTN - Hà Nội - Lần 3) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ x 2 mx 2m thị hàm số y có x 1 hai điểm cực trị A , B và tam giác OAB vuông tại O . Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 9 . B. 1 . C. 4 . D. 5 .. x2 2 x m (với m là x2 tham số thực) có hai điểm cực trị là A, B . Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ O 0;0 đến đường thẳng AB . 2 3 1 5 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Biết rằng đồ thị H : y . Câu 5.. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ x 2 mx m 2 thị hàm số y có hai điểm cực trị A, B . Khi AOB 90 thì tổng bình phương tất x 1 cả các phần tử của S bằng: 1 1 A. . B. 8 . C. . D. 16 . 16 8. Câu 6.. (Chuyên KHTN - 2018) Với tham số m , đồ thị của hàm số y . B và AB 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m 2 . B. 0 m 1 . Câu 7.. x 2 mx có hai điểm cực trị A , x 1. C. 1 m 2 .. D. m 0 .. x2 m x 4 (Cụm 5 Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Cho hàm số y . Biết rằng đồ thị hàm số x m. có hai điểm cực trị phân biệt là A , B . Tìm số giá trị m sao cho ba điểm A , B , C 4; 2 phân biệt và thẳng hàng. A. 0 . Câu 8.. B. 2 .. C. m 1.. (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số y đại và cực tiểu, điều kiện của tham số m là: m 1 A. B. 1 m 2 . m 2. Câu 10.. D. 3 .. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Giá trị của tham số m để hàm số y cực đại tại điểm x0 2 là: A. m 1 . B. m 3 .. Câu 9.. C. 1 .. D. m 3 . x 2 2mx m 2 . Để hàm số có cực 2 x 2m. C. 2 m 1 .. (Chuyên Nguyễn Dình Triểu - Dồng Tháp - 2018) Để hàm số y . x 2 thì m thuộc khoảng nảo? A. 0;2 . B. 4; 2 .. C. 2; 0 .. x 2 mx 1 đạt xm. m 2 D. . m 1 x 2 mx 1 đạt cực đại tại x m. D. 2; 4 .. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(177)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. q Câu 11. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số y x p đạt cực đại tại điểm A 2; 2 . x 1 Tính pq . 1 A. pq 2 . B. pq . C. pq 3 . D. pq 1 . 2. x 2 mx 1 ( với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xm có giá trị cực đại là 7. A. m 7 . B. m 5 . C. m 9 . D. m 5 .. Câu 12. Cho hàm số y . -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(178)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. Chuyên đề 2. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH 9 - 10 Dạng 1. Bài toán cực trị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối Bài toán: Đồ thị hàm số y f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị 2 f ( x). f ( x) (Áp dụng định nghĩa). y f ( x) f 2 ( x) y f 2 ( x) f ( x) 0 1 y 0 f ( x ) 0 2 Số nghiệm của 1 chính là số giao điểm của đồ thị y f ( x) và trục hoành y 0 . Còn số nghiệm. của 2 là số cực trị của hàm số y f ( x ) , dựa vào đồ thị suy ra 2 . Vậy tổng số nghiệm bội lẻ của 1 và 2 chính là số cực trị cần tìm. Dạng toán này mình làm tựa theo đề tham khảo 2018, vẫn xuất hiện ở dạng toán hàm hợp, các bạn học chú ý nhé! Câu 1.. (Chuyên Vinh – Lần 2). Đồ thị C có hình vẽ bên.. Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f x m có ba điểm cực trị là: A. m 1 hoặc m 3 . B. m 3 hoặc m 1. C. m 1 hoặc m 3 . D. 1 m 3. Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m y 3 x 4 4 x 3 12 x 2 m có 7 điểm cực trị? A. 5. Câu 3.. B. 6. C. 4. để hàm số. D. 3. (Gia Bình 2019) Cho hàm số y f ( x) có bảng biến thiên như sau.. Hàm số y f x 3 có bao nhiêu điểm cực trị A. 5 Câu 4.. B. 6. C. 3. D. 1. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 2m 2 m 12 có bảy điểm cực trị A. 1 .. B. 4 .. C. 0 .. D. 2 .. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(179)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 5.. (Sở Vĩnh Phúc 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 3 x 4 4 x3 12 x 2 m2 có đúng 5 điểm cực trị? A. 5 .. Câu 6.. C. 6 .. D. 4 .. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y 3 x 4 4 x 3 12 x 2 m có 5 điểm cực trị. A. 16. Câu 7.. B. 7 .. C. 26. B. 44. D. 27. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y x 4 2mx 2 2m 1 với m là tham số thực. Số giá trị nguyên trong khoảng 2; 2 của m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là A. 2. Câu 8.. D. 1. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tập hợp các giá trị của m để hàm số y 3 x 4 4 x 3 12 x 2 m 1 có. 7 điểm cực trị là: A. (0; 6) Câu 9.. C. 3. B. 4. B. (6;33). C. (1;33). D. (1; 6). (THPT Kinh Môn - 2018) Cho hàm số y f ( x) x 3 (2m 1) x 2 (2 m) x 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f ( x ) có 5 điểm cực trị. A.. 5 m 2. 4. B. 2 m . 5 . 4. 5 C. m 2 . 4. D.. 5 m 2. 4. Câu 10. (Chuyên Đh Vinh - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 3 2 x 2 x 3 2 x với mọi x . Hàm số f 1 2018 x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị? A. 9 . Câu 11.. B. 2018 .. C. 2022 .. D. 11.. (THPT Thạch Thanh 2 - Thanh Hóa - 2018) Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y f x .. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y f x 1 m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng A. 9 . B. 12 . C. 18 .. D. 15 .. Câu 12.. (THPT Quảng Yên - Quảng Ninh - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm m số y 3x 4 4 x 3 12 x 2 có 7 điểm cực trị? 2 A. 3 . B. 9 . C. 6 . D. 4 .. Câu 13.. (THPT Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x3 3x 2 m có 5 điểm cực trị? A. 5 .. B. 3 .. C. 6 .. D. 4 .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(180)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 14.. (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai - Sóc Trăng - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 3x5 25 x3 60 x m có 7 điểm cực trị? A. 42 .. Câu 15.. B. 21 .. C. 40 .. D. 20 .. (Sở Nam Định - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số y f x 2m có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi A. m 4;11 . Câu 16.. 11 B. m 2; . 2. C. m 3 .. 11 D. m 2; . 2. (THPT Nguyễn Huệ - Tt Huế - 2018) Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y f x . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số y f x 2 m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng A. 15 . B. 18 .. Câu 17.. C. 9 .. (Sở Hưng Yên - 2018) Cho hàm số f ( x) x3 3 x 2 m với m 5;5 là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f ( x) có đúng ba điểm cực trị. A. 3 . B. 0 . C. 8 .. Câu 18.. D. 12 .. D. 6 .. (Chuyên Hùng Vương - Bình Dương - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau.. Đồ thị hàm số y f x 2017 2018 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 . B. 3 . C. 5 .. D. 4 .. Câu 19. (Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Hàm số f x có đạo hàm f x trên . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f x trên .. Hỏi hàm số y f x 2018 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5 .. B. 3 .. C. 2 .. D. 4 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(181)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 20.. (Sở- Nam Định - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số y f x 2m có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi A. m 4;11 .. 11 B. m 2; . 2. C. m 3 .. 11 D. m 2; . 2. Dạng 2. Số điểm cực trị của hàm hợp Bài toán: Cho hàm số y f x (Đề có thể cho bằng hàm, đồ thị, bảng biến thiên của f x , f ' x ). Tìm số điểm cực trị của hàm số y f u trong đó u là một hàm số đối với x. Ta thực hiện phương pháp tương tự xét số điểm cực trị của hàm số y f x Bước 1. Tính đạo hàm y ' u '. f ' u . u ' 0 Bước 2. Giải phương trình y ' 0 f ' u 0 Bước 3.Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà y ' không xác định. Kết luận Câu 1.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g x f x3 3x 2 là. A. 5 . Câu 2.. B. 3 .. C. 7 .. D. 11 .. (Mã 101 - 2019) Cho hàm số y f x , bảng biến thiên của hàm số f ' x như sau:. Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 2 x là A. 9. Câu 3.. B. 3.. C. 7.. D. 5.. (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f x như sau:. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(182)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Số điểm cực trị của hàm số y f 4 x 2 4 x là A. 5. Câu 4.. B. 9.. C. 7.. D. 3.. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị. . . hàm số y f x như hình vẽ bên. Hàm số y f x 2 4 x x2 4 x có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng 5;1 ?. A. 5 . Câu 5.. B. 4 .. C. 6 .. D. 3 .. (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm đến cấp hai trên và có bảng xét dấu của hàm số y f ' x như hình sau:. Hỏi hàm số g x f 1 x A. x 3 . Câu 6.. x3 2 x 2 3 x đạt cực tiểu tại điểm nào trong các điểm sau? 3 B. x 0 . C. x 3 . D. x 1 .. (Chuyên KHTN - 2020) Cho hàm số y f x xác định trên , có đồ thị f x như hình vẽ. y 3. O 2 -1. x y=f(x). Hàm số g x f x3 x đạt cực tiểu tại điểm x0 . Giá trị x0 thuộc khoảng nào sau đây A. 1;3 .. B. 1;1 .. C. 0; 2 .. D. 3; .. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(183)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 7.. (Chuyên KHTN - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên , có đồ thị f x như hình vẽ. y y=f'(x). 2. O. x. Số điểm cực tiểu của hàm số g x f x 2 x là A. 1 . Câu 8.. B. 4 .. C. 3 .. D. 2 .. (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên , bảng biến thiên của hàm số f ' x như sau:. . . Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 2 x là A. 4. Câu 9.. B. 5.. C. 1.. D. 7.. (Sở Bắc Giang - 2018) Cho hàm số y f x có đúng ba điểm cực trị là 2; 1;0 và có đạo hàm liên tục trên . Khi đó hàm số y f x 2 2 x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 .. Câu 10.. B. 8 .. C. 10 .. D. 7 .. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f ' x như sau. Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 2 x là A. 9 . Câu 11.. B. 5 .. C. 7 .. D. 3 .. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f x như sau:. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(184)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Số cực trị của hàm số y f 4 x 2 4 x là A. 3 . B. 9 . C. 5 . D. 7 . Câu 12. (Chuyên An Giang - 2018) Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f x như hình bên.. Hàm số g x f x 2 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 .. B. 3 .. C. 5 .. D. 2 .. Câu 13. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x xác định trên và hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x 2 3 .. A. 4 Câu 14.. B. 2. C. 5. D. 3. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm là f x . Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ bên. Tính số điểm cực trị của hàm số y f x 2 trên khoảng. . A. 2 . Câu 15.. . 5; 5 .. C. 3 .. B. 4 .. D. 5 .. (Chuyên Vinh - 2018) Cho hàm số bậc bốn y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số y f. . . x 2 2 x 2 là. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(185)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 1 . Câu 16.. B. 2 .. C. 4 .. D. 3 .. (Chuyên Thoại Ngọc Hầu 2018) Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ sau.. Hàm số g x f x 2 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 2 . Câu 17. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g x f x 2 2 x 4 có bao nhiêu điểm cực tiểu?. A. 1.. B. 3 .. C. 2 .. D. 4 .. Câu 18. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An -2018) Biết rằng hàm số f x có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f f x .. A. 5 .. B. 3 .. C. 4 .. D. 6 .. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(186)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 19.. (Sở Bình Phước - 2018) Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên 0; 6 . Đồ thị của 2. hàm số y f x trên đoạn 0; 6 được cho bởi hình bên dưới. Hỏi hàm số y f x có tối đa bao nhiêu cực trị.. A. 3 .. B. 7 .. C. 6 .. D. 4 .. Câu 20. Biết rằng hàm số f x có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số. y f f x ? y. O. 2. x. -4. A. 5. Câu 21.. B. 4.. C. 3.. D. 6.. (THPT Đô Lương 3 - Nghệ An - 2019) Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số g x f f x là.. A. 3. Câu 22.. B. 7.. C. 6.. D. 5.. (Sở GD Bắc Ninh - 2019) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số y f x là 2 ; 0 ; 2 ; a ; 6 với 4 a 6 . Số điểm cực trị của hàm số y f x 6 3 x 2 là A. 8.. B. 11.. C. 9.. D. 7.. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(187)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 23.. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Cho hàm số f (x) xác định trên và có đồ thị f ( x) như hình vẽ bên. Đặt g ( x) f ( x) x . Hàm số đạt cực đại tại điểm thuộc khoảng nào dưới đây?. 3 A. ;3 2 . Câu 24.. B. 2;0. C. 0;1. 1 D. ; 2 2 . (Thpt Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hàm số y f ( x 1) có đồ thị như hình vẽ.. Hàm số y A. x 1 .. 2 f x 4 x. đạt cực tiểu tại điểm nào? B. x 0 . C. x 2 .. D. x 1 .. Câu 25. (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số y f x 2017 2018x 2019 là. A. 3. B. 4. C. 1. D. 2. Câu 26. (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hàm số y f '( x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:. Tìm số điểm cực trị của hàm số y e 2 f ( x ) 1 5 f ( x ) . A. 1. B. 2 . C. 4 . Câu 27.. D. 3 .. (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Hàm số y 2 f x 1 đạt cực tiểu tại điểm A. x 2 . B. x 0 .. C. x 1 .. D. x 5 .. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(188)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 28. (Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 x là:. A. 4 . Câu 29. Cho. B. 1 . hàm. g x f x . số. f x. D. 2 .. C. 3 . có. đồ. thị. f x. như. hình. vẽ. dưới.. Hàm. số. x3 2 x 2 5 x 2001 có bao nhiêu điểm cực trị? 3. A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 0 . Câu 30. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và không có cực trị, đồ thị của hàm số y f x là đường cong của như hình vẽ dưới đây.. 2 1 f x 2 x. f x 2 x 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 A. Đồ thị của hàm số y h x có điểm cực tiểu là M 1;0 .. Xét hàm số h x . B. Hàm số y h x không có cực trị. C. Đồ thị hàm số y h x có điểm cực đại là N 1; 2 . D. Đồ thị hàm số y h x có điểm cực đại là M 1;0 . Câu 31. Cho hàm số f x x 4 . Hàm số g x f ' x 3x 2 6 x 1 đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại x1 , x2 . Tính m g x 1 g x2 . Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(189)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. m 0 . Câu 33.. B. m . 371 . 16. C. m . 1 . 16. D. m 11 .. (Kim Liên - Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Biết hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.. Hàm số g x f x x đạt cực tiểu tại điểm A. x 1 . B. x 2 . C. Không có điểm cực tiểu.. D. x 0 .. Câu 34. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số y f x là parabol như hình bên dưới.. Hàm số y f x 2 x có bao nhiêu cực trị? A. 3 .. B. 2 .. C. 0 .. D. 1 .. Câu 35. Cho hàm số đa thức y f x có đạo hàm trên , f 0 0 và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f x . Hỏi hàm số g x f x 3 x cóbao nhiêu cực trị?. A. 4.. B. 5.. C. 3.. D. 6.. Câu 36. Cho hàm số y f ( x) có đồ thị đạo hàm y f '( x) như hình bên.. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(190)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số y f ( x ) x 2 x đạt cực đại tại x 0 . B. Hàm số y f ( x ) x 2 x đạt cực tiểu tại x 0 . C. Hàm số y f ( x ) x 2 x không đạt cực trị tại x 0 . D. Hàm số y f ( x ) x 2 x không có cực trị. Câu 37.. (THPT Minh Khai) Cho hàm số Cho hàm số y f x liên tục trên và hàm số. g x 2 f x x 2 2 x 2019 . Biết đồ thị hàm số y f x như hình vẽ.. Số điểm cực trị của hàm số y g x là A. 5 . B. 3 . C. 2 . Câu 38. Cho hàm số f x xác định trên và có đồ thị f ' x như hình vẽ.. D. 4 .. Đặt g x f x x . Hàm số g x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? A. x 1. B. x 2. C. x 0 . D. x 1. Câu 39. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt g ( x) 3 f f ( x) 4 . Tìm số cực trị của hàm số g ( x ). A. 2.. B. 8.. C. 10.. D. 6.. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(191)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 40.. (HSG 12 - Sở Quảng Nam - 2019) Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên , đồ thị hàm số 2. y f ( x) là đường cong ở hình vẽ. Hỏi hàm số h x f ( x) 4 f x 1 có bao nhiêu điểm cực trị?. A. 2 . Câu 41.. B. 3 .. C. 5 .. D. 7 .. (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y f x , hàm số y f x có đồ thị như 2. 5sin x 1 (5sin x 1) 3 có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng hình bên. Hàm số g ( x) 2 f 2 4 (0; 2 ) .. A. 9 . Câu 42.. B. 7 .. C. 6 .. D. 8 .. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn f x có bảng biến thiên như sau:. 2. Số điểm cực trị của hàm số g x x 4 f x 1 là A. 11 .. B. 9 .. C. 7 .. D. 5 .. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(192)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 43.. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn f x có bảng biến thiên như sau:. 4. Số điểm cực trị của hàm số g x x 2 f x 1 là A. 7 . Câu 44.. B. 8 .. C. 5 .. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn f ( x ) có bảng biên thiên như sau:. Số điểm cực trị của hàm số g ( x) x 4 [f ( x 1)]2 là A. 7 . B. 5 . C. 9 . Câu 45.. D. 9 .. D. 11 .. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn f ( x ) có bảng biến thiên như sau. 4. Số điểm cực trị của hàm số g ( x) x 2 f ( x 1) A. 7 . Câu 46.. B. 8 .. C. 9 .. D. 5 .. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có f 0 0. Biết y f x là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g ( x) f x3 x là. A. 5. B. 4. C. 6. D. 3. Câu 47. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có f 0 0 . Biết y f x là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g x f x 3 x là Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(193)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 4. Câu 48.. B. 5.. C. 3.. D. 6.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có f 0 0 . Biết y f x là hàm số bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số g x f x 4 x 2 là. A. 4. Câu 49.. B. 3.. C. 6.. D. 5.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x) có f 0 0. Biết y f ( x) là hàm số bậc bốn và có. . đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g ( x) f x 4 x 2 là. A. 3. Câu 50.. B. 6.. C. 5.. D. 4.. (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên có đạo hàm f x liên tục trên và có bảng xét dấu như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y f x 2 2 x có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 4. B. 7. C. 9. D. 11. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(194)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 51.. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho y f x là hàm đa thức bậc 4 và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 12;12 để hàm số g x 2 f x 1 m có 5 điểm cực trị?. A. 13 . Câu 52.. C. 15 .. B. 14 .. D. 12 .. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số f x ax3 bx 2 cx d (với a , b, c, d và a 0 ) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số g x f 2 x 2 4 x . A. 2. Câu 53.. B. 5.. C. 4.. D. 3.. (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ. . . Số điểm cực tiểu của hàm số g x f x 2 x bằng A. 1 . Câu 54.. B. 5 .. C. 2 .. D. 3 .. (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số f ( x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số. x2 2 x g ( x) f e x có bao nhiêu điểm cực trị? 2 . A. 3 .. B. 7 .. C. 6 .. D. 4 .. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(195)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 55.. (Sở Yên Bái - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y f x như hình bên. Đặt g x 2 f x x 2 1 . Khẳng định nào sau đây đúng?. A. Hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 1; . B. Hàm số y g x đồng biến trên khoảng 1;0 . C. Hàm số y g x đạt cực tiểu tại x 0 . D. Hàm số y g x đạt cực đại tại x 1 . Câu 56.. (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y 3 x 4 4 x 3 12 x 2 m có 5 điểm cực trị? A. 16 .. Câu 57.. B. 28 .. C. 26 .. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:. Hàm số y f (2 x ) đạt cực đại tại 1 A. x . B. x 1 . 2 Câu 58.. D. 27 .. C. x 1 .. D. x 2 .. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và. f 0 0; f 4 4 . Biết hàm y f x có đồ thị như hình vẽ. y 5 3 1 O. x 1 2. 4. Số điểm cực trị của hàm số g x f x 2 2 x là A. 2 .. B. 1.. C. 4 .. D. 3 .. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(196)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 59.. (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y f ( x) đồng biến trên 4; có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y f (2 x 2) bằng. A. 7 . Câu 60.. B. 5.. C. 4 .. D. 9 .. (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ dưới đây:. f x f x Tìm điểm cực đại của hàm số y 2019 2020 . A. 2 . B. 3 . C. 0 .. Câu 61.. D. 1 .. (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số y f x là một hàm đa thức có bảng xét dấu. f x như sau. Số điểm cực trị của hàm số g x f x 2 x A. 5 . Câu 62.. B. 3 .. C. 1.. D. 7 .. (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho đồ thị y f x như hình vẽ dưới đây:. là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số 1 y f x 2018 m2 có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các giá trị của các phần tử trong tập 3 S bằng A. 6 . B. 5 . C. 7 . D. 9 . Gọi S. Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(197)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dạng 3. Tìm m để hàm số f(u) thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 1.. . (Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị của hàm đạo hàm f' x. như hình vẽ và g x f 2 x 4 f x m. A. 8 . Câu 2.. . f b 1 .Số giá trị nguyên của. m 5;5. để hàm số. có đúng 5 điểm cực trị là. B. 10 .. C. 9 .. D. 7 .. (Sở Bình Phước - 2020) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số g x f x 2020 m 2 có 5 điểm cực trị?. A. 1. Câu 3.. (Chuyên. B. 2. Lào. Cai 4. C. 4. -. 2020). Cho. D. 5. hàm. số. f x. có. đạo. hàm. 3. f x x 2 x 2 x 4 x 2 2 m 3 x 6m 18 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f x có đúng một điểm cực trị? B. 7 . B. 5 . C. 8 . D. 6 . Câu 4.. (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số h x f 2 x 2 f x 2m có đúng 3 điểm cực trị. A. m 1. B. m 1. C. m 2. D. m 2. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(198)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 5.. f x. (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số. có đạo hàm. 3 5x f x x 2 x a 13x 15 . Tập hợp các giá trị của a để hàm số y f 2 có 6 điểm cực x 4 trị là 5 5 15 5 5 15 5 5 5 5 15 A. ; \ 0; . B. ; \ 0; . C. ; \ 0 . D. ; \ . 4 4 13 4 4 13 4 4 4 4 13 . Câu 6.. 2. (Chuyên Vinh - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x 2 2 x với x . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số f x 2 8 x m có 5 điểm cực trị? A. 15 .. Câu 7.. B. 17 .. C. 16. D. 18. Cho hàm số y f ( x) xác định trên và hàm số y f '( x) có đồ thị như hình bên. Biết rằng. f '( x) 0 với mọi x ; 3, 4 9; . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g ( x) f ( x) mx 5 có đúng hai điểm cực trị.. A. 7. Câu 8.. B. 8.. C. 6.. D. 5.. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y f ( x ) . Hàm số y f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.. y x 0. 1. 2. 3. Tìm m để hàm số y f ( x 2 m) có 3 điểm cực trị. A. m 3; . Câu 9.. B. m 0;3 .. C. m 0;3 .. D. m ;0 . 2. . . (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số f x x 2 x 2 4 x 3 với mọi. x . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y f x 2 10 x m 9 có 5 điểm cực trị? A. 18 . Câu 10.. B. 16 .. C. 17 .. (Chuyên Bắc Giang - Lần 4 - 2019) Cho hàm số. D. 15 .. y f x. có đạo hàm. 2. f x x 2 x 1 x 2 2 m 1 x m2 1 , x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số g x f x có 5 điểm cực trị? A. 3.. B. 5.. C. 2.. D. 4.. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(199)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 11.. (Sở GD Quảng Nam - 2019) Cho hai hàm đa thức y f x , y g x có đồ thị là hai đường cong ở hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số y f x có đúng một điểm cực trị là A , đồ thị hàm số 7 y g x có đúng một điểm cực trị là B và AB . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 4 thuộc khoảng 5;5 để hàm số y f x g x m có đúng 5 điểm cực trị?. A. 1 . Câu 12.. B. 3 .. C. 4 .. D. 6 .. (Sở GD Bạc Liêu - 2019) Cho hàm số y f x x3 2m 1 x 2 2 m x 2 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số. a a m để hàm số y f x có 5 điểm cực trị là ; c , (với a, b, c là các số nguyên, là phân số b b tối giản). Giá trị của biểu thức M a 2 b 2 c 2 là A. M 40 . B. M 11 . C. M 31 . Câu 13.. D. M 45 .. (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 3 - 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tập hợp S tất cả các giá trị thực của tham số. m. để hàm số g x 2 f 2 x 3 f x m có đúng 7 điểm cực trị, biết phương trình. f '( x ) 0 có đúng 2 nghiệm phân biệt,. A. S 5;0 . Câu 14.. B. S 8;0 .. f a 1, f b 0 , lim f x và lim f x . x x . 1 C. S 8; . 6 . 9 D. S 5; . 8 . (THPT Thanh Chương - Nghệ An - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 1 y x3 (3 m) x 2 (3m 7) x 1 có 5 điểm cực trị? 3 B. 5 . C. 2 . D. 4 . A. 3 . -------------------- HẾT --------------------. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(200)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số y, y’ -Định lí cực trị Điều kiện cần (định lí 1): Nếu hàm số y f (x ) có đạo hàm trên khoảng (a ;b ) và đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x thì f (x ) 0. Điều kiện đủ (định lí 2): Nếu f (x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số y f (x ) đạt cực tiểu tại điểm x . Nếu f (x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số y f (x ) đạt cực đại tại điểm x . Định lí 3: Giả sử y f (x ) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x h; x h ), với h 0. Khi đó: Nếu y (x ) 0, y (x ) 0 thì x là điểm cực tiểu. Nếu y (x o ) 0, y (xo ) 0 thì x là điểm cực đại. - Các THUẬT NGỮ cần nhớ Điểm cực đại (cực tiểu) của hàm số là x , giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số là f (x ) (hay y CĐ hoặc yCT ). Điểm cực đại của đồ thị hàm số là M (x ; f (x )). y (x ) 0 Nếu M (x ; y ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số y f (x ) M (x ; y ) y f (x ) . Câu 1.. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 2 . B. 3 .. C. 0 .. D. 4 .. Lời giải Chọn D Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 4 . Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(201)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Hàm số đã cho đạt cực đại tại A. x 2 . B. x 2 .. C. x 1 . Lời giải. D. x 1 .. Chọn D Hàm số đạt cực đại tại điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm. Từ bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại x 1 . Câu 3.. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm f x có bảng biến thiên như sau:. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 3 . B. 5 .. C. 0 . Lời giải. D. 2 .. Chọn B. Từ BBT ta có hàm số đạt giá trị cực tiểu f 3 5 tại x 3 Câu 4.. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau.. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 3 . B. 2 .. C. 2 . Lời giải. D. 3 .. Chọn B Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho là yCĐ 2 . Câu 5.. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 2 . B. 2 .. C. 3 .. D. 1 .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(202)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn D Gía trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 1. Câu 6.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 3 . B. 3 .. C. 1 . Lời giải. D. 2 .. Chọn D Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 2. Câu 7.. (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại x 5 C. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2. B. Hàm số có bốn điểm cực trị D. Hàm số không có cực đại Lời giải. Chọn.C Dựa vào bảng biến thiên. Hàm số có đạo hàm trên và y 2 0; y đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x 2 nên hàm số đạt cực tiểu tại x 2 . Câu 8.. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 5 B. 2. C. 0 Lời giải. D. 1. Chọn A Dựa bào BBT ta có: Giá trị cực đại của hàm số là yCD 5 Câu 9.. (Mã 104 - 2018) Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(203)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 3. B. 1. C. 2 Lời giải. D. 0. Chọn A Hàm số có ba điểm cực trị. Câu 10.. (Mã 110 - 2017) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Tìm giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã cho. A. yCĐ 2 và yCT 0. B. yCĐ 3 và yCT 0. C. yCĐ 3 và yCT 2 D. yCĐ 2 và yCT 2 Lời giải Chọn B Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có yCĐ 3 và yCT 0 . Câu 11.. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:. Hàm số đạt cực đại tại: A. x 2 . B. x 3 .. C. x 1 . Lời giải. D. x 2 .. Chọn C Hàm số f x xác định tại x 1 , f '(1) 0 và đạo hàm đổi dấu từ () sang () Câu 12.. (Mã 103 - 2018) Cho hàm số y ax 4 bx 2 c ( a , b , c ) có đồ thị như hình vẽ bên.. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 B. 0. C. 1 Lời giải. D. 2. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(204)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chọn A Câu 13.. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Hàm số đạt cực đại tại A. x 2 .. B. x 3 .. C. x 1 . Lời giải. D. x 2 .. Chọn B Câu 14.. (Mã 123 - 2017) Cho hàm số y f ( x) có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây sai A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3 C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0. B. Hàm số có hai điểm cực tiểu D. Hàm số có ba điểm cực trị Lời giải. Chọn C Câu 15.. (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x 2 . B. x 2 .. C. x 1 . Lời giải. D. x 3 .. Chọn D Từ bảng biến thiên ta có điểm cực tiểu của hàm số là x 3 . Câu 16.. (Mã 102 - 2018) Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d a, b, c, d có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số này là. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(205)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 3. B. 2. C. 0 Lời giải. D. 1. Chọn B Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Câu 17.. (Mã 101 - 2019) Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x 1 . B. x 3 .. C. x 2 . Lời giải. D. x 1 .. Chọn A Theo bảng biến thiên thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1 Câu 18.. (Mã 101 - 2018) Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d a, b, c, d có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là. A. 2. B. 0. C. 3 Lời giải. D. 1. Chọn A Câu 19.. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Hàm số đạt cực đại tại điểm A. x 1 B. x 0. C. x 5. D. x 2. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(206)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn D Dựa vào bảng biến thiên ta thấy y đối dấu từ sang tại x 2 . Nên hàm số đạt cực đại tại điểm x 2 . Câu 20.. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Điểm cực đại của hàm số đã cho là A. x 3 . B. x 1 .. C. x 2 . Lời giải. D. x 3 .. Chọn A Dựa vào bảng biến thiên ta có: hàm số đạt cực đại tại điểm x 3 . Câu 21.. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Điểm cực đại của hàm số đã cho là A. x 3 . B. x 1 .. C. x 1 . Lời giải. D. x 2 .. Chọn C Từ BBT của hàm số f x suy ra điểm cực đại của hàm số f x là x 1 . Câu 22.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau :. Điểm cực đại của hàm số đã cho là A. x 3. B. x 2.. C. x 2. Lời giải. D. x 1.. Chọn D Câu 23.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(207)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Điểm cực đại của hàm số đã cho là A. x 2 . B. x 3 .. C. x 1 . Lời giải. D. x 3 .. Chọn A Hàm số đã cho xác định trên . Qua x 2 , đạo hàm f x đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại x 2 . Câu 24.. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x như sau:. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0 . B. 2 .. C. 1. Lời giải. D. 3 .. Chọn B x 1 Ta có f x 0 x 0 x 1 Từ bảng biến thiên ta thấy f x đổi dấu khi x qua nghiệm 1 và nghiệm 1; không đổi dấu khi. x qua nghiệm 0 nên hàm số có hai điểm cực trị. Câu 25.. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số f x có bảng xét dấu của f x như sau:. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 . B. 0 .. C. 2 . Lời giải. D. 1.. Chọn C Dựa vào bảng xét dấu của f x hàm số đã cho có 2 điểm cực trị. Câu 26.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x liên tục trên và có bảng xét dấu của f x như sau:. Số điểm cực đại của hàm số đã cho là A. 4 . B. 1.. C. 2 . Lời giải. D. 3 .. Chọn C Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(208)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Do hàm số f x liên tục trên , f 1 0 ,. f 1 không xác định nhưng do hàm số liên tục trên nên tồn tại f 1 và f x đổi dấu từ " " sang " " khi đi qua các điểm x 1 , x 1 nên hàm số đã cho đạt cực đại tại 2 điểm này. Vậy số điểm cực đại của hàm số đã cho là 2. Câu 27.. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm f x liên tục trên và có bảng xét dấu f x như sau:. Số điểm cực tiểu của hàm số là A. 1 . B. 2 .. C. 3 . Lời giải. D. 4 .. Chọn B Ta thấy f x đổi dấu 2 lần từ sang khi qua các điểm x 1; x 1 nên hàm số có 2 điểm cực tiểu. Câu 28.. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f ( x) liên tục trên và có bảng xét dấu của f ( x) như sau:. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 2. B. 4.. C. 3.. D. 1.. Lời giải Chọn A Câu 29.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x liên tục trên R có bảng xét dấu f ' x . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là: A. 3. B. 1.. C. 2.. D. 4.. Lời giải Chọn C Ta có: f ' x 0 , f ' x không xác định tại x 2; x 1; x 2, x 3 . Nhưng có 2 giá trị. x 2; x 2 mà qua đó f ' x đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đã cho có 2 điểm cực đại. Dạng 2. Tìm cực trị của hàm số khi biết y, y’ Bài toán: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu (nếu có) của hàm số y f ( x). Phương pháp: Sự dụng 2 qui tắc tìm cực trị sau: Quy tắc I: sử dụng nội dụng định lý 1 Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Bước 2. Tính đạo hàm y f ( x). Tìm các điểm xi , ( i 1, 2, 3,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4. Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị (dựa vào nội dung định lý 1).. Quy tắc II: sử dụng nội dụng định lý 2 Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(209)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Bước 2. Tính đạo hàm y f ( x). Giải phương trình f ( x) 0 và kí hiệu xi , (i 1, 2, 3,..., n) là các nghiệm. của nó. Bước 3. Tính f ( x) và f ( xi ). Bước 4. Dựa vào dấu của y( xi ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi :. + Nếu f ( xi ) 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi . + Nếu f ( xi ) 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi . Câu 1.. 3. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 1 x 4 , x . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là A. 3 . B. 4 .. C. 2 . Lời giải. D. 1 .. Chọn D. x 0 Ta có f x 0 x 1 x 4 Bảng xét dấu f x :. Từ bảng xét dấu suy ra hàm số có đúng 1 điểm cực đại. Câu 2.. 3. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 1 x 4 , x . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là A. 2 . B. 3 .. C. 4 . Lời giải. D. 1 .. Chọn D x 0 f x 0 x x 1 x 4 0 x 1 . x 4 Lập bảng biến thiên của hàm số f x 3. Vậy hàm số đã cho có một điểm cực đại. Câu 3.. 3. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có f x x x 1 x 4 , x . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 4 .. B. 3 .. C. 1 . Lời giải. D. 2 .. Chọn D x 0 f x x x 1 x 4 0 x 1 . x 4 Bảng xét dấu của f x 3. x. . 1. 0. 4. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương .
<span class='text_page_counter'>(210)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. f x. 0 0 Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu là x 1 và x 4 .. Câu 4.. 0. 3. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x x x 1 x 4 , x . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 Lời giải Chọn A x 0 3 Ta có: f ' x 0 x x 1 x 4 0 x 1 . x 4 Bảng biến thiên:. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu. Câu 5.. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) x( x 1)( x 2)3 , x R . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 1 B. 3 C. 2 D. 5 Lời giải Chọn B Phương trình f ( x ) 0 x( x 1)( x 2)3 0 x 0 x 1 x 2 Do f ( x) 0 có ba nghiệm phân biệt và f ( x) đổi dấu qua ba nghiệm này nên hàm số có ba điểm cực trị.. Câu 6.. (Mã 101 - 2019) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ( x ) x x 2 , x . Số điểm cực trị của. 2. hàm số đã cho là A. 2 .. B. 1.. C. 0 . Lời giải. D. 3 .. Chọn B Bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị đó là điểm cực tiểu x 0 . Câu 7.. 2. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 1 , x R. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 2 .. B. 0 .. C. 1. Lời giải. D. 3 .. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(211)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn C Xét dấu của đạo hàm:. Ta thấy đạo hàm đổi dấu đúng 1 lần nên hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị Câu 8.. 2. (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 1 , x . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 1 .. B. 2 .. C. 3 . Lời giải. D. 0 .. Chọn A x 0 x 0 2 Ta có f x 0 x x 1 0 . 2 x 1 x 1 0 Vì nghiệm x 0 là nghiệm bội lẻ và x 1 là nghiệm bội chẵn nên số điểm cực trị của hàm số là 1. Câu 9.. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm f ( x) x( x 2) 2 , x . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn D x 0 x 0 Ta có: f ( x) 0 x( x 2)2 0 x 2 0 x 2 Bảng biến thiên:. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có 1 điểm cực trị x 0 . Câu 10.. (THPT. Lê. Quý. Dôn. Dà. Nẵng. 2019). Cho. hàm. số. f x. có. f ' x x 1 x 3 x x 2 với mọi x . Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là 2. A. x 2 .. 3. 4. B. x 3 .. C. x 0 . Lời giải. D. x 1 .. Ta có 2. 3. f ' x x 1 x 3 x x 2 . 4. x 0 x 1 . f ' x 0 x 2 x 3. Bảng xét dấu đạo hàm.. Suy ra hàm số f x đạt cực tiểu tại x 0. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương đạo. hàm.
<span class='text_page_counter'>(212)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 11.. (Chuyên Sơn La 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 3 x 1 x 2 , x . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 1 . B. 3 .. C. 5 .. D. 2 .. Lời giải. x 0 Ta có: f x 0 x x 1 x 2 0 x 1 . x 2 3. Bảng xét dấu:. Dựa vào bảng xét dấu nhận thấy hàm số f x có 3 điểm cực trị. Câu 12.. (VTED 2019) Hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x 2 ... x 2019 , x R . Hàm số y f x có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 1008. B. 1010. C. 1009 Lời giải. D. 1011. Chọn B x 1 x 2 Ta có: f x x 1 x 2 ... x 2019 0 ...... x 2019. f x 0 có 2019 nghiệm bội lẻ và hệ số a dương nên có 1010 cực tiểu 3. Câu 13. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Hàm số f x có đạo hàm f x x 2 x 1 x 2 ,. x . Hỏi f x có bao nhiêu điểm cực đại? A. 2 . B. 0 . C. 1.. D. 3 .. Lời giải x2 0 x 0 Ta có f x 0 x 1 0 x 1 . 3 x 2 x 2 0 Bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có 1 điểm cực đại. 2. Câu 14. (THPT Cù Huy Cận 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm là f x x x 1 x 2 x . Số điểm cực trị của hàm số là? A. 5 . B. 2 .. C. 1 .. D. 3 .. Lời giải Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(213)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 0 Ta có f x 0 x 1 . Do x 0, x 1 là nghiệm đơn, còn các nghiệm và x 2 là nghiệm x 2 bội chẵn nên f x chỉ đổi khi đi qua x 0, x 1 . a 0 Hàm số 1 m 2 4 0 m 2 m 2 có 2 điểm cực trị. 0 Câu 15. (Sở. Bình. Phước 2. Cho. 2019) 3. hàm. f x. số. có. đạo. hàm. 4. f x x 1 x 2 x 3 x 4 , x . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3. C. 2 Lời giải. B. 5. D. 4. Chọn C. x 1 x 2 f x 0 x 3 x 4 Bảng biến thiên:. Dựa vào bảng biến thiên: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2. Câu 16. (THPT. Gia. Lộc. Hải. Dương. Cho. 2019). hàm. số. f x. có. đạo. hàm. 2. f x x x 1 x 2 , x . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là. A. 5 .. D. 3 .. B. 2 .. C. 1. Lời giải x 0 2 Ta có f x 0 x x 1 x 2 0 x 1 . x 2 Lập bảng xét dấu của f x như sau:. Ta thấy f x đổi dấu khi đi qua các điểm x 0 và x 1 , do đó hàm số y f x có hai điểm cực trị. Câu 17.. (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 x 2 3 x 4 9 . Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 3 .. B. 4 . 2. C. 2 . Lời giải. . f x x 2 x 2 3 x 2 3 x 2 x 3. 2. D. 1. 2. x 3 x. 2. 3. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(214)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. . f x 0 x 2 x 3. 2. . x 3 2 x 3 x 2 3 0 x 3 . x 2 . . Bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên của hàm số y f x , ta thấy hàm số y f x có đúng 1 điểm cực trị. Câu 18. (THCS. - THPT. Nguyễn. Khuyến 2019) Nếu hàm số. f x. có đạo hàm. là. f ' x x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 thì tổng các điểm cực trị của hàm số f x bằng 4. A. 1 .. B. 2 .. C. 1. D. 0 . Lời giải 2 5 Có f ' x x 2 x 2 x 1 . Ta thấy f ' x chỉ đổi dấu qua nghiệm x 1 nên hàm số f x có đúng một điểm cực trị là x 1. Vậy tổng các điểm cực trị của hàm số f x bằng 1 . Câu 19.. y f x có đạo hàm. (Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Cho hàm số 3. . . f ' x x x 2 2 x x 2 2 x . Số điểm cực trị của hàm số là A. 4. B. 1. D. 3. C. 2 Lời giải. Chọn D Cách 1: Sử dụng MTCT chọn một số nằm giữa các khoảng suy ra bảng xét dấu x. . 4 2. 2. f ' x. . 0. . 0. 4. 0 0. . . . 2. 0. . f ' x đổi dấu 3 lần qua x 2 , x 4 2 , x 4 2 . suy ra hàm số có 3 cực trị. Cách 2: Sử dụng nghiệm bội chẵn lẻ, nghiệm đơn. 3. . . 2. . . f ' x x x2 2 x x2 2 x4 x 2 x 2 x 4 2 x 4 2. . f ' x đổi dấu qua 3 nghiệm đơn. 2 nghiệm bội chẵn không đổi dấu nên có 3 cực trị. Câu 20.. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và f x x 1 x 2 . A. 3. 2. x 3 . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: B. 1. C. 0 Lời giải. D. 2. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(215)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn D x 1 Ta có f x 0 x 2 x 3 Bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có 2 điểm cực trị. Câu 21. (Đề Minh Họa 2017) Tìm giá trị cực đại yC§ của hàm số y x3 3 x 2 . A. yC§ 1 B. yC§ 4 C. yC§ 1 D. yC§ 0 Lời giải Chọn B x 1 y 1 0 Ta có y 3 x 2 3 y 0 3 x 2 3 0 x 1 y 1 4 3 2 3 2 lim x 3 3x 2 lim x3 1 2 3 , lim x 3 3 x 2 lim x3 1 2 3 x x x x x x x x Bảng biến thiên. . . . . Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số bằng 4 Câu 22.. 2x 3 có bao nhiêu điểm cực trị? x 1 B. 3 C. 0 Lời giải. (Mã 104 - 2017) Hàm số y A. 1. D. 2. Chọn C Có y . 1. x 1. 2. 0, x 1 nên hàm số không có cực trị.. x2 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x 1 A. Cực tiểu của hàm số bằng 3 B. Cực tiểu của hàm số bằng 1 C. Cực tiểu của hàm số bằng 6 D. Cực tiểu của hàm số bằng 2 Lời giải Chọn D Cách 1. x 3 x2 2x 3 Ta có: y ; y 0 x 2 2 x 3 0 2 x 1 x 1. Câu 23. Cho hàm số y . Lập bảng biến thiên. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và giá trị cực tiểu bằng 2 . Cách 2. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(216)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 3 x 2x 3 Ta có y ; y 0 x 2 2 x 3 0 2 x 1 x 1 1 1 8 . Khi đó: y 1 0 ; y 3 0 . y 3 2 2 x 1 2. Nên hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và giá trị cực tiểu bằng 2 . Câu 24. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Điểm cực đại của đồ thị hàm số y x 3 6 x 2 9 x có tổng hoành độ và tung độ bằng A. 5 . B. 1 . C. 3 . D. 1 . Lời giải x 1 Ta có: y ' 3x 2 12 x 9 0 x 3 Bảng biến thiên. Khi đó: xCD 1 yCD 4 xCD yCD 5. Câu 25.. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm giá trị cực tiểu yCT của hàm số y x3 3x 4 . A. yCT 6. B. yCT 1. C. yCT 2 Lời giải 2 Tập xác định: D ; y 3x 3 ; y 0 x 1 . Bảng biến thiên. D. yCT 1. Vậy yCD y 1 2 ; yCT y 1 6 . Câu 26. (THPT Cù Huy Cận 2019) Giá trị cực tiểu yCT của hàm số y x3 3 x 2 4 là: A. yCT 0 . B. yCT 3 . C. yCT 2 . D. yCT 4 . Lời giải Ta có y 3 x 2 6 x, y 6 x 6 x 0 y 0 x 2 y 0 6, y 2 6. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x 2 yCT y 2 0 . Câu 27. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Đồ thị hàm số y x 4 x 2 1 có bao nhiêu điểm cực trị có tung độ là số dương? A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Lời giải Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(217)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Tập xác định D .. x 0 y 1 3 y 4x 2x ; y 0 . x 2 y 3 2 4 Suy ra đồ thị có hàm số y x 4 x 2 1 có 3 điểm cực trị có tung độ là số dương. Câu 28.. (Hsg Bắc Ninh 2019) Hàm số nào dưới đây không có cực trị? 2x 2 x2 1 A. y B. y C. y x 2 2 x 1 x 1 x Lời giải 2x 2 + Xét hàm số y . x 1 4 Tập xác định D \ 1 , y 0, x D . 2 x 1. D. y x3 x 1. Nên hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định. 2x 2 Do đó hàm số y không có cực trị. x 1 Câu 29. (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số y x 4 2 x 2 1 . Xét các mệnh đề sau đây 1) Hàm số có 3 điểm cực trị. 2) Hàm số đồng biến trên các khoảng 1; 0 ; 1; . 3) Hàm số có 1 điểm cực trị. 4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 ; 0;1 . Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên? A. 2. B. 1. C. 4. Lời giải x 0 y 1 y ' 4 x3 4 x y ' 0 x 1 y 0 x 1 y 0 Bảng xét dấu:. D. 3.. Hàm số có 3 điểm cực trị, đồng biến trên khoảng 1; 0 ; 1; và nghịch biến trên khoảng. ; 1 ; 0;1 . Vậy mệnh đề 1 , 2 , 4 Câu 30.. đúng.. (THPT Ba Đình 2019) Tìm giá trị cực đại của hàm số y x 3 3 x 2 2 . A. 2 . B. 0 . C. 2 . D. 1. Lời giải Tập xác định của hàm số là D . x 0 Ta có: y 3 x 2 6 x y 0 . x 2. y 6 x 6 y 0 6 0 Giá trị cực đại của hàm số là: y 0 2 . Câu 31.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Hàm số y . 1 4 1 3 5 2 x x x 3x 2019m m đạt 4 3 2. cực tiểu tại điểm: Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(218)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. x 3 .. B. x 3 .. C. x 1 . Lời giải. D. x 1 .. TXĐ: D .. x3 y x 3 x 2 5 x 3 ; y 0 x3 x 2 5 x 3 0 . x 1. Hàm số đạt cực tiểu tại x 3 . Câu 32.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Điểm cực đại của đồ thị hàm số y x 3 3 x 1 là: A. M 1; 1 .. B. N 0;1 .. C. P 2; 1 .. D. Q 1;3 .. Lời giải 2. y ' 3x 3; y ' 0 x 1 y '' 6 x; y '' 1 6 0; y '' 1 6 0 Do đó hàm số đạt cực đại tại x 1; y 1 3 . Vậy chọn đáp án Q 1;3 . Câu 33.. 1 (Sở Ninh Bình 2019) Hàm số y x 3 x 2 3 x 1 đạt cực tiểu tại điểm 3 A. x 1 . B. x 1 . C. x 3 . D. x 3 . Lời giải 1 Ta có hàm số y x3 x 2 3 x 1 có tập xác định D . 3 x 1 y x 2 2 x 3 ; y 0 . x 3 y 2 x 2 ; y 3 4 0 ; y 1 4 0 .. Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1 . Câu 34.. (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Tìm số điểm cực trị của hàm số y x 4 2 x 2 . A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. Lời giải Chọn C Tự luận Tập xác định: D . x 0 y 4 x 3 4 x 0 . x 1 Bảng biến thiên:. Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị. Trắc nghiệm Hàm số bậc 4 trùng phương y ax 4 bx 2 c có hệ số a.b 0 thì sẽ có 3 điểm cực trị. Vậy chọn ngay đáp án C. Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(219)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 35.. (Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 x 2 5 x 5 là 5 40 A. 1; 8 B. 0; 5 C. ; D. 1;0 3 27 Lời giải Chọn A x 1 . y 3 x 2 x 5 0 x 5 3 y 6 x 2 . Ta có: y 1 8 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 ; yCT y 1 8 . 2. Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là 1; 8 . Câu 36. Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị? 2x 3 . B. y x 4 . C. y x3 x . D. y x 2 . A. y x2 Lời giải Chọn A. 2x 3 + Hàm số y x2 D Tập xác định: ; 2 2; . Có y ' . 7. x 2. 2. 0 x D hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định hàm số. không có cực trị. Các hàm số khác dễ dàng chứng minh được y’ có nghiệm và đổi dấu qua các nghiệm. Riêng hàm số cuối y’ không xác định tại -2 nhưng hàm số xác định trên R và y’ đổi dấu qua -2 do đó có hàm số có điểm cực trị x = -2. -------------------- HẾT --------------------. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(220)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. Dạng 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0 Bước 1. Tính y ' x0 , y '' x0 Bước 2. Giải phương trình y ' x0 0 m ? y '' 0 x0 CT Bước 3. Thế m vào y '' x0 nếu giá trị y '' 0 x0 CD Dạng 1.1 Hàm số bậc 3. Câu 1.. (Mã 110 - 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y cực đại tại x 3 . A. m 1. B. m 7. C. m 5 Lời giải. 1 3 x mx 2 m 2 4 x 3 đạt 3. D. m 1. Chọn C Ta có y x 2 2mx m 2 4 ; y 2 x 2m . 1 y 3 0 Hàm số y x 3 mx 2 m 2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3 khi và chỉ khi: 3 y 3 0 m 1 L 9 6m m2 4 0 m2 6m 5 0 m 5 TM . 6 2m 0 m 3 m 3 Vậy m 5 là giá trị cần tìm.. Câu 2.. (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm m để hàm số y x 3 2mx 2 mx 1 đạt cực tiểu tại x 1 A. không tồn tại m . B. m 1 . C. m 1 . D. m 1;2 . Lời giải m 1 y 1 0 3 4 m m 0 Để x 1 là điểm cực tiểu của hàm số 3 m 1. 6 4 m 0 m y 1 0 2. Thử lại với m 1, ta có y x 3 2 x 2 x 1 ; y 3 x 2 4 x 1 . x 1 2 y 0 3x 4 x 1 0 1. x 3 Bảng biến thiên:. Quan sát bảng biến thiên ta thấy m 1 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 3.. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3 x 2 mx 1 đạt cực tiểu tại x 2 . A. m 0 . B. m 4 . C. 0 m 4 . D. 0 m 4 . Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(221)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. y 3 x 2 6 x m ; y 6 x 6 . m 0 y 2 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 m 0. 6 0 y 2 0 Câu 4.. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 y x 3 mx 2 m 2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3 . 3 A. m 1, m 5 . B. m 5 . C. m 1. D. m 1 . Lời giải Tập xác định . Ta có y x 2 2mx m 2 4, y 2 x 2m. Để hàm số y . 1 3 x mx 2 m 2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3 thì 3. m 5 y 3 0 m 2 6 m 5 0 m 1 m 5. . y 3 0 6 2 m 0 3 m Câu 5.. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Có bao 1 y x3 mx 2 m 2 m 1 x 1 đạt cực đại tại x 1 . 3 A. 0 B. 2 C. 1 Lời giải Chọn C y ' x 2 2mx m 2 m 1 y '' 2 x 2m. nhiêu. số. thực. m để. hàm. số. D. 3. y ' 1 0 m 2 3m 2 0 m 1 m 2 Hàm số đạt cực đại tại x 1 nên ta có m2 m 1 2 2m 0 y '' 1 0 Thử lại với m 2 ta có y '' 2 x 4 y '' 1 2 0 Do đó Hàm số đạt cực đại tại x 1 Câu 6.. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 y x 3 mx 2 m 2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3 . 3 A. m 1, m 5 . B. m 5 . C. m 1 . D. m 1 . Lời giải Chọn B Tập xác định . Ta có y x 2 2mx m 2 4, y 2x 2m. Để hàm số y . 1 3 x mx 2 m 2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3 thì 3. m 5 m 2 6m 5 0 y 3 0 m 1 m 5. 6 2m 0 3 m y 3 0 . Câu 7.. (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - 2019) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y x3 3m 1 x 2 m2 x 3 đạt cực tiểu tại x 1 . A. 5;1 .. B. 5 .. C. .. D. 1 .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(222)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn B Ta có y 3x 2 2 3m 1 x m2 y 6 x 6m 2 . m 1 2 m 6m 5 0 f 1 0 m 5 Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 m 5. 6 m 8 0 m 4 f 1 0 3 Câu 8.. (THPT Kinh Môn - 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 y x3 mx 2 m 1 x 1 đạt cực đại tại x 2 ? 3 A. m 2 . B. m 3 . C. Không tồn tại m . D. m 1 . Lời giải Chọn D Ta có y x 2 2mx m 1 . Giả sử x 2 là điểm cực đại của hàm số đã cho, khi đó 2 y 2 0 2 2 m 2 m 1 0 5 m 5 0 m 1 . 1 Với m 1 , ta có y x 3 x 2 1 . 3 x 2 y x 2 2 x ; y 0 x 2 2 x 0 . x 0 Ta có bảng biến thiên:. Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận m 1 là giá trị cần tìm. Câu 9.. (Chuyên ĐHSPHN - Lần 3 - 2019) Tập hợp các số thực m y x3 3mx 2 (m 2) x m đạt cực tiểu tại x 1 là. A. 1 . B. 1 . C. . D. R .. để hàm số. Lời giải Chọn C. y 3 x 2 6mx m 2 y 6 x 6m y(1) 0 5m 5 0 m 1 Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 khi không có giá trị của m . y(1) 0 6 6 m 0 m 1 Dạng 1.2 Hàm số đa thức bậc cao, hàm căn thức … Câu 10.. (Chuyên QH Huế - Lần 2 - 2019) Xác định tham số m sao cho hàm số y x m x đạt cực trị tại x 1 . A. m 2 . B. m 2 . C. m 6 . D. m 6 . Lời giải Chọn A. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(223)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. y f x 1 . m , x 0 2 x. Để hàm số đạt cực trị tại x 1 thì f 1 0 1 . m 0 m 2 . 2. Thử lại với m 2 , hàm số y x 2 x có cực tiểu tại x 1 , do đó m 2 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 11.. (Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y m 1 x 4 m 2 2 x 2 2019 đạt cực tiểu tại x 1 .. A. m 0 .. B. m 2 .. C. m 1. Lời giải. D. m 2 .. Chọn D Tập xác định: D . Đạo hàm: y 4 m 1 x 3 2 m 2 2 x .. m 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 y 1 0 4 m 1 2 m 2 2 0 . m 2 Với m 0 , hàm số trở thành y x 4 2 x 2 2019 . Dễ thấy hàm số đạt cực đại tại x 1 . Với m 2 , hàm số trở thành y x 4 2 x 2 2019 . Dễ thấy hàm số đạt cực tiểu tại x 1 . Vậy m 2 thì hàm số y m 1 x 4 m 2 2 x 2 2019 đạt cực tiểu tại x 1 . Câu 12. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho hàm số y f x xác định trên tập số thực và có. . đạo hàm f ' x x sin x x m 3 x 9 m 2. 3. x ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị. nguyên của m để hàm số y f x đạt cực tiểu tại x 0 ? A. 6. B. 7. C. 5 Lời giải. D. 4. Điều kiện 9 m2 0 3 m 3 TH 1: 0 m 3 ta có BTT. TH 2: 3 m 0 ta có BTT. TH 2: m 3 ta có BTT. Từ đó suy ra 3 m 3 có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(224)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 13.. (Mã 101 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số y x 8 m 2 x 5 m 2 4 x 4 1 đạt cực tiểu tại x 0 ? B. 3. A. Vô số. C. 5 Lời giải. m. để hàm số. D. 4. Chọn D Ta có y x 8 m 2 x 5 m 2 4 x 4 1 y 8 x 7 5 m 2 x 4 4 m 2 4 x 3 .. . . y 0 x3 8 x 4 5 m 2 x 4 m 2 4. 0. x 0 4 2 g x 8 x 5 m 2 x 4 m 4 0 Xét hàm số g x 8 x 4 5 m 2 x 4 m 2 4 có g x 32 x3 5 m 2 . Ta thấy g x 0 có một nghiệm nên g x 0 có tối đa hai nghiệm + TH1: Nếu g x 0 có nghiệm x 0 m 2 hoặc m 2 Với m 2 thì x 0 là nghiệm bội 4 của g x . Khi đó x 0 là nghiệm bội 7 của y và y đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x 0 nên x 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m 2 thỏa ycbt. x 0 4 Với m 2 thì g x 8 x 20 x 0 . x 3 5 2 Bảng biến thiên. Dựa vào BBT x 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m 2 không thỏa ycbt. + TH2: g 0 0 m 2 . Để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 g 0 0 m 2 4 0 2 m 2 . Do m nên m 1;0;1 .. Vậy cả hai trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của m thỏa ycbt. Câu 14. (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số x 5 mx 4 y 2 đạt cực đại tại x 0 là: 5 4 A. m . B. m 0 . C. Không tồn tại m . D. m 0 . Lời giải Chọn D x5 mx 4 Đặt f x 2. 5 4 Ta có: f x x 4 mx3 . Khi m 0 thì f x x 4 0 , x nên hàm số không có cực trị. x 0 Khi m 0 , xét f x 0 x 4 mx3 0 x3 x m 0 . x m Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(225)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. + Trường hợp m 0 ta có bảng biến thiên:. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 0 . + Trường hợp m 0 ta có bảng biến thiên:. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x 0 . Như vậy, để hàm số đạt cực đại tại x 0 thì m 0 . Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của. m. thuộc khoảng. m 1 5 m 2 4 x x m 5 đạt cực đại tại x 0 ? 5 4 A. 101. B. 2016 . C. 100 . Lời giải Chọn B 3 Ta xét: m 1 y x 4 6 y 3 x3 y 0 x 0 . 4 Ta có, bảng xét dấu y 2 x3. 2019;2019. y. D. 10 .. Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x 0 là điểm cực tiểu. Suy ra m 1 (loại). x1 0 4 3 Ta xét: m 1 y m 1 x m 2 x y ' 0 . x2 m 2 m 1 Trường hợp 1: xét m 1 , suy ra x2 x1 . Ta có, bảng xét dấu y m 1 x 4 m 2 x3. Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x 0 là điểm cực tiểu. Suy ra m 1 (loại). Trường hợp 2: 2 m 1, suy ra x2 x1 . Ta có, bảng xét dấu y m 1 x 4 m 2 x3. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương để hàm số.
<span class='text_page_counter'>(226)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x 0 là điểm cực tiểu. Suy ra 2 m 1 (loại). Trường hợp 3: m 2 , suy ra x2 x1 . Ta có, bảng xét dấu y m 1 x 4 m 2 x3. Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x 0 là điểm cực đại. Suy ra m 2 (nhận). Vậy, tập hợp tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài là m 2 mà m thuộc khoảng 2019;2019 . Suy ra, số giá trị nguyên của m là 2016. Câu 16.. (Mã 104 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số y x 8 m 3 x 5 m 2 9 x 4 1 đạt cực tiểu tại x 0 ? A. 6. B. Vô số. C. 4 Lời giải. m. để hàm số. D. 7. Chọn A Ta có y x 8 m 3 x 5 m 2 9 x 4 1 y 8 x 7 5 m 3 x 4 4 m 2 9 x 3 .. . . y 0 x 3 8 x 4 5 m 3 x 4 m 2 9. 0. x 0 4 2 g x 8 x 5 m 3 x 4 m 9 0 Xét hàm số g x 8 x 4 5 m 3 x 4 m 2 9 có g x 32 x3 5 m 3 . Ta thấy g x 0 có một nghiệm nên g x 0 có tối đa hai nghiệm +) TH1: Nếu g x 0 có nghiệm x 0 m 3 hoặc m 3 Với m 3 thì x 0 là nghiệm bội 4 của g x . Khi đó x 0 là nghiệm bội 7 của y và y đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x 0 nên x 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m 3 thỏa ycbt. x 0 4 Với m 3 thì g x 8 x 30 x 0 . x 3 15 4 Bảng biến thiên. Dựa vào BBT x 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m 3 không thỏa ycbt. +) TH2: g 0 0 m 3 . Để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 g 0 0 m 2 9 0 3 m 3 . Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(227)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Do m nên m 2; 1;0;1;2 . Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa ycbt. Câu 17.. (Mã 103 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số y x 8 m 4 x 5 m 2 16 x 4 1 đạt cực tiểu tại x 0 . A. 8. B. Vô số. C. 7 Lời giải. m. để hàm số. D. 9. Chọn A Ta có y ' 8 x 7 5 m 5 x 4 4 m 2 16 x 3 x3 8 x 4 5 m 4 x 4 m 2 16 x3 .g x Với g x 8 x 4 5 m 5 x 4 m 2 16 . ● Trường hợp 1 : g 0 0 m 4 . Với m 4 y ' 8 x 7 . Suy ra x 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Với m 4 y ' 8 x 4 x 3 5 . Suy ra x 0 không là điểm cực trị của hàm số. ● Trường hợp 2 : g 0 0 m 4 . Để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 thì qua giá trị x 0 dấu của y ' phải chuyển từ âm sang dương do đó g 0 0 4 m 4 . Kết hợp hai trường hợp ta được 4 m 4 . Do m m 3; 2; 1;0;1;2;3; 4 . Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn. Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x12 (m 5) x 7 (m 2 25) x 6 1 đạt cực đại tại x 0 ? A. 8 B. 9 C. Vô số D. 10 Lời giải Chọn B Ta có y ' 12 x11 7(m 5) x 6 6(m2 25) x5 TH1: m 5 y ' 12 x11 . Khi đó y ' 0 x 0 là nghiệm bội lẻ, đồng thời dấu của y’ đổi từ âm sang dương, nên x 0 là điểm cực tiểu của hàm số,do đó không thỏa mãn, m 5 loại. TH2: m 5 y ' x 6 (12 x5 70) 0 x 0 là nghiệm bội chẵn, do đó y’ không đổi dấu khi đi qua x 0 , m 5 loại. TH3: m 5 y ' x 5 12 x 6 7( m 5) x 6(m 2 25) x 5 .g ( x ) Với g ( x) 12 x 6 7(m 5) x 6(m 2 25) , ta thấy x 0 không là nghiệm của g x . Để hàm số đạt cực đại tại x 0 thì y’ phải đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x 0 , xảy ra khi lim g ( x ) 0 và chỉ khi x 0 6( m 2 25) 0 5 m 5 g ( x) 0 xlim 0 Vì m nguyên nên m 4; 3;...;3;4 , vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn bài toán. Câu49. Cho hàm số y x 6 4 m x 5 16 m 2 x 4 2 . Gọi S là tập hợp các gia trị m nguyên dương để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x 0 . Tổng các phần tử của S bằng A. 10. B. 9. C. 6. D. 3. Lời giải. Chọn C Ta có y 6 x 5 5 4 m x 4 4 16 m 2 x 3 x 3 6 x 2 5 4 m x 16 m 2 . 3 x 0 y 0 2 . 2 6 x 5 4 m x 16 m 0 *. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(228)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. *. có 4 m 49m 4 .. 0 Với mọi m nguyên dương thì 5 4 m do đó ta xét các trường hợp sau: 0 6 2 Trường hợp 1: 16 m 0 0 m 4 : * có hai nghiệm âm phân biệt x1 , x2 x1 x2 , ta có bảng xét dấu y như sau:. Lúc này x 0 là điểm cực tiểu. Trường hợp 2: 16 m 2 0 m 4 : * có hai nghiệm trái dấu x1 , x2 x1 0 x2 , ta có bảng xét dấu y như sau:. Từ đây suy ra x 0 là điểm cực đại (không thỏa mãn). Trường hợp 3: * có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm, lúc này x 0 là nghiệm bội 4 của đạo hàm nên không phải là điểm cực trị. Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1, 2, 3. Tổng các phần tử của S bằng 6. Câu 19. (Mã 102 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m y x8 (m 1) x5 (m2 1) x 4 1 đạt cực tiểu tại x 0? A. 3 B. 2 C. Vô số D. 1 Lời giải Chọn B Ta có: y ' 8x 7 5(m 1) x 4 4(m2 1) x3 1 x 3 8 x 4 5 m 1 x 4 m 2 1. . để hàm số. . x 0 y' 0 4 2 (1) 8 x 5 m 1 x 4 m 1 0 *Nếu m 1 thì y ' 8 x7 , suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x 0 . x 0 x 0 *Nếu m 1 thì y ' 0 4 , nhưng x 0 là nghiệm bội chẵn nên x 3 5 8 x 10 x 0 4 không phải cực trị. *Nếu m 1 : khi đó x 0 là nghiệm bội lẻ. Xét g ( x) 8 x4 5 m 1 x 4 m2 1 . Để x 0. . . là điểm cực tiểu thì lim g ( x) 4(m 2 1) 0 m2 1 0 1 m 1 . Vì m nguyên nên chỉ x 0. có giá trị m 0 . Vậy chỉ có hai tham số m nguyên để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 là m 0 và m 1 . Dạng 2. Tìm m để hàm số có n cực trị Hàm số có n cực trị y 0 có n nghiệm phân biệt. Xét hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d : a 0 Hàm số có hai điểm cực trị khi 2 . b 3 ac 0 Hàm số không có cực trị khi y 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Xét hàm số bậc bốn trùng phương y ax 4 bx 2 c. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(229)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Hàm số có ba cực trị khi ab 0. Hàm số có 1 cực trị khi ab 0.. Câu 1.. Biết rằng hàm số y x a x b x 3 có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3. A. ab 0 .. B. ab 0 .. 3. C. ab 0 . Lời giải. D. ab 0 .. Chọn C Ta có y x 3 3a b x 2 3a 2 b 2 x a 3 b3 . y 3 x 2 6 a b x 3 a 2 b 2 .. Câu 2.. Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y có hai nghiệm phân biệt 18ab 0 ab 0 . (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y mx3 2mx2 (m 2) x 1 không có cực trị A. m (; 6) (0; ) .. B. m 6;0 .. C. m 6;0 .. D.. m 6;0 . Lời giải Chọn D Ta có y ' 3mx2 4mx (m 2) . + Nếu m 0 . y ' 2 0 (x ) . Nên hàm số không có cực trị. Do đó m 0 (chọn) (1). + Nếu m 0 . Hàm số không có cực trị y ' không đổi dấu. ' 0 4m2 3m(m 2) 0 m2 6m 0 6 m 0 (do m 0 ) (2). Kết hợp (1) và (2) ta được 6 m 0 . Câu 3.. (Đề Tham Khảo 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y m 1 x 4 2 m 3 x 2 1 không có cực đại? A. 1 m 3. B. m 1. C. m 1 Lời giải. D. 1 m 3. Chọn D TH1: Nếu m 1 y 4 x2 1 . Suy ra hàm số không có cực đại. TH2: Nếu m 1 . Để hàm số không có cực đại thì 2 m 3 0 m 3 . Suy ra 1 m 3 . Vậy 1 m 3 . Câu 4.. (Chuyên Sơn La - Lần 2 - 2019) Để đồ thị hàm số y x 4 m 3 x 2 m 1 có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì tất cả các giá trị thực của tham số m là A. m 3 . B. m 3 . C. m 3. D. m 3 . Lời giải Chọn A y ' 4 x 3 2 m 3 x 2 x 2 x 2 m 3 . x 0 y' 0 2 3 m . x 2 Vì hàm số đã cho là hàm trùng phương với a 1 0 nên hàm số có điểm cực đại mà không có 3 m điểm cực tiểu y ' 0 có đúng 1 nghiệm bằng 0 0 m 3. 2. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(230)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 5.. (Quang Trung - Bình Phước - Lần 5 - 2019) Cho hàm số y x 4 2mx 2 m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có 3 cực trị A. m 0 . B. m 0 . C. m 0 . D. m 0 . Lời giải Chọn A Tập xác định D . y ' 4 x3 4mx 4 x x 2 m .. x 0 y ' 0 4 x x2 m 0 2 x m Hàm số có 3 cực trị y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 0 m 0 . Câu 6.. (Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y m 2 x 4 m 2 2019 m x 2 1 có đúng một cực trị? A. 2019 .. B. 2020 .. C. 2018 . Lời giải. D. 2017 .. Chọn A Trường hợp 1: m 0 y 1 nên hàm số không có cực trị. m 0 (loại). Trường hợp 2: m 0 m 2 0 . Hàm số y m 2 x 4 m 2 2019 m x 2 1 có đúng một cực trị m 2 . m 2 2019 m 0 m 2 2019 m 0 0 m 2019 .. Vì m 0 0 m 2019 . Do m nên có 2019 giá trị nguyên của tham số m thỏa đề. Câu 7.. (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y x3 3 m 1 x 2 3 7m 3 x . Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để hàm số không có cực trị. Số phần tử của S là A. 2 . B. 4 . C. 0 . D. Vô số. Lời giải Chọn B Ta có: y 3x 2 6 m 1 x 3 7m 3 .. y 0 x 2 2 m 1 x 7m 3 0 . Để hàm số không có cực trị thì 2 0 m 1 7m 3 0 m 2 5m 4 0 1 m 4. Do m S 1; 2;3; 4 . Vậy S có 4 phần tử.. Câu 8.. (HSG - TP Đà Nẵng - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x 4 4mx3 3 m 1 x 2 1 có cực tiểu mà không có cực đại. . 1 7 . 3 1 7 C. m ; . 3 . A. m ;. 1 7 ;1 1. 3 . B. m . 1 7 1 7 ; 1. 3 3. D. m . Lời giải Chọn D Ta có: y 4 x3 12mx 2 6 m 1 x . Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(231)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. + TH1: m 1 , ta có: y 4 x3 12 x 2 4 x 2 ( x 3) . Bảng xét dấu. Hàm số có 1 cực tiểu duy nhất. x 0 Ta có: y 0 2 2 x 6mx 3m 3 0(*) + TH2: m 1 Để hàm số đã cho chỉ có một cực tiểu thì phương trình * không có hai nghiệm phân biệt 2. 3m 2 3m 3 0 . 1 7 1 7 m . 2 2. 1 7 1 7 ; 1. 3 3. Vậy m Câu 9.. (HSG 12 - Bắc Ninh - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 2 x 1 x 2 2mx 5 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có đúng một điểm cực trị? A. 0 . B. 5 . C. 6 . D. 7 . Lời giải Chọn C Hàm số f x có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi tam thức g x x 2 2mx 5 vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là x 1 , hoặc g x có nghiệm kép x 1. 2 g 0 m 5 0 2m 6 0 5 m 5 g 1 0 2 Tức là . Do đó tập các giá trị nguyên thỏa mãn m 5 0 0 m 3 g b m 1 1 0 a g g 0 yêu cầu bài toán là S 2, 1, 0, 1, 2, 3 . Câu 10.. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x3 y mx 2 2mx 1 có hai điểm cực trị. 3 m 2 A. 0 m 2 . B. m 2 . C. m 0 . D. . m 0 Lời giải 2. Ta có: y x 2mx 2m x3 mx 2 2mx 1 có hai điểm cực trị y 0 có hai nghiệm phân biệt 3 m 2 . m 2 2m 0 m 0. Hàm số y . Câu 11.. (THPT Ba Đình 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x 3 3 x 2 2mx m có cực đại và cực tiểu?. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(232)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 3 A. m . 2. 3 B. m . 2. 3 C. m . 2 Lời giải. D. m . 3 . 2. + TXĐ: D + y 3 x 2 6 x 2m + Hàm số có cực đại và cực tiểu y 0 có 2 nghiệm phân biệt. 3 36 24m 0 m . 2 Câu 12.. 1 (Chuyên Bắc Giang 2019) Tập hợp các giá trị của m để hàm số y x3 mx 2 m 2 x 1 có 3 hai cực trị là: A. ; 1 2; B. ; 1 2; C. 1; 2 D. 1; 2 Lời giải Chọn B Ta có y x 2 2mx m 2 . Để hàm số có hai cực trị thì y 0 có hai nghiệm phân biệt nên m 1 y 0 0 m 2 m 2 0 m 2. Câu 13.. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho hàm số y mx 4 x 2 1 . Tập hợp các số thực m để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị là A. 0; . B. ;0 . C. 0; . D. ;0 . Lời giải Tập xác định D . TH1: m 0 hàm số đã cho trở thành y x 2 1 là một hàm bậc hai nên luôn có một cực trị. TH2: m 0 , ta có y 4mx 3 2 x . x 0 . y 0 4 mx 3 2 x 0 2 x 2mx 2 1 0 2 2mx 1 0 Để hàm số có đúng một cực trị thì phương trình y 0 có đúng 1 nghiệm. Ycbt Phương trình có một nghiệm x 0 hoặc vô nghiệm suy ra m 0 . Vậy m 0 .. Câu 14.. (THPT Yên Định Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y mx 4 (2m 1) x 2 1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có đúng một điểm cực tiểu. 1 1 A. Không tồn tại m . B. m 0. C. m . D. m 0. 2 2 Lời giải Với m 0 , ta có y x 2 1 y ' 2 x . Khi đó hàm số có 1 cực trị và cực trị đó là cực tiểu. Suy ra m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. (1) Với m 0 , ta có y ' 4mx3 2(2m 1) x 2 x(2mx 2 2m 1) m 0 Hàm số có một cực trị là cực tiểu 2 2mx 2m 1 0 vô nghiêm m 0 m 0 1 m m 0 (2) 2 m 1 2 2 m 0 m 0 Từ (1) và (2) suy ra hàm số có một cực trị là cực tiểu khi m 0. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(233)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 15.. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x 4 2 m 2 m 6 x 2 m 1 có ba điểm cực trị. A. 6 .. B. 5 .. C. 4 . Lời giải Ta có y 4 x3 4 m 2 m 6 x 4 x x 2 m 2 m 6 . x 0 y 0 2 2 x m m 6 0 (1) Hàm số có ba điểm cực trị (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m 2 m 6 0 2 m 3 . Ta có: m , 2 m 3 m 1;0;1; 2 .. D. 3 .. Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m để hàm số có ba điểm cực trị. Câu 16.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Hàm số y mx 4 m 1 x 2 1 2m có một điểm cực trị khi A. 0 m 1 .. B. m 0 m 1 .. C. m 0 . D. m 0 m 1 . Lời giải Trường hợp 1: m 0 thì hàm số đã cho trở thành y x 2 1 . Hàm số này có 1 cực trị là cực đại m 0 thỏa mãn. Trường hợp 2: m 0 thì hàm số đã cho trở thành y mx 4 m 1 x 2 1 2m. x 0 2 x 0 2 1 m Ta có y 4mx 2 m 1 x 2 x 2mx m 1 ; y 0 2 x 2 mx m 1 0 * 2m YCBT y đổi dấu một lần Phương trình * vô nghiệm hoặc có nghiệm x 0 . 3. 2. m 1 1 m 0 2m m 0 Kết hợp hai trường hợp ta được 0 m m 1 . . m 1 Giải nhanh: Với a khác 0 thì hàm số đã cho có 1 cực trị ab 0 m m 1 0 . m 0 Câu 17.. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m trên miền 10;10 để hàm số y x4 2 2m 1 x2 7 có ba điểm cực trị? A. 20. B. 10. Chọn D Ta có y ' 4 x x 2 2m 1 . C. Vô số Lời giải. D. 11. x .. x 0 y 0 2 x 2 m 1 * Hàm số đã cho có ba cực trị khi và chỉ khi y 0 có ba nghiệm phân biệt, hay (*) có hai nghiệm 1 phân biệt khác 0 2m 1 0 m . 2 Do m 10;10 nên có 11 giá trị thỏa mãn.. Câu 18.. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số y mx 4 m 2 6 x 2 4 . Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số có ba điểm cực trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại ? A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 Lời giải. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(234)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chọn C Tập xác định D . Ta có y 4mx 3 2 m 2 6 x . Hàm số đã cho có ba điểm cực trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại khi và 4m 0 chỉ khi 0m 6 . 2 m m 6 0 Do đó có hai giá trị nguyên của tham số m .. . Câu 19.. . (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mx 4 m 1 x 2 1 2m có một cực trị. A. m 1. B. m 0. C. 0 m 1. D. m 0 m 1. Lời giải Chọn D Ta có: y 4mx3 2 m 1 x Trường hợp 1: Xét m 0 y 2 x . Ta thấy phương trình y 0 đổi dấu một lần nên hàm số có một điểm cực trị. Suy ra m 0 (thoả YCBT) (1) Trường hợp 2: Xét m 1 y 4 x3 .Ta thấy phương trình y 0 đổi dấu một lần nên hàm số có một điểm cực trị. Suy ra m 1 (thoả YCBT) (2) x 0 Trường hợp 3: Xét m 0 , y 0 2 1 m x 2m m 0 1 m Để hàm số có một điểm cực trị thì (3) 0 2m m 1 m 0 Từ (1), (2) và (3) suy ra m 1 Ghi chú: Dùng công thức tính nhanh m 0 Hàm số có một điểm cực trị khi và chỉ khi m m 1 0 . m 1 Câu 20.. (Chuyên. Lào. Cai 4. -. 2020). Cho. hàm. số. f x. có. đạo. hàm. 3. f x x 2 x 2 x 4 x 2 2 m 3 x 6m 18 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f x có đúng một điểm cực trị? B. 7 . B. 5 . C. 8 . D. 6 . Lời giải Chọn C. x2 0 x 0 4 x 2 x 2 0 Ta có f x 0 3 x 4 x 4 0 2 2 x 2 m 3 x 6m 18 0 * x 2 m 3 x 6 m 18 0 Để hàm số f x có đúng một điểm cực trị Phương trình * vô nghiệm, có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm là 4. Trường hợp 1. Phương trình. *. vô. nghiệm. 4m2 24m 36 24m 72 4m2 36 0 3 m 3 m 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(235)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. m 3. Trường hợp 2. Phương trình * có nghiệm kép 4m 2 36 0 . m 3 Trường hợp 3. Phương trình * có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Trong đó x1 4.. m 3 . m 3. Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 4m 2 36 0 . S x1 x2 4 x2 2m 6 P x1.x2 4.x2 6m 18. Theo định lí Viète ta có . x2 2m 2 3 9 3 9 2 m 2 m m 5 . 2 2 x2 2 m 2 Vậy m 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 21.. (Chuyên Sơn La - 2020) Gọi S là tập hợp những giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị trên . 1 1 1 f (x ) m 2 .e 4x m.e 3x e 2x (m 2 m 1)e x . Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 4 3 2 2 2 1 A. B. . C. . D. 1. 3 3 3 Lời giải Chọn A f '(x ) m 2 .e 4x m.e 3x e 2x (m 2 m 1)e x e x (m 2 .e 3x m.e 2x e x m 2 m 1) 0. m 2 .e 3x m.e 2x e x m 2 m 1 0 . Đặt t e x 0 ta có Ta có: m 2t 3 mt 2 t m 2 m 1 0 m 2 (t 3 1) m(t 2 1) 1 t 0 (t 1)[m 2 (t 2 t 1) m(t 1) 1) 0 (t 1)[m 2t 2 (m 2 m)t m 2 m 1] 0 Điều kiện cần để hàm số không có cực trị thì phương trình m 2t 2 (m 2 m )t m 2 m 1 có. 1 . 3 Thử lại ta thấy với hai giá trị m trên ta đều có nghiệm đơn t 1 . 1 Vậy hai giá trị m 1, m thỏa mãn. 3 nghiệm t 1 3m 2 2m 1 0 m 1, m . Dạng 3. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị Phương trình hai đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba là phần dư của phép chia của y cho y ' y h( x1 ) Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho y) : y y q ( x) h( x) 1 y2 h( x2 ) Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y h( x).. Câu 1.. (Mã 123 - 2017) Đồ thị hàm số y x 3 3x 2 9 x 1 có hai cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ? A. M 0; 1 B. N 1; 10 C. P 1; 0 D. Q 1;10 Lời giải Chọn B. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(236)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Ta có: y 3x 2 6 x 9 thực hiện phép chia y cho y ta được số dư là y 8 x 2 . Như thế điểm N 1; 10 thuộc đường thẳng AB . Câu 2.. (Mã 104 - 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 2m 1 x 3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x 2 1 . 3 3 1 1 A. m B. m C. m D. m 2 4 2 4 Lời giải Chọn B Ta có y 3 x 2 6 x . Từ đó ta có tọa độ hai điểm cực trị A 0;1 , B 2; 3 . Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình y 2x 1. Đường thẳng này vuông góc với đường thẳng 3 y 2m 1 x 3 m khi và chỉ khi 2m 1 2 1 m . 4. Câu 3.. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y 2m 1 x m 3 song song với đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 1 3 1 3 A. m . B. m . C. m . 4 2 4 Lời giải Chọn D. D. m . 1 . 2. x 0 Hàm số y x 3 3 x 2 1 có TXĐ: ; y 3 x 2 6 x ; y ' 0 x 2 Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A 0;1 , B 2; 3 AB 2; 4 . x y 1 y 2 x 1 . 2 4 2 m 1 2 1 Đường thẳng y 2m 1 x m 3 song song với đường thẳng d m . 2 m 3 1. Đường thẳng d đi qua hai điểm A , B có phương trình:. Câu 4.. Đồ thị của hàm số y x3 3x2 9 x 1 có hai điểm cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB . A. P 1;0 . B. M 0; 1 . C. N 1; 10 . D. Q 1;10 . Lời giải TXĐ: D . y ' 3x2 6 x 9 . x 1 y 6 y ' 0 3x 2 6 x 9 0 x 3 y 26 Ta có A 1;6 , B 3; 26 AB 4; 32 nên ) Chọn n AB 8;1 . Phương trình đường thẳng AB là: 8 x 1 1 y 6 0 8 x y 2 0 . Thay tọa độ các điểm P, M , N , Q vào phương trình đường thẳng AB ta có điểm N 1; 10 thuộc đường thẳng.. Câu 5.. (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2018) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 3m 1 x 3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x 2 1 . 1 A. . 3. B. . 1 . 6. C. m . 1 . 6. 1 D. . 3. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(237)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Chọn B Xét hàm số y x3 3x 2 1 1 1 Có : y 3 x 2 6 x , y x y 2 x 1 . 3 3 Do đó, đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này có phương trình là y 2 x 1 . 1 Để d vuông góc với thì 3m 1 . 2 1 m . 6 1 Vậy giá trị cần tìm của m là m . 6 Câu 6.. (TT Tân Hồng Phong - 2018) Tìm tổng tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y 2 x3 3 m 1 x 2 6m 1 2m x song song đường thẳng y 4 x . 1 A. m . 3. B. m . 2 . 3. C. m . 2 . 3. D. m 1 .. Lời giải Chọn A x m Ta có y 6 x 2 6 m 1 x 6m 1 2m , y 0 . x 1 2m 1 Để hàm số có hai cực trị thì m 1 2m m . 3 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A m ; 7 m 3 3m 2 , B 1 2m ; 20 m3 24m 2 9m 1 . Do 3 2 đó AB 1 3m ; 3m 1 . Do đó AB có vectơ pháp tuyến là n 3m 1 ;1 .. . . 2. . . 2. Do đó AB : 3m 1 x y 2m3 3m 2 m 0 y 3m 1 x 2 m3 3m 2 m . Để đường thẳng AB song song với đường thẳng y 4 x thì:. m 1 m 1 3 3m 1 2 4 1 m 0 m . 3 2 3 2m 3m m 0 1 m 2 m 1 Câu 7.. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- 2018) Biết đồ thị hàm số y x3 3x 1 có hai điểm cực trị A , B . Khi đó phương trình đường thẳng AB là A. y 2 x 1 . B. y 2 x 1. C. y x 2. D. y x 2 . Lời giải Chọn B 1 Thực hiện phép chia y cho y ta được: y y . x 2 x 1 . 3 Giả sử hai điểm cực trị của đồ thị hàm số lần lượt là: A x1; y1 và B x2 ; y2 . 1 y1 y x1 y x1 . 3 x1 2 x1 1 2 x1 1 Ta có: . 1 y y x y x . x 2 x 1 2 x 1 2 2 2 2 2 2 3 . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(238)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Ta thấy, toạ độ hai điểm cực trị A và B thoả mãn phương trình y 2 x 1 . Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y 2 x 1 . Câu 8.. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 2 x 2 m 3 x m có hai điểm cực trị và điểm M 9; 5 nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị. A. m 1. B. m 5. C. m 3. D. m 2. Lời giải Chọn C Ta có y 3x 2 4 x m 3 , để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y 0 có hai nghiệm 13 phân biệt 0 m * 3 1 2 2 m 26 7m 2 Ta có y y . x x nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 3 9 3 9 9 3 7m 2 2m 26 cực trị là y x . Theo giả thiết, đường thẳng này đi qua M 9; 5 nên m 3 3 9 9 3 (thỏa mãn điều kiện * ).. Câu 9.. (Nguyễn Khuyến 2019) Đường thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y x 3 2 x m đi qua điểm M 3;7 khi m bằng bao nhiêu? A. 1. B. 1 . C. 3. D. 0. Lời giải Chọn C Tập xác định: D . y 3x 2 2 . 1 4 y x 3 2 x m x. y x m 3 3 4 Suy ra đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình là y x m 3 4 đường thẳng này đi qua điểm M 3;7 khi và chỉ khi 7 . 3 m m 3 . 3. Câu 10.. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 3m 1 x 3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x 2 1 . 1 A. m . 6. 1 B. . 3. 1 . 3 Lời giải. C.. D. . 1 . 6. Xét hàm số y x3 3x 2 1 1 1 Có : y 3 x 2 6 x , y x y 2 x 1 . 3 3 Do đó, đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này có phương trình là y 2 x 1 . 1 Để d vuông góc với thì 3m 1 . 2 1 m . 6 1 Vậy giá trị cần tìm của m là m . 6 Câu 11.. (TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Giả sử A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số f x x 3 ax 2 bx c và đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ. Tìm giá trị nhỏ nhất của P abc ab c . Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(239)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. . 16 . 25. C. . B. 9 .. 25 . 9. D. 1 .. Lời giải TXĐ D . f x 3 x 2 2ax b . Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị là f x 0 có hai nghiệm phân biệt a 2 3b 0 . Lấy f x chia cho f x .. 1 2 2 1 1 Ta có f x f x . x a b x c ab . 9 3 9 9 3 2 1 2 Suy ra đường thẳng đi qua A , B là: y b x c ab d . 9 9 3 1 Theo đầu bài d đi qua gốc tọa độ c ab 0 ab 9c . 9 2. 5 25 Khi đó P abc ab c P 9c 10c P 3c . 3 9 25 Suy ra min P . 9 2. Câu 12.. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 3mx 2 2 có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A , B và M 1; 2 thẳng hàng. A. m 2 .. B. m 2 .. C. m 2 .. D. m 2 ; m 2 .. Lời giải 2 2 Ta có: y 3 x 6mx ; y 0 3x 6mx 0 x 0 , x 2m . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt 2m 0 m 0 . Khi đó hai điểm cực trị là A 0; 2 , B 2m; 2 4m3 . Ta có MA 1; 4 , MB 2m 1; 4 4m3 . Ba điểm A , B và M 1; 2 thẳng hàng MA , MB cùng phương. 2m 1 4 4 m 3 2m 1 1 m 3 2 m 1 m3 1 m3 2 m 1 4 1 1 m2 2 m 2 (do m 0 ). . Dạng 4. Tìm m để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Bài toán tổng quát: Cho hàm số y f ( x; m) ax 3 bx 2 cx d . Tìm tham số m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp: — Bước 1. Tập xác định D . Tính đạo hàm: y 3ax 2 2bx c. a y 3a 0 — Bước 2. Để hàm số có 2 cực trị y 0 có 2 nghiệm phân biệt 2 y (2b) 4.3ac 0 và giải hệ này sẽ tìm được m D1. b S x1 x2 a — Bước 3. Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình y 0. Theo Viét, ta có: P x x c 1 2 a Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(240)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. — Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P. Từ đó giải ra tìm được m D2 . — Bước 5. Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m D1 D2 .. Lưu ý: — Hàm số bậc 3 không có cực trị y 0 không có 2 nghiệm phân biệt y 0. — Trong trường hợp điều kiện K liên quan đến hình học phẳng, tức là cần xác định tọa độ 2 điểm cực trị A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) với x1 , x2 là 2 nghiệm của y 0. Khi đó có 2 tình huống thường gặp sau: Nếu giải được nghiệm của phương trình y 0, tức tìm được x1 , x2 cụ thể, khi đó ta sẽ thế vào hàm số đầu đề y f ( x; m) để tìm tung độ y1 , y2 tương ứng của A và B.. Nếu tìm không được nghiệm y 0, khi đó gọi 2 nghiệm là x1 , x2 và tìm tung độ y1 , y2 bằng cách thế vào phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị. Để viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị, ta thường dùng phương pháp tách đạo hàm (phần dư bậc nhất trong phép chia y cho y) , nghĩa là: y h( x1 ) Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho y) : y y q ( x) h( x) 1 y2 h( x2 ) Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y h( x).. Dạng toán: Tìm tham số m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (cùng phía, khác phía d): Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng: Cho 2 điểm A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) và đường thẳng d : ax by c 0. Khi đó: Nếu (axA by A c) (axB byB c) 0 thì A, B nằm về 2 phía so với đường thẳng d . Nếu (ax A by A c) (axB byB c) 0 thì A, B nằm cùng phía so với đường d . Trường hợp đặc biệt: Để hàm số bậc ba y f ( x) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung Oy phương trình y 0 có 2 nghiệm trái dấu và ngược lại. Để hàm số bậc ba y f ( x) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục hoành Ox đồ thị hàm số y f ( x) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt phương trình hoành độ giao điểm f ( x) 0 có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm). Dạng toán: Tìm m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (đối xứng và cách đều): Bài toán 1. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B đối xứng nhau qua đường d : — Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu m D1. — Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A, B. Có 2 tình huống thường gặp: + Một là y 0 có nghiệm đẹp x1 , x2 , tức có A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ). + Hai là y 0 không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là và lấy A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) .. x x y y — Bước 3. Gọi I 1 2 ; 1 2 là trung điểm của đoạn thẳng AB. 2 2 AB ud 0 d m D2 . Do A, B đối xứng qua d nên thỏa hệ I d I d — Bước 4. Kết luận m D1 D2 . Bài toán 2. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(241)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. d: — Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu m D1. — Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A, B. Có 2 tình huống thường gặp: + Một là y 0 có nghiệm đẹp x1 , x2 , tức có A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ). + Hai là y 0 không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là và lấy A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) . — Bước 3. Do A, B cách đều đường thẳng d nên d ( A; d ) d ( B; d ) m D2 .. — Bước 4. Kết luận m D1 D2 . Lưu ý: Để 2 điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I I là trung điểm AB. Câu 1.. Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3x 2 m có hai điểm cực trị A , B thỏa mãn OA OB ( O là gốc tọa độ)? 3 1 5 A. m . B. m 3 . C. m . D. m . 2 2 2 Lời giải Chọn D Tập xác định: D . x 0 y 3 x 2 6 x , y 0 3 x 2 6 x 0 . x 2 Do đó đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị lần lượt có tọa độ là A 0; m và. B 2; 4 m . 2. 2. Ta có OA OB 0 2 m 2 22 4 m m 2 4 4 m 20 8m 0 m Câu 2.. 5 . 2. (Đề Tham Khảo 2017) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm 1 số y x3 mx 2 m2 1 x có hai điểm cực trị A và B sao cho A, B nằm khác phía và cách 3 đều đường thẳng d : y 5 x 9 . Tính tổng tất cả các phần tử của S . A. 3 B. 6 C. 6 D. 0 Lời giải Chọn D Cách 1: Ta có y ' x 2 2mx m 2 1. . . x m 1 m3 3m 2 m3 3m 2 y' 0 A m 1; B m 1; và 3 3 x m 1 2 m m 1 2 Dễ thấy phương trình đường thẳng AB : y x nên AB không thể song song hoặc 3 3 trùng với d A, B cách đều đường thẳng d : y 5 x 9 nếu trung điểm I của AB nằm trên d m 3 m3 3m m3 3m 3 I m; 5m 9 m 18m 27 0 d m 3 3 5 3 3 2 Với m 3 A, B thỏa điều kiện nằm khác phía so với d . 3 3 5 A, B thỏa điều kiện nằm khác phía so với d . 2 Tổng các phần tử của S bằng 0.. Với m . Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(242)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 3.. (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị 2 2 hàm số y x 3 mx 2 2 3m 2 1 x có hai điểm cực trị có hoành độ x 1 , x2 sao cho 3 3 x1 x2 2 x1 x2 1 . A. 1.. B. 0 .. D. 2 .. C. 3 . Lời giải. Chọn A Ta có: y ' 2 x 2 2mx 2 3m2 1 2 x 2 mx 3m2 1 ,. . 2. . . 2. g x x mx 3m 1 ; 13m 2 4 . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y ' có hai nghiệm phân biệt g x có hai nghiệm phân biệt 2 13 m 13 . (*) 0 2 13 m 13 . x1 x2 m x1 , x2 là các nghiệm của g x nên theo định lý Vi-ét, ta có . 2 x1 x2 3m 1 m 0 Do đó x1 x2 2 x1 x2 1 3m 2 2 m 1 1 3m 2 2m 0 . m 2 3 2 Đối chiếu với điều kiện (*), ta thấy chỉ m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 Câu 4.. (Chuyên KHTN - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y mx 3 (2m 1) x 2 2mx m 1 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành? A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành khi và chỉ khi phương trình mx3 (2m 1) x 2 2mx m 1 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt. Ta có (1) ( x 1) mx 2 (m 1) x m 1 0 Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt mx 2 (m 1) x m 1 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 m 0 m (m 1) m 1 0 (m 1) 2 4m(m 1) 0 . m 0 m 2 0 3m 2 6m 1 0 m 0 m 2 3 2 3 m 3 2 3 3 3 Do m m 1 . Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(243)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 5.. (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2020) Cho hàm số y x3 m 6 x 2 2m 9 x 2. Tìm. m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành. m 2 A. . m 6. B. m 2.. C. m 6.. m 2 m 6 . D. 3 m 2. Lời giải Chọn D y ' 3x 2 2 m 6 x 2m 9.. x 1 y ' 3 x 2 m 6 x 2m 9 0 . x 2m 9 3 2m 9 1 m 3. 1 Hàm số có 2 cực trị 3 y (1) m 2. 2. 2. 2m 9 2. 2m 9 y m 27 3 2m 9 Ycbt y (1). y 0 3 m 6 2 2m 9 2 0 m 2 . 4m3 36m2 81m 54 0 m 2 . 2 m 2 . m 27 3 m 2 m 2 m 6 . Từ 1 , 2 ta có ycbt 3 m 2 Câu 6.. 1 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y mx 3 m 1 x 2 3 m 2 x 2018 3 với m là tham số. Tổng bình phương tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x1 ; x2 thỏa mãn x1 2 x2 1 bằng 40 22 25 8 A. B. C. D. 9 9 4 3 Lời giải Chọn A Ta có y ' mx 2 2 m 1 x 3 m 2 . Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình mx 2 2 m 1 x 3 m 2 0 phải có hai nghiệm phân biệt. m 0 m 0 2 2 2 m 4 m 1 0 m 1 3m m 2 0 2 m 1 x1 . x2 m Theo định lý Vi-ét ta có x .x 3 m 2 1 2 m Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(244)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 3m 4 x1 2 m 1 m x1 . x2 m Theo bài ta có hệ phương trình x 2x 1 x 1 2 m 1 2 m 2 1 2 m m m 2 t / m 3m 4 2 m 3 m 2 . 3 2 m m 3m 4 2 m 0 m 2 t / m m m m 3 40 Vậy m12 m2 2 . 9 Câu 7.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y x3 3mx2 3m 1 với m là một tham số thực. Giá trị của m thuộc tập hợp nào sau đây để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d : x 8 y 74 0 . A. m 1;1 .. B. m 3; 1 .. C. m 3;5 .. D. m 1;3 .. Lời giải Chọn D y 3x 2 6mx. x 0 y 0 x 2m Đồ thị có hai cực trị khi: m 0 Khi đó hai điểm cực trị là: A 0; 3m 1 , B 2m ; 4 m3 3m 1 Tọa độ trung điểm AB là: I m ; 2m3 3m 1. I d A và B đối xứng qua d khi và chỉ khi: AB.ud 0 3 AB 2 m ; 4 m , u d 8; 1 m0 3 + AB.ud 0 16m 4m 0 m 2 . m 2 Với m 0 loại Với m 2 , ta có I 2;9 I d Với m 2 , ta có I 2; 11 I d Do đó m 2 thỏa mãn yêu cầu. Câu 8.. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 8 x 2 m 2 11 x 2 m 2 2 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Ox . A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. Lời giải Chọn D Yêu cầu bài toán đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt x 3 8 x 2 m 2 11 x 2 m 2 2 0 có ba nghiệm phân biệt x 3 8 x 2 m 2 11 x 2 m 2 2 0 x 2 x 2 6 x m 2 1 0. x 2 2 2 x 6 x m 1 0(*) Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(245)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 ' 10 m 0 m 2 2 2 m 8 0 10 m 10 Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn đề bài.. Câu 9.. (Chuyên Hạ Long 2019) Cho hàm số y x 3 2m 1 x 2 m 1 x m 1 . Có bao nhiêu giá trị của số tự nhiên m 20 để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành? A. 18 . B. 19 . C. 21 . D. 20 . Lời giải 2 + Ta có: y x 1 x 2mx 1 m . + Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi đồ thị y cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. y x 1 x 2 2mx 1 m 0 có ba nghiệm phân biệt.. x 2 2mx 1 m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1. 1 5 m 2 2 m m 1 0 m 1 5 . 2 2 3m 0 2 m 3 + Do m N , m 20 nên 1 m 20 . Vậy có 19 số tự nhiên thỏa mãn bài toán. Câu 10.. (Chuyên KHTN 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của hàm số y x 3 m 1 x 2 m 2 2 x m 2 3 có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía khác nhau đối với trục hoành? A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Lời giải Ta có y 0 3x 2 2 m 1 x m2 2 0 . 1 15 1 15 m * . 2 2 Ta lần lượt thử bốn giá trị nguyên của m thỏa mãn * là 1;0;1;2 .. Để hàm số có hai điểm cực trị 0 2m 2 2m 7 0 . Ta được bốn hàm số y x 3 x 2; y x 3 x 2 2 x 3; y x 3 2 x 2 x 2; y x3 3 x 2 x 1 . Khi đó ta nhận thấy chỉ có m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 11.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tìm tất cả cả các giá trị của tham số m để y x 3 3x 2 mx 1 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x12 x22 6 A. m 3 B. m 3 C. m 1 Lời giải Chọn A. D. m 1. y ' 3x 2 6x m . Hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 .Vậy x1 , x2 là nghiệm của phương trình y ' 0 x1 x2 2 Theo viet ta có m x1 .x2 3 x12 x22 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 2m 2m 4 4 6 m 3 3 3 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(246)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f x 2 x 3 6 x 2 m 1 có các giá trị cực trị trái dấu? A. 7 . B. 9 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn A Có f ' x 6 x 2 12 x . x 0 f ' x 0 x 2. x 0 f 0 m 1 x 2 f 2 m 7. Hàm số có các giá trị cực trị trái dấu m 1 m 7 0 m 1 m 7 0 7 m 1 . Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 13.. (Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hàm số y 2 x3 3 m 1 x 2 6 m 2 x 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng 2;3 . A. m 1; 4 \ 3 .. B. m 3; 4 .. C. m 1;3 .. D. m 1; 4 .. Lời giải Chọn A Ta có y 6 x 2 6 m 1 x 6 m 2 .. x 1 y 0 x 2 m 1 x m 2 0 . x m 2 Để hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm trong khoảng 2;3 thì y 0 có hai nghiệm phân biệt. m 2 1 m 3 nằm trong khoảng 2;3 . 2 m 2 3 1 m 4 Câu 14.. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hàm số y x3 3mx2 4m2 2 có đồ thị C và điểm. C 1; 4 . Tính tổng các giá trị nguyên dương của m để C có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4. A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 Lời giải Chọn C x 0 Ta có y ' 3 x 2 6mx 0 x 2m Đồ thị C có hai điểm cực trị 2m 0 m 0 .. Khi đó A 0; 4m 2 2 , B 2 m; 4 m3 4m 2 2 AB 4m 2 16m6 2 m 4m4 1 y 4m 2 2 x0 Phương trình đường thẳng AB là: 2m 2 x y 4m 2 2 0 3 2m 0 4m 2 2 2 2m 4 4m 2 2 m 3 d C , AB 4m 4 1 4m 4 1 Diện tích tam giác ABC là. Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(247)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 2 m 3 1 1 S . AB.d C , AB 4 .2 m . 4m 4 1. 4 2 2 4m 4 1 2. m 1 2 m m 2 3 2 m6 6m 4 9m 2 4 0 m 2 1 m 2 4 0 m 2 Do m nguyên dương nên ta được m 1, m 2 , tổng thu được là 3 . Câu 15.. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y 2 x 3 3 m 1 x 2 6 m 2 x 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng 2; 3 .. A. m 1; 3 3; 4 . B. m 1; 3 .. C. m 3; 4 .. D. m 1; 4 .. Lời giải Chọn A Ta có: y ' 6 x 2 6 m 1 x 6 m 2 Để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng 2; 3 pt y ' 0 có 2 nghiệm thuộc khoảng 2; 3 x 2 m 1 x m 2 0 có 2 nghiệm thuộc khoảng 2; 3. x 1 x m 2 0. x 1 2; 3 x 2 m 2 m 1 m 3 YCBT 2 2 m 3 1 m 4 Câu 16.. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số: y 3x3 2 m 1 x 2 3mx m 5 có hai điểm cực trị x1 ; x2 đồng thời y x1 . y x2 0 là: B. 39. A. 21. C. 8 Lời giải. D. 3 11 13. Chọn A +) Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y 0 phải có hai nghiệm phân biệt: 2. y 9 x 2 4 m 1 x 3m có hai nghiệm phân biệt 4 m 1 27 m 0 +) Xét y x1 . y x2 0 nên ta có y 3x3 2 m 1 x 2 3mx m 5 phải tiếp xúc với trục hoành. 3x3 2 m 1 x 2 3mx m 5 0 phải có nghiệm kép. x 1 3x2 2m 5 x m 5 0 1 phải có nghiệm kép +) TH1: Phương trình 3x 2 2m 5 x m 5 0 có một nghiệm x 1 m1 13 +) TH2: Phương trình 3x 2 2m 5 x m 5 0 có nghiệm kép khác 1 2. 2m 5 12 5 m 0 4m 2 32 m 35 0 m2 m3 8. m1 m2 m3 21 Câu 17.. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số y x 3 3mx 2 27 x 3m 2 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 5 . Biết S a; b . Tính. T 2b a . A. T 51 6. B. T 61 3. C. T 61 3 Lời giải. D. T 51 6. Chọn C Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(248)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. +) Ta có y 3 x 2 6mx 27 , y 0 x 2 2mx 9 0 (1) +) Theo giả thiết hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt m 3 (*) 0 m2 9 0 m 3. x1 x2 2m +) Với điều kiện (*) thì phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 , theo Vi-ét ta có: x1 x2 9 2. 2. +) Ta lại có x1 x2 5 x1 x2 25 x1 x2 4 x1 x2 25 0 4m 2 61 0 . 61 61 (**) m 2 2. +) Kết hợp (*), (**) và điều kiện m dương ta được: 3 m . 61 2. a 3 61 T 2b a 61 3 . b 2 Câu 18.. (Sở Bắc Giang 2019) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số x3 y 2 x 2 mx 3 có hai điểm cực trị x1 , x2 4 . Số phần tử của S bằng 3 A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải x3 Ta có: y 2 x 2 mx 3 y ' x 2 4 x m . 3 Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thì phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt ' 0 4m 0 m 4. x 2 4m Khi đó giả sử x1 x2 , y ' 0 1 x2 2 4 m Yêu cầu bài toán trở thành x2 4 2 4 m 4 0 m 4 . Kết hợp với m 4 ta được 0 m 4 . Do m nguyên nên m 0;1; 2;3 . Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.. Câu 19.. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm y x3 4 m 2 x 2 7 x 1 có hai điểm cực trị x1; x2 x1 x2 thỏa mãn x1 x2 4 1 B. m . 2. A. m 5 .. số. 7 D. m . 2. C. m 3 . Lời giải. Ta có y x 4 m 2 x 7 x 1 (1) 3. 2. y ' 3x 2 8m 2 x 7 . Xét phương trình 3x 2 8m 2 x 7 0 (2) ' 4 m 2 21 0 , với mọi m hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị x1 ; x2 với mọi m . 2. *Ta thấy ac 21 0 phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu x1 0; x2 0 x1 x1 ; x2 x2 *Ta có x1 x2 4 x1 x2 4 x1 x2 4 . 8 m 2 3. 4 m . 1 2. Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để điểm M (2m3 ; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y 2 x 3 3(2m 1) x 2 6m(m 1) x 1 (C ) một tam giác có diện tích nhỏ nhất? Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(249)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 0. B. 1. C. 2 Lời giải. D. không tồn tại. Chọn B Ta có y ' 6 x 2 6(2m 1) x 6m(m 1) x m y' 0 m R , hàm số luôn có CĐ, CT x m 1 Tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị là A(m;2m3 3m 2 1), B(m 1;2m3 3m 2 ) Suy ra AB 2 và phương trình đường thẳng AB : x y 2m3 3m 2 m 1 0 Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất 3m 2 1 1 Ta có d ( M , AB ) , dấu "=" khi m 0 2 2 Câu 21.. (HSG Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số thực m để đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y x 3 3mx 2 cắt đường tròn C có tâm I 1;1 , bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. 2 5 2 3 1 3 2 3 A. m B. m C. m D. m 2 2 2 3 Lời giải Ta có: y 3 x 2 3m suy ra đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu khi m 0 . Các điểm cực. . . đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là C m ; 2 2m m ; D. . m ; 2 2m m .. Đường thẳng đi qua các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có phương trình là: y 2mx 2 . Do 2m 1 d I , R 1 (vì m > 0) luôn cắt đường tròn tâm I 1;1 , bán kính R 1 tại 2 4m 2 1 1 điểm A, B phân biệt. Dễ thấy m không thõa mãn do A, I , B thẳng hàng. 2 1 1 1 1 Với m : không đi qua I, ta có: SABI IA.IB.sin AIB R 2 . 2 2 2 2 1 R 1 Do đó S IAB lớn nhất bằng khi sin AIB 1 hay AIB vuông cân tại I IH 2 2 2 2m 1 1 2 3 m ( H là trung điểm của AB ) 2 2 2 4m 1 Câu 22.. (VTED 2019) Biết đồ thị hàm số y x 3 ax 2 bx c có hai điểm cưc trị M x1; y1 , N x2 ; y2 thỏa mãn x1 y1 y2 y1 x1 x2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P abc 2ab 3c bằng A. . 49 4. B. . 25 4. C. . 841 36. D. . Lời giải Chọn A Ta có y 3 x 2 2ax b. 1 a 2 2b ab 1 Chia y cho y ta được y y x a x c . 9 9 3 9 3 Do M x1 ; y1 , N x2 ; y2 là hai điểm cực trị nên y x1 0, y x2 0 a 2 2b a 2 2b ab ab Do đó y1 x1 c ; y2 x2 c 3 9 3 9 9 9 Theo giả thiết x1 y1 y2 y1 x1 x2 x1 y2 x2 y1 Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 7 6.
<span class='text_page_counter'>(250)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. a 2 2b a 2 2b ab ab x1 x2 c x2 x1 c 3 9 3 9 9 9 ab ab ab x1 c x2 c c 0( x1 x2 ) ab 9c 9 9 9 2. 7 49 49 Ta có: P abc 2ab 3c 9c 21c 3c 2 4 4 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P abc 2ab 3c bằng . . 49 4. . Câu 23. Cho hàm số y x3 3mx 2 3 m2 1 x m3 m ( m là tham số). Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và I 2; 2 . Tổng tất cả các giá trị của m để ba điểm I , A , B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 4 14 A. B. 17 17. 5 là C. . 2 17. D.. 20 17. Lời giải Chọn D Tập xác định D . y 3x 2 6mx 3 m2 1 .. . . 2. Cho y 0 x 2mx m 2 1 0 . Vì 1 0 m nên phương trình y 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x m 1 . Gọi A m 1; 4m 2 , B m 1; 4m 2 . Suy ra AB 2; 4 2 1; 2 , IA m 1; 4m , IB m 3; 4m 4 .. Phương trình đường thẳng AB qua A m 1; 4m 2 và có vectơ pháp tuyến n 2;1 là AB : 2 x y 2m 0 . 2 2m Suy ra d I , AB 5 2 2m 1 1 2 2m . Khi đó S IAB AB.d I , AB 2 5 2 2 5 AB.IA.IB AB.IA.IB 4 5 2 2m . Mặt khác S IAB 4R 20 17 m 2 2m 1 17 m 2 38m 25 4 5 2 2m. 17m2 2m 117m2 38m 25 4 4m2 8m 4 289m 4 680 m 3 502m 2 120m 9 0 m 1 . m 3 17 20 Vậy m1 m2 17 Câu 24. Cho hàm số y x 3 6mx 4 có đồ thị Cm . Gọi m0 là giá trị của m để đường thẳng đi qua. điểm cực đại, điểm cực tiểu của Cm cắt đường tròn tâm I 1;0 , bán kính 2 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất. Chọn khẳng định đúng A. m0 3; 4 . B. m0 1; 2 . C. m0 0;1 . D. m0 2;3 . Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(251)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có: y 3 x 2 6m y 0 x 2 2m Hàm số có cực đại, cực tiểu y 0 có hai nghiệm phân biệt m0 Gọi A. . . . 2m ; 4 4m 2m và B 2m ; 4 4m 2m. . Phương trình đường thẳng AB : 4mx y 4 0. . Đặt a d I , AB 0 a 2 Suy ra SIAB a 2 a 2 . . HB 2 a 2. 1 2 a 2 a2 1 2. Dấu “ ” xảy ra a 2 a 2 a 1 4m 0 4 Khi đó d I ; AB 1 16m 2 1 4 m 1 2 16m 1 15 16m2 1 16m2 32m 16 m 32 Câu 25.. 1 3 1 2 x mx 4 x 10 , với m 3 2 là tham số; gọi x1 , x2 là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Giá trị lớn nhất của biểu thức. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Cho hàm số y . P x12 1 x22 1 bằng. A. 4 .. B. 1.. C. 0 . Lời giải. D. 9 .. Tập xác định D . Đạo hàm y x 2 mx 4 . Khi đó y 0 x 2 mx 4 0 . Ta có m2 16 0 , m y 0 luôn có hai nghiệm phân biệt m hay hàm số luôn có hai điểm cực trị x1 , x2 m .. x1 x2 m Do x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của y 0 nên theo định lý Viet ta có . x1.x2 4 2. . . 2. 2. P x12 1 x22 1 x1 x2 x12 x22 1 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 1. 16 m2 8 1 m2 9 9 , m . Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 9 m 0 . Câu 26.. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Cho hàm số y x 3 3mx 2 3 m 2 1 x m3 , với m là tham số; gọi C là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị C luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Xác định hệ số góc k của đường thẳng d.. Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(252)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 A. k . 3. 1 B. k . 3. C. k 3 .. D. k 3 .. Lời giải Tập xác định D . Ta có y 3 x 2 6 mx 3 m 2 1 và y 6 x 6m . Khi đó y 0 3 x 2 6mx 3 m 2 1 0 . 9m 2 9 m 2 1 9 nên hàm số luôn có hai điểm cực trị. x. 3m 3 m 1 và 3. 3m 3 m 1 . 3 y m 1 6 m 1 6m 6 0 x m 1 là điểm cực đại của hàm số. x. A m 1; 3m 2 là điểm cực đại của đồ thị C . xA m 1 Ta có y A 3 x A 1 y A 3m 2 A luôn thuộc đường thẳng d có phương trình y 3x 1. Do đó hệ số góc k của đường thẳng d là 3 . Câu 27.. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Biết m0 là giá trị của tham số m để hàm số y x 3 3 x 2 mx 1 có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho x12 x2 2 x1 x2 13 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m0 1;7 . B. m0 7;10 . C. m0 15; 7 . D. m0 7; 1 . Lời giải TXĐ: D y 3x 2 6 x m . Xét y 0 3 x 2 6 x m 0 ; 9 3m . Hàm số có hai điểm cực trị 0 m 3 . m Hai điểm cực trị x1 ; x2 là nghiệm của y 0 nên: x1 x2 2; x1.x2 . 3 2 2 2 Để x1 x2 x1 x2 13 x1 x2 3x1.x1 13 4 m 13 m 9 . Vậy m0 9 15; 7 .. Câu 28.. 1 1 (THPT Thanh Miện I - Hải Dương 2018) Biết rằng đồ thị hàm số f x x3 mx 2 x 2 3 2 có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là 7 . Hỏi có mấy giá trị của m ? A. 3 . B. 1 . C. Không có m . D. 2 . Lời giải Có y x x 2 mx 1 , y 0 x 2 mx 1 0 1 .. Để hàm số có cực trị thì 1 phải có hai nghiệm phân biệt. m 2 Điều này tương đương với 0 m2 4 0 . m 2 x x m Gọi hai nghiệm của 1 là x1 , x2 . Khi đó, ta có 1 2 . x1.x2 1 Độ dài hai cạnh của tam giác vuông đó là x1 , x2 . Theo bài ra ta có phương trình: 2. x12 x22 7 x1 x2 2 x1 x2 7 m2 2 7 m 2 9 m 3 (thỏa mãn). Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(253)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 29.. (Phan Đăng Lưu - Huế - 2018) Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số f x x 3 3 x 4 và M x0 ; 0 là điểm trên trục hoành sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất, đặt T 4 x0 2015 . Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng? A. T 2017 . B. T 2019 . C. T 2016 . D. T 2018 . Lời giải Tập xác định: D . Đạo hàm: f x 3 x 2 3 . x 1 y 2 Xét f x 0 3 x 2 3 0 . Đặt A 1; 2 và B 1; 6 . x 1 y 6 Ta thấy hai điểm A và B nằm cùng phía với trục hoành. Gọi A 1; 2 là điểm đối xứng với điểm A qua trục hoành. Chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ba điểm B , M và A thẳng hàng. x 1 2 1 1 x0 M ; 0 . Ta có: AM x0 1; 2 và AB 2; 8 0 2 8 2 2 1 Vậy T 4. 2015 2017 . 2. Câu 30.. (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Tổng tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y x3 3mx 2 4m3 có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là 2 1 1 A. . B. . C. 0 . D. . 2 2 4 Lời giải x 0 Ta có: y 3 x 2 6mx , y 0 . x 2m Để hàm số có cực đại cực tiểu thì m 0 . Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A 0; 4m3 , B 2m ;0 . Ta có I m ; 2m3 là trung điểm của đoạn thẳng AB . Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là d : x y 0 . Do đó để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua d thì: 3 2 2m 4m 0 1 2m 2 0 m . 3 2 m 2m 0. Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số thực m là 0 . Câu 31.. (THPT Triệu Thị Trinh - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y x 3 5 x 2 m 4 x m có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành. B. ;3 3; 4 .. A. .. C. ;3 3; 4 .. D. ; 4 .. Lời giải Ta có y x 5 x m 4 x m x 1 x 4 x m 3. 2. 2. Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi phương trình y 0 có ba nghiệm phân biệt x 2 4 x m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 4 m 0 m 4 . 1 4 m 0 m 3 Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(254)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. a a Câu 32. (CTN - LẦN 1 - 2018) Biết (trong đó là phân số tối giản và a , b * ) là giá trị của tham b b 2 2 số m để hàm số y x3 mx 2 2 3m2 1 x có 2 điểm cực trị x1 , x2 sao cho 3 3 x1 x2 2 x1 x2 1 . Tính giá trị biểu thức S a 2 b 2 . A. S 13 . B. S 25 . C. S 10 . D. S 34 . Lời giải Tập xác định: D . Đạo hàm y 2 x 2 2mx 6m 2 2 . Hàm số có hai điểm cực trị. 2 13 m 13 0 m 2 2 6m 2 2 0 13m2 4 0 2 13 m 13 x1 x2 m Theo định lý Viet thì 2 x1 x2 3m 1. m 0 Ta có x1 x2 2 x1 x2 1 3m 1 2m 1 3m 2m 0 m 2 3 2. Chỉ có giá trị m . 2. 2 thỏa điều kiện, khi đó S a 2 b 2 22 32 13 . 3. Câu 33. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x 3 x 2 mx 1 nằm bên phải trục tung. Tìm số phần tử của tập hợp 5;6 S . A. 2 .. B. 5 .. C. 3 .. D. 4 .. Lời giải Tập xác định: D ; y 3x 2 2 x m . Hàm bậc ba có cực trị khi y 0 có 2 nghiệm phân biệt 1 3m 0 m . 1 3. 1 .. x 1 1 3m Khi đó y 0 x 1 1 3m Bảng biến thiên:. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về phía bên phải trục tung khi 1 1 3m 0 1 3m 1 m 0 . Kết hợp với 1 ta có m 0 thì điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho nằm bên phải trục tung. Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(255)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Khi đó S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên âm. Vậy 5;6 S 4; 3; 2; 1 5;6 S có 4 phần tử. Vậy giá trị m cần tìm là m 1 hoặc m 3 . Câu 34.. (THPT Nghen - Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số y x3 3x 2 3 m2 1 x 3m 2 1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x 2? A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 0 . Lời giải y x3 3x 2 3 m2 1 x 3m 2 1 y 3x 2 6 x 3 m2 1 . x 1 m . y 0 x 1 m Để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x 2 thì m 0 m 0 1 m 2 m 1 . 1 m 2 m 1 Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa yêu cầu bài toán.. Câu 35.. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 3mx 2 2 có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A , B và M 1; 2 thẳng hàng. A. m 2 .. B. m 2 .. C. m 2 .. D. m 2 ; m 2 .. Lời giải Ta có: y 3 x 2 6mx ; y 0 3x 2 6mx 0 x 0 , x 2m . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt 2m 0 m 0 . Khi đó hai điểm cực trị là A 0; 2 , B 2m; 2 4m3 . Ta có MA 1; 4 , MB 2m 1; 4 4m3 . Ba điểm A , B và M 1; 2 thẳng hàng MA , MB cùng phương 2m 1 4 4 m 3 2m 1 1 m 3 2 m 1 m3 1 m3 2 m 1 4 1 1 m2 2 m 2 (do m 0 ).. . Câu 36.. m 3 x m 1 x 2 3 m 2 x 2 . Hàm 3 số đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x1 2 x2 1 khi m a và m b . Hãy tính tổng a b . 8 8 5 5 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 Lời giải Có y mx 2 2 m 1 x 3 m 2 . (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số y . Hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x1 2 x2 1 suy ra x2 Do. x2 . 2m m. là. nghiệm. của. phương. trình. 2m . m. mx 2 2 m 1 x 3 m 2 0. m 2 2 2m 2m . m 2 m 1 3 m 2 0 m 2 m m 3 Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương nên.
<span class='text_page_counter'>(256)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m 2 Thử lại thấy đều thỏa mãn yêu cầu bài toán. m 2 3 8 Vậy a b . 3 Câu 37.. (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho hàm số y 2 x3 3 m 1 x 2 6mx m3 . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB 2 . A. m 0 . B. m 0 hoặc m 2 . C. m 1 . Lời giải. D. m 2 .. x 1 Ta có y ' 6 x 2 6 m 1 x 6m . y ' 0 x 2 m 1 x m 0 . x m Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì m 1. Khi đó ta có A 1; m3 3m 1 , B m;3m 2 . 2. 2. 2. 6. Có AB 2 m 1 m3 3m 2 3m 1 2 m 1 m 1 2 . m 0 2 (thỏa mãn yêu cầu bài toán). m 1 1 m 2 Câu 38.. (THPT Phú Lương - Thái Nguyên - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y mx 3 3mx 2 3m 3 có hai điểm cực trị A, B sao cho 2 AB 2 OA2 OB 2 20 (trong đó. O là gốc tọa độ) A. m 1 .. m 1 C. . m 17 11. B. m 1 .. m 1 D. . m 17 11. Lời giải Tập xác định D R Ta có: y ' 3mx 2 6mx Hàm số có hai điểm cực trị m 0 x 0 Khi đó y ' 0 x 2 Tọa độ điểm cực trị: A 0;3m 3 , B 2; m 3. m 1 . Theo giả thiết 2 AB 2 OA2 OB 2 20 22m2 12m 34 0 m 17 11 Dạng 5. Tìm m để hàm số trùng phương có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Một số công thức tính nhanh “thường gặp“ liên quan cực trị hàm số y ax 4 bx 2 c. a 0: tiểu. 1 cực trị: ab 0 1 cực a 0 : 1 cực đại. 3 cực trị: ab 0 a 0 : 1 cực a 0 : 2 đại, đại, 2 cực tiểu 1 cực tiểu. cực. b b b4 b b A(0; c ), B ; , C ; AB AC , BC 2 2 2a 4 a 2a 4a 16a 2a 2a với b2 4ac Facebook Nguyễn Vương 37.
<span class='text_page_counter'>(257)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 3. b Phương trình qua điểm cực trị: BC : y và AB, AC : y xc 4a 2a 3 5 , luôn có: 8a (1 cos ) b3 (1 cos ) 0 cos b 8a và S 2 b Gọi BAC b3 8a 32a 3 2 Phương trình đường tròn đi qua A, B, C : x 2 y 2 c n x c.n 0, với n và bán b 4a b3 8a kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R 8ab. Câu 1.. (THPT Lương Thế Vinh - 2018) Cho hàm số y x 4 2 x 2 2 . Diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có giá trị là 1 A. S 3 . B. S . C. S 1 . D. S 2 . 2 Lời giải Tập xác định D . x 0 y 2 Ta có y 4 x3 4 x 0 x 1 y 1 Bảng biến thiên. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A 0; 2 , B 1;1 , C 1;1 . Nhận xét ABC cân tại A . Vì vậy S Câu 2.. 1 1 y A yB . xC xB .1.2 1 . 2 2. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Tìm m đề đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 1 có ba điểm cực trị. A 0; 1 , B, C thỏa mãn BC 4? A. m 2 .. B. m 4 .. C. m 4 . Lời giải. D. m 2 .. Tập xác định: D .. x 0 y ' 4 x3 4mx 0 2 . x m Hàm số đã cho có ba điểm cực trị m 0 . Tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số: A 0;1 , B. . . . m; m2 1 , C m; m2 1 .. BC 4 4m 16 m 4. Câu 3.. (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x 4 2mx 2 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân 1 1 A. m 3 . B. m 1 . C. m 3 . D. m 1 . 9 9 Lời giải Chọn D Hàm số y x 4 2mx 2 1 có tập xác định: D x 0 Ta có: y ' 4 x3 4mx ; y ' 0 4 x 3 4mx 0 4 x x 2 m 0 2 x m . Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(258)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m 0 m 0 .. . . . Vậy tọa độ 3 điểm lần lượt là: A 0;1 ; B m ;1 m 2 ; C m ;1 m 2 Ta có AB m ; m 2 ; AC m ; m 2 Vì ABC vuông cân tại A AB. AC 0 m2 m2 .m 2 0 m m4 0 m m4 0. . . . . m 1 ( vì m 0 ) Vậy với m 1 thì hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.. Câu 4.. (Mã 105 -2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x 4 2 mx 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 . A. 0 m 1 B. m 0 C. 0 m 3 4 D. m 1 Lời giải Chọn A Tập xác định D y m. B. O. m. m2 H. A. x. x 0 Ta có y 4 x 3 4mx . y 0 4 x 3 4 mx 0 2 . x m Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m 0 . Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là O 0; 0 , A. . . . m ; m2 , B m ; m2 .. 1 1 Do đó SOAB OH.AB m2 .2 m m2 m 1 0 m 1. 2 2 Câu 5.. (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần 2 - 2020) Cho hàm số y x 4 2mx 2 2m 2 m 4 có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn ABCD là hình thoi với D 0; 3 . Số m thuộc khoảng nào sau đây? 1 9 9 A. m ; . B. m ; 2 . 2 5 5 . 1 C. m 1; . 2 Lời giải. D. m 2;3 .. Chọn A Tập xác định: D .. x 0 Ta có y ' 4 x 3 4mx y ' 0 2 . x m Hàm số đã cho có ba điểm cực trị m 0 . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A 0; 2m 2 m 4 ; B. . . . m ; m 4 3m 2 ;. . C m ; m 4 3m 2 . Gọi I trung điểm của BC I 0; m 4 3m 2 Vì A, D Oy , B và C đối xứng nhau qua Oy nên tứ giác ABCD là hình thoi I là trung điểm của AD Facebook Nguyễn Vương 39.
<span class='text_page_counter'>(259)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 2 m 4 3m 2 2m 2 m 4 3 m 4 4m 2 3 0. .. m2 1 m 1 m 1 m 0 2 m 3 m 3 m 3. Câu 6.. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2 m 1 x 2 m 2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. Số phần tử của tập hợp S là A. 2 . B. 0 .. C. 4 . Lời giải • y x 4 2 m 1 x 2 m 2 y ' 4 x 3 4 m 1 x 4 x x 2 m 1 .. D. 1 .. • Hàm số có 3 điểm cực trị y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt. x 2 m 1 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0. m 1 0 . m 1 . x m 1 Khi đó: y ' 0 x 0 . x m 1 • Giả sử A, B , C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.. . . . . A m 1; 2m 1 , B 0; m 2 , C m 1; 2m 1 2 2 AB m 1; m 1 , CB m 1; m 1. . . . . m 1 4 m0. ABC vuông tại B AB.CB 0 m 1 m 1 0 m 0. Câu 7.. (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng 2019) Cho hàm số y x 4 2mx 2 1 1 . Tổng lập phương các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính R 1 bằng 1 5 5 5 A. . B. . 2 2. C. 2 5 .. D. 1 5 .. Lời giải TXĐ: D . y ' 4 x3 4mx 4 x( x 2 m). Để đồ thị hs (1) có 3 điểm cực trị m 0. Gọi A(0;1), B( m ; m2 1), C ( m; m2 1) là các điểm cực trị của đồ thị hs (1), I (0; m2 1) là trung điểm BC. 1 AB. AC .BC 2 AI Ta có AI m 2 , AB AC m m 4 . Suy ra AI .BC R 2 4R AB. AC m 0 (l ) m 1 (n) 2m 2 4 2 1 m 2m m 0 m 1 5 (l ) 4 mm 2 1 5 ( n) m 2 Câu 8.. (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2m2 x2 m 4 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều?. Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(260)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. . . . A. m 0; 3; 3. 6. 6. . B. m 0; 3; 3. C. m . . 6. 6. . 3; 3. . . D. m 3; 3. Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị m 0 . Khi đó, 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 0; m 4 , B m ; m 4 m 4 , C m ; m4 m 4 .. Tam giác ABC có AB AC nên tam giác ABC cân tại A , suy ra tam giác ABC đều m 0 AB BC m 2 m8 2 m m8 m 2 4m 2 . 6 m 3 . . . Kết hợp điều kiện ta được m 6 3; 6 3 . Câu 9.. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Tìm m để đồ thị hàm số y x 4 2m 2 x 2 1 có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân. A. m 1 . B. m 1;1 . C. m 1;0;1 . D. m . Lời giải 4. 2. 2. y x 2m x 1 . + Cách 1: Hàm số có 3 cực trị ab 0 2m 2 0 m 0 . y 4 x3 4m 2 x y 0 4 x 3 4m 2 x 0 4 x x2 m2 0 y1 1 x1 0 x2 m y2 m 4 1 y m4 1 x3 m 3 Giả sử A 0;1 , B m ; m 4 1 , C m ; m 4 1 là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số. AB m ; m 4 AB m2 m8 . AC m ; m 4 AC m 2 m8 . Yêu cầu bài toán ABC vuông cân tại A m AB AC 2 m 2 1 m 6 0 8 AB. AC 0 m m 0. m 0 (l ) m 1 (n) . m 1(n) Vậy m 1;1 . + Cách 2: (Áp dụng công thức tính nhanh cực trị hàm trùng phương) 2m2 0 m 0 ab 0 m 0 8 1 6 m 1 ( n) . Yêu cầu bài toán 8a m 1 m 1(n) b3 1 2m2 3 Vậy m 1;1 . Câu 10.. (Toán Học Tuổi Trẻ Số 5) Tìm tất cả các giá trị m sao cho đồ thị hàm số y x 4 m 1 x 2 2m 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 120 . Facebook Nguyễn Vương 41.
<span class='text_page_counter'>(261)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 2 . 3. A. m 1 C. m . 3. 1 . 3. 3. B. m 1 . 2 , m 1 . 3. 3. D. m 1 .. Lời giải Ta có y 4 x 2 m 1 x 2 x 2 x m 1 . 3. 2. x 0 y 0 2 2 x m 1 Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y 0 có ba nghiệm phân biệt m 1 0 m 1 . Khi đó m 1 m 12 m 1 m 1 2 ; 2m 1 , C ; 2m 1 , là các điểm A 0; 2m 1 , B 2 4 2 4 cực trị của đồ thị. 4. m 1 m 1 Ta thấy AB AC nên tam giác ABC cân tại A . 2 16 Từ giả thiết suy ra A 120 . 2 m 1 Gọi H là trung điểm BC , ta có H 0; 2m 1 4 . BH AH tan 60 . m 1 4. 2. . 3 . m 1 2. 4. . Câu 11.. 3 m 1 m 1 2 3 3 m 1 8 m 1 3 . 16 2 3. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị C của hàm số y x 4 2m 2 x 2 m 4 5 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm số phần tử của S . A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Ta có y 4 x 3 4m 2 x . Hàm số có cực đại cực tiểu phương trình y 0 có ba nghiệm phân biệt m 0 . Gọi A 0; m 4 5 , B m;5 , C m;5 lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC khi đó ta có ba điểm A , I , O thẳng hàng. Mặt khác do hai điểm B và C đối xứng nhau qua AO nên AO là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC AB OB AB.OB 0 . 5 Trong đó AB m; m 4 , OB m;5 . Ta có phương trình m2 5m4 0 m 5. Câu 12.. (Chuyên Quang Trung - 2018) Cho hàm số y x 4 2mx 2 2m 2 m 4 có đồ thị C . Biết đồ thị. C . có ba điểm cực trị A , B , C và ABDC là hình thoi trong đó D 0; 3 , A thuộc trục tung.. Khi đó m thuộc khoảng nào? 1 9 A. m ; 2 . B. m 1; . 2 5 . C. m 2;3 .. 1 9 D. m ; . 2 5. Lời giải. Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(262)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 0 Ta có y 4 x x 2 m y 0 2 ; x m. . . . . Với điều kiện m 0 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A 0; m4 2m2 ; B m ; m 4 3m 2 ; C. . . m ; m 4 3m 2 . Để ABDC là hình thoi điều kiện là BC AD và trung điểm I của BC trùng. với trung điểm J của AD . Do tính đối xứng ta luôn có BC AD nên chỉ cần I J với m 4 2m 2 3 I 0; m4 3m2 , J 0; . 2 m 1 1 9 ĐK: m4 2m2 3 2m4 6m2 m4 4m2 3 0 m ; . 2 5 m 3 Câu 13.. (THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình - 2018) Cho hàm số y x 4 2mx 2 2 có đồ thị Cm . Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. A. m 3 3 . B. m 3 3 . C. m 1 . D. m 1 . Lời giải Cách 1: Ta có y 4 x 3 4mx 4 x x 2 m . Để hàm số có ba cực trị thì phương trình y 0 có ba nghiệm phân biệt 4 x x 2 m 0 có ba nghiệm phân biệt m 0 . Gọi A 0; 2 , B m , m 2 2 , C. . . . m , m 2 2 là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Vì ABC cân tại A nên ABC chỉ có thể vuông tại A AB AC 0 . Với AB m ; m 2 , AC m ; m 2 m m4 0 m m3 1 0 m 1 .. . . . . Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh: Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c tạo thành một tam giác vuông khi 8a b3 0 8m3 8 0 m 1 . Câu 14. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Gọi A , B , C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 4 2 x 2 4 . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng C. 2 1 . Lời giải. B. 2 1 .. A. 1 .. D.. 2.. x 0 A 0; 4 y 4 x 3 4 x 0 x 1 B 1;3 . x 1 C 1;3 AB 1; 1 AB 2 ; AC 1; 1 AC 2 ; BC 2;0 BC 2 .. Ta có ABC vuông cân tại A có S Vậy r Câu 15.. 1 2. 2. 2. 1, p . AB AC BC 2 1 . 2. S 1 2 1 . p 2 1. (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Cho hàm số y x 4 2 m 4 x 2 m 5 có đồ thị Cm . Tìm m để Cm có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.. A. m 1 hoặc m . 17 . B. m 1 . 2. C. m 4 .. D. m . 17 . 2. Lời giải. Facebook Nguyễn Vương 43.
<span class='text_page_counter'>(263)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 0 Ta có y 4 x 3 4 m 4 x ; y 0 2 . x 4 m. Để hàm số có ba điểm cực trị m 4 . Khi đó các điểm cực trị của Cm là A 0; m 5 , B. . 2. . 2. . 4 m; m 5 m 4 , C 4 m; m 5 m 4 .. m 1 2 Do O là trọng tâm tam giác ABC nên 3 m 5 2 m 4 . m 17 2. Do m 4 nên m 1 . Câu 16.. (Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x 4 2mx 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. A. m 1 .. B. 0 m 1 .. C. 0 m 3 4 . Lời giải. D. m 0 .. x 0 Hàm số y x 4 2mx 2 có TXĐ : D . Ta có y 4 x3 4mx ; y 0 2 . x m. . . Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì m 0 . Khi đó ba điểm cực trị là O 0;0 , B m ; m 2 , C. . . m ; m 2 . Ta giác OBC cân tại O , với I 0; m 2 trung điểm của BC. 1 1 Theo yêu cầu bài toán, ta có: S ABC OI .BC m 2 .2 m 1 0 m 1 . 2 2. Câu 17.. (Liên Trường - Nghệ An -2018) Gọi m0 là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng A. m0 1; 0 . B. m0 2; 1 . C. m0 ; 2 . D. m0 1;0 . Lời giải 4. 2. 3. Ta có: y x 2mx 1 y 4 x 4mx . x 0 y 0 2 (1). x m Để đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 1 có ba điểm cực trị thì y 0 phải có ba nghiệm phân biệt tức là m 0 . x 0 Khi đó 1 nên ta gọi A 0; 1 , B m ; m 2 1 , C m ; m 2 1 x m 1 Tam giác ABC cân tại A nên S ABC AH .BC với H là trung điểm của BC nên 2. . H 0; m2 1 . Nên: AH . 2 2. m . m 2 và BC . . 2. m. . . 2. 2 m .. 1 Ta có: SABC .m 2 .2 m theo giả thiết S ABC 4 2 nên m 2 m 4 2 m 2 . 2 Câu 18.. (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x 4 2 m 1 x 2 m 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. A. m 0 .. B. m 1; m 0 .. C. m 1 . Lời giải. D. m 1; m 0 .. Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(264)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 4 2 Cách 1: Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương y ax bx c có ba điểm cực trị là ab 0 m 1 loại B Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi 3 b3 8a 0 8 m 1 8 0 m 0 .. . . Cách 2: Ta có y 4 x x 2 m 1. x 0 Xét y 0 2 . Để đồ thị số có ba điểm cực trị thì m 1 * x m 1 Tọa độ ba điểm cực trị là A 0; m2 , B m 1; 2m 1 , C m 1; 2m 1. . . . . Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC thì H 0; 2m 1 Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi. AH BH Câu 19.. m 1. 4. m 1 m 0 : T / m * .. (THPT Triệu Thị Trinh - 2018) Cho hàm số: y x 4 2mx 2 m 2 m . Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị lập thành tam giác có một góc bằng 120 . 1 1 1 1 A. m . B. m 3 . C. m 3 . D. m . 3 3 3 3 Lời giải 3 2 y 4 x 4mx 4 x x m . Hàm số có ba điểm cực trị y 0 có ba nghiệm phân biệt m 0 . x 0 Khi đó y 0 . x m Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 0; m2 m , B. . . . m ; m , C m ; m .. Do ABC cân tại A nên gọi H 0; m là trung điểm của BC thì AHC vuông tại H . HAC 60 HB AH .tan HAB ABC có một góc bằng 120 khi và chỉ khi HAB m m2 3 m Câu 20.. 1 . Bỏ cặp ngoặc. 3. 3. (THPT Thái Phiên - Hải Phòng - 2018) Đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 m có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm cực trị này có bán kính bằng 1 thì giá trị của m là: 1 5 1 5 A. m 1; m . B. m 1; m . 2 2 1 5 1 5 C. m 1; m . D. m 1; m . 2 2 Lời giải 4. 2. 3. y x 2mx m y 4 x 4mx .. . . Với m 0 ta có ba cực trị A 0; m ; B m ; m 2 m ; C. . m ; m 2 m .. Facebook Nguyễn Vương 45.
<span class='text_page_counter'>(265)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 m AB 2 abc 2 m m2 2 2m 2 m 4 m m 4 2 m 2 m 0 . 2 4 4R m 0 l m 1 n m 1 5 n 2 m 1 5 l 2 S ABC . Dạng 6. Tìm m để hàm số bậc 2 trên bậc 1 có cực trị thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 1.. (Toán Học Tuổi Trẻ Số 5) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm x2 2 x 3 số y . 2x 1 A. y 2 x 2 . B. y x 1 . C. y 2 x 1 . D. y 1 x . Lời giải. 1 Tập xác định D \ . 2 y . 2x2 2x 4. 2 x 1. 2. x 1 y 2 , y 0 2 x 2 2 x 4 0 . x 2 y 1. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là M 1; 2 và N 2; 1 . Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị M , N của đồ thị hàm số đã cho là: y x 1 . Cách khác: Áp dụng tính chất: Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số hữu tỷ y ứng của hàm số là y0 . u x0 u x0 . Suy ra với bài toán trên ta có phương trình đường thẳng v x0 v x0 . qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là. Câu 2.. x y. 2. 2 x 3. 2 x 1. x 1.. (ĐHQG Hà Nội - 2020) Điều kiện của tham số m để hàm số y là A. m 0 .. u x thì giá trị cực trị tương v x. B. m 1 .. C. m 2 . Lời giải. x 2 mx có cực đại và cực tiểu 1 x. D. m 2 .. Chọn A Điều kiện x 1 . x2 2x m x 2 mx y Ta có y . 2 1 x 1 x . Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(266)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 2 mx Hàm số y có cực đại và cực tiểu y 0 có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu khi đi 1 x qua hai điểm đó x 2 2 x m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 0 1 m 0 m 1. 1 2 m 0 m 1 Vậy m 1 thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu. Không có đáp án hoặc chọn A.. Câu 3.. (Chuyên KHTN - Hà Nội - Lần 3) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ x 2 mx 2m thị hàm số y có x 1 hai điểm cực trị A , B và tam giác OAB vuông tại O . Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 9 . B. 1 . C. 4 . D. 5 . Lời giải Chọn A x2 2x m y , x 1 . Đặt f x x 2 2 x m , h x x 2 mx 2m , g x x 1 . 2 x 1 Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A , B khi f x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 h x1 y ( x1 ) 2 x1 m m 1 0 g x1 m 1 1 . Khi đó khác 1 . f 1 m 1 0 y ( x ) h x2 2 x m 2 2 g x2 Suy ra A x1 ; 2 x1 m , B x2 ; 2 x2 m . Suy ra OA x1 ; 2 x1 m , OB x2 ; 2 x2 m . OA, OB 0 2 . OAB vuông tại O khi OA . OB x . x 2 x m 2 x m 0 3 1 2 1 2 . . . . . . . . . 3 m2 5x1.x2 2m x1 x2 0 . Kết hợp với định lí Vi-et cho phương trình f x 0 m 0 kh« ng tháa m· n 2 S 9 . được m 2 5m 4 m 0 m 9 tháa m· n 1 , 2 . ta. Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 9. Câu 4.. x2 2 x m (với m là x2 tham số thực) có hai điểm cực trị là A, B . Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ O 0; 0 đến đường thẳng AB . 2 3 1 5 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn A (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Biết rằng đồ thị H : y . x y. + Phương trình của đường thẳng AB là + Khoảng cách d O; AB . 2.0 0 2 22 1. 2. . 2x m. 2. x 2. /. /. y 2x 2 2x y 2 0 .. 2 . 5. Facebook Nguyễn Vương 47.
<span class='text_page_counter'>(267)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 5.. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ x 2 mx m 2 thị hàm số y có hai điểm cực trị A, B . Khi AOB 90 thì tổng bình phương tất x 1 cả các phần tử của S bằng: 1 1 A. . B. 8 . C. . D. 16 . 16 8. y . 2 x m x 1 x 2 x 1. 2. mx m. Lời giải x 2x m m2 2. 2. . x 1. 2. Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B thì y 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 2 1 m m 0 1 m . 2 1 m m 0 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu là y A 2 x m .. Gọi xA ; xB là hoành độ của A , B khi đó xA ; xB là nghiệm của x 2 2 x m m 2 . Theo định lí Viet ta có xA xB 2 ; xA .xB m2 m . y A 2 x A m ; y B 2 xB m . AOB 90 x A .xB y A . yB 0 xA xB 4 x A xB 2m x A xB m 2 0. 1 5 m2 m 4m m 2 0 4m2 m 0 m 0; m . 4 2 1 1 Tổng bình phương tất cả các phần tử của S bằng: 02 . 4 16 Câu 6.. (Chuyên KHTN - 2018) Với tham số m , đồ thị của hàm số y . x 2 mx có hai điểm cực trị A , x 1. B và AB 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m 2 . B. 0 m 1 .. C. 1 m 2 . Lời giải x2 2 x m Ta có D \ 1 và có đạo hàm là y . 2 x 1. D. m 0 .. 1 m 0 Để hàm số có hai điểm cực trị ta phải có m 1 . 1 2 m 0 x x 2 Gọi hai hoành độ cực trị là x1 và x2 ta có 1 2 . x1 x2 m Khi đó điểm A x1 , 2 x1 m và B x2 , 2 x2 m . AB 4 4m . 5 5 4 4m 5 m Câu 7.. 1 . 4. x2 m x 4 (Cụm 5 Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Cho hàm số y . Biết rằng đồ thị hàm số x m. có hai điểm cực trị phân biệt là A , B . Tìm số giá trị m sao cho ba điểm A , B , C 4; 2 phân biệt và thẳng hàng. A. 0 .. B. 2 .. C. 1 . Lời giải. D. 3 .. Tập xác định D \ m . Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(268)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x2 m x 4 4 x Ta có y . x m x m y 1 . 4. x m . 2. x 2 m , x D , y 0 . x 2 m. Tọa độ hai điểm cực trị là B 2 m ; 4 m , A 2 m ; 4 m . AB 4;8 , AC 6 m ;6 m .. Câu 8.. 6 m 4 k AC k AB Ba điểm A , B , C 4; 2 phân biệt và thẳng hàng 6 m 8k (vô nghiệm). 6 m 0 6 m 0 Vậy không có giá trị m nào thỏa mãn. x 2 mx 1 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Giá trị của tham số m để hàm số y đạt xm cực đại tại điểm x0 2 là: A. m 1 . B. m 3 . C. m 1 . D. m 3 . Lời giải 1 2 . y ' 1 ; y '' 2 3 x m x m. 1 0 2 1 y ' 2 0 2 m x mx 1 Hàm số y đạt cực đại tại điểm x0 2 khi xm y '' 2 0 2 0 2 m 3 m 1 m 3 m 3 . Thử lại thấy thỏa mãn. m 2 2. Câu 9.. (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số y đại và cực tiểu, điều kiện của tham số m là: m 1 A. B. 1 m 2 . m 2. x 2 2mx m 2 . Để hàm số có cực 2 x 2m. C. 2 m 1 .. m 2 D. . m 1. Lời giải Điều kiện: x m . x 2 2mx 2m 2 m 2 Đạo hàm y . 2 2 x m Để hàm số có cực đại và cực tiểu, thì y 0 x 2 2mx 2m 2 m 2 0 có hai nghiệm phân biệt khác m . 2 1 m 2 m m 2 0 1 m 2 . Ta có: 2 2 2 m 2m.m 2m m 2 0 m m 2 0 Câu 10.. (Chuyên Nguyễn Dình Triểu - Dồng Tháp - 2018) Để hàm số y . x 2 thì m thuộc khoảng nảo? A. 0;2 . B. 4; 2 .. C. 2; 0 .. x 2 mx 1 đạt cực đại tại x m. D. 2; 4 .. Facebook Nguyễn Vương 49.
<span class='text_page_counter'>(269)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải. TXĐ: D \ m y . x 2 2mx m 2 1. x m. 2. , y . 2. x m. 3. m 2 4m 3 0 2 y 2 0 m 2 Hàm số đạt cực đại tại x 2 nên m 3 thuộc 4; 2 . 2 y 2 0 0 m 2 3 Câu 11.. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số y x p . q đạt cực đại tại điểm A 2; 2 . x 1. Tính pq . A. pq 2 .. B. pq . 1 . 2. D. pq 1.. C. pq 3 . Lời giải. Chọn D Tập xác định D \ 1 . Ta có y 1 . q 2. .. x 1 Hàm số đạt cực đại tại x 2 , suy ra y 2 0 0 1 q q 1 . Lại có đồ thị hàm số đi qua điểm A 2; 2 nên 2 2 p q p q 0 . Do đó p q 1 . Thử lại: với p q 1 ta được y x 1 Ta có y 1 . 1. x 1. 2. . x2 2x. x 1. 2. 1 . x 1. x 0 0 x2 2 x 0 . x 2. Từ đó có bảng biến thiên của hàm số: x. -1. -2 +. y'. 0. 0 -. -. 0. +. +∞. -2. +∞. y -∞. -∞. 2. Rõ ràng đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm A 2; 2 . Vậy p q 1 pq 1 . x 2 mx 1 ( với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xm có giá trị cực đại là 7. A. m 7 . B. m 5 . C. m 9 . D. m 5 . Lời giải Chọn C Tập xác định của hàm số là: D \ m. Câu 12. Cho hàm số y . Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(270)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 2 mx 1 x 2 2mx m 2 1 y y 2 xm x m. x m x m x m 1 y 0 2 x m 1 2 x 2mx m 1 0 x m 1 x m 1 Bảng biến thiên. x. -m-1. -∞. y'. +. -m. 0. -m+1 0. +∞. yCĐ. +∞ + +∞. y -∞. -∞. yCT. Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x m 1 . Vậy y m 1 7 m 2 7 m 9 . -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 51.
<span class='text_page_counter'>(271)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. Chuyên đề 2. Dạng 1. Bài toán cực trị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối Bài toán: Đồ thị hàm số y f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị (Áp dụng định nghĩa). y f ( x) . f 2 ( x) y . 2 f ( x). f ( x) f 2 ( x). f ( x) 0 1 y 0 f ( x ) 0 2 . Số nghiệm của 1 chính là số giao điểm của đồ thị y f ( x) và trục hoành y 0 . Còn số nghiệm của 2 là số cực trị của hàm số y f ( x ) , dựa vào đồ thị suy ra 2 . Vậy tổng số nghiệm bội lẻ của 1 và 2 chính là số cực trị cần tìm. Dạng toán này mình làm tựa theo đề tham khảo 2018, vẫn xuất hiện ở dạng toán hàm hợp, các bạn học chú ý nhé! Câu 1.. (Chuyên Vinh – Lần 2). Đồ thị C có hình vẽ bên.. Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f x m có ba điểm cực trị là: A. m 1 hoặc m 3 . B. m 3 hoặc m 1. C. m 1 hoặc m 3 . D. 1 m 3. Giải Cách 1: Do y f x m là hàm số bậc ba Khi đó, hàm số y f x m có ba điểm cực trị hàm số y f x m có yCD . yCT 0 (hình minh họa). Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(272)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. m 1 1 m 3 m 0 Đáp án A m 3 Cách 2: Ta có y f x m =. f x m. 2. y . f x m. f x . f x m 2. Để tìm cực trị của hàm số y f x m , ta tìm x thỏa mãn y ' 0 hoặc y ' không xác định. f x 0 1 2 f x m Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số có 2 điểm cực trị x1 , x2 trái dấu. Suy ra (1) có hai nghiệm x1 , x2 trái dấu. Vậy để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì (2) có một nghiệm khác x1 , x2 . Số nghiệm của (2) chính là số giao điểm của đồ thị C và đường thẳng y m . m 1 m 1 Do đó để (2) có một nghiệm thì dựa vào đồ thị ta có điều kiện: m 3 m 3 Đáp án. A. Chú ý: Nếu x x0 là cực trị của hàm số y f x thì f ' x0 0 hoặc không tồn tại f x0 . Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 4. 3. 2. y 3 x 4 x 12 x m có 7 điểm cực trị?. A. 5. B. 6. C. 4 Lời giải.. D. 3. Chọn C y f x 3 x 4 4 x 3 12 x 2 m 3 2 Ta có: f x 12x 12 x 24 x .; f x 0 x 0 hoặc x 1 hoặc x 2 .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương để hàm số.
<span class='text_page_counter'>(273)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Do hàm số f x có ba điểm cực trị nên hàm số y f x có 7 điểm cực trị khi m 0 Phương trình f x 0 có 4 nghiệm 0 m 5. m 5 0 Vậy có 4 giá trị nguyên thỏa đề bài là m 1; m 2; m 3; m 4 . Câu 3.. (Gia Bình 2019) Cho hàm số y f ( x) có bảng biến thiên như sau.. Hàm số y f x 3 có bao nhiêu điểm cực trị A. 5. B. 6. C. 3 Lời giải. D. 1. Chọn C y f x 3 1 , Đặt t | x 3 |, t 0 Thì (1) trở thành: y f (t )(t 0). Có t ( x 3) 2 t ' . x 3 ( x 3) 2. Có y x t x f (t ). x 3 x 3 t x 0 y 0 t f (t ) 0 t 2( L) x 7 f (t ) 0 t 4 x 1 Lấy x=8 có t '(8) f '(5) 0 , đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm đơn nên ta có bảng biến thiên: x. x. . Dựa vào BBT thì hàm số y f x 3 có 3 cực trị. Câu 4.. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 2m 2 m 12 có bảy điểm cực trị. A. 1 .. B. 4 .. C. 0 . Lời giải. D. 2 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(274)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 2m 2 m 12 có bảy điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số. y x 4 2mx2 2m2 m 12 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt m 2 2m 2 m 12 0 x 4 2mx 2 2m 2 m 12 0 có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 2m 0 2m 2 m 12 0 4m3 1 97 m3 m 0 4 1 97 1 97 m m 4 4 Vậy không có giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 2m 2 m 12 có bảy điểm cực trị. Câu 5.. (Sở Vĩnh Phúc 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 3 x 4 4 x3 12 x 2 m2 có đúng 5 điểm cực trị?. A. 5 .. B. 7 .. C. 6 . Lời giải. D. 4 .. Xét hàm số f ( x) 3x4 4 x3 12 x 2 m2 ; f ( x) 12 x3 12 x2 24 x f ( x) 0 x1 0; x2 1; x3 2 . Suy ra, hàm số y f ( x) có 3 điểm cực trị. Hàm số y 3x 4 4 x3 12 x 2 m2 có 5 điểm cực trị khi đồ thị hàm số y f ( x) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt 3 x 4 4 x 3 12 x 2 m2 0 có 2 nghiệm phân biệt. Phương trình 3 x 4 4 x3 12 x 2 m2 0 3x 4 4 x3 12 x 2 m2 (1). Xét hàm số g( x) 3x4 4 x3 12 x2 ; g( x) 12 x3 12 x 2 24 x . Bảng biến thiên:. m2 0 Phương trình (1) cớ 2 nghiệm phân biệt 5 m 32 . 2 5 m 32 . Vậy m 3; 4;5; 3; 4; 5 . Câu 6.. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y 3 x 4 4 x 3 12 x 2 m có 5 điểm cực trị.. A. 16. B. 44. C. 26. D. 27. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(275)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn C Đặt: g ( x ) 3 x 4 4 x 3 12 x 2 m. x 2 y m 32 Ta có: g '( x) 12 x 12 x 24 x 0 x 1 y m 5 x 0 y m 3. 2. m 0 m 0 Dựa vào bảng biến thiên, hàm số có y g ( x) có 5 điểm cực trị khi m 5 0 . 5 m 32 m 32 0 Vì m là số nguyên dương cho nên có 26 số m thỏa đề bài Câu 7.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y x 4 2mx 2 2m 1 với m là tham số thực. Số giá trị nguyên trong khoảng 2; 2 của m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là A. 2. B. 4. C. 3 Lời giải. D. 1. Chọn B x 0 Đặt f x x 4 2mx 2 2m 1 , f x 4 x3 4mx , f x 0 2 x m. + Trường hợp 1: hàm số có một cực trị m 2;0 . Đồ thị hàm số y f x có một điểm cực trị là A 0; 2m 1 . Do m 2;0 yA 2m 1 0 nên đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên hàm số y f x có 3 cực trị có 3 giá trị nguyên của m thỏa ycbt. + Trường hợp 2: hàm số có ba cực trị m 0;2 . Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là. . A 0; 2m 1 ,. B. . . m ; m 2 2m 1 ,. . C m ; m 2 2m 1 . Do a 1 0 nên hàm số y f x có 3 điểm cực trị khi hàm số y f x có yB yC 0 m 2 2m 1 0 m 1 .. Nếu yB yC 0 (trong bài toán này không xảy ra) thì hàm số có ít nhất 5 điểm cực trị. Vậy có 4 giá trị của m thỏa ycbt. Câu 8.. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tập hợp các giá trị của m để hàm số y 3 x 4 4 x 3 12 x 2 m 1 có. 7 điểm cực trị là: A. (0; 6). B. (6;33). C. (1;33). D. (1; 6). Lời giải Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(276)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn D Xét hàm số f ( x) 3 x 4 4 x 3 12 x 2 m 1 , Có lim f x , lim f x x . . x . 3. 2. . f ( x ) 12 x 12 x 24 x 12 x x 2 x 2. . x 0 f ( x) 0 x 1 . x 2 Bảng biến thiên: . Từ bảng biến thiên, ta có hàm số y f ( x) có 7 điểm cực trị đồ thị hàm số y f ( x ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt m 6 0 m 1 1 m 6 . Câu 9.. (THPT Kinh Môn - 2018) Cho hàm số y f ( x) x 3 (2m 1) x 2 (2 m) x 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f ( x ) có 5 điểm cực trị. A.. 5 m 2. 4. B. 2 m . 5 . 4. 5 C. m 2 . 4 Lời giải. D.. 5 m 2. 4. Ta có: y ' 3 x 2 2 2m 1 x 2 m Hàm số y f ( x ) có 5 điểm cực trị khi chi khi hàm số f x có hai cực trị dương. 2 2m 1 3 2 m 0 4m 2 m 5 0 0 5 1 2 2m 1 m2 0 m S 0 4 2 3 P 0 m 2 2 m 3 0 Câu 10. (Chuyên Đh Vinh - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 3 2 x 2 x 3 2 x với mọi x . Hàm số f 1 2018 x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị? A. 9 .. B. 2018 .. C. 2022 .. D. 11.. Lời giải Ta có f x x 3 x 2 x 2 2 0 có 4 nghiệm và đổi dấu 4 lần nên hàm số y f x có 4 cực trị. Suy ra f x 0 có tối đa 5 nghiệm phân biệt. Do đó y f 1 2018 x có tối đa 9 cực trị. Câu 11.. (THPT Thạch Thanh 2 - Thanh Hóa - 2018) Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y f x .. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(277)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y f x 1 m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng A. 9 . B. 12 . C. 18 . D. 15 . Lời giải Nhận xét: Số giao điểm của C : y f x với Ox bằng số giao điểm của C : y f x 1 với Ox . Vì m 0 nên C : y f x 1 m có được bằng cách tịnh tiến C : y f x 1 lên trên m. đơn vị.. TH1: TH2: TH3: TH4:. 0 m 3 . Đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị. Loại. m 3 . Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Nhận. 3 m 6 . Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Nhận. m 6 . Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị. Loại.. Vậy 3 m 6 . Do m * nên m 3; 4;5 . Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(278)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12 . Câu 12.. (THPT Quảng Yên - Quảng Ninh - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm m số y 3x 4 4 x3 12 x 2 có 7 điểm cực trị? 2 A. 3 . B. 9 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Ta có y 3 x 4 4 x 3 12 x 2 . 12 x y . 3. m m 3 x 4 4 x 3 12 x 2 2 2 . 2. m 12 x 2 24 x 3 x 4 4 x3 12 x 2 2 m 4 3 2 3 x 4 x 12 x 2 . 2. 12 x 3 12 x 2 24 x 0 1 y 0 4 . 3 x 4 x 3 12 x 2 m 0 2 2. x 0 Từ 1 x 1 . x 2 Vậy để hàm số có 7 điểm cực trị thì (2) phải có bốn nghiệm phân biệt khác 0;1; 2 .. x 0 m 3 2 Xét hàm số f x 3x 4 x 12 x f ' x 12 x 12 x 24 x f ' x 0 x 1 2 x 2 x 0 2 1 f x 0 0 0 m 2 f x 4. 3. 2. 32 . Để (2) có. 4. nghiệm phân biệt thì. m 2. 5 f x. m 2. cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. m 5 2 0 m 10 0 m 10 . m m 0 0 2 Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 3x 4 4 x3 12 x 2 Câu 13.. m có 7 điểm cực trị. 2. (THPT Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x3 3x 2 m có 5 điểm cực trị? A. 5 .. B. 3 .. C. 6 . Lời giải. D. 4 .. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(279)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số y x3 3x 2 m có 5 điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 3 x 2 m có hai điểm cực trị và nằm về hai phía của trục hoành phương trình x3 3 x 2 m 0 1 có ba nghiệm phân biệt. Xét bbt của hàm số y x 3 3 x 2 x 0 y 3 x 2 6 x 0 x 2. Từ đó ta được 1 có ba nghiệm phân biệt 4 m 0 0 m 4 . Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 14.. (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai - Sóc Trăng - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 3x5 25 x3 60 x m có 7 điểm cực trị?. A. 42 .. B. 21 .. C. 40 .. D. 20 .. Lời giải 5. 3. y 3x 25 x 60 x m y 15 x 4 75 x 2 60 x 2 y m 16 x 1 y m 38 x 1 y 0 2 x 1 y m 38 x 4 x 2 y m 16 2. Suy ra y 3x5 25 x3 60 x m có 7 điểm cực trị m 17,37 m 38 0 m 16 16 m 38 m 16 0 m 38 38 m 16 m 37, 17 Có tất cả 42 giá trị nguyên của m. Câu 15.. (Sở Nam Định - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(280)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Đồ thị hàm số y f x 2m có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi A. m 4;11 .. 11 B. m 2; . 2. 11 D. m 2; . 2. C. m 3 .. Lời giải Từ BBT của hàm số y f x ta có bảng biến thiên của hàm số y f x 2m như sau. Đồ thị hàm số y f x 2m gồm hai phần: + Phần đồ thị của hàm số y f x 2m nằm phía trên trục hoành. + Phần đối xứng với đồ thị của hàm số y f x 2m nằm phía dưới trục hoành qua trục Ox . Do đó, đồ thị hàm số y f x 2m có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi. 11 . 2. 4 2m 11 2m 0 m 2; Câu 16.. (THPT Nguyễn Huệ - Tt Huế - 2018) Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y f x . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số y f x 2 m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng A. 15 . B. 18 . C. 9 . Lời giải. D. 12 .. Cách 1: dùng đồ thị. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(281)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. - Nhận thấy: số giao điểm của C : y f x với Ox bằng số giao điểm của C1 : y f x 2 với Ox . Vì m 0 nên C2 : y f x 2 m có được bằng cách tịnh tiến C1 : y f x 2 lên trên m đơn vị. - Đồ thị hàm số y f x 2 m có được bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành Ox phần đồ thị C2 nằm phía dưới trục Ox và giữ nguyên phần phía trên trục Ox . - Ta xét các trường hợp sau:. + Trường hợp 1: + Trường hợp 2: + Trường hợp 3: + Trường hợp 4:. 0 m 3 : đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị (loại). m 3 : đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị (thỏa mãn). 3 m 6 : đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị (thỏa mãn). m 6 : đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (loại).. Vậy 3 m 6 Do m nên m 3; 4;5 hay S 3; 4;5 . Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12 . * Cách 2: đạo hàm hàm số hợp. 2. - Ta có: y f x 2 m f x 2 m y . f x 2 m . f x 2 f x 2 m . 2. - Xét f x 2 0 1 + Do phương trình f x 0 có 3 nghiệm phân biệt nên phương trình f x 2 0 cũng có 3 nghiệm phân biệt.. - Xét f x 2 m 0 f x 2 m 2 + Nếu 6 m 3 3 m 6 thì phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt khác 3 nghiệm của 1 . + Nếu m 3 m 3 thì 2 có 3 nghiệm phân biệt (trong đó có 2 nghiệm đơn khác 3 nghiệm của 1 và 1 nghiệm kép trùng với 1 nghiệm của 1 ) Tóm lại : với 3 m 6 thì hai phương trình 1 và 2 có tất cả 5 nghiệm bội lẻ phân biệt và y đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó, hay đồ thị hàm số y f x 2 m có 5 điểm cực trị. - Lại do m nên m 3; 4;5 hay S 3; 4;5 . Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12 . Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(282)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 17.. (Sở Hưng Yên - 2018) Cho hàm số f ( x) x3 3x 2 m với m 5;5 là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f ( x) có đúng ba điểm cực trị. A. 3 .. B. 0 .. C. 8 .. D. 6 .. Lời giải x 0 Xét hàm số g ( x ) x 3 3 x 2 m có g '( x) 0 3 x 2 6 x 0 . x 2 Bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta thấy để hàm số f ( x) có đúng ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số g ( x) phải có đúng một giao điểm hoặc tiếp xúc với Ox . m 0 m 0 Điều kiện này tương đương với . Kết hợp điều kiện m 5;5 ta có 4 m 0 m 4 m 5; 4; 3; 2; 1;0; 4;5 . Vậy có 8 giá trị thoả mãn.. Câu 18.. (Chuyên Hùng Vương - Bình Dương - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau.. Đồ thị hàm số y f x 2017 2018 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 .. B. 3 .. C. 5 .. D. 4 .. Lời giải Có y f x 2017 bằng cách tịnh tiến sang bên phải 2017 đơn vị ta có bảng biến thiên của hàm số y f x 2017 . Tịnh tiến đồ thị hàm số f x 2017 lên trên 2018 đơn vị và lấy trị tuyệt đối ta có bảng biến thiên của hàm số y f x 2017 2018. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(283)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số có 3 cực trị. Câu 19. (Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Hàm số f x có đạo hàm f x trên . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f x trên .. Hỏi hàm số y f x 2018 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5 .. C. 2 . Lời giải. B. 3 .. D. 4 .. Cách 1: Từ đồ thị hàm số của f x ta thấy f x có hai cực trị dương nên hàm số y f x lấy đối xứng phần đồ thị hàm số bên phải trục tung qua trục tung ta được bốn cực trị, cộng thêm giao điểm của đồ thị hàm số y f x 2018 với trục tung nữa ta được tổng cộng là 5 cực trị.. x 2018 .. Cách 2: Ta có: y f x 2018 f Đạo hàm: y f . x x 2. 2. 2. x x2. . f x .. Từ đồ thị hàm số của f x suy ra f x cùng dấu với. x x1 x x2 x x3 . với x1 0 ,. 0 x2 x3 . Suy ra: f x cùng dấu với Do x x1 0 nên y f . x x x x x x . 1. 2. x x 2. 2. 3. x x. 2. f x cùng dấu với x x2 x x3 .. x x2. .. Vậy hàm số y f x 2018 có 5 cực trị. Câu 20.. (Sở- Nam Định - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số y f x 2m có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(284)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 11 B. m 2; . 2. A. m 4;11 .. 11 D. m 2; . 2. C. m 3 . Lời giải. Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y f x có hai điểm cực trị. Để đồ thị hàm số y f x 2m có 5 điểm cực trị thì đồ thị y f x cắt đường thẳng y 2m tại 5 2 3 điểm phân biệt 4 2m 11 2 m . 11 . 2. Dạng 2. Số điểm cực trị của hàm hợp Bài toán: Cho hàm số y f x (Đề có thể cho bằng hàm, đồ thị, bảng biến thiên của f x , f ' x ). Tìm số điểm cực trị của hàm số y f u trong đó u là một hàm số đối với x. Ta thực hiện phương pháp tương tự xét số điểm cực trị của hàm số y f x Bước 1. Tính đạo hàm y ' u '. f ' u . u ' 0 Bước 2. Giải phương trình y ' 0 f ' u 0 Bước 3.Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà y ' không xác định. Kết luận Câu 1.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g x f x3 3x 2 là. A. 5 .. B. 3 .. C. 7 .. D. 11 .. Lời giải Chọn C Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y f x như sau. x f x f x. a. . 0. c. b. . 0. . 0. . . Ta có g x f x3 3x 2 g x 3x 2 6 x . f x3 3x 2 . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(285)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 0 x 2 3 x 2 6 x 0 Cho g x 0 x 3 3 x 2 a; a 0 3 2 3 f x 3 x 0 x 3 x 2 b; 0 b 4 3 2 x 3 x c; c 4 x 0 Xét hàm số h x x 3 3 x 2 h x 3 x 2 6 x . Cho h x 0 x 2 Bảng biến thiên. Ta có đồ thị của hàm h x x 3 3 x 2 như sau Từ đồ thị ta thấy: Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số y h x tại 1 điểm. Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số y h x tại 3 điểm. Đường thẳng y c cắt đồ thị hàm số y h x tại 1 điểm. Như vậy phương trình g x 0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số g x f x3 3x 2 có 7 cực trị. Câu 2.. (Mã 101 - 2019) Cho hàm số y f x , bảng biến thiên của hàm số f ' x như sau:. Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 2 x là A. 9.. B. 3.. C. 7. Lời giải. D. 5.. Chọn C Ta có y 2 x 1 . f x 2 2 x . x 1 x 1 2 2 x 2 x a ; 1 x 2 x a 0, a ; 1 x 1 2 y 0 x 2 x b 1;0 x 2 2 x b 0, b 1;0 2 f x 2 x 0 x 2 2 x c 0;1 x 2 2 x c 0, c 0;1 x 2 2 x d 1; x 2 2 x d 0, d 1; . (1) (2) . (3) (4). Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(286)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Phương trình (1) vô nghiệm, các phương trình (2), (3), (4) đều có hai nghiệm phân biệt khác 1 và do b, c, d đôi một khác nhau nên các nghiệm của phương trình (2), (3), (4) cũng đôi một khác nhau. Do đó f x 2 2 x 0 có 6 nghiệm phân biệt. Vậy y 0 có 7 nghiệm phân biệt, do đó số điểm cực trị của hàm số y f x 2 2 x là 7. Câu 3.. (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f x như sau:. Số điểm cực trị của hàm số y f 4 x 2 4 x là A. 5.. B. 9.. C. 7. Lời giải. D. 3.. Chọn C. . 2. Có f 4 x 4 x. . 8 x 4 f 4 x. 2. . 4x , f 4x 4x 2. . . 1 x 2 . 0 2 f 4 x 4 x 0 . . . 4 x 2 4 x a1 ; 1 2 4 x 4 x a2 1;0 Từ bảng biến thiên trên ta có f 4 x 2 4 x 0 2 . (1) 4 x 4 x a3 0;1 4 x 2 4 x a 1; 4 . . . Xét g x 4 x 2 4 x , g x 8 x 4 , g x 0 x . 1 ta có bảng biến thiên 2. Kết hợp bảng biến thiên của g x và hệ (1) ta thấy: Phương trình 4 x 2 4 x a1 ; 1 vô nghiệm. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(287)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 Phương trình 4 x 4 x a2 1;0 tìm được hai nghiệm phân biệt khác . 2 2. 1 Phương trình 4 x 2 4 x a2 0;1 tìm được thêm hai nghiệm mới phân biệt khác . 2 1 Phương trình 4 x 2 4 x a2 1; tìm được thêm hai nghiệm phân biệt khác . 2. Vậy hàm số y f 4 x 2 4 x có tất cả 7 điểm cực trị. Câu 4.. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị. . . hàm số y f x như hình vẽ bên. Hàm số y f x 2 4 x x2 4 x có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng 5;1 ?. B. 4 .. A. 5 .. C. 6 . Lời giải. D. 3 .. Chọn A. . g x 2 x 4 f x. Đặt g x f x 2 4 x x 2 4 x 2. 4 x 2 x 4 2 x 4 f x 2 4 x 1 .. 2 x 4 0 2 x 4 x 4 (1) Ta có g x 0 2 . x 4x 0 (2) x 2 4 x a 1;5 (3) Xét phương trình x 2 4 x a 1;5 , ta có BBT của hàm số y x 2 4 x trên 5;1 như sau:. Suy ra (1) có nghiệm kép x 2 , (2) có 2 nghiệm phân biệt x 4; x 0 , (3) có 2 nghiệm phân biệt x x1; x x2 khác 2; 0; 4 . Do đó phương trình g x 0 có 5 nghiệm trong đó có x 2 là nghiệm bội ba, các nghiệm x 4; x 0 ; x x1; x x2 là các nghiệm đơn. Vậy g x có 5 điểm cực trị. Câu 5.. (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm đến cấp hai trên và có bảng xét dấu của hàm số y f ' x như hình sau: Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(288)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Hỏi hàm số g x f 1 x A. x 3 .. x3 2 x 2 3x đạt cực tiểu tại điểm nào trong các điểm sau? 3 B. x 0 . C. x 3 . D. x 1 . Lời giải. Chọn A g x f 1 x x 2 4 x 3 . 1 x 2 x 3 f 1 x 0 f 1 x 0 0 1 x 4 3 x 1 Bảng xét dấu g x :. Từ bảng xét dấu g x ta suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x 3 . Câu 6.. (Chuyên KHTN - 2020) Cho hàm số y f x xác định trên , có đồ thị f x như hình vẽ. y 3. O 2 -1. x y=f(x). Hàm số g x f x3 x đạt cực tiểu tại điểm x0 . Giá trị x0 thuộc khoảng nào sau đây A. 1;3 .. B. 1;1 .. C. 0; 2 .. D. 3; .. Lời giải Chọn B Ta có g x f x3 x g x 3x 2 1 f x3 x .. x3 x 0 x 0 . g x 0 3x 2 1 f x3 x 0 f x 3 x 0 3 x 1 x x 2 Do đó g x 0 3x 2 1 f x3 x 0 f x3 x 0 0 x3 x 2 0 x 1 . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(289)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Bảng biến thiên. Vây hàm số g x f x3 x đạt cực tiểu tại điểm x0 0 . Suy ra x0 1;1 . Câu 7.. (Chuyên KHTN - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên , có đồ thị f x như hình vẽ. y y=f'(x). 2. O. x. Số điểm cực tiểu của hàm số g x f x 2 x là A. 1 .. B. 4 .. C. 3 . Lời giải. D. 2 .. Chọn A Ta có g x f x 2 x g x 2 x 1 f x 2 x . 1 1 x 2 x 2 2 x 1 0 g x 0 2 x 1 f x 2 x 0 x2 x 0 x 1 . 2 f x x 0 2 x 0 x x 2 . 2 x 1 0 2 f x x 0 2 Do đó g x 0 2 x 1 f x x 0 2 x 1 0 f x2 x 0 . Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(290)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 1 x 2 x 2 2 x x 2 x 1 x 0 2 x x 0 x 0 1 . x 1 2 1 x 1 x 2 2 0 x 2 x 2 0 x 1 Bảng biến thiên x. 1 2. 0. . g x. 0. . 0. . 0. . . 1 . g x. Vậy hàm số có 1 điểm cực tiểu. Câu 8.. (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên , bảng biến thiên của hàm số f ' x như sau:. . . Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 2 x là A. 4.. B. 5.. C. 1. Lời giải. D. 7.. Chọn B x 1 Ta có y ' 2 x 2 f ' x 2 2 x 0 2 f ' x 2 x 0. . . . . x 2 2 x a 1 Từ BBT ta thấy phương trình 1 x 2 2 x b 1;1 2 x 2 x c 1. 1. .. 2 3 . 4. Đồ thị hàm số y x 2 2 x có dạng. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(291)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Từ đồ thị hàm số y x 2 2 x ta thấy phương trình (2) vô nghiệm; phương trình (3) ; phương trình (4) đều có 2 nghiệm phân biệt.. . . Do đó y ' 0 có 5 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số y f x 2 2 x có 5 điểm cực trị. Câu 9.. (Sở Bắc Giang - 2018) Cho hàm số y f x có đúng ba điểm cực trị là 2; 1;0 và có đạo hàm liên tục trên . Khi đó hàm số y f x 2 2 x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 .. B. 8 .. C. 10 . D. 7 . Lời giải Vì hàm số y f x có đúng ba điểm cực trị là 2; 1;0 và có đạo hàm liên tục trên nên f x 0 có ba nghiệm là 2; 1;0 (ba nghiệm bội lẻ).. Xét hàm số y f x 2 2 x có y 2 x 2 . f x 2 2 x ; y 0 2 x 2 . f x 2 2 x 0 x 1 x 1 2 x 2 x 2 x 0 . 2 x 2 x 1 x 2 2 x 2 x 0 Do y 0 có một nghiệm bội lẻ ( x 1 ) và hai nghiệm đơn ( x 0 ; x 2 ) nên hàm số. y f x 2 2 x chỉ có ba điểm cực trị. Câu 10.. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f ' x như sau. Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 2 x là A. 9 .. B. 5 .. C. 7 . Lời giải. D. 3 .. Chọn C. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(292)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 2 x 2 0 2 x 2 x a, a 1 2 Ta có y ' 2 x 2 f ' x 2 x 0 x 2 2 x b, 1 b 0 x 2 2 x c,0 c 1 2 x 2x d , d 1. Dựa vào đồ thị ta được y ' 0 có 7 nghiệm đơn nên nó có 7 cực trị Câu 11.. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f x như sau:. Số cực trị của hàm số y f 4 x 2 4 x là A. 3 .. B. 9 .. C. 5 . Lời giải. D. 7 .. Chọn D Từ bảng biến thiên. x a ; 1 x b 1;0 Ta thấy f x 0 x c 0;1 x d 1; Với y f 4 x 2 4 x , ta có y 8 x 4 f 4 x 2 4 x . Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(293)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 x 2 2 4 x 4 x a ; 1 1 8x 4 0 y 0 4 x 2 4 x b 1;0 2 2 f 4 x 4 x 0 4 x 2 4 x c 0;1 3 2 4 x 4 x d 1; 4 Xét hàm số g x 4 x 2 4 x , ta có g x 8 x 4 0 x . 1 2. Bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên của g x ta có: Vì. a ; 1. nên. 1. vô nghiệm.. Vì b 1;0 nên 2 có 2 nghiệm phân biệt. Vì c 0;1 nên 3 có 2 nghiệm phân biệt. Vì d 1; nên 4 có 2 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số y f 4 x 2 4 x có 7 điểm cực trị Cách khác: Ta có: y 8 x 4 . f 4 x 2 4 x . 8 x 4 0 y 0 8 x 4 . f 4 x 2 4 x 0 2 f 4 x 4 x 0 1 + 8x 4 0 x . 2 4 x 2 4 x a a 1 1 2 4 x 4 x b 1 b 0 2 2 + f 4 x 4 x 0 2 4 x 4 x c 0 c 1 3 4 x 2 4 x d d 1 4 + Phương trình 4 x 2 4 x m 4 x 2 4 x m 0 có nghiệm khi 4 4m 0 hay m 1 . Từ đó, ta có phương trình 1 ; 2 ; 3 luôn có hai nghiệm phân biệt. Phương trình 4 vô nghiệm. Do đó, hàm số đã cho có 7 cực trị. Câu 12.. (Chuyên An Giang - 2018) Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f x như hình bên.. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(294)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Hàm số g x f x 2 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 .. B. 3 .. C. 5 . Lời giải x 2 x 0 Từ đồ thị y f x ta có f x 0 ; x 1 x 3. D. 2 .. x 3 x 2 f x 0 ; f x 0 . 2 x 1 1 x 3 x 0 x 0 2 x 0 x 1 Ta có g x 2 xf x 2 ; g x 0 2 x 1 . 2 x 3 f x 0 x 3 2 x 0 1 x 1 2 0 x 1 x 0 Ta có f x 2 0 2 . x 3 x 3 x 3 Ta có bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta có hàm số g x f x 2 có 5 điểm cực trị. Câu 13. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x xác định trên và hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x 2 3 .. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(295)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 4. B. 2. C. 5 Lời giải. D. 3. Chọn D Quan sát đồ thị ta có y f x đổi dấu từ âm sang dương qua x 2 nên hàm số y f x có một điểm cực trị là x 2 . x 0 x 0 2 2 2 Ta có y f x 3 2 x. f x 3 0 x 3 2 x 1 . 2 x 2 x 3 1 . Mà x 2 là nghiệp kép, còn các nghiệm còn lại là nghiệm đơn nên hàm số y f x 2 3 có ba cực trị. Câu 14.. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm là f x . Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ bên. Tính số điểm cực trị của hàm số y f x 2 trên khoảng. . . 5; 5 .. A. 2 .. B. 4 .. C. 3 . Lời giải. D. 5 .. Xét hàm số g x f x 2 g x 2 xf x 2 . x 0 x 0 x 0 g x 0 . x2 0 2 x 2 f x 0 x2 2 . Ta có bảng xét dấu:. Từ đó suy ra hàm số y f x 2 có 3 điểm cực trị.. Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(296)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 15.. (Chuyên Vinh - 2018) Cho hàm số bậc bốn y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số y f. A. 1 .. . . x 2 2 x 2 là. B. 2 .. C. 4 . Lời giải Từ đồ thị của y f x ta chọn f x x 1 x 1 x 3 .. D. 3 .. Áp dụng công thức y f u uf u với u x 2 2 x 2 Ta có y f . . . x2 2 x 2 . x 1 . x 1. . x 2x 2 2. . 2. .. . x2 2x 2 1. . x2 2x 2 1. x2 2x 2 3. . x 1 y 0 x 1 2 2 2 x 2x 2 3 x 1 2 2 . x 2 2 x 2 1 x 1 x 2 2 x 7 . x2 2 x 2. . . x2 2x 2 1. . Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có một điểm cực đại. Câu 16.. (Chuyên Thoại Ngọc Hầu 2018) Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ sau.. Hàm số g x f x 2 có bao nhiêu điểm cực trị? Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(297)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. B. 3 .. A. 4 .. C. 5 . Lời giải. D. 2 .. Có g x f x 2 2 xf x 2 . x 0 x 0 g x 0 x 1 2 f x 0 x 3 Bảng xét dấu g x . Từ bảng xét dấu của g x suy ra hàm số có 5 điểm cực trị. Câu 17. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g x f x 2 2 x 4 có bao nhiêu điểm cực tiểu?. B. 3 .. A. 1. Chọn. C. 2 . Lời giải. D. 4 .. B.. Ta có: g x 2 x 1 f x 2 2 x 4 . x 1 g x 0 x 1 f x 2 2 x 4 0 2 f x 2 x 4 0 x 1 x 1 x 1 2 x 2 x 4 2 x 1 x2 2 x 4 0 x 1 x 1 . 3 3 (Tất cả đều là nghiệm bội lẻ). 5 5. Ta chọn x 2 để xét dấu của g x : g 2 2. 3 . f 4 . Vì hàm số y f x đồng biến trên khoảng 0; do đó: f 4 0 . Suy ra: g 2 0 . Theo tính chất qua nghiệm bội lẻ g x đổi dấu, ta có bảng xét dấy g x như sau:. x. . 1 5. 1 3. 1. 1 3. 1 5. . Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(298)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. g x . . 0. . 0. 0. . . 0. 0. . . Từ bảng xét dấu, suy ra hàm số y g x có 3 điểm cực tiểu. Câu 18. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An -2018) Biết rằng hàm số f x có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f f x .. A. 5 .. B. 3 .. C. 4 . Lời giải. D. 6 .. Xét hàm số y f f x , y f x . f f x ; x 0 x 0 x 2 f x 0 x2 y 0 . x a 2; f x 0 f f x 0 f x 2 x b a; Với x b , ta có f x 2 f f x 0 Với a x b , ta có 0 f x 2 f f x 0 Với 0 x a hoặc x 0 , ta có f x 0 f f x 0 BBT:. Dựa vào BBT suy ra hàm số y f f x có bốn điểm cực trị. Câu 19.. (Sở Bình Phước - 2018) Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên 0; 6 . Đồ thị của 2. hàm số y f x trên đoạn 0; 6 được cho bởi hình bên dưới. Hỏi hàm số y f x có tối đa bao nhiêu cực trị.. A. 3 .. B. 7 .. C. 6 .. D. 4 .. Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(299)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải f x 0 Ta có y 2 f x f x nên y 0 . f x 0 Từ đồ thị ta suy ra f x 0 có tối đa 4 nghiệm, f x 0 có tối đa 3 nghiệm. 2. Do đó, hàm số y f x có tối đa 7 điểm cực trị nên có tối đa 7 cực trị. Câu 20. Biết rằng hàm số f x có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số. y f f x ? y. 2. O. x. -4 A. 5.. B. 4.. C. 3.. D. 6.. Lời giải Chọn B. f x 0. Ta có: y ' f f x f x . f f x ; y ' 0 . . x 0. + f x 0 . x 2. . . f f x 0 . . vì hàm số f x có hai điểm cực trị x 0; x 2. f x 0. 0 f. + f f x. . . x 2 y=2 2. y. 2. O. x a b. -4. . Quan sát đồ thị ta thấy phương trình f x 0 có một nghiệm bội chẵn x 0 và một Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(300)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. nghiệm đơn hoặc bội lẻ x a 2 .. . Kẻ đường thẳng y 2 nhận thấy phương trình f x 2 có một nghiệm đơn hoặc bội lẻ x b a Do đó y có các điểm đổi dấu là x 0; x 2, x a, x b . Vậy hàm số có 4 điểm cực trị. Câu 21.. (THPT Đô Lương 3 - Nghệ An - 2019) Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số g x f f x là.. A. 3.. B. 7.. C. 6. Lời giải. D. 5.. Chọn C Ta có g ' x f ' x . f ' f x .. f ' x 0 g ' x 0 . f ' f x 0 x 0 f ' x 0 . x 2 f x 0 * f ' f x 0 f x 2 ** Dựa vào đồ thị suy ra: x 1 Phương trình (*) có hai nghiệm . x 2. x m 1 n 0 Phương trình ( **) có ba nghiệm x n 0 n 1 x p p 2 x 1 x m x 0 g ' x 0 có nghiệm . x n x 2 x p Bảng biến thiên. Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(301)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Nhìn bảng biến thiên ta thấy hàm số g x f f x có 6 cực trị. Câu 22.. (Sở GD Bắc Ninh - 2019) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số y f x là 2 ; 0 ; 2 ; a ; 6 với 4 a 6 . Số điểm cực trị của hàm số y f x 6 3 x 2 là A. 8.. B. 11.. C. 9. Lời giải. D. 7.. Chọn B Từ đồ thị ta có -2; 0; 2; a ; 6 là tất cả các nghiệm của f x .. Ta có: y f x 6 3x 2 6 x5 6 x f x6 3x 2 . . . x 0, x 1 x 0, x 1 x 1 6 2 x 3x 2 x 0, x 4 3 x6 3x 2 0 6 x5 6 x 0 6 y' 0 6 2 x 2 x 3x 2 2 f x 3x 0 6 2 x m, m 2 x 3x a x n, n m x6 3x 2 6 Ta có bảng biến thiên của hàm số g x x 6 3x 2. Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(302)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số g x x 6 3x 2 , ta suy ra 1 là nghiệm kép của phương trình x 6 3 x 2 2 và 0 là nghiệm kép của phương trình x 6 3 x 2 0 . Do đó 1 và 0 là nghiệm kép của f x 6 3 x 2 . Do vậy 1 và 0 là nghiệm bội ba của y . Các nghiệm khác 1 và 0 của y đều là nghiệm đơn. Vậy hàm số đã cho có 11 cực trị. Câu 23.. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Cho hàm số f (x) xác định trên và có đồ thị f ( x) như hình vẽ bên. Đặt g ( x) f ( x) x . Hàm số đạt cực đại tại điểm thuộc khoảng nào dưới đây?. 3 A. ;3 2 . B. 2;0. 1 D. ; 2 2 . C. 0;1. Lời giải x 1 Ta có g x f x 1; g x 0 f x 1 x 1 x 2 Bảng xét dấu của g x :. x. -∞. g'(x). -1 + 0. 1 0. 2 0. +∞ +. Từ bảng xét dấu nhận thấy g x đạt cực đại tại x 1 2;0 . Câu 24.. (Thpt Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hàm số y f ( x 1) có đồ thị như hình vẽ.. Hàm số y A. x 1 .. 2 f x 4 x. đạt cực tiểu tại điểm nào? B. x 0 .. C. x 2 . Lời giải:. D. x 1 .. Ta có: y 2 f x 4 2 f x 4 x ln . y 0 2 f x 4 0 f x 2 . Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(303)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Đồ thị hàm số y f x nhận được từ việc tịnh tiến đồ thị hàm số y f x 1 sang trái 1 đơn vị. x 2 nên f x 2 x 0 . x 1 Do x 2 và x 1 là nghiệm bội chẵn nên ta có bảng biến thiên sau: x 0 2 1 y 0 0 0 . . . . y Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại x 0 . Câu 25. (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số y f x 2017 2018x 2019 là. A. 3. B. 4. C. 1 Lời giải. D. 2. Chọn C. Ta có: f x 2017 2018x 2019 0 f x 2017 2018 0 f x 2017 2018 Dựa vào đồ thị hàm số y f ' x suy ra phương trình. f x 2017 2018. có 1 nghiệm đơn duy. nhất. Suy ra hàm số y f x 2017 2018x 2019 có 1 điểm cực trị. Câu 26. (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hàm số y f '( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:. Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(304)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Tìm số điểm cực trị của hàm số y e 2 f ( x ) 1 5 f ( x ) . A. 1.. B. 2 .. C. 4 . Lời giải. D. 3 .. Ta có y e 2 f ( x ) 1 5 f ( x ). y 2 f x .e2 f ( x )1 f x .5 f ( x ) ln 5 f x 2e 2 f ( x ) 1 5 f ( x ) ln 5 . Nhận xét 2e 2 f ( x ) 1 5 f ( x ) ln 5 0, x làm cho f x xác định nên dấu của y phụ thuộc hoàn toàn vào f x . Vì vậy do f x đổi dấu 3 lần nên số điểm cực trị của hàm số y e 2 f ( x ) 1 5 f ( x ) là 3 . Câu 27.. (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Hàm số y 2 f x 1 đạt cực tiểu tại điểm A. x 2 .. B. x 0 .. C. x 1 . Lời giải. D. x 5 .. Ta có: y 2 f x 1 y 2 f x . Suy ra: Điểm cực tiểu của hàm số y f x cũng chính là điểm cực tiểu của hàm số y 2 f x 1 .. Vậy: Hàm số y 2 f x 1 đạt cực tiểu tại điểm x 0 . Câu 28. (Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 x là:. Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(305)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 4 .. B. 1 .. D. 2 .. C. 3 . Lời giải. x 1 Đặt g x f x 2 x suy ra g x 0 f x 2 0 f x 2 . x x0 1. Dựa vào đồ thị ta có: Trên ; 1 thì f x 2 f x 2 0 . Trên 1; x0 thì f x 2 f x 2 0 . Trên x0 ; thì f x 2 f x 2 0 .. Vậy hàm số g x f x 2 x có 1 cực trị. Câu 29. Cho. hàm. g x f x . A. 3 .. số. f x. có. đồ. thị. f x. như. hình. vẽ. dưới.. Hàm. số. x3 2 x 2 5 x 2001 có bao nhiêu điểm cực trị? 3. B. 1 .. C. 2 . Lời giải. D. 0 .. Chọn C Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(306)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Có g x f x x 2 4 x 5 g x 0 f x x 2 4 x 5 Ta có đồ thị hàm số y x 2 4 x 5 và đồ thị hàm y f x như hình vẽ dưới. Quan sát hình vẽ ta thấy g x 0 có 3 nghiệm phân biệt trong đó chỉ có 1 nghiệm bội chẵn Vậy hàm số g x có 2 điểm cực trị. Câu 30. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và không có cực trị, đồ thị của hàm số y f x là đường cong của như hình vẽ dưới đây.. Xét hàm số h x . 2 1 f x 2 x. f x 2 x 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2. A. Đồ thị của hàm số y h x có điểm cực tiểu là M 1;0 . B. Hàm số y h x không có cực trị. C. Đồ thị hàm số y h x có điểm cực đại là N 1; 2 . D. Đồ thị hàm số y h x có điểm cực đại là M 1;0 . Lời giải Chọn A Theo bài ra ta có h x f ' x . f x 2 f x 2 x. f x 4 x f x f x 2 x 2 f x 2 x . f x 2 f x 2x Từ đồ thị ta thấy y f x nghịch biến nên f ' x 0 suy ra f x 2 0 . Suy ra h x 0 f x 2 x 0 . Từ đồ thị dưới ta thấy f x 2 x 0 x 1 .. Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(307)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Ta có bảng biến thiên: x. . 1. . . h x. 0 Suy ra đồ thị của hàm số y h x có điểm cực tiểu là M 1;0 . Câu 31. Cho hàm số f x x 4 . Hàm số g x f ' x 3x 2 6 x 1 đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại x1 , x2 . Tính m g x 1 g x2 . A. m 0 .. B. m . 371 . 16. C. m . 1 . 16. D. m 11 .. Lời giải Chọn D Theo bài ra ta có f ' x 4 x3 . Suy ra g x 4 x3 3x 2 6 x 1 . x1 1 Suy ra g ' x 12 x 2 6 x 6 0 x2 1 2 Đồ thị hàm số lên - xuống – lên. 1 Hàm số g x f ' x 3x 2 6 x 1 đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại x1 1, x2 . 2 2 1 3 1 1 Suy ra m g 1 .g 2 4 3 6 1 4. 3. 6. 1 11 . 2 2 2 . Câu 32.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Biết đạo hàm của hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y f x 2 x có bao nhiêu điểm cực trị?. Facebook Nguyễn Vương 37.
<span class='text_page_counter'>(308)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 2 .. C. 0 . Lời giải. B. 1.. D. 3 .. Chọn B Đặt g x f x . g x ax3 bx 2 cx d Đồ thị hàm số g x đi qua các điểm O 0;0 , 1; 2 , 1; 2 nên ta có:. d 0 a b c d a b c d . d 0 2 b 0 a c 2 2 . Do đó: g x ax3 cx g x 3ax 2 c Hàm số đạt cực trị tại x 1 nên g 1 0 3a c 0 Từ đó có: a 1; c 3 g x f ( x) x3 3x Xét hàm số: y f x 2 x 2. y f x 2 x 3 3 x 2 x 1 x 2 . x 1 y 0 x 2 Dấu của y . x. ∞. y'. 1. 2. 0. 0. + ∞ +. Do đó hàm số có 1 điểm cực trị. Câu 33.. (Kim Liên - Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Biết hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.. Hàm số g x f x x đạt cực tiểu tại điểm A. x 1 . B. x 2 . C. Không có điểm cực tiểu.. D. x 0 . Lời giải. Chọn A Xét hàm số g x f x x có g x f x 1 Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(309)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Dựa vào đồ thị hàm số y f x có: x 0 g x 0 f x 1 x 1 x 2 Bảng biến thiên. Từ đó suy ra hàm số y g x đạt cực tiểu tại điểm x 1 . Câu 34. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số y f x là parabol như hình bên dưới.. Hàm số y f x 2 x có bao nhiêu cực trị? A. 3 .. B. 2 .. C. 0 . Lời giải. D. 1 .. Chọn B. Ta có y f x 2 .. x 0 . y 0 f x 2 0 f x 2 x x1 1. Facebook Nguyễn Vương 39.
<span class='text_page_counter'>(310)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dựa vào đồ thị y f x và đường thẳng y 2 , ta có bảng biến thiên sau. Vậy hàm số y f x 2 x có hai điểm cực trị. Câu 35. Cho hàm số đa thức y f x có đạo hàm trên , f 0 0 và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f x . Hỏi hàm số g x f x 3 x cóbao nhiêu cực trị?. A. 4.. B. 5.. C. 3. Lời giải. D. 6.. Chọn B Đặt h x f x 3x. h x f x 3 h x 0 f x 3 0 f x 3 Theo đồ thị của hàm số f x thì phương trình f x 3 có 4 nghiệm 1;0;1; 2 Ta có bảng biết thiên. x. ∞. h'(x) h(x). 1 0. +∞. +. 0. 1. 0. 0. 2 +. 0. +∞ +. f(0). +∞. Theo bảng biến thiên ta có phương trình h x 0 có hai nghiệm x1 1; và x2 1 (do có. f 0 0 ) Khi đó ta có Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(311)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x. ∞. x1. 1. 0. 1. x2. +∞ +∞. +∞ g(x)= h(x) f(0) 0. 0. Vậy hàm số g x f x 3 x có 5 cực trị. Câu 36. Cho hàm số y f ( x) có đồ thị đạo hàm y f '( x) như hình bên.. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số y f ( x ) x 2 x đạt cực đại tại x 0 . B. Hàm số y f ( x ) x 2 x đạt cực tiểu tại x 0 . C. Hàm số y f ( x ) x 2 x không đạt cực trị tại x 0 . D. Hàm số y f ( x ) x 2 x không có cực trị. Lời giải Chọn A 2 Xét hàm số g x f ( x) x x .. Tập xác định: D . Ta có g x f x 2 x 1 . x 0 Cho g x 0 f x 2 x 1 . x 2 Dựa vào đồ thị ta có: g 1 f 1 3 0 , g 3 f 3 7 0 nên x 0 là nghiệm đơn và x 2 là nghiệm kép.. Bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta có x 0 là điểm cực đại.. Facebook Nguyễn Vương 41.
<span class='text_page_counter'>(312)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 37.. (THPT Minh Khai) Cho hàm số Cho hàm số y f x liên tục trên và hàm số. g x 2 f x x 2 2 x 2019 . Biết đồ thị hàm số y f x như hình vẽ.. Số điểm cực trị của hàm số y g x là A. 5 .. B. 3 .. C. 2 . Lời giải. D. 4 .. Chọn A g x 2 f x 2x 2 , g x 0 f x x 1 Đường thẳng y x 1 đi qua các điểm 1 ; 2 , 1 ; 0 , 3 ; 2 . Quan sát vào vị trí tương đối của hai đồ thị trên hình vẽ, ta có BBT của hàm số y g x như sau. Đồ thị hàm số y g x nhận trục Oy làm trục đối xứng nên từ BBT trên ta suy ra BBT của hàm số y g x như sau. Vậy hàm số y g x có 5 điểm cực trị. Câu 38. Cho hàm số f x xác định trên và có đồ thị f ' x như hình vẽ.. Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(313)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Đặt g x f x x . Hàm số g x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? A. x 1.. B. x 2.. C. x 0 . Lời giải. D. x 1.. Chọn D Ta có g ' x f ' x 1 0 f ' x 1 . Từ đồ thị ta thấy đường thẳng y 1 cắt đồ thị f ' x tại ba điểm có hoành độ là x 1, x 1 và. x2 Bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ra xCD 1 . Câu 39.. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt g ( x) 3 f f ( x) 4 . Tìm số cực trị của hàm số g ( x ). A. 2.. B. 8.. C. 10. Lời giải. D. 6.. Chọn B. f ' x 0 Ta có: g ' x 3 f ' x . f ' f x , g ' x 0 3 f ' x . f ' f x . f ' f x 0 Từ đồ thị hàm số trên ta thấy: + Phương trình f ' x 0 có 2 nghiệm phân biệt là x 0; x với 1;3 . f x 0 + Phương trình f ' f x 0 . f x Facebook Nguyễn Vương 43.
<span class='text_page_counter'>(314)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. + Phương trình f x 0 có 3 nghiệm phân biệt khác 2 nghiệm trên. + Phương trình f x với 1;3 có 3 nghiệm phân biệt khác các nghiệm trên. Vậy phương trình g ' x 0 có 8 nghiệm phân biệt và g ' x đổi dấu qua các nghiệm. Do đó hàm số g x có 8 điểm cực trị. Câu 40.. (HSG 12 - Sở Quảng Nam - 2019) Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên , đồ thị hàm số 2. y f ( x) là đường cong ở hình vẽ. Hỏi hàm số h x f ( x) 4 f x 1 có bao nhiêu điểm cực trị?. B. 3 .. A. 2 .. C. 5 . Lời giải. D. 7 .. Chọn B 2. Đặt g x f ( x ) 4 f x 1 . x a a 2 f ( x) 2 Khi đó, g x 2 f ( x). f ( x) 4 f x 0 x 1 f x 0 x 2 Do đó, ta có bảng biến thiên:. Suy ra đồ thị hàm số y g x có ba điểm cực không nằm trên trục hoành và bốn giao điểm với Ox .. Vậy đồ thị hàm số y h x g x có số cực trị là 3 4 7 .. Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(315)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 41.. (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y f x , hàm số y f x có đồ thị như 2. 5sin x 1 (5sin x 1) 3 có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng hình bên. Hàm số g ( x) 2 f 2 4 (0; 2 ) .. A. 9 .. B. 7 .. C. 6 .. D. 8 .. Lời giải Chọn B. 5sin x 1 5 Ta có: g ( x) 5cos xf cos x 5sin x 1 . 2 2 5sin x 1 5 g ( x) 0 5cos xf cos x 5sin x 1 0 2 2. Facebook Nguyễn Vương 45.
<span class='text_page_counter'>(316)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. cos x 0 5sin x 1 5sin x 1 f 2 2 cos x 0 cos x 0 5sin x 1 3 cos x 0 sin x 1 2 5sin x 1 6 5sin x 1 1 1 5sin x 1 2 sin x 2 5 5sin x 1 2 5sin x 1 1 1 sin x 3 2 3 3 5sin x 1 2 5sin x 1 3 1 sin x 2 5 . x x 3 2 2 cos x 0 3 x sin x 1 2 1 1 1 sin x x arc sin x 2 arc sin , ( Vì 0 x 2 ). 5 5 5 1 1 1 sin x x arc sin x arc sin 3 3 3 3 3 3 sin x 5 x arc sin x arc sin 5 5 Suy phương trình g x 0 có 9 nghiệm, trong đó có nghiệm x . 3 là nghiệm kép. 2. Vậy hàm số y g x có 7 cực trị. Câu 42.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn f x có bảng biến thiên như sau:. 2. Số điểm cực trị của hàm số g x x 4 f x 1 là A. 11 .. B. 9 .. C. 7 . Lời giải. D. 5 .. Chọn B. Ta chọn hàm f x 5 x 4 10 x 2 3 . Đạo hàm 2. g x 4 x 3 f x 1 2 x 4 f x 1 f x 1 2 x 3 f x 1 2 f x 1 xf x 1 .. Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(317)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 0 2 x 3 f x 1 0 f x 1 0 Ta có g x 0 . 2 f x 1 xf x 1 0 2 f x 1 xf x 1 0 x 1 1, 278 x 1 0, 606 4 +) f x 1 0 * 5 x 1 10 x 1 3 0 x 1 0, 606 x 1 1, 278. Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 . t x 1. +) 2 f x 1 xf x 1 0 2 5t 4 10t 2 3 t 1 20t 3 20t 0 t 1,199 t 0, 731 30t 4 20t 3 40t 2 20t 6 0 t 0, 218 t 1, 045 Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình * . Vậy số điểm cực trị của hàm số g x là 9 . Câu 43.. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn f x có bảng biến thiên như sau:. 4. Số điểm cực trị của hàm số g x x 2 f x 1 là A. 7 .. B. 8 .. C. 5 . Lời giải. D. 9 .. Chọn C 4. 3. Ta có g x 2 x. f x 1 4 x 2 f x 1 f x 1 2 x. f x 1 . 3. f x 1 2 xf x 1 . x 0 Vậy g x 0 f x 1 0 1 f x 1 2 xf x 1 0 2 . Phương trình 1 có 4 nghiệm phân biệt Phương trình 2 có f x 1 2 xf x 1 f x 2 x 1 f x Từ bảng biến thiên suy ra hàm f x là bậc bốn trùng phương nên ta có f x 3 x 4 6 x 2 1 thay vào f x 2 x 1 f x vô nghiệm. Vậy hàm g x có 5 điểm cực trị. Câu 44.. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn f ( x ) có bảng biên thiên như sau: Facebook Nguyễn Vương 47.
<span class='text_page_counter'>(318)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Số điểm cực trị của hàm số g ( x) x 4 [f ( x 1)]2 là A. 7 .. B. 5 .. C. 9 .. D. 11 .. Lời giải Chọn C Ta có : f ( x) 4 x 4 8 x 2 3 f ( x) 16 x( x 2 1) Ta có g ( x) 2 x 3 . f ( x 1).[2 f ( x 1) x. f ( x 1)] x3 0 (1) g ( x) 0 f ( x 1) 0 (2) 2 f ( x 1) x. f ( x 1) 0 (3) . Phương trình (1) có x 0 (nghiệm bội ba). Phương trình (2) có cùng số nghiệm với phương trình f ( x ) 0 nên (2) có 4 nghiệm đơn. Phương trình (3) có cùng số nghiệm với phương trình : 2 f ( x) ( x 1). f ( x ) 0 2(4 x 4 8 x 2 3) 16 x( x 1)( x 2 1) 0 24 x 4 16 x 3 32 x 2 16 x 6 0 có 4 nghiệm phân biệt. Dễ thấy 9 nghiệm trên phân biệt nên hàm số g ( x ) 0 có tất cả 9 điểm cực trị.. Câu 45.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn f ( x ) có bảng biến thiên như sau. 4. Số điểm cực trị của hàm số g ( x) x 2 f ( x 1) A. 7 .. B. 8 .. D. 5 .. C. 9 . Lời giải. Chọn C 4. 3. 3. g '( x) 2 x f ( x 1) 4 x 2 f ( x 1) . f '( x 1) 2 x f ( x 1) . f ( x 1) 2 x. f '( x 1) g '( x ) 0 ta được. + TH1: x 0 x a 2 x b (2; 1) + TH2: f ( x 1) 0 x c (1;0) x d 0 Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(319)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. + TH3: f ( x 1) 2 x. f '( x 1) 0 . Từ bảng biến thiên ta có hàm số thỏa mãn là f ( x) 5 x 4 10 x 2 2 f ( x 1) 2 x. f '( x 1) 0 h x f ( x 1) 2( x 1). f '( x 1) 2 f '( x 1) 0. Với t x 1 ta có: h(t ) 5t 4 10t 2 2 2t (20t 3 20t ) 2(20t 3 20t ) 0 45t 4 40t 3 50t 2 40t 2 0 Lập bảng biến thiên ta suy ra có 4 nghiệm t 4 nghiệm x Vậy có 9 cực trị. Bài toán tìm cực trị của hàm số g x f u x h x Bước 1. Tìm cực trị của hàm số v x f u x h x Bước 2. Sử dụng phương pháp biến đổi đồ thị hàm số trị tuyệt đối để tìm số cực trị của hàm số g x Câu 46.. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có f 0 0. Biết y f x là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g ( x) f x3 x là. A. 5.. B. 4.. C. 6. Lời giải. D. 3.. Chọn A Xét h( x ) f x 3 x Có h ' x 3 x 2 f ' x 3 1 h x 0 3 x 2 f x 3 1 0 f x 3 . 1 3x 2. x 0 1. Đặt x3 t x 2 3 t 2 phương trình (1) trở thành: 1 f t t 0 2 3 2 3 t 1 Vẽ đồ thị hàm y trên cùng hệ trục tọa độ với hàm y f x . 3 3 x2. Facebook Nguyễn Vương 49.
<span class='text_page_counter'>(320)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dựa vào đồ thị ta có: f t . x 3 b 0 x3 b 0 t b 0 3 33 t2 t a 0 x 3 a 0 x a 0 1. Bảng biến thiên. Dựa vào BBT ta thầy hàm số g ( x) f x3 x có 5 điểm cực trị. Câu 47.. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có f 0 0 . Biết y f x là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g x f x 3 x là. A. 4.. B. 5.. C. 3. Lời giải. D. 6.. Chọn B Đặt h x f x 3 x h x 3x 2 f x 3 1 0 f x 3 . 1 3x 2. Đặt t x 3 x 3 t thế vào phương trình trên ta được f t . 1. . Xét hàm số y . . 1 3. 3 t. 2. y . 2 3. 9 t5. . 33 t2. đổi dấu khi qua 0 và đồ thị hàm số có tiệm cận ngang. y 0 . Khi vẽ đồ thị trên cùng một mặt phẳng tọa độ với đồ thị hàm số y f t ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc góc phần từ thứ 3 và 4, gọi 2 giao điểm lần lượt là t1 0, t2 0 x 1 3 t1 , x 2 3 t2 . Như vậy ta có bảng biến thiên của hàm số h x như sau. Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(321)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình h x 0 có 3 nghiệm phân biệt và hàm số h x có 2 điểm cực trị không nằm trên trục hoành, do đó hàm số g x h x có 5 điểm cực trị. Câu 48.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có f 0 0 . Biết y f x là hàm số bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số g x f x 4 x 2 là. A. 4.. B. 3.. C. 6. Lời giải. D. 5.. Chọn D Xét hàm số h x f x 4 x 2 có h x 4 x 3 f x 4 2 x .. x 0 h x 0 f x4 1 2 2x . *. Xét phương trình * : Đặt t x 4 thì * thành f t . 1 2 t. với t 0 .. y y f t . y. 1 2 t. t. O a. Dựa vào đồ thị, phương trình * có duy nhất một nghiệm a 0 . Khi đó, ta được x 4 a . Facebook Nguyễn Vương 51.
<span class='text_page_counter'>(322)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Bảng biến thiên của hàm số h x f x 4 x 2. Số cực trị của hàm số g x f x 4 x 2 bằng số cực trị của hàm h x f x 4 x 2 và số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình h x 0 . Dựa vào bảng biến thiên của hàm f x thì số cực trị của g x là 5. Câu 49.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x) có f 0 0. Biết y f ( x) là hàm số bậc bốn và có. . đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g ( x) f x 4 x 2 là. A. 3.. B. 6.. C. 5. Lời giải. D. 4.. Chọn C Xét h( x) f x 4 x 2. . . . Có h( x) 4 x3 f x 4 2 x 2 x 2 x 2 f x 4 1. x 0 h( x ) 0 2 x 2 x 2 f x 4 1 0 2 4 2 x f x 1 0 1 1 1 : 2 x 2 f x 4 1 0 f x 4 2 x 0 2 2x. . Đặt x 4 t x 2 t f t . 1 2 t. . t 0. phương trình (2) trở thành:. t 0 3. Vẽ đồ thị hàm y . 1 2 x. trên cùng hệ trục tọa độ với hàm y f x .. Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(323)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 4 a Dựa vào đồ thị ta có: phương trình (3) có nghiệm duy nhất t a 0 x 4 a x 4 a Bảng biến thiên:. . Dựa vào BBT ta thầy hàm số g ( x) f x 4 x 2 có 5 điểm cực trị. Câu 50.. (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên có đạo hàm f x liên tục trên và có bảng xét dấu như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y f x 2 2 x có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 4. B. 7. C. 9 Lời giải. D. 11. Chọn C Tập xác định của hàm số: D .. y h x f x. 2. x 2 x . . 2 x 2 . x. * y h x f x 2 x 2. Facebook Nguyễn Vương 53.
<span class='text_page_counter'>(324)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 2 x 2 h x 0 x 2 x 0 . x 1 2 2 x 2 x 1 x 1 2 2 x 2 x 2 x 1 3 x 1 3 Ta thấy phương trình h x 0 có 8 nghiệm đơn 1 . h x không tồn tại tại x 0 mà x 0 thuộc tập xác định đồng thời qua đó h x đổi dấu 2 .. Từ 1 và 2 suy ra hàm số đã cho có 9 điểm cực trị. Câu 51.. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho y f x là hàm đa thức bậc 4 và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 12;12 để hàm số g x 2 f x 1 m có 5 điểm cực trị?. A. 13 .. B. 14 .. C. 15 . Lời giải. D. 12 .. Chọn C Đặt h x 2 f x 1 m g x h x . Số điểm cực trị của g x = số điểm cực trị của y h x + số giao điểm của y h x với trục. Ox khác với điểm cực trị của y h x . Hàm số y f x có 3 điểm cực trị. Suy ra hàm số y h x cũng có 3 điểm cực trị. Hàm số g x có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi h x 0 f x 1 . m có 2 nghiệm phân biệt 2. khác điểm cực trị của h x . Đồ thị hàm số y f x 1 có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y f x sang bên phải 1 đơn vị. Dựa vào đồ thị, ta được: . m m 2 hoặc 6 3 . 2 2. m 4 m ; m 12;12 có 15 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán. 6 m 12 Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(325)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 52.. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số f x ax3 bx 2 cx d (với a , b, c, d và a 0 ) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số g x f 2 x 2 4 x . A. 2.. B. 5.. C. 4. Lời giải.. D. 3.. Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số y f x có hai điểm cực trị là x 2; x 0 . g x f 2 x 2 4 x liên tục trên . g ' x 4 x 4 f ' 2 x 2 4 x .. x 1 4 x 4 0 x 0 2 g ' x 0 2 x 4 x 0 x 2 2 x 2 4 x 2 2 x 1 0 Như vậy g ' x có 3 nghiệm, trong đó 1 là nghiệm bội 3, 0 và 2 là nghiệm đơn nên g x có 3 điểm cực trị. Câu 53.. (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ. . . Số điểm cực tiểu của hàm số g x f x 2 x bằng A. 1 .. B. 5 .. C. 2 . Lời giải. D. 3 .. Chọn D Đặt f x ax 3 bx 2 cx d . Khi đó f x 3ax 2 2bx c . Theo đồ thị hàm số y f x , ta có. Facebook Nguyễn Vương 55.
<span class='text_page_counter'>(326)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. f 2 0 12a 4b c 0 12a 4b 0 a 1 b 3 f 0 0 c 0 8a 4b 4 . 8 a 4 b 2 c d 2 c 0 c 0 f 2 2 f 0 2 d 2 d 2 d 2 . Vậy f x x3 3 x 2 2 .. . . Khi đó, ta có g x f x 2 x x6 3x5 5x3 3x2 2 . x 1 x 0 1 g x 3x 2 x 4 5 x3 5 x 2 g x 0 x . 2 x 1 x 2 . Bảng biến thiên. . . Suy ra, hàm số g x f x 2 x có ba điểm cực tiểu. Câu 54.. (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số f ( x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số. x2 2 x g ( x) f e x có bao nhiêu điểm cực trị? 2 . A. 3 .. B. 7 .. C. 6 .. D. 4 .. Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(327)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn A. x2 2 x Ta có g '( x) e x x 1 f ' e x 2 e x x 1 0 x 2x 2 Xét g '( x) 0 e x x 1 f ' e x 0 x x 2x 2 f ' e 0 2 2. e x x 1 0 2 e x x 2 x 2 2 2 e x x 2 x 1 2 2 e x x 2 x 4 2. 1 2 3 4. Ta xét u ( x) e x x 1; v( x) e x . x2 2x 2. Ta có u '( x) e x 1; u '( x) 0 x 0 u '( x) e x 1; v '( x) e x x 1 Bảng biến thiên:. Vậy u ( x) 0 x Xét hàm số v ( x) e x . x2 2x 2. Ta có v '( x) e x x 1 0x hàm số đồng biến trên Bảng biến thiên:. Khi đó các phương trình (2), (3), (4) có nghiệm duy nhất và g '( x) đổi dấu qua các nghiệm đó. Vậy hàm số g ( x) có 3 điểm cực trị. Câu 55.. (Sở Yên Bái - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y f x như hình bên. Đặt g x 2 f x x 2 1 . Khẳng định nào sau đây đúng?. Facebook Nguyễn Vương 57.
<span class='text_page_counter'>(328)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. Hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 1; . B. Hàm số y g x đồng biến trên khoảng 1;0 . C. Hàm số y g x đạt cực tiểu tại x 0 . D. Hàm số y g x đạt cực đại tại x 1 . Lời giải Chọn C g x 2 f x 2x . g x 0 f x x .. Ta vẽ thêm đường thẳng y x và đồ thị.. Khi đó phương trình g x 0 có các nghiệm x 1 , x 1 , x 2 . Ta có bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại x 0 . Câu 56.. (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y 3 x 4 4 x 3 12 x 2 m. có 5 điểm cực trị? A. 16 .. B. 28 .. C. 26 . Lời giải. D. 27 .. Chọn D Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(329)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 0 Xét hàm số f x 3 x 4 x 12 x m . Ta có f x 12 x 12 x 24 x 0 x 1 . x 2 4. 3. 2. 3. 2. Bảng biến thiên:. Vậy với mọi m hàm số f x luôn có ba điểm cực trị. Do đó để hàm số y f x có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình f x 0 có đúng hai. m 0 m 0 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ m 5 0 . 5 m 32 m 32 0 Vì m là số nguyên dương cho nên có 27 số m thỏa đề bài. Câu 57.. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:. Hàm số y f (2 x ) đạt cực đại tại A. x . 1 . 2. B. x 1 .. C. x 1 .. D. x 2 .. Lời giải Chọn C Đặt t 2 x y f (t ) .. t 1 2 x 1 x 1 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f (t ) đạt cực đại tại 2. t 2 2 x 2 x 1. 1 Vậy hàm số y f (2 x ) đạt cực đại tại điểm x 1 và x . 2 Câu 58.. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và. f 0 0; f 4 4 . Biết hàm y f x có đồ thị như hình vẽ.. Facebook Nguyễn Vương 59.
<span class='text_page_counter'>(330)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. y 5 3 1 O. x 1 2. 4. Số điểm cực trị của hàm số g x f x 2 2 x là A. 2 .. B. 1.. D. 3 .. C. 4 . Lời giải. Chọn D Xét hàm số h x f x 2 2 x . Ta có: h x 2 xf x 2 2 ; h x 0 f x 2 . 1 (vô nghiệm x 0 ). x. Đặt t x 2 x t , t 0 . 1 1 (*). Nhận thấy trên khoảng 0;1 thì w t nghịch biến và f t đồng t t biến, do đó (*) nếu có nghiệm là duy nhất. Mặt khác: h 0 .h 1 2 2 f 1 2 8 0 và h x liên tục trên 0;1 nên Khi đó: f t . x0 0;1 : h x0 0 . Vậy h x 0 có nghiệm duy nhất x0 0;1 và h x có một điểm cực tiểu (vẽ bảng biến thiên). (1) Xét phương trình: h x 0 f x 2 2 x 0 (**). Ta có: h 0 f 0 0 x 0 là một nghiệm của (**).. x .h 2 f x 2 x f 4 4 0 x Nên (**) có nghiệm x x ; 2 . Mặt khác: h. 0. 0. 1. 0. 1. . x0 ; 2 : h x1 0 .. 0. Vì h x có một điểm cực trị, nên (**) có không quá 2 nghiệm. Vậy h x f x 2 2 x 0 có hai nghiệm phân biệt. (2) Từ (1) và (2) ta được: hàm số g x f x 2 2 x có 3 điểm cực trị. Câu 59.. (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y f ( x) đồng biến trên 4; có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y f (2 x 2) bằng. Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(331)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 7 .. B. 5.. D. 9 .. C. 4 . Lời giải. Chọn D. . '. . '. g x f (2 x 2) g ' x 2 x 2 f ' (2 x 2) 2 x 2 2 f ' (2 x 2) g ' x 0 . x ' f (2 x 2) x. x ' f (2 x 2) 0 f ' (2 x 2) 0 x 0 x. x 0 x 2 Dựa vào đồ thị ta có f ' ( x) 0 x 3 x 4 2 2 ' f (2 x 2) 0 2 2 . x x x 2 2 x x 23 x 2 4 x x 20. 1 2 5 2 3 . x 1 x 2 5 x 2 x 3. Ta có bảng xét dấu g ' x . Suy ra hàm số y f (2 x 2) có 9 điểm cực trị Câu 60.. (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ dưới đây:. f x f x Tìm điểm cực đại của hàm số y 2019 2020 .. A. 2 .. B. 3 .. C. 0 . Lời giải. D. 1 .. Chọn A Từ đồ thị hàm số y f x ta có bảng xét dấu của y f x như sau:. Facebook Nguyễn Vương 61.
<span class='text_page_counter'>(332)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. . f x f x f x f x 2020 y f x 2019 ln 2019 2020 ln 2020 Xét hàm số y 2019. . f x f x Vì 2019 ln 2019 2020 ln 2020 0. . . f x f x ln 2019 2020 ln 2020 có bảng xét dấu như sau: Nên y f x 2019. f x f x Vậy hàm số y 2019 2020 có hai điểm cực đại.. Câu 61.. (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số y f x là một hàm đa thức có bảng xét dấu. f x như sau. Số điểm cực trị của hàm số g x f x 2 x B. 3 .. A. 5 .. C. 1. Lời giải. D. 7 .. Chọn A. . . . 2. . Ta có g x f x 2 x f x x . Số điểm cực trị của hàm số f x bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số f x cộng thêm 1.. 1 1 x 2 x 2 Xét hàm số h x f x 2 x h x 2 x 1 f x 2 x 0 x 2 x 1 . 1 5 2 x 2 x x 1 Bảng xét dấu hàm số h x f x 2 x . . . . 2. Hàm số h x f x 2 x có 2 điểm cực trị dương, vậy hàm số g x f x 2 x f x x có 5 điểm cực trị. Câu 62.. (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho đồ thị y f x như hình vẽ dưới đây:. Trang 62 Fanpage Nguyễn Bảo Vương .
<span class='text_page_counter'>(333)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số 1 y f x 2018 m2 có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các giá trị của các phần tử trong tập 3. Gọi S. S bằng A. 6 .. B. 5 .. C. 7 . Lời giải. D. 9 .. Chọn C 1 Đặt g x f x 2018 m 2 g x 3. 1 f x 2018 f x 2018 m 2 3 1 f x 2018 m 2 3. f x 2018 0 1 2 Phương trình g x 0 f x 2018 m 2 3 Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình 1 luôn có 3 nghiệm phân biệt. Vậy để đồ thị hàm số y g x có 5 điểm cực trị thì phương trình 2 phải có 2 nghiệm đơn phân m2 2 3 biệt m * m 3; 4 . m2 6 3 3 Vậy tổng các phần tử là 7.. Dạng 3. Tìm m để hàm số f(u) thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 1.. . (Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị của hàm đạo hàm f' x. như hình vẽ và g x f 2 x 4 f x m. A. 8 .. . f b 1 .Số giá trị nguyên của. m 5;5 để hàm số. có đúng 5 điểm cực trị là. B. 10 .. C. 9 . Lời giải. D. 7 .. Facebook Nguyễn Vương 63.
<span class='text_page_counter'>(334)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn C Cách 1:. . Ta có bảng biến thiên của f x :. Xét hàm số h x f 2 x 4 f x m. h ' x 2f ' x f x 4 f ' x h ' x 2f ' x f x 2 ' ' h x 0 2f x f x 2 0 f ' x 0 x a; x b f x 2 x c c a . Pt có 3 nghiệm phân biệt có 3 điểm cực trị. f x 4 f x m 2 Để g x h x có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi PT 2 có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ Xét h x 0 2. phân biệt Xét hàm số t x f 2 x 4 f x. . . Ta có Bảng biến thiên của t x :. m t a 5 . Từ YCBT t x m có hai nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ pb. . m t a 5 5 m 4 4 m 5 4 m 5 m 5 m 5; m 5 m 5 . . . m 5; 4; 3; 2; 1; 0;1;2; 3 . Cách 2: Trang 64 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(335)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. . Ta có bảng biến thiên của hàm số y f x :. Xét hàm số h x f 2 x 4 f x m. h ' x 2 f ' x f x 4 f ' x h ' x 2 f ' x f x 2 ' ' h x 0 2 f x f x 2 0 f ' x 0 x a; x b f x 2 x c c a . Từ YCBT g x h x f 2 x 4 f x m có 5 điểm cực trị khi:. . . . a 4 f (a) 5. m f 2 h a 0 4 m 0 5 m 5 m 4 m ; m 5; 5 m ; m 5;5 m 5; 4; 3; 2; 1; 0;1;2; 3. . . Câu 2.. . (Sở Bình Phước - 2020) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số g x f x 2020 m 2 có 5 điểm cực trị?. Facebook Nguyễn Vương 65.
<span class='text_page_counter'>(336)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 1.. B. 2.. C. 4. Lời giải. D. 5.. Chọn B. Gọi a , b, c a b c là ba điểm cực trị của hàm số y f x . Khi đó: f a 6; f b 2; f c 2 . Xét hàm h x f x 2020 với x . Khi đó: h x f x 2020 . x 2020 f x 2020 .. x a 2020 h x 0 x b 2020 . x c 2020 Bảng biến thiên của hàm h x . Hàm số g x f x 2020 m 2 có 5 điểm cực trị Phương trình f x 2020 m2 0 có đúng 2 nghiệm không thuộc. a 2020; b 2020; c 2020 m 2 m2 2 m 2 2 6 m 2 . 2 m2 6 2 m 6 . Vậy có 2 giá trị nguyên của m là m 2 và m 2 thì hàm số g x f x 2020 m 2 có 5 điểm cực trị. Câu 3.. (Chuyên. Lào. Cai 4. -. 2020). Cho. hàm. số. f x. 3. có. đạo. hàm. f x x 2 x 2 x 4 x 2 2 m 3 x 6m 18 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f x có đúng một điểm cực trị? B. 7 .. B. 5 .. C. 8 . Lời giải. D. 6 .. Chọn C. Trang 66 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(337)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x2 0 x 0 4 x 2 x 2 0 Ta có f x 0 3 x 4 x 4 0 2 2 x 2 m 3 x 6m 18 0 * x 2 m 3 x 6m 18 0 Để hàm số f x có đúng một điểm cực trị Phương trình * vô nghiệm, có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm là 4. Trường hợp 1. Phương trình. *. vô. nghiệm. 4m2 24m 36 24m 72 4m2 36 0 3 m 3 m 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 m 3. Trường hợp 2. Phương trình * có nghiệm kép 4m 2 36 0 . m 3 Trường hợp 3. Phương trình * có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Trong đó x1 4.. m 3. Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 4m 2 36 0 . m 3. S x1 x2 4 x2 2m 6 P x1.x2 4.x2 6m 18. Theo định lí Viète ta có . x2 2m 2 3 9 3 9 2m 2 m m 5 . 2 2 x2 2 m 2 Vậy m 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 4.. (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số h x f 2 x 2 f x 2m có đúng 3 điểm cực trị. A. m 1. B. m 1. C. m 2 Lời giải. D. m 2. Chọn B Số cực trị của hàm số h x f 2 x 2 f x 2m bằng số cực trị của hàm số y x f 2 x 2 f x 2m cộng với số giao điểm (khác điểm cực trị) của đồ thị hàm số y x f 2 x 2 f x 2m và y 0 .. Xét hàm số g x f 2 x 2 f x 2m g x 2 f x . f x 2 f x 2 f x f x 1 Facebook Nguyễn Vương 67.
<span class='text_page_counter'>(338)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 f x 0 g x 0 x 3 f x 1 x 0 BBT. Hàm số h x có 3 điểm cực trị 2m 0 m Câu 5.. 1 . Đáp án B là gần kết quả nhất 2. (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số. f x. có đạo hàm. 3 5x f x x 2 x a 13x 15 . Tập hợp các giá trị của a để hàm số y f 2 có 6 điểm cực x 4 trị là 5 5 15 5 5 15 5 5 5 5 15 A. ; \ 0; . B. ; \ 0; . C. ; \ 0 . D. ; \ . 4 4 13 4 4 13 4 4 4 4 13 Lời giải 2 3 5 x 5 x 5 x 5 x 5x y f 2 a 13 2 15 2 . 2 2 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 . 20 5 x 2. 3. 25 x 2. ax 2 5 x 4a 15 x 2 65 x 60 = . . 2 2 2 2 2 2 x 4 x 4 x 4 x 4 x 2 x 0 y 0 x 3 4 x 3 2 ax 5 x 4a 0. ( x 0 là nghiệm kép ).. (1). đặt g x ax 2 5 x 4a Ycbt thỏa mãn khi phương trình y 0 có 6 nghiệm bội lẻ phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 2;0;1; 4 . (Nếu g 0 0 thì y 0 chỉ có 5 nghiệm bội lẻ).. Trang 68 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(339)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. a 0 a 0 5 52 4a.4a 0 a 5 5 5 4 4 4 a 4 g 2 0 5 Điều kiện: g 2 0 a a 0 . 4 15 a 0 a g 0 0 13 g 3 0 a 15 13 4 g 0 3 Câu 6.. 2. (Chuyên Vinh - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x 2 2 x với x . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số f x 2 8 x m có 5 điểm cực trị? A. 15 .. B. 17 .. C. 16 Lời giải. D. 18. Đặt g x f x 2 8 x m 2. 2. f x x 1 x 2 2 x g x 2 x 8 x 2 8 x m 1 x 2 8 x m x 2 8 x m 2 . x 4 2 x 8 x m 1 0 1 g x 0 2 x 8x m 0 2 x 2 8 x m 2 0 3 2. Các phương trình 1 , 2 , 3 không có nghiệm chung từng đôi một và x 2 8 x m 1 0 với x Suy ra g x có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi 2 và 3 có hai nghiệm phân biệt khác 4 16 m 0 m 16 16 m 2 0 m 18 m 16 . 16 32 m 0 m 16 16 32 m 2 0 m 18 m nguyên dương và m 16 nên có 15 giá trị m cần tìm.. Câu 7.. Cho hàm số y f ( x) xác định trên và hàm số y f '( x) có đồ thị như hình bên. Biết rằng. f '( x) 0 với mọi x ; 3, 4 9; . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g ( x) f ( x) mx 5 có đúng hai điểm cực trị.. A. 7.. B. 8.. C. 6.. D. 5.. Facebook Nguyễn Vương 69.
<span class='text_page_counter'>(340)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Chọn B. g '( x) f '( x) m Số điểm cực trị của hàm số g ( x) bằng số nghiệm đơn (bội lẻ) của phương trình f '( x) m. 0 m 5 Dựa và đồ thị ta có điều kiện . 10 m 13 Vậy có 8 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn. Câu 8.. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y f ( x ) . Hàm số y f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.. y x 0. 1. 2. 3. Tìm m để hàm số y f ( x 2 m) có 3 điểm cực trị. A. m 3; .. B. m 0;3 .. C. m 0;3 .. D. m ;0 .. Lời giải Chọn C Do hàm số y f ( x 2 m) là hàm chẵn nên hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi hàm số này có đúng 1 điểm cực trị dương.. y f ( x 2 m ) y 2 xf x 2 m . x 0 x 0 2 2 x 0 x m0 x m y 0 2 2 2 x m 1 x 1 m f x m 0 x 2 m 3 x 2 3 m Đồ thị hàm số y f x tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ là x 1 nên các nghiệm của. . . pt x 2 1 m (nếu có) không làm f x 2 m đổi dấu khi x đi qua, do đó các điểm cực trị của. x 0 hàm số y f ( x 2 m) là các điểm nghiệm của hệ x 2 m x2 3 m m 0 0 m 3. 3 m 0. Hệ trên có duy nhất nghiệm dương khi và chỉ khi Câu 9.. 2. . . (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số f x x 2 x 2 4 x 3 với mọi. x . Có bao nhiêu giá trị nguyên Trang 70 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(341)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. dương của m để hàm số y f x 2 10 x m 9 có 5 điểm cực trị? A. 18 .. B. 16 .. C. 17 .. D. 15 .. Lời giải Chọn B. x 2 Ta có f x 0 x 1 , x 2 là nghiệm kép nên khi qua giá trị x 2 thì f x x 3 không bị đổi dấu. Đặt g x f x 2 10 x m 9 khi đó g ' x f u . 2 x 10 với u x 2 10 x m 9 .. x 5 2 x 10 0 2 2 2 2 x 10 x m 9 2 0 x 10 x m 9 2 0 Nên g x 0 2 2 x 10 x m 9 1 x 10 x m 8 0 1 2 2 x 10 x m 9 3 x 10 x m 6 0 2 Hàm số y f x 2 10 x m 9 có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi g x đổi dấu 5 lần Hay phương trình 1 và phương trình 2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 5. 1' 0 ' 2 0 , (Với h x x 2 10 x m 8 và p x x 2 10 x m 6 ). h 5 0 p 5 0 17 m 0 19 m 0 m 17 . 17 m 0 19 m 0 Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn. Câu 10.. (Chuyên Bắc Giang - Lần 4 - 2019) Cho hàm số. y f x. có đạo hàm. 2. f x x 2 x 1 x 2 2 m 1 x m 2 1 , x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số g x f x có 5 điểm cực trị? A. 3.. B. 5.. C. 2. Lời giải. D. 4.. Chọn C Dựa vào cách vẽ đồ thị hàm số g x f x , số điểm cực trị của đồ thị hàm số g x f x bằng số điểm cực trị dương của đồ thị hàm số y f x cộng thêm 1.. Để hàm số g x f x có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số y f x có 2 cực trị dương.. x 1 x 2. Ta có f x 0 2 x 2 m 1 x m2 1 0 * Facebook Nguyễn Vương 71.
<span class='text_page_counter'>(342)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Có x 2 là nghiệm bội 2, x 1 là nghiệm đơn. Vậy x 2 2 m 1 x m2 1 0 có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương x 1 , có một nghiệm x 0 Trường hợp 1: Có nghiệm x 0 khi đó x 2 2 m 1 x m2 1 0 m2 1 0 m 1 x 0 Với m 1 , có x 2 2 m 1 x m 2 1 0 x 2 4 x 0 TM x 4 Với m 1 , có x 2 2 m 1 x m2 1 0 x 2 0 x 0 (Loại) Trường hợp 2: x 2 2 m 1 x m2 1 0 có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương x 1 , có một nghiệm âm m 1;1 m2 1 0 Điều kiện tương đương 2 2 1 2 m 1 .1 m 1 0 m 1 3. Vì m m 0 Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 11.. (Sở GD Quảng Nam - 2019) Cho hai hàm đa thức y f x , y g x có đồ thị là hai đường cong ở hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số y f x có đúng một điểm cực trị là A , đồ thị hàm số y g x có đúng một điểm cực trị là B và AB . 7 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 4. thuộc khoảng 5;5 để hàm số y f x g x m có đúng 5 điểm cực trị?. A. 1 .. B. 3 .. C. 4 .. D. 6 .. Lời giải Chọn B. Trang 72 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(343)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Đặt h x f x g x , ta có: h x f x g x ; h x 0 x x0 ; h x 0 x x1 hoặc x x2 ( x1 x0 x2 );. 7 h x0 f x0 g x0 . 4. Bảng biến thiên của hàm số y h x là:. Suy ra bảng biến thiên của hàm số y k x f x g x là:. Do đó, hàm số y k x m cũng có ba điểm cực trị. Vì số điểm cực trị hàm số y k x m bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y k x m và số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình k x m 0 , mà hàm số y k x m cũng có ba điểm cực trị nên hàm số y f x g x m có đúng năm điểm cực trị khi phương trình. k x m 0 có đúng hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ). Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y k x , phương trình k x m 0 có đúng hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) khi và chỉ khi m Vì m , m Câu 12.. 7 7 m . 4 4. 7 và m 5;5 nên m 4; 3; 2 . 4. (Sở GD Bạc Liêu - 2019) Cho hàm số y f x x3 2m 1 x 2 2 m x 2 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số Facebook Nguyễn Vương 73.
<span class='text_page_counter'>(344)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. a a m để hàm số y f x có 5 điểm cực trị là ; c , (với a, b, c là các số nguyên, là phân số b b tối giản). Giá trị của biểu thức M a 2 b 2 c 2 là A. M 40 . B. M 11 . C. M 31 . Lời giải Chọn D Hàm số y f x x3 2m 1 x 2 2 m x 2 có đạo hàm là. D. M 45 .. y f x 3x2 2 2m 1 x 2 m - Để hàm số y f x có 5 điểm cực trị thì hàm số y f x có hai điểm cực trị x1, x2 dương. Tương đương với phương trình f x 0 có 2 nghiệm dương phân biệt.. m 1 m 5 2m 12 3 2 m 0 4m2 m 5 0 4 2 2m 1 5 1 1 S 0 m2. m m 3 4 2 2 m 2 m 2 2m P 0 3 a 5 Suy ra b 4 M a 2 b 2 c 2 45 . c 2 Câu 13.. (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 3 - 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tập hợp S tất cả các giá trị thực của tham số. m. để hàm số g x 2 f 2 x 3 f x m có đúng 7 điểm cực trị, biết phương trình. f '( x ) 0 có đúng 2 nghiệm phân biệt,. A. S 5;0 .. B. S 8;0 .. f a 1, f b 0 , lim f x và lim f x . x x . 1 C. S 8; . 6 Lời giải. 9 D. S 5; . 8 . Chọn A Từ gt ta có BBT của f ( x ). Trang 74 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(345)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Xét hàm số h x 2 f x 3 f x , có h ' x 4 f x . f '( x) 3 f ' x . h ' x 0 4 f x . f '( x) 3 f ' x 0 f ' x 0 4 f ( x) 3 0 x a x b f ( x ) 3 / 4 f ( x ) 3 / 4 x c a (theo BBT). BBT của h( x). 2 Để hàm số g ( x) | 2 f x 3 f x m || h x m | có đúng 7 điểm cực trị thì phương trình. h x m phải có 4 nghiệm phân biệt, hay 0 m 5 5 m 0 Câu 14.. (THPT Thanh Chương - Nghệ An - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 1 y x3 (3 m) x 2 (3m 7) x 1 có 5 điểm cực trị? 3 B. 5 . C. 2 . D. 4 . A. 3 . Lời giải 3 x 2 3 m x 3m 7 x 1, khi x 0 3 Ta có y 3 x 3 m x 2 3m 7 x 1, khi x 0 3 x 2 2 3 m x 3m 7 , khi x 0 y 2 . x 2 3 m x 3m 7 , khi x 0 Dễ thấy tại x 0 đạo hàm không tồn tại x 0 là một điểm cực trị Để hàm số có 5 điểm cực trị thì phương trình x 2 2 3 m x 3m 7 0 có 2 nghiệm dương 9 73 m 2 9 73 ' 0 m 9 73 7 2 m . phân biệt P 0 3 2 S 0 m 3 7 m 3. Do m nguyên nên m 2; 1;0 . -------------------- HẾT -------------------Facebook Nguyễn Vương 75.
<span class='text_page_counter'>(346)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 5. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH (MỨC 5-6 ĐIỂM) Dạng 1. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua đồ thị, bảng biến thiên Giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn a ; b Hàm số f x liên tục trên đoạn a ; b và f xi 0, xi a ; b . Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số f x là M max f a , f b , f xi . Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn a ; b Hàm số f x liên tục trên đoạn a ; b và f xi 0, xi a ; b . Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số f x là m Min f a , f b , f xi Hàm số y f x đồng biến trên đoạn a ; b thì Max f x f b ; Min f x f a a ;b . a ;b . Hàm số y f x nghịch biến trên đoạn a ; b thì Max f x f a ; Min f x f b a ;b . Câu 1.. a ;b . (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1; 3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1; 3 . Giá trị của M m bằng. Câu 2.. A. 1 B. 4 C. 5 D. 0 (Đề Minh Họa 2017) Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên:. Câu 3.. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 . B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1 . C. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 1 . D. Hàm số có đúng một cực trị. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;1 và có đồ thị như hình vẽ.. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1;1 . Giá trị của M m bằng A. 0 .. B. 1.. C. 2 .. D. 3 .. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(347)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 4.. Cho hàm số y f x liên tục trên 3; 2 và có bảng biến thiên như sau. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn 1; 2 . Tính M m .. Câu 5.. A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 4 . (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y f x trên đoạn 2; 2 .. A. m 5; M 1. Câu 6.. B. m 2; M 2 . C. m 1; M 0 . D. m 5; M 0 . (THPT Ba Đình 2019) Xét hàm số y f ( x) với x 1;5 có bảng biến thiên như sau:. Khẳng định nào sau đây là đúng A. Hàm số đã cho không tồn taị GTLN trên đoạn 1;5 B. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x 1 và x 2 trên đoạn 1;5 C. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x 1 và đạt GTLN tại x 5 trên đoạn 1;5 D. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x 0 trên đoạn 1;5 Câu 7.. (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên , có bảng biến thiên như hình sau:. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hàm số có hai điểm cực trị. B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 3 . C. Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận. D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 1 , 2; . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(348)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 8.. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số y f ( x) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn 1; 3 như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?. A. max f ( x) f (0) . 1;3. Câu 9.. B. max f x f 3 . C. max f x f 2 . D. max f x f 1 . 1;3. 1;3. 1;3. (VTED 2019) Cho hàm số f x liên tục trên 1;5 và có đồ thị trên đoạn 1;5 như hình vẽ bên dưới. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn 1;5 bằng. A. 1. B. 4. C. 1. D. 2. 5 Câu 10. (THPT Yên Mỹ Hưng Yên 2019) Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên 1, và có đồ 2 thị là đường cong như hình vẽ.. 5 Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x trên 1, là: 2 7 7 A. M 4, m 1 B. M 4, m 1 C. M , m 1 D. M , m 1 2 2 Câu 11. (THPT Nghĩa Hưng Nam Định 2019) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn 0; 2 là:. A. Max f x 2 . 0;2. B. Max f x 2 . 0;2. C. Max f x 4 . 0;2. D. Max f x 0 . 0;2. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(349)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 12.. (Sở Bắc Giang 2019) Cho hàm số y f ( x) liên tục trên đoạn 1;3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1;3 . Giá trị của M m là. A. 2 B. 6 C. 5 D. 2 Câu 13. (Sở Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên trên 5;7 như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Min f x 6 . B. Min f x 2 . 5;7 . 5;7 . C. Max f x 9 . -5;7 . D. Max f x 6 . 5;7 . Câu 14. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0 ; 3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 0 ; 3 . Giá trị của M m bằng?. A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 1 . Câu 15. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 2 ; 6 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 2 ; 6 . Giá trị của M m bằng A. 9 . B. 8 . C. 9 . D. 8 . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(350)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 16.. (VTED 2019) Cho hàm số y f x liên tục và có đồ thị trên đoạn 2; 4 như hình vẽ bên. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn 2; 4 bằng. Câu 17.. A. 5 B. 3 C. 0 D. 2 (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau:. Mệnh đề nào sau đây đúng A. max f x f 0 B. max f x f 1 1;1. 0; . C. min f x f 1 D. min f x f 0 ; 1. 1; . Dạng 2. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn Bước 1: Hàm số đã cho y f x xác định và liên tục trên đoạn a;b .. . Bước 2: Tính f a , f x , f x ,..., f x , f b .. . Tìm các điểm x 1, x 2 ,..., x n trên khoảng a;b , tại đó f x 0 hoặc f x không xác định. 1. n. 2. Bước 3: Khi đó:. . min f x min f x , f x ,..., f x , f a , f b .. max f x max f x 1 , f x 2 ,..., f x n , f a , f b . a ,b . a ,b . Câu 1.. 2. n. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) x 4 12 x 2 1 trên đoạn 1; 2 bằng: A. 1.. Câu 2.. 1. B. 37 .. C. 33 .. D. 12 .. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4 10 x 2 2 trên đoạn 1;2 bằng A. 2 .. B. 23 .. C. 22 .. D. 7 .. Câu 3.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x3 24 x trên đoạn 2;19 bằng. Câu 4.. A. 32 2 . B. 40 . C. 32 2 . D. 45 . 3 f x x 21 x (Mã 102 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 2;19 bằng A. 36 .. Câu 5.. B. 14 7 .. C. 14 7 .. D. 34 .. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) x 3 30 x trên đoạn 2;19 bằng A. 20 10.. B. 63.. C. 20 10.. D. 52.. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(351)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 6.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 3 33 x trên đoạn 2;19 bằng A. 72 .. B. 22 11 .. C. 58 .. D. 22 11 .. Câu 7.. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4 10 x 2 4 trên 0;9 bằng. Câu 8.. A. 28 . B. 4 . C. 13 . D. 29 . 4 2 f x x 12 x 4 trên đoạn 0;9 bằng (Mã 102 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số A. 39 .. Câu 9.. C. 36 .. D. 4 .. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4 10 x 2 2 trên đoạn 0;9 bằng A. 2 .. Câu 10.. B. 40 . B. 11 .. C. 26 .. D. 27 .. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4 12 x 2 1 trên đoạn 0;9 bằng. A. 28 . B. 1 . C. 36 . D. 37 . 3 Câu 11. (Mã 102 - 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 3x 2 trên đoạn 3;3 bằng A. 0 .. B. 16 .. D. 4 .. C. 20 . 4. 2. (Mã 110 2017) Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y x 2 x 3 trên đoạn 0; 3 . A. M 6 B. M 1 C. M 9 D. M 8 3 2 x 3 Câu 13. (Đề Minh Họa 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 2; 4 . x 1 19 A. min y 3 B. min y C. min y 6 D. min y 2 2;4 2;4 2;4 3 2;4 3 Câu 14. (Mã 103 - 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số f x x 3 x trên đoạn [ 3;3] bằng Câu 12.. A. 2 . B. 18 . C. 2 . D. 18 . 4 2 Câu 15. (Mã 104 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số y x x 13 trên đoạn [1; 2] bằng 51 A. 85 B. C. 13 D. 25 4 2 1 Câu 16. (Mã 104 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x 2 trên đoạn ; 2 . x 2 17 A. m 5 B. m 3 C. m D. m 10 4 (Chuyên Bắc Ninh 2018) Tìm tập giá trị của hàm số y x 1 9 x A. T 1; 9 . B. T 2 2; 4 . C. T 1; 9 . D. T 0; 2 2 . 3 2 Câu 18. (Mã 123 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x 7 x 11x 2 trên đoạn [0 ; 2] . A. m 3 B. m 0 C. m 2 D. m 11 4 2 Câu 19. (Mã 101 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số y x 4 x 9 trên đoạn 2;3 bằng Câu 17.. A. 201 B. 2 C. 9 D. 54 4 2 Câu 20. (Đề Tham Khảo 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số f x x 4 x 5 trêm đoạn 2;3 bằng A. 122 B. 50 C. 5 D. 1 4 2 Câu 21. (Mã 105 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x x 13 trên đoạn 2;3 . 51 51 49 A. m 13 B. m C. m D. m 4 2 4 3 Câu 22. (Mã 104 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 3x trên đoạn 3;3 bằng A. 18. B. 2. C. 2. D. 18. 3 2 Câu 23. (Mã 103 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3 x trên đoạn 4; 1 bằng A. 16 B. 0 C. 4 D. 4 Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(352)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 24.. (Mã 102 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 2 x2 7 x trên đoạn 0; 4 bằng. A. 259 B. 68 C. 0 D. 4 (Mã 101 - 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số f x x 3 3 x 2 trên đoạn 3;3 là A. 4 . B. 16 . C. 20 . D. 0 . 2 2 Câu 26. (SGD Nam Định) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x trên đoạn 2 ;3 bằng x 15 29 A. . B. 5 . C. . D. 3 . 2 3 3x 1 Câu 27. (Sở Quảng Trị 2019) Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y trên đoạn 0; 2 x 3 1 1 A. M . B. M . C. M 5 . D. M 5 3 3 Câu 25.. Câu 28. Câu 29.. (Sở Nam Định-2019) Giá trị lớn nhất của hàm số y 4 x 2 là A. 2. B. 0. C. 4.. D. 1.. (Chuyên Bắc Ninh 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin 2 x 4sin x 5 . A. 20 . B. 8 . C. 9 . D. 0 .. (THPT Hoa Lư A 2018) Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 1 f x x x 1 trên đoạn 0;3 . Tính tổng S 2m 3M . 2 7 3 A. S . B. S . C. 3 . D. S 4 . 2 2 Câu 31. (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x sin x cos 2 x trên 0; là Câu 30.. A.. 9 . 8. B.. 5 . 4. C. 2 .. D. 1 .. 4 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số y 2 cos x cos3 x trên 0; . 3 2 2 2 10 A. max y . B. max y . C. max y . D. max y 0 . 0; 0; 0; 0; 3 3 3 3sin x 2 Câu 33. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn sin x 1 2 2 0; 2 . Khi đó giá trị của M m là 31 11 41 61 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 4 sin x 1 Câu 34. (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số y . Gọi M là giá trị lớn nhất 2 sin x sin x 1 và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Chọn mệnh đề đúng. 2 3 3 A. M m . B. M m . C. M m 1 . D. M m . 3 2 2 Câu 32.. Dạng 3. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a;b) Bước 1: Tính đạo hàm f (x ) . Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x i (a;b ) của phương trình f (x ) 0 và tất cả các điểm i (a;b) làm cho f (x ) không xác định. Bước 3. Tính A lim f (x ), B lim f (x ) , f (x i ) , f (i ) . x a. x b. Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M max f (x ) , m min f (x ) . (a ;b ). (a ;b ). Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(353)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). 4 Câu 1. (Đề Tham Khảo 2017) Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3x 2 trên khoảng 0; . x 33 A. min y B. min y 2 3 9 C. min y 3 3 9 D. min y 7 0; 0; 0; 0; 5 4 Câu 2. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 1 trên khoảng 1; . Tìm m ? x 1 B. m 4 . C. m 2 . D. m 3 . A. m 5 . 1 Câu 3. (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 5 trên khoảng x 0; bằng bao nhiêu? A. 0 Câu 4.. B. 1. C. 3. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Gọi m là giá trị nhở nhất của hàm số y x khoảng 0; . Tìm m A. m 4 . B. m 2 .. Câu 5.. Câu 6.. Câu 7.. C. m 1 .. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 4 x 3 trên tập xác định của nó là B. 2 3.. C. 0.. Với giá trị nào của x thì hàm số y x 2 A.. Câu 9.. 4 trên x. D. m 3 . 1 (Chuyên Bắc Giang 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) x trên nửa khoảng 2; là: x 5 7 B. C. 0 D. A. 2 2 2 4 Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y x trên khoảng 0; . Tìm m . x A. m 3 . B. m 4 . C. m 2 . D. m 1 . A. 2 3.. Câu 8.. D. 2. 3. 3 . 4. B.. 1 . 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x . 3.. 1 đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0; ? x 1 C. 1. D. 3 . 2. 2 1 2 x. . D.. . 2. trên khoảng 0; . B. 3 .. C. 1 2 . D. 0 . 3 x 1 với x thuộc D ; 1 1; . Mệnh đề nào dưới đây đúng? Câu 10. Cho hàm số f x 2 x2 A. không tồn tại.. 2. A. max f x 0; min f x 5 .. B. max f x 0 ; không tồn tại min f x .. C. max f x 0;min f x 1 .. D. min f x 0 ; không tồn tại max f x .. D. D. Câu 11.. D. D. D. D. D. D. (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Mệnh đề nào sau đây là đúng về hàm số y tập xác định của nó. A. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất. C. Hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. D. Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. -------------------- HẾT --------------------. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương x 1 x2 5. trên.
<span class='text_page_counter'>(354)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 5. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ 7-8 ĐIỂM. Dạng. Định m để GTLN-GTNN của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước Bước 1. Tìm nghiệm xi (i 1, 2,...) của y 0 thuộc a; b Bước 2. Tính các giá trị f xi ; f a ; f b theo tham số Bước 3. So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Bước 4. Biện luận m theo giả thuyết đề để kết luận Lưu ý: Hàm số y f x đồng biến trên đoạn a ; b thì Max f x f b ; Min f x f a a ;b . a ;b . Hàm số y f x nghịch biến trên đoạn a ; b thì Max f x f a ; Min f x f b a ;b . Câu 1.. (Mã 123 2017) Cho hàm số y . a ;b . xm ( m là tham số thực) thỏa mãn min y 3. Mệnh đề nào [2;4] x 1. dưới đây đúng? A. m 4 Câu 2.. Câu 3.. Câu 4.. Câu 5.. Câu 6.. Câu 7.. B. 3 m 4 C. m 1 D. 1 m 3 xm 16 (Mã 110 2017) Cho hàm số y ( m là tham số thực) thoả mãn min y max y . Mệnh 1;2 1;2 x 1 3 đề nào dưới đây đúng? A. m 4 B. 2 m 4 C. m 0 D. 0 m 2 xm Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 1;2 bằng 8 ( m là tham x 1 số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. m 10 . B. 8 m 10 . C. 0 m 4 . D. 4 m 8 . x m2 2 Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y trên đoạn 0;4 xm bằng 1. A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . x 1 1 Cho hàm số y (m là tham số thực) thỏa mãn min y . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3;2 x m2 2 A. 3 m 4 . B. 2 m 3 . C. m 4 . D. m 2 . m2 x 1 Tìm giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 1;3 x2 bằng 1 . A. m 2 . B. m 3 . C. m 4 . D. m 2 . 2 xm Cho hàm số y với m là tham số thực. Giả sử m0 là giá trị dương của tham số m để x 8 hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;3 bằng 3. Giá trị m0 thuộc khoảng nào trong các khoảng cho dưới đây? A. 2;5 .. Câu 8.. Câu 9.. B. 1; 4 .. C. 6;9 .. D. 20; 25 .. (THPT Hai Bà Trưng - Huế 2019) Tìm giá trị của tham số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm 2x m số y trên đoạn 0;4 bằng 3 . x 1 A. m 3 . B. m 1 . C. m 7 . D. m 5 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm x m2 m số y trên đoạn 0;1 bằng 2 . x 1 Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(355)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. m 1 A. . m 2. m 1 B. . m 2. m 1 m 1 C. . D. . m 2 m2 x m Câu 10. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y ( m là tham số thực) thỏa mãn x 1 min y 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0;1. A. 1 m 3. B. m 6. C. m 1. D. 3 m 6 xm Câu 11. (Chuyên KHTN 2019) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên 1; 2 x 1 bằng 8 ( m là tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng? A. m 10 . B. 8 m 10 . C. 0 m 4 . D. 4 m 8 . Câu 12.. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Gọi A, B lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. x m2 m 13 trên đoạn 2;3 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để A B . 2 x 1 A. m 1; m 2 . B. m 2 . C. m 2 . D. m 1; m 2 . y. Câu 13.. x m2 với m là tham số thực. Giả sử m0 là giá trị dương x8 của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;3 bằng 3 . Giá trị m0 thuộc khoảng (Sở Hưng Yên) Cho hàm số f x . nào trong các khoảng cho dưới đây? A. 20;25 . B. 5;6 . Câu 14.. C. 6;9 .. D. 2;5 .. (Chuyên - Vĩnh Phúc 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3 3 x 2 m trên đoạn 1;1 bằng 0 .. A. m 2. B. m 6. C. m 0. D. m 4. Câu 15. (Sở Quảng Trị 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3 3 x 2 m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 1;1 bằng A. m 2 . Câu 16.. 2. B. m 2 2 .. C. m 4 2 .. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Có một giá trị m0. m 2 2 D. . m 4 2 của tham số m để hàm số. y x 3 m2 1 x m 1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 trên đoạn 0;1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2018m0 m02 0 . Câu 17.. B. 2m0 1 0 .. C. 6m0 m02 0 .. D. 2m0 1 0 .. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Nếu hàm số y x m 1 x 2 có giá trị lớn nhất bằng. 2 2 thì giá trị của m là 2 A. . B. 2 . 2. 2 . 2 Câu 18. (THPT Ngô Gia Tự Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y 2 x3 3x 2 m . Trên 1;1 hàm số có giá trị nhỏ nhất là 1 . Tính m ? A. m 6 . B. m 3 . C. m 4 . D. m 5 . Câu 19. Biết S là tập giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 4 m 2 x 3 2 x 2 m trên đoạn 0;1 bằng 16 . Tính tích các phần tử của S . A. 2 . B. 2 . C. 15 . D. 17 . Câu 20. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số x 2 mx 1 liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; 2 tại một điểm x0 0; 2 . y xm A. 0 m 1 B. m 1 C. m 2 D. 1 m 1 C.. 2.. D. . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(356)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 m sin x Câu 21. (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm số y . Có bao nhiêu giá trị nguyên cos x 2 của tham số m thuộc đoạn 0;10 để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn 2 ?. Câu 22.. A. 1. B. 9 . C. 3 . D. 6 . (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y ax3 cx d , a 0 có min f x f 2 . Giá trị lớn x ;0 . nhất của hàm số y f x trên đoạn 1;3 bằng A. d 11a . B. d 16 a . C. d 2a . D. d 8a . Câu 23. (THPT Nghĩa Hưng Nam Định 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xm có giá trị lớn nhất trên nhỏ hơn hoặc bằng 1. y 2 x x 1 A. m 1 . B. m 1 . C. m 1 . D. m 1 . x3 x2 m Câu 24. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số y trên 0; 2 x 1 bằng 5 . Tham số m nhận giá trị là A. 5 . B. 1. C. 3 . D. 8 . 2. Câu 25. Cho hàm số y x 3 3x m . Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;1 bằng 1 là A. 1. B. 4 . C. 0 . D. 4 . Câu 26. (Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Tìm tất cả các giá trị của m 0 để giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3 x 1 trên đoạn m 1; m 2 luôn bé hơn 3 . A. m 0; 2 . Câu 27.. B. m 0;1 .. C. m 1; .. (Chuyên Đh Vinh 2018) Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số y mx 20 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 0 m 2 . B. 4 m 8 .. Câu 28.. D. m 0; .. C. 2 m 4 .. . 36 trên 0;3 bằng x 1. D. m 8 .. . (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số y x3 3mx2 3 m2 1 x 2020 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0; ? A. 2 .. Câu 29.. B. 1.. C. Vô số.. D. 3 .. (Sở Bình Phước - 2020) Cho hàm số f x m x 1 ( m là tham số thực khác 0). Gọi m1 , m2 là hai giá trị của m thoả mãn min f x max f x m 2 10 . Giá trị của m1 m2 bằng 2;5. A. 3. Câu 30.. 2;5. B. 5.. C. 10.. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y . D. 2.. m sin x 1 có bao nhiêu giá trị nguyên của tham cosx 2. số m thuộc đoạn 5;5 để giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn 1 . A. 4 . B. 2 . Câu 31.. C. 6 .. D. 8 .. (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá 34 trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn 0;3 bằng 2. Tổng tất cả các phần 2 3 x 3 x 2 m 1 tử của S bằng A. 8 .. B. 8 .. C. 6 .. D. 1 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(357)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 32.. 2. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số y x 3 3 x m 1 . Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;1 bằng 1 là A. 2 . B. 4 . C. 4 . D. 0 .. Câu 33.. (Chuyên y f x m. Hạ 2. . Long. -. . Quảng. Ninh. -. Cho. 2020). hàm. số. 2. 2 x 2 x 4 4 x m 1 . Tính tổng tất cả các giá trị của m để hàm số. y f x có giá trị nhỏ nhất bằng 4 . 7 A. . 2 Câu 34.. B.. 5 . 2. D.. 1 . 2. (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần 2 - 2020) Cho hàm số f x Mệnh đề nào dưới đây sai? 2 m 6 m A. max f x max ; . 1;3 4 2 2 m 6 m C. min f x min ; . 1;3 4 2. Câu 35.. 1 C. . 2. 2x m với m 2 . x 1. 6m khi m 2 . 1;3 4 2m D. min f x khi m 2 . 1;3 2. B. max f x . (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 20 ; 20 để giá trị lớn nhất của hàm số y A. 9.. xm6 trên đoạn 1 ; 3 là số dương? xm B. 8. C. 11.. D. 10.. -------------------- HẾT --------------------. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(358)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. Chuyên đề 5. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC ĐỘ 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Định m để GTLN-GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng 1: Tìm m để max y f x m a ; . a 0.. Phương pháp: Cách 1:Trước tiên tìm max f x K ; ; . Kiểm tra max m K , m k . min f x k K k . ; . m K m k m K mk K k . 2 2 2. TH1:. K k m k a m a k a. Để max y a m a k ; a K . ; 2 m K a m a K. TH2:. K k a m . 2. Cách 2: Xét trường hợp m K a TH1: Max m K m K m k m k a TH2: Max m k m k m K Dạng 2: Tìm m để min y f x m a ; . a 0.. Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K ;. min f x k K k . ; . ; . m k a m K a m a k m a K Để min y a . Vậy m S1 S2 . ; m k 0 m K 0 m k m K Dạng 3: Tìm m để max y f x m không vượt quá giá trị M cho trước. ; . Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K ; ; . min f x k K k . ; . m k M M k m M K. Để max y M ; m K M Dạng 4: Tìm m để min y f x m không vượt quá giá trị a cho trước. ; . Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K ; ; . min f x k K k . ; . Để. m k a m K a m a k m a K min y a m K m k 0 K m k. ; m k 0 m K 0 m k m K Dang 5: Tìm m để max y f x m đạt min. a ;b . Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(359)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K ;. min f x k K k . a ;b. a ;b. Đề hỏi tìm m m . K k K k . Đề hỏi tìm min của max y giá trị này là . a;b 2 2. Dạng 6: Tìm m để min y f x m đạt min. a;b. Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K ;. min f x k K k . a;b. a ;b. Đề hỏi tìm m m K m k 0 K m k . Đề hỏi tìm min của min y giá trị này là 0. a;b. Dạng 7: Cho hàm số y f x m .Tìm m để max y h.min y h 0 hoặc Min max a ;b. a ;b . Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K ; a ;b. min f x k K k . a ; b. m k m TH1: K m h k m K mK m S1 . cung dau k m. k m K m. m S2. TH2: k m h K m K m cung dau k m Vậy m S1 S2 . Dạng 8: Cho hàm số y f x m . Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K ; a ;b. min f x k K k . a;b. BT1: Tìm m để min y max y m K m k . a ;b. a ; b. BT2: Tìm m để min y *max y m K * m k . a ;b . Câu 1.. (Đề Tham Khảo 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3 x m trên đoạn 0;2 bằng 3. Số phần tử của S là A. 0. Câu 2.. B. 6. C. 1. B. 16 .. C. 12 .. Câu 5.. D. 2 .. xm ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp x 1 tất cả các giá trị của m sao cho max f x min f x 2 . Số phần tử của S là (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f x 0;1. Câu 4.. D. 2. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f x x 3 3x m trên đoạn 0;3 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S là: A. 16 .. Câu 3.. a ;b . 0;1. A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 4 . (THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa 2019) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x 2m 1 trên đoạn 0; 2 là nhỏ nhất. Giá trị của m thuộc khoảng nào?. 3 2 A. ; 1 . B. ; 2 . C. 1;0 . D. 0;1 . 2 3 (Sở Vĩnh Phúc 2019) Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 2 x m trên đoạn 1;2 bằng 5 . A. 1 .. B. 2 .. C. 2 .. D. 1 .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(360)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 6.. 2. (THPT Nguyễn Huệ 2018) Cho hàm số y x 2 x a 4 ( a là tham số ). Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 2;1 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 7.. Câu 8.. A. a 1 . B. a 3 . C. a 2 . D. a 5 . (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị x 2 mx m lớn nhất của hàm số y trên 1;2 bằng 2 . Số phần tử của tập S x 1 A. 3 . B. 1 . C. 4 . D. 2 . 2 (HSG Bắc Ninh 2019) Xét hàm số f x x ax b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên 1;3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a 2b . A. 2 . B. 4 . C. 4 . D. 3 .. Câu 9.. Cho hàm số y x 3 x 2 m 2 1 x 27 . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 3; 1 có giá trị nhỏ nhất bằng A. 26 .. Câu 10.. Câu 11.. B. 18 .. C. 28 .. D. 16 .. (Sở Quảng Nam - 2018) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 2 x m 4 trên đoạn 2;1 bằng 4 ? A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai - Sóc Trăng - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x 2 9 x m trên đoạn 2; 4 bằng 16 .. Số phần tử của S là A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 1. Câu 12. (Chuyên Hạ Long 2018) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn 1 19 nhất của hàm số y x 4 x 2 30 x m 20 trên đoạn 0; 2 không vượt quá 20 . Tổng các 4 2 phần tử của S bằng A. 210 . B. 195 . C. 105 . D. 300 . Câu 13. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số. y sin 2 x 2sin x m bằng 1. Số phần tử của S là A. 0 Câu 14.. B. 1. B. 4. D. 3. x 4 ax a (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y , với a là tham số thực. Gọi M , m lần x 1. lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1;2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để M 2m ? A. 10 . B. 14 . C. 5 . D. 20 . Câu 15.. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của 1 tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x 4 14 x 2 48 x m 30 trên đoạn 4 0;2 không vượt quá 30 . Tổng giá trị các phần tử của tập hợp S bằng bao nhiêu? A. 120 .. Câu 16.. B. 210 .. C. 108 .. D. 136 .. (Chuyên Lương Văn Tỵ Ninh Bình 2020) Cho hàm số f x 3e 4 x 4e 3 x 24e 2 x 48e x m . Gọi A , B lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(361)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. của hàm số đã cho trên 0;ln 2 .Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc. 23;10 thỏa mãn A. 33 . Câu 17.. A 3B . Tổng các phần tử của tập S bằng B. 0 . C. 111 .. D. 74 .. (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số y x 4 2 x3 x 2 a . Có bao nhiêu số thực a để. min y max y 10 ? 1;2. 1;2. A. 3. Câu 18.. B. 5.. C. 2.. D. 1.. (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số f x x 3 3 x 2 m . Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn 1;3 không lớn hơn 2020? A. 4045 .. Câu 19.. B. 4046 .. C. 4044 .. D. 4042 .. (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét hàm số f x . mx 2 x 4 , với m là 2x 4. tham số thực. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện 0 min f x 1 ? 1;1. A. 4 . Câu 20.. B. 4.. D. 1.. C. 15.. D. 21.. (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Gọi S0 là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y phần tử của S là A. 50 .. Câu 22.. C. 2 .. (Chuyên Sơn La - 2020) Gọi S là tập hợp những giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số f (x ) x 3 12x m trên đoạn [1; 3] bằng 12 .Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng A. 25.. Câu 21.. B. 8 .. B. 49 .. 1 4 x 14 x 2 48 x m trên đoạn 2; 4 không vượt quá 30 . Số 4 C. 66 .. D. 73 .. (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của ham số f x e 2 x 4e x m trên đoạn 0;ln 4 bằng 6? A. 3 .. B. 4 .. C. 2 .. D. 1.. Câu 23.. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao 1 cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 9 x m 10 trên đoạn 0;3 không vượt quá 12 . Tổng 3 giá trị các phần tử của S bằng bao nhiêu? A. 7 . B. 0 . C. 3 . D. 12 .. Câu 24.. (Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao 1 cho giá trị lớn nhất của hàm số y x 4 14 x 2 48 x m 30 trên đoạn 0; 2 không vượt quá 4 30 . Tổng tất cả các giá trị của S là A. 180 . B. 136 . C. 120 . D. 210 .. Câu 25.. (Liên trường Nghệ An - 2020) Biết giá trị lớn nhất của hàm số y f x 2 x 3 15 x m 5 9 x trên 0;3 bằng 60 . Tính tổng tất cả các giá trị của tham số thực m . A. 48 .. Câu 26.. B. 5 .. C. 6 .. D. 62 .. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x 3 3 x m trên đoạn 0; 2 bằng 3 . Số phần tử của S là. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(362)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 2. Câu 27.. B. 6.. C. 1.. D. 0.. (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f x x 4 2 x 3 x 2 m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho min f x max f x 10 . Số phần tử của S 1;2. là? A. 2 . Câu 28.. B. 3 .. D. 1.. (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số f ( x) . 2mx 2 4 x 8 có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 1;1 là a thỏa mãn 0 a 1. x2. A. 3. Câu 29.. C. 5 .. 1;2. B. 4.. C. 5.. D. 2.. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y x 4 2 x 2 3m với m là tham số. Biết rằng có đúng hai giá trị m1 , m2 của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 1;2 bằng 2021. Tính giá trị m1 m2 . A.. Câu 30.. 1 . 3. B.. 4052 . 3. C.. 8 . 3. D.. 4051 . 3. (Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f x x3 3x 2 m 1 ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn. 2020;2020. sao cho. max f x 3min f x . Số phần tử của S là 1;4. A. 4003 .. 1;4. B. 4002 .. C. 4004 .. D. 4001 .. Dạng 2. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất hàm ẩn, hàm hợp Câu 1.. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ.. Giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn 1;2 là A. f 1 . Câu 2.. B. f 1 .. C. f 2 .. D. f 0 .. Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm f x . Đồ thị của hàm số y f x được cho như hình vẽ. Biết rằng f 0 f 3 f 2 f 5 . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y f x trên đoạn 0;5 lần lượt là:. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(363)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. f 2 ; f 5 . Câu 3.. B. f 0 ; f 5 .. C. f 2 ; f 0 .. D. f 1 ; f 5 .. Cho hàm số f x có đạo hàm là f x . Đồ thị của hàm số y f x được cho như hình vẽ bên. Biết rằng f 0 f 1 2 f 3 f 5 f 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f x trên đoạn 0;5 .. A. m f 5 , M f 3 B. m f 5 , M f 1 C. m f 0 , M f 3 D. m f 1 , M f 3 Câu 4.. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số. 1 1 g x f 4 x x 2 x 3 3x 2 8 x trên đoạn 1;3 . 3 3. A. 15. Câu 5.. B.. 25 . 3. C.. 19 . 3. D. 12.. Cho hàm số y f x liên tục trên . Đồ thị của hàm số y f x như hình bên. Đặt 2. g x 2 f x x 1 . Mệnh đề dưới đây đúng.. A. max g x g 3 . 3;3. Câu 6.. B. min g x g 1 . 3;3. C. max g x g 0 . D. max g x g 1 . 3;3. 3;3. Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp hai trên . Biết f 0 3 , f 2 2018 và bảng xét dấu của f x như sau:. Hàm số y f x 2017 2018 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây? A. ; 2017 . B. 2017; . C. 0; 2 . D. 2017;0 . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(364)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 7.. Cho hàm số f x có đạo hàm là f x . Đồ thị của hàm số y f x được cho như hình vẽ dưới đây:. Biết rằng f 1 f 0 f 1 f 2 . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn 1; 2 lần lượt là: A. f 1 ; f 2 . Câu 8.. B. f 2 ; f 0 .. C. f 0 ; f 2 .. D. f 1 ; f 1 .. 7 Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0; có đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ. 2. 7 Hàm số y f x đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; tại điểm x0 nào dưới đây? 2 7 A. x0 0 . B. x0 . C. x0 1 . D. x0 3 . 2 Câu 9.. Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm y f x như hình vẽ. Đặt h x 3 f x x3 3 x . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(365)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. max h( x) 3 f 1 .. [ 3; 3 ]. C. max h( x) 3 f hàm. . 3 . D. max h( x) 3 f 0 . [ 3; 3]. [ 3; 3 ]. Câu 10. Cho. . B. max h( x) 3 f 3 .. [ 3; 3]. số. y f x. có. đồ. thị. y f x. ở. hình. vẽ. bên.. Xét. hàm. số. 1 3 3 g x f x x3 x 2 x 2018, mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 4 2. A. min g x g 1 . 3;1. C. min g x g 3 . 3;1. g 3 g 1 . 3;1 2 D. min g x g 1 . B. min g x 3;1. Câu 11. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình sau:. Cho bốn mệnh đề sau: 1) Hàm số y f x có hai cực trị 2) Hàm số y f x đồng biến trên khoảng 1; 3) f 1 f 2 f 4 . 4) Trên đoạn 1;4 , giá trị lớn nhất của hàm số y f x là f 1 . Số mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên là: A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Câu 12. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 1 1 g x f 4 x x2 x3 3x 2 8 x trên đoạn 1;3. 3 3. A.. 25 . 3. B. 15.. C.. 19 . 3. D. 12.. Câu 13. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất 2 của hàm số g x f 2 x sin x trên đoạn 1;1 là. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(366)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. f 1 .. B. f 0 .. C. f 2 .. D. f 1 .. Câu 14. Cho hàm số y f x liên tục trên sao cho max f x 3 . Xét hàm số g x f 3x 1 m . 1;2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để max g x 10 . 0;1. A. 13 .. B. 7 .. C. 13 .. D. 1 .. Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp 2 trên , hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên.. sin x 3 cos x Giá trị lớn nhất của hàm số y f trên đoạn 2 5 A. f . B. f 0 . C. f . 3 6 Câu 16. Cho hàm số y f x liên tục trên sao cho. 5 6 ; 6 bằng D. f . 6. max f x f 2 4 . Xét hàm số. x 0;10. g x f x 3 x x 2 2 x m . Giá trị của tham số m để max g x 8 là x 0;2. A. 5 . B. 4 . C. 1 . D. 3 . Câu 17. Cho hai hàm số y f x , y g x có đạo hàm là f x , g x . Đồ thị hàm số y f x và g x được cho như hình vẽ bên dưới.. Biết rằng. f 0 f 6 g 0 g 6 . Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. h x f x g x trên đoạn 0;6 lần lượt là:. A. h 6 , h 2 .. B. h 2 , h 6 .. C. h 0 , h 2 .. D. h 2 , h 0 .. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(367)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 18.. (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số f x liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ. 8x m 1 có giá trị 2 x 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f lớn nhất không vượt quá 2020 ? A. 4029 . B. 4035 . Câu 19.. C. 4031 .. D. 4041 .. (Sở Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị y f x như hình bên. 2. Đặt g x 2 f x x 1 .. Khi đó y g x đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 3;3 tại A. x 3 . Câu 20.. B. x 3 .. C. x 0 .. D. x 1 .. (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho hàm số f x . Biết hàm số f x có đồ thị như hình dưới đây. 2. Trên 4;3 , hàm số g x 2 f x 1 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(368)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. x 3 . Câu 21.. B. x 4 .. C. x 3 .. D. x 1 .. (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp hai trên . Biết. f 0 3, f 2 f 2018 0 , và bảng xét dấu của f x như sau. Hàm số y f x 1 2018 đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 thuộc khoảng nào sau đây? A. ; 2015 . Câu 22.. B. 1;3 .. C. 1009;2 .. D. 2015;1 .. (THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp hai trên . Biết. f 0 3 , f 2 2020 , lim f x và bảng xét dấu của f x như hình sau: x . Hàm số y f x 2019 2020 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây? A. ; 2019 .. B. 0; 2 .. C. 2019;0 .. D. 2019; .. Dạng 3. Ứng dụng gtln-gtnn giải bài toán thực tế Câu 1.. (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 2 - 2020) Cho số a 0 . Trong số các tam giác vuông có tổng một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng a , tam giác có diện tích lớn nhất bằng 3 2 3 2 3 2 3 2 B. C. D. a . a . a . a . 3 6 9 18 (Mã 101 2018) Ông A dự định dùng hết 6,5m 2 kính để làm một bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 2, 26 m3 B. 1, 61 m3 C. 1,33 m3 D. 1,50 m3. A. Câu 2.. Câu 3.. 1 (Mã 104 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s t 3 6t 2 với t (giây) là khoảng thời 3 gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 243 (m/s) B. 27 (m/s) C. 144 (m/s) D. 36 (m/s). Câu 4.. (Mã 103 2018) Ông A dự định sử dụng hết 5 m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? A. 1, 01 m3 B. 0, 96 m 3 C. 1,33 m3 D. 1,51 m3. Câu 5.. Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể t trong t giờ được cho bởi công thức c t 2 mg / L . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ t 1 thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất? A. 4 giờ. B. 1 giờ. C. 3 giờ. D. 2 giờ. (Dề Minh Họa 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.. Câu 6.. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(369)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. x 3. B. x 2. C. x 4. D. x 6. Câu 7.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Một sợi dây có chiều dài 28m được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình vuông và một hình tròn. Tính chiều dài (theo đơn vị mét) của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất? 56 112 84 92 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 . Câu 8.. (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều dài bằng 10cm và chiều rộng bằng 8cm . Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm , rồi gập tấm nhôm lại (như hình vẽ) để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.. A. x . 8 2 21 3. B. x . 10 2 7 3. C. x . 9 21 . 9. D. x . 9 21 3. (Mã 103 2018) Ông A dự định sử dụng hết 5 m 2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? A. 1,01 m3 . B. 0,96 m3 . C. 1,33 m3 . D. 1,51 m3 . Câu 10. Một người nông dân có 15.000.000 đồng muốn làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60.000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được Câu 9.. A. 3125 m 2 . Câu 11.. B. 50 m 2 .. C. 1250 m 2 .. D. 6250 m 2 .. (Chuyên Long An-2019) Ông Khoa muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ 3 nhật không nắp có thể tích bằng 288m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, 2. giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ m . Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông Khoa trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu (Biết độ dày thành bể và đáy bể không đáng kể)? Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(370)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 90 triệu đồng.. B. 168 triệu đồng.. C. 54 triệu đồng.. D. 108 triệu đồng.. Câu 12. (Kinh Môn - Hải Dương L2 2019) Một người nông dân có 3 tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài 12 m và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ (bờ sông là đường thẳng DC không phải rào, mỗi tấm là một cạnh của hình thang). Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu m 2 ? B. A. C. D. A. 100 3 . Câu 13.. B. 106 3 .. C. 108 3 .. D. 120 3 .. (Sở GD Quảng Nam - 2019) Cho nửa đường tròn đường kính AB 2 và hai điểm C , D thay đổi trên nửa đường tròn đó sao cho ABCD là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng A.. 1 . 2. B.. 3 3 . 4. C. 1.. D.. 3 3 . 2. Câu 14. (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình 2018) Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3 km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B , hay có thể chèo trực tiếp đến B , hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm D giữa C và B và sau đó chạy đến B . Biết anh ấy có thể chèo thuyền 6 km/ h , chạy 8 km/ h và quãng đường BC 8 km . Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tính khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến B .. A.. Câu 1.. 3 . 2. B.. 9 . 7. C.. 73 . 6. D. 1 . 7 . 8. Dạng 4. Dùng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (HSG 12 - Sở Quảng Nam - 2019) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x 0, y 0, z 1 , a a x y z 2 .Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P xyz bằng với a, b * và là phân số tối b b giản. Giá trị của 2a b bằng A. 5 . B. 43 . C. 9 . D. 6 .. Câu 2.. (Chuyên Bắc Giang Nam 2019) Cho x 2 xy y 2 2 . Giá trị nhỏ nhất của P x 2 xy y 2 bằng: 2 1 1 A. B. C. D. 2 3 6 2. Câu 3.. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho x , y là các số thực thỏa mãn x y x 1 2 y 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P x 2 y 2 2 x 1 y 1 8 4 x y . Tính giá. trị M m Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(371)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 42 Câu 4.. B. 41. C. 43. D. 44. (Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị -2019) Cho x , y 0 thỏa mãn x y 4 1 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính x 2 y 2 . x 4y 153 5 A. . B. . 100 4. 3 và biểu thức 2. P. C.. 2313 . 1156. D.. 25 . 16. Câu 5.. (Chuyên Hà Tĩnh - 2019) Cho các số thực x , y thay đổi thỏa mãn x 2 y 2 xy 1 và hàm số 5x y 2 f t 2t 3 3t 2 1 . Gọi M , m tương ứng là GTLN và GTNN của Q f . Tổng x y4 M m bằng: A. 4 3 2 . B. 4 5 2 . C. 4 4 2 . D. 4 2 2 .. Câu 6.. (Sở Lào Cai - 2019) Cho hàm số f x x 4 ax3 bx 2 cx 1 . Biết rằng đồ thị hàm số. y f x có ít nhất một giao điểm với trục hoành. Bất đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a 2 b 2 c 2 Câu 7.. (THPT 3. Trần. 4 . 3. B. a 2 b 2 c 2 Nhân. . Tông. 4 4 4 . C. a 2 b 2 c 2 . D. a 2 b2 c 2 . 3 3 3 2018) Cho hai số thực thỏa x, y. . mãn: 9 x 2 y 3 xy 5 x 3 xy 5 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P x3 y 3 6 xy 3 3x 2 1 x y 2 A. Câu 8.. 296 15 18 . 9. B.. 36 296 15 . 9. C.. 36 4 6 . 9. D.. (THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình - 2018) Cho x, y 0 và x y 4 1 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó x 4y 25 17 A. x 2 y 2 . B. x 2 y 2 . 32 16. 4 6 18 . 9. 5 sao cho biểu thức 4. P. Câu 9.. A.. D. x 2 y 2 . 13 . 16. 5 7 . 3 30. . B.. 7 5 . 30 3. 5 7 . 3 30. C.. A. . 9476 . 243. x y 4. x y 1 .2. B. 76 .. 7 x y. C.. 3 x y 2. 193 . 3. 57 . 30. D.. . x 2 y 3 . Giá trị. D.. 148 . 3. (THPT Lê Xoay - 2018) Cho các số thực x , y thỏa mãn x y 1 2 lớn nhất của biểu thức M 3. Câu 11.. 25 . 16. (Xuân Trường - Nam Định -2018) Cho x, y là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 1 xy 1 xy 1 y 1 x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y x y x 2y P ? x 2 xy 3 y 2 6 x y . . Câu 10.. C. x 2 y 2 . 2. . bằng. (Cụm 5 Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 1 y sin x cos x tan x cot x sin x cos x A.. 2 1.. B. 2 2 1 .. C.. 2 1.. D. 2 2 1 .. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(372)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 12.. (Sở Phú Thọ - 2018) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 4 và xy yz zx 5 . 1 1 1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3 y 3 z 3 bằng: x y z A. 20 . B. 25 . C. 15 .. . . D. 35 .. (Sở Bắc Ninh - 2018) Gọi M , m lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin 2018 x cos 2018 x trên . Khi đó: 1 1 1 A. M 2 , m 1008 . B. M 1 , m 1009 . C. M 1 , m 0 . D. M 1 , m 1008 . 2 2 2 Câu 14. (Chuyên Long An - 2018) Cho các số thực x , y thỏa mãn x y 2 x 3 y 3 . Tìm giá. Câu 13.. . . trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 x 2 y 2 15 xy . A. min P 80 . Câu 15.. B. min P 91 .. C. min P 83 .. D. min P 63 .. (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hai số thực. . 3. y. x,. thỏa mãn:. . 2. 2 y 7 y 2 x 1 x 3 1 x 3 2 y 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2 y . B. P 4 .. A. P 10 Câu 16.. C. P 6 .. D. P 8 .. (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng 2018) Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x 2 xy 3 0 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 x 3 y 14 0. P 3 x 2 y xy 2 2 x 3 2 x A. 8 . B. 0 . Câu 17.. (Sở. Nam. . 2. Định. . 2. C. 12 . Biết. 2018). 4. 2. D. 4 . rằng. bất. phương. trình. . 2. m x 1 x 1 2 x x x 1 x 2 có nghiệm khi và chỉ khi m ; a 2 b với a, b . Tính giá trị của T a b . A. T 3 . B. T 2 . Câu 18.. (THPT. Nguyễn. Huệ. 2018). Cho. D. T 1 .. C. T 0 .. x, y. là. các. số. thực 3. dương 3. thỏa 2. mãn 2. x y x y 2 x 2 y 2 xy x y xy 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 3 3 9 2 2 x y x y 25 23 A. . B. 5 . C. . D. 13 . 4 4. Câu 19.. (THPT Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho các số thực dương x , y thỏa mãn 2 x y 2 1 . x 4y 65 . 4. . . 5 . Tìm giá 4. trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P A. Pmin . 34 . 5. B. Pmin. C. Pmin không tồn tại. D. Pmin 5 .. -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(373)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 5. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH (5-6 ĐIỂM) Dạng 1. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua đồ thị, bảng biến thiên Giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn a ; b Hàm số f x liên tục trên đoạn a ; b và f xi 0, xi a ; b . Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số f x là M max f a , f b , f xi Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn a ; b Hàm số f x liên tục trên đoạn a ; b và f xi 0, xi a ; b . Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số f x là m Min f a , f b , f xi Hàm số y f x đồng biến trên đoạn a ; b thì Max f x f b ; Min f x f a a ;b . a ;b . Hàm số y f x nghịch biến trên đoạn a ; b thì Max f x f a ; Min f x f b a ;b . Câu 1.. a ;b . (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1; 3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1; 3 . Giá trị của M m bằng. A. 1. B. 4. C. 5 Lời giải. D. 0. Chọn C Dựa và đồ thị suy ra M f 3 3; m f 2 2 Vậy M m 5 Câu 2.. (Đề Minh Họa 2017) Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên:. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 . B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1 . Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(374)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. C. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 1 . D. Hàm số có đúng một cực trị. Lời giải Chọn C Đáp án A sai vì hàm số có 2 điểm cực trị. Đáp án B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu y 1 khi x 0 . Đáp án C sai vì hàm số không có GTLN và GTNN trên . Đáp án D đúng vì hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 1 . Câu 3.. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;1 và có đồ thị như hình vẽ.. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1;1 . Giá trị của M m bằng A. 0 .. C. 2 . Lời giải Từ đồ thị ta thấy M 1, m 0 nên M m 1 . Câu 4.. B. 1.. D. 3 .. Cho hàm số y f x liên tục trên 3; 2 và có bảng biến thiên như sau. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn 1; 2 . Tính M m .. A. 3 .. B. 2 .. C. 1 .. D. 4 .. Lời giải Trên đoạn 1; 2 ta có giá trị lớn nhất M 3 khi x 1 và giá trị nhỏ nhất m 0 khi x 0 . Khi đó M m 3 0 3 . Câu 5.. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y f x trên đoạn 2; 2 .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(375)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. m 5; M 1.. B. m 2; M 2 .. C. m 1; M 0 .. D. m 5; M 0 .. Lời giải Nhìn vào đồ thị ta thấy: M max f x 1 khi x 1 hoặc x 2 . 2;2. m min f x 5 khi x 2 hoặc x 1 . 2;2. Câu 6.. (THPT Ba Đình 2019) Xét hàm số y f ( x) với x 1;5 có bảng biến thiên như sau:. Khẳng định nào sau đây là đúng A. Hàm số đã cho không tồn taị GTLN trên đoạn 1;5 B. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x 1 và x 2 trên đoạn 1;5 C. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x 1 và đạt GTLN tại x 5 trên đoạn 1;5 D. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x 0 trên đoạn 1;5 Lời giải A. Đúng. Vì lim y nên hàm số không có GTLN trên đoạn 1;5 . x 5. B. Sai. Hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại x 2 trên đoạn 1;5 . C. Sai. Hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại x 2 trên đoạn 1;5 và lim y . x 5. D. Sai. Hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại x 2 trên đoạn 1;5 . Câu 7.. (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên , có bảng biến thiên như hình sau:. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hàm số có hai điểm cực trị. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(376)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 3 . C. Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận. D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 1 , 2; . Lời giải Dựa vào BBT ta thấy hàm số không có GTLN, GTNN. Câu 8.. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số y f ( x) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn 1;3 như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?. A. max f ( x) f (0) . 1;3. B. max f x f 3 . C. max f x f 2 . D. max f x f 1 . 1;3. 1;3. 1;3. Lời giải Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy max f x f 0 . 1;3. Câu 9.. (VTED 2019) Cho hàm số f x liên tục trên 1;5 và có đồ thị trên đoạn 1;5 như hình vẽ bên dưới. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn 1;5 bằng. A. 1. B. 4. C. 1 Lời giải. D. 2. M max f x 3 1;5 M n 1. Từ đồ thị ta thấy: f x 2 n min 1;5. 5 Câu 10. (THPT Yên Mỹ Hưng Yên 2019) Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên 1, và có đồ 2 thị là đường cong như hình vẽ.. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(377)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 5 Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x trên 1, là: 2 7 7 A. M 4, m 1 B. M 4, m 1 C. M , m 1 D. M , m 1 2 2 Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị M 4, m 1 . Câu 11.. (THPT Nghĩa Hưng Nam Định 2019) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn 0; 2 là:. A. Max f x 2 .. B. Max f x 2 .. C. Max f x 4 .. D. Max f x 0 .. 0;2 0;2. 0;2. 0;2. Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn 0; 2 hàm số f x có giá trị lớn nhất bằng 4 khi x 2 Suy ra Max f x 4 0;2. Câu 12.. (Sở Bắc Giang 2019) Cho hàm số y f ( x) liên tục trên đoạn 1;3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1;3 . Giá trị của M m là. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(378)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 2. C. 5 D. 2 Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy GTLN của hàm số trên đoạn 1;3 là M 2 đạt được tại x 1 và B. 6. GTNN của hàm số số trên đoạn 1;3 là m 4 đạt được tại x 2. M m 2 (4) 2 Câu 13.. (Sở Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên trên 5;7 như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Min f x 6 . B. Min f x 2 . 5;7 . C. Max f x 9 .. 5;7 . -5;7 . D. Max f x 6 . 5;7 . Lời giải Dựa vào bảng biến thiên trên 5; 7 , ta có: Min f x f 1 2 . 5;7 . Câu 14. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0 ; 3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 0 ; 3 . Giá trị của M m bằng?. A. 5 .. B. 3 .. C. 2 . Lời giải Dựa vào hình vẽ ta có: M 3 , m 2 nên M m 1 .. D. 1 .. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(379)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 15.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 2 ; 6 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 2 ; 6 . Giá trị của M m bằng A. 9 .. B. 8 .. C. 9 . Lời giải Từ đồ thị suy ra 4 f x 5 x 2;6 ; f 1 4; f 4 5. D. 8 .. M 5 M m 9. m 4. Câu 16.. (VTED 2019) Cho hàm số y f x liên tục và có đồ thị trên đoạn 2; 4 như hình vẽ bên. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn 2; 4 bằng. A. 5. B. 3. C. 0 Lời giải. D. 2. Chọn B Dựa vào đồ thị hàm số ta có m Min f x 4 , M Max f x 7 x 2;4 . x 2;4. Khi đó M m 3 Câu 17.. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau:. Mệnh đề nào sau đây đúng Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(380)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. max f x f 0 . B. max f x f 1. 1;1. 0; . C. min f x f 1 D. min f x f 0 ; 1. 1; . Lời giải Chọn B. Dạng 2. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn. . Bước 1: Hàm số đã cho y f x xác định và liên tục trên đoạn a;b .. Bước 2: Tính f a , f x , f x ,..., f x , f b .. . Tìm các điểm x 1, x 2 ,..., x n trên khoảng a;b , tại đó f x 0 hoặc f x không xác định. 1. n. 2. Bước 3: Khi đó:. . min f x min f x , f x ,..., f x , f a , f b .. max f x max f x 1 , f x 2 ,..., f x n , f a , f b . a ,b . a ,b . Câu 1.. 1. 2. n. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) x 4 12 x 2 1 trên đoạn. 1; 2 bằng: A. 1.. B. 37 .. C. 33 . Lời giải. D. 12 .. Chọn C x 0 f ( x) x 4 12 x 2 1 liên tục trên 1; 2 và f '( x) 4 x 3 24 x 2 0 x 6 ( L) x 6 ( L) Ta có:. f (1) 12; f (2) 33; f (0) 1 Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) x 4 12 x 2 1 trên đoạn 1; 2 bằng 33 tại x 2 Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4 10 x 2 2 trên đoạn 1;2 bằng A. 2 .. B. 23 .. C. 22 . Lời giải. D. 7 .. Chọn C Hàm số đã cho liên tục trên đoạn 1; 2 . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(381)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 0 Ta có: f x 4 x 3 20 x, f x 0 . x 5 Xét hàm số trên đoạn 1;2 có: f 1 7; f 0 2; f 2 22 . Vậy min f x 22 . x 1;2. Câu 3.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x3 24 x trên đoạn 2;19 bằng A. 32 2 .. B. 40 .. C. 32 2 .. D. 45 .. Lời giải Chọn. C.. x 2 2 2;19 Ta có f x 3 x 2 24 0 . x 2 2 2;19. . . . 3. f 2 23 24.2 40 ; f 2 2 2 2 24.2 2 32 2 ; f 19 193 24.19 6403 . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x3 24 x trên đoạn 2;19 bằng 32 2 . Câu 4.. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x3 21x trên đoạn 2;19 bằng B. 14 7 .. A. 36 .. C. 14 7 . Lời giải. D. 34 .. Chọn B. x 7 2;19 Trên đoạn 2;19 , ta có: y 3x 2 21 y 0 . x 7 2;19 Ta có: y 2 34; y Câu 5.. 7 14. 7; y 19 6460 . Vậy m 14 7 .. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) x 3 30 x trên đoạn 2;19 bằng A. 20 10.. C. 20 10. Lời giải. B. 63.. D. 52.. Chọn C x 10 n Ta có f x 3 x 2 30 f x 0 3 x 2 30 0 . x 10 l . 10 20 10 và min f x f 10 20 10 . . Khi đó f 2 52 ; f Vậy Câu 6.. f 19 6289 .. x 2;19. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 3 33 x trên đoạn 2;19 bằng A. 72 .. B. 22 11 .. C. 58 . Lời giải. D. 22 11 .. Chọn B x 11 2;19 Ta có f x 3 x 2 33 0 . x 11 2;19. Khi đó ta có f 2 58 , f. 11 22. 11 , f 19 6232 . Vậy f min f. 11 22. 11 .. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(382)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 7.. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4 10 x 2 4 trên 0;9 bằng B. 4 .. A. 28 .. C. 13 . Lời giải. D. 29 .. Chọn D Hàm số y f x liên tục trên 0;9 .. x 0 Có f x 4 x 3 20 x , f x 0 x 5 x 5 0;9. 5 29 , f 9 5747 Do đó min f x f 5 29 . Ta có f 0 4 , f 0;9. Câu 8.. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4 12 x 2 4 trên đoạn 0;9 bằng A. 39 .. B. 40 .. C. 36 .. D. 4 .. Lời giải Chọn B x 0 Ta có: f x 4 x3 24 x ; f x 0 x 6. Tính được: f 0 4 ; f 9 5585 và f. 6 40 .. Suy ra min f x 40 . 0;9. Câu 9.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4 10 x 2 2 trên đoạn 0;9 bằng A. 2 .. B. 11 .. C. 26 . Lời giải. D. 27 .. Chọn D Ta có f ' x 4 x3 20 x. x 0 0;9 f ' x 0 4 x 3 20 x 0 x 5 0;9 x 5 0;9 f 0 2 ; f. 5 27 ;. f 9 5749 .. Vậy min f x 27 . 0;9. Câu 10.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4 12 x 2 1 trên đoạn 0;9 bằng A. 28 .. B. 1 .. C. 36 . Lời giải. D. 37 .. Chọn D Ta có f x 4 x 3 24 x .. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(383)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 0 0;9 f x 0 4 x 3 24 x 0 x 6 0;9 . x 6 0;9 f 0 1 , f. Câu 11.. 6 37 ,. f 9 5588. 3 (Mã 102 - 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 3x 2 trên đoạn 3;3 bằng. A. 0 .. B. 16 .. C. 20 . Lời giải. D. 4 .. Chọn B 3 Cách 1:Mode 7 f x x 3x 2 .. Start -3 end3step 1 Chọn B 2 Cách 2: f x 3x 3 . f x 0 x 1 3;3 .. f 3 16 ; f 1 4 ; f 1 0 ; f 3 20 . Giá trị nhỏ nhất là 16 .. Câu 12.. (Mã 110 2017) Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y x 4 2 x 2 3 trên đoạn 0; 3 . A. M 6. B. M 1. C. M 9 Lời giải. D. M 8 3. Chọn A Ta có: y 4 x3 4 x 4 x x 2 1 x0 y 0 4 x x 1 0 x 1 x 1(l ) 2. Ta có : y 0 3 ; y 1 2 ; y. 3 6. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y x 4 2 x 2 3 trên đoạn 0; 3 là M y. 3 6. x2 3 Câu 13. (Đề Minh Họa 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 2; 4 . x 1 19 A. min y 3 B. min y C. min y 6 D. min y 2 2;4 2;4 2;4 3 2;4 Lời giải Chọn C Tập xác định: D \ 1 Hàm số y Ta có y . x2 3 xác định và liên tục trên đoạn 2; 4 x 1. x2 2 x 3. x 1. 2. ; y 0 x 2 2 x 3 0 x 3 hoặc x 1 (loại). Suy ra y 2 7; y 3 6; y 4 . 19 . Vậy min y 6 tại x 3 . 3 2;4. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(384)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 14.. (Mã 103 - 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số f x x 3 3 x trên đoạn [ 3;3] bằng A. 2 .. B. 18 .. C. 2 . Lời giải. D. 18 .. Chọn B Ta có y 3 x 2 3 0 x 1 f 3 18; f 1 2; f 1 2; f 3 18 .. Câu 15.. (Mã 104 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số y x 4 x 2 13 trên đoạn [1; 2] bằng A. 85. B.. 51 4. C. 13. D. 25. Lời giải Chọn D y f x x 4 x 2 13 y ' 4 x3 2 x x 0 [ 1; 2] 1 3 4x 2x 0 x [ 1; 2] 2 1 x 2 [ 1; 2]. 1 51 f (1) 13; f (2) 25; f (0) 13; f ; 2 4 . 1 51 f 2 4. Giá trị lớn nhất của hàm số y x 4 x 2 13 trên đoạn [1; 2] bằng 25. Câu 16.. (Mã 104 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x 2 A. m 5. B. m 3. C. m . 2 1 trên đoạn ; 2 . x 2 . 17 4. D. m 10. Lời giải Chọn B. 2 Đặt y f x x 2 . x Ta có y 2 x . 2 2 x3 2 1 , y 0 x 1 ;2 . 2 2 x x 2 . 1 17 Khi đó f 1 3, f , f 2 5 . 2 4. Vậy m min f x f 1 3 . 1 2 ;2 . Câu 17.. (Chuyên Bắc Ninh 2018) Tìm tập giá trị của hàm số y x 1 9 x A. T 1; 9 .. B. T 2 2; 4 .. C. T 1; 9 .. D. T 0; 2 2 .. Lời giải Tập xác định: D 1; 9 . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(385)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 1 x 1 y 0 9 x x 1 x 5. 2 x 1 2 9 x 9 x x 1 f 1 f 9 2 2 ; f 5 4. Vậy tập giá trị là T 2 2; 4 . Câu 18.. (Mã 123 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x 3 7 x 2 11x 2 trên đoạn [0 ; 2] . A. m 3. B. m 0. C. m 2 Lời giải. D. m 11. Chọn C Xét hàm số trên đoạn [0 ; 2] . Ta có y 3 x 2 14 x 11 suy ra y 0 x 1 Tính f 0 2; f 1 3, f 2 0 . Suy ra min f x f 0 2 m . 0;2. Câu 19.. (Mã 101 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số y x 4 4 x 2 9 trên đoạn 2;3 bằng A. 201. B. 2. C. 9 Lời giải. D. 54. Chọn D. x 0 . y 4 x 3 8 x ; y 0 x 2. . . Ta có y 2 9 ; y 3 54 ; y 0 9 ; y 2 5 . Vậy max y 54 . 2;3. Câu 20.. 4 2 (Đề Tham Khảo 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số f x x 4x 5 trêm đoạn 2;3 bằng. A. 122. B. 50. C. 5 Lời giải. D. 1. Chọn B. x 0 f '( x) 4 x 3 8 x 0 2;3 ; x 2. . . f 0 5; f 2 1; f 2 5; f 3 50 Vậy Max y 50 2;3. Câu 21.. (Mã 105 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x 4 x 2 13 trên đoạn 2;3 . A. m 13. B. m . 51 4. C. m . 51 2. D. m . 49 4. Lời giải Chọn B. x 0 2;3 ; y 4 x 2 x ; y 0 1 x 2;3 2 3. 1 51 Tính y 2 25 , y 3 85 , y 0 13 , y 12,75 ; 2 4 . Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(386)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Kết luận: giá trị nhỏ nhất m của hàm số là m Câu 22.. 51 . 4. 3 (Mã 104 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 3x trên đoạn 3;3 bằng. A. 18.. B. 2.. C. 2. Lời giải. D. 18.. Chọn A x 1 Ta có f x 3 x 2 3 0 . x 1 Mà f 3 18; f 1 2; f 1 2; f 3 18. 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 3x trên đoạn 3;3 bằng 18.. Câu 23.. (Mã 103 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3 3 x 2 trên đoạn 4; 1 bằng A. 16. B. 0. C. 4 Lời giải. D. 4. Chọn A x 0 4; 1 Ta có y 3 x 2 6 x ; y 0 3 x 2 6 x 0 . x 2 4; 1. Khi đó y 4 16 ; y 2 4 ; y 1 2 . Nên min y 16 . 4; 1. Câu 24.. (Mã 102 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 2 x 2 7 x trên đoạn 0; 4 bằng A. 259. B. 68. C. 0 Lời giải. D. 4. Chọn D TXĐ D . Hàm số liên tục trên đoạn 0; 4 . Ta có y 3x 2 4 x 7 x 1 0; 4 y 0 x 7 0; 4 3. y 0 0; y 1 4; y 4 68 . Vậy min y 4 . 0;4. Câu 25.. (Mã 101 - 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số f x x 3 3 x 2 trên đoạn 3;3 là A. 4 .. B. 16 .. C. 20 . Lời giải. D. 0 .. Chọn C f x x 3 3 x 2 tập xác định . f ' x 0 3 x 2 3 0 x 1 3;3 . f 1 0; f 1 4; f 3 20; f 3 16 .. Từ đó suy ra max f x f (3) 20 . 3;3. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(387)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2 Câu 26. (SGD Nam Định) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x trên đoạn 2 ;3 bằng x 15 29 A. . B. 5 . C. . D. 3 . 2 3 Lời giải Chọn B 2 + Ta có hàm số y f ( x ) x 2 xác định và liên tục trên 2 ;3 . x 2 29 + y ' f '( x) 2 x 2 ; f '( x) 0 x 1 2;3 mà f (2) 5 , f (3) . x 3 + Vậy min y 5 tại x 2 . 2. 2;3. Câu 27.. (Sở Quảng Trị 2019) Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y . 1 A. M . 3. 1 B. M . 3. 3x 1 trên đoạn 0; 2 x 3. C. M 5 .. D. M 5. Lời giải Chọn A Trên đoạn 0; 2 ta luôn có y . 8. x 3. 2. 0 x 0; 2 ( đạo hàm vô nghiệm trên (0; 2)). 1 1 Vì y 0 , y 2 5 nên M max y . 3 3 0;2 Câu 28.. (Sở Nam Định-2019) Giá trị lớn nhất của hàm số y 4 x 2 là A. 2.. B. 0.. C. 4. Lời giải. D. 1.. Chọn A • Tập xác định: D 2; 2 • Ta có: y ' . x 4 x2. y 0 x 0 2; 2 . y 2 y 2 0 max y 2 . • Ta có: 2;2 y 0 2 Câu 29.. (Chuyên Bắc Ninh 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin 2 x 4sin x 5 . A. 20 .. B. 8 .. C. 9 . Lời giải 2 Đặt t sin x, t 1;1 . Xét f (t ) t 4t 5 , t 1;1 .. D. 0 .. f (t ) 2t 4 0 t 2 1;1 . f 1 8, f 1 0 .. Ta thấy min f t f 1 8 . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 8 . 1;1. Câu 30.. (THPT Hoa Lư A 2018) Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 1 f x x x 1 trên đoạn 0;3 . Tính tổng S 2m 3M . 2 Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(388)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 7 A. S . 2. 3 B. S . 2. D. S 4 .. C. 3 . Lời giải. 1 1 x 1 1 , cho f x 0 x 1 1 x 0 0;3 . 2 2 x 1 2 x 1 1 1 Khi đó: f 0 1 , f 3 nên m 1 và M . 2 2 7 Vậy S 2m 3M . 2 Ta có: f x . Câu 31.. (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x sin x cos 2 x trên 0; là A.. 9 . 8. B.. 5 . 4. C. 2 .. D. 1 .. Lời giải 2. f x sin x cos 2 x sin x 1 2 sin x Đặt sin x t 0 t 1 f t 2 t 2 t 1 , f t 4 t 1. f t 0 t . 1 4. 1 9 f 0 1 , f 1 0 , f 4 8 9 Vậy max f x . 0 ;1 8 Câu 32.. 4 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số y 2 cos x cos3 x trên 0; . 3 2 A. max y . 0; 3. B. max y 0; . 10 . 3. C. max y 0; . 2 2 . 3. D. max y 0 . 0; . Lời giải. 4 Đặt: t cos x t 1;1 y 2t t 3 . 3 1 x 2 1;1 . y ' 2 4t 2 y ' 0 1 x 2 1;1 Tính: y 1 . 2 2 1 2 2 1 2 2 , y , y , y 1 . 3 3 3 3 2 2. Vậy: max y . 2 2 . 3. 0; . Câu 33. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y . 2 2 0; 2 . Khi đó giá trị của M m là Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 3sin x 2 trên đoạn sin x 1.
<span class='text_page_counter'>(389)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 31 A. . 2. 11 B. . 2. 41 C. . 4 Lời giải. D.. 61 . 4. Chọn C Đặt t sin x , t 0;1 . Xét hàm f t . 3t 2 1 liên tục trên đoạn 0;1 có f t 0 , t 0;1 . 2 t 1 t 1. Suy ra hàm số đồng biến trên 0;1 .. M Max f (t ) f (1) 0;1. 5 và m Min f (t ) f (0) 2 . 0;1 2. 2. 41 5 Khi đó M m 22 . 4 2 2. Câu 34.. 2. sin x 1 . Gọi M là giá trị lớn nhất sin x sin x 1 và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Chọn mệnh đề đúng. 2 3 3 A. M m . B. M m . C. M m 1 . D. M m . 3 2 2 Lời giải (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số y . Đặt sin x t , 1 t 1 ta được y . Xét hàm số y . 2. t 1 . t t 1 2. t 1 t 2 2t trên đoạn ta có y . 1;1 2 t 2 t 1 t 2 t 1. t 0 (t / m) Giải phương trình y 0 t 2 2t 0 . t 2 (loai) Vì y 1 0 ; y 0 1 ; y 1 . 2 nên 3. max y y 0 1 M 1 ; min y y 1 0 m 0 . 1;1. 1;1. Vậy M m 1 . Dạng 3. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a;b) Bước 1: Tính đạo hàm f (x ) . Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x i (a;b ) của phương trình f (x ) 0 và tất cả các điểm i (a;b) làm cho f (x ) không xác định. Bước 3. Tính A lim f (x ), B lim f (x ) , f (x i ) , f (i ) . x a. x b. Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M max f (x ) , m min f (x ) . (a ;b ). (a ;b ). Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(390)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 1.. (Đề Tham Khảo 2017) Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3x A. min y 0; . 33 5. B. min y 2 3 9. C. min y 3 3 9. 0;. 0;. 4 trên khoảng 0; . x2 D. min y 7 0; . Lời giải Chọn C Cách 1:. y 3x . 4 3x 3x 4 3x 3x 4 2 33 . . 2 33 9 2 x 2 2 x 2 2 x. Dấu " " xảy ra khi. 3x 4 8 2 x 3 . 2 x 3. Vậy min y 3 3 9 0;. Cách 2:. 4 trên khoảng 0; x2 4 8 Ta có y 3x 2 y ' 3 3 x x Xét hàm số y 3x . Cho y ' 0 x. 8 8 8 3 x3 x 3 3 x 3 3 3. 0. y'. . 8 3. 0. . y. 33 9. 8 min y y 3 3 3 9 0; 3 Câu 2.. 4 trên khoảng 1; . Tìm m ? x 1 C. m 2 . D. m 3 . Lời giải. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 1 B. m 4 .. A. m 5 .. Chọn B Tập xác định D R \ 1 . y . x2 2x 3. x 1. 2. x 1 , y 0 . x 3. Bảng biến thiên:. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(391)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m min y 4 khi x 3 1; . Câu 3.. (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 5 . 1 trên khoảng x. 0; bằng bao nhiêu? A. 0. B. 1. C. 3 Lời giải. D. 2. Chọn C Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:. 1 1 y x 5 2 x. 5 3 x x 1 Dấu bằng xảy ra khi x x 2 1 x 1 (vì x 0 ). x Vậy min y 3 0; . Câu 4.. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Gọi m là giá trị nhở nhất của hàm số y x . 4 trên x. khoảng 0; . Tìm m A. m 4 .. B. m 2 .. C. m 1 . Lời giải. D. m 3 .. 4 x2 y ' 0 x 2; x 2 0; . y ' 1. Bảng biến thiên:. Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng y (2) 4 m 4. Câu 5.. (Chuyên Bắc Giang 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) x A. 2. B.. 5 2. C. 0. 1 trên nửa khoảng 2; là: x 7 D. 2. Lời giải Chọn B Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: f ( x) x . 1 3x x 1 3.2 x 1 5 2 . . x 4 4 x 4 4 x 2. Dấu bằng xảy ra khi x 2 . Câu 6.. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y x A. m 3 .. B. m 4 .. 4 trên khoảng 0; . Tìm m . x C. m 2 . D. m 1.. Lời giải Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(392)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn B Cách 1: Hàm số y x Ta có y ' 1 . 4 liên tục và xác định trên 0; . x. x 2 0; 4 x2 4 y' 0 . 2 2 x x x 2 0; . Bảng biến thiên. Vậy giá trị nhỏ nhất là m 4 khi x 2. Cách 2: Với x 0; x;. 4 4 4 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x 2 x. 4. x x x. x 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 x 2. Vậy m 4 khi x 2. x x. Câu 7.. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 4 x 3 trên tập xác định của nó là A. 2 3.. B. 2 3.. C. 0. Lời giải. D.. 3.. Chọn D Tập xác định của hàm số là: D ; 4 . 1 0, x D 2 4 x Bảng biến thiên Ta có y ' . x. ∞. 4. y' y. +∞ 3. Từ bảng biến thiên suy ra min y 3 khi x 4 .Vậy chọn D . ;4. Câu 8.. Với giá trị nào của x thì hàm số y x 2 A.. 3. 3 . 4. B.. 1 . 2. 1 đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0; ? x 1 C. 1. D. 3 . 2. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(393)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn D TXD: D \ 0 . y ' 2x . 1 1 , y' 0 x 3 . 2 x 2 0. . x. . 1 2 0. 3. y. . . . . . y. 3. 2. . Dựa vào BBT thì x . Câu 9.. 1 4. 3. 1 hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên 0; . 2. 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x . 2 1 2 x. B. 3 .. A. không tồn tại.. . . . 2. trên khoảng 0; . C. 1 2 . Lời giải. D. 0 .. Chọn B Hàm số xác định và liên tục trên khoảng 0; .. y 1 . 2 x2 2 . x2 x2. x 2 y 0 . x 2. Bảng biến thiên:. Vậy min y f 0; . 2 3.. Câu 10. Cho hàm số f x . 3 x 2 1 với x thuộc D ; 1 1; . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x2 2 . A. max f x 0; min f x 5 . D. D. B. max f x 0 ; không tồn tại min f x . D. D. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(394)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. C. max f x 0; min f x 1 .. D. min f x 0 ; không tồn tại max f x .. D. D. D. D. Lời giải Chọn A 3 Hàm số xác định và liên tục trên D ; 1 1; . 2 . f ' x . 2 x 1. x 2. 2. x 1 2. ; f ' x 0 x . 1 D 2. Vậy max f x 0; min f x 5 . D. D. Câu 11.. (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Mệnh đề nào sau đây là đúng về hàm số y tập xác định của nó. A. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất. C. Hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. D. Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. Lời giải Chọn D Tập xác định: D . 2x x 2 5 x 1 x2 5 x2 x 5 x 2 x2 5 y' . 2 x 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 y' 0 . 5 x x 5 x 2 5 2. 0 5 x 0 x 5 .. Bảng biến thiên:. Từ bảng biến thiên có max y y 5 . Hàm số y . x 1 x2 5. 30 khi x 5 . 5. không có giá trị nhỏ nhất.. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương x 1 x2 5. trên.
<span class='text_page_counter'>(395)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Vậy hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(396)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. Chuyên đề 5. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG KHÁ – MỨC ĐỘ 7-8 ĐIỂM Dạng. Định m để GTLN-GTNN của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước Bước 1. Tìm nghiệm xi (i 1, 2,...) của y 0 thuộc a; b Bước 2. Tính các giá trị f xi ; f a ; f b theo tham số Bước 3. So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Bước 4. Biện luận m theo giả thuyết đề để kết luận Lưu ý: Hàm số y f x đồng biến trên đoạn a ; b thì Max f x f b ; Min f x f a a ;b . a ;b . Hàm số y f x nghịch biến trên đoạn a ; b thì Max f x f a ; Min f x f b a ;b . Câu 1.. (Mã 123 2017) Cho hàm số y dưới đây đúng? A. m 4. a ;b . xm ( m là tham số thực) thỏa mãn min y 3. Mệnh đề nào [2;4] x 1. B. 3 m 4. C. m 1 Lời giải. D. 1 m 3. Chọn A Ta có y ' . 1 m. x 1. 2. * TH 1. 1 m 0 m 1 suy ra y đồng biến trên 2; 4 suy ra. min f x f 2 2;4 . 2m 3 m 1 (loại) 1. * TH 2. 1 m 0 m 1 suy ra y nghịch biến trên 2; 4 suy ra. min f x f 4 2;4 . Câu 2.. 4m 3 m 5 suy ra m 4 . 3. (Mã 110 2017) Cho hàm số y . xm 16 ( m là tham số thực) thoả mãn min y max y . Mệnh 1;2 1;2 x 1 3. đề nào dưới đây đúng? A. m 4 B. 2 m 4. C. m 0 Lời giải. D. 0 m 2. Chọn A Ta có y . 1 m. x 1. 2. .. Nếu m 1 y 1, x 1 . Không thỏa mãn yêu cầu đề bài. Nếu m 1 Hàm số đồng biến trên đoạn 1;2 . Khi đó: min y max y 1;2. 1;2. 16 16 m 1 m 2 16 y 1 y 2 m 5 (loại). 3 3 2 3 3. Nếu m 1 Hàm số nghịch biến trên đoạn 1;2 . Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(397)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Khi đó: min y max y 1;2. Câu 3.. 1;2. 16 16 2 m 1 m 16 y 2 y 1 m 5 ( t/m) 3 3 3 2 3. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. m 10 . B. 8 m 10 .. xm trên đoạn 1; 2 bằng 8 ( m là tham x 1. C. 0 m 4 . Lời giải. D. 4 m 8 .. Chọn B Ta có: y . 1 m. x 1. 2. .. - Nếu m 1 y 1 (loại). - Nếu m 1khi đó y 0, x 1; 2 hoặc y 0, x 1; 2 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại x 1, x 2 . Theo bài ra: max y min y 8 y 1 y 2 1;2. Câu 4.. 1;2. 1 m 2 m 41 8 m 8;10 . 2 3 5. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y bằng 1. A. 3 .. B. 2 .. C. 1. Lời giải. x m2 2 trên đoạn 0;4 xm D. 0 .. Chọn C Tập xác định: D \ m . y . m2 m 2. x m. 2. 0, x m . Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;m và m; .. Bảng biến thiên của hàm số:. m 0 Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 0; 4 bằng 1 khi f 4 1 m 0 m 0 m 0 m 3 . 2 2 m2 m m 6 0 m 2, m 3 1 4m. Câu 5.. Cho hàm số y A. 3 m 4 .. x 1 1 (m là tham số thực) thỏa mãn min y . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 3; 2 xm 2 B. 2 m 3 . C. m 4 . D. m 2 . Lời giải. Chọn B Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(398)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. . +TXĐ: D \ m , 3; 2 D . 2. + Ta có y ' . Nên min y 3;2. Câu 6.. m 2 1. x m2 . 2. 0, x D . Nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.. 1 2 1 y 2 2 m 2 2 m 0 2 m 3 . 2 2 2 m. Tìm giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y . m2 x 1 trên đoạn 1;3 x2. bằng 1 . B. m 3 .. A. m 2 .. C. m 4 . Lời giải. D. m 2 .. Chọn A Tập xác định: D \ 2 . Ta có: y . 2m 2 1. x 2. 2. 0, x 2 .. Hàm số đồng biến trên đoạn 1;3 nên max y y 3 1;3. Câu 7.. Cho hàm số y . 3m 2 1 1 m 2 (vì m 0 ). 5. x m2 với m là tham số thực. Giả sử m0 là giá trị dương của tham số m để x 8. hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;3 bằng 3. Giá trị m0 thuộc khoảng nào trong các khoảng cho dưới đây? A. 2;5 .. B. 1; 4 .. C. 6;9 .. D. 20; 25 .. Lời giải Chọn A + TXĐ: D \ 8 . + y' . 8 m2. x 8. 2. 0, x D. Vậy hàm số y . x m2 đồng biến trên 0;3 . x 8. min y y (0) 0;3. m 2 8. m 2 Để min y 3 3 m 2 6. 0;3 8. m0 2 6 2;5 . Vậy chọnA. Câu 8.. (THPT Hai Bà Trưng - Huế 2019) Tìm giá trị của tham số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm 2x m số y trên đoạn 0;4 bằng 3 . x 1 A. m 3 . B. m 1 . C. m 7 . D. m 5 Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(399)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có: y ' . 2m. x 1. 2. .. + Xét m 2 . Hàm số trở thành: y 2 là hàm số hằng nên không đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3. m 2 (loại) + Xét m 2 . y' . . 2m. x 1. 2. 0 (x 1) min y y(4) 0;4. 8m . 5. 8m 3 m 7 (thoả mãn). 5. + Xét m 2 . y' . 2m. x 1. 2. 0 (x 1) min y y(0) m . 0;4. m 3 (loại). Vậy m 7 . Câu 9.. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y . x m2 m trên đoạn 0;1 bằng 2 . x 1. m 1 A. . m 2. m 1 B. . m 2. m 1 C. . m 2 Lời giải. m 1 D. . m2. Chọn D Tập xác định: D \ 1 . Hàm số đã cho liên tục trên 0;1 . Ta có: y . 1 m 2 m . x 1. 2. . m2 m 1. x 1. 2. 0 ; x D .. Hàm số đồng biến trên đoạn 0;1 . Trên 0;1 hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x 0 . m 1 Ta có: y 0 2 m 2 m 2 m 2 m 2 0 . m2 Câu 10.. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y . x m ( m là tham số thực) thỏa mãn x 1. min y 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0;1 . A. 1 m 3. B. m 6. C. m 1 Lời giải. D. 3 m 6. Chọn D Tập xác định: D \ 1 .. y 3. Với m 1 y 1 , x 0;1 thì min 0;1 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(400)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Suy ra m 1 . Khi đó y . 1m. x 1. 2. không đổi dấu trên từng khoảng xác định.. y y 0 m 3 (loại). TH 1: y 0 m 1 thì min 0;1. y y 1 m 5 ( thỏa mãn). TH 2: y 0 m 1 thì min 0;1. Câu 11.. (Chuyên KHTN 2019) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y . xm trên 1; 2 x 1. bằng 8 ( m là tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng? A. m 10 . B. 8 m 10 . C. 0 m 4 . D. 4 m 8 . Lời giải Nếu m 1 thì y 1 (không thỏa mãn tổng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng 8) Nếu m 1 thì hàm số đã cho liên tục trên 1; 2 và y ' . 1 m. x 1. 2. .. Khi đó đạo hàm của hàm số không đổi dấu trên đoạn 1; 2 . Do vậy Min y Max y y 1 y 2 x1;2 x1;2 Câu 12.. m 1 m 2 41 8 m . 2 3 5. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Gọi A, B lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. x m2 m 13 y trên đoạn 2;3 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để A B . 2 x 1 A. m 1; m 2 . B. m 2 . C. m 2 . D. m 1; m 2 . Lời giải Xét hàm số y . y' . m2 m 1. x 1. A B . Câu 13.. x m2 m trên đoạn 2;3 . x 1. 2. 0 x 2;3 A f 3 . m2 m 3 m2 m 2 , B f 2 . 2 1. m 1 13 m 2 m 3 m 2 m 2 13 . 2 2 1 2 m 2. x m2 với m là tham số thực. Giả sử m0 là giá trị dương x8 của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;3 bằng 3 . Giá trị m0 thuộc khoảng (Sở Hưng Yên) Cho hàm số f x . nào trong các khoảng cho dưới đây? A. 20;25 . B. 5;6 .. C. 6;9 .. D. 2;5 .. Lời giải Chọn D Xét hàm số f x . Ta có: y . 8 m2. x 8. 2. x m2 trên đoạn 0;3 . x8. 0, x 0;3 hàm số f x . x m2 đồng biến trên đoạn 0;3 x8. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(401)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. min f x f 0 0;3. m2 . 8. Theo giả thiết, ta có: min f x 3 0;3. m 2 6 m2 3 m 2 24 . 8 m 2 6. Mà m 0, m m 2 6 4, 9 2;5 . Câu 14.. (Chuyên - Vĩnh Phúc 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3 3 x 2 m trên đoạn 1;1 bằng 0 . A. m 2.. B. m 6.. C. m 0. Lời giải. D. m 4.. Chọn D x 0 1;1 Xét hàm số y x 3 3 x 2 m trên đoạn 1;1 , ta có y 3 x 2 6 x; y 0 x 2 1;1 y(1) m 2 Mà y(0) m y(1) m 4 . Do đó min y 4 m 0 m 4. 1;1. Vậy m 4 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 15. (Sở Quảng Trị 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3 3 x 2 m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 1;1 bằng A. m 2 .. 2. B. m 2 2 .. C. m 4 2 .. m 2 2 D. . m 4 2. Lời giải Chọn C. y ' 3x 2 6 x x 0 y' 0 x 2 Trên 1;1 thì y '1 m 4; y '0 m; y '1 m 2 nên Miny 2 m 4 2 m 4 2 1;1. Câu 16.. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Có một giá trị m0 của tham số m để hàm số. y x 3 m2 1 x m 1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 trên đoạn 0;1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2018m0 m02 0 .. B. 2m0 1 0 .. C. 6m0 m02 0 .. D. 2m0 1 0 .. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(402)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải + Đặt f x x3 m2 1 x m 1 . + Ta có: y 3x 2 m2 1. Dễ thấy rằng y 0 với mọi x , m thuộc nên hàm số đồng biến trên , suy ra hàm số đồng biến trên 0;1 . Vì thế min y min f x f 0 m 1 . 0;1. 0;1. + Theo bài ra ta có: m 1 5 , suy ra m 4 . + Như vậy m0 4 và mệnh đề đúng là 2018m0 m02 0 . Câu 17.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Nếu hàm số y x m 1 x 2 có giá trị lớn nhất bằng. 2 2 thì giá trị của m là A.. 2 . 2. B. 2 .. C.. 2.. D. . 2 . 2. Lời giải Xét hàm số y x m 1 x 2 Tập xác định: D 1;1 . Ta có: y 1 . x 1 x2. 1 x 0 x 1 1 x 0 1 1 x 2 x 1 x 0 2 2 x y 0 2. 2 x 1 2 2 1 1 x x 1 x 0 x 2 . 1 Ta có: y 1 1 m, y 1 1 m, y 2 m. 2 Do hàm số y x m 1 x 2 liên tục trên 1;1 nên Maxy m 2 . 1;1. Theo bài ra thì Maxy 2 2 , suy ra m 2 2 2 m 2 . 1;1. Câu 18.. (THPT Ngô Gia Tự Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y 2 x3 3 x 2 m . Trên 1;1 hàm số có giá trị nhỏ nhất là 1 . Tính m ? A. m 6 . B. m 3 .. C. m 4 . Lời giải. D. m 5 .. Chọn C Xét 1;1 có y 6 x 2 6 x . x 0 1;1 y 0 6 x 2 6 x 0 . x 1 1;1 Khi đó y 1 5 m ; y 0 m ; y 1 1 m Ta thấy 5 m 1 m m nên min y 5 m . 1;1. Theo bài ra ta có min y 1 nên 5 m 1 m 4 . 1;1. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(403)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 19. Biết S là tập giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 4 m 2 x 3 2 x 2 m trên đoạn 0;1 bằng 16 . Tính tích các phần tử của S . A. 2 .. B. 2 .. C. 15 .. D. 17 .. Lời giải TXĐ: D . Ta có: y 4 x 3 3m 2 x 2 4 x x 0 y 0 4 x3 3m 2 x 2 4 x 0 2 2 2 4 x 3m x 4 0 9m 64 . x 0 3m 2 9m 4 64 x 1 8 3m 2 9m 4 64 0 x 8 Nên hàm số đơn điệu trên 0;1 .. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn. 0;1. bằng 16 nên. y 0 y 1 16 m m2 m 1 16 m2 2m 15 0 . Vậy m1.m2 15 . Câu 20.. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số x 2 mx 1 liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; 2 tại một điểm x0 0; 2 . xm A. 0 m 1 B. m 1 C. m 2 D. 1 m 1 Lời giải Chọn A m 0 m 0 Tập xác định: D \ m . Hàm số liên tục trên 0; 2 m 2 m 2 y. Ta có y . x 2 2mx m 2 1. x m. 2. 2. x m 1 . Cho 2 x m. x m 1 . y 0 1 x2 m 1. Ta có bảng biến thiên. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 0; 2 nên 0 m 1 2 1 m 1 So với điều kiện hàm số liên tục trên đoạn 0; 2 . Ta có 0 m 1 . CÓ THỂ GIẢI NHƯ SAU: Điều kiện xác định x m. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(404)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m 0 m 0 Hàm số liên tục trên đoạn 0; 2 nên m 0; 2 * m 2 m 2 y'. x 2 2mx m 2 1. x m. 2. 2. x m 1 2 x m x m 1. y ' 0 có hai nghiệm là 1 , x2 m 1 x1 x2 2 nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc 0; 2 Ta thấy m 1 m 1, m và do đó để hàm số liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên 0; 2 tại một điểm x0 0; 2 thì 0 m 1 2 1 m 1 ** Từ * , ** ta có 0 m 1 Câu 21.. 1 m sin x . Có bao nhiêu giá trị nguyên cos x 2 của tham số m thuộc đoạn 0;10 để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn 2 ?. (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm số y . A. 1.. B. 9 .. C. 3 . Lời giải. D. 6 .. Tập xác định: D . 1 m sin x y cos x m sin x 1 2 y . Ta có: y cos x 2 Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: y 2 m 2 1 4 y 4 y 2 3 y 2 4 y 1 m 2 0. 2 1 3m2 2 1 3m2 y . 3 3 2 1 3m 2 2 min y 1 3m 2 8 3m 2 63 m 2 21 3 x Theo đề bài, ta có: m 0;10 m 0;10 m 0;10 m 0;10 m m m m m 5, 6, 7,8,9,10 .. Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 22.. (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y ax3 cx d , a 0 có min f x f 2 . Giá trị lớn x ;0 . nhất của hàm số y f x trên đoạn 1;3 bằng A. d 11a .. B. d 16 a .. C. d 2a . D. d 8a . Lời giải 3 Vì y ax cx d , a 0 là hàm số bậc ba và có min f x f 2 nên a 0 và y ' 0 có hai x ;0 . nghiệm phân biệt. Ta có y ' 3ax 2 c 0 có hai nghiệm phân biệt ac 0 . Vậy với a 0, c 0 thì y ' 0 có hai nghiệm đối nhau x . c 3a. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(405)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. c c c 2 2 c 12a Từ đó suy ra min f x f 3a 3a 3a x ;0 Ta có bảng biến thiên. Ta suy ra max f x f 2 8a 2c d 16a d . x1;3. Câu 23.. (THPT Nghĩa Hưng Nam Định 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xm có giá trị lớn nhất trên nhỏ hơn hoặc bằng 1. y 2 x x 1 A. m 1 . B. m 1 . C. m 1 . D. m 1 . Lời giải Chọn A + TXĐ: D . + lim y 0 x . + y . x 2 2mx 1 m. x2 x 1. 2. .. y 0 x 2 2mx 1 m 0 (*) (*) m 2 m 1 0, m nên (*) có 2 nghiệm phân biệt x1 x2 , m . + BBT:. Vậy hàm số đạt giá trị lón nhất là f x2 . YCBT . 1 2. 1 2 x2 1. với x2 m m2 m 1. 1 1 2m 2 m 2 m 1 1 ( vì f x2 0 2 x2 1 0 ). 2m 2 m m 1 1 m 0 2 m m 1 m m 0 m 1 m 2 m 1 m2 Câu 24.. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số y bằng 5 . Tham số m nhận giá trị là A. 5 . B. 1.. C. 3 . Lời giải. x3 x 2 m trên 0; 2 x 1. D. 8 .. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(406)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chọn C Cách 1: Tập xác định của hàm số: D \ 1 0; 2 D . Ta có: y . x3 x 2 m 2 x3 4 x 2 2 x m y . 2 x 1 x 1. y 0 2 x 3 4 x 2 2 x m 0 2 x 3 4 x 2 2 x m (1).. Ta có y 0 m; y 2 4 . m 3. 1 Đặt g x 2 x 3 4 x 2 2 x g x 6 x 2 8 x 2 0 x 1 x . 3. Trên 0; 2 ta có bảng biến thiên:. Từ bảng biến thiên ta có g x 36;0 , x 0; 2 . Trường hợp 1: m 0 phương trình (1) vô nghiệm phương trình y 0 vô nghiệm. Dễ thấy y 0 m y 2 4 Khi đó Max y y 2 4 0;2. m khi m 0 . 3. m 5 m 3 loại do m 0 . 3. Trường hợp 2: m 36 phương trình (1) vô nghiệm phương trình y 0 vô nghiệm. Dễ thấy y 0 m y 2 4 . m khi m 36 . 3. Khi đó Max y y 0 m 5 m 5 loại do m 36 . 0;2. Trường hợp 3: m 36;0 phương trình y 0 có nghiệm duy nhất (giả sử x x0 ). Trên 0; 2 ta có bảng biến thiên:. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(407)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Nhìn vào bảng biến thiên ta có: + x x0 : g x m 2 x 3 4 x 2 2 x m 2 x 3 4 x 2 2 x m 0 y 0 . + x 0; x0 : g x m 2 x 3 4 x 2 2 x m 2 x 3 4 x 2 2 x m 0 y 0 . + x x0 ; 0 : g x m 2 x 3 4 x 2 2 x m 2 x 3 4 x 2 2 x m 0 y 0 . Ta có bảng biến thiên sau:. Từ bảng biến thiên ta thấy Max y y 2 ; y 0 . 0;2. Nếu m 36; 6 y 0 y 2 Max y y 0 m 5 m 5 l . 0;2. Nếu m 6;0 y 0 y 2 Max y y 2 4 0;2. m 5 m 3( n) . 3. Vậy m 3 thỏa đề. Cách 2: Tập xác định của hàm số: D \ 1 0; 2 D . Ta có: y . x3 x 2 m m m x2 y 2 x . 2 x 1 x 1 x 1. Trường hợp 1: m 0 y 0, x 0; 2 Hàm số đồng biến trên 0; 2 . Max y y 2 4 0;2. m 5 m 3 loại do m 0 . 3. Trường hợp 2: m 0 , giả sử Max y y x0 với x0 0; 2 . Do hàm số liên tục trên 0; 2 0;2. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(408)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m 2 x0 x0 12 y x0 0 x3 x 2 m 0 0 5 y x0 5 x0 1 2. x03 x02 2 x0 x0 1 5 x0 1 x0 . Khi đó: y 2 x . 8. x 1. 2. . 5 x 1( n) m 8 . 3. 2 x3 4 x 2 2 x 8. x 1. 2. y 0 x 1 .. Ta có bảng biên thiên:. m 8 không thỏa yêu cầu đề.. Nên không tồn tại x0 0; 2 để Max y y x0 . 0;2. Max y y 2 m 5 0; 2 . Max y y 0 m 3 0; 2. Nếu m 5 y 0 5; y 2 . 17 17 Max y y 2 5 m 5 l . 0;2 3 3. Nếu m 3 y 0 3; y 2 5 Max y y 2 5 m 3 n . 0;2. Vậy m 3 thỏa đề. 2. Câu 25. Cho hàm số y x 3 3x m . Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;1 bằng 1 là A. 1.. B. 4 .. C. 0 . Lời giải. D. 4 .. Chọn C. D . Đặt t x3 3 x, x 1;1 t 2; 2 . 2. Khi đó ta có hàm số f t t m . f t 2 t m ; f t 0 t m.. Trường hợp 1: 2 m 2 2 m 2.. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(409)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Từ bảng biến thiên ta thấy: min f t f m 0 không thỏa mãn yêu cầu. 2;2. Trường hợp 2: m 2 m 2. 2. Từ bảng biến thiên ta thấy: min f t f 2 m 2 . 2;2. m 3 m 2 2 m 3. Theo yêu cầu bài toán: m 2 1 m 1 Trường hợp 3: m 2 m 2. 2. Từ bảng biến thiên ta thấy: min f t f 2 m 2 . 2;2. m 3 m 2 2 m 3. Theo yêu cầu bài toán: m 2 1 m 1 Vậy tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu là: 3 3 0. Câu 26.. (Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Tìm tất cả các giá trị của m 0 để giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3 3 x 1 trên đoạn m 1; m 2 luôn bé hơn 3 . A. m 0; 2 .. B. m 0;1 .. C. m 1; .. D. m 0; .. Lời giải Ta có y 3 x 3 , y 0 x 1 do đó yCT y 1 1 và yCĐ y 1 3 . 2. Thấy ngay với m 0 thì trên đoạn m 1; m 2 hàm số luôn đồng biến. 3. Vậy GTNN của hàm số đã cho trên đoạn m 1; m 2 là y m 1 m 1 3 m 1 1 . m 1 2 m 1 3 GTNN luôn bé hơn 3 m 1 3 m 1 2 0 . m 1 1 m 2 Kết hợp điều kiện m 0 ta được m 0;1 . Câu 27.. (Chuyên Đh Vinh 2018) Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số y mx 20 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 0 m 2 . B. 4 m 8 .. C. 2 m 4 . Lời giải. 36 trên 0;3 bằng x 1. D. m 8 .. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(410)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 36 36 y mx y m 2 x 1 x 1 Trường hợp 1: m 0 , ta có y . 36. x 1. 0, x 1 .Khi đó min y y 3 9 (loại).. 2. x 0;3. Trường hợp 2: m 0 Nếu m 0 , ta có y 0 , x 1 Khi đó min y y 3 20 3m 9 m x 0;3. Nếu m 0 , khi đó y 0 m . 0. 36. x 1. 2. 11 (loại). 3. 6 x 1 36 2 m 0 x 1 . 6 m x m 1 l . m 4 6 4 6 1 12 m m 20 1 3 m 36 , min y y . x 0;3 9 m m m 100 l . 11 6 9 1 3 m , min y y 3 20 3m 9 m l . x 0;3 3 4 m Câu 28.. . . (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số y x3 3mx2 3 m2 1 x 2020 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0; ? A. 2 .. B. 1.. C. Vô số. Lời giải. D. 3 .. Chọn D. x1 m 1 Ta có: y ' 3x 2 6mx 3 m2 1 0 . x2 m 1 Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0; thì x1 0 x2 hoặc 0 x1 x2 . TH1: x1 0 x2 m 1 0 m 1 1 m 1 . Do m m 0;1 . BBT của hàm số:. TH2: 0 x1 x2 . BBT của hàm số. m 1 0 Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0; khi và chỉ khi . y m 1 y 0 . m 1 3 2 2 m 1 3m m 1 3 m 1 m 1 2020 2020. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(411)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. m 1 2 m 1 m 2 0 m 1 m 2 1 m 2 . m 1 Do m m 2 . Vậy m 0;1;2 . Câu 29.. (Sở Bình Phước - 2020) Cho hàm số f x m x 1 ( m là tham số thực khác 0). Gọi m1 , m2 là hai giá trị của m thoả mãn min f x max f x m 2 10 . Giá trị của m1 m2 bằng 2;5. A. 3.. 2;5. B. 5.. C. 10. Lời giải. D. 2.. Chọn A Ta có f ' x m.. 1 ; 2 x 1. Do m 0 nên f ' x khác 0 và có dấu không thay đổi với x 1; . Nếu m 0 thì f ' x 0, x 2;5 . Do đó min f x f 2 m; max f x f 5 2m. 2;5. 2;5. 2. min f x max f x m 10 2;5. 2;5. m 2m m2 10 m 2 m2 3m 10 0 1 m2 5 Do m 0 nên nhận m2 5. Nếu m 0 thì f ' x 0, x 2;5 . Do đó min f x f 5 2m; max f x f 2 m. 2;5. 2;5. min f x max f x m2 10 2;5. 2;5. 2m m m2 10 m1 2 m2 3m 10 0 m2 5 Do m 0 nên nhận m1 2. Vậy m1 m2 3. Câu 30.. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y . m sin x 1 có bao nhiêu giá trị nguyên của tham cosx 2. số m thuộc đoạn 5;5 để giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn 1 . A. 4 .. B. 2 .. C. 6 . Lời giải. D. 8 .. Chọn C Điều kiện: cosx 2 0 luôn đúng x . m sin x 1 y y cosx 2 m sin x 1 (do cosx 2 0 luôn đúng x ) cosx 2 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(412)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m sin x ycosx 2 y 1 (*).. Phương trình (*) có nghiệm. 2 1 3m 2 2 1 3m 2 m y 2 y 1 3 y 4 y 1 m 0 y . 3 3 2. 2. 2. Vậy Min y . 2. 2. 2 1 3m2 . 3. Min y 1 . m 2 2 2,82 2 1 3m 2 . 1 1 3m 2 5 m 2 8 0 3 m 2 2 2,82. Mà m , m 5;5 nên m 5; 4; 3;3; 4;5 . Câu 31.. (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá 34 trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn 0;3 bằng 2. Tổng tất cả các phần 2 3 x 3 x 2 m 1 tử của S bằng A. 8 .. B. 8 .. C. 6 . Lời giải. D. 1 .. Chọn B Ta có. x. 3. 2. 3 x 2m x3 3 x 2m. Nhận thấy min f x 2 max x3 3 x 2m 16 0;3. 0;3. 1 .. Xét hàm số g x x3 3 x 2m trên 0;3 , ta có:. x 1 0;3 + g ' x 3x 2 3 , g ' x 3x 2 3 0 x 1 0;3 + g 0 2m, g 1 2m 2, g 3 2m 18 Do đó 2m 2 g x 2m 18, x 0;3 , tức max x3 3x 2m max 2m 2 ; 2m 18 . 0;3. 0;3. Từ đây ta có 1 max 2m 2 ; 2m 18 16 0;3. 2m 18 2m 2 2m 18 16 m 1 . Suy ra S 7; 1 . Vậy, tổng các phần tử của S là 8 . m 7 2m 18 2m 2 2m 2 16. Câu 32.. 2. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số y x 3 3 x m 1 . Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;1 bằng 1 là A. 2 .. B. 4 .. C. 4 . Lời giải. D. 0 .. Chọn A 2. Đặt y f ( x) x 3 3 x m 1 là hàm số xác định và liên tục trên đoạn 1;1 . Ta có y f ( x ) 2 x 3 3 x m 1 3 x 2 3 . Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(413)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 f ( x) 0 . 3 m x 3x 1 g ( x) Ta khảo sát hàm số g ( x) trên đoạn 1;1 . Bảng biến thiên của g ( x). Nếu m 3;1 thì luôn tồn tại x0 1;1 sao cho m g ( x0 ) hay f ( x0 ) 0 . Suy ra min y 0 , tức là không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1;1. Nếu m 3;1 thì f ( x) 0 x 1 1;1 .. . Ta có: min f ( x) min f (1); f (1) min (m 1)2 ;(m 3)2 1;1. . Trường hợp 1: m 1 tức là m 3 m 1 0 suy ra m 2 (TM ) min f ( x) (m 1)2 1 1;1 m 0 ( KTM ) Trường hợp 2: m 3 tức là m 1 m 3 0 suy ra m 4 (TM ) min f ( x) (m 3) 2 1 1;1 m 2 ( KTM ) Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán: m 2; m 4 , từ đó tổng tất cả các giá trị của m là 2 . Câu 33.. (Chuyên y f x m. Hạ 2. . Long. -. Quảng. . Ninh. -. Cho. 2020). hàm. 2. 2 x 2 x 4 4 x m 1 . Tính tổng tất cả các giá trị của m để hàm số. y f x có giá trị nhỏ nhất bằng 4 . 7 A. . 2. B.. 5 . 2. 1 C. . 2 Lời giải. D.. 1 . 2. Chọn C TXĐ: D 2;2 . Đặt t 2 x 2 x ; t 2; 2 2 .. t 2 4 2 4 x2 2 4 x2 t 2 4 . y g t m 2t 2 t 2 4 m 1 2t 2 m2t m 7 với t 2; 2 2 . Ta có: g t 4t m2 . g t 0 t . m 2 0; m g t đồng biến trên 2; 2 2 min g t g 2 4 . 2;2 2 4 . m 1 Mà g 2 2m m 1 2m m 1 4 . m 3 2 2. số. 2. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(414)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 3 Tổng các giá trị của m thỏa mãn ycbt là S 1 . 2 2 Câu 34.. (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần 2 - 2020) Cho hàm số f x Mệnh đề nào dưới đây sai? 2 m 6 m A. max f x max ; . 1;3 4 2 2 m 6 m C. min f x min ; . 1;3 4 2. 2x m với m 2 . x 1. B. max f x . 6m khi m 2 . 4. D. min f x . 2m khi m 2 . 2. 1;3. 1;3. Lời giải Chọn B 2x m với m 2 . x 1 Tập xác định x 1 . 2m Ta có f x suy đạo hàm không đổi dấu x 1;3 suy ra 2 x 1. Xét hàm số f x . 2 m 6 m max f x max f 1 ; f 3 max ; ; 1;3 4 2 2 m 6 m min f x min f 1 ; f 3 min ; . 1;3 4 2. Xét với m 2 f x 0 x 1;3 . Vậy x 1;3 f x f 1 . 2m 2m . max f x 1;3 2 2. Xét với m 2 f x 0 x 1;3 . Vậy x 1;3 f x f 1 . Câu 35.. 2m 2m . min f x 1;3 2 2. (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 20 ; 20 để giá trị lớn nhất của hàm số y A. 9.. xm6 trên đoạn 1 ; 3 là số dương? xm B. 8. C. 11. Lời giải. D. 10.. Chọn A Tập xác định D \ m . Để hàm số có giá trị lớn nhất trên 1 ; 3 thì m 1 ; 3.. y . 2m 6. x m. 2. .. Trường hợp 1: 2m 6 0 m 3. m9 Khi đó max y y 3 . x1 ; 3 3 m Để giá trị lớn nhất trên đoạn 1 ; 3 là số dương thì. m9 0 m 9 0 m 9. 3m. Vậy các số nguyên m thỏa là 8, 7, 6, 5, 4. Trường hợp 2: 2m 6 0 m 3. Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(415)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Khi đó max y y 1 x1 ; 3. m7 . 1 m. Để giá trị lớn nhất trên đoạn 1 ; 3 là số dương thì. m7 0 1 m 0 m 1. 1 m. Vậy các số nguyên m thỏa mãn là 2, 1, 0. Trường hợp 3: 2m 6 0 m 3. Khi đó y 1. Nên max y 1. x1 ; 3. Vậy m 3 thỏa. Kết luận: có 9 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán. -------------------- HẾT --------------------. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(416)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. Chuyên đề 5. TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC ĐỘ 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Định m để GTLN-GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng 1: Tìm m để max y f ( x ) m a ; . ( a 0).. Phương pháp: Cách 1:Trước tiên tìm max f ( x ) K ; ; . Kiểm tra max m K , m k . min f ( x ) k ( K k ) . ; . m K m k m K mk K k . 2 2 2. TH1:. K k m k a m a k a. Để max y a m a k ; a K . ; 2 m K a m a K. TH2:. K k a m . 2. Cách 2: Xét trường hợp m K a TH1: Max m K m K m k m k a TH2: Max m k m k m K Dạng 2: Tìm m để min y f ( x ) m a ; . ( a 0).. Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) K ;. min f ( x ) k ( K k ) . ; . ; . m k a m K a m a k m a K Để min y a . Vậy m S1 S2 . ; m k 0 m K 0 m k m K Dạng 3: Tìm m để max y f ( x ) m không vượt quá giá trị M cho trước. ; . Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) K ; ; . min f ( x ) k ( K k ) . ; . m k M M k m M K. Để max y M ; m K M Dạng 4: Tìm m để min y f ( x ) m không vượt quá giá trị a cho trước. ; . Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) K ; ; . min f ( x ) k ( K k ) . ; . Để. m k a m K a m a k m a K min y a ( m K )( m k ) 0 K m k. ; m k 0 m K 0 m k m K Dang 5: Tìm m để max y f ( x ) m đạt min. a ;b . Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(417)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) K ;. min f ( x ) k ( K k ) . a ;b . a ;b. Đề hỏi tìm m m . K k K k . Đề hỏi tìm min của max y giá trị này là . a;b 2 2. Dạng 6: Tìm m để min y f ( x) m đạt min. a;b. Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) K ;. min f ( x ) k ( K k ) . a ;b . a ;b. Đề hỏi tìm m ( m K )( m k ) 0 K m k . Đề hỏi tìm min của min y giá trị này là 0. a;b. Dạng 7: Cho hàm số y f ( x ) m .Tìm m để max y h.min y ( h 0 ) hoặc Min max a ;b. a ;b . Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) K ;. min f ( x ) k ( K k ) . a ;b . a ;b. K m k m TH1: K m h k m K m S1 . m cung dau k m. k m K m. m S2 . TH2: k m h K m K m cung dau k m Vậy m S1 S2 . Dạng 8: Cho hàm số y f ( x) m . Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) K ;. min f ( x ) k ( K k ) . a ;b . a ;b. BT1: Tìm m để min y max y m K m k . a ;b. a ;b. BT2: Tìm m để min y *max y m K * m k . a ;b . Câu 1.. a ;b . (Đề Tham Khảo 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3 x m trên đoạn 0;2 bằng 3. Số phần tử của S là A. 0. B. 6. C. 1 Lời giải. D. 2. Chọn D 3 2 Xét hàm số f ( x ) x 3x m , ta có f ( x ) 3x 3 . Ta có bảng biến thiên của f ( x) :. TH 1 : 2 m 0 m 2 . Khi đó max f ( x ) ( 2 m) 2 m 0;2. 2 m 3 m 1 (loại). 2 m 0 TH 2 : 2 m 0 . Khi đó : m 2 2 m 2 2 m m 0. max f ( x ) ( 2 m) 2 m 0;2. 2 m 3 m 1 (thỏa mãn). m 0 TH 3 : 0 m 2 . Khi đó : m 2 2 m 2 2 m max f ( x ) 2 m 0;2 2 m 0 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(418)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2 m 3 m 1 (thỏa mãn). TH 4: 2 m 0 m 2 . Khi đó max f ( x ) 2 m 0;2. 2 m 3 m 1 (loại). Câu 2.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) x3 3x m trên đoạn 0;3 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S là: A. 16 .. B. 16 .. C. 12 . Lời giải. D. 2 .. Chọn A Xét u x3 3x m trên đoạn 0;3 có u 0 3 x 2 3 0 x 1 0;3 . max u max u 0 , u 1 , u 3 max m, m 2, m 18 m 18 0;3 Khi đó . min u min u 0 , u 1, u 3 min m, m 2, m 18 m 2 0;3 m 18 16 m 2 m 18 m 2 Suy ra M ax f x max m 2 , m 18 16 . m 14 0;3 m 2 16 m 2 m 18. Do đó tổng tất cả các phần tử của S bằng 16 . Câu 3.. xm ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp x 1 tất cả các giá trị của m sao cho max f ( x ) min f ( x ) 2 . Số phần tử của S là (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) 0;1. 0;1. A. 6 .. B. 2 .. C. 1. Lời giải. D. 4 .. Chọn B. xm liên tục trên 0;1 x 1 . Khi m 1 hàm số là hàm hằng nên max f ( x ) min f ( x ) 1 Do hàm số f ( x ) . 0;1. 0;1. Khi m 1 hàm số đơn điệu trên đoạn 0;1 nên + Khi f ( 0 ) ; f (1) cùng dấu thì max f ( x ) min f ( x ) f ( 0 ) f (1) m 0;1. 0;1. m 1 . 2. + Khi f ( 0 ) ; f (1) trái dấu thì m 1 min f ( x ) 0 , max f ( x ) max f ( 0 ) ; f (1) max m ; . 0;1 0;1 2 m 1 TH1: f ( 0 ) . f (1) 0 m(m 1) 0 . m 0. . . m 1 m 1 max f ( x ) min f ( x ) 2 m 2 5 (thoả mãn). 0;1 0;1 m 2 3 . Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(419)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. TH2: f ( 0 ) . f (1) 0 m(m 1) 0 1 m 0. m 2 m 2 max f ( x ) min f ( x ) 2 m 1 m 5 (không thoả mãn). 0;1 0;1 2 2 m 3 Số phần tử của S là 2 . Câu 4.. (THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa 2019) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x 2m 1 trên đoạn 0; 2 là nhỏ nhất. Giá trị của m thuộc khoảng nào?. 3 A. ; 1 . 2 . 2 B. ; 2 . 3 . C. 1;0 .. D. ( 0;1) .. Lời giải Chọn D Xét hàm số y f ( x ) x3 3x 2m 1 trên đoạn 0; 2 . x 1 0; 2 Ta có f ' ( x ) 3 x 2 3 0 . x 1. Ta có f ( 0 ) 2m 1 , f (1) 2m 3 và f ( 2 ) 2m 1 Suy ra max f ( x ) max 2m 1 ; 2m 3 ; 2m 1 max 2m 3 ; 2m 1 P . 0;2. Trường hợp 1: Xét 2m 3 2m 1 4 ( 4m 2 ) 0 m . 1 . 2. 1 1 Khi đó P 2m 3 2 , m . Suy ra Pmin 2 m . 2 2 Trường hợp 2: Xét 2m 3 2m 1 4 ( 4m 2 ) 0 m . Câu 5.. 1 . 2. 1 Khi đó P 2m 1 2 , m . Suy ra Pmin không tồn tại. 2 1 Vậy m . 2 (Sở Vĩnh Phúc 2019) Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 2 x m trên đoạn 1;2 bằng 5 . A. 1 . Ta có y . B. 2 .. C. 2 . Lời giải. D. 1 .. 2x 2 , y 0 x 1 . x 2x m 2. Do đó yêu cầu bài toán tương đương max y ( 1) , y ( 2 ) , y (1) 5 .. max 3 m , m , m 1 5 . + Trường hợp m 1 , ta có max 3 m , m , m 1 5 3 m 5 m 2 . + Trường hợp m 1 ta có max 3 m , m , m 1 5 m 1 5 m 4 . Vậy tổng các giá trị m bằng 2 . Câu 6.. (THPT Nguyễn Huệ 2018) Cho hàm số y x 2 2 x a 4 ( a là tham số ). Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 2;1 đạt giá trị nhỏ nhất A. a 1 .. B. a 3 .. C. a 2 . Lời giải. D. a 5 .. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(420)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 2;1 . 2. Ta có: y x 2 2 x a 4 ( x 1) a 5. ( ). 2. Đặt t ( x 1) , x 2;1 a 0; 4 . Lúc đó hàm số trở thành: f ( t ) t a 5 với t 0; 4 . Nên max y max f ( t ) max x 2;1. t0;4. t0;4. f (0); f (4) tmax a 5 ; a 1 0;4 . . a 1 a 5 a 1 5 a 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi a 1 a 5 2 a 3 . . Do đó giá trị nhỏ nhất của max f ( t ) là 2 khi a 3 . t 0;4 . Câu 7.. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị x 2 mx m lớn nhất của hàm số y trên 1;2 bằng 2 . Số phần tử của tập S x 1 A. 3 . B. 1 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn D Xét y . x 0 1;2 x2 2 x x 2 mx m . Ta có: f ( x ) , f ( x) 0 . 2 x 1 ( x 1) x 2 1;2. Mà f (1) . 2m 1 3m 4 2m 1 3m 4 ,f ( 2 ) max y ; . x1;2 2 3 3 2. 3 m 2m 1 2 . Trường hợp 1: max y 2 x1;2 2 m 5 2 • Với m . 3 3m 4 17 2 (loại) 2 3 6. 5 3m 4 7 2 (thỏa mãn) • Với m 2 3 6 2 m 3 3m 4 6 3m 4 Trường hợp 2: max y 2 . x1;2 3 3m 4 6 m 10 3 • Với m . 2 2m 1 7 2 (thỏa mãn) 3 2 6. • Với m . 10 2m 1 17 2 (loại) 3 2 6. Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(421)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 8.. (HSG Bắc Ninh 2019) Xét hàm số f ( x ) x 2 ax b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên 1;3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a 2b . A. 2 . B. 4 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Xét hàm số f ( x ) x 2 ax b . Theo đề bài, M là giá trị lớn nhất của hàm số trên 1;3 .. M f ( 1) M 1 a b Suy ra M f ( 3) M 9 3a b 4 M 1 a b 9 3a b 2 1 a b M f (1) M 1 a b 1 a b 9 3a b 2 ( 1 a b ) 4 M 8 M 2 . Nếu M 2 thì điều kiện cần là 1 a b 9 3a b 1 a b 2 và 1 a b , 9 3a b ,. 1 a b 9 3a b 1 a b 2 a 2 . 1 a b cùng dấu 1 a b 9 3a b 1 a b 2 b 1 a 2 Ngược lại, khi ta có, hàm số f ( x ) x 2 2 x 1 trên 1;3 . b 1 Xét hàm số g ( x ) x 2 2 x 1 xác định và liên tục trên 1;3 . g ( x ) 2 x 2 ; g ( x ) 0 x 1 1;3. . M là giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) trên 1;3 M max g ( 1) ; g ( 3) ; g (1). . =2 .. a 2 Vậy . Ta có: a 2b 4 . b 1 Câu 9.. Cho hàm số y x3 x 2 ( m 2 1) x 27 . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 3; 1 có giá trị nhỏ nhất bằng A. 26 .. B. 18 .. C. 28 .. D. 16 .. Lời giải Chọn B Xét u x3 x 2 ( m 2 1) x 27 trên đoạn 3; 1 ta có: u 3x 2 2 x m2 1 0, x . Do đó A max u u ( 1) 26 m 2 ; a min u u ( 3 ) 6 3m 2 . 3; 1. 3; 1. . Do M max y max 26 m2 , 6 3m2 3;1. và 4M 3 26 m. 2. 6 3m 2 72 .. Vậy M 18 . Dấu bằng xảy ra khi 26 m 2 6 3m 2 18 m 2 2 . Câu 10.. (Sở Quảng Nam - 2018) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 2 x m 4 trên đoạn 2;1 bằng 4 ? A. 1 .. B. 2 .. C. 3 . D. 4 . Lời giải f ( x ) x 2 2 x m 4 có f ( x ) 2 x 2 , f ( x ) 0 x 1 . Do đó. max x 2 2 x m 4 max m 1 ; m 4 ; m 5 . 2;1. Ta thấy m 5 m 4 m 1 với mọi m , suy ra max y chỉ có thể là m 5 hoặc m 1 . 2;1. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(422)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m 5 4 m 1. Nếu max y m 5 thì 2;1 m 5 m 1 m 1 4 m 5. Nếu max y m 1 thì 2;1 m 1 m 5 Vậy m 1; 5 . Câu 11.. (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai - Sóc Trăng - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x 2 9 x m trên đoạn 2; 4 bằng 16 . Số phần tử của S là A. 0 .. B. 2 .. C. 4 .. D. 1.. Lời giải Xét hàm số f ( x ) x 3 x 9 x m trên đoạn 2; 4 . 3. 2. x 1 f 3x 2 6 x 9 ; f ( x ) 0 (thỏa mãn). x 3 f ( 2 ) 2 m; f ( 1) 5 m; f ( 3) 27 m; f ( 4 ) 20 m. min f ( x ) m 27; max f ( x ) m 5 max f ( x ) max m 27 ; m 5 . 2;4. 2;4. 2;4. +) Trường hợp 1: Nếu m 27 m 5 (*) m 11 max f ( x ) m 5 m 5 16 . Đối chiếu điều kiện (*) m 11 . 2;4 m 21 +) Trường hợp 1: Nếu m 27 m 5 (**) m 43 max f ( x ) m 27 m 27 16 (Không thỏa mãn điều kiện (**) ). 2;4 m 11 Vậy S 11 S có 1 phần tử. Câu 12.. (Chuyên Hạ Long 2018) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn 1 19 nhất của hàm số y x 4 x 2 30 x m 20 trên đoạn 0; 2 không vượt quá 20 . Tổng các 4 2 phần tử của S bằng A. 210 . B. 195 . C. 105 . D. 300 . Lời giải Xét hàm số g ( x ) . 1 4 19 2 x x 30 x m 20 trên đoạn 0; 2 4 2. x 5 0; 2 Ta có g ( x ) x 19 x 30 ; g ( x ) 0 x 2 x 3 0; 2 3. Bảng biến thiên. g ( 0 ) m 20 ; g ( 2 ) m 6 . Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(423)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. m 20 20 g ( 0 ) 20 0 m 14 . Để max g ( x ) 20 thì 0;2 g ( 2 ) 20 m 6 20 Mà m nên m 0;1; 2;...;14 . Vậy tổng các phần tử của S là 105 . Câu 13. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số. y sin 2 x 2sin x m bằng 1. Số phần tử của S là A. 0. B. 1. B. 4. D. 3. Lời giải Chọn A Đặt sin x t ( t 1;1) y t 2 2t m Xét hàm số f ( t ) t 2 2t m có f ' ( t ) 2t 2 0 t 1 1;1 max f ( x ) max m 3; m 1 m 3 1;1 Có f ( 1) m 3, f (1) m 1 . Khi đó min f ( x ) min m 3; m 1 m 1 1;1 TH1: m 3 m 1 m 1 m 2 ( l ) max f ( x ) m 3 1 m 4 ( l ) TH1: m 3 m 1 m 1 m 2 ( l ) max f ( x ) m 1 1 m 0 ( l ) Không tồn tại m thỏa mãn Câu 14.. (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y . x 4 ax a , với a là tham số thực. Gọi M , m lần x 1. lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1; 2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để M 2 m ? A. 10 . B. 14 . C. 5 . D. 20 . Lời giải Chọn B x 4 ax a x4 Xét hàm số y a. x 1 x 1 4 3x 4 4 x3 x 3 . Ta có y y 0 2 ( x 1) x 0 Bảng biến thiên. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(424)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 16 1 16 Dựa vào bảng biến thiên suy ra M max a ; a và m min a ; a . 2 3 2 3 16 16 M a a 3 3 1 1 Trường hợp 1. a 0 a . 2 2 m a 1 a 1 2 2 16 1 13 2 a a . 3 2 3 1 13 Kết hợp điều kiện, ta có a có 5 giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện. 2 3 1 1 M a 2 a 2 16 16 Trường hợp 2. a 0 a . 3 3 m a 16 a 16 3 3. Khi đó M 2m a . 1 16 61 2 a a . 2 3 6 61 16 Kết hợp điều kiện ta có a . Suy ra có 5 giá trị nguyên của a thỏa mãn. 6 3 1 a 2 0 16 1 Trường hợp 3. a . 3 2 a 16 0 3 1 16 1 16 35 Nếu a a thì a a a 2 3 2 3 12 1 M a 2 1 16 67 M 2m a 2 a a . 2 3 18 m a 16 3 16 67 Kết hợp điều kiện, ta có a . Suy ra có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện. 3 18 1 16 1 16 35 Nếu a a thì a a a 2 3 2 3 12 16 M a 3 16 1 19 M 2m a 2 a a . 3 2 9 m a 1 2 19 1 Kết hợp điều kiện, ta có a . Suy ra có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện. 9 2 Vậy có 14 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện. M 2m a . Câu 15.. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của 1 tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x 4 14 x 2 48 x m 30 trên đoạn 4 0;2 không vượt quá 30 . Tổng giá trị các phần tử của tập hợp S bằng bao nhiêu? A. 120 .. B. 210 .. C. 108 . Lời giải. D. 136 .. Chọn D Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(425)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 4 x 14 x 2 48 x m 30 là hàm số xác định và liên tục trên 0;2 . 4 Với mọi x 0; 2 ta có f '( x) 0 x 3 28 x 48 0 x 2 .. Đặt f ( x) . Suy ra max f ( x) max f (0) ; f (2) . 0;2. m 30 30 m 14 m 30 m 30 30 Theo đề max f ( x) 30 0;2 m 14 30 m 14 30 m 30 m 14 30 m 30 30 0 m 60 0 m 16 . 30 m 14 30 44 m 16 Do m m S 0;1; 2;...;16 . Vậy tổng tất cả 17 giá trị trong tập S là 136 . Câu 16.. (Chuyên Lương Văn Tỵ Ninh Bình 2020) Cho hàm số 4x 3x 2x x f ( x ) 3e 4e 24e 48e m . Gọi A , B lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 0;ln 2 .Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc. 23;10) thỏa mãn A. 33 .. A 3B . Tổng các phần tử của tập S bằng B. 0 . C. 111 . Lời giải. D. 74 .. Chọn A Đặt t e x , x 0;ln 2 t 1;2 Xét hàm số h ( t ) | 3t 4 4t 3 24t 2 48t m | trên 1;2 . Đặt g ( t ) 3t 4 4t 3 24t 2 48t m. t 2 [1; 2] g ( t ) 12t 12t 48t 48 ; g ( t ) 0 t 2 ; t 1 3. 2. g (1) m 23 , g ( 2) m 16 . TH1: 16 m 10 m 23 m 16 0 A max h ( t ) m 23 ; B min h ( t ) m 16 . 1;2. 1;2. 16 m 10 16 m 10 25 m 10 . Suy ra:: 25 2 m 23 3m 48 m 2 Do đó: có 22 giá trị TH2: 23 m 16 m 23 m 23, | m 16 | m 16 . m 23 m 16 16 m 19.5 m 16 0 Dễ thấy B 0 . Suy ra (VL) m 23 m 16 19.5 m 23 m 23 0. Vậy S 12; 11;...; 0;1;...9 và tổng các phần tử của tập S bằng 12 ( 11) ( 10 ) 33 . Câu 17.. (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số y x 4 2 x3 x 2 a . Có bao nhiêu số thực a để. min y max y 10 ? 1;2. A. 3.. 1;2. B. 5.. C. 2.. D. 1.. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(426)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải. Chọn C. 4 Đặt y x 2 x3 x 2 a f ( x) . Xét hàm số f ( x ) x 4 2 x3 x 2 a. 1 2 . Khi đó f ( x) 4 x 3 6 x 2 2 x 2 x (2 x 2 3 x 1) 0 x 0; ;1 .. f ( x ) 0, x 1; 2 và f (1) a; f (2) a 4. max y a , a 4 . Ta có x 1;2 thì . min y a ,0, a 4 . .. Xét các trường hợp + a 0 max y a 4;min y a 2a 4 10 a 3 , nhận. + a 4 max y a;min y a 4 a 4 a 10 a 7 , nhận.. a 0 4 a 0 min y 0;max y a 4; a a 4 0. + . a 4 10 a 6 (Loại). a 10 a 10 Vậy tồn tại hai giá trị a thỏa mãn. Câu 18.. (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số f ( x ) x 3 3 x 2 m . Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn 1;3 không lớn hơn 2020? A. 4045 .. B. 4046 .. C. 4044 . Lời giải. D. 4042 .. Chọn A Với u x3 3x 2 m có u 3 x 2 6 x; u 0 x 0; x 2 min u min u (1) ; u ( 3) ; u ( 2 ) min m 2; m; m 4 m 4 1;3 Do đó u max u (1) ; u ( 3) ; u ( 2 ) max m 2; m; m 4 m max 1;3 * Nếu m 4 0 m 4 min f ( x ) m 4 2020 m 2024 m 4,..., 2024 . 1;3. * Nếu m 0 min f ( x ) m 2020 2020 m m 2020;...;0 . 1;3. * Nếu 0 m 4 khi đó min u 0; max u 0 min f ( x ) 0 (thỏa mãn). 1;3. 1;3. 1;3. Vậy m 2020,..., 2024 có tất cả 4045 số nguyên thỏa mãn. Câu 19.. (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét hàm số f ( x ) . mx 2 x 4 , với m là 2x 4. tham số thực. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện 0 min f ( x ) 1 ? 1;1. A. 4 .. B. 8 .. C. 2 . Lời giải. D. 1.. Chọn B Cách 1:. mx 2 x 4 liên tục trên 1;1 và f ( x ) g ( x ) . 2x 4 m2 5 m 2 3 Ta có g ( 0 ) 1; g (1) . ; g ( 1) 6 2 Xét hàm số g ( x ) . Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(427)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. m 2 5 g ( 1) 0 - Nếu thì min f ( x ) 0 , không thỏa mãn bài toán. 1;1 g (1) 0 m 2 3 g ( 1) 0 - Nếu 2 3 m 2 5 g (1) 0 Mà m nguyên nên m 3; 2; 1;0;1; 2;3; 4 . 2 x 12 x4 . 2 ( 2x 4). 4m . Ta có g ( x ) . TH1: m 0 . Khi đó g ( x ) 0 x 1;1 . Do đó hàm số g ( x ) đồng biến trên 1;1 . Mà g ( 0 ) 1 g (1) 1 . Do đó 1 g (1) 0 . Vậy 0 min f ( x ) 1 hay m 0;1; 2;3;4 1;1. thỏa mãn bài toán. TH2: m 0 . Xét hàm số h ( x ) . x2 2 x 12 trên 1;1 . Ta có h ( x ) 0 x 1;1 . x4 ( x 4) x 4. 10 14 Khi đó dễ thấy h ( x ) ; . 3 5 * Khi m 1 4m h ( x ) 0 x 1;1 g ( x ) 0 x 1;1 hay hàm số g ( x ) đồng biến trên 1;1 . Khi đó 1 g (1) 0 nên 0 min f ( x ) 1 . Vậy m 1 thỏa mãn. 1;1. * Khi m 3; 2 4m h ( x ) 0 x 1;1 g ( x ) 0 x 1;1 hay hàm số g ( x ) nghịch biến trên 1;1 . Khi đó g ( 1) g ( 0 ) 1 g ( 1) 0 nên 0 min f ( x ) 1 . Vậy 1;1. m 3; 2 thỏa mãn. Do đó m 3; 2; 1;0;1; 2;3; 4 hay có 8 giá trị nguyên của m . Cách 2 Nhận thấy f ( x ) liên tục trên 1;1 nên tồn tại giá trị nhỏ nhất của f ( x ) trên đoạn 1;1 . f ( x ) 0, x 1;1 Ta có nên suy ra 0 min f ( x ) 1 . x 1;1 f ( 0 ) 1 min f ( x ) 0 (1) x1;1 Vậy điều kiện 0 min f ( x ) 1 . x 1;1 min f x 1 (2) ( ) x1;1 Ta có (1) Phương trình mx 2 x 4 0 vô nghiệm trên 1;1 2 x4 vô nghiệm trên 1;1 \ 0 x 2 x4 Xét hàm số g ( x ) , x 1;1 \ 0 x x 8 g / ( x) 2 0, x 1;1 \ 0 x x4 Bảng biến thiên. Phương trình m . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(428)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện phương trình. 1;1 \ 0 2. m. 2 x4 x. vô nghiệm trên. 3m2 5.. Do m nguyên nên m 3; 2; 1; 0;1; 2;3; 4 . Để giải ( 2 ) trước hết ta đi tìm điều kiện để min f ( x ) 1 . x 1;1. Do f ( 0 ) 1 nên min f ( x ) f ( 0 ) , mà 0 ( 1;1) , suy ra x = 0 là điểm cực trị của hàm số x 1;1. f ( x) .. 3 mx 2 x 4 h / ( 0 ) 0 m . Do đó với m nguyên thì (2) chắc chắn xảy ra. 2x 4 2 Vậy m 3; 2; 1; 0;1; 2;3; 4 thỏa mãn điều kiện ( 2 ) Kết luận: Có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu. Đặt h ( x ) . Câu 20.. (Chuyên Sơn La - 2020) Gọi S là tập hợp những giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số f (x ) x 3 12x m trên đoạn [1; 3] bằng 12 .Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng A. 25.. B. 4.. C. 15. Lời giải. D. 21.. Chọn A Xét hàm số g (x ) x 3 12x m (1 x 3) g '(x ) 3x 2 12 0 x 2, x 2 .. g(1) m 11, g(2) m 16, g(3) m 9 . Suy ra max f (x ) { m 16 ; m 9 } . [1;3]. Giả sử m 16 12 m 28, m 4 thử lại ta thấy m 4 nhận. Giả sử m 9 12 m 21, m 3 thử lại ta thấy m 21 nhận. Vậy m 4 và m 21 . Câu 21.. (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Gọi S0 là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y phần tử của S là A. 50 .. 1 4 x 14 x 2 48 x m trên đoạn 2; 4 không vượt quá 30 . Số 4. B. 49 .. C. 66 . Lời giải. D. 73 .. Chọn B. 1 4 x 14 x 2 48 x m . 4 f ( x ) x 3 28 x 48. Xét hàm số f ( x ) . Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(429)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 6 ( ktm ) f ( x ) 0 x 4 ( tm ) . x 2 tm ( ) f ( 2 ) m 44; f ( 4 ) m 32 .. min f ( x ) m 32; max f ( x ) m 4 . 2;4. 2;4. max y max m 44 ; m 32 . 2;4. Để giá trị lớn nhất của hàm số y . 1 4 x 14 x 2 48 x m trên đoạn 2; 4 không vượt quá 30 thì 4. 74 m 14 m 44 30 62 m 14 . 62 m 2 m 32 30 Câu 22.. (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của ham số f ( x ) e 2 x 4e x m trên đoạn 0;ln 4 bằng 6? A. 3 .. B. 4 .. C. 2 . Lời giải. D. 1.. Chọn C Đặt t e x , vì x 0;ln 4 t 1; 4 . Khi đó yêu cầu bài toán trở thành tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( t ) t 2 4t m trên đoạn 1; 4 bằng 6. Đặt s t 2 4t , vì t 1; 4 s 4;0 . Xét hàm số g ( s ) s m với s 4;0 suy ra hàm số g ( s ) đồng biến trên đoạn 4;0 . Khi đó giá trị nhỏ nhất của f ( s ) s m , s 4;0 chỉ đạt tại các đầu mút. m 10 min f ( s ) m 4 6 4;0 TH1: m 2 m 10 thỏa mãn. m m 4 m m4 m 6 min f ( s ) m 6 4;0 TH2: m 6 m 6 thỏa mãn. m m 4 m m4 Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.. Câu 23.. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao 1 cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 9 x m 10 trên đoạn 0;3 không vượt quá 12 . Tổng 3 giá trị các phần tử của S bằng bao nhiêu? A. 7 . B. 0 . C. 3 . D. 12 . Lời giải Chọn A. 1 Xét hàm số g ( x ) x 3 9 x m 10 . Dễ thấy hàm số g ( x ) liên tục trên đoạn 0;3 . 3. x 3 Ta có g ( x ) x 2 9 ; g ( x ) 0 x 3 0;3 Ta có g ( 0 ) m 10 ; g ( 3) m 8 . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(430)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. g ( 0 ) 12 m 10 12 4 m 2 Theo yêu cầu bài toán, max y max g ( x ) 12 0;3 0;3 m 8 12 g ( 3) 12 Mà m nên m 4; 3; 2; 1;0;1; 2 . Vậy tổng các phần tử của S là 7 . Câu 24.. (Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao 1 cho giá trị lớn nhất của hàm số y x 4 14 x 2 48 x m 30 trên đoạn 0; 2 không vượt quá 4 30 . Tổng tất cả các giá trị của S là A. 180 . B. 136 . C. 120 . D. 210 . Lời giải Chọn B. 1 4 x 14 x 2 48 x m 30 trên đoạn 0; 2 . 4. Xét u . x 6 0; 2 u 0 x 28 x 48 0 x 2 0; 2 . x 4 0; 2 3. Khi đó max u max u (0), u ( 2 ) max m 30, m 14 m 14 . 0;2. Suy ra Max y max m - 30 , m 14 . 0;2. Trường hợp 1: Max y m 14 0;2. m 14 2 m 30 2 m 14 m 30 m8 88m 704 30 m 14 30 44 m 16 44 m 16 m 14 30. 8 m 16 , mà m . m 8;9;10;...;16 .. Trường hợp 2: Max y m - 30 0;2. m 14 2 m 30 2 m 30 m 14 88m 704 m8 0 m 60 0 m 60 m 30 30 30 m 30 30. 0 m 8 , mà m . m 0;1; 2;...;8 .. Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là: 0 1 2 ... 16 136 . Câu 25.. (Liên trường Nghệ An - 2020) Biết giá trị lớn nhất của hàm số y f ( x ) 2 x 3 15 x m 5 9 x trên 0;3 bằng 60 . Tính tổng tất cả các giá trị của tham số thực m . A. 48 .. B. 5 .. C. 6 . Lời giải. D. 62 .. Chọn C Có max f ( x ) 60 f ( x ) 60, x 0;3 và x0 0;3 sao cho f ( x0 ) 60. 0;3. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(431)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Có f ( x ) 60 2 x 3 15 x m 5 9 x 60 2 x 3 15 x m 5 60 9 x. 9 x 60 2 x3 15 x m 5 60 9 x 2 x3 24 x 55 m 2 x3 6 x 65, x 0;3 . Có 2 x3 6 x 65 29, x 0;3 nên m 2 x3 6 x 65, x 0;3 m 29. Tương tự 2 x3 24 x 55 23 nên 2 x3 24 x 55 m, x 0;3 m 23. Vậy 23 m 29 thì f ( x ) 60, x 0;3. 2 x3 24 x 55 m Để x0 0;3 sao cho f ( x0 ) 60 thì có nghiệm trên 0;3. 3 2 x 6 x 65 m m 29 m 29 Hay thì max f ( x ) 60. . Vậy 0;3 m 23 m 23 Khi đó tổng các giá trị của m là 29 23 6.. Câu 26.. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x 3 3 x m trên đoạn 0; 2 bằng 3 . Số phần tử của S là A. 2.. B. 6.. C. 1. Lời giải. D. 0.. Chọn A x 1 0; 2 Xét hàm số g ( x) x 3 3 x m , ta có g '( x) 3 x 2 3 0 . x 1 0; 2 g ( 0 ) m , g (1) m 2 , g ( 2 ) m 2 . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) x 3 3 x m bằng max của F m ; m 2 ; m 2 m 3 TH1: m 3 . m 3 Với m 3 F 3;1;5 loại vì max bằng 5. Với m 3 F 3;5;1 loại vì max bằng 5. m 5 TH2: m 2 3 . m 1 Với m 5 F 5;3;7 loại vì max bằng 7. Với m 1 F 1;3;1 có max bẳng 3. Chọn m 1. m 1 TH3: m 2 3 . m 5 Với m 1 F 1;1;3 có max bằng 3. Chọn m 1. Với m 5 F 5; 7;3 loại vì max bẳng 7. Vậy S 1;1 có 2 giá trị m thoả mãn yêu cầu đề bài. Câu 27.. (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f ( x ) x 4 2 x 3 x 2 m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho min f ( x ) max f ( x ) 10 . Số phần tử của S 1;2. là? A. 2 .. B. 3 .. C. 5 . Lời giải. 1;2. D. 1.. Chọn A. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(432)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 0 1 Đặt g ( x ) x 4 2 x3 x 2 m g ( x ) 4 x3 6 x 2 2 x 0 x 2 x 1 . Bảng biến thiên của hàm g ( x ). Dựa vào bảng biến thiên của g ( x ) ta suy ra bảng biến thiên của f ( x ) g ( x ) x 4 2 x 3 x 2 m . Ta có các trường hợp sau:. Trường hợp 1: m 0 . Bảng biến thiên của f ( x ) g ( x ) x 4 2 x 3 x 2 m. Dựa vào bảng biến thiên ta có min f ( x ) max f ( x ) 10 m m 4 10 m 3 (TM) 1;2. Trường hợp 2: m 0 m . 1;2. 1 1 m 0 . Bảng biến thiên: 16 16. Dựa vào bảng biến thiên ta có min f ( x ) max f ( x ) 10 0 m 4 10 m 6 (Loại) 1;2. 1;2. 1 1 0 m . Tương tự ta có: 16 16 min f ( x ) max f ( x ) 10 0 m 4 10 m 6 (Loại). Trường hợp 3: m 1;2 . 1;2 . Trường hợp 4: m . 1 1 0 m 4 4 m . Bảng biến thiên: 16 16. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(433)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. min f ( x ) max f ( x ) 10 0 m 4 10 1;2 m 6 1;2 Dụa vào bảng biến thiên ta có (Loại) min f ( x ) max f ( x ) 10 0 ( m ) 10 m 10 1;2 1;2 Trường hợp 5: m 4 0 m 4 . Ta có: min f ( x ) max f ( x ) 10 0 m 10 m 10 (Loại) 1;2 . 1;2. Trường hợp 6: m 4 0 m 4 . Ta có: min f ( x ) max f ( x ) 10 m m 4 10 m 7 (Thỏa mãn) 1;2 . 1;2. Vậy m 7;3 . Câu 28.. (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số f ( x) . 2mx 2 4 x 8 có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 1;1 là a thỏa mãn 0 a 1. x2. A. 3.. B. 4.. C. 5. Lời giải. D. 2.. Chọn D. Đặt t x 2, x 1;1 t 1; 3 ; x t 2 2. 2mt 2 4 t 4m Hàm số đã cho trở thành g (t ) . t 2mt 2 4 t 4m trên đoạn 1; 3 . t 2m(t 2 2) Ta có h '(t ) t2 Th1: m 0 thì h(t ) 4 g (t ) 4t 1; 3 a 4 (loại). Th2: m 0 thì hàm số h(t ) đồng biến hoặc nghịch biến trên 1; 3 2m 4 3 Ta có h(1) 2m 4; h( 3) . 3 m 2 Nếu h(1).h( 3) 0 và hàm số h(t ) liên tục trên đoạn 1; 3 suy ra đồ thị hàm số m 2 3 h(t ) trên đoạn 1; 3 cắt trục hoành a 0 (loại). Xét hàm h(t ) . Nếu h (1).h( 3) 0 2 m 2 3 . Khi đó, h(1) 0; h. a. 2m 4 3 3. ( 3) 0. m 3 . Suy ra là các giá trị nguyên dương để 0 a 1 . m 4. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(434)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 29.. 4. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y x 2 x 2 3m với m là tham số. Biết rằng có đúng hai giá trị m1 , m2 của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 1;2 bằng 2021. Tính giá trị m1 m2 . A.. 1 . 3. B.. 4052 . 3. C.. 8 . 3. D.. 4051 . 3. Lời giải Chọn D. (. x 0 x 1. ). Xét hàm số f ( x ) x 4 2 x 2 3m , ta có f ( x ) 4 x3 4 x 4 x x 2 1 f ( x ) 0 Bảng biến thiên của hàm số trên 1; 2 :. Vì min y 2021 phương trình f ( x ) 0 không có nghiệm thuộc 1; 2 . 1;2. 1 2022 . Ta có min y 3m 1 3m 1 2021 m 1;2 3 3 8 Trường hợp 2 : 3m 8 0 m . Ta có 3 2029 min y 3m 8 3m 8 2021 m . 1;2 3 2022 2029 4051 Vậy m1 m2 . 3 3 3 Trường hợp 1 : 3m 1 0 m . Câu 30.. (Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x ) x3 3x 2 m 1 ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn. 2020;2020. sao cho. max f ( x ) 3min f ( x ) . Số phần tử của S là 1;4. 1;4. A. 4003 .. B. 4002 .. C. 4004 . Lời giải. D. 4001 .. Chọn B Xét hàm số y f ( x ) x3 3x 2 m 1 y f ( x ) 3x 2 6 x . x 0(l ) . f ( x ) 0 3x 2 6 x 0 x 2. f (1) m 1; f ( 2 ) m 3; f ( 4 ) 17 m .. max f ( x ) m 17; min f ( x ) m 3 . 1;4. 1;4. +Nếu m 3 0 m 3 thì max f ( x ) m 17 , min f ( x ) m 3 . Khi đó: 1;4. 1;4. max f ( x ) 3min f ( x ) 17 m 3 ( m 3) m 13 . 1;4. 1;4. +Nếu m 17 0 m 17 thì max f ( x ) m 3 , min f ( x ) 17 m . 1;4. 1;4. Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(435)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khi đó: max f ( x ) 3min f ( x ) m 3 3 ( 17 m ) m 27 . 1;4. 1;4. +Nếu ( m 3)( m 17 ) 0 17 m 3 thì. max f ( x ) max m 17 , m 3 max m 17,3 m 0;min f ( x ) 0 . 1;4. 1;4. f ( x) . Khi đó, không thỏa điều kiện max f ( x ) 3min 1;4 1;4. . m 27 Do đó: kết hợp với m 2020;2020 ta có m 2020; 27 13;2020 m 13 Vậy 4002 giá trị nguyên của m cần tìm. Dạng 2. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất hàm ẩn, hàm hợp Câu 1.. Cho hàm số y f ( x ) xác định và liên tục trên , đồ thị của hàm số y f ( x ) như hình vẽ.. Giá trị lớn nhất của hàm số y f ( x ) trên đoạn 1;2 là A. f (1) .. B. f ( 1) .. C. f ( 2 ) .. D. f ( 0 ) .. Lời giải x 1 f ( x) 0 x 1 . x 2. Từ đồ thị hàm y f x ta có bảng biến thiên. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên 1; 2 là f 1 . Câu 2.. Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm là hàm f ( x ) . Đồ thị của hàm số y f ( x ) được cho như hình vẽ. Biết rằng f ( 0 ) f ( 3) f ( 2 ) f ( 5 ) . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y f ( x ) trên đoạn 0;5 lần lượt là:. A. f ( 2 ) ; f ( 5 ) .. B. f ( 0 ) ; f ( 5 ) .. C. f ( 2 ) ; f ( 0 ) .. D. f (1) ; f ( 5 ) .. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(436)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải f ( x). Dựa vào đồ thị hàm số. ta có bảng biến thiên.. min f ( x ) f ( 2 ) Khi đó: 0;5 , f ( 3) f ( 2 ) mà f ( 0 ) f ( 3) f ( 2 ) f ( 5 ) f ( 0 ) f ( 2 ) f ( 2 ) f ( 5 ) f ( 0 ) f ( 5 ) .. Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y f ( x ) trên đoạn 0;5 lần lượt là: f ( 2 ) ; f ( 5 ) . Câu 3.. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ( x ) . Đồ thị của hàm số y f ( x ) được cho như hình vẽ bên. Biết rằng f ( 0 ) f (1) 2 f ( 3) f ( 5 ) f ( 4 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f ( x ) trên đoạn 0; 5 .. A. m f ( 5 ) , M f ( 3 ) B. m f ( 5 ) , M f (1) C. m f ( 0 ) , M f ( 3) D. m f (1) , M f ( 3 ) Lời giải Chọn A Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của f ( x ) trên đoạn 0; 5. M f ( 3 ) và f (1) f ( 3 ) , f ( 4 ) f ( 3 ) f ( 5 ) f ( 0 ) f (1) f ( 3 ) f ( 4 ) f ( 3 ) 0 f ( 5 ) f ( 0 ) m f ( 5 ) .. Câu 4.. Cho hàm số y f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số. 1 1 g ( x ) f ( 4 x x 2 ) x 3 3x 2 8 x trên đoạn 1;3 . 3 3. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(437)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 19 . D. 12. 3 Lời giải 2 2 2 g ( x ) ( 4 2 x ) f ( 4 x x ) x 6 x 8 ( 2 x ) 2 f 4 x x 4 x . Với x 1;3 thì 4 x 0 ; 3 4 x x 2 4 nên f ( 4 x x 2 ) 0 . A. 15.. B.. 25 . 3. C.. (. ). Suy ra 2 f ( 4 x x 2 ) 4 x 0 , x 1;3 . Bảng biến thiên. Suy ra max g ( x ) g ( 2 ) f ( 4 ) 7 12 . 1;3. Câu 5.. Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên . Đồ thị của hàm số y f ( x ) như hình bên. Đặt 2. g ( x ) 2 f ( x ) ( x 1) . Mệnh đề dưới đây đúng.. A. max g ( x ) g ( 3) . 3;3. B. min g ( x ) g (1) . 3;3. C. max g ( x ) g ( 0 ) . D. max g ( x ) g (1) . 3;3. 3;3. Lời giải Chọn D 2 g ( x ) 2 f ( x ) ( x 1) g ( x ) 2 f ( x ) 2 ( x 1) Dựa vào đồ thị ta thấy x 3 g ( x ) 0 f ( x ) x 1 x 1 x 3 Và với x ( ; 3 ) : f ( x ) x 1 g ( x ) 0. với x ( 3;1) : f ( x ) x 1 g ( x ) 0 , với x (1;3 ) : f ( x ) x 1 g ( x ) 0 với x ( 3; ) : f ( x ) x 1 g ( x ) 0 Bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên suy ra max g ( x ) g (1) . 3;3. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(438)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 6.. Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên . Biết f ( 0 ) 3 , f ( 2 ) 2018 và bảng xét f ( x ) dấu của như sau:. Hàm số y f ( x 2017 ) 2018 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây? A. ( ; 2017 ). B. ( 2017; ). C. ( 0; 2 ) D. ( 2017;0 ) Lời giải Dựa vào bảng xét dấu của f ( x ) ta có bảng biến thiên của hàm sồ f ( x ). Đặt t x 2017 . Ta có y f ( x 2017 ) 2018 x f ( t ) 2018t 2017.2018 g ( t ) . g ( t ) f ( t ) 2018 .. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ( x ) suy ra phương trình g ( t ) có một nghiệm đơn. ( ;0 ) và một nghiệm kép t 2 . Ta có bảng biến thiên g ( t ) Hàm số g ( t ) đạt giá trị nhỏ nhất tại t0 ( ;0 ) . Suy ra hàm số y f ( x 2017 ) 2018 x đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 mà x0 2017 ( ;0 ) x0 ( ; 2017 ) .. Câu 7.. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ( x ) . Đồ thị của hàm số y f ( x ) được cho như hình vẽ dưới đây:. Biết rằng f ( 1) f ( 0 ) f (1) f ( 2 ) . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y f ( x ) trên đoạn 1; 2 lần lượt là: A. f (1) ; f ( 2 ) .. B. f ( 2 ) ; f ( 0 ) .. C. f ( 0 ) ; f ( 2 ) .. D. f (1) ; f ( 1) .. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(439)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Từ đồ thị của hàm số y f ( x ) ta có bảng biến thiên của hàm số y f ( x ) trên đoạn 1; 2 như sau. Nhận thấy min f ( x ) f (1) 1;2. .. Để tìm max f ( x ) ta so sánh 1;2. f ( 1). và. f ( 2). .. Theo giả thiết, f ( 1) f ( 0 ) f (1) f ( 2 ) f ( 2 ) f ( 1) f ( 0 ) f (1) . Từ bảng biến thiên, ta có f ( 0 ) f (1) 0 . Do đó f ( 2 ) f ( 1) 0 f ( 2 ) f ( 1) . Hay max f ( x ) f ( 2 ) . 1;2. Câu 8.. 7 Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn 0; có đồ thị hàm số y f ' ( x ) như hình vẽ. 2. 7 Hàm số y f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; tại điểm x0 nào dưới đây? 2 7 A. x0 0 . B. x0 . C. x0 1. D. x0 3. 2 Lời giải Chọn D 7 Dựa vào đồ thị hàm số y f ' ( x ) ta có bảng biến thiên trên đoạn 0; như sau: 2. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(440)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 3 . Câu 9.. Cho hàm số y f ( x ) . Đồ thị hàm y f ( x ) như hình vẽ. Đặt h ( x ) 3 f ( x ) x3 3 x . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. max h( x) 3 f (1) .. (. [ 3; 3 ]. C. max h( x) 3 f. ). B. max h( x) 3 f 3 .. [ 3; 3]. ( 3 ) . D. max h( x) 3 f ( 0) . [ 3; 3]. [ 3; 3 ]. Lời giải Chọn B Ta có: h ( x ) 3 f ( x ) 3x 2 3 h ( x ) 3 f ( x ) x 2 1 . Đồ thị hàm số y x 2 1 là một parabol có toạ độ đỉnh C ( 0; 1) , đi qua A 3 ; 2 , B. (. ). (. ) (. ). 3;2 .. Từ đồ thị hai hàm số y f x và y x 2 1 ta có bảng biến thiên của hàm số y h ( x ) .. (. ). (. ) ( 3) 3 f ( 3) .. Với h 3 3 f 3 , h. . . Vậy max h(x ) 3 f 3 . [ 3; 3 ]. Câu 10. Cho. hàm. số. y f ( x). có. đồ. thị. y f ( x). ở. hình. vẽ. bên.. Xét. hàm. số. 1 3 3 g ( x ) f ( x ) x3 x 2 x 2018, mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 4 2. Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(441)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. min g ( x ) g ( 1) . 3;1. C. min g ( x ) g ( 3) . 3;1. g ( 3) g (1) . 2 D. min g ( x ) g (1) . B. min g ( x ) 3;1. 3;1. Lời giải Chọn A. 3 3 3 3 x f ( x ) x2 x . 2 2 2 2 3 3 Vẽ parabol ( P ) : y x 2 x . Ta thấy ( P ) đi qua các điểm có toạ độ ( 3;3) , ( 1;2 ) , (1;1) . 2 2 Trên khoảng ( 3; 1) đồ thị hàm số f ( x ) nằm phía dưới ( P ) nên. Ta có g ( x ) f ( x ) x 2 . 3 3 f ( x ) x2 x g ( x ) 0 . 2 2 Trên khoảng ( 1;1) đồ thị hàm số f ( x ) nằm phía trên ( P ) nên 3 3 f ( x ) x2 x g ( x ) 0 . 2 2 Trên khoảng (1; ) đồ thị hàm số f ( x ) nằm phía dưới ( P ) nên 3 3 f ( x ) x2 x g ( x ) 0 . 2 2 Bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên, ta có min g ( x ) g ( 1) . 3;1. Câu 11. Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R . Hàm số y f ' ( x ) có đồ thị như hình sau:. Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(442)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Cho bốn mệnh đề sau: 1) Hàm số y f ( x ) có hai cực trị 2) Hàm số y f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; ) 3) f (1) f ( 2 ) f ( 4 ) . 4) Trên đoạn 1;4 , giá trị lớn nhất của hàm số y f ( x ) là f (1) . Số mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên là: A. 3. B. 1.. C. 4. Lời giải. D. 2.. Chọn D Dựa vào đồ thị của hàm số y f ' ( x ) ta thấy:. x 1 f ' ( x ) 0 x 1 x 4 f ' ( x ) 0 x ( ; 1) (1;4 ). f ' ( x ) 0 x ( 1;1) ( 4; ) Ta có bảng biến thiên của hàm số y f ( x ). Dựa vào bảng biến thiên đáp án đúng là mệnh đề số 3 và 4 Câu 12. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 1 1 g x f 4 x x 2 x3 3x 2 8 x trên đoạn 1;3. 3 3. A.. 25 . 3. B. 15.. C.. 19 . 3. D. 12.. Lời giải Chọn D . Ta có g x f 4 x x 2 .(4 2 x) x 2 6 x 8 2 2 x f (4 x x 2 ) . 4 x 2 . Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(443)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Xét thấy x 1;3 3 4 x x2 4 f (4 x x2 ) 0 4 x 0 x 1;3 2 g x 0 x 2. Mặt khác Suy ra. 19 17 17 32 f (4) 5 3 3 3 3 19 19 19 34 g (3) f (3) f (4) 5 3 3 3 3 g (2) 5 7 12. g 1 f (3) . g 1 g 3 g 2. g x 12 tại x 2. Vậy max 1;3. Câu 13. Cho hàm số y f ( x ) . Hàm số y f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất 2. của hàm số g ( x ) f ( 2 x ) sin x trên đoạn 1;1 là. A. f ( 1) .. B. f ( 0 ) .. C. f ( 2 ) .. D. f (1) .. Lời giải Chọn B Ta có x 1;1 2 x 2; 2 . Từ bảng biến thiên của y f ' ( x ) thì bảng biến thiên y f ( x ) như sau:. f ( 2 x ) f ( 0 ). Ta thấy x 1;1 ta có . 2 sin x 0 sin ( 0 ). , do đó g ( x ) g ( 0 ) f ( 0 ) .. Dấu “=” xảy ra khi x 0 . Câu 14. Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên sao cho max f ( x ) 3 . Xét hàm số g ( x ) f ( 3x 1) m . 1;2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để max g ( x ) 10 . 0;1. A. 13 .. C. 13 .. B. 7 .. D. 1 .. Lời giải Chọn C Đặt u 3 x 1 g ( x ) f ( u ) m .. x 0;1 u 1; 2 . Do f ( x ) liên tục trên nên max g ( x ) max ( f ( u ) m ) max f ( u ) m 3 m . 0;1. 1;2. 1;2. Để max g ( x ) 10 m 13 . 0;1. Câu 15. Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm cấp 2 trên , hàm số y f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(444)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. sin x 3 cos x Giá trị lớn nhất của hàm số y f trên đoạn 2 5 A. f . B. f ( 0 ) . C. f . 3 6 Lời giải Chọn A sin x 3 cos x Đặt t sin x . 2 3 5 Vì x ; x ; t 1;1 . 6 6 3 2 2 Dựa vào đồ thị của hàm số f ( x ) , ta có bảng biến thiên. 5 6 ; 6 bằng D. f . 6. sin x 3 cos x max f ( t ) t 0 sin x 0 x . Ta có: max f 1;1 5 3 3 2 6 ; 6 sin x 3 cos x f . Vậy max f 5 2 3 6 ; 6 Câu 16. Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên sao cho. max f ( x ) f ( 2 ) 4 . Xét hàm số. x 0;10. g ( x ) f ( x 3 x ) x 2 2 x m . Giá trị của tham số m để max g ( x ) 8 là x 0;2. A. 5 .. B. 4 .. C. 1 . Lời giải. D. 3 .. Chọn D Đặt t x 3 x . Vì x 0; 2 t 0;10 . Ta có: max g ( x ) max f ( x3 x ) x 2 2 x m max f ( x 3 x ) max x 2 2 x m x0;2 . x0;2. x0;2 . 3. x0;2 . 2. max f ( t ) 1 m (với t x x và max x 2 x m 1 m ). x0;2 t0;10 max f ( x ) 1 m 4 1 m 5 m . x 0;10. x 1 Suy ra: max g ( x ) 5 m x 1. x0;2 t 2 Theo giả thiết, ta có: max g ( x ) 8 m 5 8 m 3 . x 0;2. Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(445)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 17. Cho hai hàm số y f ( x ) , y g ( x ) có đạo hàm là f ( x ) , g ( x ) . Đồ thị hàm số y f ( x ) và g ( x ) được cho như hình vẽ bên dưới.. Biết rằng. f ( 0 ) f ( 6 ) g ( 0 ) g ( 6 ) . Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. h ( x ) f ( x ) g ( x ) trên đoạn 0;6 lần lượt là:. A. h ( 6 ) , h ( 2 ) .. B. h ( 2 ) , h ( 6 ) .. C. h ( 0 ) , h ( 2 ) .. D. h ( 2 ) , h ( 0 ) .. Lời giải Ta có h ( x ) f ( x ) g ( x ) .. h ( x ) 0 x 2 Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:. Và f ( 0 ) f ( 6 ) g ( 0 ) g ( 6 ) f ( 0 ) g ( 0 ) f ( 6 ) g ( 6 ) . Hay h ( 0 ) h ( 6 ) . Vậy max h ( x ) h ( 6 ) ; min h ( x ) h ( 2 ) . 0;6. Câu 18.. 0;6. (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ. 8x m 1 có giá trị 2 x 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f lớn nhất không vượt quá 2020 ? A. 4029 . B. 4035 .. C. 4031 . Lời giải. D. 4041 .. Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(446)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chọn C Đặt t . 8x2 8 8x . Ta có: ; t 0 x 1 . t 2 2 x2 1 x 1 ( ). BBT:. t 4; 4 . 8x m 1 trở thành g ( t ) f ( t ) m 1 , t 4;4 . 2 x 1 Đặt h ( t ) f ( t ) m 1, t 4;4 , ta có: h ( t ) f ( t ) . Hàm số y f . t 4 4;4 h ( t ) 0 f ( t ) 0 t 2 4;4 . t 2 4;4 Ta có: h ( 4 ) 0,8 m 1 m 0, 2 ; h ( 4) 6 m 1 m 5 ; h ( 2 ) 1,6 m 1 m 0,6 ; h ( 2) 4 m 1 m 5 .. Max y Max h ( t ) Max m 5 ; m 5 . . 4;4. Yêu. cầu. bài. toán. m 5 2020 2020 m 5 2020 2025 m 2015 2020 m 5 2020 2015 m 2025 m 5 2020 2015 m 2015 . Vậy có tất cả 4031 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 19.. (Sở Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên có đồ thị y f ( x ) như hình bên. 2. Đặt g ( x ) 2 f ( x ) ( x 1) .. Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(447)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Khi đó y g ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 3;3 tại A. x 3 .. B. x 3 .. C. x 0 . Lời giải.. D. x 1 .. Chọn A 2 Ta có g ( x ) 2 f ( x ) ( x 1) g ( x ) 2 ( f ( x ) ( x 1) ) . Vẽ đồ thị hàm số y x 1 trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y f ( x ) .. Dựa vào đồ thị ta thấy 1. +. 3. g ( x ) dx 0 g (1) g ( 3) ; g ( x ) dx 0 g (1) g ( 3) . Do đó y g ( x ) đạt giá trị nhỏ. 3. 1. nhất trên đoạn 3;3 tại x 3 hoặc x 3 . + Phần hình phẳng giới hạn bởi y f ( x ) ; y x 1; x 3; x 1 có diện tích lớn hơn phần hình 1. phẳng giới hạn bởi y f ( x ) ; y x 1; x 1; x 3 nên. . 3. 3. g ( x ) dx g ( x ) dx g ( 3) g ( 3) . 1. Vậy y g ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 3;3 tại x 3 . Câu 20.. (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho hàm số f ( x ) . Biết hàm số f ( x ) có đồ thị như hình dưới đây. 2. Trên 4;3 , hàm số g ( x ) 2 f ( x ) (1 x ) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm. Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(448)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. x 3 .. B. x 4 .. C. x 3 . Lời giải. D. x 1 .. Chọn D 2 Xét hàm số g ( x ) 2 f ( x ) (1 x ) trên 4;3 . Ta có: g ( x ) 2 f ( x ) 2 (1 x ) .. g ( x ) 0 f ( x ) 1 x . Trên đồ thị hàm số f ( x ) ta vẽ thêm đường thẳng y 1 x .. x 4 Từ đồ thị ta thấy f ( x ) 1 x x 1 . x 3 Bảng biến thiên của hàm số g ( x ) như sau:. Vậy min g ( x ) g ( 1) x 1 . 4;3. Câu 21.. (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên . Biết. f ( 0 ) 3, f ( 2 ) f ( 2018) 0 , và bảng xét dấu của f ( x ) như sau. Hàm số y f ( x 1 2018 ) đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 thuộc khoảng nào sau đây? A. ( ; 2015) .. B. (1;3) .. C. ( 1009;2 ) .. D. ( 2015;1) .. Lời giải. Chọn C Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(449)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Từ bảng xét dấu của f ( x ) và giả thiết f ( 0 ) 3, f ( 2 ) f ( 2018) 0 suy ra bảng biến thiên của hàm số y f ( x ) như sau. Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số y f ( x ) :. Hàm. số. y f ( x 1 2018 ). đạt. giá. trị. nhỏ. nhất. khi. và. chỉ. khi. x 1 2018 2018 x 1 0 x 1 ( 1009; 2 ) . Câu 22.. (THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên . Biết. f ( 0) 3 , f ( 2 ) 2020 , lim f ( x ) và bảng xét dấu của f ( x ) như hình sau: x . Hàm số y f ( x 2019 ) 2020 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây? A. ( ; 2019 ) .. B. ( 0; 2 ) .. C. ( 2019;0 ) .. D. ( 2019; ) .. Lời giải Chọn A Theo giả thiết ta có. Ta có y f ( x 2019 ) 2020 y 0 f ( x 2019 ) 2020 . x 2019 a x a 2019 Từ bảng biến thiên trên ta có y 0 , với a 0 . x 2019 2 x 2017 Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y f ( x 2019 ) 2020 x. Từ bảng biến thiên có hàm số y f ( x 2019) 2020 x đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 a 2019 . Vì a 0 nên x0 ( ; 2019 ) . Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(450)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Dạng 3. Ứng dụng gtln-gtnn giải bài toán thực tế Câu 1.. (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 2 - 2020) Cho số a 0 . Trong số các tam giác vuông có tổng một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng a , tam giác có diện tích lớn nhất bằng A.. 3 2 a . 3. B.. 3 2 a . 6. 3 2 a . 9 Lời giải. C.. D.. 3 2 a . 18. Chọn D Giả sử tam giác ABC vuông ở A thỏa mãn yêu cầu đề bài. Giả sử AB BC a AB a BC Đặt BC x; 0 x a . 2. AB a x và AC x 2 ( a x ) 2ax a 2. Diện tích tam giác ABC là S Xét hàm số f ( x ) . 1 1 AB. AC ( a x ) 2ax a 2 2 2. 1 ( a x ) 2ax a2 2. 1 a f ( x ) 2ax a 2 ( a x ) . 2 2ax a 2 2a . f ( x) 0 x 3. 1 2ax a 2 a 2 ax 1 2a 2 3ax . 2 2 2x 2 a2 2 2 2x a. 2a 3 2 Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là S f a . 3 18. Câu 2.. (Mã 101 2018) Ông A dự định dùng hết 6,5m 2 kính để làm một bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 2, 26 m3 B. 1, 61 m3 C. 1,33 m3 D. 1,50 m3 Lời giải Chọn D. Giả sử hình hộp chữ nhật có kích thước như hình vẽ. Ta có dung tích của bể cá: V abc 6,5 2b 2 2b2 6bc 6,5 ab 2bc 2ac 6,5 c Mặt khác theo giả thiết ta có: 6b a 2b a 2b a 2b Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(451)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 6,5 2b 2 6,5b 2b3 V . 6b 3 6,5b 2b3 Xét hàm số: f ( b ) . Có BBT 3 Khi đó V 2b2 .. 39 3 Vậy bể cá có dung tích lớn nhất là: f 1,50 m . 6 Câu 3.. 1 (Mã 104 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s t 3 6t 2 với t (giây) là khoảng thời 3 gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 243 (m/s) B. 27 (m/s) C. 144 (m/s) D. 36 (m/s) Lời giải Chọn D Ta có: v s t 2 12t ; v 2t 12 ; v 0 t 6 . BBT t 0 6 9 v. . 0. . 36. v Nhìn bbt ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t 6 . Giá trị lớn nhất là v ( 6 ) 36m/s . Câu 4.. (Mã 103 2018) Ông A dự định sử dụng hết 5 m 2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? A. 1, 01 m3 B. 0,96 m3 C. 1,33 m3 D. 1,51 m3 Lời giải Chọn A. Gọi x , y lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá (điều kiện x, y 0 ). Ta có thể tích bể cá V 2 x 2 y . Theo đề bài ta có: 2 xy 2.2 xy 2 x 2 5 6 xy 2 x 2 5. Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(452)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 5 2 x2 5 y (Điều kiện kiện y 0 5 2 x 2 0 0 x ) 2 6x 5 5 2 x 2 5 x 2 x3 5 6x2 V 2 x2 V V 0 5 6 x2 0 x 6 6x 3 3. Vmax Câu 5.. 5 30 1, 01 m3 . 27. Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể t trong t giờ được cho bởi công thức c ( t ) 2 ( mg / L ) . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ t 1 thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất? A. 4 giờ. B. 1 giờ. C. 3 giờ. D. 2 giờ. Lời giải t Xét hàm số c ( t ) 2 , (t 0) . t 1 1 t2 c ( t ) . 2 ( t 2 1) t 1 c ( t ) 0 . t 1. Với t 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bênh nhân cao nhất. Câu 6.. (Dề Minh Họa 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.. Facebook Nguyễn Vương 37.
<span class='text_page_counter'>(453)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. x 3. B. x 2. C. x 4 Lời giải. D. x 6. Chọn B Ta có : h x ( cm ) là đường cao hình hộp Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là: 12 2x ( cm ) x 0 x 0 2 Vậy diện tích đáy hình hộp S (12 2 x ) cm2 . Ta có: x ( 0; 6 ) 12 2 x 0 x 6. (. Thể tích của hình hộp là: V S .h x. (12 2 x ). ). 2. 2. Xét hàm số: y x. (12 2 x ) x ( 0;6 ) 2. Ta có : y ' (12 2 x ) 4 x (12 2 x ) (12 2 x )(12 6 x ) ; y ' 0 (12 2 x ) . (12 6 x ) 0 x 2 hoặc x 6 (loại).. Suy ra với x 2 thì thể tích hộp là lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là y ( 2 ) 128 . Câu 7.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Một sợi dây có chiều dài 28m được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình vuông và một hình tròn. Tính chiều dài (theo đơn vị mét) của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất? 56 112 84 92 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Gọi chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông là x ( m ) ( 0 x 28 ) => chiều dài của đoạn dây làm thành hình tròn là 28 x ( m ) 2. x2 x +) Diện tích hình vuông là: 4 16 28 x +) Bán kính hình tròn là: R = 2 2 784 56 x x 2 28 x => Diện tích hình tròn: R 2 . 4 2 . x 2 784 56 x x 2 4 2 14 196 x x 16 4 16 196 4 2 14 Xét f ( x) . Nhận thấy f ( x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x x 16 112 b 14 16 . x 2 ( 4 ) 4 2a Vậy chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông để tổng diện tích của hai hình đạt giá trị nhỏ 112 m nhất là 4 +) Tổng diện tích hai hình:. Câu 8.. (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều dài bằng 10cm và chiều rộng bằng 8cm . Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x ( cm ) , rồi gập tấm nhôm lại (như hình vẽ) để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.. Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(454)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. x . 8 2 21 3. B. x . 10 2 7 3. C. x . 9 21 . 9. D. x . 9 21 3. Lời giải Chọn D Ta có : h x ( cm ) là đường cao hình hộp Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là: 10 2x ( cm ) và 8 2x ( cm ). Vậy diện tích đáy hình hộp S (10 2 x )( 8 2 x ) ( cm2 ) . Ta có: x 0 x 0 x ( 0; 4 ) 10 2 x 0 x 4 8 2 x 0 . Thể tích của hình hộp là: V S .h x. (10 2 x ) . ( 8 2 x ) Xét hàm số: y x. (10 2 x ) . ( 8 2 x ) x ( 0; 4 ) Ta có : y ' 12 x 2 72 x 80 ;. 9 21 4 (l ) x 3 y' 0 . 9 21 ( n) x 3 . 9 21 thì thể tích hộp là lớn nhất và giá trị lớn nhất. 3. Suy ra với x Câu 9.. (Mã 103 2018) Ông A dự định sử dụng hết 5 m 2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? A. 1, 01 m3 . B. 0,96 m3 . C. 1,33 m3 . D. 1,51 m3 . Lời giải Chọn A A'. D'. B'. C'. y. A. 2x D. x B. C. Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá (điều kiện x, y 0 ). Facebook Nguyễn Vương 39.
<span class='text_page_counter'>(455)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có thể tích bể cá V 2 x 2 y . Theo đề bài ta có: 2 xy 2.2 xy 2 x 2 5 6 xy 2 x 2 5 y. 5 5 2 x2 (Điều kiện kiện y 0 5 2 x 2 0 0 x ) 2 6x. V 2x2. Vmax . 5 5 2 x 2 5 x 2 x3 5 6x2 V V 0 5 6 x2 0 x 6 6x 3 3. 5 30 1, 01 m 3 . 27. Câu 10. Một người nông dân có 15.000.000 đồng muốn làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60.000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được. A. 3125 m 2 .. B. 50 m 2 .. C. 1250 m 2 .. D. 6250 m 2 .. Lời giải Chọn D Gọi x là chiều dài 1 mặt hàng rào hình chữ E ( trong ba mặt song song, x 0 ). Gọi y là chiều dài mặt hàng rào hình chữ E song song với bờ sông ( y 0 ). Số tiền phải làm là: x.3.50000 y.60000 15.000.000 y Diện tích đất: S x. y x.. 500 5 x . 2. 500 5x 5 250 x x 2 2 2. Ta có: S ' 250 5x . S ' 0 250 5 x x 50. Bảng biến thiên: x. 50. 0. S'. +. S. +∞. 0 6250. 0. -∞. Vậy: max S 6250 ( m 2 ) khi x 50. ( 0; ). Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(456)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 11.. (Chuyên Long An-2019) Ông Khoa muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ 3 nhật không nắp có thể tích bằng 288m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, 2. giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ m . Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông Khoa trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu (Biết độ dày thành bể và đáy bể không đáng kể)? A. 90 triệu đồng. B. 168 triệu đồng. C. 54 triệu đồng. D. 108 triệu đồng. Lời giải Chọn D Theo bài ra ta có để chi phí thuê nhân công là thấp nhất thì ta phải xây dựng bể sao cho tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là nhỏ nhất. Gọi ba kích thước của bể là a , 2a , c ( a ( m ) 0, c ( m ) 0 ) .. Ta có diện tích cách mặt cần xây là S 2a2 4ac 2ac 2a2 6ac . 144 Thể tích bể V a.2a.c 2a2c 288 c 2 . a 144 864 432 432 432 432 2a 2 3. 3 2a 2 . . 216 . Suy ra S 2a 2 6a. 2 2a 2 a a a a a a Vậy S min 216 m 2 , khi đó chi phí thấp nhất là 216.500000 108 triệu đồng. Câu 12. (Kinh Môn - Hải Dương L2 2019) Một người nông dân có 3 tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài 12 ( m ) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ (bờ sông là đường thẳng DC không phải rào, mỗi tấm là một cạnh của hình thang). Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu m 2 ? B. A. C. D. A. 100 3 .. B. 106 3 .. C. 108 3 . Lời giải. D. 120 3 .. Chọn C. Kẻ đường cao BH , gọi số đo 2 góc ở đáy CD của hình thang là x, x ( 0;90 ) . Diện tích mảnh vườn là: 1 1 1 S BH ( AB CD ) BC.sin x ( 2. AB 2 BC .cos x ) AB 2 ( 2 sin x sin 2 x ) 2 2 2 0 0 Xét hàm số f ( x ) 2 sin x sin 2 x với x 0 ;90 có f ( x ) 2 cos x 2 cos 2 x .. (. ). Facebook Nguyễn Vương 41.
<span class='text_page_counter'>(457)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 cos x Ta có: f ( x ) 0 2 cos x 2 cos 2 x 0 2 cos x cos x 1 0 2 cos x 1 1 Do x 00 ;900 nên ta nhận cos x x 60 0 . Ta có bảng biến thiên: 2 2. (. ). f ( x) Từ bảng biến thiên ta thấy: max 0 0. (. max S 108 3 ( m Câu 13.. 2. 0 ;90. ). 3 3 đạt được tại x 600 . 2. ) khi góc ở đáy CD của hình thang bằng 60 ( C D 60 ) . 0. 0. (Sở GD Quảng Nam - 2019) Cho nửa đường tròn đường kính AB 2 và hai điểm C , D thay đổi trên nửa đường tròn đó sao cho ABCD là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng A.. 1 . 2. B.. 3 3 . 4. C. 1 .. D.. 3 3 . 2. Lời giải Chọn B. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên AB , I là trung điểm của đoạn CD và O là trung điểm của AB . Đặt DH x , 0 x 1 . Ta có DC 2 DI 2OH 2 OD 2 DH 2 2 1 x 2 . Diện tích của hình thang ABCD là S f ( x ) Ta có f ( x ) . 1 x2 1 2 x2 1 x. 2. ( AB CD ) DH 2. (. ). 1 1 x2 x .. . f ( x ) 0 1 x 2 1 2 x 2 0 (*). t 1 Đặt t 1 x , (điều kiện t 0 ) khi đó phương trình (*) trở thành 2t t 1 0 1 . t 2 2. 2. 1 3 3 1 ta có 1 x 2 x 2 x . 2 4 2 2 Bảng biến thiên. t 1 loại. t . Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(458)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Vậy diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng. 3 3 . 4. Câu 14. (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình 2018) Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3 km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B , hay có thể chèo trực tiếp đến B , hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm D giữa C và B và sau đó chạy đến B . Biết anh ấy có thể chèo thuyền 6 km/ h , chạy 8 km/ h và quãng đường BC 8 km . Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tính khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến B .. A.. 3 . 2. B.. 9 . 7. C.. 73 . 6. D. 1 . 7 . 8. Lời giải Cách 1: Anh chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B 3 Thời gian chèo thuyền trên quãng đường AC : 0,5 (giờ) 6 8 Thời gian chạy trên quãng đường CB : 1 (giờ) 8 Tổng thời gian di chuyển từ A đến B là 1,5 (giờ). Cách 2: chèo trực tiếp trên quãng đường AB 32 82 73 mất. 73 h 1 26 . 6. Cách 3:. Gọi x ( km ) là độ dài quãng đường BD ; 8 x ( km ) là độ dài quãng đường CD . Facebook Nguyễn Vương 43.
<span class='text_page_counter'>(459)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Thời gian chèo thuyền trên quãng đường AD x 2 9 là:. x2 9 (giờ) 6. 8 x (giờ) 8 x2 9 8 x Tổng thời gian di chuyển từ A đến B là f ( x ) 6 8 2 x 9 8 x Xét hàm số f ( x ) trên khoảng ( 0; 8 ) 6 8 x 1 9 ; f ( x ) 0 3 x2 9 4x x Ta có f ( x ) 2 7 6 x 9 8 Bảng biến thiên Thời gian chạy trên quãng đường DB là:. Dựa vào BBT ta thấy thời gian ngắn nhất để di chuyển từ A đến B là 1 Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến B là 1 . 7 h 1 20 . 8. 7 h 1 20 . 8. Dạng 4. Dùng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu 1.. (HSG 12 - Sở Quảng Nam - 2019) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x 0, y 0, z 1 , a a x y z 2 .Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P xyz bằng với a, b * và là phân số tối b b giản. Giá trị của 2a b bằng A. 5 . B. 43 . C. 9 . D. 6 . Lời giải Chọn D 2. 2. 1 x y 2 z 2 3 Ta có: P xyz .z .z ( 4 z 4 z z ) . 4 2 2 1 Xét hàm số f ( z ) ( 4 z 4 z 2 z 3 ) trên 1; 2 . 4 2 z (loai ) 1 2 Ta có: f ( z ) ( 4 8 z 3 z ) ; f ( z ) 0 3 4 z 2 Bảng biến thiên:. Dựa vào bảng biến thiên, ta có: P . 1 . 4. Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(460)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Vậy Pmax Câu 2.. z 1 1 khi 1 a 1; b 4 2a b 6 . 4 x y 2. (Chuyên Bắc Giang Nam 2019) Cho x 2 xy y 2 2 . Giá trị nhỏ nhất của P x 2 xy y 2 bằng: 2 1 1 A. B. C. D. 2 3 6 2 Lời giải Chọn A P x 2 xy y 2 x 2 xy y 2 Xét 2 2 2 x xy y 2 +nếu y 0 thì x2 2 . Do đó P x 2 2 suy ra min P 2 +nếu y 0 ta chia tử mẫu cho y 2 ta được 2. x x 1 2 2 y y P x xy y 2 2 2 2 x xy y x x 1 y y Đặt t . P 1 t t2 x , khi đó 2 1 t t2 y. 1 t t2 2t 2 2 Xét f ( t ) f '(t ) 2 1 t t2 (1 t t 2 ) t 1 f '(t ) 0 t 1 Bảng biến thiên. Khi đó min Câu 3.. P 1 2 do đó min P . 2 3 3. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho x , y là các số thực thỏa mãn x y x 1 2 y 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P x 2 y 2 2 ( x 1)( y 1) 8 4 x y . Tính giá. trị M m A. 42. B. 41. C. 43 Lời giải. D. 44. Chọn C Facebook Nguyễn Vương 45.
<span class='text_page_counter'>(461)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. ( x y). 2. . (. ). 2. x 1 2 y 1 3( x y ) 0 x y 3 2. P x 2 y 2 2 ( x 1)( y 1) 8 4 x y ( x y ) 2 ( x y ) 2 8 4 ( x y ) Đặt t 4 ( x y ) , t 1;2 . 2. Ta có: f ( t ) ( 4 t 2 ) 2 ( 4 t 2 ) 2 8t t 4 10t 2 8t 26 . f ( t ) 4t 3 20t 8. t 2 1; 2 t 2 f (t ) 0 2 t 1 2 1; 2 t 2t 1 0 t 1 2 1; 2 f (1) 25; f ( 2 ) 18 . Suy ra m min f ( t ) f ( 2 ) 18; M max f ( t ) f (1) 25 . 1;2. 1;2. Vậy M m 43 . Câu 4.. (Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị -2019) Cho x , y 0 thỏa mãn x y P. A.. 4 1 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính x 2 y 2 . x 4y. 153 . 100. B.. 5 . 4. 2313 . 1156 Lời giải C.. D.. 25 . 16. Chọn A 3 3 3 suy ra y x . Ta có: 0 x, y . 2 2 2 4 1 4 1 3 Xét hàm P ( x ) trên khoảng 0; , ta có: x 3 x 6 4x 2 4 x 2 4 4 . P ( x ) 2 x ( 6 4 x )2. Từ x y . P ( x ) 0 . 4. (6 4x). 2. . 6 x 6 4x 4 2 2 x 5 . x 6 4 x ( ) x 4x 6 x2 x 2. 3 Bảng biến thiên của P ( x ) trên 0; : 2. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min P ( x ) 3 0; 2. 25 6 khi x . 6 5. Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 3 và biểu thức 2.
<span class='text_page_counter'>(462)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 6 3 Với x thì y . 5 10 25 6 3 Như vậy min P khi x , y . 6 5 10 153 Khi đó, x 2 y 2 . 100. Câu 5.. (Chuyên Hà Tĩnh - 2019) Cho các số thực x , y thay đổi thỏa mãn x 2 y 2 xy 1 và hàm số 5x y 2 f ( t ) 2t 3 3t 2 1 . Gọi M , m tương ứng là GTLN và GTNN của Q f . Tổng x y4 M m bằng: A. 4 3 2 . B. 4 5 2 . C. 4 4 2 . D. 4 2 2 . Lời giải Chọn C 5x y 2 3 1 2 2 Đặt t . Theo giả thiết, x 2 xy y 2 1 ( x y ) ( x y ) 1 x y4 4 4 1 3 x cos sin 2 cos x y ( ) cos 3 x y 2 nên ta đặt ( 0 2 ) . 3 sin 1 ( x y ) x y 2sin y 1 cos sin 3 2 Khi đó, t . 2 3 cos 4sin 2 ( t 2 ) .sin 3.cos 1 2t 2sin 4 2. (. Phương trình (1) có nghiệm ( t 2 ) 3. ). 2. (1) .. 2. (1 2t ) 3t 2 6 0 2 t 2 .. Xét hàm số Q f ( t ) 2t 3 3t 2 1, t 2 ; 2 . t 0 2 ; 2 2 f ( t ) 6t 6t . Cho f ( t ) 0 . t 1 2 ; 2 . (. ). f 2 5 4 2 ; f ( 0 ) 1 ; f (1) 0 ; f. ( 2 ) 5 4. 2.. M max Q max f ( t ) f ( 0 ) 1 2 ; 2 . m min Q min f ( t ) f 2 5 4 2 2 ; 2 Vậy M m 4 4 2 .. (. Câu 6.. ). (Sở Lào Cai - 2019) Cho hàm số f ( x ) x 4 ax3 bx 2 cx 1 . Biết rằng đồ thị hàm số. y f ( x ) có ít nhất một giao điểm với trục hoành. Bất đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a 2 b 2 c 2 . 4 . 3. B. a 2 b 2 c 2 . 4 4 . C. a 2 b 2 c 2 . 3 3 Lời giải. D. a 2 b 2 c 2 . 4 . 3. Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm x 4 ax3 bx 2 cx 1 0 (1) Nhận xét x 0 không phải là nghiệm. Với x 0 phương trình trở thành 1 (1) ax 2 bx c x3 ( x 0 ) x 2. 2 3 1 2 2 2 2 4 2 x ( ax bx c ) ( a b c )( x x 1) x . Facebook Nguyễn Vương 47.
<span class='text_page_counter'>(463)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2. 2. 3 1 2 1 x x 2 x x 2 2 2 a b c 4 2 x x 1 x2 1 1 x2 1 t2 t 2 2t t x2 2 t 2 f (t ) , t 2 f ' ( t ) 0, t 2 2 x t 1 ( t 1). Bảng biến thiên Vậy để đồ thị hàm số y f ( x ) có ít nhất một giao điểm với trục hoành thì a 2 b2 c 2 Câu 7.. (THPT. Trần. Nhân. (. 3. Tông. Cho. 2018). hai. số. thực. x, y. 4 3 thỏa. ). mãn: 9 x 2 y 3 xy 5 x 3 xy 5 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P x3 y 3 6 xy 3 ( 3x 2 1) ( x y 2 ) A.. 296 15 18 . 9. B.. 36 296 15 . 9. C.. 36 4 6 . 9. D.. 4 6 18 . 9. Lời giải 3. (. ). Ta có 9 x 2 y 3 xy 5 x 3 xy 5 0 3. 27 x 6 x ( 3 xy 5 ) 3 xy 5 2 3 xy 5 . Xét hàm f ( t ) t 3 2t với t ( 0; ) có f ' ( t ) 3t 2 2 0t ( 0; ) nên hàm số liên tục và đồng biến trên ( 0; ) . Khi đó ta có 3 x 3 xy 5 x 0 và 9 x 2 3 xy 5 . Với x 0 thì 0 5 ( l ) . với x 0 thì P x3 y 3 6 xy 3 ( 3x 2 1) ( x y 2 ). x3 y 3 6 xy ( 9 x 2 3) ( x y 2 ) x 3 y 3 6 xy ( 3 xy 2 )( x y 2 ) x 3 y 3 3 x 2 y 3 xy 2 2 ( x y ) 4 3. ( x y) 2( x y) 4 Mà x y x . 9x2 5 5 5 4 5 4 5 4x 2 4 x. . Đặt t x y thì t . 3x 3x 3x 3 3. Xét f ( t ) t 3 2t 4 với t . 4 5 4 5 . Khi đó f ( t ) 3t 2 2 0 với t . 3 3. 4 5 36 296 15 Do đó f ( t ) f 9 3 Suy ra P Câu 8.. 36 296 15 36 296 15 . Vậy GTNN của P là . 9 9. (THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình - 2018) Cho x, y 0 và x y . 4 1 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó x 4y 25 17 A. x 2 y 2 . B. x 2 y 2 . 32 16. 5 sao cho biểu thức 4. P. C. x 2 y 2 . 25 . 16. D. x 2 y 2 . Lời giải Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 13 . 16.
<span class='text_page_counter'>(464)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 5 5 4 1 Từ x y y x , nên P . 4 4 x 5 4x 4 1 5 Xét hàm số P với 0 x . x 5 4x 4 P . 4 4 2 ; P 0 x 2 ( 5 4 x ) 2 2 x (5 4x ). 5 x 1 0; 4 . 5 5 x 0; 3 4 . Bảng biến thiên. Như vậy: min P 5 khi x 1 ; y Khi đó x 2 y 2 Câu 9.. 1 . 4. 17 . 16. (Xuân Trường - Nam Định -2018) Cho x, y là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 1 ( xy 1) xy 1 y 1 x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y x y x 2y ? P 2 2 6( x y) x xy 3 y. (. ). 5 7 . 3 30. A.. ( xy 1) (. B.. 7 5 . 30 3. ). xy 1 y 1 x . y ( xy 1). (. ). xy 1 y . (. ). (. 5 7 . 3 30 Lời giải C.. 57 . 30. 1 y 2. xy 1 y. (. D.. 2. )0. ). xy 1 y y ( xy 1) xy 1 y 0 xy 1 y 0 xy 1 y . 2. x 1 1 1 1 1 2 y y y 4 y 2 1 x 1 0 . Dấu bằng đạt được khi y 2 , x . 2 y 4 x y x 2y t 1 t 2 x 1 P với t và t 0; . 2 2 2 y 6( x y) 4 t t 3 6 ( t 1) x xy 3 y. t 1. Ta có. 2. t t 3 Thật vậy. . 5 1 (8t 7 ) với mọi t 0; 27 4 2. 2 5 1 ( 4t 1) ( 20t 25t 6 ) 1 0 với mọi t 0; . (8t 7 ) 2 2 729 t t 3 4 t t 3 27. t 1. Facebook Nguyễn Vương 49.
<span class='text_page_counter'>(465)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 5 t2 f (t ) . (8t 7 ) 27 6t 6 1 16 5t 2 32 5t 16 5 27 1 0 với mọi t 0; . Khi đó f ( t ) . 2 54 4 ( t 1) P. Vậy P Câu 10.. 5 t 2 1 1 7 10 5 f (t ) f , dấu bằng đạt được khi x , y 2 . ( 8t 7 ) 27 6t 6 2 30 4. (. x 2 y 3 . Giá trị. D.. 148 . 3. (THPT Lê Xoay - 2018) Cho các số thực x , y thỏa mãn x y 1 2 lớn nhất của biểu thức M 3 A. . 9476 . 243. x y 4. ( x y 1) .2. 7 x y. 3( x y 2. 2. ) bằng. 193 . 3 Lời giải. B. 76 .. ). C.. Điều kiện x 2; y 3 . x y 1 2. (. ). 2. (. ). x 2 y 3 ( x y 1) 4 x y 1 2 x 2 y 3 .(*) 2. Vì 2 x 2 y 3 x y 1 nên từ (*) suy ra ( x y 1) 8 ( x y 1) x y 7 . Vì 2 x 2 y 3 0 nên từ (*) suy ra x y 1 0 x y 1 0 x y 1 4 ( x y 1) . x y 1 4 x y 1 4 x y 3 Do x 2 nên x 2 2 x , y 2 1 2 y , suy ra x 2 y 2 1 2 ( x y ) . Từ đó ta có. ( x y 1). 2. M 3x y 4 ( x y 1) .27 x y 3 ( x 2 y 2 ) 3x y 4 ( x y 1) .27 x y 6 ( x y ) 3 . Đặt t x y với t 1 hoặc 3 t 7 . Xét hàm số f ( t ) 3t 4 ( t 1) 27 t 6t 3 , ta có f ( 1) . 2188 . 243. f ( t ) 3t 4 ln 3 27 t ( t 1) .27 t ln 2 6 .. f ( t ) 3t 4 ln 2 3 ( t 1) ln 2 2 27t.ln 2 0 , t 3; 7 . Suy ra f ( t ) đồng biến trên ( 3;7 ) , mà f ( t ) liên tục trên 3;7 và f ( 3) . f ( 7 ) 0 nên phương trình f ( t ) 0 có nghiệm duy nhất t0 ( 3;7 ) .. t. 3. to 0. f'(t) 148 f(t). 7 + 4. 3 f(to). Suy ra M 3x y 4 ( x y 1) .27 x y 3 ( x 2 y 2 ) Câu 11.. 148 . Đẳng thức xảy ra khi x 2 , y 1 . 3. (Cụm 5 Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 1 y sin x cos x tan x cot x sin x cos x C. 2 1 . D. 2 2 1 . Lời giải 1 1 1 sin x cos x sin x cos x Ta có y sin x cos x tan x cot x . sin x cos x sin x.cos x A.. 2 1 .. B. 2 2 1 .. Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(466)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2 2 t 2 1 ; Đặt t sin x cos x 2 sin x , t . \ 1 , sin x.cos x 4 2 2 2 1 t 2 t . 2 t 1 t 1 2. Suy ra y t . 2 t 2 1( l ) t 1) 2 ( 2 2 Xét hàm số g ( t ) t , g(t ) 1 , . g t 0 ( ) 2 2 t 1 t 2 1( t/m ) ( t 1) ( t 1). g. ( 2) 3. (. ). (. ). 2 2 0, g 2 0, g 2 1 2 2 1 0. Ta có bảng biến thiên t. - 2+1. - 2. 0. +. g'(t). 2. 1. g(- 2+1). +∞. g(t) g(- 2) y=g(t). g( 2). -∞ +∞ +∞. g( - 2 ). g( 2 ) g(- 2+1). (. ). Dựa vào bảng biến thiên suy ra ymin y 2 1 2 2 1 . Câu 12.. (Sở Phú Thọ - 2018) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 4 và xy yz zx 5 . 1 1 1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3 y 3 z 3 bằng: x y z A. 20 . B. 25 . C. 15 . Lời giải x y 4 z x y z 4 Ta có: . 2 xy yz zx 5 xy 5 z ( x y ) 5 4 z z. (. ). 2. 2. (. ). Lại có: ( x y ) 4 xy ( 4 z ) 4 5 4 z z 2 . D. 35 .. 2 z 2 . Dấu " " xảy ra khi x y . 3. 3. Và ( x y z ) x3 y 3 z 3 3 ( x y z )( x y ) z 3 xy ( x y ). (. ). x3 y 3 z 3 43 12 ( x y ) z 3 xy ( x y ) 64 3 ( 4 z ) 5 z 2 . 1 1 1 5 Ta có: P x3 y 3 z 3 3z 3 12 z 2 15 z 4 3 . 2 z 4z 5z x y z 2 50 t 2. Đặt t z 3 4 z 2 5 z , với z 2 3 27 50 4 t 2. Do đó xét hàm số f ( t ) 5 3 , với 27 t 20 50 Ta có f ( t ) 2 0, t ; 2 nên hàm số f ( t ) liên tục và nghịch biến. t 27 . (. ). (. ). Facebook Nguyễn Vương 51.
<span class='text_page_counter'>(467)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Do đó Pmin f ( 2 ) 25 đạt tại x y 1 , z 2 . Câu 13.. (Sở Bắc Ninh - 2018) Gọi M , m lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin 2018 x cos 2018 x trên . Khi đó: 1 1 1 A. M 2 , m 1008 . B. M 1 , m 1009 . C. M 1 , m 0 . D. M 1 , m 1008 . 2 2 2 Lời giải 1009. Ta có: y sin 2018 x cos 2018 x ( sin 2 x ). 1009. (1 sin 2 x ). . 1009. Đặt t sin 2 x , 0 t 1 thì hàm số đã cho trở thành y t1009 (1 t ) 1009. .. trên đoạn 0;1 .. Xét hàm số f ( t ) t1009 (1 t ). 1008. Ta có: f ( t ) 1009.t 1008 1009. (1 t ). 1008. f ( t ) 0 1009t1008 1009 (1 t ). 0. 1008. 1 t t . 1 t 1 1 t t 2 1 1 Mà f (1) f ( 0 ) 1 , f 1008 . 2 2. 1 . 1 1 Suy ra max f ( t ) f ( 0 ) f (1) 1 , min f ( t ) f 1008 0;1 0;1 2 2 1 Vậy M 1 , m 1008 . 2. Câu 14.. (Chuyên Long An - 2018) Cho các số thực x , y thỏa mãn x y 2. (. ). x 3 y 3 . Tìm giá. trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 ( x 2 y 2 ) 15 xy . A. min P 80 .. B. min P 91 .. C. min P 83 . Lời giải. D. min P 63 .. x 3 Điều kiện: . y 3 Ta có x y 2. (. x y 4 2 x 3 y 3 ( x y ) 4 ( x y ) 8 x 3. y 3 4 ( x y ) x y 0. ). (1). . Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: x y 2 x 3 y 3 2 2 ( x y ) x y 8 ( 2) .. (. ). Từ (1) và ( 2 ) ta có x y 4;8 Ta lại có ( x 3)( y 3) 0 xy 3 ( x y ) 9 . 2. Đặt t x y suy ra P 4 ( x 2 y 2 ) 15 xy 4 ( x y ) 7 xy 4t 2 21t 63 . Xét hàm số f ( t ) 4t 2 21t 63 , với t 4;8. 21 4;8 . Do đó min f ( t ) f ( 4 ) 83 . 4;8 8 x y 4 x 7 Do đó P 83 suy ra min P 83 khi . x y 2 x 3 y 3 y 3 Ta có f ( t ) 8t 21 0 t . (. Câu 15.. ). (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hai số thực 3. (. 2. ). x,. y. thỏa mãn:. 2 y 7 y 2 x 1 x 3 1 x 3 2 y 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2 y . Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(468)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. B. P 4 .. A. P 10. (. C. P 6 . Lời giải. D. P 8 .. ). 2 y3 7 y 2 x 1 x 3 1 x 3 2 y 2 1 .. (. ). 2 y 3 3 y 2 3 y 1 ( y 1) 2 (1 x ) 1 x 3 1 x 2 1 x . 3. 2 ( y 1) ( y 1) 2. (. 1 x. ). 3. 1 x (1) .. Xét hàm số f ( t ) 2t 3 t trên 0; ) . Ta có: f ( t ) 6t 2 1 0 với t 0 f ( t ) luôn đồng biến trên 0; ) . Vậy (1) y 1 1 x y 1 1 x .. P x 2 y x 2 2 1 x với ( x 1) . Xét hàm số g ( x ) 2 x 2 1 x trên ( ;1 . 1 1 x 1 . g ( x ) 0 x 0 . 1 x 1 x Bảng biến thiên g ( x ) : Ta có: g ( x ) 1 . Từ bảng biến thiên của hàm số g ( x ) suy ra giá trị lớn nhất của P là: max g ( x ) 4 . ( ;1. Câu 16.. (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng 2018) Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x 2 xy 3 0 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 x 3 y 14 0. P 3 x 2 y xy 2 2 x 3 2 x A. 8 . B. 0 .. C. 12 .. D. 4 .. Lời giải 2 x 3 Theo giả thiết ta có x 2 xy 3 0 y x 2 9 5x 4x 9 Từ bất phương trình 2 x 3 y 14 0 0 1 x . 5 x 2 3 2 x xy 3 x x y 3x 2 Mặt khác ta có 2 2 xy x 3 xy x y 3 y x2 3 9 Thay vào ta được P 3 y 8 x 3 8 x 5x . x x 9 9 Xét hàm số f ( x ) 5 x trên đoạn 1; . x 5 9 9 9 Ta có f ( x ) 5 2 0, x 1; do đó min f (1) 4 và max f 4 . 9 9 x 5 5 1; 5 1; . . 5. Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 0 .. Facebook Nguyễn Vương 53.
<span class='text_page_counter'>(469)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 17.. (Sở. Nam. (. Định. ). 2. 2. 4. Biết. 2018) 2. rằng. bất. phương. trình. (. 2. m x 1 x 1 2 x x x 1 x 2 có nghiệm khi và chỉ khi m ; a 2 b với a, b . Tính giá trị của T a b . A. T 3 . B. T 2 .. D. T 1 .. C. T 0 . Lời giải. Điều kiện: 1 x 1 .. ). (. m x 1 x2 1 2 x2 x4 x2 1 x2 2 m. (. ). x2 1 x2 1 2 x2 x4 x2 1 x2 2. 1 t 2 Đặt t x 2 1 x 2 . Khi đó, bất phương trình trở thành: 2 4 2 2 x x t 1 t2 t 1 m ( t 1) t 2 t 1 m (vì t 1; 2 nên t 1 0 ). t 1 t2 t 1 Xét hàm số f ( t ) trên 1; 2 . t 1 t 2 2t f (t ) 0, t 1; 2 suy ra hàm số đồng biến trên 1; 2 . t 1 3 min f ( t ) f (1) ; max f ( t ) f 2 1 2 2 . 1; 2 2 1; 2 Bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình t2 t 1 m có nghiệm t 1; 2 m max f ( t ) m 1 2 2 t 1 1; 2 a 2 , b 1 a b 1 .. ( ). Câu 18.. (THPT. Nguyễn. Huệ. 2018). Cho. x, y. là. các. số. thực. dương. 3. 3. thỏa 2. mãn 2. x y x y 2 ( x 2 y 2 ) xy ( x y )( xy 2 ) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 3 3 9 2 2 . x y x y 25 23 A. . B. 5 . C. . D. 13 . 4 4. Lời giải Ta có 2 ( x y ) xy ( x y )( xy 2 ) ( x y ) 2 2 xy . 2. 2. 2. Đặt a x 2 y 2 ; b xy ta được: ( 2a b ) 8b ( a 2b ) 4a 2 4ab 15b 2 0. a 5 x2 y 2 5 x y 5 . Suy ra: t . b 2 xy 2 y x 2 Ta có: x3 y3 x2 y 2 5 P 4 3 3 9 2 2 4 ( t 3 3t ) 9 ( t 2 2 ) 4t 3 9t 2 12t 18 f ( t ) với t . x y x 2 y . Khảo sát hàm số f ( t ) với t Câu 19.. 5 23 ta được f ( t ) . Vậy chọn C 2 4. (THPT Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho các số thực dương x , y thỏa mãn 2 x y trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P . 2 1 . x 4y. Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 5 . Tìm giá 4.
<span class='text_page_counter'>(470)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. Pmin. 34 . 5. B. Pmin. 65 . 4. C. Pmin không tồn tại. D. Pmin 5 .. Lời giải 5 5 5 5 Từ giả thiết ta có y 2 x . Vì y 0 nên 2 x 0 x . Do đó 0 x . 4 8 4 8 5 1 2 1 10 15 x 2 Ta có P với 0 x . 8 x 5 x 5 8 x 8 x 2 5 x 4 2x 4 2 15 ( 8 x 5 x ) ( 16 x 5 )(10 15 x ) 120 x 2 75 x ( 160 x 240 x 2 50 75 x ) P 2 2 ( 8 x 2 5 x ) ( 8 x 2 5 x ) 5 5 x 6 0; 8 120 x 160 x 50 . P . Có P 0 120 x 2 160 x 50 0 2 1 5 ( 8 x2 5 x ) x 0; 2 8 Bảng biến thiên 2. Dựa vào bảng biến thiên ta có Pmin 5 . -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 55.
<span class='text_page_counter'>(471)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ. Chuyên đề 6. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng. Xác định đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên, đồ thị 1.1.1 Đường tiệm cận ngang. . . . Cho hàm số y f (x ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng a; , ;b hoặc ; ). Đường thẳng y y 0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f (x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x ) y 0 , lim f (x ) y 0 x . x . 1.1.2 Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x x 0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x ) , lim f (x ) , lim f ( x) , lim f ( x) . x x 0. x x 0. x x0. x x0. Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y . ax b cx d. c 0; ad bc 0 luôn có tiệm cận ngang là y ac. d và tiệm cận đứng x . c Câu 1.. (Đề Minh Họa 2017) Cho hàm số y f ( x ) có lim f ( x) 1 và lim f ( x ) 1 . Khẳng định nào x . x . sau đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x 1 và x 1 . B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y 1 và y 1 . Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y A. y 2 .. Câu 3.. 1 . 4. C. y 1 .. B. y . 1 . 5. C. y 1 .. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y A. y . Câu 6.. B. y 4 .. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y A. y 1.. Câu 5.. C. x 1 .. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y A. y . Câu 4.. B. y 1 .. 1 . 2. B. y 1 .. C. y 1 .. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y . x2 là x 1 D. x 2 .. 4x 1 là x 1 D. y 1 .. 5x 1 là x 1 D. y 5 .. 2x 1 là: x 1 D. y 2 .. 3x 1 là: x 1. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(472)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 A. y . 3 Câu 7.. Câu 8.. Câu 9.. C. y 1 .. D. y 1 .. 2x 2 là x 1 A. x 2 . B. x 2 . C. x 1. D. x 1 . x 1 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là x3 A. x 3 . B. x 1 . C. x 1 . D. x 3 . (Mã 101 – 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y . (Mã 103 - 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. x 2 .. Câu 10.. B. y 3 .. B. x 1 .. C. x 1 .. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. x 1 .. B. x 1 .. 2x 2 là x 1 D. x 2 .. x 1 là x3. C. x 3 .. D. x 3 .. Câu 11. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số y f x có báng biến thiên như sau:. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Câu 12.. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2 . C. 4 .. D. 3 .. Câu 13. (Mã 101 - 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(473)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 14.. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 Câu 15.. (THPT - Yên Dịnh Thanh Hóa 2019) Cho hàm số có bảng biến thiên như hình sau. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x là B. 2 .. A. 3 . Câu 16.. C. 4 .. D. 1 .. (Đề Tham Khảo 2017) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?. B. 2. A. 3 Câu 17.. C. 4. D. 1. (Mã 104 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:. x. ∞. 0. +∞. 3. y'. 0. +. +∞. y. 3. 0 3 4. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 3. C. 4.. D. 2.. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(474)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 18.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là: A. 4 . B. 3 . C. 1. Câu 19.. D. 2 .. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Cho hàm số y f ( x ) có bảng biến thiên như sau. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 Câu 20.. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho đồ thị hàm số y f x như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? y. 1. 1. O. x. A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 0 , tiệm cận ngang y 1. B. Hàm số có hai cực trị. C. Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận. D. Hàm số đồng biến trong khoảng ; 0 và 0 ; . Câu 21. Cho hàmsố f ( x) có bảng biến thiên như sau. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 .. B. 1.. C. 3 .. D. 2 .. Câu 22. Cho hàm số y f ( x ) có bảng biến thiên như sau Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(475)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 . Câu 23.. B. 1.. C. 3 .. D. 2 .. (Sở Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 . Câu 24. Cho hàm số y f x liên tục trên \ 1 có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x . A. 1 . Câu 25.. B. 4 .. D. 3.. (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến như sau:. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là: A. 3 B. 1. Câu 26.. C. 2 .. C. 4.. D. 2.. (Thi thử cụm Vũng Tàu 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(476)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 . B. 2 . C. 3 .. D. 1 .. -------------------- HẾT --------------------. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(477)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ. Chuyên đề 6. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông hàm số cho trước 1 Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y f x có TXD: D Điều kiện cần: D phải chứa hoặc Điều kiện đủ: P ( x) Dạng 1. y f ( x) . Q ( x) Nếu degP x degQ x : thì không có tiệm cận ngang Nếu degP x degQ x : TCN y 0 Nếu degP x degQ x : y k (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu) Dạng 2: y f ( x) u v (hoặc. u v ): Nhân liên hợp y f ( x ) . u2 v (hoặc u v. u v ) u v. 2 Đường tiệm cận đứng P x Cho hàm số y có TXD: D Q x Đkiện cần: giải Q x 0 x x0 là TCĐ khi thỏa mãn đk đủ Đkiện đủ: Đkiện 1: x0 làm cho P( x) và Q ( x) xác định. Đkiện 2: - x0 không phải nghiêm P( x) x x0 là TCĐ - x0 là nghiêm P( x) x x0 là TCĐ nếu lim f ( x) x x0. Câu 1.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 5 x 2 4 x 1 y là x 2 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.. Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2018) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng? x 2 3x 2 x2 x A. y B. y 2 C. y x 2 1 D. y x 1 x 1 x 1. Câu 3.. (Mã 110 2017) Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y A. 2. Câu 4.. B. 3. (Mã 104 2017) Đồ thị hàm số y A. 3. Câu 6.. C. 0. D. 1. (Mã 123 2017) Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y A. 2. Câu 5.. B. 3. x2 5x 4 . x2 1. B. 1. C. 1. x2 có mấy tiệm cận. x2 4 C. 2. (Mã 101 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 1. B. 2. x 2 3x 4 x 2 16 D. 0. C. 0. D. 0. x 9 3 là x2 x. D. 3. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(478)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 7.. (Mã 102 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 2. Câu 8.. D. 1. 2 x 1 x2 x 3 . x2 5x 6 C. x 3 và x 2 . D. x 3 .. B. x 3 .. B. 2. B. 2. x 25 5 là x2 x. C. 0. D. 1. x 16 4 là x2 x. C. 1. D. 0. (Chuyên Sơn La 2019) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 3 .. Câu 13.. 5 x 1 x 1 có tất cả bao nhiêu x2 2x. C. 2. (Mã 104 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 3. Câu 12.. B. 0. (Mã 103 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 3. Câu 11.. D. 0. Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. x 3 và x 2 .. Câu 10.. C. 3. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Đồ thị hàm số y đường tiệm cận? A. 3. Câu 9.. B. 1. x4 2 là x2 x. B. 0 .. C. 1.. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Đồ thị hàm số f x cận đứng và tiệm cận ngang? A. 4 . B. 3 .. Câu 15.. B. 3. Câu 16.. x2 1. có tất cả bao nhiêu tiệm. D. 2 .. C. 2. (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm số y bao nhiêu đường tiệm cận? A. 4 . B. 5 .. x 1. C. 1 .. Câu 14. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y A. 1. x42 là x2 x D. 2 .. x 4x 6 2 x2 D. 4. x2 2x 3 x 4 3x2 2. C. 3 .. là?. . Đồ thị hàm số đã cho có D. 6 .. x x2 x 1 có bao nhiêu đường tiệm cận? x3 x C. 2 D. 4. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Hàm số y A. 1. B. 3. Câu 17.. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị x 2 1 hàm số y 2 là x 3x 2 A. 4 B. 1 C. 3 D. 2. Câu 18.. (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y . 5 x 2 6 x 12 có đồ thị C . Mệnh 4 x3 3 x 1. đề nào sau đây là đúng? A. Đồ thị C của hàm số không có tiệm cận. B. Đồ thị C của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang y 0 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(479)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 C. Đồ thị C của hàm số có một tiệm cận ngang y 0 và hai tiệm cận đứng x 1; x . 2 D. Đồ thị C của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang y 0 và một tiện cận đứng x 1 Câu 19.. 2 x x2 x có tất cả bao nhiêu 3x 1. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Đồ thị hàm số y đường tiệm cận? A. 2 .. B. 3 .. C. 0 .. D. 1 .. 1 4 x 2 có số đường tiệm cận đứng là m và số đường tiệm cận ngang là x2 2 x 3 n . Giá trị của m n là A. 1 B. 2 C. 3 D. 0. Câu 20. Đồ thị hàm số y . Câu 21. Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y. 1 x . Khẳng định nào sau đây là đúng? x 1 x. B. n d 1 .. A. n 0, d 2 . Câu 22.. (Chuyên Long An-2019) Đồ thị hàm số y B. 1 .. A. 0 . Câu 23.. D. n 0, d 1 .. 5x 1 x 1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? x2 2 x C. 2 . D. 3 . x 1 . 4 3x 1 3x 5 D. 0 .. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y A. 2 .. Câu 24. Cho hàm số y A. 4 . Câu 25.. C. n 1, d 2 .. C. 1.. B. 3 . x2 2 x 3 x 4 3x 2 2 B. 5 .. . Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? C. 3 .. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Đồ thị hàm số y cận? A. 2.. Câu 26. Đồ thị hàm số y A. 1.. B. 4.. D. 6 .. 5x 8 x2 3x. C. 1.. có bao nhiêu đường tiệm D. 3.. 4 x2 2 x 1 x có bao nhiêu đường tiệm cận? x 1 B. 0 . C. 2 .. D. 3 .. Dạng 2. Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện cho trước 1 Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y f x có TXD: D Điều kiện cần: D phải chứa hoặc Điều kiện đủ: P( x) Dạng 1. y f ( x) . Q( x) Nếu degP x degQ x : thì không có tiệm cận ngang Nếu degP x degQ x : TCN y 0 Nếu degP x degQ x : y k (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu) Dạng 2: y f ( x) u v (hoặc. u v ): Nhân liên hợp y f ( x) . u2 v (hoặc u v. uv ) u v. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(480)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 2 Đường tiệm cận đứng P x Cho hàm số y có TXD: D Q x Đkiện cần: giải Q x 0 x x0 là TCĐ khi thỏa mãn đk đủ Đkiện đủ: Đkiện 1: x0 làm cho P( x) và Q ( x) xác định. Đkiện 2: - x0 không phải nghiêm P( x) x x0 là TCĐ - x0 là nghiêm P( x) x x0 là TCĐ nếu lim f ( x) x x0. Câu 1.. (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số x 1 y có hai tiệm cận ngang mx 2 1 A. m 0 B. m 0 C. m 0 D. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 2.. (Chuyên KHTN - 2020) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số x2 có hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của S là y 2 x 6 x 2m A. vô số. B. 12 . C. 14 . D. 13 .. Câu 3.. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số x 1 m để đồ thị hàm số y 2 có 3 đường tiệm cận? x 8x m A. 14 . B. 8 . C. 15 . D. 16 .. Câu 4.. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số y . x 3 . Có bao nhiêu x 3mx 2m 2 1 x m 3. 2. giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2020; 2020 để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận? A. 4039. Câu 5.. B. 4040.. C. 4038.. D. 4037.. (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu số nguyên của m thuộc đoạn 100;100 để đồ. 1. thị hàm số y . x m A. 200.. 2 x x2 B. 2.. có đúng hai đường tiệm cân? C. 199.. D. 0.. Câu 6.. (HSG Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số x2 m có đúng hai đường tiệm cận. y 2 x 3x 2 A. m 1 B. m{1;4} C. m 4 D. m { 1; 4}. Câu 7.. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm 6x 3 số y có đúng một đường tiệm cận? 2 mx 6 x 3 9 x 2 6mx 1 A. 0 .. Câu 8.. B. 2 .. C. 1.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x . D. Vô số. x 1 . Tìm tất cả các giá x 2 mx 4 2. trị của tham số m để đồ thị có ba đường tiệm cận. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(481)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m 2 B. 5 m 2. A. m 2. m 2 m 2 C. 5 m 2. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Biết rằng đồ thị của hàm số y . m 2 D. m2. n 3 x n 2017. Câu 9.. ( m , n là các số xm3 thực) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung là tiệm cận đứng. Tính tổng m n . A. 0 B. 3 C. 3 D. 6. Câu 10.. (Sở Vĩnh Phúc 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số x 1 y có đúng bốn đường tiệm cận? mx 2 8 x 2 A. 8 B. 6 C. 7 D. Vô số. Câu 11.. (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Với giá trị nào của hàm số m để đồ thị hàm số. y x mx 2 3x 7 có tiệm cạn ngang. A. m 1 B. m 1 Câu 12. Cho hàm số y . C. m 1. D. Không có m. ax 1 1 . Tìm a, b để đồ thị hàm số có x 1 là tiệm cận đứng và y là tiệm bx 2 2. cận ngang. A. a 1; b 2 .. B. a 4; b 4 .. C. a 1; b 2 .. D. a 1; b 2 .. Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên m 10;10 sao cho đồ thị hàm số y đường tiệm cận đứng? A. 19 .. B. 15 .. C. 17 .. x 1 có hai 2 x2 6 x m 3. D. 18.. Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số mx 2 3 mx 4 bằng 3? x2. y. A. 4 . Câu 15.. B. 2 .. C. Vô số.. D. 3 .. (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Tổng các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số x 1 y 2 có đúng một tiệm cận đứng. x 2 m 1 x m2 2 A. . 1 . 2. Câu 16. Cho hàm số y . B. 2 .. C. 3 .. D.. 3 . 2. x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 6;6 của x 3mx 2m 2 1 x m 3. 2. tham số m để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận? A. 12 . B. 9 . C. 8 .. D. 11 .. Câu 17.. (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số 2 x 2 3x m không có tiệm cận đứng. y xm A. m 1 . B. m 1 . C. m 1 và m 0 . D. m 0 .. Câu 18.. (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn x2 có hai tiệm cận đứng. 2017; 2017 để đồ thị hàm số y 2 x 4x m A. 2019 . B. 2021 . C. 2018 . D. 2020 . Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(482)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 19.. (THPT. Quỳnh. Lưu-. Nghệ. An-. 2019). Cho. hàm. số. y f (x ). thỏa. mãn. lim f (x ) 2019m , lim f (x ) 2020m (với m là tham số thực). Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị 4. x . x . của m để đồ thị của hàm số y f (x ) có duy nhất một tiệm cận ngang? A. 4. B. 2. C. 3. D. 1. Câu 20.. Câu 21.. 1 . x 2m 1 x 2m x m Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận. 0 m 1 m 1 0 m 1 A. B. C. m 1 . D. 1 . 1. 1 . m 2 m 2 m 2. (THPT Hai Bà Trưng - Huế - Lần 1- 2019) Cho hàm số y . 2. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm 6x 3 số y có đúng 1 đường tiệm cận? 2 mx 6 x 3 9 x 2 6mx 1 A. 0.. B. 2.. C. 1.. D. Vô số.. Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số: y x mx 2 1 có tiệm cận ngang. A. 0 m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1. Câu 23.. Câu 24.. x2 . Có tất cả bao nhiêu mx 2 x 4 giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận ( tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)? A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1.. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y . 2. (HSG Sở Nam Định-2019) Gọi S là tập các giá trị nguyên của m sao cho đồ thị hàm số 2019 x có bốn đường tiệm cận (bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang). Tính số y 17 x 2 1 m x phần tử của tập S. A. Vô số B. 3 C. 5 D. 4. Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số x f ( x) nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó tổng các phần 3 3 4 x mx 1 x x 1 m2 x tử của S bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Câu 26.. (Trường THPT Thăng Long Lần 2019) Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng x ( x m ) 1 có đúng ba đường tiệm cận? 10;10 để đồ thị hàm số y x2 A. 12 . B. 11 . C. 0 . D. 10 .. Câu 27. Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn 2019; 2019 của tham số m để đồ thị hàm số y có đúng hai đường tiệm cận. A. 2007 . B. 2010 . Câu 28.. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y hàm số có đúng hai đường tiệm cận. A. 2 B. 3. C. 2009 .. x3 x2 x m. D. 2008 .. x 1 . Có tất cả bao nhiêu giá trị m để đồ thị mx 2 x 3 2. C. 0. D. 1. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(483)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1. với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm x3 3x 2 m 1 số đã cho có 4 đường thẳng tiệm cận. A. 1 m 5 . B. 1 m 2 . C. m 1 hoặc m 5 . D. m 2 hoặc m 1 .. Câu 29. Cho hàm số y . Câu 30. Hàm số y A.. 3 x 1 ax b. x 1. 1 . 2. 2. không có tiệm cận đứng. Khi đó hiệu a b bằng:. 3 B. . 4. 5 C. . 4. Câu 31. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham để m đồ thị hàm số y tiệm cận đứng? A. vô số.. B. 2 .. C. 2017. 1 D. . 2 x 2 2016 x 2017 24 7 có xm. D. 2019 .. Câu 32. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số x f ( x) nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó tổng các phần 3 3 4 x mx 1 x x 1 m2 x tử của S bằng 1 1 1 1 B. . C. . D. . A. . 2 2 3 3 Câu 33.. (THPT Thăng Long 2019) Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng 10;10 để đồ thị hàm số y A. 12 .. x ( x m ) 1 có đúng ba đường tiệm cận? x2 B. 11 . C. 0 .. D. 10 .. Câu 34. (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm. mx 2 1 có đúng một đường tiệm cận. x 1 A. 1 m 0 . B. 1 m 0 . C. m 1 . số y . D. m 0 .. -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(484)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(485)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ. Chuyên đề 6. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng. Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số g khi biết bảng biến thiên hàm số f(x) Câu 1.. (THPT Lương Văn Can - 2018) Cho đồ thị hàm số y f x . 3x 1 . Khi đó đường thẳng nào x 1. 1 ? f x 2 C. x 1 .. sau đây là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. x 1 . Câu 2.. B. x 2 .. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 1 . Câu 3.. D. x 2 .. B. 2 .. 2019 là f x 1. C. 3 .. D. 4 .. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số f x xác định và liên tục trên \ 1 có bảng biến thiên như sau:. Hỏi đồ thị hàm số y ngang? A. 4 . Câu 4.. B. 3 .. 1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận f x C. 2 .. D. 1.. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y f x thỏa mãn lim f x 1 và lim f x m . x . x . 1 Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y có duy nhất một tiệm cận f x 2 ngang. A. 1. B. 0 . C. 2 . D. Vô số.. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(486)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 5.. (Kim Liên - Hà Nội 2019) Cho hàm số y f ( x ) thỏa mãn f (tan x ) cos 4 x . Tìm tất cả các giá 2019 trị thực của m để đồ thị hàm số g ( x) có hai tiệm cận đứng. f ( x) m A. m 0 . B. 0 m 1 . C. m 0 . D. m 1 .. Câu 6.. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên dưới:. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 4 . Câu 7.. B. 3 .. C. 1.. 1 là: 2 f x 1 D. 2 .. (Bình Giang-Hải Dương -2019) Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên \ 1 và có bảng biến thiên như sau:. 1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f x 3 A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. (Chuyên Thoại Ngọc Hầu 2018) Cho hàm số y f x liên tục trên \ 1 và có bảng biến thiên như sau: Đồ thị y . Câu 8.. Đồ thị hàm số y A. 0 . Câu 9.. 1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f x 5 B. 4 .. C. 2 .. D. 1.. (Chuyên Hưng Yên 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây.. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(487)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 0. Câu 10.. B. 1.. (THPT Bạch Dằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số. x y. 2. 4 x 3 x 2 x. x f 2 x 2 f x . B. 3 .. A. 2 . Câu 11.. có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?. C. 4 .. D. 6 .. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số g x . A. 2 . Câu 12.. C. 2.. 1 là 2 f x 1 D. 3.. x. 2. 3x 2 x 1. x f 2 x f x . có bao nhiêu tiệm cận đứng?. C. 3 .. B. 4 .. D. 5 .. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hàm số bậc ba f x ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ sau.. Hỏi đồ thị hàm số g x A. 5 . Câu 13.. x. 2. 3x 2 x 1. x 1 f 2 x f x B. 4 .. có bao nhiêu tiệm cận đứng? C. 6 .. D. 3 .. (THPT Thuận Thành 3 - Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f ( x) là hàm số đa thức có đồ thì như hình vẽ dưới đây, đặt g x . x2 x . Hỏi đồ thị hàm số y g x có bao nhiêu tiệm f 2 x 2 f x. cận đứng?. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(488)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 5 . Câu 14.. B. 3 .. C. 4 .. D. 2 .. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên dưới.. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 2. Câu 15.. C. 3.. D. 1. 3. 2. (THPT Minh Khai 2020) Cho hàm số y f x ax bx cx d có đồ thị như bên dưới.. Hỏi đồ thị hàm số y A. 4 . Câu 16.. B. 4.. 1 là f x x 3 3. x. 2. 2x 2 x. x 3 f 2 x f x B. 6 .. có bao nhiêu đường tiệm cận đứng C. 3 .. D. 5 .. (Yên Phong 1 - 2018) Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d , a 0 có đồ thị như hình dưới đây.. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(489)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hỏi đồ thị hàm số g x A. 2 . Câu 17.. f x. x 1. 2. x. 2. 4 x 3. có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? C. 3 .. B. 1.. D. 4 .. (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số trùng phương y ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y . A. 5.. x2 4 x2 2 x f x 2 f x 3 . B. 2.. 2. có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng?. C. 3.. D. 4.. -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(490)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. TIỆM CẬN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ. Chuyên đề 6. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng. Xác định đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên, đồ thị 1.1.1 Đường tiệm cận ngang. . . . Cho hàm số y f (x ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng a; , ;b hoặc. ; ). Đường thẳng y y. 0. là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm. số y f (x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x ) y 0 , lim f (x ) y 0 x . x . 1.1.2 Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x x 0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:. lim f (x ) , lim f (x ) , lim f ( x) , lim f ( x) . x x 0. x x 0. x x0. Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y là y Câu 1.. x x0. ax b cx d. c 0; ad bc 0 luôn có tiệm cận ngang. a d và tiệm cận đứng x . c c. (Đề Minh Họa 2017) Cho hàm số y f ( x ) có lim f ( x) 1 và lim f ( x ) 1 . Khẳng định nào x . x . sau đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x 1 và x 1 . B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y 1 và y 1 . Lời giải Chọn D Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chọn đáp án D. Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y A. y 2 .. B. y 1 .. C. x 1 .. x2 là x 1 D. x 2 .. Lời giải Chọn B. x2 x2 1 và lim 1 x x 1 x x 1 Suy ra y 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Ta có lim. Câu 3.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y A. y . 1 . 4. B. y 4 .. C. y 1 .. 4x 1 là x 1 D. y 1 .. Lời giải Chọn. B.. Tiệm cận ngang lim y lim y x . x . 4 4 1. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(491)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 4.. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y A. y 1.. B. y . 1 . 5. 5x 1 là x 1. C. y 1 .. D. y 5 .. Lời giải Chọn D 5x 1 y lim 5 xlim x x 1 Ta có y 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. lim y lim 5 x 1 5 x x 1 x Câu 5.. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y A. y . 1 . 2. B. y 1 .. 2x 1 là: x 1. C. y 1.. D. y 2 .. Lời giải Chọn D 1 2x 1 x 2 . Suy ra đồ thị hàm số có tiệmcận ngang là y 2 . Ta có lim lim x x 1 x 1 1 x 2. Câu 6.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y . 1 A. y . 3. B. y 3 .. 3x 1 là: x 1. C. y 1 .. D. y 1 .. Lời giải Chọn B. 3x 1 3x 1 3 và lim y lim 3 nên y 3 là tiệm cận ngang của đồ thị x x 1 x x x 1. Ta có : lim y lim x . hàm số. Câu 7.. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. x 2 .. B. x 2 .. C. x 1. Lời giải. 2x 2 là x 1 D. x 1 .. Chọn C Tập xác định D \ 1 . Ta có lim y ; lim y , suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là x 1 . x 1. Câu 8.. x 1. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. x 3 .. B. x 1 .. C. x 1 .. x 1 là x3. D. x 3 .. Lời giải. Chọn D lim. x 3. x 1 . Suy ta tiệm cận đứng là đường thẳng x 3 . x3. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(492)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 9.. Câu 10.. 2x 2 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là x 1 A. x 2 . B. x 1 . C. x 1 . D. x 2 . Lời giải Chọn C 2x 2 2x 2 và lim y lim nên đường thẳng x 1 là Ta có lim y lim x 1 x1 x 1 x 1 x 1 x 1 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. x 1 .. B. x 1 .. x 1 là x3. C. x 3 . Lời giải. D. x 3 .. Chọn C Ta có lim y và lim y nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x 3 làm tiệm cận x 3. x 3. đứng.. Câu 11. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số y f x có báng biến thiên như sau:. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn B Nhìn bảng biến thiên ta thấy x=0 hàm số không xác định nên x=0 là TCĐ của đồ thị hàm số lim f x 3 y 3 là TCN của đồ thị hàm số x . lim f x 1 y 1 là TCN của đồ thị hàm số. x . Vậy hàm số có 3 tiệm cận Câu 12.. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2 . C. 4 . Lời giải Chọn B Từ bảng biến thiên đã cho ta có :. D. 3 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(493)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. lim f x 0 nên đường thẳng y 0 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.. x. lim f x nên đường thẳng x 0 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.. x0. Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận. Câu 13. (Mã 101 - 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D Hàm số y f x có tập xác định: D \ 0 . Ta có: lim f x Không tồn tại tiệm cận ngang khi x . x . lim f x 2 vậy hàm số y f x có tiệm cận ngang y 2.. x . lim f x ; lim f x 4.. x 0. x 0. Đồ thị hàm số y f x có tiệm cận đứng x 0. Vậy tổng số tiệm cận đứng và ngang là 2. Câu 14.. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 Lời giải Chọn A Từ bảng biến thiên ta có: lim y nên đường thẳng x 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x 1. lim y 2, lim y 5 nên đường thẳng y 2 và y 5 là các đường tiệm cận ngang của đồ thị. x . x . hàm số Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là 3 Câu 15.. (THPT - Yên Dịnh Thanh Hóa 2019) Cho hàm số có bảng biến thiên như hình sau. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(494)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x là B. 2 .. A. 3 .. C. 4 .. D. 1 .. Lời giải Vì lim y 4, lim y 1 Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y 1 và y 4 . x . x . lim y , lim y Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 .. x 1. x 1. lim y , lim y Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 .. x 1. x 1. Nên đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận. Câu 16.. (Đề Tham Khảo 2017) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?. A. 3. B. 2. C. 4 Lời giải. D. 1. Chọn A Dựa vào bảng biến thiên ta có :. lim f x , suy ra đường thẳng x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.. x 2. lim f x , suy ra đường thẳng x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.. x 0. lim f x 0 , suy ra đường thẳng y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.. x . Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Câu 17.. (Mã 104 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(495)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x. ∞. 0. +∞. 3. y'. 0. +. +∞. y. 3. 0 3 4. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Lời giải Chọn B Ta có lim f x 3 và lim f x 0 nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là các đường thẳng x . x . có phương trình y 3 và y 0. Và lim f x nên hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình x 0. x0. Câu 18.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là: A. 4 . B. 3 . C. 1. Lời giải lim f x 3 ta được tiệm cận ngang y 3. D. 2 .. x . lim f x ta được tiệm cận đứng x 2. x 2. Câu 19.. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Cho hàm số y f ( x ) có bảng biến thiên như sau. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 Lời giải Từ bảng biến thiên ta có: + Tiệm cận ngang y 5 + Tiệm cận đứng x 2. Câu 20.. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho đồ thị hàm số y f x như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(496)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 y. 1. 1. O. x. A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 0 , tiệm cận ngang y 1. B. Hàm số có hai cực trị. C. Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận. D. Hàm số đồng biến trong khoảng ; 0 và 0 ; . Câu 21. Cho hàmsố f ( x) có bảng biến thiên như sau. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 .. B. 1.. C. 3 . Lời giải. D. 2 .. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có: lim f ( x ) 0 y 0 là một tiệm cận ngang x . lim f ( x ) 5 y 5 là một tiệm cận ngang. x . lim f ( x ) x 1 là một tiệm cận đứng. x 1. Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là 3. Câu 22. Cho hàm số y f ( x ) có bảng biến thiên như sau. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 .. B. 1.. C. 3 . Lời giải. D. 2 .. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có: Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(497)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. lim f ( x ) 2 y 2 là một tiệm cận ngang. x . lim f ( x ) x 1 là một tiệm cận đứng. x 1. Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là 2 . Câu 23.. (Sở Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 . Lời giải Ta có lim y x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. x 2. lim y x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.. x 0. lim y 0 y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.. x . Vậy đồ thị hàm số đã cho có tổng đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 3 . Câu 24. Cho hàm số y f x liên tục trên \ 1 có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x . A. 1 .. B. 4 .. C. 2 . Lời giải. D. 3.. Chọn D Do lim y ; lim TCĐ: x 1. x 1. x 1. lim y 1; lim y 1 đồ thị có 2 tiệm cận ngang là y 1. x . x . Vậy, đồ thị hàm số đã cho có tổng số TCĐ và TCN là 3. Câu 25.. (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến như sau:. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(498)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là: A. 3 B. 1.. C. 4. Lời giải. D. 2.. Chọn A Từ bảng biến thiên của hàm số ta có: + lim y 0; lim y 0 đồ thị hàm số nhận đường thẳng y 0 là tiệm cận ngang. x. x. + lim y ; lim đồ thị hàm số nhận đường thẳng x 3 là tiệm cận đứng. x3. x3. + lim y ; lim đồ thị hàm số nhận đường thẳng x 3 là tiệm cận đứng. x3. x 3. Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 3. Câu 26.. (Thi thử cụm Vũng Tàu 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 . B. 2 . C. 3 . Lời giải Chọn C Ta có:. D. 1 .. lim f ( x ) 0 nên đường thẳng y 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x .. x . lim f ( x ) nên đồ thị hàm số y f x không có tiệm cận ngang khi x .. x . lim f ( x ) ,. x 2 . lim f ( x ) nên đường thẳng x 2 là đường tiệm cận đứng của đồ. x 2 . thị hàm số y f x . lim f ( x ) , lim f ( x ) nên đường thẳng x 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị. x 2. x 2. hàm số y f x . Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 3 tiệm cận. -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(499)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. TIỆM CẬN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ. Chuyên đề 6. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông hàm số cho trước 1 Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y f x có TXD: D Điều kiện cần: D phải chứa hoặc Điều kiện đủ: P ( x) Dạng 1. y f ( x) . Q ( x) Nếu degP x degQ x : thì không có tiệm cận ngang Nếu degP x degQ x : TCN y 0 Nếu degP x degQ x : y k (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu) Dạng 2: y f ( x) u v (hoặc. u v ): Nhân liên hợp y f ( x ) . u2 v (hoặc u v. u v ) u v. 2 Đường tiệm cận đứng P x Cho hàm số y có TXD: D Q x Đkiện cần: giải Q x 0 x x0 là TCĐ khi thỏa mãn đk đủ Đkiện đủ: Đkiện 1: x0 làm cho P( x) và Q ( x) xác định. Đkiện 2: - x0 không phải nghiêm P( x) x x0 là TCĐ - x0 là nghiêm P( x) x x0 là TCĐ nếu lim f ( x) x x0. Câu 1.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 5 x 2 4 x 1 là x 2 1 A. 0. y. B. 1.. C. 2. Lời giải. D. 3.. Chọn C Tiệm cận ngang: Ta có: lim y lim x. x. 5x2 4 x 1 x2 1. 4 1 4 1 x2 5 2 5 2 x x x x lim lim 5 nên đồ thị hàm 1 1 x x 2 1 2 x 1 2 x x . số có một tiệm cận ngang y 5 . Tiệm cận đứng: x 1 Cho x 2 1 x 1. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(500)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có: lim y lim x1. 5x2 4 x 1 2. x 1. x 1. 5 x 1 x 1 lim 5 x 1 6 3 nên x1 x 1 x 1 x 1 x 1 2. lim. x 1 không là tiệm. cận đứng.. lim y lim x 1 x 1. 5x2 4 x 1 x2 1. 1 5x2 4 x 1 5x2 4 x 1 lim lim . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1. 1 xlim 1 x 1 vì . 2 5 x 4 x 1 lim 4 0 x 1 x 1 Khi đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x 1 . Tổng cộng đồ thị hàm số có 2 tiệm cận. Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2018) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng? A. y . x 2 3x 2 x 1. B. y . x2 x2 1. C. y . x2 1. D. y . x x 1. Lời giải Chọn D Ta có lim x 1. x x , lim nên đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm x 1 x 1 x 1. số. Câu 3.. (Mã 110 2017) Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y B. 3. A. 2. x2 5x 4 . x2 1. C. 0 Lời giải. D. 1. Chọn A Tập xác định: D \ 1 2. Ta có: lim y lim x . x . x 5x 4 lim x x2 1. 5 4 x x 2 1 y 1 là đường tiệm cận ngang. 1 1 2 x. 1. Mặc khác: lim y lim x 1. x 1. x 1 x 4 lim x 4 3 x2 5x 4 lim 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x1 x 1. x 1 không là đường tiệm cận đứng. lim y lim . x 1 x 4 lim x 4 x2 5x 4 lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1. lim y lim . x 1 x 4 lim x 4 x2 5x 4 lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1. x 1. x 1. x 1. x 1. x 1 là đường tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận Câu 4.. (Mã 123 2017) Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y A. 2. B. 3. C. 1 Lời giải. x 2 3x 4 x 2 16 D. 0. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(501)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chọn C. x 2 3x 4 x 1 (với điều kiện xác định), do đó đồ thị hàm có 1 tiệm cận đứng. x4 x 2 16. Ta có y Câu 5.. (Mã 104 2017) Đồ thị hàm số y B. 1. A. 3. x2 có mấy tiệm cận. x2 4 C. 2 Lời giải. D. 0. Chọn C Ta có x 2 4 0 x 2 x2 1 lim 2 nên đường thẳng x 2 không phải là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số. x 2 x 4 4 1 1 x2 x2 lim 2 lim , lim 2 lim , nên đường thẳng x 2 là x 2 x 4 x 2 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 tiệm cân đứng của đồ thị hàm số. x2 lim 0 nên đường thẳng y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x x 2 4 Vậy có đồ thị có hai đường tiệm cận.. Câu 6.. (Mã 101 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 1. B. 2. x9 3 là x2 x. C. 0 Lời giải. D. 3. Chọn A Tập xác định của hàm số: D 9; \ 0; 1 Ta có: lim y x 1. lim . x 1. x 9 3 và lim y lim x 1 x 1 x2 x. x 9 3 . x2 x. TCĐ: x 1 .. lim y lim. x 9 3 x 1 1 lim lim . 2 2 x0 x x x x x 9 3 x0 x 1 x 9 3 6. lim y lim. x9 3 1 x 1 . lim lim 2 2 x 0 x 0 x x x 1 x 9 3 6 x x x 9 3. x 0. x 0. x 0. . x 0. . . . . . . . . x 0 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng. Câu 7.. (Mã 102 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 2. B. 1. x4 2 là x2 x. C. 3 Lời giải. D. 0. Chọn B Tập xác định của hàm số: D 4; \ 0; 1 Ta có: lim y x 0. 1 . 4. lim y lim . x 1. x 1. x4 2 và lim y lim x 1 x 1 x2 x. x4 2 x2 x. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(502)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. TCĐ: x 1 . Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng. Câu 8.. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Đồ thị hàm số y đường tiệm cận? A. 3. B. 0. 5 x 1 x 1 có tất cả bao nhiêu x2 2x. C. 2 Lời giải. D. 1. Chọn D Tập xác định: D 1; \ 0 . 5 1 1 1 3 4 5 x 1 x 1 x x2 x x lim 0 y 0 là đường tiệm cận ngang lim y lim x x x 2 x2 2 x 1 x. của đồ thị hàm số.. 5 x 1 x 1 5 x 1 x 1 25 x 2 9 x lim lim x 0 x 2 2 x 5 x 1 x 1 x 0 x 0 x 2 2 x 5 x 1 x 1 x2 2x 2. lim y lim x0. lim. x 0. . 25 x 9. x 25 x 1 x 1. . . . . 9 4. x 0 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.. Vậy đồ thị hàm số có tất cả 1 đường tiệm cận. Câu 9.. 2 x 1 x2 x 3 . x2 5x 6 C. x 3 và x 2 . D. x 3 . Lời giải. Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. x 3 và x 2 .. B. x 3 .. Chọn B Tập xác định D \ 2;3 2. 2 x 1 x 2 x 3 2x 1 x2 x 3 lim lim x 2 x 2 x2 5x 6 x2 5x 6 2 x 1 x2 x 3. . lim x2. lim x2. 2 x 1. x. 2. 2. . x 2 x 3. . 5x 6 2 x 1 x2 x 3 (3 x 1). x 3 2 x 1 . 2. x x3. . . . 7 6. 2 x 1 x2 x 3 7 . Suy ra đường thẳng x 2 không là tiệm cận đứng của 2 x 2 x 5x 6 6 đồ thị hàm số đã cho. Tương tự lim. 2 x 1 x2 x 3 2 x 1 x2 x 3 ; lim . Suy ra đường thẳng x 3 là tiệm cận x 3 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 đứng của đồ thị hàm số đã cho. lim. Câu 10.. (Mã 103 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y . x 25 5 là x2 x. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(503)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 3. C. 0 Lời giải. B. 2. D. 1. Chọn D Tập xác định D 25; \ 1;0 . Biến đổi f ( x) Vì lim y lim x 1. Câu 11.. x 1. 1. x 1 . x 25 5. . 1. x 1 . . .. nên đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng x 1 .. (Mã 104 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 3. x 25 5. B. 2. x 16 4 là x2 x. C. 1 Lời giải. D. 0. Chọn C Tập xác định hàm số D 16; \ 1;0 . Ta có. x 16 4 x lim lim x 0 x 0 x 1 x x x 1 x 16 4 x 1. lim y lim x 0. . x 0. lim y lim . x 1. x 1. vì lim x 1. . . x 16 4 lim x 1 x x 1 x 1. . 1. . x 16 4. 1. . 1 . x 16 4 8. . .. . . x 16 4 15 4 0 , lim x 1 0 và x 1 thì x 1 x 1 0 . x 1. Tương tự lim y lim x 1. x 1. 1. x 1 . x 16 4. . .. Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x 1 . Câu 12.. (Chuyên Sơn La 2019) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 3 .. C. 1.. B. 0 .. x42 là x2 x D. 2 .. Lời giải TXĐ: D 4; \ 1;0 . Ta có: lim y lim x 1. x 1. x4 2 x2 x. Nên đường thẳng x 1 là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. lim y lim x 0. x0. x4 2 lim x0 x2 x. . x4 2 x x 1. . . x4 2. x42. . lim x 0. 1. x 1 . x42. . . 1 4. Nên đường thẳng x 0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Vậy đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng x 1 .. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(504)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 13.. x 1. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Đồ thị hàm số f x . x2 1. cận đứng và tiệm cận ngang? A. 4 . B. 3 .. C. 1 . Lờigiải Tập xác định của hàm số D ; 1 1; x 1. TH1: x 1 x 1 0 . Khi đó f x . D. 2 .. 2. x 1 x 1 x 1 . . 2. x 1. có tất cả bao nhiêu tiệm. . x 1 . x 1. Suy ra hàm số TCN y 1 , không có TCĐ. TH2: x 1 x 1 0 . Khi đó f x . x 1 2. 2. . x 1. x 1 x 1 x 1. . x 1 . x 1. Suy ra hàm số TCN y 1 , TCĐ x 1 . Vậy hàm số có 2 TCN và 1 TCN Câu 14. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y B. 3. A. 1. C. 2 Lời giải. x 4x 6 2 x2 D. 4. là?. Chọn C x 4x 6 2. lim. x2. x . lim. lim. x2. 6 2 x x 2 2 1 x. 4 lim. x . x 4x 6 2. x 2. lim. x . x 4x 6 2. x . 6 2 x x 2 2 1 x. 4. x2. lim x 2. x 2 4 x 2 lim x 2 x 4 x 6 2 x2. . 4x 2 x 4x 6 2. . 5 2. Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang y 2 . Câu 15.. (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm số y bao nhiêu đường tiệm cận? A. 4 . B. 5 .. . . Điều kiện: x ; 2 1;1 . Do lim y lim y lim x . x . x . x2 2x 3 x 4 3x2 2. C. 3 . Lời giải. . . Đồ thị hàm số đã cho có. D. 6 .. . 2; .. 2 3 x x 2 1 y 1 là đường tiệm cận ngang lim x 4 3 x 2 2 x 1 3 2 x2 x4. x2 2 x 3. 1. của đồ thị hàm số. Có lim y nên đường thẳng x 1 là đường tiệm cận đứng. x 1. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(505)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Có. lim y lim . x 1. x 1. x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x . 2. . lim x 1. . x. x 1 x 2 2 x 1 x . 2. . 0. nên. đường thẳng x 1 không là đường tiệm cận đứng. Có lim y nên đường thẳng x 2 là đường tiệm cận đứng. x 2 Có. lim y nên đường thẳng x 2 là đường tiệm cận đứng. . x 2. Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận ( 1 tiệm cận ngang, 3 tiệm cận đứng). Câu 16.. x x2 x 1 có bao nhiêu đường tiệm cận? x3 x C. 2 D. 4 Lời giải. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Hàm số y B. 3. A. 1 Chọn C TXĐ: D \ 0. 1 1 1 1 x 1 1 2 1 1 1 2 x x x x 0 lim . lim y lim 2 x x x 1 1 x 1 2 x 3 1 2 x x 1 1 1 1 x 1 1 2 1 1 2 x x 1 x x 0 lim y lim lim 2 . x x x x 1 1 3 1 2 x 1 2 x x TCN: y 0 lim y TCĐ: x 0 .. x 0. Câu 17.. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y A. 4. x 2 1 là x 3x 2 B. 1 2. C. 3 Lời giải. D. 2. Chọn D. x 2 0 x 2 x2 Đkxđ: 2 x 3x 2 0 x 2, x 1 x 2 1 Ta có: lim 2 nên đường thẳng x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x2 x 3x 2 x 2 1 lim 2 0 nên đường thẳng y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x x 3 x 2 . Câu 18.. (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y . 5 x 2 6 x 12 có đồ thị C . Mệnh 4 x3 3x 1. đề nào sau đây là đúng? A. Đồ thị C của hàm số không có tiệm cận. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(506)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. B. Đồ thị C của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang y 0 .. 1 C. Đồ thị C của hàm số có một tiệm cận ngang y 0 và hai tiệm cận đứng x 1; x . 2 D. Đồ thị C của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang y 0 và một tiện cận đứng x 1 Lời giải Chọn D 1 TXĐ: D R \1; 2 Ta có: lim y ; lim y Đồ thị hàm số có một TCĐ là x 1 x1. x1. lim y 0 Đồ thị hàm số có một TCN là y 0. x. Câu 19.. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Đồ thị hàm số y đường tiệm cận? A. 2 .. B. 3 .. C. 0 . Lời giải. 2 x x2 x có tất cả bao nhiêu 3x 1. D. 1 .. Chọn A Xét hàm số y . 2 x x2 x 1 có tập xác định D ;0 1; \ . 3x 1 3. Ta có. 1 3x 2 x x 2 x x2 x ; lim lim 1 1 2 2 3x 1 x 3 x 1 2 x x 2 x x x x 4 x x 3 3 3 lim1. lim. x 0. . . 2 x x2 x 2x x2 x 1 0 và lim nên đồ thị không có tiệm cận đứng. x 1 3x 1 3x 1 2. 2 x x2 x lim lim 1 x 3x 1 x . 1 1 2 1 x lim x 1, 1 1 3x 1 3 x 3 3 x. 2x x 1 . 3. 2 x x2 x và lim lim 1 x 3x 1 x . 3. 1 1 2 1 x lim x 1 nên đồ thị có hai tiệm cận ngang là 1 1 3x 1 x 3 3 x. 2x x 1 . 1 và y 1 . 3 Vậy đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận. y. 1 4 x 2 có số đường tiệm cận đứng là m và số đường tiệm cận ngang là x2 2 x 3 n . Giá trị của m n là A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Lời giải Chọn A D 2; 2 \ 1. Câu 20. Đồ thị hàm số y . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(507)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 4 x 1 4 x ; lim y lim 2 2 x 1 x 1 x 2 x 3 x1 x1 x 2 x 3 x 1 là tiệm cận đứng. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang. Vậy m n 1 . 2. lim y lim . 2. Câu 21. Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y. 1 x . Khẳng định nào sau đây là đúng? x 1 x. B. n d 1 .. A. n 0, d 2 .. C. n 1, d 2 .. D. n 0, d 1 .. Lời giải Chọn A Tập xác định: D 0;1 . Từ tập xác định suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. n 0 . +) lim y lim x 0. x 0. +) lim y lim x 1. x1. 1 x 1 lim x 1 x x0 1 x x. 1 x 1 lim x 1 1 x x x 1 x. Suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng, d 2 . Câu 22.. 5x 1 x 1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? x2 2 x C. 2 . D. 3 . Lời giải. (Chuyên Long An-2019) Đồ thị hàm số y B. 1 .. A. 0 . Chọn C. Tập xác định của hàm số là D 1;0 2; . Ta có. lim y lim. x0. x0. 25 x 2 9 x. x. 2. . 2 x 5x 1 x 1. . lim. x0. 25x 9. 9 . 4 x 2 5x 1 x 1. . . lim y .. x 2. 5 1 1 1 2 3 4 x x 0. lim y lim x x x x 2 1 x Vậy đồ thị của hàm số có hai đường tiệm cận có phương trình x 2 và y 0 . Câu 23.. x 1 . 4 3x 1 3x 5 D. 0 .. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y A. 2 .. B. 3 .. C. 1. Lời giải. Chọn A Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(508)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 Tập xác định: D ; \ 1 3 . + Ta có: lim x 1. . . x 1 4 3x 1 3x 5 x 1 4 3x 1 3x 5 lim lim 2 x 1 9 x 1 4 3 x 1 3 x 5 x 1 9 x 1. do đó đường thẳng x 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 1 1 1 x 1 1 x lim do đó đường thẳng y là đường + lim x 4 3 x 1 3 x 5 x 3 3 3 1 5 4 2 3 x x x tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. Câu 24. Cho hàm số y A. 4 .. x2 2 x 3 x 4 3x 2 2 B. 5 .. . Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? C. 3 . Lời giải. D. 6 .. Chọn B. . . □ Tập xác định D ; 2 1;1 □. . . 2; .. lim y lim y lim y lim y . x 1 x 1 x 2 . x 2. Các đường tiệm cận đứng của đồ thị là x 2 , x 1 . □ lim y lim y 1 đồ thị có một tiệm cận ngang y 1. x . Câu 25.. x . (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Đồ thị hàm số y cận? A. 2.. B. 4.. C. 1. Lời giải. 5x 8 x2 3x. có bao nhiêu đường tiệm. D. 3.. Chọn B Tập xác định D ;0 3; . lim y lim. x . x . 8 5 5x 8 x 5 lim lim 2 x x 3 3 x 3x x 1 1 x x. 5x 8. Đường thẳng. lim y lim. x . x . y 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.. 8 x 5 lim lim 2 x x 3 3 x 3x x 1 1 x x. 5x 8. 5x 8. 5. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(509)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Đường thẳng lim y lim. x0. x0. y 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.. 5x 8 x2 3x. . x 8) 8 0; lim x2 3x 0; x2 3x 0 x 0 ) ( vì lim(5 x0. x0. Suy ra: đường thẳng x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.. lim y lim. x3. x3. 5x 8 x2 3x. . x 8) 7 0; lim x2 3x 0; x2 3x 0 x 3 ) ( vì lim(5 x3. x3. Suy ra: đường thẳng x 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.. 4 x2 2 x 1 x Câu 26. Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận? x 1 A. 1. B. 0 . C. 2 . Lời giải Chọn C. D. 3 .. 1 5 x 4 4 x 2 2 x 1 0 4 x2 2 x 1 x Hàm số y xác định 1 5 . x 1 x 1 0 x 4 x 1 1 5 1 5 Tập xác định của hàm số đã cho là D ; 1 1; . ; 4 4 . lim y lim. x . x . 4 x2 2 x 1 x lim x x 1. 2 1 x 4 2 x x x x 1. 2 1 2 1 2 x 4 2 1 x x x x lim lim 1 . x x 1 x 1 1 x y 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x . x 4 . lim y lim. x . x . 4 x2 2 x 1 x lim x x 1. 2 1 x 4 2 x x x x 1. 2 1 2 1 2 x 4 2 1 x x x x lim lim 3. x x 1 x 1 1 x y 3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x . x 4. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(510)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 3x 1 4 x2 2 x 1 x 4x2 2 x 1 x2 lim y lim lim lim 2. x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 4 x 2 x 1 x x 1 4 x2 2 x 1 x. . Vậy đồ thị hàm số y . . . . 4 x2 2 x 1 x có 2 đường tiệm cận. x 1. Dạng 2. Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện cho trước 1 Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y f x có TXD: D Điều kiện cần: D phải chứa hoặc Điều kiện đủ: P( x) Dạng 1. y f ( x) . Q( x) Nếu degP x degQ x : thì không có tiệm cận ngang Nếu degP x degQ x : TCN y 0 Nếu degP x degQ x : y k (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu) Dạng 2: y f ( x) u v (hoặc. u v ): Nhân liên hợp y f ( x) . u2 v (hoặc u v. uv ) u v. 2 Đường tiệm cận đứng P x Cho hàm số y có TXD: D Q x Đkiện cần: giải Q x 0 x x0 là TCĐ khi thỏa mãn đk đủ Đkiện đủ: Đkiện 1: x0 làm cho P( x) và Q ( x) xác định. Đkiện 2: - x0 không phải nghiêm P( x) x x0 là TCĐ - x0 là nghiêm P( x) x x0 là TCĐ nếu lim f ( x) x x0. Câu 1.. (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số x 1 y có hai tiệm cận ngang mx 2 1 A. m 0 B. m 0 C. m 0 D. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài Lời giải Chọn C Xét các trường hơp sau: Với m 0 : hàm số trở thành y x 1 nên không có tiệm cận ngang. Với m 0 :. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(511)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 x 1 1 1 suy ra không tồn tại hàm số y có tập xác định là D ; m m mx 2 1 1 m x2 giới hạn lim y hay hàm số không có tiệm cận ngang. x . Với m 0 : Ta có: lim y lim x . x . 1 1 1 x lim lim lim . x x 1 1 m mx 2 1 x x m 1 x m 2 m 2 x2 x x x 1. x 1. x 1. 1 1 x 1 x 1 x 1 1 x và lim y lim lim lim lim . 2 x x x x x 1 1 1 m mx 1 x m 2 x m 2 m 2 x x x 1 1 Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang là : y khi m 0 . ;y m m. Câu 2.. (Chuyên KHTN - 2020) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số. y. x2 2. x 6 x 2m A. vô số.. có hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của S là B. 12 .. C. 14 . Lời giải. D. 13 .. Chọn B x 2 0 Điều kiện xác định 2 . x 6 x 2m 0. Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình x 2 6 x 2m 0 có hai nghiệm 9 9 2m 0 m 2 9 m phân biệt x1 , x2 lớn hơn 2 x1 x2 2 3 2 2 . 2 4 12 2m 0 m 8 2 6 2 2m 0 Do đó tập S 7; 6; 5;...; 4 có 12 giá trị. Câu 3.. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số x 1 m để đồ thị hàm số y 2 có 3 đường tiệm cận? x 8x m A. 14 . B. 8 . C. 15 . D. 16 . Lời giải Chọn A x 1 x 1 lim 2 0 nên hàm số có một tiện cận ngang y 0 . x x 8 x m x x 8 x m Hàm số có 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi hàm số có hai đường tiệm cận đứng phương trình Δ 16 m 0 m 16 x 2 8 x m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 . m 7 0 m 7. Ta có lim. 2. Kết hợp với điều kiện m nguyên dương ta có. m 1;2;3;...;6;8;...;15 . Vậy có 14 giá trị của m. thỏa mãn đề bài. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(512)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 4.. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số y . x 3 . Có bao nhiêu x 3mx 2m 2 1 x m 3. 2. giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2020; 2020 để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận? A. 4039.. B. 4040.. C. 4038. Lời giải. D. 4037.. Chọn D Ta có lim y 0, lim y 0 đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang. x . x . Do đó đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có 3 tiệm cận đứng * . Có x 3 3mx 2 2 m 2 1 x m x m x 2 2mx 1 x m x3 3mx 2 2m 2 1 x m 0 2 x 2mx 1 0. * . 2. x 3 3mx 2 2 m 2 1 x m 0 có 3 nghiệm phân biệt khác 3 .. m 3 và 2 có 2 nghiệm phân biệt khác m và khác 3. m 3 5 m 3, m 2 3 m 2m.m 1 0 2 m 1 3 2m.3 1 0 m 2 1 0 m 1 2 Do đó tập tất cả giá trị nguyên của m thỏa ycbt là 2020; 2019;...; 2; 2;4;5;...; 2020 . Vậy có 4037 giá trị m thỏa ycbt. Câu 5.. (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu số nguyên của m thuộc đoạn 100;100 để đồ. 1. thị hàm số y . x m A. 200.. 2 x x2. có đúng hai đường tiệm cân?. B. 2.. C. 199. Lời giải. D. 0.. Chọn A. x m Ta có điều kiện xác định là , khi đó đồ thị hàm số sẽ không có tiệm cận ngang. x 0; 2 Ta có lim y , lim y x 0. x 2. Suy ra x 0, x 2 là hai đường tiệm cận đứng m 0 Vậy để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì , theo bài m thuộc đoạn 100;100 . m 2 Vậy có 200 số nguyên của m thỏa mãn đầu bài. Câu 6.. (HSG Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số x2 m có đúng hai đường tiệm cận. x 2 3x 2 A. m 1 B. m{1;4} y. C. m 4. D. m { 1; 4}. Lời giải 2. y. 2. x m x m . x 3 x 2 x 1 x 2 2. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(513)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. lim y 1 y 1 là đường tiệm cận ngang. x . x2 m có đúng hai đường tiệm cận đồ thị hàm số có đúng một tiệm x 2 3x 2 cận đứng pt x 2 m 0 nhận nghiệm x 1 hoặc x 2 . m 1 Khi đó: . m 4 Đồ thị hàm số y . Với m 1 có một tiệm cận đứng x 2 . Với m 4 có một tiệm cận đứng x 1 . Vậy m { 1; 4} . Câu 7.. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm 6x 3 số y có đúng một đường tiệm cận? 2 mx 6 x 3 9 x 2 6mx 1 A. 0 .. B. 2 .. Kí hiệu C là đồ thị hàm số y . C. 1. Lời giải. D. Vô số.. 6x 3 . mx 6 x 39 x 2 6mx 1 2. * Trường hợp 1: m 0 . 6x 3 Khi đó y . Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang y 0 . 6 x 3 9 x 2 1 Do đó chọn m 0 . * Trường hợp 2: m 0 . Xét phương trình mx 2 6 x 3 9 x 2 6mx 1 0 1 Nhận thấy: C luôn có một đường tiệm cận ngang y 0 và phương trình 1 không thể có duy nhất một nghiệm đơn với mọi m . Do đó C có đúng một đường tiệm cận khi và chỉ khi C không có tiệm cận đứng 1 vô. 9 3m 0 m 3 nghiệm 2 , ( không tồn tại m ). 1 m 1 9m 9 0 Kết hợp các trường hợp ta được m 0 . Câu 8.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x . x 1 . Tìm tất cả các giá x 2 mx 4 2. trị của tham số m để đồ thị có ba đường tiệm cận. A. m 2. m 2 B. 5 m 2. m 2 m 2 C. 5 m 2 Lời giải. m 2 D. m2. Chọn C Để đồ thị có ba đường tiệm cận thì x 2 2 mx 4 0 có hai nghiệm phân biệt 1. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(514)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. m 2 m 2 2 5 1 2m 1 4 0 m 2 0. Câu 9.. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Biết rằng đồ thị của hàm số y . n 3 x n 2017. ( m , n là các số xm3 thực) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung là tiệm cận đứng. Tính tổng m n . A. 0 B. 3 C. 3 D. 6 Lờigiải Chọn A Theo công thức tìm nhanh tiệm cận của đồ thị hàm số y Đồ thị hàm số nhận x Đồ thị hàm số nhận y . ax b ta có cx d. d m 3 0 làm TCĐ m 3 c. a n 3 0 làm TCN n 3 . c. Vậy m n 0 . Câu 10.. (Sở Vĩnh Phúc 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số x 1 y có đúng bốn đường tiệm cận? mx 2 8 x 2 A. 8 B. 6 C. 7 D. Vô số Lời giải TH1: m 0 suy ra tập xác định của hàm số là D x1; x2 , ( x1; x2 là nghiệm của phương trình mx 2 8 x 2 0 ). Do đó m 0 không thỏa yêu cầu của bài toán. x 1 TH2: m 0 y suy ra tập xác định của hàm số là D ; 4 . 8 x 2 lim y ; lim y . Khi đó ta có x 4 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x . x4. Do đó m 0 không thỏa yêu cầu của bài toán TH3: m 0 suy ra tập xác định của hàm số là D ; x1 x2 ; ( x1; x2 là nghiệm của phương trình mx 2 8 x 2 0 ). Do đó đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi phương trình mx 2 8 x 2 0 có hai nghiệm phân biệt khác. 16 2m 0 m 8 1 m 0; m m 0; m m 1; 2;3; 4;5; 7 . Suy ra có tất cả 6 giá trị nguyên của m 8 2 0 m 6 tham số m thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Câu 11.. (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Với giá trị nào của hàm số m để đồ thị hàm số. y x mx 2 3 x 7 có tiệm cạn ngang. A. m 1. B. m 1. C. m 1 Lời giải. D. Không có m. Chọn A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang Hàm số xác định trên một trong các miền ; a , ; a , a, hoặc a; Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(515)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m0 TH1: m 0 y x 3 x 7, lim y đồ thị không có tiệm cận ngang x . TH2: m 0, y x mx 2 3x 7 3 7 3 Khi lim y lim x x m 2 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi m 1. x x x 2 x Vậy m 1 Cách trắc nghiệm: 3 Thay m 1 y x x 2 3 x 7 lim x x 2 3x 7 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang x 2. . . . . lim x x 2 3 x 7 không có tiệm cận ngang. x . . . Thay m 1 y x x 2 3 x 7 lim x x 2 3 x 7 không xác định. x . . . lim x x 2 3 x 7 không xác định.. x . Vậy m 1 Câu 12. Cho hàm số y . ax 1 1 . Tìm a, b để đồ thị hàm số có x 1 là tiệm cận đứng và y là tiệm bx 2 2. cận ngang. A. a 1; b 2 .. B. a 4; b 4 .. C. a 1; b 2 .. D. a 1; b 2 .. Lời giải Chọn C + b 0 đồ thị hàm số y . ax 1 không có tiệm cận. 2. + b 0 , tập xác định của hàm số y . ax 1 2 là D R \ . bx 2 b . 1 a ax 1 x a. lim y lim lim x x bx 2 x 2 b b x đồ thị hàm số y lim y lim x. 2 b. x. 2 b. ax 1 a a 1 có tiệm cận ngang là đường thẳng y b 2a . bx 2 b b 2. ax 1 . bx 2 . đồ thị hàm số y . ax 1 2 2 có tiệm cận đứng là đường thẳng x 1 b 2 a 1 . bx 2 b b. Vậy a 1; b 2 . Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên m 10;10 sao cho đồ thị hàm số y đường tiệm cận đứng? A. 19 .. B. 15 .. C. 17 . Lời giải. x 1 có hai 2 x2 6 x m 3. D. 18.. Chọn C Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(516)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 có hai đường tiệm cận đứng khi phương trình 2x 6x m 3 15 32 2 m 3 0 m 2 x 2 6 x m 3 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 2 2 2.1 6.1 m 3 0 m 5 Từ đó ta suy ra tập các giá trị nguyên của m thỏa mãn là. Ta có đồ thị hàm số y . 2. 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0,1, 2,3, 4,6,7,8,9,10 . Vậy có 17 giá trị nguyên của. m thỏa mãn.. Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y. mx 2 3mx 4 bằng 3? x2. A. 4 .. B. 2 .. C. Vô số.. D. 3 .. Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số y . mx 2 3mx 4 có nhiều nhất một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang. x2. Điều kiện để đồ thị hàm số y . mx 2 3mx 4 có 3 tiệm cận là nó có đúng 1 tiệm cận đứng và 2 x2. tiệm cận ngang. * Xét điều kiện tồn tại lim y và lim y x . x . m 0 16 0m Trường hợp 1: g x mx 3mx 4 0 với x m 0 9 9m2 16m 0 2. Trường hợp 2: g x mx 2 3mx 4 0 với x ; x1 x2 ; với x1 ; x2 là nghiệm của. m 0 16 g x m 2 9 9m 16m 0 Vậy m 0 thì tồn tại lim y và lim y x . x . Khi đó: 3m 4 2 x x m 2 1 x. m. lim y lim. mx 2 3mx 4 lim x x2. m. lim y lim. mx 2 3mx 4 lim x x2. x . x . x . x . 3m 4 2 x x m 2 1 x. Vậy điều kiện để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là m 0 * Xét trường hợp x 2 là nghiệm của tử số x 2 là nghiệm của g x mx 2 3mx 4 g 2 0 m 2 Khi đó y . 2 x2 6 x 4 lim y x 2 x2. 2 x 1 x 2 x2. 2 x 1 lim x 2 x 2 . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(517)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x 2 . m 2 thỏa mãn * Xét trường hợp x 2 không là nghiệm của tử số, để x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm g 2 0 số thì g 2 0 4 2 m 0 m 2 g 2 0. đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x 2 với m 0;2 Vậy điều kiện để đồ thị hàm số y . mx 2 3mx 4 có 3 tiệm cận là m 0;2 x2. Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài là m 1 ; m 2 . Câu 15.. (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Tổng các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số x 1 y 2 có đúng một tiệm cận đứng. x 2 m 1 x m2 2 A. . 1 . 2. B. 2 .. C. 3 .. D.. 3 . 2. Lời giải Chọn A Đặt f x x 2 2 m 1 x m2 2 Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi f x 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x 1 hoặc f x 0 có nghiệm kép 3 m 12 m 2 2 0 m 2 m 1 0 1 2 m 1 m 2 2 0 f 1 0 m 1; m 3 m 3 . 0 3 3 3 m m m 2 2 2 1 Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là: . 2. Câu 16. Cho hàm số y . x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 6;6 của x 3mx 2m 2 1 x m 3. 2. tham số m để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận? A. 12 . B. 9 . C. 8 . D. 11 . Lời giải Chọn B lim y lim y 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y 0 . x . x. Do đó, đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi phương trình x 3 3mx 2 2 m 2 1 x m 0 có 3 nghiệm phân biệt x 3 . Xét phương trình x 3 3mx 2 2m 2 1 x m 0 (*) ta có. x m . x 3 3mx 2 2 m 2 1 x m 0 x m x 2 2mx 1 0 2 x 2mx 1 0. Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(518)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt x 3 khi và chỉ khi m 3 và phương trình m3 m3 m 1 2 . x 2 2 mx 1 0 có hai nghiệm phân biệt x 3 m 1 0 m 1 2 3 2.3.m 1 0 5 m 3 Do m nguyên và m 6;6 nên m 6; 5; 4; 3; 2; 2; 4;5;6 . Vậy có 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.. Câu 17.. (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số 2 x 2 3x m không có tiệm cận đứng. y xm A. m 1 . B. m 1 . C. m 1 và m 0 . D. m 0 . Lời giải Chọn C TXĐ \ m . 2 x2 3x m 2m 2 2m lim 2 x 2 m 3 . xm xm xm xm . Có lim. 2 x 2 3x m , xm xm. Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì phải tồn tại lim. m 0 2m 2 2m 0 m 1 Vậy đáp án C. Câu 18.. (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn x2 có hai tiệm cận đứng. 2017; 2017 để đồ thị hàm số y 2 x 4x m A. 2019 . B. 2021 . C. 2018 . D. 2020 . Lời giải Chọn D Để đồ thị hàm số y . x2. x 4x m hai nghiệm phân biệt khác 2 2. có hai tiệm cận đứng thì phương trình x 2 4 x m 0 có. 2017 m 4 4m 0 m 12 m 2017; 2016;..;3 \ 12 . 12 m 0 m Do đó số giá trị nguyên của tham số m thỏa đề bài là: 3 ( 2017) 1 1 2020 giá trị.. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(519)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 19.. (THPT. Quỳnh. Lưu-. Nghệ. An-. 2019). Cho. hàm. y f (x ). số. thỏa. mãn. lim f (x ) 2019m , lim f (x ) 2020m (với m là tham số thực). Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị 4. x . x . của m để đồ thị của hàm số y f (x ) có duy nhất một tiệm cận ngang? A. 4. B. 2. C. 3. D. 1. Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số y f x có duy nhất một tiệm cận ngang m 0 2019m 2020m . m 3 2019 2020 Vậy có 2 giá trị của m thỏa bài toán 4. Câu 20.. 1 . x 2m 1 x 2m x m Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận. 0 m 1 m 1 0 m 1 A. B. C. m 1 . D. 1 . 1. 1 . m m m 2 2 2. (THPT Hai Bà Trưng - Huế - Lần 1- 2019) Cho hàm số y . 2. Lời giải Chọn A Điều kiện x m. Ta có lim y 0 y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x . x m Xét phương trình x 2 2m 1 x 2m x m 0 2 x 2m 1 x 2m 0(*) Để hàm số có 4 đường tiệm cận thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt m x1 x2 .. 1 1 2m 12 0 m 2 m 2 1 m 2 2 x1 m x2 m 0 x1 x2 m x1 x2 m 0 m m 0 2 . x x 2m 2m 1 2m 1 0 0 m 1 1 2 Câu 21.. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm 6x 3 số y có đúng 1 đường tiệm cận? 2 mx 6 x 3 9 x 2 6mx 1 A. 0.. B. 2.. C. 1. Lời giải. D. Vô số.. Chọn C Đặt f x mx 2 6 x 3 và g x 9 x 2 6mx 1 . Ta xét các trường hợp: + Trường hợp 1: m 0 khi đó ta có y . 6x 3. 6 x 3 9 x 2 1. đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận. ngang là đường thẳng y 0 do đó m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(520)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. + Trường hợp 2: m 0 và cả hai tam thức f x và g x đều vô. ' f 0 m 3 9 3m 0 2 m . nghiệm 9m 9 0 1 m 1 'g 0. 1 13 1 làm nghiệm g 0 m khi đó f x 2 12 2 luôn có 2 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số đã cho có nhiều hơn 1 đường tiệm cận. + Trường hợp 3: Tam thức g x nhận x . Vậy có 1 giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y . 6x 3 có đúng 1 mx 6 x 3 9 x2 6mx 1 2. đường tiệm cận Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số: y x mx 2 1 có tiệm cận ngang. A. 0 m 1.. B. m 1.. C. m 1. Lời giải. D. m 1.. Chọn B Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số: y x mx 2 1 có tiệm cận ngang là tồn tại số thực k sao. lim ( x mx 2 1) k x cho: lim ( x mx 2 1) k x x Hiển nhiên nếu m 0 thì giới lim ( x mx 2 1) không hữu hạn x. Nếu m 0 ta có + lim ( x mx 2 1) . x. 1 x lim + lim y lim ( x mx 2 1) lim 2 x x x x 1 x mx 1 1 m 2 x x 2 (1 m) 1. x(1 m) . Để giới hạn trên hữu hạn khi và chỉ khi m=1. Câu 23.. x2 . Có tất cả bao nhiêu mx 2 x 4 giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận ( tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)? A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn D. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y . Với m 0 ; ta có hàm số y . 2. x2 2 Không thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 x 4. x2 0 y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x mx 2 x 4. Với m 0 , ta có: lim. 2. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(521)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng mx 2 2 x 4 0 có nghiệm duy nhất hoặc mx 2 2 x 4 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x 2 . mx 2 2 x 4 0 có nghiệm duy nhất 0 1 4m 0 m . 1 . 4. 1 0 m mx 2 x 4 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x 2 . 4 4m 0 m 0 m 0 không thỏa mãn điều kiện. 2. Vậy chỉ có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 24.. (HSG Sở Nam Định-2019) Gọi S là tập các giá trị nguyên của m sao cho đồ thị hàm số 2019 x có bốn đường tiệm cận (bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang). Tính số y 17 x 2 1 m x phần tử của tập S. A. Vô số. B. 3. C. 5 Lời giải. D. 4. Chọn C. lim y . x . 2019 2019 , lim y . x m 17 17 m. Với m 17 thì đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y . 2019 2019 , y . m 17 17 m. Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi phương trình 17 x 2 1 m x 0 1 có hai nghiệm phân biệt khác 0.. m 0 m 0 Ta có: 1 17 x 2 1 m x 2 2 2 2 2 17 x 1 m x 17 m x 1 2 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân m 0 0 m 17 . biệt khác 0 2 17 m 0 Suy ra S 0,1, 2,3, 4 . Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số x f ( x) nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó tổng các phần 3 3 4 x mx 1 x x 1 m2 x tử của S bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Lời giải Chọn B 1 Ta có: lim f ( x) lim 3 . 3 4 x 0 x 0 x mx 1 x x 1 m2 x x Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(522)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x3 mx 1 3 x 4 x 1 m 2 x x. Mà lim x 0. x 3 mx 1 1 3 x 4 x 1 1 m 2 x lim x 0 x x x x3 mx x4 x lim m2 . 3 4 2 3 4 x 0 3 x( x mx 1 1) x( ( x x 1) x x 1 1). Đồ thị hàm số f ( x ) nhận trục tung làm tiệm cận đứng. lim( x 0. ( x 2 m) ( x3 mx 1 1). 6 m 2 3m 2 0 Vậy. Câu 26.. ( x3 1). 3. ( x 4 x 1) 2 3 x 4 x 1 1. m2 ) 0 . m 1 m2 0 . 2 3. 1 m1 m2 . 2. (Trường THPT Thăng Long Lần 2019) Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng. 10;10 để đồ thị hàm số y A. 12 .. B. 11 .. x ( x m ) 1 có đúng ba đường tiệm cận? x2 C. 0 . D. 10 . Lời giải. Chọn A Xét g x x x m 1 .. x ( x m ) 1 x ( x m ) 1 1 và lim 1 . Nên đồ thị hàm số luôn có hai đường x x2 x2 tiệm cận ngang y 1 và y 1 . Ta có lim. x. Trường hợp 1: m 0 khi đó hàm số là y . x 1 . Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 2 . x2. Vậy m 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Trường hợp 2: m 0 . Hàm số g x có tập xác định là D ;0 m ; .. x 2 D . g (2) 2m 2 1 0 nên x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Vậy m 1 , m 2 ,. m 9 thỏa mãn. Nên có 9 giá trị m . Trường hợp 3: m 0 . Hàm số g x có tập xác định là D ; m 0; . Để x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì trước hết x 2 D hay m 2 . Nên chỉ có m 2 , m 1 thỏa mãn Với m 1 ta có g ( x) x x 1 1 , g (2) 2 1 0 nên x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Với m 2 ta có g ( x) x x 2 1 , g (2) x x 2 1 1 0 nên x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy 12 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu. Câu 27. Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn 2019; 2019 của tham số m để đồ thị hàm số y có đúng hai đường tiệm cận. A. 2007 . B. 2010 .. C. 2009 .. D. 2008 .. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương x3 x xm 2.
<span class='text_page_counter'>(523)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn. D.. x 3 0 Điều kiện xác định: 2 . x x m Dựa vào điều kiện xác định ta suy ra hàm số đã cho không có giới hạn khi x . lim. x . x3 0, m . x xm 2. y 0 là pt đường tiệm cận ngang.. Xét hàm số f x x 2 x . f ' x 2 x 1; f ' x 0 x . 1 2. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Khi m 12 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Khi m 12 thì đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng. Do đó để hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì m 12; 2019 . Vậy có 2008 giá trị nguyên của m . Câu 28.. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y hàm số có đúng hai đường tiệm cận. A. 2 B. 3. x 1 . Có tất cả bao nhiêu giá trị m để đồ thị mx 2 x 3 2. C. 0 Lời giải. D. 1. Chọn B Nhận xét: + f ( x ) mx 2 2 x 3 có bậc 1 nên đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cận ngang. + Do đó: Yêu cầu bài toán 9 đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. 3 + m 0 , đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x m 0 thỏa bài toán. 2 + m 0 , đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình mx 2 2 x 3 0 có 1 f 0 m nghiệm kép hoặc nhận x 1 làm nghiệm 3 f (1) 0 m 1 1 + KL: m 0; ; 1 . 3 1. với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm x3 3x 2 m 1 số đã cho có 4 đường thẳng tiệm cận.. Câu 29. Cho hàm số y . Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(524)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 1 m 5 .. B. 1 m 2 .. C. m 1 hoặc m 5 . D. m 2 hoặc m 1 . Lời giải 1 1 Ta có lim y lim không tồn tại. Suy ra 0 , lim y lim x x x x x3 3x 2 m 1 x3 3x 2 m 1 y 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Do đó, để đồ thị hàm số đã cho có 4 đường thẳng tiệm cận thì phương trình x 3 3 x 2 m 1 0 có 3 nghiệm phân biệt. Xét hàm số g x x3 3x 2 m 1 . Tập xác định D . x 0 g x 3x 2 6 x ; g x 0 . x 2 Bảng biến thiên:. Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình x 3 3 x 2 m 1 0 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m 5 0 m 1 1 m 5 . Câu 30. Hàm số y A.. 3 x 1 ax b. x 1. 1 . 2. 2. không có tiệm cận đứng. Khi đó hiệu a b bằng:. 3 B. . 4. 5 C. . 4 Lời giải. 1 D. . 2. Chọn A 2. Do hàm số không có tiệm cận đứng nên f x 3x 1 ax b x 1 g x . 3 a b 2 0 a f 1 0 4 a b 1 đáp án A. Suy ra 3 2 f ' 1 0 a 0 b 5 4 4 Chú ý: Với f x x x0 g x thì ta luôn có f x0 f ' x0 f '' x0 ... f n. Câu 31. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham để m đồ thị hàm số y tiệm cận đứng? A. vô số.. B. 2 .. C. 2017 Lời giải. n 1. x0 0 .. x 2 2016 x 2017 24 7 có xm. D. 2019 .. Chọn C Biểu thức:. x 2 2016 x 2017 có nghĩa khi x 2 2016 x 2017 0 1 x 2017 .. Đặt f x x 2 2016 x 2017 . Xét x m 0 x m . Vậy đồ thị nếu có tiệm cận đứng chỉ có thể là x m , khi đó điều kiện là:. m 1; 2017 1 1 x 2017 2 f m 0 m 2016m 2017 24 7 * Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(525)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m 1 Ta có * m 2 2016m 2015 0 2 m 2015 m có 2019 2 2017 số nguyên m thỏa mãn bài Từ 1 , 2 m 1;2017 \ 1;2015 . toán đáp án. C.. Câu 32. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số x f ( x) nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó tổng các phần x3 mx 1 3 x 4 x 1 m2 x tử của S bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Lời giải Chọn B 1 Ta có: lim f ( x) lim . x 0 x 0 x3 mx 1 3 x 4 x 1 m2 x x. x3 mx 1 3 x 4 x 1 m 2 x x. Mà lim x 0. x 3 mx 1 1 3 x 4 x 1 1 m 2 x lim x 0 x x x x 3 mx x4 x lim m2 . x 0 x ( x 3 mx 1 1) x( 3 ( x 4 x 1) 2 3 x 4 x 1 1) Đồ thị hàm số f ( x ) nhận trục tung làm tiệm cận đứng. lim( x 0. ( x 2 m) ( x3 mx 1 1). 6 m 2 3m 2 0 Vậy. Câu 33.. ( x3 1). 3. ( x 4 x 1) 2 3 x 4 x 1 1. m2 ) 0 . m 1 m2 0 . 2 3. 1 m1 m2 . 2. (THPT Thăng Long 2019) Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng 10;10 để đồ thị hàm số y A. 12 .. x ( x m ) 1 có đúng ba đường tiệm cận? x2 B. 11 . C. 0 . Lời giải. D. 10 .. Chọn A Xét g x x x m 1 .. x ( x m ) 1 x ( x m ) 1 1 và lim 1 . Nên đồ thị hàm số luôn có hai đường x x x2 x2 tiệm cận ngang y 1 và y 1 . Ta có lim. Trường hợp 1: m 0 khi đó hàm số là y . x 1 . Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 2 . x2. Vậy m 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Trường hợp 2: m 0 . Hàm số g x có tập xác định là D ;0 m ; . Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(526)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 2 D . g (2) 2m 2 1 0 nên x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Vậy m 1 , m 2 ,. m 9 thỏa mãn. Nên có 9 giá trị m . Trường hợp 3: m 0 . Hàm số g x có tập xác định là D ; m 0; . Để x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì trước hết x 2 D hay m 2 . Nên chỉ có m 2 , m 1 thỏa mãn Với m 1 ta có g ( x) x x 1 1 , g (2) 2 1 0 nên x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Với m 2 ta có g ( x) x x 2 1 , g (2) x x 2 1 1 0 nên x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy 12 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu. Câu 34. (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm. mx 2 1 có đúng một đường tiệm cận. x 1 A. 1 m 0 . B. 1 m 0 . C. m 1 . Lời giải Chọn A 1 Nếu m 0 thì y . Hàm số này có tập xác định D \ 1 . x 1 1 Ta có lim 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 0 . x x 1 1 lim nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 . x 1 x 1 Vậy với m 0 thì đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận (loại). số y . D. m 0 .. Nếu m 0 thì mx 2 1 0 với mọi x và tập xác định của hàm số là D \ 1 .. lim. x . 1 1 m 2 m 2 2 mx 2 1 mx 1 x m , lim x m . Suy ra đồ thị hàm lim lim x x x 1 1 x 1 x 1 1 1 x x. số có hai tiệm cận ngang là y m và y m . mx 2 1 nên x 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 1 x 1 Vậy m 0 không thỏa mãn. lim . 1 1 Nếu m 0 thì tập xác định của hàm số là D ; \ 1 . m m Trường hợp này đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có một tiệm cận đứng. Điều này xảy ra khi 1 1 1 1 1 1 m 1 . m m m Vậy với 1 m 0 thì đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận. . -------------------- HẾT --------------------. Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(527)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. TIỆM CẬN ĐỒ THỊ HÀM SỐ. Chuyên đề 6. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng. Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số g khi biết bảng biến thiên hàm số f(x) Câu 1.. (THPT Lương Văn Can - 2018) Cho đồ thị hàm số y f x sau đây là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. x 1 .. B. x 2 .. 3x 1 . Khi đó đường thẳng nào x 1. 1 ? f x 2. C. x 1 .. D. x 2 .. Lời giải. f x 2 Với y . 3x 1 2 3x 1 2 x 2 x 1 . x 1. 1 ta có lim y ; lim y x 1 x 1 f x 2. Vậy đồ thị hàm số y . Câu 2.. 1 có đường tiệm cận đứng x 1 . f x 2. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 1 .. B. 2 .. 2019 là f x 1. C. 3 . Lời giải. D. 4 .. Chọn C Từ đồ thị của hàm số y f x suy ra tập xác định của hàm số y f x là D Do đó số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y . 2019 chính là số nghiệm của phương f x 1. trình f x 1 . Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(528)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Qua đồ thị ta có: Đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f x 1 có 3 nghiệm phân biệt. Vậy đồ thị hàm số y . Câu 3.. 2019 có 3 đường tiệm cận đứng. f x 1. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số f x xác định và liên tục trên \ 1 có bảng biến thiên như sau:. Hỏi đồ thị hàm số y ngang? A. 4 .. B. 3 .. 1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận f x C. 2 . Lời giải. D. 1.. Chọn A Ta có: lim f x 2 lim x . x . Suy ra đồ thị hàm số y . 1 1 1 1 ; lim f x 2 lim . x f x f x 2 x 2. 1 1 1 có hai đường tiệm cận ngang là y và y . 2 2 f x. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f x ta thấy: phương trình f x 0 có hai nghiệm phân biệt x1 1 x2 . Khi đó: f x1 f x2 0 . lim f x 0 1 Ta có: x x1 lim và x x1 f x f x 0 khi x x1. Vậy đồ thị hàm số y . lim f x 0 1 x x2 lim . x x2 f x f x 0 khi x x2 . 1 có hai tiệm cận đứng là đường thẳng x x1 và x x2 . f x. Do đó chọn A. Câu 4.. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y f x thỏa mãn lim f x 1 và lim f x m . x . Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y ngang. A. 1.. B. 0 .. C. 2 .. x . 1 có duy nhất một tiệm cận f x 2 D. Vô số.. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(529)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn C Ta có lim y lim x . x . 1 1 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 1 . f x 2. TH 1: Nếu m 1 thì lim. x . 1 1 1 và lim 1 thì đồ thị hàm số có một tiệm cận. x f x 2 f x 2. TH 2: Nếu m 1 Để đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang lim. x . 1 không có giá trị hữu hạn f x 2. m 2 0 m 2 . Vậy khi m 2; 1 thì đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang. Câu 5.. (Kim Liên - Hà Nội 2019) Cho hàm số y f ( x) thỏa mãn f (tan x) cos 4 x . Tìm tất cả các giá 2019 có hai tiệm cận đứng. f ( x) m B. 0 m 1 . C. m 0 . D. m 1 . Lời giải. trị thực của m để đồ thị hàm số g ( x) A. m 0 . Chọn B. f (tan x) cos4 x f (tan x) . Hàm số g ( x) . 1. 1 tan x . 2019 g ( x) f ( x) m. 2. 2. f (t ) . 1 (1 t 2 ) 2. 2019 1 m (1 x 2 )2. Hàm số g ( x ) có hai tiện cận đứng khi và chỉ khi phương trình phân biệt (1 x 2 ) 2 Câu 6.. 1 m 0 có hai nghiệm (1 x 2 ) 2. 1 1 0 m 1. m. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên dưới:. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y B. 3 .. A. 4 . Đặt h x . C. 1. Lời giải. 1 là: 2 f x 1 D. 2 .. 1 . 2 f x 1. *) Tiệm cận ngang: Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(530)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có: lim h x lim x . x . lim h x lim. x . x . 1 0. 2 f x 1. 1 0. 2 f x 1. Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y 0 . *) Tiệm cận đứng: 1 Xét phương trình: 2 f x 1 0 f x . 2 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f x có ba nghiệm phân biệt a, b, c thỏa mãn 2 a 1 b 2 c . Đồng thời lim h x lim h x lim h x nên đồ thị hàm số y h x có ba đường tiệm x a. x b. x c. cận đứng là x a , x b và x c . Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y h x là 4. Câu 7.. (Bình Giang-Hải Dương -2019) Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên \ 1 và có bảng biến thiên như sau:. Đồ thị y . 1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f x 3. A. 2.. B. 0.. C. 1. Lời giải. D. 3.. Chọn A Đặt y g x . 1 có tử số là 1 0, x 2 f x 3. Ta có 2 f x 3 0 f x . 3 (1). 2. Từ bảng biến thiên có phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 ( ;0) , x2 (0;1) .. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(531)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 Do đó đồ thị hàm số y có 2 đường tiệm cận đứng. 2 f x 3 Câu 8.. (Chuyên Thoại Ngọc Hầu 2018) Cho hàm số y f x liên tục trên \ 1 và có bảng biến thiên như sau:. Đồ thị hàm số y . 1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f x 5 B. 4 .. A. 0 .. C. 2 .. D. 1.. Lời giải Ta có: 2 f x 5 0 f x giới hạn của hàm số y Mặt khác lim x 1. 1 tại các điểm x1 , x2 , x3 , x4 đều bằng . 2 f x 5. 1 0 nên x 1 không phải tiệm cận đứng. 2 f x 5. Vậy đồ thị hàm số y Câu 9.. 5 1 . Phương trình 1 có 4 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 1 và 2. 1 có 4 đường tiệm cận đứng. 2 f x 5. (Chuyên Hưng Yên 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây.. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 0.. B. 1.. 2 f x 1 0 f x . 1 . 2. 1 là 2 f x 1. C. 2. D. 3. Lời giải 1 Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y đúng bằng số nghiệm thực của phương trình 2 f x 1. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(532)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Mà số nghiệm thực của phương trình f x với đường thẳng y . 1 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x 2. 1 . 2. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y biệt. Vậy đồ thị hàm số y . 1 cắt đồ thị hàm số y f ( x) tại 2 điểm phân 2. 1 có 2 tiệm cận đứng. 2 f x 1. 1 1 đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y 1 . x 2 f x 1. Lại có lim. Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y Câu 10.. 1 là 3 . 2 f x 1. (THPT Bạch Dằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số y . x. 2. 4 x 3 x 2 x. x f 2 x 2 f x . B. 3 .. A. 2 .. có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?. C. 4 .. D. 6 .. Lời giải. x y. 2. 4 x 3 x 2 x. x f. 2. x 2 f x . Điều kiện tồn tại căn. . x 1 x 3 x x 1 x. f x . f x 2. x 0 x2 x : . x 1. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(533)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 0 Xét phương trình x f 2 x 2 f x 0 f x 0 . f x 2 Với x 0 ta có lim x 0. x 1 x 3 x x 1 x 1 x 3 x 1 lim . x 0 x. f x . f x 2 x . f x . f x 2 . Suy ra x 0 là. tiệm cận đứng. Với f x 0 x 3 (nghiệm bội 2) hoặc x a (loại vì 1 a 0 ). Ta có: lim x 3. x 1 x 3 x x 1 x. f x . f x 2 . nên x 3 là tiệm cận đứng.. x 1 Với f x 2 x b 3 b 1 (nghiệm bội 1). Ta có: x c c 3 x 1 x 3 x x 1 lim 0 x1 x. f x . f x 2 x 1 x 3 x x 1 lim 0 nên x 1 không là tiệm cận x b x. f x . f x 2 x 1 x 3 x x 1 0 xlim 1 x . f x . f x 2 đứng. lim. x 1 x 3 x x 1 x. f x . f x 2. (do x b thì f x 2 ) nên x b là tiệm cận đứng.. lim. x 1 x 3 x x 1 x. f x . f x 2 . (do x c thì f x 2 ) nên x c là tiệm cận đứng.. x b. x c. Vậy đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng. Câu 11.. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số g x . A. 2 .. x . 2. 3x 2 x 1. x f 2 x f x . B. 4 .. có bao nhiêu tiệm cận đứng?. C. 3 . Lời giải. D. 5 .. Chọn C Nhận xét 1: Với x0 1 và lim g x hoặc lim g x có kết quả là hoặc thì x x0 là tiệm x x0. x x0. cận đứng của của đồ thị hàm số g x .. . Nhận xét 2: Dựa vào đồ thị hàm số f x ta có: f x a x x1. x 2. 2. .. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(534)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 0 Ta có x f 2 x f x 0 f x 0 . f x 1 . x x1 , 0 x1 1 f x 0 . x 2 x 1 f x 1 x x2 ,1 x2 2 suy ra f x 1 a x 1 x x2 x x3 . x x , x 2 3 3 Khi đó ta có g x . x. 2. 3x 2 x 1. x f 2 x f x . . x 1 x 2 x 1 . x. f x f x 1. x 1 x 2 x 1 x 1 2 . 2 x.a x x1 x 2 .a x 1 x x2 x x3 a x x x1 x 2 x x2 x x3 x 0, x x1 không phải tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y g x không thỏa mãn điều kiện x0 1 . Đồ thị hàm số g x có 3 đường tiệm cận đứng là: x 2, x x2 , x x3 .. g x . Câu 12.. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hàm số bậc ba f x ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ sau.. Hỏi đồ thị hàm số g x . x. 2. 3x 2 x 1. x 1 f 2 x f x . A. 5 .. có bao nhiêu tiệm cận đứng?. B. 4 .. C. 6 . Lời giải. D. 3 .. Chọn D Ta có g x . x 1 x 2 x 1 x 1 f x f x 1. x 1 Đkxđ: f x 0 f x 1 Dựa vào đồ thị hàm số y f x , ta có:. x 2 f x 0 với x 2 là nghiệm kép, x1 0;1 . x x1 x 1 f x 1 x x2 với x2 1; 2 ; x3 2 . x x3 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(535)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Vậy g x . . a. 2. x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 2 x x1 x 1 x x2 x x3 . x 1 a x 1 x 2 x x1 x x2 x x3 2. Vậy đồ thị hàm số có 3 TCĐ x 2; x x2 ; x x3 (do x 1 nên ta loại x 1; x x1 ). Câu 13.. (THPT Thuận Thành 3 - Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f ( x) là hàm số đa thức có đồ thì. x2 x như hình vẽ dưới đây, đặt g x 2 . Hỏi đồ thị hàm số y g x có bao nhiêu tiệm f x 2 f x cận đứng?. A. 5 .. C. 4 . Lời giải. B. 3 .. D. 2 .. Chọn C. f 2 Ta xét phương trình f x 2 f x 0 f. g x . x2 x 2. ax x 1 x x1 x x2 x x3 . . x 1 x x 1 x 0 1 x 0 . Khi đó x 2 x x2 1 x x 1, x x 3 3 1 1. a x 1 x x1 x x2 x x3 . ; a 0 .. Vậy đồ thị hàm số y g x có 4 đường tiệm cận đứng. Câu 14.. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên dưới.. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(536)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y A. 2.. B. 4.. C. 3. Lời giải. 1 là f x x 3 3. D. 1.. Chọn A Tính tiệm cận ngang. x Ta có x 3 x lim. x . x x 3 x lim. x . 1 0 f x x 3 3. 1 0 f x x 3 3. Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y 0 . Tính tiệm cận đứng. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của phương trình f x 3 x 3 0 . Dựa vào bảng biến thiên ta có f x 3 x 3 0 f x 3 x 3 x 3 x x0 ; x0 ;1 Vì hàm số y x3 x đồng biến trên do đó x3 x x0 ; x0 ;1 có một nghiệm duy nhất. Vậy đồ thị hàm số y Câu 15.. 1 có 1 tiệm cần đứng. f x x 3 3. (THPT Minh Khai 2020) Cho hàm số y f x ax3 bx 2 cx d có đồ thị như bên dưới.. Hỏi đồ thị hàm số y A. 4 .. x. 2. 2x 2 x. x 3 f 2 x f x B. 6 .. có bao nhiêu đường tiệm cận đứng C. 3 . Lời giải. D. 5 .. Chọn C Ta có y x 3ax 2 2bx c . Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đạt cực trị tại x 0 , x 2 . Do đó, ta có hệ y 0 1 d 1 a 1 b 3 y 2 3 c 0 . 12 a 4 b 0 c 0 y 0 0 8a 4b 4 d 1 y 2 0 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(537)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Vậy y f x x3 3x 2 1 . Khi đó y . x. x lim. x 0. 2. . 2. 2. x x f x x 3 x. 2. 2x 2 x. 3. 3 x 1 x 3 x 2. 3. 2. . x. x. 2. 2. 2x 2 x. x 3. 2. x. 3. 3 x 2 1. .. x 0 x 3 3 2 x 3 x 1 0 x x1 1;0 . x x 0;1 2 x x3 2;3. . x. Hàm số y 2. 2x 2 x. x 3 f. Ta có x 2 x 3. x. 2. 2. 2x 2 x. x 3. 2. x. 3. có tập xác định D ;2 \ 0; x1 ; x2 .. 3 x 2 1. 2x 2 x 2. x 2 x 3 x 3 3x 2 1. x x 2 2 x. lim. 2. x 2 x 3 x3 3 x 2 1. x 0. lim x 0. x 2 2 x . 2 x x 3 x3 3 x 2 1. Suy ra x 0 là đường tiệm cận đứng. lim. x x1. x. 2. 2x 2 x 2. x 2 x 3 x3 3 x 2 1. , lim x x2. x. 2. 2x 2 x 2. x 2 x 3 x3 3 x 2 1. .. Suy ra x x1 và x x2 cũng là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Câu 16.. (Yên Phong 1 - 2018) Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d , a 0 có đồ thị như hình dưới đây.. Hỏi đồ thị hàm số g x A. 2 .. f x. x 1. 2. x. 2. 4 x 3. có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?. C. 3 .. B. 1.. D. 4 .. Lời giải x 2 f x 0 x 1 x 2 Điều kiện xác định: x 1 . x 3 x2 4 x 3 0 x 1 x 3 Ta có lim g x lim x 3. x 3. f x. x 1. Vậy đồ thị hàm số g x . 2. x. 2. 4 x 3. và lim g x lim. f x. x 1. 2. x. 2. 4 x 3. x 3. x 3. f x. x 1. 2. x. 2. 4 x 3. .. có một đường tiệm cận đứng là: x 3 .. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(538)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 17.. (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số trùng phương y ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y . A. 5.. x 2 4 x 2 2 x f x 2 f x 3 2. B. 2.. có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng?. C. 3. Lời giải. D. 4.. Chọn D. x2 4 x2 2 x. x x 2 x 2 y 2 2 f x 2 f x 3 f x 2 f x 3 2. x m m 2 x 0 f x 1 2 x n n 2 Ta có: f x 2 f x 3 0 3 f x x 2 x 2 . Dựa vào đồ thị ta thấy các nghiệm x 0; x 2 là các nghiệm kép (nghiệm bội 2) và đa thức x x 2 x 2 2 f x 2 f x 3 có bậc là 8 nên y a 2 x 2 x 2 2 x 2 2 x m x n 2. Vậy hàm số có các tiệm cận đứng là x 0; x 2; x m; x n . -------------------- HẾT --------------------. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(539)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. ĐỌC ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ. Chuyên đề 7. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH 5-6 ĐIỂM Dạng. Nhận dạng hàm số thường gặp thông qua đồ thị. a 0 . A. Hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a0. TRƯỜNG HỢP. a0. /. Phương trình y 0 có. y. y 1. 2 nghiệm phân biệt. 1. O. 1. x. 1. O. Phương trình y / 0 có. x. y. y. 1. nghiệm kép. 1. O. 1. x. 1. O. Phương trình y / 0 vô. x. y. y. nghiệm. 1 1. O. x. 1 1. O. x. B. Hàm số trùng phương y ax 4 bx 2 c TRƯỜNG HỢP. a0. a 0 a0. /. Phương trình y 0. y. có 3 nghiệm phân biệt (ab<0). y. 1 1. 1. O. Phương trình y / 0. 1. O. x. x. y. y. có 1 nghiệm.. 1 1. O. 1. x. 1. O. C. Hàm số nhất biến y . ax b cx d. x. c 0, ad bc 0 . Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(540)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. D ad bc 0. Câu 1.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong dưới đây?. A. y x4 2 x 2 . Câu 2.. C. y x3 3x 2 .. D. y x3 3 x 2 .. 3 B. y x 3x .. 4 2 C. y x 2x .. 4 2 D. y x 2x .. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?. A. y x 3 3x 2 1 . Câu 4.. B. y x 4 2 x 2 .. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?. 3 A. y x 3x .. Câu 3.. D ad bc 0. B. y x 3 3 x 2 1 .. C. y x 4 2 x 2 1 .. D. y x 4 2 x 2 1 .. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?. A. y x 4 2 x 2 .. B. y x 3 3 x .. C. y x 4 2 x 2 .. D. y x 3 3x .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(541)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 5.. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f x 1 là A. 1 . C. 2 .. Câu 6.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?. A. y x 4 2 x 2 1 . Câu 7.. B. 0 . D. 3 .. B. y x3 3 x 2 1 .. C. y x3 3x 2 1 .. D. y x 4 2 x 2 1.. (Mã 101 - 2020 Lần 2) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình bên A. y x 4 2x2 2 B. y x3 2x 2 2 C. y x3 3x2 2 D. y x 4 2x 2 2. Câu 8.. Câu 9.. (Mã 104 2017) Đường cong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?. A. y x3 3x 2 B. y x 4 x 2 1 C. y x 4 x 2 1 D. y x 3 3 x 2 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?. A. y x 4 2 x 2 1 .. B. y x 4 2 x 2 1 .. C. y x3 3x 2 1 .. D. y x3 3x 2 1 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(542)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 10.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Đồ thị của hàm số dưới đây có dạng như đường cong bên?. A. y x3 3x 1 . B. y x 4 2 x 2 1 . C. y x 4 2 x 2 1 . D. y x3 3x 1 . Câu 11. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?. A. y x 4 2 x 2 . B. y x3 3 x . C. y x3 3 x . D. y x 4 2 x 2 . Câu 12. (Mã 102 2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?. A. y x 3 x 2 1 B. y x 4 2 x 2 1 C. y x 3 x 2 1 D. y x 4 2 x 2 1 Câu 13. (Đề Tham Khảo 2019) Đường con trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?. 2x 1 x 1 B. y C. y x 4 x 2 1 D. y x3 3x 1 x 1 x 1 Câu 14. (Mã 110 2017) Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. y . A. y x3 3x2 1 B. y x3 3x 2 3 C. y x 4 2 x 2 1 D. y x 4 2 x 2 1 . Câu 15. (Mã 103 2019) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên? Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(543)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. y x 3 3 x 2 2 . B. y x 4 2 x 2 2 . C. y x 3 3 x 2 2 . D. y x 4 2 x 2 2 . Câu 16. (Đề Tham Khảo 2017) Cho đường cong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?. 2x 3 2x 1 2x 2 2x 1 B. y C. y D. y x 1 x 1 x 1 x 1 Câu 17. (Đề Minh Họa 2017) Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C , D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y . A. y x3 3 x 1 B. y x3 3 x 1 C. y x 4 x 2 1 D. y x 2 x 1 Câu 18. (Mã 101 2019) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?. A. y x3 3x 2 3 . B. y x 3 3 x 2 3 . C. y x 4 2 x 2 3 . D. y x 4 2 x 2 3 . Câu 19. (Mã 101 2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?. A. y x3 3x 2 1 B. y x 3 3 x 2 1 C. y x 4 3 x 2 1 D. y x 4 3 x 2 1 Câu 20. (Mã 104 2019) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên? Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(544)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. y 2 x 4 4 x 2 1 B. y 2 x 3 3x 1 C. y 2 x 3 3 x 1 D. y 2 x 4 4 x 2 1 Câu 21. (Mã 102 2019) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên. A. y x3 3x 1 . B. y x3 3x 1 . C. y x4 2 x2 1. D. y x 4 2 x 2 1. Câu 22. (Mã 104 2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?. A. y x 4 x 2 2 B. y x 4 x 2 2 C. y x3 3 x 2 2 D. y x 3 3 x 2 2 Câu 23. (Mã 103 2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? y. x O. A. y x 3 3x 1 B. y x 4 3x 2 1 C. y x 3 3 x 1 D. y x 4 x 2 1 Câu 24. (Mã 123 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?. A. y x 4 x 2 1. B. y x 4 x2 1. C. y x 3 x 2 1. D. y x 3 x2 1. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(545)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 25.. (Đề Tham Khảo 2018) Đường cong trong hình bên là của đồ thị hàm số nào dưới đây?. D. y x 4 2 x 2 2 ax b Câu 26. (Mã 123 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y với a , b , c , d là các số cx d thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. Câu 27.. A. y x3 3x 2 2. B. y x3 3x2 2. C. y x4 2 x2 2. A. y 0, x . B. y 0, x 1. C. y 0, x 1. (Mã 105 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y . D. y 0, x . ax b với a , b, c , d là các số cx d. thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. A. y 0, x 1 B. y 0, x 1 C. y 0, x 2 D. y 0, 2 Câu 28. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Hình vẽ sau đây là đồ thị của một trong bốn hàm số cho ở các đáp án A, B, C , D . Hỏi đó là hàm số nào?. A. y x 3 2 x 1 .. B. y x3 2 x 2 1 .. C. y x3 2 x 1 .. D. y x3 2 x 1 .. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(546)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 29.. (Sở Cần Thơ - 2019) Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào. x 1 2x 1 2x 3 2x 5 . B. y . C. y . D. y . x 1 x 1 x 1 x 1 (SGD Nam Định) Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào dưới đây?. A. y Câu 30.. x 1 2 x 1 D. y x3 3 x 2 . . B. y . C. y x 4 3x 2 . x 1 2x 2 (Sở Gia Lai 2019) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?. A. y Câu 31.. A. y x 3 3 x 1 .. B. y x 4 x 2 1 .. C. y x 2 x 1 .. D. y x 3 3 x 1 .. -------------------- HẾT --------------------. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(547)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 7. ĐỌC ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Xét dấu của các hệ số hàm số thông qua đồ thị. Câu 1.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số y ax3 3 x d a; d có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. A. a 0, d 0 . Câu 2.. B. a 0, d 0 .. C. a 0, d 0 .. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f x . ax 1 bx c. D. a 0, d 0 .. a, b, c . có bảng biến thiên như. sau:. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(548)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Trong các số a, b và c có bao nhiêu số dương? A. 2. B. 3. C. 1. Câu 3.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d a, b, c, d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a , b , c , d ?. A. 4 . Câu 4.. B. 1 .. C. 2 .. D. 3 .. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d a, b, c, d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các hệ số a, b, c, d ?. A. 4 . Câu 5.. D. 0.. B. 3 .. C. 1 .. D. 2 .. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d a, b, c, d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a , b, c, d ? A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 3 .. Câu 6.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d a, b, c, d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a , b, c, d ?. A. 4 .. B. 2 .. C. 1 .. D. 3 .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(549)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 7.. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x ax3 bx 2 cx d. a, b, c, d . có bảng biến thiên. như sau. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 2 . B. 4 . C. 1 . Câu 8.. D. 3 .. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x ax 3 bx 2 cx d a, b, c, d có bảng biến thiên như sau:. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 3. B. 4. C. 2. Câu 9.. D. 1.. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f x ax 3 bx 2 cx d a, b, c, d có bảng biến thiên như sau:. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 2 . B. 4 . C. 1 . Câu 10.. D. 3 .. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x ax 3 bx 2 cx d a, b, c, d có bảng biến thiên như sau:. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1 . 3 2 Câu 11. Cho hàm số y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. A. a 0, b 0, c 0, d 0 C. a 0, b 0, c 0, d 0. B. a 0, b 0, c 0, d 0 . D. a 0, b 0, c 0, d 0 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(550)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 12.. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số y ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?. A. a 0, b 0, c 0 Câu 13.. B. a 0, b 0, c 0. C. a 0, b 0, c 0 D. a 0, b 0, c 0 ax b (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho hàm số y có đồ thị như sau. cx d. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ac 0; bd 0 B. ab 0; cd 0 C. bc 0; ad 0 D. ad 0; bd 0 3 2 Câu 14. (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y ax bx cx d a 0 có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Chọn khẳng định đúng về dấu của a , b , c , d ?. A. a 0 , b 0 , d 0 , c 0 C. a 0, b 0, c 0, d 0.. B. a 0 , c 0 b , d 0 D. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 a 1 x b Câu 15. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Cho hàm số y , d 0 có đồ thị như hình trên. Khẳng c 1 x d định nào dưới đây là đúng?. A. a 1, b 0, c 1.. B. a 1, b 0, c 1.. C. a 1, b 0, c 1.. D. a 1, b 0, c 1.. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(551)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 16.. 4 2 (Sở Ninh Bình 2019) Cho hàm số y ax bx c ( a 0 ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a 0 , b 0 , c 0 . B. a 0 , b 0 , c 0 . C. a 0 , b 0 , c 0 . D. a 0 , b 0 , c 0 . Câu 17. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Hàm số y ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ bên dưới:. Khẳng định nào là đúng? A. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . C. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 .. B. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . D. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . ax b Câu 18. (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số y có đồ thị như hình bên dưới, với a , b , c . xc Tính giá trị của biểu thức T a 2b 3c ?. A. T 8 . B. T 2 . C. T 6 . D. T 0 . 3 2 Câu 19. (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y ax bx cx d có đồ thị như hình bên. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?. A. ab 0, bc 0, cd 0 C. ab 0, bc 0, cd 0. B. ab 0, bc 0, cd 0 D. ab 0, bc 0, cd 0 Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(552)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 20.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào sau đây đúng ?. A. a 0, b 0, c 0, d 0 C. a 0, b 0, c 0, d 0 Câu 21.. B. a 0, b 0, c 0, d 0 D. a 0, b 0, c 0, d 0. (THPT Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. A. a 0, b 0, c 0 .. B. a 0, b 0, c 0 .. C. a 0, b 0, c 0 . D. a 0, b 0, c 0 ax b Câu 22. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hàm số y có đồ thị như trong hình bên cx d dưới. Biết rằng a là số thực dương, hỏi trong các số b , c , d có tất cả bao nhiêu số dương?. A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 3 . 3 2 Câu 23. (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Hàm số y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ bên dưới:. Khẳng định nào là đúng? A. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . C. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 .. B. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . D. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 .. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(553)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. ax b Câu 24. (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Cho hàm số y có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào cx d sau đây là khẳng định đúng?. ad 0 A. . B. bc 0 Câu 25. Tìm đồ thị hàm số y . ad 0 . bc 0. f x. ad 0 ad 0 C. . D. . bc 0 bc 0 được cho bởi một trong các phương án dưới đây, biết. 2. f x a x b x với a b .. .. A.. B.. .. C.. D.. .. .. Câu 26. Cho đường cong C : y ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình bên.. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a 0, b 0, c 0, d 0 . B. a 0, b 0, c 0, d 0 . C. a 0, b 0, c 0, d 0 . D. a 0, b 0, c 0, d 0 . 4 2 Câu 27. (Gia Lai 2019) Hàm số y ax bx c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?. A. a 0 , b 0 , c 0 . C. a 0 , b 0 , c 0 .. B. a 0 , b 0 , c 0 . D. a 0 , b 0 , c 0 .. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(554)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 28.. (THPT Thăng Long 2019) Cho hàm số y ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình vẽ. Tìm kết luận đúng. A. a b 0 . B. bc 0 . C. ab 0 . D. ac 0 . 4 2 Câu 29. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hàm số y ax bx c (a 0) có đồ thị như hình bên. Hãy chọn mệnh đề đúng.. A. a 0, b 0, c 0 . B. a 0, b 0, c 0 . C. a 0, b 0, c 0 . D. a 0, b 0, c 0 . Câu 30. (Chuyên Long An 2019) Cho hàm số y f ( x) ax 3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ ở bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?. A. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . B. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . C. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . D. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . Câu 31. (THPT Trần Phú 2019) Cho hàm số bậc bốn trùng phương y ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?. A. a 0, b 0, c 0 . B. a 0, b 0, c 0 . C. a 0, b 0, c 0 . D. a 0, b 0, c 0 . Câu 32. (THPT Cộng Hiền 2019) Cho hàm số y ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?. A. a 0, b 0, c 0 .. B. a 0, b 0, c 0 .. C. a 0, b 0, c 0 .. D. a 0, b 0, c 0 .. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(555)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. ax 3 Câu 33. (SGD Điện Biên - 2019) Cho hàm số y có đồ thị như hình vẽ bên. Tính giá trị của xc a 2c.. A. a 2c 3.. B. a 2c 3. ax b Câu 34. Hình vẽ bên là đồ thị hàm số y . cx d. C. a 2c 1.. D. a 2c 2.. . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ad 0 và bd 0 . B. ad 0 và ab 0 . C. bd 0 và ab 0 . D. ad 0 và ab 0 . ax b Câu 35. Cho hàm số y có đồ thị như hình vẽ dưới đây: x 1. Khẳng định nào sau đây đúng? A. b a 0 . B. a b 0 . Câu 36.. C. b a và a 0 .. D. a 0 b .. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Đồ thị trong hình bên dưới là của hàm số ax b (với a, b, c ). y xc. Khi đó tổng a b c bằng A. 1. B. 1.. C. 2 .. D. 0 .. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(556)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 37.. (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hàm số f ( x) . 2 ax a, b, c , b 0 có bx c. bảng biến thiên như sau:. 2. Tổng các số a b c thuộc khoảng nào sau đây A. 1; 2 . Câu 38.. B. 2;3 .. 4 C. 0; . 9. 4 D. ;1 . 9 . ax b (a, b, c, d và c 0 ). Biết cx d rằng đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm 1;7 và giao điểm hai tiệm cận là 2;3 . Giá trị biểu (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số f ( x) . 2a 3b 4c d bằng 7c A. 7 . B. 4 . thức. Câu 39.. C. 6 .. D. 5 .. (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hàm số y . ax 1 ( a, b, c là các tham số) có bx c. bảng biến thiên như hình vẽ. Xét các phát biểu sau: 1 : c 1; 2 : a b 0; 3 : a b c 0; 4 : a 0 . Số phát biểu đúng là? A. 1. Câu 40.. B. 2 .. C. 3 .. D. 4 .. (Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Ta xác định được các số a , b , c để đồ thị hàm số y x3 ax 2 bx c đi qua điểm 1;0 và có điểm cực trị. 2;0 .. Tính giá trị biểu thức. T a2 b2 c2 . A. 25. B. 1. C. 7. D. 14. 3 2 Câu 41. (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ. Tính S a b ?. A. S 2 .. B. S 0 .. C. S 1 .. D. S 1 .. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(557)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 42.. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. A. a 0, b 0, c 0, d 0 . C. a 0, b 0, c 0, d 0 . Câu 43.. B. a 0, b 0, c 0, d 0 . D. a 0, b 0, c 0, d 0 .. (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số y . ax b a , b , c có bảng biến thiên như cx 1. sau:. Tập các giá trị b là tập nghiệm của bất phương trình nào dưới đây? A. b 3 8 0. B. b 2 4 0. C. b 2 3b 2 0. Câu 44.. (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y dưới đây. Tính giá trị biểu thức T . A. T 6 . Câu 45.. B. T 0 .. D. b3 8 0.. ax b (với a, b, c, d là số thực) có đồ thị như hình cx d. a 2b 3d . c. C. T 8 .. D. T 2 .. (Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ. Trong các số a, b, c và d có bao nhiêu số dương?. A. 1 .. B. 4 .. C. 3 .. D. 2 .. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(558)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 46.. (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hàm số f x . ax 6 bx c. a, b, c có bảng biến thiên như. sau:. Trong các số a , b, c có bao nhiêu số âm? A. 0 . B. 3 .. C. 1.. D. 2 .. Dạng 2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối (BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ) Dạng 1. . f x Ta có: y f x f x * Cách vẽ C từ C :. f x 0 f x 0. . Từ đồ thị C : y f x suy ra đồ thị C : y f x .. khi khi. . Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C): y f x . Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. y Ví dụ: Từ đồ thị C : y f x x 3 3 x suy ra đồ thị 2. C : y x. 3. y x 3x .. 3. 3x. 1. Biến đổi C :. -1. . Bỏ phần đồ thị của C. . dưới Ox , giữ nguyên C. phía trên. O. x. -2. Ox. Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox .. C : y x. y. 2. -1. O. 1. Dạng 2 Từ đồ thị C : y f x suy ra đồ thị C : y f x .. . f x Ta có: y f x f x . . . khi x 0 khi x 0. là hàm chẵn nên đồ thị C nhận Oy làm trục đối xứng.. và y f x. . . * Cách vẽ C từ C :. . . Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị C : y f x .. . Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của C , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương x. 3. 3x.
<span class='text_page_counter'>(559)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. . . y. 3. Ví dụ: Từ đồ thị C : y f x x 3x suy ra đồ thị 3. C : y x 3 x . Biến đổi C : Bỏ phần đồ thị của C . C : y x. y. 2. -1. 3. 3x 1. O. x. 1 -1. . O. x. bên trái Oy, giữ nguyên C. -2. -2. bên phải Oy. Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy .. C : y x Chú ý với dạng: y f x ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y f x và y f x y Ví dụ: Từ đồ thị C : y f x x 3x C : y x 3 x suy ra đồ thị y x 3 x . Biến đổi C 2. 3. 3x. 3. 3. 3. 3. . để được đồ thị C : y x 3 x . Biến đổi. C : y x. 3. 3x. ta được đồ thị -1. 3. C : y . O. 1. x. x 3x .. Dạng 3. . u x .v x f x khi u x 0 Ta có: y u x .v x u x .v x f x khi u x 0 * Cách vẽ C từ C : Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u x 0 của đồ thị C : y f x . Bỏ phần đồ thị trên miền u x 0 của C , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. Từ đồ thị C : y u x .v x suy ra đồ thị C : y u x .v x .. Ví dụ Ví dụ 3 2 a) Từ đồ thị C : y f x 2x 3x 1 suy ra b) Từ đồ thị C : y f x x suy ra đồ thị x 1 2 đồ thị C : y x 1 2x x 1 x C : y x 1. . . . . . . . . . x f x khi x 1 khi x 1; y x 1 2x 2 x 1 x x 1 thị f x khi x 1 y . Đồ x 1 x khi x ;1 Đồ thị (C’): x 1 Giữ nguyên (C) với x 1 . (C’): Bỏ (C) với x 1 . Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ Bỏ phần đồ thị của C với x 1, giữ nguyên C qua Ox. với x 1. Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.. . . . . . . Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(560)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 y. (C'). y. 1. 1 O. 1. x. O 1. x. (C). Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C): giao xứng các đường tiệm cận để thực hiện phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác. điểm với Ox, Oy, CĐ, CT… Câu 1.. Câu 2.. Cho hàm số y x 3 3 x 2 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?. 3. A. y x3 3x 2 2 .. B. y x 3 x 2 2. C. y x 1 x 2 2 x 2 .. D. y x 1 x 2 2 x 2 .. (Đề Tham Khảo 2017) Hàm số y x 2 x 2 1 có đồ thị như hình vẽ bên. Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y x 2 x 2 1 ?. Câu 3.. A. Hình 1 B. Hình 2 C. Hình 3 D. Hình 4 y f x (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ.. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(561)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 4.. Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau: A. f x x3 x 2 4 x 4. B. f x x3 x 2 4 x 4. C. f x x3 x 2 4 x 4. D. f x x3 x 2 4 x 4.. Biết phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 ( a 0) có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số y ax 3 bx 2 cx d có bao nhiêu điểm cực trị?. Câu 5.. A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. 2 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y x 2 x 1 có đồ thị như hình vẽ. . . Một trong bốn hình dưới đây là đồ thị của hàm số y x 2 x 2 1 . Hỏi đó là hình nào?. Câu 6.. Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 A. Hình 2. B. Hình 4. C. Hình 3. D. Hình 1. 3 2 Cho hàm số y x 3 x 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?. A. y x3 3x 2 2 .. 3. B. y x 3x 2 2 Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(562)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. C. y x 1 x 2 2 x 2 . Câu 7.. Cho hàm số y . A. y Câu 8.. D. y x 1 x 2 2 x 2 .. x 1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? 2x 1. x 1 2x 1. B. y . x 1 2 x 1. x 1 2x 1. D. y . x 1 2x 1. Cho hàm số y x 3 6 x 2 9 x có đồ thị như Hình 1. Khi đó đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?. B. y x3 6 x 2 9 x .. A. y x 3 6 x 2 9 x . 3. 3. C. y x 6 x 2 9 x . Câu 9.. C. y . 2. D. y x 6 x 9 x .. x có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 x 1 2 là của hàm số nào trong các đáp án A, B, C, D dưới đây?. (Cụm liên trường Hải Phòng -2019) Cho hàm số y . A. y . x . 2 x 1. B. y 3. x 2 x 1. C. y . x 2 x 1. D. y . 2. x 2 x 1. Câu 10. Cho hàm số y x 3 x 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(563)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 3. A. y x3 3x 2 2 .. B. y x 3x 2 2. C. y x 1 x 2 2 x 2 .. D. y x 1 x 2 2 x 2 .. Câu 11. Cho hàm số y x 3 3 x 2 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?. 3. A. y x3 3x 2 2 .. B. y x 3x 2 2. C. y x 1 x 2 2 x 2 .. D. y x 1 x 2 2 x 2 .. Câu 12. Cho hàm số y . A. y . x 2 x 1. Câu 13. Cho hàm số y . A. y . x 1 . x2. x có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? 2x 1. B. y . x 2 x 1. C. y . x 2x 1. D. y . x 2 x 1. x 1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? x2. B. y . x 1 . x 2. C. y . x 1 x2. D. y . x 1 x2. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(564)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 14. Cho hàm số y . A. y . x 1 . x2. x 1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? x2. B. y . x 1 . x 2. C. y . x 1 . x2. D. y . x 1 . x2. Câu 15. Cho hàm số y x 1 x 2 2 x 3 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?. A. y x 1 x 2 2 x 3 .. B. y x 1 x 2 2 x 3 .. C. y x 1 x 2 2 x 3. D. y x 1 x 2 2 x 3. Câu 16. Cho hàm số y . A. y . x 1 . x2. x 1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? x 2. B. y . x 1 . x2. C. y . x 1 . x 2. D. y . -------------------- HẾT --------------------. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương x 1 . x2.
<span class='text_page_counter'>(565)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. ĐỌC ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ. Chuyên đề 7. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH 5-6 ĐIỂM Dạng. Nhận dạng hàm số thường gặp thông qua đồ thị. a 0 . A. Hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a0. TRƯỜNG HỢP. a0. /. Phương trình y 0 có. y. y 1. 2 nghiệm phân biệt. 1. O. 1. x. 1. O. Phương trình y / 0 có. x. y. y. 1. nghiệm kép. 1. O. 1. x. 1. O. Phương trình y / 0 vô. x. y. y. nghiệm. 1 1. O. x. 1 1. O. x. B. Hàm số trùng phương y ax 4 bx 2 c TRƯỜNG HỢP. a0. a 0 a0. /. Phương trình y 0. y. có 3 nghiệm phân biệt (ab<0). y. 1 1. 1. O. Phương trình y / 0. 1. O. x. x. y. y. có 1 nghiệm.. 1 1. O. 1. x. 1. O. C. Hàm số nhất biến y . ax b cx d. x. c 0, ad bc 0 . Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(566)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. D ad bc 0. Câu 1.. D ad bc 0. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong dưới đây? A. y x4 2 x 2 .. B. y x 4 2 x 2 .. C. y x3 3x 2 .. D. y x3 3 x 2 .. Lời giải Chọn A Từ hình dạng của đồ thị ta loại phương án C và D. Nhận thấy lim f ( x) suy ra hệ số của x4 âm nên chọn phương án A. x . Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?. 3 A. y x 3x .. 3 B. y x 3x .. 4 2 C. y x 2x .. 4 2 D. y x 2x .. Lời giải Chọn A Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc 3 với hệ số a 0 nên chỉ có hàm số y x 3 3 x thỏa yêu cầu bài toán. Câu 3.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(567)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. y x3 3x 2 1 .. B. y x 3 3 x 2 1 .. C. y x 4 2 x 2 1 .. D. y x 4 2 x 2 1 . Lời giải. Chọn C. Từ hình có đây là hình dạng của đồ thị hàm bậc 4. lim f x lim f x a 0 x . Câu 4.. x . (Mã 102 - 2020 Lần 1) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?. A. y x 4 2 x 2 .. B. y x 3 3 x .. C. y x 4 2 x 2 .. D. y x3 3 x .. Lời giải Chọn A Đường cong trong hình là đồ thị hàm trùng phương y ax 4 bx 2 c a 0 có hệ số a 0 . Câu 5.. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f x 1 là A. 1 . C. 2 .. B. 0 . D. 3 . Lời giải. Chọn D Từ đồ thị hàm số ta có số nghiệm thực của phương trình f x 1 là 3 . Câu 6.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(568)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. y x 4 2 x 2 1 .. B. y x 3 3 x 2 1 .. C. y x 3 3x 2 1 .. D. y x 4 2 x 2 1.. Lời giải Chọn A Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên loại các đáp án B và. . 4. 2. . Mặt khác, ta thấy lim x 2 x 1 nên chọn đáp án x. Câu 7.. C.. A.. (Mã 101 - 2020 Lần 2)Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình bên A. y x 4 2x2 2. B. y x3 2x 2 2. C. y x3 3x2 2. D. y x 4 2x2 2 Lời giải. Chọn B Qua đồ thị là hàm bậc 3 nên loại A, D. Bên phải ngoài cùng của đồ thị đi xuống nên hệ số a < 0 loại đáp án C Câu 8.. (Mã 104 2017) Đường cong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?. A. y x 3 3x 2. B. y x 4 x 2 1. C. y x 4 x 2 1. D. y x3 3 x 2. Lời giải Chọn D Đồ thị hình vẽ là đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a 0 nên chỉ có hàm số y x 3 3 x 2 thỏa mãn Câu 9.. điều kiện trên. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?. A. y x 4 2 x 2 1 .. B. y x 4 2 x 2 1 .. C. y x3 3x 2 1 .. D. y x3 3x 2 1 .. Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị có dạng đồ thị của hàm số bậc 3 có hệ số a 0 nên đáp án D đúng. Câu 10.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Đồ thị của hàm số dưới đây có dạng như đường cong bên?. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(569)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. y x3 3x 1 .. B. y x 4 2 x 2 1 .. C. y x 4 2 x 2 1.. D. y x3 3x 1 . Lời giải. Chọn A Câu 11.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?. A. y x 4 2 x 2 .. B. y x 3 3x .. C. y x 3 3x .. D. y x 4 2 x 2 .. Lời giải Chọn C Đây là đồ thị của hàm số bậc ba với hệ số a 0 nên chọn Câu 12.. C.. (Mã 102 2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?. A. y x 3 x 2 1. B. y x 4 2 x 2 1. C. y x3 x 2 1. D. y x 4 2 x 2 1. Lời giải Chọn D Dựa vào hình vẽ suy ra hàm số đã cho có 3 cực trị loại C, D. Mặt khác nhánh bên tay phải của đồ thị hàm số đi lên suy ra hệ số a 0 Chọn D Câu 13.. (Đề Tham Khảo 2019) Đường con trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(570)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. y . 2x 1 x 1. B. y . x 1 x 1. C. y x 4 x 2 1. D. y x3 3x 1. Lời giải Chọn B Vì từ đồ thị ta suy ra đồ thị của hàm phân thức có tiệm cận đứng và ngang x 1; y 1 Câu 14.. (Mã 110 2017) Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?. A. y x3 3x2 1. B. y x3 3x 2 3. C. y x 4 2 x 2 1. D. y x 4 2 x 2 1 .. Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta thấy đây là hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba nên loại đáp án B và C; Mặt khác dựa vào đồ thị ta có lim y nên hệ số của x3 dương nên ta chọn đáp án y x3 3x 2 3 x . Câu 15.. (Mã 103 2019) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?. A. y x 3 3 x 2 2 .. B. y x 4 2 x 2 2 .. C. y x 3 3 x 2 2 .. D. y x 4 2 x 2 2 .. Lời giải Chọn B Quan sát đò thị ta thấy đây là đồ thị của hàm số y ax 4 bx 2 c a 0 . Vậy chọn B. Câu 16.. (Đề Tham Khảo 2017) Cho đường cong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(571)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. y . 2x 1 x 1. B. y . 2x 3 x 1. C. y . 2x 1 x 1. D. y . 2x 2 x 1. Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị suy ra tiệm cận đứng x 1 loại C, D Đồ thị hàm số giao với trục hoành có hoành độ dương suy ra chọn B. Câu 17.. (Đề Minh Họa 2017) Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C , D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?. A. y x3 3 x 1. B. y x3 3 x 1. C. y x 4 x 2 1. D. y x 2 x 1. Lời giải Chọn A Từ đồ thị : lim y và đây là đồ thị hàm bậc ba nên ta chọn phương án y x 3 3x 1. x . Câu 18.. (Mã 101 2019) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(572)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. y x3 3x 2 3 .. B. y x 3 3 x 2 3 .. C. y x 4 2 x 2 3 .s. D. y x 4 2 x 2 3 . Lời giải. Chọn A Dạng hàm bậc ba nên loại C Từ đồ thị ta có a 0 . Do đó loại B, D. Câu 19.. (Mã 101 2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?. A. y x 3 3x 2 1. B. y x 3 3 x 2 1. C. y x 4 3 x 2 1. D. y x 4 3x 2 1. Lời giải Chọn C + Nhìn đồ thị khẳng định đồ thị hàm trùng phương loại B, C + lim y nên chọn x . D. Câu 20.. (Mã 104 2019) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?. A. y 2 x 4 4 x 2 1. B. y 2 x 3 3x 1. C. y 2 x 3 3 x 1. D. y 2 x 4 4 x 2 1. Lời giải Chọn D Dạng đồ thị hình bên là đồ thị hàm số trùng phương y ax 4 bx 2 c có hệ số a 0 . Do đó, chỉ có đồ thị ở đáp án B là thỏa mãn. Câu 21.. (Mã 102 2019) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(573)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. y x3 3x 1 .. B. y x 3 3x 1 .. C. y x 4 2 x2 1.. D. y x 4 2 x 2 1.. Lời giải Chọn A Trong bốn hàm số đã cho thì chỉ có hàm số y x3 3x 1 (hàm số đa thức bậc ba với hệ số. a 0 ) có dạng đồ thị như đường cong trong hình. Câu 22.. (Mã 104 2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?. A. y x 4 x 2 2. B. y x 4 x 2 2. C. y x 3 3 x 2 2. D. y x 3 3 x 2 2. Lời giải Chọn C Dựa trên hình dáng đồ thị, ta loại y x 3 3 x 2 2 và y x 4 x 2 2 Mặt khác từ đồ thị, ta thấy lim y nên loại y x 4 x 2 2. x . Câu 23.. (Mã 103 2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? y. x O. A. y x3 3 x 1. B. y x 4 3x 2 1. C. y x 3 3 x 1. D. y x 4 x 2 1. Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số là đồ thị của hàm số bậc ba nên loại A và B. Đồ thi hàm số bậc ba có hệ số a 0 nên D đúng. Câu 24.. (Mã 123 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(574)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. y x 4 x 2 1. B. y x 4 x2 1. C. y x 3 x 2 1. D. y x 3 x2 1. Lời giải Chọn A Đây là hình dáng của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có hệ số a 0 Câu 25.. (Đề Tham Khảo 2018) Đường cong trong hình bên là của đồ thị hàm số nào dưới đây?. A. y x3 3x 2 2. B. y x3 3x 2 2. C. y x 4 2 x 2 2. D. y x 4 2 x 2 2. Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số trên là đồ thị hàm trùng phương có 3 cực trị và có a 0 Câu 26.. (Mã 123 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y . ax b với a , b , c , d là các số cx d. thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. A. y 0, x . B. y 0, x 1. C. y 0, x 1. D. y 0, x . Lời giải Chọn C Ta có :. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(575)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Dựa vào hình dáng của đồ thị ta được: + Điều kiện x 1 + Đây là đồ thị của hàm nghịch biến Từ đó ta được y 0, x 1. Câu 27.. (Mã 105 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y . ax b với a , b, c , d là các số cx d. thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. A. y 0, x 1. B. y 0, x 1. C. y 0, x 2. D. y 0, 2. Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị ta nhận thấy tiệm cận đứng bằng 2, Hàm số nghịch biến vậy chọn B Câu 28.. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Hình vẽ sau đây là đồ thị của một trong bốn hàm số cho ở các đáp án A, B, C , D . Hỏi đó là hàm số nào?. A. y x 3 2 x 1 .. B. y x3 2 x 2 1 .. C. y x3 2 x 1 .. D. y x3 2 x 1 .. Lời giải lim y Dựa vào đồ thị, ta có , loại phương án D . x . Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(576)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Xét phương án A có y 3 x 2 2 0, x , hàm số không có cực tri, loại phương án A . Xét phương án B có y 3 x 2 6 x và y đổi dấu khi đi qua các điểm x 0, x 2 nên hàm số đạt cực tri tại x 0 và x 2 , loại phương án B . Vậy phương án đúng là C . Câu 29.. (Sở Cần Thơ - 2019) Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào. x 1 . x 1 Lời giải Chọn B. A. y . B. y . 2x 1 . x 1. C. y . 2x 3 . x 1. D. y . 2x 5 . x 1. Đồ thị hàm số cắt trục Oy tai điểm có tọa độ 0;1 nên chọn phương án B. Câu 30.. (SGD Nam Định) Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào dưới đây?. A. y . x 1 . x 1. B. y . 2 x 1 . 2x 2. C. y x 4 3x 2 .. D. y x3 3 x 2 .. Lời giải Chọn A. ax b c 0; ad bc 0 Loại phương án C, D cx d Ta thấy: Đồ thị có đường tiệm cận đứng là x 1 và đường tiệm cận ngang là y 1 Hình vẽ trên là đồ thị của hàm số dạng y . Phương án B: Đồ thị có đường tiệm cận đứng là x 2 loại B A đúng. Câu 31.. (Sở Gia Lai 2019) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(577)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. y x 3 3 x 1 .. B. y x 4 x 2 1 .. C. y x 2 x 1 .. D. y x 3 3 x 1 .. Lời giải Chọn D Đồ thị đã cho có hình dạng của đồ thị hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d nên loại phương án B và C Dựa vào đồ thị, ta có lim y a 0 nên loại phương án A x. -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(578)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. ĐỌC ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ. Chuyên đề 7. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Xét dấu của các hệ số hàm số thông qua đồ thị. Câu 1.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số y ax3 3 x d a; d có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. A. a 0, d 0 .. B. a 0, d 0 .. C. a 0, d 0 . Lời giải. D. a 0, d 0 .. Chọn D Ta có: lim đồ thị nhánh ngoài cùng của hàm số hướng đi xuống nên hệ số a 0 . x. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(579)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung Oy : x 0 là điểm nằm bên dưới trục hoành nên khi x 0 y d 0. Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f x . ax 1 bx c. a, b, c . có bảng biến thiên như. sau:. Trong các số a, b và c có bao nhiêu số dương? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Lời giải Chọn C ax 1 c Hàm số f x có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x và đường tiệm cận ngang bx c b a là đường thẳng y . b c b 2 c a b 1 Từ bảng biến thiên ta có: 2 a 1 b ac b Mặt khác: f ' x . 2 bx c Vì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ; 2 và 2; nên f ' x . ac b. bx c . 2. 0 ac b 0 2. c2 c 0 c 2 c 0 0 c 1 . 2 2 Suy ra c là số dương và a, b là số âm.. Thay 1 vào 2 , ta được: . Câu 3.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d a, b, c, d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a , b , c , d ?. A. 4 .. B. 1 .. C. 2 . Lời giải. D. 3 .. Chọn C. Ta có lim y a 0 . x . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(580)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Gọi x1 , x2 là hoành độ hai điểm cực trị của hàm số suy ra x1 , x2 nghiệm phương trình y 3ax 2 2bx c 0 nên theo định lý Viet: 2b b +) Tổng hai nghiệm x1 x2 0 0 b 0. 3a a c +) Tích hai nghiệm x1 x2 0 c 0. 3a Lại có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d 0 . Vậy có 2 số dương trong các số a , b , c , d . Câu 4.. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d a, b, c, d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các hệ số a , b, c, d ?. B. 3 .. A. 4 .. C. 1 . Lời giải. D. 2 .. Chọn C Ta có lim f x a 0 x . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía của trục tung nên ac 0 c 0 Đồ thị hàm số có điểm uốn nằm bên phải trục tung nên ab 0 b 0 Đồ thị hàm số cắt trục tung ở dưới trục hoành d 0 Câu 5.. (Mã 103 2020 Lần 1) Cho hàm số 3 2 y ax bx cx d a, b, c, d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 3 . Lời giải Chọn C Ta có y 3ax 2 2bx c . Dựa vào đồ thị ta thấy a 0. b 2 9ac 0 0 y b 0 2b 0 Hàm số có 2 cực trị âm nên S 0 c 0 P 0 3a c 0 3a Đồ thị cắt trục Oy tại điểm 0; d nên d 0 . Vậy có đúng một số dương trong các số a , b, c, d Câu 6.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d a, b, c, d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ?. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(581)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 4 .. B. 2 .. C. 1 . Lời giải. D. 3 .. Chọn C Ta có: y 3ax 2 2bx c Dựa vào đồ thị ta thấy a 0 b 2 9ac 0 y 0 b 0 2b Hàm số có 2 cực trị âm nên S 0 0 c 0 P 0 3a c 3a 0 Đồ thị cắt trục Oy tại điểm 0; d nên d 0 Vậy có đúng 1 số dương trong các số a, b, c, d . Câu 7.. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x ax3 bx 2 cx d. a, b, c, d . có bảng biến thiên. như sau. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 2 . B. 4 . C. 1 . Lời giải Chọn D Từ dáng điệu sự biến thiên hàm số ta có a 0. Khi x 0 thì y d 1 0 .. D. 3 .. x 2 Mặt khác f x 3ax 2 2bx c . Từ bảng biến thiên ta có f x 0 . x 0 2b Từ đó suy ra c 0; 2 b 3a 0 . 3a Vậy có 3 số dương là a, b, d . Câu 8.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x ax 3 bx 2 cx d a, b, c, d có bảng biến thiên như sau:. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(582)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 3. B. 4. C. 2. Lời giải Chọn C lim f x a 0.. D. 1.. x . f 0 1 d 1 0. f x 3ax 2 2bx c.. 2b 3a 2 b 3a 0 x x 2 1 2 . Ta có c 0 x1 x2 0 c 0 3a Có 2 số dương là a, b Câu 9.. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f x ax 3 bx 2 cx d a, b, c, d có bảng biến thiên như sau:. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 2 . B. 4 . C. 1 . Lời giải Chọn A. Từ bảng biến thiên, ta có. D. 3 .. 1 a 4 f (0) 3 d 3 f (4) 5 64a 16b 4c d 5 3 b 2 f (0) 0 c 0 f (4) 0 48a 8b c 0 c 0 d 3 Vậy trong các số a , b, c, d có 2 số dương.. Câu 10.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x ax 3 bx 2 cx d a, b, c, d có bảng biến thiên như sau:. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(583)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 4 . B. 2 .. C. 3 . Lời giải. D. 1 .. Chọn D Ta có: f x ax 3 bx 2 cx d a, b, c, d f x 3ax 2 2bx c. Đồ thị hàm số f x có hai điểm cực trị A 0; 1 , B 4; 5 nên ta có hệ: 1 f 0 1 a 8 d 1 64a 16b 4c d 5 3 f 4 5 b . Trong các số a, b, c, d có 1 số dương. 4 f 0 0 c 0 f 4 0 48a 8b c 0 c 0 d 1 Câu 11. Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. A. a 0, b 0, c 0, d 0 C. a 0, b 0, c 0, d 0. B. a 0, b 0, c 0, d 0 . D. a 0, b 0, c 0, d 0 . Lời giải. Chọn A Dựa vào đồ thị suy ra hệ số a 0 loại phương án C y 3ax 2 2bx c 0 có 2 nghiệm x1 , x2 trái dấu (do hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm hai phía với Oy ) 3a.c 0 c 0 loại phương án D. Do. C Oy D 0; d d 0. Câu 12.. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số y ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?. A. a 0, b 0, c 0. B. a 0, b 0, c 0. C. a 0, b 0, c 0 Lời giải. D. a 0, b 0, c 0. Chọn B Ta có đồ thị có hình dạng như trên với hàm bậc bốn trùng phương có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại nên a 0, b 0 . Giá trị cực đại nhỏ hơn 0 nên c 0 .. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(584)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 13.. ax b (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho hàm số y có đồ thị như sau. cx d. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ac 0; bd 0 B. ab 0; cd 0. C. bc 0; ad 0 Lời giải. D. ad 0; bd 0. Theo đồ thị:. a 0 1 c d d Tiệm cận đứng: x c 0 c 0 2 b b y 0 x 0 0 3 a a Tiệm cận ngang: y . Câu 14.. (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d a 0 có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Chọn khẳng định đúng về dấu của a , b , c , d ?. A. a 0 , b 0 , d 0 , c 0 C. a 0, b 0, c 0, d 0.. B. a 0 , c 0 b , d 0 D. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 lời giải. Chọn D Dựa vào đồ thị ta có a 0 , đồ thị cắt Oy tại 1 điểm có tung độ dương nên d 0 , đồ thị có 2 cực c trị trái dấu nên x1.x2 0 0 c 0 . Vậy đáp án D a Câu 15.. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Cho hàm số y . a 1 x b , d 0 có đồ thị như hình trên. Khẳng c 1 x d. định nào dưới đây là đúng?. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(585)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. a 1, b 0, c 1.. B. a 1, b 0, c 1. C. a 1, b 0, c 1. Lời giải d Theo bài ra, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x . c 1 a 1 Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là: y . c 1 d Nhìn đồ thị ta thấy: x 0 mà d 0 c 1 0 c 1 . c 1 a 1 y 0 a 1 0 a 1 . c 1 b Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 0 b 0 . d Câu 16.. D. a 1, b 0, c 1.. 4 2 (Sở Ninh Bình 2019) Cho hàm số y ax bx c ( a 0 ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a 0 , b 0 , c 0 . B. a 0 , b 0 , c 0 . C. a 0 , b 0 , c 0 . D. a 0 , b 0 , c 0 . Lời giải Đồ thị cắt trục tung tại điểm 0;c , từ đồ thị suy ra c 0 Mặt khác đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên y 0 có ba nghiệm phân biệt, hay. y 4ax3 2bx 2 x 2ax 2 b 0 có ba nghiệm phân biệt. Suy ra a, b trái dấu. Mà a 0 b 0 Câu 17.. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Hàm số y ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ bên dưới:. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(586)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Khẳng định nào là đúng? A. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . C. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 .. B. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . D. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . Lời giải + Dựa vào hình dạng đồ thị ta khẳng định được a 0 . + Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tọa độ 0; d . Dựa vào đồ thị suy ra d 0 . + Ta có: y 3ax 2 2bx c . Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 x1 x2 trái dấu nên phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 trái dấu. Vì thế 3a.c 0 , nên suy ra c 0 . x1 1 + Mặt khác từ đồ thị ta thấy nên x1 x2 0 . x2 1 2b 2b Mà x1 x2 nên suy ra 0 b0 . 3a 3a Vậy a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . Câu 18.. (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số y . ax b có đồ thị như hình bên dưới, với a , b , c . xc. Tính giá trị của biểu thức T a 2b 3c ?. A. T 8 .. B. T 2 .. C. T 6 . Lời giải. D. T 0 .. Từ đồ thị hàm số, ta suy ra Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x 1 , tiệm cận ngang là đường thẳng y 1 . Đồ thị hàm số đi qua các điểm A 2;0 , B 0; 2 . Từ biểu thức hàm số y . ax b (vì đồ thị hàm số là đồ thị hàm nhất biến nên ac b 0 ), ta suy xc. ra Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x c , tiệm cận ngang là đường thẳng y a . b b Đồ thị hàm số đi qua A ; 0 , B 0; . a c Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(587)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Đối chiếu lại, ta suy ra c 1 , a 1 , b 2 . Vậy T a 2b 3c 1 2.2 3 1 0 . Câu 19. (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình bên. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?. A. ab 0, bc 0, cd 0 B. ab 0, bc 0, cd 0 C. ab 0, bc 0, cd 0 D. ab 0, bc 0, cd 0 Lời giải Chọn A Từ dáng điệu của đồ thị ta có ngay được: lim y ; lim y a 0 . x . x . Đồ thị hàm số cắt trục tung tại một điểm có tung độ dương nên d 0 . Ta có: y ' 3ax 2 2bx c Mặt khác dựa vào đồ thị ta thấy phương trình y ' 0 có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm. ac 0 c 0 này luôn dương nên 2b (do a 0 ) 3a b 0 Do đó: ab 0, bc , cd 0 . Câu 20.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào sau đây đúng ?. A. a 0, b 0, c 0, d 0 C. a 0, b 0, c 0, d 0. B. a 0, b 0, c 0, d 0 D. a 0, b 0, c 0, d 0 Lời giải. Chọn D - Dựa vào hình dáng của đồ thị suy ra hệ số a 0 . - Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên d 0 . - Ta thấy đồ thị như hình vẽ có hai điểm cực trị, hoành độ các điểm cực trị trái dấu suy ra phương 2 trình y 3ax 2bx c 0 có 2 nghiệm x1 , x2 trái dấu kéo theo 3a.c 0 c 0 . - Mặt khác Câu 21.. x1 x2 b 0 b 0. 2 3a. (THPT Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(588)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. a 0, b 0, c 0 . C. a 0, b 0, c 0 .. B. a 0, b 0, c 0 . D. a 0, b 0, c 0 Lời giải. Chọn C - Dựa vào hình dạng đồ thị suy ra a 0 - Hàm số có 3 điểm cực trị nên ab 0 b 0 - Giao điểm với trục tung nằm dưới trục hoành nên c 0 . Câu 22.. ax b có đồ thị như trong hình bên cx d dưới. Biết rằng a là số thực dương, hỏi trong các số b , c , d có tất cả bao nhiêu số dương?. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hàm số y . A. 1 .. B. 2 .. C. 0 . Lời giải. D. 3 .. Chọn B Nhìn vào đồ thị ta thấy a tiệm cận ngang y nằm trên trục hoành nên c 0 (vì a 0 ) c d d 0. Suy ra d 0 (vì c 0 ) tiệm cận đứng x nằm bên trái trục tung nên c c b giao điểm của đồ thị và trục tung nằm bên dưới trục hoành nên 0. d Suy ra b 0 (vì d 0 ) Vậy c 0, d 0 Câu 23.. (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Hàm số y ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ bên dưới:. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(589)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Khẳng định nào là đúng? A. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . C. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 .. B. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . D. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . Lời giải. Chọn D + Dựa vào hình dạng đồ thị ta khẳng định được a 0 . + Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tọa độ 0; d . Dựa vào đồ thị suy ra d 0 . + Ta có: y 3ax 2 2bx c . Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 x1 x2 trái dấu nên phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 trái dấu. Vì thế 3a.c 0 , nên suy ra c 0 .. x1 1 + Mặt khác từ đồ thị ta thấy nên x1 x2 0 . x2 1 2b 2b 0 b0 . Mà x1 x2 nên suy ra 3a 3a Vậy a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . Câu 24. (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Cho hàm số y . ax b có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào cx d. sau đây là khẳng định đúng?. ad 0 A. . bc 0. ad 0 B. . bc 0. ad 0 C. . bc 0 Lời giải. ad 0 D. . bc 0. Chọn C Nhận xét từ đồ thị: + Giao với trục hoành tại xo + Giao với trục tung tại yo . b 0 a và b trái dấu (1). a. b 0 b và d trái dấu (2). d. d 0 d và c cùng dấu (3). c Từ (1) và (2) suy ra: a và d cùng dấu hay ad 0 . Từ (2) và (3) suy ra: b và c trái dấu hay bc 0 . + Tiệm cận đứng: x . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(590)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 25. Tìm đồ thị hàm số y f x được cho bởi một trong các phương án dưới đây, biết 2. f x a x b x với a b .. .. A.. B.. .. C.. D.. .. .. Lời giải Chọn A 2 Có f x b x a x . 2 b x b x b x 2a 2 x b x b 2a 3 x . x b f x 0 x 2a b . 3 2a b 2b b b. Có 3 3 Ta có bảng biến thiên. Từ đó chọn đáp án A Câu 26. Cho đường cong C : y ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình bên.. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a 0, b 0, c 0, d 0 . B. a 0, b 0, c 0, d 0 . C. a 0, b 0, c 0, d 0 . Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(591)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. D. a 0, b 0, c 0, d 0 . Lời giải Chọn D Từ đồ thị ta có x 0 y d 0 , từ dạng đồ thị suy ra a 0 . Mặt khác y ' 3ax 2 2bx c từ đồ thị ta có phương trình y ' 0 có hai nghiệm trái dấu suy ra ac 0 mà a 0 suy ra c 0 . 2b Hơn nữa phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt x1 x2 1 suy ra 3a 3a 2b b 0 . Vậy chọn đáp án D. Câu 27. (Gia Lai 2019) Hàm số y ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?. A. a 0 , b 0 , c 0 . B. a 0 , b 0 , c 0 . C. a 0 , b 0 , c 0 . D. a 0 , b 0 , c 0 . Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị: + lim y a 0 . x . + Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ab 0 b 0 . + Giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung có tung độ dương c 0 . Vậy a 0 , b 0 , c 0 . Câu 28.. (THPT Thăng Long 2019) Cho hàm số y ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình vẽ. Tìm kết luận đúng. A. a b 0 .. B. bc 0 .. C. ab 0 . Lời giải. D. ac 0 .. Chọn B Từ hình vẽ ta thấy: Đồ thị hàm số có bề lõm hướng lên a 0 . Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm c 0 . Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ab 0 b 0 . Vậy chỉ có bc 0 . Câu 29.. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hàm số y ax 4 bx 2 c (a 0) có đồ thị như hình bên. Hãy chọn mệnh đề đúng.. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(592)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. a 0, b 0, c 0 . C. a 0, b 0, c 0 .. B. a 0, b 0, c 0 . D. a 0, b 0, c 0 . Lời giải. Chọn C Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số ta nhận thấy : Hệ số a 0 Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa tọa c 0 Hàm số có 3 điểm cực trị a.b 0 b 0 Câu 30.. (Chuyên Long An 2019) Cho hàm số y f ( x) ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ ở bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?. A. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . C. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 .. B. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . D. a 0 , b 0 , c 0 , d 0 . Lời giải. Chọn C Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(0;1) , B (1; 5) và C (3;1) và đạt cực trị tại các điểm B và C . f ( x) 3ax 2 2bx c . Ta có f (0) 1 d 1 a 1 f (1) 5 a b c d 5 b 6 . f (1) 0 3a 2b c 0 c 9 f (3) 0 27a 6b c 0 d 1 Câu 31.. (THPT Trần Phú 2019) Cho hàm số bậc bốn trùng phương y ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. a 0, b 0, c 0 . B. a 0, b 0, c 0 . C. a 0, b 0, c 0 . D. a 0, b 0, c 0 .. Lời giải Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(593)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn C Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số ta nhận thấy : Hệ số a 0 . Hàm số có 3 điểm cực trị a.b 0 b 0 . Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa tọa c 0 . Vậy a 0, b 0, c 0 . Câu 32.. (THPT Cộng Hiền 2019) Cho hàm số y ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?. A. a 0, b 0, c 0 .. B. a 0, b 0, c 0 . C. a 0, b 0, c 0 . Lời giải. D. a 0, b 0, c 0 .. Chọn A Nhìn vào đồ thị ta có: Khi x 2; hàm số đồng biến a 0 . Hàm số có 3 điểm cực trị nên a.b 0 mà a 0 b 0 .. y 0 1 c c 0 . Câu 33.. (SGD Điện Biên - 2019) Cho hàm số y . ax 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Tính giá trị của xc. a 2c.. A. a 2c 3.. B. a 2c 3.. C. a 2c 1. Lời giải. D. a 2c 2.. Chọn A. a 1 a 1. 1 Mặt khác Đồ thị hàm số có TCĐ x 2 nên 2 c 0 c 2. a 2c 1 2. 2 3. Đồ thị hàm số có TCN y 1 . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(594)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 3 Dựa vào đồ thị ta thấy các điểm 3;0 và 0; thuộc vào đồ thị hàm số đã cho nên ta được hệ 2 a.3 3 0 3 c 3a 3 0 a 1 phương trình 3c 6 c 2 3 a.0 3 2 0 c a 2c 1 2. 2 3. Câu 34. Hình vẽ bên là đồ thị hàm số y . ax b . cx d. . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ad 0 và bd 0 . B. ad 0 và ab 0 . C. bd 0 và ab 0 . D. ad 0 và ab 0 . Lời giải Chọn B b Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm có hoành độ x , giao với Oy tại điểm có tung độ a b y . d b b a 0 a 0 ab 0 Dựa vào hình vẽ ta có ad 0 . bd 0 b 0 b 0 d d Trong các phương án chỉ có phương án B thỏa mãn. ax b Câu 35. Cho hàm số y có đồ thị như hình vẽ dưới đây: x 1. Khẳng định nào sau đây đúng? A. b a 0 . B. a b 0 .. C. b a và a 0 . Lời giải. D. a 0 b .. Chọn A Ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 1 suy ra a 1 . Do đồ thị hàm số đi qua điểm 2; 0 nên 2a b 0 2 b 0 b 2 . Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(595)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vậy b a 0 . Câu 36.. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Đồ thị trong hình bên dưới là của hàm số ax b (với a, b, c ). y xc. Khi đó tổng a b c bằng A. 1. B. 1.. C. 2 . Lời giải. D. 0 .. Chọn D Đồ thị hàm số y . ax b có đường tiệm cận ngang y a , đường tiệm cận đứng x c và cắt xc. b Oy tại điểm 0; .. c Từ đồ thị hàm số ta có đường tiệm cận ngang y 1, đường tiệm cận đứng x 1 và cắt Oy tại. điểm 0; 2 . a 1 a 1 a 1 Từ đó suy ra: c 1 c 1 c 1 . Vậy a b c 1 1 2 0 . b b 2c b 2 2 c Câu 37.. (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hàm số f ( x) . 2 ax a, b, c , b 0 có bx c. bảng biến thiên như sau:. 2. Tổng các số a b c thuộc khoảng nào sau đây A. 1; 2 .. B. 2;3 .. 4 C. 0; . 9 Lời giải. 4 D. ;1 . 9 . Chọn C. 2 ax a a 3 a 3b , theo giả thiết suy ra x bx c b b. Ta có lim. Hàm số không xác định tại x 1 b c 0 b c Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(596)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định nên f x . ac 2b. bx c . 2. 0 với mọi x khác 1. 2 2 Suy ra ac 2b 0 3b2 2b 0 b 0 0 b 3 3 2 4 Lại có a b c 3b b b b . Suy ra a b c b 2 0; 9. 4 Vậy tổng a b c thuộc khoảng 0; . 9. Câu 38.. ax b (a, b, c, d và c 0 ). Biết cx d rằng đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm 1;7 và giao điểm hai tiệm cận là 2;3 . Giá trị biểu (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số f ( x ) . 2a 3b 4c d bằng 7c A. 7 . B. 4 . thức. C. 6 . Lời giải. D. 5 .. Chọn C + Ta có đồ thị hàm số f ( x) . x. ax b a có đường tiệm cận ngang là y , đường tiệm cận đứng là cx d c. d . c. a 3 a 3c c Theo bài ra, ta có: . d d 2c 2 c . a b 3c b 7 7 b 10c . c d c 2c 2a 3b 4c d 2.(3c) 3.(10c) 4c 2c 6. Vậy 7c 7c + Điểm 1;7 thuộc đồ thị hàm số f ( x) nên. Câu 39.. (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hàm số y . ax 1 ( a, b, c là các tham số) có bx c. bảng biến thiên như hình vẽ. Xét các phát biểu sau: 1 : c 1; 2 : a b 0; 3 : a b c 0; 4 : a 0 . Số phát biểu đúng là? A. 1. Lời giải Chọn B. B. 2 .. C. 3 .. D. 4 .. Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(597)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x 2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y 1nên ta có hệ c 2 b 0 c 1 c 2 b c 2 b 1 a 1 a b a b a0 b ac b 0 2b 2 b 0 2 ac b 0 1 2 b 0 a b c 0 Dựa vào hệ trên ta có các phát biểu 1 , 4 là sai, 2 , 3 đúng. Câu 40.. (Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Ta xác định được các số a , b , c để đồ thị hàm số y x3 ax 2 bx c đi qua điểm 1;0 và có điểm cực trị 2. 2. 2;0 .. Tính giá trị biểu thức. 2. T a b c . A. 25.. B. 1.. C. 7. Lời giải. D. 14.. Chọn A Ta có y x3 ax 2 bx c y 3 x 2 2ax b . 0 13 a.12 b.1 c y 1 0 3 2 Theo đề, ta có hệ phương trình y 2 0 0 2 a. 2 b. 2 c 2 y 2 0 0 3. 2 2a. 2 b. a b c 1 a 3 4a 2b c 8 b 0 . 4a b 12 c 4 2. Vậy T a 2 b 2 c 2 32 0 2 4 25. Câu 41.. (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình vẽ. Tính S ab?. A. S 2 .. B. S 0 .. C. S 1 . Lời giải. D. S 1 .. Chọn A Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm y 2 nên d 2 . y 3ax2 2bx c . Hàm số đạt cực trị tại x 0 và x 2 nên Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(598)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. y 0 0 c 0 c 0 b 3a 12a 4b c 0 y 2 0. 1. Từ đồ thị ta nhận thấy y 2 2 8a 4b d 2 8a 4b 4 2a b 1. 2. Thay 1 vào 2 ta tìm được a 1, b 3 . Vậy S 2 . Câu 42.. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. A. a 0, b 0, c 0, d 0 . C. a 0, b 0, c 0, d 0 .. B. a 0, b 0, c 0, d 0 . D. a 0, b 0, c 0, d 0 . Lời giải. Chọn D Ta có: y 3ax 2 2bx c , y 6ax 2b Từ đồ thị ta thấy: lim y . Ta suy ra a 0 .. x . y 0 0 d 0 loại. C.. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị với hoành độ x1 , x2 trái dấu và x1 x2 0 . Ta suy ra phương trình y ' 0 có hai nghiệm trái dấu và x1 x2 0 . c 0 , c 0 loại Ta suy ra x1 x2 B. 3a b x x 0 b 0 . Lọai Hơn nữa, 1 2 A. 3a a 0 Câu 43.. (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số y . ax b a , b , c có bảng biến thiên như cx 1. sau:. Tập các giá trị b là tập nghiệm của bất phương trình nào dưới đây? A. b 3 8 0. B. b 2 4 0. C. b 2 3b 2 0. Lời giải Chọn D. D. b3 8 0.. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(599)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. ax b 1 có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x và đường tiệm cận cx 1 c a ngang là đường thẳng y . c 1 a Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy 1 c 1 và 2 a 2 (vì c 1 ). c c a bc Ta có y . 2 cx 1 Đồ thị hàm số y . Vì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; nên y . a bc. bx c . 2. 0 a bc 0 2 b 0 b 2 b3 8 b3 8 0 .. Vậy tập các giá trị b là tập nghiệm của bất phương trình b3 8 0. Câu 44.. (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y dưới đây. Tính giá trị biểu thức T . A. T 6 .. ax b (với a, b, c, d là số thực) có đồ thị như hình cx d. a 2b 3d . c. B. T 0 .. C. T 8 .. D. T 2 .. Lời giải Chọn C Từ đồ thị ta có TCĐ: x 1 . d d 1 1 d c c c. TCN: y 1 . a 1 a c c. Đồ thị cắt trục hoành tại điểm: x 2 Vậy T Câu 45.. b b b 2 2 2 b 2c a c c. a 2b 3d c 4c 3c 8 c c. (Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ. Trong các số a, b, c và d có bao nhiêu số dương?. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(600)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 1 .. B. 4 .. D. 2 .. C. 3 . Lời giải. Chọn D Từ hình dạng đồ thị hàm số ta có a 0 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm d 0 Ta có: y ' 3ax 2 2bx c Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu y ' 0 có hai nghiệm trái dấu ca 0 Mà a 0 nên c 0 Ta lại có: y '' 6ax 2b b y '' 0 6ax 2b 0 x 3a b Từ đồ thị hàm số ta thấy tâm đối xứng có hoành độ âm. Do đó 0 3a Mà a 0 nên b 0 Vậy trong các số a, b, c và d có 2 số dương là a và b Câu 46.. (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hàm số f x . ax 6 bx c. a, b, c có bảng biến thiên như. sau:. Trong các số a , b, c có bao nhiêu số âm? A. 0 . B. 3 .. C. 1. Lời giải. D. 2 .. Chọn D Từ bảng biến thiên của hàm số, ta thấy đồ thị có hai đường tiệm cận, trong đó tiệm cận đứng là đường thẳng x 2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y 1 . c b 2 bc 0 b 0, c 0, a 0 1 Suy ra b 0, c 0, a 0 2 ab 0 a 1 b ac 6b Lại có hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định f x 0 ac 6b . 2 bx c Ta thấy 1 không thể xảy ra do nếu b 0 thì ac 6b 0 ; và 2 có thể xảy ra do nếu c 0, a 0 thì 6b ac 0 . Vậy trong các số a , b, c có hai số âm.. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(601)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dạng 2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối (BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ) Dạng 1 Từ đồ thị C : y f x suy ra đồ thị C : y f x .. . f x Ta có: y f x f x * Cách vẽ C từ C :. khi khi. f x 0 f x 0. . . Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C): y f x . Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.. C : y f x x. Ví dụ: Từ đồ thị. 3. y. 3 x suy ra đồ thị. 2. C : y x. y x 3 3x .. 3. 3x. 1. Biến đổi C :. -1. . Bỏ phần đồ thị của C. . dưới Ox , giữ nguyên C. phía trên. O. x. -2. Ox. Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox .. C : y x. y. 3. 3x. 2. -1. O. 1. x. Dạng 2 Từ đồ thị C : y f x suy ra đồ thị C : y f x .. . f x Ta có: y f x f x . . . khi x 0 khi x 0. là hàm chẵn nên đồ thị C nhận Oy làm trục đối xứng.. và y f x. . . * Cách vẽ C từ C :. . . Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị C : y f x .. . Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của C , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.. . y. . Ví dụ: Từ đồ thị C : y f x x 3 3x suy ra đồ thị 3. C : y x 3 x . Biến đổi C : Bỏ phần đồ thị của C . C : y x. y. 2. -1. 3. 3x 1. O. x. 1. . -1. O. x. bên trái Oy, giữ nguyên C. -2. -2. bên phải Oy. Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy . Chú ý với dạng: y . C : y x f x ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y f x và y f x . . 3. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương C : y x 3 x. 3. 3x.
<span class='text_page_counter'>(602)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. . . 3. Ví dụ: Từ đồ thị C : y f x x 3x 3. y. . suy ra đồ thị y x 3 x . Biến đổi C. 2. 3. . để được đồ thị C : y x 3 x . Biến đổi. 3. C : y x. 3x. ta được đồ thị -1. 3. C : y . O. 1. x. x 3x .. Dạng 3. . u x .v x f x khi u x 0 Ta có: y u x .v x u x .v x f x khi u x 0 * Cách vẽ C từ C : Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u x 0 của đồ thị C : y f x . Bỏ phần đồ thị trên miền u x 0 của C , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. Từ đồ thị C : y u x .v x suy ra đồ thị C : y u x .v x .. Ví dụ Ví dụ 3 2 a) Từ đồ thị C : y f x 2x 3x 1 suy ra b) Từ đồ thị C : y f x x suy ra đồ thị x 1 2 đồ thị C : y x 1 2x x 1 x C : y x 1. . . . . . . . . . f x x khi x 1 khi x 1; y x 1 2x 2 x 1 x x 1 thị f x khi x 1 y . Đồ x 1 x khi x ;1 Đồ thị (C’): x 1 Giữ nguyên (C) với x 1 . (C’): Bỏ (C) với x 1 . Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ Bỏ phần đồ thị của C với x 1, giữ nguyên C qua Ox. với x 1. y (C') Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.. . . . . . . y 1. O. 1. x. 1. O (C). 1. x. Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C): giao Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối điểm với Ox, Oy, CĐ, CT… xứng các đường tiệm cận để thực hiện phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác. Câu 1.. Cho hàm số y x 3 3 x 2 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(603)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. y x3 3x 2 2 .. 3. B. y x 3x 2 2. C. y x 1 x 2 2 x 2 .. D. y x 1 x 2 2 x 2 . Hướng dẫn. Ta có: y x 3x 2 x 1 x 2 x 2 3. 2. 2. Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị ứng với x 1 được giữ nguyên. Phần đồ thị ứng với x 1 lấy đối xứng qua trục hoành. Chọn đáp án C. Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2017) Hàm số y x 2 x 2 1 có đồ thị như hình vẽ bên. Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y x 2 x 2 1 ?. A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3 Lời giải. D. Hình 4. Chọn A. . . x 2 x 2 1 , x 2 y x 2 x 1 Đồ thị gồm 2 phần: 2 x 2 x 1 , x 2 +) Giữ nguyên phần đồ thị đã cho ứng với x 2 . +) Lấy đối xứng phần đồ thị đã cho ứng với x 2 qua trục Ox Hình 1 nhận vì đồ thị là hàm y x 2 x 2 1. . 2. . . . Hình 2 loại vì đồ thị là hàm y x 2 x 1 x 1 Hình 3 loại vì đồ thị hàm số y x 2 x 2 1 Hình 4 loại vì đồ thị hàm y x 2 x 2 1 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(604)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 3.. (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ.. Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau: A. f x x3 x 2 4 x 4. B. f x x3 x 2 4 x 4. C. f x x3 x 2 4 x 4. D. f x x3 x 2 4 x 4.. Lời giải Chọn A Do đồ thị giao với trục Oy tại điểm có tung độ bằng 4 và lim y . x . Câu 4.. Biết phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 ( a 0) có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số y ax 3 bx 2 cx d có bao nhiêu điểm cực trị?. A. 4.. B. 5.. C. 2. Lời giải. D. 3.. Chọn D. Ta có: Phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 (a 0) có đúng hai nghiệm thực Nên đồ thị hàm số y ax 3 bx 2 cx d được minh họa như hình vẽ. Gọi m là số điểm cực trị của hàm số y f x và k là nghiệm bội lẻ của phương trình f x 0 . Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x là m k . Vậy đồ thị hàm số y ax 3 bx 2 cx d có số điểm cực trị là 2 1 . Câu 5.. . . (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y x 2 x2 1 có đồ thị như hình vẽ. Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(605)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Một trong bốn hình dưới đây là đồ thị của hàm số y x 2 x 2 1 . Hỏi đó là hình nào?. Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 A. Hình 2. B. Hình 4.. C. Hình 3. Lời giải. D. Hình 1.. Chọn C Gọi C là đồ thị hàm số y x 2 x2 1 .. . . x 2 x 2 1 khi x 1 hay x 1 Ta có y x 2 x 1 . 2 x 2 x 1 khi 1 x 1 Cách vẽ đồ thi như sau: + Giữ nguyên phần đồ C ứng với x ; 1 1; ta được C1 . 2. + Lấy đối xứng phần C ứng với x 1;1 qua trục hoành ta được C2 . Khi đó đồ thị hàm số y x 2 x 2 1 gồm C1 và C2 . Câu 6.. Cho hàm số y x 3 3 x 2 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?. A. y x3 3x 2 2 .. 3. B. y x 3x 2 2. C. y x 1 x 2 2 x 2 .. D. y x 1 x 2 2 x 2 .. Hướng dẫn Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị phía “phải” Oy sau đó lấy đối xứng sang trái. Chọn đáp án B. Câu 7.. Cho hàm số y . x 1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? 2x 1. Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(606)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. y . x 1 2x 1. B. y . x 1 2 x 1. C. y . x 1 2x 1. D. y . x 1 2x 1. Hướng dẫn Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị phía bên phải Oy được giữ nguyên Sau đó, được lấy đối xứng sang trái. Chọn đáp án B. Câu 8.. Cho hàm số y x 3 6 x 2 9 x có đồ thị như Hình 1. Khi đó đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?. A. y x3 6 x 2 9 x . B. y x3 6 x 2 9 x . 3. 3. 2. C. y x 6 x 2 9 x . D. y x 6 x 9 x . Lời giải Chọn C +/ Loại đáp án A vì: y x 3 6 x 2 9 x x 3 6 x 2 9 x +/ Loại đáp án B, vì đồ thị của hàm số y x 3 6 x 2 9 x giữ lại phần đồ thị phía trên trục hoành và chỉ lấy đối xứng phần dưới trục hoành của đồ thị Hình 1. +/ Loại đáp án D vì hệ số của x 2 khác -6. +/ Đồ thị ở đáp án C là đồ thị của hàm số dạng y f x . Chọn đáp án C. . Câu 9.. x có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 x 1 2 là của hàm số nào trong các đáp án A, B, C, D dưới đây?. (Cụm liên trường Hải Phòng -2019) Cho hàm số y . Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(607)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. y . x . 2 x 1. B. y . x 2 x 1. C. y . x 2 x 1. D. y . x 2 x 1. Lời giải Chọn A Câu 10. Cho hàm số y x 3 3 x 2 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?. A. y x3 3x 2 2 .. 3. B. y x 3x 2 2. C. y x 1 x 2 2 x 2 .. D. y x 1 x 2 2 x 2 .. Hướng dẫn Ta có: y x3 3x 2 2 x 1 x 2 2 x 2 Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy x 1 3 Toàn bộ đồ thị ứng với được giữ nguyên. x 1 3 Phần đồ thị ứng với 1 3 x 1 3 lấy đối xứng qua trục hoành. Chọn đáp án D. Câu 11. Cho hàm số y x 3 3 x 2 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?. A. y x3 3x 2 2 .. 3. B. y x 3x 2 2. C. y x 1 x 2 2 x 2 .. D. y x 1 x 2 2 x 2 . Hướng dẫn. Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(608)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Ta có: y x3 3x 2 2 x 1 x 2 2 x 2 Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị nằm phía trên Ox được giữ nguyên. Phần đồ thị phía dưới Ox được lấy đối xứng qua Ox . Chọn đáp án A. Câu 12. Cho hàm số y . A. y . x có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? 2x 1. x 2 x 1. B. y . x 2 x 1. C. y . x 2x 1. D. y . x 2 x 1. Hướng dẫn Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị phía trên Ox giữ nguyên Toàn bộ phần phía dưới Ox được lấy đối xứng lên trên dạng f x . Chọn đáp án Câu 13. Cho hàm số y . A. y . x 1 . x2. C. x 1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? x2. B. y . x 1 . x 2. C. y . x 1 x2. D. y . x 1 x2. Hướng dẫn Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị phía bên trái đường thẳng x 1 được giữ nguyên Toàn bộ đồ thị phía bên phải đường thẳng x 1 lấy đối xứng qua Ox Chọn đáp án C. x 1 , x 1 x 1 x 2 Chú ý: y x 2 x 1 , x 1 x 2 Câu 14. Cho hàm số y . x 1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? x2 Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(609)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. y . x 1 . x2. B. y . x 1 . x 2. C. y . x 1 . x2. D. y . x 1 . x2. Hướng dẫn Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị phía bên phải đường thẳng x 2 được giữ nguyên Toàn bộ đồ thị phía bên trái đường thẳng x 2 lấy đối xứng qua Ox Chọn đáp án D. Câu 15. Cho hàm số y x 1 x 2 2 x 3 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?. A. y x 1 x 2 2 x 3 .. B. y x 1 x 2 2 x 3 .. C. y x 1 x 2 2 x 3. D. y x 1 x 2 2 x 3. Hướng dẫn Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị nằm bên trái (ứng với x 1) đường thẳng x 1 được giữ nguyên Toàn bộ đồ thị nằm bên phải (ứng với x 1) đường thẳng x 1 được lấy đối xứng qua Ox. Chọn đáp án C. Câu 16. Cho hàm số y . A. y . x 1 . x2. x 1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? x 2. B. y . x 1 . x2. C. y . x 1 . x 2. D. y . Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương x 1 . x2.
<span class='text_page_counter'>(610)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Hướng dẫn Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị phía bên trái đường thẳng x 1 (ứng với x 1) được giữ nguyên Toàn bộ đồ thị phía bên phải đường thẳng x 1 (ứng với x 1) được lấy đối xứng qua trục Ox. B. Chọn đáp án -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(611)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ. DẠNG TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng 1. Bài toán tương giao đồ thị thông qua đồ thị, bảng biến thiên b Nghiệm của phương trình af x b 0 là số giao điểm của đường thẳng y với đồ thị hàm a số y f x Câu 1.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau x 3 2 0 0 f ( x) 0 f ( x) 1. Số nghiệm của phương trình 3 f ( x) 2 0 là A. 2. B. 0. Câu 2.. C. 3.. D. 1.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f x 1 là:. A. 3 . Câu 3.. B. 1 .. C. 0 .. D. 2 .. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f x 1 là. A. 0 . Câu 4.. B. 3 .. C. 1 .. D. 2 .. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f x 1 là A. 1 . C. 2 .. B. 0 . D. 3 .. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(612)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 5.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.. Số nghiệm thực của phương trình f x 2 là: A. 0 . Câu 6.. C. 1 .. B. 3 .. D. 2 .. (Mã 101 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Số nghiệm thực của phương trình 2 f x 3 0 là Câu 7.. A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . 3 2 (Mã 101 2018) Cho hàm số f x ax bx cx d a , b , c , d . Đồ thị của hàm số. y f x như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3 f x 4 0 là y 2 O. 2 x. 2. A. 2 Câu 8.. B. 0. C. 1. D. 3. (Mã 102 2018) Cho hàm số f x ax 4 bx 2 c a, b, c . Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ bên.. Số nghiệm của phương trình 4 f x 3 0 là A. 2. B. 0. C. 4. D. 3. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(613)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 9.. (Mã 103 2019) Cho hàm số f ( x ) bảng biến thiên như sau:. Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x ) 3 0 là A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . Câu 10. (Mã 103 2018) Cho hàm số y f x liên tục trên 2;2 và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3 f x 4 0 trên đoạn 2;2 là. A. 4 . Câu 11.. (Mã. B. 3 . 102. 2019). Cho. C. 1. hàm. f x. số. D. 2 . có. bảng. biến. thiên. như. sau Số nghiệm thực của phương trình 3 f x 5 0 là A. 3 . Câu 12.. B. 4 .. C. 0 .. D. 2 .. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.. Số nghiệm của phương trình f x 2 là A. 3 . Câu 13.. B. 2 .. C. 4 .. D. 6 .. (Mã 104 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(614)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Số nghiệm thực của phương trình 2 f x 3 0 là B. 1 .. A. 0 . Câu 14.. D. 3 .. (Mã 110 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y ax4 bx2 c , với a , b, c là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. A. Phương trình B. Phương trình C. Phương trình D. Phương trình Câu 15.. C. 2 .. y 0 y 0 y 0 y 0. vô nghiệm trên tập số thực có đúng một nghiệm thực có đúng hai nghiệm thực phân biệt có đúng ba nghiệm thực phân biệt. (Mã 104 2018) Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn 2;4 và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3 f ( x ) 5 0 trên đoạn 2;4 là. A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 Câu 16. (THPT Cù Huy Cận 2019) Cho hàm số y f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.. Số nghiệm thực của phương trình 4 f ( x ) 7 0 A. 2 . B. 4 . C. 3 .. D. 1 .. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(615)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 18.. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau đây.. Hỏi phương trình 2. f x 5 0 có bao nhiêu nghiệm thực? Câu 19.. A. 0 . B. 1 . C. 3 . D. 2 . (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình bên.. Số nghiệm của phương trình f x 3 0 là A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 Câu 20. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn 2;2 và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm của phương trình f (x) 1 trên đoạn 2;2 . Câu 21.. A. 3. B. 5. C. 6. D. 4. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số bậc bốn y f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực của 3 phương trình f ( x) là 2. A. 4 Câu 22.. B. 1. C. 3. D. 2. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f x . A. 2 .. B. 4 .. 1 là 2. C. 1 .. D. 3 .. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(616)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 23.. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên.. Số nghiệm của phương trình f x A. 3 . Câu 24.. 1 là 2. B. 4 .. C. 2 .. D. x 1 .. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f x . 1 là 2. A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 3 . Dạng 2. Bài toán tương giao đồ thị thông qua hàm số cho trước (không chứa tham số) Cho hai đồ thị y f ( x) và y g ( x) . Bước 1. Giải phương trình f ( x) g ( x) . Bước 2. Tìm Số giao điểm? Hoành độ giao điểm? Tung độ giao điểm? Câu 25.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 3 x 1 và trục hoành là A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.. Câu 26.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 và đồ thị hàm số y 3 x 2 3 x là A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 .. Câu 27.. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 x 2 và đồ thị hàm số y x 2 5 x là A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 .. Câu 28.. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 x 2 và đồ thị hàm số y x 2 5 x A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 2 3 x và đồ thị hàm số y x 3 x 2 là A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. 3 3 Câu 30. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 7 x với trục hoành là A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1 . Câu 29.. Câu 31.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 3x với trục hoành là. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(617)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 2 .. B. 0 .. C. 3 .. D. 1.. Câu 32.. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 6 x với trục hoành là A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 0 .. Câu 33.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 5 x với trục hoành là: A. 3 B. 2 C. 0 D. 1. Câu 34.. (Mã 105 2017) Cho hàm số y x 2 x 2 1 có đồ thị C . Mệnh đề nào dưới đây đúng?. Câu 35.. . . A. C cắt trục hoành tại một điểm.. B. C cắt trục hoành tại ba điểm.. C. C cắt trục hoành tại hai điểm.. D. C không cắt trục hoành.. (Đề Minh Họa 2017) Biết rằng đường thẳng y 2 x 2 cắt đồ thị hàm số y x3 x 2 tại điểm duy nhất; kí hiệu x0 ; y0 là tọa độ của điểm đó. Tìm y0 A. y0 4. Câu 36.. D. y0 1. B. P 2 .. C. P 1 .. D. P 3 .. (Đề Tham Khảo 2017) Cho hàm số y x 3 3x có đồ thị C . Tìm số giao điểm của C và trục hoành. A. 2. Câu 38.. C. y0 2. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Gọi P là số giao điểm của hai đồ thị y x 3 x 2 1 và. y x2 1. Tìm P . A. P 0 . Câu 37.. B. y0 0. B. 3. C. 1. D. 0. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình 2019) Cho hàm số y x 4 3 x 2 có đồ thị C . Số giao điểm của đồ thị C và đường thẳng y 2 là A. 2 .. Câu 39.. B. 1.. C. 0 .. D. 4 .. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Biết rằng đường thẳng y 4 x 5 cắt đồ thị hàm số. y x3 2 x 1 tại điểm duy nhất; kí hiệu x0 ; y0 là tọa độ của điểm đó. Tìm y0 . A. y0 10 .. B. y0 13 .. C. y0 11 .. D. y0 12 .. Câu 40.. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Đồ thị của hàm số y x 4 3x 2 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bao nhiêu A. -3. B. 0. C. 1. D. -1.. Câu 41.. (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Số giao điểm của đường cong y x3 2 x2 2 x 1 và đường thẳng y 1 x là A. 1 B. 2 C. 3 D. 0. Câu 42. đồ thị hàm số y x 4 3 x 2 1 và đồ thị hàm số y 2 x 2 7 có bao nhiêu điểm chung? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 43. Cho hàm số y 2 x 3 5 x có đồ thị C Tìm số giao điểm của C và trục hoành. A. 2 .. B. 3 .. C. 1.. D. 0 .. Câu 44. Cho hàm số y x 3 x 2 2 có đồ thị C . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. C cắt trục hoành tại hai điểm.. B. C cắt trục hoành tại một điểm.. C. C không cắt trục hoành.. D. C cắt trục hoành tại ba điểm.. Câu 45. Biết rằng đường thẳng y x 2 cắt đồ thị hàm số y x3 x 2 x 4 tại điểm duy nhất, kí hiệu. x0 ; y0 . là tọa độ của điểm đó. Tìm y0 . Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(618)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. y0 1 .. B. y0 3 .. C. y0 2 .. Câu 46. đồ thị hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm? x 1 x 1 x 1 A. y . B. y . C. y . x 3 x4 x2. D. y0 4 .. D. y . Câu 47. Gọi M , N là giao điểm của đường thẳng y x 1 và đường cong y . 2x 1 . x5. 2x 4 . Khi đó hoành độ x 1. xI của trung điểm I của đoạn MN bằng bao nhiêu? A. xI 2 .. B. xI 1 .. C. xI 5 .. 5 D. xI . 2. x 1 có đồ thị C và các đường thẳng d1 : y 2 x , d 2 : y 2 x 2 , x3 d 3 : y 3 x 3 , d 4 : y x 3 . Hỏi có bao nhiêu đường thẳng trong bốn đường thẳng d1 , d 2 , d3 , d 4. Câu 48. Cho hàm số y . đi qua giao điểm của C và trục hoành. A. 1. Câu 49.. B. 2 .. C. 3 .. D. 4 .. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số. y x 4 4 5 và đường thẳng y x B. 0 . A. 3 .. C. 2 .. D. 1.. -------------------- HẾT --------------------. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(619)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7+8+9 ĐIỂM Dạng 1. Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 (CHỨA THAM SỐ) Bài toán tổng quát: Tìm các giá trị của tham số m để để đường thẳng d : y px q cắt đồ thị hàm số (C ) : y ax3 bx 2 cx d tại 3 điểm phân biệt thỏa điều kiện K ? (dạng có điều kiện) Phương pháp giải: Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (C ) là: ax3 bx 2 cx d px q Đưa về phương trình bậc ba và nhẩm nghiệm đặc biệt x xo để chia Hoocner được: x xo ( x xo ) ( ax 2 bx c) 0 2 g ( x) ax bx c 0 Bước 2. Để d cắt (C ) tại ba điểm phân biệt phương trình g ( x) 0 có 2 nghiệm phân biệt khác. g ( x ) 0 xo Giải hệ này, tìm được giá trị m D1. g ( xo ) 0 Bước 3. Gọi A( xo ; pxo q ), B( x1; px1 q ), C ( x2 ; px2 q ) với x1 , x2 là hai nghiệm của g ( x) 0.. b c và x1 x2 (1) a a Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của x1 , x2 (2) Theo Viét, ta có: x1 x2 . Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến là m. Giải chúng sẽ tìm được giá trị m D2 . Kết luận: m D1 D2 . Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 3 bx 2 cx d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Điều kiện cần: Giả sử x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 Khi đó: ax 3 bx 2 cx d a ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) , đồng nhất hệ số ta được x2 . b 3a. b vào phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của 3a tham số. Điều kiện đủ: Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 có 3 nghiệm phân biệt. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 3 bx 2 cx d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân. Điều kiện cần: Giả sử x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 Thế x2 . Khi đó: ax 3 bx 2 cx d a ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) , đồng nhất hệ số ta được x2 3 Thế x2 3 . d a. d vào phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị a Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(620)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. của tham số. Điều kiện đủ: Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 có 3 nghiệm phân biệt. Câu 1.. (Sở Ninh Bình 2020) Cho hàm số y x3 3mx 2 2m . Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 .. Câu 2.. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3x 2 2 C cắt đường thẳng d : y m ( x 1) tại ba điểm phân biệt x1 , x2 , x3 . A. m 2 . B. m 2 . C. m 3 .. Câu 3.. D. m 3 .. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Đường thẳng có phương trình y 2 x 1 cắt đồ thị của hàm số. y x3 x 3 tại hai điểm A và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là A xA ; y A và B xB ; yB trong đó xB xA . Tìm xB yB ? A. xB yB 5 Câu 4.. B. xB yB 2. C. xB yB 4. D. xB yB 7. (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số y x3 3mx 2 m3 có đồ thị 2. Cm . và đường thẳng. 3. d : y m x 2m . Biết rằng m1 , m2 m1 m2 là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị Cm tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x14 x2 4 x34 83 . Phát biểu nào sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị m1 , m2 ? Câu 5.. A. m1 m2 0 . B. m12 2 m2 4 . C. m2 2 2 m1 4 . D. m1 m2 0 . (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 cắt đường thẳng y m tại ba điểm phân biệt. A. m ; 4 . B. m 4;0 . C. m 0; .. Câu 6.. D. m ; 4 0; .. (Mã 123 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đường thẳng y mx m 1 cắt đồ thị hàm số y x3 3x 2 x 2 tại ba điểm A , B , C phân biệt sao AB BC 5 A. m ; 4 C. m . Câu 7.. B. m 2; D. m ; 0 4; . (Sở Cần Thơ - 2019) Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 m 2 2 x 2m 2 4 cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8 là A. m 2 .. Câu 8.. B. m 1 .. C. m 3 .. D. m 2 .. (Mã 110 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y mx cắt đồ thị của hàm số y x3 3x 2 m 2 tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB BC . A. m ; 1. Câu 9.. B. m : . C. m 1: . D. m ;3. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 3 3 x 2 2 m có ba nghiệm phân biệt. A. m 2; . B. m ; 2 . C. m 2; 2 . D. m 2; 2 .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(621)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 10.. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Đường thẳng có phương trình y 2 x 1 cắt đồ thị của hàm số y x 3 x 3 tại hai điểm A và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là A xA ; y A và B xB ; yB trong đó xB x A . Tìm xB yB ? A. xB yB 5 B. xB yB 2. C. xB yB 4. D. xB yB 7. Câu 11.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 x3 3x 2 2m 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng 3 1 5 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2. Câu 12.. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y x 5 cắt đồ thị hàm số y x 3 2mx 2 3(m 1) x 5 tại 3 điểm phân biệt. m 1 A. . m 2. Câu 13.. 2 m 3 B. . m 1 m2 . 2 m 3 C. . m 1 m2 . m 1 D. . m 2. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị C như hình vẽ, đường thẳng d có phương trình y x 1 . Biết phương trình f x 0 có ba nghiệm. x1 x2 x3 . Giá trị của x1 x3 bằng 7 5 A. 3 . B. . C. 2 . D. . 3 2 Câu 14. (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2018; 2019 để đồ thị hàm số y x3 3mx 3 và đường thẳng y 3x 1 có duy nhất một điểm chung? A. 1 . B. 2019 . C. 4038 . D. 2018 . (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Phương trình x 3 6mx 5 5m 2 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng khi A. m 0 . B. m 1 m 1 . C. m 1. D. m . 3 2 Câu 16. Tính tổng tất cả các giá trị của m biết đồ thị hàm số y x 2mx m 3 x 4 và đường thẳng Câu 15.. y x 4 cắt nhau tại ba điểm phân biệt A 0; 4 , B , C sao cho diện tích tam giác IBC bằng 8 2 với I 1;3 . A. 3 .. B. 8 .. C. 1.. D. 5 .. Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2018; 2019 để đồ thị hàm số y x 3 3mx 3 và đường thẳng y 3 x 1 có duy nhất một điểm chung? A. 1. B. 2019 . C. 4038 .. D. 2018 .. Câu 18. Đường thẳng d có phương trình y x 4 cắt đồ thị hàm số y x 3 2 mx 2 ( m 3) x 4 tại 3 điểm phân biệt A(0; 4) , B và C sao cho diện tích của tam giác MBC bằng 4, với M (1;3) . Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. A. m 3 . B. m 2 hoặc m 3 . C. m 2 hoặc m 3 . D. m 2 hoặc m 3 Câu 19.. (THPT Minh Khai - lần 1) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y x 5 cắt đồ thị hàm số y x3 2mx 2 3 m 1 x 5 tại ba điểm phân biệt.. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(622)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. m 1 A. . m 2. 2 m 3 B. . m 1 m 2 . 2 m 3 C. . m 1 m 2 . m 1 D. . m 2. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 x3 3x 2 2m 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng 3 1 5 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 21. (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Giá trị lớn nhất của m để đường thẳng d : y x m 1 cắt đồ thị hàm số y x 3 2 m 2 x 2 8 5m x m 5 tại 3 điểm phân biệt Câu 20.. có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 x22 x32 20 là A. 3 .. 3 D. . 2. C. 0 .. B. 1.. Câu 22. Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số y 2 x 3 3m 2 x 2 m 3 2 m x 2 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 23.. (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Tìm m để đồ thị C của y x 3 3x 2 4 và đường thẳng. y mx m cắt nhau tại 3 điểm phân biệt A 1;0 , B , C sao cho OBC có diện tích bằng 64 . A. m 14 . B. m 15 . C. m 16 . D. m 17 . Câu 24.. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y x 3 8 x 2 8 x có đồ thị C và hàm số y x 2 (8 a ) x b ( với a , b ) có đồ thị P . Biết đồ thị hàm số C cắt P tại ba điểm có hoành độ nằm trong. 1;5 . Khi a đạt giá trị nhỏ nhất thì tích ab bằng A. 729 . Câu 25.. B. 375 .. C. 225 .. D. 384 .. (Sở Quảng Trị 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng y mx m cắt đồ thị hàm số y x 3 mx 2 m tại 3 điểm phân biêt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn 1 x1 x2 x3 3 ?. A. 6 .. Câu 26.. B. 5 .. D. 3 .. C. 2 .. (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Cho hàm số y x3 2mx 2 m 3 x 4 Cm . Tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y x 4 cắt Cm tại ba điểm phân biệt A 0;4 , B , C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 với điểm K 1;3 là: A. m . 1 137 . 2. B. m . 1 137 . 2. C. m . 1 137 . 2. D. m . 1 137 . 2. Câu 27.. (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình x3 3x2 m3 3m2 0 có ba nghiệm phân biệt. Tổng tất cả các phần tử của T bằng A. 1 . B. 5 . C. 0 . D. 3 .. Câu 28.. (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho đồ thị hàm số f x x3 bx 2 cx d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 . Tính giá trị của biểu thức P A. P 3 2b c .. B. P 0 .. 1 1 1 . f x1 f x2 f x3 . C. P b c d .. D. P . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 1 1 . 2b c.
<span class='text_page_counter'>(623)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 29.. (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số bậc ba. y f x có đồ thị đi qua điểm. A 1;1 , B 2; 4 , C 3;9 . Các đường thẳng AB , AC , BC lại cắt đồ thị lần lượt tại các điểm M , N , P ( M khác A và B , N khác A và C , P khác B và C . Biết rằng tổng các hoành độ của M , N , P bằng 5, giá trị của f 0 là A. 6 . B. 18 . C. 18. D. 6. Câu 30.. (Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 2 cắt đường thẳng d : y m x 1 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 x22 x22 5 . A. m 3 . B. m 2. C. m 3 .. D. m 2 .. (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3x 2 9 x 2m 1 và trục Ox có đúng hai điểm chung phân biệt. Tính tổng T của các phần tử thuộc tập S A. T 10 . B. T 10 . C. T 12 . D. T 12 . Dạng 2. Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến (CHỨA THAM SỐ) Bài toán tổng quát ax b Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm tham số m để đường thẳng d : y x cắt C tại hai điểm cx d phân biệt A, B thỏa mãn điều kiện K? Phương pháp giải Bước 1. (Bước này giống nhau ở các bài toán tương giao của hàm nhất biến) ax b x Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa d và C : cx d d g x cx 2 c d a x d b 0, x . c c 0; 0 d - Để d cắt C tại hai điểm phân biệt g x 0 có nghiệm nghiệm phân biệt d . c g c 0 Giải hệ này, ta sẽ tìm được m D1 i Câu 31.. -Gọi A x1 ; x1 , B x2 ; y2 với x1 , x2 là 2 nghiệm của g x 0 Theo Viét:. S x1 x2 . c d a d b ; P x1 x2 ii c c. Bước 2. -Biến đổi điều kiện K cho trước về dạng có chứa tổng và tích của x1 , x2 iii -Thế ii vào iii sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m. Giải nó sẽ tìm được m D2 -Từ i , m D1 D2 và kết luận giá trị m cần tìm. Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến tương giao giữa đường thẳng y kx p và ax b đồ thị hàm số y cx d ax b Giả sử d : y kx p cắt đồ thị hàm số y tại 2 điểm phân biệt M , N . cx d ax b Với kx p cho ta phương trình có dạng: Ax 2 Bx C 0 thỏa điều kiện cx d 0 , có cx d 2 B 4 AC . Khi đó: Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(624)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1). M ( x1; kx1 p ), N ( x2 ; kx2 p ) MN ( x2 x1; k ( x2 x1 )) MN ( k 2 1) 2 A Chú ý: khi min MN thì tồn tại min , k const. 2). OM 2 ON 2 (k 2 1)( x12 x22 ) ( x1 x2 )2kp 2 p 2 3). OM .ON ( x1. x2 )(1 k 2 ) ( x1 x2 )kp p 2 4). OM ON ( x1 x2 )(1 k 2 ) 2kp 0 Câu 1.. (Sở Ninh Bình 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 2020; 2020 của tham số. 2x 3 tại hai điểm phân biệt? x 1 C. 4038. D. 4034.. m để đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số y . A. 4036.. B. 4040.. x 3 tại hai điểm phân x 1. Câu 2.. (ĐHQG TPHCM 2019) Đường thẳng y x 2m cắt đồ thị hàm số y . Câu 3.. biệt khi và chỉ khi m 1 m 1 m 3 A. . B. . C. . D. 3 m 1 . m 3 m 3 m 1 (Gia Lai 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y 2 x m cắt đồ thị x3 của hàm số y tại hai điểm phân biệt. x 1 A. m ; . B. m 1; . C. m 2; 4 . D. m ; 2 .. Câu 4.. Gọi A và B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số y đoạn AB ngắn nhất bằng A. 4 2 . B. 4 .. Câu 5.. Câu 6.. D. 2 2 .. x C và đường thẳng d : y x m . x 1 Gọi S là tập các số thực m để đường thẳng d cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt A , B sao cho. (Chuyên Nguyễn Du ĐăkLăk 2019) Cho hàm số y . tam giác OAB ( O là gốc tọa độ) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 2 . Tổng các phần tử của S bằng A. 4 . B. 3 . C. 0 . D. 8 . 2x 1 Đồ thị hàm số y C và đường thẳng d : y x m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m 1 x để đường thẳng d cắt đồ thị C tại 2 điểm phân biệt A. m 1 .. Câu 7.. C. 2 2 .. x . Khi đó độ dài x2. B. 5 m 1 .. C. m 5 .. D. m 5 hoặc m 1 .. x3 có đồ thị C và đường thẳng d : y x m , với m là x 1 tham số thực. Biết rằng đường thẳng d cắt C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho điểm (Sở Cần Thơ 2019) Cho hàm số y . G 2; 2 là trọng tâm của tam giác OAB ( O là gốc toạ độ). Giá trị của m bằng A. 6 . Câu 8.. B. 3 .. C. 9 . D. 5 . 3 x 2m (Sở Nam Định 2019) Cho hàm số y với m là tham số. Biết rằng với mọi m 0, đồ mx 1 thị hàm số luôn cắt đường thẳng d : y 3x 3m tại hai điểm phân biệt A , B. Tích tất cả các giá trị của m tìm được để đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại C , D sao cho diện tích OAB bằng 2 lần diện tích OCD bằng. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(625)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 4 A. . 9 Câu 9.. B. 4 .. C. 1.. D. 0 .. (Gia Lai 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đường thẳng y 3x m 2 x 1 cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB ( O x 1 là gốc tọa độ) thuộc đường thẳng x 2 y 2 0 ? A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 .. b Câu 10. Giả sử m , a, b , a. a, b 1 là giá trị thực của tham số m để đường thẳng. 2 x 1 C tại hai điểm phân biệt A , B sao cho trọng x 1 tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng x 2 y 2 0 , với O là gốc toạ độ. Tính a 2b . A. 2 . B. 5 . C. 11 . D. 21 . d : y 3 x m cắt đồ thị hàm số y . 3x 2 , (C) và đường thẳng d : y ax 2b 4 . Đường thẳng d cắt ( C ) tại A, x2 B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O, khi đó T a b bằng 5 7 A. T 2 . B. T . C. T 4 . D. T . 2 2 2x 1 Câu 12. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 3 x m cắt đồ thị hàm số y x 1 tại hai điểm phân biệt A , B sao cho trọng tâm OAB thuộc đường thẳng : x 2 y 2 0 , với O là gốc tọa độ. 11 1 A. m . B. m . C. m 0 . D. m 2 . 5 5 Câu 11. Cho hàm số y . 2x có đồ thị là C . Tìm tập hợp tất cả các giá trị a để qua điểm M 0; a x 1 có thể kẻ được đường thẳng cắt C tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm M .. Câu 13. Cho hàm số y . A. ;0 2; . Câu 14.. B. 3; .. C. ;0 .. D. ; 1 3; .. (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho đường thẳng 2x 1 tại hai điểm phân biệt M , N sao cho MN 10 . y x m cắt đồ thị hàm số y x 1 A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 .. Câu 15. Cho là đồ thị hàm số y . 2x 1 . Tìm k để đường thẳng d : y kx 2 k 1 cắt tại hai điểm x 1. phân biệt A,B sao cho khoảng cách từ A đến trục hoành bằng khoảng cách từ B đến trục hoành. A. 1. Câu 16.. Câu 17.. B.. 2 5. C. 3 .. D. 2 .. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tìm điều kiện của m để đường thẳng y mx 1 cắt đồ x 3 thị hàm số y tại hai điểm phân biệt. x 1 A. ;0 16; B. 16; C. ;0 D. ;0 16; x2 sao x 2 2 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d : y 2 x 6 nhỏ nhất. Tính 4 a 5 2b 7 .. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Gọi M a ; b là điểm trên đồ thị hàm số y . A. 162 .. B. 2 .. C. 18 .. D. 0 .. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(626)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 18.. x cắt 1 x đường thẳng y x m tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị của hàm số y . bằng 600 ( với O là gốc tọa độ)? A. 2 B. 1. C. 3. D. 0. Câu 19.. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Để đường thẳng d : y x m 2 cắt đồ thị hàm số 2x y C tại hai điểm phân biệt A và x 1 B sao cho độ dài AB ngắn nhất thì giá trị của m thuộc khoảng nào? A. m 4; 2 B. m 2; 4 C. m 2;0 D. m 0; 2 . Câu 20.. (THPT Lương Tài Số 2 2019) Biết rằng đường thẳng y 2 x 2m luôn cắt đồ thị hàm số. x2 3 tại hai điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của tham số m. Tìm hoành độ trung điểm x 1 của AB? A. m 1 B. m 1 C. 2m 2 D. 2m 1 y. Câu 21.. 2x 3 . Điểm M x0 ; y0 x 1 có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất, với x0 0 khi đó x0 y0. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi H là đồ thị hàm số y thuộc H . bằng A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 0 . Câu 22. (Chuyên Bến Tre - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đường 2 x 1 thẳng d : y x m cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt A, B sao cho x 1. AB 2 2 . Tổng giá trị các phần tử của S bằng A. 6 . B. 27 . C. 9 . Câu 23.. D. 0 .. 2 x m2 có đồ thị Cm , trong đó m là x 1 tại hai điểm A x A ; y A , B xB ; yB với xA xB ;. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y tham số thực. Đường thẳng d : y m x cắt Cm . đường thẳng d ' : y 2 m x cắt Cm tại hai điểm C xC ; yC , D xD ; yD với xC xD . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để xA .xD 3. Số phần tử của tập S là A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Dạng 3. Bài toán tương giao của đường thẳng với hàm số trùng phương (CHỨA THAM SỐ) . Bài toán tổng quát: Tìm m để đường thẳng d : y cắt đồ thị (C ) : y f ( x; m) ax 4 bx 2 c tại n điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp giải: Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (C ) là: ax 4 bx 2 c 0 (1) Đặt t x 2 0 thì (1) at 2 bt c 0 (2) Tùy vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị m D1. Cụ thể:. Để d (C ) n 4 điểm phân biệt (1) có 4 nghiệm phân biệt 0 (2) có 2 nghiệm t1 , t2 thỏa điều kiện: 0 t1 t2 S 0 m D1. P 0 . Để d (C ) n 3 điểm phân biệt (1) có 3 nghiệm phân biệt Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(627)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. c 0 (2) có nghiệm t1 , t2 thỏa điều kiện: 0 t1 t2 b m D1. a 0. Để d (C ) n 2 điểm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt ac 0 (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương 0 m D1. S 0. Để d (C ) n 1 điểm phân biệt (1) có đúng 1 nghiệm c 0 t1 0 0 (2) có nghiệm kép 0 hoặc b m D1. c 0 t2 0 a 0 Bước 2. Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của t1 , t2 (3) Thế biểu thức tổng, tích vào (3) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m. Giải chúng ta sẽ tìm được m D2 . Kết luận: m D1 D2 . Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Ta có: ax 4 bx 2 c 0 (1) , đặt t x 2 0 , thì có: at 2 bt c 0 (2) 0 Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là: t1 t2 0 t .t 0 1 2. Khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt lần lượt là t2 ; t1 ; t1 ; t2 lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:. t2 t1 t1 ( t1 ) t2 3 t1 t2 9t1 . Theo định lý Vi – et. t1 t2 . b a. suy ra. b 9b c ; t2 , kết hợp t1.t2 nên có: 9ab2 100a 2c 10a 10a a 4 2 Tóm lại: Hàm số y ax bx c cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng, t1 . b 2 4ac 0 b 0 a thì điều kiện cần và đủ là: c 0 a 9ab2 100a 2 c . Câu 1.. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 4 4 x 2 3 m 0 có 4 nghiệm phân biệt là A. 1;3 . B. 3;1 . C. 2; 4 . D. 3;0 .. Câu 2.. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 4 2mx 2 (2m 1) 0 có 4 nghiệm thực phân biệt là 1 1 A. ; \ 1 . B. (1; ) . C. ; . D. . 2 2 . Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(628)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 3.. Câu 4.. Câu 5.. (THPT Lương Thế Vinh - Hn - 2018) Cho hàm số y x 4 3 x 2 2 . Tìm số thực dương m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A , B sao cho tam giác OAB vuông tại O , trong đó O là gốc tọa độ. 3 A. m 2 . B. m . C. m 3 . D. m 1 . 2 Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x 4 x 2 tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi 1 1 1 A. m 0 . B. 0 m . C. m 0 . D. m 4 4 4 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x 4 2 x 2 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là 0, 1, m, n . Tính S m 2 n2 . A. S 1 . B. S 0 . C. S 3 .. Câu 6.. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y x 4 4 x3 m 2 x 2 8 x 4 cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1. A. 8 . B. 7 . C. 5 .. Câu 7.. Câu 8.. Câu 9.. Câu 10.. D. S 2 .. D. 3 .. (Sở Hà Nam - 2019) Cho hàm số f x 4 x 4 8 x 2 1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của. m để phương trình f x m có đúng hai nghiệm phân biệt? A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. 4 2 (Sở Thanh Hóa 2018) Cho hàm số y x 2mx m (với m là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y 3 tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn 2 còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn 1, là khoảng a; b (với a , b , a , b là phân số tối giản). Khi đó, 15ab nhận giá trị nào sau đây? A. 63 . B. 63 . C. 95 . D. 95 . 2 (Chuyên Hà Tĩnh 2018) Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x 4 x 2 10 tại hai điểm phân biệt A , B sao cho tam giác OAB vuông ( O là gốc tọa độ). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. m 2 5;7 . B. m 2 3;5 . C. m 2 1;3 . D. m 2 0;1 . (Sở Bình Phước 2018) Cho hàm số y x 4 2 x 2 3 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Với giá trị nào của m thì phương trình x 4 2 x 2 3 2m 4 có 2 nghiệm phân biệt.. m 0 m 0 1 1 A. B. m . C. 0 m . D. 1. 1. m m 2 2 2 2 Câu 11. (THPT Bình Giang - Hải Dương - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 4 2 x 2 3 2m 0 có 4 nghiệm phân biệt. 3 3 3 A. 2 m . B. m 2 . C. 2 m . D. 3 m 4 . 2 2 2 Câu 12. (THPT Vân Nội - Hà Nội - 2018) Tất cả các giá trị thực của tham số m , để đồ thị hàm số y x 4 2 2 m x 2 m 2 2m 2 không cắt trục hoành. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(629)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. m 3 1. Câu 13.. B. m 3.. C. m 3 1.. D. m 3.. (Sở Nam Định - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y m 1 x 4 2 2m 3 x 2 6m 5 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ x1 , x 2 , x 3 , x 4 thỏa mãn x1 x 2 x 3 1 x 4 .. 5 A. m 1; . 6 . Câu 14.. B. m 3; 1 .. C. m 3;1 .. D. m 4; 1 .. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y x 4 3m 2 x 2 3m có đồ thị là (C m ) . Tìm m để đường thẳng d : y 1 cắt đồ thị (C m ) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. 1 1 A. m 1 và m 0 B. m 1 và m 0 3 2 1 1 1 1 C. m và m 0 D. m và m 0 2 2 3 2 -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(630)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Biện luận m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện k (hàm số khác) Câu 1.. x 3 x 2 x 1 x và y x 2 x m x 2 x 1 x x 1 và C2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C1 . (Mã 101 2019) (Mã đề 001) Cho hai hàm số y ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là C1 . và C2 cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. 2; . Câu 2.. B. ;2 .. x 1 x x 1 x 2 và y x 2 x m ( m là tham x x 1 x 2 x 3 số thực) có đồ thị lần lượt là C1 , C2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C1 và C2 cắt. Câu 5.. Câu 6.. Câu 7.. C. 2; .. D. ; 2 .. x x 1 x 2 x 3 và y x 1 x m ( m là tham x 1 x 2 x 3 x 4 và C 2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C1 và C 2 cắt. (Mã 102 2019) Cho hai hàm số y số thực) có đồ thị lần lượt là C1 nhau tại đúng 4 điểm phân biệt là A. ;3 . B. ;3 .. Câu 4.. D. ;2 .. (Mã 103 2019) Cho hai hàm số y . nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. 2; . B. ; 2 . Câu 3.. C. 2; .. C. 3; .. D. 3; .. x 2 x 1 x x 1 và y x 1 x m ( m là tham x 1 x x 1 x 2 số thực) có đồ thị lần lượt là C1 và C2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C1 và C2 cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. ; 3 . B. 3; . C. ; 3 . D. 3; . (Mã 104 2019) Cho hai hàm số y . x2 1 x2 2 x x2 4 x 3 x2 6 x 8 và y x 2 x m ( m là tham số x x 1 x2 x 3 thực) có đồ thị lần lượt là (C1 ) và (C2 ) . Tính tổng tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng (15 ; 20) của tham số m để (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại nhiều hơn hai điểm phân biệt. A. 210 . B. 85 . C. 119 . D. 105 . x x 1 x 2 Cho hai hàm số y và y e x 2020 3m ( m là tham số thực) có đồ thị lần x 1 x x 1 lượt là (C1 ) và (C 2 ) . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc ( 2019; 2020) để (C1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt? A. 2692 . B. 2691 . C. 2690 . D. 2693 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số y 2 x 2 1 x 1 và Cho hai hàm số y . 11 1 11 m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt? 3x 4 2 x A. ;0 . B. ;1 . C. ;1 . y. Câu 8.. D. ; 2 .. x 1 x x 1 x 2 và y 21 x 2m ( m là tham số thực) có đồ thị lần x x 1 x 2 x 3 lượt là (C1 ) và (C2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt là A. 2; . B. ; 2 . C. ; 2 . D. ; 4 .. Cho hai hàm số y . Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(631)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 9.. x x 1 x2 và y x x 1 m ( m là tham số thực) có đồ 2 2 x 1 x 2x x 4x 3 thị lần lượt là (C1 ) và (C2 ) . Số các giá trị m nguyên thuộc khoảng 20; 20 để (C1 ) và (C2 ) cắt. Cho hai hàm số y . 2. nhau tại năm điểm phân biệt là A. 22 . B. 39 .. C. 21 .. D. 20 .. Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m 2 x 4 m 2 x 3 x 2 m 2 1 x 0 nghiệm đúng với mọi x . Số phần tử của tập S là B. 2 .. A. 3 .. D. 1.. C. 0 .. Câu 11. Có bao nhiêu cặp số thực (a; b) để bất phương trình x 1 x 2 ax 2 bx 2 0 nghiệm đúng với mọi x A. 3 .. B. 2 .. D. 1.. C. 0 .. Câu 12. Trong số các cặp số thực a; b để bất phương trình x 1 x a x 2 x b 0 nghiệm đúng với mọi x , tích ab nhỏ nhất bằng 1 1 A. . B. 1. C. . D. 1. 4 4 Câu 13. Cho 2 hàm số y x 7 x 5 x 3 3m 1 và y x 2 x 2m ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là C1 , C2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C1 cắt C2 là A. m .. B. m 2; .. D. m 2; .. C. m ; 2 .. Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn 2019; 2019 để phương trình. . . . . 3 x 2 3 x m 1 x 5 1 x 2m 4 x 2 2 x 3 có nghiệm thực?. A. 2019 . Câu 15.. B. 4032 .. C. 4039 .. D. 4033 .. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Tập hợp tất cả các số thực của tham số m để phương trình x6 6 x 4 m3 x3 15 3m2 x 2 6mx 10 0 có đúng hai nghiệm phân biệt. . 1 thuộc đoạn ;2 là: 2 5 A. 2 m . 2. B.. . 7 m 3. 5. C.. 11 m 4. 5. D. 0 m . 9 . 4. Câu 16.. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Có bao nhiêu m nguyên dương để hai đường cong 2 và C2 : y 4 x m cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương? C1 : y 2 x 10 A. 35. B. 37. C. 36. D. 34.. Câu 17.. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x ) ( x 1).( x 2)...( x 2020). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn. 2020; 2020 A. 2020. Câu 18.. để phương trình f ( x ) m. f ( x ) có 2020 nghiệm phân biệt? B. 4040. C. 4041. D. 2020.. (ĐHQG 3. Hà 2. Nội. 3. 2020). Cho. 2. phương. trình. 4 cos x 12 cos x 33cos x 4m 3 3cos x 9 cos x m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của 2 tham số m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc 0; . 3 A. 15. B. 16. C. 17. D. 18.. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(632)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 3 1 x2 4m 2020 , Tổng tất các Câu 19. (Sở Ninh Bình 2020) Cho hai hàm số y ln và y x2 x x các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm duy nhất là A. 506 . B. 1011 . C. 2020 . D. 1010 . Câu 20.. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Cho hai hàm số y x 1 2 x 1 3 x 1 m 2 x ; y 12 x 4 22 x3 x 2 10 x 3 có đồ thị lần lượt là C1 , C2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn 2020;2020 để C1 cắt C2 tại 3 điểm phân biệt? A. 4040 . B. 2020 . C. 2021 . D. 4041 .. Câu 21.. (Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số. x y. 2. 2. 2 x m 3x m x3. (C ) và đường thẳng. (d ) : y 2 x ( m là tham số thực).. Số giá trị nguyên của m 15;15 để đường thẳng (d ) cắt đồ thị (C ) tại bốn điểm phân biệt là A. 15 . Câu 22.. B. 30 .. C. 16 .. (Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho hai hàm số. D. 17 . y x 6 6 x 4 6 x 2 1 và. y x3 m 15 x m 3 15 x có đồ thị lần lượt là C1 và C2 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2019;2019 để C1 và C2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Số phần tử của tập hợp S bằng A. 2006 . B. 2005 . Dạng 2. Tương giao hàm hợp, hàm ẩn Câu 1.. C. 2007 .. D. 2008 .. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Số nghiệm thuộc đoạn ; 2 của phương trình 2 f sin x 3 0 là A. 4 . Câu 2.. B. 6 .. C. 3 .. D. 8 .. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau. 5 Số nghiệm thuộc đoạn 0; của phương trình f sin x 1 là 2 A. 7 . B. 4 . C. 5 .. D. 6 .. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(633)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 3.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số. . . nghiệm thực phân biệt của phương trình f x3 f ( x) 1 0 là. A. 8 . Câu 4.. B. 5 .. C. 6 .. D. 4 .. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x3 f x 1 0 là A. 6 . Câu 5.. B. 4 .. C. 5 .. D. 8 .. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x 2 f ( x ) 2 0 là A. 8 . Câu 6.. B. 12 .. C. 6 .. D. 9 .. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y f x có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.. Số nghiệm thực của phương trình f x 2 f x 2 là: A. 6.. B. 12.. C. 8.. D. 9.. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(634)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 7.. (Mã 103 2019) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm thực của phương trình f x 3 3 x . A. 7 . Câu 8.. 3 là 2. B. 3 .. C. 8 .. D. 4 .. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau. . . Số nghiệm của phương trình f 2 f e x 1 là A. 4 . Câu 9.. B. 2 .. C. 1.. D. 3 .. Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp 2 trên và có đồ thị f x là đường cong trong hình vẽ bên.. Đặt g x f f x 1 . Gọi S là tập nghiệm của phương trình g x 0. Số phần tử của tập S là A. 8 . B. 10 . C. 9 . D. 6 . Câu 10. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hàm số f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Đặt g x f f x . Hỏi phương trình g x 0 có mấy nghiệm thực phân biệt?. A. 14 .. B. 10 .. C. 8 .. D. 12 .. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(635)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 11. Biết rằng đồ thị hàm số y f ( x ) được cho như hình vẽ sau. Số giao điểm của đồ thị hàm số y f x f x . f x và trục Ox là: 2. A. 4 . B. 6 . C. 2 . D. 0 . Câu 12. (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình f f x 1 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?. A. 6 .. B. 5 .. C. 7 .. D. 4 .. Câu 13. (Đề tham khảo 2019) Cho hàm số f x mx 4 nx3 px 2 qx r ,. Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:. Tập nghiệm của phương trình f x r có số phần tử là A. 4 . Câu 14.. B. 3 .. C. 1.. D. 2 .. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y f x mx 4 nx3 px 2 qx r , trong đó m, n, p , q , r . Biết rằng hàm số y f ' x có đồ như hình vẽ dưới.. Tập nghiệm của phương trình f x 16m 8n 4 p 2q r có tất cả bao nhiêu phần tử. A. 4 .. B. 3 .. C. 5 .. D. 6 .. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(636)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 15. (Mã 104 2019) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f x 3 3 x . A. 10 Câu 16.. B. 3. C. 9. D. 6. (Mã 101 2019) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f x3 3 x . A. 7 . Câu 17.. 2 là 3. 4 là 3. C. 3 .. B. 4 .. D. 8 .. (Mã 102 2019) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của. . . 3 phương trình f x 3 x . A. 6 .. 1 2. B. 10 .. C. 12 .. D. 3 .. Câu 18. Cho f x là một hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình dưới đây.. 2. Tập nghiệm của phương trình f x f x . f x có số phần tử là A. 1. B. 2. C. 6. D. 0. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(637)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 19.. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho hai hàm số y f x , y g x có đồ thị như hình sau: y 4. y=f(x). 3 2. -3 -2 -1. 1 O. 3 4 -1 -2. 1. 5 x. 2. -3 -4 y=g(x). Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình f g x 0 và g f x 0 là A. 25 . Câu 20.. B. 22 .. C. 21 .. D. 26 .. (THPT Nghĩa Hưng 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới: y 4. 2 3 2. 1 O. 1. 2 3. 4 5. 6 7. x. 2. Số nghiệm thuộc đoạn 2; 6 của phương trình f x f 0 là A. 5 B. 2 C. 3 Câu 21.. D. 4. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới. Đặt g x f f x . Tìm số nghiệm của phương trình g x 0 .. . A. 2. B. 8. C. 4. D. 6. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(638)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 22. (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số y f x =ax 4 bx3 cx 2 dx e có đồ thị như hình vẽ bên đây, trong đó a,b,c,d ,e là các hệ số thực. Số nghiệm của phương trình. f. . . f x f x 2 f x 1 0 là. A. 3. Câu 23.. (Sở. B. 4. Hưng. Yên. -. 2019). C. 2. Cho. các. hàm. n, n, p , q , r , a , b, c , d . g x ax 3 bx 2 cx d ,. D. 0. số. f x mx 4 nx 3 px 2 qx r. thỏa mãn. và. f 0 g 0 . Các hàm số. f x , g x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập nghiệm của phương trình f x g x có số phần tử là A. 4 . Câu 24.. B. 2 .. C. 1 .. D. 3 .. (Sở Hà Tĩnh - 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp nghiệm của phương trình f f x 1 0 có bao nhiêu phần tử?. B. 7 .. A. 4 . Câu 25.. C. 6 .. D. 9 .. (THPT Nguyễn Đức Cảnh - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên. Phương trình f A. 1.. . . 2 x x 2 3 có bao nhiêu nghiệm?. B. 2.. C. 3.. D. 4.. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(639)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 26.. (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên.. Số nghiệm thực của phương trình f x 3 3 x 1 là A. 10 . Câu 27.. B. 8 .. C. 9 .. D. 7 .. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f x có đồ thị như hình bên. Phương trình f f cos x 1 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 0; 2 ?. A. 2 . Câu 28.. B. 5 .. C. 4 .. D. 6 .. 3 2 (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hàm số f x ax bx bx c có đồ thị. như hình vẽ:. Số nghiệm nằm trong ;3 của phương trình f cos x 1 cos x 1 là 2 A. 2 . B. 3. C. 5. D. 4. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(640)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 29. (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hàm số f x liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:. Số nghiệm thuộc khoảng ;ln 2 của phương trình 2019 f 1 e x 2021 0 là A. 1. Câu 30.. B. 2 .. C. 3 .. D. 4 .. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho y f x là hàm số đa thức bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi phương trình f f cos x 1 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 0;3 ?. A. 2 . Câu 31.. B. 4 .. C. 5 .. D. 6 .. (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ. Phương trình f 3 x 1 2 5 có bao nhiêu nghiệm? A. 3 . Câu 32.. B. 5 .. C. 6 .. D. 4 .. (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:. sin x cos x 5 5 Số nghiệm thuộc đoạn ; của phương trình 3 f 7 0 là: 2 4 4 A. 6. B. 3. C. 5. D. 4. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(641)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 33.. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có đồ thị là đường g x 0 cong trong hình vẽ bên dưới. Đặt g x f f x . Tìm số nghiệm của phương trình .. A. 8 . Câu 34.. B. 2 .. C. 4 .. D. 6 .. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f x có bẳng biến thiên như hình vẽ.. 9 Số nghiệm thuộc đoạn 0; của phương trình f 2 sin x 1 1 là 2 A. 7 . B. 5 . C. 4 . Câu 35.. (Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y f x ax3 bx 2 cx d a, b, c, d có đồ. . thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình f f. A. 2. Câu 36.. D. 6 .. B. 3.. C. 1.. . . f x f x 2 f x f 1 0 là. D. 0.. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f f x 1 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?. A. 6 .. B. 5 .. C. 7 .. D. 4 .. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(642)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 37.. (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:. Số nghiệm của phương trình f x 2019 2020 2021 là A. 4 . Câu 38.. B. 6 .. C. 2 .. D. 3 .. (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho hàm số y f x có đồ thị y f ' x như hình vẽ. Xét hàm số g x 2 f x 2 x3 4 x 3m 6 5 với m là số thực. Để g x 0, x 5; 5 thì điều kiện của m là. 2 f 5 4 5. 3 2 C. m f 0 2 5 . 3. A. m . Câu 39.. . . 2 f 3 2 D. m f 3. B. m . 5. 5.. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ. Đặt. g x f f x 1 . Số nghiệm của phương trình g x 0 là. A. 6 .. B. 10 .. C. 9 .. D. 8 .. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(643)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 40.. (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y f ( x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. 7 Số nghiệm thuộc đoạn 0; của phương trình f ( f (cos x)) 0 là 2 A. 7 . B. 5 . C. 8 .. Câu 41.. D. 6 .. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y f x có đồ thị nhưu hình vẽ bên. Tìm số nghiệm thuộc đoạn 2017 ; 2020 của phương trình 3 f 2 cos x 8 .. A. 8 . B. 3 . C. 4 . Dạng 3. Biện luận tương giao hàm hợp, hàm ẩn chứa THAM SỐ Câu 1.. D. 6 .. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f sin x m có nghiệm thuộc khoảng. 0; . là. A. 1;3 Câu 2.. B. 1;1. C. 1;3. D. 1;1. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ:. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(644)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 6 f x 2 4 x m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng 0; ? A. 25. Câu 3.. B. 30.. C. 29.. D. 24.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 f x 2 4 x m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng 0; ? A. 15 . Câu 4.. B. 12 .. C. 14 .. D. 13 .. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 5 f x 2 4 x m có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng 0; A. 24 . Câu 5.. B. 21 .. C. 25 .. D. 20 .. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 f x 2 4 x m có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng 0; ? A. 16 .. B. 19 .. C. 20 .. D. 17 .. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(645)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 6.. (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình sau.. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2sin 3 x 5cos 2 x 2 f sin x 2 sin x m nghiệm đúng với mọi x ; . 3 4 2 2 A. m 2 f 3 Câu 7.. 11 . 12. B. m 2 f 1 . 19 . 12. C. m 2 f 1 . 19 . 12. D. m 2 f 3 . 11 . 12. (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số y f ( x) ax 3 bx 2 cx d có đồ thị như hình dưới đây. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 5;5 để phương trình f 2 ( x ) ( m 4) f ( x ) 2 m 4 0 có 6 nghiệm phân biệt A. 2 . B. 4 . C. 3 .. Câu 8.. D. 5 .. (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số y f x , hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình f x x 2 2 x m (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x 1; 2 khi và chỉ khi. A. m f 2 2 . Câu 9.. B. m f 1 1 .. C. m f 1 1.. D. m f 2 .. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1; 4 và có đồ thị như hình vẽ.. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(646)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn 10;10 để bất phương trình f x m 2 m đúng với mọi x thuộc đoạn 1; 4 . A. 6 . Câu 10.. B. 5 .. C. 7 .. D. 8 .. (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ. Cho bất phương trình 3 f x x 3 3x m ( m là tham số thực). Điều kiện cần và đủ để bất phương trình. . 3 f x x 3 3x m đúng với mọi x 3; 3 là . A. m 3 f 1 . Câu 11.. . . B. m 3 f 3 .. C. m 3 f 0 .. D. m 3 f. 3 .. (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m để phương trình f sin x m 2 2sin x có nghiệm thuộc khoảng 0; . Tổng các phần tử của S bằng. A. 4 . Câu 12.. B. 1 .. C. 3 .. D. 2 .. (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số f x x3 x 2 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f. . 3. . f 3 x f x m x3 x 2 có nghiệm. x 1;2 ? A. 1750 .. B. 1748 .. C. 1747 .. D. 1746 .. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(647)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 13.. (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số f ( x) liên tục trên 2; 4 và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x 2 x 2 2 x m. f ( x) có nghiệm thuộc đoạn 2; 4 ?. A. 6 . Câu 14.. B. 5 .. C. 4 .. D. 3 .. (Chuyên Sơn La - 2020) Cho hàm số f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 cos x m 2019 f cos x m 2020 0 có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0;2 là. A. 1 . Câu 15.. C. 2 .. D. 5 .. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y f ( x ) . Hàm số y f ( x) có đồ thị như hình bên. 1 Biết f 1 1; f 2 . Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình e 1 f x ln x m nghiệm đúng với mọi x 1; . e . A. m 2 . Câu 16.. B. 3 .. B. m 3 .. C. m 2 .. D. m 3 .. (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên thỏa mãn f 1 5, f 3 0 và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:. Số giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 3 f 2 x x 2 4 x m có nghiệm trong khoảng 3;5 là A. 16 .. B. 17 .. C. 0 .. D. 15 .. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(648)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 17.. 1 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên và thỏa mãn f 1 1, f 2 . e 2 Hàm số f x có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình f x ln x x m nghiệm đúng với 1 mọi x 1; khi và chỉ khi e . A. m 0 . Câu 18.. B. m 3 . 1 . e2. C. m 3 . 1 . e2. D. m 0 .. (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f f cos x m có nghiệm thuộc 3 khoảng ; 2 2 A. 2.. Câu 19.. ? . B. 4.. C. 5.. D. 3.. (Sở Ninh Bình) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ.. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 sin x f m 2 6m 10 có nghiệm? A. 2. Câu 20.. B. 3.. C. 4.. D. 1.. (Sở Yên Bái - 2020) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Có tất cả bao nhiêu. . . giá trị nguyên của tham số m để phương trình f x3 3x 2 m 3 0 có nghiệm thuộc đoạn. 1; 2 . Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(649)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 7 .. B. 8 .. C. 10 .. D. 5 .. Câu 21.. (Sở Yên Bái - 2020) Cho hàm số y f (x ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Số các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 16.8 f (x ) (m 2 5m).4 f (x ) ((4 f 2 (x )).16 f (x ) nghiệm đúng với mọi số thực x là A. 3. B. 5. C. 1. D. 4.. Câu 22.. (Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y f x , hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình m e x f x có nghiệm với mọi x 1;1 khi và chỉ khi.. 1 A. m min f 1 e; f 1 . e 1 C. m min f 1 e; f 1 . e Câu 23.. B. m f 0 1 . D. m f 0 1 .. (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho hàm số f x là hàm số đa thức bậc bốn. Biết f 0 0 và đồ thị hàm số y f x có hình vẽ bên dưới.. Tập nghiệm của phương trình f 2 sin x 1 1 m (với m là tham số) trên đoạn 0;3 có tất cả bao nhiêu phần tử? A. 8 .. B. 20 .. C. 12 .. D. 16 .. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(650)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 24.. (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số y f x . Hàm số y f ' x có bảng biến thiên như hình vẽ:. Bất phương trình e. x. A. m f 4 e 2 . Câu 25.. m f x có nghiệm x 4;16 khi và chỉ khi: B. m f 4 e 2 .. C. m f 16 e2 .. D. m f 16 e2 .. (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số đa thức bậc bốn y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ dưới đây đường đậm hơn là đồ thị hàm số y f x . Biết rằng hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ là 3 và cắt nhau tại hai điểm nữa có hoành độ lần lượt là 1 và 3 . Tìm tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để bất phương trình f x g x m nghiệm đúng với mọi x 3;3 .. 12 10 3 A. ; . 9 Câu 26.. 12 8 3 ; . B. 9 . (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số f x x5 3 x3 4m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f A. 18 .. Câu 27.. 12 10 3 12 8 3 C. ; . D. ; . 9 9 . B. 17 .. . 3. . f x m x 3 m có nghiệm thuộc đoạn 1; 2 ?. C. 15 .. D. 16 .. (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hàm số f x liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ.. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 cos x 3 m f cos x 2m 10 0 có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; là 3 A. 5 . B. 6 . C. 7 .. D. 4 .. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(651)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 28.. (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình y f sin x 3sin x m có nghiệm thuộc khoảng 0; . Tổng các phần tử của S bằng. A. 5 . Câu 29.. B. 8 .. (NK HCM-2019) Cho. f x. C. 6 .. D. 10 .. là một hàm số liên tục trên đoạn. 2;9 ,. biết. f 1 f 2 f 9 3 và f x có bảng biến thiên như sau:. Tìm m để phương trình f x f m có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn 2;9 .. Câu 30.. A. m 2;9 \ 1; 2 6 .. B. m 2;9 \ 1;2 6 .. C. m 2;9 \ 6 .. D. m 2;9 \ 2;6 .. (Chuyên Đại học Vinh 2019) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f x 3 3 x m có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2 ?. A. 3 . Câu 31.. B. 2 .. C. 6 .. D. 7 .. (Hội 8 trường chuyên ĐBSH 2019) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới.. Số giá trị nguyên dương của m để phương trình f x 2 4 x 5 1 m có nghiệm là A. Vô số.. B. 4 .. C. 0 .. D. 3 .. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(652)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 32. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới. Có bao nhiêu giá. . . 2 trị nguyên của m để phương trình 2 f 3 4 6 x 9 x m 3 có nghiệm. A. 13 . Câu 33.. B. 12 .. C. 8 .. D. 10 .. (Chuyên Bắc Giang 2019) hàm số y f x có bảng biến thiên. Tìm m để phương trình f 2 2 x 2 f 2 x m 1 0 có nghiệm trên ;1 A. 1; . Câu 34.. B. 2; .. C. 2; .. D. 1; .. (Sở Hà Nam - 2019) Cho hàm số f x x 2 4 x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số. m để phương trình f 2 x m 6 f x m 5 0 có 6 nghiệm thực phân biệt? A. 1 .. B. 2 .. C. 4 .. D. 3 .. 3 2 Câu 35. Cho hàm số f x ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị của m m sao cho. x 1 m3 f 2 x 1 mf x f x 1 0, x . Số phần tử của tập S là A. 0. B. 3.. C. 2. D. 1.. Câu 36. Cho hàm số y f x ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 x m 5 f x 4m 4 0 có 7 nghiệm phân biệt? A. 1 . B. 2 .. C. 3 .. D. 4 .. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(653)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 37. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3sin x cos x 1 f f m 2 4m 4 có nghiệm. 2 cos x sin x 4 A. 4 . Câu 38.. B. 5 .. D. 3 .. C. Vô số.. Cho hàm số y f ( x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên.. Phương trình f (2sin x) m có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; khi và chỉ khi A. m 3;1 . .. B. m 3;1 . .. C. m 3;1 . .. D. m 3;1.. Câu 39. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị. . . nguyên của m để phương trình 2. f 3 3 9 x 2 30 x 21 m 2019 có nghiệm.. A. 15 . Câu 40.. B. 14 .. C. 10 .. D. 13 .. (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có đồ thị. . . như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2 f 3 4 6 x 9 x 2 m 3 có nghiệm.. A. 9 .. B. 17 .. C. 6 .. D. 5 .. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(654)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 41.. (SGD Điện Biên - 2019) Cho hàm số y f x ax 4 bx3 cx 2 dx e với a, b, c, d , e . Biết hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ, đạt cực trị tại điểm O 0;0 và cắt trục hoành tại. A 3;0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên 5;5 để phương trình f x 2 2 x m e có bốn nghiệm phân biệt.. A. 0 .. B. 2 .. C. 5 .. D. 7 .. Câu 42. Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn 2; 4 và có bảng biến thiên như sau. 9 2 40 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình x có ba 6 f 2 x 1 8 x3 6 x m 0 nghiệm phân biệt? A. 9 . Câu 43.. B. 11.. C. 10 .. D. 8 .. (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0; 5 và có bảng biến thiên như hình sau:. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình mf x 3 x 2019 f x 10 2 x nghiệm đúng với mọi x 0; 5 . A. 2014. Câu 44.. B. 2015.. C. 2019.. D. Vô số.. (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa -2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ m bên. Số giá trị nguyên của tham số để phương trình f 2 cosx m 2018 f cosx m 2019 0 có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0; 2 là. A. 5.. B. 3.. C. 2.. D. 1.. Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(655)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 45. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Tìm m để phương trình 2 f x 2019 m 0 có 4 nghiệm phân biệt. A. m 0;2 .. B. m 2; 2 .. D. m 2;1 .. C. m 4; 2 .. Câu 46. Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x 2 2 x 2 3m 1 có nghiệm thuộc khoảng 0;1 . .. A. 0;4 .. B. 1;0 .. 1 D. ;1 3 . C. 0;1 .. Câu 47. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình f. A. 2;0 . Câu 48.. B. 4; 2 .. . . 4 x x 2 1 m có nghiệm là. C. 4;0 .. D. 1;1 .. (Sở Hà Nội 2019) Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f x m m có 4 nghiệm phân biệt là. A. 2.. B. Vô số.. C. 1.. D. 0.. Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(656)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 49.. (Chuyen Phan Bội Châu 2019) Cho hàm số y f ( x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( 4 x 2 ) m có nghiệm thuộc nửa khoảng [ 2 ; 3) là: A. [-1;3] . Câu 50.. B. [-1; f ( 2)] .. C. (-1; f ( 2)] .. D. (-1;3] .. (Chuyên Dại Học Vinh 2019) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình A. 11. B. 9. 1 x f 1 x m có nghiệm thuộc đoạn 2; 2 ? 3 2 C. 8 D. 10. Câu 51. (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình x 2 x 3 2 m 2 m 3 0 có 4 nghiệm phân biệt. A. 3. B. 12. C. T 7. D. 5. Câu 52. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình 3 7 f x 2 2 x m có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn ; . 2 2. A. 1.. B. 2 .. C. 3 .. D. 4 .. Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(657)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 53. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm liên tục trên . Biết f (0) 0 và f x được cho như hình vẽ bên. Phương trình f ( x ) m ( với m là tham số) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?. A. 8 Câu 54.. B. 6. C. 2. D. 4. (Thanh Tường Nghệ An 2019) Cho hàm số y f x là hàm đa thức với hệ số thực. Hình vẽ bên dưới là một phần đồ thị của hai hàm số: y f x và y f x .. Tập các giá trị của tham số m để phương trình f x me x có hai nghiệm phân biệt trên 0; 2 là nửa khoảng a; b . Tổng a b gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 0.81 . Câu 55.. B. 0.54 .. C. 0.27 .. D. 0.27 .. (VTED 2019) Cho hai hàm số y f x và y g x là các hàm xác định và liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên (trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y f x ). Có bao 5 nhiêu số nguyên m để phương trình f 1 g 2 x 1 m có nghiệm thuộc đoạn 1; . 2. A. 8. B. 3. C. 6. D. 4. Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(658)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 56.. (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;9 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình f x f x f x 2 2 16.3 f x 2 f x 8 .4 m 3m .6 nghiệm đúng với mọi giá trị thuộc 1;9 ? B. 31 .. A. 32 . Câu 57.. C. 5.. D. 6 .. (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên 1;3 và có đồ thị như hình vẽ.. Bất phương trình f x x 1 7 x m có nghiệm thuộc 1;3 khi và chỉ khi A. m 7 . Câu 58.. B. m 7 .. C. m 2 2 2 .. D. m 2 2 2 .. (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn. 3;3 và đồ thị hàm số. y f x như hình vẽ dưới đây. Biết f 1 6 và g x f x . x 1 2. 2. . Mệnh đề nào sau đây là đúng?. Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(659)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. Phương trình g x 0 có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 3;3 . B. Phương trình g x 0 không có nghiệm thuộc đoạn 3;3 . C. Phương trình g x 0 có đúng một nghiệm thuộc đoạn 3;3 . D. Phương trình g x 0 có đúng ba nghiệm thuộc đoạn 3;3 . Câu 59.. (Chuyên Sơn La - Lần 2 - 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.. Các giá trị của tham số m để phương trình. 4m 3 m 2f. A. m Câu 60.. 37 . 2. B. m . 3 3 . 2. 2. x 5. C. m . f 2 x 3 có ba nghiệm phân biệt là 37 . 2. D. m . 3 . 2. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - 2019) Cho hàm số f x ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ sau đây. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để phương trình f f x m có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2 ?. A. 5 . Câu 61.. B. 4 .. D. 3 .. (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2019) Cho hàm số g x 2 x3 x 2 8 x . Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình A. 7 .. Câu 62.. C. 0 .. B. 8 .. g g x 3 m 2 g x 7 có đúng 6 nghiệm thực phân biệt. C. 24 .. D. 25 .. (THPT Hà Nam - 2019) Cho hàm số f x x 2 4 x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 x m 6 f x m 5 0 có 6 nghiệm thực phân biệt? A. 1.. Câu 63.. B. 2 .. C. 4 .. D. 3 .. (Sở GD Bạc Liêu - 2019) Cho hàm số f ( x) 2 x3 x 2 8x 7 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình f ( f ( x) 3) m 2 f ( x) 5 có 6 nghiệm thực phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng A. 25 . B. 66 . C. 105 . D. 91 .. Câu 64.. (Quang Trung - Bình Phước - 2019) Cho hàm số f x liên tục trên . Hàm số f x có đồ thị như hình vẽ:. Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(660)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 y 2. 1. O. 1. x. 2. Bất phương trình f 2sin x 2 sin 2 x m đúng với mọi x 0; khi và chỉ khi. 1 A. m f 0 . 2 Câu 65.. 1 B. m f 1 . 2. C. m f 1 . 1 . 2. 1 D. m f 0 . 2. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2019) Cho hàm số f x x5 3 x3 4m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f A. 15 .. B. 16 .. . 3. . f x m x3 m có nghiệm thuộc 1;2 ? C. 17 .. D. 18 .. -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(661)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ. Chuyên đề 8. DẠNG TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng 1. Bài toán tương giao đồ thị thông qua đồ thị, bảng biến thiên b Nghiệm của phương trình af x b 0 là số giao điểm của đường thẳng y với đồ thị hàm a số y f x Câu 1.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau. x f ( x). . . 2 0. . 3 0. . f ( x). 0. 1. Số nghiệm của phương trình 3 f ( x) 2 0 là A. 2.. B. 0.. C. 3. Lời giải. D. 1.. Chọn C Ta có 3 f ( x) 2 0 f ( x) . x f ( x). 2 3. . 2 0. . 3 0. . f ( x). 1. 0. Căn cứ vào bảng biến thiên thì phương trinh 3 f ( x) 2 0 f ( x) Câu 2.. y. 2 3. 2 có 3 nghiệm phân biệt. 3. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f x 1 là:. A. 3 .. B. 1 .. C. 0 . Lời giải. D. 2 .. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(662)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn A. Số nghiệm thực của phương trình f x 1 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 1 .. Từ hình vẽ suy ra 3 nghiệm. Câu 3.. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f x 1 là. A. 0 .. B. 3 .. C. 1 . Lời giải. D. 2 .. Chọn B Ta thấy đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f x 1 có 3 nghiệm.. Câu 4.. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f x 1 là A. 1 . C. 2 .. B. 0 . D. 3 .. Lời giải Chọn D Từ đồ thị hàm số ta có số nghiệm thực của phương trình f x 1 là 3 . Câu 5.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(663)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Số nghiệm thực của phương trình f x 2 là: A. 0 .. C. 1 .. B. 3 .. D. 2 .. Lời giải Chọn B Ta có số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x với đường thẳng. y 2. Dựa vào đồ thị ta có phương trình có ba nghiệm phân biệt. Câu 6.. (Mã 101 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Số nghiệm thực của phương trình 2 f x 3 0 là A. 2 .. B. 1.. C. 4 . Lời giải. D. 3 .. Chọn C Ta có 2 f x 3 0 f x . 3 . 2. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y. 3 . 2. Dựa vào bảng biến thiên của f x ta có số giao điểm của đồ thị Câu 7.. (Mã 101 2018) Cho hàm số f x ax3 bx 2 cx d a , b , c , d . Đồ thị của hàm số. y f x như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3 f x 4 0 là. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(664)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. y 2 O. 2. x 2. A. 2. C. 1 Lời giải. B. 0. D. 3. Chọn D Ta có: 3 f x 4 0 f x . 4 * 3. 4 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y . 3 Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy * có 3 nghiệm.. *. Câu 8.. (Mã 102 2018) Cho hàm số f x ax 4 bx 2 c a, b, c . Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ bên.. Số nghiệm của phương trình 4 f x 3 0 là A. 2. C. 4 Lời giải. B. 0. D. 3. Chọn C Ta có 4 f x 3 0 f x . 3 4. 3 cắt đồ thị hàm số y f x tại 4 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 4 4 nghiệm phân biệt.. Đường thẳng y . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(665)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 9.. (Mã 103 2019) Cho hàm số f ( x ) bảng biến thiên như sau:. Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x ) 3 0 là A. 3 .. C. 1. Lời giải. B. 0 .. D. 2 .. Chọn A. 3 (1) . 2 Số nghiệm thực của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f ( x ) với đường Ta có 2 f ( x) 3 0 f ( x) . thẳng y . 3 . 2. Từ bảng biến thiên đã cho của hàm số f ( x ) , ta thấy đường thẳng y . 3 cắt đồ thị hàm số 2. y f ( x ) tại ba điểm phân biệt.. Do đó phương trình (1) có ba nghiệm thực phân biệt. Câu 10.. (Mã 103 2018) Cho hàm số y f x liên tục trên 2;2 và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3 f x 4 0 trên đoạn 2;2 là. A. 4 .. B. 3 .. C. 1. Lời giải. D. 2 .. Chọn B Ta có 3 f x 4 0 f x . 4 . 3. Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng y . 4 cắt y f x tại 3 điểm phân biệt nên phương trình đã 3. cho có 3 nghiệm phân biệt.. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(666)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 11.. (Mã. 102. 2019). Cho. hàm. số. f x. có. bảng. biến. thiên. như. sau Số nghiệm thực của phương trình 3 f x 5 0 là A. 3 .. B. 4 .. C. 0 . Lời giải. D. 2 .. Chọn B Bảng biến thiên. Xét phương trình 3 f x 5 0 f x . 5 . 3. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số C : y f x và đường thẳng d:y. Câu 12.. 3 . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng d cắt đồ thị C tại bốn điểm phân biệt. 2. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.. Số nghiệm của phương trình f x 2 là A. 3 .. B. 2 .. C. 4 . Lời giải. D. 6 .. *Đồ thị y f x - Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị của y f x nằm phía trên Ox - Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị của y f x nằm phía dưới Ox qua trục hoàn. - Bước 3: Xóa phần đồ thị của y f x nằm phía dưới trục hoành. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(667)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Số nghiệm của phương trình f x 2 cũng chính là số giao điểm cũng đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 2 . Dựa vào hình vẽ trên, ta thấy có 4 giao điểm. *Cách giải khác: f ( x) 2 f x 2 , dựa vào đồ thị suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm f ( x) 2 Câu 13.. (Mã 104 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Số nghiệm thực của phương trình 2 f x 3 0 là A. 0 .. B. 1 .. C. 2 . Lời giải. D. 3 .. Chọn D. 3 . 2 Nhìn bảng biến thiên ta thấy phương trình này có 3 nghiệm.. Ta có 2 f x 3 0 f x . Câu 14.. (Mã 110 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y ax4 bx 2 c , với a , b, c là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. A. Phương trình y 0 vô nghiệm trên tập số thực B. Phương trình y 0 có đúng một nghiệm thực Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(668)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. C. Phương trình y 0 có đúng hai nghiệm thực phân biệt D. Phương trình y 0 có đúng ba nghiệm thực phân biệt Lời giải Chọn D Dựa vào hình dáng của đồ thị hàm số y ax4 bx 2 c ta thấy đây là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương có 3 điểm cực trị nên phương trình y 0 có ba nghiệm thực phân biệt. Câu 15.. (Mã 104 2018) Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn 2;4 và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3 f ( x ) 5 0 trên đoạn 2;4 là. A. 2. C. 0 Lời giải. B. 1. D. 3. Chọn D Ta có 3 f ( x) 5 0 f ( x) . 5 . 3. Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y . 5 cắt đồ thị hàm số y f ( x ) tại ba điểm phân biệt thuộc 3. đoạn 2;4 . Do đó phương trình 3 f ( x ) 5 0 có ba nghiệm thực. Câu 16.. (THPT Cù Huy Cận 2019) Cho hàm số y f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.. Số nghiệm thực của phương trình 4 f ( x ) 7 0 A. 2 .. B. 4 .. C. 3 .. D. 1 .. Lời giải. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(669)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 7 7 . Do đường thẳng y cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm 4 4 phân biệt nên suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm. Ta có: 4 f ( x ) 7 0 f ( x) . Câu 17.. (TRƯỜNG Thpt Lương Tài Số 2 2019) Cho hàm số y f ( x) ax 4 bx 2 c có đồ thị như hình vẽ. Phương trình 1 2. f ( x) 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?. A. 4 C. Vô nghiệm. B. 3 D. 2 Lời giải. Chọn A. y f x C 1 Xét phương trình: 1 2. f ( x) 0 1 f x 1 2 y d 2 Số giao điểm của đường thẳng d và đường cong C ứng với số nghiệm của phương trình 1 . Theo hình vẽ ta có 4 giao điểm phương trình 1 sẽ có 4 nghiệm phân biệt. Câu 18.. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau đây.. Hỏi phương trình 2. f x 5 0 có bao nhiêu nghiệm thực? A. 0 .. B. 1 .. Phương trình 2. f x 5 0 f x . C. 3 . Lời giải. D. 2 .. 5 * . 2. Số nghiệm của phương trình * bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng. y. 5 5 . Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy 2 đồ thị y f x và y có 3 điểm chung. 2 2 Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(670)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vậy phương trình 2. f x 5 0 có 3 nghiệm thực. Câu 19.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình bên.. Số nghiệm của phương trình f x 3 0 là A. 3. B. 2. C. 1 Lời giải. D. 0. Chọn A Ta có: f x 3 0 f x 3 , theo bảng biến thiên ta có phương trình có 3 nghiệm. Câu 20.. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y f (x ) liên tục trên đoạn 2;2 và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm của phương trình f (x) 1 trên đoạn 2;2 . A. 3.. B. 5.. C. 6.. D. 4.. Lời giải Ta có số nghiệm của phương trình f (x) 1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y f (x) với đường thẳng y 1 .. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(671)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số y f (x) tại 6 điểm. Vậy số nghiệm của phương trình f (x) 1 là 6. Câu 21.. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số bậc bốn y f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f ( x) . A. 4. Từ đồ thị ta f ( x ) Câu 22.. 3 là 2. B. 1. C. 3 Lời giải. D. 2. 3 có 4 nghiệm phân biệt 2. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f x . 1 là 2. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(672)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 2 .. B. 4 .. C. 1 . Lời giải. D. 3 .. Chọn A Số nghiệm thực của phương trình f x đường thẳng y . 1 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số f x với 2. 1 2. . Dựa vào hình trên ta thấy đồ thị hàm số f x với đường thẳng y Vậy phương trình f x Câu 23.. 1 có 2 giao điểm. 2. 1 có hai nghiệm. 2. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên.. Số nghiệm của phương trình f x A. 3 .. B. 4 .. 1 là 2. C. 2 . Lời giải. D. x 1 .. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(673)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 Số nghiệm của phương trình f x bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và 2 1 đường thẳng y . 2 1 Dựa vào đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y cắt nhau tại 2 điểm. 2 1 Nên phương trình f x có 2 nghiệm. 2. Câu 24.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f x . A. 4 .. 1 là 2. B. 2 .. C. 1 . Lời giải. D. 3 .. Chọn A. Số nghiệm thực của phương trình f x . 1 1 bằng số giao điểm của đường thẳng y và có đồ 2 2. thị hàm số y f x . Ta thấy đường thẳng y . 1 1 cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm nên phương trình f x có 4 2 2. nghiệm. Dạng 2. Bài toán tương giao đồ thị thông qua hàm số cho trước (không chứa tham số) Cho hai đồ thị y f ( x) và y g ( x) . Bước 1. Giải phương trình f ( x) g ( x) . Bước 2. Tìm Số giao điểm? Hoành độ giao điểm? Tung độ giao điểm? Câu 25.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 3 x 1 và trục hoành là A. 3 .. B. 0 .. C. 2 . Lời giải. D. 1.. Chọn A Tập xác định: . Ta có: y 3 x 2 3 3 x 2 1 ; y 0 x 1 . Bảng biến thiên Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(674)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Câu 26.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 3 x 2 và đồ thị hàm số y 3 x 2 3 x là A. 3 .. B. 1.. C. 2 . Lời giải. D. 0 .. Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là: x 0 3 2 2 3 2 x 3 x 3 x 3 x x 3 x 0 x x 3 0 x 3 . x 3 Hai đồ thị đã cho cắt nhau tại 3 điểm. Câu 27.. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 x 2 và đồ thị hàm số y x 2 5 x là A. 2 .. B. 3 .. C. 1. Lời giải. D. 0 .. Chọn B Số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 x 2 và đồ thị hàm số y x 2 5 x chính là số nghiệm. x 0 thực của phương trình x3 x 2 x 2 5 x x 3 5 x 0 . x 5 Câu 28.. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 x 2 và đồ thị hàm số y x 2 5 x A. 3.. B. 0 .. C. 1.. D. 2.. Lời giải Chọn A x 0 Phương trình hoành độ giao điểm: x 3 x 2 x 2 5 x x3 5 x 0 . x 5 Vậy số giao điểm của 2 đồ thị là 3.. Câu 29.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 2 3 x và đồ thị hàm số y x3 x 2 là A. 1 .. B. 0 .. C. 2 . Lời giải. D. 3. Chọn D. x 0 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là x 3 x 2 x 2 3x x 3 3x 0 . x 3 Câu 30.. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 7 x với trục hoành là. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(675)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 0 .. C. 2 . Lời giải. B. 3 .. D. 1 .. Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là: x3 7 x 0 x0 . x x2 7 0 x 7 Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 7 x với trục hoành bằng 3 . Câu 31.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 3x với trục hoành là A. 2 .. B. 0 .. C. 3 . Lời giải. D. 1.. Chọn C. x 0 Xét phương trình hoành dộ giao điểm x3 3x 0 x( x2 3) 0 . x 3 Vậy có 3 giao điểm. Câu 32.. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 6 x với trục hoành là A. 2 .. C. 1 . Lời giải. B. 3 .. D. 0 .. Chọn B Ta có hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 6 x với trục hoành là nghiệm của phương. x 0 trình x3 6 x 0 (*) x x 2 6 0 . x 6 Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt, do đó đồ thị hàm số y x 3 6 x cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Câu 33.. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 5 x với trục hoành là: A. 3 Chọn. C. 0 Lời giải. B. 2. D. 1. A.. x 5 Ta có x 3 5 x 0 x 5 x0 Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 5 x với trục hoành là 3 Câu 34.. . . (Mã 105 2017) Cho hàm số y x 2 x 2 1 có đồ thị C . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. C cắt trục hoành tại một điểm.. B. C cắt trục hoành tại ba điểm.. C. C cắt trục hoành tại hai điểm.. D. C không cắt trục hoành. Lời giải. Chọn A. . . Dễ thấy phương trình x 2 x 2 1 0 có 1 nghiệm x 2 C cắt trục hoành tại một điểm.. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(676)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 35.. (Đề Minh Họa 2017) Biết rằng đường thẳng y 2 x 2 cắt đồ thị hàm số y x3 x 2 tại điểm duy nhất; kí hiệu x0 ; y0 là tọa độ của điểm đó. Tìm y0 A. y0 4. B. y0 0. C. y0 2. D. y0 1. Lời giải Chọn C Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 x 2 x 3 x 2 x 3 3 x 0 x 0 Với x0 0 y0 2 . Câu 36.. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Gọi P là số giao điểm của hai đồ thị y x3 x 2 1 và. y x2 1. Tìm P . A. P 0 .. B. P 2 .. C. P 1 . Lời giải. D. P 3 .. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y x3 x 2 1 và y x2 1: x 0 x3 x2 1 x2 1 x3 2 x2 0 x 2 Với x 0 y 1 . Với x 2 y 5 . Nên hai đồ thị trên có hai giao điểm là 0;1 và 2;5 . Vậy P 2 . Câu 37.. (Đề Tham Khảo 2017) Cho hàm số y x3 3x có đồ thị C . Tìm số giao điểm của C và trục hoành. A. 2. B. 3. C. 1 Lời giải. D. 0. Chọn B x 0 Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và trục hoành: x 3 3 x 0 x 3 Vậy số giao điểm của (C ) và trục hoành là 3.. Câu 38.. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình 2019) Cho hàm số y x 4 3 x 2 có đồ thị C . Số giao điểm của đồ thị C và đường thẳng y 2 là A. 2 .. B. 1.. C. 0 . Lời giải. D. 4 .. Số giao điểm của đồ thị C và đường thẳng y 2 là số nghiệm của phương trình sau:. 2 3 17 x 3 17 2 4 2 4 2 . x 3x 2 x 3x 2 0 x 2 2 3 17 0 x 2. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(677)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm nên số giao điểm của đồ thị C và đường thẳng là 2. Câu 39.. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Biết rằng đường thẳng y 4 x 5 cắt đồ thị hàm số. y x3 2 x 1 tại điểm duy nhất; kí hiệu x0 ; y0 là tọa độ của điểm đó. Tìm y0 . A. y0 10 .. B. y0 13 .. C. y0 11 .. D. y0 12 .. Lời giải 3. Phương trình hoành độ giao điểm là x 2 x 1 4 x 5 x3 2 x 4 0 x 2 Với x 2 y 13 . Vậy y0 13 Câu 40.. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Đồ thị của hàm số y x 4 3x 2 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bao nhiêu A. -3. B. 0.. C. 1. Lời giải. D. -1.. Trục tung có phương trình: x 0 . Thay x 0 vào y x 4 3x 2 1 được: y 1 . Câu 41.. (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Số giao điểm của đường cong y x3 2 x 2 2 x 1 và đường thẳng y 1 x là A. 1. B. 2. C. 3 Lời giải. D. 0. Chọn A Xét phương trình hoành độ giao điểm. x3 2 x 2 2 x 1 1 x x3 2 x 2 3 x 0 x x 2 2 x 3 0 x 0 Câu 42. đồ thị hàm số y x 4 3x 2 1 và đồ thị hàm số y 2 x 2 7 có bao nhiêu điểm chung? A. 0 .. B. 1.. Chọn Pthdgd:. C. 2 . Lời giải. D. 3 .. C.. x2 3 x 3 x 1 2 x 7 x x 6 0 2 x 3. x 2 Do pt có 2 nghiệm nên đồ thị hai hàm số có 2 điểm chung. 4. 2. 2. 4. 2. Câu 43. Cho hàm số y 2 x3 5 x có đồ thị C Tìm số giao điểm của C và trục hoành. A. 2 .. B. 3 .. C. 1. Lời giải. D. 0 .. Chọn. B. Pthd của C và trục hoành là: x 0 2 x 5 x 0 có 3 giao điểm. x 5 2 Chú ý: Ở bài toán này hoàn toàn có thể giải trực tiếp bằng Casio với phương trình 2 x 3 5 x 0 , nhưng chắc chắn thao tác bấm máy sẽ chậm hơn việc tính tay( thậm chí bài này không cần nháp 3. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(678)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. khi mà kết quả đã hiện ra luôn khi ta đọc đề xong). Vì vậy, Casio là điều không cần thiết với câu hỏi này. Câu 44. Cho hàm số y x 3 x 2 2 có đồ thị C . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. C cắt trục hoành tại hai điểm.. B. C cắt trục hoành tại một điểm.. C. C không cắt trục hoành.. D. C cắt trục hoành tại ba điểm. Lời giải. Chọn. B. Pthd của C và trục hoành là:. x 3. x 3 x 2 2 0 . 2 x 2. x 3 nghĩa là C cắt trục hoành tại một điểm. Câu 45. Biết rằng đường thẳng y x 2 cắt đồ thị hàm số y x3 x 2 x 4 tại điểm duy nhất, kí hiệu. x0 ; y0 . là tọa độ của điểm đó. Tìm y0 .. A. y0 1 .. B. y0 3 .. C. y0 2 .. D. y0 4 .. Lời giải Chọn A. Pthdgd: x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 2 2 0 x 1 y0 1 . Câu 46. đồ thị hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm? x 1 x 1 x 1 2x 1 A. y . B. y . C. y . D. y . x 3 x4 x2 x5 Lời giải Chọn C Trục tung có phương trình x 0 , ta thay x 0 lần lượt vào các phương án thì chỉ có phương án C 1 cho ta y 0 . 2 Câu 47. Gọi M , N là giao điểm của đường thẳng y x 1 và đường cong y . 2x 4 . Khi đó hoành độ x 1. xI của trung điểm I của đoạn MN bằng bao nhiêu? A. xI 2 .. B. xI 1 .. C. xI 5 .. 5 D. xI . 2. Lời giải Chọn. B. 2x 4 Pthdgd x 1 x 1 x 2 2 x 5 0 (*) x 1 x xN Khi đó xI M 1. 2 Chú ý: có thể giải (*), tìm được xM 1 6, xN 1 6 xI 1 x 1 có đồ thị C và các đường thẳng d1 : y 2 x , d 2 : y 2 x 2 , x3 d 3 : y 3 x 3 , d 4 : y x 3 . Hỏi có bao nhiêu đường thẳng trong bốn đường thẳng d1 , d 2 , d3 , d 4. Câu 48. Cho hàm số y . đi qua giao điểm của C và trục hoành. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(679)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 1.. C. 3 . Lời giải. B. 2 .. Chọn. D. 4 .. A.. Ta có C cắt trục hoành y 0 tại điểm M 1;0 . Trong các đường thẳng d1 , d 2 , d 3 , d 4 chỉ có M d3 , có nghĩa là có 1 đường thẳng đi qua. M 1;0 . Câu 49.. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số. y x 4 4 5 và đường thẳng y x A. 3 .. C. 2 . Lời giải. B. 0 .. Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm. D. 1.. x4 4 5 x x4 4 x 5. x 5 4 2 x 4 ( x 5) x 5 4 2 x x 10 x 29 0 (*) 2 2 2 4 Do x 5 nên x x x ( x 1) 0 và 10 x 29 0 . Vì vậy (*) vô nghiệm. x 4 4 5 x vô nghiệm hay đồ thị hàm số y x 4 4 5 và đường thẳng y x không có giao điểm nào.. Như vậy phương trình Cách 2:. Phương trình hoành độ giao điểm Với điều kiện trên ta có Xét. hàm. số. x 2 x 4 4 5 x . Ta có điều kiện xác định x 2. x4 4 5 x x4 4 5 x 0. h( x) x 4 4 5 x .. Ta. có. h '( x) . 2 x3 x4 4. 1 ;. h '( x) 0 2 x3 x 4 4 Với x 2 ta có 2 x3 x 4 4 . Với x 2 ta có 2 x3 x 4 4 Ta có Bảng biến thiên:. Số nghiệm của phương trình x 4 4 5 x là số giao điểm của đồ thị y h( x) x 4 4 5 x và trục hoành y 0 . Dựa vào BBT ta thấy phương trình. x 4 4 5 x vô nghiệm hay đồ thị. hàm số y x 4 4 5 và đường thẳng y x không có giao điểm nào. -------------------- HẾT -------------------Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(680)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Chuyên đề 8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7+8+9 ĐIỂM Dạng 1. Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 (CHỨA THAM SỐ) Bài toán tổng quát: Tìm các giá trị của tham số m để để đường thẳng d : y px q cắt đồ thị hàm số (C ) : y ax3 bx 2 cx d tại 3 điểm phân biệt thỏa điều kiện K ? (dạng có điều kiện) Phương pháp giải: Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (C ) là: ax3 bx 2 cx d px q Đưa về phương trình bậc ba và nhẩm nghiệm đặc biệt x xo để chia Hoocner được: x xo ( x xo ) ( ax 2 bx c) 0 2 g ( x) ax bx c 0 Bước 2. Để d cắt (C ) tại ba điểm phân biệt phương trình g ( x) 0 có 2 nghiệm phân biệt khác. g ( x ) 0 Giải hệ này, tìm được giá trị m D1. xo g ( xo ) 0 Bước 3. Gọi A( xo ; pxo q ), B( x1; px1 q ), C ( x2 ; px2 q ) với x1 , x2 là hai nghiệm của g ( x) 0.. b c và x1 x2 (1) a a Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của x1 , x2 (2) Theo Viét, ta có: x1 x2 . Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến là m. Giải chúng sẽ tìm được giá trị m D2 . Kết luận: m D1 D2 . Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 3 bx 2 cx d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Điều kiện cần: Giả sử x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 Khi đó: ax 3 bx 2 cx d a ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) , đồng nhất hệ số ta được x2 . b 3a. b vào phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của 3a tham số. Điều kiện đủ: Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 có 3 nghiệm phân biệt. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 3 bx 2 cx d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân. Điều kiện cần: Giả sử x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 Thế x2 . Khi đó: ax 3 bx 2 cx d a ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) , đồng nhất hệ số ta được x2 3 Thế x2 3 . d a. d vào phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị a Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(681)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. của tham số. Điều kiện đủ: Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 có 3 nghiệm phân biệt. Câu 1.. (Sở Ninh Bình 2020) Cho hàm số y x3 3mx 2 2m . Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm: x 3 3mx 2 2m 0 * Phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng phương trình có một nghiệm x 0 . b 3a. .. Suy ra phương trình * có một nghiệm x m. m 1. Thay x m vào phương trình * , ta được m 3 3m . m 2 2m 0 2m 3 2m 0 . m 0. .. Thử lại: x 1 3 Với m 1 , ta được x 3 3 x 2 2 0 x 1 . x 1 3 Do đó m 1 thỏa mãn. x 1 3 3 2 Với m 1 , ta được x 3 x 2 0 x 1 . x 1 3 Do đó m 1 thỏa mãn. Với m 0 , ta được x 3 0 x 0 . Do đó m 0 không thỏa mãn. Vậy m 1 là hai giá trị cần tìm.. Câu 2.. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3x 2 2 C cắt đường thẳng d : y m ( x 1) tại ba điểm phân biệt x1 , x2 , x3 . A. m 2 . B. m 2 . C. m 3 . Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của C và d là. D. m 3 .. x3 3x2 2 m( x 1) (1) Phương trình (1) x3 3x2 mx 2 m 0 ( x 1)( x2 2 x m 2) 0 x 1 0 x 1 2 f ( x) x 2 x m 2 0 f ( x) x 2 2 x m 2 0 (2) Phương trình (1) luôn có nghiệm x 1 , vậy để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. ' 1 m 2 0 m 3 m 3 . m 3 f (1) 0 Vậy m 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 3.. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Đường thẳng có phương trình y 2 x 1 cắt đồ thị của hàm số. y x3 x 3 tại hai điểm A và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là A xA ; y A và B xB ; yB trong đó xB xA . Tìm xB yB ? Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(682)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. xB yB 5. B. xB yB 2. C. xB yB 4 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của và y x3 x 3 : x 2 y 3 x3 x 3 2 x 1 x 3 3 x 2 0 x 1 y 3. D. xB yB 7. Vậy A1;3; B(2; 3) xB yB 5 Câu 4.. (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số y x3 3mx 2 m3 có đồ thị 2. Cm . và đường thẳng. 3. d : y m x 2m . Biết rằng m1 , m2 m1 m2 là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị Cm tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x14 x2 4 x34 83 . Phát biểu nào sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị m1 , m2 ? B. m12 2 m2 4 .. A. m1 m2 0 .. C. m2 2 2 m1 4 . Lời giải. D. m1 m2 0 .. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và Cm x 3 3mx 2 m 3 m 2 x 2m 3 x 3 3mx 2 m 2 x 3m 3 0 x 3 m 2 x 3mx 2 3m3 0. x x 2 m 2 3m x 2 m 2 0 x 3m x 2 m 2 0 x 3m x m x m Để đường thẳng d cắt đồ thị Cm tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 m 0 . 4. 4. Khi đó, x14 x2 4 x34 83 m 4 m 3m 83 83m 4 83 m 1 Vậy m1 1, m2 1 hay m1 m2 0 .. Câu 5.. (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 cắt đường thẳng y m tại ba điểm phân biệt. A. m ; 4 . B. m 4;0 . C. m 0; .. D. m ; 4 0; . Lời giải. Chọn B x 0 Ta có y x 3 3 x 2 y 3 x 2 6 x; y 0 x 2 Bảng biến thiên:. x. . y. . 0 0 0. . 2. . 0. . y . 4. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(683)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 6.. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 cắt đường thẳng y m tại ba điểm phân biệt khi 4 m 0 (Mã 123 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đường thẳng y mx m 1 cắt đồ thị hàm số y x3 3x 2 x 2 tại ba điểm A , B , C phân biệt sao AB BC 5 A. m ; 4 C. m . B. m 2; D. m ; 0 4; . Lời giải Chọn B Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: x 3 3 x 2 x 2 mx m 1 x 3 3 x 2 x mx m 1 0. 1. x 1 x 1 x 2 2 x m 1 0 2 .Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba x 2 x m 1 0 2 điểm phân biệt thì phương trình x 2 x m 1 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 .Hay 1 m 1 0 m 2 m 2 .Với m 2 thì phương trình 1 có ba nghiệm phân 1 2 m 1 0 m 2 x x2 biệt là 1, x1 , x2 ( x1 , x2 là nghiệm của x2 2 x m 1 0 ). Mà 1 1 suy ra điểm có hoành 2 độ x=1 luôn là trung điểm của hai điểm còn lại. Nên luôn có 3 điểm A,B,C thoả mãn AB BC Vậy m 2 .. . Câu 7.. . (Sở Cần Thơ - 2019) Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 m 2 2 x 2m 2 4 cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8 là A. m 2 .. B. m 1 .. C. m 3 . Lời giải. D. m 2 .. Chọn D Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung là B 0; 2m 2 4 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là: x 2 x 3 m 2 2 x 2m 2 4 0 x 2 x 2 2 x m 2 2 0 2 2 x 1 m 1 0. vn . Giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là A 2;0 . Diện tích tam giác ABC là: S Câu 8.. 1 1 OA.OB .2. 2m 2 4 8 m 2. 2 2. (Mã 110 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y mx cắt đồ thị của hàm số y x3 3x2 m 2 tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB BC . A. m ; 1. B. m : . C. m 1: . D. m ;3. Lời giải Chọn D Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình. x 1 x 3 3 x 2 m 2 mx x 1 x 2 2 x m 2 0 2 x 2x m 2 0 Đặt nghiệm x2 1. Từ giải thiết bài toán trở thành tìm m để phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(684)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Khi đó phương trình x 2 2 x m 2 0 phải có 2 nghiệm phân biệt (vì theo Viet rõ ràng x1 x3 2 2 x2 ) Vậy ta chỉ cần 1 m 2 0 m 3 Câu 9.. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 3 3 x 2 2 m có ba nghiệm phân biệt. A. m 2; . B. m ; 2 . C. m 2; 2 . D. m 2; 2 . Lời giải Xét hàm số y x3 3 x 2 2 , y 3x 2 6 x . Lập bảng biến thiên. Số nghiệm của phương trình x3 3 x 2 2 m * bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 3x 2 2 và đường thẳng y m . Dựa vào bảng biến thiên suy ra PT (*) có 3 nghiệm phân biệt khi 2 m 2 . Câu 10.. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Đường thẳng có phương trình y 2 x 1 cắt đồ thị của hàm số y x 3 x 3 tại hai điểm A và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là A x A ; y A và B xB ; yB trong đó xB x A . Tìm xB yB ? A. xB yB 5 B. xB yB 2. C. xB yB 4 Lời giải. D. xB yB 7. Chọn C Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: x 3 x 3 2 x 1 x 1 Giải phương trình ta được x 2 Vì xB x A Vậy xB 1; yB 3 xB yB 4 Câu 11.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 x3 3 x 2 2m 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng 3 1 5 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Xét hàm số: y 2 x 3 3 x 2 y 6 x 2 6 x y 0 x 0 x 1 . Bảng biến thiên:. Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của hai đồ thị: C : y 2 x3 3x 2 d : y 2m 1 Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(685)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình đã cho có hai nghiệm phân m 1 2m 1 1 1 S 1; . biệt 1 m 2 2m 1 0 2 1 3 Vậy tổng các phần tử của S bằng 1 . 2 2. Câu 12.. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y x 5 cắt đồ thị hàm số y x 3 2mx 2 3(m 1) x 5 tại 3 điểm phân biệt.. 2 m 3 m 1 C. . D. . m 1 m 2 m2 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm chung là: x3 2mx 2 3(m 1) x 5 x 5 x 0 x3 2mx 2 (3m 2) x 0 2 x 2mx 3m 2 0 (1) Đường thẳng y x 5 cắt đồ thị hàm số y x 3 2mx 2 3(m 1) x 5 tại 3 điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 . m 2 2 m 3 m2 3m 2 0 m 1 . m 1 2 3m 2 0 m m2 3 m 1 A. . m 2. Câu 13.. 2 m 3 B. . m 1 m2 . (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị C như hình vẽ, đường thẳng d có phương trình y x 1 . Biết phương trình f x 0 có ba nghiệm. x1 x2 x3 . Giá trị của x1 x3 bằng 7 A. 3 . B. . 3. C. 2 .. 5 D. . 2. Lời giải. x 1 +Ta có: f x x 1 x 1 . x 3 f x là hàm bậc ba nên f x x 1 a x 1 x 1 x 3. f x a x 1 x 1 x 3 x 1 ; f 0 2 a 1 . f x x 1 x 1 x 3 x 1 . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(686)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 x2 + f x 0 . x 1 x 3 1 0 2 x1 , x3 là các nghiệm của 2 nên ta có x1 x3 2 . thẳng y Câu 14.. 5 nên từ đồ thị ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. 2. (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2018; 2019 để đồ thị hàm số y x3 3mx 3 và đường thẳng y 3x 1 có duy nhất một điểm chung? A. 1 . B. 2019 . C. 4038 . D. 2018 . Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x 2 x3 3mx 3 3x 1 x3 3x 2 3mx 3m (1). x x3 3x 2 2 2 2 x3 2 Xét hàm f x ; f x 0 x 1 . x2 3 ; f x 2 x 2 x x x x2 Bảng biến thiên. x 0 1 f x 0 f x . 0. Khi đó yêu cầu bài toán m 0 . Mà m nguyên và m 2018; 2019 nên có 2018 giá trị thỏa mãn. Câu 15.. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Phương trình x 3 6mx 5 5m 2 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng khi A. m 0 . B. m 1 m 1 . C. m 1. D. m . Lời giải Phương trình đã cho tương đương: x 3 6 mx 5 5m 2 0 . Đặt y f x x 3 6mx 5 5m 2 có f x 3 x 2 6m ; f x 6x . PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt Hàm số y f x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. f x 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn f x1 . f x2 0 . 3 nghiệm đó lập thành cấp số cộng nên x2 x1 x3 x2 . Suy ra, x2 là hoành độ của tâm đối xứng hay là nghiệm của f x 0 . Cho f x 0 6 x 0 x 0 . Với x 0 ta có: 5 5m 2 0 m 1 . Thử lại:. x 0 Với m 1 thì ta có x3 6 x 5 5 x x 2 6 0 x 6 Với m 1 thì ta có: x3 6 x 5 5 x x 2 6 0 x 0 Câu 16. Tính tổng tất cả các giá trị của m biết đồ thị hàm số y x3 2mx 2 m 3 x 4 và đường thẳng. y x 4 cắt nhau tại ba điểm phân biệt A 0; 4 , B , C sao cho diện tích tam giác IBC bằng 8 2 với I 1;3 . A. 3 .. B. 8 .. C. 1. Lời giải. D. 5 .. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(687)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn C +) Gọi đồ thị hàm số y x3 2mx 2 m 3 x 4 là C m và đồ thị hàm số y x 4 là d . +) Phương trình hoành độ giao điểm của C m và d là. x 0 x3 2mx 2 m 3 x 4 x 4 x3 2mx 2 m 2 x 0 2 x 2mx m 2 0 2 +) Gọi g x x 2mx m 2 . +) d cắt C m tại ba điểm phân biệt phương trình có ba nghiệm phân biệt phương trình g x 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 m 1 g 0 m2 m 2 0 m 2 a g 0 0 m 2 0 m 2 +) x 0 là hoành độ điểm A , hoành độ điểm B , C là hai nghiệm x1 , x2 của phương trình. g x 0 2. 2. 2. +) BC 2 x2 x1 x2 4 x1 4 2 x2 x1 (do B , C thuộc đường thẳng d 2 2 x2 x1 4 x1 x2 8 m2 m 2 +) Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng x y 4 0 , ta có. . d I , d . 1 3 4 2. +) S IBC 8 2 . . 2.. 2 1 1 BC.d I , d 8 2 BC 2 . d I , d 128 2 4. 1 8 m2 m 2 .2 128 4 1 137 m 2 (thỏa điều kiện a ) m 2 m 34 0 1 137 m 2 +) Vậy tổng tất cả các giá trị m là 1. Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2018; 2019 để đồ thị hàm số y x3 3mx 3 và đường thẳng y 3 x 1 có duy nhất một điểm chung? A. 1. B. 2019 . C. 4038 . D. 2018 . Lời giải Chọn D + Phương trình hoành độ giao điểm: x 3 3mx 3 3 x 1 3mx x 3 3 x 2 . 1 + Dễ thấy x 0 không thỏa. 2 + 1 3m x 2 3 f x . x 2 2 x3 2 + f x 2x 2 0 x 1. x x2 + Bảng biến thiên:. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(688)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. + Đồ thị hàm số y x 3 3mx 3 và đường thẳng y 3 x 1 có duy nhất một điểm chung 3m 0 m 0 . + Do m và m 2018; 2019 nên có 2018 giá trị. Câu 18. Đường thẳng d có phương trình y x 4 cắt đồ thị hàm số y x 3 2mx 2 ( m 3) x 4 tại 3 điểm phân biệt A(0; 4) , B và C sao cho diện tích của tam giác MBC bằng 4, với M (1;3) . Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. A. m 3 . B. m 2 hoặc m 3 . C. m 2 hoặc m 3 . D. m 2 hoặc m 3 Lời giải Chọn A Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình x 0 x3 2mx 2 (m 3) x 4 x 4 x 3 2mx 2 (m 2) x 0 2 . x 2mx (m 2) 0 (*) Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân m 1 m2 m 2 0 biệt khác 0 m 2 . m 2 0 m 2 Giả sử B ( x1 ; x1 4) ; C ( x2 ; x2 4) với x1; x2 là nghiệm của phương trình (*) khi đó BC 2( x1 x2 ) 2 2( x1 x2 ) 2 8 x1.x2 8m 2 8m 16 .. 1 3 4 1 1 SMBC BC.d (M , d ) .BC. 4 BC 4 2 . 2 2 2 m 2 Ta có m2 m 6 0 . m 3 Đối chiếu điều kiện ta có m 3 . Câu 19.. (THPT Minh Khai - lần 1) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y x 5 cắt đồ thị hàm số y x3 2mx 2 3 m 1 x 5 tại ba điểm phân biệt. m 1 A. . m 2. 2 m 3 B. . m 1 m 2 . 2 m 3 C. . m 1 m 2 Lời giải. m 1 D. . m 2. Chọn C Ta có phương trình hoành độ giao điểm x3 2mx 2 3 m 1 x 5 x 5. x 0 x3 2mx 2 3m 2 x 0 2 . x 2mx 3m 2 0 1 Yêu cầu bài toán tương đương phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt, khác 0 .. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(689)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 2 2 m m 0 2m.0 3m 2 0 3 3 . 2 m2 m 1 m 3m 2 0 m 2 m 1 2. Câu 20.. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 x3 3x 2 2m 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng 3 1 5 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B Xét hàm số: y 2 x3 3x 2 y 6 x 2 6 x y 0 x 0 x 1 . Bảng biến thiên:. Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của hai đồ thị: C : y 2 x3 3x 2 d : y 2m 1 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình đã cho có hai nghiệm phân m 1 2m 1 1 1 biệt 1 S 1; . 2 m 2m 1 0 2. 1 3 Vậy tổng các phần tử của S bằng 1 . 2 2 Câu 21. (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Giá trị lớn nhất của m để đường thẳng d : y x m 1 cắt đồ thị hàm số y x3 2 m 2 x 2 8 5m x m 5 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 x22 x32 20 là A. 3 .. B. 1.. C. 0 .. 3 D. . 2. Lời giải Chọn A Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình x 3 2 m 2 x 2 8 5m x m 5 x m 1 x3 2 . x 2 x 2 2m 2 x m 3 0 2 x 2m 2 x m 3 0 1 Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt phương trình 1 có hai nghiệm phân. m 1 m 12 m 3 0 m 1 m 2 biệt x1; x2 khác 2 (2). m 2 4 2m 2 .2 m 3 0 m 1 x x 2m 2 Khi đó, 1 2 . x1 x2 m 3 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(690)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 1. 2 2. 2. 2 3. 2 3. Theo giả thiết x x x 20 x1 x2 2 x1 x2 x 20. m 3 (thỏa mãn (2)). 2m 2 2 m 3 4 20 2m 3m 9 0 m 3 2 2. 2. Vậy giá trị lớn nhất của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3 . Câu 22. Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số y 2 x 3 3m 2 x 2 m3 2m x 2 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phương trình 2 x 3 3m 2 x 2 m 3 2 m x 2 0. * Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ x1 , x2 , x3 . Khi đó ta có y 2 x x1 x x2 x x3 2 x 3 2 x1 x2 x3 x 2 2 x1 x2 x2 x3 x3 x1 x 2 x1 x2 x3 . Đồng nhất thức ta được. 3m 2 x x x 1 2 3 2 2 x1 x2 x3 3m 2 m3 2m 3 2 x1 x2 x2 x3 x3 x1 m 2m x1 x2 x2 x3 x3 x1 2 2 x1 x2 x3 2 x1 x2 x3 1 x , x , x Vì 1 2 3 lập thành cấp số nhân nên x1 x3 x22 .. 1 2 3. 4. m 0 Từ 2 và 3 : x2 1. Thay vào phương trình * rút ra được m 1 . m 2. Với m 0 phương trình * : 2 x 3 2 0 x 1 (không thỏa mãn). x1 2 3 2 Với m 1 phương trình * : 2 x 3 x 3 x 2 0 x2 1 (thỏa mãn). 1 x3 2 7 45 x1 2 3 2 Với m 2 phương trình * : x 6 x 6 x 1 0 x2 1 (thỏa mãn). x 7 45 3 2 Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn. Câu 23.. (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Tìm m để đồ thị C của y x3 3 x 2 4 và đường thẳng. y mx m cắt nhau tại 3 điểm phân biệt A 1;0 , B , C sao cho OBC có diện tích bằng 64 . A. m 14 . B. m 15 . C. m 16 . D. m 17 . Lời giải Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(691)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn C. d O, BC . m m2 1 2. xB xC yb yc . BC . . m. 2. 1 xB xC . 2. 2. 1 xB xC 4 xB xC m 2 1 4m 1 SOBC d O, BC .BC m m 64 m 16. 2 Cách 2: Phương trình hoành độ giao điểm: . m. 2. 2. x 1 x3 3 x 2 4 mx m x 1 x 2 4 x 4 m 0 2 x 2 m m 0 Để d cắt C tại 3 điểm phân biệt phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 1 m 9 x 2 m B 2 m ;3m m m x 2 m C 2 m ;3m m m OB 2 m ;3m m m , OC 2 m ;3m m m 1 S OBC OB, OC m m 64 m 16. 2. . . Câu 24.. . . . . (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y x 3 8 x 2 8 x có đồ thị C và hàm số y x 2 (8 a ) x b ( với a , b ) có đồ thị P . Biết đồ thị hàm số C cắt P tại ba điểm có hoành độ nằm trong. 1;5 . Khi a đạt giá trị nhỏ nhất thì tích ab bằng A. 729 .. B. 375 .. C. 225 . Lời giải. D. 384 .. Chọn B Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm là x3 8 x 2 8 x x 2 (8 a ) x b x3 9 x 2 ax b 0 (1).. m n p 9 Gọi m , n, p là 3 nghiệm của phương trình (1) ta có mn np pm a mnp b Do C cắt P tại ba điểm có hoành độ nằm trong 1;5 nên (m 1)( n 1)( p 1) 0 mnp ( mn np pm) (m n p ) 1 0 (5 m)(5 n)(5 p ) 0 mnp 5(mn np pm) 25( m n p ) 125 0 Cộng vế theo vế của hệ phương trình trên ta có 6( mn np pm) 24( m n p ) 124 0 mn np pm 15 a 15. mnp 25 Dấu bằng xảy ra khi mnp 25 b 25 mnp 25 Vậy tích ab 375. Cách 2: Phương trình hoành độ giao điểm là x3 8 x 2 8 x x 2 (8 a ) x b x3 9 x 2 ax b 0 (1).. Khi đó phương trình (1) có 3 nghiệm nằm trong 1;5 .. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(692)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Đặt f ( x) x 3 9 x 2 ax b suy ra f '( x) 3x 2 18 x a . Để phương trình (1) có 3 nghiệm nằm trong 1;5 thì f '( x) 3x 2 18 x a 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc. 1;5 a 3x 2 18 x. có hai nghiệm phân biệt thuộc 1;5 .. Xét hàm số g ( x) 3x 2 18 x suy ra g '( x ) 6 x 18 , ta có g '( x ) 0 x 3 . Bảng biến thiên của y g ( x ). Từ BBT ta có 15 a 27 suy ra giá trị nhỏ nhất của a bằng 15 khi x 5 , khi đó b 25 . Vậy tích ab 375. Câu 25.. (Sở Quảng Trị 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng y mx m cắt đồ thị hàm số y x 3 mx 2 m tại 3 điểm phân biêt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn 1 x1 x2 x3 3 ?. A. 6 .. B. 5 .. D. 3 .. C. 2 . Lời giải. Chọn C d y mx m , C y x 3 mx 2 m . Phương trình hoành độ giao điểm của d và C : x 3 mx 2 mx 0 1 . x 0 2 x mx m 0 2 Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình 2 , x3 0 .. 1 có 3 nghiệm phân biệt 2 có 2 nghiệm x , x 1. 2. phân biệt và khác 0 .. 2 0, m 4m m ; 0 4; . m 0 1 có 3 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa 1 x1 x2 x3 3 , với x1 x2 m , x3 0 .. 1 m 3 3 m 1 , mà m ; 0 4; , m m 2; 1 . Vậy có 2 giá trị m .. Câu 26.. (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Cho hàm số y x3 2mx 2 m 3 x 4 Cm . Tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y x 4 cắt Cm tại ba điểm phân biệt A 0; 4 , B , C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 với điểm K 1;3 là: A. m . 1 137 . 2. B. m . 1 137 . 2. C. m . 1 137 . 2. D. m . 1 137 . 2. Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của Cm và d là:. x3 2mx 2 m 3 x 4 x 4 1 x3 2mx 2 m 2 x 0 Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(693)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x. x 2 2mx m 2 0 x 0 y 4 . 2 x 2mx m 2 0 2 d cắt Cm tại ba điểm phân biệt. 1 có ba nghiệm phân biệt 2 có hai nghiệm phân biệt khác 0 m 2 m 2 0 m 2 m 2 0 2 m 1 m 1 . 0 2m.0 m 2 0 m 2 0 m 2 m 2 Khi đó, 2 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 tương ứng cũng là hoành độ của B và C .. B x1 ; x1 4 và C x2 ; x2 4 . KB x1 1; x2 1 và KC x2 1; x2 1 . S KBC . x1 1 x2 1 x2 1 x1 1. Theo đề bài: SKBC. x1 x2 . 2 2 8 2 x1 x2 8 2 x1 x2 128 S 2 4 P 128. 1 137 (nhận). 2 1 137 Vậy tất cả các giá trị m thỏa đề là m . 2 2. 2m 4 m 2 128 m . Câu 27.. (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình x3 3x2 m3 3m2 0 có ba nghiệm phân biệt. Tổng tất cả các phần tử của T bằng A. 1 . B. 5 . C. 0 . D. 3 . Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có x3 3 x 2 m3 3m 2 0 x 3 3 x 2 m3 3m 2 f ( x) f (m) (1) Xét hàm số f ( x) x 3 3 x 2 . x 0 f '( x) 3 x 2 6 x, f '( x) 0 . x 2 x 0 f ( x) 0 . x 3 x 2 f ( x) 4 . x 1. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(694)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 m 3 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1) có ba nghiệm phân biệt 4 f (m) 0 m 0 . m 2 . Suy ra T 1 . Vậy tổng tất cả các phần tử của T bằng 1. Cách 2: Ta có x3 3x 2 m3 3m2 0 x3 m3 3 x 2 m2 0 x m x 2 m 3 x m 2 3m 0. x m 2 2 x m 3 x m 3m 0 * Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt * có hai nghiệm phân biệt, khác m. m 32 4 m 2 3m 0 m 3 3m 3 0 2 2 2 3m 6m 0 m m 3 m m 3m 0 1 m 3 m 0 m 1 (vì m ). m 2 Suy ra T 1 . Vậy tổng tất cả các phần tử của T bằng 1. Câu 28.. (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho đồ thị hàm số f x x3 bx 2 cx d cắt trục hoành tại 3 điểm. 1 1 1 . f x1 f x2 f x3 1 1 C. P b c d . D. P . 2b c Lời giải. phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 . Tính giá trị của biểu thức P A. P 3 2b c .. B. P 0 .. Chọn B Vì x1 , x2 , x3 là ba nghiệm của phương trình bậc ba f x 0 f x x x1 x x2 x x3 Ta có f x x x1 x x2 x x2 x x3 x x1 x x3 . f x1 x1 x2 x1 x3 Khi đó: f x2 x2 x3 x2 x1 f x3 x3 x1 x3 x2 1 1 1 . Suy ra P x1 x2 x1 x3 x2 x3 x2 x1 x3 x1 x3 x2 . Câu 29.. x2 x3 x1 x3 x1 x2 0 . x1 x2 x1 x3 x2 x3 . (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số bậc ba. y f x có đồ thị đi qua điểm. A 1;1 , B 2; 4 , C 3;9 . Các đường thẳng AB , AC , BC lại cắt đồ thị lần lượt tại các điểm M , N , P ( M khác A và B , N khác A và C , P khác B và C . Biết rằng tổng các hoành độ của M , N , P bằng 5, giá trị của f 0 là A. 6 .. B. 18 .. C. 18. Lời giải. D. 6.. Chọn B Từ giả thuyết bài toán ta giả sử f x a x 1 x 2 x 3 x 2 ( a 0 ) Ta có: AB : y 3 x 2 , AC : y 4 x 3 , BC : y 5 x 6 . Khi đó: Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(695)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Hoành độ của là nghiệm của phương trình: M a xM 1 xM 2 xM 3 xM 2 3xM 2 a xM 1 xM 2 xM 3 xM 1 xM 2 0 1 a xM 3 1 0 xM 3 . a N Hoành độ của là nghiệm của phương trình: 2 a xN 1 xN 2 xN 3 xN 4 xN 3 a xN 1 xN 2 xN 3 xN 1 xN 3 0 1 . a là nghiệm của phương trình: P 5 xP 6 a xP 1 xP 2 xP 3 xP 2 xP 3 0. a xN 2 1 0 x N 2 Hoành độ của a xP 1 xP 2 xP 3 xP 2. a xP 1 1 0 xP 1 . 1 . a. Từ giả thuyết ta có; xM xN xP 5 6 . 3 5 a 3. a. Do đó: f x 3 x 1 x 2 x 3 x 2. f 0 18 . Câu 30.. (Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 2 cắt đường thẳng d : y m x 1 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 x22 x22 5 . A. m 3 . B. m 2. C. m 3 . Lời giải. D. m 2 .. Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x2 2 m x 1 x3 3x2 mx m 2 0. x1 1 . x 1 x 2 2 x m 2 0 2 g x x 2 x m 2 0 * Để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình * phải có hai nghiệm phân biệt 12 m 2 0 m 3 0 khác 1 m 3 . g 1 0 m 3 1 2 m 2 0 Gọi x2 , x3 là hai nghiệm phương trình * .. x2 x3 2 Theo định lý Viét ta có . x2 .x3 m 2 Theo bài ta có x12 x22 x32 5 1 x22 x32 5 x22 x32 4 2. x2 x3 2 x2 x3 4 4 2 m 2 4 m 2 .. So sánh với điều kiện ở trên suy ra m 2 . Kết luận: m 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 31.. (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 9 x 2m 1 và trục Ox có đúng hai điểm chung phân biệt. Tính tổng T của các phần tử thuộc tập S A. T 10 . B. T 10 . C. T 12 . D. T 12 . Lời giải Chọn C Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 9 x 2m 1 và trục Ox là nghiệm của phương trình : x3 3x 2 9 x 2m 1 0 x3 3x 2 9 x 2m 1 .. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(696)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Xét hàm số f x x3 3x 2 9 x . Tập xác định: D . x 1 f x 3 x 2 6 x 9, f x 0 3 x 2 6 x 9 0 . x 3 Bảng biến thiên:. Đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 9 x 2m 1 cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y 2m 1 cắt đồ thị hàm số f x x3 3x 2 9 x tại hai điểm phân biệt. 2m 1 5 m 2 Từ bảng biến thiên suy ra : S 14; 2 . 2m 1 27 m 14 Tổng của các phần tử thuộc tập S là : T 14 2 12 . Dạng 2. Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến (CHỨA THAM SỐ) Bài toán tổng quát ax b Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm tham số m để đường thẳng d : y x cắt C tại hai điểm cx d phân biệt A, B thỏa mãn điều kiện K? Phương pháp giải Bước 1. (Bước này giống nhau ở các bài toán tương giao của hàm nhất biến) ax b x Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa d và C : cx d d g x cx 2 c d a x d b 0, x . c c 0; 0 d - Để d cắt C tại hai điểm phân biệt g x 0 có nghiệm nghiệm phân biệt d . c g c 0 Giải hệ này, ta sẽ tìm được m D1 i -Gọi A x1 ; x1 , B x2 ; y2 với x1 , x2 là 2 nghiệm của g x 0 Theo Viét:. S x1 x2 . c d a d b ; P x1 x2 ii c c. Bước 2. -Biến đổi điều kiện K cho trước về dạng có chứa tổng và tích của x1 , x2 iii -Thế ii vào iii sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m. Giải nó sẽ tìm được m D2 -Từ i , m D1 D2 và kết luận giá trị m cần tìm. Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến tương giao giữa đường thẳng y kx p và ax b đồ thị hàm số y cx d Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(697)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Giả sử d : y kx p cắt đồ thị hàm số y . ax b tại 2 điểm phân biệt M , N . cx d. ax b cho ta phương trình có dạng: Ax 2 Bx C 0 thỏa điều kiện cx d 0 , có cx d B 2 4 AC . Khi đó: 1). M ( x1; kx1 p ), N ( x2 ; kx2 p ) MN ( x2 x1; k ( x2 x1 )) MN ( k 2 1) 2 A Chú ý: khi min MN thì tồn tại min ,k const Với kx p . 2). OM 2 ON 2 (k 2 1)( x12 x22 ) ( x1 x2 )2kp 2 p 2 3). OM .ON ( x1. x2 )(1 k 2 ) ( x1 x2 )kp p 2 4). OM ON ( x1 x2 )(1 k 2 ) 2kp 0 Câu 1.. (Sở Ninh Bình 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 2020; 2020 của tham số. 2x 3 tại hai điểm phân biệt? x 1 C. 4038. D. 4034. Lời giải. m để đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số y . A. 4036.. B. 4040.. Chọn A Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y x m và đường cong y . 2x 3 x 1. 2x 3 x m x 1 2 x 3 x 1 . x 1 x 2 mx x m 2 x 3 x 2 m 3 x m 3 0 * xm. 2. Ta có m 3 4 m 3 m 2 6 m 9 4 m 12 m 2 2m 3 . Để đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số y . *. 2x 3 tại hai điểm phân biệt thì phương trình x 1. có hai nghiệm phân biệt khác 1.. m 2 2m 3 0 0 m 1 . 2 m 3 1 m 3 .1 m 3 0 1 0 lđ m 1 2020 m 1 Theo giả thiết: 2020 m 2020 và nên . m 3 3 m 2020 2 2020 Vì m và 2020 m 1 , suy ra có 1 2019 giá trị nguyên m . 1 2020 4 Vì m và 3 m 2020 , suy ra có 1 2017 giá trị nguyên m . 1 Tóm lại có tất cả 2019 2017 4036 giá trị nguyên của tham số m .. Câu 2.. (ĐHQG TPHCM 2019) Đường thẳng y x 2m cắt đồ thị hàm số y biệt khi và chỉ khi m 1 A. . m 3. m 1 B. . m 3. m 3 C. . m 1. x 3 tại hai điểm phân x 1. D. 3 m 1 .. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(698)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 2m x 1 x 3 x 3 x 2m x 2 2 mx 2m 3 0 * . (vì khi x 1 thì x 1 x 1 phương trình trở thành 0 4 vô lí).. Để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình * phải có hai m 1 nghiệm phân biệt. Khi đó m phải thoả mãn * 0 m 2 2m 3 0 . m 3 m 1 Vậy tập hợp các giá trị của tham số m là . m 3 Câu 3.. (Gia Lai 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y 2 x m cắt đồ thị x 3 của hàm số y tại hai điểm phân biệt. x 1 A. m ; . B. m 1; . C. m 2; 4 . D. m ; 2 . Lời giải Chọn A x3 2 x m (*), với điều kiện xác định x 1 . x 1 Biến đổi (*) về thành: 2 x 2 ( m 1) x m 3 0 (**) . Theo yêu cầu đề bài, phương trình (**) cần có hai nghiệm phân biệt khác 1 , tức là: 2 m 2 6m 25 0 m 1 4.2. m 3 0 m ; . 2 2 0 2. 1 m 1 . 1 m 3 0 . Phương trình hoành độ giao điểm:. Câu 4.. Gọi A và B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số y đoạn AB ngắn nhất bằng A. 4 2 . B. 4 .. C. 2 2 . Lời giải. x . Khi đó độ dài x2. D. 2 2 .. Chọn B. x a b có đồ thị C như hình vẽ. Gọi A a; và B b; là hai điểm thuộc x2 a2 b2 hai nhánh của C a 2 b .. Hàm số y . b a ba Ta có: AB b a; . b a; b2 a2 b 2 2 a . Áp dụng BĐT Côsi ta có: b 2 2 a . b a 4. 2. .. Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(699)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2. Suy ra: AB. 2. b a b a 2 b 2 2 a 2. 64. 2. b a . b a . 2. 16. AB 4 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 2 2 và b 2 2 . Vậy ABmin 4 . Câu 5.. x C và đường thẳng d : y x m . x 1 Gọi S là tập các số thực m để đường thẳng d cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt A , B sao cho. (Chuyên Nguyễn Du ĐăkLăk 2019) Cho hàm số y . tam giác OAB ( O là gốc tọa độ) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 2 . Tổng các phần tử của S bằng A. 4 . B. 3 . C. 0 . D. 8 . Lời giải Chọn A x Xét phương trình x m, (điều kiện x 1 ). x 1 Phương trình tương đương x2 mx m 0 1 . Đồ thị C và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x 1 điều kiện cần và đủ là m 0 m 4 . Khi đó hai giao điểm là A( x1 ; x1 m) ; B( x2 ; x2 m) . Ta có OA m 2 2 m ; OB m 2 2 m ; AB 2( m 2 4 m) ; d O, d . m 2. .. 1 1 m OA.OB. AB SOAB . AB.d O, d . . 2(m2 4m) . 2 2 2 4R ( m 2 2m). 2( m 2 4m) 1 m . 2( m 2 4m) 2 2 4.2 2 m 0 (l ) 2 m 2m 4 m m 6 ( n) . m 2 ( n). Suy ra. Vậy tổng các phần từ của S bằng 4 . Câu 6.. 2x 1 C và đường thẳng d : y x m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m 1 x để đường thẳng d cắt đồ thị C tại 2 điểm phân biệt Đồ thị hàm số y . A. m 1 .. B. 5 m 1 .. C. m 5 . Lời giải. D. m 5 hoặc m 1 .. Chọn D. 2x 1 có tập xác định D \ 1 . 1 x 2x 1 Lập phương trình hoành độ giao điểm: x m x 1 1 x x 2 m 1 x m 1 0 2 x 1 x m x 2 mx x 1 x 1 Hàm số y . Đường thẳng d cắt đồ thị C tại 2 điểm phân biệt. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(700)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 2 0 m 6m 5 0 m 5 hoặc m 1 . 2 1 m 1 m 1 0 1 0 t/m . Câu 7.. x3 có đồ thị C và đường thẳng d : y x m , với m là x 1 tham số thực. Biết rằng đường thẳng d cắt C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho điểm (Sở Cần Thơ 2019) Cho hàm số y . G 2; 2 là trọng tâm của tam giác OAB ( O là gốc toạ độ). Giá trị của m bằng A. 6 . B. 3 . C. 9 . D. 5 . Lời giải Chọn A x3 2 Hàm số y có y 0 , x D và đường thẳng d : y x m có hệ số a 1 0 2 x 1 x 1 nên d luôn cắt C tại hai điểm phân biệt A xA ; y A và B xB ; yB với mọi giá trị của tham số m. x3 xm Phương trình hoành độ giao điểm của d và C là: x 1 x 2 mx m 3 0 x 1 . Suy ra xA , xB là 2 nghiệm của phương trình x2 mx m 3 0 . Theo định lí Viet, ta có xA xB m . Mặt khác, G 2; 2 là trọng tâm của tam giác OAB nên xA xB xO 3xG. xA xB 6 m 6. Vậy m 6 thoả mãn yêu cầu đề bài. Câu 8.. 3 x 2m với m là tham số. Biết rằng với mọi m 0, đồ mx 1 thị hàm số luôn cắt đường thẳng d : y 3x 3m tại hai điểm phân biệt A , B. Tích tất cả các giá trị của m tìm được để đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại C , D sao cho diện tích OAB bằng 2 lần diện tích OCD bằng 4 A. . B. 4 . C. 1. D. 0 . 9 Lời giải Chọn A. 3 x 2m 3x 3m 3x 2 3mx 1 0 . (*) Với m 0 , xét phương trình mx 1 Gọi tọa độ các giao điểm của d với đồ thị hàm số đã cho là: A x1 ;3 x1 3m , B x2 ;3 x2 3m . (Sở Nam Định 2019) Cho hàm số y . Tọa độ các điểm C , D là C m;0 và D 0; 3m . Gọi h d O , d thì h là chiều cao của các tam giác OAB và OCD .. 1 1 AB.h 2. CD.h AB 2CD AB 2 4CD 2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 3 x1 x2 4 m 3m . Theo giả thiết: SOAB 2 SOCD . 2. 2. 10 x1 x2 40m2 x1 x2 4 x1 x2 4m2 m2 . 4 4 2 4m 2 m 2 m . 3 9 3 Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(701)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 4 Vậy tích các giá trị của m là . 9 Câu 9.. (Gia Lai 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đường thẳng y 3x m 2 x 1 cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB ( O x 1 là gốc tọa độ) thuộc đường thẳng x 2 y 2 0 ? A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 . Lời giải Chọn C 2 x 1 Phương trình hoành độ giao điểm: 3x m (*) x 1 Với điều kiện x 1 , (*) 3 x 2 m 1 x m 1 0 (1). 2 x 1 tại hai điểm phân biệt A và B khi và x 1 chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1, điều kiện: m 12 12 m 1 0 m 2 10m 11 0 m 1 . (**) 2 m 11 3 0 3.1 m 1.1 m 1 0 Không mất tính tổng quát, giả sử A x1 ; 3 x1 m , B x2 ; 3 x2 m với x1 , x 2 là hai nghiệm Đường thẳng y 3x m cắt đồ thị hàm số y . phân biệt phương trình (1). Theo Vi-et ta có: x1 x2 . m 1 . 3. m 1 m 1 ; Gọi M là trung điểm AB , ta có: M . Giả sử G x ; y là trọng tâm tam giác OAB , 6 2 2 m 1 m 1 x . x 2 m 1 m 1 3 6 9 ; ta có OG OM . Vậy G . 9 2 m 1 m 1 3 3 y . y 3 2 3 m 1 m 1 Mặt khác, điểm G thuộc đường thẳng x 2 y 2 0 nên ta có: 2. 2 0 9 3 11 m (thỏa mãn (**)). Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài 5 toán. b Câu 10. Giả sử m , a, b , a. a, b 1 là giá trị thực của tham số m để đường thẳng. 2 x 1 C tại hai điểm phân biệt A , B sao cho trọng x 1 tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng x 2 y 2 0 , với O là gốc toạ độ. Tính a 2b . A. 2 . B. 5 . C. 11 . D. 21 . Lời giải Chọn D 2x 1 Phương trình hoành độ giao điểm: 3 x m , x 1 . x 1 3x 2 m 1 x m 1 0 * . d : y 3 x m cắt đồ thị hàm số y . Để C cắt d tại hai điểm phân biệt thì * phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. Suy ra 2 m 1 0 m 1 m 1 12 m 1 0 . 2 m 1 12 m 11 3.1 m 1 .1 m 1 0 . Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(702)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Khi đó A x1 ; 3 x1 m , B x2 ; 3 x2 m , với x1 và x2 là nghiệm của phương trình * đồng thời thoả mãn x1 x2 . m 1 . 3. m 1 m 1 Gọi G là trọng tâm của OAB , ta có G ; . 9 3 m 1 m 1 11 2 2 0 m . Suy ra 9 3 5 Vậy a 2b 21 .. Mà G nên. a 11 . b 5. 3x 2 , (C) và đường thẳng d : y ax 2b 4 . Đường thẳng d cắt ( C ) tại A, x2 B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O, khi đó T a b bằng 5 7 A. T 2 . B. T . C. T 4 . D. T . 2 2 Lời giải Chọn D 3x 2 ax 2b 4; x 2. Xét phương trình hoành độ: x2 ax 2 2a 2b 7 x 10 0 *.. Câu 11. Cho hàm số y . Đường thẳng d cắt ( C) tại hai điểm phân biệt A, B khi phương trình (*) có hai nghiệm phân a0 2 biệt 2a 2b 7 4a 4b 10 0 2* 40 Gọi A x1; ax1 2b 4; B x2 ; ax2 2b 4 .. x1 x2 0 x1 x2 0 Do A, B đối xứng nhau qua gốc O nên 4b 8 0 b 2 7 2a 2b Theo Viét của phương trình (*) ta có x1 x2 . a 7 2a 2b 3 0 7 2a 2b 0 a . a 2 3 a Thay 2 vào điều kiện (2*) tháy thỏa mãn. b 2 7 Vậy a b . 2 2 x 1 x 1 tại hai điểm phân biệt A , B sao cho trọng tâm OAB thuộc đường thẳng : x 2 y 2 0 , với O là gốc tọa độ. 11 1 A. m . B. m . C. m 0 . D. m 2 . 5 5 Lời giải Chọn A 2 x 1 Hoành độ hai điểm A , B là nghiệm của phương trình 3 x m x 1 3x m x 1 2 x 1 ( vì x 1 không phải là nghiệm của phương trình).. Câu 12. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 3 x m cắt đồ thị hàm số y . 3x 2 m 1 x m 1 0 (*) Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(703)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. m 1 2 Điều kiện: 0 m 1 4.3 m 1 0 m 1m 11 0 . m 11 m 1 Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x A , xB thỏa mãn xA xB . 3 Gọi A x A ; 3xA m , B xB ; 3xB m thì trọng tâm của tam giác. OAB. là. x x 3 xA xB 2m m 1 m 1 B hay G G A ; ; . 9 3 3 3 m 1 m 1 11 G 2. 2 0 m . 9 3 5 2x có đồ thị là C . Tìm tập hợp tất cả các giá trị a để qua điểm M 0; a x 1 có thể kẻ được đường thẳng cắt C tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm M .. Câu 13. Cho hàm số y . A. ;0 2; .. B. 3; .. C. ;0 .. D. ; 1 3; .. Lời giải Chọn A Đường thẳng có hệ số góc k đi qua điểm M 0; a có dạng y kx a . Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C và đường thẳng y kx a là: x 1 x 1 2x kx a . 2 2 x 1 kx a k 2 x a 0 * 2 x kx kx ax a Ta cần tìm điều kiện của a để phương trình * có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác 1 và thỏa. mãn. x1 x2 0 x1 x2 0 . 2. k 0 k 0 2 2 a k 2 4ka 0 a k 2 4ka 0 2 0 Điều kiện này tương đương với 2 k .1 a k 2 .1 a 0 x x 0 k 2 a 0 1 2 k k 0 a 2 0 k a 2 k a 2 a ;0 2; . 4 a 2 a 0 a ;0 2; Câu 14.. (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho đường thẳng 2x 1 y x m cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt M , N sao cho MN 10 . x 1 A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn D Điều kiện xác định của hàm số: x 1 .. x 2 m 1 x m 1 0 2x 1 x m Phương trình hoành độ giao điểm: . x 1 x 1 2x 1 tại hai điểm phân biệt M , N khi và chỉ khi x 1 phương trình x 2 m 1 x m 1 0 có hai nghiệm phân biệt khác -1. Đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số y . Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(704)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m 3 2 3 m 6m 3 0 0 (*) . x 1 3 0 m 3 2 3 2. Gọi M x1 ; x1 m , N x2 ; x2 m là tọa độ giao điểm đường thẳng y x m và đồ thị hàm số y. 2x 1 . x 1 2. 2. Theo bài cho MN 10 2 x2 x1 10 x1 x2 4 x1 x2 50. x1 x2 1 m Áp dụng định lí Viét cho phương trình x 2 m 1 x m 1 0 ta có: . x1.x2 m 1 2. Ta có MN 10 x1 x2 4 x1 x2 50 m 2 6m 53 3 62 m 3 62. . . . Kết hợp với (*) thì m 3 62 ;3 2 3 3 2 3 ;3 62 . Các số nguyên dương m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m 7,8, 9,10 . Câu 15. Cho là đồ thị hàm số y . 2x 1 . Tìm k để đường thẳng d : y kx 2 k 1 cắt tại hai điểm x 1. phân biệt A,B sao cho khoảng cách từ A đến trục hoành bằng khoảng cách từ B đến trục hoành. A. 1.. B.. 2 5. C. 3 .. D. 2 .. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm:. x 1(ld) 2x 1 kx 2k 1 2 . x 1 kx 3k 1 x 2k 0 1 Ycbt tương đương có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 sao cho kx1 2k 1 kx2 2k 1. k 0 k 0 2 k 6k 1 0 k 2 6k 1 0 k 3. k x x 4k 2 0 1 3k 4k 2 0 k 3 1 2 Câu 16.. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tìm điều kiện của m để đường thẳng y mx 1 cắt đồ x 3 thị hàm số y tại hai điểm phân biệt. x 1 A. ;0 16; B. 16; C. ;0 D. ;0 16; Lời giải Chọn D x3 mx 1 x 1 2 x 3 mx 1 x 1 mx mx 4 0 * x 1 x 1. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:. x 3 tại hai điểm phân biệt thì phương trình x 1 0 m 2 16m 0 * có hai nghiệm phân biệt khác 1 hay 2 m 1 m 1 4 0 4 0. Để đường thẳng y mx 1 cắt đồ thị hàm số y . m ;0 16; . Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(705)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 17.. x2 sao x 2 2 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d : y 2 x 6 nhỏ nhất. Tính 4 a 5 2b 7 .. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Gọi M a ; b là điểm trên đồ thị hàm số y . A. 162 .. C. 18 . Lời giải. B. 2 .. D. 0 .. x2 . x Phương trình hoành độ giao điểm của C và đường thẳng d là:. Gọi C là đồ thị hàm số y . x 2 x2 2 . 2 x 6 2 x 5x 2 0 x 0 x 1 x 2 1 Suy ra đường thẳng d cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt M 1 2; 2 , M 2 ;5 . 2 Ta có d M ; d 0, M min d M ; d 0 khi M d .. M 2; 2 Mà M C M d C 1 . M ;5 2 2. 2. Với M 2;2 a 2, b 2 4 a 5 2b 7 18 . 1 2 2 1 Với M ;5 a , b 5 4a 5 2b 7 18 . 2 2 . Câu 18.. x cắt 1 x đường thẳng y x m tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị của hàm số y . bằng 600 ( với O là gốc tọa độ)? A. 2 B. 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm. C. 3 Lời giải. D. 0. x 1 x x m 2 x mx m 0 1 x . *. Để có hia điểm phân biệt A, B thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 1 m m 0 m 4 2 m 0 m 4 m 0 Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biết x1 , x2 thỏa mãn: x1 x2 m x1 x2 m Giả sử A x1 ; x1 m , B x2 ; x2 m , suy ra: OA x1 ; x1 m, OB x2 ; x2 m Theo giả thiết góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 600 suy ra: x1 x2 x1 m x2 m 1 cos OA; OB cos 600 2 2 2 2 2 x1 x1 m x2 x2 m. . 2 x1 x2 m x1 x2 m 2 2 2 x12 x22 x1 x2 mx2 x12 x1 x2 m x1 m x2 m. 2. . 1 2. Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(706)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2m m 2 m 2. . 2 2 m 2 m mx2 m mx1 x1 x2 m x1 x2 m 2m 1 2 2 2 2 m 2 m mx2 m mx1 m m 2 m 2 . . 2 2. 2 2 1 x2 1 x1 2. 2. . . 1 2. 1 2. 2 1 x2 1 x1 16 2. 2. x1 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 12 2. m 6 m 2 4m 12 0 m 2 Câu 19.. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Để đường thẳng d : y x m 2 cắt đồ thị hàm số 2x y C tại hai điểm phân biệt A và x 1 B sao cho độ dài AB ngắn nhất thì giá trị của m thuộc khoảng nào? A. m 4; 2 B. m 2;4 C. m 2;0 D. m 0; 2 Lời giải Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm của d và C :. 2x x m 2 x 2 m 1 x m 2 0 * (vì x 1 không phải là nghiệm). x 1 Đường thẳng d cắt C tại hai điểm phân biệt:. Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 . 2. 2. m 1 4 m 2 m 1 8 0, m .. x1 x2 m 1 Theo định lý Vi-et ta có: x1.x2 m 2 Khi đó A x1 ; x1 m 2 , B x2 ; x2 m 2 . 2. AB . x2 x1 x2 m 2 x1 m 2. 2. m 1. 2. 2. 2. 2 x2 x1 2. x2 x1 . 2. 4 x1 x2 .. 8 4 .. AB nhỏ nhất AB 4 m 1 .. Câu 20.. (THPT Lương Tài Số 2 2019) Biết rằng đường thẳng y 2 x 2m luôn cắt đồ thị hàm số x2 3 tại hai điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của tham số m. Tìm hoành độ trung điểm x 1 của AB? A. m 1 B. m 1 C. 2m 2 D. 2m 1 Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của C và d là: y. x2 3 2 x 2m x 2 2 1 m x 2m 3 0 1 , ( x 1 ). x 1 Đường thẳng d cắt C tại hai điểm phân biệt A , B Phương trình 1 có hai nghiệm phân. biệt khác 2 Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(707)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 m 2 2m 3 0 m2 4 0, m . 2 4 0 1 2 1 m . 1 2m 3 0 Khi đó, gọi A x1 ; 2 x1 2m ; B x2 ; 2 x2 2m . Hoành độ trung điểm của AB là xI Câu 21.. x1 x2 2 2m m 1. 2 2. 2x 3 . Điểm M x0 ; y0 x 1 có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất, với x0 0 khi đó x0 y0. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi H là đồ thị hàm số y thuộc H bằng A. 1 .. C. 3 . Lời giải. B. 2 .. D. 0 .. TXĐ: D \ 1 . Dễ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng d1 : x 1 và tiệm cận ngang d 2 : y 2 .. 2x 3 Do M H M x0 ; 0 . x0 1 Xét d M , d1 d M , d 2 x0 1 . 2 x0 3 1 2 x0 1 2. x0 1 x0 1. x 0 1 0 . x0 1 x0 2 Theo đề bài, ta có x0 0 nên nhận x0 2 y0 1 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x0 1 . Vậy x0 y0 1 . Câu 22. (Chuyên Bến Tre - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đường 2 x 1 thẳng d : y x m cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt A, B sao cho x 1. AB 2 2 . Tổng giá trị các phần tử của S bằng A. 6 . B. 27 . C. 9 . Lời giải Chọn A 2 x 1 Phương trình hoành độ giao điểm: x m (1) x 1 Điều kiện: x 1. 2 x 1 Phương trình (1) x m x 1 2 x 1 x m x 1. D. 0 .. x 2 m 1 x m 1 0 (2).. 2 x 1 tại hai điểm phân biệt A, B thì x 1 0 m 2 6m 3 0. phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 3 0. Để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị hàm số y . . . . m ; 3 2 3 3 2 3; (3).. Gọi A x A ; x A m , B xB ; xB m là tọa độ giao điểm: Theo đề ta có:. AB 2 2 xB xA xB xA 2 2 2. 2. Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(708)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2 xB x A 8 x 2 x A .xB x 4 0 2. 2 B. 2 A. x A x B 4 x A . xB 4 0 . 2. m 1 4 1 m 4 0 2. m 2 6m 7 0 m 7;1 (4). Từ (3) và (4) ta có m 7; 3 2 2 3 2 2;1 . Vì m m 6;0 Chọn Câu 23.. A.. 2 x m2 có đồ thị Cm , trong đó m là x 1 tại hai điểm A x A ; y A , B xB ; y B với xA xB ;. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y tham số thực. Đường thẳng d : y m x cắt Cm . đường thẳng d ' : y 2 m x cắt Cm tại hai điểm C xC ; yC , D xD ; yD với xC xD . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để x A .xD 3. Số phần tử của tập S là A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn B Hoành độ điểm A và B là nghiệm phương trình: 2 x m 2 x 1 m x x 2 3 m x m 2 m 0 suy ra x A .xB m 2 m; x A xB m 3. Hoành độ điểm C và D là nghiệm phương trình: 2 x m 2 x 1 2 m x x 2 m 1 x m 2 m 2 0 suy ra xC .xD m 2 m 2; xC xD m 1. x A 3 Mặc khác xA và xD là nghiệm của phương trình: x 2 2 x 3 0 . Suy ra xD 1 m 0 m 2 6m 9 5m 2 2m 9 . m 2 Dạng 3. Bài toán tương giao của đường thẳng với hàm số trùng phương (CHỨA THAM SỐ) . Bài toán tổng quát: Tìm m để đường thẳng d : y cắt đồ thị (C ) : y f ( x; m) ax 4 bx 2 c tại n điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp giải: Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (C ) là: ax 4 bx 2 c 0 (1) Đặt t x 2 0 thì (1) at 2 bt c 0 (2) Tùy vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị m D1. Cụ thể:. Để d (C ) n 4 điểm phân biệt (1) có 4 nghiệm phân biệt 0 (2) có 2 nghiệm t1 , t2 thỏa điều kiện: 0 t1 t2 S 0 m D1. P 0 . Để d (C ) n 3 điểm phân biệt (1) có 3 nghiệm phân biệt c 0 (2) có nghiệm t1 , t2 thỏa điều kiện: 0 t1 t2 b m D1. a 0. Để d (C ) n 2 điểm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt. Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(709)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. ac 0 (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương 0 m D1. S 0. Để d (C ) n 1 điểm phân biệt (1) có đúng 1 nghiệm c 0 t1 0 0 (2) có nghiệm kép 0 hoặc b m D1. t 0 c 0 2 a 0 Bước 2. Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của t1 , t2 (3) Thế biểu thức tổng, tích vào (3) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m. Giải chúng ta sẽ tìm được m D2 . Kết luận: m D1 D2 . Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax 4 bx 2 c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Ta có: ax 4 bx 2 c 0 (1) , đặt t x 2 0 , thì có: at 2 bt c 0 (2) 0 Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là: t1 t2 0 t .t 0 1 2. Khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt lần lượt là t2 ; t1 ; t1 ; t2 lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi: t2 t1 t1 ( t1 ) t2 3 t1 t2 9t1 . Theo định lý Vi – et. t1 t2 . b a. suy ra. b 9b c ; t2 , kết hợp t1.t2 nên có: 9ab2 100a 2c 10a 10a a 4 2 Tóm lại: Hàm số y ax bx c cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng, t1 . b 2 4ac 0 b 0 a thì điều kiện cần và đủ là: c 0 a 9ab 2 100a 2 c . Câu 1.. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 4 4 x 2 3 m 0 có 4 nghiệm phân biệt là A. 1;3 . B. 3;1 . C. 2; 4 . D. 3;0 . Lời giải Chọn B Ta có: x 4 4 x 2 3 m 0 x 4 4 x 2 3 m . Xét hàm số y x 4 4 x 2 3 , khi đó: x 2 y 4 x3 8 x; y 0 . x 0 Suy ra yCD 1; yCT 3 .. Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(710)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Vậy để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì: 3 m 1 m 3;1 . Câu 2.. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 4 2mx 2 (2m 1) 0 có 4 nghiệm thực phân biệt là 1 1 A. ; \ 1 . B. (1; ) . C. ; . D. . 2 2 Lời giải Chọn A Xét phương trình: x 4 2mx 2 (2m 1) 0 . Đặt x 2 t (t 0) . Phương trình đã cho trở thành t 2 2mt (2m 1) 0 (*) . Để phương trình ban đầu có bốn nghiệm thực phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương m 1 ' 0 m 2 2m 1 0 1 1 m S 0 2m 0 m0 2 hay m ; \ 1 . 2 P 0 2m 1 0 m 1 1 m 2. Câu 3.. (THPT Lương Thế Vinh - Hn - 2018) Cho hàm số y x 4 3x 2 2 . Tìm số thực dương m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A , B sao cho tam giác OAB vuông tại O , trong đó O là gốc tọa độ. 3 A. m 2 . B. m . C. m 3 . D. m 1. 2 Lời giải Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình: x 4 3x 2 2 m x 4 3 x 2 2 m 0 1 . Vì m 0 2 m 0 hay phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:. 3 4m 17 3 4m 17 3 4m 17 x1 và x2 . 2 2 2 Khi đó: A x1 ; m , B x2 ; m . Ta có tam giác OAB vuông tại O , trong đó O là gốc tọa độ OA.OB 0 x1.x2 m 2 0 .. x2 . 2m2 3 0 3 4m 17 m 0 m2 4 m 2 . 2 m2 3 0 2 2 4m 12m 4m 8 0 Vậy m 2 là giá trị cần tìm. . Câu 4.. Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x 4 x 2 tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi 1 1 1 A. m 0 . B. 0 m . C. m 0 . D. m 4 4 4 Lời giải Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(711)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Chọn A Hàm số y x 4 x 2 có tập xác định D . y ' 4 x 3 2 x. x 0 y ' 0 4x 2x 0 . x 2 2 Bảng biến thiên: 3. x. 2 0. y' y. 2. 2 ∞. 0 +. +∞. 2 0. 0. +∞ + +∞. 0 -1. -1. 4. 4. Dựa vào bảng biến thiên đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x 4 x 2 tại 4 điểm phân biệt 1 m0. 4 Câu 5.. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x 4 2 x 2 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là 0, 1, m, n . Tính S m 2 n2 . A. S 1 . B. S 0 . C. S 3 . D. S 2 . Lời giải Chọn C Tọa độ các giao điểm lần lượt là A 0; 0 , B 1; 1 , C m; m 4 2m 2 , D n; n 4 2n 2 .. . . . Đường thẳng qua các điểm A , B , C , D có phương trình: y x. x 0 Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4 2 x 2 x x 4 2 x 2 x 0 x 1 x2 x 1 0 * . Vậy m, n là các nghiệm của phương trình * . 2. Khi đó: S m 2 n2 m n 2mn 3. Câu 6.. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y x 4 4 x3 m 2 x 2 8 x 4 cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1. A. 8 . B. 7 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm x 4 4 x3 m 2 x 2 8 x 4 0 Đồ thị hàm số y x 4 4 x3 m 2 x 2 8 x 4 cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1 có đúng hai nghiệm lớn hơn 1. * x4 4 x3 8 x 4 2 m x2. 8 4 2 m x2 4x 2 x x 8 4 Đây là phương trình hoành độ giao điểm của C : y x 2 4 x 2 x 1 với đường thẳng x x song song với trục hoành. y 2m Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(712)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 8 4 Xét hàm số y x 4 x 2 x 1 . x x 8 8 2 x 4 4 x3 8 x 8 y 2 x 4 2 3 . x x x2 x 1 3 lo¹i Cho y 0 . x 1 3 nhËn Bảng biến thiên 2. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, ycbt 0 2 m 9 7 m 2 . Vì m nguyên nên m 6, 5,...,1 . Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa bài toán. Câu 7.. (Sở Hà Nam - 2019) Cho hàm số f x 4 x 4 8 x 2 1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của. m để phương trình f x m có đúng hai nghiệm phân biệt? A. 0. B. 2. C. 3. Lời giải Chọn D x 0 3 f x 16 x 16 x 0 x 1 . x 1 Bảng biến thiên. D. 1.. Phương trình f x m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f x 4 x 4 8 x 2 1 C và đường thẳng y m .. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt Đường thẳng y m cắt đồ thị C tại hai điểm. m 3 phân biệt . m 1 Vậy có 1 giá trị nguyên dương của m để phương trình f x m có đúng hai nghiệm phân biệt. Câu 8.. (Sở Thanh Hóa 2018) Cho hàm số y x 4 2mx 2 m (với m là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y 3 tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn 2 còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn 1, là khoảng a; b (với a, b , a , b là phân số tối giản). Khi đó, 15ab nhận giá trị nào sau đây? A. 63 . B. 63 . C. 95 . D. 95 . Lời giải Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(713)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Xét phương trình hoành độ giao điểm x 4 2mx 2 m 3 . Đặt x 2 t , t 0 . Khi đó phương trình trở thành t 2 2mt m 3 0 1 và đặt f t t 2 2mt m 3 . Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y 3 tại 4 điểm phân biệt thì phương trình 1 có hai nghiệm thỏa mãn 0 t1 t2 và khi đó hoành độ bốn giao điểm là t2 t1 t1 t2 . t2 2 Do đó, từ điều kiện của bài toán suy ra hay 0 t1 1 4 t2 . t1 1 f 0 0 m 3 0 19 Điều này xảy ra khi và chỉ khi f 1 0 3m 4 0 3 m . 9 9m 19 0 f 4 0 19 Vậy a 3 , b nên 15ab 95 . 9. Câu 9.. (Chuyên Hà Tĩnh 2018) Đường thẳng y m 2 cắt đồ thị hàm số y x 4 x 2 10 tại hai điểm phân biệt A , B sao cho tam giác OAB vuông ( O là gốc tọa độ). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. m 2 5;7 . B. m 2 3;5 . C. m 2 1;3 . D. m 2 0;1 . Lời giải x 0 y 4 x3 2 x 2 x 2 x 2 1 ; y 0 x 1 2 Bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng y m 2 0 luôn phía trên trục hoành Nên nó luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A , B . Gọi A a ; m 2 và B a ; m 2 là giao điểm của hai đồ thị đã cho, với a 0. . . . . Ta có A C a 2 a 10 m 2 1. Tam giác OAB cân tại O nên tam giác OAB vuông tại O OA.OB 0 m4 a 8. 4. 2. 4. 2. 2. 2. Từ 1 và 2 ta có m m m 10 0 t t t 10 0 , với t m 0 .. t 2 t 3 2t 2 3t 5 0 t 2 m 2 2 1;3 . Câu 10.. (Sở Bình Phước 2018) Cho hàm số y x 4 2 x 2 3 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Với giá trị nào của m thì phương trình x 4 2 x 2 3 2m 4 có 2 nghiệm phân biệt.. Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(714)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m 0 A. . m 1 2. B. m . 1 . 2. C. 0 m . m 0 D. . m 1 2. 1 . 2. Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy, phương trình x 2 x 3 2m 4 có hai nghiệm phân biệt khi m 0 2m 4 4 2m 4 3 m 1 . 2 4. Câu 11.. 2. (THPT Bình Giang - Hải Dương - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 4 2 x 2 3 2m 0 có 4 nghiệm phân biệt. 3 3 3 A. 2 m . B. m 2 . C. 2 m . D. 3 m 4 . 2 2 2 Lời giải - Ta có: x 2 x 3 2m 0 x 2 x 3 2m . - Lập bảng biến thiên của hàm số y x 4 2 x 2 3 . x 0 1 1 y 0 0 0 3 y 4. 2. 4. 2. . 4 4 - Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số y x 4 2 x 2 3 và đường thẳng y 2m . - Từ BBT ta thấy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 3 4 2m 3 2 m . 2 Câu 12.. (THPT Vân Nội - Hà Nội - 2018) Tất cả các giá trị thực của tham số m , để đồ thị hàm số y x 4 2 2 m x 2 m 2 2m 2 không cắt trục hoành. A. m 3 1.. C. m 3 1.. B. m 3.. D. m 3.. Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm x 2 2 m x 2 m 2 2m 2 0 4. 2. 2. 2. Đặt t x 0 . Phương trình 1 trở thành t 2 2 m t m 2m 2 0. 1 2. Đồ thị hàm số không cắt trục hoành 1 vô nghiệm 2 vô nghiệm hoặc có nghiệm âm. Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(715)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. m 3 2m 6 0 m 3 m 3 2 m 6 0 Hay m 1 3. 2 m 0 1 3 m 3 m 2 2 m 1 3 m 2m 2 0 m 1 3 Câu 13.. (Sở Nam Định - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y m 1 x 4 2 2m 3 x 2 6m 5 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ x1 , x 2 , x 3 , x 4 thỏa mãn x1 x 2 x 3 1 x 4 .. 5 A. m 1; . 6 . B. m 3; 1 .. C. m 3;1 .. D. m 4; 1 .. Lời giải C1: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là m 1 x 4 2 2m 3 x 2 6m 5 0 1 Đặt t x 2 0 pt trở thành m 1 t 2 2 2m 3 t 6m 5 0. 2. 2. g t m 1 t 2 2m 3 t 6m 5. Để pt (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt m 1 m 1 2 m 1 0 23 561 m 23 561 2m 3 m 1 6m 5 0 0 4 4 Hay 6m 5 0 * 5 t1 .t2 0 m 1 m 1 m 6 t1 t2 0 2m 3 3 0 m 1 m 1 m 2 Để pt (1) có 4 nghiệm thỏa mãn x1 x 2 x 3 1 x 4 thì pt (2) phải có 2 nghiệm thỏa 0 t1 1 t 2 t 1 0 1 t1 1 t2 1 0 t1t2 t1 t2 1 0 t 2 1 0 6m 5 2 2 m 3 3m 12 1 0 0 4 m 1 m 1 m 1 m 1 Kết hợp với (*) ta có m 4; 1 thỏa yêu cầu bài toán.. C2: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là m 1 x 4 2 2m 3 x 2 6m 5 0 1 Đặt t x 2 0 pt trở thành m 1 t 2 2 2m 3 t 6m 5 0. 2. Để pt (1) có 4 nghiệm thỏa mãn x1 x 2 x 3 1 x 4 thì pt (2) phải có 2 nghiệm thỏa 0 t1 1 t 2 Phương trình (2) m . t 2 6t 5 (biểu thức t 2 4t 6 0, t ) t 2 4t 6. t 2 6t 5 , với t 0; t 2 4t 6 Ta có f t liên tục trên 0; và có. Xét hàm số f t . Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(716)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. f 't . 10t 2 2t 56. t. 2. 4t 6. . 2. 1 561 0 t 10 f 't 0 1 561 1 t 10 Bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số f t . t 2 6t 5 tại hai t 2 4t 6. giao điểm có hoàng độ thỏa 0 t1 1 t 2 khi 4 m 1 . Câu 14.. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y x 4 3m 2 x 2 3m có đồ thị là (C m ) . Tìm m để đường thẳng d : y 1 cắt đồ thị (C m ) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. 1 1 A. m 1 và m 0 B. m 1 và m 0 3 2 1 1 1 1 C. m và m 0 D. m và m 0 2 3 2 2 Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm ) và đường thẳng d là x 4 3m 2 x 2 3m 1. x 4 3m 2 x 2 3m 1 0 Đặt t x 2 , t 0 , phương trình trở thành t 2 3m 2 t 3m 1 0 2 t 1 t 3m 1 Đường thẳng d : y 1 cắt đồ thị (C m ) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình 2 có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2 thỏa mãn 0 t1 t2 4 m 0 3m 1 1 1 0 3m 1 4 3 m 1. -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 37.
<span class='text_page_counter'>(717)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ. Chuyên đề 8. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Biện luận m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện k (hàm số khác) Câu 1.. (Mã 101 2019) (Mã đề 001) Cho hai hàm số y . x 3 x 2 x 1 x và y x 2 x m x 2 x 1 x x 1. ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là C1 và C2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C1 và C2 cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. 2; .. B. ;2 .. D. ;2 .. C. 2; . Lời giải. Chọn A Xét phương trình. . x 3 x 2 x 1 x x2 xm x 2 x 1 x x 1. x 3 x 2 x 1 x x 2 x m (1) x 2 x 1 x x 1. Hàm số x 3 x 2 x 3 x 2 x 1 x p x x2 x x 2 x 1 x x 1 x 3 x 2. x2 x 1 x2 x 1. x 1 x x 1 x. x 2 khi x 2 x 1 . x 2 x 2 khi x 2 x 1. 1 1 1 1 2 0, x 2; \ 1; 0;1; 2 2 2 2 x x 2 x 1 x 1 Ta có p x 1 1 1 1 2 0, x 2 x 2 2 x 12 x 2 x 12 . nên hàm số y p x đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 , 1;0 , 0;1 , 1; 2 , 2; . Mặt khác ta có lim p x 2 và lim p x . x . x . Bảng biến thiên hàm số y g x :. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(718)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Do đó để C1 và C2 cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 4 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y p x tại 4 điểm phân biệt m 2 . Câu 2.. (Mã 103 2019) Cho hai hàm số y . x 1 x x 1 x 2 và y x 2 x m ( m là tham x x 1 x 2 x 3. số thực) có đồ thị lần lượt là C1 , C2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C1 và C2 cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. 2; . B. ; 2 .. C. 2; .. D. ; 2 .. Lời giải Chọn B Xét phương trình hoành độ giao điểm x 1 x x 1 x 2 x 1 x x 1 x 2 x2 xm x 2 x m 1 x x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2 x 3 x 1 x x 1 x 2 Xét f x x 2 x, x D \ 3; 2; 1;0 x x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2 x 1 x x 1 x 2 x 3 2, x 2; D D1 Ta có f x x 1 x x 1 x 2 2 x 2, x ; 2 D D 2 x 1 x 2 x 3 x 1 1 1 1 , x D1 2 2 2 x2 x 1 x 2 x 3 Có f x 1 1 1 1 2, x D2 2 2 2 x x 1 x 2 x 32 . Dễ thấy f x 0, x D1 D2 , ta có bảng biến thiên -. x. +. +. f'(x). 1. -2. -3 +. 0 +. + +. +. + + 2. +. f(x) -. -. -. -. -. Hai đồ thị cắt nhau tại đúng 4 điểm phân biện khi và chỉ khi phương trình 1 có đúng 4 nghiệm phân biệt, từ bảng biến thiên ta có: m 2 m 2 . Câu 3.. x x 1 x 2 x 3 và y x 1 x m ( m là tham x 1 x 2 x 3 x 4 và C 2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C1 và C 2 cắt. (Mã 102 2019) Cho hai hàm số y số thực) có đồ thị lần lượt là C1 nhau tại đúng 4 điểm phân biệt là A. ;3 .. B. ;3 .. C. 3; .. D. 3; .. Lời giải Chọn C Điều kiện x 1; x 2; x 3 và x 4 . Ta có phương trình hoành độ giao điểm Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(719)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x x 1 x 2 x 3 x 1 x m x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 x m x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 1 1 x x 1 4 m x 1 x 2 x 3 x 4 . Đặt tập D1 1; và D2 (; 4) 4; 3 (3; 2) 2; 1 . 1 1 1 1 khi x D1 3 x 1 x 2 x 3 x 4 m, 1 1 1 1 2 x 5 m, khi x D2 x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 1 1 khi x D1 3 x 1 x 2 x 3 x 4 , Đặt f x . 1 1 1 1 2 x 5 , khi x D2 x 1 x 2 x 3 x 4 . 1 1 1 1 0, khi x D1 2 2 2 2 x 1 x 2 x 3 x 4 f x . 1 1 1 1 >0, khi x D2 2 2 2 2 2 x 1 x 2 x 3 x 4 Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định lim f x 3 lim f x x ; x nên ta có bảng biến thiên. Do đó để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì m 3 m 3; . Câu 4.. x 2 x 1 x x 1 và y x 1 x m ( m là tham x 1 x x 1 x 2 và C2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C1 và C2 cắt. (Mã 104 2019) Cho hai hàm số y số thực) có đồ thị lần lượt là C1 . nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. ; 3 . B. 3; .. C. ; 3 .. D. 3; .. Lời giải Chọn B Xét phương trình hoành độ x 2 x 1 x x 1 x 2 x 1 x x 1 x 1 x m x 1 x m (1) x 1 x x 1 x 2 x 1 x x 1 x 2 Số nghiệm của (1) là số giao điểm của Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(720)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x2 x 1 x 2 x 1 x x 1 F x x 1 x x 1 x x 1 x 2 x2 x 1. x 1 x x 1 x. x x 1 x x 1. x 1 1 ,x 1 x2 x 1 2 x 1, x 1 x2. 1 1 1 1 2 , x 1; \ 0;1 2 2 2 x 1 x x 1 x 2 Ta có F x . 1 1 1 1 2, x ; 1 \ 2 x 12 x 2 x 12 x 2 2 Mặt khác lim F x ; lim F x 3 x . x . lim F x ; lim F x ; lim F x ; lim F x . x 2. x 2. x 1. x 1. lim F x ; lim F x ; lim F x ; lim F x . x 0. x 0. x 1. .. x 1. Bảng biến thiên. Để phương trình có 4 nghiệm thì m 3 m 3 . Câu 5.. x2 1 x2 2 x x2 4 x 3 x2 6x 8 và y x 2 x m ( m là tham số x x 1 x2 x3 thực) có đồ thị lần lượt là (C1 ) và (C2 ) . Tính tổng tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng (15 ; 20) Cho hai hàm số y . của tham số m để (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại nhiều hơn hai điểm phân biệt. A. 210 .. B. 85 .. C. 119 . Lời giải. D. 105 .. Chọn B x2 1 x2 2 x x2 4x 3 x2 6 x 8 Xét phương trình hoành độ giao điểm x2 xm x x 1 x2 x 3 . x2 1 x2 2 x x2 4 x 3 x2 6 x 8 x 2 x m (1). x x 1 x2 x3. x2 1 x2 2 x x2 4 x 3 x2 6 x 8 x2 x. x x 1 x2 x 3 x 2 ( x 2) 1 1 1 1 Ta có g ( x) 4 2 0 với mọi x thuộc các khoảng 2 2 2 x ( x 1) ( x 2) x 3 x2 Đặt g ( x) . sau ; 0 , 0 ;1 , 1 ; 2 , 2 ; 3 và 3 ; nên hàm số y g ( x) đồng biến trên mỗi khoảng đó. Mặt khác ta có lim g ( x) và lim g ( x) . x . x . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(721)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Bảng biến thiên hàm số y g ( x). Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y m luôn cắt đồ thị hàm số y g ( x) tại năm điểm phân biệt nên (C1 ) và (C2 ) luôn cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt với mọi giá trị của m . Kết hợp điều kiện m nguyên thuộc (15;20) nên m 14; 13;...;18;19 . Khi đó tổng tất cả các giá trị m là. Câu 6.. S 15 16 17 18 19 85 . x x 1 x 2 Cho hai hàm số y và y e x 2020 3m ( m là tham số thực) có đồ thị lần x 1 x x 1 lượt là (C1 ) và (C 2 ) . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc ( 2019; 2020) để (C1 ) và (C 2 ) cắt nhau. tại 3 điểm phân biệt? A. 2692 .. B. 2691 .. C. 2690 . Lời giải. D. 2693 .. Chọn A Xét phương trình hoành độ giao điểm. x x 1 x 2 e x 2020 3m x 1 x x 1. x x 1 x 2 x e 2020 3m (1). x 1 x x 1 x x 1 x 2 x e 2020 . Đặt g ( x) x 1 x x 1 1 1 1 Ta có g ( x) 2 e x 0 với mọi x thuộc các khoảng sau ; 1 , 2 2 ( x 1) x x 1 . 1;0 , 0;1. và 1; nên hàm số y g ( x) nghịch biến trên mỗi khoảng đó.. Mặt khác ta có lim g ( x ) 2017 và lim g ( x ) . x . x . Bảng biến thiên hàm số y g ( x). Do đó để (C1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có ba nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y 3m cắt đồ thị hàm số y g ( x) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi 3m 2017 m . 2017 672, 3 . 3. Do m nguyên thuộc ( 2019; 2020) nên m 672; 671;...; 2019 . Vậy có tất cả 2692 giá trị m thỏa mãn.. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(722)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 7.. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số y 2 x 2 1 x 1 và y. 11 1 11 m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt? 3x 4 2 x. A. ;0 .. C. ;1 .. B. ;1 .. D. ; 2 .. Lời giải Chọn C Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 x 2 1 x 1 . 11 1 11 m 3x 4 2 x. *. x 1 0 x 1 4 4 Điều kiện: x x 3 3 x 2 x 2. Ta có: 11 1 11 m 3x 4 2 x 11 1 4 Xét hàm số f ( x) 2 x 2 1 x 1 11 trên 1; \ ; 2 3x 4 2 x 3 . * 2 x 2 1. x 1 . 4 4 Nhận thấy, hàm số f x liên tục trên các khoảng 1; , ; 2 , 2; 3 3 . 11 1 Ta có, f ( x ) 2 x 2 1 x 1 11 3x 4 2 x 4 x x 1 2 x 2 1. 10 x 2 8 x 1 33 1 1 33 1 0 với 2 2 2 2 2 x 1 2 x 1 3x 4 2 x 3x 4 2 x . 4 x 1; \ ; 2 3 4 Suy ra, hàm số f x đồng biến trên 1; \ ; 2 . 3 Bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hai hàm số y 2 x 2 1 x 1 và y . 11 1 11 m 3x 4 2 x. cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi m ;1 .. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(723)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 8.. x 1 x x 1 x 2 Cho hai hàm số y và y 21 x 2m ( m là tham số thực) có đồ thị lần x x 1 x 2 x 3 m lượt là (C1 ) và (C2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của để (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại đúng năm. điểm phân biệt là A. 2; .. B. ; 2 .. C. ; 2 .. D. ; 4 .. Lời giải Chọn C Xét phương trình hoành độ giao điểm. x 1 x x 1 x 2 21 x 2m x x 1 x 2 x 3. x x 1 x 2 x 3 1 x 2 2m . x 1 x 2 x 3 x 4 x x 1 x 2 x 3 1 x 2 . Đặt g ( x ) x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 1 1 Ta có g ( x) 2 21 x ln 2 0 2 2 x x 1 x 2 x 32 . với mọi x thuộc các khoảng sau ; 3 , 3; 2 2; 1 , 1;0 và 0; nên hàm số. y g ( x) đồng biến trên mỗi khoảng đó Mặt khác ta có lim g ( x ) 4 và và lim g ( x ) . x . x . Bảng biến thiên hàm số y g ( x). Do đó để C1 và C2 cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 5 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y 2m cắt đồ thị hàm số y g ( x) tại 5 điểm phân biệt khi và chỉ khi 2m 4 m 2 Câu 9.. x x 1 x2 và y x x 1 m ( m là tham số thực) có đồ 2 2 x 1 x 2x x 4x 3 thị lần lượt là (C1 ) và (C2 ) . Số các giá trị m nguyên thuộc khoảng 20; 20 để (C1 ) và (C2 ) cắt. Cho hai hàm số y . 2. nhau tại năm điểm phân biệt là A. 22 . B. 39 .. C. 21 . Lời giải. D. 20 .. Chọn C Xét phương trình hoành độ giao điểm. x x 1 x2 2 2 x x 1 m x 1 x 2x x 4x 3 2. x x 1 x2 2 2 x x 1 m (1). x 1 x 2x x 4x 3 x x 1 x2 2 2 x x 1 . Đặt g ( x ) 2 x 1 x 2x x 4x 3 . 2. Ta có g ( x) . x2 1. x. 2. 1. 2. . x2 2x 2. x. 2. 2x. 2. . x2 4 x 5. x. 2. 4 x 3. 2. 1 . x 1 x 1. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(724)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. . x2 1. x. 2. 1. 2. . ( x 1) 2 1. x. 2. 2x. 2. . ( x 2) 2 1. x. 2. 4 x 3. 2. . x 1 x 1 x 1. 0. với mọi x thuộc các khoảng sau ; 1 , 1; 0 , 0;1 , 1;2 , 2;3 và 3; nên hàm số. y g ( x) nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Mặt khác ta có lim g ( x ) và và lim g ( x) 1 . x . x . Bảng biến thiên hàm số y g ( x). Do đó để (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có năm nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y g ( x) tại năm điểm phân biệt khi m 1 , do m nguyên thuộc (20; 20) nên m 19; 18;...; 0;1 . Vậy có tất cả 21 giá trị m thỏa mãn. Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m 2 x 4 m 2 x 3 x 2 m 2 1 x 0 nghiệm đúng với mọi x . Số phần tử của tập S là. A. 3 .. B. 2 .. C. 0 . Lời giải. D. 1.. Chọn D Đặt f x m 2 x 4 m 2 x 3 x 2 m 2 1 x Ta có f x m 2 x 4 m 2 x3 x 2 m 2 1 x x m 2 x 3 m 2 x 2 x m 2 1 . Giả sử x 0 không phải là nghiệm của phương trình g x m 2 x 3 m 2 x 2 x m 2 1 0 thì hàm. số f x m 2 x 4 m 2 x 3 x 2 m 2 1 x sẽ đổi dấu khi qua điểm x 0 , nghĩa là m 2 x 4 m 2 x 3 x 2 m 2 1 x 0 không có nghiệm đúng với mọi x .. Do đó, để yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là g x m 2 x 3 m 2 x 2 x m 2 1 0 phải có nghiệm x 0 , suy ra m 2 1 0 m 1. Điều kiện đủ: Với m 1, f x x 4 3 x 3 x 2 x 2 x 2 3 x 1 khi đó f 1 1 0 không thỏa mãn điều kiện m 2 x 4 m 2 x 3 x 2 m 2 1 x 0 nghiệm đúng với mọi x . (loại). Với m 1, f x x 4 x 3 x 2 x 2 x 2 x 1 0 , x . Vậy S 1 . Câu 11. Có bao nhiêu cặp số thực (a; b) để bất phương trình x 1 x 2 ax 2 bx 2 0 nghiệm đúng với mọi x A. 3 .. B. 2 .. C. 0 . Lời giải. D. 1.. Chọn C Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(725)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Đặt f x x 1 x 2 ax 2 bx 2 Giả sử x 1 không phải là nghiệm của phương trình g x x 2 ax 2 bx 2 0 thì hàm số f x x 1 x 2 ax 2 bx 2 sẽ đổi dấu khi qua điểm x 1 , nghĩa là. x 1 x 2 ax 2 bx 2 0. không có nghiệm đúng với mọi x .. Do đó, để yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là g x x 2 ax 2 bx 2 0 có nghiệm x 1 suy ra a b 2 0 (1). Lí luận tương tự có h x x 1 ax 2 bx 2 0 cũng phải nhận x 2 là nghiệm, suy ra 4a 2b 2 0 (2). a b 2 0 a 1 Từ (1) và (2) ta có hệ 4a 2b 2 0 b 1 Điều kiện đủ: a 1 2 2 Với có f x x 1 x 2 x 2 x 2 x 1 x 2 0 , x . b 1. . . Vậy không tồn tại cặp số thực (a; b) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 12. Trong số các cặp số thực a; b để bất phương trình x 1 x a x 2 x b 0 nghiệm đúng với mọi x , tích ab nhỏ nhất bằng 1 A. . B. 1. 4. 1 . 4 Lời giải C.. D. 1.. Chọn C Đặt f x x 1 x a x 2 x b và g x x a x 2 x b Giả sử x 1 không phải là nghiệm của phương trình g x x a x 2 x b 0 thì hàm số f x x 1 x a x 2 x b sẽ đổi dấu khi qua điểm x 1 , nghĩa. x 1 x a x 2 x b 0. không có nghiệm đúng với mọi x .. Do đó yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là g x x a x 2 x b 0 có. a 1 nghiệm x 1 suy ra hoặc 2 hoặc là phương trình x2 x b 0 có hai x x b 0, x nghiệm x 1 và x a a 1 a 1 a 1 Trường hợp 1: 2 1 0 1 x x b 0, x R 1 4b 0 b 4 Trường hợp 2: phương trình x2 x b 0 có hai nghiệm x 1 và x a Ta thay x 1 vào phương trình x2 x b 0 có 12 1 b 0 b 2 . Với b 2 có phương x 1 trình x 2 x b 0 x 2 x 2 0 x 2 Vì x a cũng là nghiệm của phương trình nên a 2 . a 1 1 1 Trong trường hợp 1: 1 ab suy ra tích ab nhỏ nhất khi ab 4 4 b 4 Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(726)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Và với a 1, b . 1 1 , tích ab thì bất phương trình đã cho tương đương với 4 4 2. 1 1 2 x 1 x 1 x 2 x 0 x 1 x 0 thỏa mãn với mọi x (nhận) 4 2 1 Trong trường hợp 2: Tích ab 4 4 1 Vậy tích ab nhỏ nhất khi ab . 4. Câu 13. Cho 2 hàm số y x 7 x 5 x 3 3m 1 và y x 2 x 2m ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là C1 , C2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C1 cắt C2 là A. m .. B. m 2; .. D. m 2; .. C. m ; 2 . Lời giải. Chọn A Xét phương trình hoành độ giao điểm:. x 7 x5 x3 3m 1 x 2 x 2m x 7 x5 x3 x 2 x 5m 1 (1) . Xét hàm số f ( x) x 7 x5 x3 x 2 x . x 7 x 5 x 3 2 Ta có f ( x) 7 5 3 x x x 2 x 2. khi x 2; khi x ; 2 . .. 7 x 6 5 x 4 3 x 2 0 khi x 2; f ( x) 6 . 4 2 7 x 5 x 3 x 2 0 khi x ; 2 lim f x ; lim f x .. x . x . Bảng biến thiên: x. +∞. 2. ∞ +. f '(x). + +∞. f(x). ∞. Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình 1 luôn có nghiệm với mọi m .Vậy để C1 cắt C2 thì m . Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn 2019; 2019 để phương trình. . . . . 3 x 2 3 x m 1 x 5 1 x 2m 4 x 2 2 x 3 có nghiệm thực?. A. 2019 .. B. 4032 .. C. 4039 .. D. 4033 .. Lời giải Chọn B Đk: x 3;1 . Phương trình đã cho 11 3 x 4. 3 x 1 x m 2. . 1 x 3 x 0 . (*). Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(727)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Đặt t 2 1 x 3 x g x , với x 3;1 11 3x 4 Có g x . 3 x 1 x t 2 4 .. 1 1 0, x 3;1 . Suy ra g x nghịch biến trên khoảng 3;1 . 1 x 2 3 x. min g x g 1 2 : max g x g 3 4 t 2; 4 . 3;1. 3;1. Từ (*) t 2 mt 4 0 . Nếu t 0 0 4 0 (vô lí). Nếu t 2; 4 \{0} , ta có m . t 2 4 4 t f t . t t. 4 t2 , f t 0 t 2 . t2 Bảng biến thiên Có f t . m 4 Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình có nghiệm thực khi và chỉ khi . m 4. m 2019; 2019 m 4 m 2019; 2018;....; 4; 4;...; 2018; 2019 . Do đó m 4 m Vậy có 2019 4 1 .2 4032 giá trị nguyên của tham số thực m . Câu 15.. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Tập hợp tất cả các số thực của tham số m. . . để phương trình x6 6 x 4 m3 x3 15 3m2 x 2 6mx 10 0 có đúng hai nghiệm phân biệt. 1 thuộc đoạn ; 2 là: 2 5 A. 2 m . 2. B.. 7 m 3. 5. 11 m4. 5 Lời giải C.. D. 0 m . 9 . 4. Chọn A Ta có:. x 6 6 x 4 m3 x3 15 3m2 x 2 6mx 10 0 3. 3. x 2 2 3 x 2 2 mx 1 3 mx 1 f x 2 2 f mx 1 (*) Với f t t 3 3t . Do f ' t 3t 2 3 0, t Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(728)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Hàm số f t đồng biến trên . Nên (*) x 2 2 mx 1. x 2 mx 1 0 m . Xét hàm số g x . Ta có: g ' x 1 . x2 1 . x. x2 1 1 trên ;2 x 2 . 1 g ' x 0 x 1. x2. Bảng biến thiên.. 1 Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc ; 2 2 5 khi và chỉ khi 2 m . 2 Câu 16.. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Có bao nhiêu m nguyên dương để hai đường cong 2 và C2 : y 4 x m cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương? C1 : y 2 x 10 A. 35. B. 37. C. 36. D. 34. Lời giải. ChọnC x 10 Điều kiện: m. x 4 Xét trên 0; \ 10 , phương trình hoành độ giao điểm của C1 và C2 là 2. 2 2 x 18 2 4x m m 4x . x 10 x 10 2. 2 x 18 Đặt g x 4 x với x 0; \ 10 . x 10 . 2 x 18 4 x 34 Ta có: g x 4 1 . ; g x 4 x 10 3 x 10 g x có bảng biến thiên như sau. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(729)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 17 Suy ra phương trình g x 0 có một nghiệm duy nhất ;10 . Lại có g 9, 22 0 nên 2 . 9, 22;10 . Ta có bảng biến thiên của g x trên 0; \ 10 :. Từ đó suy ra phương trình m g x có 3 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi 81 m g . 25. 4 x 40 Trên khoảng 9, 22;10 thì 2 x 18 2 nên g x 37 g 36;37 . 3 x 10 Vậy những giá trị m nguyên dương thỏa mãn yêu cẩu bài toán là 1; 2; 3; …; 36 hay có 36 giá trị của m cần tìm. Câu 17.. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x ) ( x 1).( x 2)...( x 2020). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn. 2020; 2020. để phương trình f ( x) m. f ( x) có 2020 nghiệm phân biệt?. A. 2020.. B. 4040.. C. 4041. Lời giải. D. 2020.. Chọn B Ta có nhận xét: khi f ( x ) 0 thì phương trình f ( x) m. f ( x) vô nghiệm. Do đó: f ( x) m. f ( x) m . Xét hàm số g ( x) . Ta có g ( x) . f ( x ) . f ( x). f ( x) 1 1 1 1 . f ( x) x 1 x 2 x 3 x 2020. 1. x 1. 2. . 1. x 2. 2. . 1. x 3. 2. . 1. x 2020 . 2. 0, x \ 1; 2;3...; 2020. Bảng biến thiên:. Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(730)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dựa vào BBT, phương trình f ( x) m. f ( x) có 2020 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m 0 hoặc. m 0. Kết hợp với điều kiện m là số nguyên thuộc 2020; 2020 nên. m n | 2020 n 2020, n 0 . Vậy có tất cả 4040 giá trị m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 18.. (ĐHQG. Hà. Nội. -. 2020). Cho. phương. trình. 3. 4 cos3 x 12 cos 2 x 33cos x 4m 3 3cos 2 x 9 cos x m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của. 2 tham số m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc 0; . 3 A. 15. B. 16. C. 17. D. 18. Lời giải Chọn A 2 1 1 2 Đặt t cos x với x 0; t ;1 , với mỗi t ;1 chỉ có một x 0; 3 2 2 3 3. Ta có 4t 3 12t 2 33t 4m 3 3t 2 9t m 1. 1 Bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất t ;1 2 4t 3 12t 2 33t 4m 3u 4t 3 12t 2 33t 4m 3u 3 Đặt u 3t 2 9t m 3 2 3 2 u 3t 9t m 4u 12t 36t 4m. . . . 4t 3 4u 3 3u 3t t u 4t 2 4ut 4u 2 3 0 u t , 4t 2 4ut 4u 2 3 0. . 1 Ta tìm m để phương trình m t 3 3t 2 9t có nghiệm duy t ;1 2 t 1(l ) Xét g t t 3 3t 2 9t g ' t 3t 2 6t 9 g ' t 0 t 3 (l ) 29 1 Vậy g 1 m g 11 m vậy có 15 giá trị nguyên của m. 8 2 Câu 19.. (Sở Ninh Bình 2020) Cho hai hàm số y ln. 3 1 x2 4m 2020 , Tổng tất các và y x2 x x. các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm duy nhất là A. 506 . B. 1011 . C. 2020 . D. 1010 . Lời giải Chọn A Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(731)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. + Phương trình hoành độ điểm chung của hai đồ thị hàm số là x2 3 1 x2 3 1 ln 4m 2020 ln 4m 2020 (*) x x2 x x x2 x Đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi (*) có duy nhất một nghiệm. 3 1 g1 ( x) ln( x 2) ln x x 2 x khi x 2 x2 3 1 3 1 + Xét hàm số y ln g 2 ( x) ln(2 x) ln x khi 0 x 2 x x2 x x2 x 3 1 g3 ( x) ln(2 x) ln( x) x 2 x khi x 0 / 1 1 3 1 4( x 2 1) g ( x ) 1 x 2 x ( x 2) 2 x 2 x 2 ( x 2) 2 1 1 3 1 4( x 2 1) Ta có g 2/ ( x ) 2 x x ( x 2) 2 x 2 x 2 ( x 2) 2 / 1 1 3 1 4( x 2 1) g 3 ( x) 2 x x ( x 2) 2 x 2 x 2 ( x 2) 2 bảng biến thiên hàm số như sau. khi x 2. x 1 khi 0 x 2 , do vậy y 0 x 1 khi x 0. + Qua bảng biến thiên này ta có (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 506 4m 2020 4 4m 2020 ln 3 m 2020 ln 3 4 + Tư đây yêu cầu bài toán xãy ra khi và chỉ khi m 506 . Câu 20.. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Cho hai hàm số y x 1 2 x 1 3 x 1 m 2 x ; y 12 x 4 22 x3 x 2 10 x 3 có đồ thị lần lượt là C1 , C2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn 2020;2020 để C1 cắt C2 tại 3 điểm phân biệt? A. 4040 .. B. 2020 .. C. 2021 . Lời giải. D. 4041 .. Chọn C Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị C1 và C2 :. x 1 2 x 1 3 x 1 m 2 x 12 x 4 22 x 3 x 2 10 x 3 (1) Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(732)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Để đồ thị C1 cắt C2 tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.. 1 1 Với x 1; ; : Không là nghiệm của phương trình (1). 2 3 1 1 Với x 1; ; ta có: 2 3 . 1 m . 12 x 4 22 x 3 x 2 10 x 3 1 1 1 . 2 x m 2 x 2 x x 1 2 x 1 3x 1 x 1 2 x 1 3x 1. Xét hàm số f x 2 x 2 x . Suy ra: f x 2 . 2x x. 2. . 1 1 1 1 1 , x \ 1; ; . 2 3 x 1 2 x 1 3x 1 . 1. x 1. 2. . 2. 2 x 1. 2. . 3. 3x 1. 2. .. 1 2 3 khi x 0; 2 2 2 4 x 1 2 x 1 3 x 1 Ta có: f x và f x không xác 1 2 3 1 1 khi x ;0 \ 1; ; x 12 2 x 12 3 x 12 2 3 định tại x 0 .. Bảng biến thiên:. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì m 0 . Do đó có 2021 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.. Câu 21.. (Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số. x y. 2. 2. 2 x m 3x m x 3. (C ) và đường thẳng. ( d ) : y 2 x ( m là tham số thực).. Số giá trị nguyên của m 15;15 để đường thẳng (d ) cắt đồ thị (C ) tại bốn điểm phân biệt là A. 15 .. B. 30 .. C. 16 . Lời giải. D. 17 .. Chọn A Xét pt hoành độ giao điểm của hai đồ thị:. x. 2. 2. 2 x m 3x m x3. 2. 2 x x 2 2 x m 3 x m 2 x 2 6 x x 3 2. x 2 2 x m 2 x 2 3 x m x 3. *. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(733)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 2 2 x m t x 2 2 x t m 0 Đặt: x 2 2 x m t ta được hệ: 2 2 2 2 t 2 x 3 x m 2 x t 3 x m 0. t x x 2 t 2 x t 0 x t x t 1 0 t 1 x x 2 3 x m 0 1 x2 2x m x Suy ra: 2 2 x x m 1 0 2 x 2x m 1 x YCBT * phải có 4 nghiệm phân biệt khác 3 1 , 2 đều phải có hai nghiệm pb khác 3 và các nghiệm của chúng không trùng nhau. 9 9 4m 0 m 4 m 1, 25 3 3 3.3 m 0 m 0 - 1 , 2 đều có hai nghiệm pb khác 3 khi: m 0 ** 1 4 m 1 0 m 5 m 5 32 3 m 1 0 4 m 5 2 x 3 x m 0 - 1 , 2 không có nghiệm trùng nhau Hệ: 2 Vô nghiệm x x m 1 0. 2 x 1 0 2 Vô nghiệm x 3x m 0 1 x Vô nghiệm 2 2 x 3x m 0 2. 1 1 3. m 0 2 2 5 m *** 4. Vậy số giá trị nguyên của m 15;15 đồng thời thỏa mãn ** và *** là 15. Câu 22.. (Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho hai hàm số. y x 6 6 x 4 6 x 2 1 và. y x3 m 15 x m 3 15 x có đồ thị lần lượt là C1 và C2 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá. trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2019; 2019 để C1 và C2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Số phần tử của tập hợp S bằng A. 2006 . B. 2005 .. C. 2007 . Lời giải. D. 2008 .. Chọn A Ta biết C1 cắt C2 tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình. x 6 6 x 4 6 x 2 1 x 3 m 15 x m 3 15 x . 1 có hai nghiệm phân biệt.. Điều kiện: m 15 x 0 m 15 x * . Nếu x 0 thì phương trình 1 vô nghiệm. Suy ra x 0 . Khi đó 1 x 3 6 x 2 6 x . 1 m 15 x m 3 15 x x3. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(734)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 3. 1 1 x 3 x x x . . m 15 x. . 3. 3 m 15 x .. Xét hàm số f t t 3 3t . Tập xác định D .. f t 3t 2 3 0, t . Suy ra hàm số f t t 3 3t đồng biến trên . 1 m 15 x 2 . x 1 Nếu x 0 x 0 Phương trình 2 vô nghiệm x 0 . x m 0 1 1 Khi đó nên 2 x 2 2 2 m 15 x m x 2 2 2 15 x . 1 x x x x 0 1 2 Đặt g x x 2 2 2 15 x, x 0 . g x 2 x 3 15 . x x 1 Phương trình g x 0 có một nghiệm x trên khoảng 0; . 2 Bảng biến thiên. Do đó 1 x . Suy ra 1 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m . 55 ( thỏa m 0 ). 4. Kết hợp với m nguyên và m 2019;2019 ta có được m nguyên và m 14; 2019 . Khi đó S có 2019 14 1 2006 phần tử. Dạng 2. Tương giao hàm hợp, hàm ẩn Câu 1.. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Số nghiệm thuộc đoạn ; 2 của phương trình 2 f sin x 3 0 là A. 4 .. B. 6 .. C. 3 . Lời giải. D. 8 .. Chọn B Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(735)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Đặt t sin x . Do x ; 2 nên t 1;1 .. 3 Khi đó ta có phương trình 2 f t 3 0 f t . 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f t . 3 có 2 nghiệm t a 1;0 và 2. t b 0;1 .. Trường hợp 1: t a 1;0 Ứng với mỗi giá trị t 1;0 thì phương trình có 4 nghiệm x1 x2 0 x3 x4 2 . Trường hợp 2: t b 0;1 Ứng với mỗi giá trị t 0;1 thì phương trình có 4 nghiệm 0 x5 x6 . Hiển nhiên cả 6 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc đoạn ; 2 Câu 2.. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau. 5 Số nghiệm thuộc đoạn 0; của phương trình f sin x 1 là 2 A. 7 . B. 4 . C. 5 . Lời giải Chọn C 5 Đặt t sin x , x 0; t 1;1 2 . D. 6 .. Khi đó phương trình f sin x 1 trở thành f t 1, t 1;1 Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y f t và đường thẳng y 1 . t a 1;0 Dựa vào bảng biến thiên, ta có f t 1 . t b 0;1 Trường hợp 1: t a 1;0 Ứng với mỗi giá trị t 1;0 thì phương trình sin x t có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 2 . Trường hợp 2: t b 0;1 Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(736)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ứng với mỗi giá trị t 0;1 thì phương trình có 3 nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn 5 ; 2 Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau. 5 Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn 0; . 2 0 x3 x4 ; 2 x5 . Câu 3.. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số. . . nghiệm thực phân biệt của phương trình f x3 f ( x) 1 0 là. A. 8 . Chọn. B. 5 .. D. 4 .. C. 6 . Lời giải. C. x 0 f ( x) 0 x 3 f ( x) 0 3 3 3 f x f ( x) 1 0 f x f ( x) 1 x f ( x) a 0 f ( x) a (do x 0) x3 x 3 f ( x) b 0 f ( x) b (do x 0) x3. f ( x) 0 có một nghiệm dương x c . Xét phương trình f ( x) . Đặt g ( x) f ( x) . g ( x) f '( x) . k với x 0, k 0 . x3. k . x3. 3k . x4. Với x c , nhìn hình ta ta thấy f ( x) 0 g ( x) f ( x) . 3k 0 x4. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(737)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. g ( x) 0 có tối đa một nghiệm. g (c) 0 Mặt khác và g ( x) liên tục trên c; g ( x) xlim g ( x) 0 có duy nhất nghiệm trên c; . Với 0 x c thì f ( x) 0 . k g ( x) 0 vô nghiệm. x3. Với x 0 , nhìn hình ta ta thấy f ( x) 0 g ( x) f ( x) . 3k 0 x4. g ( x) 0 có tối đa một nghiệm. lim g ( x) 0 x0 Mặt khác và g ( x) liên tục trên ;0 . g ( x) xlim g ( x) 0 có duy nhất nghiệm trên ;0 . Tóm lại g ( x) 0 có đúng hai nghiệm trên \ 0 . Suy ra hai phương trình f ( x) . . a b , f ( x) 3 có 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác c . 3 x x. . Vậy phương trình f x3 f ( x) 1 0 có đúng 6 nghiệm. Câu 4.. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x3 f x 1 0 là A. 6 .. B. 4 .. C. 5 . Lời giải. D. 8 .. Chọn A. x3 f x a 6; 5 Dựa vào đồ thị, ta thấy f x3 f x 1 0 f x3 f x 1 x 3 f x b 3; 2 3 x f x 0. 1 2 3. x 0 x 0 + Phương trình 3 tương đương . f x 0 x x1 , 6 x1 a 5. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(738)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. a b và h x 3 đồng biến trên các khoảng ; 0 và 0; , và nhận 3 x x xét rằng x 0 không phải là nghiệm của phương trình 1 nên: + Các hàm số g x . f x g x. 1 . f x h x . .. lim f x ; lim f x 1 x 0 x + Trên khoảng ; 0 , ta có lim g x lim h x 0 nên các phương trình x x g x lim h x xlim 0 x 0 f x g x và f x h x có nghiệm duy nhất. lim f x ; lim f x 1 x 0 x + Trên khoảng 0; , ta có lim g x lim h x 0 nên các phương trình x x g x lim h x xlim 0 x 0 f x g x và f x h x có nghiệm duy nhất. Do đó, phương trình f x3 f x 1 0 có 6 nghiệm phân biệt. Câu 5.. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x 2 f ( x ) 2 0 là A. 8 .. B. 12 .. C. 6 . Lời giải. D. 9 .. Chọn D. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(739)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x2 f ( x) 0 2 x f ( x ) a 1 2 với 0 a b c . f x f ( x) 2 0 2 x f ( x) b 2 2 x f ( x ) c 3 m Xét phương trình f ( x) 2 1 m 0 . x. Gọi , là hoành độ giao điểm của C : y f ( x) và Ox ; 0 .. m m 0 . Đặt g ( x) f ( x) 2 2 x x 2m Đạo hàm g ( x) f ( x) 3 . x 2m Trường hợp 1: x ; f ( x) 0; 3 0 g ( x) 0 x m Ta có lim g x , g ( ) 2 0 . Phương trình g x 0 có một nghiệm thuộc ; . (1) f ( x) . . x . Trường hợp 2: x . m 0 suy ra g ( x ) 0 x ( , ) . x2 2m 0 g ( x) 0 Trường hợp 3: x ; f ( x) 0; x3 m Ta có lim g x , g ( ) 2 0 . Phương trình g x 0 có một nghiệm thuộc ( ; ) . f ( x) 0 ,. . x . m có hai nghiệm m 0 . x2 Ta có: x 2 f ( x) 0 x 0 f ( x) 0 : có ba nghiệm. Vậy phương trình f x . Vậy phương trình 1 có 9 nghiệm. Câu 6.. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y f x có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.. Số nghiệm thực của phương trình f x 2 f x 2 là: A. 6.. B. 12.. C. 8.. D. 9.. Lời giải Chọn D. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(740)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x2 f 2 x f 2 Ta có: f x f x 2 2 x f x2 f . x 0 x a 0 . x b 0 x c 0. x 0 Xét phương trình: x 2 f x 0 mà f x 0 có hai nghiệm x 2 . f x 0 có ba f x 0 nghiệm. Xét phương trình: x 2 f x a 0 Do x 2 0 ; x 0 không là nghiệm của phương trình f x . a 0 x2. a 2a g x 3 2 x x Bảng biến thiên: Xét g x . a có 2 nghiệm. x2 Tương tự: x 2 f x b và x 2 f x c b, c 0 mỗi phương trình cũng có hai nghiệm. Từ bảng biến thiên với f x 0 f x . Vậy số nghiệm của phương trình f x 2 f x 2 là 9 nghiệm. Câu 7.. (Mã 103 2019) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm thực của phương trình f x 3 3 x . A. 7 .. 3 là 2. B. 3 .. C. 8 . Lời giải. D. 4 .. Chọn C Đặt t x3 3x ta có phương trình f t . 3 2. * .. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(741)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Từ đồ thị hàm số y f t và đường thẳng y . 3 ta suy ra phương trình * có 4 nghiệm 2. t1 2 t2 0 t3 2 t4 x 1 Xét hàm t x3 3x . Ta có t 3 x 2 3 0 Ta có bảng biến thiên x 1. Với t1 2 phương trình: t1 x 3 3 x cho ta 1 nghiệm. Với 2 t2 0 phương trình: t2 x 3 3 x cho ta 3 nghiệm. Với 0 t3 2 phương trình: t3 x 3 3 x cho ta 3 nghiệm. Với 2 t4 phương trình: t4 x 3 3 x cho ta 1 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có tất cả 8 nghiệm. Chọn C Câu 8.. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau. . . Số nghiệm của phương trình f 2 f e x 1 là A. 4 .. B. 2 .. C. 1. Lời giải. D. 3 .. Chọn B Đặt u e x 0 , từ đồ thị suy ra: f u 3, u 0 . Đặt t 2 f u , t 1 . Ứng với mỗi nghiệm t 1 , có một nghiệm u 1 . Ứng với mỗi nghiệm t 1; 2 , có hai nghiệm u 0; 2 . Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(742)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ứng với mỗi nghiệm t 2 , có một nghiệm u 2 .. Phương trình f t 1 có một nghiệm t 1 và một nghiệm t 2 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Câu 9.. Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp 2 trên và có đồ thị f x là đường cong trong hình vẽ bên.. Đặt g x f f x 1 . Gọi S là tập nghiệm của phương trình g x 0. Số phần tử của tập S là A. 8 .. B. 10 .. C. 9 .. D. 6 .. Lời giải Chọn C Hàm số y f x có đạo hàm cấp 2 trên nên hàm số f x và f x xác định trên . Do đó, tập xác định của hàm số g x là D .. 1 x 3 x 1 f x 0 x x0 1 ; 2 Ta có: g x f x . f f x 1 , g x 0 f x 1 1 f f x 1 0 f x 1 1 f x 1 2 Từ đồ thị ta cũng có:. Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(743)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x 1 f x 1 1 f x 0 x 1 . x 2. x x1 ; -1 f x 1 1 f x 2 . x x2 2 ; + x x3 ; x1 f x 1 2 f x 3 . x x4 x2 ; + Vậy phương trình g x 0 có 9 nghiệm. Câu 10.. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hàm số f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Đặt g x f f x . Hỏi phương trình g x 0 có mấy nghiệm thực phân biệt?. A. 14 .. B. 10 .. C. 8 . Lời giải. D. 12 .. Chọn B. Ta có g x f f x . f x. f f x 0 g x 0 f x 0 f x x1 x x1 , 2 x1 1 f x 0 x 0 Có f x 0 ; f f x 0 f x x2 x x2 , 1 x2 2 f x 2 x 2 . Dựa vào đồ thị ta thấy:. Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(744)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. f x 0 có 3 nghiệm phân biệt là x 2, x 0, x 2 , trong đó có 2 nghiệm trùng với nghiệm của f x 0 .. f x x1 có 3 nghiệm phân biệt x3 2; 1 , x4 1;1 , x5 2; . f x x2 có 1 nghiệm duy nhất x6 ; 2 . f x 2 có 1 nghiệm duy nhất x7 ; 2 . Cũng từ đồ thị có thể thấy các nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , 2,0, 2 đôi một khác nhau. Vậy g x 0 có tổng cộng 10 nghiệm phân biệt. Câu 11. Biết rằng đồ thị hàm số y f ( x ) được cho như hình vẽ sau. Số giao điểm của đồ thị hàm số y f x f x . f x và trục Ox là: 2. B. 6 .. A. 4 .. D. 0 .. C. 2 . Lời giải. Chọn D Đặt f ( x) a x x1 x x2 x x3 x x4 , a 0, x1 x2 x3 x4 . Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x f x . f x và trục Ox là 2. f ( x) 0 f ( x) . f x f x . f x 0 2. . 1. x x1 . 2. . 1. x x2 . 2. . 1. x x3 . 2. . . 1 x x 1 . 1. x x4 . 2. 1 1 x x2 x x3. x. 1 x4. 0. 0 vô nghiệm.. Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số y f x f x. f x và trục Ox là 0 . 2. Câu 12.. (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình f f x 1 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?. A. 6 .. B. 5 .. C. 7 . Lời giải. D. 4 .. Chọn C. Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(745)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x x1 2; 1 Ta có f x 0 x x2 1;0 x x3 1; 2 f x 1 x1 2; 1 f x 1 x1 1; 0 Khi đó: f f x 1 0 f x 1 x2 1;0 f x 1 x2 0;1 f x 1 x3 1; 2 f x 1 x3 2;3 + Ta thấy hai phương trình f x 1 x1 1;0 ; f x 1 x2 0;1 đều có ba nghiệm phân biệt. Phương trình f x 1 x3 2;3 có một nghiệm. Vậy phương trình f f x 1 0 có 7 nghiệm. Câu 13. (Đề tham khảo 2019) Cho hàm số f x mx 4 nx3 px 2 qx r ,. Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:. Tập nghiệm của phương trình f x r có số phần tử là A. 4 .. B. 3 .. C. 1. Lời giải. D. 2 .. Chọn B Ta có f x 4mx3 3nx 2 2 px q 1. 5 , 3. 4 Do đó f x m x 1 4 x 5 x 3 và m 0 . Hay f x 4mx3 13mx 2 2mx 15m 2 . Dựa vào đồ thị y f x ta thấy phương trình f x 0 có ba nghiệm đơn là 1,. Từ 1 và 2 suy ra n . 13 m , p m và q 15m . 3. 13 Khi đó phương trình f x r mx 4 nx3 px 2 qx 0 m x 4 x 3 x 2 15 x 0 3 5 2 3x 4 13x3 3x2 45x 0 x 3 x 5 x 3 0 x 0 x x 3 . 3 5 Vậy tập nghiệm của phương trình f x r là S ;0;3 . 3 . Câu 14.. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y f x mx 4 nx3 px 2 qx r , trong đó m, n, p , q, r . Biết rằng hàm số y f ' x có đồ như hình vẽ dưới.. Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(746)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Tập nghiệm của phương trình f x 16m 8n 4 p 2q r có tất cả bao nhiêu phần tử. A. 4 .. B. 3 .. C. 5 . Lời giải. D. 6 .. Chọn A Từ đồ thị ta thấy f ' x 0 x 1 x 1 x 4 Ta có bảng biến thiên. Phương trình f x 16m 8n 4 p 2q r f x f 2 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có 4 nghiệm. Câu 15. (Mã 104 2019) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f x3 3 x . A. 10. 2 là 3. B. 3. C. 9 Lời giải. D. 6. Chọn A Đặt t g x x3 3x (1) Ta có g ' x 3x 2 3 0 x 1 Bảng biến thiên. Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(747)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Dựa vào bảng biến thiên ta có với t 2; 2 cho ta 3 giá trị x thỏa mãn (1). t 2; 2 cho ta 2 giá trị x thỏa mãn (1) t ; 2 2; cho ta 1 giá trị x thỏa mãn (1). Phương trình f x 3 3x . 2 (2) trở thành 3. 2 f t 3 2 f t 3 f t 2 3 Dựa vào đồ thị ta có: 2 + Phương trình f t có 3 nghiệm thỏa mãn 2 t1 t2 2 t3 có 7 nghiệm của phương 3 trình (2). 2 + Phương trình f t có 3 nghiệm thỏa mãn t4 2 2 t5 t6 có 3 nghiệm của phương 3 trình (2). Vậy phương trình đã cho có 10 nghiệm. Câu 16.. (Mã 101 2019) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f x3 3 x . A. 7 .. 4 là 3. B. 4 .. C. 3 . Lời giải. D. 8 .. Chọn D Đặt t x 3 3 x t 3 x 2 3 . Ta có bảng biến thiên. Khi đó f t . 4 1 3 Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(748)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dựa vào đồ thị hàm số f t ta thấy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt t1 2, 2 t2 0, 0 t3 2 , t4 2 . Mỗi nghiệm t của phương trình 1 , ta thay vào phương trình t x 3 3 x để tìm nghiệm x . Khi đó + t1 2 phương trình t x 3 3 x có 1 nghiệm. + 2 t2 0 phương trình t x 3 3 x có 3 nghiệm. + 0 t3 2 phương trình t x 3 3 x có 3 nghiệm. + t4 2 phương trình t x 3 3 x có 1 nghiệm. Vậy phương trình f x3 3 x Câu 17.. 4 có 8 nghiệm. 3. (Mã 102 2019) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của. . . 3 phương trình f x 3x . A. 6 .. 1 2. B. 10 .. C. 12 . Lời giải. D. 3 .. Chọn B. Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(749)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 f x3 3x 1 1 2 3 Ta có f x 3 x 2 f x3 3x 1 2 2 x3 3x 1 2 1 0 +) 1 f x3 3x . 1 x3 3x 2 0 2 2 2 3 x 3x 3 3 2 . x3 3x 4 x4 2 1 3 3 +) 2 f x 3x x 3x 5 5 2 2 3 x 3x 6 6 2 Xét hàm số y x 3x, D 3. Ta có y ' 3 x 2 3 Bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên ta có Phương trình: x3 3x 1 có 3 nghiệm. Phương trình: x3 3x 2 có 3 nghiệm. Mỗi phương trình x3 -3x 3 , x3 -3x 4 , x3 - 3x 5 , x3 -3x 6 đều có một nghiệm Từ đó suy ra phương trình f x 2 3x . 1 có 10 nghiệm. 2. Câu 18. Cho f x là một hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình dưới đây.. Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(750)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2. Tập nghiệm của phương trình f x f x . f x có số phần tử là A. 1. B. 2. C. 6. D. 0. Lời giải Chọn A 2. Xét phương trình f x f x . f x Do f x 0 có ba nghiệm. 1 x1 , x2 , x2 x1 x2 x3 và. f ' x3 0 suy ra x3 là một nghiệm của (1). 2. Ta có f x a x x1 x x2 x x3 , a 0 f x 1 1 2 Với x x3 1 0 0 x x1 x x2 x x3 f x 1 1 2 0 vô nghiệm. 2 2 2 x x1 x x2 x x3 Vậy, phương trình (1) có đúng một nghiệm x x3 . Câu 19.. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho hai hàm số y f x , y g x có đồ thị như hình sau: y 4. y=f(x). 3 2. -3 -2 -1. 1 O. 3 4 -1 -2. 1. 5 x. 2. -3 -4 y=g(x). Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình f g x 0 và g f x 0 là A. 25 . Chọn. B. 22 .. C. 21 . Lời giải. D. 26 .. B.. x x1 3 x1 2 x 1 Quan sát đồ thị ta thấy: f x 0 x x2 1 x2 2 . x x 2 x 3 3 3 x x4 4 x4 5 . Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(751)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. g x x1 1 g x 1 2 Do đó: f g x 0 g x x2 3 g x x 4 3 g x x4 5 Phương trình 1 có đúng 1 nghiệm; Phương trình 2 có đúng 3 nghiệm; Phương trình 3 có đúng 3 nghiệm; Phương trình 4 có đúng 3 nghiệm; Phương trình 5 có đúng 1 nghiệm. Tất cả các nghiệm trên đều phân biệt nên phương trình f g x 0 có đúng 11 nghiệm. x x5 2 x5 1 Quan sát đồ thị ta thấy: g x 0 x x6 0 x6 1 x 3 f x x5 6 Do đó g f x 0 f x x6 7 f x 3 8 . Phương trình 6 có 5 nghiệm; Phương trình 7 có 5 nghiệm; Phương trình 8 có 1 nghiệm. Tất cả các nghiệm này đều phân biệt nên phương trình g f x 0 có đúng 11 nghiệm. Vậy tổng số nghiệm của hai phương trình f g x 0 và g f x 0 là 22 nghiệm. Câu 20.. (THPT Nghĩa Hưng 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới: y 4. 2 3 2. 1 O. 1. 2 3. 4 5. 6 7. x. 2. Số nghiệm thuộc đoạn 2; 6 của phương trình f x f 0 là A. 5 B. 2 C. 3 Lời giải. D. 4. Từ đồ thị của hàm số f ' x ta có BBT. Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y f ' x ; y 0; x 0; x 2 Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(752)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y f ' x ; y 0; x 2; x 5 Gọi S3 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y f ' x ; y 0; x 5; x 6 5. 2. 6. S1 f ' x dx f 0 f 2 ; S2 f ' x dx f 5 f 2 ; S3 f ' x dx f 5 f 6 2. 0. 5. Từ đồ thị ta thấy S 2 S1 f 5 f 2 f 0 f 2 f 5 f 0 và S1 S3 S 2 f 0 f 2 f 5 f 6 f 5 f 2 f 6 f 0 Khi đó ta có BBT chính xác ( dạng đồ thị chính xác ) như sau:. Vậy phương trình f x f 0 có 2 nghiệm thuộc đoạn 2; 6 Câu 21.. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới. Đặt g x f f x . Tìm số nghiệm của phương trình g x 0 .. . A. 2. B. 8. C. 4 Lời giải.. D. 6. f x 0 Ta có: g x f x f f x 0 * . f f x 0 Theo đồ thị hàm số suy ra. x 0 f x 0 , với 2 a1 3 . x a1. f x 0 , 1 f f x 0 . f x a1 , 2 Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(753)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Phương trình 1 : f x 0 có 3 nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình * . Phương trình 2 : f x a1 có 3 nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình 1 và phương trình * . Vậy phương trình ban đầu có 8 nghiệm phân biệt. Câu 22. (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số y f x =ax 4 bx3 cx 2 dx e có đồ thị như hình vẽ bên đây, trong đó a,b,c,d ,e là các hệ số thực. Số nghiệm của phương trình. f. . . f x f x 2 f x 1 0 là. A. 3.. B. 4.. C. 2. Lời giải. D. 0.. Chọn B Từ hình vẽ ta có dạng đồ thị của hàm trùng phương nên b d 0 f x ax 4 cx 2 e Ta có f x 4ax3 2cx. f 1 0 4a 2c 0 a 1 e 0 f x x 4 2 x 2 . Từ đồ thị f 0 0 e 0 a c e 1 c 2 f 1 1. f. x x. 2. 2 x và f. Như vậy phương trình f. . . . f x f 2 x 2 f x .. . f x f x 2 f x 1 0.. f 2 x 2 f x f x 2 f x 1 0 với f x 0. Đặt t f x t 0 ta được phương trình g t 0 với g t t 2 3t 2 t 1. Nhận thấy: Hàm số g t liên tục trên đoạn 0;1 và g 0 .g 1 0. g t 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0;1 . Hàm số g t liên tục trên đoạn 1; 4 và g 1 .g 4 0. g t 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc 1; 4 . Mà g t 0 là phương trình bậc hai chỉ có tối hai nghiệm nên g t 0 có duy nhất một nghiệm thuộc. 0;1 . Suy ra. f. . . f x f x 2 f x 1 0 có duy nhất một nghiệm f x 0;1 . Suy ra. phương trình f x a với a 0;1 luôn có 4 nghiệm x phân biệt.. Facebook Nguyễn Vương 37.
<span class='text_page_counter'>(754)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 23.. (Sở. Hưng. Yên. -. 2019). g x ax 3 bx 2 cx d ,. Cho. các. hàm. n, n, p , q , r , a , b, c , d . số. f x mx 4 nx3 px 2 qx r. thỏa mãn. và. f 0 g 0 . Các hàm số. f x , g x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập nghiệm của phương trình f x g x có số phần tử là A. 4 .. B. 2 .. C. 1 . Lời giải. D. 3 .. Chọn B +) Từ giả thiết f 0 g 0 suy ra r d do đó phương trình f x g x tương đương với:. x 0 x mx 3 n a x 2 p b x q c 0 3 2 mx n a x p b x q c 0 +) Từ đồ thị của các hàm số f x , g x suy ra m 0 8 f 1 g 1 4m 3 n a 2 p b q c 0 n a 3 m và f 1 g 1 4 m 3 n a 2 p b q c 0 p b 2 m . q c 8m f 2 g 2 32m 12 n a 4 p b q c 0 8 8 Từ đó ta có phương trình: mx3 mx 2 2mx 8m 0 x 3 x 2 2 x 8 0 . 3 3 Sử dụng máy tính Casio ta được phương trình có 1 nghiệm và nghiệm đó khác 0 . Vậy tập nghiệm của phương trình f x g x có 2 phần tử. Câu 24.. (Sở Hà Tĩnh - 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp nghiệm của phương trình f f x 1 0 có bao nhiêu phần tử?. A. 4 .. B. 7 .. C. 6 .. D. 9 .. Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(755)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn. D.. f f Dựa vào đồ thị ta có f f x 1 0 f f x 1 f f . x a 2 x b 2; 1 . x 0 x c 2. x x1 2 + Với f x a 2 . x x2 2 x x3 2 x x4 2; 1 + Với f x b 2; 1 . x x 1;0 5 x x6 2. x x7 2 + Với f x 0 x x8 0;1 . x x 2;3 9 + Với f x c 2 vô nghiệm. Ta thấy hàm số y f x đơn điệu trên ; 2 , f x1 a b f x3 nên x1 x3 . Hàm số y f x đơn điệu trên 2; , f x6 b 0 f x9 nên x6 x9 . Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm phân biệt. Câu 25.. (THPT Nguyễn Đức Cảnh - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên. Phương trình f. . . 2 x x 2 3 có bao nhiêu nghiệm?. A. 1.. B. 2.. C. 3. Lời giải. D. 4.. Chọn B Trước hết, xét hàm số t t x 2 x x 2 , x 0;2 . Ta có t x . 2 2x 2 2 x x2. , x 0; 2 . t x 0 x 1 0;2 .. Bảng biến thiên của t x :. Facebook Nguyễn Vương 39.
<span class='text_page_counter'>(756)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 0 t 1 , x 0; 2 . Lúc này, phương trình f. . . 2 x x 2 3 trở thành f t 3 1 với t 0;1 .. Theo bảng biến thiên của hàm số f t trên đoạn 0;1 thì đường thẳng y 3 cắt đồ thị hàm số. y f t tại đúng 1 điểm có hoành độ thuộc khoảng 0;1 nên phương trình 2 có đúng 1 nghiệm t t0 với t0 0;1 .. Khi đó, phương trình 1 2x x 2 t0 2 , t0 0;1 . Mặt khác, theo bảng biến thiên của hàm số t x , với mỗi t0 0;1 thì đường thẳng y t0 cắt đồ thị hàm số y t x tại đúng 2 điểm phân biệt nên phương trình 2 có đúng 2 nghiệm phân biệt.. Vậy phương trình f Câu 26.. . . 2 x x 2 3 có đúng 2 nghiệm.. (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên.. Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(757)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Số nghiệm thực của phương trình f x3 3 x 1 là A. 10 .. B. 8 .. C. 9 . Lời giải. D. 7 .. Chọn C Xét phương trình f x 3 3 x 1 (1) Đặt t x3 3 x , ta có bảng biến thiên của hàm số t g x x3 3 x như sau:. Từ bảng biến thiên, ta thấy + Với mỗi t0 2 hoặc t0 2 , phương trình t0 x 3 3x có một nghiệm; + Với mỗi 2 t0 2 , phương trình t0 x 3 3x có 3 nghiệm. f t 1 Khi đó, (1) trở thành f t 1 f t 1. t t1 2;0 * TH 1: f t 1 t t2 0; 2 t t 2; 3 + Với t t1 2;0 Phương trình t1 x 3 3x có 3 nghiệm; + Với t t2 0; 2 Phương trình t2 x3 3x có 3 nghiệm; + Với t t3 2; Phương trình t3 x 3 3x có 1 nghiệm; t t4 ; 2 * TH 2: f t 1 t t5 2; + Với t t4 ; 2 Phương trình t4 x 3 3x có 1 nghiệm; + Với t t5 2; Phương trình t5 x 3 3x có 1 nghiệm. Mặt khác, các nghiệm này đều phân biệt. Vậy phương trình f x 3 3 x 1 có 9 nghiệm phân biệt. Facebook Nguyễn Vương 41.
<span class='text_page_counter'>(758)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 27.. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f x có đồ thị như hình bên. Phương trình f f cos x 1 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 0; 2 ?. A. 2 .. B. 5 .. D. 6 .. C. 4 . Lời giải. Chọn C. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:. f cos x 1 a 2; 1 f f cos x 1 0 f cos x 1 b 1;0 f cos x 1 c 1; 2 f cos x a 1 1;0 f cos x b 1 0;1 f cos x c 1 2;3 cos x 1 1 • Xét phương trình f cos x a 1 cos x 2 1;0 cos x 1 3 . 1 2 3. Vì cos x 1;1 nên phương trình 1 , 3 vô nghiệm và phương trình 2 có 2 nghiệm thuộc đoạn 0; 2 .. cos x 1 1 • Xét phương trình f cos x b 1 cos x 2 1;0 cos x 1 3 . 4 5 6. Vì cos x 1;1 nên phương trình 4 , 6 vô nghiệm và phương trình 5 có 2 nghiệm thuộc đoạn 0; 2 . Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(759)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. • Xét phương trình f cos x c 1 cos x t 2 (vô nghiệm) Nhận xét hai nghiệm của phương trình 5 không trùng với nghiệm nào của phương trình 2 nên phương trình f f cos x 1 0 có 4 nghiệm phận biệt. Câu 28.. 3 2 (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hàm số f x ax bx bx c có đồ thị. như hình vẽ:. Số nghiệm nằm trong ;3 của phương trình f cos x 1 cos x 1 là 2 A. 2 . B. 3. C. 5. D. 4. Lời giải Chọn C. Facebook Nguyễn Vương 43.
<span class='text_page_counter'>(760)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x a ; 0 Từ đồ thị ta có f x x x b 0;1 x 2 cos x 1 a ;0 cos x a 1 t1 ; 1 (VN ) Do đó f cos x 1 cos x 1 cos x 1 b 0;1 cos x b 1 t2 1; 0 (1) cos x 1 2 cos x 1 (2) Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình (1) có 3 nghiệm nằm trong ;3 . 2 Phương trình (2) có 2 nghiệm nằm trong ;3 . 2 Vậy phương trình ban đầu có tất cả 5 nghiệm nằm trong ;3 . 2 . Câu 29. (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hàm số f x liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:. Số nghiệm thuộc khoảng ;ln 2 của phương trình 2019 f 1 e x 2021 0 là A. 1.. C. 3 . Lời giải. B. 2 .. D. 4 .. Chọn B Đặt t 1 e x ; x ;ln 2 t 1;1 . Nhận xét: x ln 1 t với mỗi giá trị của t 1;1 ta được một giá trị của x ;ln 2 . Phương trình tương đương: f t . 2021 . 2019. Sử dụng bảng biến thiên của f x cho f t như sau:. Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(761)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2021 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f t có 2 nghiệm t1 , t2 1;1 . 2019 Vậy phương trình 2019 f 1 e x 2021 0 có 2 nghiệm x ;ln 2 . Câu 30.. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho y f x là hàm số đa thức bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi phương trình f f cos x 1 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 0;3 ?. A. 2 .. B. 4 .. C. 5 . Lời giải. D. 6 .. Chọn D. Đặt t cos x , với x 0;3 t 1;1 . Với t 1 , phương trình t cos x có hai nghiệm x 0;3 . Với t 1 , phương trình t cos x có hai nghiệm x 0;3 . Với 1 t 1, phương trình t cos x có ba nghiệm x 0;3 . Thay t cos x vào phương trình f f cos x 1 0 , ta được phương trình: f t 1 a 2; 1 f t a 1 1;0 1 f f t 1 0 f t 1 b 1;0 f t b 1 0;1 2 . f t 1 c 1; 2 f t c 1 2;3 3 Từ đồ thị ta có:. +) Phương trình (1) có 1 nghiệm t 1;0 , suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm. +) Phương trình (2) có 1 nghiệm t 1;0 , suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm. +) Phương trình (3) có 1 nghiệm t 1 , suy ra phương trình đã cho vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm. Facebook Nguyễn Vương 45.
<span class='text_page_counter'>(762)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 31.. (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ. Phương trình f 3x 1 2 5 có bao nhiêu nghiệm? B. 5 .. A. 3 .. D. 4 .. C. 6 . Lời giải. Chọn A f 3x 1 2 5 f 3x 1 7 1 Ta có f 3x 1 2 5 . f 3x 1 2 5 f 3x 1 3 2 Dựa vào bảng biến thiên, + Phương trình 1 có nghiệm duy nhất thỏa mãn 3x 1 a 3 x +. Phương. trình. 2. có. hai. nghiệm. phân. a 1 2 . 3 3. biệt. x1 , x2. 2 x1 3 3 x1 1 3 . 3 x2 1 b 1 x b 1 2 2 3 3 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. Câu 32.. (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:. sin x cos x 5 5 Số nghiệm thuộc đoạn ; của phương trình 3 f 7 0 là: 2 4 4 A. 6. B. 3. C. 5. D. 4. Lời giải Chọn C sin x cos x sin x 4 2 . Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương thỏa. mãn.
<span class='text_page_counter'>(763)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 3 5 5 x ; x ; sin x 1;1 4 2 4 4 4 sin x 4 a ( 1; 0) 7 sin x cos x 3f 7 0 f sin x 4 3 2 sin x b (0;1) 4 . sin x a (1; 0) có 2 nghiệm. 4 sin x b (0;1) có 3 nghiệm. 4 Vậy phương trình có 5 nghiệm. Câu 33.. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Đặt g x f f x . Tìm số nghiệm của phương trình g x 0 .. A. 8 .. B. 2 .. C. 4 . Lời giải. D. 6 .. Chọn A f x 0 f x 0 Ta có g '( x ) f x . f f x 0 . f x 0 f f x 0 f x m 1;3 . Phương trình f x 0 có 2 nghiệm Phương trình f x 0 có 3 nghiệm Phương trình f x m 1;3 có 3 nghiệm Vậy phương trình có 8 nghiệm. Câu 34.. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f x có bẳng biến thiên như hình vẽ.. 9 Số nghiệm thuộc đoạn 0; của phương trình f 2sin x 1 1 là 2 Facebook Nguyễn Vương 47.
<span class='text_page_counter'>(764)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 7 .. B. 5 .. D. 6 .. C. 4 . Lời giải. Chọn A sin x 1 (1) 2sin x 1 1 a 1 Ta có f 2sin x 1 1 2sin x 1 a 1;3 sin x 0;1 (2) 2 b 1 2sin x 1 b 3; sin x 1; (3) 2. 9 (1) có 2 nghiệm trong 0; . 2 9 (2) có 5 nghiệm trong 0; . 2 (3) vô nghiệm. 9 Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm trong 0; . 2 Câu 35.. (Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y f x ax3 bx 2 cx d a, b, c, d có đồ. . thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình f f A. 2.. B. 3.. . . f x f x 2 f x f 1 0 là. C. 1.. D. 0.. Lời giải Chọn B Đặt t . f x , t 0 .. Ta có: f f t t 2 2t f 1 0 (*). Xét t 0 : (*) f 0 f 1 0 (không thỏa). Xét t 0 : Ta có f t 0 và f t t 2 2t 0 Theo đồ thị, hàm f u đồng biến trên 0; . Do đó, (*) f f t t 2 2t f 1 f t t 2 2t 1. f t 1 t 2 2t f t g t (**)(với g t 1 t 2 2t , t 0 ). Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(765)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Vì hàm f t đồng biến và g t nghịch biến trên 0; nên phương trình (**) có nghiệm duy nhất t Theo đồ thị hàm f t , g t ta có 0;1 .. Khi đó, t f x 2 , 2 0;1 (***). Vì đồ thị hàm f x cắt đường thẳng y 2 tại 3 điểm phân biệt nên phương trình (***) có 3 nghiệm phân biệt. Câu 36.. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f f x 1 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?. A. 6 .. B. 5 .. C. 7 . Lời giải. D. 4 .. Chọn C x a 2; 1 Từ đồ thị của hàm số y f x suy ra f x 0 x b 1;0 x c 1;2 f x 1 a f x a 1 Suy ra f f x 1 0 f x 1 b f x b 1 f x 1 c f x c 1 . + Do a 2; 1 a 1 1;0 Phương trình f x a 1 có 3 nghiệm phân biệt. + Do b 1;0 b 1 0;1 Phương trình f x b 1 có 3 nghiệm phân biệt. + Do c 1;2 c 1 2;3 Phương trình f x c 1 có 1 nghiệm.. Facebook Nguyễn Vương 49.
<span class='text_page_counter'>(766)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Vậy phương trình f f x 1 0 có 3 3 1 7 nghiệm. Câu 37.. (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:. Số nghiệm của phương trình f x 2019 2020 2021 là A. 4 .. B. 6 .. C. 2 . Lời giải. D. 3 .. Chọn A Ta có : f x 2019 2020 2021 f x 2019 2020 2021 f x 2019 2020 2021 Từ bảng biến thiên suy ra:. f x 2019 1 . f x 2019 4041. +) Phương trình: f x 2019 1 có 3 nghiệm. +) Phương trình: f x 2019 4041 có 1 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Câu 38.. (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho hàm số y f x có đồ thị y f ' x như hình vẽ. Xét hàm số g x 2 f x 2 x 3 4 x 3m 6 5 với m là số thực. Để g x 0, x 5; 5 thì điều kiện của m là. Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(767)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2 f 5 4 5. 3 2 2 C. m f 0 2 5 . D. m f 3 3. A. m . . . B. m . 2 f 3. 5.. 5. Lời giải. Chọn D Ta có g x 0 2 f x 2 x 3 4 x 3m 6 5 . Đặt h x 2 f x 2 x3 4 x thì bất phương trình g x 0 h x 3m 6 5. . . h ' x 2 f ' x 2.3 x 2 4 2 f ' x 3 x 2 2 . Vẽ đồ thị hàm số y 3 x 2 2 trên cùng hệ trục tọa độ với hàm số y f ' x .. Facebook Nguyễn Vương 51.
<span class='text_page_counter'>(768)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta thấy f ' x 3x 2 2 x 5; 5 nên h ' x 0, x 5; 5 . Suy ra h x h. 5 , x . 5; 5 hay max h x h 5 ; 5 . 5 2 f 5 6. 5. Do đó h x 3m 6 5, x 5; 5 max h x 3m 6 5 5; 5 2f. Câu 39.. 5 6. 5 3m 6 5 m . 2 f 3. 5. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số. f x có đồ thị như hình vẽ. Đặt. g x f f x 1 . Số nghiệm của phương trình g x 0 là A. 6 .. B. 10 .. C. 9 . Lời giải. D. 8 .. Chọn C. Ta có g x f x . f f x 1 Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(769)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. f x 0 g x 0 f x . f f x 1 0 . f f x 1 0 x a1 a1 1;0 +) f x 0 x 1 x a2 a2 1; 2 . f x 1 a1 f x a1 1 0;1 1 +) f f x 1 0 f x 1 1 f x 2 2 f x 1 a f x a 1 2;3 3 2 2 Từ đồ thị suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b1 2; 1 ; b2 2;3 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt c1 2; b1 ; c2 b2 ;3 phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt d1 2; c1 ; d 2 c2 ;3 Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm phân biệt. Câu 40.. (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y f ( x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. 7 Số nghiệm thuộc đoạn 0; của phương trình f ( f (cos x)) 0 là 2 . A. 7 .. B. 5 .. C. 8 .. D. 6 .. Lời giải Chọn B Đặt f (cos x) t ta được phương trình f (t ) 0 . t t1 ( 2; 1) Quan sát đồ thị y f ( x) ta suy ra f (t ) 0 t t2 (0;1) . t t 3 (1; 2) * Với t t1 ta có f (cos x ) t1 . Xét tương giao giữa hai đồ thị. y f ( x). và. y t1 2; 1 f (cos x) t1 cos x x1 1 nên phương trình vô nghiệm. Facebook Nguyễn Vương 53.
<span class='text_page_counter'>(770)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. * Với. t t2. ta có. f (cos x) t2 . Xét tương giao giữa hai đồ thị. y f ( x). và. cos x x2 1 y t2 0;1 f (cos x ) t2 cos x x3 (0;1) . cos x x4 (1; 2). 7 Chỉ có cos x x3 thỏa mãn. Khi đó tồn tại 3 giá trị x 0; tương ứng để cos x x3 . 2 cos x x5 1 * Với t t3 tương tự ta có cos x x6 ( 1; 0). cos x x7 1 7 Chỉ có cos x x6 thỏa mãn. Khi đó tồn tại 2 giá trị x 0; tương ứng để cos x x6 . 2 7 Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn 0; . 2 . Câu 41.. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y f x có đồ thị nhưu hình vẽ bên. Tìm số nghiệm thuộc đoạn 2017 ; 2020 của phương trình 3 f 2 cos x 8 .. A. 8 .. B. 3 .. C. 4 . Lời giải. D. 6 .. Chọn D Đặt t 2 cos x , ta có bảng biến thiên của t như sau. 8 Khi đó 3 f 2 cos x 8 f t . 3 8 Vẽ thêm đường thẳng y trên đồ thị y f x đã cho. 3. Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(771)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Xét trên đoạn 2; 2 , đường thẳng y . 8 cắt đồ thị hàm số f t tại hai điểm t1 2; 1 và 3. t 2 1; 2 .. Từ bảng biến thiên của t , ứng với giá tị t1 , ta tìm được 3 nghiệm x thỏa 2 cos x t1 , tươngtự, ta cũng tìm được 3 nghiệm x thỏa 2 cos x t2 . Vậy phương trình 3 f 2 cos x 8 có 6 nghiệm x thuộc đoạn 2017 ; 2020 -------------------- HẾT --------------------. Facebook Nguyễn Vương 55.
<span class='text_page_counter'>(772)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ. Chuyên đề 8. DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI 9-10 ĐIỂM Dạng 3. Biện luận tương giao hàm hợp, hàm ẩn chứa THAM SỐ Câu 1.. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f sin x m có nghiệm thuộc khoảng. 0; . là. B. 1;1. A. 1;3. C. 1;3 . D. 1;1. Lời giải Chọn B Đặt t sin x x 0; t 0;1 Vậy phương trình trở thành f t m . Dựa và đồ thị hàm số suy ra m 1;1 . Câu 2.. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ:. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 6 f x 2 4 x m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng 0; ? A. 25.. B. 30.. C. 29. Lời giải. D. 24.. Chọn B Ta đặt: g x f x 2 4 x . g x 2x 4 f x2 4x 2 x 2 x 2 4 x 4 x 2 4 x 2 x 2 4 x (dựa vào bảng biến thiên) 3. 2 x 2 x2 4x 2 x x 4 . Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(773)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Mặt khác: g 0 f 0 3 ;. . . . g 2 2 g 2 2 f 2 2 ;. g 2 f 4 2 ; g 4 f 0 3 . Ta có bảng biến thiên:. Từ bảng biến thiên ta được: yêu cầu bài toán tương đương 3 . m 2 6. 18 m 12 . Vậy có tất cả 30 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.. Câu 3.. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 f x 2 4 x m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng 0; ? A. 15 .. B. 12 .. C. 14 . Lời giải. D. 13 .. Chọn A Đặt u x 2 4 x (1) Ta có BBT sau:. Ta thấy: Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(774)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. u 4 , phương trình (1) vô nghiệm. u 4 , phương trình (1) có một nghiệm x 2 0 . 4 u 0 , phương trình (1) có hai nghiệm x 0 . u 0 , phương trình (1) có một nghiệm x 0 m Khi đó 3 f x 2 4 x m f u (2), ta thấy: 3 m + Nếu 3 m 9 , phương trình (2) có một nghiệm u 0 nên phương trình đã cho có một 3 nghiệm x 0 . m + Nếu 3 2 9 m 6 , phương trình (2) có một nghiệm u 0 và một nghiệm 3 u 2; 0 nên phương trình đã cho có ba ngiệm x 0 . + Với + Với + Với + Vơi. m 2 m 6 , phương trình (2) có một nghiệm u 4 , một nghiệm u 2;0 và 3 một nghiệm u 0 nên phương trình đã cho có bốn nghiệm x 0 . m + Nếu 2 2 6 m 6 , phương trình (2) có một nghiệm u 4 , hai nghiệm u 4;0 3 và một nghiệm u 0 nên phương trình đã cho có năm nghiệm x 0 . m + Nếu 2 m 6 , phương trình (2) có một nghiệm u 4 , một nghiệm u 2 và một 3 nghiệm u 0 nên phương trình đã cho có ba nghiệm x 0 . m + Nếu 2 m 6 , phương trình (2) có một nghiệm u 4 và một nghiệm u 0 nên phương 3 trình đã cho có một nghiệm x 0 . Vậy 9 m 6 có 15 giá trị m nguyên thỏa ycbt.. + Nếu. Câu 4.. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 5 f x 2 4 x m có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng 0; A. 24 .. B. 21 .. C. 25 .. D. 20 .. Lời giải Chọn C. 2 Đặt t x 4 x . Ta có t 2 x 4 0 x 2 Bảng biến thiên. Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(775)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Với t x 2 4 x .. m 2 15 m 10 . Vì 5 m 14; 13;....;10 . Do đó có 25 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.. Dựa. Câu 5.. vào. bảng. biến. thiên. ta. có. 3 . m. nguyên. nên. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 f x 2 4 x m có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng 0; ? A. 16 .. B. 19 .. C. 20 . Lời giải. D. 17 .. Chọn C Ta có 4 f x 2 4 x m f x 2 4 x . m 4. Đặt t x 2 4 x t 2 x 4 0 x 2. Vì x 0; t 4. m 4 Phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng 0; Ta có f t . m 2 12 m 8 mà m nguyên nên m 11; 10;...;0;1;...;8 4 Vậy có 20 giá trị nguyên của m thỏa mãn. 3 . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(776)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Câu 6.. (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình sau.. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 f sin x 2 . 2sin 3 x 5cos 2 x sin x m nghiệm đúng với mọi x ; . 3 4 2 2. 11 . 12 19 C. m 2 f 1 . 12 A. m 2 f 3 . 19 . 12 11 D. m 2 f 3 . 12 B. m 2 f 1 . Lời giải Chọn C Ta có. 2sin 3 x 5cos 2 x sin x m 3 4 3 5 1 2sin 2 x 2sin x m 2 f sin x 2 sin x 3 4 Đặt t sin x 2 (với x ; thì t 3; 1 , khi đó bất phương trình được viết lại thành: 2 2 2 f sin x 2 . 2 3 5 1 2 t 2 2 t 2 . m 2 f t t 2 3 4 2 3 65 hay m 2 f t t 3 t 2 3t * . 3 2 12 2 3 65 Xét hàm số g t 2 f t t 3 t 2 3t trên đoạn 3; 1 . 3 2 12 3 3 Ta có g t 2 f t 2t 2 3t 3 . Do đó g t 0 f t t 2 t . 2 2. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(777)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 3 3 Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y f t và parabol y t 2 t trên đoạn 3; 1 2 2 thì g t 0 t 3; 1 .. Suy ra bảng biến thiên của hàm số g t trên đoạn 3; 1 như sau:. Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ; khi và chỉ khi bất phương trình * 2 2 19 nghiệm đúng với mọi t 3; 1 . Điều đó tương đương với m g 1 2 f 1 dựa vào 12 tính liên tục của hàm số g t .. Câu 7.. (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số y f ( x) ax 3 bx 2 cx d có đồ thị như hình dưới đây. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 5;5 để phương trình f 2 ( x ) ( m 4) f ( x ) 2 m 4 0 có 6 nghiệm phân biệt. A. 2 .. B. 4 .. C. 3 . Lời giải. D. 5 .. Chọn C 2. Ta có: f 2 ( x) ( m 4) f ( x) 2m 4 0 f ( x) m f ( x) 4 f ( x) 2m 4 0 2. f ( x) 2 m f ( x) 2 0 f ( x) 2 f ( x) 2 m 0 Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(778)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. f ( x) 2 0 f ( x) 2 1 f ( x) 2 m 0 f ( x) m 2 2 . Dựa vào đồ thị hàm số y f ( x) ax3 bx 2 cx d ta có đồ thị hàm số y f ( x ) như sau:. Dựa vào đồ thị hàm số y f ( x) suy ra phương trình 1 có 4 nghiệm phân biệt. Suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt 2 có 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của phương trình 1 . Ta có phương trình 2 là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y f ( x ) và y m 2 . Số nghiệm phương trình 2 là số giao điểm của 2 đồ thị hàm số y f ( x) và y m 2 . Dựa vào hình vẽ đồ thị hàm số y f ( x) ta được phương trình f ( x) m 2 có 2. m 2 0 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của phương trình f ( x) 2 m 2 4 m 2 2 Do m và m 5;5 m 2;3; 4 .. m 2 m 2 . Vậy có 3 giá trị nguyên m 5;5 thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 8.. (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số y f x , hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình f x x 2 2 x m (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x 1; 2 khi và chỉ khi. A. m f 2 2 .. B. m f 1 1 .. C. m f 1 1.. D. m f 2 .. Lời giải Chọn D. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(779)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Ta có: f x x 2 2 x m x 1; 2 f x x 2 2 x m x 1; 2 * . Gọi g x f x x 2 2 x g x f x 2x 2 Theo đồ thị ta thấy f x 2 x 2 x 1; 2 g x 0 x 1; 2 . Vậy hàm số y g x liên tục và nghịch biến trên 1; 2 Do đó * m min g x g 2 f 2 . 1;2. Câu 9.. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1; 4 và có đồ thị như hình vẽ.. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn 10;10 để bất phương trình f x m 2 m đúng với mọi x thuộc đoạn 1; 4 . A. 6 .. B. 5 .. C. 7 . Lời giải. D. 8 .. Chọn C Để bất phương trình f x m 2 m có nghiệm ta suy ra điều kiện m 0 . f x 3m . f x m 2 m 2m f x m 2 m f x m f x 3m Bất phương trình f x m 2 m đúng với mọi x thuộc đoạn 1; 4 đúng f x m Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(780)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 3m min f x 1;4 với mọi x thuộc đoạn 1; 4 . f x m max 1;4 . Từ đồ thị hàm số y f x ta suy ra min f x 2; max f x 3 . 1;4. 1;4. 2 3m min f x 1;4 3m 2 m 3 m 3 (thỏa mãn điều kiện m 0 ) m3 f x m max 1;4 m 3. Vậy trên đoạn 10;10 có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 10.. (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ. Cho bất phương trình 3 f x x 3 3x m ( m là tham số thực). Điều kiện cần và đủ để bất phương trình. . 3 f x x 3 3x m đúng với mọi x 3; 3 là . A. m 3 f 1 .. . . B. m 3 f 3 .. C. m 3 f 0 .. D. m 3 f. 3 .. Lời giải Chọn D Ta có 3 f x x 3 3x m 3 f x x 3 3x m Đặt g x 3 f x x3 3x . Tính g ' x 3 f ' x 3x 2 3 Có g ' x 0 f ' x x 2 1 Nghiệm của phương trình g ' x 0 là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f ' x và parabol y x 2 1. x 3 Dựa vào đồ thị hàm số ta có: f ' x x 1 x 0 x 3 BBT 2. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(781)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x. . 0. g' x. . g 3. . g x. 1. 3. . 0. 3 0. . g. 3. Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 3; 3 thì m min g x g 3; 3 Câu 11.. 3 3 f 3 .. (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m để phương trình. f sin x m 2 2sin x có nghiệm thuộc khoảng 0; . Tổng các phần tử của S bằng. A. 4 .. B. 1 .. C. 3 . Lời giải. D. 2 .. Chọn D. Đặt t sin x , với x 0; t 0;1 . Ta được phương trình: f t 2t m 2 f t 2t m 2 (1) Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f t và đường thẳng. y 2t m 2. r .. Gọi p : y 2 x 1 song song với đường thẳng : y 2t và đi qua điểm A 0;1 . Gọi q : y 2 x 3 song song với đường thẳng : y 2t và đi qua điểm B 1; 1 .. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(782)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Để phương trình f sin x m 2 2sin x có nghiệm thuộc khoảng 0; thì phương trình (1) phải có nghiệm t 0;1 , suy ra đường thẳng r nằm trong miền nằm giữa hai đường thẳng q và p ( có thể trùng lên q và bỏ p ). 3 m 2 1 1 m 3 m 1;0;1;2 S 1;0;1; 2 . Do đó tổng các phần tử là: 1 0 1 2 2 . Câu 12.. (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số f x x3 x 2 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f. . 3. . f 3 x f x m x3 x 2 có nghiệm. x 1;2 ? A. 1750 .. B. 1748 .. C. 1747 . Lời giải. D. 1746 .. Chọn A Xét hàm số f (t ) t 3 t 2 , ta có f (t ) 3t 2 1 0, t . Do đó hàm số f đồng biến trên . Ta có f x . 3. 3. . f 3 ( x) f ( x) m f ( x ) f 3 ( x) f ( x) m f 3 ( x) f ( x) x3 m 0. (1). Xét h( x) f 3 ( x) f ( x) x3 m trên đoạn [ 1; 2] . Ta có h( x ) 3 f ( x ) f 2 ( x ) f ( x ) 3 x 2 f ( x ) 3 f 2 ( x ) 1 3 x 2 . Ta có f ( x) 3 x 2 1 0, x [1; 2] h( x) 0, x [1; 2] . Hàm số h( x) đồng biến trên [ 1; 2] nên min h( x) h(1) m 1, max h( x) h(2) m 1748. [ 1;2]. [ 1;2]. Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi min h x max h x 0 h 1 h 2 [ 1;2]. [ 1;2]. . m 11748 m 0. 1748 m 1. Do m nguyên nên tập các giá trị m thỏa mãn là S {1748; 1747;; 0;1} .. Vậy có tất cả 1750 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 13.. (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số f ( x) liên tục trên 2; 4 và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x 2 x 2 2 x m. f ( x) có nghiệm thuộc đoạn 2; 4 ?. A. 6 .. B. 5 .. C. 4 . Lời giải. D. 3 .. Chọn C Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(783)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dựa vào bảng biến thiên ta có Min f x f (4) 2 và Max f x f (2) 4 2;4. 2;4. Hàm số g ( x) x 2 x 2 2 x liên tục và đồng biến trên 2; 4 Suy ra Min g x g (2) 2 và Max g x g (4) 4 4 2 2;4. 2;4. 2 Ta có x 2 x 2 x m. f ( x) . Xét hàm số h( x) . x 2 x2 2 x g ( x) m m f ( x) f ( x). g ( x) liên tục trên 2; 4 f ( x). Vì g x nhỏ nhất và f x lớn nhất đồng thời xảy ra tại x 2 nên. Min g x Min h( x) 2;4. 2;4. Max f x . . 2;4. g 2 1 h(2) f 2 2. Vì g x lớn nhất và f x nhỏ nhất đồng thời xảy ra tại x 4 nên. Max g x Max h( x) 2;4. 2;4. Min f x 2;4. . g 4 h(4) 2 2 2 f 4. Từ đó suy ra phương trình h( x) m có nghiệm khi và chỉ khi. 1 m 2 2 2 . 2. Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm. Câu 14.. (Chuyên Sơn La - 2020) Cho hàm số f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 cos x m 2019 f cos x m 2020 0 có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0;2 là. A. 1 .. B. 3 .. C. 2 . Lời giải. D. 5 .. Chọn C. . . f cos x 1 Ta có f 2 cos x m 2019 f cos x m 2020 0 (1) f cos x 2020 m * Với f cos x 1. . . . . cos x 0 x k Dựa vào đồ thị ta có f cos x 1 2 cos x x1 x1 1 (VN ). Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(784)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 3 Vì x 0;2 x ; 2 2 . * Với f cos x 2020 m Đặt t cos x t 1;1 Với t 1;1 thì phương trình t cos x có hai nghiệm phân biệt thuộc 0; 2 . Với t 1 thì phương trình t cos x có một nghiệm thuộc 0; 2 Phương trình trở thành f t 2020 m Để phương trình (1) có tất cả 6 nghiệm phân biệt thì phương trình f cos x 2020 m có 4 nghiệm phân biệt, hay phương trình f t 2020 m có hai nghiệm t 1;1. Dựa vào đồ thị ta có để phương trình. f t 2020 m có hai nghiệm t 1;1 thì. 1 2020 m 1 2019 m 2021 Vì m nguyên nên m 2019; 2020 Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 15.. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y f ( x ) . Hàm số y f ( x) có đồ thị như hình bên. 1 Biết f 1 1; f 2 . Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình e 1 f x ln x m nghiệm đúng với mọi x 1; . e . Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(785)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. m 2 .. B. m 3 .. C. m 2 . Lời giải. D. m 3 .. Chọn B Ta có f x ln x m m f x ln x . 1 Xét hàm số g x f x ln x trên 1; . e 1 Có g x f x . x 1 1 1 Trên 1; có f x 0 và 0 nên g x 0, x 1; x e e 1 hàm số g x đồng biến trên 1; . e 1 Vậy nên f x ln x m nghiệm đúng với mọi x 1; e 1 m g x , x 1; e 1 m g e m 3.. Câu 16.. (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên thỏa mãn f 1 5, f 3 0 và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:. Số giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 3 f 2 x x 2 4 x m có nghiệm trong khoảng 3;5 là A. 16 .. B. 17 .. C. 0 . Lời giải. D. 15 .. Chọn D Đặt g x 3 f 2 x x 2 4 x với x 3;5 . Ta có: g x 3 f 2 x . x x2 4. 1.. Với x 3;5 : Ta có: 2 x 3; 1 nên f 2 x 0 suy ra 3 f 2 x 0 . Ta có:. x 2. x 4. . x 1 x. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(786)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Suy ra g x 3 f 2 x . x x2 4. 1 0, x 3;5 nên hàm số nghịch biến trên 3;5 .. Suy ra min g x g 5 3 f 3 52 4 5 29 5 ; 3;5 . max g x g 3 3 f 1 32 4 3 12 13 . 3;5 . Để phương trình 3 f 2 x x 2 4 x m có nghiệm thì. 29 5 m 12 13 mà m. nguyên dương nên m 1, 2,...,15 tức là có 15 giá trị Câu 17.. 1 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên và thỏa mãn f 1 1, f 2 . e Hàm số f x có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình f x ln x x 2 m nghiệm đúng với 1 mọi x 1; khi và chỉ khi e . A. m 0 .. B. m 3 . 1 . e2. C. m 3 . 1 . e2. D. m 0 .. Lời giải Chọn C Điều kiện: x 0 x 0 Bất phương trình đã cho tương đương với f x ln x x 2 m (*). 1 Xét hàm số g x f x ln x x 2 trên 1; . e 1 1 1 Ta có g x f x 2 x . Với x 1; thì f x 0; 2 x 0 nên g x 0 . x x e . 1 Do đó hàm số g x đồng biến trên 1; . e 1 1 1 1 1 1 Suy ra (*) nghiệm đúng với mọi x 1; khi và chỉ khi m g f ln 2 3 2 . e e e e e e. Câu 18.. (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.. Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(787)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f f cos x m có nghiệm thuộc 3 khoảng ; 2 2 A. 2.. ? . B. 4.. C. 5. Lời giải.. D. 3.. Chọn B 3 Khi x ; thì cos x 1;0 . 2 2 . Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta thấy khi cos x 1;0 thì f cos x 1;1 ; khi đó. f f cos x 1;3 . 3 Do đó phương trình f f cos x m có nghiệm thuộc khoảng ; khi và chỉ khi 2 2 1 m 3 . Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.. Câu 19.. (Sở Ninh Bình) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ.. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 sin x f m 2 6m 10 có nghiệm? A. 2.. B. 3.. C. 4. Lời giải.. D. 1.. Chọn B Từ đồ thị suy ra hàm số y f x đồng biến trên nửa khoảng 0; . Do 2 sin x 0; m2 6m 10 0 nên f 2 sin x f m 2 6m 10 2 sin x m 2 6m 10 . Mà 0 2 sin x 2 nên yêu cầu bài toán tương đương. 0 m2 6m 10 2 m2 6m 8 0 4 m 2 . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(788)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Vậy có 3 số nguyên m thỏa mãn. Câu 20.. (Sở Yên Bái - 2020) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Có tất cả bao nhiêu. . . giá trị nguyên của tham số m để phương trình f x3 3x 2 m 3 0 có nghiệm thuộc đoạn. 1; 2 .. A. 7 .. B. 8 .. C. 10 . Lời giải. D. 5 .. Chọn B Từ hình vẽ, ta suy ra được hình vẽ là đồ thị của hàm số y x 3 3 x 2 1 .. x3 3x 2 m 1 x3 3x 2 1 m f x3 3x2 m 3 0 f x3 3x2 m 3 3 3 2 2 x 3x m 2 x 3x 1 m 3 3 m 1 1 m 3 Để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn 1; 2 thì . 3 m 3 1 2 m 6 m 1; 6 .. Do m nên có 8 giá trị m để phương trình đã cho có nghiệm. Câu 21.. (Sở Yên Bái - 2020) Cho hàm số y f (x ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Số các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình. 16.8 f (x ) (m 2 5m ).4 f (x ) ((4 f 2 (x )).16f (x ) nghiệm đúng với mọi số thực x là A. 3. B. 5. C. 1. D. 4. Lời giải Chọn D 16.8 f ( x ) (m 2 5m).4 f ( x ) ((4 f 2 ( x)).16 f ( x ) m 2 5m 16.2 f ( x ) (4 f 2 ( x)).4 f ( x ). Vì. nên ta có 16.2 f (x ) (4 f 2 (x )).4 f (x ) 16.2 2 0 4 x m 2 5m 4 m 2 5m 4 0 1 m 4. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(789)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Câu 22.. (Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y f x , hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình m e x f x có nghiệm với mọi x 1;1 khi và chỉ khi.. 1 A. m min f 1 e; f 1 . e . B. m f 0 1 .. 1 C. m min f 1 e; f 1 . e . D. m f 0 1 . Lời giải. Chọn A Ta có: m e x f x m f x e x Xét hàm số g x f x e x với x 1;1. g x f x ex ; g x 0 f x ex 0 f x ex Dễ thấy với x 1;1 ; f 0 1; e0 1 x 0 là nghiệm của phương trình f x e x hơn nữa là nghiệm duy nhất (Minh họa bằng hình vẽ). Dựa vào vị trí đồ thị hình vẽ trên ta có bảng biến thiên. Qua bảng biến thiên và chỉ xét trong khoảng 1;1. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(790)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 m g x m min g 1 ; g 1 m min f 1 e; f 1 . e Câu 23.. (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho hàm số f x là hàm số đa thức bậc bốn. Biết f 0 0 và đồ thị hàm số y f x có hình vẽ bên dưới.. Tập nghiệm của phương trình f 2 sin x 1 1 m (với m là tham số) trên đoạn 0;3 có tất cả bao nhiêu phần tử? A. 8 .. B. 20 .. C. 12 .. D. 16 .. Lời giải Chọn D Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị x 0 và x 2 nên có dạng f x ax 3 bx 2 cx d . d 2 a 1 c 0 b 3 Lần lượt thay thế các dữ kiện từ hình vẽ, ta được . 2 3 a 2 2 b 2 0 c 0 a 3 b d 2 d 2. Suy ra f x x 3 3x 2 2 f x . Mà f 0 0 C 0 f x . x4 x3 2 x C . 4. x4 x3 2 x . 4. x 1 Ta có f x 0 x 1 3 . x 1 3 Suy ra bảng biến thiên Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(791)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Từ đó ta có bảng biến thiên của f x 1. Vì 1 sin x 1, x 0;3 nên 0 2sin x 1 3 . Đặt t 2sin x 1 , t 0;3 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình f t 1 m có tối đa 2 nghiệm t h , t k . h 1 sin x 2 2sin x 1 h Do đó . 2sin x 1 k sin x k 1 2. Trên 0;3 , mỗi phương trình có nhiều nhất 4 nghiệm, do đó phương trình đã cho có nhiều nhất. 16 nghiệm. Câu 24.. (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số y f x . Hàm số y f ' x có bảng biến thiên như hình vẽ:. Bất phương trình e A. m f 4 e2 .. x. m f x có nghiệm x 4;16 khi và chỉ khi: B. m f 4 e2 .. C. m f 16 e2 .. D. m f 16 e 2 .. Lời giải Chọn B Từ BBT suy ra f ' x 0, x 4;16 . Ta có: e. x. m f x m e. x. f x (*) .. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(792)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Đặt g x e. x. f x , x 4;16 g ' x . e. x. 2 x. f ' x 0, x 4;16. Bảng biến thiên:. (*) thỏa mãn khi m min g x f 4 e2 . 4;16. Câu 25.. (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số đa thức bậc bốn y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ dưới đây đường đậm hơn là đồ thị hàm số y f x . Biết rằng hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ là 3 và cắt nhau tại hai điểm nữa có hoành độ lần lượt là 1 và 3 . Tìm tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để bất phương trình f x g x m nghiệm đúng với mọi x 3;3 .. 12 10 3 A. ; . 9 . 12 8 3 ; . B. 9 . 12 10 3 12 8 3 C. ; . D. ; . 9 9 Lời giải. Chọn D Xét hàm số h x f x g x . Vì đồ thị hàm số f x tiếp xúc với đồ thị hàm số g x tại điểm có hoành độ 3 và cắt nhau tại hai điểm nữa có hoành độ lần lượt là 1 và 3 suy ra 2. h x f x g x a x 3 x 1 x 3 . Nhận xét từ đồ thị khi x thì phần đồ thị f x nằm dười g x nên a 0 . Mặt khác ta có h 0 27 a 2 1 1 a Xét hàm y h x . 1 27. 1 1 2 x 3 x 1 x 3 x 4 4 x3 6 x 2 36 x 27 . 27 27 Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(793)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 1 1 4 x3 12 x 2 12 x 36 x 3 4 x 2 12 . 27 27 x 3 Suy ra y 0 x 3 . x 3 Bảng biến thiên. Ta có y h x . x. - 3. -3 +. h'(x). 0. -. 0. 3 +. 0. 3 -. 12+8 3) 9. h(x) 0. 0. -∞. 12-8 3. -∞. 9. Vây tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để bất phương trình f x g x m f x g x m nghiệm đúng với mọi x 3;3 là m . Câu 26.. 12 8 3 . 9. (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số f x x 5 3 x 3 4m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f A. 18 .. B. 17 .. . 3. . f x m x3 m có nghiệm thuộc đoạn 1; 2 ?. C. 15 . Lời giải. D. 16 .. Chọn D Xét phương trình f. . 3. . f x m x 3 m (1). 3 f t x m Đặt t f x m . Ta có f t t 3 f x x 3 (2) 3 f x t m Xét hàm số g u f u u 3 g u f u 3u 2 5u 4 12u 2 0, u . 3. Khi đó (2) g t g x t x . 3. f x m x x 3 f x m x5 2 x3 3m. Xét hàm số h x x5 2 x 3 h x 5 x 4 6 x 2 0, x Ta có bảng biến thiên của hàm số h x :. Từ bảng biến thiên suy ra để (1) có nghiệm thuộc đoạn 1; 2 3 3m 48 1 m 16 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(794)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Mà m m 1; 2;3;...;16 suy ra có 16 giá trị của m thỏa mãn bài toán. Câu 27.. (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hàm số f x liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ.. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 cos x 3 m f cos x 2m 10 0 có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; là 3 A. 5 . B. 6 . C. 7 . Lời giải Chọn B. D. 4 .. 2. Xét f 2 cos x 3 m f cos x 2m 10 0 . Ta có m 7 . f cos x m 5 (1) Do đó . (2) f cos x 2 cos x a 1 1 Với f cos x 2 cos x . 2 cos x 1 Trường hợp này được 3 nghiệm trong ; . 3 Để phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; thì (1) có đúng 1 3 1 nghiệm trong ; và không trùng với nghiệm của các phương trình cos x ;cos x 1 2 3 1 f t m 5 với t cos x có đúng 1 nghiệm trong 1; 4 m 5 2 1 m 7 . 2 Do m nguyên nên có 6 giá trị của m thỏa mãn.. Câu 28.. (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình. y f sin x 3sin x m có nghiệm thuộc khoảng 0; . Tổng các phần tử của S bằng. A. 5 .. B. 8 .. C. 6 .. D. 10 .. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(795)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Lời giải Chọn D. Đặt t sin x , x 0; t 0;1 . Phương trình f sin x 3sin x m có nghiệm thuộc khoảng 0; khi và chỉ khi phương trình. f t 3t m có nghiệm thuộc 0;1 khi và chỉ khi đồ thị hàm số y f x và đường thẳng d : y 3 x m có điểm chung với hoành độ x 0;1 .. 1 : y 3x 4 là đường thẳng qua điểm 1; 1 và 2 : y 3x 1 là đường thẳng qua điểm 0;1 Đồ thị hàm số y f x trên 0;1 là phần đường cong nằm giữa hai đường thẳng 1 và 2 . Vậy phương trình f t 3t m có nghiệm thuộc nửa khoảng 0;1 khi và chỉ khi d dao động trong miền giới hạn bởi 1 và 2 (không trùng với 2 ) khi và chỉ khi 4 m 1 m 4; 3; 2; 1;0 . Vậy tổng các giá trị của S bằng 10 . Câu 29.. (NK HCM-2019) Cho. f x. là một hàm số liên tục trên đoạn. 2;9 ,. f 1 f 2 f 9 3 và f x có bảng biến thiên như sau:. Tìm m để phương trình f x f m có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn 2;9 . A. m 2;9 \ 1; 2 6 . C. m 2;9 \ 6 .. B. m 2;9 \ 1;2 6 .. D. m 2;9 \ 2;6 . Lời giải. Chọn A Phương trình f x f m có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn 2;9 khi 4 f m 3. Trên 2;0 , hàm số f x đồng biến và f 1 3 nên 4 f m 3 2 m 1. Trên 0;6 , hàm số f x nghịch biến và f 2 3 nên 4 f m 3 6 m 2. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương biết.
<span class='text_page_counter'>(796)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Trên 6;9 , hàm số f x đồng biến và f 9 3 nên 4 f m 3 6 m 9. Vậy điều kiện của m là: m 2; 1 2;6 6;9 m 2;9 \ 1; 2 6 . Câu 30.. (Chuyên Đại học Vinh 2019) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f x 3 3 x m có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;2 ? A. 3 .. C. 6 .. B. 2 .. D. 7 .. Lời giải Chọn B Đặt t g x x3 3x, x 1; 2. x 1 g x 3x 2 3 0 x 1 Bảng biến thiên của hàm số g x trên 1;2. Suy ra với t 2 , có 1 giá trị của x thuộc đoạn 1; 2 .. t 2; 2 , có 2 giá trị của x thuộc đoạn 1; 2 . Phương trình f x 3 3 x m có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;2 khi và chỉ khi phương trình f t m có 3 nghiệm phân biệt thuộc 2; 2 . (1) Dựa vào đồ thị hàm số y f x và m nguyên ta có hai giá trị của m thỏa mãn điều kiện (1) là: m 0, m 1.. Câu 31.. (Hội 8 trường chuyên ĐBSH 2019) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới.. Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(797)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Số giá trị nguyên dương của m để phương trình f x 2 4 x 5 1 m có nghiệm là B. 4 .. A. Vô số.. C. 0 . Lời giải. D. 3 .. Chọn D 2. Đặt t x 2 4 x 5 . Ta có t x 2 1 1 . Phương trình f x 2 4 x 5 1 m 1 trở thành phương trình f t m 1 2 . Sử dụng các nhận xét ở trên và đồ thị của hàm số y f x ta có. 1. có nghiệm 2 có nghiệm thuộc 1; . m 1 2 m 3. Vậy tập hợp các giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán là 1; 2;3 . Câu 32. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới. Có bao nhiêu giá. . . 2 trị nguyên của m để phương trình 2 f 3 4 6 x 9 x m 3 có nghiệm. B. 12 .. A. 13 .. C. 8 .. D. 10 .. Lời giải Chọn A Điều kiện: 6 x 9 x 2 0 0 x Đặt t 3 4 6 x 9 x 2 ; 0 x Ta có: t x . 12 3 x 1 6x 9x. 2. 2 3. 2 3. ; 0 x. 1 2 ; t x 0 t ( nhận ). 3 3. Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(798)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 1 2 t 0 3; t 1; t 3. 3 3 Nên 1 t 3 .. m3 , t 1;3 có nghiệm. 2 m 3 1 7 m 5 . Từ đồ thị ta có 5 2 Do m nguyên nên có 13 giá trị m là 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 . Mặt khác: f t . Câu 33.. (Chuyên Bắc Giang 2019) hàm số y f x có bảng biến thiên. Tìm m để phương trình f 2 2 x 2 f 2 x m 1 0 có nghiệm trên ;1 A. 1; .. B. 2; .. C. 2; .. D. 1; .. Lời giải Chọn B Ta có: f 2 2 x 2 f 2 x m 1 0 f 2 2 x 2 f 2 x 1 m 1 . Đặt t f x , với x ;1 thì 2 x ; 2 , ki đó t f 2 x 0; . Phương trình 1 trở thành: t 2 2t 1 m 2 .. 1. có nghiệm trên ;1 tương ứng khi và chỉ khi 2 có nghiệm trên 0; .. Xét g t t 2 2t 1, t 0; , có g t 2t 2, g t 0 t 1 . Bảng biến thiên của g t :. Từ bảng biến thiên suy ra phương trình 2 có nghiệm t 0; khi và chỉ khi m 2 . Câu 34.. (Sở Hà Nam - 2019) Cho hàm số f x x 2 4 x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số. m để phương trình f 2 x m 6 f x m 5 0 có 6 nghiệm thực phân biệt? A. 1 .. B. 2 .. C. 4 .. D. 3 .. Lời giải Chọn D Hàm số f x x 2 4 x 3 có bảng biến thiên Facebook Nguyễn Vương 27.
<span class='text_page_counter'>(799)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x. 0. -∞ +∞. f(x). 2. +∞ +∞. 3 -1. Hàm số y f x có bảng biến thiên x. -2. -∞. f(x). 0. +∞. 2. +∞. 3. +∞. -1. -1. Đặt t f x 1* Nhận xét: x + với t0 1 *. 2 nghiệm + với t0 1; t0 3 *. 3 nghiệm + với t0 3 *. + với t0 1;3 4 nghiệm *. t 1 Phương trình trở thành t 2 m 6 t m 5 0 t m 5 m m 5;6;7 . Yêu cầu bài toán suy ra 1 m 5 3 4 m 8 . 3 2 Câu 35. Cho hàm số f x ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị của m m sao cho. x 1 m3 f 2 x 1 mf x f x 1 0, x . Số phần tử của tập S là A. 0. B. 3.. D. 1.. C. 2 Lời giải. Chọn C Từ đồ thị ta thấy f x =1. Đặt g x m3 f 2 x 1 mf x f x 1 .. x 1 m3 f 2 x 1 mf x f x 1 0, x * Từ. giả. thiết. ta. có. điều. kiện. cần. m 0 là g 1 0 m3 f 1 mf 1 f 1 1 0 m3 m 0 m 1 Điều kiện đủ: Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương để. có. *.
<span class='text_page_counter'>(800)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. +)Với m 0 ta có * g x x 1 f x 1 0 đúng với mọi x . Do đó m 0 thỏa mãn. +)Với m 1 ta có. x 1 f 2 x 1 1 . 1 2 x 1 1 f 2 x 1 1 0 x . Do đó 2. m 1 thỏa mãn. +) Với m 1 , * x 1 f 2 x 1 2 f x 1 0 ** . Xét x 1 ta có lim. x . f 2 x 1 1 2 f x. 3. lim. 2. a 2 x 1 b 2 x 1 c 2 x 1 d 1 2 ax 3 bx 2 cx d . x . 40. α , α 1: f 2α 1 1 2 f α hay 2 f α f 2α 1 1 0 α 1 2 f α f 2α 1 1 0 ( không thỏa mãn ** ). Do đó m 1 không thỏa mãn Vậy S có 2 phần tử. Câu 36. Cho hàm số y f x ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 x m 5 f x 4m 4 0 có 7 nghiệm phân biệt? A. 1 . B. 2 .. C. 3 . Lời giải. D. 4 .. Chọn C Phương trình tương đương với. . . f 2 x 5 f x 4 m f x 4 0. . f x 1 m f x 4 0. . f x 1 m 0 f. f x 4 f x 4. f x 4 1 . x m 1 2. .. Từ đồ thị hàm số y f x , ta suy ra đồ thị hàm số y f x như sau. Facebook Nguyễn Vương 29.
<span class='text_page_counter'>(801)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dựa vào đồ thị hàm số y f x , suy ra phương trình 1 luôn có 3 nghiệm phân biệt. Vì vậy, yêu cầu bài toán tương đương với phương trình 2 có 4 nghiệm phân biệt khác 4 . Suy ra 0 m 1 4 1 m 3 m 0, 1, 2. Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa bài toán. Câu 37. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3sin x cos x 1 f f m 2 4m 4 có nghiệm. 2 cos x sin x 4 B. 5 .. A. 4 .. D. 3 .. C. Vô số. Lời giải. Chọn D Ta có. 3sin x cos x 1 2 0 , x và m 2 4m 4 m 2 0 , m . Nhìn vào đồ thị hàm số 2 cos x sin x 4. y f x ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên 0; suy ra phương trình đã cho tương đương 3sin x cos x 1 m 2 4m 4 2 cos x sin x 4. 1. 3sin x cos x 1 * 2cos x sin x 4 vì 2cos x sin x 4 0 , x Đặt P . nên * 3 P sin x 1 2 P cos x 4 P 1 2 Phương trình 2 có nghiệm 4 P 1 3 P 1 2 P 2. 2. 2. 9 P 1 P 1 11. Suy ra phương trình 1 có nghiệm m2 4m 4 1 m 3; 1 Có ba giá trị nguyên của. m thỏa mãn bài toán. Câu 38.. Cho hàm số y f ( x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên.. Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(802)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Phương trình f (2sin x) m có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; khi và chỉ khi A. m 3;1 . .. B. m 3;1 . .. C. m 3;1 . .. D. m 3;1. Lời giải. Chọn A Đặt t 2 sin x (*), x ; t 2; 2 . Khi đó phương trình f (2sin x) m trở thành f (t) m (1). Số nghiệm của PT(1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f (t ) và đường thẳng y m . Nhận thấy: Với t 2; 2 thì PT(*) có 1 nghiệm x ; . Với t 0 thì PT(*) có 3 nghiệm phân biệt x ; . Với t 2; 2 \ 0 thì PT(*) có 2 nghiệm phân biệt x ; . Do đó, dựa vào đồ thị đã cho ta có: +) TH 1: m 3 thì phương trình (1) có một nghiệm t 2 . Suy ra m 3 bị loại +) TH 2: m 3 thì PT(1) có hai nghiệm là t 1 và t 2 . Suy ra m 3 là giá trị thỏa mãn. +) TH 3: 3 m 1 thì phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (2; 2) . Suy ra 3 m 1 bị loại. +) TH 4: Xét trường hợp m 1 thì PT(1) có hai nghiệm là t 1 và t 2 . Suy ra m 1 là giá trị thỏa mãn. +) TH 5: m 1 thì phương trình (1) có một nghiệm t 2 . Do đó m 1 bị loại. Vậy các giá trị m cần tìm là m 3;1 . Chọn.. A.. Câu 39. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị. . . nguyên của m để phương trình 2. f 3 3 9 x 2 30 x 21 m 2019 có nghiệm.. Facebook Nguyễn Vương 31.
<span class='text_page_counter'>(803)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. B. 14 .. A. 15 .. C. 10 . Lời giải. D. 13 .. Chọn D Ta có:. 2. 9 x 2 30 x 21 4 3 x 5 0 9 x 2 30 x 21 2. 3 3 3 9 x 2 30 x 21 3.. Đặt t 3 3 9 x 2 30 x 21 t 3;3 .. . . Khi đó, phương trình 2. f 3 3 9 x 2 30 x 21 m 2019. 1 2 f t m 2019. m 2019 2 2 Phương trình 1 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình 2 có nghiệm t 3;3. f t . Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta có, phương trình 2 có nghiệm t 3;3 khi và chỉ khi. m 2019 1 10 m 2019 2 2009 m 2021 2 Vì m nên m 2009, 2010,..., 2021 . Vậy có 13 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài 5 . toán. Câu 40.. (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có đồ thị. . . như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2 f 3 4 6 x 9 x 2 m 3 có nghiệm.. A. 9 .. B. 17 .. C. 6 . Lời giải. D. 5 .. Chọn A Điều kiện: 6 x 9 x 2 0 0 x . 2 . 3. Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(804)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 2 Đặt t 3 4 6 x 9 x 2 , x 0; . 3 6 18 x 1 2 0 x 0; . Ta có: t 4. 3 3 2 6x 9x2 2 Bảng biến thiên cho t 3 4 6 x 9 x 2 .Vì x 0; t 1;3 3 m3 Phương trình trở thành: 2 f t m 3 f t , t 1;3. * 2 m3 Phương trình 2 f 3 4 6 x 9 x 2 m 3 có nghiệm f t có nghiệm t 1;3 2 m3 6 2 a 12 m 3 4 2a 9 m 1 2a, với 2 1 max f t a 2, a 0; . 1;3 2. . . Mà m m 9; 8; 7;..; 1 có 9 giá trị m nguyên thỏa ycbt. Câu 41.. (SGD Điện Biên - 2019) Cho hàm số y f x ax 4 bx3 cx 2 dx e với a, b, c, d , e . Biết hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ, đạt cực trị tại điểm O 0;0 và cắt trục hoành tại. A 3;0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên 5;5 để phương trình f x 2 2 x m e có bốn nghiệm phân biệt.. B. 2 .. A. 0 . Chọn. C. 5 . Lời giải. D. 7 .. B.. Theo hình vẽ ta có y f x là hàm số bậc ba nên a 0 .. f x 4ax3 3b2 x 2cx d f x 12ax 2 6bx 2c . f 0 0 d 0 b 4a Theo giả thiết, ta có: f 3 0 108a 27b 6c d 0 . c d 0 c 0 f 0 0. f x ax 4 4ax3 e . Facebook Nguyễn Vương 33.
<span class='text_page_counter'>(805)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 0 f x e ax 4 4ax 3 0 . x 4 Khi đó f x 2 2 x m e 1 x 12 1 m x 2 2 x m 0 2 x 2 x m 4 x 12 m 3 . 1 m 0 m 3. PT 1 có bốn nghiệm phân biệt m 3 0 1 m m 3 Mà m 5;5 m 4;5 . Vậy có 2 giá trị m thỏa đề bài. Câu 42. Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn 2; 4 và có bảng biến thiên như sau. 9 2 4 0 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình x có ba 6 f 2 x 1 8 x3 6 x m 0 nghiệm phân biệt? A. 9 .. B. 11.. C. 10 . Lời giải. D. 8 .. Chọn D. 3 3 9 4 x 2 0 x 9 9 4 x2 3 3 0 2 Ta có: 2 4 0 2 x ; \ 0 . 2 x x 2 2 x 0 x 0 Xét phương trình 6 f 2 x 1 8 x3 6 x m 0 m 6 f 2 x 1 8 x3 6 x (1) 3 3 Xét hàm số g x 6 f 2 x 1 8 x3 6 x , với x ; \ 0 . 2 2. Ta có g x 12 f 2 x 1 24 x 2 6 6 2 f 2 x 1 4 x 2 1 2 x 1 2 1 1 Từ giả thiết ta suy ra f 2 x 1 0 x ; 2 2 2 x 1 0. Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(806)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. 3 1 x 2 2 x 1 0 2 f 2 x 1 0 2 . 2 2 x 1 4 3 x 1 2 2 3 3 Bảng biến thiên của hàm số g x 6 f 2 x 1 8 x3 6 x trên ; \ 0 . 2 2. 3 3 Từ bảng biến thiên ta suy ra hệ có đúng ba nghiệm (1) có đúng ba nghiệm x ; \ 0 2 2 4 m 14 . Vì m m 5; 6; 7;8;10;11;12;13 . Vậy có 8 số nguyên m . m 9. Câu 43.. (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0; 5 và có bảng biến thiên như hình sau:. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình mf x 3 x 2019 f x 10 2 x nghiệm đúng với mọi x 0; 5 . A. 2014.. B. 2015.. C. 2019. Lời giải. D. Vô số.. Chọn A Trên 0; 5 , ta có: mf x 3 x 2019 f x 10 2 x m 2019 . 3 x 10 2 x . f x. Xét hàm số g x 3 x 10 2 x trên đoạn 0; 5 .. g x . 3 1 3 10 2 x 2 3x 2 3x 10 2 x 2 3x. 10 2 x Facebook Nguyễn Vương 35.
<span class='text_page_counter'>(807)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Cho g x 0 x 3 0; 5 . Do g 0 10 , g 3 5 và g 5 15 nên max g x g 3 5. 0;5. Mặt khác min f x f 3 1 nên 0 ;5. 3 x 10 2 x , x 0; 5 f x. m 2019 . 3x 10 2 x 5 m min 2019 2019 2014. 0;5 f x 1 Câu 44.. (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa -2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. m để phương trình f cosx m 2018 f cosx m 2019 0 có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0; 2 là. bên.. Số. giá. trị. nguyên. của. tham. số. 2. A. 5.. B. 3.. C. 2. Lời giải. D. 1.. Chọn C f cosx 1 Ta có f 2 cosx m 2018 f cosx m 2019 0 f cosx 2019 m. cos x 0 1 Dựa vào đồ thị ta có: f cos x 1 cos x k 1 2 . PT có 2 nghiệm thỏa mãn, PT vô nghiệm. Yêu cầu: phương trình f cosx 2019 m 2019 m 1 có thêm 4 nghiệm thuộc 0; 2 . Nhận xét: + Với mỗi t 1;1 , phương trình cosx=t vô nghiệm. + Với mỗi t 1;1 , phương trình cosx=t có 2 nghiệm x 0; 2 . + Với t 1 , phương trình cosx t có đúng 1 nghiệm x 0; 2 . Như vậy, 1 2019 m 1 2018 m 2020 . Câu 45. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(808)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Tìm m để phương trình 2 f x 2019 m 0 có 4 nghiệm phân biệt. A. m 0;2 .. B. m 2; 2 .. D. m 2;1 .. C. m 4; 2 . Lời giải. m * . 2 Ta có bảng biến thiên của hàm số y g x f x 2019 như sau: 2 f x 2019 m 0 f x 2019 . Phương trình * có 4 nghiệm phân biệt khi 2 . m 1 4 m 2 . 2. Câu 46. Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x 2 2 x 2 3m 1 có nghiệm thuộc khoảng 0;1 . .. A. 0;4 .. 1 D. ;1 3 . C. 0;1 . . B. 1;0 .. Lời giải Đặt t x 2 x 2 . Với x 0;1 t 2;1 2. Phương trình f x 2 2 x 2 3m 1 có nghiệm thuộc đoạn 0;1 khi và chỉ khi phương trình 1 f t 3m 1 có nghiệm thuộc 2;1 m 1 . 3. Câu 47. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình f. . . 4 x x 2 1 m có nghiệm là. Facebook Nguyễn Vương 37.
<span class='text_page_counter'>(809)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. A. 2;0 .. B. 4; 2 .. C. 4;0 .. D. 1;1 .. Lời giải Phương trình f. . . 4 x x 2 1 m có điều kiện 0 x 4 . Ta có bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra, với 0 x 4 thì 1 4 x x 2 1 1 . Đặt t 4 x x 2 1 , 2. 1 t 1.(Có thể biến đổi t 4 x 2 1 1 t 1 ). Phương trình đã cho trở thành f t m (1). Phương trình đã cho có nghiệm (1) có nghiệm. t 1;1 4 m 0 . Câu 48.. (Sở Hà Nội 2019) Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f x m m có 4 nghiệm phân biệt là. A. 2.. B. Vô số.. C. 1. Lời giải. D. 0.. Đặt t x m 0 Với t 0 x m Với mỗi giá trị t 0 sẽ ứng với 2 giá trị x Ta có phương trình : f t m t 0 * Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(810)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì * có 2 nghiệm phân biệt dương. 3 m Từ đồ thị của hàm số y f t trên miền t 0 4 m 1 Vậy có 1 giá trị nguyên thỏa mãn Câu 49.. (Chuyen Phan Bội Châu 2019) Cho hàm số y f ( x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( 4 x 2 ) m có nghiệm thuộc nửa khoảng [ 2 ; 3) là: A. [-1;3] .. B. [-1; f ( 2)] .. C. (-1; f ( 2)] .. D. (-1;3] .. Lời giải Đặt t g ( x ) 4 x 2 với x [- 2 ; 3) . Suy ra: g '( x) . x 4 x2. .. g '( x ) 0 x 0 [ 2 ;3) .. Ta có:. g (0) 2 , g ( 2) 2 , g ( 3) 1 . Mà hàm số g ( x) liên tục trên [- 2 ; 3) Suy ra, t (1;2] . Từ đồ thị, phương trình f (t ) m có nghiệm thuộc khoảng (1;2] khi m (1;3] . Câu 50.. (Chuyên Dại Học Vinh 2019) Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình. 1 x f 1 x m có nghiệm thuộc đoạn 2; 2 ? 3 2 . Facebook Nguyễn Vương 39.
<span class='text_page_counter'>(811)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. B. 9. A. 11. C. 8 Lời giải. D. 10. Chọn C x Đặt t 1 , khi 2 x 2 thì 0 t 2 . 2 1 Phương trình đã cho trở thành f t 2t 2 m f t 6t 6 3m . 3 Xét hàm số g t f t 6t 6 trên đoạn 0; 2 . Ta có g t f t 6 . Từ đồ thị hàm số y f x suy ra hàm số f t đồng biến trên khoảng. 0; 2 nên. f t 0, t 0; 2 g t 0, t 0;2 và g 0 10 ; g 2 12 .. Bảng biến thiên của hàm số g t trên đoạn 0; 2. Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn 2; 2 khi và chỉ khi phương trình g t 3m có nghiệm thuộc đoạn 0; 2 hay 10 3m 12 . 10 m4. 3. Mặt khác m nguyên nên m 3; 2; 1;0;1; 2;3; 4 . Vậy có 8 giá trị m thoả mãn bài toán. Câu 51. (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình x 2 x 3 2 m 2 m 3 0 có 4 nghiệm phân biệt.. A. 3. B. 12. D. 5. C. T 7 Lời giải. Chọn A. 3. 2. 3. Ta có x 2 x 3 2 m2 m 3 0 x 3 x 2 m 3 m 3. 2. *. 2. Xét hàm số: y f x x 3 x 2 có đồ thị như hình vẽ: Từ đồ thị của hàm số ta có: Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt 3. 2. 2 m 3 m 2 3. 2. Mà m m 3 m m2 m 3 Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(812)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. m 3 m 3 m 0 2 m m 3 1;0;1 m 1 l m 0 m 1 l Câu 52. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình 3 7 f x 2 2 x m có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn ; . 2 2. A. 1.. B. 2 .. D. 4 .. C. 3 . Lời giải. Chọn B Xét phương trình f x 2 2 x m 1 3 7 Đặt t x 2 2 x , với x ; . 2 2 Ta có t 2 x 2 ; t ' 0 x 1 . 3 7 Bảng biến thiên của hàm số t x 2 2 x trên đoạn ; 2 2. . 21 Dựa vào bảng biến thiên suy ra t 1 ; . 4 . Xét t 1 khi đó phương trình 1 thành f 1 m 4 m . x 2 2 x 1 Với m 4 phương trình f x 2 x 4 2 x 2x a 2. *. với 2 a 3 .. Dễ thấy * có tối đa 3 nghiệm (không thỏa mãn yêu cầu). 21 Xét t0 1; . 4 . Facebook Nguyễn Vương 41.
<span class='text_page_counter'>(813)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 21 3 7 Nhận xét với mỗi t0 1; thì có 2 giá trị x ; thỏa mãn t0 x 2 2 x . 4 2 2 3 7 Do đó phương trình f x 2 2 x m có 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn ; khi phương 2 2 21 trình f t m có 2 nghiệm phân biệt t 1; . Hay đường thẳng y m phải cắt đồ thị hàm 4 21 số y f t tại 2 điểm với t 1; . 4 . Mà m nên từ đồ thị hàm số y f x ta có m 3; m 5 thỏa mãn yêu cầu. KL: Có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài. Câu 53. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm liên tục trên . Biết. f (0) 0 và f x được cho như hình vẽ bên. Phương trình f ( x ) m ( với m là tham số) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?. A. 8. B. 6. Chọn B BBT của hàm số y f ( x) x y y. C. 2 Lời giải. . 0 0. . D. 4. 3 0 f (3). . . 0 . BBT của hàm số y f ( x ). Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương .
<span class='text_page_counter'>(814)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. x y. . 3 0. . 0 0. . f (3) y. 3 0. . . f (3). 0 . . BBT của hàm số y f ( x ). Suy ra phương trình f ( x ) m có nhiều nhất là 6 nghiệm. Câu 54.. (Thanh Tường Nghệ An 2019) Cho hàm số y f x là hàm đa thức với hệ số thực. Hình vẽ bên dưới là một phần đồ thị của hai hàm số: y f x và y f x .. Tập các giá trị của tham số m để phương trình f x me x có hai nghiệm phân biệt trên 0; 2 là nửa khoảng a; b . Tổng a b gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 0.81 .. B. 0.54 .. C. 0.27 . Lời giải. D. 0.27 .. Facebook Nguyễn Vương 43.
<span class='text_page_counter'>(815)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Nhận xét: Đồ thị hàm y f x cắt trục hoành tại điểm x0 thì x0 là điểm cực trị của hàm y f x . Dựa vào hai đồ thị đề bài cho, thì C1 là đồ thị hàm y f x và C2 là đồ thị hàm y f x .. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x và y me x ta có: f x me x m . f x . ex. f x ta có: ex f x f x g x . ex. Đặt g x . x 1 g x 0 f x f x x 2 . x x 1;0 0 Dựa vào đồ thị của hai hàm số: y f x và y f x ta được:. Yêu cầu bài toán ta suy ra:. f 2 e2. m 0 (dựa vào đồ thị ta nhận thấy f 0 f 2 2 ). 0, 27 m 0 . Suy ra: a 0, 27, b 0 . Vậy a b 0, 27 . Câu 55.. (VTED 2019) Cho hai hàm số y f x và y g x là các hàm xác định và liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên (trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y f x ). Có bao 5 nhiêu số nguyên m để phương trình f 1 g 2 x 1 m có nghiệm thuộc đoạn 1; . 2. A. 8. B. 3. C. 6. D. 4. Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(816)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Lời giải Chọn B 5 Với x 1; 2 x 1 3; 4 g 2 x 1 3; 4 t 1 g 2 x 1 3; 4 2. Vậy ta cần tìm m để phương trình f t m có nghiệm thuộc đoạn f t m max f t min f t m 2 3; 4 min 3;4 3;4 3;4. trong đó min f t 1;0 . Vậy các số 3;4. nguyên cần tìm là a 0,1, 2 Câu 56.. (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;9 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây. Có. 16.3. bao f x. nhiêu. giá. trị. f 2 x 2 f x 8 .4. nguyên f x. của. m2 3m .6. B. 31 .. A. 32 .. tham f x. số. để. m. bất. phương. trình. nghiệm đúng với mọi giá trị thuộc 1;9 ?. C. 5. Lời giải. D. 6 .. Chọn B Dễ thấy 4 f x 2, x 1;9 (1) nên f x 4 . f x 2 0, x 1;9 . Do đó f 2 x 2 f x 8 0, x 1;9 (2). Ta có 16.3 f x f 2 x 2 f x 8 .4 f x m 2 3m .6 f x nghiệm đúng với mọi x 1;9 1 16. 2. f x. 2 f x 2 f x 8 . 3 2. f x. m 2 3m nghiệm đúng với mọi x 1;9. f x f x 1 2 2 min 16. f x 2 f x 8 . m 2 3m (3). x 1; 9 3 2 . 1 Từ (1) và (2) ta có 2 1 Suy ra 16. 2. f x. f x. 2. 1 2 và f 2 x 2 f x 8 . 2 3. 2 f 2 x 2 f x 8 . 3. f x. 0, x 1; 9 .. f x. 4, x 1; 9 .. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f x 2 x 1 x a 7 a 8 . Do đó 4 và (3) 4 m 2 3m 1 m 4 . Vì m nguyên nên m 1;0;1; 2;3; 4 . Câu 57.. (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên 1;3 và có đồ thị như hình vẽ. Facebook Nguyễn Vương 45.
<span class='text_page_counter'>(817)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Bất phương trình f x x 1 7 x m có nghiệm thuộc 1;3 khi và chỉ khi A. m 7 .. B. m 7 .. C. m 2 2 2 . Lời giải. D. m 2 2 2 .. Chọn A Bất phương trình f x x 1 7 x m có nghiệm thuộc 1;3 khi và chỉ khi. . . m Max f x x 1 7 x . 1;3. Xét hàm số g x x 1 7 x trên đoạn 1;3 . Ta có g x . 1 1 7 x x 1 . 2 x 1 2 7 x 2 7 x. x 1. g x 0 7 x x 1 0 x 3 .. g 1 8 2 2 , g 3 2 2 4 . Suy ra Max g x 4 tại x 3 . (1) 1;3. Mặt khác, dựa vào đồ thị của f x ta có Max f x 3 tại x 3 .(2) 1;3. . . Từ (1) và (2) suy ra Max f x x 1 7 x 7 tại x 3 . 1;3. Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc 1;3 khi và chỉ khi m 7 . Câu 58.. (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn. 3;3 và đồ thị hàm số. y f x như hình vẽ dưới đây. Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(818)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Biết f 1 6 và g x f x . x 1 . 2. . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 A. Phương trình g x 0 có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 3;3 . B. Phương trình g x 0 không có nghiệm thuộc đoạn 3;3 . C. Phương trình g x 0 có đúng một nghiệm thuộc đoạn 3;3 . D. Phương trình g x 0 có đúng ba nghiệm thuộc đoạn 3;3 . Lời giải Chọn C. Ta có g 1 f 1. 1 1 2. 2. f 1 2 4 và g x f x x 1 . Từ đồ thị hàm số. x 3 y f x và y x 1 ta có g x 0 f x x 1 x 1 . x 3. Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 1. S1 4 . . y f x ; y x 1; x 3; x 1 có diện tích. 1. f x x 1 dx 4 . 3. g x dx 4 g 1 g 3 4 g 3 g 1 4 0 .. 3. Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y f x ; y x 1; x 1; x 3 có diện tích S 2 4 3. 3. f x x 1 dx 4 g x dx 4 g 3 g 1 4 g 3 g 1 4 0 . 1. 1. Facebook Nguyễn Vương 47.
<span class='text_page_counter'>(819)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm y g x trên 3;3. Từ bảng biến thiên suy ra phương trình g x 0 có đúng một nghiệm thuộc đoạn 3;3 . Câu 59.. (Chuyên Sơn La - Lần 2 - 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.. 4m 3 m. Các giá trị của tham số m để phương trình. 2f 37 . 2. A. m . B. m . 3 3 . 2. 2. x 5. C. m . f 2 x 3 có ba nghiệm phân biệt là 37 . 2. D. m . 3 . 2. Lời giải Chọn A. 4m 3 m 2f. 2. x 5. f 2 x 3 4m 3 m f 2 x 3 2 f 2 x 5. 3. 2m 2m 2 f 2 x 5 2 f 2 x 5 2 f 2 x 5 Xét hàm số f t t 3 t , t f ' t 3t 2 1 0, t f 2m f. . . 2 f 2 x 5 2m 2 f 2 x 5. m 0 m 0 2 4m 2 5 4m 2 5 f x f x 2 2 4m 2 5 từ đồ thị ta thấy chỉ có 1 nghiệm. 2 Vậy để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình Với f x . f x Câu 60.. 4m 2 5 phải có hai nghiệm 2. 4m 2 5 37 4m , m 0 . 2 2. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - 2019) Cho hàm số f x ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ sau đây. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để phương trình f f x m có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2 ?. Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(820)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. A. 5 .. B. 4 .. C. 0 . Lời giải. D. 3 .. Chọn D Đặt g x f f x . g x f f x . f x .. f x 0 Cho g x 0 f f x . f x 0 f f x 0 x 1 + f x 0 ( hoành độ các điểm cực trị ). x 1 f x 1 + f f x 0 f x 1 Dựa vào đồ thị, ta có: + Khi f x 1 x 0 ; x a 2; 1 ; x b 1; 2 . + Khi f x 1 x 1 ; x 2 . Bảng biến thiên. Phương trình f f x m có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2. 1 m 3 . Mà m là số nguyên nên m 0;1; 2 . Vậy có 3 giá trị của m thỏa đề bài. Câu 61.. (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2019) Cho hàm số g x 2 x3 x 2 8 x . Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình A. 7 .. B. 8 .. g g x 3 m 2 g x 7 có đúng 6 nghiệm thực phân biệt. C. 24 . Lời giải. D. 25 .. Chọn D Đặt t g x 3 t 2 x3 x 2 8 x 3 t 6 x 2 2 x 8 .. Facebook Nguyễn Vương 49.
<span class='text_page_counter'>(821)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. 4 x t 0 3. x 1. Ta có bảng biến thiên. . Từ bảng biến thiên suy ra mỗi giá trị t 2;. 289 sẽ có tương ứng 3 giá trị x . 27 . 1 t 2 g g x 3 m 2 g x 7 g t m 2 t 3 7 g t m 2t 1 2 . 1 1 t t 2 2 . m 2t 3 t 2 8t 4t 2 4t 1 m 2t 3 3t 2 12t 1 1 Phương trình đã cho có 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình 1 có 3 nghiệm. 1 289 . 2 27 . phân biệt t ;. 1 289 . 2 27 . Xét hàm số f t 2t 3 3t 2 12t 1 với t ; t 1 f t 6t 2 6t 12 f t 0 . t 2 Ta có bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên, phương trình đã cho có 6 nghiệm thực phân biệt m 21; 4 . Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(822)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Mà m m 20; 19; 18;...;4 có 25 số nguyên thỏa mãn. Câu 62.. (THPT Hà Nam - 2019) Cho hàm số f x x 2 4 x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 x m 6 f x m 5 0 có 6 nghiệm thực phân biệt? A. 1.. B. 2 .. D. 3 .. C. 4 . Lời giải. Chọn D Hàm số f x x 2 4 x 3 có bảng biến thiên. x f(x). 0. -∞ +∞. 2. +∞ +∞. 3 -1. Hàm số y f x có bảng biến thiên. x. -∞. f(x). -2. 0. +∞. 2. +∞. 3. +∞. -1. -1 Đặt t f x 1* Nhận xét: x + với t0 1; t0 3 2 nghiệm + với t0 1 *. *. 3 nghiệm + với t0 1;3 + với t0 3 4 nghiệm *. *. t 1 Phương trình trở thành t 2 m 6 t m 5 0 t m 5 m m 5;6;7 Yêu cầu bài toán suy ra 1 m 5 3 4 m 8 . Câu 63.. (Sở GD Bạc Liêu - 2019) Cho hàm số f ( x) 2 x3 x 2 8 x 7 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng A. 25 . B. 66 .. f ( f ( x) 3) m 2 f ( x) 5 có 6 nghiệm thực. C. 105 . Lời giải. D. 91 .. Chọn D Đặt t f ( x ) 3 . * t f ( x) 3 t 2 x3 x 2 8x 4 (1) Facebook Nguyễn Vương 51.
<span class='text_page_counter'>(823)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. x 1 y 1 Đặt g ( x ) 2 x x 8 x 4 ; g ( x ) 6 x 2 x 8 ; g ( x ) 0 x 4 y 316 3 27 Bảng biến thiên 3. 2. 2. Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y g ( x ) và y t Dựa vào bảng biến thiên ta có 316 + t 1 hoặc t thì phương trình (1) có 1 nghiệm. 27 316 + t 1 hoặc t thì phương trình (1) có 2 nghiệm. 27 316 + 1 t thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. 27 * Ta có. f ( f ( x) 3) m 2 f ( x) 5 . f (t ) m 2t 1 (2). Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm t . 1 2. (2) f (t ) m 4t 2 4t 1 m 4t 2 4t 1 f (t ) m 2t 3 3t 2 12t 6 t 1 Đặt h(t ) 2t 3 3t 2 12t 6 ; h(t) 6t 2 6t 12 ; h (t ) 0 t 2 Bảng biến thiên. Số nghiệm của phương trình (2) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y h (t ) và y m Dựa vào bảng biến thiên ta có + m 14 thì phương trình (2) vô nghiệm. + m 14 hoặc m 11 thì phương trình (2) có 1 nghiệm. + 11 m 14 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Phương trình. f ( f ( x) 3) m 2 f ( x) 5 có 6 nghiệm thực phân biệt khi phương trình (1) có 3. nghiệm phân biệt và phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt. Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(824)</span> TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021. Vậy phương. f ( f ( x) 3) m 2 f ( x) 5 có 6 nghiệm thực phân biệt khi phương trình (2) có hai. 1 316 . t 2 27 Dựa vào bảng biến thiên ta được kết quả là 11 m 14 . Suy ra S 1; 2;...;13. nghiệm phân biệt . Tổng các phần tử của S 1 ... 11 12 13 91 . Câu 64.. (Quang Trung - Bình Phước - 2019) Cho hàm số f x liên tục trên . Hàm số f x có đồ thị như hình vẽ: y 2. 1. O. x. 2. 1. Bất phương trình f 2sin x 2 sin 2 x m đúng với mọi x 0; khi và chỉ khi. 1 A. m f 0 . 2. 1 B. m f 1 . 2. C. m f 1 . 1 . 2. 1 D. m f 0 . 2. Lời giải Chọn B Đặt 2sin x t . Vì x 0; nên t 0; 2 . Bất phương trình trở thành f t . t2 t2 với t 0; 2 . m . Đặt g t f t 2 2. Bất phương trình đúng với mọi t 0; 2 khi và chỉ khi max g t m . 0;2 . Ta có g t f t t . g t 0 f t t . Nghiệm phương trình này trên khoảng 0; 2 là hoành độ giao điểm của đồ. thị y f t và đường thẳng y t với t 0; 2 . y y=t. 2. 1. O. 1. 2. x. Dựa vào đồ thị ta được nghiệm t 1 0; 2 . Cũng dựa vào đồ thị ta thấy khi t 0;1 thì. f t t g t 0 , khi t 1; 2 thì. f t t g t 0 . Facebook Nguyễn Vương 53.
<span class='text_page_counter'>(825)</span> NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489. Bảng biến thiên:. 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max g t g 1 f 1 . 0;2 2. 1 Vậy bất phương trình đã cho đúng với mọi x 0; khi và chỉ khi m f 1 . 2 Câu 65.. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2019) Cho hàm số f x x5 3x3 4m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f A. 15 .. . 3. B. 16 .. . f x m x3 m có nghiệm thuộc 1; 2 ? C. 17 . Lời giải. D. 18 .. Chọn B Đặt t . 3. f x m t3 f x m .. t 3 f x m Ta có hệ 3 f x x3 f t t 3 . x f t m Xét hàm số g x f x x3 , x 1;2 g x f x 3x 2 0 x 1; 2 . Hàm số g x đồng biến trên đoạn 1;2 . Vì g x g t x t f x x3 m. x5 3x3 4m x3 m 3m x5 2 x3 1 Xét hàm số h x x5 2 x3 , x 1; 2 h x 5 x 4 6 x 2 0 x 1; 2. Phương trình 1 có nghiệm h 1 3m h 2 3 3m 48 1 m 16 . Do m Z m 1; 2;3;4;...;16 . Vậy có 16 giá trị nguyên của tham số m . -------------------- HẾT --------------------. Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(826)</span>
