bai giang toan 11 tu co ban den nang cao

LỚP TỐN THẦY TP HUẾ. SĐT: 0834 332133 
 

CS1: P5. DÃY 11 TẬP THỂ XàTẮC. ĐƯỜNG NGƠ THỜI NHẬM 
CS2: TRUNG TÂM CAO THẮNG ( 11 ĐỐNG ĐA) 

ài giảng tốn 11
(Từ cơ bản đến nâng cao)

 

TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH LỚP TỐN THẦY CƯ‐
TP  HUẾ 
(Chiêu sinh thường xun, bổ trợ kiến thức kịp thời)


CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT
I – ĐỊNH NGHĨA
1) Hàm số sin
Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sin x
sin x :   
x  y = sin x

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sin x .
Tập xác định của hàm số sin là .
2) Hàm số côsin
Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực cos x
cos x :   
x  y = cos x

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = cos x .
Tập xác định của hàm số cô sin là .
3) Hàm số tang
Hàm số tang là hàm số được xác định bởi cơng thức y =

sin x
cos x

(cos x ¹ 0), kí hiu l

y = tan x .
ỡp
ù
ù2
ợ

ỹ
ù
ù
ỵ

Tp xỏc nh ca hm số y = tan x là D =  \ ïí + k p, k Ỵ ïý.
4) Hàm số cơtang
Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức y =

cos x
sin x

(sin x ¹ 0 ), kí hiệu là

y = cot x .

Tập xác định của hàm số y = cot x là D =  \ {k p, k Ỵ }.
II – TÍNH TUẦN HỒN VÀ CHU KÌ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1) Định nghĩa
Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số
T ¹ 0 sao cho với mọi x Î D ta có:

● x -T Î D và x +T Ỵ D.
● f ( x +T ) = f ( x ) .

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 1


Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần
hồn đó.
Người ta chứng minh được rằng hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì T = 2p ; hàm số
y = cos x

tuần hồn với chu kì T = 2 p ; hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì T = p ; hàm

số y = cot x tuần hồn với chu kì T = p.
2) Chú ý
● Hàm số y = sin (ax + b) tuần hồn với chu kì T 0 =

2p

a

● Hàm số y = cos (ax + b) tuần hồn với chu kì T 0 =

2p
.
a

● Hàm số y = tan (ax + b) tuần hồn với chu kì T 0 =

p
.
a

● Hàm số y = cot (ax + b) tuần hồn với chu kì T 0 =

p
.
a

.

● Hàm số y = f1 ( x ) tuần hoàn với chu kì T 1 và hàm số y = f 2 ( x ) tuần hồn với chu kì T 2
thì hàm số y = f1 ( x )  f 2 ( x ) tuần hồn với chu kì T 0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T 2 .
Lưu ý 2 số thực không xác đinh được bội chung nn, nên là T0  mT1  nT2 với m,n là 2 số
tự nhiên nguyên tố cùng nhau )
III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1) Hàm số y = sin x
● Tập xác định D =  , có nghĩa và xác định với mọi x Ỵ ;
● Tập giá trị T = [-1;1] , có nghĩa -1 £ sin x £ 1;

● Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 p, có nghĩa sin ( x + k 2p ) = sin x với k Ỵ ;
ỉ p
ư
p
● Hàm s ng bin trờn mi khong ỗỗỗ- + k 2p; + k 2pữữữ v nghch bin trờn mi khong
ố 2

2

ứ

ổp
ử
ỗỗ + k 2 p; 3p + k 2 p ÷÷ , k ẻ ;
ữứ
ỗố 2
2

L hm s l nờn đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

2) Hàm số y = cos x

● Tập xác định D =  , có nghĩa và xác định với mọi x Ỵ .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 2


● Tập giá trị T = [-1;1] , có nghĩa -1 £ cos x £ 1;

● Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 p, có nghĩa cos ( x + k 2p ) = cos x với k Î ;
● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-p + k 2p; k 2p ) và nghịch biến trên mỗi khoảng
(k 2p; p + k 2p ) , k Î ;

● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

3) Hàm số y = tan x
ỡp
ù2
ù
ợ

ỹ
ù
ù
ỵ

Tp xỏc nh D = \ ùớ + k p, k Ỵ ïý ;
● Tập giá trị T = ;
● Là hàm số tuần hoàn với chu kì p, có nghĩa tan ( x + k p ) = tan x với k Ỵ ;
ỉ p
ư
p
● Hàm s ng bin trờn mi khong ỗỗỗ- + k p; + k pữữữ, k ẻ ;
ố 2

ứ

2

L hm s lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
y

x
3p
2

-p

p
2

O

p
2

p

3p
2

4) Hàm số y = cot x
● Tập xác định D =  \ {k p, k Ỵ };
● Tập giá trị T = ;
● Là hàm số tuần hồn với chu kì p, có nghĩa tan ( x + k p ) = tan x với k Ỵ ;
● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (k p; p + k p ), k Ỵ ;
● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng

liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 3


y

-2p

-

3p
2

-p

-

p
2

O

p
2

p

3p
2

2p

x

B. PHÂN LOAIJVAF PHƯƠNG PHÁP GIẢI BAIF TÂP
Dạng 1: Tìm tập xác đinh của hàm số
1. Phương pháp
Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau



y  u  x  có nghĩa khi và chỉ khi u  x  xác định và u(x)  0 .



y



y



Hàm số y  s inx, y  cosx xác định trên  và tập giá trị của nó là:

u(x)
có nghĩa khi và chỉ u  x  , v  x  xác định và v(x)  0 .
v(x)

u(x)
v(x)

có nghĩa khi và chỉ u  x  , v  x  xác định và v(x)  0 .

1  sin x  1 ;

 1  cos x  1 .

Như vậy, y  s in  u  x   , y  cos  u  x   xác định khi và chỉ khi u  x  xác định.

 k,k  
2



y  tan u  x  có nghĩa khi và chỉ khi u  x  xác định và u  x  



y  cot u  x  có nghĩa khi và chỉ khi u  x  xác định và x  k,k   .

2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
 5x 
;
 x2  1 

b) y  cos 4  x2 ;

a) y  sin 

c) y  sin x;

d) y  2  sin x .

Giải
 5x 
2
 xác định  x  1  0  x  1.
2
 x 1

a) Hàm số y  sin 
Vậy D   \ 1.

b) Hàm số y  cos x 2  4 xác định  4  x 2  0  x2  4  2  x  2.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 4


Vậy D  x   | 2  x  2.
c) Hàm số y  sin x xác định  sinx  0  k2  x    k2,k   .
Vậy D  x   | k2  x    k2,k   .
d) Ta có: 1  s inx  1  2  s inx  0 .
Do đó, hàm só ln ln xác định hay D   .

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:



6

a) y  tan  x   ;





3

b) y  cot  x   ;


c) y 

sin x
;
cos(x  )

d) y 

1
.
tan x  1

Giải







2



 k, k   .
a) Hàm số y  tan  x   xác định  x    k  x 
6 2
3
6


 2

 k,k    .
3


Vậy D   \ 




3





b) Hàm số y  cot  x   xác định  x   k  x    k,k   .
3
3


 

 k,k    .
 3


Vậy D   \ 

c) Hàm số y 


3
sin x
xác định  cos  x     0  x     k  x   k,k   .
2
2
cos(x  )

 3

 k,k    .

2


Vậy D   \ 

d) Hàm số y 

1

xác định tan x  1  x   k, k   .
tan x  1
4


4



Vậy D   \   k,k    .


Ví dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y  cos2x 

1
;
cos x

b) y 

3cos2x
.
sin3x cos3x

Giải
a) Hàm số y  cos2x 

2

1

xác định  cosx  0  x   k, k   .
cosx
2



Vậy D   \   k,k    .


Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 5


b) Hàm số y 

3cos2x
xác định 

sin 3x cos3x

1
k
sin 3x cos3x  0  sin 6x  0  6x  k  x 
,k  .
2
6

 k

,k    .
6



Vậy D   \ 

Ví dụ 4. Tìm m để hàm số sau đây xác định trên  : y  2m  3cos x.
Giải
Hàm số đã cho xác định trên R khi và chỉ khi 2m  3cos x  0  cosx 
Bất đẳng thức trên đúng với mọi x khi 1 

2m
3

2m
3
m .
3

2

3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y =

2021
.
sin x

A. D = .

B. D =  \ {0}.

C. D =  \ {k p, k Ỵ }.

D. D =  \ ïí + k p, k ẻ ùý.

ỡp
ù
ù2
ợ

ỹ
ù
ù
ỵ

ỡp
ù
ù2

ợ

ỹ
ù
ù
ỵ

Li gii
Chn C
Hm s xỏc nh khi v ch khi sin x ¹ 0  x ¹ k p, k Ỵ .
Vật tập xác định D =  \ {k p, k Ỵ }.

Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y =

1 + sin x
.
cos x -1

A. D = .

B. D =  \ ïí + k p, k Ỵ ïý.

C. D =  \ {k p, k Ỵ }.

D. D =  \ {k 2p, k Ỵ }.
Lời giải

Chọn D
Hàm số xác định khi và chỉ khi cos x -1 ¹ 0  cos x ¹ 1  x ¹ k 2p, k Ỵ .
Vậy tập xác định D =  \ {k 2p, k Î }.

Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm s y =

cos x
.
ổ
pử
sin ỗỗ x - ữữữ
ỗố
2ứ

Giỏo viờn cú nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 6


ỡ p
ùợù 2

ỹ
ùỵù

A. D = \ ùớk , k Ỵ ïý.
ì
ïỵï

B. D =  \ {k p, k Ỵ }.
ỹ
ùỵù

p
2

C. D = \ ùớ(1 + 2 k ) , k Ỵ ïý.

D. D =  \ {(1 + 2 k ) p, k Ỵ }.
Lời giải

Chọn C
ỉ
pư
p
p
Hàm số xỏc nh sin ỗỗỗ x - ữữữ ạ 0  x - ¹ k p  x ¹ + k p, k ẻ .
ố

2ứ

2

ỡp
ùợù 2

2

ỹ
ùỵù

Vy tp xỏc nh D =  \ ïí + k p, k Ỵ ïý.

Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y =

2021
.
sin x - cos x
ỡ p
ùợù 4

ỹ
ùỵù

B. D = \ ïí- + k p, k Ỵ ïý.

A. D = .
ỡp
ợùù 4

ỹ
ùỵù

ỡp
ợùù 4

C. D = \ ùớ + k 2p, k ẻ ùý.

ỹ
ùỵù

D. D = \ ùớ + k p, k Ỵ ïý.

Lời giải

Chọn D
p
4

Hàm số xác định  sin x - cos x ¹ 0  tan x ¹ 1  x ¹ + k p, k ẻ .
ỡp
ợùù 4

ỹ
ùỵù

Vy tp xỏc nh D = \ ïí + k p, k Ỵ ïý.
ỉ
pư
Câu 5. Tìm tập xỏc nh D ca hm s y = cot ỗỗỗ2 x - ữữữ + sin 2 x .
ố

ỡp
ùợù 4

4ứ

ỹ
ùỵù

A. D = \ ùớ + k p, k ẻ ùý.
ỡp
ùợù 8

B. D = ặ.

ỹ
ùỵù

p
2

C. D = \ ùớ + k , k Ỵ ïý.

D. D = .
Lời giải

Chọn C
ỉ

pư

p

p

kp

Hàm s xỏc nh sin ỗỗỗ2 x - ữữữ ạ 0  2 x - ¹ k p  x ¹ + , k ẻ .
ố
4ứ
4
8

2
ỡp
ợùù 8

p
2

ỹ
ùỵù

Vy tp xỏc nh D =  \ ïí + k , k Ỵ ïý.
ỉx

pư

Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = 3 tan 2 ỗỗỗ - ữữữ.
ố2 4ứ
ỡ 3p
ỹ
+ k 2 p, k ẻ ùý.
ùợù 2
ùỵù

A. D = \ ïí

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lũng
liờn h. Face: Trn ỡnh C. ST: 0834332133

ỡp
ùợù 2

ỹ
ùỵù

B. D =  \ ïí + k 2p, k Ỵ ïý.
Trang 7


ỡp
ùợù 2

ỡ 3p
ùỹ
+ k p, k ẻ ý.
ùợù 2
ùỵù

ỹ
ùỵù

D. D =  \ ïí + k p, k Ỵ ïý.

C. D =  \ ïí

Lời giải
Chọn A
ỉx

pư

p

x

p

3p

Hàm số xác định cos 2 ỗỗỗ - ữữữ ạ 0 - ¹ + k p  x ¹ + k 2p, k Ỵ .
è2 4ø
2 4 2
2
ì 3p
ü
+ k 2 p, k ẻ ùý.
ùợù 2
ùỵù

Vy tp xỏc nh D = \ ïí

Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y =
ìp
ïỵï 2

3 tan x - 5
.
1 - sin 2 x

ỹ
ùỵù

ỡp
ùợù 2

ỹ
ùỵù

A. D = \ ùớ + k 2p, k Ỵ ïý.

B. D =  \ ïí + k p, k Ỵ ïý.

C. D =  \ {p + k p, k Ỵ }.

D. D = .
Lời giải

Chọn B
Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 - sin 2 x ¹ 0 và tan x xác định
ìïsin 2 x ¹ 1
p
 ïí
 cos x ¹ 0  x ạ + k p, k ẻ .
ùùợcos x ạ 0
2
ỡp
ùợù 2

ỹ
ùỵù

Vy tp xỏc nh D = \ ùớ + k p, k Ỵ ïý.

Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin x + 2.
A. D = .

B. D = [-2; +¥).

C. D = [0;2 p ].

D. D = Ỉ.

Lời giải
Chọn A
Ta có -1 £ sin x £ 1 ¾¾
 1 £ sin x + 2 £ 3, "x Ỵ .
Do đó ln tồn tại căn bậc hai của sin x + 2 với mọi x Ỵ .
Vậy tập xác định D = .

Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin x - 2.
A. D = .

B.  \ {k p, k Ỵ }.

C. D = [-1;1].

D. D = Æ.

Lời giải
Chọn D
Ta có -1 £ sin x £ 1 ¾¾

-3 £ sin x - 2 £ -1, "x Ỵ .
Do đó khơng tồn tại căn bậc hai của sin x - 2.
Vậy tập xác định D = Ỉ.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 8


Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số y =

1
1 - sin x

.
ỡp
ùợù 2

ỹ
ùỵù

B. D = \ ïí + k p, k Ỵ ïý.

A. D =  \ {k p, k ẻ }.
ỡp
ùợù 2

ỹ
ùỵù

C. D = \ ïí + k 2p, k Ỵ ïý.

D. D = Æ.
Lời giải

Chọn C
Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 - sin x > 0  sin x < 1. (*)
p
2

Mà -1 £ sin x £ 1 nên (*)  sin x ¹ 1  x ¹ + k 2p, k ẻ .
ỡp
ùợù 2

ỹ
ùỵù

Vy tp xỏc nh D =  \ ïí + k 2p, k Ỵ ïý.

Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số y = 1 - sin 2 x - 1 + sin 2 x .
A. D = Ỉ.

B. D = .

ép
êë 6

C. D = ê + k 2p;

ù
5p
+ k 2p ú , k Î .
úû
6

é 5p
ù
13p
+ k 2 p;
+ k 2 p ú , k Ỵ .
êë 6
úû
6

D. D = ê
Lời giải

Chọn B
ì1 + sin 2 x 0
ù
, "x ẻ .
ù
ù
ợ1 - sin 2 x ³ 0

Ta có -1 £ sin 2 x £ 1  ïí

Vậy tập xác định D = .
ỉp

ư

Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan ỗỗỗ cos x ữữữ.
ố2
ứ
ỡp
ùợù 2

ỹ
ùỵù

ỡp
ùợù 2

ỹ
ùỵù

A. D =  \ ïí + k p, k Ỵ ïý .

B. D =  \ ïí + k 2p, k Î ïý .

C. D =  .

D. D =  \ {k p, k Ỵ } .
Lời giải

Chọn D
Hàm số xác định khi và chỉ khi

p
p
. cos x ¹ + k p  cos x ¹ 1 + 2 k . (*)
2
2

Do k Ỵ  nên (*)  cos x ¹ 1  sin x ¹ 0  x ¹ k p, k Ỵ .
Vậy tập xác định D =  \ {k p, k Ỵ }.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 9


Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
1. Phương pháp:
Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ của hàm số y  f(x)



Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số; kiểm chứng D là tập đối xứng qua số 0 tức là
x,x  D  x  D (1)



Bước 2: Tính f(x) và so sánh f(x) với f(x)
-

Nếu f(x)  f(x) thì f(x) là hàm số chẵn trên D (2)

-

Nếu f(x)  f(x) thì f(x) là hàm số lẻ trên D

(3)

Chú ý:
-

Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f(x) là hàm khơng chẵn và khơng lẻ trên D;

-

Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng, thì f(x) là hàm khơng chẵn và cũng khơng
lẻ trên D .

Lúc đó, để kết luận f(x) là hàm khơng chẵn và không lẻ ta chỉ cần chỉ ra điểm x0  D sao cho
f( x 0 )  f(x 0 )

f( x 0 )   f(x 0 )

2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
c) y  sin 4 x .

b) y = tan x ;

a) y = sin2x;

Giải
a) TXĐ: D   . Suy ra x  D  x  D .
Ta có: f  x   sin  2x    sin 2x  f  x  .
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
 
 2



b) TXĐ: D   \   k,k    . Suy ra x  D  x  D .


Ta có: f  x   tan x  tan x  f  x  .
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
c) TXĐ: D   . Suy ra x  D  x  D .
Ta có: f  x   sin 4  x   sin 4 x  f  x  .
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y = tanx + cotx;

b) y = sinx.cosx.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 10


Giải

 k

,k    . Suy ra x  D   x  D
2


a) TXĐ: D   \ 

Ta có: f  x   tan  x   cot  x    tan x - cot x    tan x  cot x   f  x 
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b) TXĐ: D   . Suy ra x  D  x  D
Ta có: f  x   sin  x  .cos  x    sin x cosx  f  x 
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Ví dụ 3. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y = 2sinx + 3;

b) y  sinx  cosx .

Giải
a) TXĐ: D   . Suy ra x  D   x  D
Ta có:
 
  


f     2sin 
  3  1 ; f    2sin    3  5
 2
 2 

2
2

  

f     f  
2
2

Nhận thấy     
f      f   
 
  2 
2


Do đó hàm số không chẵn không lẻ.
b) TXĐ: D   . Suy ra x  D   x  D








Ta có: y  sinx  cosx  2 sin  x  
4
 
  


 
f     2 sin      0; f    2 sin     2
 4
 4 4
4
4 4
  

f     f  
4
4

Nhận thấy     
f      f   
 
  4 
4


Do đó hàm số khơng chẵn khơng lẻ.

Ví dụ 4. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y 

sinx tan x
;
sin x  cot x

b) y 

cos3 x  1
sin3 x

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

.

Trang 11


Giải
a) Hàm số xác định khi
 cosx  0
cosx  0
cosx  0

k

,k   .
 sinx  0

x
sinx  0
2
sinx
0



s inx  cot x  0
 2

s in x  cosx  0
 k

,k    Suy ra x  D   x  D
2


TXĐ: D   \ 
Ta có: f   x  

sin   x   tan   x 

sin   x   cot  x 



 sin x  tan x sin x - tan x

 f x
 sin x  cot x sin x  cot x

Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b) TXĐ: D   \ k,k    Suy ra x  D  x  D
Ta có: f   x  

cos3  x   1
sin3  x 



cos3 x  1
 sin3 x



cos3 x  1
sin3 x

 f  x 

Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Ví dụ 5. Xác định tham số m để hàm số sau: y  f  x   3msin 4x  cos2x là hàm số chẵn.
Giải
TXĐ: D   . Suy ra x  D   x  D
Ta có:
f  x   3msin  4x   cos  2x   3msin 4x  cos2x

Để hàm số đã cho là hàm số chẵn thì:
f  x   f  x  , x  D  3m sin 4x  cos2x  -3m sin 4x  cos2x, x  D
 6m sin 4x  0  m  0

3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y = sin x.

B. y = cos x .

C. y = tan x.

D. y = cot x .

Lời giải
Chọn B
Nhắc lại kiến thức cơ bản:

 Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
 Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
 Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 12


 Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
Vậy B là đáp án đúng.

Câu 2:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y = - sin x .

B. y = cos x - sin x .

C. y = cos x + sin 2 x.

D. y = cos x sin x.

Lời giải
Chọn C
Tất các các hàm số đều có TXĐ: D =  . Do đó "x Ỵ D  -x Ỵ D.
Bây giờ ta kiểm tra f (-x ) = f ( x ) hoặc f (-x ) = - f ( x ).

 Với y = f ( x ) = - sin x . Ta có f (-x ) = - sin (-x ) = sin x = -(- sin x )
¾¾
 f (-x ) = - f ( x ) . Suy ra hàm số y = - sin x là hàm số lẻ.

 Với y = f ( x ) = cos x - sin x . Ta có f (-x ) = cos (-x ) - sin (-x ) = cos x + sin x
ắắ
f (-x ) ạ {- f ( x ), f ( x )} . Suy ra hàm số y = cos x - sin x không chẵn không lẻ.

 Với y = f ( x ) = cos x + sin 2 x . Ta có f (- x ) = cos (- x ) + sin 2 (- x )
2

= cos (- x ) + éë sin (- x )ùû = cos x + [- sin x ] = cos x + sin 2 x
2

¾¾
 f (-x ) = f ( x ) . Suy ra hàm số y = cos x + sin 2 x là hàm số chẵn.

 Với y = f ( x ) = cos x sin x . Ta có f (- x ) = cos (- x ). sin (- x ) = - cos x sin x
¾¾

 f (-x ) = - f ( x ) . Suy ra hàm số y = cos x sin x là hàm số lẻ.

Câu 3:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y = sin 2 x .

B. y = x cos x .

C. y = cos x . cot x .

D. y =

tan x
.
sin x

Lời giải
Chọn D
 Xét hàm số y = f ( x ) = sin 2 x .
TXĐ: D =  . Do đó "x Ỵ D  -x Ỵ D.
Ta có f (-x ) = sin (-2 x ) = - sin 2 x = - f ( x ) ¾¾
 f ( x ) là hàm số lẻ.

 Xét hàm số y = f ( x ) = x cos x .
TXĐ: D =  . Do đó "x Î D  -x Î D.
 f ( x ) là hàm số lẻ.
Ta có f (-x ) = (- x ). cos (- x ) = - x cos x = - f ( x ) ¾¾

 Xét hàm số y = f ( x ) = cos x cot x .
TXĐ: D =  \ {k p (k Î )}. Do đó "x Î D  -x Î D.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 13


Ta có f (-x ) = cos (- x ). cot (- x ) = - cos x cot x = - f ( x ) ¾¾
 f ( x ) là hàm số lẻ.

 Xét hàm số y = f ( x ) =

tan x
.
sin x

ì p
ü
(k Ỵ )ïý. Do ú "x ẻ D -x ẻ D.
ù
ùỵù
2
ù
ợ

TX: D =  \ ïík
Ta có f (-x ) =

Câu 4:

tan (- x )
sin (- x )

=

- tan x tan x
=
= f ( x ) ¾¾
 f (x )
- sin x
sin x

là hàm số chẵn.

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y = sin x .

B. y = x 2 sin x .

C. y =

x
.
cos x

D. y = x + sin x .

Lời giải
Chọn A
Ta kiểm tra được A là hàm số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ.

Câu 5:

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A. y = sin x cos 2 x .

ổ
pử
B. y = sin 3 x . cos ỗỗỗ x - ÷÷÷. C. y =
è

2ø

tan x
.
tan 2 x + 1

D. y = cos x sin 3 x .

Lời giải
Chọn B
Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
O.
ỉ
pư
Xét đáp án B, ta có y = f ( x ) = sin 3 x . cos ççç x - ÷÷÷ = sin 3 x . sin x = sin 4 x . Kiểm tra được đây là

è

2ø

hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Câu 6:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. y = cos x + sin 2 x.

B. y = sin x + cos x .

C. y = - cos x .

D. y = sin x . cos 3 x .
Lời giải

Chọn D
Ta kiểm tra được đáp án A và C là các hàm số chẵn. Đáp án B là hàm số không chẵn,
không lẻ. Đáp án D là hàm số lẻ.

Câu 7:

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

A. y = cot 4 x .

B. y =

sin x + 1
.
cos x

C. y = tan 2 x .

D. y = cot x .

Lời giải
Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 14


Ta kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án C và D là các hàm số chẵn.

Câu 8:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm s l?
ổp

ử

A. y = sin ỗỗỗ - x ữữữ.
ố2
ứ

B. y = sin 2 x .

C. y =

cot x
.
cos x

D. y =

tan x
.
sin x

Lời giải
Chọn C
ỉp

ư

Viết lại đáp án A là y = sin ỗỗỗ - x ữữữ = cos x .
è2
ø
Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ.

Câu 9:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. y = 1 - sin 2 x .

B. y = cot x . sin 2 x .

C. y = x 2 tan 2 x - cot x .

D. y = 1 + cot x + tan x .
Lời giải

Chọn C
Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ.

Câu 10: Cho hàm số f ( x ) = sin 2 x và g ( x ) = tan 2 x. Chọn mệnh đề đúng
A. f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số lẻ.
B. f ( x ) là hàm số lẻ, g ( x ) là hàm số chẵn.
C. f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số chẵn.
D. f ( x ) và g ( x ) đều là hàm số lẻ.
Lời giải
Chọn B
 Xét hàm số f ( x ) = sin 2 x .
TXĐ: D =  . Do đó "x Ỵ D  -x Ỵ D.
 f ( x ) là hàm số lẻ.
Ta có f (-x ) = sin (-2 x ) = - sin 2 x = - f ( x ) ¾¾

 Xét hàm s g ( x ) = tan 2 x .
ỡp
ù
ù2
ợ

ỹ
ù
ù
ỵ

TX: D =  \ ïí + k p (k Ỵ )ïý. Do đó "x Ỵ D  -x Ỵ D.
2

Ta có g (-x ) = éë tan (-x )ùû = (- tan x )2 = tan 2 x = g ( x ) ¾¾
 f ( x ) là hàm số chẵn.

Câu 11: Cho hai hàm số f ( x ) =

sin 2 x - cos 3 x
cos 2 x
và g ( x ) =
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1 + sin 2 3 x
2 + tan 2 x

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 15


A. f ( x ) lẻ và g ( x ) chẵn.

B. f ( x ) và g ( x ) chẵn.

C. f ( x ) chẵn, g ( x ) lẻ.

D. f ( x ) và g ( x ) lẻ.
Lời giải

Chọn B
 Xét hàm số f ( x ) =

cos 2 x
.
1 + sin 2 3 x

TXĐ: D =  . Do đó "x Ỵ D  -x Î D.
Ta có f (-x ) =

cos (-2 x )
1 + sin 2 (-3 x )

 Xét hàm số g ( x ) =

=

cos 2 x
= f ( x ) ¾¾
 f (x )
1 + sin 2 3 x

sin 2 x - cos 3 x
2 + tan 2 x

ìp
ï
ï2
ỵ

là hàm s chn.

.

ỹ
ù
ù
ỵ

TX: D = \ ùớ + k p (k Ỵ )ïý . Do đó "x Ỵ D  -x Ỵ D.
Ta có g (-x ) =

sin (-2 x ) - cos (-3 x )
2 + tan 2 (-x )

=

sin 2 x - cos 3 x
2 + tan 2 x

= g ( x ) ¾¾
 g ( x ) là hàm số chẵn.

Vậy f ( x ) và g ( x ) chẵn.

Câu 12: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc ta ?
A. y =

ổ
ố

1
.
sin 3 x

pử
4ứ

B. y = sin ỗỗỗ x + ữữữ.

ổ
ố

pử
4ứ

C. y = 2 cos ỗỗỗ x - ÷÷÷.

D. y = sin 2 x .

Lời giải
Chọn A
ỉ
pư
1

Viết lại ỏp ỏn B l y = sin ỗỗỗ x + ÷÷÷ = (sin x + cos x ).
è

4ø

2

ỉ
pư
Viết lại đáp ỏn C l y = 2 cos ỗỗỗ x - ÷÷÷ = sin x + cos x .
è

4ø

Kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ.
Xét đáp án D.
é
êë

p
2

ù
úû

 Hàm số xác định  sin 2 x ³ 0  2 x Ỵ [ k 2p; p + k 2p ]  x Î ê k p; + k p ú
é
ù
p

¾¾
 D = ê k p; + k p ú (k Ỵ ).
êë
úû
2

p
4

p
4

 Chọn x = Ỵ D nhưng -x = - Ï D. Vậy y = sin 2 x không chẵn, không lẻ.
Câu 13: Mệnh đề nào sau đây là sai?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 16


A. Đồ thị hàm số y = sin x đối xứng qua gốc tọa độ O.
B. Đồ thị hàm số y = cos x đối xứng qua trục Oy.
C. Đồ thị hàm số y = tan x đối xứng qua trục Oy.
D. Đồ thị hàm số y = tan x đối xứng qua gốc tọa độ O.
Lời giải
Chọn A
Ta kiểm tra được hàm số y = sin x là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục Oy .
Do đó đáp án A sai.

Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

1. Phương pháp:
Cho hàm số y  f(x) xác định trên tập D



 f(x)  M, x  D
M  max f(x)  
D
x 0  D : f(x 0 )  M



 f(x)  m, x  D
m  min f(x)  
D
x 0  D : f(x 0 )  m

Lưu ý:


1  s inx  1;  1  cos x  1.



0  sin2 x  1; 0  cos2 x  1.



0  sin x  1; 0  cosx  1.



Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình cơ bản
  0

o Phương trình bậc hai: ax2  bx  c  0 có nghiệm x  khi và chỉ khi 

a  0

o Phương trình asin x  bcosx  c có nghiệm x   khi và chỉ khi a2  b2  c2
o Nếu hàm số có dạng: y 

a1 s inx  b1 cos x  c1

a2 s inx  b2 cosx  c2

Ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy đồng mẫu số, đưa về phương trình
asin x  bcosx  c .

2. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:




4

a) y  2sin  x    1 ;

b) y  2 cosx  1  3 .

Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 17


a) Ta có:






1  sin  x    1  2  2sin  x    2  1  2sin  x    1  3
4
4
4




Hay 1  y  3 . Suy ra:



Maxy  3 khi sin  x    1  x   k2,k   .
4
4





3
Miny  1 khi sin  x    1  x    k2,k   .
4
4


b) Ta có:
1  cos x  1  0  cos x  1  2  0  cos x  1  2
 0  2 cos x  1  2 2  3  2 cos x  1  3  2 2  3

Hay 3  y  2 2  3 Suy ra
Maxy  2 2  3 khi cosx  1  x  k2,k   .
Miny  3 khi cos x  0  x 


 k,k   .
2

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y  sinx  cosx ;

b) y  3 sin 2x  cos2x .

Giải








a) Ta có: y  sinx  cosx  2 sin  x     2  y  2 .
4
Suy ra:



Maxy  2 khi sin  x    1  x   k2,k   .
4
4




3
Miny   2 khi sin  x    1  x    k2,k   .
4
4


 3


1


sin 2x  cos2x   2sin  2x  
 2

2
6




b) Ta có: y  3 sin 2x  cos2x  2 
Suy ra: 2  y  2 . Do đó:



 

Maxy  2 khi sin  2x    1  2x    k2  x   k2,k   .
6
6
2
3







Miny  2 khi sin  2x    1  2x     k2  x    k2,k   .
6

6
2
6



Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 18


a) y  cos2 x  2sin x  2 ;

b) y  sin 4 x  2cos2 x  1 .

Giải
a) Ta có:



y  cos2 x  2sin x  2  1  sin2 x



2

 2sin x  2

2

  sin 2 x  2sin x  3    sin x  1  4
2

Vì 1  s inx  1  2  sin x  1  0  4   sin x  1  0
2

2

 4    sin x  1  0  0    sin x  1  4  4

Hay 0  y  4
Do đó:
Maxy  4 khi sin x  1  x 


 k2,k   .
2

Miny  0 khi sin x  1  x  


 k2,k   .
2

Lưu ý:

Nếu đặt t  sin x,t   1;1 . Ta có (P): y  f  t   t 2  2t  3 xác định với mọi t  1;1 , (P) có
hồnh độ đỉnh t  1 và trên đoạn  1;1 hàm số đồng biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

t  1 hay sin x  1 và đạt giá trị lớn nhất khi t  1 hay sin x  1 .
b) Ta có


x  4 cos x  2   cos

  2cos x  1
x  2  2

y  sin 4 x  2cos2 x  1  1  cos2 x
 cos4

2

2

2

2

2





2

Vì 0  cos2 x  1  2  cos2 x  2  1  4  cos2 x  2  1



 2  cos2 x  2



2

 2  1  2  y  1

Do đó:
Maxy  2 khi

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 19


cos2 x  0  cos x  0  x 


 k,k   .
2

Miny  1 khi

cos2 x  1  sin x  0  x  k,k   .

Lưu ý:

Nếu đặt t  cos2 x,t   0;1 . Ta có (P): y  f  t   t 2  4t  2 xác định với mọi t   0;1 , (P) có hồnh
độ đỉnh t  2   0;1 và trên đoạn  0;1 hàm số nghịch biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t  1
và đạt giá trị lớn nhất khi t  0.

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 

2sin x  cos x  1
sin x  cos x  2

Giải
π
Ta có: sin x  cos x  2  2 sin  x    2


4



Vì  2  2 sin  x    2, x   nên
4

π







π

π
2 sin  x    2  2  2  0, x    sin x  cos x  2  2 sin  x    2  0, x  
4
4



Do đó: D  
Biến đổi y 

2sin x  cos x  1
sin x  cos x  2

 ysin x  y cos x  2y  2sin x  cos x  1
  y  2  sin x   y  1 cos x  2y  1

 *

Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm x  là a 2  b2  c2
  y  2    y  1   2y  1  2y 2  6y  4  0 
2

2

Kết luận: max y 


2

3  17

3  17
y
2
2

3  17
3  17
;min y 

2
2

3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1:

Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 3 sin x - 2.

A. M = 1, m = -5.

B. M = 3, m = 1.

C. M = 2, m = -2.

D. M = 0, m = -2.
Lời giải

Chọn A
Ta có -1 £ sin x £ 1 ¾¾
-3 £ 3 sin x £ 3 ¾¾
-5 £ 3 sin x - 2 £ 1

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 20


ỡM = 1
ù
.
ắắ
-5 Ê y Ê 1 ắắ
ớù
ù
ù
ợm = -5

Câu 2:

Tìm tập giá trị T của hàm số y = 3 cos 2 x + 5.

A. T = [-1;1].

B. T = [-1;11].

C. T = [2;8].

D. T = [5;8].

Lời giải

Chọn C
Ta có -1 £ cos 2 x £ 1 ¾¾
-3 £ 3 cos 2 x £ 3 ¾¾
 2 £ 3 cos 2 x + 5 £ 8
¾¾
 2 £ y £ 8 ¾¾
T = [2;8 ].

Câu 3:

Tìm tập giá trị T của hàm số y = 5 - 3 sin x .

A. T = [-1;1].

B. T = [-3;3].

C. T = [2;8].

D. T = [5;8].

Lời giải
Chọn C
Ta có -1 £ sin x £ 1 ¾¾
 1 ³ - sin x ³ -1 ¾¾
 3 ³ -3 sin x ³ -3
¾¾
 8 ³ 5 - 3 sin x ³ 2 ¾¾
 2 £ y £ 8 ¾¾
T = [2;8 ].

Câu 4:

Hàm số y = 5 + 4 sin 2 x cos 2 x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Lời giải
Chọn C
Ta có y = 5 + 4 sin 2 x cos 2 x = 5 + 2 sin 4 x .
-2 £ 2 sin 4 x £ 2 ¾¾
 3 £ 5 + 2 sin 4 x £ 7
Mà -1 £ sin 4 x £ 1 ắắ
y ẻ
ắắ
3 Ê y Ê 7 ắắắ
y Ỵ {3;4;5;6;7} nên y có 5 giá trị ngun.

Câu 5:

Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = - 2 sin (2016 x + 2017 ) .

A. m = -2016 2.

B. m = - 2.

C. m = -1.

D. m = -2017 2.

Lời giải
Chọn B
Ta có -1 £ sin (2016 x + 2017) £ 1 ¾¾
 2 ³ - 2 sin (2016 x + 2017 ) ³ - 2.
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là - 2.

Câu 6:

Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y =
1
2

A. m = .

B. m =

1
2

.

1
.
cos x + 1

C. m = 1.

D. m = 2.

Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 21


Chọn A
Ta có -1 £ cos x £ 1 .
Ta có

1
nhỏ nhất khi và chỉ chi cos x lớn nhất  cos x = 1 .
cos x + 1

Khi cos x = 1 ¾¾
y =

Câu 7:

1
1
= .
cos x + 1 2

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x . Tính

P = M - m.

A. P = 4.

B. P = 2 2.

C. P = 2.

D. P = 2.

Lời giải
Chọn B
ỉ
pư
Ta có y = sin x + cos x = 2 sin ỗỗỗ x + ữữữ.
ố

4ứ

ổ
ổ
pử
pử
- 2 Ê 2 sin ỗỗ x + ữữữ Ê 2
M -1 Ê sin ỗỗỗ x + ữữữ Ê 1 ắắ
ỗ
ố

4ứ

ố

4ứ

ỡù M = 2
ắắ
ùớ
P = M - m = 2 2.
ïïm = - 2
ỵ

Câu 8:

Tập giá trị T của hàm số y = sin 2017 x - cos 2017 x .

A. T = [-2;2 ].

C. T = éêë- 2; 2 ùúû .

B. T = [-4034;4034 ].

D. T = éêë0; 2 ùúû .

Lời giải
Chọn C
ỉ
pư
Ta có y = sin 2017 x - cos 2017 x = 2 sin ççç2017 x - ÷÷÷ .
è

4ø

ỉ
ỉ
pư
pư
Mà -1 £ sin ççç2017 x - ữữữ Ê 1 ắắ
- 2 Ê 2 sin ỗỗ2017 x - ữữữ Ê 2
ỗ
ố

4ứ

ố

4ứ

ắắ
- 2 Ê y Ê 2 ¾¾
T = éê- 2; 2 ùú .
ë
û

Câu 9:

ỉ
pư
Hàm số y = sin ỗỗỗ x + ữữữ - sin x cú tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
è

A. 1.

3ø

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải
Chọn C
Áp dụng công thức sin a - sin b = 2 cos

a+b
a-b
sin
, ta
2
2

cú

ổ
ổ
ổ
pử
pử
p
pử

sin ỗỗ x + ữữữ - sin x = 2 cos ỗỗ x + ữữữ sin = cos ỗỗ x + ữữữ.
ỗố
ỗ
ỗ
ố
ố
3ứ
6ứ
6
6ứ

Giỏo viờn cú nhu cu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 22


ổ
pử
y ẻ
Ta cú -1 Ê cos ỗỗỗ x + ữữữ Ê 1 ắắ
-1 Ê y Ê 1 ắắắ
y ẻ {-1;0;1}.
è

6ø

Câu 10: Hàm số y = sin 4 x - cos 4 x đạt giá trị nhỏ nhất tại x = x 0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. x 0 = k 2p, k Ỵ .

B. x 0 = k p, k Ỵ .

C. x 0 = p + k 2p, k Ỵ .

D. x 0 = + k p, k Ỵ .

p
2

Lời giải
Chọn B
Ta có y = sin 4 x - cos 4 x = (sin 2 x + cos2 x )(sin 2 x - cos2 x ) = - cos 2 x .
Mà -1 £ cos 2 x £ 1 ¾¾
-1 ³ - cos 2 x ³ 1 ¾¾
-1 ³ y ³ 1 .
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1 .
Đẳng thức xảy ra  cos 2 x = 1  2 x = k 2 p  x = k p (k Ỵ ).

Câu 11: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 1 - 2 cos 3 x .
A. M = 3, m = -1.

B. M = 1, m = -1.

C. M = 2, m = -2.

D. M = 0, m = -2.
Lời giải

Chọn B
Ta có -1 £ cos 3 x £ 1 ¾¾

 0 £ cos 3 x £ 1 ¾¾
 0 ³ -2 cos 3 x ³ -2
ìï M = 1
¾¾
 1 ³ 1 - 2 cos 3 x ³ -1 ¾¾
 1 ³ y ³ -1 ¾¾
 ïí
.
ïïỵm = -1
ỉ
pư
Câu 12: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 4 sin 2 x + 2 sin ỗỗỗ2 x + ữữữ.
ố

4ứ

A. M = 2.

B. M = 2 -1.

C. M = 2 + 1.

D. M = 2 + 2.
Lời giải

Chọn D
ỉ
ỉ1 - cos 2 x ư÷
pư
Ta có y = 4 sin 2 x + 2 sin ççç2 x + ÷÷÷ = 4 ççç

÷ + sin 2 x + cos 2 x
è
è
ø÷
4ø
2
ỉ
pư
= sin 2 x - cos 2 x + 2 = 2 sin ỗỗ2 x - ữữữ + 2.
ỗố
4ứ
ổ
ổ
pử
pử
- 2 + 2 Ê 2 sin ỗỗ2 x - ÷÷÷ + 2 £ 2 + 2 .
Mà -1 Ê sin ỗỗỗ2 x - ữữữ Ê 1 ắắ
ỗ
ố

4ứ

ố

4ứ

Vy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 + 2.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 23


Câu 13: Tìm tập giá trị T của hàm số y = sin 6 x + cos6 x .
é1 ù
êë 2 úû

A. T = [0;2 ].

é1 ù
êë 4 úû

B. T = ê ;1ú .

C. T = ê ;1ú .

é 1ù
êë 4 úû

D. T = ê0; ú .

Lời giải
Chọn C
Ta có y = sin 6 x + cos6 x = (sin 2 x + cos2 x ) - 3 sin 2 x cos2 x (sin 2 x + cos2 x )
2

3
3 1 - cos 4 x 5 3
= 1 - 3 sin 2 x cos 2 x = 1 - sin 2 2 x = 1 - .

= + cos 4 x .
4
4
2
8 8
1
4

5
8

3
8

1
4

Mà -1 £ cos 4 x £ 1 ¾¾
 £ + cos 4 x £ 1 ¾¾
 £ y £ 1.

Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số y = sin 2 x + 2 cos2 x .
A. M = 3, m = 0.

B. M = 2, m = 0.

C. M = 2, m = 1.

D. M = 3, m = 1.

Lời giải
Chọn C
Ta có y = sin 2 x + 2 cos2 x = (sin 2 x + cos2 x ) + cos2 x = 1 + cos2 x
ìM = 2
ù
.
ù
ù
ợm = 1

Do -1 Ê cos x Ê 1 ắắ
0 £ cos 2 x £ 1 ¾¾
1 £ 1 + cos 2 x £ 2 ¾¾
 ïí

Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y =

2
.
1 + tan 2 x

2
3

1
2

A. M = .

B. M = .

C. M = 1.

D. M = 2.

Lời giải
Chọn D
Ta có y =

2
=
1 + tan 2 x

2
= 2 cos 2 x .
1
cos 2 x

 0 £ y £ 2 ¾¾
 M = 2.
Do 0 £ cos2 x £ 1 ¾¾

Câu 16: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 8 sin 2 x + 3 cos 2 x .
Tính P = 2 M - m 2 .

A. P = 1.

B. P = 2.

C. P = 112.

D. P = 130.

Lời giải
Chọn A
Ta có y = 8 sin 2 x + 3 cos 2 x = 8 sin 2 x + 3 (1 - 2 sin 2 x ) = 2 sin 2 x + 3.
Mà -1 £ sin x £ 1 ¾¾
 0 £ sin 2 x £ 1 ¾¾
 3 £ 2 sin 2 x + 3 £ 5

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 24