De Thi Thu So 5 2013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đề Số 5 PhÇn b¾t buéc.. 2 x −1 x +1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I ( −1 ; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lín nhÊt . C¢U 2. (2 ®iÓm). 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 sin 2 x −sin 2 x +sin x +cos x −1=0 . 2. Tìm giá trị của m để phơng trình sau đây có nghiệm duy nhất : 2 log 0,5 ( m+ 6 x )+log 2 (3 −2 x − x )=0 C©u 1.(2 ®iÓm) Cho hµm sè. y=. 2. I =∫ √. 2. 4−x dx . 2 x 1 CÂU 4. (1 điểm). Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB=BC=CD=a . Gäi C’ vµ D’ lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm B trªn AC vµ AD. TÝnh thÓ tÝch tÝch tø diÖn ABC’D’. C¢U 5. (1 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC , t×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña biÓu thøc: S=cos 3 A+ 2cos A +cos 2 B+ cos 2 C . C¢U 3 . (1®iÓm) TÝnh tÝch ph©n:. PhÇn tù chän (thÝ sinh chØ lµm mét trong hai phÇn : A hoÆc B ) PhÇn A C¢U 6A. (2 ®iÓm). 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A (1 ; 1), B (−2 ; 5) , đỉnh C nằm trên đờng thẳng x − 4=0 , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 2 x −3 y +6=0 . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d’ lần lợt có phơng trình : d : y−2 x −2 z +5 . x= = z vµ d’ : = y −3= −1 2 −1 Chứng minh rằng hai đờng thẳng đó vuông góc với nhau. Viết phơng trình mặt phẳng (α ) đi qua d vµ vu«ng gãc víi d’ n n −1 ¿ ( n+ 1)Cn C¢U7A. (1 ®iÓm) TÝnh tæng : S=C 0n −2 C1n +3 C 2n − 4 C 3n+ ⋅+¿ PhÇn B. C¢U 6B. (2 ®iÓm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A (2 ; −1), B(1 ; −2) , trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng x+ y − 2=0 . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC b»ng 13,5 . 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d’ lần lợt có phơng trình : d : y−2 x −2 z +5 . x= = z vµ d’ : = y −3= −1 2 −1 ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (α) ®i qua d vµ t¹o víi d’ mét gãc 300 C¢U7B. (1 ®iÓm) TÝnh tæng : S=C 0n +2 C1n +3 C 2n+⋅ +(n+1) C nn.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> §¸p ¸n m«n To¸n. Câu 1. 1. Tập xác định : x ≠ −1 . 2. 2 x −1 3 , y= =2 − x +1 x+1 B¶ng biÕn thiªn: Tiệm cận đứng :. (. x+ 1¿ ¿ 3 y '= ¿. ,. x=−1 , tiÖm cËn ngang. 2. NÕu M x 0 ; 2 −. y=2. 3 ∈(C ) th× tiÕp tuyÕn t¹i M cã ph¬ng tr×nh x 0+ 1. ). x 0 +1 ¿2 ¿ ¿ 3 3 y − 2+ = x 0 +1 ¿. hay. x 0+ 1¿ 2( y − 2)−3(x 0 +1)=0 3( x − x 0) −¿ 4. . Kho¶ng c¸ch tõ. x 0 +1 ¿ ¿ x 0+1 ¿2 ¿ x 0+1 ¿2 ¿ ¿ . Theo bất đẳng I (−1 ; 2) tíi tiÕp tuyÕn lµ 9 ¿ √¿ 9+¿ √¿ |3(− 1− x 0)−3( x 0 +1)| 6|x 0+1| d= = ¿ 9+ ( x 0+ 1 )4. √. 2. x 0+1 ¿ ¿ 2 thøc C«si x 0+ 1¿ ≥ 2 √ 9=6 , v©y d ≤ √ 6 . Kho¶ng c¸ch d lín nhÊt b»ng ¿ 9 ¿ 2 x 0 +1 ¿ ¿ x 0+ 1¿ 2 ⇔ ( x 0 +1 )2 =3 ⇔ x 0=−1 ± √3 . ¿ 9 ¿ VËy cã hai ®iÓm M : M ( − 1+ √ 3 ; 2 − √ 3 ) hoÆc M ( − 1− √ 3 ; 2+ √ 3 ). √6. khi. C¢U 2. 1) 2 sin 2 x −sin 2 x +sin x +cos x −1=0 ⇔ 2sin 2 x −(2 cos x −1)sin x +cos x − 1=0 . 2. 2cos x −3 ¿ 2 2 cos x −1 ¿ −8 (cos x − 1)=¿ . VËy sin x=0,5 hoÆc sin x=cos x −1 . Δ=¿ π 5π Víi sin x=0,5 ta cã x= +2 kπ hoÆc x= +2 kπ 6 6 π 2 π Víi sin x=cos x −1 ta cã sin x − cos x=−1 ⇔ sin x − =− √ =sin − , suy ra 4 2 4 3π +2 kπ x=2 kπ hoÆc x= 2 2 2) log 0,5 ( m+ 6 x )+log 2 (3 −2 x − x2 )=0 ⇔ log 2 (m+6 x)=log 2 (3 −2 x − x ) ⇔. (. ). ( ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ⇔ 2 3− 2 x − x >0 m+ 6 x=3 −2 x − x 2 ⇔ ¿ − 3< x< 1 m=− x 2 −8 x +3 ¿{ XÐt hµm sè f (x)=− x 2 −8 x +3, −3< x <1 ta cã f ' (x)=− 2 x −8 , f ' ( x)<0 khi x> −4 , do đó f ( x) nghịch biến trong khoảng (−3 ;1) , f (−3)=18 , f (1)=−6 . Vậy hệ phơng trình trên có nghiÖm duy nhÊt khi −6< m<18 π π C¢U 3. §Æt x=2 sin t th× dx=2 cos tdt , khi x=1 th× t= , khi x=2 th× t= , vËy: 6 2. √4 − x x. 2. π 2. 2. dx=∫ π 6 2. π. cos t dt=¿ sin2 t. I =∫ ¿ 1. d (cot t) −t ¿ 2π =¿. 2. 6 π 2. ∫ π 6. (. π 2. 1 −1 dt=−∫ ¿ sin 2 t π. ). √ 3−. π 3. 6. CD ⊥ BC , CD ⊥ AB nên CD ⊥ mp(ABC) và do đó mp( ABC) ⊥ mp( ACD) .V× BC ' ⊥ AC nªn BC ⊥ mp(ACD) . 1 Suy ra nÕu V lµ thÓ tÝch tø diÖn ABC’D’ th× V = dt (AC ' D '). BC ' . 3 V× tam gi¸c ABC vu«ng c©n nªn AC '=CC ' =BC '= a √ 2 . 2 Ta có AD 2=AB 2+ BD2=AB2 +BC 2+ CD2=3 a 2 nên AD=a √ 3 . Vì BD’ là đờng cao của tam giác a vu«ng ABD nªn AD ' . AD=AB2 , VËy AD ' = . Ta cã √3 1 1 CD 1 a √ 2 a √ 3 1 a2 √ 2 . VËy dt (AC ' D')= AC ' . AD 'sin C ^ A D= AC ' . AD ' . = ⋅ = 2 2 AD 2 2 3 √ 3 12 1 a2 √ 2 a √ 2 a3 V= . =¿ 3 12 2 36 C¢U 5. S=cos 3 A+ 2cos A +cos 2 B+ cos 2 C = cos 3 A+2 cos A+2 cos (B+ C) cos(B −C) . ¿ cos 3 A+2 cos A [ 1− cos (B −C ) ] . V× cos A> 0,1− cos( B −C)≥ 0 nªn S ≥cos 3 A , dÊu b»ng xÈy ra khi cos (B −C )=1 hay 1800 − A . Nhng cos 3 A ≥− 1 , dÊu b»ng xÈy ra khi 3 A=180 0 hay A = 600 B=C= 2 C¢U 4. V×. Tóm lại : S có giá trị bé nhất bằng -1 khi ABC là tam giác đều. PhÇn A (tù chän) C¢U 6A.. 1+5+ y C y 1− 2+ 4 =1 , y G = =2+ C . §iÓm G n»m trªn 3 3 3 đờng thẳng 2 x −3 y +6=0 nên 2− 6 − y C +6=0 , vậy y C =2 , tức là C=(4 ; 2) . Ta cã ⃗ AB=(− 3; 4) , ⃗ AC=(3 ; 1) , vËy AB=5 , AC=√ 10 , ⃗ AB . ⃗ AC=−5 . 2 1 1 15 DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ S= AB2 . AC 2 − ( ⃗ AB . ⃗ AC ) = √25 . 10− 25 = 2 2 2 2.§êng th¼ng d ®i qua ®iÓm M (0 ; 2; 0) vµ cã vect¬ chØ ph¬ng ⃗u (1 ; −1 ; 1) §êng th¼ng d’ ®i qua ®iÓm M ' (2 ;3 ; − 5) vµ cã vect¬ chØ ph¬ng ⃗ u ' (2 ; 1; − 1) Ta cã ⃗ MM=(2 ; 1; −5) , [ ⃗u ; ⃗ u ' ] =(0 ; 3 ; 3) , do đó [ ⃗u ; ⃗ u ' ] .⃗ MM '=− 12≠ 0 vËy d vµ d’ chÐo nhau. MÆt ph¼ng (α ) ®i qua ®iÓm M (0 ; 2; 0) vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ ⃗ u ' (2 ; 1; − 1) nªn cã ph¬ng tr×nh: 2 x +( y − 2)− z=0 hay 2 x + y − z −2=0 1. Ta cã. C=( 4 ; y C ) . Khi đó tọa độ G là. √. x G=.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> C¢U 7A. Ta cã. 1+ x ¿ n=C 0n+C 1n x+C 2n x 2 +⋅+C nn x n , suy ra ¿ 1+ x ¿ n=C 0n x +C1n x 2+ C2n x3 +⋅+Cnn x n+1 . x¿. Lấy đạo hàm cả hai vế ta có :. Thay. 1+ x ¿n −1=¿ 0 1 2 2 n n 1+ x ¿ n+ nx ¿ Cn +2 C n x +3 Cn x +⋅+(n+1)C n x ¿ x=−1 vào đẳng thức trên ta đợc S.. PhÇn B (tù chän) C¢U 6B. 1. Vì G nằm trên đờng thẳng. x+ y − 2=0 nên G có tọa độ G=(t ; 2 −t) . Khi đó ⃗ AG=(t −2 ; 3− t) , 2 3− t ¿ 2 t −2 ¿ +¿ −1 |2 t −3| ¿ ⃗ = AB=(− 1; −1) VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ 2¿ 2 2 1 1 2 2 S= AG . AB − (⃗ AG . ⃗ AB ) = √ ¿ 2 2 NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng 13 ,5 :3=4,5 . VËy |2 t −3| =4,5 , suy ra t=6 hoÆc t=−3 . VËy cã hai ®iÓm G : G1=( 6 ; −4 ), G=(−3 ; −1) . V× G 2 lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn x C =3 xG −(x a + x B ) vµ y C =3 y G −( y a + y B ) . Víi G1=(6 ;−4 ) ta cã C1 =(15 ; −9) , víi G=(−3 ; −1) ta cã C2 =(− 12; 18) 2.§êng th¼ng d ®i qua ®iÓm M (0 ; 2; 0) vµ cã vect¬ chØ ph¬ng ⃗u (1 ; −1 ; 1) §êng th¼ng d’ ®i qua ®iÓm M ' (2 ;3 ; − 5) vµ cã vect¬ chØ ph¬ng ⃗ u ' (2 ; 1; − 1) . Mp (α) ph¶i ®i qua ®iÓm M vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn ⃗n vu«ng gãc víi ⃗u vµ 1 |cos (⃗n ; ⃗u ' )|=cos 600= . Bởi vậy nếu đặt ⃗n=( A ; B; C ) thì ta phải có : 2 B=A +C A+C ¿2+ C2 ¿ ¿ A − B+C=0 ¿⇔ |2 A + B− C| 1 ¿ = ⇔ 2 2 2 ¿ B= A+C 2 √6 √ A + B + C ¿ ¿{ ¿ ¿ A 2+¿. √. 2|3 A|= √ 6 √ ¿ Ta cã 2 A 2 − AC −C 2=0 ⇔ ( A −C)(2 A+C )=0 . VËy A=C hoÆc 2 A=−C . Nếu A=C ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó B=2 , tức là ⃗n=(1 ; 2; 1) và mp(α ) có phơng trình x+ 2( y − 2)+ z=0 hay x+ 2 y + z −4=0 Nếu 2 A=−C ta có thể chọn A=1 , C=−2 , khi đó B=−1 , tức là ⃗n=(1 ; −1 ; −2) và mp (α ) cã ph¬ng tr×nh x −( y −2)− 2 z=0 hay x − y − 2 z +2=0 n. C¢U 7B. Ta cã. 0. 1. 2. 0. 1. 2. n. n. 1+ x ¿ =C n+C n x+C n x +⋅+C n x , suy ra ¿ 1+ x ¿ n=C 0n x +C1n x 2+ C2n x3 +⋅+Cnn x n+1 . x¿. Lấy đạo hàm cả hai vế ta có : n −1. Thay. 1+ x ¿ =¿ n 1+ x ¿ + nx ¿ ¿. 2. 2. n. Cn +2 C n x +3 Cn x +⋅+(n+1)C n x. x=1 vào đẳng thức trên ta đợc S.. n.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>