DE CUONG ON TAP CHUONG 1 TOAN 6

ÔN TẬP TẬP HỢP VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

Số phần tử của một tập hợp.Tập hợp con phần tử của một tập hợp.Tập hợp conn tử của một tập hợp.Tập hợp con của một tập hợp.Tập hợp cona một tập hợp.Tập hợp cont tập hợp.Tập hợp conp hợp.Tập hợp conp.Tập hợp.Tập hợp conp hợp.Tập hợp conp con

1.Một tập hợp có thể có một ,có nhiều phần tử, có vơ số phần tử,cũng có thể
khơng có phần tử nào.
2.Tập hợp khơng có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø.
3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập
hợp con của tập hợp B, kí hiệu là A B hay BA.
Nếu AB và BA thì ta nói hai tập hợp bằng nhau,kí hiệu A=B.

*.D¹ng 1: Rèn kĩ năng viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu
Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ Thành phố Hồ Chí Minh
a. HÃy liệt kê các phần tử của tập hợp A.
b. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
b A

c A

h A

Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O}
a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X.
b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trng cho các phần tử của X.
Bài 3: Cho các tập hợp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9}
a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B.
b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A.
c/ Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
d/ Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.
Bài 4: Cho tập hỵp A = {1; 2; a; b}

a/ H·y chØ râ các tập hợp con của A có 1 phần tử.
b/ HÃy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử.
c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không?
Bài 5: Cho tËp hỵp B = {x, y, z} . Hái tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con?
*Dạng 2: Các bài tập về xác định số phần tử của một tập hợp
Bài 1: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử?
Bài 2: HÃy tính số phần tử của các tập hợp sau:
a/ Tập hợp A các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số.
b/ Tập hợp B các số 2, 5, 8, 11, , 296., 296.
c/ Tập hợp C các số 7, 11, 15, 19, …, 296., 283.


Bµi 3: Cha mua cho em mét qun sè tay dày 256 trang. Để tiện theo dõi em đánh số trang từ 1
đến 256. Hỏi em đà phải viết bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sổ tay?
C.HNG DN V NH:

Bài 1.HÃy xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp đó
a, A là tập hợp các chữ số trong số 2002
b, B là tập hợp các chữ cái trong cụm từ cách mạng tháng tám
c, C là tập hợp các số tự nhiên có một chữ số
d, D là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ khác nhau và và có chữ số tận cùng bằng 5
Bài 2. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
3
N
N
N*
N
7 N*
0
N*

{ 1,2,3,4 }
N*
4
Bài 3. HÃy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng của các phần tử thuộc tập
hợp đó
a. A = { 1 ; 3; 5 ; 7 ; . .. .. . .. .. . .; 49 }
b. B = { 11 ; 22 ; 33; 44 ; . .. .. . .. ; 99 }
c. C = { 3 ; 6 ; 9 ; 12; . . .. .. . .. .. .. . .; 99 }
d. D = { 0 ; 5 ; 10 ; 15; . .. . .. .. . .. .. . ; 100 }
Bµi 4. H·y viÕt các tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trng của các phần tử thuộc tập hợp
đó
a. A = { 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 }
b.B = { 1 ; 7 ;13 ; 19 ; 25 ; 31; 37 }
A 1; 4;9;16; 25;36; 49;64;81;100
B 2;6;12; 20;30; 42;56;72;90

Bài toán 5: Cho

a)



A  x  N x 2; x 3; x  100



A  x  N x ab; a 3.b

b)

B  x  N x 6; x  100

B  x  N 20x

c)

C  x  N x 11.n  3; n  N ; x 300

H·y viÕt các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử.
Bài 5. Tìm số phần tử của các tập hợp sau đây
a. A = { } b. B = { x ∈ N / x ⋮2 ; 2 ≤ x ≤100 } c. C = { x ∈ N / x +1=0 } d. D = { x N / x 3 }
Bài 6. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của các tập hợp đó
a. Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8 : x = 2
b. Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5
c. Tập hợp C các số tự nhiên x mà x – 2 = x + 2
d. TËp hỵp D các số tự nhiên x mà x : 2 = x : 4
e. Tập hợp E các số tự nhiên x mµ x + 0 = x
Bµi 7. Cho A = { 1 ; 2; 3 }
Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp A
Bài 8. Ta gọi A là tập hợp con thực sự của B nếu A B và A B
HÃy viết các tập hợp con thùc sù cđa tËp hỵp B = { 1 ; 2; 3 ; 4 }
Bài 9. Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e }
a. ViÕt c¸c tập con của A có một phần tử
b. Viết các tËp con cđa A cã hai phÇn tư
c. Cã bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử
d. Có bao nhiêu tập hợp con của A có bốn phần tử
e. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con
Bài 11 . Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số, B là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số
, C là tập hợp các số tự nhiên lẻ có ba chữ số , D là tập hợp các số tự nhiên cã ba ch÷ sè tËn cïng
b»ng 5 . Dïng kÝ hiệu và sơ đồ để biểu thị quan hệ giữa các tập hợp ở trên

Bài 12 . Cho tập hợp A = { 4 ; 5 ;7 } , h·y lËp tËp hỵp B gồm các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau
từ các phần tử của tập hợp A . Bảo rằng tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B đúng hay sai? Tìm
tập hợp con chung của hai tập hợp A và B
Bài 13 . Tìm các tập hợp bằng nhau trong các tập hợp sau
a. A = { 9 ; 5 ; 3 ; 1; 7 }
b. B là tập hợp các số tự nhiên x mà 5 . x = 0
c. C là tập hợp các số lẻ nhỏ hơn 10
d. D là tập hợp các số tự nhiên x mà x : 3 = 0
Bài 17 . Trong một lớp học , mỗi học sinh đều học tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Có 25 ngời học
tiếng Anh , 27 ngời học tiếng Pháp, còn 18 ngêi häc c¶ hai thø tiÕng . Hái líp học đó có bao
nhiêu học sinh
Bài 18 Kết quả điều tra ë mét líp häc cho thÊy : cã 20 học sinh thích bóng đá ; 17 học sinh thích
bơi; 36 häc sinh thÝch bãng chuyÒn; 14 häc sinh thÝch bóng đá và bơi;13 học sinh thích bơi và
bóng chuyền; 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền; 10 học sinh thích cả ba môn ;12 học
sinh không thích một môn nào.Tìm xem lớp học đó có bao nhiêu häc sinh
Bµi 19 . Trong sè 100 häc sinh cã 75 häc sinh thÝch to¸n , 60 häc sinh thÝch văn.
a. Nếu có 5 học sinh không thích cả toán và văn thì có bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và
toán
b. Có nhiều nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
c. Có ít nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
Bài toán 1: Cho tập hợp A a, b, c, d , e .
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử
b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?.
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?
Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trờng hợp sau.
a) A 1;3;5 ; B  1;3;7
b) A  x, y ; B x, y, z

c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn.
Bài toán 3: Ta gäi A lµ tËp con thùc sù cđa B nÕu A  B; A B. H·y viÕt c¸c tËp con thùc sù cđa
tËp hỵp B  1; 2;3
B  3; 4;5
Bài toán 4: Cho các tập hợp A 1; 2;3; 4 ;
Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B

Bài toán 5: Cho tập hợp A 1; 2;3; 4 .
a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn.
b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A.
Bài toán 6: Cho 2 tập hợp A 1;3;6;8;9;12 và B =  x  N * / 2 x 12
a)T×m tập hợp C của các phần tử vừ thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B Tìm tập hợp D của
các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A Hoặc tập hợp B
Bài toán 10: Cho tËp hỵp M  30; 4; 2005; 2;9 . H·y nêu tập hợp con của tập M gồm những số:
a) Có một chữ số
b) có hai chữ số
c) Là số chẵn.


;


Bài toán 11: Cho
a) HÃy liệt kê các phần tư cđa tËp hỵp A ; tËp hỵp B.
b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ?
Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên.
a) CMR: B A b) Viết tËp hỵp M sao cho B  M , M A . Có bao nhiêu tập hợp M nh vËy.
A  x  N x 2; x 4; x 100

Bài toán 14: Cho
a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ?

B x N x 8; x  100

A  x  N x 7.q  3; q  N ; x 150

.
b) TÝnh tổng các phần tử của tập hợp A.

Bài toán 15: Cho M  1;13; 21; 29;52 . T×m x; y  M biÕt 30  x  y  40


Bài toán 10: Cho a) A 1; 2 ; B  1;3;5
b) A  x, y
; B  x, y, z , t
HÃy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B.
Các phép toán trong N
1. Tớnh cht giao hoán của phép cộng và phép nhân.
a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng khơng đổi
Khi đổi chõ các thừa số trong một tích thì tích khơng đổi.
1. Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân:
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
2. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.:
a(b+ c) = ab + ac
4. Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b N ; b ≠ 0) là có số tự nhiên p sao cho a= b.p.
5. Trong phép chia có dư
số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r)
số dư bao giờ cũng khác 0 và nhỏ hơn số chia.

NÕu a .b= 0 thì a = 0 hoặc b = 0.
II. Bài tập
*.Dạng 1: Các bài toán tính nhanh
Bài 1: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất.
a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87
Bài 2: Tính nhanh các phép tính sau:
a/ 8 . 17 . 125

b/ 4 . 37 .25

Bµi 3: TÝnh nhanh một cách hợp lí:
a/ 997 + 86

b/ 37. 38 + 62. 37

c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001
đ, 998. 34

c/ 43. 11

d/ 67. 99;

67. 101

Bài 4:i 4: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh:
a/ 37581 – 9999

c/ 485321 – 99999

b/ 7345 – 1998

d/ 7593 – 1997

Bµi 5: TÝnh nhanh:
a) 15. 18 b) 25. 24 c) 125. 72

d) 55. 14

Bµi 6 :TÝnh nhanh:
a) 25. 12

b) 34. 11 c) 47. 101 d) 15.302

e) 125.18

Bài 7: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhÊt:
b) 189 + 424 +511 + 276 + 55
c) (321 +27)+ 79
d) 185 +434 + 515 + 266 + 155

g)

123. 1001

a) 463 + 318 + 137 + 22


e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73
f) 347 + 418 + 123 + 12
Bµi 8: TÝnh b»ng cách hợp lí nhất:

a) 5. 125. 2. 41. 8
c) 8. 12. 125. 2

b) 25. 7. 10. 4
d) 4. 36. 25. 50

Chú ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a. b+ a.c = a. (b+ c) hc a. b + a. c + a. d = a.(b + c + d)
e) 3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12
Bài 9: Tính bằng cách hợp lí nhất:
6. 38. 63 + 37. 38

b) 12.53 + 53. 172– 53. 84

c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45

d, 39.8 + 60.2 + 21.8

e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41
*Chú ý: Muốn nhân 1 số có 2 chữ số với 11 ta

A= (100 + 1) .100 : 2 = 5050

cộng 2 chữ số đó rồi ghi kết quả váo giữa 2 chữ

b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + .. . + 100

số đó. Nếu tổng lớn hơn 9 thì ghi hàng đơn vị

số số hạng là: (100-2):2+1 = 49

váo giữa rồi cộng 1 vào chữ số hàng chục.

B=(100 +2).49 :2 = 551 .49 = 2499

vd : 34 .11 =374

;

69.11 =759

c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + .. . + 301

*Chú ý: muốn nhân một số có 2 chữ số với

d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .. .+ 201.

101 thì kết quả chính là 1 số có được bằng

Bµi 2: TÝnh c¸c tỉng:

cách viết chữ số đó 2 lần khít nhau

a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + .. . + 302

vd: 84 .101 =8484

; 63 .101 =6363

;

b)

B = 7 + 11 + 15 + 19 + .. .+ 203.

*Chú ý: muốn nhân một số có 3 chữ số với

c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + .. . + 301

1001 thì kết quả chính là 1 số có được bằng

D =8 + 15 + 22 + 29 + .. . + 351.

cách viết chữ số đó 2 lần khít nhau

Bµi 3: Cho tỉng S = 5 + 8 + 11 + 14 + .. .

Ví dụ:123.1001 = 123123
*.Dạng 2: Các bài toán có liên quan đến dÃy số,

a)Tìm số hạng thứ100 của tổng.

tập hỵp

Giải: lưu ý: số cuối = (số số hạng - 1) .

1:DÃy số cách đều:

khong cỏch - s u

VD: Tính tæng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 49

Ta tÝnh tæng S nh sau:

d)

b) TÝnh tổng 100 số hạng đầu tiên.

a. vy s th 100 = (100-1) .3 – 5 = 292
b. S= (292 + 5) .100:2 = 23000

Bµi 1:TÝnh tỉng sau:

Bµi 4: Cho tỉng S = 7 + 12 + 17 + 22 + .. .

a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + .. . + 100

a)Tìm số hạng tứ50 của tæng.

Số số hạng cả dãy là: (100-1):1+1 = 100

b) TÝnh tổng của 50 số hạng đầu tiên.


Bài 5:Tính tổng của tất cả các số tự nhiên x, biết x là số có hai chữ số và 12 < x < 91
Bài 6: Tính tổng của các số tự nhiên a , biết a có ba chữ số và 119 < a < 501.
Tính tổng các chữ sè cđa a.
Bµi 7: TÝnh 1 + 2 + 3 + .. . + 1998 + 1999
Bµi 8: TÝnh tỉng của:
a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số. b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ sè.
b/ S2 = 101+ 103+ .. . + 997+ 999
Bµi 9Tính tổng a/ Tất cả các số: 2, 5, 8, 11, .. ., 296 b/ Tất cả các số: 7, 11, 15, 19, .. ., 283

Bµi 10: Cho d·y sè:
a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19. b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, .. .
HÃy tìm công thức biểu diễn các dÃy số trên.
Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ là những số không chia hết cho 2, biểu diễn là 2k 1 , k N
Các số tự nhiên chẵn là những số chia hết cho 2, công thức biểu diễn là 2k , k N)
*Dạng 3: Tìm x
Bài 1:Tỡm x N bit
a) (x 15) .15 = 0

b) 32 (x –10 ) = 32

Bµi 2:Tìm x  N biết :
a ) (x – 15 ) – 75 = 0 b)575- (6x +70) =445
c) 315+(125-x)= 435
Bµi 3:Tìm x  N biết :
a) x –105 :21 =15
Bµi 1. TÝnh nhanh
a. 417 + 235 + 583 + 765
5 +8 +11
+14 + ......+ 38 + 41
b. 4 . 7 . 16 . 25
13 . 8 . 250
c. ( 1999 + 313) – 1999
( 1435 + 213)
– 13
d. 2023 - ( 34 + 1560)
1972 – ( 368 +
972)
e. 364 – ( 364 – 111)
249 – ( 75

– 51)
Bµi 2. TÝnh nhanh c¸c tỉng sau
a. 1+2+3+4+5+....+n
e. 2+5+11+....
+47+65
b. 1+3+5+7+....+ ( 2n – 1) g.
3+12+48+...+3072+12288
c. 2+4+6+8+.....+2n h. 2+5+7+12+.....
+81+131
d. 1+6+11+16+....+46+51
i. 4951+53-55+57-59+61-63+65
Bµi 3. a. TÝnh nhÈm 204. 36 499.12
601.42 199.41

b. . Tính nhẩm bằng cách nhân thõa sè nµy,
chia thõa sè kia cho cïng mét sè
66.50 72.125 38.5 15.16.125
c. . Tính nhẩm bằng cách nhân cả số bị chia
và số chia với cùng một số khác kh«ng
2000 : 25 7300 : 50 4970 : 5 81000 :
125
d. TÝnh nhÈm b»ng c¸ch ¸p dơng tÝnh chÊt ( a
±b):c=a:c± b:c
169 : 13 660 : 15 119 : 7 204 : 12
Bài 4 . Tìm x
a. (158 - x) :7 = 20
b. 2x – 138 = 23 . 32
c. 231 - (x – 6 ) =1339 :13
d. 10 + 2x = 45 : 43
a. 70 - 5.(2x - 3) = 45

b. 156 – (x + 61) = 82
c. 6.(5x + 35) = 330
d. 936 - (4x + 24) = 72
a. 5.(3 x + 34) = 515
b. (158 - x) : 7 = 20


c. (7x - 28) .13 = 0
d. 218 + (97 - x) = 313
(2x – 39) . 7 + 3 = 80
b)[(3x + 1)3 ]5 = 150
c) 2436 . (5x + 103) = 12
d) 294 - (7x - 217) = 38 . 311 : 316 + 62
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35);
b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
a. 420 + 65 . 4 = ( x + 175) : 5 + 30
b. [ (x +32)− 17 ] . 2 = 42
c. ( 32 . 15 ) : 2 = ( x + 70 ) : 14 – 40
d. [ 61+(53− x) ] .17 = 1785
e. x – 4867 = ( 175 . 2050 . 70 ) : 25 +
23
f. 697 : 15 . x +364 = 17
x

g. 92.4 – 27 = x+350 + 315
x
Bµi 5. TÝnh nhanh
(456 .11+ 912).37
a. 168 .168 −168 . 58

110
13 .74
45 . 16 −17
b.864 . 48 − 432 .96
864 . 48 . 432
28+ 45. 15
c. 7256 . 4375 −725
3650+ 4375. 7255
(315+372). 3+(372+315). 7
26 . 13+74 .14
d. 1978 .1979+1980 . 21+ 1958
1980 .1979 −1978 . 1979
27 . 45+27 . 55
2+ 4+ 6+. ..+14 +16+18
1. e.26 . 108− 26 .12
127 . 36
32 −28+24 − 20+16 −12+8 − 4

+ 64. 127 – 27. 100
12 :
{390 : [500 – (125 + 35 . 7)]}
2. 57 : 55 - 7 . 70
2.125.18 + 36.252 + 4.223.9
3. 50 + 51 + 52 +...+ 99 + 100
B = 12 . 62 . 32 + 32 + 72 + 20
4. 24:{300 : [375 – (150 + 15. 5]}
1449 : {[216 + 184 : 8).9]}
5. 56 : 53 + 3 . 32
2195.1952 - 952. 427 - 1952. 1768
6. 20 + 22 + 24 +....96 + 98

H = 30 + 31 + 32 + 33 + 30 . 31 . 32.33
7. 35 + 38 + 41 +... + 92 + 95
A =  46 – ( 16 + 71.4) : 15  – 2
8. B = 24 . 5 –  131 – ( 13 – 4 )2 
222 + 224 + 226 + . . . . + 444
9. 33 . 35 : 34 + 22 . 2. 20
(5346 – 2808) : 54 + 51
10. 187 . (38 + 62) – 87 .(62 + 38)
23 .16 - 23 . 14

11. 25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}
25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}


Luỹ thừa với số mũ tự nhiên
I/ Kiến thức cơ b¶n.

n
1. Định nghóa: a  a.a……….a
n thừa số
1
0
2. Quy ước: a = a ;
a = 1 ( a  0)
3. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số:

a m .a n  a m  n
a m : an  am  n

( n  N*)

(m, n  N *)
(m, n  N *, m n, a 0)

4.Lũy thừa của một tích: (a.b)n = an. bn
5. Lũy thừa của một lũy thừa: ( am )n = am.n
n

( mn )

6. Lũy thừa tầng: a a
7. Số chính phương là số mà bằng bình phương của một số tự nhiên.
Ví dụ: các số 0; 1; 4; 9; 16; 25;…. là các số chính phương
. Bài tập:
1. Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:
a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100..0; (n số 0 );
a) 5 ; 25; 625; 3125;
2.So sánh các số sau:
a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281;
3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa:
a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ;
4.So sánh:
a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ;
5.Một hình lập phương có cạnh là 5 m.
a) tính thể tích của hình lập phương;
b) nếu cạnh của hình lập phương tăng lên 2 lần , 3 lần thì thể tích của hình lập phương tăng lên
bao nhiêu lần.
6. Trong cách viết ở hệ thập phân số 2100 có bao nhiêu chữ số?
SO SÁNH HAI LŨY THỪA
A) KIẾN THỨC CƠ BẢN:C CƠ BẢN:

1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa chúng về dạng hai lũy thừa
có cùng cơ số (lớn hơn 1) hoặc cùng số mũ (lớn hơn 0) rồi mới so sánh.
Nếu am = an thì m = n, hoặc nếu an = b n thì a = b
Nếu m > n thì am > an (a> 1)
Nếu a > b thì an > b n (n > 0)
2) Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a < b thì a.c < b.c
(với c > 0)
II/. Bµi tËp
Bµi tËp 1: ViÕt gän c¸c biĨu thøc sau b»ng c¸ch dïng l thõa.
a, 3 . 3 . 3 . 4 . 4 =
c, 166 : 42 d, 178: 94e, 1254 : 253f, 414 . 528 =
b, a . a . a + b . b . b . b =
(g, 12n: 22n = h. 84. 165b. 540 . 1252 . . 6253
i. 274 . 8110 d. 103 . 1005 . 10004
m


10

30

25

4

3

k. 4 .2
b) 9 .27 .81
50

5
3 8
4
c) 25 .125
d) 64 .4 .16
1 2
2006
a) 5 x.5 x.5 x
b) x .x .....x
4 7
100
2 5 8
2003
c) x.x .x .....x
d) x .x .x .....x
8
6
7
3 10
3
7
7
5
3
a) 3 : 3 ; ; 19 :19 2 : 8 ; 12 : 6 ; 27 : 81
Bµi tËp 2: Tính giá trị biểu thức.

6
8
2

9
2
25
4
b) 10 :10 ; 5 : 25 ; 4 : 64 ; 2 : 32 ;
183 : 93 ; 1253 : 254
6
2
8
4
5
3
14 28
a) 16 : 4 b) 27 : 9 c) 125 : 25 d) 4 .5
n
2n
4
5
20
e) 12 : 2
g) 64 .16 : 4

46.34.95
212.14.125
453.20 4.182
213  25
12
3
5
10

2
a, 38 : 34 + 22 . 23 b, 3 . 42 – 2 . 32 c, 6
d, 35 6 e, 180
g, 2  2
3
2
10
10
.5 210 . 13+210 . 65
e. 72 x4 54 g. 3 . 11+3
h.
y. ( 1253 . 75 – 1755 : 5 ) : 20012002
9
4
8

108

3 .2

2 .104

k. 16 .64 .82 : ( 43. 25. 16)
Bµi 4. Cho A = 5. 415. 99 – 4. 320. 89 B = 5.29.619- 7.229.276 TÝnh A : B
C = 2181.729 + 243.81.27 D = 32.92.243 + 18.243.324 + 723. 729 TÝnh C : D
17
2
15
15
4

2
a) (2  17 ).(9  3 ).(2  4 )

1997
1995
1994
b) (7  7 ) : (7 .7)

2
3
4
5
3
3
3
3
8
2
c) (1  2  3  4 ).(1  2  3  4 ).(3  81 )

210 . 13+210 . 65
8
3
5 3
(2

8
)
:
(2

.2
)
d)
a)
28 .104

b) (1 + 2 +…, 296.+ 100)(12 + 22 + …, 296. + 102)(65 . 111 – 13 . 15 . 37)
a)

A

310.11  310.5
39.24

46.34.95
E  12
6
e)

b)

B

213 25
F 10
2 22
f)

Bài tập 5: Tìm x  N biÕt
a, 2x . 4 = 128 b, x15 = x 1

c, (2x + 1)3 = 125
d, (x – 5)4 = (x - 5)6
d/

210.13  210.65
28.104

c)

C

49.36  644
164.100

d)

D

723.542
1084

11.322.37  915
212.14.125
453.204.182
I

G
H
(2.314 ) 2
355.6

1805
g)
h)
i)

x10 = x e/ (2x -15)5 = (2x -15)3
Bài 1: Tìm các số mũ n sao cho luỹ thừa
3n thảo mÃn điều kiện: 25 < 3n < 250
Bài 2. Tìm số tự nhiên n biết
a. 5n = 125 34. 3n = 37 27. 3n = 243 49.7n
= 2401
b. 9 < 3n < 81 25 5n 125
Bài 3. Tìm x là số tự nhiên, biết rằng :
a. 2x . 4 = 128
b. x15 = x
c. ( 2x + 1 )3 = 125
d. ( x – 5 )4 = ( x 5 )6
e. x2006 = x2
Bài 4 : Tìm x  N biÕt
x
20
a) 3 .3 243
b) x x
x
2
x
8
c) 2 .16 1024
d) 64.4 16
Bài 5 Tìm x N biết

x
g) 2  15 17
3

5

2

h) (7 x  11) 2 .5  200
x
2
0
i) 3  25 26.2  2.3
x
x
5
l) 49.7 2041
m) 64.4 4
x
4 n
7
n) 3 243
p) 3 .3 3
Bài 6: Tìm n  N biÕt:
n

b) 25 5 125
b) 50<7n < 2500

3
a) ( x  1) 125

x 2
x
b) 2  2 96

a) 9  3  81
a) 50 < 2n < 100
Bµi 7 T×m x biÕt

n

3
c) (2 x  1) 343
3
d) 720 :  41  (2 x  5)  2 .5
a) 2x . 7 = 224
b) (3x + 5)2
= 289
c) x. (x2)3 = x5
d) 32x+1 . 11 = 2673


*
Bài 8: Tìm n N biết
n
a) 32 2  128
2

n
b) 2.16 2  4

n

d) (2 : 4).2 4
1 n
.2  4.2n 9.25
g) 2

1 4 n
.3 .3 37
9
e)
1 n
.27 3n
h) 9

n
5
n
i) 64.4 4
k) 27.3 243
Bài 9: Tìm x N biÕt
x
a) 16  128

b)

5 x.5 x 1.5 x 2 100...0

: 218

18 c / s 0

chuyên đề: Các bài toán so sánh hai luỹ thừa
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
Nếu m>n th× am>an (a>1).
+ NÕu hai luü thõa cã cïng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.
Nếu a>b thì an>bn ( n>0).
2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu
của phép nhân.
(aVí dụ: So sánh 3210 và 1615, số nào lớn hơn.
Hớng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đa 3210 và 1615 vỊ
l thõa cïng c¬ sè 2.
3210 = (25)10 = 250
1615 = (24)15 = 260
V× 250 < 260 suy ra 3210 < 1615.
Bài tập 1: So sánh:
Bài 1: So sánh các số sau?
a) 2711 và 818.
b) 6255 và 1257 c) 536 vµ 1124 d) 32n vµ 23n (n  N* )
Hớng dẫn:
a) Đa về cùng cơ số 3.
b) Đa về cùng cơ số 5.
c) Đa về cùng số mũ 12.
d) §a vỊ cïng sè mị n
Bµi 2: a) 523 vµ 6.522 b) 7.213 vµ 216 c) 2115 vµ 275.498

Híng dÉn:
a) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522.
b) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213.
c) Đa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.
a) Ta có: 95 = (32)5 = 310
Bµi 3: a) 19920 vµ 200315.
39
21
273 = (33 )3 = 39
b) 3 và 11 .
Vì 310 > 39nªn 95 > 273
Híng dÉn :
b) Ta cã: 3200 = (32)100 = 9100
a) 19920 < 20020 = (23 .52)20 = 260. 540.
15
15
3
15
4
3
15
60
45
2300 = (23) 100 = 8100
2003 > 2000 = (2.10 ) = (2 . 5 ) = 2 .5
39
40
2
20
20

21
V× 9100 > 8100 ; nªn 3200 > 2300
b) 3 <3 = (3 ) = 9 <11 .
c, 3500 vµ 7300
Bµi 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?
45
44
44
43
72 -72 và 72 -72 .
3500 = 35.100 = (35)100 = 243100
Híng dÉn:
7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100
7245-7244=7245(72-1)=7245.71.
44
44
44
44
72 -72 =72 (72-1)=72 .71.
Vì 243100 < 343100 => 3500 < 7300
Bài 5: 27 vµ 72
d, 85 vµ 3 . 47 . 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47
Ta cã: 27 = 128 ; 72 = 49
Vì 128 > 49 nên 27 > 72
=> 85 < 3 . 47
Bµi 6 a) 95 vµ 273 b) 3200 vµ 2300


e, 202303 vµ 303202
202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101

Ta so sánh 2023 và 3032
2023 = 23. 101 . 1013 và 3032 => 3032 <
2023
3032 = 33. 1012 = 9.1012
vËy 303202 < 2002303

f, 321 vµ 231
321 = 3 . 3 20 = 3. 910 ; 231 = 2 . 230 = 2 . 810
3 . 910> 2 . 810 => 321 > 231
g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660
371320 = (372)660 = 1369660
Vì 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979

Bài 7: So sách các cặp số sau:
a/ A = 275 vµ B = 2433 Ta cã A = 275 = (33)5 = 315
vµ B = (35)3 = 315

VËy A = B

b/ A = 2 300 vµ B = 3200
A = 2 300 = 33.100 = 8100

vµ B = 3200 = 32.100 = 9100

Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 và A < B.
Bài 8: So sánh hai luỹ thừa sau:
3111 vµ 1714
Ta thÊy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1)
1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2)
Tõ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714

nên
3111 < 1714
Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn
30
444
100
333
a) 10 và 2
b) 333 và 444
40
300
453
161
c) 13 và 2
d) 5 và 3
Bài 2: So sánh các số sau
217
72
9
100
a) 5 vµ 119
b) 2 vµ 1024
12
7
80
118
c) 9 vµ 27
d) 125 vµ 25
40
10

11
8
e) 5 vµ 620
f) 27 vµ 81
Bµi 3: So sánh các số sau
36
5
7
24
a) 5 và 11
b) 625 và 125
*

c) 3 và 2 (n N )
Bài 4: So sánh các số sau
13
16
a) 7.2 và 2
20
15
c) 199 và 2003
Bài 5: So sánh các số sau
45
44
44
43
a) 72 72 và 72 72
2n

24680

3n

d) 3
và 2
Bài 6: So sánh các số sau
500
300
a) 3 vµ 7
303
202
d) 202 vµ 303
10
5
h) 10 vµ 48.50
Bµi 7: So sánh các số sau

23
22
d) 5 và 6.5
5
8
15
b) 21 và 27 .49
39
21
d) 3 vµ 11
200
500
b) 2 vµ 5

450
1050
e) 2
vµ 5

37020

5

7

b) 8 vµ 3.4
21
31
e) 3 vµ 2
10
9
10
i) 1990  1990 vµ 1991

11
14
c) 31 vµ 17
5n
2n
g) 5 vµ 2 ;(n  N )
20

10

c) 99 vµ 9999
1320
1979
g) 11
vµ 37


a) 107

50

75
vµ 73

35
91
b) 2 vµ 5

4
12
c) 54 vµ 21

Bµi 8: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân
Bài giải:
Muốn biết 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh 2100 với 1030
và 1031.
* So sánh 2100 víi 1030
Ta cã: 2100 = (210)10 = 1024 10
1030 = (103)10 = 100010
Vì 102410 > 100010

nên 2100 > 1030 (*)
* So s¸nh 2100 víi 1031
Ta cã: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26
= 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1)
1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53
= 231 . 6257. 53 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã:
231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53
Hay 2100 < 1031 ( **)
Tõ (*),( **) ta cã:
1031 < 2100 < 1031
Sè cã 31 ch÷ sè nhỏ nhất
Số có 32 chữ số nhỏ nhất
Nên 2100 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân.
Bài 10: So sánh A và B biết.
30

a) A = 1931 +5 ;

31

B = 1932+ 5

19 + 5
19 + 5
218 −3
220 −3
b) 20
; B = 22
2 −3

2 −3
1+ 5+52 +.. .+59
1+ 3+32 +.. .+39
c) A =
;
B
=
1+ 5+52 +.. .+58
1+ 3+32 +.. .+38

Bài giải:
30

A = 1931 +5

30

31
90
Nên 19A = 1931.(19 +5) = 1931+ 95 = 1 + 31

19 + 5
19 + 5
19 + 5
19 + 5
31
31
32
90
B = 1932+ 5 nªn 19B = 1932.(19 + 5) = 1932+ 95 = 1 + 32

19 + 5
19 + 5
19 + 5
19 + 5
90
90
V× 31 > 32
19 + 5 19 + 5
90
90
Suy ra 1 + 31 > 1 + 32 Hay 19A > 19B Nªn A > B
19 + 5
19 + 5
18
9
22 .(218 −3)
2 −3
220 −12
2
b) A = 20
nªn 2 . A =
=
= 1 - 20
20
22
2 −3
2 −3
2 −3
2 −3
2

20
20
22
9
−3)
B = 222 −3 nªn 22.B = 2 .(2
= 2 22−12 = 1- 22
22
2 −3
2 −3
2 −3
2 −3
9
9
9
9
V× 20
> 22
Suy ra
1 - 20
< 1- 22
Hay 22 A < 22 B
2 −3
2 −3
2 −3
2 −3

Nªn A < B
c) Ta cã:

2
9
2
2
9
+. ..+5 8)
A = 1+ 5+52 +.. .+58 = 1+(5+52 +. ..+5 8) = 1+5(1+5+5
=
2
8

1+ 5+5 +.. .+5

1
+ 5>5(1)
1+ 5+52 +.. .+58

1+5+5 +. ..+5
1+ 5+5 +.. .+5
1
+3<4 (2)
T¬ng tù B =
Tõ (1) vµ (2) Ta cã
1+ 3+32 +.. .+38
1
1
A=
+5>5>4>
+ 3 =B nªn A > B

2
8
2
1+ 5+5 +.. .+5
1+ 3+3 +.. . .+ 38

Bµi tËp 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + .. +230
ViÕt A + 1 díi dạng một lũy thừa
Bài 4: Tìm x N biết
a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2
b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2
a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = (x +1)2
( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2
552 = ( x +1) 2
55 = x +1
x = 55- 1
x = 54
b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2

(

Bài giải:

2
99 1
+ 1 = ( x - 2)2
2

)

50 = ( x -2 )2
50 = x -2
x = 50 + 2
x = 52
( Ta cã: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2)
Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y N tho¶ m·n
73 = x2 - y2
Ta thÊy: 73 = x2 - y2
( 13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2
(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2
282 - 212 = x2 - y2
Vậy 1 cặp x; y thoả mÃn là:
x = 28; y = 21
2

Bài 2: Tìm x N* biết.
A = 111....1
- 777 ...7
2 x ch÷ sè 1
x ch÷ sè 7

là số chính phơng

Bài giải:
+ Nếu x = 1
Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM)
+ NÕu x > 1
Ta cã A = 111...1 - 777...7 = . .. .. . 34 2
2x ch÷ sè 1
x chữ số 7 mà . .. 34 4

Suy ra A không phải là số chính phơng ( loại)
Vậy x = 1
c) Dùng tính chất chia hết
Bàix1: Tìm x; y N
biết:
35 + 9 = 2. 5y
*)NÕu x = 0 ta cã:


350 + 9 = 2.5y
10 = 2.5y
5y = 5
y =1
*) NÕu x >0
+ NÕu y = 0 ta cã: 35x + 9 = 2.50
35x + 9 = 2 ( v« lý)
+ NÕu y > 0 ta thÊy:
35x + 9  5 v× ( 35x  5 ; 9  5 )
Mà 2. 5y 5 ( vô lý vì 35x + 9 = 2.5y)
VËy x = 0 vµ y = 1
Bµi 1: TÝnh tỉng.
A = 1 + 2 + 22+...+ 2100
B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100
Bài giải:
A = 1 + 2 + 22 + ...+ 2 100
=> 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101
=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) – (1 +2 + 22+ ...+2100)
VËy A = 2101 - 1
B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100
=> 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101

B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101)
4B = 3 - 3101
VËy B = ( 3- 3101) : 4
2
2
3
2
3
4
Bµi 2: a) ViÕt các tổng sau thành một tích: 2 2 ; 2  2  2 ; 2  2  2  2
2
3
2004
b) Chøng minh r»ng: A 2  2  2  .....  2 chia hÕt cho 3; 7 vµ 15.
4
5
6
7
Bµi 3: a) ViÕt tỉng sau thµnh mét tÝch 3  3  3  3
2
99
b) Chøng minh r»ng: B 1  3  3  ....  3 40
Bµi 4: Chøng minh r»ng:
2
3
2004
a) S1 5  5  5  ...  5 6;31;156
2
3
100

b) S2 2  2  2  ....  2 31
5

15

c) s3 16 2 33
Bài 5 Tính các tổng sau bằng cách hỵp lý.
0
1
2
2006
2
100
a) A 2  2  2  ....  2
b) B 1  3  3  ....  3
2
3
n
2
2000
c) C 4  4  4  ....  4
d) D 1  5  5  ....  5
2
3
200
Bµi 6 Cho A 1  2  2  2  ....  2 . H·y viÕt A+1 dới dạng một luỹ thừa.
2
3
2005
Bài 7 Cho B 3 3  3  .....  3 . CMR: 2B+3 lµ l thõa cđa 3.

2
3
2005
Bµi 8 Cho C 4  2  2  ....  2 . CMR: C lµ mét l thõa cđa 2.
Bµi 9: Chøng minh r»ng:
5
4
3
6
5
4
9
8
7
a) 5  5  5 7
b) 7  7  7 11
c) 10  10  10 222
6
7
n2
n 2
n
n
*
e) 10  5 59
g) 3  2  3  2 10n  N
7
9
13
10

9
8
9
8
7
h) 81  27  9 45
i) 8  8  8 55
k) 10  10  10 555
Bµi 10 TÝnh nhanh
a. S = 1 + 2 + 22 + 23 +........+ 262 + 263
b. S = 1 + 3 +32+ 33+............+ 320
c. S = 1 + 4 + 42 + 43+ ...........+ 449


Bµi 11 TÝnh tỉng
a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301
Bài giải:

a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
25 A = 52 + 54+ ...+ 5202
25 A - A = 5202 - 1
VËy A = ( 5202 -1) : 24
304
b) T¬ng tù B = 7 3 + 1

7 +1

Bµi 3: TÝnh

1
1
1
A = 1 + 2 + 3 + ... + 100
7 7
7
7
4 4
4
4
B = − + 2 - 3 + ...+ 200
5
5 5
5

Bài giải:

1
1
1
A = 1 + 2 + 3 + ... + 100
7

7
7
7
1
1
1
7A = 1 + + 2 + ... + 99

7 7
7
1
1
=> 7A - A = 1 - 100
A = 1 − 100 : 6
7
7
4 4
4
B = − 4 + 2 - 3 + ...+ 200
5
5 5
5
4
4
5B = -4 + 4 + 3 +...+ 201
5
5
5
4
B+5B = -4 + 200
5
4
B = − 4+ 200 : 6
5

(

(

)

)

Bµi 3: TÝnh
28

24

20

4

A = 2530 +2528 +2526 +. ..+252 +1
25 +25 +25 +. ..+25 +1

Bµi giải:
Biến đổi mẫu số ta có:
2530 + 2528 + 2526 +...+252 + 1
= (2528 + 2524 + 2520 + ...+1)+ ( 2530 + 2526 +2522+...+252)
= (2528 + 2524+ 2520+...1) +252. (2528+ 2526+ 2522+ ...+ 1)
= (2528+ 2524 + 2520+ ...+1) . (1 + 252)
VËy A =

1
= 1
2
626
1+ 25

Bµi tËp 11: Viết 2100 là một số có bao nhiêu chữ số khi tính giá trị của nó.
Bài tập 13: Tìm số tù nhiªn abc biÕt (a + b + c)3 = abc (a  b  c)
Bµi tËp 14: Cã hay không số tự nhiên abcd
(a + b + c + d)4 = abcd


Các dấu hiệu chia hết
A/. Mục tiêu:
-Học sinh nắm vững các tính chất chia hết và các tdấu hiệu chia hết vào trong giải bài tập.
-Vận dụng thành thạo các phép biến đổi vào trong các bài tập số học.
-Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, t duy lô gic óc phân tích tổng hợp.
B/. Chuẩn bị:
Nội dung chuyên đề, kiến thức cơn bản cần sử dụng và các bài tập tự luyện.
C/. Nội dung chuyên đề.
I/ Kiến thức cơ bản.
1) ẹũnh nghúa: Cho hai soỏ tửù nhiên a và b (b 0 ).
a b.q  a b  a là bội của b  b là ước của a.
2) Tính chất:
1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.
2/ Nếu a b và bc  a c
3/ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0.
4/ Bất cứ số nào củng chia hết cho 1.
5/ Nếu a  m và b  m thì a  bm và a  b m
6/ Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m
thì số còn lại cũng chia hết cho m.
7/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m
thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m.
8/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
9/ Nếu a m, b n  ab mn

n

n

Hệ Quả: Nếu a b  a  b
Neáu a m, a n , (m, n) 1  a mn
A/ LÝ THUYẾT:
Gọi A = an an  1 ...a2 a1a0 Tacoù :
A2  a0 2, A5  a0 5
A4  a1a0 4, A25  a1a0 25
A8  a2 a1a0 8, A125  a2 a1a0 125
A3  an  an  1  ...  a2  a1  a0 3
A9  an  an  1  ...  a2  a1  a0 9

BÀI TẬP:
1) Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:


a/ Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho125.
b/ Số 9 xy 4 chia hết cho 2, cho4, cho 8.
Giaûi:

a/ 275x  5  x   0;5 ;
b/

275x  25  x   0 ; 275x  125  x   0
9 xy 42  x, y   0;1; 2;...;9
9 xy 44  x   0;1; 2;...;9 , y   0, 2, 4, 6,8

;

9 xy 48  x   0; 2; 4;6;8 ; y   2;6 hoaëc x   1;3;5;7;9 ; y   0; 4;8

:

LUYỆN TẬP
1) Cho n  N, chứng minh rằng:
a/ 5n – 1 4
b/ n2 + n + 1 không chia hết cho 4.
c/ 10n - 1  9
d/ 10n + 8  9
Giaûi: a/ + Với n = 0, ta có: 50 – 1 = 1 – 1 = 0 4
+ Với n = 1, ta coù: 51 -1 = 5 – 1 = 4  4.
+ Với n > 1, ta có: 5n = …5 neân 5n – 1 = …5 – 1 = … 4 4
Vậy với n  N, 5n – 1 4 .
b/ Ta coù n2 + n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do đó n 2
+ n + 1 là số lẽ nên không chia hết cho 4.
c/ Ta coù 10n - 1 = 100…0 – 1 = 99…..9  9
n chữ số 0 n chữ số 9
d/ Ta coù: 10n + 8 = 100…0 + 8 = 100…08  9
n chữ số 0 n-1 chữ số 0
2) Chứng minh rằng:
a/ 1028 + 8  72
b/ 88 + 220  17
Giải: a/ Ta có: 1028 + 8 = 100…0 + 8 = 100……08  9
(1)
28 chữ số 0 27 chữ số 0
28
Số 10 + 8 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 (2)
Mặt khác (8;9) = 1. Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72.

b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 2 20 = 220(24 + 1) = 220. 17  17
vây 88 + 220 chia hết cho 17.
3/ CMR với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n + 6 không chia hết cho 5.
Giải:
Với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận
cùng bằng 0; 2; 6. Do đó n 2 + n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5.
4) CMR: a/ 94260 – 35137chia heát cho 5.
b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5.


Giaûi: a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5  5
b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - …..6 =….0
Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.
Bµi 1:Chứng minh rằng:
a) ab  ba chia hết cho 11.
b) ab  ba Chia hết cho 9 với a > b.
a) Ta coù ab  ba = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)  11 Vaäy ab  ba  11.
b) Ta coù : ab  ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b)  9
Chú ý :

Nếu ab  cd 11  abcd 11

Bµi 2 Cho abc  deg 7. Cmr abc deg 7
2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ
số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11.
3) Cho số abc27 Chứng minh rằng số bca 27
Giải:
1)Ta có : abc deg 1000abc  deg 1001abc  ( abc  deg )
7.143abc  (abc  deg )

Maø : 7.143 abc7 và abc  deg 7. Vậy abc deg 7
2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab .( 0 < a  9, 0  b  9, a,b  N)
Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: abba
abba 1000a  100b 10b  a
1001a 110b 7.11.13a 11.10b 11
Vaäy : abba 11

3) abc27
 abc027
 1000a  bc027
 999a  a  bc027
 27.37 a  bca 27
 bca 27 ( Do 27.37 a 27)

LUYỆN TẬP
1) CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên
liên tiếp thì không chia hết cho 4.
2) CMR Tổng của 5 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẽ liên tiếp thì
không chia hết cho 10.
3) Tìm n  N để:
a) 27 – 5n  n
b) n + 6  n + 2
c) 2n + 3  n – 2
d) 3n + 1  11 – 2n


4) Cmr nếu ab  cd  eg 11 thì abc deg 11
5) Cho abc  deg 37. Cmr abc deg 37
6) Cho 10 k – 1  19 với k > 1 CMR: 102k – 1  19
7) Cho n là số tự nhiên. CMR:

a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia heát cho 2.
b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3.
8) Chứng minh rằng nếu ab  2cd  abcd 67
Giải:
1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 .
Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2)  3
Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3  3
Goïi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3.
Ta coù: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7
không chia hết cho 4.
Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên
tiếp thì không chia hết cho 4.
2) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2)  10
Gọi 5 số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5  10.
3) a) 27 – 5n  n ; 5n  n => 27  n => n  Ư(27) =  1;3;9; 27 nhưng 5n < 27 nên n < 6
Vaäy n   1;3
b) n + 6  n + 2 => n + 2 + 4  n + 2, maø n +2  n + 2 => 4  n + 2 => n + 2   1; 2; 4 => n
  0; 2

c) 2n + 3  n – 2 => 2(n – 2) + 7  n -2 => 7  n - 2 => n – 2   1;7 => n   3;9
d*) 3n + 1  11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n)  11 – 2n => 35  11 – 2n
=> 11 – 2n   1;5;7;35 nhöng vì n < 6 nên n   5;3; 2
4) Ta coù : abc deg 10000ab 100cd  eg 9999ab  99cd  (ab  cd  eg )
Do 999911; 9911;(ab  cd  eg )11

Vaäy : abc deg 11
5) Tacoù : abc deg 1000abc  deg  999abc  (abc  deg)
27.37 abc  ( abc  deg)

Do 27.37abc 37; (abc  deg) 37; Vaäy : abc deg 37

6) Ta coù: 102k – 1 = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1)
Do 10k - 1 19 neân 10k(10k – 1) + (10k – 1)  19


Vaây 102k – 1  19
7) a/ (n + 10 ) (n + 15 )
Khi n chaün => n = 2k (k  N).
Ta coù: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia heát cho 2.Khi n leõ
=> n = 2k + 1 (k  N).
Ta coù: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16)
= 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2.
Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho 2.
b/ Đăt. A = n (n + 1)(n + 2)
+ Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẳn và một số lẽ, số chẳn chia hết cho 2 nên A
chia hết cho 2.
+ Trường hợp: n = 3k (k  N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3.
(1)
Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoaëc n = 3k + 2
Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết cho 3
nên A chia heát cho 3.
(2)
Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết cho 3
nên A chia hết cho 3.
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3.
Vậy A chia hết cho cả 2 và 3.
8) Ta có abcd 100ab  cd
Maø:

ab  2cd

Suy ra: abcd 2cdcd 200cd  cd 201cd 3.67cd 67
abcd 67
Vaäy:
Bài 3. Dùng ba chữ số 9, 0 ,5 để ghép thành các số co ba chữ số thỏa mãn một trong các điều kiên
sau:
a) Số đó chia hết cho 5;
a) Số đó chia hết cho 2 và cho 5.
Giải. a) Một số chia hết cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 hoặc 5 . vậy có ba số có chữ số chia hết cho
5 là: 950 ; 590 ; 905.
b)Một số chia hết cho 2 và cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 . vậy có hai số có chữ số chia hết cho 2
và cho 5 là: 950 ; 590 ;
Bài 4. Cho số 123 x 43 y . hãy thay x,y bởi các chữ số để số đã cho chia hết cho 3 và 5.
Giải. Số 123 x 43 y ⋮ 5 nên y = 0 hoặc y = 5.
Với y = 0 , ta có số 123 x 430 . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 ⋮ 3
hay 12 + (x+ 1) ⋮ 3 , nhưng 1≤ x + 1 ≤ 10 ,nên x + 1 = 3 ; 6 ; 9.
- Nếu x + 1 = 3 thì x = 2 ,ta được 1232430
- Nếu x + 1 = 6 thì x = 5 ,ta được 1235430
- Nếu x + 1 = 3 thì x = ,ta được 1238430
Với y = 5 , ta có số 123 x 435 . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 + 5 ⋮ 3 hay
18 + x ⋮ 3 ,nên x = 0 ; 3 ; 6 ; 9. ta có các số sau : 1230435; 1233435; 1236435 và 1239435