Giáo án Hình học 10: Tổng và hiệu của hai vectơ - Trường PTDT Nội trú tỉnh Quảng Nam

TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH QUẢNG NAM
TỔ TOÁN
Ngày soạn: 5-9-2020
KHDH:

Ngày dạy:

TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ (3 tiết – Hình học 10 CB)
I. MỤC TIÊU:
Học xong bài này học sinh cần đạt các yêu cầu sau:
+ Nhận biết được một số bài toán thực tiễn dẫn đến định nghĩa tổng, hiệu của hai vectơ.
+ Nhận biết được quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành.
+ Nhận biết được ý nghĩa quy tắc quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành trong thực
tiễn.
+ Vận dụng kiến thức vào mơn Vật lý.
+ Góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học; năng lực mơ hình hóa tốn
học; năng lực sử dụng cơng cụ và phương tiện học toán.
+ Năng lực tự học, quan sát, phát hiện và giải quyết vấn đề, vận dụng kiến thức vào thực
tiễn cuộc sống.
II. CHUẨN BỊ.
+ Giáo án trình chiếu, máy chiếu, phiếu học tập.
+ Bảng phụ.
III. CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC CHỦ YẾU.
HOẠT ĐỘNG 1: Nhận biết một số bài toán thực tế dẫn đến định nghĩa tổng hai vectơ .
a) Học sinh nhận biết bài toán xác định tổng hợp lực
uu
r
Bài toán: Hai người trên bờ kênh và cùng kéo một con thuyền với hai lực lần lượt là
và

uu

r
F2

. Khi đó, thuyền sẽ di chuyển theo hướng nào và bởi lực nào ?

F1


TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH QUẢNG NAM
TỔ TOÁN
Học sinh thực hiện thao tác sau:
uu
r
F2

uu
r
F1

+ HS suy nghĩ: chiếc thuyền bị tác động bởi sức mạnh của hai người tức bởi 2 lực

+Hs trả lời : tổng sức mạnh của 2 người tức tổng hợp lực
theo hướng của

r
F

uu
r
F1

và

uur
F2

hay

r uur
r uu
F = F1 + F2

và

và

b) Học sinh nhận biết bài toán xác định lực kéo gàu nước lên.

Bài toán : Hai
uu
r người
uu
r đứng trên bờ ao, cùng kéo gàu nước tát vào ruộng lúa với hai lực
lần lượt là

F1

và

F2

. Khi đó, gàu nước sẽ được kéo lên theo hướng nào và bởi lực nào ?


TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH QUẢNG NAM
TỔ TOÁN

Học sinh thực hiện thao tác sau:
+ Hs suy nghĩ và trả lời tương tự bài tốn 1.
Hình thành kiến thức :
uu
r uu
r u
r
Tổng hai vectơ là một vectơ:

F1 + F2 = F

HOẠT ĐỘNG 2: Hình thành kiến thức tổng của hai vectơ.
1.TỔNG CỦA HAI VECTƠ.
1.1.Định nghĩa:
r
r
avaøb

uuur r uuur r
AB = a,BC = b

Cho hai vectơ
. Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ

r
uuur
r
avaøb
AC
Vectơ
được gọi là tổng của hai vectơ
.

Kí hiệu:

r r
a+ b

.

.


TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH QUẢNG NAM
TỔ TOÁN
Lưu ý:
Cho 3 điểm A, B, C tùy ý ta ln có :

uuur uuur uuur
AB + BC = AC
uuur
AB

quy tắc 3 điểm đối

uuu
r với phép cộng.
BC

(Điểm cuối của
trùng với điểm đầu của
.)
HOẠT ĐỘNG 3: Giải bài toán bằng cách áp dụng quy tắc tổng hai vectơ (quy tắc 3
điểm).
*Chuyển giao: GV phát phiếu học tập cho các nhóm thảo luận và trả lời nội dung trong phiếu
HT.
1.2. Ví dụ.
VD1. Tính tổng: uuura)
VD2. Cho vectơ
J, K theo thứ tự đó.
Mở rộng quy tắc:

AE

uuur uuur
AB + BA

b)

uuur uuu
r uuur uuur
AB + BC + CD + DE

, hãy phân tích vectơ

uuur
AE

thành tổng các vectơ có chứa các điểm I,

uuuuuu
r uuuuuu
r
uuuuuuuur uuuuuu
r
A1A 2 + A 2A 3 + ... + A n−1A n = A1A n

HOẠT ĐỘNG 4: Nhận biết bài toán liên quan kiến thức cũ dẫn đến quy tắc hình bình
hành.
uuur uuur
Bài tốn : Cho hình bình hành ABCD. Tính

AB + AD

Học sinh thực hiện thao tác sau:
+ Học sinh nắm
tắc
uuurđược quy
uuu
r 3 điểm, từ đó suy nghĩ : để tính tổng
trong 2 vectơ

AB

uuur uuur

AB + AD

AD

ta cần thay một

hoặc
uuur uuur bằng
uuur vectơ
uuur mới
uuur có gốc là ngọn của một trong 2 vectơ của đề bài.
AB + AD = AB + BC = AC

+ Học sinh trả lời:
Hình thành kiến thức:

.

Cho hình bình hành ABCD, ta có :

uuur uuur uuur
AB + AD = AC


TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH QUẢNG NAM
TỔ TOÁN
HOẠT ĐỘNG 5: Hình thành kiến thức quy tắc hình bình hành.
2. QUY TẮC HÌNH BÌNH HÀNH.
2.1. Quy tắc :
uuu

r uuur uuur
Cho hình bình hành ABCD, ta ln có : AB + AD = AC
HOẠT ĐỘNG 6: Giải bài toán bằng cách áp dụng quy tắc tổng hình bình hành.
*Chuyển giao: GV phát phiếu học tập cho các nhóm thảo luận và trả lời nội dung trong phiếu
HT.
2.2. Ví dụ:
VD1.Cho hình bình hành ABCD. Điền vào dấu “…”
uuu
r uuur
BA
+ BC = ...
a)

uuu
r uur
CB
+CA = ...
b)
uuu
r uuur
AB + AC

VD2. Cho ∆ABC, xác định
HS thực hiện thao tác:
uuu
r uuur

uuu
r uuur
DA

+ DC = ...
c)

.

AB + AC

+ HS suy nghĩ: tính
cần dựng hình bình hành có 2 cạnh lần lượt là AB, AC.
+ HS dựng hình bình hành ABDC, với D là đỉnh thứ 4 của hình bình hành.
A
B

C
D
HOẠT ĐỘNG 7: Nhận biết các tính chất của phép cộng 2 vectơ thơng qua việc vectơ hình
minh họa.
r
uuur
uuur
uuu
r r
r r
a,b,c

Cho các vectơ
a)

r
r

AB = a,BC = b,CE = c

. Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ

r r r r
a+ b b+ a

;

.

b)

r
a

r
b

Học sinh
thực
hiện thao tác:
r uuur uuur
r uuu
r
a + b = AB + BC = AC

a)

. Tính và so sánh kết quả

r r r r r
( ar + b) + c;
a + ( b + c)

( 1)

r
c


TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH QUẢNG NAM
TỔ TOÁN
r r uuur uuur
b + a = BC + AB
uuur uuur
AD = BC

Vẽ

r r uuur uuur uuur
⇒ b + a = AD + AB = AC

(quyr tắcr hình bình hành) (2)
r
r
a+ b = b+ a

Từ (1) và (2) suy ra
(tính chất giao

hốn) r uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r r
(a+ b) + c = (AB + BC) + CE = AC + CE = AE

b)

( 3)

r uuu
r uuur uuu
r uuur
r r r uuur uuu
a + (b + c) = AB + (BC + CE) = AB + BE = AE ( 4)

r

Từ (3), (4) suy ra
kết hợp)

r

( ar + b) + cr = ar + ( b+ cr )

(tính chất

Hình thành kiến thức : tính chất phép cộng các vectơ.
r r r r r
a+ 0 = 0 + a = a

⇒

Chứng minh tương tự, ta được
HOẠT ĐỘNG 8: Hình thành kiến thức tính chất của phép cộng các vectơ.
3. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CỘNG CÁC VECTƠ.
3.1. Tính chất. r
Với ∀
a)
b)

r r
a,b,c

, ta có:

r r r r
a+ b = b + a

(giao hoán)

r
r
( ar + b) + cr = ar + ( b + cr )
r r r r r
a+ 0 = 0 + a = a

c)
HOẠT ĐỘNG 9: Giải các bài toán bằng cách áp dụng các tính chất của phép cộng các
vectơ .
*Chuyển giao: GV phát phiếu học tập cho các nhóm thảo luận và trả lời nội dung trong phiếu
HT.

3.2. Ví dụ.
A, B, C , D

VD.Với 4uuđiểm
ur uuur uuur u.uu
rChứng minh rằng
AB + CD = AD + CB
a)


TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH QUẢNG NAM
TỔ TOÁN
uuur uuur uuur uuu
r r
AB + DC + BD + CA = 0

b)
HOẠT ĐỘNG 10: Nhận biết một số bài toán thực tế dẫn đến định nghĩa vectơ đối .
a) Học sinh nhận biết bài toán liên quan đến hai lực ngược hướng và độ lớn bằng
nhau.
Bài toán : Hai đội A và B chơi trò chơi kéo co. Nếu đội A kéo dây bằng một lực có độ lớn
bằng 250 N, thì đội B kéo dây bằng một lực có độ lớn bằng bao nhiêu hai đội hoà nhau.

Học sinh thực hiện thao tác sau:
+ Học sinh nhận định hai đội A, B thực hiện kéo co về 2 hướng ngược nhau và để hịa nhau thì
2 đội phải có sức như nhau, nghĩa là 2 đội có lực bằng nhau.
+ HS trả lời : đội B kéo dây một lực bằng 250 N.
Và lực kéo đội B có hướng ngược với lực kéo độiuA
và có sức kéo (độ lớnurlực) bằng đội A.
r

Hình thành kiến thức: Lực kéo đội A là

F

thì lực kéo đội B là -

F

HOẠT ĐỘNG 11:Hình thành kiến thức vectơ đối của một vectơ và hiệu của 2 vectơ.
4. HIỆU CỦA HAI VECTƠ r
r
a

4.1. Vectơ đối: rVectơ đối của
KH:

−a

là véctơ có cùng độ dài và ngược hướng với

.

*Lưu ý : Vectơ đối của là vectơr
Đặc biệt : Vectơ đối của vectơ
4.2. Hiệu của hai véctơ

* Lưu ý :

∀O , A , B

tuỳ ý:

uuur
AB

0

là

là vectơ

uuu
r
BA

r
0

. Ta viết

uuu
r
uuu
r
AB = − BA

hay

a

uuu
r
uuur
BA = − AB

r r r
r
a − b = a + (−b)

uuu
r uuu
r uuu
r
OA − OB = BA

.

quy tắc 3 điểm đối với phép trừ.


TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH QUẢNG NAM
TỔ TOÁN
HOẠT ĐỘNG 12: Giải bài toán bằng cách áp dụng vectơ đối, hiệu hai vectơ.
*Chuyển giao: GV phát phiếu học tập cho các nhóm thảo luận và trả lời nội dung trong phiếu
HT.
4.3 Ví dụ
VD1.
uuuu
r
a) Tìm véctơ đối của véctơ

b)

MN

?

Cho hình bình hành ABCD. Có nhận xét về các cặp véctơ

uuur
DA

uuur
CD

và

uuur uuur
AB BC

,

và

?

VD2.
Chouuhbh
ABCD
tâm O. Chứng
minh rằng:

ur uuu
r uuu
r
uuu
r uuur uuur
a ) CO − OB = BA

b) AB − BC = DB

HOẠT ĐỘNG 13: Nhận biết biểu thức vectơ liên quan đến trung điểm đoạn thẳng, trọng
tâm tam giác dựa trên các quy tắc đã học.
Bài toán 1: Cho đoạn thẳng
AB, I là trung điểm đoạn thẳng AB.
uu
r uur r
IA + IB = 0

Chứng minh:
Học sinh thực hiện thao tác sau:
+ HS suy nghĩ và trả lời :

uur uur
IB = AI
I trung điểmuurđoạn
thẳng
AB
nên
, do đór r
uur r
uu

r uur r
uu
r r
IA + IB = 0 ⇔ IA + AI = 0 ⇔ II = 0 ⇔ 0 = 0

( luôn đúng)
Suy ra, điều phải chứng minh đúng.
Bài toán 2: Cho tam giácuABC,
G là trọng tâm tam giác ABC.
uu
r uuu
r uuur r
GA + GB + GC = 0

Chứng minh:
Học sinh thực hiện thao tác sau:
+ HS suy nghĩ và trả lời :


TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH QUẢNG NAM
TỔ TOÁN

*Gọi Muulà
trung
điểm AB.
u
r uuu
r uuur r
GA + GB + GC = 0

Ta có:

uuuu
r uuur r
⇔ GC ′ + GC = 0

( Với

C′

là đỉnh thứ 4 của hình bình hành

Vì M là trung điểm của AB nênuuM
cũngr là rtrung điểm của
ur uuuu

GC ′

(do

AGBC ′

AGBC ′

)

là hbh)

⇒ MG = MC ′ ⇒ GC ′ = GC ⇒ GC + GC ′ = 0

*Mệnh đề đảo chứng minh tương tự
Hình thành kiến thức:
uu
r uur r
a) I là trung điểm AB
b) Gọi G là trọng tâm

⇔ IA + IB = 0

∆

ABC

uuu
r uuu
r uuur r
⇔ GA + GB + GC = 0

HOẠT ĐỘNG 14: Hình thành kiến thức công thức trung điểm đoạn thẳng, trọng tam tam
giác.
5. ÁP DỤNG
5.1. Công thức
a) I là trung điểm AB

uu
r uur r
⇔ IA + IB = 0

uuu
r uuu

r uuur r
⇔ GA + GB + GC = 0

b) Gọi G là trọng tâm ABC
HOẠT ĐỘNG 15: Giải bài toán bằng cách áp dụng kiến thức công thức trung điểm đoạn
thẳng, trọng tam tam giác.
5.2.Ví dụ.
VD1.Cho tứ giácuuABCD.
u
r uuur Gọi
uuur E,uuFurlầnr lượt là trung điểm AB, CD. Gọi O là trung điểm
OA + OB + OC + OD = 0
EF. Chứng minh rằng:
.
VD2.Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt
là
uuuu
r trung
uuur điểm
uuur của
r AB, AC, BC. Gọi G là
GM + GN + GP = 0
trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
.
HOẠT ĐỘNG 16: Vận dụnguurkiếnuthức
Toán học vào Vật lý.
u
r
Bài toán . Cho hai lực

F1

và

F2

cùng tác động vào một vật tại điểm M . Cho biết cường


TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH QUẢNG NAM
TỔ TOÁN
uu
r uu
r
F1 F2

độ của ,
lần lượt là 40N và 30N, góc hợp bởi
hợp tác động lên vật ?
Học sinh
thực hiện
thao tác
uu
r uuur uu
r uuur
+ Đặt

uu
r
F1

và

uu
r
F2

bằng 900 . Tìm cường độ lực tổng

F1 = MA , F2 = MB

+ Ta có

:

uur uu
r uur uuur uuur uuuu
r
Fhl = F1 + F2 = MA + MB = MC

+ Hbh AMBC có một góc bằng

90°

, với C là đỉnh thứ tư của hbh AMBC.

nên AMBC là hình chữ nhật.

uur uuuu
r

Fhl = MC = MA2 + MB 2 = 402 + 30 2 = 50 N

Do đó ,
HOẠT ĐỘNG 17: Luyện tập.
1.Nhận biết. Bài tập 2/ sgk-12
GV chuyển giao nhiệm vụ và đánh giá kết quả thực hiện của học sinh. Học sinh hoạt
động cá nhân.
Học sinh thực hiện thao tác:
+Biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi tương đương.
+ Áp dụng quy tắc cộng 3 điểm.
Hình thành kiến thức
BT2. Chứng
ABCD bấtuukì
có
uuur minh
uuur rằng
uuur với
uuurtứ giác
ur tauuluôn
ur uu
u
r uuur
r
AB + BC + CD + DA = 0
AB − AD = CB − CD
a/
.
b/
.
HD.

uuur uuur uuur
VT = AC + CD + DA = .... = VP
a/
.
b/ Cách 1. Áp dụng quy tắc trừ.
Cách 2. Áp dụng quy tắc cộng.
Cách 3. PP biến đổi tương đương.
2.Thông hiểu. Bài tập 1, 4a/sgk-12
GV chuyển giao nhiệm vụ và đánh giá kết quả thực hiện của học sinh. Học sinh hoạt
động nhóm 2 bạn cùng bàn.
Học sinhuuthực
ur uuhiện
ur thao tác:
AN = MB
+ Dựng
…

+ Dựng

uuu
r uuuu
r
AP = BM

…

A

N

P

A

M

M

B

B

Hình thành kiến thức
BT1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB.


TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH QUẢNG NAM
TỔ TỐN
Vẽ các vectơ
Giải.
• Dựng
• Dựng

uuur uuur
AN = MB
uuu
r uuuu
r
AP = BM

uuur uuur uuur uuur
MA + MB MA − MB

,

. Khi đó
. Khi đó

.

uuur uuur uuur uuur uuuu
r
MA + MB = MA + AN = MN

.

uuur uuur uuur uuuu
r
MA − MB = MA + BM
uuur uuur uuur
= MA + AP = MP.

BT4a. Cho ∆ABC đều cạnh a. Tính độ dài của các vectơ: a/
Học sinh thực
hiện thao tác:
uuur uuur

uuur uuur
AB + BC

.

AB + BC

+ Tính tổng
+ Tính độ dài của vectơ kết quả
Hình thành kiến thức
Giải.
uuur uuur uuur
AB + BC = AC
a/ Ta có
. Do đó

uuur uuur
uuur
AB + BC = AC = AC = a

.

3.Vận dụng. Bài tập 3,4b /sgk-12

GV chuyển giao nhiệm vụ và đánh giá kết quả thực hiện của học sinh. Học sinh hoạt
động nhóm 2 bạn cùng bàn.
Học sinh thực hiện thao tác:
+ Sử dụng quy tắc cộng ( hoặc trừ) 3 điểm .
Có 3 cách giải:
*Cách 1 : Biến đổi VT thành VP.
*Cách 2. PP biến đổi tương đương.
*Cách 3. Vì ABCD là hình bình hành ⇔ đẳng thức cần c/m.
Hình thành kiến thức

BT3. Cho hình bình hành
ABCDr vàumột
điểm
M tuỳ ý.
uuur uuuu
uur uuuu
r
Chứng minh rằng

MA + MC = MB + MD

.

Giải.
M
D

A

B

Cách 1.

uuur uuuu
r uuur uuu
r uuuu
r uuur
VT = MA + MC = MB + BA + MD + DC

uuur uuuu

r uuu
r uuur
= MB + MD + BA + DC

C


TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH QUẢNG NAM
TỔ TOÁN
uuur uuuu
r uuu
r uuu
r
= MB + MD + BA + AB
uuur uuuu
r uuu
r
= MB + MD + BB
uuur uuuu
r
= MB + MD = VP

(đpcm)

BT4b. Cho ∆ABC đều cạnh a. Tính độ dài của các vectơ: b/
Học sinh thực
hiện thao tác:
uuur uuur

uuur uuur

AB − BC

.

AB − BC

+ Tính hiệu
+ Tính độ dài của vectơ kết quả
Hình thành kiến thức
Giải.
Cách 1:
uuur uuur
uuu
r uuur

uuu
r uuur
uuur uuur
AB − BC = − BA − BC = −( BA + BC ) = − BD = DB

+ Biến đổi:
ABCD .

, với D là đỉnh thứ 4 của hbh

uuu
r uuur
uuur
AB − BC = DB = DB

+
Gọi O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.
Suy ra : DB=2BO.
Vì ∆ABC đều cạnh a , BO =

a 3
2

uuu
r uuur
uuur
⇒ AB − BC = DB = DB = a 3

Cách 2:
+Dựng

uuur uuu
r
BD = CB

, khiuuđó
ta có r uuur uuur uuur
u
r uuur uuu

uuur
AB − BC = AB + CB = AB + BD = AD.


TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH QUẢNG NAM

TỔ TOÁN

uuur uuur
uuur
AB − BC = AD = AD

+

.
AB =

Do ∆ACD có trung tuyến

1
DC
2

nên ∆ACD vuông tại A

AD = DC 2 − AC 2 = a 3
uuu
r uuur
uuur
⇒ AB − BC = AD = AD = a 3

.

4.Vận dụng cao. Bài tập 10 /sgk-12

GV chuyển giao nhiệm vụ và đánh giá kết quả thực hiện của học sinh. Học sinh hoạt

động nhóm .
Học sinh thực hiện thao tác:
uuu
r uu
r uur uu
r
+ Tìm tổng hợp lực tác động lên
vật.
uuu
r r

Fhl = F1 + F2 + F3

Fhl = 0

+ ĐK để vật đứng yên là gì?
+ Sử dụng quy tắc tính hình bình hành tính
Hình thành kiến thức

F3

uu
r uuur uu
r uuur uu
r uuur
F1 = MA, F2 = MB, F3 = MC
BT10. Cho ba lực
cùng tác động vào một vật tại điểm M và
uu
r uu

r
·
0
F F
vật đứng yên. Cho biết cường độ của 1 , 2 đều là 100N và AMB = 60 .Tìm cường độ và hướng
F3

lực

?

Gợi ý :

uu
r uu
r uu
r r
uu
r
uu
r uu
r
ur
F1 + F2 + F3 = 0 Û F3 = - (F1 + F2) = - F
uu
r
F3 = MD = 100 3

HOẠT ĐỘNG 18. Hướng dẫn học ở nhà.
a/ Học sinh ôn tập nội dung bài học và trả lời câu hỏi :

TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ TỈNH QUẢNG NAM
TỔ TOÁN
+ Bài học hơm nay em đã học thêm được điều gì ? Từ khóa nào trong bài học em cần chú ý ?
+ Hãy tìm thêm những ví dụ trong cuộc sống có thể áp dụng kiến thức này.
b/ Thực hành giải bài tập 5,6,7,8,9/sgk-12.
Cơ hội học tập trải nghiệm và phát triển năng lực cho học sinh:
+ Thông qua hoạt động 1,4,10,11,14 học sinh trải nghiệm, bước đầu hiểu được quy tắc cộng,
trừ vectơ, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm củ đoạn thẳng, trọng tâm tam giác. Hiểu
được lúc nào áp dụng quy tắc cộng, trừ vectơ, quy tắc hình bình hành vào tính tốn. Từ đó, có
cơ hội góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận, mơ hình hóa tốn học và năng lực với
giải quyết vấn đề.
+ Thông qua hoạt động 16, học sinh thực hành kiến thức tốn vào mơn Vật lý, từ đó có góp
phần năng lực phát triển mơ hình hóa tốn học, tư duy lập luận, năng lực giải quyết vấn đề.