DE THI HSG TOAN 9 20122013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG --------------. ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN LẦN 1 Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút ----------------------. Bài 1: ( 2.0 điểm). x  y Cho x và y là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức:  Chứng minh rằng:. 1  xy. 3. xy  3 x  3 y  2 . là một số hữu tỉ.. Bài 2: (2,0 điểm) Cho 100 số tự nhiên a1, a2… a100 thỏa mãn:. 1 1 1   ....  19 a1 a2 a100. Chứng minh rằng: Trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại 2 số bằng nhau. Bài 3: ( 2.0 điểm) Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Kẻ các đường cao AD, BE của tam giác ABC. 0 0 Trên đoạn AD lấy điểm P sao cho BPC 90 ; trên đoạn BE lấy điểm Q sao cho AQC 90 .. Chứng minh rằng: Tam giác CPQ là tam giác cân. Bài 4: ( 1,5 điểm) Cho n là số tự nhiên và d là ước nguyên dương của 2n 2. Chứng minh rằng: n2 + d không là số chính phương. Bài 5: (2,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của. biểu thức :. P 14(a 2  b 2  c 2 ) . ab  bc  ca a 2b  b 2 c  c 2 a ------ Hết ------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN VẮN TẮT VÀ THANG ĐIỂM Bài. Nội dung trình bày. Điểm 0.5. +) Nếu x 0 hoặc y 0 thì 1  xy 1 là số hữu tỉ. +) Nếu x 0 và y 0 : T ừ giả thiết ta có: 1. x 3  y 3 2 xy . x2 y 2 x4 y 4 x4 y 4  2  2  2  2 xy 4  2  2  2 xy 4  4 xy y x y x y x. 2. 0.5. 2.  x2 y 2  1  x2 y 2  1 x2 y 2    4 1  xy  1  xy    1  xy        x  4 y x  2 y x  y là số hữu tỉ.. 1.0. Giả sử trong 100 số tự nhiên đã cho đó không có hai số nào bằng nhau 1 1 1 1 1 1   ....     ....  a1 a2 a100 1 2 100. 0.5. 1 1 1   ....  ) 2 2 3 3 100  100 1 1 1  1  2(   ....  ) 2 1 3 2 100  99 1  2(. 2. 0.5. 0.5. Ta có: 1  2( 2  1  3  2  ...  100  99) 19 Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy điều giả sử sai. Vậy tồn tại hai số bằng nhau.. 0.5. C D. 0.5 E. 3. A. Q P B. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: Trong tam giác vuông AQC có: CQ2 = AC.CE Trong tam giác vuông BPC có: CP2 = BC.CD AC CD  Mặt khác: ACDBCE (g.g) nên BC CE suy ra: AC.CE = BC.CD. 4. Do đó: CQ2 = CP2 hay CQ = CP nên PCQ cân tại C. Giả sử n2 + d = m2 ( m  N) (*).Vì d là ước dương của 2n2 nên 2n2 = k.d (k  N) 2n 2 suy ra: d = k 2n 2 2n 2 Thay d = k vào (*) ta có: n2 + k = m2  n2.k2 + 2n2k = m2k2. 0.5 0.5 0.5. 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> mk 2 ) Từ đó suy ra: k2 + 2k = n là số chính phương. Nhưng k2 < k2 + 2k < (k+1)2 (. nên k2 + 2k không thể là số chính phương, mâu thuẫn Vậy: n2 + d không là số chính phương. Ta có: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + 2. bc + ca. 0.5. 0.5. 2. Theo BĐT AM-GM thì: a3 + ab2  2a2b;. b3 + bc2  2b2c;. c3 + ca2  2c2a. Suy ra a2 + b2 + c2  3(a2b + b2c + c2a) Suy ra. P 14( a 2  b 2  c 2 ) . 0.5. 3(ab  bc  ca ) a 2  b2  c2. Đặt t = a2 + b2 + c2. Theo BĐT B.C. S thì: 3(a2 + b2 + c2)  (a +b + c)2 = 1. 0.5. 1 Do vậy: t  3 . Khi đó:  P 14t . 3(1  t ) t 27t 3 3 1 1 27t 3 3 23      . 2 .   2t 2 2 2t 2 3 2 2 2t 2 3. 23 1 Vậy MinP = 3 khi a = b = c = 3. 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>