bài giản phần tử hữu hạn

PHẦN TỬ HỮU HẠN

TRƯỜNG ĐH KiẾN TRÚC TP HCM – 2014


Nội dung

Nội dung chính:
1 Lý thuyết mơn phần tử hữu hạn
2 Chương trình SAP2000
Tài liệu
1. Phần tử hữu hạn ( Chu Quốc Thắng)
2. FEM -Finite Element Method (J.N.Reddy)


GIỚI THIỆU MƠN HỌC
Các bài tốn giải quen thuộc:

Hình 1

Hình 3

Hình 2

Hình 4




GIỚI THIỆU MƠN HỌC
Các bài tốn giải quen thuộc:

Hình 5

Hình 6




GIỚI THIỆU MƠN HỌC
Bài tốn trong thực tế:




GIỚI THIỆU MƠN HỌC
Bài tốn trong thực tế:




GIỚI THIỆU MƠN HỌC
Bài tốn trong thực tế:
Dầm dọc

Khung phẳng




CHƯƠNG 1:BỔ TÚC VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

I. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng.
Trong giai đoạn đàn hồi của vật liệu, quan hệ giữa ứng suất và biến
dạng là tuyến tính, và được xác định bởi định luật Hooke.
1
�
 x  ( y   z ) �
�
�
E
1
y  �
 y  ( x   z ) �
�
�
E
1
z  �
 z  ( x   y ) �
�
�
E

x 

1
2(1  )
 xy 
 xy
G

E
1
2(1  )
 yz   yz 
 yz
G
E
1
2(1  )
 zx   zx 
 zx
G
E

 xy 

- biến dạng tỉ đối,  – góc trượt, - hệ số poisson của vật liệu.
E- modun đàn hồi
G- modun trượt G  E
2(1  )




CHƯƠNG 1:BỔ TÚC VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

I.

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng (tiếp).


 

 

x

,  y ,  z , xy ,  yz , zx



 x ,  y ,  z , xy , yz , zx 

    C   
[C]- ma trận các hệ số đàn hồi

T

T

là vectơ biến dạng
là vectơ ứng suất




CHƯƠNG 1:BỔ TÚC VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

I.

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng (tiếp).
�1
�

�

1�
 C   �0
E�
�0
�
�0


1

0
0
0



1
0
0
0

0
0
0

2  1  
0
0

0
0
0
0
2  1  
0

0 �
0 �
�
0 �
�
0 �
0 �
�
2  1   �

Biểu thức biểu diễn ứng suất theo biến dạng:

     D   
 D   C   1




CHƯƠNG 1:BỔ TÚC VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

I.

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng (tiếp).
1 


�
�
1 

�
�

1 
�
�0
E
0
0
 D 
�
 1    1  2  �
�0
0
0
�
�
0
0

�0
�

0
0

0
0

0
1  2
2

0
0

0

1  2
2

0

0

0 �
0 �
�
0 �
�

0 �
�
�
0 �
�
1  2 �
�
2 �




CHƯƠNG 1:BỔ TÚC VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

II. Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị.

Theo phương trình Cauchy , ta có quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:
u
x
v
y 
y
w
z 
z

x 

Hay ở dạng ma trận, ta có:

v u

x y
w v
 yz  
y z
u w
zx  
z x

xy 

     u




CHƯƠNG 1:BỔ TÚC VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

II. Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị.
 x 
 
 y
  z 
 
 xy 
  yz 
 
 zx 


 x
 0

 0
 
 y

 0

  z

0

y
0

x

z
0

0 

0 

  u 
z   v 
 
0  

 w

 
y

 
x 




CHƯƠNG 1:BỔ TÚC VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

III. Các phương pháp cơ bản giải bài toán.
Đại lượng cần tìm

Bài tốn 3D

Bài tốn 2D

Bài tốn 1D

Chuyển vị

u, v, w

u, v

u

Ứng suất

x, y, z, xy , yz , zx

x, y, xy

x

Biến dạng

εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx

εx, εy, γxy

εx

15

8

3

Tổng số ẩn

Để tìm nghiệm thì phải thỏa mãn số phương trình:
Loại phương trình

Bài tốn 3D

Bài tốn 2D

Bài tốn 1D

PT cân bằng nội

3

2

1

PT ứng suất- biến dạng

6

3

1

PT biến dạng – chuyển vị

6

3

1

Tổng số phương trình

15

8

3




CHƯƠNG 1:BỔ TÚC VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

III. Các phương pháp cơ bản giải bài toán.

Để giải bài tốn cơ học vật rắn biến dạng, ta có các phương pháp giải sau đây:
- Phương pháp giải tích:
+) Phương pháp trực tiếp
+)Phương pháp năng lượng
- Phương pháp số




CHƯƠNG 1:BỔ TÚC VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

3.1. Phương pháp trực tiếp
Thiết lập các phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện bài toán. Các đại lượng cần tìm
sẽ được xác định bằng phương pháp tính tích phân trực tiếp.
P
O
1

z


Mx
EJ x
M

O
1

v
O2

y

y" 

u

   y '   x dz  C
EJ
x
 M

x

y   
dz  C dz  D
 EJ


x






CHƯƠNG 1:BỔ TÚC VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

C,Dlà hằng số và xác định theo điều kiện biên

y A 0

 A 0
y A 0
yB 0

Ví dụ:
Tính chuyển vị lớn nhất của dầm: EJ = const
q
P
a

a




CHƯƠNG 1:BỔ TÚC VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

3.2. Phương pháp năng lượng : dựa vào một nguyên lý năng lượng nào đó
3.2.1. Ngun lý thế năng tồn phần cực tiểu.

Ta có thế năng tồn phần của hệ :
 U  W

Trong đó: U- năng lượng biến dạng của hệ.
W- công của ngoại lực đặt lên hệ.
Nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu được phát biểu như sau:
“ Hệ đàn hồi ở trạng thái cân bằng nếu và chỉ nếu thế năng toàn phần
đạt giá trị cực tiểu”.
Vậy theo nguyên lý trên thì :
hệ đàn hồi cân bằng ↔ 
   0
min




CHƯƠNG 1:BỔ TÚC VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Trong trường hợp tổng quát
1
T
U        dV
2V

U 

1

T


 D    dV


2V

Công A của ngoại lực ( gồm lực khối {g}, lực mặt{ p}) trên các chuyển
dời {u} là:
 A  u

T

 g  dV

  u

T

 p dS

V
S
Ví dụ 1
Tìm chuyển vị của điểm đặt lực trên thanh như hình vẽ.
E, P cho trước.



CHƯƠNG 2: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHẦN TỬ HỮU HẠN

I.

Khái niệm về phương pháp PTHH.

1. Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) là
một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một
ẩn hàm trong từng miền con Ve của miền xác định V nào đó.
2. Các miền con Ve được gọi là phần tử hay kết cấu được coi như
gồm các bộ phận kết cấu có hình dạng đơn giản được ghép lại gọi là
phần tử.




CHƯƠNG 2: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHẦN TỬ HỮU HẠN




CHƯƠNG 2: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHẦN TỬ HỮU HẠN




CHƯƠNG 2: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHẦN TỬ HỮU HẠN

3. Các phần tử này chỉ được nối với nhau bởi các điểm định trước

trên biên gọi là nút.
4. Hàm xấp xỉ (approximation function) biễu diễn dạng phân bố của
ẩn cần tìm theo một quy luật nào đó trong phạm vi từng phần tử.
Các hệ số của hàm xấp xỉ được gọi là các tham số.
Các giá trị của hàm tại nút được gọi là bậc tự do của phần tử
Cách chọn hàm xấp xỉ:
- Thường chọn ở dạng đa thức (dễ tính đạo hàm, tích phân)
- Tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc
- Số tham số phải bằng số bậc tự do của phần tử




CHƯƠNG 2: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHẦN TỬ HỮU HẠN

Ví dụ:

Cho phần tử thanh chịu kéo (nén) dọc trục có 2 nút. u(x ) = a1 + a2 x là
hàm xấp xỉ
a 



u ( x ) a1  a2 x  ....  an 1 x n  1 x

[P(x,y)]- ma trận các đơn thức.
{a} được gọi là vectơ các tham số

x2

...

 1
 a 
 2 
x n  a3   P ( x) a
 ... 


 an 1 






CHƯƠNG 2: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHẦN TỬ HỮU HẠN

II.

Ma trận các hàm dạng.

Vectơ các bậc tự do {q}e của phần tử (hay vectơ chuyển vị nút phần
tử) là tập hợp tất cả các bậc tự do của các nút trên phần tử.
�u  nut1 �
�
�
u  nut 2  �
�
�

�� q e
� ... �
�
u  nutn  �
�

�u  x1 , y1 , z1  � �P  x1 , y1 , z1  �
�
� �
�
u
x
,
y
,
z
P
x
,
y
,
z




� 2 2 2 � � 2 2 2 �
 a   A  a � q e
�
� �

�
...
...
�
� �
�
�
u  xr , yr , zr  � �P  xr , yr , zr  �
��

→ {a}=[A]-1.{q}e
→ {u}=[P]. [A]-1.{q}e = [N].{q}e
[N] được gọi là ma trận các hàm dạng.

