Bài giảng giải tích 2 chương 1 TS nguyễn văn quang

GIẢI TÍCH II

Trường Đại học Cơng nghệ
Đại học Quốc gia Hà nội
Giảng viên: TS. Nguyễn Văn Quang
E-mail:
TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm


Đánh giá kiểm tra:
 A: Điểm thành phần (40%)

o Điểm chuyên cần, điểm bài tập: 10%
o Điểm thi giữa kỳ: 30%
 B: Điểm thi cuối kỳ (60%)

 Điểm kết thúc môn học = A*0.4 + B*0.6

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

2


Tài liệu:
1. Nguyễn Đình Trí. Tốn học cao cấp, tập 3.
NXB Giáo dục, 2006.
2. Nguyễn Thủy Thanh. Bài tập giải tích, tập
1,2,3. NXB Giáo dục, 2002.

3. Trần Đức Long. Bài tập Giải tích, tập 1,2,3.
NXB ĐHQGHN, 2005.
4. Nguyễn Thừa Hợp. Giải tích, tập 1,2,3. NXB
ĐHQGHN, 2004.
5. James Stewart. Calculus, 7th Edition, 2010.
02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

3


Nội dung:

• Chương 1: Mở đầu, giới hạn, liên tục
• Chương 2: Đạo hàm, vi phân
• Chương 3: Tích phân bội hai
• Chương 4: Tích phân bội ba
• Chương 5: Tích phân đường
• Chương 6: Tích phân mặt
• Chương 7: Phương trình vi phân
02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN

4

1. Hàm hai biến
2. Mặt bậc hai
TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm

3. Giới hạn
4. Liên tục

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

5


Định nghĩa
2
D

R
Cho
. Hàm hai biến là một ánh xạ:

f :D R
( x, y )

f ( x, y )

Ký hiệu: f  f ( x, y ).
𝐷 được gọi là miền xác định của 𝑓.

Miền giá trị của 𝑓: E  {a  R | ( x, y )  D : a  f ( x, y )}

Nếu 𝑓 cho bởi biểu thức đại số: Miền xác định là tập hợp tất cả
các giá trị của 𝑥 và 𝑦, sao cho biểu thức có nghĩa.
Miền giá trị là tập hợp tất cả các số thực mà hàm có thể nhận được.
02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

6


Ví dụ
Hàm hai biến:
𝑓 𝑥, 𝑦 =
Miền xác định:

𝑥+𝑦+1
𝑥−𝑦

D  {( x, y )  R 2 | x  y  1  0, x  y}
3  2 1
f (3, 2) 
 6
3 2

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

7


Nhắc lại
Phương trình tổng quát mặt bậc hai trong hệ tọa độ Descartes 𝑂𝑥𝑦𝑧 là:

Ax  By  Cz  2 Dxy  2 Exz  2 Fyz  Gx  Hy  Kz  L  0
2

2

2

Từ Đại số tuyến tính, để vẽ mặt bậc hai:
1) Đưa dạng tồn phương (màu đỏ) về dạng chính tắc bằng biến đổi
trực giao.
2) Tìm phép biến đổi, xác định trục tọa độ mới.
3) Vẽ hình.

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN

8


Nhắc lại

Xét đồ thị của hàm số: 𝑧 =

𝑥2
𝑎2

+

𝑦2
𝑏2

Tập hợp tất cả các điểm (𝑥, 𝑦) của miền xác định 𝐷𝑓 , sao cho:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘 được gọi là đường mức, trong đó 𝑘 là hằng số cho trước.



k=0
k=1
k=2
k=3
k=4


02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

9

Nhắc lại
Mặt paraboloid elliptic:
𝑥2 𝑦2
𝑧= 2+ 2
𝑎
𝑏

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

10


Nhắc lại
Mặt paraboloid elliptic: 𝑧 = (𝑥 − 1)2 +(𝑦 − 3)2 +4

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

11


Nhắc lại
Mặt paraboloid elliptic: 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑧 2

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

12


Nhắc lại
Mặt ellipsoid:
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+ 2+ 2=1
2
𝑎
𝑏
𝑐

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

13


Nhắc lại
Mặt nón hai phía:
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+ 2= 2
2
𝑎

𝑏
𝑐

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

14


Nhắc lại
Xét đồ thị của hàm số: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1.
Ta thấy với mọi 𝑘, đường mức ln là đường trịn bán kính bằng 1.

k=2
k=1

k=0
k = -1
k = -2
02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

15


Nhắc lại

Mặt trụ: trong phương trình thiếu hoặc 𝑥, hoặc 𝑦, hoặc 𝑧.
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑎
𝑏

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

16


Nhắc lại
Mặt trụ: 𝑥 2 + 𝑧 2 = 4

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

17


Nhắc lại
Mặt trụ: 𝑦 = 𝑥 2

z

x

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

18


Nhắc lại
Mặt trụ: 𝑧 = 𝑥 2

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

19


Nhắc lại
Mặt trụ: 𝑧 = 2 − 𝑥 2

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

20


Ví dụ
Cho 2 hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑔(𝑥, 𝑦) hãy xét các giá trị của nó khi (𝑥, 𝑦) tiến
tới (0, 0).
sin⁡(𝑥 2 + 𝑦 2 )
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥2 + 𝑦2
𝑥2 − 𝑦2
𝑔 𝑥, 𝑦 = 2
𝑥 + 𝑦2

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

21


Ví dụ
sin⁡(𝑥 2 + 𝑦 2 )
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥2 + 𝑦2

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

22


Ví dụ
𝑥2 − 𝑦2
𝑔 𝑥, 𝑦 = 2
𝑥 + 𝑦2

02-Feb-21

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

23


Nhận xét
• 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑔 𝑥, 𝑦 đều khơng xác định tại (0,0).
• Khi 𝑥, 𝑦 dần đến (0,0): các giá trị của 𝑓(𝑥, 𝑦) dần tới 1, các giá
trị của 𝑔(𝑥, 𝑦) không tiến tới bất kỳ một giá trị nào.
• Dự đốn:
sin⁡(𝑥 2 +𝑦 2 )
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 +𝑦 2
𝑥 2 −𝑦 2
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 +𝑦 2

02-Feb-21

= 1.

không tồn tại.

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

24


Định nghĩa giới hạn kép
Cho hàm hai biến 𝑓 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ 𝑅2 sao cho 𝑀0 là điểm tụ
của 𝐷𝑓 .

 Ta nói giới hạn của hàm 𝑓 khi (𝑥, 𝑦) dần đến điểm 𝑀0 bằng 𝑎, nếu:
  xn , yn   D f 

x
,
y

f
x
,
y


a





0
0
n
n
n
n
Ký hiệu của giới hạn (kép):

lim

( x , y )( x0 , y0 )

f ( x, y )  a

   0,   0 : ( x, y )  D f ,( x, y )  ( x0 , y0 ), ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  
Khi đó: f ( x, y )  a   .
Ký hiệu khác của giới hạn (kép):
02-Feb-21

lim f ( x, y )  a

x  x0

y  y0

TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

25