Phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————-

HỒ THỊ THU THỦY

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————-

HỒ THỊ THU THỦY

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH

Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Tạ Duy Phượng

Hà Nội - 2016



LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung của luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành
và sâu sắc tới PGS. TS. Tạ Duy Phượng, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tơi
hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy giáo, cơ giáo cơng
tác tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đã truyền đạt
kiến thức cho tôi trong suốt q trình học tập tại trường.
Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn tới các bạn đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi nhất để tơi hồn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 04 tháng 12 năm 2016
Học viên

Hồ Thị Thu Thủy

2


Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1. Một số kết quả của giải tích lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Bài toán quy hoạch tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Phương pháp đơn hình giải bài tốn QHTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
16

Chương 2. Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1. Khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2. Phương pháp đơn hình giải bài tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

28

2.2.1. Kiểm tra tính hữu hiệu của cơ sở hiện tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Di chuyển của các đỉnh kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28
32

Chương 3. Phương pháp đơn hình giải bài tốn tối ưu đa mục tiêu
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.1. Bảng đơn hình đa mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.1.1. Tìm nghiệm hữu hiệu cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Chuyển từ một đỉnh hữu hiệu sang các đỉnh kề hữu hiệu . . . . . . . . . . . . .
3.1.3. Tạo ra tất cả các đỉnh nghiệm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4. Thuật tốn đơn hình đối với bài toán đa mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Phương pháp trọng số giải bài tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

37
40
42
45

50

3.2.1. Thuật tốn trọng số giải bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính . . . . . . . . 50
3.2.2. Thuật tốn đơn hình chứa tham số của bài tốn tối ưu hai mục tiêu tuyến
tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3


3.2.3. Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4


LỜI MỞ ĐẦU
Trong mọi lĩnh vực của cuộc sống, ta ln quan tâm tới bài tốn tìm ra phương
án tốt nhất để đạt mục tiêu mong muốn trong những điều kiện ràng buộc nhất định.
Các phương pháp tối ưu là cơng cụ đắc lực giúp người làm quyết định có những giải
pháp tốt nhất về định lượng và định tính. Trong những năm gần đây, các phương
pháp tối ưu hóa ngày càng được áp dụng sâu rộng và hiệu quả vào kinh tế, kỹ thuật,
công nghệ thông tin và các ngành khoa học khác.

Một trong những lớp bài toán tối ưu đầu tiên được nghiên cứu trọn vẹn cả về
lý thuyết lẫn thuật toán là bài toán quy hoạch tuyến tính (QHTT). Quy hoạch tuyến
tính ngay từ khi ra đời (vào cuối năm 30 - 40 của thế kỷ XX) đã chiếm vị trí quan
trọng trong tối ưu hố. Mơ hình tuyến tính là mơ hình rất phổ biến trong thực tế,
đồng thời phụ phuộc tuyến tính là sự phụ thuộc đơn giản và dễ nghiên cứu về mặt
toán học. Hơn nữa, về mặt lý thuyết, chúng ta có thể xấp xỉ với độ chính xác cao
của bài tốn phi tuyến bởi dãy các bài tốn quy hoạch tuyến tính. Nói cách khác,
các thuật tốn giải QHTT là cơng cụ quan trọng trong việc nghiên cứu giải các bài
toán phức tạp hơn.
Bài toán quy hoạch đa mục tiêu cũng đã được phát triển thành một chuyên ngành
toán học, bắt đầu từ những năm 1980. Nhằm giải đáp những câu hỏi đặt ra mà quy
hoạch tuyến tính khơng giải được, chẳng hạn như trong một cơng ty ngồi mục tiêu
nâng cao chất lượng sản phẩm thì cơng ty cũng chú trọng tới các mục tiêu khác như
đa dạng hoá sản phẩm, già thành rẻ, doanh thu lớn,. . . Khách hàng khi chọn mua
hàng thì muốn hàng rẻ, vừa có chất lượng cao, vừa có hình thức đẹp. Tóm lại, mục
đích của bài tốn quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu là tối ưu đồng thời nhiều hàm
mục tiêu độc lập với nhau trên một miền chấp nhận được. Trong quy hoạch đa mục
tiêu, ta phải có khái niệm nghiệm tương ứng. Một phương án chấp nhận, được gọi
là nghiệm hữu hiệu nếu không tồn tại một phương án chấp nhận được khác tốt hơn
nó, ít nhất là theo một mục tiêu, cịn các mục tiêu khác khơng tồi hơn.
Đầu thế kỷ XX, Pareto đã sử dụng khái niệm này khi ông nghiên cứu phúc lợi và
thu nhập của dân chúng. Ông đã lập luận như sau: "Nếu thu nhập của một nhóm dân
cư tăng lên, nhưng thu nhập của một nhóm khác giảm xuống thì khi đó khơng thể
so sánh "phúc lợi" của tồn xã hội. Đó là trường hợp khơng so sánh được. Nhưng có
thể thấy rằng, phúc lợi xã hội sẽ tăng lên nếu thu nhập của ít nhất một nhóm người
nào đó lớn lên, cịn thu nhập của những nhóm khác khơng thấp xuống". Khái niệm
nghiệm hữu hiệu do Pareto nêu ra đã được trình bày dưới ngơn ngữ tốn học và sử
5

dụng trong quy hoạch đa mục tiêu.
Khi k (k ≥ 2) , các hàm mục tiêu đều là hàm tuyến tính và miền ràng buộc là
tập lồi đa diện khác rỗng trong Rk , ta nhận được bài toán quy hoạch tuyến tính đa
mục tiêu. Cho tới nay, có rất nhiều thuật toán đưa ra để xác định một phần hoặc
tồn bộ tập nghiệm hữu hiệu của bài tốn, chẳng hạn: phương pháp vơ hướng hố,
phương pháp tham số, phương pháp đơn hình đa mục tiêu và các dạng cải biên,
phương pháp nón pháp tuyến,... Tuy nhiên, khối lượng tính tốn của các thuật tốn
này tăng nhanh khi kích thước của bài tốn quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (tức
số ràng buộc của miền chấp nhận, số chiều của không gian quyết định và số hàm
mục tiêu) tăng.
Trong những năm gần đây nhiều nhà tốn học đó chuyển sang nghiên cứu giải
quyết bài tốn quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu. Luận văn này chủ yếu trình bày
phương pháp đơn hình giải bài tốn quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong khơng
gian Rk , dựa trên giáo trình "Multiobjective Linear Programming: An Introduction"
của GS. Đinh Thế Lục, Springer International Publishing Switzerland (2016); và
bài giảng "Multiobjective Linear Programming Theory" của Matthias Ehrgott, The
University of Auckland, New Zealand (2007).
Nội dung chính của luận văn là trình bày các phương pháp đơn hình để giải bài
tốn quy hoạch tuyến tính, một trong những phương pháp phổ biến nhất trong tốn
học tính tốn. Ngồi phần Mục lục, Mở đầu và Tài liệu trích dẫn nội dung chính của
luận văn gồm ba chương.
• Chương 1 dành cho việc giới thiệu một số khái niệm cơ bản về giải tích lồi,
trình bày bài tốn quy hoạch tuyến tính (QHTT) và phương pháp đơn hình
giải bài tốn quy hoạch tuyến tính một mục tiêu.
• Chương 2 trình bày bài tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính.
• Chương 3 trình bày phương pháp đơn hình và thuật toán giải bài toán tối ưu
đa mục tiêu tuyến tính; phương pháp trọng số giải bài tốn tối ưu đa mục
tiêu tuyến tính và thuật tốn đơn hình chứa tham số của bài tốn tối ưu tuyến
tính hai mục tiêu.
Hà Nội, ngày 24 tháng 12 năm 2016

Học viên

Hồ Thị Thu Thủy
6


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi, giới thiệu về bài
tốn quy hoạch tuyến tính một mục tiêu. Các kiến thức được tham khảo từ các tài
liệu [1], [2] và [4].

1.1.

Một số kết quả của giải tích lồi

1.1.1.

Tập lồi

Trong suốt luận văn này, Rn biểu thị không gian Euclide n-chiều của cột n -véctơ
thực. Một phần tử x = (x1 , . . . , xn )T ∈ Rn là một véctơ cột của Rn .
Cho hai điểm a = (a1 , . . . , an )T và b = (b1 , . . . , bn )T ∈ Rn . Đường thẳng đi qua hai
điểm a và b là tập có dạng {x ∈ Rn : x = λ a + (1 − λ )b, λ ∈ R} .
Tập [a, b] := {x ∈ Rn : x = λ a + (1 − λ )b, λ ∈ [0, 1]} gọi là đoạn thẳng nối hai
điểm a và b.
Trong Rn siêu phẳng H = {x : a, x = α} với a ∈ Rn \ {0} và α ∈ R chia Rn thành
hai nửa khơng gian đóng
H − = {x : a, x

α} , H + = {x : a, x

α} ,

mỗi nửa không gian này ở về một phía của siêu phẳng và phần chung của chúng
chính là siêu phẳng H. Tương tự, siêu phẳng H cũng chia Rn thành hai nửa không
gian mở
{x : a, x < α} ,
{x : a, x > α} .
7


Định nghĩa 1.1.1.
• Tập Q ⊆ Rn được gọi là tập afin nếu Q chứa trọn cả đường thẳng đi qua hai
điểm bất kỳ của Q, tức là ∀a, b ∈ Q, λ ∈⇒ (1 − λ ) a + λ b ∈ Q.
• Bao afin (affine hull) của một Q ⊆ Rn tập là giao của tất cả các tập afin
chứa Q. Đó là tập afin nhỏ nhất chứa Q, ký hiệu là a f f (Q).
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử Q ⊆ Rn là một tập hợp khác rỗng.
• Tập Q được gọi là tập lồi (convex set) nếu nó chứa trọn đoạn thẳng nối hai
điểm bất kỳ thuộc Q, tức là với mọi x, y ∈ Q và mỗi số thực λ ∈ [0, 1], thì ta
có
λ x + (1 − λ )y ∈ Q. (Hình 1.1)

Hình 1.1: Tập lồi.

• Giả sử x1 , . . . , xk ∈ Rn là k điểm của Q. Khi đó
k

k

x = ∑ λi xi , với λi ≥ 0, ∀i = 1, . . . , k, ∑ λi = 1,
i=1

i=1

được gọi là một tổ hợp lồi của hệ véctơ {x1 , . . . , xk }.
• Cho Q ⊂ Rn là một tập bất kỳ. Bao lồi (convex hull) của Q, ký hiệu là
conv (Q) (Hình 1.2), là giao của tất cả các tập lồi chứa Q. Rõ ràng bao lồi
của Q là tập lồi nhỏ nhất chứa Q.
Một tập Q là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi hữu hạn các điểm của
Q, tức là
k

co (Q) := {

k

∑ λi xi : xi ∈ Q, λi ≥ 0, i = 1, . . . , k ,

i=1

8

∑ λi = 1 và k ∈ N} .

i=1


Hình 1.2: Bao lồi của Q.

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử Q ⊆ Rn là một tập hợp khác rỗng.
• Tập Q được gọi là một nón (cone) nếu với mọi x ∈ Q và mọi λ ≥ 0 ta có
λ x ∈ Q (Hình 1.3).
• Một nón Q được gọi là nón lồi nếu Q đồng thời là một tập lồi.

Hình 1.3: Nón lồi

Nón khơng lồi

• Bao nón (conic hull) của một tập Q, ký hiệu là cone(Q) là
cone (Q) := {ta : a ∈ Q,t ∈ R,t

0} .

• Bao lồi dương của một tập Q, ký hiệu là pos (Q) , là
k

pos (Q) :=

∑ ti ai : ai ∈ Q,ti ∈ R,ti

0, i = 1, . . . , k, k ∈ N

i=1

Định nghĩa 1.1.4.
• Cho tập Q bất kỳ, một điểm x gọi là điểm trong của Q, nếu
∃ε > 0 : B(x, ε) := {x ∈ Rn : x − x0 < ε} ⊂ Q.
Tập hợp các điểm trong của tập Q được ký hiệu là int Q.
9

• Cho một tập con lồi khác rỗng Q ⊆ Rn , điểm x ∈ Q được gọi là điểm trong
tương đối (relative interior point) của Q, nếu
ri (Q) := {x ∈ Q : (x + εBn ) ∩ aff (Q) ⊆ Q, ∃ε > 0} .
• Phần trong tương đối của tập Q, ký hiệu riQ, là tập chứa tất cả các điểm
trong tương đối của Q.

1.1.2.

Tập lồi đa diện

Định nghĩa 1.1.5.
• Một tập được gọi là tập lồi đa diện (convex polyhedron set), nếu nó là giao
của một số hữu hạn các nửa khơng gian đóng.
• Một tập lồi đa diện bị chặn được gọi là đa diện lồi hay gọi tắt là đa diện
(polytope).
• Theo định nghĩa của nửa khơng gian đóng, một tập lồi đa diện là tập nghiệm
của hệ hữu hạn của bất phương trình
ai , x

bi , i = 1, . . . , k,

(1.1.1)

trong đó a1 , . . . , ak là véctơ cột n-chiều và b1 , . . . , bk là các số thực.
Khi bi = 0, i = 1, . . . , k, tập nghiệm của (1.1.1) là một nón và gọi là một
nón lồi đa diện (convex polyhedral cone).
Định nghĩa 1.1.6.
• Giả sử P là một tập lồi đa diện và giả sử

H = {x ∈ Rn : v, x = α} ,
là một siêu phẳng với v khác khơng. Ta nói H là một siêu phẳng tựa (supporting hyperplane) của P tại một điểm x ∈ P nếu giao của H với P chứa x
và P được chứa hồn tồn trong một nửa khơng gian đóng xác định bởi H.
(Hình 1.4).
• Tập khác rỗng H ∩ P được gọi là một diện (hay mặt) của P. Một tập con khác
rỗng F của P là một mặt nếu có một véctơ khác khơng v ∈ Rn mà
v, y ≤ v, x với mọi x ∈ F, y ∈ P.
10


Hình 1.4: Siêu phẳng tựa
Theo quy ước P cũng là một mặt của chính nó và được gọi là mặt chính thường.
Định nghĩa 1.1.7.
• Một điểm x ∈ Q được gọi là điểm cực biên (hay là đỉnh) của Q, nếu không
tồn tại a, b ∈ Q, a = b, λ ∈ (0, 1) sao cho x = λ a + (1 − λ ) b.
• Mặt có chiều bằng 1 được gọi là cạnh biên. Hai đỉnh kề nhau nếu chúng là
điểm cuối của cạnh biên.
• Một cạnh vơ hạn được gọi là một tia cực biên (hay là một diện nửa đường
thẳng). Phương của tia cực biên được gọi là phương cực biên (extreme directions).
Nhận xét 1.1.1. Đỉnh của tập lồi đa diện P là một diện có thứ nguyên bằng 0. Số
điểm cực biên của một tập lồi có thể hữu hạn hoặc vơ hạn. Khi tập lồi có hữu hạn
điểm cực biên thì chúng thường được gọi là các đỉnh. Nếu P là một đa diện lồi thì
tập các phương cực biên bằng rỗng.
Định nghĩa 1.1.8.
• Cho Q là một tập lồi khác rỗng trong Rn . Một véctơ v = 0 được gọi là một
tiệm cận (asymptotic) hoặc hướng lùi xa (recession direction) của Q, nếu
mọi tia xuất phát từ một điểm bất kỳ của Q theo phương v đều nằm trọn
trong Q, tức là v là phương lùi xa khi và chỉ khi
x + tv ∈ Q

với mọi x ∈ Q,t

0.

• Tập tất cả các phương tiệm cận (asymptotic direction) của Q cùng với điểm
gốc được gọi là nón tiệm cận (asymptotic cone) của Q, ký hiệu là Q∞ (Hình
1.6).
11


Hình 1.5: Nón tiệm cận
Nón tiệm cận là một nón lồi. Hiển nhiện nếu Q là một tập bị chặn, thì nón tiệm
cận của Q chỉ gồm duy nhất điểm gốc.
Định nghĩa 1.1.9.
• Cho tập lồi đa diện P xác định bởi hệ bất phương trình (1.1.1) và điểm x của
P. Ta nói rằng véctơ v là véctơ pháp tuyến (normal vector) của p tại x nếu
v, y − x

0

với mọi y ∈ P.

• Tập tất cả các vectơ pháp tuyến của P tại x tạo thành nón lồi, được gọi nón
pháp tuyến (normal cone) của P tại x và ký hiệu NP (x) .
Khi x là điểm trong của P, nón pháp tuyến tại điểm đó là khơng.

Hình 1.6: Nón pháp tuyến

12

1.2.

Bài tốn quy hoạch tuyến tính

1.2.1.

Bài tốn quy hoạch tuyến tính

Bài tốn quy hoạch tuyến tính (QHTT) (Linear Programming) có thể được phát
biểu dưới dạng:
Tìm cực đại
c, x
với điều kiện
Ax = b,
(1.2.2)
x 0,
trong đó A = (ai j )m×n được gọi là ma trận hệ số ràng buộc, b ∈ Rm hay b =
(b1 , . . . , bm )T được gọi là véc tơ vế phải và điểm x ∈ Rn hay x = (x1 , . . . , xn )T được
gọi là các biến cần tối ưu.
Hàm tuyến tính x → c, x là hàm mục tiêu hay hàm giá (cost function).
• Bài tốn (LP) được cho bởi ràng buộc (1.2.2) được gọi là chuẩn tắc (standard
form). Nó được gọi là chính tắc (canonical form) khi ràng buộc (1.2.2) thay
bằng bất đẳng thức Ax ≤ b.
• Vì phương trình tuyến tính có thể được chuyển thành bất phương trình tuyến
tính và ngược lại, nên bất kỳ bài tốn quy hoạch tuyến tính đều có thể đưa
về dạng (LP) ở trên.
• Điểm x ∈ Rn thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán được gọi là điểm chấp
nhận được hay là một phương án. Tập hợp tất cả các phương án, ký hiệu là
X, được gọi là tập ràng buộc hay tập chấp nhận được của bài tốn (LP), tức

là, X tập nghiệm của hệ (1.2.2).
• Nghiệm x¯ ∈ X gọi là tối ưu (optimal) của bài tốn (LP) nếu c, x¯
với mọi x ∈ X.

c, x

• Một ma trận con B cấp k × k gồm các cột của A được gọi là một cơ sở
(basis) nếu nó là khả nghịch. Giả sử B là một cơ sở. Bằng cách sử dụng một
hốn vị ta có thể giả sử rằng B gồm k cột đầu tiên của A và các cột cịn lại
k × (n − k)-ma trận N, được gọi là phần phi cơ sở (non-basis part) của A.

13


• Giả sử x là một véctơ với thành phần xB và xN , trong đó xB là một véctơ
k-chiều và xN là một véctơ (n − k)-chiều thoả mãn
BxB = b,
xN = 0.
• Nếu xB là một véctơ dương, khi đó x là một nghiệm của (1.2.2) và được gọi
là một nghiệm cơ sở chấp nhận được (feasible basic solution) (gắn với cơ sở
B). Nếu ngồi xB khơng có thành phần bằng khơng, thì nó được gọi là khơng
suy biến (non-degenerate); nếu ngược lại thì gọi là suy biến (degenerate).
• Cho B là cơ sở chấp nhận được, ta gọi nó là cơ sở tối ưu (optimal basic) nếu
nghiệm cơ sở tương ứng là nghiệm tối ưu của bài toán (LP). Ta sẽ phân rã
véctơ giá c thành véctơ cơ sở cB và véctơ phi cơ sở cN .
Véctơ
T
c¯N = cN − B−1 N cB ,
được gọi là véctơ giá rút gọn (reduced cost vector).
Định lý 1.2.1. (Định lí 3.1.1 [4] trang 48-49)

Cho X khác rỗng. Bốn điều kiện sau là tương đương.
(i) (LP) có nghiệm tối ưu.
(ii) (LP) có nghiệm tối ưu đạt tại đỉnh.
(iii) Hàm giá là không dương trên mỗi phương tiệm cận của X.
(iv) Hàm giá là bị chặn trên trên X.
Chứng minh. (i) ⇒ (iv). Hiển nhiên.
(iv) ⇒ (iii). Giả sử α là cận trên của hàm giá trên X và giả sử u là phương tiệm cận
khơng bằng 0 của X nếu nó tồn tại. Vì X = 0, nên có thể chọn điểm x bất kỳ. Do u
là phương tiệm cận nên với mỗi số dương t, điểm x + tu thuộc X. Do đó
c, x + tu = c, x + t c, u

α.

Bất đẳng thức này đúng với mọi dương t, suy ra c, u
0.
(iii) ⇒ (ii). Giả sử v1 , ..., v p là tập các đỉnh và giả sử u1 , ..., uq là tập hợp các
tia cực biên của đa diện X. Chú ý răng, tập hợp các tia cực biên có thể là rỗng. Chọn
đỉnh vi0 sao cho
c, vi0 = max c, v1 , ..., c, v p .
14


Giả sử x là điểm bất kỳ trong X. Theo Định lý 2.4.9 [4], có các số khơng âm ti và s j
p

p

q

i=1

i=1

j=1

với ∑ ti = 1, sao cho x = ∑ ti vi + ∑ s j u j .
Do đó

q

p

c, x = ∑ ti c, v + ∑ s j c, u j ≤ c, vi0 ,
i

i=1

j=1

trong đó đỉnh vi0 là nghiệm tối ưu. Ta có điều phải chứng minh.

✷

Định lý 1.2.2. (Định lý 3.1.4 [4] trang 52-53)
Giả sử B là cơ sở chấp nhận được và x¯ nghiệm cơ sở chấp nhận được tương ứng với
B. Khi đó ta có các khẳng định sau
(i) Nếu véctơ giá rút gọn c¯N là âm, thì B là tối ưu.
(ii) Khi B là khơng suy biến, nó là tối ưu nếu và chỉ nếu véctơ giá rút gọn c¯N là âm.
Chứng minh. Bằng cách đổi biến thích hợp, ta có ma trận A là được phân rã thành
B N , tập chỉ số cơ sở là {1, ...., m} và tập chỉ số phi cơ sở là {m + 1, ..., n} .

(i) Giả sử x là nghiệm chấp nhận được bất kỳ của bài tốn. Khi đó x là nghiệm của
hệ Ax = b, cơ sở xB của x tương ứng với cột cơ sở của B là các tọa độ phi cơ sở của
nó qua
xB = B−1 b − B−1 NxN = x¯B − B−1 NxN .
(1.2.3)
Giá trị của hàm giá tại x là
c, x = cB , xB + cN , xN
= cB , B−1 b − B−1 NxN + cN , xN
= cB , x¯B + c¯N , xN
= c, x¯ + c¯N , xN .
Vì xN là dương và giả thiết c¯N là âm, nên c, x
c, x¯ . Vì x là nghiệm chấp nhận
được tùy ý của bài toán, ta suy ra x¯ là nghiệm tối ưu và B là một cơ sở tối ưu.
(ii) Giả sử ngược lại, véctơ giá không âm, tức là tồn tại c¯ j > 0, với một chỉ số phi
cơ sở j.
Ta tìm nghiệm xˆ ở dạng đặc biệt:
xˆ =

xˆB
xˆN

với xˆN = x¯N + te j = te j ,

trong đó e j là tọa độ phi cơ sở của véctơ đơn vị thứ j trong Rn và t là số dương được
chọn sao cho xˆ là tối ưu.
15


Vì xˆN là dương, theo (1.2.3), xˆ là tối ưu, tức là
xˆB = x¯B − tB−1 Ne j ≥ 0.

Cơ sở B không suy biến, véctơ x¯B luôn dương, do đó xˆB là dương, trong đó t > 0 đủ
nhỏ. Cố định giá trị t và tính hàm giá tại điểm đó bằng cách sử dụng (1.2.3):
c, xˆ = cB , xˆB + cN , xˆN
= cB , xB − t cB , B−1 Ne j + t cN , e j
= cB , x¯B + t c¯ j > cB , x¯B ,
mâu thuẫn với tính tối ưu của x.
¯

1.2.2.

✷

Phương pháp đơn hình giải bài tốn QHTT

Ý tưởng của thuật tốn đơn hình mơ tả như sau: Giả thiết rằng B0 là cơ sở chấp
nhận được.
Bước 1. Xuất phát từ một đỉnh chấp nhận được x0 của miền ràng buộc, ta có các tọa
độ là xB0 = (B0 )−1 b và xN0 = 0. Bước 2. Đặt k := k + 1. Giả sử Bk là cơ sở chấp nhận
được hiện tại và tương ứng với đỉnh cơ sở xk với hai tọa độ xBk và xNk . Tính
b¯ = B−1
k b,
c¯N = cN − B−1
k N

T

cB .

Bước 3. Nếu c¯N 0, thì dừng lại. Đỉnh hiện tại xk là tối ưu.
Ngược lại đến Bước 4.

Bước 4. Giả sử s là chỉ số mà c¯s > 0. Chọn cột as của ma trận A và tính a¯s = B−1
k as .
Nếu véctơ này là âm, thì dừng lại. Bài tốn là có giá trị bằng +∞.
Ngược lại tìm chỉ số l sao cho
xˆs :=

b¯ i
b¯ l
= min
: a¯is > 0 .
a¯ls
a¯is

Bước 5. Lập một cơ sở chấp nhận được mới Bk+1 từ Bk bằng cách gạch đi cột al
và thay vào cột as . Đỉnh tương ứng với xk+1 nhận được từ xk bằng cách đặt biến
xs = xˆs > 0 và biến xl = 0.
Bước 6. Tính ma trận nghịch đảo B−1
k+1 của cơ sở mới Bk+1 và quay về Bước 2.

16


Phần tử a¯ls nhận được ở trên từ ma trận A được gọi là phần tử xoay (pivot),
cột a¯s = (a¯1s , ..., a¯ms )T và hàng a¯l = (a¯l1 , ..., a¯ln ) được gọi là hàng xoay (pivotal
column) và cột xoay (pivotal row) của thuật toán. Do số đỉnh của miền ràng buộc
là hữu hạn, nên nếu bài tốn có nghiệm, sau hữu hạn bước ta sẽ tìm được đỉnh tối ưu.
Tìm cơ sở chấp nhận được
Ta xét ràng buộc của bài toán (LP)
Ax = b và x

0.

Bằng cách nhân cả hai vế của đẳng thức với (−1) khi vế bên phải là véctơ b chỉ
có tọa độ không âm. Hơn nữa, khi ta thấy tập ràng buộc khác rỗng, ta có thể bỏ đi
một số phương trình sao cho ràng buộc cịn lại khơng có phương trình thừa và ta có
cùng tập nghiệm. Từ đó, ta giả sử có hai điều kiện đặt làm hạn chế sau: (1) véctơ b
là dương, và (2) khơng có đẳng thức thừa.
Vì việc chọn cơ sở chấp nhận được để bắt đầu thuật tốn đơn hình là khơng rõ ràng,
ta đưa vào một véctơ của biến giả y = (y1 , ..., ym )T và xét bài tốn tuyến tính
Tìm cực đại
y1 + ... + ym
với điều kiện

Ax + y = b và x

(1.2.4)
0, y

0.

Mệnh đề 1.2.1. (Mệnh đề 3.3.2 [4] trang 69) Bài tốn (LP) có nghiệm chấp nhận
được nếu và chỉ nếu bài tốn (1.2.4) có giá trị cực tiểu bằng 0 với y = 0.
Chứng minh. Giả sử rằng x là nghiệm chấp nhận được của (LP). Khi đó (x, y)
với y = 0 là nghiệm chấp nhận được của (1.2.4), và giá trị cực tiểu là bằng không.
Ngược lại, nếu giá trị tối ưu của (1.2.4) là bằng khơng, thì tại nghiệm tối ưu (x, y)
ta có y = 0 suy ra x là nghiệm chấp nhận được của (LP).
✷
Tìm ma trận ngược
Ta thấy ma trận cơ sở Bk và Bk+1 khác nhau duy nhất tại một cột, nghĩa là chúng
kề nhau. Điều này giúp ta tính ma trận nghịch đảo của Bk+1 từ ma trận nghịch đảo

17


của Bk . Kí hiệu D là m × m-ma trận, gọi là ma trận đổi cơ sở (matrix for change of
basic), là ma trận đơn vị trừ cột thứ l bằng véctơ
−

a¯1s
1
a¯ms
, ...,
, ..., −
a¯ls
a¯ls
a¯ls

T

.

Cụ thể là


1 ... −a¯1s /a¯ls

D =  0 ...
1/a¯ls
0 ... −a¯ms /a¯ls


... 0

... 0  .
... 1

−1
Mệnh đề 1.2.2. Với ma trận D ở trên, ta có B−1
k+1 = DBk .
Đặc biệt, nếu cơ sở thứ nhất là ma trận đơn vị, thì B−1
k = Dk ... D1 trong đó D là ma
trận biến đổi.

Chứng minh. Giả sử β1 , ..., βm là các cột của ma trận Bk . Khi đó các cột của
Bk+1 là như nhau, với cột thứ l thay bằng cột as của ma trận A. Bằng cách nhân
Bk+1 với D ta được ma trận có các cột đúng với Bk ngoại trừ cột thứ l bằng
1
(Bk (−a¯s ) + as ) + βl .
a¯ls
Theo định nghĩa, a¯s = B−1
k as , ta suy ra Bk (−a¯s ) + as = 0 và cột thứ l của tích Bk+1 D
bằng βl . Vì vậy, Bk+1 D = Bk và suy ra điều phải chứng minh.
✷
Bảng đơn hình
Để giải bài tốn (LP):
Tìm cực đại
c, x
với điều kiện
Ax = b và x 0,
ta giả sử rằng b là véctơ dương và ma trận A được viết dưới dạng (B N) , trong đó B

là cơ sở chấp nhận được. Để rút gọn, véctơ giá c được đặt hàng đầu của bảng.
Bảng đơn hình ban đầu có dạng, kí hiệu T
cT =

cTB

cTN

0

A=

B

N

b

Bằng cách nhân vào bên phải bảng T bởi ma trận mở rộng S
18


1

−cTB B−1

0

B−1

ta có bảng mới T ∗ như sau
0

c¯TN = cTN − cTB B−1 N

−cTB B−1 b

I

N¯ = B−1 N

B−1 b

Bảng T ∗ chứa tồn bộ thơng tin cần thiết cho thuật tốn đơn hình.
• Nghiệm cơ sở tương ứng được tính là: x =

xB
xN

với xB = B−1 b, xN = 0.

• Giá trị của hàm mục tiêu tại nghiệm cơ sở này bằng c, x = (cB )T B−1 b, trái
dấu với giá trị đã cho trong cột cuối ở góc trên bên phải.
• Véctơ giá rút gọn c¯N được tính nằm phía trên ở giữa bảng. Nếu tồn bộ tọa
độ véctơ này là âm, thì đỉnh cơ sở hiện tại là tối ưu.
• Nếu một vài tọa độ của véctơ giá rút gọn là dương, chọn chỉ số s với c¯s lớn
nhất. Biến xs sẽ là cơ sở. Một biến xl với chỉ số l thoả mãn
b¯ l
b¯ i
= min

: a¯is > 0
a¯ls
a¯is

sẽ là cơ sở.

Bảng đơn hình T ∗ thu được bằng cách nhân vào bên phải ma trận T với ma trận S
1

0

1

−c¯s /a¯ls

0

0

0
..
.

1
..
.

···

−a¯1s /a¯ls

···

···

1/a¯ls

···

0
..
.

0

0

···

−a¯ms /a¯ls

···

1

Ta tìm ma trận biến đổi D với phần dưới của bảng trên. Phần tử xoay của thuật tốn
đơn hình là phần tử a¯ls .

19

Ví dụ 1.2.1 Xét bài tốn
Tìm cực đại
với điều kiện

5x1 + 4x2 + 6x3

x1 − x2 + x3

20

3x1 + 2x2 + 4x3

42

3x1 + 2x2

30

x1 , x2 , x3

0.

Bài toán tương đương với bài tốn dạng chuẩn
Tìm cực đại
5x1 + 4x2 + 6x3
với điều kiện
x1 − x2 + x3 + x4
3x1 + 2x2 + 4x3
3x1 + 2x2

= 20

+ x5

= 42

+ x6 = 30

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6

0.

Bảng đơn hình ban đầu được cho T1 là
c

5

4

6

0

0

0

0

x4

1

−1

1

1

0

0

20

x5

3

2

4

0

1

0

42

x6

3

2

0

0

0

1

30

Chọn cơ sở B = I là ma trận đơn vị tương ứng với biến cơ sở x4 , x5 và x6 . Khi đó tọa
độ cơ sở của véctơ giá cB là bằng không, véctơ giá rút gọn của cơ sở này là


5
T


c¯N = cN − B−1 N cB = cN =  4  .
6
Theo Định lý 1.2.2, cơ sở này không tối ưu. Để chuyển đến nghiệm tốt hơn ta đổi
cơ sở bằng cách đưa biến phi cơ sở x3 vào biến cơ sở bởi véctơ giá rút gọn lớn nhất

20


c¯3 = 6. Ta có

1


a¯3 = B−1 a3 = a3 =  4  ,
0
b¯ i
20 42
tˆ = min
: a¯i3 > 0 = min
,
a¯i3
1 4


=

42
.
4

Ta thấy rằng tˆ nhận được tại i = 42
4 tương ứng với biến cơ sở x3 . Do đó, đưa x3 vào
cơ sở và đưa x5 ra khỏi cơ sở. Phần tử xoay là phần tử a¯23 = 4 với hàng xoay l = 2
và cột xoay s = 3. Ma trận biến đổi D1 và ma trận mở rộng S1 là



1 −1/4 0


D1 =  0
1/4 0 
0
0
1
và
1

0

−3/2

0

0

1

−1/4

0

0

0

1/4

0

0

0

0

1

Bảng mới T2 nhận được bằng tích số S1 T1 và được biểu thị dưới dạng
c

1/2

1

0

0

−3/2

0

−63

x4

1/4

−3/2

0

1

−1/4

0

19/2

x3

3/4

1/2

1

0

1/4

0

21/2

x6

3

2

0

0

0

1

30



Biến cơ sở hiện tại là x3 , x4 và x6 . Véctơ giá rút gọn là c¯N = 


1/2

1
 và theo

−3/2
Định lý 1.2.2, cơ sở hiện tại là không tối ưu. Biến phi cơ sở với giá rút gọn dương

là x1 , x2 (véctơ giá rút gọn c¯1 = 1/2, c¯2 = 1). Ta lại đưa biến phi cơ sở x2 vào biến
21


cơ sở bởi véctơ giá rút gọn lớn nhất c¯2 = 1. Ta có


−3/2


a¯2 = B−1 a2 =  1/2  ,
2
b¯ i
30 21/2
tˆ = min
: a¯i2 > 0 = min
,
a¯i2
2 1/2

= {15, 21} = 15.

Giá trị tˆ nhận được tại i = 15 tương ứng với biến cơ sở x6 . Do đó, đưa x2 vào cơ sở
và đưa x6 ra khỏi cơ sở. Phần tử xoay là phần tử a¯32 = 2 với hàng xoay l = 3 và cột
xoay s = 2. Ma trận S2 là
1

0

0

−1/2

0

1

0

3/4

0

0

1

−1/4

0

0

0

1/2

Bảng mới T3 nhận được bằng tích số S2 T2 và được biểu thị dưới dạng
−1

0

0

0

−3/2

−1/2

−78

x4

5/2

0

0

1

−1/4

3/4

32

x3

0

0

1

0

1/4

−1/4

3

x2

3/2

1

0

0

01

1/2

15



−1


Biến cơ sở hiện tại là x2 , x3 và x4 . Véctơ giá rút gọn là c¯N =  −3/2  và theo
−1/2
Định lý 1.2.2, cơ sở hiện tại tối ưu. Ta nhận được ngay x1 = 0, x2 = 15 và x3 = 3.
Giá trị tối ưu là 78 (trái dấu với số ở góc trên bên phải của bảng). Kết thúc thuật
toán.

22