Bài tập về tích phân

TÍCH PHÂN

LAISAC biên soạn.
A. TÌM CÁC NGUYÊN HÀM.
∫
−
dx
xx
xx
49
32
; ;
dxxx
x
)ln1( +
∫ ∫
−
+
dx
x
xx
2sin2
sincos
;
∫
dx
xx
x
4ln
2ln

;
∫
− xx
dx
sin22sin
; .
13
1
24
2
∫
+
−
+
dx
x
x
x

B.ĐỔI BIẾN SỐ.Tính các tích phân:
dx
xx
x
∫
+−
+
1
0
2
44

32
;
dx
xx
x
∫
−−
+−
1
0
2
52
1
;
dx
xx
x
∫
+−
1
0
2
3
54

dx
x
x
∫
−

−
1
0
3
)12(
25
;
∫
+
−
1
0
3
1
1
dx
x
x
;
dx
x
xx
∫
+
+−
2
0
4
4
1

1
;
.
1
1
2
1
4
2
dx
x
x
∫
+
−
;
dx
x
x
∫
+
+
1
0
6
4
1
1
; ;
∫

−
1
0
635
)1( dxxx

∫
2
0
5
cos
π
xdx
;
∫
2
0
4
sin
π
xdx
;
∫
4
0
3
π
xdxtg
;
∫

2
4
sin
π
π
x
dx
;
∫
2
4
cos
π
π
x
dx
;
∫
4
0
4
cos
π
x
dx
;
∫
4
0
3

cos
π
x
dx
;
∫
4
0
4
π
xtg
dx
;
∫
π
0
5cos3sin xdxx
∫
π
0
2
cos2sin xdxx
;
∫
+
2
0
cos1
3sin
π

dx
x
x
;
;
cossin
sin
2
0
3
∫
+
π
dx
xx
x

∫
+
−
4
0
2sin2
sincos
π
dx
x
xx
;
dx

x
xx
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
;
dx
x
xx
∫
−
+
3
0
2cos6
sin32sin2
π
;
∫
+
3
4
2
cos1.cos
π

π
dx
xx
tgx
;
∫
3
4
35
cossin
π
π
xx
dx
;
∫
++
2
0
3sin2cos
π
xx
dx
;
∫
6
0
3
2cos
π

dx
x
xtg
;
∫
+
2ln
0
1
x
e
dx
;
∫
−
2ln
0
1dxe
x
;
∫
+
1
0
2
12x
dxx
;
∫
+

4
7
2
2
9xx
dxx
;
∫
+
2
0
2
1xx
dx
;
∫
+
1
0
2
2
4x
dxx
;
∫
−
2
2
0
2

2
1 x
dxx
;
∫
+
22
3
2
2
1xx
dx
;
∫
−
2
3
2
2
1xx
dx
;
∫
+
1
0
22
)31( x
dx
;

∫
−
1
0
22
34 dxxx
;
∫
+
2
0
33
3
cossin
sin
π
dx
xx
x
;
dx
x
xx
∫
+
π
0
2
cos1
sin

.cossin
0
2008
xdxxx
∫
π
;
∫
+
+
2
0
2
cos1
sin
π
dx
x
xx
;
dxtgxLn )1(
4
0
+
∫
π
;
dx
e

x
x
∫
−
+
+
π
π
1
2cos1
;
dx
x
x
∫
−
+
π
π
12
4
;
C.TỪNG PHẦN.
∫
2
0
2
cos
π
xdxx

; ;
∫
e
xdx
1
3
ln
∫
2
1
ln
e
dxx
; ;
∫
+
1
01
3
)1ln( dxxx
∫
e
xdxx
1
2
ln
∫
2
0
2cossin

π
xdxxx
; ;
∫
π
e
e
dxx)cos(ln
dxe
x
∫
+
1
0
13
;
∫
+
4
0
2cos1
π
dx
x
x
;
dx
x
xx
∫

3
6
2
cos
sin
π
π
;
()
dx
x
x
∫
3
6
2
cos
sinln
π
π
;
∫
+
e
e
dx
x
x
1
2

)1(
ln

dx
x
xx
∫
4
0
4
2
cos
2sin
π
;
∫
+
1
0
1
x
x
e
dxxe
;
∫
+
3
1
2

1
ln
x
xdxx
;
∫
+
+
1
0
2
)2(
1ln
dx
x
x
;
∫
+
2
0
2sin1
π
x
xdx
;
∫
−
++
1

1
22
)ln( dxxax
;
D.TỔNG HỢP.
∫
+
2
0
).2sin(
π
dxexx
x
;
.
cos4
2sinsin
0
2
dx
x
xxx
∫
−
+
π
; dx
x
xx
e

e
∫
+
+
2
cos1
ln1
2
;
dx
x
xx
∫
+
+
2
0
cos1
3sin
π

dx
x
tgxxx
∫
+
+
4
0
4

2cos1
cos
π
;
dxx
xx
x
e
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
1
2
ln
ln1
ln
;
∫
+−
2
0
24

3
3cos3cos
cos
π
dx
xx
x
;
.
cos1
sin1
2
0
dxe
x
x
x
∫
+
+
π



;
∫
++
++
1
0

12
2
)12( dxexx
xx
dxexx
x
xsin
2
0
2
.cos
2
cos2
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
π
; dx
x
x
e
e
∫
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
−
2
ln
1
ln
1
2
.
Giải các phương trình :
0cos1.2sin
0
2
=+
∫
x
dttt
;
∫
=
+
x
t
dt
t
et
0

2
2
1
)2(
với x > 0 .
E TÍCH PHÂN DẠNG:
.)(
∫
=
b
a
dxxfI

Phương pháp chung :+Lập bản xét dấu,và dùng tích chất
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
(với
bac ;∈
) để phá trị tuyệt đối.Hoặc:
+Nếu f(x) không đổi dấu trong [a;b]thì
∫∫
==
b

a
b
a
dxxfdxxfI )()(
.
+Nếu f(x) đổi dấu khi qua c với
bac ;∈
thì
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
.
(c chính là nghiệm phương trình f(x) = 0).
Ví dụ 1. Tính
dxxxI
∫
+−=
3
0
2
23
.
Cách 1.
()()(

dxxxdxxxdxxxdxxxI
∫∫∫∫
+−++−−+−=+−=
3
2
2
2
1
2
1
0
2
3
0
2
23232323
)
(Xét dấu).
Cách 2.Ta có
()()()
.23232323
3
2
2
2
1
2
1
0
2

3
0
2
∫∫∫∫
+−++−++−=+−= dxxxdxxxdxxxdxxxI

Ví dụ 2. Tính
dxxJ
∫
−=
π
0
2cos1
.
HD.Ta có
=−=
∫
dxxJ
π
0
2cos1
=+=
∫∫∫
π
π
π
π
2
2
00

sin2sin2sin2 xdxxdxdxx
.
Ví dụ 3.Tính diện tích S hình phẳnh (H) giới hạn bỡi
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−=
−=
)3(0
)2(2
)1(2
2
x
xy
xxy

HD.Hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và (2)là nghiệm
xx 2
2
−
=
22 =⇒−
x
x
.

Hoành độ giao điểm của đồ thị (1) , (3) và (2) ,(3) là x = 0.
Khi
⇒∈ ]2;0[
x
đồ thị (1) trở thành y = -x
2
+ 2x.
Vậy
()
()
=++−=++−=−−−=
∫∫∫
2
0
2
2
0
2
2
0
2
22)2(2 dxxxdxxxdxxxxS
.
Ví dụ 4. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bỡi :
⎩
⎨
⎧
=+
−=
)5(02

)4(2.34
y
y
xx
HD.Hoành độ giao điểm hai đường (4) và (5) là nghiệm :
1;0022.34 ==⇒=+− xx
xx
Vậy
()
=+−=+−=
∫∫
1
0
1
0
22.3422.34 dxdxS
xxxx