Tim SHTQ cua day so

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán về tìm số hạng tổng quát của một dãy số. Ở đây ta chỉ xét một số bài toán đơn giản thuộc loại này. Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1; 2; 4; 7; 11 … Giải: Nếu kí hiệu các số hạng của dãy trên là: u1; u2 ; u3 ;...un ... thì ta có:. u2  u1 1; u3  u2 2; u4  u3 3...un  un  1 n  1  un  u1 1  2  3  ...  n  1 n(n  1) / 2  un n(n  1) / 2  1 Một số bài toán tương tự: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau: 1/ 1; 4; 10; 19; 31; … ; 2/ 1; 2; 6; 15; 31; …. u1 1 (un ) :  un 1 3un  2(n  N * )   Bài toán 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy Giải: Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta có dãy các hệ thức sau:. un 3un  1  2;3un 1 32 un 2  2.3;32 un 2 33 un 3  2.32....3n 2 u2 3n 1 u1  2.3n 2 n 1.  un 3. 2. n 2. u1  2(1  3  3  ...  3. n 1. ) 3. Cách 2: Đặt vn 1 un 1   sao cho vn 1 3vn. 3n  1  1  2. 2.3n  1  1 3 1.  vn 1 un 1   3un  2   3vn 3(un   )   1 . Vậy (vn ) là một cấp số nhân n 1 n 1 n 1 v  u  1  2  v  v 3  2.3  u  v  1  2.3  1. 1 1 n 1 n n có công bội q =3 và Từ cách giải 2 ta có lời giải của bài toán tổng quát sau:. u1 a (un ) :  un 1 bun  c(b 0;1) Tìm số hạng tổng quát của dãy Giải: Đặt vn 1 un 1   sao cho:. vn 1 b.vn  vn 1 un 1   bun  c   b.vn b(un   )    Như vậy (vn ) là một cấp số nhân có. c b 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> v1 u1   a . c c c c  vn v1.q n  1 (a  ).b n  1  un (a  ).b n  1  b 1 b 1 b 1 b 1. u1 2 (un ) :  un 1 un  2n  1(n  N * )   Bài toán 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy Giải: Cho n chạy từ 1 đến n-1 ở hệ thức truy hồi rồi cộng các hệ thức lại ta được:. un u1  2  (n  1)  ( n  2)  ...  3  2   n  1 n( n  1)  n  1 ( n  1) 2  2. u1 2 (un ) :  un 1 2un  3n  2(n  N * )   Bài toán 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy Giải: - Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta suy ra:. un 2un  1  3n  1;2un  1 22 un  2  2(3n  4)...2n  2 u2 2n 1 u1  2n  2.5  un 2n  1 u1  S 2n  S với S 3n  1  2(3n  4)  22 (3n  7)  ...  5.2n  1  2S 2(3n  1)  22 (3n  4)  ...  8.2n  2  5.2n  1  S 3.2  3.22  ...  3.2n  2 . 5.2n  1  3n  1 6(1  2  ...  2n  3 )  5.2 n  1  3n  1 6(2n  2  1)  5.2 n  1  3n  1  8.2n  1  3n  5 4.2n  3n  5  un 5.2n  3n  5. Chú ý: trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của một cấp số cộng và một cấp số nhân. - Cách 2: Đặt vn un  an  b sao cho vn 2vn  1.  vn un  an  b 2un  1  3n  1  an  b 2(un 1  a(n  1)  b)  a 3; b 5 Có. v1 u1  3.1  5 10  vn un  3n  5 v1.2 n  1 10.2n  1 5.2 n.  un 5.2 n  3n  5 u1 1 (un ) :  n 1 * un 1 3un  2 (n  N ) Bài toán 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy Giải:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> - Cách 1: Theo giả thiết ta có:. un 3un  1  2n ;3un  1 32 un  2  2n  1.3;...3n  2 u2 3n  1 u1  22.3n  2 n 1.  un 3. 3 32 3n  2 u1  2 (1   2  ...  n  2 ) 3n  1  4(3n  1  2n  1 ) 5.3n  1  2n 1 2 2 2 n. Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của hai cấp số nhân. n v  u  k .2 n n - Cách 2: Đặt với n vn 3vn  1  3un  1  2  k .2n 3(un  1  k .2n  1 )  2  2k 3k  k 2.  un  2.2n vn v1.3n  1 5.3n  1  un 5.3n  1  2n 1. u1 1; u2 5 (un ) :  un 2 5un 1  6un (n  N * )   Bài toán 6: Tìm số hạng tổng quát của dãy Giải: Từ giả thiết ta suy ra: un 2  2un 1 3(un 1  2un ) . Đặt vn 1 un 2  2un 1.  vn 1 3.vn . Vậy (vn ) là cấp số nhân có công bội q = 3 và v1 u2  2u1 5  2.1 3  vn  1 un  2un  1 v1.3n  2 3n  1  un 2un  1  3n  1 . Đặt xn un  k .3n  1 sao cho: xn 2.xn  1  xn un  k .3n  1 2.un  1  3n  1  k .3n  1 2.xn  1 2(un  1  k .3n  2 )  3  3.k 2.k  k  3 . Do ( xn ) là cấp số nhân có công bội q = 2 và. x1 u1  k .30  2  xn x1.2 n  1  2n  un xn  k.3n  1 xn  3n 3n  2n . Bây giờ ta giải bài toán tổng quát của bài toán trên:. u1 a; u2 b (un ) :  * un 2 cun 1  dun (1)( n  N ) trong đó a,b,c,d là các Tìm số hạng tổng quát của dãy hằng số thực; a và b khác 0. Giải: n. n 2  c.r n 1  d .r n 0 Giả sử un r với r là một số thực nào đó. Khi đó từ (1) ta suy ra: r.  r 2  c.r  d 0(2) . (2) được gọi là phương trình đặc trưng ( PTĐT ) của dãy (un ) . Có hai trường hợp:. r1 và r2 . Khi đó ta có: r1n 2  c.r1n 1  d .r1n 0 và r2n 2  c.r2n 1  d .r2n 0  (k .r1n 2  l.r2n2 )  c.( k.r1n 1  l.r2n 1 )  d .(k .r1n  l.r2n ) 0. 1/ (2) có hai nghiệm phân biệt.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Điều đó chứng tỏ. un k .r1n  l.r2n thỏa mãn (1). Trong đó k và l là các hằng số thỏa mãn hệ r1r2 k .r1  l.r2 a D  2 2 r1r2  r1  r2   d  r1  r2  0  2 2 k . r  l . r  b r1 r2  1 2. phương trình sau: . Do nên hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất; điều đó cũng chứng tỏ dãy số đã cho được xác định một cách duy nhất. Áp dụng vào bài 6 ta có a = 1; b = 5; c = 5; d = -6  r1 2; r2 3  k  1; l 1.  un k .r1n  l.r2n  2n  3n 2. Đối với dãy Fibônaxi ta có a = b = c = d = 1 nên PTĐT r  r  1 0 có hai nghiệm:. 1  5 1 5 . k  .l 1(3)   2 2  1 5 1 5  3  5 .k  3  5 .l 1(4) r1  & r2  2 2 2 . Từ đó ta có hệ phương trình:  2 Lấy (4) trừ (3) ta được: k+l = 0. Thay l = -k vào (3) ta được: 5.k 1  k 1/ 5 . n n 1   1  5   1  5   un      2 2 5       Vậy . c c2 r1 r2    d r1.r2  n u  r .vn ; thay vào (1) ta được: n 1 2 4 2/ (2) có nghiệm kép . Đặt r1n 2 .vn 2 c.r1n 1.vn 1  d .r1n .vn 2.r1n 2 .vn 1  r1n 2 .vn  vn 2  vn 1 vn 1  vn Vậy (vn ) là một cấp số cộng nên vn k .n  l với k và l là các số thỏa mãn hệ phương trình:. r1r2 (k  l ).r1 a 3 D   r 0  1 2 2 2 r1 2.r1 (2k  l ).r1 b Do nên k và l được xác định một cách duy nhất; tức n u ( k .n  l )r1 thỏa mãn điều kiện của bài toán. là có duy nhất dãy (un ) mà n u1 4; u2 20 (un ) :  * un 2 4un 1  4un (n  N ) Áp dụng: Tìm số hạng tổng quát của dãy. Ở đây ta có: a = 4; b = 20; c = 4; d = -4 nên PTĐT có nghiệm: r1 r2 2 . n u  (3 n  1).2 n Giải hệ phương trình ta tìm được: k = 3 và l = -1. Vậy. ---------------- // --------------.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>

<span class='text_page_counter'>(6)</span>