Chuyen de 3 Tich phan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG PHẦN I: HỆ THỐNG CÔNG THỨC & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN I/- BẢNG NGUYÊN HÀM Nguyên hàm Nguyên hàm của những Nguyên hàm của hàm số sơ cấp hàm số thường gặp hàm số hợp dx x  C a.dx ax  C du u  C 1. 1. x x dx    1  C    1 .  ax  b . . 1  ax  b  dx  a  1. C. u 1 u du    1  C    1 . ax a dx  ln a  C ( 0  a 1 ). với   1 dx 1 ax  b  a ln ax  b  C  x 0  dx 1 (ax  b)2  a(ax  b)  C dx 2  ax  b  a ax  b  C 1 ax b ax b e dx  a e  C 1 a px q px q a .dx  p . ln a  C 0  a 1 ( ). cos xdx sin x  C. cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C. sin xdx  cos x  C. sin  ax  b  dx  a cos  ax  b   C. 1 cos2 x dx tan x  C. cos 2  ax  b  dx  a tan  ax  b   C. 1 sin 2 x dx  cot x  C. sin 2  ax  b  dx  a cot  ax  b   C sin 2 u du  cot u  C. dx. x. dx. ln x  C  x 0 . x 2 . 1  C  x 0  x. dx 2 x  C  x  0  x. . e. x. dx e x  C. x. 1. 1. 1. 1. 1. 1. II/- TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ  Đổi biến số dạng 2 Tính tích phân: Bước 1. Đặt t = u(x) và tính . Bước 2. Đổi cận: . Bước 3.. Lưu y: Nếu sin và cos đều là bậc chẵn thì dùng công thức hạ bậc:. 1  cos 2u 1  cos 2u sin 2 u  ; cos 2 u  2 2. du. u. ln u  C  u 0 . du. u 2 . 1  C  u 0  u. du 2 u  C  u  0  u. . e. u. du eu  C. au a dx  ln a  C ( 0  a 1 ) u. cos udu sin u  C sin udu  cos u  C 1. cos2 u du tan u  C 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Nếu sin hoăc cos co bâc le Dạng. Cách đặt. Phân tích: sin 2m 1 x (sin 2 x) m .sin xdx (1  cos 2 x) m .sin xdx a Bậc sin lẻ: Đặt: t cos x  dt  sin x.dx b Phân tích: I sin 2n x.cos 2m 1 x.dx cos 2m 1 x (cos 2 x) m .sin xdx (1  sin 2 x) m .cos xdx a Bậc cos lẻ: Đặt: t sin x  dt cos x.dx x t tan 2 nếu các phương pháp đã nêu ở  Khi tính tích phân hàm số lượng giác ta có thể đặt trên không thích hợp: b. I cos 2n x.sin 2m1 x.dx. Nếu đặt:, ta có:.  Đổi biến số dạng 1 Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Tính I = Bước 1. Đặt x = u(t) và tính . Bước 2. Đổi cận: . Bước 3. .. CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP: DẠNG. ò. a 2 - x 2 dx. ò. x 2 - a 2 dx. ò ò. ò. CÁCH ĐẶT é p pù t Î ê- , ú ê ë 2 2ú û Đặt: x = a sin t với. Đặt: dx a 2 - x2 x 2 + a 2 dx dx x2 +a2. x=. a tÎ sin t với. é p pù ê- , ú\ { 0} ê ë 2 2ú û. æ p pö tÎ ç - , ÷ ÷ ç ÷ ç è ø 2 2 x = a sin t Đặt: với æ p pö tÎ ç - , ÷ ÷ ç ÷ ç è 2 2ø Đặt: x = a tan t với æ p pö tÎ ç - , ÷ ÷ ç ÷ ç è 2 2ø Đặt: x = a tan t với.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> æ p pö tÎ ç - , ÷ ÷ ç ÷ ç è 2 2ø Đặt: x = a tan t với. dx. ò x2 +a2 III/- TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN b. I udv uv. 1). Công thức: 2). Phương pháp giải toán: a. b a. b.  vdu a. (1). b. Giả sử cần tính tích phân :. I f (x)g(x)dx a. bằng PP tích phân từng phần ta thực hiện. Bước 1. Đặt: hoặc: Bước 2. Đặt: Tính: Bước 3. Thay vào công thức: Tính giá trị:và tính tích phân: Kết quả. MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP VÀ CÁCH ĐẶT Dạng Cách đặt du P(x)dx  u P(x)  I P(x)sin(ax)dx    1 dv sin(ax)dx  v  cos(ax)  1/ a  Đặt: . 2/. I P(x) cos(ax)dx  . 3/. Đặt: ax. I e .P(x)dx  b. 4/. I P(x) ln(ax)dx a. . (ax  b) I  2 dx  cos x 5/. u P(x)   dv cos(ax)dx. du P(x)dx   1  v  a sin(ax). du P(x)dx   1 ax  v  a .e Đặt: (ax) 1  dx  .dx u ln(ax) du    ax x  dv P(x)dx  v moät nguyeân haøm cuûa P(x)  Đặt: u P(x)   ax dv e dx. u ax  b   1  dv  dx  cos 2 x Đặt: . du a.dx   v tan x.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> u ax  b   1  dv  dx  sin 2 x Đặt: . . (ax  b) I  2 dx  cos x 6/. du a.dx   v  cot x. IV/- TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán b. I f (x) dx. a Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện các bước sau Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:. x f (x) b. . a. x2 0. . x1. x2. b. a. x1. x2. I f (x) dx  f (x)dx  Bước 2. Tính. x1 0. a. b . f (x)dx  f (x)dx. . V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH. 1. DIỆN TÍCH  Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox và hai đường thẳng b. x = a, x = b (a < b) có diện tích là:. S f (x) dx a. Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị (C1), (C2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức: b. S f (x)  g(x) dx a. Chú y: Nếu giả thiết thiếu các đường thẳng x = a, x = b ta phải lập phương trình hoành độ giao điểm:  Nếu hình phẳng giới hạn bởi (C): y = f(x) và trục Ox thì PTHĐ giao điểm là: f(x) = 0 (1)  Nếu hp giới hạn bởi (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) thì PHTĐ giao điểm là: f(x) = g(x) (2) Giải phương trình (1) hoặc (2) để tìm cận a, b. 2. THỂ TÍCH  Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi (C):y = f(x),y = 0, x = a, x = b quay quanh Ox b. được tính bởi công thức:. 2. V   f  x   dx a.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi (C): x = (y), x = 0, y = c, y = d quay quanh Oy d. được tính bởi công thức:. 2. V     y   dy c.  Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x), y = g(x) b. quay quanh Ox (f(x)  g(x), x[a;b]) được tính bởi công thức:. 2. . V    f  x     g  x   a. 2.  dx .. PHẦN II: BÀI TẬP VẬN DỤNG I/-TÌM NGUYÊN HÀM BÀI 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x). x 1 - cos 2x f (x) = f (x) = 2 (x - 1) cos 2 x 1). 2). f (x) =. x. æx ÷ ö ç f (x) = x.sin ÷ ç 1+ x ç è2 ÷ ø 3). 4). BÀI 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa điều kiện cho trước 1). 2).. 2 5. (. ). F(x) = ò (x 3 +1).dx F(x) = ò. 2x +1 2. x + x +1. , biết F(2) = 7 dx. , biết: F(0) = 1. 3).. F(x) = ò x.ln(x - 1).dx. 4).. F(x) = ò x - sin 2 x .cos xdx. (. ). , biết: F(2) =- 3 , biết: F(p) = 0. æ x ö ÷ ç x 2 ÷ F(x) = ò x ç +e .dx ÷ ç ÷ 3 ç ÷ ç è x +1 ø , biết: F(2) = 1 5). II/-TÍNH TÍCH PHÂN  CÁC VI DỤ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT VD1: p 4. 1. a).. ò( x. 3. 3. + x +1) dx. 0. b).. p 2. ò cos5x.cos 3xdx. d).. p 2. GIẢI:. e).. dx. ò x +1 0. p 4. ö ÷ òsin ççè4 - xø÷ ÷dx 0. æ 4 ö ÷ ç 3sin x dx ÷ ò ççècos2x ÷ ø. c).. -. 1. 2æ çp. f).. p 4. x- 1. ò x +1dx 0.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1. a).. æ4. 3 çx ò( x + x +1) dx = çç. ç è4. 0. 3. b).. +. dx. 3. ö x2 ÷1 7 + x÷ = ÷ ÷ 0 2 4 ø. ò x +1 = ln x +1 0 = ln 4 -. ln1 = ln 4. 0. p 4. p. æ 4 ö dx = (4 tan x + 3cos x) 4 p = 8 ÷ ò çççècos2x - 3sin xø÷ ÷ -. c).. p 4. -. 4. p 2. 1 cos5x.cos3xdx = ò 2 p. d).. -. 2. p 4. p 2. p. ö2 1æ 1 1 ÷ ç cos8x + cos 2x dx = sin 8x + sin 2x =0 ( ) ÷ ç ò ÷ ç è8 ø- p 2 2 p. -. 2. 2. p 4. p 4. p. ù ö æ ö 1 é p 1 ö 4 1 p 1 ÷ ÷ ç ÷ ê údx = ò[1 - sin 2x ]dx = 1 æ ç sin x dx = 1 c os 2x ÷ ÷ x + c os 2x = ç ç ÷ ò çè4 ø÷ 2 ò êë ç ÷ ç ÷ ç è2 øú 2 è ø 2 2 8 4 û 0 0 0 e). 0. f).. 2æ çp. 1. 1. 0. 0. æ 1 x- 1 2 ö ÷ ç dx = 1 dx = x 2ln x + 1 = 1 - 2ln 2 ( ) ÷ ç ò x +1 òçè x +1ø÷ 0. VD2. 1. a).. e2. 5. ò(2x +1) .dx. b).. 0. 1. dx ò x.ln x .dx. c).. e. 4x + 2. ò x 2 + x +1.dx 0. 2p 3 2. d).. æ 2pö ç cos 3x .dx ÷ ò ççè 3 ø÷ ÷ p. dx. ò (2x - 1)2 .dx. e).. 1. 3. f).. GIẢI: 1. a). Tính:. 5. ò(2x +1) .dx 0. Đặt u = 2x +1 khi x = 0 thì u = 1 . Khi x = 1 thì u = 3 1 du = 2dx Þ dx = du 2 . Do đó: Ta có 1. 3. 3. 1 1 6 1 6 182 5 ò(2x +1) .dx = 2 ò u .du = 12 u 1 = 12 3 - 1 = 3 0. 5. 1. e. (. ). 1. ò x ( 1 + ln x) dx 1.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> e2. dx. ò x.ln x .dx. b). Tính:. e. 1 u = ln x Þ du = dx x . Đặt 2 Khi x = e thì u = 1 Khi x = e thì u = 2.. Ta có. e2. 2. e. 1. dx du 2 .dx = ò x.ln x ò u = ln u 1 = ln 2 - ln1 = ln 2 1. .. 4x + 2. ò x 2 + x +1.dx. c). Tính:. 0. 2 Đặt u = x + x +1 Þ du = (2x +1)dx Þ (4x + 2)dx = 2du. Khi x = 0 Þ u = 1 . Khi x = 1 Þ u = 3 . 1. Do đó:. 3. 4x + 2. 2. 3. ò x 2 + x +1.dx = ò u .du = 2ln u 1 = 2(ln 3 0. ln1) = 2ln 3. 1. 2. dx. ò (2x - 1)2 .dx. d). Tính:. 1. 1 u = 2x - 1 Þ du = 2dx Þ dx = du 2 Đặt Khi x = 1 Þ u =1 . Khi x = 2 Þ u = 3 . 2. Do đó:. 3. 3. 1 du 1 1æ 1 ò (2x - 1)2 .dx = 2 ò u 2 =- 2u 1 =- 2 çççè3 1 1 dx. 2p 3. æ 2pö ç cos 3x .dx ÷ ç ò çè 3 ø÷ ÷ p e). Tính Đặt. 3. u = 3x -. 2p 1 Þ du = 3dx Þ dx = du 3 3 .. Đổi cận: x u. p 3 p 3. 2p 3 4p 3. ö 1 1÷ = ÷ ÷ ø 3.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Do đó:. 2p 3. 4p 3. 3. 3. 4p æ 3 æ ö æ ö 2 p 1 1 3ö 3 ÷ 3 = 1 çsin 4p - sin p ÷= 1 ç ÷ ç ÷ cos 3x .dx = cos u.du = sin u =ç ÷ ÷ ç ç ÷ ò çè 3 ÷ ò p ç ÷ ç ÷ ø 3 p 3 3è 3 3ø 3ç 2 ø 3 è 2 p 3. e. f). Tính. I=ò 1. 1 dx x ( 1 + ln x ). 1 Þ dt = dx x Đặt t = 1 + ln x Đổi cận: x t. 1 1. e 2. 2. 2 1 I = ò dt = ln t = ln 2 - ln1 = ln 2 1 t 1. 2. VD3. Tính. I=ò 0. 1 4 + x2. dx. GIẢI: æ p pö tÎ ç - , ÷ ÷ ç ÷ ç è ø 2 2 x = 2 tan t Đặt , Þ dx = 2(1 + tan 2 t)dt Đổi cân:. x t. 0. 2 p 4. 0 p 4. p 4. p 1 1 p I=ò .2(1 + tan t)dt = ò dt = t 4 = 2 2 2 8 4 + 4 tan t 0 0 0 VD4. Tính các tích phân sau: 1. 2. p 2. a).. ò x.cos x.dx 0. 1. b).. ò x.e 0. x. e. .dx c).. ò x.ln x.dx 1.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 2. p 2. ln x. ò x5 .dx. d).. e).. 1. òe. x. .cos x.dx. 0. GIẢI: p 2. a). Tính:. ò x.cos x.dx 0. u x   dv  cos xdx  Đặt. du dx   v sin x .. Ta có: p 2. ò. p x.cos x.dx = (x.sin x) 02 -. 0. p 2. p. p 2 = p- 1 sin x.dx = + cos x ò 0 2 2 0. 1. b). Tính:. ò x.e. x. .dx. 0.  u x   x dv  e dx  Đặt 1. du dx  x  v e .. x. x.e .dx xe. Do đó: 0. x1 0. 1.  e x .dx e  e x 0. 1 0. e  (e  1) 1. e. c). Tính:. ò x.ln x.dx 1. dx  du  x   2 u ln x v  x   2 Đặt dv xdx e e 1e x2 e2 x 2 e e2 1 x ln xdx  2 ln x 1  2 xdx  2  4 1  4 1 1 2. d). Tính:. Đặt. ln x. ò x5 .dx 1. u ln x    1 dv  dx  x5. dx  du  x   v  1  4x 4 .. ..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 2. Do đó:. ln x. x 5. ln x. dx . 2. 4x 4 1. 1. 2. 2. 1 dx ln 2 1  1  15  4ln 2   5      4 41x 64 4  4x  256 1. .. p 2. e). Tính:. I = ò e x .cos x.dx 0. ìï u = e x ïí Þ ïï dv = cos xdx î Đặt  2. Þ. ò 0. ìï du = e x dx ïí ïï v = sin x î.  x x e cos x.dx = e sin x 2 0. ìï u = e x ïí 1 Þ ïï dv1 = sin xdx Đặt: î  2. òe. x. 0.  I =e2.  2. -. Do đó:. Hay:. òe. x. -. ò.  x e sin x.dx = e 2.  2. -. 0. òe. I=.  2.  2. 0. 0. + ò e x cos x.dx = 1 + òe x cos x.dx = 1 + I.  sin x.dx = e 2. - (1 + I) Þ.  2I = e 2. - 1 2. VD4: Tích tích phân các hàm số hữu tỷ sau: 1. a).. 4x +11. ò x 2 + 5x + 6 dx 0. 1. b).. 0. 1 2. c).. . (mẫu vô nghiệm). x +2. ò x2 0. . (mẫu có 2 nghiệm phân biệt). dx. ò x 2 + x +1. 2x +1. dx . (mẫu có nghiệm kép). GIẢI: 1. a). Tính tích phân:. 4x +11. ò x 2 + 5x + 6 dx 0. sin x.dx. 0. 0.  e2. x. ìï du = e x dx ïí 1 ïï v1 =- cos x î.  x e .cos x 2 0. sin x.dx =-.  2. .. - 1.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 4x +11. =. 2 Ta có : x + 5x + 6. ( A + B) x + 3A + 2B 4x +11 A B Û 2 = + x + 2 x +3 x + 5x + 6 x 2 + 5x + 6 ïìï A + 2B = 4 Û í ïîï 3A + 2B = 11. Áp dụng đồng nhất thức, ta có: 4x +11 2 Vậy x + 5x + 6 1. Do đó:. 1. æ 1 1 ö ç dx = 3 + dx = ( 3ln x + 2 + ln x + 3 ) 1 = ln 9 ÷ ç ò x 2 + 5x + 6 òçè x + 2 x + 3ø÷ ÷ 0 2 4x +11. 0. 0. b). Tính tích phân: 1. dx. dx. ò x 2 + x +1 0. 1. ò x 2 + x +1 = ò æ. dx. 1 3 x+ = tan t, t Î 2 2 Đặt :. ép ê; ê ë6. 0. 0. Do :. 1. p 3. dx. p 6. 0. Vậy. 1 2. c). Tính tích phân: 1 2. .. 2 1ö 3 ÷ ç x + + ÷ ç ÷ 4 ç è 2ø. ò x 2 + x +1 = ò. =. .. 3 1 + x + 2 x +3 .. =. 1. Ta có :. ïìï A = 3 í ïîï B = 1. pù 3 úÞ dx = 1 + tan 2 t dt 3ú 2 û. (. ). p 3 2 3 1 + tan t dt 2 3 2 3 2 = dt = t ò 3 3 3 2 (1 + tan t) p 4 6. (. ). x +2. ò x2 0. 2x +1. p 3 p 3 = p 9 6 .. dx .. 1 2. æ 1 2x - 2 3 ö ÷dx ç dx = + ç ÷ ò x 2 - 2x +1 òçèç2 x 2 - 2x +1 (x - 1)2 ø÷ ÷ 0 0 x +2. 1 2. 1 2. 0. 0. 1 2x - 2 3 dx + ò dx ò 2 2 x - 2x +1 (x - 1) 2. 1 1 1 1 2 ö = ln x - 2x +1 2 - 3 1æ 1 2 ln - 0÷ - 3(- 2 +1) 2 x- 1 = ç ÷ ç ÷ 0 0 è 4 ø 2ç = 3 - ln 2 VD5: Ứng dụng tích phân tính diện tích a). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos x ; y = 0 ;. x =-. p 2 ; x =p.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 4x. b). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3. c). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x ln x ; y = 0 ; x = 1 ; x = e d). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (3 + sin x) cos x ; y = 0 ; x = 0, x = p 2 e). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x , y = 4x - 3 x- 2 x +1 và hai trục tọa độ. f). Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi (H) : 2 g). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x +1 và y = x - 1 y=. GIẢI: a). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos x ; y = 0 ; Diện tích hình phẳng cần tìm là: p 2. p. S = ò cos x dx = ò cos xdx -. p 2. -. p 2. p 2. p cos xdx = s inx 2 p p 2 2. ò. x =-. p 2 ; x =p. p. - s inx p 2. = (1 +1) - (0 - 1) = 3 (đvđt). 4x b). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3. Ta có: Trục tung x = 0 3. Diện tích hình phẳng cần tìm là. S=òe. 4x. 3. 3. 1 4x e12 +1 dx = ò e dx = e = 4 4 0 4x. (đvđt) y = x ln x y = 0 c). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ; ; x =1 ; x = e x Î [1;e ] Vì nên x ln x ³ 0 0. 0. e. Do đó diện tích hình phẳng cần tìm là : ìï 1 ïï du = dx ïï x í ïìï u = ln x ïï x2 í ï v = ï dv = xdx Þ ïïî 2 Đặt ïî e. e. e. S = ò x ln x dx = ò x ln xdx 1. 1. e. 1 1 e2 1 e 2 e 2 1 e 2 +1 S = x 2 ln x - ò xdx = - x 2 = + = 2 2 2 4 2 4 4 4 1 1. (đvđt) d). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (3 + sin x) cos x ; y = 0 ; x = 0, x = p é3 + sin x = 0 p Û x = + kp, k Î  ( 3 + sin x ) cos x = 0 Û ê ê 2 ëcos x = 0 Ta có: 1. Diện tích hình phẳng cần tìm là:.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> p 2. p. p. S = ò (3 + s inx)cos x dx = ò (3 + s inx) cos xdx 0. 0. Đặt t = 3 + s inx Þ dt = cos xdx Đổi cận. 4. S = ò tdt -. 3. 4. 4. 4. ò(3 + s inx) cos xdx p 2. 4. 2 ò tdt = ò tdt +ò tdt = 2ò tdt = t =16 - 9 = 7 3. (đvđt) e). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x , y = 4x - 3 Phương trình hoành độ giao điểm của các đường đã cho là éx = 1 Û x 2 - 3x + 2 = 0 Û ê ê x 2 = 3x - 2 ëx = 2 3. 4. 3. 3. 3. 2. 2. 2. Diện tích của hình phẳng cần tìm là:. S = ò x 2 - 3x + 2 dx 1. =. æx 3 3x 2 ö 1 ÷ ç ÷ ç + 2x = ÷ ç ÷ ç 2 6 è3 ø1. x- 2 x +1 và hai trục tọa độ. f). Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi (H) : x- 2 =0Þ x =2 Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và trục hoành là: x +1 Diện tích của hình phẳng cần tìm là: y=. 2. S=ò 0. x- 2 dx = x +1. 2. x- 2 ò x +1 dx = 0. 2. æ. òçççè10. ö 1 3 ÷ dx = ( x - 3ln x +1 ) = 1 - 3ln 2 = 3ln 2 - 1 ÷ ÷ 0 x +1ø. (đvtt) 2 g). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x +1 và y = x - 1 1 1 y 2 = 2x +1 Û x = f (y) = y 2 2 2 (P) Ta có: y = x - 1 Û x = g(y) = y +1 (d). Phương trình tung độ giao điểm của (P) và (d) là: éy =- 1 1 2 1 y - = y +1 Û y 2 - 2y - 3 = 0 Û ê ê 2 2 ëy = 3 Diện tích hình phẳng cần tìm là: 3. 3. - 1. - 1. 3. æy3 y 2 3y ö 1 3 16 ÷ ÷ ç S = ò f ( y) - g(y)dy = ò y 2 - y - dy = ç = ÷ ç ÷ 2 2 ç 2 2ø 3 è6 - 1. (đvtt). VD6: Ứng dụng tích phân tính thể tích. a). Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng:.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> p p y = cot x, y = 0, x = , x = 4 2 b). Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường x y =e2. x , y = 0, x = 0, x = 1 khi nó quay quanh trục Ox. c). Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng: p y = cos4 x + sin 4 x , y = 0, x = , x = p 2 2 d). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi y = x và y = 4x .. GIẢI: a). Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng: p p y = cot x, y = 0, x = , x = 4 2 Thể tích vật thể cần tìm là: p 2. p 2. æ 1 ö ÷ V = pò cot xdx =pòç 1 ÷ ç ÷dx =p( x + cot x ) ç sin 2 x ø è p p 2. 4. p 2 p 4. æ p p ö æ p = pç + 0 - - 1÷ = pç ÷ ç ç ÷ ç2 ç4 è 4 ø è. ö 1÷ ÷ ÷ ø. 4. ( đvtt). b). Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường x y =e2. x , y = 0, x = 0, x = 1 khi nó quay quanh trục Ox. 2 1 æx ö 1 ÷ ç 2 x÷ ÷ V = pòç e dx ç = pò xe x dx ÷ ç ÷ ÷ è ø 0ç 0 Thể tích cần tìm là 1. I = ò xe x x. 0 Tính ìï u = x ïí Þ ïï dv = e x dx Đặt î 1 I = xe x 0. ìï du = dx ïí ïï v = e x î. 1. 1. x x òe dx = e - e =1 0. 0. Vậy V = p (đvtt) c). Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng: p y = cos4 x + sin 4 x , y = 0, x = , x = p 2 Thể tích cần tìm là: p. p. p. p. 2. 2. æ 1 2 ÷ ö æ 1 ö ÷ ç V = pò y dx =pò (cos x + sin x)dx =pòç 1 - sin 2x ÷ dx =p 1 1 c os 4x ( ) ÷ ç ç ò ÷ ÷dx ç 2 ç 4 è ø è ø p p p p 2. 2. 2. 4. 4. p. æ3 1 ö æ3 ö 3p2 1 ÷ ÷ ç pòç + c os 4x dx = p x + sin 4x = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç4 4 ç4 è ø è ø 8 16 p 2. (đvtt).

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 2 d). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi y = x và y = 4x .. Phương trình hoành độ giao điểm của các đường đã cho: éx = 0 x 2 = 4x Û x 2 - 4x = 0 Û ê ê ëx = 4 4. é 2 V = pò ê( 4x ) - x 2 ê ë. ( ). 4. 4. æ 16 3 x 5 ö 2048 ÷ ÷ ú= pò 16x - x dx = pç ç x = p ÷ ç ÷ ú ç 3 5 15 è ø0 û 0. 2ù. (. 2. 4. ). 0 Thể tích cần tìm là: (đvtt)  CÁC BÀI TẬP TÍCH PHÂN CÓ HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI 1. p 2. 1).. òsin x.. HD: Đặt. 0. p 2. ò 0. 2).. p 2. 3).. 8cos x +1dx. ò 0. sin 2x. (. 2. cos x + 2. ). 3. dx HD: Đặt p 2. sin 2x dx 4sin 2 x + cos 2 x. t = 3sin 2 x +1 Þ KQ =. Đặt p 2. HD:. ò 0. p 2. sin 2x dx 4sin 2 x + cos 2 x. =ò 0. sin 2x dx 3sin 2 x +1. t = sin 2x +1 Þ KQ =-. p 4. HD: Đặt. ò sin 2x(1 + sin x) p 2. 2. p. ò sin 2x(1 + sin x). dx HD: Đặt. p 2. 2. 1æ 1 1ö ç - ÷ ÷ ç 2 ÷ ç 2 èe eø. p. dx = ò 2sin x.cos x(1 + sin x) 2 dx. t = sin x Þ KQ =-. p 2. 17 6. e2. 6).. ln 3 x + 2 ò x dx 1. e7. 7).. HD: Đặt t = ln x Þ KQ = 8. dx. ò x.3 ln x +1 1. HD: Đặt. t = 3 ln x +1 Þ KQ =. 9 2. t = ln x +1 Þ KQ =. 14 - 2 3. e3. 8).. ln x dx ò x. ln x +1 1. 5 72. cos 2x. p. 5).. t = cos2 x + 2 Þ KQ =. 13 6. 2 3. ò esin 2x +1 dx 4).. t = 8cos x +1 Þ KQ =. HD: Đặt.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 2. 9).. x 2 dx. ò. 3. x +1. 0. t = x 3 +1 Þ KQ =. HD: Đặt. 4 3. 3. 10).. ò x. ò. 12).. ò. cos 2 x. 3 2 HD: Đặt t = tan x + 2 Þ KQ = e - e. x- 1. e. x. 1. p 2. 13).. ò sin. 3. dx. HD: Đặt t = x - 1 Þ KQ = 2(e - 1). HD:. 0. ln 2. 14).. p 2. x.cos 2 x dx. t = cos x Þ KQ =. Đặt. ò sin 0. 3. p 2. x.cos 2 x dx = ò sin x.(1 - cos 2 x) cos 2 x dx 0. 2 15 ln 2. dx. ò 1 + e- x. HD:. 0. p 4. dx. 15). 0 BÀI 2.. HD:. 0. 0. e x dx. 0. dx. ò cos4 x 0. p 2. ò(4x + 5)sin 2x dx. ln 2. dx. ò 1 + e- x = ò e x +1 p 4. ò cos4 x. 1).. 116 15. e tan x +2 dx. 0 4. t = x +1 Þ KQ =. HD: Đặt. 0. p 4. 11).. x +1dx. p 4. =ò 0. 1 + tan 2 x cos2 x. æö 3÷ t = e x +1 Þ KQ = ln ç ÷ ç ÷ ç è ø 2 Đặt dx Đặt. t = tan x Þ KQ =. HD: Đặt. ïìï u = 4x + 5 Þ KQ = p+ 5 í ïïî dv = sin 2x dx. HD: Đặt. ìïï u = 3x - 2 p Þ KQ = - 1 í ïïî dv = cos3x dx 2. p. ò (3x 2).. 2).cos 3x dx. p 2. ln 5. 3).. x ò 2x.e dx. ln 2 3. 4).. ò(x. 2. +1).e2x dx. 0. 2. 5).. ò(3x -. 2x. dx. 0 2. 6).. 4).e-. 2 ò(6x + 5)ln x dx 1. ìï u = 2x ïí Þ KQ = 10ln 5 - 4ln 2 - 6 ïï dv = e3x dx HD: Đặt î ìï u = x 2 +1 15e6 - 3 ï Þ KQ = í ï dv = e 2x dx 4 HD: Đặt ïïî ïìï u = 3x - 4 - 7e- 4 - 5 Þ KQ = í - 2x ï 4 dx HD: Đặt ïî dv = e ìï u = ln x 29 ïí Þ KQ = 26ln 2 2 ï 3 HD: Đặt ïî dv = (6x + 5) dx. 4 3.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 2. 7).. ò(3x. ïìï u = ln(x + 2) 14 Þ KQ = 28ln 2 í 2 ï 3 HD: Đặt ïî dv = (3x + 2x)dx ìï u = ln(x +1) ïï 3 Þ KQ = 3ln 2 - ln 3 í dx ïï dv = 2 2 ï x î HD: Đặt ïìï u = cos x ep +1 Þ KQ =í ïï dv = e x dx 2 HD: Đặt î. + 2x) ln(x + 2). 0 2. 8).. 2. ò. ln(x +1) x2. 1. p. òe. x. dx. cos x dx. 9). 0 BÀI 3. p 2. 1).. x 2 - 2x + 3 ò x - 1 dx 1. 2).. ò x2 -. x- 2. 0. ò ex 0. 8e- x - 2. HD:. p 3. dx. 6).. p 4. sin 2 x. Suy ra:. - 1. dx. e. 2x. 1 x t = e Þ KQ = ln 5 - 2e - 8 2 Đặt x. 4dx. KQ = 4 3. p 6. 12 p 3. ò. dx. 1 + cos x. p 4. sin 2 x. p 3. dx = ò p 4. dx sin 2 x. p 3. +ò p 4. cos x sin 2 x. éx = 0 Î ( - 1;2) x 2 - 3x = 0 Û ê êx = 3 Ï ( - 1;2) ê ë HD:. - 1. òx. 0. p 3. HD: 12. 2 ò x - 3x dx. 2. =ò. e x dx. 1 1æ 3ö ÷ ç ÷ sin 3x sin 5x dx (cos 2x cos8x) dx Þ KQ = 2 1 + ç ÷ ò ò2 ç ÷ ç 8 4 è ø p p. HD:. 2. - 2. p 8. 2. 7).. 8e. p 8. ò sin 3x sin 5x dx 1 + cos x. - x. p 6. HD:. p 12 5).. ln 3. dx. ò sin 2 x.cos 2 x = ò sin 2 2x Þ. p 8. ò. 0. æ1 3 ö ÷ dx = òç + ÷dx Þ KQ = 2ln 2 ç ç è ø x - 2 x +1÷ x- 2 0. 0. ò ex -. 1. 4x - 5. ò x2 -. ln 3. p 6. p 3. 2. HD: Đặt. ò sin 2 x.cos 2 x 4).. 2. dx. dx. p 3. 5. æ x 2 - 2x + 3 2 ö 15 ÷ ç dx = x 1 + dx Þ KQ = + 2ln 4 ÷ ç ò x- 1 òçè ÷ x - 1ø 2 1. 4x - 5. ln 3. 3).. HD:. 0. 5. 0. 2. 2. - 3x dx = ò (x - 3x).dx + ò (x 2 - 3x).dx - 1. 0. 31 KQ: 6. 2. 8).. x dx ò1 + x - 1 1 1. 9).. ò x(e 0. 2x. + 3x 2 +1)dx. HD: Đặt. t = x - 1 Þ KQ =. 11 - 4ln 2 3. dx Þ KQ = 1-. 3+ 2.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 1. ò x(e. HD:. 2x. 0. 1. 2. 1. 2x. + 3x +1)dx = ò xe dx + ò x 3x 2 +1dx Þ KQ = 0. 0. p 2. 10).. p 2. òcos x.ln(sin x +1) dx. 2. òcos x.ln(sin x +1)dx = òln t dt Þ. HD: Đặt. 0. e 2 37 + 4 36. 0. KQ = 2ln 2 - 1. 1. BÀI 4. Tính các tích phân sau : 1. 1). ln 7. ò. ò x(e. 2x. p 2. 2. + 3x +1)dx 2).. 0. 0. òcos x.ln(sin x +1) dx 0. 3).. 2x - 1. ò x2 -. - 2. 4x + 3. dx 4).. e x + 2 .e x dx. ln 2.  CÁC BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ìï y = x 2 - 3x + 2 ïï ï y =x- 1 í ïï 3 2 ï x = 0, x = 2 1). ïî 2). y = x - 3x + 2 và trục Ox BÀI 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2. 1). y = x - 2x và y = x BÀI 3:. 2. 2). y = x và y = x. 1 y = ( x - 1) 9 3). y = x - x và 3. 2. 2 2 a). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x - 2x và y =- x + 4x 2 b). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x +1 (P), tiếp tuyến của (P). tại. M ( 2;5). và đường thẳng x = 0 .. c). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = ln x , y = - ln x , x = e x y= 2 1+ x2 d). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 1 + x , và 2 đường thẳng x = 0, x = 3 BÀI 4: a). Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh 2x + 3 y= e x , y = 0, x = 0, x = 1. trục Ox: b). Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi cho hình phẳng D quay quanh trục Ox. Biết D 3 được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x +1, y = 0 và đường thẳng x = 1 . 2x + 2 x- 1 BÀI 5. Cho hàm số: 1). Khảo sát sự biến thiên vả vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) tiệm cận ngang và hai đường thẳng x = 2, x = 3. 3). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ. a). Tính diện tích (H) y=.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> b). Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi (H) quay 1 vòng quanh trục Ox.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>