Luận văn thạc sĩ toán học sự đặt chỉnh cho bài toán tối ưu

Lời cảm ơn
Trước hết tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Ngọc Hải, GS. TSKH.
Phan Quốc Khánh và TS. Lâm Quốc Anh về sự tận tâm chỉ bảo, động viên xuyên suốt
quá trình tôi thực hiện luận văn .
Tôi chân thành cảm ơn các Thầy, Cô đã trang bị cho tôi các kiến thức nền tảng rất
tốt thông qua các bài giảng sâu sắc của mình, điều đó đã giúp tôi có đủ kiến thức để
hoàn thành tốt việc học tập và nghiên cứu của mình, tôi cũng xin cảm ơn đến các Thầy,
Cô bộ môn tối ưu-Khoa Toán Tin-Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM đã
tạo điều kiện cho tôi làm quen với khoa họ c thông qua các buổi semina.
Tôi xin được nói lời cảm ơn to lớn đến Khoa Khoa học Tự Nhiên, Trường Đại học
Cần Thơ đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi thực hiện luân văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Trường THPT Đông Thái, nơi tôi công tác đã tạo
điều kiện tốt để tôi hoàn thành luận văn.
Cuối cùng nhưng không kém phần quan trọng, tôi chân thành biết ơn gia đình tôi,
các bạn bè và đồng nghiệp của tôi, những người đã giúp đỡ, động viên để việc học tập,
nghiên cứu của tôi được hoàn thành tốt đẹp.
Mở đầu
Cách đây hơn một thế kỷ Hadamard đã đưa ra khái niệm tính đặt chỉnh của bài
toán động lực mô tả bằng phương trình vi phân theo nghĩa là nghiệm của phương trình
vi phân phụ thuộ c liên tục vào điều kiện ban đầu. Đây là mô hình toán học của một
thực tế quan trọng như sau. Điều kiện ban đầu của bài toán là điều kiện xấp xỉ (đo
được bằng thiết bị hoặc là số liệu thống kê), tức là có sai số. Nếu nghiệm không phụ
thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu thì dù sai số nói trên nhỏ nhưng nghiệm có thể
sai rất lớn, nên không thể dùng được. Do đó việc giải bài toán là vô nghĩa và một cách
hợp lý ta nói bài toá n được đặt ra một cách không chỉnh, tức là không hợp lý. Các bài
toán như vậy không có ý nghĩa khoa học. Năm 1964, tiếp tục ý tưởng đó, Tikhinov đề
xuất một định nghĩa khác, xuất phát từ nhu cầu tính toán như sau. Các thuật toán
tìm nghiệm tối ưu đều là tìm dãy nghiệm ε
n
-tối ưu (nghiệm xấp xỉ) với ε
n

→ 0
+
. Nếu
dãy này không hội tụ đến nghiệm tối ưu, hoặc chí ít là có dãy con hội tụ tới nghiệm
tối ưu thì dù thuật toán có hội tụ cũng là vô nghĩa. Khi đó ta nói bài toán là không
đặt chỉnh theo nghĩa Tikhonov. Từ đó đến nay tất cả các lớp bài toán theo nghĩa trên
đây được quan tâm nghiên cứu rất nhiều. Hai quan niệm về đặt chỉnh này cũng được
chứng minh là có liên quan mật thiết với nhau và thực ra là khá gần nhau. Nhất là
với các bài toán tham số thì tính đặt chỉnh có tham số thực ra là sự trộn lẫn hai quan
niệm đặt chỉnh và cũng là cầu nối gắn kết với lý thuyết ổn định.
Trong luận văn này chúng tôi tổng quan một số kết quả mới trên cá c tạp chí
quốc tế về tính đặt chỉnh Tikhonov và tính đặt chỉnh theo tham số cho hai lớp bài
toán quan trọng trong tối ưu hoá là bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng
cũng như một bài toán liên quan trực tiếp đến hai lớp này.
Mở đầu iii
Bất đẳng thức biến phân bao hàm như trường hợp riêng nhiều bài toán quan
trọng liên quan đến tối ưu như bài toán cực tiểu có ràng buộc, bài toán bù, bài toán
điểm bất động, cân bằng Nash, mạng giao thông, Bất đẳng thức biến phân thường
được trình bày tổng quát trong không gian định chuẩn, nhưng ở đây (trong Chương
2) chúng tôi xét bài toán này trong không gian Hilb ert vì khi đó các kết quả sẽ mạnh
hơn, sâu hơn. Về quan hệ so sánh cũng như các trường hợp riêng của bất đẳng thức
biến phân, chúng tôi chọn bài toán bao hàm thức và bài toán điểm bất động. Sau các
so sánh này, chúng tôi tổng quan một số điều kiện của đủ của tính đặ t chỉnh cho bất
đẳng thức biến phân.
Bài toán cân bằng là mô hình tổng quát hơn bất đẳng thức biến phân. Nó có thể
và thường được xét trong không gian tổng quát hơn là không gian tôpô tuyến tính. Vì
thế chúng tôi xét mô hình này ở Chương 3. Hơn nữa chúng tôi xét bài toán vectơ tổng
quát, không phải mô hình vô hướng như ở Chương 2. Phần ba của chương này là áp
dụng các điều kiện đủ của tính đặt chỉnh cho bài toán tựa cân bằng với ràng buộc cân
bằng. Đây là một bài toán quan trọng hàng đầu trong các bài toán hai mức gần đây

đang được nghiên cứu rất mạnh.
Qua quá trình tham gia semina của nhóm tối ưu miền nam và hoàn thành luận
án tổng quan này tôi thấy mình đã bắt đầu nắm bắt được các kiến thức cơ bản của
lý thuyết về đặt chỉnh các bài toán tối ưu, đặc biệt là các khái niệm và công cụ toán
học trong lĩnh vực nghiên cứu này. Việc tìm hiểu và tổng hợp các kết quả mới nhất
trên tạp chí quốc tế giúp tôi nắm bắt được trạng thái hiện tại của hướng nghiên cứu
và thúc dục tôi cố gắng và tự tin tiếp tục tham gia các hoạt động của nhóm với hy
vọng rằng đến lượt mình cũng có thể đóng góp kết quả mới.
Mục lục
Lời cảm ơn i
Mở đầu ii
Chương 1. Kiến thức bổ trợ 1
1.1. Không gian vectơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Tính liên tục và các khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Tính liên tục của hàm giá trị số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Chương 2. Tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biế n phân hỗn hợp, bài
toán bao hàm thức và bài toán điểm bất động 18
2.1. Tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp . . . . . . . . . . 18
2.2. Tính đặt chỉnh của bài toán bao hàm thức . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Tính đặt chỉnh của bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4. Các điều kiện tính đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Chương 3. Đặt chỉnh nghiệm của bài toán tựa cân bằng vectơ và áp
dụng vào các bài toán hai mức 40
3.1. Tính đặt chỉnh của bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Mục lục v
3.2. Tính tựa lồi của các hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. Tính đặt chỉnh của bài toán tựa cân bằng với ràng buộc cân bằng . . . 50
Kết luận 57
Tài liệu tham khảo 58
Chương 1

Kiến thức bổ trợ
1.1. Không gian vectơ tôpô
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử không gian vectơ Y có thêm cấu trúc tôpô τ. Ta nói τ
tương hợp với cấu trúc tuyến tính nếu hai phép toán tuyến tính liên tục trong tôpô τ.
Cụ thể là:
(i) x + y là hàm liên tục của hai biến x, y, tức là với mọi lân cận V của x + y thì sẽ
có lân cận U
x
của x và lân cận U
y
của y để U
x
+ U
y
⊆ V .
(ii) αx là hàm liên tục của hai biến α, x, tức là với mọi lân cận V của αx thì sẽ có
lân cận U
x
của x và ε > 0 để (α − ε, α + ε)U
x
⊆ U.
Một không gian tuyến tính Y trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc tuyến
tính gọi là không gian vectơ tôpô.
Nhận xét 1.1.1. (i) Trong không gian vectơ tôpô, phép tịnh tiến f(x) = x + a với
a cố định và phép vị tự g(x) = αx với α cố định là các phép đồng phôi. Từ đó,
ta suy ra V là lân cận của gốc khi và chỉ khi V + a là lân cận của a. Nếu V là
lân cận của gốc thì αV với α = 0 cũng là lân cận của gố c .
1.1 Không gian vectơ tôpô 2
(ii) Ta nói tôpô trên Y là bất biến nếu với mọi G mở trong Y và với mọi a ∈ Y thì
a + G mở. Rõ ràng nếu phép cộng liên tục thì tôpô là bất biến nhưng điều ngược

lại có thể không đúng.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử Y là không gian vectơ tôpô, R là tập các số thực. Tập
A ⊆ Y được gọi là lồi, nếu:
∀x
1
, x
2
∈ A, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1, λx
1
+ (1 −λ)x
2
∈ A
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử Y là không gian vectơ tôpô và C là tập khác rỗng trong
Y . Khi đó, C được gọi là nón nếu ∀x ∈ C, ∀λ > 0, λx ∈ C.
Nón C được gọi là có đỉnh nếu C ∩(−C) = {0}. Nón C được gọi là lồi (đóng) nếu
C là một tập lồi (đóng).
Nón C được gọi là rắn nếu intC = ∅.
Nhận xét 1.1.2. Nón C ⊆ Y là lồi khi và chỉ khi C + C ⊆ C.
Với mọi x, y ∈ Y , ta đặt các kí hiệu sau:
x ≥ y ⇔ x −y ∈ C,
x > y ⇔ x −y ∈ intC,
x  y ⇔ x −y /∈ C,
x ≯ y ⇔ x −y /∈ intC
và tương tự đối với ≤, <, , ≮.
Tiếp theo, chúng tôi đưa ra một số tính chất quan hệ thứ tự theo nón
1.1 Không gian vectơ tôpô 3
Tính chất 1.1.1. Cho a, b, b
1
, e ∈ Y . Nếu a + b ≤ e và b
1

≤ b thì a + b
1
≤ e.
Chứng minh Ta có: a + b ≤ e ⇒ a + b − e ∈ −C ⇒ ∃c ∈ C : a + b − e = −c.
Mặt khác, b
1
≤ b ⇒ b −b
1
∈ C ⇒ ∃c
1
∈ C : b − b
1
= c
1
⇒ b = b
1
+ c
1
.
Do đó: a + (b
1
+ c
1
) −e = −c ⇒ a + b
1
− e = −c
1
− c ∈ −C ⇒ a + b
1
≤ e.

Tính chất 1.1.2. Cho C là một nón lồi trong Y, a, b ∈ R, c ∈ C và U là tập mở bất
kì trong Y . Khi đó:
(i) Nếu ac ∈ U + C và b > a thì bc ∈ U + C.
(ii) Nếu ac ∈ U − C và b < a thì bc ∈ U − C.
Chứng minh (i) Vì ac ∈ U + C nên tồn tại u ∈ U và c
1
∈ C sao cho ac = u + c
1
.
Mặt khác, b > a nên b − a > 0, c ∈ C nên (b − a) ∈ C suy ra tồn tại c
2
∈ C sao
cho (b −a)c = c
2
hay bc −ac = c
2
.
Do đó, bc − (u + c
1
) = c
2
hay bc = u + c
1
+ c
2
∈ U + C.
(ii) Vì ac ∈ U − C nên tồn tại u ∈ U và c
1
∈ C sao cho ac = u −c
1

.
Mặt khác, b < a nên (b − a)c ∈ −C tức là tồn tại c
2
∈ C sao cho (b − a)c = −c
2
hay bc −ac = −c
2
.
Do đó, bc − (u −c
1
) = −c
2
hay bc = u − c
1
− c
2
∈ U − C.
Tính chất 1.1.3. Với bất kì k, l ∈ R, k > 0, l < 0, a, b ∈ Y . Khi đó:
(i) a ≥ b ⇔ ka ≥ kb;
(ii) a ≥ b ⇔ la ≤ lb;
(iii) a > b ⇔ ka > kb;
1.2 Tính liên tục và các khái niệm liên quan 4
(iv) a > b ⇔ la < lb.
Chứng minh Ta chứng minh (i) và (iii), còn (ii) và (iv) chứng minh tương tự.
(i) Ta có a ≥ b ⇒ a − b ∈ C ⇒ k(a −b) ∈ C ⇒ ka −kb ≥ 0 ⇒ ka ≥ kb. Ngược lại,
ka ≥ kb ⇒ ka − kb ∈ C ⇒ k
−1
(ka − kb) ∈ C ⇒ a − b ∈ C ⇒ a ≥ b.
(iii) Trước hết ta chứng minh rằng với mọi x ∈ intC thì kx ∈ intC. Vì x ∈ intC ⇒
kx ∈ kintC. Mà kintC là tập mở nên kintC ⊆ intC. Vậy k x ∈ intC.

Giả sử ka > kb tức là ka−kb ∈ intC ⇒ k
−1
(ka−kb) ∈ intC ⇒ a−b ∈ intC ⇒ a > b,
vô lí. Ngược lại, ka  kb ⇒ k
−1
ka  k
−1
kb hay a  b.
Tính chất 1.1.4. Cho a, b, b
1
, e ∈ Y . Khi đó:
(i) Nếu a + b ≥ e, b
1
≥ b thì a + b
1
≥ e;
(ii) Nếu a + b  e, b ≥ b
1
thì a + b
1
 e
1.2. Tính liên tục và các khái niệm liên quan
Giả sử X và Y là hai không gian tôpô.
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là không gian tôpô, cho ánh xạ đa trị Q: X → 2
Y
. Khi
đó:
(i) Q được gọi là nửa liên tục trên tại x
0
∈ dom Q nếu với mọi lân cận U của Q(x

0
)
thì tồn tại một lân cận N của x
0
sao cho Q(N) ⊆ U.
(ii) Q được gọi là nửa liên tục dưới tại x
0
∈ dom Q nếu với mọi U mở, U ∩Q(x
0
) = ∅
thì tồn tại một lân cận N của x
0
sao cho Q(x) ∩U = ∅, ∀x ∈ N.
1.2 Tính liên tục và các khái niệm liên quan 5
(iii) Q được gọi là liên tục tại x
0
nếu Q là usc và lsc tại x
0
.
Ví dụ 1.2.1. Xét hai ánh xạ Q
1
và Q
2
từ R vào R xác định bởi:
Q
1
(x) =




[−1, 1] nếu x = 0
{0} nếu x = 0
Q
2
(x) =





{0} nếu x = 0
[−1, 1] nếu x = 0
Khi đó, Q
1
là lsc tại 0 nhưng không là usc tại 0 và ngược lại, Q
2
là usc tại 0 nhưng
không là lsc tại 0.
Trong 2 chú ý sau đây cho ta thấy các điều kiện tương đương với các khái niệm usc
và lsc của ánh xạ đa trị.
Chú ý 1.2.1. Q usc tại x
0
khi và chỉ khi nhân của mỗi lân cận của Q(x
0
) là một lân
cận của x
0
.
Chú ý 1.2.2. Q là lsc tại x
0

nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau được thỏa
mãn.
(i) Với mọi y ∈ Q(x
0
), với mọi x
n
∈ dom Q: x
n
→ x
0
thì tồn tại y
n
∈ Q(x
n
) sao cho
y
n
→ y.
(ii) Với mọi x
α
→ x
0
thì ta có
Q(x) ⊆ lim inf Q(x
α
)
với lim inf Q(x
α
) = {y ∈ Y : ∃y
α

∈ Q(x
α
), y
α
→ y}.
1.2 Tính liên tục và các khái niệm liên quan 6
Định nghĩa 1.2.2. Ánh xạ F : X → Y được gọi là liên tục đều nếu với bất kỳ lân cận
V của 0 trong Y , tồn tại lân cận U của 0 trong X sao cho F (x) − F (y) ∈ V với mọi
x −y ∈ U.
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử X là không g ian vectơ tôpô. Ánh xạ F: X → X
∗
được gọi
là liên tục theo tia nếu với bất kỳ x, y ∈ H, hàm t −→ F (x + t(y −x)), x −y từ [0,1]
vào R là liên tục tại 0
+
. Dễ thấy, liên tục kéo theo liên tục theo tia, nhưng ngược lại
không đúng.
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử X là không g ian vectơ tôpô. Ánh xạ F: X → X
∗
được gọi
là đơn điệu nếu, với mọi x, y ∈ H,
F (x) − F (y), x −y ≥ 0.
Định nghĩa 1.2.5. Cho A là tập con khác rỗng trong không gian metric X. Độ đo
tính không compact µ của tập A được định nghĩa bởi
µ(A) = inf{ > 0 : A ⊂ ∪
n
i=1
A
i
, diam A

i
< , i = 1, 2, ··· , n},
trong đó diamA = sup{d(y, z) : y, z ∈ A} là đường kính của tập A.
Định nghĩa 1.2.6. Cho A, B là các tập con khác rỗng của H. Khoảng cách Hausdorff
giữa A và B được định nghĩa bởi
H(A, B) = max{e(A, B), e(B, A)},
trong đó e(A, B) = sup{d(a, B) : a ∈ A} với d(a, B) = inf{d(a, b) : b ∈ B}. Cho {A
n
}
là dãy các tập con khác rỗng của H. Chúng ta nói rằng A
n
hội tụ tới A theo khoảng
cách Hausdorff nếu H(A
n
, A) → 0. Dễ thấy e(A
n
, A) → 0 nếu và chỉ nếu d(a
n
, A) → 0
với mọi sự lựa chọn a
n
∈ A
n
.
1.3 Tính liên tục của hàm giá trị số 7
1.3. Tính liên tục của hàm giá t rị số
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử X là không gian tôpô, cho h: X → R. Khi đó:
(i) h được gọi là nửa liên tục dưới và kí hiệu là lsc tại x
0
∈ X nếu với bất kì dãy

x
α
→ x
0
thì
h(x
0
) ≤ lim inf h(x
α
)
(ii) h được gọi là nửa liên tục trên và kí hiệu là usc tại x
0
∈ X nếu với bất kì dãy
x
α
→ x
0
thì
h(x
0
) ≥ lim inf h(x
α
)
(iii) h được gọi là liên tục tại x
0
nếu h là usc và lsc tại x
0
.
Ví dụ 1.3.1. Cho h: R → R xác định như sau:
h(x) =




x + 1 nếu x > 0
0 nếu x ≤ 0
thì h là lsc tại 0 nhưng không là usc tại 0.
Ví dụ 1.3.2. Cho h : R → R xác định như sau:
h(x) =



1 nếu x ≥ 0
x nếu x < 0
thì h là usc tại 0 nhưng không là lsc tại 0.
Tiếp theo chúng ta đưa ra một vài loại tựa nửa liên tục của các hàm vectơ và nghiên
cứu các tính chất của chúng. Các định nghĩa và tính chất này sẽ được sử dụng đối với
1.3 Tính liên tục của hàm giá trị số 8
việc xét tính đặt chỉnh. Cho X là không gian tôpô, Y là không gian vectơ Hausdorff,
A ⊆ X là một tập mở khác rỗng và C ⊆ Y là nón lồi, đóng, có phần trong khác trống.
Chúng ta nhắc lại một số khái niệm nửa liên tục của các hàm vectơ. Giả sử h: A → Y .
Khi đó
(i) h đượ c gọi là C-nửa liên tục dưới tạ i x
0
nếu với bất kỳ lân cận U của h(x
0
), có
một lân cận N của x
0
sao cho h(N) ⊆ U + C.
(ii) h được gọi là C-nửa liên tục trên (viết tắt C-usc) tại x

0
nếu với bất kỳ lân cận
U của h(x
0
), có một lân cận N của x
0
sao cho h(N) ⊆ U −C.
Chúng ta chú ý mối liên hệ cơ bản sau với nửa liên tục của các hàm vô hướng.
Cho c ∈ C, f: A → R và h: A → Y được định nghĩa bởi h(x) = f(x)c, với x ∈ A. Nếu
f là lsc (tương ứng usc) tại x
0
, thì h là C-lsc (tương ứng C-usc) tại x
0
.
Chứng minh Giả sử f lsc tại x
0
, ta sẽ chứng minh h là C-lsc tại x
0
. Lấy U là một
lân cận mở bất kì của h(x
0
) = f(x
0
)c trong Y . Vì Y là không gian vectơ tôpô nên tồn
tại ε > 0 sao cho với mọi a ∈ (f(x
0
) −ε, f(x
0
) + ε) thì ac ∈ U.
Vì f là lsc tại x

0
nên có một lân cận V của x
0
sao cho f(x) ∈ (f(x
0
)−ε, +∞), ∀x ∈ V
bởi vì nếu không thì tồn tại x
α
→ x
0
, f(x
α
) ≤ f(x
0
)−ε và do đó f(x
0
) ≤ lim inf f(x
α
) ≤
f(x
0
) − ε và đây là điều vô lí. Do đó, ∀x ∈ V, h(x) = f(x)c ∈ U + C hay h là C-lsc tại
x
0
. 
Hơn nữa, các mối liên hệ với các tập mức cũng dễ dàng thu được kết quả như sau.
Với b ∈ Y , chúng ta sử dụng cá c ký hiệu sau cho cá c tập mức của h, đối với các thứ tự
khác nhau ≤.
L
≤b

h = {x ∈ A : h(x) ≤ b},
L
>b
h = {x ∈ A : h(x) > b}
1.3 Tính liên tục của hàm giá trị số 9
và tương tự đối với các tập mức khác L
≮b
h, L
≥b
h, L
b
h, L
>b
h, Không khó để kiểm
tra các mối liên hệ sau
Mệnh đề 1.3.1. Cho h: A → Y .
(i) h là C-lsc tại x
0
nếu và chỉ nếu L
>b
h đóng tại x
0
với mọi b ∈ Y .
(ii) h là C-usc tại x
0
nếu và chỉ nếu L
<b
h đóng tại x
0
với mọi b ∈ Y .

Chứng minh (i) Cho h là C-lsc tại x
0
và với mọi b ∈ Y , với mọi x
α
→ x
0
thỏa
h(x
α
) ≯ b. Ta chứng minh h(x
0
) ≯ b.
Giả sử ngược lại h(x
0
) > b. Khi đó (x
0
) ∈ b+intC. Vì h là C-lsc tại x
0
và b+intC là
tập mở nên có một lân cận N của x
0
sao cho h(x
α
) ∈ b+intC +C = b +intC, ∀x
α
∈ N.
Do x
α
→ x
0

, h(x
α
) ∈ b + intC. Điều này không thể vì h(x
α
) ≯ b.
Ngược lại, ∀b ∈ Y, ∀x
α
→ x
0
, h(x
α
) ≯ b ta có h(x
0
) ≯ b, ta chứng minh h là C-lsc
tại x
0
. Giả sử h không C-lsc tại x
0
, khi đó có một lân cận mở U của h(x
0
) và x
α
→ x
0
sao cho h(x
α
) /∈ U + C, ∀α.
Ta thấy rằng ∀ε ∈ intC thì có một lưới con x
β
của x

α
sao cho h(x
β
) > h(x
0
) − ε.
Thật vậy, nếu với mọi {x
β
} ⊂ {x
α
}, h(x
β
) > h(x
0
) − ε thì h(x
0
) > h(x
0
) − ε, vô lí vì
ε ∈ intC.
Do đó, h(x
β
) ∈ h(x
0
) − ε + C. Vì h(x
0
) − ε → h(x
0
) khi ε → 0
Y

nên tồn tại
ε ∈ intC, h(x
0
) − ε ∈ U. Khi đó, h(x
β
) ∈ h(x
0
) − ε + C ⊆ U + C. Mâu thuẫn vì
h(x
β
) /∈ U + C, ∀β. 
Các đề nghị tương đương sau có tính chất yếu hơn yếu hơn C-nửa liên tục này,
bằng cách đưa ra yêu cầu chỉ tại điểm mức duy nhất. Ở đây chúng ta cũng đưa ra các
định nghĩa tương tự đối với thứ tự ≤ và ≥.
1.3 Tính liên tục của hàm giá trị số 10
Định nghĩa 1.3.2. Cho h: A → Y và b ∈ Y .
(i) h được gọi là b-mức C-nửa liên tục dưới ((b, C)-lsc) tại x
0
nếu L
>b
h đóng tại x
0
.
(ii) h được gọi là b-mức C-nửa liên tục trên ((b, C)-usc) tại x
0
nếu L
<b
h đóng tại x
0
.

(iii) h được gọi là b-mức C-tựa nửa liên tục dưới ((b, C)-qlsc) tại x
0
nếu L
≤b
h đóng
tại x
0
.
(iv) h được gọi là b-mức C - tựa nửa liên tục trên ((b, C)-qusc) tại x
0
nếu L
≥b
h đóng
tại x
0
.
Nếu phát biểu của (i) - (iv) thoả với mọi b ∈ Y , chúng ta bỏ qua b trong các phát
biểu tương ứng.
Để là m các định nghĩa này rõ hơn chúng ta đưa ra các phát biểu tương đương theo
quan điểm lân cận như sau.
Mệnh đề 1.3.2. Cho h: A → Y và b ∈ Y cố định.
(i) h là (b, C)-lsc tại x
0
nếu và chỉ nếu có lân cận N của x
0
với h(N) ⊆ b + intC
với mọi h(x
0
) ∈ b + intC;
(ii) h là (b, C)-usc tại x

0
nếu và chỉ nếu có lân cận N của x
0
với h(N) ⊆ b − intC
với mọi h(x
0
) ∈ b − intC;
(iii) h là (b, C)-qlsc tại x
0
nếu và chỉ nếu có lân cận N của x
0
sao cho h(N)∩(b−C) =
∅ với mọi h(x
0
) ∈ b −C;
(iv) h là (b, C)-qusc tại x
0
nếu và chỉ nếu có lân cận N của x
0
sao cho h(N)∩(b+C) =
∅ với mọi h(x
0
) ∈ b + C.
1.3 Tính liên tục của hàm giá trị số 11
Chứng minh Do tương tự, chúng ta chỉ kiểm tra đối với (iii) như một ví dụ.
Cho x
α
→ x
0
với h(x

α
) ≤ b. Chúng ta chỉ ra h(x
0
) ≤ b. Nếu h(x
0
) ≤ b, do giả thiết
tồn tại lân cận N của x
0
sao cho, với mọi x ∈ N, h(x) ≤ b. Vì x
α
→ x
0
, ta suy ra
x
α
∈ N, tức là, h(x
α
) ≤ b, mâu thuẫn.
Ngược lại, giả sử điều vô lý h là (b, C)-qlsc tại x
0
và h(x
0
) ≤ b, nhưng với bất kỳ
lân cận N của x
0
, có x ∈ N sao cho, h(x) ≤ b, tức là, có dãy x
α
→ x
0
với h(x

α
) ≤ b.
Do h là (b, C)-qlsc tại x
0
, chúng ta có sự mâu thuẫn là h(x
0
) ≤ b. 
Các mối quan hệ sau giữa C-nửa liên tục và C-tựa nửa liên tục giống nhau đối với
trường hợp vô hướng, mặc dù không rõ ràng từ các định nghĩa và nhận xét trên trên.
Mệnh đề 1.3.3. Cho h: A → Y .
(i) Nếu h là C-lsc tại x
0
thì h là C-qlsc tại x
0
.
(ii) Nếu h là C-usc tại x
0
thì h là C-qusc tại x
0
.
Chứng minh (i) Giả sử h là C-lsc tại x
0
và x
α
→ x
0
với h(x
α
) ≤ b với b ∈ Y ,
nhưng h(x

0
) ∈ Y \ (b − C). Vì h là C-lsc tại x
0
và Y \ (b − C) là mở, có thể suy ra
h(x
α
) ∈ Y \(b−C)+C. Do đó có t
α
∈ Y \(b−C) và c
α
∈ C sao cho h(x
α
) = t
α
+c
α
. Vì
h(x
α
) ∈ b−C, nên ta có c

α
∈ C sao cho h(x
α
) = b−c

α
. Vì vậy, t
α
= b−c


α
−c
α
∈ b−C,
điều này là không thể vì t
α
∈ Y \ (b − C).
(ii) Kiểm tra tương tự. 
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng chiều ngược lại của Mệnh đề 1.3.3 là không đúng.
Ví dụ 1.3.3. Cho X = R, Y = R
2
, A = R, C = R
2
+
, x
0
= 0 và
h(x) =





(x, 1) nếu x ≤ 0,
(−
1
x
,
1

x
) ngược lại.
1.3 Tính liên tục của hàm giá trị số 12
Khi đó h là C-qlsc và C-qusc tại 0. Thật vậy, do tương tự chúng ta chỉ kiểm tra tính
chất sau. Với bất kỳ dãy x
n
→ 0 sa o cho h(x
n
) ≥ b với b ∈ R nào đó và với mọi n, có
dãy x
n
k
sao cho x
n
k
≤ 0, với mọi n
k
, (nếu với mọi dãy con x
n
k
, x
n
k
> 0, vì x
n
k
→ 0,
có h(x
n
k

) → (−∞, +∞) ≥ b). h(x
n
k
) ≥ b có nghĩa là x
n
k
≥ b
1
và 1 ≥ b
2
, do đó 0 ≥ b
1
.
Vậy, h(x
0
) = (0, 1) ≥ b, tức là, h là (b, C)-qusc tại 0. Vì b tuỳ ý, ta suy ra h là C-qusc
tại 0.
Tuy nhiên, h không là C-lsc và cũng không là C-usc tại 0. Thật vậy, chúng ta chỉ
cần kiểm tra tính chất sau. Cho b = (2, 2) và x
n
=
1
n
. Khi đó h(x
n
) < b với n đủ lớn.
Nhưng h(0) = (0, 1) < b. Kết quả h không là (b, C)-usc tại 0.
Các mối liên hệ trong Mệnh đề 1.3.3 không thể phát biểu tương tự cho một mức b
đặc biệt (không như trường hợp vô hướng) được chỉ ra bởi ví dụ sau.
Ví dụ 1.3.4. Cho X, Y, A, C và x

0
= 0 như trong Ví dụ 1.3.3 và
h(x) =





(−1, 1) nếu x = 0,
(−1, −1) ngược lại.
Khi đó, với mọi x ∈ R, h(x) > 0 và do đó h là (0, C)-lsc tại 0, vì L
>0
h đóng. Nhưng
h không là (0, C)-qlsc tại 0, vì L
≤0
h không đóng. Thật vậy, cho x
n
=
1
n
→ 0. Khi đó
h(x
n
) = (−1, −1) ≤ 0, nhưng h(0) = (−1, 1) ≤ 0. Do đó L
≤0
h không đóng.
Bây giờ ta phát biểu h như sau
h(x) =






(−1, 1) nếu x = 0,
(1, 1) ngược lại.
Khi đó, đối với x ∈ R, h(x) < 0, khi h là (0, C)-usc tại 0, vì L
<0
h đóng. Nhưng
h không là (0, C)-qusc tại 0, vì L
≥0
h không đóng. Thật vậy, cho x
n
=
1
n
. Khi đó
h(x
n
) = (1, 1) ≥ 0, nhưng h(0) = (−1, 1) ≥ 0. Vậy, L
≥0
h không đóng.
1.3 Tính liên tục của hàm giá trị số 13
Để xét tính đặt chỉnh trong các tiểu mục tiếp theo chúng ta cần đưa ra quy tắc
tổng cho các hàm nửa liên tục và tựa nửa liên tục.
Mệnh đề 1.3.4. Cho X, Z là không gian tôpô, A ⊆ X và B ⊆ Z là các tập con mở
khác rỗng, C ⊆ Y là nón lồi, đóng, có phần trong khác trống và f: A → Y, g: B → Y ,
A ⊆ X, B ⊆ Z. Nếu f và g tương ứng là C-lsc (hoặc C-usc) tại x
0
và y
0

, thì h = f + g
là C-lsc (hoặc C-usc) tại (x
0
, y
0
).
Chứng minh Do tương tự và đối xứng, chúng ta chỉ cần chứng minh đối với C-nửa liên
tục trên. Cho U là tập con mở bất kỳ của f(x
0
)+g(y
0
). Khi đó, có mộ t lân cận mở U
1
và
U
2
tương ứng của f(x
0
) và g(x
0
), sao cho U
1
+U
2
⊆ U. Vì f và g là C-lsc, khi đó có lân
cận mở của N
1
và N
2
tương ứng của x

0
và y
0
, sao cho f(x) ∈ U
1
−C và g(y) ∈ U
2
−C,
với mọi (x, y) ∈ N
1
×N
2
. Do đó h(x, y) = f(x) + g(y) ∈ U
1
+ U
2
−C ⊆ U −C, với mọi
(x, y) ∈ N
1
× N
2
, tức là, h là C-usc tại (x
0
, y
0
). 
Tuy nhiên, Mệnh đề 1.3.4 không thể mở rộng cho các hàm C-tựa nửa liên tục được
chỉ ra bởi ví dưới đây
Ví dụ 1.3.5. Cho X, Y, A, C và x
0

như trong Ví dụ 1.3.3. Cho Z = B = X, y
0
= x
0
và f được định nghĩa như h trong Ví dụ 1.3.3. Cho
g(x) =





(x, 1) nếu x ≤ 0,
(
1
x
, −
1
x
) ngược lại.
Lý luận tương tự như trong Ví dụ 1.3.3, chúng ta thấy f và g là C-qlsc tại 0. Hơn nữa,
(f + g)(x) =





(2x, 2) nếu x ≤ 0,
(0, 0) ngược lại.
Với x
n

=
1
n
→ 0, ta có (f + g)(x
n
) = (0, 0) ≤ (1, 1), nhưng (f + g)(0) = (0, 2) ≤ (1, 1).
Vì vậy f + g không là C-qlsc tại 0.
1.3 Tính liên tục của hàm giá trị số 14
Bây giờ ta phát biểu lại hàm f và g bởi các tập sau
f(x) =





(x, −1) nếu x ≤ 0,
(−
1
x
,
1
x
) ngược lại,
g(x) =





(x, −1) nếu x ≤ 0,

(
1
x
, −
1
x
) ngược lại.
Khi đó f và g là C-qusc tại 0. Nhưng
(f + g)(x) =





(2x, −2) nếu x ≤ 0,
(0, 0) ngược lại.
không là C-qusc tại 0 bởi vì, với x
n
=
1
n
→ 0, chúng ta có (f + g)(x
n
) = (0, 0) ≥
(−1, −1), nhưng (f + g)(0) = (0, −2) ≥ (−1, −1).
Mệnh đề 1.3.5. Giả sử X, Y, Z, A, B, C, f và g như trong Mệnh đề 1.3.4.
(i) Nếu f là C-qlsc tại x
0
và g là C-lsc tại y
0

, thì h = f + g là C-qlsc tại (x
0
, y
0
).
(ii) Nếu f là C-qusc tại x
0
và g là C-usc tại y
0
, thì h = f + g là C-qusc tại (x
0
, y
0
).
Chứng minh Do sự tương tự và đối xứng, chúng ta chỉ cần chứng minh (i). Với b ∈ Y
tuỳ ý, giả sử (x
α
, y
α
) → (x
0
, y
0
) và h(x
α
, y
α
) ≤ b. Với mỗi e ∈ intC, vì g là C-lsc tại y
0
,

nên tồn tại dãy con y
β
sao cho g(y
β
) > g(y
0
) −e, với mọi β. Do đó
f(x
β
) + g(y
0
) −e ≤ b.
Do f là C-qlsc tại x
0
,
f(x
0
) + g(y
0
) −e ≤ b,
Kết quả là, f(x
0
) + g(y
0
) ≤ b. Vậy, h là (b, C)-qlsc tại (x
0
, y
0
). Do sự tuỳ ý của b, nên
h là C-qlsc tại (x

0
, y
0
). 
1.3 Tính liên tục của hàm giá trị số 15
Các ví dụ sau cho ta các kết quả tương tự với Mệnh đề 1.3.4 và 1.3.5 với mức b cố
định cho trước.
Ví dụ 1.3.6. Cho A = R, Y = R
2
, C = R
2
+
, x
0
= 0 và f, g: R → R
2
được định nghĩa
g(x) = (2, −1) với mọi x,
f(x) =





(−1, 2) if x = 0,
(−3, −3) ngược lại.
Khi đó f là (0, C)-lsc tại 0, vì L
>0
f là đóng. g là liên tục, với mọi (0, C)-lsc tại 0.
Nhưng

(f + g)(x) =





(1, 1) nếu x = 0,
(−1, −4) ngược lại
không là (0, C)-lsc tại 0, vì L
>0
h không đóng. Thật vậy, cho x
n
=
1
n
. Khi đó h(x
n
) =
(−1, −4) > 0, nhưng h(0) = (1, 1) > 0. Vì vậy L
>0
h không đóng. Thât vậy, từ giả
thiết f là (b
1
, C)-lsc tại x
0
và g là (b
2
, C)-lsc tại x
0
, chúng ta không thể suy ra f + g là

(b
1
+ b
2
, C)-lsc tại x
0
. Nếu b
1
= b
2
, f là (b, C)-lsc tại x
0
và g thậm chí liên tục tại x
0
,
chúng ta không có f + g là (b, C)-lsc tại x
0
.
Để có phản ví dụ cho (b, C)-nửa liên tục trên, chúng ta điều chỉnh f và g như sau.
Đặt g(x) = (1, −2) và
f(x) =





(−2, 1) nếu x = 0,
(3, 3) ngược lại.
Khi đó f là (0, C)-usc tại 0 và g liên tục (và do đó (0, C)-usc) tại 0. Nhưng
(f + g)(x) =






(−1, −1) nếu x = 0,
(4, 1) ngược lại
không là (0, C)-usc tại 0, vì L
<0
h không đóng. Thật vậy, cho x
n
=
1
n
→ 0. Khi đó
h(x
n
) = (4, 1) < 0, nhưng h(0) = (−1, −1) < 0, do đó L
<0
h không đóng. Ví dụ này chỉ
1.3 Tính liên tục của hàm giá trị số 16
ra rằng nếu f là (b, C)-usc và g thậm chí liên tục tại x
0
, ta cũng không suy ra f + g là
(b, C)-usc tại x
0
,
Thông qua việc nghiên cứu của C-tựa nửa liên tục, chúng ta có phản ví dụ tương
tự sau.
Ví dụ 1.3.7. Cho Y, A, C và x

0
= 0 như trong Ví dụ 1.3.6. Cho f, g : R → R
2
định
nghĩa bởi g(x) = (2, 2) với mọi x và
f(x) =





(−1, −1) nếu x = 0,
(−3, −3) ngược lại.
Khi đó f là (0, C)-qlsc và g liên tục (và do đó (0, C)-lsc) tại 0. Nhưng
(f + g)(x) =





(1, 1) nếu x = 0,
(−1, −1) ngược lại
không là (0, C)-qlsc tại 0 (để thấy rõ điều này, ta lấy x
n
=
1
n
).
Một sự khẳng định tương tự đối với (b, C)-tựa nửa liên tục trên được chỉ ra bởi
g(x) = (−2, −2) và

f(x) =





(1, 1) nếu x = 0,
(3, 3) ngược lại.
Ví dụ sau chỉ ra rằng, với mức b cố định, tổng của hàm liên tục và hàm (b, C)-lsc
có thể không là (b, C)-qlsc.
Ví dụ 1.3.8. Cho như Ví dụ 1.3.7, chỉ điều chỉnh f(x) = (2, 2) và
g(x) =





(−1, −1) nếu x = 0,
(−3, −3) ngược lại.
1.3 Tính liên tục của hàm giá trị số 17
Khi đó, f liên tục và g là (0, C)-lsc tại 0. Nhưng
(f + g)(x) =





(1, 1) nếu x = 0,
(−1, −1) ngược lại
không là (0, C)-qlsc tại 0.

Bây giờ cho f(x) = (−2, −2), x
0
= 0 và
g(x) =





(1, 1) nếu x = 0,
(3, 3) ngược lại.
Khi đó f liên tục và g là (0, C)-usc tại 0. Nhưng
(f + g)(x) =





(−1, −1) nếu x = 0,
(1, 1) ngược lại
không là (0, C)-qusc tại 0.
Chương 2
Tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn
hợp, bài toán bao hàm thức và bài toán điểm bất
động
2.1. Tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp
Trước hết ta giới thiệu mối liên hệ tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn
hợp, bài toán bao hàm thức và bài toán điểm bất động. Cho H là không gian Hilbert
thực, ánh xạ F: H → H và ϕ: H → R ∪{+∞} là hàm chính thường, lồi, nửa liên tục
dưới. Miền hiệu quả của ϕ kí hiệu là dom ϕ,

dom ϕ = {x ∈ H : ϕ(x) < +∞}.
Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp liên kết với (F, ϕ) sau đây
MVI(F, ϕ): tìm x ∈ H sao cho F (x), x −y + ϕ(x) −ϕ(y) ≤ 0, ∀y ∈ H,
đang được nghiên cứu mạnh ([8], [19], [23], [44]). Khi ϕ = δ
K
, MVI(F, ϕ) quy về bất
bất đẳng thức biến phân cổ điển
VI (F, ϕ): tìm x ∈ K sao cho F(x), x −y ≤ 0, ∀y ∈ K,
2.1 Tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 19
trong đó δ
K
là hàm chỉ định của tập con lồi K của H. Ký hiệu ∂ϕ và ∂

ϕ tương ứng
là vi phân dưới và -vi phân dưới của ϕ, tức là, với x ∈ dom ϕ,
∂ϕ(x) = {x
∗
∈ H : ϕ(y) − ϕ(x) ≥ x
∗
, y − x, ∀y ∈ H},
∂

ϕ(x) = {x
∗
∈ H : ϕ(y) − ϕ(x) ≥  x
∗
, y − x − , ∀y ∈ H}.
Chúng ta biết rằng ∂

ϕ ⊃ ∂ϕ = ∅ với mọi  > 0. MVI(F, ϕ) tương đương với bài

toán bao hàm thức liên kết với F + ∂ϕ như sau
IP(F + ∂ϕ): tìm x ∈ H sao cho 0 ∈ F(x) + ∂ϕ(x).
Toán tử giải thức của ∂ϕ được định nghĩa bởi, với x ∈ H,
J
λ
ϕ
(x) = (I + λ∂ϕ)
−1
(x).
Người ta chứng minh rằng J
λ
ϕ
là đơn ánh và không dãn, trong đó λ là hằng số. Nhắc
lại ánh xạ T : H → H được gọi là không dãn nếu T (x) − T (y) ≤ x − y với mọi
x, y ∈ H. Dùng J
λ
ϕ
, thì MVI(F, ϕ) tương đương với bài toán điểm bất động sau
FP(J
λ
ϕ
( I − λF )): tìm x ∈ H sa o cho x = J
λ
ϕ
(I − λF )(x).
Tổng hợp các kết quả trên, chúng ta có bổ đề sau
Bổ đề 2.1.1. ([8], [23], [44]) Cho ánh xạ F: H → H và ϕ: H → R ∪ {+∞} là hàm
chính thường, lồi, nửa liên tục dưới. Khi đó các kết luận sau là tương đương
(i) x là nghiệm MVI(F, ϕ);
(ii) x là nghiệm IP(F + ∂ϕ);

(iii) x là nghiệm FP(J
λ
ϕ
(I − λF )), trong đó λ > 0 là hằng số.
2.1 Tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 20
Bổ đề 2.1.2. ([8], [23], [44]) Cho F: H → H và ϕ: H → R ∪ {+∞} là hàm chính
thường, lồi, nửa liên tục dưới và cho điểm x ∈ H. Khi đó,
F (x), x − y + ϕ(x) −ϕ(y) ≤ 0, ∀y ∈ H
nếu và chỉ nếu
F (y), x −y + ϕ(x) −ϕ(y) ≤ 0, ∀y ∈ H.
Để xét tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp chúng ta cầ n một số
khái niệm. Giả sử α ≥ 0 là hằng số, H là không gian Hilbert thực, F : H → H và
ϕ : H → R ∪{+∞} là hàm chính thường, lồi, nửa liên tục dưới.
Định nghĩa 2.1.1. Dãy {x
n
} ⊆ H được gọi là dãy α-xấp xỉ đối với MVI(F, ϕ) nếu
tồn tại dãy {
n
} các số không âm với 
n
→ 0 sao cho, ∀y ∈ H, ∀n ∈ N,
x
n
∈ dom ϕ, F(x
n
), x
n
− y + ϕ(x
n
) −ϕ(y) ≤

α
2
x
n
− y
2
+ 
n
.
Nếu α
1
> α
2
≥ 0, thì mọi dãy α
2
-xấp xỉ là α
1
-xấp xỉ. Khi α = 0, chúng ta nói rằng
{x
n
} là xấp xỉ đối với MVI(F, ϕ).
Định nghĩa 2.1.2. Chúng ta nói rằng MVI(F, ϕ) là α-đặt chỉnh mạnh (tương ứng
yếu) nếu MVI(F, ϕ) có nghiệm duy nhất và mọi dãy α-xấp xỉ hội tụ mạnh (tương
ứng hội tụ yếu) tới nghiệm duy nhất. Trong các nội dung tiếp theo, 0-đặt chỉnh mạnh
(tương ứng yếu) luôn được gọi là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu). Nếu α
1
> α
2
≥ 0,
thì α

1
-đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) suy ra α
2
-đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu).
Chú ý 2.1.1. Khi ϕ = δ
K
Định nghĩa 2.1.2 trở thành Định nghĩa α-đặ t chỉnh mạnh
(tương ứng yếu) đối với bất đẳng thức biến phân cổ điển [14], [40], [41].