Luận án Tiến sĩ Toán học: Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình tiến hóa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ ANH MINH

SỰ TỒN TẠI ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ ANH MINH

SỰ TỒN TẠI ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA

Chun ngành : Phương trình vi phân và tích phân
Mã số :

9460101.03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1.

PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy

2.

PGS.TS. Đặng Đình Châu

Hà Nội - 2020


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận án Sự tồn tại đa tạp
quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình tiến hóa là cơng trình
nghiên cứu của tơi, được hồn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH.
Nguyễn Thiệu Huy và PGS.TS. Đặng Đình Châu. Các kết quả trong luận
án là hồn toàn trung thực. Tất cả những tham khảo đều được trích dẫn và
tham chiếu đầy đủ.
Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2020
Nghiên cứu sinh

Lê Anh Minh


MỤC LỤC

Danh mục các ký hiệu

3

Mở đầu

5

Chương 1.

Kiến thức chuẩn bị

13

1.1

Các đánh giá nhị phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2

Không gian hàm Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Chương 2.

Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp

các phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn
2.1

Về sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp
phương trình tiến hóa cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

23

Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp
phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn . . . . . . . . . . . . . .

2.3

23

31

Đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình Fisher Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 3.

47

Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp

các phương trình tiến hóa có trễ vơ hạn

51

3.1

Về khơng gian pha cho các phương trình tiến hóa có trễ vơ hạn 51

3.2

Sự tồn tại đa tạp qn tính chấp nhận được của một lớp các
phương trình tiến hóa có trễ vơ hạn . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

52

Đa tạp qn tính chấp nhận được của phương trình kiểu
Mackey-Glass có trễ vơ hạn dạng phân phối . . . . . . . . . .
1

68


Kết luận và Kiến nghị

73

1 Những kết quả đã đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . .

73

Danh mục các cơng trình khoa học liên quan đến luận án

74

Tài liệu tham khảo

75

2


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

D (A)

miền xác định của toán tử A.

Aβ

lũy thừa bậc β của toán tử A.

Xβ

miền xác định của toán tử Aβ

λN

trị riêng thứ N của toán tử A.

eN

P

hàm (vector) tương ứng với trị riêng λN .
λN +1 + λN
.
được xác định bởi γ =
2
λN +1 − λN
.
được xác định bởi α =
2
phép chiếu X lên span {ek : k = 1, 2, ...., N }.

Id

toán tử đồng nhất.

G(t, τ )

hàm Green (xem (1.5)).

χ[a,b]

hàm đặc trưng.

eα

ký hiệu hàm số eα (t) = e−α|t| , ∀t ∈ R.

Λ1

Λ1 : E → E xác định bởi (Λ1 ϕ)(t) =

γ
α

t

ϕ(τ )dτ .
t−1

E

không gian hàm Banach (xem Định nghĩa 1.6).

E

không gian Banach tương ứng với không gian hàm Banach E (xem Định nghĩa 1.7).

Cβ

không gian Bannach các hàm liên tục trên [−r, 0], nhận
giá trị trên Xβ (xem (2.19)).

Cgβ

không gian Bannach các hàm liên tục trên (−∞, 0],
Aβ φ(θ)
nhận giá trị trên Xβ sao cho sup
< +∞.
g(θ)

θ 0

R(λ, A)

toán tử giải của toán tử A
3


ρ(A)

tập giải của toán tử A

σ(A)

tập phổ của toán tử A

I

tập con của tập số thực R.
·

Cβ

xác định bởi φ

Cβ

Aβ φ(θ) , ∀φ ∈ Cβ .

= sup

θ∈[−r,0]

·

β
Cg

xác định bởi φ

β
Cg

= sup
θ 0

Aβ φ(θ)
, ∀φ ∈ Cgβ .
g(θ)

hàm lịch sử xác định bởi:

ut

ut (θ) = u(t + θ), ∀θ ∈ [−r, 0]
trong trường hợp trễ hữu hạn, hoặc
ut (θ) = u(t + θ), ∀θ

0

trong trường hợp trễ vơ hạn.

hằng số trễ.

r
Pˆ

tốn tử chiếu trên Cβ xác định bởi (Pˆ φ)(θ) =
e−θA P φ(0), ∀φ ∈ Cβ .

E γ,t0 ,β

không gian Banach gồm tất cả các hàm đo được
mạnh

h : (−∞, t0 ] → Xβ sao cho e−γ(t0 −·) Aβ h(·) ∈

β
E(−∞,t
cùng với chuẩn h
0]

γ,β

:= e−γ(t0 −·) Aβ h(·)

β.

u∗

quỹ đạo rút gọn của u trên đa tạp.

L+
γ,s .

khơng gian tuyến tính bao gồm các hàm v(·) nhận
giá trị trên Xβ , liên tục trên [s − r, +∞) sao cho
sup eγ(t−s) Aβ v(t) < +∞.
t s−r

·

s,+

chuẩn trên không gian L+
γ,s được xác định bởi v
sup eγ(t−s) Aβ v(t) , ∀v ∈ L+
γ,s .

t s−r

4

s,+

=


MỞ ĐẦU

Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp qn tính là một bài tốn cơ
bản trong lý thuyết định tính của các hệ động lực. Trong thời gian gần đây

xuất phát từ yêu cầu của các mô hình ứng dụng, các bài tốn này thường
được xét trong phạm vi khái quát hơn và nhận được nhiều kết quả thú vị.
Trong bản luận án này chúng tôi xét bài tốn về sự tồn tại đa tạp qn tính
chấp nhận được cho các phương trình tiến hóa, tương ứng với một số dạng
của phương trình vi phân trong khơng gian Hilbert.
Năm 1985, trong [60] (xem thêm [23]), Foias, Sell và Temam xét một lớp
các phương trình tiến hóa phi tuyến dạng
du
+ Au + R(u) = 0,
dt

(1)

trong đó A là tốn tử tuyến tính, khơng bị chặn, tự liên hợp trên một không
gian Hilbert tách được X với miền xác định D (A) trù mật trong X. Hơn
nữa, giả sử A là xác định dương, với A−1 là compact. Khi đó, tồn tại cơ sở
trực chuẩn {en }n

1

của X chỉ bao gồm các hàm riêng của A, Aen = λn en với

các giá trị riêng thỏa mãn 0 < λ1

λ2

· · · , và λn → ∞ khi n → ∞. Phần

phi tuyến R : X → X là liên tục Lipschitz địa phương.
Giả sử tồn tại các hằng số dương ρ0 , ρ1 , ρ2 sao cho

lim sup u(t)

t→∞

2

ρ20 , lim sup A1/2 u(t)
t→∞

2

ρ21 , lim sup Au(t)
t→∞

2

ρ22 .
(2)

Gọi S(t) : u(0) → u(t) là một nửa nhóm tốn tử xác định bởi nghiệm của
phương trình (1). Lưu ý rằng, từ (2) ta có thể chỉ ra nếu nghiệm tùy ý S(t)u0
5


của phương trình (1) thuộc vào quả cầu tâm 0, bán kính ρ0 thì sẽ ln ở lại
trong quả cầu đó.
Tiếp theo, giả sử θ : R+ → [0, 1] là


0




θ(s) = tùy ý




0
sao cho |θ (s)|

2 với mọi s

một hàm trơn cho trước xác định bởi
nếu 0

s

1

nếu 1 < s < 2
nếu s

2

0. Foias, Sell và Temam cố định ρ = 2ρ2 và

xét phương trình "modified" của phương trình (1) dạng
du
+ Au + θρ (|Au|) R(u) = 0

dt

(3)

với
θρ (s) := θ (s/ρ) , với s

0.

Khi đó, các tác giả chỉ ra nếu S(t)u0 là nghiệm của phương trình (3) ứng với
điều kiện ban đầu u(0) = u0 ∈ X thỏa mãn |AS(t)u0 |

ρ với mọi t

0

thì S(t)u0 cũng là nghiệm của phương trình (1). Hơn nữa, các tác giả đưa ra
khái niệm đa tạp qn tính cho phương trình (3) như sau ([23, p.320]):
Một tập con M ⊆ X được gọi là đa tạp qn tính của phương trình (3) nếu
ba tính chất sau thỏa mãn
(i) M là đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều;
(ii) M bất biến, nghĩa là S(t)M ⊆ M với mọi t

0;

(iii) M hút cấp mũ mọi nghiệm của phương trình (3) theo nghĩa
dist (S(t)u0 , M ) → 0, khi t → ∞.
Lưu ý, từ các điều kiện ở (2) thì khi t đủ lớn các quỹ đạo của các nghiệm
thuộc đa tạp sẽ hoàn tồn nằm trong hình cầu tâm 0, bán kính ρ. Hay nói
cách khác quỹ đạo của chúng là bị chặn.

6


Như vậy, đa tạp qn tính nếu tồn tại nó cịn cho phép thu gọn việc nghiên
cứu tính chất nghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về
những phương trình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa
tạp này đối với các nghiệm của phương trình đang xét. Việc nghiên cứu này
khơng những mang lại các kết quả quan trọng trong nội tại tốn học, mà cịn
đem đến những ứng dụng thực tế đầy ý nghĩa.
Sự tồn tại của đa tạp quán tính đã được chỉ ra và chứng minh chi tiết đối
với một số lớp phương trình vi phân, chẳng hạn: một số dạng điều chỉnh của
phương trình Navier - Stokes [24, 58], phương trình Boussinesq trung bình
[4], phương trình hyperbolic [2, 7, 8, 25, 48], phương trình Moore-Greitzer
[15], phương trình Cahn-Hilliard [36], phương trình Smoluchowski [53, 54],
mơ hình Leray-α [35, 38], mơ hình thú mồi [32], mơ hình FitzHugh-Nagumo
[45], phương trình vi phân đạo hàm riêng tổng quát [6, 16, 30], phương trình
phản ứng khuếch tán, tiêu hao [37, 50, 59], phương trình nửa tuyến tính dạng
tổng qt [11, 28, 34], phương trình trung tính [31]. Khái niệm về đa tạp quán
tính được thay đổi và mở rộng cho một số nhiều lớp phương trình vi phân
tổng quát, chẳng hạn: phương trình vi phân khơng autonomous [33], phương
trình vi phân đạo hàm riêng có trễ [1, 2, 44] hay phương trình vi phân ngẫu
nhiên [3, 5, 10, 13, 14, 18, 51, 55], đa tạp quán tính cho hệ rời rạc [47, 57],
đa tạp qn tính cho các phương trình parabolic có xung [56] và một số các
kết quả khác. Trong đó, các tác giả sử dụng các phương pháp cơ bản sau

❼ Phương pháp Hadamard (hay còn gọi là phương pháp biến đổi đồ thị)
(chẳng hạn [17, 40]).

❼ Phương pháp Lyapunov - Perron (dựa trên công thức biến thiên hằng
số) (chẳng hạn [9, 23, 52]).

❼ Phương pháp chính quy elliptic (chẳng hạn [19, 22]).
Ta nhận thấy điểm chung trong tất cả các kết quả trên là quỹ đạo của
nghiệm nằm trên từng mặt Lipschitz trong đa tạp quán tính sau khi co giãn
7


đều bị chặn (lớp L∞ ). Trên thực tế, đối với các bài tốn địi hỏi quỹ đạo bị
chặn là tương đối khắt khe (chẳng hạn đối với các mô hình kỹ thuật phức
tạp quỹ đạo của nghiệm sau khi co giãn thuộc các không gian Lp , không gian
Lorentz Lp,q ,...). Một câu hỏi đặt ra tự nhiên là có thể mở rộng khái niệm đa
tạp qn tính sao cho các quỹ đạo của nghiệm sau khi co giãn trên mỗi mặt
trong đa tạp thuộc lớp các không gian hàm chứa L∞ hay khơng?.
Đi tìm câu trả lời cho câu hỏi đó, năm 2013 trong [29], N.T.Huy lần đầu
tiên đề xuất xây dựng một khái niệm đa tạp quán tính mới, gọi là đa tạp
quán tính chấp nhận được. Cụ thể, N.T.Huy xét các phương trình vi phân
dạng



 du + Au = f (t, u), t > s
dt

u(s) = us với s ∈ R

(4)

trong đó

❼ A là tốn tử xác định dương, tự liên hợp và có phổ rời rạc trên một

không gian Hilbert tách được X.

❼ Với 0

β < 1 đặt Xβ = D (Aβ ), phần phi tuyến f : R × Xβ → X

là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ là một hàm dương thuộc khơng gian hàm
Banach chấp nhận được nào đó.
N.T. Huy đưa ra định nghĩa đa tạp quán tính chấp nhận được cho một lớp
các phương trình vi phân dạng (4) ([29, Definition 3.1]), trong đó sự khác biệt
so với đa tạp qn tính (truyền thống) được N.T. Huy chỉ ra ở [29, Remark
3.2] là: Nếu như trong định nghĩa của đa tạp quán tính chấp nhận được ta
chọn E = L∞ thì ta được đa tạp quán tính (truyền thống).
Sử dụng phương pháp Lyapunov - Perron, các đánh giá nhị phân, cùng
với tính chất chấp nhận được của các không gian hàm, các đánh giá đối ngẫu,
N.T. Huy chỉ ra sự tồn tại đa tạp qn tính lớp E cho một lớp các phương
trình dạng (4) trong [29, Theorem 3.6].
8


Với ý nghĩa của đa tạp quán tính chấp nhận được trong nghiên cứu tính
chất định tính nghiệm của các phương trình vi phân, mục tiêu chính của luận
án "Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình
tiến hóa" này là nghiên cứu mở rộng các kết quả trong [29] về sự tồn tại đa
tạp quán tính chấp nhận được cho một số lớp phương trình tiến hóa có nhiều
ứng dụng trong thực tiễn là: phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn, phương
trình tiến hóa có trễ vơ hạn, phương trình tiến hóa cấp hai. Cụ thể, ngồi
phần mở đầu, kết luận, danh mục các cơng trình liên quan đến luận án, tài
liệu tham khảo, luận án gồm có 03 chương sau:

❼ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tơi trình bày
các khái niệm, các kết quả bổ trợ cũng như các giả thiết sử dụng xuyên
suốt trong các chương còn lại của luận án.

❼ Chương 2. Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp
các phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn. Trong chương này, trước hết
chúng tôi xây dựng không gian pha và phép đổi biến phù hợp đưa một
phương trình tiến hóa cấp hai về phương trình tiến hóa cấp một. Qua
đó, nghiên cứu sự tồn tại đa tạp qn tính chấp nhận được của một số
lớp phương trình tiến hóa cp hai dng


xă(t) + 2x(t)
+ Ax(t) = K(t, x(t)), t > s, s ∈ R, ε > 0,



x(s) = xs,0 , s ∈ R,




x(s)
˙
=x ,
s,1

trong đó A là tốn tử thỏa mãn Giả thiết 1 (xem trang 14); K : R ×
Xβ → X là ϕ-Lipschitz.
Kết quả đã chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của lớp

các phương trình tiến hóa có dạng trên và áp dụng phương trình truyền

9


sóng tắt dần

∂ 2u
∂u
∂ 2u



(t, x) + 2ε (t, x) = 2 (t, x) + a(t) ln (1 + |u(t, x)|) ,


∂t2
∂t
∂x




với x ∈ (0, π), t t0 ,


u(t, 0) = u(t, π) = 0, t > t0 ,






∂u

 u(t0 , x) = φ1 (x),
(t0 , x) = φ2 (x), 0 < x < π,
∂t
trong đó φ1 , φ2 là các hàm cho trước, và a(t) xác định bởi

1
1

 n
nếu t ∈ n − n+c , n + n+c
với n = 1, 2, ....
2
2
a(t) =

 0
trường hợp cịn lại.
(5)
Sau đó, chúng tôi xây dựng khái niệm và chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán
tính chấp nhận được của một lớp các phương trình tiến hóa có trễ hữu
hạn dạng
du
+ Au = B(t, ut ), t > s, t, s ∈ R; us = φ ∈ Cβ ,
dt
trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1 (xem trang 14); B : R×Cβ →
X là ϕ-Lipschitz. Kết quả này được áp dụng cho phương trình Fisher Kolmogorov có trễ dạng


∂ 2 w(t, x)
∂w(t, x)
a


=
w(t − r, x) ,
+
aw(t,
x)
1
−


2

∂t
∂x
K(t)




t > s, 0 < x < π



w(t, 0)
= w(t, π) = 0, t ∈ R






w(x, t)
= φ(x, t), 0 x π, −r t 0
với w(t, x) biểu thị cho mật độ dân số tại vị trí x và thời gian t; r là
một hằng số dương, a > 0 là hệ số tái sinh tuyến tính và K(t) > 0 là
sức chứa của môi trường tại thời điểm t.
Kết quả của Chương 2 đã được cơng bố trong các cơng trình 1 (SCIE)
10


và cơng trình 2 (Scopus) trong Danh mục cơng trình khoa học liên quan
đến luận án.

❼ Chương 3. Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các
phương trình tiến hóa có trễ vơ hạn. Trong chương này, chúng tôi định
nghĩa và xét sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp
các phương trình tiến hóa có trễ vơ hạn dạng


 du + Au = R(t, ut ), t s,
dt


us (θ) = φ(θ), θ ∈ (−∞, 0], s ∈ R,
trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1; R : R × Cgβ → X là
ϕ-Lipschitz với

Cgβ

:=

Aβ φ(θ)
φ ∈ C((−∞, 0], Xβ ) : sup
< +∞
g(θ)
θ 0

là không gian Banach được trang bị chuẩn
φ

β
Cg

= sup
θ 0

Aβ φ(θ)
, ∀φ ∈ Cgβ .
g(θ)

Ở đây g : (−∞, 0] → [1, +∞) là một hàm liên tục cho trước.
Kết quả chính của Chương 3 được áp dụng để chỉ ra sự tồn tại đa tạp
qn tính chấp nhận được của phương trình kiểu Mackey-Glass có trễ
phân phối dạng

0

∂w(t, x)
∂ 2 w(t, x)

−θ2 +θ |w(t + θ, x)|

=
−
rw(t,
x)
+
a(t)
e
dθ


2

∂t
∂x
1
+
|w(t
+
θ,
x)|
−∞





t > s, ∀0 < x < π



w(t, 0)
= w(t, π) = 0, t ∈ R





w(s + θ, x) = φ(θ, x), 0 x π, θ 0, s ∈ R,
trong đó r > 0 là một hằng số, a(t) là hàm số được cho bởi (5).
11


Kết quả của Chương 3 đã được nhận đăng trên tạp chí Bulletin of the
Korean Mathematical Society (SCIE), là cơng trình 3 trong Danh mục
cơng trình khoa học liên quan đến luận án.
Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TSKH. Nguyễn
Thiệu Huy và PGS. TS. Đặng Đình Châu. Trước tiên, tơi xin bày tỏ sự kính
trọng và lịng biết ơn sâu sắc tới hai thầy đã động viên, giúp đỡ và tận
tình hướng dẫn tơi trong suốt quá trình nghiên cứu và khi viết luận án này.
Những gợi ý, chỉ bảo ân cần, nhận xét và đánh giá của hai thầy trong quá
trình nghiên cứu là những bài học quý giá không chỉ cho cá nhân tơi những
ngày qua mà cịn trên con đường nghiên cứu khoa học sau này.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội nói chung, Bộ mơn Phương trình vi phân và Hệ
động lực nói riêng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học
tập, nghiên cứu và hồn thành luận án này.

Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Hồng Đức, tập
thể giảng viên Khoa Khoa học tự nhiên, Bộ mơn Giải tích, Trường Đại học
Hồng Đức đã giúp đỡ, góp ý và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tơi trong q
trình học tập, nghiên cứu, tham gia các đại hội, hội thảo Toán học và đặc
biệt là trong quá trình viết luận án của mình.
Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình tơi đã ln u thương, động viên và
hỗ trợ tôi về mặt thời gian, hy sinh về vật chất lẫn tinh thần để giúp tơi hồn
thành q trình học tập, nghiên cứu và viết luận án này.
Nghiên cứu sinh

Lê Anh Minh

12


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Các đánh giá nhị phân

Ký hiệu, · và ·, · lần lượt là chuẩn và tích vô hướng trong một không
gian Hilbert tách được X nào đó. Cho A là một tốn tử tuyến tính trên X.
Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm phổ và phân loại phổ của tốn tử
tuyến tính (xem thêm [20]).
Giả sử A là một tốn tử tuyến tính xác định trên D (A) ⊂ X với D (A) =
X. Khi đó với y ∈ X cho trước, giả sử tồn tại y ∗ thuộc X sao cho
Ax, y = x, y ∗ , ∀x ∈ D (A).

(1.1)

Giả thiết D (A) = X đảm bảo rằng nếu tồn tại thì y ∗ là duy nhất. Do đó, ta
có thể xác định toán tử liên hợp A∗ : D (A∗ ) ⊂ X → X bởi

❼ D (A∗ ) = {y ∈ X : ∃!z ∈ X, Ax, y = x, z , ∀x ∈ D (A)} ,
❼ với y ∈ D (A∗ ), thì ta xác định A∗ y = z trong đó z là phần tử duy nhất
thỏa mãn Ax, y} = x, z với mọi x ∈ D (A).
Định nghĩa 1.1. Một tốn tử tuyến tính (khơng bị chặn) A được gọi là tự liên
hợp nếu A∗ = A. Nghĩa là, D (A∗ ) = D (A) và A∗ x = Ax với mọi x ∈ D (A).
Định nghĩa 1.2. Cho A : D (A) → X là một tốn tử tuyến tính với D (A) = X.
Ta nói số λ là giá trị chính quy của A nếu toán tử (A − λI)−1 tồn tại và bị
13


chặn.
Số µ khơng là giá trị chính quy thì được gọi là giá trị phổ.
Một tập hợp gồm tất cả các giá trị phổ của toán tử A được gọi là tập phổ
của toán tử A và ký hiệu là σ(A).
Tập hợp ρ(A) := C \ σ(A) được gọi là tập giải của toán tử A.
Định nghĩa 1.3 (Phổ điểm). Phổ điểm của toán tử A ký hiệu là σp (A) là tập
gồm tất cả các giá trị riêng của tốn tử A. Điều này có nghĩa là, λ ∈ σp (A)
khi và chỉ khi tồn tại x ∈ D (A) \ {0} sao cho Ax = λx. Nói cách khác, λ là
một giá trị riêng và x là một véctơ riêng của A tương ứng với trị riêng λ.
Dễ thấy, nếu λ ∈ σp (A) thì ker(A − λI) = 0 và lúc này, số chiều của
ker(A − λI) gọi là bội số (multiplicity) của giá trị riêng λ.
Định nghĩa 1.4 (Phổ liên tục). Phổ liên tục của toán tử A ký hiệu là σc (A)
là tập gồm tất cả các giá trị λ ∈ σ(A) \ σp (A) sao cho Im(A − λI) là tập con
thực sự trù mật trong X.
Định nghĩa 1.5 (Phổ dư). Phổ dư của toán tử A ký hiệu là σr (A) được xác

định bởi
σr (A) = σ(A) \ (σp (A) ∪ σc (A)) .
Như vậy, với λ ∈ σr (A), ta có Im(A − λI = X và ker(A − λI) = 0.
Nhận thấy, nếu A là tốn tử tuyến tính đóng thì
σ(A) = σp (A) ∪ σc (A) ∪ σr (A).
Trong luận án này, ta giả sử
Giả thiết 1. Toán tử tuyến tính A là xác định dương, tự liên hợp và có giải
compact.
Ta chú ý rằng

14


❼ Toán tử A được gọi là xác định dương, nếu tồn tại a > 0 sao cho
a u

Au, u , ∀u ∈ D (A).

2

(1.2)

❼ Toán tử A được gọi là có giải compact, nếu tốn tử giải
R(λ, A) = (λI − A)−1
là compact với mọi λ ∈ ρ(A).
Khi đó, do A là toán tử tự liên hợp, nên phổ của A chỉ bao gồm các giá
trị riêng thực. Từ bất đẳng thức (1.2) suy ra phổ của A được chứa trong
[a, +∞), và do A có giải compact nên phổ của A chỉ bao gồm phổ điểm, tức
là các giá trị riêng với bội hữu hạn. Hơn nữa, phổ của A không chứa các điểm
giới hạn (xem thêm [49, 52]). Ta giả sử

0 < a = λ1

λ2

···

λ3

là các giá trị riêng của A, lặp lại với bội tương ứng, và ta giả sử {e1 , e2 , e3 , · · · }
là các vec tơ riêng ứng với các giá trị riêng như trên, lập thành một cơ sở
trực chuẩn trong X. Ta có
i = 1, 2, · · ·

Aei = λi ei ,
Nếu X có số chiều vơ hạn thì

λi → ∞ khi i → ∞.
Mặt khác
∞

∞

xk , ek ek và

x=

x

2

2

| xk , ek | , ∀x ∈ X.

=

k=1

k=1

Hơn nữa,

∞

x ∈ D (A) ⇔

2

λ2k | x, ek | < ∞,
k=1

15


và

∞

λk x, ek ek , ∀x ∈ D (A).

Ax =
k=1

Với 0

β < 1, ta có
∞

Xβ = D (A ) =
β

2

λ2β
k | x, ek | < ∞ ,

x∈X:
k=1

và

∞

λβk x, ek ek , ∀x ∈ Xβ .

β

A x=
k=1

Áp dụng định lý ánh xạ phổ cho tốn tử tuyến tính A: nếu f là một hàm
liên tục, giá trị thực xác định trên σ(A) thì tốn tử tuyến tính f (A) được
xác định bởi

∞

f (A)x =

f (λi ) x, ei ei
i=1

với miền xác định của f (A) là
∞

D (f (A)) =

|f (λi )|2 | x, ei |2 < ∞ .

x∈H:
i=1

Đặc biệt, C0 -nửa nhóm sinh bởi −A được xác định như sau
∞

e

−tA

e−tλi x, ei ei .

x :=
i=1

Với N ∈ N∗ , ta xây dựng phép chiếu trực giao PN lên
span {ek : k = 1, 2, ..., N } ,
bởi công thức
N

PN x =

x, ek ek .

(1.3)

k=1

Mệnh đề 1.1 ([12]). Cho PN là phép chiếu được định nghĩa trong (1.3). Đặt
QN = I − PN (quy ước Q0 = I). Ta có
β

A QN e

−tA

x

β
t

β

+ λβN +1 e−tλN +1 QN x , ∀x ∈ X.
16


Khi β = 0, ta quy ước 00 = 0.
Tương tự,
Aβ PN e−tA x

λβN eλN |t| PN x , ∀x ∈ X.

Để đơn giản, từ đây ta viết P thay cho PN . Lúc này, ta có các đánh giá nhị
phân sau
e−tA P

eλN |t| , ∀t ∈ R;

Aβ e−tA P

λβN eλN |t| , ∀t ∈ R;

e−tA (I − P )
β −tA

A e

e−λN +1 t , ∀t

(I − P )

β
t

(1.4)

0;

β

+ λβN +1 e−λN +1 t , ∀t > 0.

Hơn nữa, ta có thể định nghĩa hàm Green


e−(t−τ )A [I − P ] với t > τ,
G(t, τ ) :=

−e−(t−τ )A P
với t τ.

(1.5)

Dễ thấy G(t, τ ) từ X vào Xβ .
Mặt khác, theo các đánh giá nhị phân (1.4), với γ =
eγ(t−τ ) Aβ G(t, τ )
trong đó α =

1.2

η(t, τ )e−α|t−τ |

λN +1 − λN
và
2


β


t−τ
η(t, τ ) =


λβ
N

λN + λN +1
ta có
2

với mọi t = τ,

(1.6)

β

+ λβN +1

nếu t > τ,
nếu t

τ.

Không gian hàm Banach

Trong phần này, với I = (−∞, t0 ] hoặc I = R, giả sử B và λ là σ - đại
số Borel và độ đo Lebesgue trên I tương ứng, ta nhắc lại các khái niệm và
17


tính chất về khơng gian hàm Banach. Các kết quả được trình bày ở phần này
được tham khảo từ các tài liệu [29, 41].
Định nghĩa 1.6. Không gian EI các hàm giá trị thực, đo được Borel trên I
gọi là một không gian hàm Banach trên không gian độ đo (I, B , λ) nếu
(1) EI là một dàn Banach với chuẩn ·

EI ,

tức là: (EI , ·

là một không

EI )

gian Banach và nếu ϕ ∈ EI , ψ là một hàm thực, đo được Borel sao cho
|ψ(·)|

|ϕ(·)|, λ - hầu khắp nơi, thì ψ ∈ EI và ψ

EI

ϕ

EI ,

(2) Hàm đặc trưng χA thuộc EI với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn, và
sup χ[t−1,t]

< ∞ ; inf χ[t−1,t] > 0,

E

t∈I

t∈I

(3) EI → L1,loc (I), tức là: với mọi đoạn compact J ⊂ I tồn tại βJ
cho

|f (t)| dt

βJ f

EI

J

0 sao

với mọi f ∈ EI .

Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm không gian Banach tương ứng với không
gian hàm Banach
Định nghĩa 1.7. Cho EI là một không gian hàm Banach và X là một không
gian Banach với chuẩn

·

X.

Khi đó

EI := E (I, X) := h : I → X| h đo được mạnh và

h(·)

X

∈ EI ,

là một không gian Banach với chuẩn
h

EI

:=

h(·)

X

EI .

Ta gọi EI là không gian Banach tương ứng với không gian hàm Banach EI .
Định nghĩa 1.8 (Tính chấp nhận được). Khơng gian hàm Banach EI gọi là
chấp nhận được nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Tồn tại một hằng số M
b

|ϕ(t)| dt
a

1 sao cho với mọi đoạn [a, b] ⊂ I, ta có
M (b − a)
ϕ
χ[a,b] EI
18

EI ,

∀ϕ ∈ EI .


t

(ii) Với mọi ϕ ∈ EI , thì Λ1 ∈ EI trong đó (Λ1 ϕ)(t) =

|ϕ(τ )|dτ .
t−1

(iii) EI là Tτ+ - bất biến với mọi τ ∈ I, trong đó

❼ Khi I = (−∞, t0 ] thì
(Tτ+ ϕ)(t) =



ϕ(t − τ )

với t


0

với t > τ + t0 .

τ + t0

❼ Khi I = R thì
(Tτ+ ϕ)(t) = ϕ(t − τ ), với t ∈ R.
(iv) EI là Tτ− - bất biến với mọi τ ∈ I, trong đó

❼ Khi I = (−∞, t0 ] thì
(Tτ− ϕ)(t) =



ϕ(t + τ )

với t


0

với t > t0 − τ.

t0 − τ

❼ Khi I = R thì
(Tτ− ϕ)(t) = ϕ(t + τ ), với t ∈ R.
Hơn nữa, tồn tại các hằng số N1 , N2 sao cho Tτ+

N1 , Tτ−

với mọi τ ∈ I.
Ví dụ 1.1. Các khơng gian Lp (R), 1 p ∞, không gian


t


M(R) := f ∈ L1,loc (R) : sup
|f (τ )| dτ < ∞


t∈R
t−1

với chuẩn

t

f

M

:= sup
t∈R
t−1

19

|f (τ )| dτ,

N2


và các không gian khác trong lý thuyết nội suy, chẳng hạn: không gian Lorentz
Lp,q , 1 < p < ∞, 1 < q < ∞, · · · là các không gian hàm Banach chấp nhận
được.
Nhận xét 1.1. Nếu EI là một không gian hàm Banach chấp nhận được thì
EI → M(I).
Mệnh đề 1.2. Cho EI là một khơng gian hàm Banach chấp nhận được. Khi
đó:
(i) Giả sử ϕ ∈ L1,loc (I) sao cho ϕ

0 và Λ1 ϕ ∈ EI . Với σ > 0, ta xác định

Λσ ϕ, Λσ ϕ như sau:
t

e−σ(t−s) ϕ(s)ds,

(Λσ ϕ)(t) =
−∞

và
(Λσ ϕ)(t) =

∞

−σ(s−t)

ϕ(s)ds,
 e

khi I = R,



 e−σ(s−t) ϕ(s)ds

khi I = (−∞, t0 ].

t
t0

t

Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ thuộc EI . Hơn nữa, ta có các đánh giá

Λσ ϕ

EI

N1
Λ1 ϕ
1 − e−σ

EI

và Λσ ϕ

EI

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

EI

trong đó N1 , N2 được định nghĩa trong Định nghĩa 1.8.
(ii) EI chứa các hàm giảm cấp mũ e−a|t| , ∀ t ∈ I với a > 0 là hằng số cố
định nào đó.
(iii) EI không chứa các hàm tăng cấp mũ eb|t| , ∀ t ∈ I với b > 0 là hằng số
cố định nào đó.
Tiếp theo, ta định nghĩa khơng gian liên kết của không gian hàm Banach
chấp nhận được như sau:
20

Định nghĩa 1.9. Cho EI là một không gian hàm Banach chấp nhận được. Ký
hiệu S(EI ) là cầu đơn vị trong EI . Xét tập EI gồm các hàm ψ nhận giá trị
thực và đo được trên I sao cho
ϕψ ∈ L1 (I),

|ϕ(t)ψ(t)| dt

k, ∀ϕ ∈ S(EI ),

I

trong đó k là một hằng số chỉ phụ thuộc ψ và


L1 (I) = g : I → R| g đo được và


|g(t)| dt < ∞




.



I

Khi đó, EI là một khơng gian định chuẩn với chuẩn





ψ EI := sup
|ϕ(t)ψ(t)| dt : ϕ ∈ S(EI )
với ψ ∈ EI .


I

Ta gọi EI là không gian liên kết của EI .
Nhận xét 1.2. Cho EI là một không gian hàm Banach chấp nhận được và EI
là khơng gian liên kết của nó. Khi đó, ta cú bt ng thc Hăolder
|(t)(t)| dt



EI



EI ,

EI , ∀ψ ∈ EI .

I

Chú ý 1.1. Trong trường hợp I = R thì để cho tiện ta sẽ sử dụng ký hiệu E
thay cho ER , E thay cho ER và E thay cho ER .
Để nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính chấp nhận được, trong

luận án ta sử dụng giả thiết sau về không gian chấp nhận được:
Giả thiết 2.

(i) Không gian hàm Banach EI và khơng gian liên kết của nó

EI là các không gian chấp nhận được.
(ii) Không gian
1+β

EIβ := {u ∈ EI | |u| 1−β ∈ EI }
là không gian hàm Banach chấp nhận được với chuẩn
u

β

:= max

u
21

1+β

1−β
EI , |u|

1−β
1+β

EI

.


(iii) Với ν > 0 cố định, tồn tại ϕ ∈ EI sao cho các hàm
hν (t) := e−ν|t−·| ϕ(·)
Θν (t) := e

1+β
−ν 1−β
|t−·|

ϕ

1+β
1−β

EI ,

(·)

∀t ∈ I;
1−β
1+β

EI

, ∀t ∈ I

thuộc EI .
Ví dụ 1.2. Khơng gian Lp (1 < p < +∞) là không gian hàm Banach chấp

nhận được thỏa mãn Giả thiết 2 với ϕ(t) = e−α|t| chẳng hạn.
Tiếp theo, ta định nghĩa khái niệm ϕ-Lipschitz như sau.
Định nghĩa 1.10. Cho E, F là các không gian Banach. Cho ϕ là một hàm giá
trị dương thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận được E nào đó. Hàm
f : R × E → F được gọi là ϕ-Lipschitz nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) f (t, x)

F

ϕ(t) (1 + x

ii) f (t, x1 ) − f (t, x2 )

F

E) ,

∀t ∈ R, ∀x ∈ E;

ϕ(t) x1 − x2

22

E,

∀t ∈ R, ∀x1 , x2 ∈ E.