Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (701.18 KB, 13 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>
<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chương. III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC § 2: d·y sè § 3: cÊp sè céng § 4: cÊp sè nh©n. 11.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> H§1:Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n):”3n < n + 100” vµ víi n N*. Q(n): ”2n > n”. a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? b. Với mọi n N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai? Trả lời:. P(n) n. n. 3. ?. 1. 3. 2. 9. 3. 27. 4. 81. . 5. 243. n+100. Q(n) n. n. 2. 101. 1. 2. 102. 2. 4. 103. 3. 8. 104. 4. 16. 105 b. Với mọi n N* P(n) sai;. 5. 32. Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn.. ?. . n 1 2 3 4 5.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> Việc chứng tỏ cho Q(n) đúng với mọi số tự nhiên n N* b»ng c¸ch thö víi 1 sè gi¸ trÞ cña n “cho dù làm đợc với số lợng lớn” cũng không thể đợc coi là CM hơn nữa tập số tự nhiên là vô hạn nên việc thử là không thể thực hiện đợc. Vì vậy chúng ta cần có một phương pháp cụ thể để chứng minh những mệnh đề đó. Một phương pháp chứng minh hiệu quả đó là. phương pháp qui nạp toán học..
<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC. 1. Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên nN* là đúng với mọi n ta làm nh sau: B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1 B2: .Giả sử mệnh đề đúng với n k 1 (Giả thiết qui nạp-GTQN) .Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1 . KL mệnh đề đúng với mọi nN*..
<span class='text_page_counter'>(6)</span> Thí dụ 1: (HD3) Chứng minh rằng với mọi nN*, ta có:. n(n 1) 1 2 3 ... n (1) 2 Lời giải: 1(1 1) VT(1) 1 VP(1) ,đẳng thức (1) đúng. +) Với n = 1, ta có 2 k (k 1) Phương pháp qui nạp . 1 2 3 ... k +) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là 2. Để chứng minh những mệnh đề là (GTQN) đúng với sè tù Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng nhiªn nN*. minh: (k 1)[( k 1) 1] 1 2 tra 3 ... k (đề k 1) với n=1 (2) B1: Kiểm mệnh đúng 2 B2: .Giả sử mệnh đề đúng với n = k Thật vậy:. VT (2) (1 2 3 ... k ) ( k 1) (Giả thiết qui nạp-GTQN). k (k 1) (k 1) (k 1) 1 Ta chứng (kminh 1) VPn=k+1 (2) mệnh đề cũng đúng với 2 2. . KL mệnh đề đúng với mọi nN*. n(n 1) Vậy với mọi nN*, ta có: 1 2 3 ... n . 2. (1).
<span class='text_page_counter'>(7)</span> Thí dụ 2:Xét mệnh đề chứa biến Q(n): “ 3n > 3n + 1” víi n N* a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì Q(n) đúng hay sai? b. Với mọi n N* thì Q(n) đúng hay sai? c. Dự đoán kết quả tổng quát của Q(n) Trả lời: Q(n). n. 3n. 1. 3. 2. ?. 3n+1 4. 9. . 3. 27. . 10. 4. 81. 5. 243. . 7. 13 16. b. Với mọi n N*, Q(n) sai.. c. Dù ®o¸n. n. n 2, n N cã : 3 3n 1.
<span class='text_page_counter'>(8)</span> §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC 1. Phương pháp qui nạp toán học 2. Ví dụ áp dụng:. Chú ý: Để chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ( p lµ mét sè tù nhiªn) thì : B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ p. (Giả thiết qui nạp - GTQN). Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n= k+1. HOẠT ĐỘNG NHÓM CMR:n N*cã 2 + 4 + 6 + . . . . . . + 2n = n(n+1) (1). CMR:n N*cã un = n3 – n chia hÕt cho 3 (2) n. CMR : n 2, n N cã : 3 3n 1.
<span class='text_page_counter'>(9)</span> CMR:n N*cã 2 + 4 + 6 + . . . . . . + 2n = n(n+1) (1). Giải: * Với n =1, ta có VT=VP = 2. Vâïy (1) đúng với n=1. * Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là *. 2 + 4 + 6 +. . . .+ 2k = k(k+1) (2) (GT quy naïp) Ta phải cmr (1) cũng đúng với n = k +1, tức là 2 + 4 + 6 +. . . .+ 2k + 2(k +1) =(k+1)(k+2). Thật vậy, từ (2) ta có VT(3) = 2+ 4+ 6 +. . .+ 2k + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k +1) = (k+1)(k+2)=VP(3). •Vậy hệ thức (1) đúng với mọi số n N*.. (3).
<span class='text_page_counter'>(10)</span> CMR:n N*cã un = n3 – n chia hÕt cho 3 (2) Với n = 1 ta có: u1 = 0 chia hÕt cho 3 (Mệnh đề (2) đúng) Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: uk= k3 – k chia hÕt cho 3 Thật vậy: Ta phải c/m (2) đúng với n = k+ 1, tức là :uk +1 =(k+1)3 – (k+1) chia hÕt cho 3 Uk +1 =(k+1)3 – (k+1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k – 1 =(k3 – k) +3(k2 + k) =uk + 3(k2 + k) chia hÕt cho 3. Vậy với mọi nN*, ta có: un = n3 – n chia hÕt cho 3.
<span class='text_page_counter'>(11)</span> CMR : n 2, n N cã : 3n 3n 1. 3. Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúng Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: 3k 3k 1 Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là : k 1. 3. 3( k 1) 1. Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có: k. k 1. 3 3k 1 3 3(3k 1) k 1 3 9k 3 k 1 3 3k 4 6k 1 V × 6k 1 0 nª n : 3k 1 3k 4 Vậy: n 2, n N cã : 3n 3n 1.
<span class='text_page_counter'>(12)</span> §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC. •Năm đợc phương phỏp qui nạp toỏn học •Chú ý khi chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n ≥p. • Học thuộc và nắm chắc qui trình chứng minh bài toán bằng phương pháp qui nạp • Các bài tập 1,2,3,4 tự luyện tập • Bài 5: Đa giác lồi ít nhất mấy cạnh thì có đường chéo? • Đọc bài : Bạn có biết Suy luận qui nạp.
<span class='text_page_counter'>(13)</span> QUÝ THẦY CÔ CÙNG CÁC EM SỨC KHỎE THÀNH ĐẠT..
<span class='text_page_counter'>(14)</span>