DE SO 1 DE HSG TOAN 7 20112012

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD&ĐT HUYỆN YÊN ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN: TOÁN LỚP 7. Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề). Câu 1: (4 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: a. A =. 219 .27 3+ 15. 4 9 .9 4 69 .210 +1210. b. B =. 1 1 1 1 + + +.. . .+ 2 3 4 2013 2012 2011 2010 2 1 + + .+. ..+ + 1 2 3 2011 2012. Câu 2: (4 điểm). x. y. z. a. Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: 3 = 4 = 5 và 2 x 2 +2 y 2 −3 z 2=− 100 b. Tìm x biết : 3 x +5 . 3x −1 =216 Câu3: (4 điểm) a. Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Chứng minh rằng nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thì a và c là 2 số đối nhau. 27 −2 x. b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = 12− x Câu4: (6 điểm). (với x nguyên). Cho Δ ABC vuông tại A. M là trung điểm BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC. a. Chứng minh rằng BK = CI và BK//CI. b. Chứng minh KN < MC. c. Δ ABC thỏa mãn thêm điều kiện gì để AI = IM = MK = KD. d. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống BC. Chứng minh rằng các đường thẳng BI, DH, MN đồng quy. Câu 5: (2 điểm): Tìm các số tự nhiên abc có ba chữ số khác nhau sao cho : 3a + 5b = 8c. --------- Hết -------Ghi chú: - Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.. PHÒNG GD&ĐT. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> YÊN ĐỊNH. NĂM HỌC 2012 – 2013. MÔN: TOÁN 7. Câu. Hướng dẫn chấm. Điểm. a) (2đ) 19 3 + 15. 4 9 .9 4 219 .39 +15 . 218 . 38 A= 2 .27 = 9 10 10 9 9 10 20 10. 6 .2 +12 2 .3 (2. 3+15) = 19 9 2 .3 (1+2. 3) = 21 = 1 6.7 2 18. 2 . 3 . 2 +2 . 3. 8. 0,75 0,75 0,5. b) (2 đ) 1 1 1 1    ....  2 3 4 2013 Câu 1 2012 2011 2010 2 1   .  ...   (4 đ) B= 1 2 3 2011 2012. Nhận thấy 2012+1=2011+2=….=1+2012. 2012 2011 2010 2 1 +1+ +1+ .+. ..+1+ +1+ − 2012 1 2 3 2011 2012 = 2013 + 2013 + 2013 .+. . .+ 2013 + 2013 −2012 = 1 2 3 2011 2012 2013 2013 2013 2013 1+ + .+. ..+ + 2 3 2011 2012 1 1 1 1 = + + + .. ..+ 2 3 4 2013 1 Thay vào tính được A = 2013 ⇒ MS = 1+. 0,5 0,5 0,5 0,5. a) (2đ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 2 x 2 y 3 z 2 x +2 y − 3 z −100 = = = = = = = = = =4 Từ ta có: 3 4 5 9 16 25 18 32 75 − 25 −25 x 2=36 2 y =64 z 2=100 ⇔ ¿ x=6 y=8 ¿ Câu 2 x=10 ( Vì x, y, z cùng dấu) ¿ (4đ) ¿ ¿ x =−6 ¿ y=− 8 ¿ z=− 10 ¿. 0,5. 1,5. b) (2đ). x− 1 (3+5) = 216 3 x− 1 = 27 3. Câu3. => x-1= 3 => x = 4 a) Ta có:. 0,75 0,5 0,75.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Câu. Hướng dẫn chấm. Điểm. 1 là nghiệm của f(x) => f(1) = 0 hay a + b + c = 0 (1) -1 là nghiệm của f(x) => f(-1) = 0 hay a - b + c = 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra 2a + 2c = 0 => a + c = 0 => a = -c Vậy a và c là hai số đối nhau. 27 −2 x 3 = 2+ 12− x 12− x 3 => C lớn nhất khi lớn nhất 12− x 3 3 * Xét x > 12 thì < 0 ⇒ 2+ <2 12− x 12− x 3 * Xét x < 12 thì > 0. Vì phân số có tử và mẫu là các số dương, tử không 12− x. b) (2 đ)C=. (4đ). 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25. đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.. Để. 3 12− x. lớn nhất thì. 12-x  0  x  Z ⇔ 12-x nhỏ nhất . 0,25 x = 11 khi đó C= 5 >2. 0,5. C có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11. 0,25. Câu 4 (6đ). B. K. D. M H. I. A a) (2,0 đ) C N - Chứng minh được Δ IBM = Δ KCM (cạnh huyền-góc nhọn) => IM= MK - Chứng minh được Δ IMC = Δ KMB (c.g.c) => CI = BK và ∠ MKB = O O' ∠ MIC => BK//CI b) (1,5 đ) Δ ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM=. 1 BC ⇒ AM = 2. MC => Δ AMC cân tại M nên đường cao MN đồng thời là đường trung tuyến của Δ AMC=> N là trung điểm AC Δ AKC vuông tại K có KN là trung tuyến => KN =. Mặt khác MC =. 1 AC 2. 1 BC 2. Lại có Δ ABC vuông tại A => BC > AC => Vậy MC > KN c) (1,5đ) Theo CM ý a IM = MK mà AM = MD (gt). 1 BC > 2. 0,5 1,0 0,5. 1 AC hay MC > KN 2. 0,5 0,25 0,25 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Câu. Hướng dẫn chấm. Điểm. => AI = KD Vậy để AI = IM = MK = KD thì cần AI = IM Mặt khác BI AM => khi đó BI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao Δ ABM => Δ ABM cân tại B (1) Mà Δ ABC vuông tại A, trung tuyến AM nên ta có Δ ABM cân tại M (2) Từ (1) và (2) ruy ra Δ ABM đều => ∠ ABM = 600 Vậy tam giác vuông ABC cần thêm điều kiện ∠ ABM = 600 thì: AI = IM = MK = KD d) (1,0 đ) Xảy ra 2 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu I thuộc đoạn AM => H thuộc đoạn MC => BI và DH cắt tia MN. Gọi O là giao điểm của BI và tia MN, O’ là giao điểm của DH và tia MN Ta có MI=MH( Δ MIB = Δ MHD), ∠ IMO = ∠ HMO’ nên chứng minh được Δ MIO = Δ MHO’(cạnh góc vuông-góc nhọn kề) => MO = MO’ => O O’ Suy ra BI, DH, MN đồng quy. Trường hợp 2: Nếu I thuộc đoạn MD => H thuộc đoạn MB => BI và BH cắt tia đối của tia MN. Chứng minh tương tự trường hợp 1 Vậy BI, DH, MN đồng quy. B. 0,5 0,5. 0,5. 0,5. D. O I. H. M. K. A. N. C. (Học sinh có thể sử dụng các cách khác để CM: VD sử dụng tính chất đồng quy của 3 đường cao...) Câu 5 Ta có 3a+5b=8c ⇔ 3a – 3c = 5c – 5b (2đ) ⇔ 3(a-c) = 5(c-b) Vì (3;5)=1 nên a-c chia hết cho 5 và c-b chia hết cho 3. -Nếu a>c thì c>b và a-c là bội của 5 nên a-c =5 ( không thể bằng 0 vì a khác c). c>b nên c khác 0. *) a=6, c=1 loại vì b=-2 *) a=7, c=2 loại vì b= -1 *) a=8, c=3 ⇒ b= 0 thoã mãn. *) a= 9, c= 4 ⇒ b= 1 thoã mãn. - Nếu a<c thì c<b ⇒ 3(c-a) = 5(b-c)và c-a là bội của 5 nên c-a =5 ( không thể bằng 0 vì a khác c). b>c nên b khác 0. *) c=6, a=1 ⇒ b=9 thoã mãn *) c=7, a=2 loại vì b= 10 *) c=8, a=3 loại vì b= 11 *) c=9, a=4 loại vì b= 12. 0,25 0,25. 0,5 0,25. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Câu. Hướng dẫn chấm. Điểm. Vậy các số tự nhiên thoã nãn là: 803; 914; 196. Lưu ý: Học sinh có thể trình bày nhiều cách giải khác nhau nếu đúng thì cho điểm tương ứng.. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>