20 đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 có đáp án chi tiết (bản word)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 - 2019
MƠN TỐN LỚP 6
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (3 điểm)
Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1; 2; 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng
một lần và chỉ một lần.
Bài 2: (4 điểm) Tìm x (x ∈ N)
a) 5x = 125;
b) 32x = 81 ;
c) 52x-3 – 2.52 = 52.3
Bài 3: (4 điểm) Cho M = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 22017 + 22018
a) Tính các tổng M
b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3
Bài 4: (3 điểm) Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số tận cùng là chữ số 4. Biết rằng khi chuyển
chữ số 4 đó lên đầu cịn các chữ số khác giữ nguyên thì ta được một số mới lớn gấp 4 lần số cũ.
Bài 5: (6 điểm)
a) Cho 40 điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ
được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng?
b) Cho 40 điểm trong đó có đúng 10 điểm thẳng hàng, ngồi ra khơng có ba điểm nào
thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu
đường thẳng?
c) Cho n điểm (n ∈ N). Trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta
một đường thẳng. Biết rằng tất cả có 105 đường thẳng. Tìm n ?


ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 - 2019
MƠN TỐN 6

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài

Nội dung

Biểu điểm

* Trường hợp không dùng lũy thừa:
Số lớn nhất có thể viết được là: 321

0,5 điểm

*Trường hợp dùng lũy thừa:(Ta bỏ qua lũy thừa có cơ số và số mũ là 1)
- Xét các lũy thừa mà số mũ có một chữ số: 132; 312; 123; 213

1điểm

So sánh 213 với 312 Ta có: 213 > 312 (vì 213 = 9261; 312 = 961)

1
(3 điểm)

- Xét các lũy thừa mà số mũ có hai chữ số: 213; 231; 312; 321
So sánh: 321 với 231 Ta có: 321 = 3. 320 = 3 (32)10 = 3.910
231 = 2.230 = 2.(23)10 = 2.810

1 điểm

Từ đó suy ra: 321 > 231

- So sánh 321 với 213 Ta có: 321 > 39 = (33)3 = 273 > 213

0,5 điểm

Vậy số lớn nhất là : 321

2

a) 5x = 125

(4 điểm)

5x = 53

0,5 điểm

Vậy x = 3

0,5 điểm

b) 32x = 81

0,5 điểm

32x = 34

0,5 điểm

2x = 4 . Vậy x = 2

0,5 điểm

c) 52x-3 – 2.52 = 52.3
52x-3 = 52.3 + 2.52

0,5 điểm

52x-3 = 53

0,5 điểm

2x – 3 = 3

0,25 điểm

x = 3 Vậy x = 3

0,25 điểm


Cho M = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 22017 + 22018
a) Tính các tổng M
Ta có: 2M = 22 + 23 + 24 + . . . + 22018 + 22019

1 điểm

Lấy 2M – M = 22019 - 2 Vậy M = 22019 - 2

1 điểm

3
(4 điểm)

b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3
M = ( 2 + 22 ) +( 23 + 24 ) + ( 25 + 26 )+ . . . + ( 22017 + 22018)

0,75 điểm

M = 2(1 + 2) +23(1 + 2 ) + 25(1 + 2)+ . . . + 22017(1 + 2)

0,5 điểm

M = 3( 2 + 23 + 25 + . . . + 22017)

0,5 điểm

Vậy

0,25 điểm

M M3

Gọi số cần tìm là abcde4 , ta có:
Đặt abcde = x

abcde4 .4 = 4abcde

nên abcde4 = x 4

0,25 điểm

0,25 điểm

4

Ta có: x 4 . 4 = 400 000 + x

0,75 điểm

(3 điểm)

(10x + 4) . 4 = 400 000 + x

0,5 điểm

40x + 16 = 400 000 + x

0,5 điểm

39x

0,5 điểm

x

5
(6 điểm)

= 399984
= 10256

Vậy số phải tìm là : 102564

0,25 điểm

a) Kẻ từ 1 điểm bất kì với các điểm cịn lại được : 39 đường thẳng

0,75 điểm

Làm như vậy với 40 điểm ta được : 39.40 = 1560 (đường thẳng)

0,5 điểm

Nhưng mỗi đường thẳng được tính hai lần

0,25 điểm

Do vậy số đường thẳng thực sự là : 1560 : 2 = 780 (đường thẳng)

0,75 điểm


b) Nếu 40 điểm khơng có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được 780
đường thẳng
* Với 10 điểm, khơng có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được:

0,75 điểm

10. 9: 2 = 45 (đường thẳng)
* Còn nếu 10 điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng
Do vậy số đường thẳng bị giảm đi là: 45 – 1 = 44 (đường thẳng)

Số đường thẳng cần tìm là : 780 – 44 = 736 (đường thẳng)

c) Ta có: n.(n – 1): 2 = 105

0,75 điểm
0,75 điểm

0,5 điểm

n.(n – 1)

= 105 .2

0,25 điểm

n.(n – 1)

= 210

0,25 điểm

n.(n – 1)

= 15. 14

0,25 điểm

Vậy n = 15

0,25 điểm

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN TĨNH GIA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2017-2018
Mơn Tốn - Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4.0 điểm) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí :
a) (-2013).2014+1007.26
b)

 1313 10   130 1515 
+
−

÷− 
÷
 1414 160   140 1616 

Câu 2: (6.0 điểm)
a) Tìm x, y, z biết: x- y = 2011 ; y-z = -2012 ; z+x = 2013
b) Tìm hai số tự nhiên a và b biết : BCNN(a,b)=180; ƯCLN(a,b) = 12

4n − 1
cógiátrịnguyê
n.
2n + 3

n sốA=
c) Tìm n∈ Ζ đểphâ
Câu 3: (4.0 điểm)

Một hiệu sách có năm hộp bút bi và bút chì. Mỗi hộp chỉ đựng một loại bút. Hộp 1: 78 chiếc; Hộp 2: 80
chiếc; Hộp 3: 82 chiếc; Hộp 4: 114 chiếc; Hộp 5: 128 chiếc. Sau khi bán một hộp bút chì thì số bút bi cịn lại gấp
bốn lần số bút chì cịn lại. Hãy cho biết lúc đầu hộp nào đựng bút bi, hộp nào đựng bút chì?
Câu 4: (4.0 điểm) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA =
7cm; OD = 3cm ; BC = 8cm và AC =3BD.
a) Tính độ dài AC.
b) Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD.
Câu 5: (2.0 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho sau khi viết tiếp số đó vào sau số 2014 ta được số chia hết
cho 101.

(Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: ........................................................................... SBD: ...................
HƯỚNG DẪN CHẤM Hướng dẫn chấm gồm 03 trang

Câu

Ý
a
(2.0đ)

Lời giải
(-2013).2014+1007.26
= (-2013).2014+2014.13
= 2014.(-2013+13)
= 2014.(-2000)

Điểm
0.5
0.5
0.5


= - 4028000
1
(4.0đ
)

b
(2.0đ)

a
(2.0đ)

2
(6.0đ
)

b
(2.0đ)

c
(2.0đ)

 1313 10   130 1515 
+

−

÷− 
÷
 1414 160   140 1616 
 13 1   13 15 
=  + ÷−  − ÷
 14 16   14 16 
 13 13   15 1 
=  − ÷+  + ÷
 14 14   16 16 
=1

Từ đề bài ta có:
(x-y)+(y-z)+(z+x) = 2011+(-2012)+2013
⇒ 2x = 2012 ⇒ x = 1006
Vì x- y = 2011 ⇒ y = x - 2011 = 1006 - 2011 = -1005
Vì x+z = 2013 ⇒ z = 2013 - x = 2013 - 1006 = 1007
Vậy: x = 1006 ; y = -1005 ; z = 1007
Ta có: ab = 180.12 = 2160
Giả sử a ≤ b. Vì ƯCLN(a,b)= 12 nên a=12m, b=12n với (m,n)=1 và m ≤ n
Suy ra : 12m.12n = 2160
⇒ m.n = 15. Ta có bảng sau:
m
n
a
b
1
15
12

180
3
5
36
60

4n − 1 2(2n + 3)
7
7
A=
=
−
= 2−
2n + 3
2n + 3 2n + 3
2n + 3
A cógiátrịnguyê
n ⇔ 2n+3 ∈ Ư(7) ={± 1; ± 7}
Ta cóbả
ng sau:
2n+3
1
-1
7
-7
n
-1
-2
2
-5

Tổng số bút bi và bút chì lúc đầu là: 78+ 80+ 82+ 114+ 128 = 482

0.5

1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5

0.5
0.5
1.0
0.5

(chiếc)
Vì số bút bi cịn lại gấp bốn lần số bút chì cịn lại nên tổng số bút bi và
và bút chì còn lại là số chia hết cho 5, mà 482 chia cho 5 dư 2 nên hộp
3
(4.0đ
)

1.25

bút chì bán đi có số lượng chia cho 5 dư 2.
Trong các số 78; 80; 82; 114; 128 chỉ có 82 chia cho 5 dư 2 .
Vậy hộp bút chì bán đi là Hộp 3: 82 chiếc.
Số bút bi và bút chì cịn lại là : 482 - 82= 400 (chiếc)
Số bút chì còn lại : 400:5 = 80(chiếc)
Vậy: Các hộp đựng bút chì là: Hộp 2 ; Hộp 3 .
Các hộp đựng bút bi là: Hộp 1; Hộp 4; Hộp 5

0.75
0.5
0.5
0.25
0.25


a x
(3.0đ)

4
(4.0đ
)

b
(1.0đ)

D

O

3x

x

A

B

C

Đặt BD = x (cm) ⇒ AC = 3x (cm)
Vì D nằm giữa O và A (Do OD < OA) nên: OD+DA = OA ⇒ DA = 4
⇒ DB+BA = 4 hay x + BA = 4 (1)
Vì A nằm giữa B và C nên: BA + AC = BC hay 3x + BA = 8 (2)
Từ (1) và (2) ta có: (3x + BA) - (x + BA) = 8-4
⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
⇒ AC = 3.2 = 6 (cm)
Theo (1) ta có: x + BA = 4 mà x = 2 ⇒ BA = 2
Mà BD = x = 2
⇒ BD = BA (=2) ⇒ B là trung điểm của đoạn thẳng AD

0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25

Giả sử n có k chữ số (k ≥ 1)
Ta có 2014=19.101 + 95, do đó:

0.25
0.25
0.25
0.25

2014n = 2014.10k + n = 19.101.10k + 95.10k + n

5
(2.0đ
)

Suy ra: 2014n M101 khi và chỉ khi 95.10k + n M101
k
101 khi và chỉ khi
Với k= 1 thì 95.10 + n = 950 + n =101.9 + ( 41 + n ) M
41 + nM
101 nhưng n có một chữ số nên 41 + n ≤ 41 + 9 < 101 , nên khơng có
số n thỏa mãn đầu bài.
k
101 suy ra 6 + n M
101 ,
Với k = 2 thì 95.10 + n = 9500 + n =101.94 + ( 6 + n ) M
và số n nhỏ nhất được xác định bởi 6 + n = 101. Suy ra n = 95
Đáp số: n = 95 thỏa mãn đề ra.

0.5
0.5

0.5
0.5

Chú ý:
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như
hướng dẫn quy định.
2) Bài hình khơng vẽ hình thì khơng chấm điểm.

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016

PHỊNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THIỆU HĨA

Mơn: Tốn 6
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (4,0 điểm).



1 

1 





1 

 

1 


1 


1 


a) Tính: A = 1 − ÷1 − ÷1 − ÷... 1 −
÷1 −
÷1 −
÷
2
3
4
2014
2015
2016
b) Tìm x biết:
Bài 2 (3,0 điểm).

x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 16
+
+
+
+
+

=
12
20
30
42
56
72
9


a) Tìm các chữ số x; y để B = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
b) Cho a và b là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau.
Biết BCNN(a, b) = 630 và ƯCLN(a, b) = 18. Tìm hai số a và b.
Bài 3 (3,0 điểm).
a) Cho p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng p - 1 và p + 1 khơng là số chính
phương.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân số

ab
a+b

( ab là số có 2 chữ số).

Bài 4 (4,0 điểm).
2
a) Tìm số tự nhiên x, y sao cho: ( 2x + 1) ( y − 5 ) = 12 .

b) Hai số 22015 và 52015 viết trong hệ thập phân và viết liền nhau tạo thành một số. Hỏi số đó có
bao nhiêu chữ số?
Bài 5 (5,0 điểm).

Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng d. Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C sao cho AB = 6cm,
AC= 2cm.
a) Tính BC.

·
·
b) Giả sử cho OAB
.
= 80o , tính OAC
c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2015 điểm phân biệt (khác A, B, C). Hỏi có bao nhiêu góc có
đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d.
Bài 6 (1,0 điểm).
Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc = ab × ac × 7 .
------HẾT------

Họ và tên học sinh:……………………………Số báo danh: …………..…………

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 – NĂM HỌC 2015-2016
Câu
1

Nội dung
1 
1 
1 
 1  1  1  
a) Tính: A = 1 − ÷1 − ÷1 − ÷... 1 −
÷1 −
÷1 −
÷

 2  3  4   2014  2015  2016 
x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 16
+
+
+
+
+
=
b) Tìm x biết:
12
20
30
42
56
72
9

Điểm


a) Tính:
1 
1 
1 
 1  1  1  
A =  1 − ÷ 1 − ÷1 − ÷... 1 −
÷1 −
÷1 −
÷
 2  3  4   2014  2015  2016 

 2 − 1  3 − 1  4 − 1   2014 − 1   2015 − 1  2016 − 1 
=
÷
÷
÷... 
÷
÷
÷
 2  3  4   2014   2015  2016 
1.2.3...2013.2014.2015
1
=
=
2.3.4.5...2014.2015.2016 2016
1
Vậy A =
2016

1
0,75
0,25

b) Tìm x

x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 16
+
+
+
+
+

=
12
20
30
42
56
72
9
1
1
1
1
1  16
1
(x − 2)  +
+ +
+ + ÷=
 12 20 30 42 56 72  9
1
1
1
1
1  16
 1
(x − 2) 
+
+
+
+
+

÷=
 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9  9
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  16
(x − 2)  − + − + − + − + − + − ÷ =
3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9

 1 1  16
(x − 2)  − ÷ =
3 9 9
2
16
(x − 2) =
9
9
2(x − 2) = 16
x−2=8
x = 10
Vậy x = 10

2

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

a) Tìm các chữ số x; y để B = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
b) Cho a và b là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau.
Biết BCNN(a, b) = 630 và ƯCLN(a, b) =18. Tìm hai số a và b.
a) Do B = x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1. Ta có B = x1831

0,5

Vì B = x1831 chia cho 9 dư 1 ⇒ x1831 - 1 M9 ⇒ x1830 M9

0,25

⇔ x + 1 + 8 + 3 + 0 M9 ⇔ x + 3 M9, mà x là chữ số nên x = 6

0,5
0,25

Vậy x = 6; y = 1
b) ƯCLN ( a, b ) = 18 nên a = 18x; b = 18y và x, y nguyên tố cùng nhau

0,25

+) a.b= ƯCLN(a, b) x BCNN(a, b) = 18.630
⇒18x.18y = 18.630 ⇒ xy = 630 : 18 = 35
+) Vì a, b là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau nên x, y cũng là
hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau:

0,5


⇒ x.y = 35 = 5.7 ⇒ x = 5; y = 7 hoặc x = 7; y = 5

0,5

Vậy a = 90; b = 126 hoặc a = 126; b = 90
a) Cho p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng p - 1 và
p + 1 khơng là số chính phương.

0,25

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân số

ab
a+b

( ab là số có 2 chữ số).

a) Nhận xét: Một số chính phương khi chia cho 3 và 4 thì chỉ có thể dư 0 hoặc 1
+) Từ giả thiết, suy ra p chia hết cho 2, 3 nhưng không chia hết cho 4

3 suy ra p – 1 chia cho 3 dư 2 ⇒ p – 1 khơng là số chính
+) Như vậy, vì p M
phương;
+) Vì p M2 và p khơng chia hết cho 4 suy ra p chia cho 4 dư 2 ⇒ p + 1 chia cho 4
3

dư 3 nên p + 1 cũng khơng là số chính phương.
Vậy rằng p - 1 và p + 1 không là số chính phương.
b) Nhận xét:

ab là số có 2 chữ số suy ra 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤9

ab
10a + b
9a
9
=
= 1+
= 1+
Ta có a + b
b
a+b
a+b
1+
a

( vì a ≠ 0 )

b
ab
nhỏ nhất ⇔ lớn nhất ⇔ b = 9; a = 1
a
a+b
19
Vậy giá trị nhỏ nhất của phân số là:
10

0,25
0,25
0,25
0,5

0,25
0,25
0,5

Phân số

0,5
0,25

2
a) Tìm số tự nhiên x, y sao cho: ( 2x + 1) ( y − 5 ) = 12 .

b) Hai số 22015 và 52015 viết trong hệ thập phân và viết liền nhau tạo thành một
số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số?
a) Theo giả thiết, suy ra 2x + 1 là số tự nhiên lẻ và y2 – 5 cũng là số tự nhiên.
⇒ ( 2x + 1) ( y 2 − 5 ) = 12 = 3.4 = 1.12
4

5

0,5
0,25

2

TH1: 2x + 1 = 3 và y – 5 = 4. Giải tìm được x = 1 và y = 3
TH2: 2x + 1 = 1 và y2 – 5 = 12. Tìm được x = 0 và y2 = 17 ( vô lý)
Vậy x = 1 và y = 3
b) Giả sử 22015 có m chữ số và 52015 có n chữ số (m, n nguyên dương)

0,5
0,5
0,25

Ta có 10m −1 < 22015 < 10m ; 10n −1 < 52015 < 10n suy ra 10m + n − 2 < 102015 < 10m + n
Do đó m + n – 2 < 2015 < m + n hay 2015 < m + n < 2017 ⇒ m + n = 2016

1

Vậy số tạo thành có 2016 chữ số
Cho điểm O nằm ngồi đường thẳng d. Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C
sao cho AB = 6cm, AC= 2cm.

1


a) Tính BC.

·
·
b) Giả sử cho OAB
.
= 80o , tính OAC
c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2015 điểm phân biệt (khác A, B, C). Hỏi có bao
nhiêu góc có đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d.

0,25
0,25

a) Tính BC.

Vì A, B, C thuộc đường thẳng d và AB > AC nên xảy ra 2 trường hợp
TH1: C nằm giữa A và B (hình 1)
⇒ AB = AC + CB ⇒ BC = AB – AC = 6cm – 2cm = 4cm
TH2: A nằm giữa B và C (hình 2)
⇒ BC = AC + AB = 6cm + 2cm = 8cm
Vậy BC = 4cm hoặc BC = 8cm
·
b) Tính OAC
.

0,75
0,75
0,25

TH1: C nằm giữa A và B (hình 1)

·
·
Tia AC và tia AB trùng nhau ⇒OAC
= OAB
= 80o

0,75

TH2: A nằm giữa B và C (hình 2)

·
·
·
·

Tia AC và tia AB đối nhau ⇒OAC;
là hai góc kề bù ⇒OAC
OAB
+ OAB
= 180o

·
·
Suy ra: OAC
= 180o − OAB
= 180o − 80o = 100o

·
·
Vậy OAC
= 80o hoặc OAC
= 100o
c)
+) Trên đường thẳng d có 2018 điểm phân biệt
+) Cứ 2 điểm trên đường thẳng d nối với điểm O được một góc đỉnh O.
Có bao nhiêu đoạn thẳng trên đường thẳng d thì có bấy nhiêu góc đỉnh O.
Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d là :
2018.2017
= 2035153 (góc)
2
6

Vậy có 2035153 góc đỉnh O
Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc = ab × ac × 7 .
Ta có: abbc = ab × ac × 7 (1)

0,75
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


⇔ 100. ab + bc = 7. ab . ac ⇔ ab (7. ac - 100) = bc

0,25

bc
bc
Vì 0 <
< 10 nên 0 < 7. ac - 100 < 10
ab
ab
100
110
⇔ 100 < 7. ac < 110 ⇔ 14 <
< ac <
< 16 . Vậy ac = 15
7
7
thay vào (1) được 1bb5 = 1b × 15 × 7 ⇔ 1005 + 110b = 1050 + 105.b

0,25

⇔ 7. ac - 100 =

⇔ 5b = 45 ⇔ b =9
Vậy a = 1; b = 9; c = 5

0,25
0,25

Lưu ý :
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo
vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.
- Phần hình học, học sinh khơng vẽ hình thì khơng cho điểm.
- Tổng điểm tồn bài bằng tổng điểm của các câu khơng làm trịn.
PHỊNG GD&ĐT TP BẮC NINH

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6
MÔN : TỐN
Thời gian làm bài : 120 phút
(Khơng kể thời gian phát đề)
-----------------------------

Bài 1: ( 2 điểm)
1. Thực hiện tính A bằng cách nhanh( hợp lý) nhất:
2010 x 2011 − 1005
A=
2010 x 2010 + 1005
2. Thực hiện phép tính:
2 

 2  2  
B = 331 − 1 − ...1 − 
 3  5   99 
Bài 2: (2 điểm)
Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220
a. Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5.
b. Tìm chữ số tận cùng của M.
Bài 3: ( 2 điểm )
1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho :
n+5 n–2
2. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho :
(2x + 1)(y – 3) = 10
Bài 4: ( 3 điểm)


1. Cho đoạn thẳng AB = a , điểm C nằm giữa A và B, điểm M là trung điểm của AC , điểm N là trung
a
điểm của CB. Hãy chứng tỏ rằng MN =
.
2
2. Hình thang vng ABCD có góc A và góc D vng. Đường chéo AC cắt đường cao BH tại I. So
sánh diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác BHC.
Bài 5 (1 điểm)
Cho A = 3.(22+1).(24+1).(28+1).(216+1)
Khơng làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức rồi tìm số tận cùng của A

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: ( 2 điểm)
1) Thực hiện tính A bằng cách nhanh (hợp lý) nhất:
2010 x 2011 − 1005

2010 x (2010 + 1) − 1005 2010 x 2010 + 2010 −1005
=
A=
=
2010 x 2010 + 1005
2010 x 2010 + 1005
2010 x 2010 + 1005
2010 x 2010 + 1005
=1
=
2010 x 2010 + 1005
2) Thực hiện phép tính:
2
1 3 5 97
1
1
 2  2  
B = 331 − 1 − ...1 −  = 33. . . ...
= 33.
=
3 5 7 99
99
3
 3  5   99 
Bài 2: (2 điểm)
Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220
a) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5 :
M = 2 + 22 + 23 + … + 220
= (2 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + … + (217 + 218 + 219 + 220)
= 2.(1 + 2 + 22 + 23 ) + 25.(1 + 2 + 22 + 23) + … +217.(1 + 2 + 22 +23)

= 2. 15 + 25.15 + …+ 217.15
= 15. 2(1 + 24 + …+ 216)
= 3 . 5 .2 .(1 + 24 + …+ 216)  5
b) Tìm chữ số tận cùng của M:
Dễ thấy M  2 ; M  5 mà ƯCLN( 2; 5) = 1 nên M  10.
Do đó M tận cùng bằng chữ số 0.
Bài 3: ( 2 điểm )
1) Ta có : n + 5 = (n – 2) + 7  n – 2 ⇒ 7  n – 2
⇒ n – 2 ∈ Ư(7) = { ± 1 ; ± 7}
n–2
1
-1
7
-7


n

3

1

9

-5

Vậy : n ∈ { 3 ; 1 ; 9 ; − 5}
2) Ta có x , y ∈ N nên (2x + 1) và (y - 3) là các ước của 10. Hơn nữa 2x + 1 > 0 và là số lẻ nên 10 = 1 .
10 = 5 . 2
2 x + 1 = 1

2 x + 1 = 5
Do đó : 
hoặc 
 y − 3 = 10
y − 3 = 2
x = 0
x = 2
Suy ra : 
hoặc 
 y = 13
y = 5
Bài 4: ( 3 điểm)
1) M là trung điểm của AC nên : AM = MC =
N là trung điểm của CB nên : CN = NB =

1
.AC
2

1
.CB
2

1
( AC + CB )
2
C nằm giữa A và B nên C nằm giữa M và N .
C nằm giữa M và N ⇒ MC + CN = MN
C nằm giữa A và B ⇒ AC + CB = AB = a
a

Do đó : MN = .
2
2) Nối BD. Ta có : SBDC = SADC ( cùng đáy DC và chiều cao BH bằng AD)
1
SBDH = SDBA (= SABHD) ; SDBA = SIAD ( cùng đáy AD và chiều cao bằng nhau)
2
Do đó :
SBHC = SBDC – SBDH = SBDC - SDBA = SADC – SIAD = SIDC
Vậy : SBHC = SIDC .
Suy ra : MC + CN =

Bài 5 (1 điểm)
Rút gọn A ta có:
A = 3(22+1).(24+1).(28+1).(216+1)
= (4-1).(22+1).(24+ 1).(28+1).(216+1)
= [(22 - 1).(22+1)] x (24+ 1).(28+1).(216+1)
= (24-1).(24+1).(28+1).(216+1)
= (28-1).(28+1).(216+1)
= (216-1)(216+1)
= 232 - 1
Biết 232 tận cùng là 2  A = 232 – 1 tận cùng bằng 1 (ĐS)


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN Ý YÊN

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI THCS
NĂM HỌC 2015 - 2016

ĐỀ CHÍNH THỨC

MƠN : TỐN – LỚP 6
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề gồm 01 trang

Bài 1. (5 điểm)
1) Tính giá trị của các biểu thức sau
5 −1 2 −2 1 −1 5
A= − + −
+
− −
6 12 3 7 25 4 42
7.610.220.36 − 219.615
9.619.29 − 4.317.226
2) Tìm tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy:
1 1 1
1
1
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ...
3 8 15 24 35
Bài 2. (4 điểm)
1) Với m, n là các số tự nhiên và n ≠ 0 . Chứng tỏ C = 405n + 2405 + m 2 không chia hết cho
10
2) Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn abbc = ab.ac.7 .
Bài 3. (2 điểm) Một trường THCS tổ chức cho 64 học sinh đi thăm quan học tập tại bảo tàng
bằng 2 loại xe: loại 12 chỗ ngồi và loại 7 chỗ ngồi. Biết số người đi vừa đủ số chỗ ngồi, hỏi mỗi
loại xe có bao nhiêu chiếc?
1 1 1
1
Bài 4. ( 2 điểm) Cho M = 2 + 2 + 2 + ... + 2 . Chứng tỏ rằng M không phải là số tự nhiên.

2 3 4
45
Bài 5. ( 2 điểm)
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho tổng của nó và số gồm hai chữ số ấy viết theo thứ tự
ngược lại là một số chính phương.
·
Bài 6. ( 5 điểm) Cho tam giác ABC có BAC
= 1100 .Trên cạnh BC lấy điểm M, vẽ các tia AI, AK
·
·
thứ tự là các tia phân giác của BAM
và MAC
(điểm I, K thuộc cạnh BC).
1) Tính số đo góc IAK.
2) Trên hình vẽ có mấy hình tam giác, hãy kể tên các tam giác đó.
3) Giả sử BK = 5 cm, BI = 2 cm, CM = 4 cm và KC gấp đơi IM. Tính IM.
B=

Họ và tên thí sinh: …………………

Họ, tên chữ ký GT 1: ………………………….

Số báo danh:………………………… Họ, tên chữ ký GT 2: ………………………….


HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6
I.
Hướng dẫn chung:
1) Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải
theo cách khác mà đúng và đủ các bước thì vẫn cho điểm tối đa.

2) Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu và khơng làm trịn.
II. Đáp án và thang điểm:
Bài
1.
(5đ)

ý

Nội dung đáp án
 2 −1 −1   5 −2 5  1
− ÷+
A =  − − ÷+  −
 3 4 12   6 7 42  25
= 2+

1 51
=
25 25

7.210.310.220.36 − 219.215315
7.610.220.36 − 219.615
=
1) B =
9.619.29 − 4.317.226
32.219.319.29 − 22317.226
(3,5đ)
=
=

2)

(1,5đ)

230.315 ( 7.3 − 24 )
317.228 ( 34 − 1)

22 ( 21 − 16 )
3 ( 81 − 1)
3

=

4.5
1
=
9.80 36

1 1
1
1
1
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ...
3 8 15 24 35
Các số hạng của dãy được viết dưới dạng:
4 9 16 25 36
; ;
;
;
...
3 8 15 24 35
22 32 42 52 62

,
,
,
,
,...
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7
992
Số hạng thứ 98 có dạng
.
98.100
22 32 42 52 62
982
992
Ta cần tính A =
.
.
.
.
...
.
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 97.99 98.100
( 2.3.4.5.6...98.99 ) . ( 2.3.4.5.6...98.99 ) 99 2 99
=
=
= .
( 1.2.3.4...97.98) . ( 3.4.5...99.100 )
1 100 50

2
1) Ta có

(4,0đ) (2,0đ)
2405 = 2404.2 = 4202.2
Số 4202 có chữ số tận cùng là 6
nên số 2404.2 có chữ số tận cùng bằng 2
số 405n có chữ số tận cùng là 5
m2 là số chính phương nên chữ số tận cùng khác 3.

Điểm
1,0
0,75
0,75
0,5
0,5

0,75

0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,5
0,5

Vậy C = 405n + 2405 + m 2 có chữ số tận cùng khác 0 nên C không chia hết cho 10 0,5
=> đpcm


Ta có abbc = ab.ac.7

100 ab + bc = ab.ac.7
ab. 7ac − 100 = bc

(

2)
(2 đ)

3.
(2,0đ)

)

bc
7 ac − 100 =
ab
bc
< 10
Vì 0 <
ab
0 < 7 ac − 100 < 10
14 <

100
110
< ac <
< 16
7
7

0,5

0,25

Vậy ac = 15

0,25

Thay vào , ta được: 1bb5 = 1b.15.7
b=9
Thử lại: 1995 = 19.15.7
Vậy a = 1; b = 9; c = 5

0,25

Gọi x là số xe 12 chỗ ngồi và gọi y là số xe 7 chỗ ngồi (x, y ∈ Ν * )
Số người đi xe loại xe 12 chỗ ngồi là 12x ( người)
Số người đi loại xe 7 chỗ ngồi là 7y ( người)
Theo đầu bài ta có: 12x + 7y = 64
(1)
Ta thấy 12x M4 và 64 M4 ⇒ 7y M4 mà (7, 4) = 1 nên y M4
(2)
Từ (1) suy ra 7y < 64 hay y< 10
(3)
Từ (2) và (3) suy ra y ∈ { 4;8}
Thay y = 4 vào (1) , ta được x = 3 ( thỏa mãn)
2
Thay y = 8 vào (1) , ta được x =
( loại)
3

Vậy có 3 xe 12 chỗ ngồi và 4 xe 7 chỗ ngồi.

4.
(2 đ)

0,5

1
1
<
2
2 1.2
1
1
<
2
3
2.3
1
1
<
2
4
3.4
...
1
1
<
2
45

44.45

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Ta có:

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
44.45
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1

1
+
+
+ ... +
−
= 1−
Có
= 1 − + − + − + ... +
1.2 2.3 3.4
44.45
2 2 3 3 4
44 45
45
Suy ra M <

0,5

0,25
0,5


44
< 1 nên M < 1
45
Mặt khác có M > 0 do đó 1 > M > 0 nên M khơng thể là số tự nhiên.
Gọi số có hai chữ số phải tìm là ab ( 1 ≤ a ≤ 9;1 ≤ b ≤ 9 và a, b ∈ N )
Số viết theo thứ tự ngược lại là ba
Theo bài ra, ta có: ab + ba = n2 ( n ∈ N )
5.
2

( 2đ ) Biến đổi ab + ba = 11.(a + b) = n
Suy ra n2 M11 nên n2 M121 ( vì 11 là số ngun tố)
Lại có 198 ≥ ab + ba ≥ 22 nên 198 ≥ n2 ≥ 22. Do đó n2 = 121 nên a + b = 11
Lập bảng tìm được các số thỏa mãn bài toán là: 29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92
=

Vì M thuộc cạnh BC nên tia AM nằm giữa hai tia AB và AC
Ta có AI là tia phân giác của góc BAM nên tia AI nằm giữa hai tia AM và AB và

1
∠ MAI = ∠ BAM
2

AK là tia phân giác của góc CAM nên tia AK nằm giữa hai tia AM và AC và ∠
1.
1
(2,0đ) MAK = ∠ MAC

0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25

0,5

0,5

2

6.
(5,0đ)

Do đó tia AM nằm giữa hai tia AI và AK nên

∠ IAK = ∠ IAM + ∠ MAK =

1
( ∠ BAM + ∠ MAC)
2

∠ IAK = 550
2) Trong hình vẽ có 10 hình tam giác là:
(1đ)
∆ ABC, ∆ ABI, ∆ AIM, ∆ AMK, ∆ AKC, ∆ AIK, ∆ AIC, ∆ AMC, ∆ ABM, ∆
ABK.
Vì K nằm giữa M và C nên: MK + KC = MC => MK + KC = 4 (1)
Lập luận để suy ra M nằm giữa I và K
3) Theo bài ra BI < BK ⇒ I nằm giữa B và K
(2đ)
Mà BI + IK = BK ⇒ 2 + IK = 5 ⇒ IK = 3
Ta có IM + MK = IK ⇒ IM + MK = 3 (2)
Từ (1) và (2) ta có KC – IM = 1

0,5
0,5

0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5


Theo
ra: KC
= 2.IM ⇒ IM = 1(cm)
.
0,5
PHÒNG GIÁO DỤC
VÀbài
ĐÀO
TẠO
ĐỀ THI
HỌC SINH GIỎI LỚP 6
HUYỆN HOẰNG HỐ
MƠN THI: TỐN
Ngày thi: 18/03/2015
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
(Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)
Bài 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
a. A =

2 5
1

+ : 5 − .(−3) 2
3 6
18

b. B = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015




c. C =  1 +

1 
1 
1  
1

÷1 +
÷1 +
÷...1 +
÷
1.3  2.4  3.5   2014.2016 

Bài 2 (4,0 điểm)
a. Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50
b. Tìm các chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
c. Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 - 1 chia hết cho 3.
Bài 3 (4,5 điểm)
5
(n ∈ Z , n ≠ 3)
a. Cho biểu thức : B =

n−3
Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên.
b.Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x2 + 117 = y2
c. Số 2100 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số .
Bài 4 (5,0 điểm)
·
Cho góc xBy
= 550. Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A; C
( A ≠ B; C ≠ B). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ·ABD = 300
a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm.
·
b. Tính số đo của DBC
.
·
c. Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz
= 900. Tính số đo ·ABz .
Bài 5 (2,0 điểm)
a. Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc = ab × ac × 7
1 20122015 9294
− 3 ) . Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5.
b. Cho A = (7
2
.............. Hết.............
Họ và tên thí sinh:............................................ SBD........................................
Giám thị 1:....................................................

Giám thị 2:..............................


HƯỚNG DẪN CHẤM THI

HỌC SINH GIỎI LỚP 6 - MÔN : TOÁN
Bài

Nội dung cần đạt

a. A=

Điểm
1,5 đ

2 5
1
2 1 1 2.2 + 1 − 1.3 2 1
+ : 5 − .(−3) 2 = + − =
= =
3 6
18
3 6 2
6
6 3

b. B= 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 = 3.{5.[33 : 11] - 16} + 2015

0,5 đ

=3.{15-16} + 2015 = 3.(-1) + 2015 = 2012
1
(4,5 đ)





c. C=  1 +

1 
1  1  
1
 2 3 4
2015
÷ 1 + ÷ 1 + ÷... 1 +
÷ = . . ...
1.3   2.4   3.5   2014.2016  1.3 2.4 3.5 2014.2016

=

(2.3.4...2015).(2.3.4...2015)
(1.2.3...2014).(3.4.5...2016)

=

2015.2 2015
=
2016 1008

2

2

2

2

 x − 3 = 12
 x = 15
⇔
a. Biến đổi được : (x-3)2=144 = 122 = (−12) 2 ⇔ 
 x − 3 = −12
 x = −9
Vì x là số tự nhiên nên x= - 9 (loại). Vậy x = 15
b. Do A = x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1.Ta có A = x1831
2
(4,0 đ)

3
(4,5 đ)

Vì A = x1831 chia cho 9 dư 1 ⇒ x1831 - 1 M9 ⇒ x1830 M9

1,0 đ
0,5đ

0,5 đ
0,5 đ
1.0 đ
0.5 đ
0,5 đ
0,5 đ

⇔ x + 1 + 8 + 3 + 0 M9 ⇔ x + 3 M9, mà x là chữ số nên x = 6
Vậy x = 6; y = 1

c. Xét số nguyên tố p khi chia cho 3.Ta có: p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( k ∈ N*)
Nếu p=3k+1 thì p2-1 = (3k+1)2 -1 = 9k2+6k chia hết cho 3
Nếu p=3k+2 thì p2-1 = ( 3k+2)2-1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3
Vậy p2-1 chia hết cho 3.
a. Để B nhận giá trị nguyên thì n - 3 phải là ước của 5

0,5 đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0,5 đ

=> n - 3 ∈ {-1;1;-5;5} => n ∈ { -2 ; 2; 4; 8}

0,75 đ

Đối chiếu đ/k ta được n ∈ { -2 ; 2; 4; 8}
b. Với x = 2, ta có: 22 + 117 = y2 ⇔ y2 = 121 ⇒ y = 11 (là số nguyên tố)
* Với x > 2, mà x là số nguyên tố nên x lẻ ⇒ y2 = x2 + 117 là số chẵn
=> y là số chẵn
kết hợp với y là số nguyên tố nên y = 2 (loại)
Vậy x = 2; y = 11.
c. Ta có : 1030= 100010 và 2100 =102410. Suy ra : 1030 < 2100 (1)
Lại có : 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125
Nên : 2100< 1031 (2). Từ (1) và(2) suy ra số 2100 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số .

0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ


PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
4 HUYỆN HOẰNG HỐ
(5,0 đ)

z

A xĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6

NĂM HỌC 2014-2015
0,5 đ
MÔN THI: TỐN
Ngày thi: 18/03/2015
Thời gian: 120 phút ( Khơng kể thời gian giao đề)
(Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)
D

B

C
y

z,
a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C

=> AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm
b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC
·
ta có đẳng thức: ·ABC = ·ABD + DBC
0
0
0
·
=> DBC
= ·ABC − ·ABD = 55 – 30 = 25
c) Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Tia Bz và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA
nằm giữa hai tia Bz và BD
Tính được ·ABz = 900 − ·ABD = 90 0 − 30 0 = 60 0
- Trường hợp 2: Tia Bz, và BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD
nằm giữa hai tia Bz và BA
Tính được ·ABz , = 900 + ·ABD = 90 0 + 30 0 = 120 0

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
0,5đ

a. Ta có: abbc = ab × ac × 7 (1)
⇔ 100. ab + bc = 7. ab . ac ⇔ ab (7. ac - 100) = bc

0,25 đ

bc
bc
Vì 0 <
< 10 nên 0 < 7. ac - 100 < 10
ab
ab
100
110
⇔ 100 < 7. ac < 110 ⇔ 14 <
< ac <
< 16 . Vậy ac = 15
7
7
thay vào (1) được 1bb5 = 1b × 15 × 7 ⇔ 1005 + 110b = 1050 + 105.b
⇔ 7. ac - 100 =

5
(2,0 đ)

⇔ 5b = 45 ⇔ b =9
Vậy a = 1; b = 9; c = 5
b) V× 2012 ; 92 đều là bội của 4 nên 20122015 và 9294 cịng lµ béi cđa
2015
= 4.m ( m ∈ N * ) ;9296 = 4.n ( n ∈ N * )
4 ⇒ 2012
Khi ®ã 7 2012

2015

− 392 = 7 4 m − 34 n = ( 7 4 ) − ( 34 ) = ( ...1) − ( ...1) = ...0
94

m

n

tøc lµ 7 2012 − 392 cã tËn cïng b»ng 0 hay 7 2012 − 392 M
10
20122015
9294
20122015
9294
DÔ thÊy 7
− 3 > 0 mµ 7
−3 M
10 suy ra
2015
94
1
A = (7 2012 − 392 ) = 5.k; k ∈ N . Suy ra A là số tự nhiên chia hết cho 5.
2
2015

94

Bài 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:

2015

94

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ


a. A =

2 5
1
+ : 5 − .(−3) 2
3 6
18

b. B = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015




c. C =  1 +

1 
1 

1  
1

÷1 +
÷1 +
÷...1 +
÷
1.3  2.4  3.5   2014.2016 

Bài 2 (4,0 điểm)
a. Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50
b. Tìm các chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
c. Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 - 1 chia hết cho 3.
Bài 3 (4,5 điểm)
5
(n ∈ Z , n ≠ 3)
a. Cho biểu thức : B =
n−3
Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên.
b.Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x2 + 117 = y2
c. Số 2100 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số .
Bài 4 (5,0 điểm)
·
Cho góc xBy
= 550. Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A; C
( A ≠ B; C ≠ B). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ·ABD = 300
a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm.
·
b. Tính số đo của DBC
.

·
c. Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz
= 900. Tính số đo ·ABz .
Bài 5 (2,0 điểm)
a. Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc = ab × ac × 7
1 20122015 9294
− 3 ) . Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5.
b. Cho A = (7
2

Người thẩm định 1:......................................... Người thẩm định 2.....................................
Người duyệt...................................................................
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
n«ng cèng
Mơn : Tốn 6 (Thời gian 150 phút)
Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý :

(

a) 10 + 11 + 12
2

2

2

) : ( 13

2

+ 142 ) .

b) 1.2.3...9 − 1.2.3...8 − 1.2.3...7.82

( 3.4.2 )

16 2

c)

11.213.411 − 169

d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374)
e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1
Bài 2 : (4 điểm) Tìm x, biết:

(

a) 19x + 2.5

2

) :14 = ( 13 − 8)

2

− 42

b) x + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ... + ( x + 30 ) = 1240
c) 11 - (-53 + x) = 97
d) -(x + 84) + 213 = -16
Bài 3 : (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b.
Bài 4 : (3 điểm)
a) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3.

101102 + 1
b) So sánh M và N biết rằng : M =
.
101103 + 1
101103 + 1
.
N=
101104 + 1

Bài 5 : (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA,
OB.
a) Chứng tỏ rằng OA < OB.
b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?
c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia
AB).

B - PHẦN ĐÁP ÁN :
Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý :
Đáp án

Điểm

a) ( 10 + 11 + 12 ) : ( 13 + 14 ) = ( 100 + 121 + 144 ) : ( 169 + 196 )

2

2

2

2

2

= 365 : 365 = 1
b) 1.2.3...9 − 1.2.3...8 − 1.2.3...7.82 = 1.2.3...7.8.( 9 − 1 − 8 ) = 1.2.3...7.8..0 = 0

( 3.4.2 )

16 2

c)

11.213.411 − 169

( 3.2 .2 )
=
11.2 .( 2 ) − ( 2 )
2

2 11

13

=

16 2

2

36

4 9

32.( 2

1
1

)

18 2

=

11.213.222 − 236

2

36

2

1

36

2

3 .2
3 .2
3 .2
3 .2
=
= 35
=
=2
22
36
35
36
11.2 .2 − 2
11.2 − 2
2 ( 11 − 2 )
9
13

d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374
= (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65
e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 =

1
1

= 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - 7 - 6 + 5) - (4 - 3 - 2 + 1) = 13
Bài 2 : (4 điểm) Tìm x :
Câu
Đáp án
2
a.
19x + 2.52 :14 = 13 − 8 − 42

(

b.

{

)

(

)

Điểm

}

2
⇒ x = 14. ( 13 − 8 ) − 4 2  − 2.52 :19


⇒x=4
x + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ... + ( x + 30 ) = 1240

1



⇒  x1 +44x2+ ...
+
x
+ 1 + 2 + ... + 30 ) = 1240
4 43 ÷

÷ (
 31 So hang 
30.( 1 + 30 )
⇒ 31x +
= 1240
2
⇒ 31x = 1240 − 31.15
⇒x=
c.
d.

1

775
= 25
31

11 - (-53 + x) = 97

1

⇒ x = 11 − 97 − (−53) = −33
-(x + 84) + 213 = -16

⇒ −(x + 84) = −16 − 213
⇒ −(x + 84) = −229
⇒ x + 84 = 229
⇒ x = 229 − 84 = 145

1

Bài 3 : (3 điểm)
Đáp án
Từ dữ liệu đề bài cho, ta có :
+ Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:
a = 15m; b = 15n
(1)
và ƯCLN(m, n) = 1
(2)
+ Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy ra :

⇒ BCNN ( 15m; 15n ) = 300 = 15.20
⇒ BCNN ( m; n ) = 20

+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy ra :

⇒ 15m + 15 = 15n ⇒ 15.( m + 1) = 15n

⇒ m +1 = n

(3)

Điểm

3

(4)

Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp : m = 4, n = 5 là thoả
mãn điều kiện (4).
Vậy với m = 4, n = 5, ta được các số phải tìm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75
Bài 4 : (2 điểm)
Câu
Đáp án
a.
Chứng minh đẳng thức:
- (-a + b + c) + (b + c - 1) = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c.

Điểm
1


Biến đổi vế trái của đẳng thức, ta được :
VT = -(-a + b + c) + (b + c - 1)
= -(-a) - (b + c) + (b + c) + (-1) = a - 1
Biến đổi vế phải của đẳng thức, ta được :
VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c
= b + (-c) + 6 - 7 + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] = a - 1
So sánh, ta thấy : VT = VP = a - 1

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
Với a > b và S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta có :

⇒ S = − ( − a − b − c ) + ( −c + b + a ) − ( a + b )

⇒ S = −(−a − b)+c + (−c) + (b + a) − (a + b) ⇒ S = −( −a − b) = a + b
Tính S : theo trên ta suy ra : ⇒ S = a + b
* Xét với a và b cùng dấu, ta có các trường hợp sau xảy ra :
+ a và b cùng dương, hay a > b > 0, thì a + b > 0 : ⇒ S = a + b = a + b
+ a và b cùng âm, hay 0 > a > b, thì a + b < 0 ⇒ −(a + b) > 0 , nên suy ra :

⇒ S = a + b = − ( a + b ) = −a + ( − b )

b.

1

* Xét với a và b khác dấu :
Vì a > b, nên suy ra : a > 0 và b < 0 ⇒ − b > 0 , ta cần xét các trường hợp sau xảy ra :
+ a > b ,hay a > -b > 0, do đó a + b = a − ( − b) > 0 , suy ra: ⇒ S = a + b = a + b
+ a < b , hay -b > a > 0, do đó a + b = a − ( − b) < 0 , hay − ( a + b ) > 0 suy ra :

⇒ S = a + b = −(a + b) = −a + (− b)
Vậy, với : + S = a + b (nếu b < a < 0)
+ S = −a + ( − b ) (nếu b < a < 0, hoặc b < 0 < a < b )
Bài 5 : (6 điểm)
Câu
Hình
vẽ
a.

Đáp án

o

m

a

Điểm

b

n

Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra :
⇒ OA < OB.
Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nên :

⇒ OM =

b.

OA
OB
; ON =
2
2

2

2

Vì OA < OB, nên OM < ON.
Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N.
Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có :
suy ra :
c.

hay :

⇒ OM + MN = ON
⇒ MN = ON − OM
OB − OA AB
⇒ MN =
=
2
2

Vì AB có độ dài khơng đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN khơng
phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB).

2