Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann liên quan đến xác suất không giao hoán

Đại học quốc gia Hà Nội
trường đại học khoa học tự nhiên
----------------------------

Nguyn Th Thu Quyờn

Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann
liên quan đến xác suất không giao hoán

Luận văn thạc sĩ khoa học

H Ni 2013


Đại học quốc gia Hà Nội
trường đại học khoa học tự nhiên

----------------------------

Nguyn Th Thu Quyờn

Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann
liên quan đến xác suất không giao ho¸n

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60 46 15
Người hướng dẫn: PGS.TS Phan Vit Th

Luận văn thạc sĩ khoa học

H Ni - 2013

MỤC LỤC
Mở đầu
Chương 1. Đại số Banach, đại số C * , đại số von Neumann

Trang

3
6-11

1.1 Định nghĩa và ví dụ

6

1.2 Đại số C *

9

1.3 Đại số von Neumann

10

Chương 2. Một số khái niệm cơ bản của đại số von Neumann dùng
trong xác suất khơng giao hốn-hay xác suất lượng tử

12-38

2. 1. Mở đầu, hoán tập,hoán tập bậc hai- Định lý cơ bản của von
Neumann, không gian con A-bất biến

12

2.2. Phiếm hàm tuyến tính dương, biểu diễn GNS, trạng thái thuần túy
và biểu diễn bất khả quy

15

2.3. Biểu diễn GNS của Gelfand – Naimark – Segal (GNS –
representation)

16

2.4. Phép đẳng cự bộ phận, sự khai triển cực, sự tương đương của các
phép chiếu

21

2.5. Tôpô lồi địa phương trên B(H)

24

2.6. Các lớp toán tử Hilbert – Schmidt và toán tử – vết, tiền đối ngẫu
của đại số von Neumann

26

2.7. Phiếm hàm tuyến tính dương chuẩn tắc, vết, phép metric hóa của
topo mạnh trong hình cầu đơn vị của đại số von Neumann

31

Chương 3. Xác suất khơng giao hốn
3.1. Nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong xác suất cổ điển

42-57
42


3.2. Các khơng gian xác suất khơng giao hốn

43

3.3. Một số dạng khơng gian L p khơng giao hốn

47

3.4. Đại số L  , F ,  , A 

49

Kết luận

54

Tài liệu tham khảo

55

MỞ ĐẦU
Luận văn nhằm giới thiệu những khái niệm cơ bản của đại số von Neuman và xác
suất không giao hoán, đây là những khái niệm ra đời từ cơ học lượng tử, vì vậy ta có thể
coi xác suất khơng giao hốn là xác suất lượng tử.
Cơ học lượng tử là một lý thuyết cơ học, nghiên cứu về chuyển động gần với vận
tốc ánh sáng và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như năng lượng và
xung lượng, của các vật thể nhỏ bé, ở đó lưỡng tính sóng hạt ( tính chất sóng và tính
chất hạt) được thể hiện rõ . Lưỡng tính sóng hạt được giả định là tính chất cơ bản của vật
chất, chính vì thế cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép
mơ tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không
thể giải thích. Quan điểm về xác suất được sử dụng rất nhiều trong cơ học lượng tử bởi
vì theo nguyên lý Heisenberg ta khơng thể xác định chính xác đồng thời vị trí và vận tốc
của hạt vi mơ, khơng xác định được quỹ đạo của hạt chuyển động. Thế nên người ta tìm
cách tiên đốn xác suất để chúng ở trong một miền xác định nào đó.
Cơ học lượng tử được hình thành vào nửa đầu thế kỷ 20 do Max Planck, Albert
Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born, John von
Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli và một số người khác tạo nên.
Có nhiều phương pháp tốn học mơ tả cơ học lượng tử, chúng tương đương với
nhau. Một trong những phương pháp được dùng nhiều nhất đó là lý thuyết biến đổi, do
Paul Dirac phát minh ra nhằm thống nhất và khái qt hóa hai phương pháp tốn học
trước đó là cơ học ma trận (củaWerner Heisenberg) và cơ học sóng (của Erwin
Schrưdinger).
Theo các phương pháp tốn học mơ tả cơ học lượng tử này thì trạng thái lượng tử của
một hệ lượng tử sẽ cho thông tin về xác suất của các tính chất, hay cịn gọi là các đại
lượng quan sát (đôi khi gọi tắt là quan sát), có thể đo được. Các quan sát có thể là năng
lượng, vị trí, động lượng (xung lượng), và mơ men động lượng... Các quan sát có thể là
liên tục (ví dụ vị trí của các hạt) hoặc rời rạc.
Nói chung, cơ học lượng tử khơng cho ra các quan sát có giá trị xác định. Thay vào
đó, nó tiên đoán một phân bố xác suất, tức là, xác suất để thu được một kết quả khả dĩ từ
một phép đo nhất định

Trong các cơng thức tốn học rất chặt chẽ của cơ học lượng do Paul Dirac và John
von Neumann phát triển, các trạng thái khả dĩ của một hệ cơ học lượng tử được biểu


diễn bằng các véc tơ đơn vị (còn gọi là các véc tơ trạng thái) được thể hiện bằng các hàm
số phức trong khơng gian Hilbert (cịn gọi là khơng gian trạng thái). Khơng gian trạng
thái của vị trí và xung lượng là khơng gian của các hàm bình phương khả tích. Mỗi quan
sát được biểu diễn bằng một tốn tử tuyến tính Hermit xác định (hay một tốn tử tự liên
hợp) tác động lên không gian trạng thái
Các nguyên tắc cơ bản của cơ học lượng tử rất khái quát. Chúng phát biểu rằng
không gian trạng thái của hệ là không gian Hilbert và các quan sát là các tốn tử
Hermit tác dụng lên khơng gian đó.
Cơ học lượng tử hiện đại được ra đời năm 1925, khi Heisenberg phát triển cơ học ma
trận và Schrödinger sáng tạo ra cơ học sóng và phương trình Schrưdinger. Sau đó,
Schrưdinger chứng minh rằng hai cách tiếp cận trên là tương đương.
Heisenberg đưa ra nguyên lý bất định vào năm 1927 và bắt đầu vào năm 1927, Paul
Dirac thống nhất lý thuyết tương đối hẹp với cơ học lượng tử. Ông cũng là người tiên
phong sử dụng lý thuyết toán tử, trong đó có ký hiệu Bra-ket rất hiệu quả trong các tính
tốn như được mơ tả trong cuốn sách nổi tiếng của ông xuất bản năm 1930. Cũng vào
khoảng thời gian này John von Neumann đã đưa ra cơ sở toán học chặt chẽ cho cơ học
lượng tử như là một lý thuyết về các tốn tử tuyến tính trong khơng gian Hilbert. Nó
được trình bày trong cuốn sách cũng nổi tiếng của ông xuất bản năm 1932. Các lý thuyết
này cùng với các nghiên cứu khác từ thời kỳ hình thành cho đến nay vẫn đứng vững và
ngày càng được sử dụng rộng rãi.
Khơng gian xác suất khơng giao hốn mà chúng ta sẽ đề cập là một cặp  ,  trong
đó là một đại số von Neumann (trên một khơng gian Hilbert khả ly), và phiếm hàm
tuyến tính liên tục yếu  :    biến đơn vị thành đơn vị, gọi là vết thỏa mãn:
1. có tính dương:   X   0 nếu X là phần tử không âm, tức là X = Y * Y;
2. trung thành:   X * X   0 khi và chỉ khi X = 0;
3. có tính vết:  (XY) =  (YX) .

Mối liên hệ của ý tưởng trên với "xác suất" được thông qua bởi định lý cơ bản sau:
Với mỗi phân tử tự liên hợp X   , luôn tồn tại độ đo xác suất Borel 
cho

 

n
n
 t  X dt    X


X

trên  sao


Như vậy ta có các khái niệm xác suất khơng giao hoán tương ứng:
- đại lượng quan sát A   : đại lượng ngẫu nhiên (khơng giao hốn);
- trạng thái  : kì vọng, có tác dụng xác định phân phối;
- đại số von Neumann được trang bị trạng thái  thỏa mãn (1-2-3): không gian xác suất
(không giao hốn).
Nội dung của luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức bổ trợ cho chương 2, bao gồm các định nghĩa, ví
dụ và các tính chất cơ bản cũng như mối quan hệ giữa ba dạng đại số định chuẩn: Đại số
Banach, đại số C * và đại số von Neumann.
Chương 2: “Một số khái niệm cơ bản của đại số von Neumann dùng trong xác suất
khơng giao hốn - hay xác suất lượng tử ”.
Chương 3: Trình bày về xác suất khơng giao hốn, trong đó nhắc lại một số khái niệm
cơ bản trong xác suất cổ điển và từ đó tiếp cận một cách tổng quan các kết quả về các
không gian xác suất khơng giao hốn, khơng gian LP khơng giao hốn cho đại số von

Neumann; ngoài ra là định nghĩa và một số kết quả về đại số L  , F ,  , A  , đại số giao
hoán von Neumann cũng được giới thiệu trong chương này.
Hoàn thành được luận văn này, trước tiên tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến
người hướng dẫn khoa học của mình là PGS.TS Phan Viết Thư, người thầy đã đưa ra đề
tài và tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tơi trong suốt q trình thực hiện luận văn. Đồng thời
tơi cũng xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cơ thuộc khoa Tốn – Cơ – Tin
học, Bộ mơn Xác suất thống kê, Phịng Đào tạo, Phịng Sau đại học – trường ĐHKHTN
– ĐHQGHN và các thầy cơ bên Viện Tốn học đã tận tình giảng dạy và rèn luyện cho
tôi trong suốt thời gian tôi học tập, nghiên cứu tại trường.
Cuối cùng, do khả năng và thời gian có hạn luận văn khơng tránh khỏi những sai
sót, vì vậy tơi rất mong nhận được những sự chỉ bảo, hướng dẫn của các thầy cơ và sự
góp ý của các bạn để bản luận văn này được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Học viên
Nguyễn Thị Thu Quyên


CHƯƠNG 1
ĐẠI SỐ BANACH, ĐẠI SÔ C * , ĐẠI SỐ VON NEUMANN

Chương này được coi như chương trình bày một số kiến thức bổ trợ, làm nền tảng
để theo dõi các trình bày ở các chương sau. Nội dung chính của chương nhằm giới thiệu
định nghĩa, cùng một số ví dụ và tính chất cơ bản cùng với mối quan hệ giữa ba dạng đại
số định chuẩn: Đại số Banach, đại số C * và đại số von Neumann. Về bản chất có thể coi
chúng là các khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, trên đó có định nghĩa thêm phép
nhân (thường khơng giao hốn) giữa các “vectơ” tương thích với tơ pơ sinh từ chuẩn.
1.1 Định nghĩa và ví dụ
Ta ln ký hiệu  là trường số phức và xét các khơng gian tuyến tính trên trường
phức.

1.1.1 Định nghĩa
Giả sử A là khơng gian tuyến tính (phức) và trong A có phép nhân:
A A  A

 x, y   xy
thỏa mãn các tính chất sau:
1. x(yz) = (xy)z
2. (x+y)z = xz + yz; x(y+z) = xy + xz
3.   xy    x  y  x  y  , x, y, z  A, 
Khi đó, A được gọi là một đại số phức.
Hơn nữa, nếu A là một không gian Banach (với chuẩn , ) thỏa mãn các tính chất
sau:
4.

xy  x . y ; ( x  A, y  B)

5. A chứa phần tử đơn vị 1 sao cho x.1 = 1.x = x (x  A)
6.

1 1

thì A được gọi là một đại số Banach.


1.1.2 Nhận xét
- Phép nhân nói chung khơng nhất thiết giao hốn. Nếu phép nhân giao hốn thì
đại số (đại số Banach) giao hoán.
- Điều kiện 4 là quan trọng nhất nói lên mối liên hệ giữa phép nhân và chuẩn. Các
điều kiện 5, 6 không phải là cốt yếu.
Thật vậy, giả sử A là một không gian Banach thỏa mãn các tính chất 1 – 4. Ta xét

Ta đưa vào A 1 cấu trúc tuyến tính thơng thường, phép nhân và chuẩn được xác định
như sau:

 x,  y,    xy   y   x, 
 x, y   x  
Khi đó, các điều kiện 1 – 6 được thỏa mãn, trong đó phần tử đơn vị là 1 = (0,1). Với
phép đẳng cấu các đẳng cự x  ( x, 0) của đại số A với một đại số con của đại số A 1 , ta
có thể xem A là một đại số con của đại số A 1 đó là đại số Banach.
-Phép nhân là liên tục theo nghĩa: Nếu x  x, y  y thì x y  xy .
n

n

n n

1.1.3 Định nghĩa
Giả sử A, B là hai đại số phức. Ta xét ánh xạ  : A  B . Nếu  tuyến tính và nhân
tính theo nghĩa   xy     x    y  thì  sẽ gọi là một đồng cấu. Trường hợp  là đồng
cấu khả nghịch thì  gọi là đẳng cấu.
Nếu  thêm tính liên tục, A, B là các đại số Banach thì  được gọi là một đồng
cấu (đẳng cấu nếu  khả nghịch) giữa hai đại số Banach.
Chú ý: Trong nhiều trường hợp từ tính chất nhân tính suy ra tính chất liên tục.
1.1.4 Các ví dụ
1. Bản thân trường số phức là một đại số Banach giao hoán với phép cộng và
nhân thông thường.
2. Giả sử K là tập compact trong không gian tách được. Ký hiệu:
A  C (k )   f : k  liên tục 

Ta định nghĩa:

 f  g  u  f u   g u 
 f  u   f  u 
f , g C k 

 f .g  u  f  u  .g  u 
f  max f  u 
uK

Khi đó C(k) là một đại số Banach giao hoán; đặc biệt khi card(K) = n thì C (k )  n không gian phức n chiều.
3. Giả sử H là không gian Hilbert A = B (H,H) = B (H) với phép cộng, nhân các
tốn tử tuyến tính theo nghĩa thơng thường.
A  sup Ah
h 1

Khi đó, A là một đại số Banach – khơng giao hốn với phép nhân hai toán tử là lấy ánh
xạ hợp.
4. Ký hiệu l là không gian các dãy số phức khả tổng tuyệt đối
1

x  (..., x

, x ,..., x ) với chuẩn:

n 1

n

x 



x



k

k  

Khi đó, l1 là khơng gian Banach. Ta định nghĩa phép nhân chập trong l1 như sau:
z  x y

với zn 


.y
 x
k  nk k

Ta có:

z  z  x
n

n

n k

y   x

nk k

k k

nk

.y

k


 n

Phần tử đơn vị là e  e :
0 khi n  0
e 
n 1 khi n  0

Khi đó, l1 là một đại số Banach giao hốn.
1.2 Đại số C *
Đại số C * là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của giải tích hàm. Một đại số C *
là một đại số Banach phức A của các tốn tử mà trên đó có định nghĩa thêm phép toán *
( đối hợp) x  x* thỏa mãn điều kiện C * :
x  A : x*x  x x*

liên tục trên một không gian Hilbert phức với hai tính chất:
1) A là tập đóng trong topo chuẩn của tốn tử.
2) A là đóng đối với phép lấy liên hợp của toán tử.

C * - đại số được biết đến như là đối tượng toán học hàng đầu dùng trong cơ học
lượng tử để mơ hình hóa đại số của các đối tượng vật lý quan sát được. Hướng nghiên
cứu này bắt đầu bởi Heisenberg với cơ học ma trận, và phát triển dưới dạng toán học bởi
Pascual Jordan năm 1933.
Tiếp theo đó John von Neumann tiếp tục phát triển mạnh mẽ hướng nghiên cứu
đã xây dựng một lớp đặc biệt của C * - đại số mà sau này gọi là đại số von Neumann.
Định nghĩa trừu tượng của C * - đại số được đưa ra năm 1943 bởi Gelfand và Neimark:
1.2.1 Định nghĩa
Một đại số C * , A là một đại số Banach trên trường số phức  , cùng với ánh xạ
*: A  A; x  x* , với tính chất:
*

 

1) Với mọi x  A : x**  x*

 x (tức là * là đối hợp)

2) Với mọi x, y  A : ( x  y)*  x*  y*

 xy *  y* x*


3) Với mọi   , x  A :   x *   x*
4) Với mọi x  A : x*x  x x*
Đẳng thức cuối cùng này gọi là đẳng thức C * , nó tương đương với:
Với mọi x  A : xx*  x x*
Mối quan hệ này tương đương với x* x  x 2 , đẳng thức này đôi khi gọi là đẳng thức
B* .
1.2.2 Ví dụ C * - đại số của các tốn tử.

Một ví dụ quan trọng của C * - đại số là đại số B(H) của các tốn tử tuyến tính bị
chặn (tương đương với liên tục) định nghĩa trên không gian Hilbert phức H, ở đây x * ký
hiệu toán tử liên hợp của toán tử x : H  H .
Định lý Gelfand – Naimark nói rằng: mọi C * - đại số A là * - đẳng cấu với một đại
số con của B(H) đóng đối với chuẩn và đóng đối với lấy liên hợp với H là một khơng
gian Hilbert thích hợp.
1.2.3 Ví dụ C * - đại số giao hoán.
Cho X là một không gian Hausdorff compact địa phương. Không gian C0 ( X ) của
các hàm giá trị phức, liên tục trên X và triệt tiêu ở vô cùng lập thành một C * - đại số,
C0 ( X ) với phép cộng và nhân hai hàm số f , g  C0 ( X ) theo điểm (theo cách thông
thường). Phép liên hợp là lấy liên hợp phức theo từng điểm.
1.3 Đại số von Neumann
Đại số von Neumann còn gọi là đại số W* ( W* - đại số trước năm 1960) là dạng
đặc biệt của đại số C* . Nó địi hỏi phải đóng đối với topo tốn tử yếu, là topo yếu hơn
topo chuẩn toán tử .
C* - đại số và lý thuyết trường lượng tử.

Trong cơ học lượng tử, người ta mô tả một hệ thống vật lý bởi một C* - đại số A
với phần tử đơn vị. Các phần tử tự liên hợp của A ( x  A với x*  x ) được coi là các đại
lượng quan sát được, là đại lượng đo được của hệ thống (giá trị quan sát được là một


điểm thuộc phổ của x, lúc đó là một số thực vì x là tự liên hợp). Một trạng thái của hệ
thống là một phiếm hàm tuyến tính dương trên A (là một ánh xạ  - tuyến tính

 

 : A   sao cho  u*u  0 với mọi u  A - khi đó u*u  A ) sao cho  1  1 . Giá trị
kỳ vọng của đại lượng quan sát được x  A là   x  , nếu hệ thống ở trong trạng thái  .
Tất cả các khái niệm này đều dẫn đến ý tưởng xây dựng không gian xác suất khơng giao

hốn gọi là C* - khơng gian xác suất hay W* - không gian xác suất.


CHƯƠNG 2
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ VON NEUMANN DÙNG
TRONG XÁC SUẤT KHƠNG GIAO HỐN – HAY XÁC SUẤT LƯỢNG TỬ

2. 1. Mở đầu, hoán tập,hoán tập bậc hai- Định lý cơ bản của von Neumann, không
gian con A-bất biến
2.1.1. Các định nghĩa và ký hiệu
Cho H là một không gian Hilbert, B(H) là đại số của tất cả các tốn tử tuyến tính
bị chặn trên H. Một đại số Von Neumann là 1 đại số con A của B(H) mà có tính chất tự
liên hợp (tức với x A kéo theo x*  A ), chứa 1 (tốn tử đồng nhất) và đóng trong topo
tốn tử yếu. A là ký hiệu nón gồm tất cả các phần tử dương của A. p A dùng để chỉ
roj
tập tất cả các phép chiếu trực giao trong A. Với họ ( pi )  p A , ta đặt:
iI
roj
V p = phép chiếu lên không gian con  pi ( H )
iI i
iI

 p = phép chiếu lên không gian con  pi ( H )
iI i
iI

Hoán tập M ' của một tập M  A là tập gồm tất cả y  B( H ) giao hoán với mọi
x  M . Đặt ( M ' )'M " ( hốn tập bậc 2 của M)
'
Rõ ràng ta có: M  M " , do đó M '''  M "  M '

 

Lại có
Và

"
M '  M '  M '''  M '  M '''  M (V )  ...

 




M M" M 

iv 

 ...

Dễ nhận thấy rằng hoán tập A' của một đại số von Neumann cũng là một đại số von
Neumann
Cho Y là một khơng gian con tuyến tính đóng của H. Ta nói rằng Y là bất biến đối
với A nếu A Y   Y


2.1.2. Định lý
Một khơng gian con tuyến tính đóng Y của H là bất biến đối với A nếu và chỉ nếu
P  A ' - trong đó PY là phép chiếu trực giao lên Y.
Y

Thật vậy:
+ Nếu P  A' thì: Với x  A, y  H ta có: xh  xP h  P xhY
Y

Y

Y

Suy ra Y là A – bất biến.
+ Ngược lại, giả sử rằng Y là bất biến dưới A thì ta có: Với x A ,
xP  H   Y  P xP  xP
Y

Y

Y

Y

*
*
 P x  x*P  P x*P
 P xP  xP
Y



Y

 Y

Y



Y

Y

Y

 P  A'
Y

2.1.3. Định nghĩa
1) Một vectơ h H được gọi là tuần hoàn đối với A nếu  xh : x A  H .
Ở đây,  z,... ký hiệu không gian con tuyến tính đóng của H được căng (spanned)
bởi z 's
2) Ta nói rằng 1 vectơ h H là tách A nếu từ điều kiện x A và xh  0 kéo theo
x 0
Ta sẽ chỉ ra rằng h là tuần hoàn đối với A nếu và chỉ nếu h là tách đối với A' . Thật vậy:
+ Giả sử h là tách đối với A' . Đặt Y   xh : x A . Khi đó theo định lý 2.1.2 ,
P  A' và ta có 1 P  h   0 1 P , điều này có nghĩa là Y = H
Y



Y



Y

Do vậy h là tuần hoàn đối với A
+ Ngược lại, nếu Y   xh : x A  H thì từ điều kiện y  A' và yh  0 , kéo theo
yxh  xyh  0 . Do vậy y triệt tiêu trên Y  H  y  0 . Nghĩa là h tách A' .
Phần tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh một trong những tính chất đặc trưng nhất
trong định lý của đại số von Neumann.


2.1.4. Định lý (Hoán tập bậc hai của von Neumann)
Nếu A là 1 đại số Von Neumann thì A"  A
Chứng minh
Giả sử A tác động trên một không gian Hilbert H. Với n nguyên dương bất kỳ đặt
H  n   H  H  ...  H (n lần)

 

Mỗi phần tử của B H  n  được cho bởi ma trận  b 
với các hạng tử thuộc B  H  .
 ij n  n
Với x  A, cho xˆ   ij x và A là tập hợp tất cả các toán tử như vậy. Đó rõ ràng là
( n)
một đại số von Neumann.
Cho  b  B  H n  khi đó
 ij 

 
'
 bij  A n  (tập giao hoán của A n  ) khi và chỉ khi

 

b A'i, j
ij

Do đó, nếu yA" thì y    y  A"n 
 ij 
Cho g  h  h  ...  h là một phần tử cố định của H  n  và ký hiệu A g là bao
1
2
n
n

ˆ ; x A
đóng của tập  xg
Giả sử p là phép chiếu (trực giao) lên A

n

khi đó, theo định lý 2.1.2, p A'

 n

và A

n

g

g là bất biến dưới yˆ với y  An . Điều này

2
n
ˆ   , tức là  yh  zh  
nghĩa là   0 ,  phép toán z  A sao cho yˆ g  zy
i
i 1 i

Chứng tỏ rằng A là trù mật trong A" trong topo toán tử mạnh nên vẫn đúng với
topo toán tử yếu. Do vậy A  A"


2.2. Phiếm hàm tuyến tính dương, biểu diễn GNS, trạng thái thuần túy và biểu diễn
bất khả quy.
2.2.1. Định nghĩa. Một phiếm hàm tuyến tính  trên A được gọi là dương nếu
  x   0 x  A .
Phiếm hàm  được gọi là trung thành (faithful) nếu   x   0  x  0 x A

.

 

Dễ dàng thử lại rằng nếu  là 1 phiếm hàm tuyến tính dương trên A thì  x*    x 
Nếu  là một phiếm hàm dương trên A thì x, y  A , ta có:

 

 y* x

2

  

  y* y  x*x

(*)

(Có thể coi đây là bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovski-Schwartz đối với  )
*
Thật vậy:  phức, ta có     x  y    x  y    0




1
và t thực
  t x* y  y*x

   
t 2  x*x   2t   y*x     y* y   0

Với
Ta có
Kéo theo bất đẳng thức (*)□

* Mọi hàm tuyến tính dương  đều bị chặn và    1
1

Thật vậy:

  x    1

2

 

1

 x*x 2 và x*x  x*x

1

 

Do đó

 x*x  x*x  1

Và vì vậy

  x    1 x

Một phiếm hàm tuyến tính dương  trên A được gọi là một trạng thái nếu  1 1
2.2.2. Mệnh đề. Cho h H và  là một phiếm hàm tuyến tính dương trên A sao cho:


  x    xh, h  x A
Khi đó  phần tử z  A' , 0  z  1 , sao cho:   x    xzh, zh  x A
Chứng minh
Với x, y  A , ta có:

 

 y* x

2

  

  y* y  x* x  yh 2 xh 2

 

Do đó, đặt xh, hy   y*x , ta định nghĩa trên không gian con  xh : x A  Y một dạng
bán song tuyến tính Hecmit dương với chuẩn  1; vì vậy tồn tại một tốn tử Hecmit z

0

 

trong khơng gian Y sao cho:  y*x  xh, z yh , z 1
0



0

Với x, y, w  A , ta có:

 wh, z0 xyh     xy * w    y*  x*w     x*wh, z0 yh   wh, xz0 yh 

 z x  xz trên Y
0

0

Hơn nữa, không gian con Y là bất biến dưới A nên P  A' (do định lý 2.1.2)
Y

Do đó z P  A' và 0  z P 1 . Đặt z  z P
0 Y

0 Y

1

 0 Y  2 . Khi đó ta có:
  x    xh, z0h    xh, z0 PY h    xzh, zh 

2.3. Biểu diễn GNS của Gelfand – Naimark – Segal (GNS – representation).
2.3.1. Định nghĩa. Một ánh xạ tuyến tính  của đại số von Neumann A lên đại số B(K)
của các tốn tử tuyến tính bị chặn tác động trong một không gian Hilbert K gọi là một
* - biểu diễn của A (trong K) nếu:
  xy    x    y 

và

*
 x*    x  x, y  A

 

nói cách khác, một * - biểu diễn của A là một cặp , K  gồm một không gian Hilbert K
và một * - đồng cấu  của A vào B  K  .
Ta nói rằng , K  là một biểu diễn tuần hoàn nếu  một vectơ tuần hoàn trong K cho
  A

2.3.2. Định lý Gelfand – Naimark – Segal (GNS)
Với mỗi phiếm hàm tuyến tính dương  trên A tồn tại một biểu diễn tuần hoàn
, K  của A với một vectơ tuần hoàn  sao cho:



  x  ,     x x  A
 
    



Chứng minh

 

Với x, y  A , đặt x, y   y*x . Khi đó A trở thành một không gian tiền Hilbert.
2

    y* y   x*x  , tập M gồm x A sao cho   x*x   0 cũng là tập các x A
sao cho   y*x   0 y  A .
Từ  y*x

Do đó đây là một iđêan trái của A và không gian thương A/M là một không gian
tiền-Hilbert Hausdorff. Cho K là bổ sung của nó. Ánh xạ chính tắc T của A lên A/M là
một ánh xạ tuyến tính của A lên một không gian con trù mật của K . Hơn nữa, với
x A , định nghĩa toán tử trong A của phép nhân trái bởi x (tức là: y  xy ), bằng cách


chuyển qua không gian thương là một phép tốn tuyến tính x trong A/M.

 

Với một y cố định  A , đặt  y  x    y*xy .

 y là một phiếm hàm dương, vì vậy:



  

 

 y*x*xy   y x*x  x*x  y 1  x*x  y* y


Từ bất đẳng thức này suy ra rằng phép toán x có chuẩn  1
Thật vậy: Với y  A , ta có:


2
xy, xy   y*x*xy  x*x  y* y  x y, y





 



Do đó x mở rộng thành một tốn tử tuyến tính lien tục   x  tác động trong

K . Dễ dàng kiểm tra rằng x   x  là một *- đồng cấu sao cho 1  1 .
H
K



Ví dụ, với x, y, z  A , ta có:
*
  x  T y , Tz  T y ,   x  Tz  y, xz   z*x* y  x* y, z   x* T y , Tz








 

*

Do đó:   x    x* . Hơn nữa, đặt   T 1  K , ta có:
H





 

 

  x      x  T 1  T  x  , vậy  là tuần hoàn đối với   A





   

Cuối cùng:   x   ,     x  T 1 , T 1
H
H

 


x,1    x  □
H

Nếu  là trung thành thì M  0 , từ điều kiện   x    0 kéo theo T  x   0 ,



có nghĩa là x M , do đó x  0 .
Vì vậy, trong trường hợp này,  cũng là tách đối với   A , và tất nhiên  là một * đẳng cấu (tức là: một song ánh * - đồng cấu) của A lên   A .
Biểu diễn  K ,   được xây dựng ở trên được gọi là biểu diễn tuần hoàn liên kết với  .





Nó cũng được ký hiệu là K ,  ,  để chỉ vectơ tuần hoàn  .
  
2.3.3. Định nghĩa. Một trạng thái  trên một đại số von Neumann được gọi là thuần túy
nếu các phiếm hàm tuyến tính dương  được làm trội bởi  (tức là:

  x     x  x A ) chỉ có dạng    với 0   1 .
Ta nhận thấy rằng, với đại số von Neumann A bất kỳ, tập các trạng thái thuần túy
là khác rỗng. Thật vậy:
Cho E là tập tất cả các trạng thái trên A. Đó là một tập * - compact lồi yếu. Do đó,
theo định lý Krein – Milman, E có các điểm cực biên.
Gọi  là một điểm cực biên, ta sẽ chỉ ra rằng  là một trạng thái thuần tuý.


Giả sử trái lại thì tồn tại một trạng thái    và 0   1 sao cho    1 .
1
Đặt  2     1  1     2 1 1 , vậy  2 cũng là một trạng thái. Nhưng
   1  1    2 , vậy  không là cực biên (mâu thuẫn).

Chứng tỏ  là một trạng thái thuần tuý.
2.3.4. Định nghĩa.

Một tập M của những tốn tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert H được
gọi là bất khả quy nếu các khơng gian con đóng của H là bất biến dưới tác động của M
chỉ gồm các không gian con tầm thường 0 và H.
Một biểu diễn  H ,  của đại số von Neumann A được gọi là bất khả quy nếu tập
  A là bất khả quy trên H.

2.3.5. Định lý.
Cho  là một trạng thái trên đại số von Neumann A. Khi đó biểu diễn tuần hoàn

H ,  ,  của A liên kết với  là bất khả quy nếu và chỉ nếu  là một trạng thái
thuần tuý.
Chứng minh





Giả sử rằng H ,  ,  là không bất khả quy, khi đó tồn tại một khơng gian
  
con A bất biến không tầm thường của H. Theo định lý 2.1.2, phép chiếu p lên không
'

gian con này thuộc   A (tập giao hoán) và p < 1.
Đặt

  x    p ,   x    ; x A




Rõ ràng  là một hàm tuyến tính dương trên A. Hơn nữa, ta có:

   

 x*x  x*x   1 p    x   ,   x     0




Nghĩa là  làm trội  . Do đó  khơng là một trạng thái thuần t (bởi vì 
khơng là một bội số của  )


Bây giờ giả sử rằng  không phải là một trạng thái thuần t thì tồn tại một hàm
tuyến tính dương  sao cho  x*x   x*x x A và  không là bội số của  . Theo

   

bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

 

2

2

2

      
Do đó    x   ,   y      y*x  là một dạng bán song tuyến tính bị chặn

 

 
 y*x

 y* y  x*x   y* y  x*x    y  



  x 



xác định trù mật trên H  H



 và tồn tại một phép tốn tuyến tính bị chặn duy nhất trên

 

H với T 1 sao cho:  y*x   T   x   ,   y   

 




T không là một bội số của đồng nhất thức (vì  khơng là bội của  )

 

Hơn nữa, ta có:  T   x   ,   x     x*x  0 vì vậy 0  T 1

 


Mặt khác, với x, y, z  A , ta có:
T  z  x  ,  y 

       


* 

  y*zx   z* y x 







   

*


  T   x   ,   z    y        z  T   x   ,   y   


 




 



 



Nghĩa là T  A'
Do đó, tồn tại một phép chiếu không tầm thường p A' (từ độ đo phổ của T)
chiếu H lên không gian con không tầm thường Y của H . Theo định lý 2.1.2, Y là



một không gian con (không tầm thường) của H trong đó H là một  - bất biến, vì



vậy  không bất khả quy.□


2.4. Phép đẳng cự bộ phận, sự khai triển cực, sự tương đương của các phép chiếu
Ta biết rằng biến ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất thông thường (ánh xạ đo
được) là giới hạn của dãy các hàm đơn giản đo được (tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các
hàm chỉ tiêu đo được). Tích phân của hàm chỉ tiêu của tập đo được A , là độ đo của

tập A: 1 dμ = μ(A) từ đó có thể định nghĩa của tích phân của hàm đơn giản.
A
Cịn kỳ vọng tốn học hay tích phân của một biến ngẫu nhiên nói chung có thể
định nghĩa bởi giới hạn của tích phân của các hàm đơn giản.
Khi đó trong xác suất lượng tử, tương ứng với biến ngẫu nhiên là tốn tử (quan
sát được) trong một khơng gian Hilbert phức, hay phần tử của đại số von Neumann, còn
ứng với hàm chỉ tiêu là phép chiếu lên một không gian con còn tương ứng với hàm đơn
giản là tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các phép chiếu. Tương ứng với tích phân là trạng
thái (state) hoặc vết (trace). Dưới đây ta sẽ thấy những tính chất của các đối tượng này
trong xác suất khơng giao hốn
2.4.1. Định nghĩa. Một toán tử u trên H được gọi là một đẳng cự bộ phận nếu u*u là
3
2
một phép chiếu. Từ  uu*   u  u*u   u*u  u*   uu*  kéo theo uu* là một phép chiếu,














tức là u* cũng là một đẳng cự bộ phận.
Đặt

p  u*u và q  uu*

 

Nếu g  p  H  thì với h nào đó mà h H , ug  uu*uh  uu* uhq  H 
Hơn nữa, với mỗi h H , ta có:
2
uh   uh, uh   u*uh, h   ph, h 





Do đó tốn tử u ánh xạ p  H  đẳng cự lên q  H  và 1 p   H  tới 0.
Phép chiếu p gọi là phép chiếu bắt đầu của u và q là phép chiếu kết thúc của nó.
2.4.2. Định nghĩa. Cho x B  H  . Ký hiệu N  x  là phép chiếu lên không gian không
hạch của x (tức là: tập tất cả h H sao cho xh  0 ). Phép chiếu S  x  1 N  x  được gọi
là giá của x.


Rõ ràng x 1  S  x    0 và xS  x   x , S  x  là nhỏ nhất trong các phép chiếu p
trong B  H  thoả mãn xp  x .
Cho R  x  là phép chiếu lên khơng gian con x  H  (bao đóng của x  H  ). Rõ
ràng, R  x  là nhỏ nhất trong các phép chiếu p trong B  H  sao cho px  x .

 

Ta có: R  x   S x* .









Điều này suy trực tiếp từ h, x*g   xh, g    R  x  xh, g   h, x*R  x  g h, g  H
Đặc biệt, với một toán tử tự liên hợp x ta có R  x   S  x 
2.4.3. Định lý (Khai triển cực của một toán tử).
Với mỗi x A có một phép đẳng cự bộ phận duy nhất u  A sao cho u*u  S  x 
1
và x  u x trong đó x  x*x 2 .

 

Chứng minh
2
2
Chúng ta chú ý rằng với mỗi h H : xh   xh, xh   x*xh, h  x h





Vì vậy S  x   S  x  . Đặt p  S  x   S  x   R  x  . Đặc biệt ta có: xp  x



Xét dãy un  x 1 n  x



1

. Cho x    e  d   là khai triển phổ của x .


 0; a 



1

Khi đó p  e  0; a  và p là giao hoán với toán tử   x 
n


1

1
1

     ed 

 n

 0; a 



Vì vậy un p  un . Ta có:

*
1
u

u
u

u

 n m   n m   n  x 






1

1

 x
m




1 

 x2




Sử dụng biểu diễn phổ của x , ta kiểm tra được rằng un hội tụ mạnh tới một phần tử
nào đó của A, giả sử là u với up  u , và un x  x  0 . Vì vậy ta có x  u x
Đẳng thức
x*x  x u*u x kéo theo u*u  S  x 

i 

Thật vậy: Nhân cả 2 vế của  i  với toán tử

 


 1; a 
n



1e  d   , ta có:



. Suy ra p  pu*up  p  u*u
e
 e

u*ue



1 ; a 
1 ; a 
n  1n; a 
n 


Mặt khác ta có up  u . Hệ quả là p  u*u (trường hợp đặc biệt u là một đẳng cấu bộ
2
2
2
2
phận). Vì nếu  ph, h    u h, h  với h H thì ta có uh  uph  ph là khơng xảy




ra vì u 1 (từ un 1).
1
Nếu x  v u với v*v  S  x  thì nhân từ bên phải của đẳng thức u x  v x với 1 n  x
và lấy giới hạn khi n  ta có u  up  vp  v .□





Từ những kết quả đã chứng minh kéo theo sự khai triển cực của x* là dạng:

x*  u* x*

 ii 





Thật vậy, ta có x*  x u*  u* u x u* và từ tính duy nhất của khai triển cực kéo theo

 

 ii  ta cũng có uu*  S x*  S  x*   R  x* 








2.4.4. Định nghĩa: Ta nói, 2 phép chiếu p, q trong đại số von Neumann là tương đương,
p  q nếu có 1 đẳng cự riêng u  A sao cho u*u  p và uu*  q .

 

 

Theo mục bên trên, nếu x  A thì R  x   R x* và S  x   S x*
Ta viết: