De thi HSG Huyen
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (119.55 KB, 3 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYỆN GIA BÌNH PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán 8 ( Thời gian làm bài: 120 phút ). x 1 x 1 x 2 4x 1 x 2014 x 1 x 1 1 x2 x 1 Bài I. (1.5điểm) Cho A = (với x 0; x 1; x 1 ). 1) Rút gọn A 2) Với giá trị nguyên nào của x thì A có giá trị nguyên? Bài II. (2.5điểm) 1) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 2 a. x 7 x 6 4 2 b. x 2008 x 2007 x 2008. 2) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì A = 4a2b2 – (a2 + b2 - c2)2 luôn luôn dương. Bài III. (2điểm) 1) Cho x, y thoả mãn xy 1 . Chứng minh rằng: 1 1 2 2 2 1 x 1 y 1 xy. 2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:. 2 x2 . 1 y2 4 x2 4 sao cho tích x.y đạt. giá trị lớn nhất. Bài IV. (3điểm) Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M, Qua điểm M kẻ các đường thẳng song song với AC và AB thứ tự cắt AB và AC tại E và F. ME MF 1)Chứng minh AC AB có giá trị không đổi.. 2) Cho biết diện tích của các tam giác MBE và MCF thứ tự là a 2 và b2 .Tính diện tích của tam giác ABC theo a và b. 3)Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. 2 Bài V. (1điểm) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: y 2 xy 3 x 2 0.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài. I. 1.5. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Đáp án 1). Với x 0; x 1; x 1 ta có 2 2 x 1 x 1 x 2 4x 1 x 2014 x 1 x 1 x 2 4x 1 x 2014 A x2 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 x 1 4x x 2 4x 1 x 2014 x 2 1 x 2014 x 2014 2 x2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2014 2013 A 1 x 1 x 1 2) Ta có Suy ra với x nguyên thì A có giá trị nguyên khi x + 1 là ước của 2013. Ước của 2013 gồm -2013;-671; -183; -61; -33; -11; -3; -1; 1; 3; 11; 33; 61; 183; 671; 2013 Từ đó tìm và đối chiếu điều kiện ta có với x nhận các giá trị là -2014; -672; -184; -62; -34; -12; -4; -2; 2; 10; 32; 60; 182; 670; 2012 thì A nhận giá trị nguyên. 0.5 0.25 0.5 0.25. x 2 7 x 6 x 2 x 6 x 6 x x 1 6 x 1 1) a. x 1 x 6 . 0.5. 4 2 4 2 2 b. x 2008 x 2007 x 2008 x x 2007 x 2007 x 2007 1. 0.25 0.25 0.25 0.25. 2. II. 2.5. Điểm. x 4 x 2 1 2007 x 2 x 1 x 2 1 x 2 2007 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 2007 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2008 . 2) Ta có A = [2ab + (a2 + b2 - c2)][2ab – (a2 + b2 - c2)] = [(a + b)2 – c2][c2 – (a – b)2] = (a + b + c)(a + b – c)(c + b – a)(c + a – b). Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a, b, c > 0 và theo bất đẳng thức trong tam giác ta có a + b – c > 0; c + b – a > 0; c + a – b > 0 từ đó suy ra điều phải chứng minh. 1 1 2 1 x 2 1 y 2 1 xy. 1). 0.25 0.5 0.25. (1). x y x y x y 1 1 1 1 0 0 2 2 2 1 x 1 xy 1 y 2 1 xy 1 x 1 xy 1 y 1 xy . 0.5. 2. III. 2.0. . y x xy 1 0 2 1 x 2 1 y 2 1 xy x 1; y 1 => xy 1 => xy 1 0. 0.25. Vì BĐT (2) luôn đúng => BĐT (1) luôn đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y). 2 x2 2). 2. 2. 1 y2 1 y 4 x x xy 2 xy 2 2 4 x 2 x. Dấu bằng xảy ra khi (x;y) Kết luận..... 1; 2 ; 1; 2 . 0.25 0.5 0.25 0.25.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> A F E. B. C M. 0.25. IV. 3.0. Vẽ đúng hình và ghi được ghi GT, KL 1) Vì ME// AC ; MF // AB theo hệ quả định lý Ta-Let ta có ME MF BM MC 1 AC AB BC BC 2) Chứng minh tam giác MBE đồng dạng với tam giác CBA suy ra dt ( MBE ) a 2 BM 2 BM a CM b 2 2 dt (CBA) S BC BC S ; Tương tự BC S ( S2 là diện tích tam giác BM CM b a a b S hay ABC) suy ra BC BC S S a b BC 2 1 S a b S 2 a b S BC . Vậy dt(ABC) = (a+b)2 3) Từ phần 2 suy ra dt(AEMF) = 2ab. a b 2. Lại có 2ab Kết luận .... 2. . S2 2 dấu bằng xảy ra khi a = b khi M là trung điểm của BC. 2 2 2 2 Ta có: y 2 xy 3x 2 0 x 2 xy y x 3x 2. 1.0. 0,25 0,5 0,25. (*). 2. ( x y ) ( x 1)( x 2) V. 1.0. 0,75. VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0. 0,5. x 1 0 x 1 y 1 x 2 0 x 2 y 2. 0,25. Vậy có 2 cặp số nguyên ( x; y ) ( 1;1) hoặc ( x; y) ( 2; 2). 0,25. Chú ý : Học sinh giải cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa theo từng phần tương ứng..
<span class='text_page_counter'>(4)</span>
