Bài giảng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

BÀI 3. GIÁ TRN LỚN NHẤT, GIÁ TRN NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Biết và hiểu định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số.
+ Biết các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một khoảng, trên một đoạn
+ Nhận biết được mối liên hệ của hàm số y  f  x  , y  f  u  x   , khi biết bảng biến thiên của
hàm số y  f  x  , đồ thị hàm số y  f  x  hoặc đồ thị hàm số y  f   x  .
 Kĩ năng
+ Biết lập, đọc bảng biến thiên của một hàm số để từ đó tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
+ Tính được đạo hàm của các hàm số hợp, nhận biết được mối liên hệ của hàm số
y  f  x  , y  f  u  x   , khi biết bảng biến thiên của hàm số y  f  x  , đồ thị hàm số
y  f  x  hoặc đồ thị hàm số y  f   x 

+ Biết chuyển bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều về khảo sát hàm
một biến số
+ Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  f  x  , y  f  u  x   , y  f  u  x    h  x  … khi biết bảng
biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y  f  x   y  f   x  

TOANMATH.com

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập D.
+) Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y  f  x  trên tập D nếu f  x   M với mọi
x  D và tồn tại x0  D sao cho f  x0   M .

Kí hiệu: M  max f  x 
D

+) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y  f  x  trên tập D nếu f  x   m với mọi
x  D và tồn tại x0  D sao cho f  x0   m

Kí hiệu: m  min f  x 
D

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y  f  x  trên tập D nếu
f  x   M với mọi x  D và tồn tại x0  D sao cho f  x0   M .

Kí hiệu: M  max f  x 
D

Cho hàm số
y  f  x  xác định

trên tập D

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y  f  x  trên tập D nếu
f  x   m với mọi x  D và tồn tại x0  D sao cho f  x0   m .

Kí hiệu: m  min f  x 
D

TOANMATH.com

Trang 2

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên một khoảng
Phương pháp giải

Ta thực hiện các bước sau

Ví dụ: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x3  3 x  1

trên khoảng (0; 2) là
A. 1

B. 3

C. 0

D. -1

Hướng dẫn giải

Hàm số liên tục trên khoảng (0; 2).
Ta có y   3 x 2  3
Bước 1. Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho

khoảng).
Bước 2. Tính y   f   x  ; tìm các điểm mà đạo

hàm bằng không hoặc không xác định.

 x  1
y   0  3x 2  3  

x  1
Vì ta đang xét hàm số trên khoảng (0; 2) nên ta loại
giá trị x  1
Xét bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; 2)

Bước 3. Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm
số min y  1 đạt tại x  1
 0; 2 

Bước 4. Kết luận

Chọn D

Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải.
Bước 1. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

hàm số y  f  x  trên miền (a; b) ta sử dụng máy
tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng
giá trị)
Bước 2. Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá

trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất
hiện là min.
- Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b
Step

ba
(có thể làm trịn để Step đẹp).

19

TOANMATH.com

Trang 3


Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác

sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính về chế độ
Radian.
Ví dụ mẫu

1
2
1
Ví dụ 1. Cho hàm số f  x    x 6  x5  x 2  x  1 .
3
5
2
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. max f  x  

17
30

B. max f  x  

C. max f  x  

67
30

D. Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất







47
30

Hướng dẫn giải

Tập xác định D  
Ta có f   x   2 x5  2 x 4  x  1    x  1  2 x 4  1

Khi đó f   x   0    x  1  2 x 4  1  0  x  1
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f  x  


47
tại x  1
30

Chọn B

Ví dụ 2. Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số f  x  

Khi đó giá trị của biểu thức P 
A.

22
5

B.

6  8x
trên khoảng  ; 1
x2  1

6  8a
bằng
a2  1

6
13

C. 

58
65

D. 

74
101

Hướng dẫn giải

Hàm số liên tục trên khoảng  ; 1
Ta có f   x  

8 x 2  12 x  8

x

2

TOANMATH.com

 1

2

Trang 4


 x  2   ; 1
2

Khi đó f  x   0  8 x  12 x  8  0  
 x   1   ; 1

2
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f  x   8  P 
  ; 1

6  8a
58

2
a 1
65

Chọn C

Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x  

x2  x  1
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
x2  x  1
1
3

A. min f  x   1

B. min f  x  

C. min f  x   3

D. Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất







Hướng dẫn giải
Tập xác định D  
Ta có

2  x 2  x  1  2 x  2 x  1
2x
2x2  2
y  f  x  1  2
 y  

2
2
x  x 1
 x2  x  1
 x 2  x  1
Do đó y   0  2 x 2  2  0  x  1
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy min f  x  


1
tại x  1
3

Bài tập tự luyện dạng 1

TOANMATH.com

Trang 5


Câu 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
A. min y  8

x2
trên (2; 6) là
x2

B. min y  4

 2; 6 

C. min y  3

 2; 6 

Câu 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
A. min y  3

 2; 6 

 2; 6 

x2  x  1
trên khoảng 1;    là
x 1

B. min y  1

1;  

D. min y  9

C. min y  2

1;  

1;  

Câu 3: Mệnh đề nào sau đây là đúng với hàm số y 

x 1
x2  5

D. min y  0
1;  

trên tập xác định của nó?

A. Hàm số khơng có giá trị lớn nhất và khơng có giá trị nhỏ nhất
B. Hàm số khơng có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất
C. Hàm số có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất
D. Hàm số có giá trị lớn nhất và khơng có giá trị nhỏ nhất
Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 
A. không tồn tại



2
 1 2
x



2

trên khoảng  0;    là

C. 1  2

B. -3

D. 0

ĐÁP ÁN
1-A

2-A

TOANMATH.com

3-D

4-B

Trang 6

Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn
Phương pháp giải

Bước 1. Tính f   x 
Bước 2. Tìm các điểm xi   a; b  mà tại đó f   xi   0 hoặc f   xi  không xác định
Bước 3. Tính f  a  , f  xi  , f  b 
Bước 4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

Khi đó M  max f  x  và m  min f  x 
 a ; b

a ; b

Chú ý:

max f  x   f  b 
+) Hàm số y  f  x  đồng biến trên đoạn [a; b] thì 
min f  x   f  a 
max f  x   f  a 
+) Hàm số y  f  x  nghịch biến trên đoạn [a; b] thì 
min f  x   f  b 

Bài tốn 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) liên tục trên một đoạn [a; b]
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y   x3  3 x 2  2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên
[0; 3]. Giá trị của M  m bằng

TOANMATH.com

Trang 7


A. 8

B. 10

C. 6

D. 4

Hướng dẫn giải
Hàm số xác định và liên tục trên [0; 3]
 x  0   0; 3
Ta có y   0  3 x 2  6 x  0  
 x  2   0; 3
Khi đó y  0   2, y  2   6, y  3  2
Vậy M  6; m  2  M  m  8

Chọn A.
Ví dụ 2. Giá trị lớn nhất của hàm số y   x 4  3x 2  1 trên [-1; 2] là
A. 29

B. 1

C. 3

D.

13
4

D.

89
4

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định và liên tục trên [-1; 2]

 x  0   1; 2

6
3
2
Ta có y   4 x  6 x  2 x  2 x  3  y   0   x 
  1; 2

2

 x   6  1; 2



2
 6  13
13
Vì y  0   1; y 

y
  ; y  2   3; y  1  3 nên max

1;
2


4
 2  4

Chọn D

Ví dụ 3. Cho hàm số y 
A. 16

x2
. Giá trị của
x 1

B.

45
4

2

2

 min y    max y  bằng
 2; 3   2; 3 


 

C.

25
4

Hướng dẫn giải

Ta có y  

3

 x  1

2

 0, x  1 , do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 1 ; 1;     Hàm số

nghịch biến trên [2; 3].
5
Do đó min y  y  3  ; max y  y  2   4
2; 3
2 2; 3
2

2
2
89

5
Vậy  min y    max y      42 
2;
3
2;
3





 
4
 2

Chọn D

TOANMATH.com

Trang 8


Ví dụ 4. Giá trị lớn nhất của hàm số f  x  
A.

15
4

B.

x2  8x
trên đoạn [1; 3] bằng
x 1

7
2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

x2  8x
liên tục trên [1; 3]
x 1

Hàm số f  x  
f  x 

 2 x  8 x  1  x 2  8 x x 2  2 x  8

2
2
 x  1
 x  1

 x  2  1; 3
f   x   0  x2  2x  8  0  
 x  4  1; 3

7
15
; y  3 
; y  2   4
2
4

Ta thấy y 1 

Vậy max f  x  
1; 3

7
2

Chọn B
Ví dụ 5. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  x  4  x 2
Giá trị của biểu thức P  M  m bằng

A. 2





2 1

B. 2





2 1

C.

2 1

D.

2 1

Hướng dẫn giải
Tập xác định D   2; 2
Ta có y   1 

x
4  x2



4  x2  x
4  x2

, x   2; 2 

 x  0
y  0  4  x2  x  
 x  2   2; 2 

y

 2  2





2; y  2  0; y  2   2; y  2   2

Vậy M  2 2, m  2  P  2 2  2  2





2 1

Chọn A
Ví dụ 6. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 x3  3 x 2  m trên đoạn [0; 5] bằng 5 khi m bằng
A. 6

B. 10

C. 7

D. 5

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định và liên tục trên D   0; 5

TOANMATH.com

Trang 9


x  0  D
Ta có y   0  6 x 2  6 x  0  
 x  1 D
f  0   m; f 1  m  1; f  5   175  m

Dễ thấy f  5   f  0   f 1 , m   nên min f  x   f 1  m  1
0; 5

Theo đề bài min f  x   5  m  1  5  m  6
0; 5

Chọn A.

Ví dụ 7. Gọi A, B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y 

các giá trị thực của tham số m để A  B 

x  m2  m
trên đoạn [2; 3]. Tất cả
x 1

13
là

2

A. m  1; m  2

B. m  2

C. m  2

D. m  1; m  2

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2; 3]
Ta có y  

  m 2  m  1

 x  1

2

 0, m

 A  y  3 

m2  m  3
; B  y  2   m2  m  2
2

Do đó A  B 

m2  m  3
13
13

 m2  m  2 
2
2
2
m  1
 3m 2  m  6  0  
 m  2

Chọn A
Ví dụ 8. Biết hàm số y  x3  3mx 2  3  2m  1 x  1 (với m là tham số) trên đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn

nhất bằng 6. Các giá trị của tham số m là
A. m  1

B. m  0

C. m  3

D. m  1

Hướng dẫn giải

Ta có y   3 x 2  6mx  3  2m  1  3  x 2  2mx  2m  1
 x  1
y  0  

 x  1  2m
Vì y  2   1; y  0   1 và theo bài ra max y  6 nên giá trị lớn nhất không đạt tại x  2; x  0 . Do đó
 2; 0

giá trị lớn nhất đạt tại y  1 hoặc y 1  2m  .
Ta có y  1  3m  3, y 1  2m   1  2m   m  2   1
2

TOANMATH.com

Trang 10


- Trường hợp 1: Xét 3m  3  6  m  1
 x  1   2; 0
Thử lại với m  1 , ta có y   0  
nên m  1 là một giá trị cần tìm.
 x  3   2; 0
1  2m 2  m  2   5
1  2m 2  m  2   1  6

- Trường hợp 2: Xét 
 1
3
2  1  2m  0
 m
2
2

Vì

1

1
3
2
 m   m  2  0  1  2m   m  2   0 nên (1) vô nghiệm
2
2

Chọn D
Bài tốn 2. Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [a; b]
Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau

Ví dụ: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của hàm số

y  x 2  2 x  2 trên đoạn [-1; 1] lần lượt là a, b thì
giá trị của a  b bằng
A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải

Xét hàm f  x   x 2  2 x  2  f   x   2 x  2
f  x  2x  2  0  x  1

Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

hàm số f  x  trên đoạn  a; b  , giả sử thứ tự là M, Suy ra max y  f  1  1; min y  f 1  3
 1; 1

m.

 1; 1

Do đó giá trị lớn nhất y  3  3  a  3 tại x  1
và giá trị nhỏ nhất y  0  b  0 tại x  1  3

Bước 2.

+) Tìm max y  max  M ; m 
a ; b

+) Tìm min y
a ; b

- Trường hợp 1: M .m  0  min y  0
a ; b

- Trường hợp 2: m  0  min y  m
 a ; b

- Trường hợp 3: M  0  min y  M   M

a ; b

Vậy giá trị a  b  3  0  3
Chọn B

Bước 3. Kết luận.
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x3  9 x 2  24 x  68 trên đoạn [-1; 4] bằng
TOANMATH.com

Trang 11


A. 48

B. 52

C. -102

D. 0

Hướng dẫn giải

Bảng biến thiên của hàm số y  x3  9 x 2  24 x  68 trên  1; 4

Suy ra bảng biến thiên của hàm số y  x3  9 x 2  24 x  68 trên đoạn  1; 4 là

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x3  9 x 2  24 x  68 trên đoạn  1; 4 bằng 48.
Chọn A

Cách khác: Theo trường hợp 3 thì M  48  0  min y  48
Bài tốn 3. Tìm tham số để GTLN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [α, β] bằng k
Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau

Ví dụ: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của
tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
y

x 2  mx  m
trên đoạn [1; 2] bằng 2.
x 1

Số phần tử của tập S là
A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Hướng dẫn giải
Bước 1. Tìm max f  x   max  A ; B 
 ;  

Xét hàm số y  f  x  

 ;  

Ta có y  

TOANMATH.com

x2  2x

 x  1

2

x 2  mx  m
x 1

 x  0  1; 2
0
 x  2  1; 2

Trang 12


Mặt khác f 1 

2m  1
3m  4
; f  2 
2
3

 2m  1 3m  4 

;
Do đó max y  max 

1; 2
3 
 2
- Trường hợp 1:
Bước 2. Xét các trường hợp

+) A  k tìm m, thử lại các giá trị m đó
+) B  k tìm m, thử lại các giá trị m đó

3

m

2m  1
2
max y 
2
1; 2
2
m   5

2
+) Với m 

3
3m  4 17



 2 (loại)
2
3
6

+) Với m  

5
3m  4 7

  2 (thỏa mãn)
2
3
6

- Trường hợp 2:
2

m  3
3m  4
max y 
2
1; 2
3
 m   10

3
+) Với m 

2
2m  1 7

  2 (thỏa mãn)
3
2
6

+) Với m  

10
2m  1 17


 2 (loại)
3
2
6

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.
Bước 3. Kết luận

Chọn D

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
1
f  x   x 4  14 x 2  48 x  m  30 trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng
4
A. 108

B. 120

C. 210

D. 136

Hướng dẫn giải

Xét hàm số g  x  

1 4
x  14 x 2  48 x  m  30 trên đoạn [0; 2]
4

 x  6   0; 2

Ta có g   x   x 3  28 x  48  g   x   0   x  2   0; 2

 x  4   0; 2

 g  0   30
 m  30  30
Để max g  x   30  

 0  m  16
0; 2
m



14
30
g

2
30





 m  0;1; 2;...; 15; 16

TOANMATH.com

Trang 13


Tổng các phần tử của S là 136.
Chọn D

Ví dụ 2. Biết giá trị lớn nhất của hàm số y 

4  x2  x 

1
 m bằng 18.
2

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 0  m  5

B. 10  m  15

C. 5  m  10

D. 15  m  20

Hướng dẫn giải

Xét hàm số g  x   4  x 2  x 
Ta có g   x  

x
4  x2

1
liên tục trên tập xác định [-2; 2]
2

 1  g x  0 

x
4  x2

 1  0, x   2; 2 

x  0
 4  x2  x  
 x  2   2; 2 

2
2
4  x  x

5
g  2    ; g
2

 2   1 24

Do đó max g  x  
 2; 2

Theo bài ra

2

; g  2 

3
2

5
5
khi x  2 , suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng  m
2
2

5
 m  18  m  15,5 . Vậy 15  m  20

2

Chọn D
Bài tốn 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN của hàm số y = |f(x) + g(m)| trên đoạn [a; b] đạt GTNN
Phương pháp giải

Thực hiện các bước sau

Ví dụ: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số

y  x 2  2 x  m  4 trên đoạn [-2; 1] đạt giá trị
nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng
A. 1

B. 3

C. 4

D. 5

Hướng dẫn giải

Đặt f  x   x 2  2 x
Bước 1. Tìm   max f  x  ;   min f  x 
a ; b

 a ; b

Ta có
f   x   2 x  2; f   x   0  x  1   2; 1

f  2   0; f 1  3; f  1  1

Do đó max f  x   3; min f  x   1
 2; 1

TOANMATH.com

 2; 1

Trang 14


Suy ra max y  max  m  5 ; m  1 
 2; 1

Bước 2. Gọi M là giá trị lớn nhất của



y  f  x   g  m  thì

2



5  m  m 1
2

2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi



M  max   g  m  ;   g  m 


m  5  m 1

  g  m    g m
2





 m  5  m  1
 m  3 (thỏa mãn)

 5  m  m  1  0

  g  m     g  m 
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

  g  m    g  m
Áp dụng bất đẳng thức


  g  m     g  m

  g  m    g m
2

2


 
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
  g  m       g  m    0

Bước 3. Kết luận min M 

g  m 

Chọn B

 

khi

2

  
2

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Để giá trị lớn nhất của hàm số y 
A. m 

3
2

B. m 

2 x  x 2  3m  4 đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng

5
3

C. m 

4
3

D. m 

1
2

Hướng dẫn giải

Tập xác định D   0; 2
Đặt f  x   2 x  x 2 , x  D .
Ta có f   x  

1 x

2x  x2

 f  x  0  x  1

f  0   0; f  2   0; f 1  1
Suy ra P  max y  max  3m  4 ; 3m  5  
D

TOANMATH.com

3m  4  3m  5
2

Trang 15




5  3m  3m  4
2



1
2

 3m  4  3m  5
3
Dấu bằng xảy ra  
 m  (thỏa mãn)

2
 5  3m  3m  4   0
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi m 

3
2

Chọn A
Bài toán 5. Tìm tham số để GTNN của hàm số y = |ax2 + bx + c| + mx đạt GTLN
Ví dụ 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x, m   x 2  2 x  5  mx đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 2

B. 5

C. 8

D. 9

Hướng dẫn giải

Ta có min f  x, m   f  0, m   5, m  
Xét m  2 ta có f  x, 2   x 2  2 x  5  2 x  x 2  2 x  5  2 x  5, x  
Dấu bằng xảy ra tại x  0 . Suy ra min f  x, 2   5, x  
min f  x, m   5, m  
Do đó 
 max  min f  x, m    5 , đạt được khi m  2
min f  x, 2   5, x  
Chọn B.

Tổng quát: y  ax 2  bx  c  mx

Trường hợp 1: a.c  0  max  min y   c
Đạt được khi m  b
Ví dụ 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x, m   x 2  4 x  7  mx đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 7

B. -7

C. 0

D. 4

Hướng dẫn giải

Phương trình x 2  4 x  7  0 luôn có hai nghiệm trái dấu x1  0  x2
Trường hợp 1: Nếu m  0
Ta có min f  x, m   f  x, m   mx1  0, m  
Xét m  0 ta có f  x, 0   x 2  4 x  7  0, x   . Dấu bằng xảy ra tại x  x1, 2 .
Suy ra min f  x, 0   0, x  
min f  x, m   0, m  
Do đó 
 max  min f  x, m    0 khi m  0
min f  x, 0   0, x  
Trường hợp 2: Nếu m  0

Ta có min f  x, m   f  x2 , m   mx2  0, m    max  min f  x, m    0
TOANMATH.com

Trang 16

So sánh cả hai trường hợp thì max  min f  x, m    0 khi m  0
Chọn C

Trường hợp 2: a.c  0  max  min y   0 Đạt được khi m  0
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x5  5 x 4  5 x3  2 trên

đoạn  1; 2 . Khi đó M  m có giá trị bằng
A. -6

B. 12

C. -12

D. 3

x2  2 x  2
 1 7
Câu 2: Trên đoạn   ;  hàm số f  x  
đạt giá trị lớn nhất tại
x 1
 2 3
A. x0  

1
2

B. x0  0

C. x0 

7
3

D. x0  2

Câu 3: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   2 x  4 6  x trên

 3; 6 . Tổng

M  m có giá trị là

A. -12

B. -6

C. 18

D. -4

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x  2  x 2 trên tập xác định là
A.  2

B. -1

C. 1

D.

2

 
Câu 5: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x  cos 2 x trên đoạn  0;  là
 4

1
A. max f  x   ; min f  x   1
 
2 0;  
0; 

B. max f  x  





D. max f  x  







4

C. max f  x  



0; 4 



4

1
 ; min f  x   1
4 2 0;  


4

 
0; 4 






0; 4 



Câu 6: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f  x  

4

; min f  x  
 
0; 4 




6

1
1
 ; min f  x  

2 4 0; 
2


4

mx  1
đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 1; 3 bằng
xm

2?
A. m  7

B. m  3

C. m  7

D. m  3

1
Câu 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x    x3  3 x 2  m trên đoạn  1; 1 bằng 0 khi
2
A. m  4

B. m  12

C. m  0

Câu 8: Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số f  x  

 2;3 bằng

D. m  8

x 1
đạt giá trị lớn nhất trên đoạn
x  m2

1
?
2

A. m  2

TOANMATH.com

B. m  1

C. m  1

D. m  2

Trang 17


Câu 9: Giá trị lớn nhất của hàm số f  x   x3  3 x 2  72 x  90  m trên đoạn [-5; 5] bằng 2018. Trong

các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng?
A. 1600  m  1700

B. m  1600

C. m  1500

D. 1500  m  1600

Câu 10: Để giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x   x3  3 x  2m  1 trên đoạn  0; 2 là nhỏ nhất thì giá

trị của m thuộc khoảng nào dưới đây?
A.  0; 1

B.  1; 0 

C. 1; 2 

D.  2;  1

Câu 11: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y  x3  3 x 2  x  m trên đoạn  2; 4 , m0 là giá trị của

tham số m để M đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 1  m0  5

B. 7  m0  5

C. 4  m0  0

D. m0  8

Câu 12: Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 4  38 x 2  120 x  4m trên đoạn

0; 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tham số m bằng
A. 26

B. 13

C. 14

D. 27

Câu 13: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y  x 4  38 x 2  120 x  4m trên đoạn [0; 2] đạt giá trị nhỏ

nhất. Khi đó giá trị của tham số m bằng
A. -12

B. -13

C. -14

D. -11

Câu 14: Xét hàm số y  x 2  ax  b với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

 1;3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất thì a  2b
A. 5

B. -4

bằng
C. 2

D. -3

Câu 15: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

y  x3  3 x 2  9 x  m trên đoạn  2; 4 bằng 16. Số phần tử của S là
A. 0

B. 2

C. 4

D. 1

Câu 16: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

y  x 3  3 x  m trên đoạn [0; 2] bằng 3. Số phần tử của S là
A. 0

B. 2

C. 3

D. 1

Câu 17: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y  x3  3 x 2  m

trên đoạn  2; 4 bằng 50. Tổng các phần tử của tập S là
A. 4

B. 36

C. 140

D. 0

Câu 18: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
1
19
y  x 4  x 2  30 x  m  20 trên đoạn  0; 2 không vượt quá 20. Tổng các phần tử của S bằng
4
2
A. 210

B. -195

C. 105

D. 300

Câu 19: Cho hàm số f  x   x 4  4 x 3  4 x 2  a . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số đã cho trên đoạn  0; 2 . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn  3; 2 sao cho M  2m ?
A. 7
TOANMATH.com

B. 5

C. 6

D. 4

Trang 18


Câu 20: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x, m   x 2  2020 x  2019  mx đạt giá trị lớn nhất khi

tham số m bằng
A. 2020

B. 2019

C. 0

D. 2018

Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x, m   x 2  6 x  10  mx đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 6

B. -6

C. 0

D. 10

ĐÁP ÁN
1-B

2-C

3-B

4-A

5-C

6-A

7-D

8-C

9-A

10-A

11-D

12-D

13-B

14-B

15-D

16-B

17-A

18-C

19-D

20-A

21-C

TOANMATH.com

Trang 19


Dạng 3: TÌM GTLN-GTNN khi cho đồ thị - bảng biến thiên
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ

Giá trị lớn nhất của hàm số trên  là

A. max y  


1
2

B. max y  1


C. max y  1

D. max y  3





Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biên thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại x  

1
2

Chọn D
Ví dụ 2. Hàm số y  f  x  liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình bên dưới

Biết f  4   f  8  , khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên  bằng
A. 9

B. f  4 

C. f  8 

D. -4

Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên ta có f  x   f  4  , x   ; 0 và f  x   f  8  , x   0;    .
Mặt khác f  4   f  8  suy ra x   ;    thì f  x   f  8 
Vậy min f  x   f  8 


Chọn C

TOANMATH.com

Trang 20



Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập hợp D   ;  1  1;

sau

3
và có bảng biến thiên như
2 

Khẳng định đúng là

A. max f  x   0 ; không tồn tại min f  x 
D

D

B. max f  x   0 ; min f  x    5
D

D

C. max f  x   0 ; min f  x   1
D

D

D. min f  x   0 ; không tồn tại max f  x 
D

D

Hướng dẫn giải

3
Dựa vào bảng biến thiên thì max f  x   f  1  0; min f  x   f     5
D
D
2
Chọn B
Ví dụ 4. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị trên khoảng  3; 3 như hình bên dưới

Khẳng định đúng là
A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3
B. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4
C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -3
D. Hàm số khơng có giá trị lớn nhất
TOANMATH.com

Trang 21


Hướng dẫn giải

Từ đồ thị của hàm số y  f  x  ta thấy rằng hàm số y  f  x  xác định, liên tục và f  x   4 , với mọi
x   3; 3 , nên hàm số khơng có giá trị lớn nhất
Chọn D
Ví dụ 5. Cho hàm số y  f  x  liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn  0; 2 như sau

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  f  x  trên đoạn  0; 2 là
A. M  4 và m  1

B. M  0 và m  2

C. M  2 và m  0

D. M  1 và m  4

Hướng dẫn giải

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy m  min y  1 khi x  2 và M  max y  4 khi x  0
0; 2

0; 2

Chọn A
Ví dụ 6. Cho hàm số y  f  x  liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn  2; 4 như sau

Giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  2; 4 bằng
A. f  2 

B. f  0 

C. f  2 

D. f  4 

Hướng dẫn giải

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy max y  17 khi x  4
 2; 4

Chọn D

TOANMATH.com

Trang 22


Ví dụ 7. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  1; 3 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1; 3 . Giá trị của

M  m bằng

A. 1

B. 3

C. 4

D. 5

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị suy ra
M  f  3  3; m  f  2   2

Vậy M  m  5
Chọn D
Ví dụ 8. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  1; 1 và có đồ thị như hình vẽ.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1; 1 . Giá trị của
M  m bằng

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị ta thấy M  1; m  0 nên M  m  1
Chọn B
Ví dụ 9. Cho đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ
TOANMATH.com

Trang 23


Hàm số y  f  x  đạt giá trị lớn nhất trên khoảng 1; 3 tại x0 . Khi đó giá trị của x02  2 x0  2019 bằng
bao nhiêu?
A. 2018

B. 2019

C. 2021

D. 2022

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị của hàm số y  f   x  ta có bảng biến thiên như sau

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y  f  x  đạt giá trị lớn nhất trên khoảng 1; 3 tại x0  2 .
Vậy x02  2 x0  2019  2019
Chọn B
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M, m. Giá trị biểu thức P  M 2  m 2 là
A. P 

1
4

B. P 

1
2

C. 2

D. 1

Câu 2: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên khoảng  3; 2  ,

TOANMATH.com

Trang 24


lim  f  x   5, lim f  x   3 và có bảng biến thiên như sau

x  3

x 2

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất trên khoảng  3; 2 

B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -5
C. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3
D. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng  3; 2  bằng 0.
Câu 3: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị trên khoảng  2; 2  như hình bên. Khẳng định đúng là

A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2
B. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1
C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1
D. Hàm số khơng có giá trị lớn nhất
Câu 4: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  5;3 và có bảng biến thiên như sau

TOANMATH.com

Trang 25