Phương pháp tính Chương 4

Chương 4:
Giải Hệ phương trình
tuyến tính
1. Đặt vấn đề:
Trong chương này ta xét việc giải hệ phương trình đại số n phương trình, n ẩn số.









=+++
=+++
=+++
+
+
+
12211
122222121
111212111
...
.
.
...
...
nnnnnnn
nnn
nnn

axaxaxa
axaxaxa
axaxaxa
trong đó a
ij
( i,j =
n,1
) gọi là hệ số của hệ phương trình
a
in+1
( i =
n,1
) gọi là vế phải của hệ phương trình
x
i
( i =
n,1
) là các ẩn số phải tìm
A =

















nnnnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
...
.
.
...
...
321
2232221
1131211
gọi là ma trận hệ số của hệ phương trình
b =

















+
+
+
1
12
11
.
.
nn
n
n
a
a
a
gọi là vectơ vế phải của hệ phương trình
x =

















n
x
x
x
.
.
2
1
gọi là vectơ ẩn số của hệ phương trình
Hệ phương trình trên được viết gọn dưới dạng: Ax = b
Nếu ma trận A không suy biến, nghĩa là det(A) ≠ 0 thì hệ phương trình có
nghiệm duy nhất.
Thật vậy, vì det(A) ≠ o nên tồn tại A
-1
, ta suy ra
A
-1
.A.x = A
-1
.b ⇒ x = A
-1

b
Phương pháp Cramer, giải đúng hệ phương trình bằng công thức:
x
i
=
),1( ni
i
=
∆
∆
trong đó ∆ = det(A)
∆
i
là định thức cấp n thu được bằng cách thay cột thứ i của ∆ bằng cột vế
phải b của hệ phương trình.
Khi n lớn, phương pháp Cramer với khối lượng tính toán tăng rất nhanh.
Vì vậy, người ta phải xây dựng những phương pháp giải hệ phương trình sao cho
khi n lớn, khối lượng tính toán không quá lớn, có thể thực hiện được.
2. Phương pháp trực tiếp: ( phương pháp Gauss, phương pháp khử )
Phương pháp Gauss là 1 phương pháp được dùng phổ biến để giải hệ phương
trình, đặc biệt người ta dùng phương pháp này khi ma trận hệ số A “đầy” (nghĩa
là những phần tử = 0 ít và cấp của ma trận không quá lớn)
2.1. Nội dung phương pháp:
Để đơn giản việc trình bày, xét hệ thống 4 phương trình, 4 ẩn số:








=+++
=+++
=+++
=+++
)0(
454
)0(
443
)0(
432
)0(
421
)0(
41
)0(
354
)0(
343
)0(
332
)0(
321
)0(
31
)0(
254
)0(
243
)0(

232
)0(
221
)0(
21
)0(
154
)0(
143
)0(
132
)0(
121
)0(
11
axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxa
(I)
Nội dung của phương pháp Gauss là khử dần các ẩn số để đưa hệ (I) về hệ tam
giác tương đương ( ma trận hệ số của hệ là ma trận tam giác trên)







=

=+
=++
=+++
)4(
454
)3(
354
)3(
343
)2(
254
)2(
243
)2(
232
)1(
154
)1(
143
)1(
132
)1(
121
ax
axax
axaxax
axaxaxax
(II)
Sau đó giải (II) từ dưới lên
(I) → (II) : Quá trình thuận

Giải (II) gọi là quá trình ngược
a) Quá trình thuận:
* Khử x
1
: Giả sử
)0(
11
a
≠ 0 (
)0(
11
a
gọi là trụ thứ nhất)
Chia phương trình đầu của (I) cho
)0(
11
a
, ta được:
)1(
154
)1(
143
)1(
132
)1(
121
axaxaxax =+++
với
)0(
11

)0(
1
)1(
1
a
a
a
j
j
=
(j= 2,3,4,5)
)1(
1
)0(
1
)0()1(
jiijij
aaaa −=
(i=2,3,4 ; j= 2,3,4,5)
*Khử x
2
: chú ý các công thức:
)1(
22
)1(
2
)2(
2
a
a

a
j
j
=
( j= 3,4,5)
)2(
2
)1(
2
)1()2(
jiijij
aaaa −=
(i= 3,4; j = 3,4,5)
*Khử x
3
: chú ý các công thức:
)2(
33
)2(
3
)3(
3
a
a
a
j
j
=
( j= 4,5)
)3(

3
)2(
43
)2(
4
)3(
4 jjj
aaaa −=
( j = 3,4,5)
*Khử x
4
: với
)3(
44
)3(
45
)4(
45
a
a
a =
b) Quá trình ngược:
Giải hệ phương trình (II)
x
4
=
)4(
45
a
x

3
=
4
)3(
34
)3(
35
xaa −
x
2
=
4
)2(
243
)2(
23
)2(
25
xaxaa −−
x
1
=
4
)1(
143
)1(
132
)1(
12
)1(

15
xaxaxaa −−−
2.2 Sơ đồ tính và kiểm tra quá trình tính:
Sơ đồ tính :
x
1
x
2
x
3
x
4
Số hạng
tự do
Σ
Quá trình
Q
u
á

t
r
ì
n
h

t
h
u
ậ

n
x
4
x
3
x
2
x
1
4
x
3
x
2
x
1
x
Q
u
á

t
r
ì
n
h

n
g
ư

ợ
c
Để kiểm tra người ta dùng cột “tổng kiểm tra” (Σ)
∑
=
=
5
1
)0()0(
6
j
iji
aa
(i= 1,2,3,4)
nó như một vế phải mới của hệ phương trình :
)0(
6
5
1
)0(
i
j
jij
axa =
∑
=
( i= 1,2,3,4)
rõ ràng :
1+=
jj

xx
Đối với mỗi phần tử của cột Σ ta đều thực hiện những phép tính giống như đối
vớI những phần tử của những cột ở bên trái cột Σ và nằm trong cùng một hàng
vớI phần tử của cột Σ, nên nếu không có sai số tính toán thì những phần tử của
cột Σ phải bằng tổng những phần tử tương ứng của những cột ở bên trái cột Σ.
hiện tượng này được dùng để kiểm tra quá trình thuận. Quá trình ngược được
kiểm tra bằng hệ thức
1+=
jj
xx
2.3 Phương pháp Gauss có tìm trụ lớn nhất:
Phương pháp Gauss sẽ không thực hiện được nếu một trong các trụ bằng
0, hoặc tuy khác 0 nhưng về trị tuyệt đối rất nhỏ so với các phần tử còn lại trong
cùng hàng thì khi chia các phần tử ấy cho phần tử trụ, sai số làm tròn sẽ lớn, do
đó giảm nhiều độ chính xác của nghiệm tìm được.
Để khắc phục những hạn chế vừa nêu, người ta thường dùng phương pháp
Gauss có tìm trụ lớn nhất. Chẳng hạn, khi khử x
1
, người ta chọn số lớn nhất về trị
tuyệt đối trong các số hệ số của x
1
trong các phương trình làm trụ thứ nhất và
hoán vị hàng thứ nhất với hàng có chứa trụ vừa tìm được. Cứ thế tương tự khi
khử x
2
, x
3
,…
2.4 Chuẩn của ma trận và chuẩn của vectơ:
Ba chuẩn thông dụng của ma trận:

- Chuẩn cột :
∑
=
i
ij
j
amaxA
1
- Chuẩn Euclide:
∑
=
ji
ij
aA
,
2
2
- Chuẩn hàng:
∑
=
∞
j
ij
i
aA max
Vectơ là ma trận chỉ có một cột, ta có 3 chuẩn:
-
∑
=
=+++=

n
i
in
xxxxx
1
21
1
...
-
∑
=
=
n
i
i
xx
1
2
2
-
i
i
xx max=
∞
3. Phương pháp lặp đơn:
Những phương pháp lặp trong đó có phương pháp lặp đơn là những phương pháp
giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính. Chúng chỉ cho nghiệm gần đúng
của hệ phương trình, dù các phép tính trung gian tính đúng hoàn toàn, nhưng ta
có thể tính nghiệm gần đúng ấy với độ chính xác bất kỳ. Người ta dùng những
phương pháp lặp khi ma trận hệ số A “thưa” (số phần tử ≠ 0 ít, cấp của ma trận

lớn)
3.1 Nội dung phương pháp:
Xét hệ phương trình Ax = b, ta hệ phương trình về dạng tương:
x = β + αx
trong đó :