Phương pháp tính Chương 3

Chương 3:
Phương pháp số giải phương
trình đại số và siêu việt
1. Đặt vấn đề:
Tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm số đại số,
hàm số siêu việt là một bài toán thường gặp trong kỹ thuật
Thí dụ: f(x) ≡ x
3
– 6x + 2 = 0
f(x) ≡ x + e
x
= 0
Những phương trình này khá phức tạp, ít khi ta tìm được nghiệm đúng.
Ngoài ra trong nhiều trường hợp, ngay các hệ số của phương trình cũng chỉ gần
đúng, nên việc tìm nghiệm đúng của phương trình này cũng không cần thiết. Bởi
vậy việc tìm nghiệm gần đúng và ước lượng sai số là rất quan trọng.
Trong chương này ta xét việc tính gần đúng của nghiệm thực phương
trình f(x) = 0 với giả thiết f(x) xác định và liên tục trên [a, b] (hữu hạn hoặc vô
hạn)
• Số thực ξ thoả mãn f(ξ) = 0 gọi là nghiệm thực của phương trình
f(x) = 0
• Giả thiết f(x) = 0 chỉ có nghiệm thực cô lập, có nghĩa là mọi
nghiệm đều tồn tại một lân cận, trong đó không có nghiệm khác.
• Việc tính gần đúng nghiệm thực của phương trình được tiến hành
theo 2 bước:
Bước 1: Tìm khoảng cách ly nghiệm, nghĩa là tìm khoảng (a, b) chứa một
và chỉ một nghiệm thực của phương trình.
Bước 2: Xuất phát từ khoảng cách ly nghiệm, tính gần đúng nghiệm thực
của phương trình đạt độ chính xác yêu cầu bằng một phương pháp giải
gần đúng.
2. Khoảng cách ly nghiệm:

Định lý: Cho hàm số f(x) liên tục trong (a, b)
Nếu f(a).f(b) < 0; f’(x) tồn tại và giữ dấu không đổi trong (a, b) thì trong
(a, b) chỉ có một nghiệm thực ξ duy nhất của phương trình f(x)=0
Ý nghĩa hình học: Một đường cong liền nét y = f(x), chỉ tăng hoặc giảm, nối liền
2 điểm A(a, f(a)) và B(b,f(b)) nằm ở 2 phía khác nhau của trục Ox, cắt trục Ox
tại một điểm duy nhất x = ξ.
Ta có hai cách tìm khoảng cách ly nghiệm:
* Phương pháp giải tích:
Xác định dấu của hàm số f(x) tại các điểm mút của miền xác định và tại
các điểm trung gian x = α
1
, x = α
2
, …x = α
n
. Những điểm này thường được lựa
chọn căn cứ vào đặc điểm của hàm số. Mỗi khoảng, ở đó 2 điều kiện trong định
lý được thoả mãn là một khoảng cách ly nghiệm của phương trình.
Chú ý: Phương trình a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ …+ a
n
= 0 ( a
0

≠ 0) có không quá n
nghiệm, do vậy nếu ta tìm được n+1 điểm đổi dấu thì ta đã tìm xong khoảng cách
ly nghiệm.
Thí dụ: Tìm khoảng cách ly nghiệm của phương trình
f(x) ≡ x
3
– 6x + 2 = 0
* Phương pháp hình học:
Áp dụng trong trường hợp đồ thị hàm số y = f(x) dễ vẽ. Hoành độ giao
điểm của các giao điểm của đồ thị với trục hoành Ox cho ta các giá trị thô của
các nghiệm thực của phương trình f(x) = 0.
Nếu đồ thị của hàm số y = f(x) khó vẽ, ta đưa phương trình f(x) = 0 về
phương trình tương :
g(x) = h(x)
sao cho đồ thị 2 hàm số y = g(x) và y = h(x) dễ vẽ.
Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị cho ta các giá trị thô của các nghiệm
thực của phương trình f(x) = 0. Từ đó, ta cũng dễ dàng tìm được khoảng cách ly
nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Thí dụ: Dùng phương pháp đồ thị tìm những khoảng cách ly nghiệm của
phương trình :
f(x) ≡ x
3
– 3x –1 = 0
3. Phương pháp chia đôi:
Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = 0
Ta chia đôi (a, b) bằng chính điểm chia (a +b)/2
* Nếu f((a + b)/2) = 0 thì x
0
= (a + b)/2 là nghiệm đúng của phương trình.
* Nếu f((a + b)/2) ≠ 0, ta chọn 1 trong 2 khoảng (a, (a + b)/2) hoặc ((a + b)/2, b)

mà tại 2 mút của khoảng hàm số f(x) có dấu khác nhau lam khoảng cách ly
nghiệm mới, ta gọi khoảng này là (a
1
, b
1
) có độ dài bằng nửa khoảng (a, b)
b
1
– a
1
= (b – a) /2
Nếu ta thực hiện vô hạn lần phương pháp chia đôi đối với khoảng (a, b) thì tại
một lần nào đó, điểm giữa của khoảng là nghiệm của phương trình f(x) = 0
(trường hợp này ít xảy ra ) hoặc ta nhận được 1 dãy vô hạn các khoảng chồng lên
nhau và thu nhỏ dần
(a
1
, b
1
); (a
2
, b
2
); … (a
n
, b
n
) sao cho f(a
n
).f(b

n
) < 0
và b
n
– a
n
= (b – a) /2
n
( n = 1, 2, …, )
Các nút trái a
1
, a
2
, …, a
n
… là dãy không giảm và bị chặn trên bởi b, suy ra {a
n
}
có giới hạn ( a
1
≤ a
2
≤ a
3
…≤ a
n
≤ b)
Các nút phải b
1
, b

2
, …, b
n
… là dãy không tăng và bị chặn dưới bởi a, suy ra {b
n
}
có giới hạn ( b
1
≥ b
2
≥ b
3
…≥ b
n
≥ a)
Do b
n
– a
n
= (b – a)/2
n
→ 0 khi n → +∞ nên
==
+∞→+∞→
n
n
n
n
ba limlim
ξ

cho n → +∞ trong bất đẳng thức f(a
n
).f(b
n
) < 0, do tính liên tục của hàm số f(x),
ta có: |f(ξ)|
2
≤ 0 . Vậy f(ξ) = 0, và ξ là nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Trong thực hành ta không thể thực hiện phương pháp chia đôi vô hạn mà chỉ có
thể áp dụng n lần phương pháp chia đôi ( n: nguyên, dương, hữu hạn), dừng lại ở
lần thứ n, ta có:
a
n
≤ ξ

≤ b
n
và b
n
– a
n
= (b –a )/ 2
n
Ta có thể lấy nghiệm gần đúng là (a
n
+ b
n
)/2 với sai số của nghiệm gần đúng là:
| (a
n

+ b
n
)/2 - ξ| ≤ (b
n
– a
n
)/2 = (b – a)/ 2
n+1
Ưu điểm của phương pháp chia đôi là đơn giản, dễ lập trình trên máy, nhược
điểm là tốc độ hội tụ chậm
Thí dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
f(x) ≡ x
3
– x – 1 = 0
bằng phương pháp chia đôi, biết khoảng cách ly nghiệm là (1, 2)
4. Phương pháp dây cung:
Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = 0
Nội dung của phương pháp dây cung là trên (a, b) thay cung cong của đường
cong y = f(x) bằng dây trương cung của cung cong ấy và xem hoành độ x
1
của
giao điểm của dây cung với trục hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm đúng ξ.
Để xây dựng công thức tính x
1
, ta xét 2 trường hợp:
* Trường hợp 1: f’(x).f”(x) > 0
Dây cung AB đi qua 2 điểm A(a, f(a)) và B(b, f(b)) nên có phương trình :
ab
ax
afbf

afy
−
−
=
−
−
)()(
)(
suy ra x
1
= a -
)()(
))((
afbf
abaf
−
−
Nghiệm ξ bây giờ nằm trong khoảng (x
1
, b). Nếu x
1
chưa đạt độ chính xác
yêu cầu, ta thay (a, b) bằng (x
1
, b) và lại áp dụng phương pháp dây cung đối với
(x
1
,b) ta nhận được x
2
xấp xỉ nghiệm ξ tốt hơn x

1
.
x
2
= x
1
-
)()(
))((
1
11
xfbf
xbxf
−
−
Tiếp tục ta được trường hợp tổng quát:
x
n+1
= x
n
-
)()(
))((
n
nn
xfbf
xbxf
−
−
* Trường hợp 2: f’(x).f”(x) < 0

Dây cung AB có phương trình :
ab
bx
afbf
bfy
−
−
=
−
−
)()(
)(
suy ra x
1
= b -
)()(
))((
afbf
abbf
−
−
Nghiệm ξ bây giờ nằm trong khoảng (a, x
1
). Nếu x
1
chưa đạt độ chính xác
yêu cầu, ta thay (a, b) bằng (a, x
1
) và lại áp dụng phương pháp dây cung đối với
(a,x

1
) ta nhận được x
2
xấp xỉ nghiệm ξ tốt hơn x
1
.
x
2
= x
1 -
)()(
))((
1
11
afxf
axxf
−
−
Tổng quát :
x
n+1
= x
n
-
)()(
))((
afxf
axxf
n
nn

−
−
Kết hợp 2 trưòng hợp trên ta có công thức sau:
x
n+1
= x
n
-
)()(
))((
dfxf
dxxf
n
nn
−
−
( n = 0,1, 2…)
và d = b nếu f(b) cùng dấu với f”(x); x
0
= a
d = a nếu f(a) cùng dấu với f”(x); x
0
= b
Chú ý: Khi ta áp dụng liên tiếp phương pháp dây cung trên (a, b), có một trong
2 mút của (a, b) cố định, đó là mút có dấu của hàm số f(x) trùng với dấu của đạo
hàm cấp hai f”(x).
Ta nhận thấy trong trường hợp 1, các giá trị gần đúng x
0
, x
1

, x
2
… tạo nên 1 dãy
đơn điệu tăng và bị chặn trên:
a = x
0
< x
1
< x
2
<…< x
n
< x
n+1
<…< ξ < b
hoặc trong trường hợp 2, các giá trị gần đúng x
0
, x
1
, x
2
… tạo nên 1 dãy đơn điệu
giảm và bị chặn dưới:
a < ξ < …< x
n+1
< x
n
<…< x
2
< x

1
< x
0
= b
nên tồn tại giới hạn
=
+∞→
n
n
xlim
ξ’
Dễ dàng nhận thấy rằng ξ’ là nghiệm của phương trình f(x) = 0 trong (a, b),
nghĩa là ξ’ = ξ
Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng.
Giả sử f’(x) liên tục trên [a, b] giữ dấu không đổi và thoả mãn:
0 < m
1
≤ | f’(x) | ≤ M
1
< +∞
Ta có 2 đánh giá:
1
)(
m
xf
x
n
n
≤−
ξ

Hoặc
1
1
11
−
−
−
≤−
nnn
xx
m
mM
x
ξ
Ưu điểm của phương pháp dây cung là biết x
n
, để tính x
n+1
ta chỉ phải tính một
giá trị của hàm f tại điểm x
n
. Nhược điểm của phương pháp dây cung là tốc độ
hội tụ chậm.
Thí dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình :
F(x) ≡ x
3
– 0,2x
2
– 0,2x – 1,2 = 0
bằng phương pháp dây cung với độ chính xác 0,003

biết khoảng cách ly nghiệm là (1,1; 1,4)
5. Phương pháp tiếp tuyến: ( phương pháp Newton)
Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. Nội dung của
phương pháp tiếp tuyến là trên (a, b) thay cung cong AB của đường cong y = f(x)
bằng tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm A hoặc điểm B và xem hoành
độ x
1
của giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm
đúng ξ. Để xây dựng công thức tính x
1
, ta xét 2 trường hợp:
* Trường hợp 1: f’(x).f”(x) > 0
Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm B(b, f(b)) có dạng:
y- f(b) = f’(b)(x – b) suy ra x
1
= b -
)('
)(
bf
bf
Nghiệm ξ bây giờ nằm trong (a, x
1
). Nếu x
1
chưa đạt độ chính xác yêu cầu, ta
thay (a, b) bằng (a, x
1
) và áp dụng phương pháp tiếp tuyến đối với (a, x
1
) ta nhận

được x
2
xấp xỉ nghiệm ξ tốt hơn x
1
.