Chuyen de 2 Mu Logarit

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề 2: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT PHẦN I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN I/-LŨY THƯA VÀ CĂN THỨC Các định nghĩa Các tính chất m n m n n a  a.a...a  a .a a   (n   , n  1, a   ) n thừ a soá  1  a a a.  . a n  m an. a . . 1 an. n.  a. m n. 0  a 1 a 0. . . (n   , n 1, a   \  0 ) m. 1 m an. (a  0; m, n  , n 2). . 1 n. am. am a m  n  a. n. m n n m m.n  (a ) (a ) a n n n  (a.b) a .b. n. an a    n b   b. II/-HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 1). Hàm số mũ: y = ax ( a > 0, a ≠ 1 )  Tập xác định : D  x T  ( Vì: a  0, x   )  Tập giá trị :  Tính đơn điệu: x1 x2 + a>1 : Hàm số đồng biến: x1  x 2  a  a x1 x2 + 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến: x1  x 2  a  a 2). Hàm số lôgarít: y = logax a). lôgarít. ÐN. M  log a N = M Û a = N (0 < a ¹ 1, N > 0).  log a N có nghĩa khi. a  0  a 1 N  0 . b). Các tính chất :  log a 1 0 M  log a a M  log a (N1.N 2 ) log a N1  log a N 2   log a N .log a N.  log a a 1 log a N N a N  log a  1  log a N1  log a N 2  N2   log a N 2 2.log a N  Đặc biệt:. c). Công thức đổi cơ số :  log a N log a b.log b N Hệ quả:. . log b N . log a N log a b.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> log a b . 1 log b a. log. . a. N   log a N.    d). Hàm số lôgarít: y = logax ( a > 0, a ≠ 1 )   Tập xác định: D  T   Tập giá trị  Tính đơn điệu: +a>1 : hàm số y log a x đồng biến: x1  x 2  0  log a x1  log a x 2 + 0 < a < 1 : hàm số y log a x nghịch biến x1  x 2  0  log a x1  log a x 2. Một số điểm cần lưu y: Mũ 0  a 1 a M a N  M N a 1 aM  aN  M  N 0  a 1 aM  aN  M  N e). Đạo hàm số mũ, lôgarít Hàm số sơ cấp 1  1     2    1 x  x  (x ) ' .x 1  1 n  x  x  n n x n 1 2 x   x x x x  (e ) ' e  (a ) ' a ln a 1 (x 0)  ln x    1x (x 0)  loga x  '  x.ln a   1 1 (ln x)  (x  0) (log a x)  (x  0) x x ln a  .  .  . 0  a 1 ; M, N  0 a 1 0  a 1. Lôgarít log a M log a N  M N log a M  log a N  M  N log a M  log a N  M  N Hàm hợp. u  1     2 u  u  .  u    2uu.    1 .u  (u ) ' .u u  n u  n n u n 1  u x  (a ) ' u.a .ln a.  . u u  (e ) ' u .e  u (u 0)  ln u    uu (u 0)  loga u    u.ln a   u u (ln u)  (u  0) (log a u)  (u  0) u u.ln a  . III/-PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1). PHƯƠNG TRÌNH MŨ a). Phương trình mũ cơ bản: x b Với: a > 0,a ¹ 1, b > 0 ta có: a = b Û x = a b). Một số phương pháp giải phương trình mũ: Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số: f (x) = a g(x) Û f (x) = g(x) Với: a > 0,a ¹ 1 : a Phương pháp 2: Lôgarit hoá: f (x) = b g(x) Û f (x) = g(x).( log a b ) a > 0,a ¹ 1, b > 0 : a Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ f (x) Thông thường biến đổi PT (nếu cần) sau đó đặt ẩn phụ t = a , nhớ điều kiện t > 0 2). PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT a). Phương trình lôgarit cơ bản: b  a > 0,a ¹ 1: log a x = b Û x = a ìï f (x) > 0 a > 0,a ¹ 1: log a f (x) = b Û ïí ïï f (x) = a b î .

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b). Một số phương pháp giải phương trình lôgarit: Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số: ìï f (x) = g(x) a > 0,a ¹ 1: log a f (x) = log a g(x) Û ïí ïïî f (x) > 0 hay : g(x) > 0 (Thông thường chọn hàm số đơn giản hơn để đặt điều kiện dương) Phương pháp 2: Phương pháp mũ hóa: ïì f (x) > 0 a > 0,a ¹ 1: log a f (x) = g(x) Û ïí ïï f (x) = a g(x) î Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ Thông thường biến đổi PT (nếu cần) sau đó đặt t = log a f (x) Nếu f(x) xác định thì không cần đặt điều kiện cho t ( t Î  ). III/-PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1). Bất phương trình mũ cơ bản: a>1 0 <a<1 b > 0 : x > log ab b > 0 : x < log ab x ax > b a > b b £ 0 : BPT có nghiệm " x Î  b £ 0 : BPT có nghiệm " x Î  b > 0 : x < log ab b > 0 : x > log ab x x a <b a <b b £ 0 : BPT vô nghiệm b £ 0 : BPT vô nghiệm 2). Bất phương trình logarit: a>1. 0 <a<1. log a f ( x ) > b. f ( x) > a. log af ( x ) > b. ìï f ( x ) < ab ï í ïï f ( x ) > 0 ïî. log a f ( x ) < b. ìï f ( x ) < ab ï í ïï f ( x ) > 0 ïî. log af ( x ) < b. f ( x ) > ab. b. 3). Một số phép biến đổi cần thiết: f (x ) g (x ) a). Bất phương trình mũ: a < a f(x) g(x ) Û f (x ) < g (x )  Nếu a > 1 : a < a f (x ) g( x ) Û f ( x ) > g( x )  Nếu 0 < a < 1 : a < a. b). Bất phương trình lôgarit:. loga f ( x ) < log ag ( x ). ìï f ( x ) < g ( x ) log af ( x ) < log ag ( x ) Û ïí ïï f ( x ) > 0 î  Nếu a > 1 : ìï f ( x ) > g ( x ) log af ( x ) < log ag ( x ) Û ïí ïï g ( x ) > 0 î  Nếu 0 < a < 1 : PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG.  BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT x x +1 + 2 x +2 = 5x + 2.5x- 1 . BÀI 1. Giải phương trình 2 + 2 GIẢI:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> x. Ta có: 2 + 2. x +1. +2. x +2. x. = 5 + 2.5. x- 1 Û. 2x + 2 x.2 + 2 x.22 = 5x + 2.5x.. 1 5. x æ 2ö æö 7 x 5÷ x x ÷ ç ç Û ( 1 + 2 + 4) .2 = ç1 + ÷ ÷ ç ÷.5 Û 7.2 = 5 .5 Û è ÷ = 5 Û x = log 5 5 ç 5ø ç2 ø è x. 2. x = log 5 5 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x- 2 æö 1÷ x 2 - x- 2 ç 3 =ç ÷ ÷ ç è9 ø BÀI 2. Giải phương trình . GIẢI: x- 2 2 æö 1÷ x 2 - x- 2 3x - x - 2 = ç ÷ ç Û 3 = 3- 2 ÷ ç è ø 9 Ta có. ( ). 2. .. x- 2. Û 3x. Û x 2 - x - 2 =- 2x + 4 éx = 2 Û ê ê Û x2 + x - 6 = 0 ëx =- 3 .. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 2, x =- 3 . x x BÀI 3. Giải phương trình 25 - 30.5 +125 = 0 . GIẢI: Phương trình đã cho tương đương:. ( 5x ). 2. - 30.5x +125 = 0. .. x. Đặt t = 5 , điều kiện t > 0 . Khi đó phương trình trở thành: ét = 5 Û ê t 2 - 30t +125 = 0 ê ët = 25. (nhận). x. + Với t = 5 Û 5 = 5 Û x = 1 . x x 2 + Với t = 25 Û 5 = 25 Û 5 = 5 Û x = 2 . Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1, x = 2 . x +2 + 3BÀI 4. Giải phương trình 3 GIẢI:. x. Û 9.3x +. 1. x +2. 3. - x. +3. = 10. Ta có x Đặt t = 3 , điều kiện t > 0 . Khi đó phương trình trở thành:. 3x. = 10 . = 10. ét = 1 ê Û ê 1 1 êt = 9t + = 10 ê Û 9t 2 - 10t +1 = 0 t ë 9 (nhận) x  Với t = 1 Û 3 = 1 Û x = 0 . 1 t = Û 3x = 3- 2 Û x =- 2 9  Với . x Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là = 0, x =- 2 .. 2 - x- 2. = 3-. 2x +4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x x x BÀI 5. Giải phương trình 3.9 + 7.6 - 6.4 = 0 . GIẢI: 2x x æö æö 3÷ 3÷ ç ç 3.ç ÷ + 7.ç ÷ ÷- 6 =0 ç2 ÷ ç2 ø è ø è Phương trình đã cho tương đương: . x æö 3÷ ç t =ç ÷ ÷ ç è2 ø Đặt , điều kiện t > 0 .. é 2 êt = Û ê 3 ê 2 ê ët =- 3 ( loại) Khi đó phương trình trở thành: 3t + 7t - 6 = 0 x x - 1 2 æö 3 ÷ 2 æö 3 ÷ æö 3÷ ç ç t= Û ç = Û = ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ 3 è ÷ è ÷ Û x =- 1 ç ç2 ø ç2 ø è ø 3 2  Với . Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = - 1 . x BÀI 6. Giải phương trình 5 GIẢI:. 5x Ta có:. 2- 4. 2- 4. = 7 x +2 Û log5 5x. = 7 x +2 .. 2- 4. = log5 7 x +2. Û x 2 - 4 = ( x + 2) log5 7 Û ( x - 2) ( x + 2) - ( x + 2) log5 7 = 0 éx =- 2 Û ( x + 2) ( x - 2 - log5 7) = 0 Û ê êx = 2 + log5 7 ë . Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x =- 2, x = 2 + log5 7 . x BÀI 7. Giải phương trình 3 = 11- x . GIẢI: Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình cho. x Mặt khác, hàm số y = 3 luôn đồng biến trên  , hàm số y = 11- x luôn nghịch biến trên  nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2 . x x æö æö 1÷ 1÷ ç ç 3x + 11 . ) çç ÷ ÷ ç ÷ ( ÷ + 3x +10 = 0 ç è ø è ø 4 2 BÀI 8. Giải phương trình .. GIẢI: x æö 1÷ ç t =ç ÷ ÷ ç è2 ø Đặt , điều kiện t > 0 . Khi đó phương trình đã cho trở thành: ét = 1 ê Û ê t 2 - ( 3x +11) t + 3x +10 = 0 ët = 3x +10 x æö 1 ÷ t =1 Û ç ÷ ç ÷ =1 Û x = 0 ç è ø 2  Với . x æö 1÷ t = 3x +10 Û ç ÷ ç ÷ = 3x +10 ç è ø 2  Với. (*)..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ta có x =- 2 thỏa mãn phương trình (*) nên là nghiệm của phương trình (*). x æö 1÷ ç y =ç ÷ ÷ ç è2 ø Mà hàm số luôn nghịch biến trên  , hàm số y = 3x +10 luôn đồng biến trên  . Do đó x =- 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (*). Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0, x =- 2 .  BÀI TẬP CÓ ĐÁP SỐ BÀI 1: Giải phương trình: 25. x 2 - 6x +2. a). b). 5. x- 1. x +1 æö 1÷ ç =ç ÷ ÷ ç è5 ø. x - x. = 10 .2 .5. ĐS:. x +1. 1 2. x = 5; x =. ĐS: x =- 2. BÀI 2: Giải bất phương trình: 2x +1 - 17.2 x + 8 £ 0 a). 2. (4+ b).. 15. ). x. (. + 4-. 15. ). x. >8. ĐS:. S = [- 1;3]. ĐS:. S = ( - ¥ ;- 1) ( 1; +¥ ). BÀI 4: Giải các phương trình sau: x +1 + 6.5x - 3.5x- 1 = 52 a). 5. x +1 + 3x +2 + 3x +3 = 9.5x + 5x +1 + 5x +2 b). 3. x x +1 = 72 c). 3 .2. x d). 4. 2 - 3x +2. + 4x. 2 +6x +5. = 42x. BÀI 2: Giải phương trình: a). b).. ln ( x - 3) + ln ( x - 1) = ln ( 3x - 7 ) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2. ĐS: x = 5 ĐS: x = 16. BÀI 3: Giải bất phương trình và hệ phương trình sau: 2log3 ( x + 2) + log 1 ( 2x +19) £ 0 3. a).. ìï log8 (xy) = 3log8 x.log8 y ïï x log x í ïï 4log8 = 8 y log8 y b). ïïî BÀI TẬP: Bài 1. Giải các phương trình sau: x x +1 + 3x +2 = 351 1). 3 + 3 x x- 1 = 11 3). 7.5 - 2.5 Bài 2. Giải các phương trình sau:. ĐS:. S = ( - 2;3]. ĐS:. ( 8;2 2 ) ,çççè12 ;. æ. x +1 + 2x +2 = 3x- 2 + 3x- 3 2). 2 x 2x 2x x 4). 14.7 + 4.3 =19.3 - 7 2 - x- 5. 0, 2) 1). (. x- x 2. ( 3 + 2 2) 3).. x æö 3÷ ç ç ÷ ç ÷ 2). è2 ø. = 56x - 10 4x - 1. (. = 3- 2 2. ). 2x +3. Bài 3. Giải các phương trình sau: 2x 2x 1). 9 - 3 - 6 = 0 x x 3) 25 - 5 - 12 = 0. ö 2÷ ÷ ÷ ø. ( 9. 3 ) 4).. x2 - x. 2x +3. æö 2÷ =ç ÷ ç ÷ ç3 ø è. = 81x- 1. x x- 1 =1 2). 2 - 4 2x +8 - 4.3x +5 + 27 = 0 4). 3. 2 +3x +7. +1.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài 4. Giải các phương trình sau: x x x 1). 10.25 - 29.10 +10.4 = 0 x x x 3). 25 + 3.15 + 2.9 = 0 Bài 5. Giải các phương trình sau:. 1). 5. x- 1. - x +3. +5. = 26. 2).. x +1 + 32- x = 28 3). 3 Bài 6. Giải các phương trình sau:. 1). 4. x 2 +2x - 8. =5. x x x 2). 5.36 = 3.16 + 2.81 x x x 4). 4.9 +12 = 3.16. x- 2. 2 x- 1 - 22-. 4). 7. 2). 3. 2. x. 2x 2 +x +1 x- 1 .8 x. x- 1. =. 7 2. + 72x. 2- x. - 8=0. =1. x 9- x =8 3). 2 .3 Bài 7. Giải các phương trình sau:. x- 1 = 3 22x +1 4). 4.9. x x x 1). 8 - 2.4 - 2 + 2 = 0. x 2). 2. 2- x. - 22+x -. x x x x 3). 3.8 + 4.12 - 18 - 2.27 = 0 Bài 8. Giải các phương trình sau:. x 4). 2. 2 +x. - 4.2x. x2. 2- x. =3 - 22x + 4 = 0. 1). log 2 x + log3 x + log 4 x = log 20 x 1 log2 ( 3x - 1) + = 2 + log 2 ( x +1) log (x +3) 2 2). 2 1 x- 1 log9 x 2 - 5x + 6 = log 3 + log3 (x - 3) 2 2 3).. ( ) log 2 ( x 2 + 3x + 2) + log 2 ( x 2 + 7x +12) = 3 + log 2 3 4). Bài 9. Giải các phương trình sau: log8 4x log 2 x = 1). log 4 2x log16 8x. (. ). 2).. (. ). log 2 4x +1 + 4 .log 2 4x +1 = 3. 3). Bài 10. Giải các bất phương trình sau:. 2x- 1 2x - 2 2x - 3 +2 +2 ³ 448 5). 2. x. - ( 2, 5). x +1. ( 2 - log3 x ) log9x 3 -. x. 3 + log3 x +. 4 =1 1- log3 x. 2x 2 - 3x æö 7÷ 9 ç ³ ÷ ç ÷ ç 7 2). è9 ø. - x 2 +3x 2 <4 1). x +2 x- 1 +3 £ 28 3). 3. 0, 4 7). ( ). 4).. log x 3 + log3 x = log. > 1, 5. Bài 11. Giải các bất phương trình sau: 3x - 1 log 1 >1 x +2 3 1). 3). log 2 (x + 5) £ log 2 (3 - 2x) - 4. x x 4). 4 - 3.2 + 2 > 0 x - x 6). 2 + 2 - 3 < 0 x x x 8). 5.4 + 2.25 £ 7.10. 2). log 4 (x + 7) > log 4 (1- x) 2 4). log 2 (x - 4x - 5) < 4. 1 2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> x 5). log5 (26 - 3 ) > 2. 1).. log8 ( 4 - 2x ) ³ 2. 3).. log 0,2 x - log5 ( x - 2) < log 0,2 3. 1 1 + >1 1 log x log x 5).. x 6). log 3 (13 - 4 ) > 2. log 1 ( 3x - 5) > log 1 ( x + 1). 5 5 2 4). log3 x - 5log3 x + 6 = 0. 2).. 6).. 2 log 0,2 x - 5log 0,2 x <- 6.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>