CAC BAI TAP VE TICH PHAN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TICH PHAN 2. x+ 1¿ ¿ ¿ dx ¿. Bµi 1: TÝnh tÝch ph©n: I =. 2. ∫¿ −2. * Sai lÇm thêng gÆp: I =. x+ 1¿2 ¿ ¿ dx ¿ 2. ∫¿ −2. 2. =. x +1 ¿ ¿ ¿ d (x+1) ¿. =-. 1 x +1. ¿2− 2 =-. 1 -1 = - 4 3 3. 2. ∫¿ −2. * Nguyªn nh©n sai lÇm : x+ 1¿2 ¿ 1 ¿. Hµm sè y =. không xác định tại x= -1 [ −2 ; 2 ] suy ra hàm số không liên. tục trên [ −2 ; 2 ] nên không sử dụng đợc công thức newtơn – leibnitz nh cách gi¶i trªn. * Lời giải đúng x+ 1¿2 ¿ 1 ¿. Hµm sè y =. không xác định tại x= -1 [ −2 ; 2 ] suy ra hàm số không liên. tục trên [ −2 ; 2 ] do đó tích phân trên không tồn tại. * Chú ý đối với học sinh: b. Khi tÝnh. ∫ ❑f (x) dx. cÇn chó ý xem hµm sè y=f(x) cã liªn tôc trªn. [a;b]. a. không? nếu có thì áp dụng phơng pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu kh«ng th× kÕt luËn ngay tÝch ph©n nµy kh«ng tån t¹i. * Mét sè bµi tËp t¬ng tù: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1/. x − 4 ¿4 ¿ ¿ dx . ¿ 5. ∫¿ 0. 2. x ¿ x 2/ 3 ¿ .. ∫¿ −2. 3/. π 2. ∫ cos14 x dx 0 1. 4/. 3. x. 2. ∫ − x .xe3 + x. dx. −1. π. Bµi 2 :TÝnh tÝch ph©n: I =. ∫ dx 1+ sin x 0. 2. * Sai lÇm thêng gÆp: §Æt t = tg x 2. ⇒. 1+t ¿2 ¿ t+1 ¿− 2 ¿ dx ∫ 1+ sin x = 2dt = 2 ¿ d(t+1) = ¿ ∫¿ ∫¿ π. ⇒. th× dx =. I=. ∫ dx 0 1+ sin x. =. −2 x tg +1 2. π 0. ¿. =. 1+t ¿ 2dt 1 = ¿2 2 ; 1+sin x 1+t 1+t ¿. ❑ ❑. −2 π tg +1 2. 2 t +1. +c. 2 tg 0+1. do tg π không xác định nên tích phân trên không tồn tại 2. *Nguyªn nh©n sai lÇm: §Æt t = tg x. 2. x [ 0 ; π ] t¹i x = π th× tg x. * Lời giải đúng:. 2. kh«ng cã nghÜa..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x π − ( 2 4) dx x π =¿∫ =tg ( − ) ¿ 2 4 π x π 1+cos ( x − ) cos ( − ) 2 2 4 π. π. I. ∫ dx 1+ sin x. =. =. 0. d. π 0. 2. 0. =. tg. π. ∫¿ 0. π −π − tg =2 . 4 4. ( ). * Chú ý đối với học sinh: Đối với phơng pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [ a ; b ] . *Mét sè bµi tËp t¬ng tù: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: π. ∫ dx sin x. 1/. 0. π. ∫ dx 1+ cos x. 2/. 0. 4. ∫ √ x 2 − 6 x +9. Bµi 3: TÝnh I =. dx. 0. * Sai lÇm thêng gÆp: 4. 4. 4. 2. I = ∫ √ x − 6 x +9 dx = ∫ √ ( x − 3 ) dx=∫ ( x −3 ) d ( x −3 )= ( x −3 ) ¿40 = 1 − 9 =− 4 2 2 2 0 0 0 2. 2. * Nguyªn nh©n sai lÇm: Phép biến đổi. 2. √ ( x −3 ) =x −3. với x [ 0 ; 4 ] là không tơng đơng.. * Lời giải đúng: 4. I=. ∫ √ x 2 − 6 x +9. dx. 0. 4. =. 4. 3. ∫ √ ( x − 3 ) dx=∫|x −3| d ( x − 3 )=∫ − ( x −3 ) d ( x − 3 ) +∫ ( x − 3 ) d ( x −3 ) 0. 0. 0. 2 2 = - ( x −3 ) ¿ 30 + ( x −3 ) ¿ 43= 9 + 1 =5. 2. 2. 2 2. * Chú ý đối với học sinh: 2n. 4. 2. √( f ( x ) ). 2n. =|f ( x )|. ( n ≥1 , n ∈ N ). 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> b. ∫. I=. b. 2n. √( f ( x ) )2 n=¿. a. ∫|f ( x )|dx. ta ph¶i xÐt dÊu hµm sè f(x) trªn [ a ; b ] råi dïng. a. tính chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Mét sè bµi tËp t¬ng tù: π. ∫ √ 1− sin 2 x. 1/ I =. dx ;. 0. 3. ∫ √ x3 − 2 x2 + x. 2/ I =. dx. 0. 2. ∫. 3/ I =. 1 2. (√ x + x1 − 2) 2. 2. dx. π 3. ∫ √ tg2 x+ cot g 2 x − 2. 4/ I =. dx. π 6. 0. Bµi 4: TÝnh I =. ∫ dx 2 x +2 x+2 −1. * Sai lÇm thêng gÆp: 0. I=. ∫( −1. d ( x+1 ) π 0 =arctg ( x +1 ) ¿ −1=arctg 1− arctg 0= 2 4 x +1 ) +1. * Nguyªn nh©n sai lÇm : Häc sinh kh«ng häc kh¸i niÖm arctgx trong s¸ch gi¸o khoa hiÖn thêi * Lời giải đúng: §Æt x+1 = tgt ⇒ dx=( 1+ tg 2 t ) dt víi x=-1 th× t = 0 víi x = 0 th× t = π 4. Khi đó I =. π 4. 2. ( 1+tg t ) dt. ∫ tgt +1 0. π 4. π 4 0. =∫ dt=t ¿ = 0. π 4. * Chú ý đối với học sinh: C¸c kh¸i niÖm arcsinx , arctgx kh«ng tr×nh bµy trong s¸ch gi¸o khoa hiÖn thêi. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham kh¶o, v× c¸c s¸ch nµy viÕt theo s¸ch gi¸o khoa cò (tríc n¨m 2000). Tõ n¨m 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> không đợc áp dụng phơng pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng b. ∫ 1+1x2 dx. ta dùng phơng pháp đổi biến số đặt t = tgx hoặc t = cotgx ;. a. b. ∫ a. 1 dx √1 − x 2. thì đặt x = sint hoặc x = cost. *Mét sè bµi tËp t¬ng tù: 8. 1/ I =. 2. ∫ √ x x−16 dx 4 1. 2/ I =. 3. x+3 dx ∫ 2 x x+2 2 +1 0. 1. 3/ I =. √3. x 3 dx ∫ 8 0 √1 − x. Bµi 5: 1 4. TÝnh :I =. ∫ 0. x3 dx √1 − x 2. *Suy luËn sai lÇm: §Æt x= sint , dx = costdt 3. 3. t dt ∫ x 2 dx=∫ sin | cos t| √1 − x. §æi cËn: víi x = 0 th× t = 0 víi x= 1 th× t = ? 4. * Nguyªn nh©n sai lÇm: Khi gÆp tÝch ph©n cña hµm sè cã chøa. √ 1− x 2 thì thờng đặt x = sint nhng đối. với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = chÝnh x¸c t = ? * Lời giải đúng: §Æt t =. √ 1− x 2. ⇒ dt =. x. √1 − x 2. dx ⇒ tdt=xdx. §æi cËn: víi x = 0 th× t = 1; víi x = 1 th× t = √ 15 4. 4. 1 4. không tìm đợc.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> I=. 1 4. ∫ 0. x3 dx √1 − x 2. √ 15 4. ∫. =. √15 4. 2. ( 1 −t ) tdt. 1. √ 15. 3. t = ∫ ( 1 −t 2 ) dt= t − ¿1 4 = 3 1. t. ( ) ( √154 − 15192√ 15 )− 23 =33192√15 − 23. * Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa √ 1− x 2 thì thờng đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x 2 thì đặt x = tgt nhng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lợng giác của góc đặc biệt thì mới làm đợc theo phơng pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphơng ph¸p kh¸c. *Mét sè bµi tËp t¬ng tù: √7. 1/ tÝnh I =. ∫ 0. x3 dx √1+ x 2. 2. 2/tÝnh I =. ∫ dx 2 1 x √ x +1 1. Bµi 6: tÝnh I =. 2. dx ∫ x1+−1 4 x −1. 1. * Sai lÇm thêng m¾c: I =. ∫ −1. §Æt t = x+. 1−. 1 x2. 1 + x2 x2. 1. =∫ −1. (1 − x1 ) 2. 1 2 x+ −2 x. dx. ( ). 1 1 ⇒ dt= 1− 2 dx x x. (. ). §æi cËn víi x = -1 th× t = -2 ; víi x=1 th× t=2; 1 t+ √2 2 1 I = ∫ dt2 = (¿ − t − √2 )dt =(ln − 2 t −2 2. t+ 2 |t+ √2| -ln |t − √ 2| ) ¿2− 2=ln √ ¿2−2 t − √2. ∫¿ −2. = ln. 2+ √ 2 −2+ √ 2 2+ √ 2 − ln =2 ln 2 − √2 −2 − √ 2 2 −√ 2. |. |. | |.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1−. 2. * Nguyªn nh©n sai lÇm:. 1 x2. x −1 = 1+ x 4 1 + x 2 x2. lµ sai v× trong [ −1 ;1 ] chøa x = 0 nªn. không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 đợc * Lời giải đúng: xÐt hµm sè F(x) =. x2 − x √ 2+1 ln 2 √ 2 x 2 + x √ 2+1 1. ln. F’(x) = 1. Do đó I =. 2. x 2 − x √2+1 ' x 2 − 1 ¿= 4 x 2+ x √ 2+ 1 x +1 1 ¿ 2 √2. dx = ∫ x1+−1 4 x −1. 1 2 √2. 2. ln. x − x √2+1 2 x + x √ 2+1. ¿1− 1=. 1 ln √2. 2 − √2 2+ √ 2. *Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 ..

<span class='text_page_counter'>(8)</span>