Đề cương ôn tập chương 1 ĐS> 11

cng ụn tp chng I Mụn S & GT lp 11
CNG ễN TP CHNG I
HAỉM SO LệễẽNG GIAC & PHệễNG TRèNH
LệễẽNG GIAC
I. Hm s lng giỏc:
Cỏc dng bi tp c bn
1. Dng 1: Tỡm TX ca hm s lng giỏc
* Phng phỏp gii: S dng tớnh cht:
- Cỏc hm s
sin , cosy x y x= =
xỏc nh vi mi
x Ă
- Hm s:
tany x=
xỏc nh vi mi
,
2
x k k


+ Â
- Hm s:
coty x=
xỏc nh vi mi
,x k k

Â
Vớ d: Tỡm TX ca hm s:
1
sin
4

y
x

=


ữ

Vớ d 2: Tỡm TX ca hm s:
sin cos
cot 1
x x
y
x
+
=

2. Dng 2:
3. Dng 3: Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca hm s:
Phng phỏp: Da vo TGT ca cỏc hm s lng giỏc
Chỳ ý: * Hm s
sin , cosy x y x= =
cú TGT l:
[ ]
1;1
* Hm s
tan , coty x y x= =
cú TGT l:
Ă
Vớ d: Tỡm GTLN, GTNN ca hm s:

3 1 cosy x=
II. Phng trỡnh lng giỏc
1. Phng trỡnh lng giỏc c bn
* Dng 1:
sin x a
=

( )
1a
nghim tng quỏt:
arcsin 2
;
arcsin 2
x a k
k
x a k


= +



= +

Â
c bit:
2
sin sin ;
2
x k

x k
x k



= +

=

= +

Â
Tng quỏt:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
sin sin ;
2
f x g x k
f x g x k
f x g x k


= +
=

= +

Â
Trng THPT Nguyn Hu Thn Biờn son: Trn Cao Hong
1
Đề cương ôn tập chương I – Môn ĐS & GT lớp 11
* Dạng 2:
cos x a=
( )
1a ≤
nghiệm tổng quát:
arccos 2 ;x a k k
π
= ± + ∈ ¢
Đặc biệt:
cos cos 2 ;x x k k
α α π
= ⇔ = ± + ∈ ¢
Tổng quát:
( ) ( ) ( ) ( )
cos cos 2 ;f x g x f x g x k k
π
= ⇔ = ± + ∈ ¢
* Dạng 3:
tan x a=

;
2
x k k
π
π
 

≠ + ∈
 ÷
 
¢
nghiệm tổng quát:
;x k k
α π
= + ∈ ¢
Đặc biệt:
tan tan ;x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈ ¢
Tổng quát:
( ) ( ) ( ) ( )
tan tan ;f x g x f x g x k k
π
= ⇔ = + ∈ ¢
* Dạng 4:
cot x a=

( )
;x k k
π
≠ ∈ ¢
nghiệm tổng quát:
;x k k
α π
= + ∈ ¢
Đặc biệt:
cot cot ;x x k k

α α π
= ⇔ = + ∈¢
Tổng quát:
( ) ( ) ( ) ( )
cot cot ;f x g x f x g x k k
π
= ⇔ = + ∈ ¢
Ví dụ minh hoạ: Giải các phương trình sau:
1)
1
cos2
2
x =
2)
sin 3 cos2x x
=
3)
cos 2 sin 0
4 4
x x
π π
   
− + + =
 ÷  ÷
   
4)
tan3 cotx x
=
5)
1

cot
4
3
x
π
 
− =
 ÷
 
6)
cos 3 sinx x=
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
* Định nghĩa: Là phương trình có dạng
( )
2
0 0at bt c a+ + = ≠
trong đó t là một
trong bốn hàm số lượng giác:
sin ,cos , tan ,cotx x x x
* Cách giải:
Bước 1: Đặt t bằng hàm số lượng giác có trong phương trình;
Bước 2: Đặt điều kiện với ẩn phụ t;
Bước 3: Giải phương trình tìm t (thoả mãn điều kiện);
Bước 4: Với mỗi t thoả mãn ta có phương trình lượng giác cơ bản ⇒
nghiệm x
Ví dụ minh hoạ: Giải các phương trình sau:
1)
2
2cos 5cos 3 0x x− + =
2)

2
1 5sin 2cos 0x x− + =
3)
2
3 cot 4cot 3 0x x− + = 4)
2
3
4 tan 2 0
cos
x
x
− − =
(Chú ý: Ta có thể không cần đặt ẩn phụ mà coi hàm số lượng giác như là một
ẩn như ví dụ này)
3. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x:
* Dạng phương trình:
sin cos ( , , 0)a x b x c a b c+ = ≠
(*)
* Cách giải:
Chia hai vế của phương trình cho
2 2
a b+
ta được phương trình:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +

(**)
Vì:
2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b
   
+ =
 ÷  ÷
+ +
   
Trường THPT Nguyễn Hữu Thận Biên soạn: Trần Cao Hoàng
2
Đề cương ôn tập chương I – Môn ĐS & GT lớp 11
Nên ta đặt
2 2
2 2
cos
sin
a
a b
b
a b
α
α

=

+




=

+

Khi đó phương trình (**) trở thành:
2 2
sin cos cos sin
c
x x
a b
α α
+ =
+
( )
2 2
sin
c
x
a b
α
⇔ + =
+
là phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách
giải!
Chú ý: Điều kiện đề phương trình có nghiệm là:
2 2 2
a b c+ ≥

Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1)
sin 3 cos 1x x+ =
2)
5cos 2 12sin 2 13x x
− =
4. Phương trình thuần nhất đối với sin x và cos x:
* Dạng phương trình:
2 2
sin sin cos .cos 0a x b x x c x+ + = (*)
* Cách giải:
Bước 1: Nhận xét
cos 0x
=
hay
,
2
x k k
π
π
= + ∈¢
không là nghiệm của
phương trình;
Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos 0x ≠ ta được phương
trình”
2
tan tan 0a x b x c+ + =
Bước 3: Giải phương trình ta được nghiệm của phương trình đã cho.

Chú ý: Nếu phương trình có dạng tổng quát:
2 2
sin sin cos .cos ( 0)a x b x x c x d d+ + = ≠
(**)
Ta biến đổi như sau: (**)
2 2 2 2
sin sin cos .cos (sin cos )a x b x x c x d x x⇔ + + = +
( ) ( )
2 2
sin sin cos cos 0a d x b x x c d x⇔ − + + − =
.
Đây là phương trình có dạng (*)
Ví dụ: Giải các phương trình:
1)
2 2
2sin 5sin cos 3cos 0x x x x− + =
2)
2 2
2sin 5sin cos cos 2x x x x− − = −
BÀI TẬP THAM KHẢO
Trường THPT Nguyễn Hữu Thận Biên soạn: Trần Cao Hoàng
3
Đề cương ôn tập chương I – Môn ĐS & GT lớp 11
Trường THPT Nguyễn Hữu Thận Biên soạn: Trần Cao Hoàng
4