BAT DANG THUC

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ:. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VAØ ỨNG DỤNG. I/ Tóm tắt kiến thức: Định nghĩa: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi mọt trong các dấu >(lớn hơn), < (nhỏ hơn), (lớn hơn hoặc bằng),  (nhỏ hơn hoặc bằng). Ta coù: A > B  A – B > 0 ; A B  A – B 0  Trong bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B, A  B, A  B), A được gọi là vế trái, B là vế phải của bất đẳng thức.  Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức A > B và E < F gọi là bất đẳng thức trái chiều.  Nếu ta có A > B  C > D, ta nói bất đẳng thức C >D là hệ quả của bất đẳng thức A > B Nếu ta có A > B  E > F , ta nói hai bất đẳng thức A > B và E > F là hai bất đẳng thức tương ñöông. A > B(hoặc A < B) là bất đẳng thức ngặt, A B ( hoặc A  B) là bất đẳng thức không ngặt. A  B là A > B hoặc A = B A B cũng là bất đẳng thức. Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép. Ví duï: A<B<C Bất đẳng thức Cô – si( bất đẳng thức trung bình cộng với trung bình nhân) a b  Đối với 2 số không âm:  a,b  0, ta có: 2  ab .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b a1  a2  ......  an n a a ...a 1 2 n n  Tổng quát:  a1, a2, a3, ......,an  0(với n số) Đấu đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = ..... = an  Ứng dụng: - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: a b 2 k k2 k2 ( )  ab  4 => Max(ab) = 4 khi a = b= 2 + Neáu a + b = k( k laø haèng soá) thì ab  2 p p p + Neáu ab = p (p laø haèng soá) thì a + b 2 => Min (a + b) =2 khi a = b = - Giaûi phöông trình, heä phöông trình. II/ Baøi taäp aùp duïng: Giải bất đẳng thức không điều kiện ràng buột giữa các biến: 2 2 2 a+b+ c a b c Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c . CMR: + + 2 b+c a+c b+a Baøi giaûi: 2 b+c a Với a, b, c > 0 ta có: + a (áp dụng bất đẳng thức Cô si) 4 b+c a+c a+b b2 c2 Tương tự ta có: + b; vaø + c 4 4 a+c b+a a+b+ c a2 b2 c2 a2 b2 => + + + a+b+c => + + 2 b+c a+c b+a b+c a+c a+b+ c (ñpcm) 2 a+b+ c a2 b2 c2 Vaäy + + 2 b+c a+c b+a 3 a b3 c3 Baøi 2: Cho3 soá döông a, b, c. CMR: b + c + a a ac + b ba + c ab Baøi giaûi:. c2 b+a.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> a3. b3. c3. a3. b3. a3. c3. b3. c3. Ta coù: b + c + a = b + bc + c + ca + a + ab – (ac + cb + ab) = b + bc + c + ca + a + ab– (. ab bc ab ac bc ac 2 + 2 + 2 +2 + 2 +2 ). a3 b3 c3 ab.bc ab.ac bc.ac .bc .ac .ab 4 -2 4 -2 4 = 2 c +2 c +2 a +2 = 2a ac +2b ba + 2c ab - a ac -b ba - c ab = a ac + b ba + c ab (ñpcm) 3 3 3 a b c Vaäy b + c + a a ac + b ba + c ab  a, b, c > 0 ab bc ca abc   6 Baøi 3: CMR:  a, b, c > 0 ta coù: a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b  Baøi giaûi:. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3     3 abc Aùp dụng bất đẳng thức: ( a b c )(a + b + c) 3 abc 3 = 9 a  b  c  9 ( a b c ) ab ab ab 1 1 1    a  3b  2c = a  c  b  c  2b  9 ( a  c b  c 2b ) bc bc 1 1 1 ca ca 1 1 1     Tương tự: b  3c  2a  9 ( b  a a  c 2c ) và c  3a  2b  9 ( b  c b  a 2a ) ab 1 1 1 bc 1 1 1 ca 1 1 1 ab bc 1       VT  9 ( a  c b  c 2b )+ 9 ( b  a a  c 2c )+ 9 ( b  c b  a 2a ) = ( 9 + 9 ) a  c + ab ca 1 bc ca 1 a b c b(a  c) a(b  c) c(b  a) a b c ( 9 + 9 ) b  c + ( 9 + 9 ) b  a + 18 + 18 + 18 = 9(a  c) + 9(b  c) + 9(b  a) + 18 + 18 + 18 = a b c a b c a b c abc 6 = 9 + 9 + 9 + 18 + 18 + 18 = 6 + 6 + 6 = = VP ab bc ca abc   6  a, b, c > 0 Vaäy a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b  ab bc ca a b c c(c  a) a(a  b) b(b  c) a  c + a  b + b  c (1) Baøi 4:Cho a, b, c > 0. CMR: + +. Baøi giaûi: b a c b a c . . . Bất đẳng thức đã cho tương dương:  c c  a + a a  b + b b  c b 1 c 1 a 1 1 1 1 . . . b c a b c c a a 1 1 b 1 1 1 1 a c a  + b + + b + c a b c a b c Ñaët b = x, c = y, a =z => b . c . a = xyz = 1 vaø z, y, x > 0. 1 1 1  BÑT:y. z  1 + z. x  1 + x. y  1. 1 1 1 z 1 + x 1 + y 1. a b c ac + ab+ bc. y(x+1)(y+1)+z( y + 1)(z + 1)+x(x + 1)(z + 1) (x + 1)(y + 1)+( y + 1)(z + 1)+(x + 1)(z + 1) (y – 1)(x+1)(y+1)+(z – 1)( y + 1)(z + 1)+(x – 1)(x + 1)(z + 1) 0 y2x + y2 – x – 1 + z2y + z2 – y – 1 + x2z + x2 – z – 1 0 ( y2x+ x2z+ z2y) + ( y2+ z2+ x2) – (x + y + z) – 3 0 (*) Aùp dụng bất đẳng thức cô si, ta có: 33 y 2 x.x 2 z.z 2 y = 3xyz =3; y2+ z2+ x2 33 y 2 x 2 z 2 = 33 1 = 3;x + y + z 33 yxz 3 y2x+ x2z+ z2y    . VT cuûa (*). 3 + 3 – 3 – 3 =0 = VP => (*) đúng => (1) đúng.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ab bc ca Vaäy c(c  a) + a(a  b) + b(b  c). a b c ac + ab+ bc 3 1 1 1 + + Baøi 5:Cho 3 soá döông a, b, c. CMR: 3 a(1+b) b (1+c) c (1+ a) √abc (1+ √3 abc) Baøi giaûi: Đặt P =VT.Aùp dụng bất đẳng thức:  x, y, z là các số thực,ta có:(x + y + z) 2 3(xy + yz + zx), suy 1 1 1 3 (c (1+a)+a (1+ b)+ b(1+c )) 3(   ) ab(1  b)(1  c) bc(1  c)(1  a) ca(1  a)(1  b) = abc (1+ a)(1+b)(1+c ) ra:P2 = 3 ((1+ a)(1+ b)(1+ c) −abc − 1) = abc (1+ a)(1+b)(1+c ) 3 3 3 − − => P2 (1) abc (1+a)(1+b)(1+c ) abc (1+a)(1+b)(1+ c) 3 Đặt t = √ abc .Theo bất đẳng thức Cô - si ta lại có: (1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (a + b + c) + (ab + bc + ca) 1 + 3t + 3t2 + t3 = (1 + t)3 (2) 3 1+t ¿ 3 3 (1+t ¿ −t − 1) ¿ 1+t ¿2 ¿ 1+t ¿ 3 3 1+t ¿ t 2¿ t3 ¿ Từ (1)và (2) suy ra: P2 = = 3 9 t ¿ ¿ ¿ 3¿ 3 3 − ¿ t3 ¿ 3 3 P = 3 ( do P > 0) t (1+t) √ abc (1+ √3 abc) Bài 6: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:. a bc +. b c c  a + a  b > 2. Baøi giaûi:. Ñaët a + b + c = t bc bca 1 bc a t a a a .1  2 2 = = 2a hay b  c b c 2b 2c t vaø a  b t Tương tự: c  a a bc +. b c 2a 2b 2c 2(a  b  c) 2t ca + ab  t + t + t = t = t =2 bc ac ba Daáu baèng xaûy ra khi: a = 1, b = 1, c = 1 a  b  c   b a  c   c a  b  a + b + c = 2(a + b + c)  a + b + c = 0 (*) Theo giaû thieát thì a + b + c 0  (*) khoâng xaûy ra. Vaäy daáu baèng khoâng xaûy ra. a b c  b  c + c  a + a  b > 2. (ñpcm) Baøi 7: Cho x, y, z laø caùc soá khoâng aâm.CMR:. Baøi giaûi:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> x 3 y 3  y 3 z 3  x3 z 3 3 Theo bất đẳng thức Cô – si, ta có: x2y2z2  x3y3 + x3z3 + y3z3 3x2y2z2  6x3y3 + 6x3z3 + 6y3z3 18x2y2z2 (*) Laïi coù: (x3 – xyz)2 0  x6 + x2y2z2 2x4yz x 3 y 3  y3 z3  x3 z3  x6 + 3 2x4yz (1) x 3 y 3  y3 z3  x3 z3 3 Tương tự: y6 + x 3 y 3  y3 z3  x3 z3 3 z6 + 2z4xy. 2y4xz (2) (3). 3 3 3 3 3 3 Từ (1), (2), (3) ta có: x6 + y6 + z6 + x y  y z  x z. 2x4yz + 2y4xz + 2z4xy (4). 3 3 3 3 3 3 Từ (4) và (*) ta có: x6 + y6 + z6 +7 x y  7y z  7x z. x6  y6  z6 x6  y6  z6 3 3 Ta coù: x2y2z2 . Do đó: x6 + 6 6 6 6 x y z x  y6  z6 3 3 Tương tự: y6 + 2y4xz ; z6 +. 2x4yz + 2y4xz + 2z4xy + 18x2y2z2 (*’) 2x4yz. 2z4xy Coäng theo veá ta coù: 2(x6 + y6 + z6) 2x4yz + 2y4xz + 2z4xy  7x6 + 7y6 + 7z6 7x4yz + 7y4xz + 7z4xy (5) 3 3 3 3 3 3 Coäng theo veá (*’) vaø(5) ta coù: 8x6+8y6+8z6+7 x y  7y z  7x z 18x2y2z2. 9x4y+9y4xz+9z4xy+. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8(x6 + y6 + z6 + 2 x y  2y z  2x z ) 9(x4y + y4xz + z4xy+ 2x2y2z2 + x y  y z  x z ) 8(x3 + y3 + z3)2 9(x2(y2z2 + x2yz + xy3 + xz3)+ yz(x2yz + xy3 + y2z2+ xz3) 8(x3 + y3 + z3)2 9(x2 + yz)( y2z2 + x2yz + xy3 + xz3) 8(x3 + y3 + z3)2 9(x2 + yz)(y2(z2 + xy) + xz(z2 + xy)) = 9(x2 + yz)(y2 + xz)(z2 + xy)(ñpcm) Vaäy 8(x3 + y3 + z3)2 9(x2 + yz)(y2 + xz)(z2 + xy) Giải bất đẳng thức có điều kiện ràng buột giữa các biến: x2 + y2 Bài 8: Cho xy = 1 và x > y. Chứng minh: 2 √ 2 . Baøi giaûi: x− y.    . Do x > y => x – y > 0. Ta coù:. √2. x − y ¿ 2+2 xy x − y ¿ 2+2 ¿ ¿ = ¿ ¿ ¿ ¿. x2 + y2 = x− y. = (x – y) +. 2 x−y. 2. √. (x − y) .. 2 x−y. =2. (Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương) 2. 2. x +y Vaäy 2 √ 2 khi xy = 1 vaø x > y x− y Bài 9: Cho 4 số không âm a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 1. Chứng minh: a b  bc  cd  d a  2 2 Baøi giaûi:. Bất đẳng thức đã cho tương đương: 2 2  ( a  b  b  c) + ( c  d  d  a) + 2 ( a  b  b  c) ( c  d  d  a)  8  a + b + c + d + 2 (a  b)(b  c) + a + b + c + d + 2 (c  d )(d  a ) + 2 (a  b )(c  d ) + 2 (a  b )(d  a ) (b  c)(c  d ) (b  c)(d  a )  +2 +2 8.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  2(a + b + c + d)+ 2 (a  b)(b  c) + 2 (c  d )( d  a ) + 2 (a  b)(c  d ) + 2 (a  b)( d  a ) + 2 (b  c)(c  d ) (b  c)(d  a )  +2 8 Aùp dụng bất đẳng thức Côsi: (a  b)(b  c )  (b  c)(d  a )  2 a + b + b+ c = a +2b + c; 2 a+b+c+d (c  d )(d  a )  (a  b)(c  d )  2 c + d + d + a = c + 2d + a; 2 a+b+c+d (a  b)(d  a )  (b  c )(c  d )  2 a + b + d + a = 2a + b + d;2 b + c + c + d = b + 2c + d  Coäng theo veá:VT 2(a + b + c + d) + a +2b + c + c + 2d + a + a + b + c + d + 2a + b + d + b + 2c + d + a + b + c + d  8a + 8b + 8c + 8d = 8(a + b + c + d) = 8 = VP (vì a + b + c + d = 1.) Vaäy a  b  b  c  c  d  d  a  2 2 Daáu baèng xaûy ra khi: a = b = c = d = 1/4 2 2 2 2 Bài 10: Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 2.CMR: x y ( x  y )  2 Baøi giaûi: 2 2 2 2 Ta coù: x  y = ( x  y ) - 2xy = 2 - 2xy = 4 – 2xy. xy   xy  Mặt khác: áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có: x + y  2 2 2 xy  1 2 2 2 2 2 2 2 2  x  y  4 – 2 = 2 vaø x y  1  x y ( x  y )  2.1 = 2 (ñpcm) 3 3 3 Bài 11:Cho 3 số dương a, b, c thoả a + b + c = 1.CMR: a 1  b  c + b 1  c  a +c 1  a  b  1 Baøi giaûi: 1  1  1  b  c 3a  ba  ca 3 1  b  c 3 3 a Aùp dụng bất đẳng thức cô si: a =. 3b  bc  ba 3c  ac  bc 3 1  a  b 3 3  vaø c 3a  ba  ca 3b  bc  ba 3c  ac  bc 3 3 3 1  b  c 1  c  a 1  a  b 3 3 3  Coäng theo veá: a +b +c + + = 3a  ab  ca  3b  cb  ab  3c  ca  cb 3a  3b  3c 3(a  b  c) 3 3 3 3 = = = = 3 = 1 (dpcm) Tương tự: b 1  c  a  3. 3 3 3 Vaäy a 1  b  c + b 1  c  a +c 1  a  b  1 . Daáu baèng xaûy ra khi a = b = c. 1 1 1 a b c 2 2 2 2 2 2 Bài 12: Cho 3 số dương a,b,c thoả a2+b2+c2 =1.CMR: b  c + c  a + a  b  2abc + 3 3. 3. Baøi giaûi:. a b c a b c a b2 c2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta coù: VT = b  c ++ a b = b  c +1 + c  a + 1 + a  b + 1 = a2 b2 c2 a2 b2 c2 a b c 2 2 2 2 2 2 2abc = b  c + c  a + a  b +3  2bc + 2ca + 2ab + 3 = + 3 = VP 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 3. 3. 3. 1 1 1 1 a b c 2 2 2 2 2 2 Vaäy b  c + c  a + a  b  2abc + 3. Daáu baèng xaûy ra khi a = b = c = 3 3 1 1 1 3 3 3 Bài 13: Cho3 số dương a, b, c thoả a + b + c = 2 . CMR: B = (1+ a )(1+ b )(1+ c ) 729 3. 3. 3. Baøi giaûi:. 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Ta coù: B = 1 + a + b + c + a b + a c + b c + a b c. 3.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 1 +3 a b c + 3 a b c a b c + a b c = 1 + 3 abc + 3 a b c + a b c = ( 1 + abc )3 1. 3. B. 3. 3 3. 3. 3. 3 3. 3 2. abc 1 1 3 3 3 Maët khaùc: abc  ( ) =(3)= 8  B (1+ 1: 8 )3 = 93 =729 1 1 1 3 1 3 3 3 Vaäy B = (1+ a )(1+ b )(1+ c ) 729. Daáu baèng xaûy ra khi a = b =c = 2 : 3 = 2 2 Vaäy: x y ( x  y )  2. Daáu baèng xaûy ra khi x = y = 2 = 1 8 8 8 bc ab ca 2 2 2 Bài 14: Cho a,b, c >0 thoả ab+bc+ac abc. CMR: a  b + b  c + a  c  a + c + b + 2 Baøi giaûi: 2. 2. 2. 2. 8 2 1 1 8 1 1 2 2 2 (a  b)  a  b (a + b)( a2 + b2 ) 4ab. ab =8  a + b 8 8 8 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2  a  b + b  c + a  c (a + b)( a + b ) + (b + c)( b + c )+ (a + c)( a2 + c2 ) = 1 1 2 2 Ta coù: (a + b)2( a + b ). ab ab bc bc ca ca ab ca a b b c b cca 2 2 2 2 2 2 a2 b2 c2 = a + b + b + c + a + c = + + = bc 2a a  b 2c ca 2b bc ab ca 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = a + a + c + c + b + b = a + c + b + a + b + c = b  c a  b c  a 2(ab  bc  ca) b  c ab ca 2 2 2 2 abc  a + c2 + b2 + 2 (vì ab + bc + ac abc) (ñpcm) = a + c + b + 8 8 8 bc ab ca 2 2 2 Vaäy a  b + b  c + a  c  a + c + b + 2 a  bc b  ca c  ab Bài 15:Cho3 số dương a, b, c thoả a + b + c =1.CMR: b  c + c  a + a  b 2 Baøi giaûi:. a(a  b  c)  bc b(a  b  c)  ca c(a  b  c)  ab bc ca ab VT= + + a(a  c)  b(a  c) b(a  b)  c(a  b) c(b  c)  a(b  c) bc ca ab = + + (a  c)(a  b) (a  b)(b  c) (b  c)(c  a) bc ca ab = + +. Đặt a + b = x, b + c = y, c + a = z. VT bất đẳng thức tương đương: zx xy yz zx xy xy zy 2 yz zx 2 2 y + z + x 2y 2z + 2z 2x + 2x 2y = 2x + 2y + 2z = 2(x+y+z) = 2(BDTCoâ si) a  bc b  ca c  ab Vaäy b  c + c  a + a  b 2  a a, b, c >0 thoả a + b + c =1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 Baøi 16:Cho a, b, c dương, abc = 1. Chứng minh rằng: a  b  1 + b  c  1 + c  a  1 1 Baøi giaûi: 3 3  Vì abc = 1, nên từ: (*) <=> : a + b + abc ab(a + b) + abc <=> a3 + b3 + 1  ab(a + b + c) 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 <=> a  b  1  ab(a  b  c ) . Tương tự, : b  c  1  bc(b  c  a ) , c  a  1  ca (c  a  b) ..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1 1 1 a bc 1 1 1 3 3 3 3 3  a  b  1 + b  c  1 + c  a  1  ab(a  b  c) + bc(b  c  a) + ca (c  a  b) = abc(a  b  c) 1 = abc = 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 Vaäy a  b  1 + b  c  1 + c  a  1 1 Ứng dụng vào chứng minh hình học: Bài 17: Cho tam giác ABC vuông tại C. BC = a, AC = b, AB = c . Gọi h c là đường cao của tam giác a b c hc  2(1 + 2 ) keû taïi C. CMR: Baøi giaûi: 3. 2 2 2 2 2 Vì tam giaùc ABC vuoâng taïi C, aùp duïng ñònh lyù Pytago  c = a  b  c = a  b ab Và ab = chc  hc = c ( hệ thức lượng trong tam giác vuông) a bc a b c ab ( a  b  c )c ( a  b ) c  c 2 ( a  b ) a 2  b 2  a 2  b 2 2 ab 2ab  2ab hc c  ab ab ab ab  = = = = = = 2 2 +2 = 2(1 + 2 ) a b c hc  2(1 + 2 ) . Daáu baèng xaûy ra khi a = b hay tam giaùc ABC vuoâng caân taïi C Vaäy. Bài 18: Cho  ABC, trên tia đối AC, BA, CB lấy ba điểm A 1,B1, C1 sao cho AA1 = BC, BB1= AC, CC1 S S S S = AB. CMR: ABC1 + ACB1 + BCA1  6 ABC A1 Baøi giaûi: Ñaët AB = c, BC = a, AC = b SABC 1 BC1 a  c c SABC A Ta coù: = BC = a = 1 + a ; SACB SBCA 1 1 CA1 b  a AB1 c  b a b S SABC = CA = b = 1+ b ; ABC = AB = c = 1+ c B C C1 SABC SBCA SACB 1 1 1 c a b S S S  ABC + ABC + ABC = 1 + a +1+ b +1+ c SABC  SCBA  SACB B1 1 1 1 c a b SABC  =3+a+b+ c  a b c . . S S S 3 + 3 b c a = 3 + 3 = 6  ABC1 + ACB1 + BCA1  6 SABC (ñpcm) Bài 19: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thoả điều kiện: (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc. CMR:a, b, c là ba cạnh của tam giác đều. Baøi giaûi: Vì a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có: a + b  2 ab ; b + c  2 bc ; c + a  2 bc ( áp dụng bất đẳng thức cô - si)  (a + b)(b + c)(c + a) 8 a2 b 2 c2 = 8abc Daáu baèng xaûy ra khi a = b = c Vậy a, b, c là ba cạnh của tam giác đều.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài 20: Cho tam giác ABC. Ơû miền trong tam giác có điểm m sao cho các đường thẳng AM, BM, CM AM BM CM AM BM CM cắt các cạnh lần lượt tại các điểm thoả điều kiện: 1 + 1 + 1 = 6. CMR: M laø troïng taâm tam giaùc ABC. Baøi giaûi: Gọi s,s1, s2, s3 lần lượt là diện tích các tam giác ABC, MBC, MCA, MAB. SABC s1  s2  s3 AA1 AM s2 s3 A1M SMBC s1  A1M = s1 + s1 = = A BM s1 s3 CM s2 s1 Tương tự:. B1 M. =. s2. +. s2. ;. C1M. =. s3. +. B1. s3. C1. .M. s3 s2 s s s s AM BM CM s2 s3 s1 s3 s2 s1 B 2 1 . 2 2 C1 . 3 2 A1 . s s s s s s A M B M C M s s s s s s 2 1 + 3 1 + 2 3 = 2+2+2 = 6  1 + 1 + 1 = 1+ 1+ 2+ 2+ 3+ 3  Aùp dụng bất đẳng thức Cô – si s Daáu baèng xaûy ra khi vaø chæ khi: s1 = s2 = s3 = 3 AM BM CM 1 A1M B1 M C1M 3 = = = . Vaäy M laø troïng taâm tam giaùc ABC Ưùng dụng tìm min ,max của biểu thức:. a6 b6 c6 Bài 21:Cho 3 số dương a, b, c thoả abc = 1. Tìm Min của P = b  c + c  a + a  b Baøi giaûi:. a6 b  c a6 bc . b  c 4 = a3 => b  c a3 - 4 ca ab b6 c6 3 3 Tương tự: c  a b - 4 ; ab c - 4 bc ca ab bccaab bca  P 4 2 a3 +b3 + c3- 4 - 4 - 4 = a3 +b3 + c3= a3 +b3 + c3-. a6 bc Ta coù: b  c + 4. 33 y 3 .x 3 z 3 -. 2. 33 abc 3 3 2 =3 - 2 =2. 3 a6 bc ca ab b6 c6 Vaäy MinP = 2 khi b  c = 4 vaø c  a = 4 vaø a  b = 4 <=> a = b = c = 1. a2 (b  c)  b2 (a  c) abc Baøi 22:Tìm Min P = trong đó a, b, c là ba cạnh của tam giác vuông(c là cạnh huyeàn). Baøi giaûi: Aùp dụng bất đẳng thức Cô si:a + b 2ab Vì a, b, c laø ba caïnh cuûa tam giaùc vuoâng => c2 = a2 + b2. a2 b  a2 c  b2 a  b2 c ab(a  b)  c(a2  b2 ) a  b c2  abc abc ab P= = = c 2 ab =. c. . c ab. . ( 2  1)c ab. 2ab => c 2 ab. c. . 2. ab. 2 ab.c 2 ab  2.c ab = ab = c. ( 2  1) 2ab 2 2+. ab. = 2 2 + ( 2  1) 2 =2 2 + 2 - 2 = 2 + 2. Vậy Min P = 2 + 2 khi đó a = b => tam giác vuông cân..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài 23:Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện:x + nhoû nhaát cuûa x + y + z. Baøi giaûi: Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương ta có: 1 x x +2 y ; (1) 2y √ xy = 2 2 2 1 x + y+ 4 z ; (2) 3 4 4 1 x 3 +2 y Từ (1) và (2)  = x + √ xy + √ xyz 3 2 2 +y+z 1.. √. (. (. ). 4. √ xy + √3 xyz = 3 . Tìm giaù trò. √3 xyz. x y4 z 4. ). (. ). +. 1 x + y+ 4 z 3 4. (. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời trở thành đẳng thức giaû thieát x +. √ 3. =. 4. 16. 4. ). x 4. =. 4 (x + y + z)=> x 3. = y = 4z; kết hợp với 1. √ xy + √3 xyz = 3 ta suy ra x = 21 ; y = 21 ; z = 21 .Vậy x + y + z đạt. giaù trò nhoû nhaát baèng 1. 1. 1 Bài 24: Cho x, y > 0; thoả x + y = 1. Tìm Min A = x  y + xy .Bài giải: ab 4 1 1 4  ab  a b a  b (a, b > 0) Aùp dụng bất đẳng thức (a + b)2 4ab => ab 2 1 (x  y) 2 xy 4 Maët khaùc: x + y => xy  = 4 (áp dụng bất đẳng thức Cô si) 1 1 1 1 4 1 4 1 1 2. 2 2 2 2 2 x  y 2xy 2xy x  y  2xy 2xy (x  y) 2xy A= + + + = + 4+ 4 =4+2=6 1 Vaäy MinA = 6 khi x = y = 2 2. 2. Bài 25:Với x, y, z là những số thực dương, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: xyz M= Baøi giaûi: (x+ y)( y+ z )(z + x) Aùp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương: x + y = 2 √ xy , y + z = 2 √ yz , x + z = 2 √ xz 2 xyz ¿ xyz xyz 1  (x + y)(y + z)(z + x) 8 = 8xyz  M = = ¿ 8 xyz 8 ( x+ y)( y+ z )(z + x) √¿ 1 Vaäy maxM = khi x = y = z 8 √ x − 2001 + √ x − 2002 Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x+ 2 x Baøi giaûi: Ñieàu kieän: x 2002 Ñaët a = √ x −2001 ; a > 0; b = √ x −2002 ; b 0 2 2 2 Thì: x = a + 2001; x + 2 = a + 2003; x = b + 2002, ta coù: 1 1 a b + A= = a+ 2003 + b+ 2002 . a2 +2003 b 2+2002 a b 2003 2002 ≥ 2 √ 2003 ; b+ ≥ 2 √ 2002 . Theo bất đẳng thức Cosi: a+ a b.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1 1 2003 2002 + . Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = vaø b = <=> a2 = a b 2 √ 2003 2 √ 2002 2003 vaø b2 = 2002 <=> x = 4004. 1 1 + Vaäy maxA = khi x = 4004. 2 √ 2003 2 √ 2002 Bài 27: Giả sử x, y, z là các số dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xy 2z2 + x2z + y = 3z2. Hãy tìm z4 giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 1+ z 4 (x 4 + y 4 ) Baøi giaûi: 2 y x Do z > 0 nên từ: xy2+ + = 3. Aùp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương: z z2 1 y x2 y2 x2 2 (x2y2 + y2) + (x2 + ) + ( + ) 2(xy + + 2 2 ) = 6 2 2 z z z z z 1 z4  P= = 1 +( x 4 + y 4 ) 1+ z 4 ( x 4 + y 4 ) z4 1 1 2 2 Ñaët a = 2 ; b = x ; c = y (a, b, c >0); ta coù P = 2 z a +b2 +c 2 Do a2 2a – 1; b2 2b – 1; c2 2c – 1; a2 + b2 2ab; b2 + c2 2bc; a2 + c2 2ac  3(a2 + b2 + c2) 2(ab + ac + bc + a + b + c) – 3 2 2 1 x y 2 2 2 2 Maø ab + ac + bc + a + b + c = x y + y + x + + + 6 2 2 z2 z z 1 Do đó 3(a2 + b2 + c2) 9 <=> a2 + b2 + c2 3. Vaäy P 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 <=> x = y = 1/z = 1 <=> x = y = z = 1 1 maxP = khi x = y = z = 1 3 Do đó A. Ưùng dụng vào giải hệ phương trình và phương trình: 2 2 Baøi 28: Neáu x0 laø nghieäm cuûa phöông trình x2 + bx + c = 0 thì |x0|  b  c  1 Baøi giaûi: Vì x0 laø nghieäm cuûa phöông trình. Thay vaøo ta coù: x02 + bx0 + c = 0  - x02 = bx0 + c  x04 = (bx0 + c)2 (b2 + c2)(x02 + 1) maø x04 – 1< x04 x04  1. 2  x04 – 1 (b2 + c2)(x02 + 1)  x 0  1 b2 + c2  x02 - 1  b2 + c2  x02  b2 + c2 +1 2 2  |x0|  b  c  1 (ñpcm) 2005 x y 2004 + + + Baøi 29: Tìm nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình: x+ y y +2004 4009 x +2005 Baøi giaûi: Ta giải bài toán tổng quát: Với a, b, c, d dương ta có: a b c d a b c d + + + + )+( + ) = F= = ( b+c c +d d+ a a+ b b+c c +d d+ a a+b. = 2 (1).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> =. a(d +a)+ c( b+c ) b(a+b)+d (c +d ) + (b+c )(d +a) (c+ d)(a+ b). b+c +d +a ¿ 2 ¿ c+d+a+b ¿ 2 1 ¿ 4 (theoBÑT Coâ –si) 1 ¿ 4 a2 +c 2+ad+ bc ¿. a+b+ c+ d ¿2 ¿ = (2) 2 2 2 2 4(a +b + c +d +ab+ ad+ bc+ cd) ¿ 2 2 Maët khaùc: 2(a + b + c2 + d2 + ab + ad + bc + cd) – (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 –2ac – 2bd = = (a – c)2 + (b – d)2 0 (3) Kết hợp (2) và (3) ta suy ra F 2 (4)Đẳng thức xảy ra <= > a = c; b = d 2005 x y 2004 + + + Aùp dụng với a = 2005, b = x; c = y; d = 2004 ta có: 2 x+ y y +2004 4009 x +2005 Đẳng thức xảy ra <= > y = 2005, x = 2004 Vaäy phöông trình (1) coù nghieäm nguyeân döông duy nhaát laø (2004; 2005) x+ y+ z =0 Bài 30: Tìm tất cả các số thực dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình: 1 + 1 + 1 =2 − 4 x y z xyz Baøi giaûi: Dùng BĐT cosi cho 3 số thực dương ta có:6=x+y+z= 3 √3 xyz suy ra8 xyz (1) và 1 1 1 3 + + ≥3 x y z √ xyz (2) 1 1 1 3 3 Kết hợp (1) và (2) ta nhận được: (x + y + z) x + y + z ≥ 3 √ xyz . 3 =9 √ xyz 1 1 1 9 9 3 + + ≥ = (3) Suy ra = x y z x+ y+ z 6 2 1 1 1 4 3 4 + + + ≥ + Từ (1) và (3) ta lại có: =2 x y z xyz 2 8 Vậy x; y; z là các số thực dương thoả mãn hệ phương trình ⇔ đẳng thức xảy ra ở bất phương trình treân ⇔ x = y = z =2. Do đó x = y = z =2 là bộ số thực dương duy nhất thoả mãn các điều kiện của bài toán. x y + =xy √ y √x xy ¿2005 (1) ¿ Baøi 31: Giaûi heä phöông trình: (2) ¿ ¿ x 2008 + y 2008 =8 √¿ ¿ Baøi giaûi: x y xy 4 + ≥2 =2 √ xy Từ (1) ta có x, y > 0. Aùp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương ta có: √ y √x √ yx 3 xy ¿ 4 Kết hợp với (1) ta có xy 2 √ xy => ¿ 2 => xy (3) √ 16 4 √¿ xy ¿2008 2008 2008 Aùp duïng BÑT cho 2 soá döông ta coù: x + y 2 = 2(xy)1004 ¿ √¿. {. (. ). √.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> xy ¿2005 Kết hợp với (2) ta có: 8 ¿ √¿. 2(xy)1004 => 16(xy)2005. Từ (3) và (4) ta thấy: (3) và (4) đồng thời trở thành đẳng thức. (xy)2008 =>. √3 16. x y = ⇔ √ y √x 2008 2008 x =y. {. xy. (4). < => x = y. Khi đó √3 16 = xy nên x = y = √3 4 . Thử vào hệ thoả mãn Vaäy heä coù nghieäm duy nhaát x = y = √3 4 . 4 2 4 4 Bài 32: Giaûi phöông trình: 1  x + 1  x + 1  x = 3. Baøi giaûi:. ÑK: -1  x 1 4. 4. 1 x  1 x 1 x 1 4 4 (1  x)(1  x)  2 2 ; 1 x  ; 1 x . Theo bất đẳng thức Cô – si: 1  x = 1 1 x 2 1 1 x 1 x  1 x 4 2 4 4 2 2 => 1  x + 1  x + 1  x  + + 1  x 1 1  x 1 2 2 1 + + =3 2. 1 x 1 2 = 1 + 1 x +. Dấu bằng xảy ra khi 1  x = 1  x ; 1  x = 1; 1  x = 1. Giải các hệ này ta được x = 0 Vaäy phöông trình coù moät nghieäm x = 0. ============= Trên đây là những biên soạn của em, chắc sẽ có nhiều thiếu sót. Mong các thầy cô và ban giám khảo xây dụng đóng góp để cho em có thể nắm được một phần kiến thức nhỏ bé trong đại dương kiến thức rộng lớn..

<span class='text_page_counter'>(13)</span>