Phương pháp tính Chương 2

Chương 2 : Lý thuyết nội suy
1. Đa thức nội suy:
Trong thực hành ta thường gặp những hàm số y = f(x) mà không biết biểu
thức giải tích cụ thể f của chúng. Thông thường, ta chỉ biết các giá trị y
0
, y
1
, …,
y
n
của hàm số tại các điểm khác nhau x
0
, x
1
, …, x
n
của [ a, b ]. Các giá trị này có
thể nhận được thông qua thí nghiệm, đo đạc. Khi sử dụng những hàm số trên,
nhiều khi ta cần biết các giá trị của chúng tại các điểm không trùng với x
i
(i=0,1,2,…n).
Muốn thế, ta tìm cách xây dựng một da thức:
P
n
(x) = a
0
x
n
+ a
1
x

n-1
+…+ a
n-1
x + a
n
thoả mãn : P
n
(xi) = f(x
i
) = y
i
(i = 0, 1, 2…, n)
P
n
(x) gọi là đa thức nội suy của hàm f(x)
Các điểm x
i
(i = 0, 1, 2…, n) gọi là các nút nội suy
Về mặt hình học, có nghĩa là tìm đường cong
y = P
n
(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+…+ a

n-1
x + a
n
đi qua các điểm M
i
(x
i
,y
i
) (i = 0, 1, 2…,
n) của đường cong y = f(x).Sau đó ta dùng đa thức P
n
(x) thay cho hàm số f(x) để
tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại các điểm x ≠ x
i
(i = 0, 1, 2…, n)
Sở dĩ ta chọn đa thức P
n
(x) vì trong tính toán, đa thức là hàm số dễ tính nhất.
Nhằm giảm bớt khối lượng tính toán, người ta cũng dùng đa thức nội suy P
n
(x)
thay cho hàm số f(x) để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại các điểm x ≠ x
i
(i = 0, 1, 2…, n) trong trường hợp biểu thức giải tích cụ thể của hàm số f(x) đã
biết nhưng tương đối phức tạp.
Đa thức nội suy P
n
(x) cuả hàm số f(x) nếu có, thì chỉ có một mà thôi. (Chứng
minh sự duy nhất của đa thức nội suy xem như bài tập)

2. Tính giá trị của đa thức: sơ đồ Horner:
Cho đa thức bậc n :
P
n
(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+…+ a
n-1
x + a
n
v ới hệ số thực a
k
(k = 0,1, 2…, n), cần tính giá trị đa thức tại x = c
P
n
(c) = a
0
c
n
+ a
1
c
n-1
+…+ a

n-1
c + a
n
Cách tính P
n
(c) tiết kiệm nhất về số phép tính như sau: ta viết dưới dạng:
P
n
(c) = (…((((a
0
c + a
1
)c + a
2
)c + a
3
)c +…a
n-1
)c + a
n
)
Vậy để tính P
n
(c), chỉ cần lần lượt tính:
b
0
=

a
0

b
1
= a
1
+ b
0
c
b
2
= a
2
+ b
1
c
b
3
= a
3
+ b
2
c
. .
. .
. .
b
n
= a
n
+ b
n-1

c = P
n
(c)
Để tiện tính toán, Ta dùng sơ đồ Horner
a
0
a
1
a
2 …………..
a
n
.
b
0
c b
1
c ……… b
n-1
c
b
0
b
1
b
2 ………….
b
n
= P
n

(c)
Thí dụ: Dùng sơ đồ Horner, tính giá trị:
P
3
(x) = 3x
3
+ 2x
2
-5x + 7 tại x = 3
3 2 -5 7 3
9 33 84
3 11 28 91 = P
3
(3)
3. Đa thức nội suy Lagrange:
Giả sử trên [a, b] cho n + 1 giá trị khác nhau của đối số: x
0
, x
1
, …, x
n
và
biết đối với hàm số y = f(x) những giá trị tương ứng f(x
i
) = y
i
( i = 0,1,2,..,n)
Bây giờ ta xây dựng đa thức nội suy L
n
(x) bậc không cao hơn n, thoả mãn điều

kiện:
L
n
(x
i
) = y
i
( i = 0,1,2,..,n)
Theo cách của Lagrange, trước hết ta xây dựng đa thức l
i
(x) thoả điều kiện:
l
i
(x)



=
0
1
Vì đa thức l
i
(x) phải tìm triệt tiêu tại n điểm x
0
, x
1
, …,x
i-1
, x
i+1

,… x
n
nên l
i
(x) có
thể được viết dưới dạng:
l
i
(x) = c
i
(x – x
0
)(x – x
1
)…(x – x
i-1
)(x – x
i+1
)…(x – x
n
) trong đó c
i
là hằng số
phải tìm
Đặt x = x
i
trong hệ thức trên ta được:
c
i
= 1/[(x

i
– x
0
)(x
i
– x
1
)…(x
i
– x
i-1
)(x
i
– x
i+1
)…(x
i
– x
n
) ]
Suy ra l
i
(x) = [(x – x
0
)(x – x
1
)…(x – x
i-1
)(x – x
i+1

)…(x – x
n
)]/[(x
i
– x
0
)(x
i
– x
1
)…(x
i
– x
i-1
)(x
i
– x
i+1
)…(x
i
– x
n
)]
l
i
(x) : đa thức Lagrange cơ bản
Bây giờ ta xét
nếu j = i
nếu j ≠ i
∑

=
=
n
i
n
xx
0
ii
y)(l)(L
Dễ thấy rằng L
n
(x) bậc không cao hơn n và
∑
=
=
n
i
jjn
xx
0
ii
y)(l)(L
= l
j
(x
j
)y
i
= y
i

( j=0,1,2,…,n)
Suy ra L
n
(x) là đa thức nội suy phải tìm
Ta có công thức:
i
niiiiii
nii
y
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
x
))...()()...()((
))...()()...()((
)(L
1110
1110
n
−−−−−
−−−−−
=
+−
+−
L
n
(x) : đa thức nội suy Lagrange
Ta xét hai trường hợp hay sử dụng của đa thức nội suy Lagrange
• Nội suy bậc nhất hay nội suy tuyến tính:
Khi n = 1, ta có 2 nút nội suy x
0

, x
1
1
01
0
0
10
1
1
)(L y
xx
xx
y
xx
xx
x
−
−
+
−
−
=
Phương trình L
1
(x) chính là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M
0
(x
0
,y
0

)
và M
1
(x
1
,y
1
)
• Nội suy bậc hai:
Khi n = 2, ta có 3 nút nội suy x
0
, x
1
, x
2
2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21
2
))((
))((
))((
))((
))((

))((
)(L y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
x
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=
Phương trình L
2
(x) chính là phương trình đường parabol đi qua 3 điểm M
0
(x
0
,y
0
),
M

1
(x
1
,y
1
) và M
2
(x
2
,y
2
)
Thí dụ: Hãy xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm số y = sinπx,
chọn các nút nội suy là:
x
0
= 0 ; x
1
= 1/6 ; x
2
= 1/2
Thí dụ: Cho bảng giá trị hàm số y = lgx
x 300 304 305 307
y 2,4771 2,4829 2,4843 2,4871
Tính giá trị gần đúng lg301 bằng đa thức nội suy Lagrange.
• Đánh giá sai số:
Nếu y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n+1 trên [a, b] chứa tất cả các nút
nội suy x
i
( i = 0,1,2,…,n) thì sai số nội suy cho bởi công thức:

)(
1)!(n
M
)(L)()(R
1
1n
nn
xxxfx
n+
+
Π
+
≤−=
trong đó
=
+1n
M
)(max
)1(
xf
n
bxa
+
≤≤
Π
n+1
(x) = (x – x
0
)(x – x
1

)…(x – x
n
)
Thí dụ: Cho bảng giá trị của hàm số y = sinx
x 0 π/4 π/2
y 0 0,707 1
Tính gần đúng sin (π/3) bằng đa thức nội suy Lagrange và đánh giá sai số của
giá trị gần đúng nhận được.
4. Đa thức nội suy Newton:
A/ Trường hợp các nút nội suy không cách đều:
• Tỷ hiệu:
Giả sử hàm số y = f(x) được cho dưới dạng bảng
x x
0
x
1
x
2
… x
i
x
i+1
…
y y
0
y
1
y
2
… y

i
y
i+1
…
trong đó y
i
= f(x
i
) (i = 0, 1, 2,…, n) và ∆x
i
= x
i+1
– x
i
≠ 0 (i = 0, 1, 2,…, n)
không bằng nhau.
Tỷ số :
f[x
i
, x
i+1
] =
ii
ii
ii
ii
xx
yy
xx
xfxf

−
−
=
−
−
+
+
+
+
1
1
1
1
)()(
(i = 0, 1, 2,…, n)
gọi là tỷ hiệu cấp một của hàm số f(x)
Tương tự, ta định nghĩa tỷ hiệu cấp hai của hàm số f(x)
f[x
i
, x
i+1
, x
i+2
] =
[ ] [ ]
i
iiii
x
xxfxxf
−

−
+
+++
2i
121
x
,,
(i = 0, 1, 2,…, n)
Tổng quát, ta định nghĩa tỷ hiệu cấp n của hàm số f(x) nhận được từ tỷ
hiệu cấp n-1
[ ]
[ ] [ ]
ini
niinii
niii
xx
xxfxxf
xxxf
−
−
=
+
−+++
++
11
1
,...,,...,
...,,,

với n = 1,2, … và i = 0,1,2,..

Chú ý:
- Tỷ hiệu cấp n của 1 đa thức bậc n bằng hằng số
- Tỷ hiệu cấp lớn hơn n của 1 đa thức bậc n thì bằng 0
• Đa thức nội suy Newton: trường hợp các nút nội suy không cách đều:
Giả sử trên (a, b) chọn n+1 giá trị khác nhau của đốI số x
0
, x
1
, …, x
n
(các
x
i
không cách đều) và biết f(x
i
) = y
i
(i= 0,1,..,n)
Ta xây dựng được đa thức:
P
n
(x) = y
0
+ (x – x
0
)f[x
0
, x
1
] +…+ (x- x

0
)(x – x
1
)…(x- x
n-1
)f[x
0
,x
1,…,
x
n
]
Đa thức P
n
(x) gọi là đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x
0
của
hàm số f(x) với sai số nội suy là:
R
n
(x) = ( x – x
0
)(x – x
1
)…(x – x
n
)f[x, x
0
, …, x
n

]
Tương tự, ta xây dựng được đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ x
n
của hàm số f(x)
P
n
(x) = y
n
+ (x – x
n
)f[x
n
, x
n-1
] +…+ (x- x
n
)(x – x
n-1
)..(x- x
1
)f[x
n
,x
n-1,…,
x
0
]
với sai số nội suy là:
R
n

(x) = ( x – x
n
)(x – x
n-1
)…(x – x
1
)(x – x
0
)f[x, x
n
, …, x
0
]
Thí dụ: Cho bảng giá trị của hàm số y = f(x)
x 0 2 3 5 6
y 1 3 2 5 6
- Xây dựng đa thức nội suy tiến xuất phát từ x
0
= 0 của hàm số y =f(x)
- Dùng đa thức nội suy nhận được tính gần đúng f(1,25)
B/ Trường hợp các nút nội suy cách đều:
• Hiệu hữu hạn: Giả sử hàm số f(x) được cho dưới dạng bảng:
x x
0
x
1
x
2
… x
i

x
i+1
…
y y
0
y
1
y
2
… y
i
y
i+1
…