Bài giảng logarit

CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT
BÀI 2. LÔGARIT
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Biết khái niệm và tính chất của lơgarit.
+ Biết các quy tắc lôgarit và công thức đổi cơ số.
+ Biết các khái niệm lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên.
 Kĩ năng
+

Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lơgarit đơn giản.

+

Biết vận dụng các tính chất của lơgarit vào các bài tốn biến đổi, tính tốn các biểu thức chứa
lơgarit.

TOANMATH.com

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Nhận xét: log a b    a  b  a, b  0, a  1

1. Khái niệm lôgarit
Cho hai số dương a , b với a  1 . Số  thỏa mãn đẳng


thức a  b được gọi là lôgarit cơ số a của b , và ký
hiệu là log a  b .

Ví dụ: log 2 8  3  23  8
Chú ý: Khơng có lơgarit của số âm và số 0.

2. Tính chất
Cho a , b  0, a  1 . Ta có:
log a  0;

log a a  1

log a  a   

a loga b  b;

3. Quy tắc tính lơgarit

Ví dụ:

a. Lơgarit của một tích
Cho a , b1 , b2  0 với a  1 , ta có:
log a (b1b2 )  log a b1  log a b2

Chú ý: Định lý trên có thể mở rộng cho tích của n số
dương:
log a  b1 ...bn   log a b1  ...  log a bn

 log

1
1 

 log 2  log  .2   log 1  0;
2
2 

 log 3

1
2
3
7
8
 log 3  log 3  ...  log 3  log 3
2
3
4
8
9

7 8
1 2 3
 log 3  . . ..... . 
8 9
2 3 4

 log 3

trong đó a, b1 , b2 ,..., bn  0, a  1.
b. Lơgarit của một thương

Ví dụ:

Cho a, b1 , b2  0 với a  1, ta có:

log a 
Đặc biệt: loga

b1
 loga b1  log a b2
b2

1
  log a b
b

1
 2.
9

• log5

125
 log5 125  log5 25  3  2  1;
25

• log 7

1
  log 7 49  2.
49

 a  0, b  0  .

c. Lơgarit của một lũy thừa

Ví dụ:

Cho hai số dương a, b, a  1. Với mọi  , ta có:

• log2 83  3 log2 8  3.3  9;

loga b   log a b

• log2 4 8 

Đặc biệt:
loga n b 

1
log a b
n

4. Đổi cơ số
Cho a, b, c  0; a  1; c  1, ta có:

TOANMATH.com

1
1
3
log2 8  .3  .

4
4
4

Ví dụ:
• log8 16 

log2 16 4
 ;
log2 8 3

Trang 2


Đặc biệt:

log a b 

logc b
logc a

log a b 

1
logb a

loga b 

1



• log3 27 

 b  1 ;

1
 3;
log27 3

• log128 2  log27 2 

1
1
log2 2  .
7
7

log a b   0  .

5. Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên
a. Lôgarit thập phân
Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Với b  0, log10 b
thường được viết là log b hoặc lg b .
b. Lôgarit tự nhiên
Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e . Với b  0, loge b
được viết là ln b .
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

TOANMATH.com

Trang 3


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Biến đổi biểu thức lơgarit
Bài tốn 1. Chứng minh đẳng thức
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho x , y  0 và x 2  4 y 2  12 xy. Khẳng đinh nào sau đây đúng?

Nhận xét: Các lôgarit

A. log2  x  2 y   log2 x  log2 y  1.

có mặt trong các đáp
án đều có cùng cơ số

 x  2y 
B. log2 
  log2 x  log2 y.
 4 

C. log2  x  2 y   2 

2. Do đó ta cũng có
thể dùng các quy tắc

1
 log2 x  log2 y  .
2

của lôgarit, biến đổi
từng đáp án đến khi

D. 4 log2  x  2 y   log2 x  log2 y.

thấy xuất hiện biểu
thức

Hướng dẫn giải

khơng

cịn

lơgarit và so sánh với

Với x , y  0 , ta có: x 2  4 y 2  12 xy   x  2 y   16 xy
2

 log2  x  2 y   log2 16 xy
2

giả thiết ban đầu để
tìm ra đáp án đúng.

 2 log2  x  2 y   4  log2 x  log 2 y
 log2  x  2 y   2 

1

 log2 x  log2 y  .
2

Chọn C.
Ví dụ 2: Cho các số thực a  b  0 . Mệnh đề nào sau đây sai?

 

 

Chú ý: Khi biến đổi

 ab   12  ln a  ln b  .

A. ln  ab   ln a2  ln b 2 .

B. ln

a
C. ln    ln a  ln b .
b

a
D. ln    ln a2  ln b 2 .
b

2

2

 

 

biểu

thức

chứa

lơgarit, ta cần thận
trọng trong việc lựa
chọn tính chất, cơng

Hướng dẫn giải

thức, quy tắc sao cho

Vì khi a  b  0 không tồn tại ln a, ln b.

biểu thức ln xác

Chọn B.

định với điều kiện

Ví dụ 3: Cho a, b, c, d là các số thực dương, khác 1. Mệnh đề nào dưới đây

ban đầu.

đúng?
a c
A. a c  b d  ln    .
b d

C. ac  b d 

ln a c
 .
ln b d

B. ac  b d 

ln a d
 .
ln b c

a d
D. a c  b d  ln    .
b c

Hướng dẫn giải
TOANMATH.com

Trang 4


Do a, b, c, d là các số thực dương, khác 1 nên ta có:

ac  b d  c ln a  d ln b 

ln a d
 .
ln b c

Chọn B.
Ví dụ 4: Với các số thực dương a, b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?
 2a3 
A. log2 
  1  3log2 a  log2 b.
 b 
 2a3 
1
B. log2 
  1  log2 a  log2 b.
3
 b 

 2a3 
C. log2 
  1  3log2 a  log2 b.
 b 
 2a3 
1
D. log2 
  1  log2 a  log2 b.
3
 b 
Hướng dẫn giải
Ta có:

 2a3 
3
3
log2 
  log2 2a  log2  b   log2 2  log2 a  log2 b  1  3log2 a  log2 b.
 b 

 

Chọn A.
Bài tốn 2. Tính giá trị của biểu thức khơng có điều kiện. Rút gọn biểu thức.
Phương pháp giải
Để tính log a b ta có thể biến đổi theo một trong các cách sau:

Ví dụ:

• b  a , từ đó suy ra log a b  log a a   ;

7
• log32 128  log25 2 7  ;
5

• a  b , từ đó suy ra log a b  log b b 

1



;

• 32

log2 9

2

5log2 9

 95.

• a  c , b  c  , từ đó ta suy ra

log a b  logc c  
b

 Để tính
b

log a c

loga c

 loga c

a


.


, ta biến đổi

b  a , từ đó suy ra

 c

Ví dụ mẫu

TOANMATH.com

Trang 5


Ví dụ 1: Cho a, b, c,d  0 . Rút gọn biểu thức

a
b
c
d
S  ln  ln  ln  ln ta được
b
c
d
a
A. S  1.

B. S  0.

a b c d

C. S  ln      .
b c d a

D. S  ln  abcd  .

Hướng dẫn giải

a b c d
a
b
c
d
Ta có: S  ln  ln  ln  ln  ln  . . .   ln1  0.
b
c
d
a
b c d a
Phương

Chọn B.
Ví dụ 2: Cho a, b  0 và a, b  1 , biểu thức P  log

a

b3 .logb a 4

bằng
A. 6

B. 24

C. 12.

D. 18.

Hướng dẫn giải

giải

trắc

nghiệm: Ta thấy các đáp án
đều là các hằng số, như vậy ta
dự đốn giá trị của P khơng
phụ thuộc vào giá trị của a, b .
Sử dụng máy tính bỏ túi Casio,

Ta có :
3
1
P  log a b .log b a  log 1 b .logb a  .4.log a b.
 24.
1
log a b
a2
2
3

pháp

4

3

4

Chọn B.

thay a  b  2 vào biểu thức
log

a

b3 .log b a 4

rồi bấm =,

được kết quả P  24.
Chọn B.

Ví dụ 3: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a  1, a  b và Phương

giải

trắc

nghiệm:

log a b  3.

Biến đổi biểu thức P  log

pháp

b
a

b
ta được
a

A. P  5  3 3.

B. P  1  3.

C. P  1  3.

D. P  5  3 3.

Chọn a  2, b  2 3 .
Bấm máy ta được

P  1  3.
Chọn C.

Hướng dẫn giải
Ta có:

P

log a
log a





b 1
1
log a b  1
3 1

3 1
a 2
 2

 1  3.
1
b
loga b  1
3

2
loga b  1
2
a

Chọn C.
Ví dụ 4 : Biến đổi biểu thức

TOANMATH.com

Trang 6


 a 
2
P  loga2 a10 b 2  log a 
  log 3 b b (với 0  a  1, 0  b  1 )
 b





ta được
A. P  2.

B. P  1.

C. P  3.

D. P  2.

Hướng dẫn giải
Sử dụng các quy tắc biến đổi lơgarit ta có:
 a 
2
P  loga2 a10 b 2  log a 

  log 3 b b
 b







1
 log a a10  log a b2   2  loga a  log a b   3.  2  logb b



2



 1

1
10  2 loga b   2 1  loga b   6  1.
2
 2


Chọn B.
Bài tốn 3. Tính giá trị biểu thức theo một biểu thức đã cho
Phương pháp giải
Để tính log a b theo m  log a x; n  loga y ta biến đổi Ví dụ: Cho log a b  2, log a c  3.

b  a . x  . y  .

Tính giá trị của loga

Từ đó suy ra log a b  log a a .x  .y     m  n .

a 2 b3
.
c4

Hướng dẫn giải
Ta có:
log a

a 2 b3
 loga a2  log a b3  loga c4
c4
 2  3.2  4.  3  20.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho log12 27  a. Khi đó giá trị của log6 16 được tính theo a là
A.

4 3  a
3 a

.

B.

4 3  a
3a

.

C.

4a
.
3 a

D.

2a
.
3 a

Hướng dẫn giải
Ta có: a  log12 27 

log2 27
3log2 3
2a

 log2 3 
.
log2 12 2  log2 3
3 a

Khi đó log6 16  4 log6 2 

4
4


log2 6 1  log2 3

4 3  a 
4

.
2a
3 a
1
3 a

Chọn A.
TOANMATH.com

Trang 7


Ví dụ 2. Cho lg 3  a,lg 2  b. Khi đó giá trị của log125 30 được tính theo a là:
A.

4 3  a
3b

.

B.

1 a
.
3 1  b 

C.

a
.
3 b

D.

a
.
3 a

Hướng dẫn giải
Ta có: log125 30 

lg 30
1  lg3
1 a


.
lg125 3 1  lg 2  3 1  b 

Chọn B.

Ví dụ 3. Cho a  log2 3; b  log3 5; c  log 7 2. Khi đó Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính: gán lần lượt
giá trị của log140 63 được tính theo a, b, c là:

log2 3,log3 5,log 7 2 cho a, b, c. Lấy log140 63 trừ

2ac  1
A.
.
abc  2c  1

đi lần lượt các đáp án ở A, B, C, D. Kết quả nào

C.

abc  2c  1
B.
.
2ac  1

2ac  1
.
abc  2c  1

D.

bằng 0 thì đó là đáp án.

ac  1
.
abc  2c  1

Hướng dẫn giải
Ta có:
log2 63
log2 32.7
2 log2 3  log 2 7
log124 63 


2
log 2 140 log2 2 .5.7 2  log2 5  log2 7

2 log2 3 




1
log7 2

1
2  log2 3.log3 5 
log7 2



2a 

1
c

2  ab 

1
c

1  2ac
.
1  2c  abc

Chọn C.
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH
Phương pháp giải
Cơ sở lý thuyết: A  B  A  B  0
+) Đây là một nhận định cực kì cơ bản nhưng dựa vào nó ta có thể có các kỹ thuật bấm rất nhanh gọn phù
hợp với yêu cầu của thi trắc nghiệm.
+) Khi đề bài cho dưới dạng tính giá trị của biểu thức P và bên dưới cho 4 đáp án. Khi đó 1 trong 4 đáp án
sẽ bằng P và ta sử dụng máy tính bỏ túi để tìm ra đáp án đúng một cách nhanh nhất.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Nếu a  log15 3 thì

TOANMATH.com

Trang 8


A. log25 15 

3
.

5 1  a 

B. log25 15 

5
.
3 1  a 

C. log25 15 

1
.
2 1  a 

D. log25 15 

1
.
5 1  a 

Hướng dẫn giải
Tư duy tự luận thì ta làm như sau:
Ta có: a  log15 3 
Khi đó: log 25 15 

1
1
1
1 a


 log3 5   1 
log3 (3.5) 1  log3 5
a
a.

1
1
1
log 5 15  log 5  5.3  1  log 5 3  
2
2
2

1
1 
1 

2  log 3 5 



1
1  1
a 
1
 1 
 1 

.



2  1  a  2  1  a  2 1  a 
a 

Chọn C.
Bây giờ, ta sẽ sử dụng casio - vinacal theo cơ sở lí thuyết đã trình bày ở trên
để giải bài tốn này.
Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log15 3 cho A.

Bấm log15 3 .
Bước 2: Nhập biểu thức: log 25 15  (...)

Lần 1: Nhập log 25 15 

3

3(1  A)

Loại A.
Lần 2: Bấm

để sửa biểu thức thành log 25 15 

5

2(1  A)

để sửa biểu thức thành log 25 15 

1


2(1  A)

Loại B.
Lần 3: Bấm

Chọn C.
TOANMATH.com

Trang 9


Ví dụ 2. Đặt a  log2 3, b  log5 3. Biểu diễn log6 45 theo a, b ta được
A. log6 45 

a  2ab
.
ab

B. log6 45 

2a2  2ab
.
ab

C. log6 45 

a  2ab
.
ab  b

D. log6 45 

2a2  2ab
.
ab  b

Hướng dẫn giải
Ta có: log2 3  a  log3 2 

1
1
và log5 3  b  log3 5  .
a
b

Khi đó:

1
log3 45 log3 9  log3 5 2  log3 5 2  b a 1  2b  a  2ab
log6 45 





.
1
log3 6 log3 3  log3 2 1  log3 2
b  ab

b 1  a 
1
a
Chọn C.
SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI (CASIO HAY VINACAL) ĐỂ GIẢI NHƯ SAU:
Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log2 3, log5 3 cho A, B.

Gán log2 3  A. Bấm log2 3.

Gán log5 3  B. Bấm log5 3.
Bước 2: Nhập biểu thức: log6 45   ...

Lần 1: Nhập log6 45 

A  2 AB

AB

Loại A.
Lần 2: Bấm

để sửa biểu thức thành log6 45 

2 A 2  2 AB

AB

để sửa biểu thức thành log6 45 

A  2 AB


AB  B

Loại B.

Lần 3: Bấm
Chọn C.

Ví dụ 3. Nếu log27 5  a; log8 7  b; log2 3  c thì log12 35 bằng

TOANMATH.com

Trang 10


A.

3b  2ac
.
c2

B.

3b  3ac
.
c2

C.

3b  2ac

.
c3

D.

3b  3ac
.
c 1

Hướng dẫn giải
Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log27 5, log8 7, log2 3 cho A, B, C.

Gán log27 5  A. Bấm log 27 5.

Gán log8 7  B. Bấm log8 7.

Gán log2 3  C. Bấm log2 3.
Bước 2: Nhập biểu thức: log12 35   ...

Lần 1: Nhập log12 35 

3B  2 AC

C2

Loại A.

để sửa biểu thức thành log12 35 

Lần 2: Bấm

3B  3 AC

C2

Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Với mọi số tự nhiên n. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. n   log2 log2

... 2 .


B. n  log2 log2

n căn bậc hai

C. n  2  log2 log2

... 2 .

n căn bậc hai

... 2 .


D. n  2  log2 log2

n căn bậc hai

... 2 .

n căn bậc hai

 

8
Câu 2: Cho a, b là hai số thực dương khác 1 và thỏa mãn log2a b  8 log b a 3 b   . Tính giá trị biểu
3





thức P  log a a 3 ab  2017, ta được
A. P  2019.

B. P  2020.

Câu 3: Biết log5 3  a, khi đó giá trị của log3
A.

3a  2
.
a

B.

C. P  2017.

D. P  2016.

27
được tính theo a là
25

3a
.
2

C.

3
.
2a

D.

a
.
3a  2

Câu 4: Cho a  log 2 20. Giá trị log20 5 theo a bằng
TOANMATH.com

Trang 11


A.

5a
.
2

B.

a 1
.
a

Câu 5: Số thực x thỏa mãn: log x 

C.

a2
.
a

D.

a 1
.
a2

1
log3a  2 log b  3log c (a, b, c là các số thực dương). Hãy biểu
2

diễn x theo a, b, c.
A. x 

3ac3
.
b2

B. x 

3a
.
2 3
bc

C. x 

3a .c3
.
b2

D. x 

3ac
.
b2

Câu 6: Đặt log3 5  a. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. log15 75 

a 1
.
2a  1

B. log15 75 

2a  1
.
a 1

C. log15 75 

2a  1
.
a 1

D. log15 75 

Câu 7: Cho a, b là các số thực dương, a  1. Rút gọn biểu thức: P  log2a  ab  
A. P  log a b .

B. P  loga b  1 .

C. P  loga b  1 .

2a  1
.
a 1

2 log b
 1, ta được
log a

D. P  0.

Câu 8: Cho log27 5  a, log8 7  b, log2 3  c. Giá trị của log12 35 bằng
A.

3b  3ac
.
c2

B.

3b  2ac
.
c2

C.

3b  2ac
.
c3

D.

3b  3ac
.
c 1

Câu 9: Cho a  0, b  0,a  1, b  1,n  * .
Một học sinh tính: P 

1
1
1
1
theo các bước sau:


 ... 
log a b log a2 b log a3 b
log an b

Bước I: P  logb a  logb a2  log b a3  ...  log b an .





Bước II: P  log b a.a2 .a3 ...a n .
Bước III: P  logb a1 2 3... n .
Bước IV: P  n  n  1 .logb a.
Trong các bước trình bày, bước nào sai?
A. Bước III

B. Bước I

C. Bước II

Câu 10: Cho log 7 12  x , log12 24  y và log54 168 

D. Bước IV

axy  1
, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính
bxy  cx

giá trị biểu thức S  a  2b  3c, ta được
A. S  4.

B. S  19.

Câu 11: Cho a, b  0,a  1 thỏa mãn log a b 
A. 12.

B. 10.

C. S  10.

D. S  15.

b
16
và log2 a  . Tổng a  b bằng
4
b
C. 16.

D. 18.

Câu 12: Biết rằng log2 a, log3 b, log5 c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và có tổng bằng 14, đồng
thời log2 a 4 ,log3 b2 , log5 c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị của P  a  b  c bằng

A. 125.
TOANMATH.com

B. 390725.

C. 390625.

D. 390710.
Trang 12


 xy 
Câu 13: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log 4 x  log9 y  log6   1  . Giá trị của biểu thức
 4


P  x log4 6  y

log9 6

bằng

A. 2.

B. 5.

C. 4.

Câu 14: Cho a  log20 15; b  log30 15 biết log4000 600 

D. 6.

ma  nb
và trong đó m, n, p, q  . Giá trị
ab  pb  qa

của biểu thức S  m  n  p  q bằng
A. S  1.

B. S  2.

C. S  3.

D. S  4.

2

Câu 15: Cho

log a log b log c
b


 log x  0;  x y . Tính y theo p, q, r.
p
q
r
ac

A. y  q 2  pr.

B. y 

pr
.
2q

C. y  2q  p  r .

D. y  2q  pr.

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chưa lơgarit theo một biểu thức đã cho
Phương pháp giải

Thật vậy:

Để tính loga b theo m  log a x; n  log a y, ta sẽ biến đổi

log a b  log a a . x  .y

b  a . x  . y  .

    .loga x   .log a y

Từ đó suy ra: log a b  log a a .x  .y     m  n .

   m  n .
Phương pháp trắc nghiệm:

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho log12 27  a. Khi đó giá trị của log6 16 tính Sử dụng máy tính: gán log12 27  A.
Lấy log6 16 trừ đi lần lượt các đáp số ở

theo a bằng
A.

4 3  a
3 a

.

B.

4 3  a
3 a

.

C.

4a
.
3 a

D.

2a
.
3 a

Hướng dẫn giải

A, B, C, D kết quả nào bằng 0 thì đó là
đáp án.
Chọn A.

Ta có: a  log12 27 
log6 16  4 log6 2 

log2 27
3log2 3
2a

 log2 3 
.
log2 12 2  log2 3
3 a

4
4


log2 6 1  log 2 3

4 3  a 
4

.
2a

3 a
1
3a

Chọn A.
Ví dụ 2: Cho log 3  a, log 2  b. Khi đó giá trị của log125 30
tính theo a là
A.

4 3  a
3b

.

1 a
B.
.
3 1  b 

TOANMATH.com

a
C.
.
3 b

a
D.
.
3 a

Phương pháp trắc nghiệm:
Sử dụng máy tính: gán lần lượt
log 3  A; log 2  B.

Trang 13


Lấy log140 63 trừ đi lần lượt các đáp án số

Hướng dẫn giải
Ta có: log125 30 

log 30
1  log 3
1 a


.
log125 3 1  log 2  3 1  b 

ở A, B, C, D, kết quả nào bằng 0 thì đó là
đáp án.

Chọn B.
Ví dụ 3: Cho a  log2 3; b  log3 5; c  log 7 2. Khi đó giá trị
của biểu thức log140 63 được tính theo a, b, c là
A.

2ac  1

.
abc  2c  1

B.

abc  2ac  1
.
2ac  1

C.

2ac  1
.
abc  2c  1

D.

ac  1
.
abc  2c  1
Phương pháp trắc nghiệm:

Hướng dẫn giải

Sử

log2 63
log2 32.7
2 log2 3  log 2 7
Ta có: log140 63 



2
log2 140 log2 2 .5.7 2  log2 5  log2 7

dụng

máy

tính:

gán

lần

lượt

log2 3  A; log3 5  B; log 7 2  C .

Lấy log140 63 trừ đi lần lượt các đáp án số
2 log2 3 


1
log7 2

1
2  log2 3.log3 5 
log7 2



2a 

ở A, B, C, D, kết quả nào bẳng 0 thì đó là

1
c

1
2  ab 
c



1  2ac
1  2c  abc

đáp án.

Chọn C.
Ví dụ 4. Cho các số thực a, b, c  1;2  thỏa mãn điều kiện log32 a  log32 b  log32 c  1





Khi biểu thức P  a3  b3  c3  3 log2 a a  log2 b b  log2 cc đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của a  b  c
bằng
1

A. 3.

B. 3.2

33 3

.

C. 4.

D. 6.

Hướng dẫn giải
Ta xét hàm số f  x   x 3  3 x log2 x  log32 c với x  1;2  .
Ta có đạo hàm f   x   3 x 2  3 log2 x 

f   x   6 x 

2
3 3 log2 x

;
ln 2
x ln 2

6log x 3 log2 x
3
 2 22  2 2 .
x ln 2 x ln 2 x ln 2

6 log2 x  3  log2 x 

1 
3
Vì f   x   6  1  3 3   2

 0 x  1;2  nên
x 3 ln 2 2
 x ln 2  x ln 2
f   x   f  1  1,67  0.

TOANMATH.com

Trang 14


Như vậy hàm số f   x  đồng biến và có nghiệm duy nhất trên 1;2  vì f  1  0; f   2   0 và có đồ thị
lõm trên 1;2  . Do đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta nhận thấy rằng f  x   1 cho nên

P  3  log32 a  log32 b  log32 c  4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  1, c  2 và các hốn vị.
Chọn C.
Ví dụ 5. Trong tất cả các cặp  x; y  thỏa mãn log x 2  y2  2  4 x  4 y  4   1. Với giá trị nào của m thì tồn tại
duy nhất cặp  x; y  sao cho x 2  y 2  2 x  2 y  2  m  0?
A.





2

10  2 .

B.

C. 10  2 và 10  2.



10  2



2

và





2

10  2 .

D. 10  2.

Hướng dẫn giải
Điều kiện: 4 x  4 y  4  0.
Ta có log x 2  y2  2  4 x  4 y  4   1
 4 x  4 y  4  x 2  y 2  2   x  2    y  2   2  C1  .
2

2

Miền nghiệm của bất phương trình là hình trịn (cả bờ)  C1  có tâm I1  2;2  bán kính R1  2.
Mặt khác: x 2  y 2  2 x  2 y  2  m  0   x  1   y  1  m  * .
2

2

Với m  0 thì x  1; y  1 (khơng thỏa mãn  x  2    y  2   2 ).
2

2

Với m  0 thì  * là đường trịn  C2  có tâm I 2  1;1 bán kính R2  m .
Để tồn tại duy nhất cặp  x; y  thì  C1  và  C2  tiếp xúc với nhau.
Trường hợp 1:  C1  và  C2  tiếp xúc ngoài.

TOANMATH.com

Trang 15


Khi đó: R1  R2  I1I 2  m  2  10  m 





2

10  2 .

Trường hợp 2:  C1  nằm trong  C2  và hai đường trịn tiếp xúc trong.

Khi đó: R2  R1  I1I 2  m  2  10  m 
Vậy m 



10  2



2

và m 



10  2



2





2

10  2 .

thỏa mãn u cầu bài tốn.

Chọn B.
Ví dụ 6. Xét các số thực a, b thỏa mãn a  b  1. Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức
a
P  log2a a2  3log b   bằng
b
b

 

A. Pmin  19.

B. Pmin  13.

C. Pmin  14.

D. Pmin  15.

Hướng dẫn giải

Ta có:
2

P  log2a
b







a
2
a2  3log b    
  3  log b a  1
 b   log a 


a
b


 

2



2

 
  3  log b a  1 .
 1  log a b 

TOANMATH.com

Trang 16


Đặt loga b  t  0  t  1 . Khi đó P 
Ta có f   t  

8

1  t 

3



4

1  t 

2

3
  3  f  t  với 0  t  1.
t

3
1
 f t   0  t  .
2
3
t

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có Pmin  15.
Chọn D.
Ví dụ 7. Cho hai số thực x, y thỏa mãn:





x 2  y 2  3 và log x 2  y2  x 4 x 2  3 x  4 y 2  3y 2   2



Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y.
Khi đó biểu thức T  2  M  m  1 có giá trị gần nhất số nào sau đây?
A. 7.

B. 8.

C. 9.

D. 10.

Hướng dẫn giải









Ta có log x 2  y2  x 4 x 2  3 x  4 y 2  3y 2   2  log x2  y2  x 2  y 2  4 x  3  2







 x2  y2

  4 x  3   x

2

 y2



2

  x  2   y 2  1.
2

 x 2  y 2  3
Tập hợp các số thực x, y thỏa mãn: 
những điểm thuộc miền trong hình trịn  C1  có tâm
2
2
 x  2   y  1
I  2; 0  , bán kính R1  1 và nằm ngồi hình trịn  C2  có tâm O  0; 0  và bán kính R2  3.

TOANMATH.com

Trang 17


Biểu thức: P  x  y  x  y  P  0 là họ đường thẳng  song song với đường y  x.
3 3 3
3
Các giao điểm của hai hình trịn là A  ;
, B ;

2 2  2
2 

 

P đạt giá trị nhỏ nhất khi đường thẳng  đi qua A.
Khi đường thẳng  qua điểm A, ta có:

3
3
3 3

 Pmin  0  Pmin 
.
2 2
2

P đạt giá trị lớn nhất khi đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn  C1  ta có:
d  I ;    R1 

2P
11

 1  P  2  2  Pmax  2  2.


3 3 
Do đó T  2  M  m  1  2  2  2 
  10.


2


Chọn D
Bài tập tự luyện dạng 2
2

2
xy
Câu 1: Cho x  y; xy  1 thỏa mãn 3  log2  x  y   32 2 xy log2  2  2 xy  . Giá trị lớn nhất của biểu





thức M  2 x 3  y 3  3 xy bằng
A. 7.

B.

13
.
2

17
.
2

C.

D. 3.

Câu 2: Cho các số thức a, b, c thuộc đoạn 1;3 thỏa mãn log32 a  log32 b  log32 c  3. Giá trị lớn nhất của





B. 4.

C. 5.

biểu thức P  a3  b3  c3  3 log2 aa  log2 b b  log2 cc bằng
A. 3.

D. 6.

Câu 3: Cho hai số thực a, b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a  b  10. Gọi m, n là hai nghiệm của phương
trình  loga x  logb x   2 log a x  3log b x  1  0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  mn bằng
A.

16875
.
16

B.

4000
.
27

Câu 4: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn log2

C. 15625.

D. 3456.

abc
 a  a  4   b  b  4   c  c  4  . Giá trị lớn
a  b2  c 2  2
2

nhất của biểu thức P  a  2b  3c bằng
A. 3 10.

B. 12  2 42.

C. 12  2 35.

D. 6 10.

Câu 5: Cho các số thực a, b  1 thỏa mãn điều kiện log2 a  log3 b  1. Giá trị lớn nhất của biểu thức
P  log3 a  log2 b bằng

A.

log3 2  log2 3.

TOANMATH.com

B.

log3 2  log2 3.

C.

1

 log3 2  log2 3 .
2

D.

2
log3 2  log2 3

.

Trang 18


Câu 6: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x  log y  1  log  x  y  . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S  x  3y bằng

A.

1 3
.
10

B.

2 3
.
5

C.

Câu 7: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn log
nhỏ nhất của biểu thức P 
A.

69  249
.
94

3

3 3
.
30

D.

1 3
.
4

xy
 x  x  3   y  x  3  xy. Giá trị
x  y 2  xy  2
2

x  2y  3
bằng
xy6

B.

43  3 249
.
94

C.

Câu 8: Cho b  0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

37  249
.
21

D.

 a  b   10
2

a

 log b



2

69  249
.
94

bằng

A.

2 log  ln10  .

B.

 1
 1 
2
 log 
 .
 ln10  
 ln10

C.

 1
 1 
2
 log 
 .
 ln10  
 ln10

D.

 1
 1 

2
 ln 
.
 ln10  
 ln10

Câu 9: Cho các số thực a, b thỏa mãn điều kiện 0  b  a  1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  loga

4  3b  1
9

 8log2b a  1 bằng

A. 6.

a

B. 3 3 2.

C. 8.

D. 7.





Câu 10: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn ln x  ln y  ln x 2  y . Giá trị nhỏ nhất P  x  y bằng

A. Pmin  2 2  3.

C. Pmin  2  3 2.

B. Pmin  6.

Câu 11: Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện

D. Pmin  17  3.

1
 b  a  1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3

 3b  1 
2
P  loga 
  12 log b a  3 bằng
 4 
a

A. min P  13.

B. min P 

1
3

2

.

D. min P  3 2.

C. min P  9.





Câu 12: Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log 1 x  log 1 y  log 1 x  y 2 . Giá trị nhỏ nhất Pmin của
3

3

3

biểu thức P  2 x  3y bằng
A. Pmin  7  2 10.

B. Pmin  3  2.

C. Pmin  7  3 2.

Câu 13: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn b  1 và

D. Pmin  7  2 10.

a  b  a. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a
P  log a a  2 log b   bằng
b
b

TOANMATH.com

Trang 19


A. 6.

B. 7.

C. 5.

D. 4.

Câu 14: Cho 2 số dương a và b thỏa mãn log2  a  1  log2  b  1  6. Giá trị nhỏ nhất của S  a  b
bằng
A. min S  12.

B. min S  14.

Câu 15: Gọi a là giá trị nhỏ nhất của f  n  

C. min S  8.

 log 2  log 3 log 4  ...  log n  , với n  , n  2. Có bao
3

3

3

9

nhiêu số n để f  n   a.
A. 2.

D. min S  16.

B. vô số.

3

n

C. 1.

D. 4.

1 
Câu 16: Cho P  9 log31 3 a  log21 a  log 1 a3  1 với a   ;3 và M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và
 27 
3
3
3
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Giá trị của biểu thức S  4 M  3m bằng
A. 42.

B. 38.

C.

109
.
9

D.

83
.
2

Câu 17: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn b2  3ab  4a2 và a   4;232  . Gọi M, m lần lượt là giá
3
b
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  log b 4a  log2 . Tính tổng T  M  m.
4
4
8

A. T 

1897
.
62

3701

.
124

B. T 

C. T 

2957
.
124

7
D. T  .
2

Câu 18: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn hệ thức: 2 log2 a  log2 b  log2  a  6b  . Giá trị lớn nhất
PM ax của biểu thức P 

2
A. PM ax  .
3

ab  b2
bằng
a 2  2ab  2b2

1
C. PM ax  .
2

B. PM ax  0.

2
D. PM ax  .
5

Câu 19: Cho a, b, c là các số trực thuộc đoạn 1;2  thỏa mãn log32 a  log32 b  log32 c  1. Khi biểu thức





P  a3  b3  c3  3 log2 aa  log2 b b  log2 cc đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng a  b  c là
1

B. 3.2 3 .
3

A. 3.

C. 4.

D. 6.

Câu 20: Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức:
P

4
1
8

là


log bc a log b 3 log 3 c
ac
ab

A. Pmin  20.

B. Pmin  10.

C. Pmin  18.

D. Pmin  12.

ĐÁP ÁN
Dạng 1. Biến đổi biểu thức chứa lôgarit
1-B

2-A

TOANMATH.com

3-A

4-C

5-A

6-B

7-A

8-A

9-D

10-D

Trang 20


11-D

12-D

13-C

14-D

15-C

Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức chưa lơgarit theo một biểu thức đã cho
1-B

2-D

3-D

4-C

5-A

6-B

7-D

8-B

9-D

10-A

11-C

12-D

13-C

14-B

15-A

16-

17-B

18-C

19-C

20-A

TOANMATH.com

Trang 21