giai toan casio

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề đại số 9 d·y sè cã quy luËt ******************* Chú ý : Có bốn cách thông thờng để làm loại toán này - C¸ch 1 : Truy to¸n - Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát - C¸ch 3 : Dïng quy n¹p to¸n häc - C¸ch 4 : §a vÒ tÝnh ngiÖm cña mét ph¬ng tr×nh - Cách 5 : Vận dụng tổng hợp các cách đã học -. A  2  2  2  ...  2. VÝ dô 1 : Cho cã 100 dÊu c¨n Chøng minh A kh«ng ph¶i lµ mét sè tù nhiªn Gi¶i : DÔ th¸y A > 1 .Sau ®©y ta chøng minh A < 2 ThËt vËy. 2 2 . 2  2  4 2. 2  2  4 2. 2 2 2 <. ...... A  2  2  2  ...  2 <. 2  2  4 2. Do vËy ta cã 1 < A < 2 , chøng tá A N ( dpcm ) Cách giải này thờng đợc gọi là truy toán VÝ dô 2 : Rót gän dÉy tÝnh sau. 1  1 2. 1  2 3. 1  ...  3 4. 1 n 1 n. Víi n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1 Gi¶i : XÐt sè h¹ng tæng qu¸t. 1 1 n  n 1    n  n 1 n  n  1 n 1 n n  n 1 1  VËy : 1  2. 1  2 3. 1  ...  3 4. 1 n 1 n. Trang 2 = =. ( 2  1)  ( 3  2)  ( 4  3)  ...  ( n  n  1) n1. Nh vậy cứ cho n một giá trị cụ thể ta lại đợc một bài toán Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ví dụ 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta đều có 1 1 1 1 1     ... 2 1 3 2 4 3 5 4 ( n  1) n < 2 Gi¶i : XÐt sè h¹ng tæng qu¸t ta cã :. 1 n 1  1 1   1 1 1    n     n    (n 1) n (n 1)n  n n 1   n n 1   n n 1 . . 1  1  1 n    n  n  n. =. 2  n. 2 n 1. 1  2  1  n .    n 1  n n. 1   n 1 . =. . Tõ ®©y tiÕp tôc gi¶i bµi to¸n dÔ dµng. VÝ dô 4 : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. B  5  13  5  13  5  13  .... Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chøa 5 vµ 13 mét c¸ch v« h¹n lÇn Gi¶i : NhËn xÐt B > 2. B 2 5  13  5  13  5  13  ..... Ta thÊy :  ( B2 – 5 )2 = 13 + B  B4 – 10 B2 + 25 = 13 + B  B4 – 10 B2 – B + 12 = 0  B4 – 9 B2 – B2 + 9 – B + 3 = 0  B2 ( B – 3 )( B + 3 ) – ( B – 3)( B + 3) – ( B – 3) = 0  ( B – 3)[ B2( B + 3) – ( B + 3) – 1 ] = 0  ( B – 3)[ ( B + 3)( B2 – 1 ) – 1 ] = 0 V× B > 2 nªn B2 – 1 > 3 vµ B + 3 > 4 nªn ( B + 3)( B2 – 1) – 1 > 11 do đó B – 3 = 0 . Vậy B = 3 Trang 3 C¸ch gi¶i cña vÝ dô 4 gäi lµ ®a vÒ tÝnh ngiÖm cña mét ph¬ng tr×nh VÝ dô 5 : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. C  1. 1 1 1 1 1 1 1 1  2  1  2  2  1  2  2  ...  1  2  2 2 1 2 2 3 3 4 99 100 Gi¶i :.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 XÐt sè h¹ng tæng qu¸t :. 1 1  k 2 ( k  1) 2 víi k lµ sè nguyªn 2. d¬ng , ta cã. : 2. 2. 1  1   1 1       2   1.   k k  1      k 2.  1 2  1.    k V× :. 1 1  2 .  k k  1  .  1  1  2    k k  1   . 1.  1  2 1 k  1  .  k 1  1  k   1  2 1 2.   0 k  1 k ( k  1)    .  1 1 1 1  1 2   1     2 k ( k  1) k ( k  1)   VËy :. Nªn : ¸p dung vµo bµi. 2. 1 1  1  2  1 1 2   1        k (k  1) 2 k k  1    . 2. 1 1 1 1 1 1   1    1   k 2 (k  1) 2 k (k  1) k k 1. 1 1   1 1  1 1  1 1  C  1      1      1     ...   1     1 2  2 3  3 4  99 100  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99         ...   100  99,99 1 2 2 3 3 4 4 99 100 100 Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta đều có. 4. 4. 4  ... . 4. Gi¶i : Ta chøng minh b»ng quy n¹p to¸n häc. < 3. 4 2 < 3 §óng. Víi n = 1 ta cã D1 =. Trang 4 Giả sử bài toán đúng với n = k , tức là ta có :. Bk  4  4  4  ...  4          k. Ta c/m bài toán cũng đúng với n = k + 1. < 3 là đúng.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bk 1  4  4  4  ...  4         . 4  Bk = 4  Bk V× Bk < 3 ( Gi¶ thiÕt quy n¹p ) , nªn Bk+1 = < 4 3 < 3 Vậy bài toán đúng với n = k + 1 . Do đó bài toán đúng với mọi n k 1. VÝ dô 7 : Cho biÓu thøc. A. 2. 2  2  2  ...  2. 2. 2  2  2  ...  2. ở đó trên tử có 100 dấu căn , dới mẫu có 99 dấu căn .. 1 Chøng minh A > 4 Gi¶i :. an  2  2  2  ...  2. §Æt :. 2 n. a 2  an 1. Ta cã :. A VËy :. an 1 a  2. A vµ. 2  a100 2  a99. 2  a100 2  a100 2  a100 1    2 2 2  (a100  2) 4  a100  2  a100   2  a100  2  a100. Sau ®©y ta c/m Ta cã. . 2 n. cã biÓu thøc cã n dÊu c¨n. a100. a1  2. < 2 b»ng truy to¸n < 2 đúng. a2  2  2  2  a1. a3  2  2  2  2  a2 ...... a100  2  a99. 2  2  4 2. < <. 2  2  4 2. < 2 Trang 5. 1 1 a 2 2  a100 > 4 VËy : 100 < 2 + 2 = 4 , nªn : 1 Từ đó A > 4 ( dpcm ).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài toán trên đã giải bằng vận dụng tổng hợp các kiến thức đã học VÝ dô 8 : Chøng minh r»ng :. 2 3 4 5 6 .... 2003 2004 < 3. Gi¶i :. §Æt :. ak  k (k  1) (k  2) ..... (n  1) n. ak  k  1. vµ n vµ k lµ nh÷ng sè nguyªn d¬ng . Ta chøng minh Ph¶n chøng : Gi¶ sö. ak k  1. Víi n > k. thì theo cách đặt trên ta có :. ak2 ak  k .ak 1  a k .ak 1  ak 1  2 2 k mµ ak ( k  1) ak2 (k  1) 2 k 2  2k  1 k 2  2k ak 1     k  2 k k k k nªn 2 k. với mọi số nguyên dơng k , tức là 023 phải đúng .. ak k  1. lµ sai . VËy. ak  k  1. ®iÒu nµy v« lý . VËy. là đúng .. a 3. Do đó 2 . Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh . VÝ dô 9 : T×m ngiÖm tù nhiªn cña ph¬ng tr×nh. x  2 x  2 x  2 x  ....  2 x  2 3x  x Gi¶i : DÔ thÊy x = 0 lµ mét ngiÖm NÕu x = 1 , ta cã :. Trang 6. 1  2 1  2 1  ...  2 1  2 3.1  1  2  3  1 VËy x = 1 kh«ng ph¶i lµ ngiÖm cña ph¬ng tr×nh NÕu x = 2 , ta cã :.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 2  2 2  2 2  2 2  ...  2 2  2 6  2  2 2 VËy x = 2 kh«ng ph¶i lµ ngiÖm cña ph¬ng tr×nh NÕu x = 3 , xÐt c¨n trong cïng ta cã :. 2 x  2 3 x do x = 3 nªn 2 x  2 3 x 2 3  2 3.3 2 9 6. C¨n tiÕp theo sÏ lµ :. 2 x  2 x  2 3x 2 3  2 3  2 3.3 2 3  6 6 và quá trình nh vậy cứ lặp lại cho đến căn ngoài cùng , ta có :. 3  2.3 3 NÕu x > 3 , th×. đúng . Vậy x = 3 là một ngiệm của phơng trình. x  2 x  2 x  2 x  ...  2 x  2 3x  x  x 2  x  2 x  2 x  2 x  ...  2 x  2 3 x  x2 = x + 2x  x2 – 3x = 0  x = 0 hoÆc x = 3 Nhng do x > 3 nªn trong trêng hîp nµy ph¬ng tr×nh v« ngiÖm VËy ph¬ng tr×nh chØ cã hai ngiÖm lµ 0 vµ 3. Trang 7 Bµi tËp luyÖn tËp d·y tÝnh cã quy luËt Bµi 1 : TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau a). A  2  2  2  2  .... B  6  6  6  6  .... b) Bµi 2 : Chøng minh r»ng :. v« h¹n dÊu c¨n v« h¹n dÊu c¨n.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> C  6  6  6  ...  6  3          n. a) 3. D  6  3 6  3 6  ...  3 6  2          n b) Bµi tËp 3 : Dïng quy n¹p to¸n häc chøng minh r»ng :. Tn  a 2  a 2  a 2  ...  a 2  a  1            n. ; Víi n  Z+. Bµi tËp 4 : Chøng minh r»ng. 1 1 1 1    ...  1 2 1 1 2 3 2  2 3 4 3  3 4 ( n 1) n  n n  1 víi mäi sè nguyen d¬ng n Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dơng và n > 1 , ta đều có. 1 1 1 1    ...  2 n 2 2 3 4 n. 2 n  3. Bµi 6 : Rót gän c¸c biÓu thøc sau 1 1 1 1 A    ....  1 4 4 7 7  10 97  100 a). B. 1  2 3. b) Bµi 7 : Chøng minh r»ng. S 1 . 1 1 1   ....  3 4 4 5 100  101. 1 1 1 1 1     ...  2 3 4 5 100. kh«ng ph¶i lµ mét sè tù nhiªn . Trang 8 Bµi 8 : Dïng quy n¹p to¸n häc chøng minh r»ng :. 1 1 1 1 1     ...   n 1 2 3 4 n , víi mäi n  Z+ Bµi 9 : Cho 100 sè :. a1 , a2 , a3 , a4 ,...., a100. lµ 100 sè tù nhiªn sao. 1 1 1 1     ...  a1 a2 a3 a4. cho ta cã : Chøng minh r»ng tån t¹i Ýt nhÊt hai sè b»ng nhau Bài 10 : Chứng minh bất đẳng thức. 1 20 a100.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1 1 1 1 2001    ...   3(1  2) 5( 2  3) 7( 3  4) 4003( 2001  2002) 2003 Bµi 11 : Chøng minh r»ng :. 1 1 1 1 1    ...   12  22 22  32 32  42 20022  20032 2 Bµi 12 : Chøng minh r»ng :. 3 8 15 n2  1    ...  2 4 9 16 n. ,  n  N vµ n > 1 kh«ng ph¶i lµ. mét sè nguyªn . Bµi 13 : a ) Chng minh rằng  n  Z+ ta đều có. 1  n 1. n 1 1 1 n n( n  1). b ) ¸p dông chøng minh. 2007  2  3. 3 44 55 2008    ....  2008  2008 2 3 4 2007. Bµi 14 : T×m ngiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh. x  x  x  x  ...  x  z             y. vÕ tr¸i cã y dÊu c¨n.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>