SKKN: Kỹ thuật đọc bảng biến thiên, đồ thị xét tính đơn điệu của hàm số

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến:
“Kỹ thuật đọc bảng biến thiên, đồ thị xét tính đơn điệu của
hàm số”

Tác giả sáng kiến: Phạm Quốc Huy
Mã lĩnh vực: 12.52

Lập Thạch, năm 2020


MỤC LỤC
MỤC LỤC.............................................................................................................2
MỞ ĐẦU...............................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài...............................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu.........................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu:.......................................................................................1
4. Giới hạn phạm vi, nội dung nghiên cứu............................................................1
5. Nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................................1
6. Phương pháp nghiên cứu...................................................................................2
NỘI DUNG...........................................................................................................3
I. Kiến thức chuẩn bị:............................................................................................3
II. Bài tập áp dụng.................................................................................................5
8. Những thông tin cần được bảo mật: Không....................................................38
9. Các điều kiện cần thiết để áp dung sáng kiến:................................................38
10. Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và
theo ý kiến của tổ chức cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu:...........39

11. Danh sách những tổ chức / cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu:39


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình tốn THPT đặc là Giải Tích lớp 12, bài tốn xét tính đơn
điệu của hàm số là một vấn đề cơ bản, quan trọng của chương trình. Trong các kì thi
học sinh giỏi cấp tỉnh các khối không chuyên và kỳ thi trung học phổ thông quốc gia
xét tốt nghiệp và lấy kết quả xét vào các trường đại học và cao đẳng đây là một vấn đề
luôn được đề cập tới. Để giúp các em có những kiến thức nhất định trong các kì thi
học sinh giỏi và thi trung học phổ thông quốc gia, với đề tài này tôi hy vọng giúp học
sinh có được kết quả tốt hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
• Hệ thống các bài tốn tính đơn điệu của hàm số.
• Đưa ra các phương pháp giải tốn phù hợp với đối tượng học sinh.
• Rèn luyện kĩ năng đọc đồ thị, bảng biến thiên cho học sinh.
• Hệ thống bài tập có phân loại phù hợp với trình độ của học sinh.
• Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, óc tư duy cho học sinh.
• Góp phần năng cao chất lượng dạy và học cho học sinh.
3. Đối tượng nghiên cứu:
• Học sinh lớp 12.
• Học sinh ơn thi học sinh giỏi.
• Học sinh ơn thi THPT Quốc Gia.
4. Giới hạn phạm vi, nội dung nghiên cứu
• Chương trình Giải Tích lớp 12.
• Sách Giải Tích cơ bản và nâng cao lớp 12.
• Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn.
• Đề thi THPT Quốc Gia các năm của Bộ Giáo Giục và đề thi THPT Quốc Gia
của các sở và các trường nổi tiếng trên tồn quốc.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tính đơn điệu của hàm số, tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị hàm số,
bảng biến thiên của hàm số, tìm tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
tập D ⊂ ¡ . tìm tham số để hàm số, đơn điệu thỏa mãn điều kiện cho trước.
• Một số bài tốn về thương gặp về tính đơn điệu của hàm số.

1


• Vận dụng linh hoạt trong q trình tính tốn, giải bài tập.
• Rèn luyện kĩ năng tính tốn, phát huy tính tích cực của người học.
6. Phương pháp nghiên cứu
• Tự rút ra trong q trình dạy học.
• Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo.
• Học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp, tích lũy kiến thức trong q trình giảng
dạy.
• Nghiên cứu đề thi THPT Quốc Gia của BGD và đề minh họa của BGD hàng
năm và đề thi THPT Quốc Gia của các sở, các trường những năm gần đây.

2


NỘI DUNG

KỸ THUẬT ĐỌC BẢNG BIÊN THIÊN, ĐỒ THỊ
XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức chuẩn bị:
1. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
2
Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c, ( a ≠ 0 ) . Tính ∆ = b 2 − 4ac hoặc

∆′ = b′2 − ac.
1) Nếu ∆ < 0 ( ∆′ < 0 ) thì f ( x ) luôn cùng dấu với dấu của hệ số a với mọi

x∈¡ .
2) Nếu ∆ = 0 ( ∆′ = 0 ) thì f ( x ) luôn cùng dấu với dấu của hệ số a với mọi

x≠−

b
.
2a
3) Nếu ∆ > 0 ( ∆′ > 0 ) thì f ( x ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Giả sử

x1 < x2 . Ta có f ( x ) cùng dấu với dấu của hệ số a với mọi x ∈ ( −∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞ )
và f ( x ) trái dấu với dấu của hệ số a với mọi x ∈ ( x1 ; x2 ) .
2. Đaọ hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp của nó
STT
1
2

Hàm sơ cấp cơ bản

3

1
 1 ′
 ÷ = − 2 , ∀x ≠ 0.
x
 x
( sin x ) ′ = cos x.

1
 1 ′
 ÷ = − 2 , ∀u ≠ 0.
u
u
( sin u ) ′ = u ′ cos u.

( cos x ) ′ = − sin x

( cos u ) ′ = −u ′ sin u.

4

7
9

( u )′ = αu

( )

5
6

Hàm hợp

x ′ = 1.
xα ′ = α xα −1 .

1

π
, ∀x ≠ + kπ , k ∈ ¢.
2
cos x
2
1
( cot x ) ′ = − 2 , ∀x ≠ kπ , k ∈ ¢.
sin x
1
, ∀x > 0, a > 0a ≠ 1.
( log a x ) ′ =
x ln a

( tan x ) ′ =

α

u ′.

α −1

u′
π
, ∀u ≠ + kπ , k ∈ ¢.
2
cos u
2
u′
( cot u ) ′ = − 2 , ∀u ≠ kπ , k ∈ ¢.
sin x

1
, ∀u > 0, a > 0a ≠ 1.
( log a u ) ′ =
u ln a

( tanu ) ′ =

3


10
11
12

( ln x ) ′ =

1
, ∀x > 0.
x

( a ) ′ = a ln a, a > 0, a ≠ 1.
( e )′ = e .
x

x

x

x

( ln u ) ′ =

u′
, ∀u > 0.
u

( a ) ′ = u ′a ln a, a > 0, a ≠ 1.
( e ) ′ = u′e .
u

u

u

u

3. Tính đơn điệu của hàm số
3.1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D ⊂ ¡ .
3.1.1. Hàm số y = f ( x ) được gọi là đồng biến trên D nếu với mọi x1 , x2 ∈ D
và x1 < x2 ta có f ( x1 ) < f ( x2 ) .
3.1.2. Hàm số y = f ( x ) được gọi là nghịch biến trên D nếu với mọi

x1 , x2 ∈ D và x1 < x2 ta có f ( x1 ) > f ( x2 ) .
Chú ý:
+ Hàm số y = f ( x ) đồng biến hoặc nghịch biến trên D được gọi là đơn điệu
trên D.
+ Đồ thị của hàm đồng biến trên D là một đường đi lên từ trái sang phải.
+ Đồ thị của hàm nghịch biến trên D là một đường đi xuống từ trái sang phải.
3.2. Mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm
Định lý: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a; b ) và có đạo hàm liên

tục trên ( a; b ) .

+ Nếu f ′ ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ ( a; b ) (Đẳng thức chỉ xẩy ra ở một số hữu hạn

điểm trên khoảng ( a; b ) ) thì hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( a; b ) .

+ Nếu f ′ ( x ) ≤ 0 với mọi x ∈ ( a; b ) (Đẳng thức chỉ xẩy ra ở một số hữu hạn

điểm trên khoảng ( a; b ) ) thì hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( a; b ) .

+ Nếu f ′ ( x ) = 0 với mọi x ∈ ( a; b ) thì hàm số y = f ( x ) không đổi trên

khoảng ( a; b ) .

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm sơ y = f ( x )
B1. Tìm TXĐ.
B2. Tính f ′ ( x ) , giải phương trình f ′ ( x ) = 0.
B3. Lập bảng xét dấu f ′ ( x ) .
B4. Kết luận.

4


II. Bài tập áp dụng
Trong phần này tác giả đưa ra các dạng sau:
DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO ĐẠO HÀM
1. Bài tập tự luận
Bài 1. Xét tính đơn điệu của hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2.
Giải
D

=
¡
.
+ Tập xác định

x = 0
x = 2

2
+ y′ = 3 x − 6 x; y′ = 0 ⇔ 

+ Ta có bảng biến thiên

x

−∞
+

y′

0
0

2

−

0

2

+

+∞
+∞

y
−2

−∞

+ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;0 ) và ( 2; +∞ ) . Nghịch biến trên khoảng

( 0;2 ) .

Bài 2. Xét tính đơn điệu của hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 3x.
Giải
+ Tập xác định D = ¡ .
2
+ y′ = −3 x 2 + 6 x − 3 = −3 ( x − 1) ≤ 0 với mọi x ∈ ¡ ⇒ hàm số nghịch biến trên ¡ .
Bài 3. Xét tính đơn điệu của hàm sơ y = x 4 − 2 x 2 + 3.
Giải
+ Tập xác định D = ¡ .

 x=0
 x = ±1

3
+ y′ = 4 x − 4 x; y′ = 0 ⇔ 

+ Ta có bảng biến thiên

5


+ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) và ( 1; +∞ ) . Nghịch biến trên khoảng

( −∞; −1)

và ( 0;1) .

Bài 4. Xét tính đơn điệu của hàm số y =
+ Tập xác định D = ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) .
+ y′ =

2

( 1− x)

2

x +1
.
1− x
Giải

> 0 với mọi x ∈ D ⇒ hàm số nghịch biến trên ( −∞;1) và ( 1; +∞ ) .

Bài 5. Tìm tất cả những giá trị của m để hàm số sau đồng biến trên ¡ .

1
y = x 3 + 2mx + ( 4m − 3) x + 2m − 6.
3
Giải

+ Tập xác định D = ¡ .
+ y′ = x 2 + 2mx + 4m − 3

Hàm số đồng biến trên ¡ khi y′ = x 2 + 2mx + 4m − 3 ≤ 0 với mọi x ∈ ¡ ( đẳng thức
chỉ xẩy ra ở một số hữu hạn điểm trên ).
⇔ y′ = x 2 + 2mx + 4m − 3 ≤ 0 với mọi x ∈ ¡ .

∆′ = m2 − 4m + 3 ≤ 0 ⇔ m ∈ [ 1;3] .

+ Vậy với m ∈ [ 1;3] thì hàm số đồng biến trên ¡ .
Bài 6. Tìm tất cả những giá trị của m để hàm số sau nghịch biến trên ¡ .

y=

m 3
x − mx 2 + ( 2m − 3) x + 5m − 6
3

+ Tập xác định D = ¡ .
+ y′ = mx 2 − 2mx + 2m − 3.

Giải

+ Với m = 0 ta có y′ = 0 x − 3 < 0 với mọi x ∈ ¡ ⇒ hàm số nghịch biến trên ¡ .
+ Với m ≠ 0 ta có hàm số nghịch biến trên ¡ khi y′ ≤ 0 với mọi x ∈ ¡ ( đẳng thức

xẩy ra chỉ ở một số hữu hạn điểm trên ¡ )

m<0

⇔ m < 0.
y′ = mx 2 − 2mx + 2m − 3 ≤ 0, ∀x ∈ ¡ khi 
2
′
∆
=
−
m
+
3
m
≤
0

+ Vậy với m ≤ 0 thì hàm số nghịch biến trên ¡ .
2x + m
Bài 7. Tìm tất cả những giá trị thực của m để hàm số y =
nghịch biến trên
x −1
mỗi khoảng xác định của nó.

+ Tập xác định D = ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) .
+ y′ =

−2 − m

( x − 1)

2

Giải

.

6


+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi y′ =

−2 − m

( x − 1)

2

< 0 với mọi

x ∈ D ⇔ −2 − m < 0 ⇔ m > −2.
+ Vậy với m > −2 thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Nhận xét: Trong bài tốn trên ta khơng sử dụng được hàm số nghịch biến trên
( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) khi y′ ≤ 0 với mọi x ∈ ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) được vì ở đây nếu xẩy ra
dầu bằng thì sẽ xẩy ra với mọi x ∈ D.
Bài 8. Tìm tất cả những giá trị của m để hàm số y =

2x + m − 6
x−m

1) Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
2) Đồng biến trên khoảng ( −∞; −6 ) .
3) Nghịch biến trên khoảng ( 10; +∞ ) .
4) Nghịch biến trên khoảng ( 4;12 ) .
+ Tập xác định D = ( −∞; m ) ∪ ( m; +∞ ) .
+ y′ =

6 − 3m

( x − m)

2

Giải

.

1) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi y′ =

∀x ∈ D. y′ =

6 − 3m

( x − m)

2

6 − 3m

( x − m)

2

>0

> 0 ∀x ∈ D ⇔ 6 − 3m > 0 ⇔ m < 2.

+ Vậy với m < 2 thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
2) Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −6 ) hàm số liên tục trên khoảng

( −∞; −6 )

và y′ > 0 ∀x ∈ ( −∞; −6 ) .

m ∉ ( −∞; −6 )
 m ≥ −6
⇔
⇔
⇔ −6 ≤ m < 2.
 m<2
 6 − 3m > 0
+ Vậy với m ∈ [ −6;2 ) thì hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −6 ) .
3) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 10;+∞ ) hàm số liên tục trên khoảng

( 10;+∞ )

và y′ < 0 ∀x ∈ ( 10; +∞ ) .

m ∉ ( 10; +∞ )

m ≤ 10
⇔
⇔
⇔ 2 < m ≤ 10.
m>2
 6 − 3m < 0
+ Vậy với m ∈ ( 2;10] thì hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −6 ) .
7


4) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 4;12 ) hàm số liên tục trên khoảng ( 4;12 )

và y′ < 0 ∀x ∈ ( 4;12 ) .

m ∈ ( −∞;4] ∪ [ 12; +∞ )
m ∉ ( 4;12 )
⇔
⇔
⇔ m ∈ ( 2;4] ∪ [ 12; +∞ ) .
m
∈
2;
+∞
6
−
3
m
<
0
(

)


+ Vậy với m ∈ ( 2;4] ∪ [ 12; +∞ ) thì hàm số nghịch biến trên khoảng ( 4;12 ) .
Nhận xét: + Tương tự như bài 7 trong bài 8 cả 4 phần ta không sử dụng được
y′ ≥ 0 với phần 1; 2 và y′ ≤ 0 với phần 3;4 vì ở đây nếu dầu bằng xẩy ra thì sẽ xẩy
ra với mọi x ∈ D.
+ Trong phần 2 ta có thể thay hàm số liên tục bằng trên khoảng ( −∞; −6 )
bằng hàm số xác định trên khoảng ( −∞; −6 ) và các phần 3,4 tương tự

3
3
Bài 9. Hàm số y = ( x + m ) + ( x + n ) − x 3 (tham số m; n ) đồng biến trên khoảng

( −∞; + ∞ ) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 4 ( m 2 + n 2 ) − m − n bằng

Giải
2
2
Ta có y′ = 3 ( x + m ) + 3 ( x + n ) − 3x = 3  x + 2 ( m + n ) x + m + n  .
2

2

2

2

a > 0
⇔ mn ≤ 0 .
∆ ≤ 0

Hàm số đồng biến trên ( −∞; + ∞ ) ⇔ 

m = 0
.
n = 0
Do vai trò của m, n là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp m = 0 .
1 1
1

⇒ P = 4n 2 − n =  2n − ÷− ≥ − ( 1) .
4  16
16

TH2: m n < 0 ⇔ m > 0; n < 0 (do vai trò của m, n như nhau).

TH1: mn = 0 ⇔ 



1

2

1

1

Ta có P =  2m − ÷ − + 4n 2 + ( −n ) > − ( 2 ) .
4  16
16

Từ ( 1) , ( 2 ) ta có Pmin = −

1
1
. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = ; n = 0 hoặc
16
8

1
m = 0; n = .
8

Bài 10. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số sau y = sin 3 x − 3cos 2 x − m sin x − 1
 π
đồng biến trên đoạn 0;  .
 2
 π
Đặt sin x = t , x ∈ 0;  ⇒ t ∈ [ 0;1]
 2
3
2
Xét hàm số f ( t ) = t + 3t − mt − 4

Giải

2
Ta có f ′ ( t ) = 3t + 6t − m

8


Để hàm số f ( t ) đồng biến trên [ 0;1] cần:
f ′( t ) ≥ 0

∀t ∈ [ 0;1] ⇔ 3t 2 + 6t − m ≥ 0

2
Xét hàm số g ( t ) = 3t + 6t trên đoạn [ 0;1]

∀t ∈ [ 0;1] ⇔ 3t 2 + 6t ≥ m

∀t ∈ [ 0;1]

g ′ ( t ) = 6t + 6; g ′ ( t ) = 0 ⇔ t = −1.

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy với m ≤ 0 thì hàm số f ( t ) đồng biến trên [ 0;1] , hàm
 π
số f ( x ) đồng biến trên đoạn 0;  .
 2

Chú ý: Với cách đặt t = sin x ta có hàm số t = sin x đồng biến trên đoạn

 π

3
2
 0; 2  do đó tìm m để hàm số y = sin x − 3cos x − m sin x − 1 đồng biến trên đoạn
 π



3
2
.  0;  trở thành bài tốn tìm m để hàm số f ( t ) = t + 3t − mt − 4 đồng biến trên đoạn
2

[ 0;1] .
Bài 11. Tìm m để hàm số y =

2 cot x + 1
π π 
đồng biến trên khoảng  ; ÷?
cot x + m
4 2

Giải
π π 
Đặt t = cot x , x ∈  ;  ⇒ t ∈ ( 0;1) .
4 2
2t + 1
trên khoảng ( 0; 1) , t ≠ − m .
t +m
2m − 1
∀t ∈ ( 0;1) , t ≠ − m .

2
Ta có f ′ ( t ) =
( t + m) ,

Xét hàm số f ( t ) =

π π 
Khi đó để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ; ÷ thì f ( t ) nghịch biến trên
4 2
−1
π π 
< 0, ∀x ∈  ; ÷ ⇔ f ′ ( t ) < 0, ∀ t ∈ ( 0; 1) , t ≠ −m ).
2
sin x
4 2
1
1


m
<
m
<
 m ≤ −1


2m − 1 < 0
2
2



⇔
⇔
⇔
Điều kiện: 
.
−
m
≤
0
m
≥
0
0 ≤ m < 1


−
m
∉
0;1
(
)




2
  − m ≥ 1
  m ≤ −1

khoảng ( 0; 1) (vì t ′ =

Chú ý: Với cách đặt t = cot x ta có hàm số t = cot x nghịch biến trên

9


π π 
2 cot x + 1
; ÷ do đó tìm m để hàm số y =
đồng biến trên khoảng
cot x + m
4 2

khoảng 

2t + 1
π π 
nghịch biến trên khoảng
 ; ÷ trở thành bài tốn tìm m để hàm số f ( t ) =
4 2
t+m

( 0;1) .
DẠNG 2: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC
BẢNG XÉT DẤU CỦA ĐẠO HÀM
Bài 1. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?
Giải

+ Cách 1: Từ bảng biến thiên ta thấy y′ < 0 ∀x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 0;2 ) ⇒ hàm số nghịch
biến trên khoảng ( −∞; −2 ) và ( 0;2 ) .

+ Cách 2: Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đi xuống trên khoảng ( −∞; −2 ) và

( 0;2 ) ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −2 )

và ( 0;2 ) .

Bài 2. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?
Giải
+ Cách 1: Từ bảng biến thiên ta thấy y′ > 0 ∀x ∈ ( −1;2 ) ⇒ hàm số nghịch biến trên
khoảng ( −1;2 ) .
+ Cách 2: Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số lên từ trái qua phải trên khoảng
( −1;2 ) ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;2 ) .

10


Bài 3. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số g ( x ) = 3 − 2 f ( x ) đồng biến trên khoảng nào?
Giải
+ Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) ⇒ tập xác định của hàm số y = f ( x ) là

D = ¡ ⇒ tập xác định của hàm số g ( x ) = 3 − 2 f ( x ) cũng là ¡ .
 x=0
⇒

 x = ±2

+ Ta có g ′ ( x ) = −2 f ′ ( x ) ; g ′ ( x ) = −2 f ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 0 ⇔ 
+ Bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) như hình vẽ

+ Vậy hàm số g ( x ) = 3 − 2 f ( x ) đồng biến trên các khoảng ( −2;0 ) và ( 2; +∞ ) .
Bài 4. Cho hàm số y = f ( x ) liển tục trên ¡ và ta có bảng xét dấu của f ′ ( x )
như sau:
x

f ′( x)

−∞

−

−3
0

−1

+

0

+∞

1

−

0

+

Hàm số g ( x ) = f ( 3 − 2 x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Giải
+ Từ bảng xét dấu của f ′ ( x ) ⇒ tập xác định của hàm số y = f ( x ) là D = ¡ ⇒ tập
xác định của hàm số g ( x ) = f ( 3 − 2 x ) cũng là ¡ .
+ Ta có g ′ ( x ) = −2 f ′ ( 3 − 2 x ) ; g ′ ( x ) = −2 f ′ ( 3 − 2 x ) = 0 ⇔ f ′ ( 3 − 2 x ) = 0

11


x = 3
 3 − 2 x = −3 
⇔
⇔ x = 2.

3
−
2
x
=
±
1

 x = 1
+ Bảng xét dấu của g ′ ( x ) như hình vẽ
−∞

x
g′ ( x)

1
0

−

+

2
0

3
0

−

+∞
+

+ Từ bảng xét dấu g ′ ( x ) ⇒ hàm số g ( x ) = f ( 3 − 2 x ) nghịch biến trên các khoảng

( −∞;1) . và ( 2;3) .
Bài 5. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Xét tính đơn điệu của hàm số y = f ( x 2 − 2) ..
Giải
x = 0

.
 x = ±2

+ Quan sát bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) ta thấy f ′ ( x ) = 0 ⇔ 

x = 0
x = 0


2
2
2
+ Với y = f ( x − 2 ) ta có y′ = 2 x. f ′ ( x − 2 ) ; y′ = 0 ⇔  x − 2 = 0 ⇔  x = ± 2 .
 x = ±2
 x 2 − 2 = ±2



+ Bảng xét dấu

(

) (

)

+ Dựa vào bảng xét dấu y′ ta được y′ < 0 , ∀x ∈ −2; − 2 ∪ 0; 2 ∪ ( 2; +∞ ) nên hàm

(

)(

)

2
số y = f ( 4 − x ) nghịch biến trên các khoảng −2; − 2 ; 0; 2 ; ( 2; +∞ ) và y′ > 0

(

) (

với ∀x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ − 2;0 ∪

(

)(

khoảng ( −∞; −2 ) ; − 2;0 ;

)

)

2;2 ⇒ hàm số y = f ( 4 − x 2 ) đồng biến trên các

2;2 .

Bài 6. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Bảng biến thiên của hàm số

12

 x
y = f ′ ( x ) được cho như hình vẽ bên. Hàm số y = f  1 − ÷+ x nghịch biến trên khoảng
 2

A. ( 2; 4 ) .

B. ( 0; 2 ) .

C. ( −2;0 ) .

D. ( −4; −2 ) .

Giải
1  x
 x
Đặt g ( x ) = f  1 − ÷+ x thì g ′ ( x ) = − f ′  1 − ÷+ 1 .
2  2
 2
 x
Ta có g ′ ( x ) < 0 ⇔ f ′ 1 − ÷ > 2
 2



x

x
2

+ TH1: f ′ 1 − ÷ > 2 ⇔ 2 < 1 − < 3 ⇔ −4 < x < −2 . Do đó hàm số nghịch biến trên
2


khoảng ( −4; −2 ) .



x

x
2

+ TH2: f ′ 1 − ÷ > 2 ⇔ −1 < 1 − < a <0 ⇔ 2 < 2 − 2a < x < 4 nên hàm số chỉ nghịch
2


biến trên khoảng ( 2 − 2a; 4 ) , chứ khơng nghịch biến trên tồn khoảng ( 2; 4 ) .



x

Vậy hàm số y = f  1 − ÷+ x nghịch biến trên ( −4; −2 ) .
2


DẠNG 3: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO ĐỒ THỊ HÀM SỐ HOẶC ĐỒ THỊ
CỦA ĐẠO HÀM

Bài 1. Cho đồ thị hàm số như hình vẽ.

Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Giải
+ Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thấy đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên

khoảng ( −∞; −1) và khoảng ( 0;1) ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và
khoảng ( 0;1) .

13


+ Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng

( −1;0 ) và khoảng ( 1;+∞ ) ⇒
( 1; +∞ ) .

hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;0 ) và khoảng

Bài 2. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ¡ và có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) là đường
cong trong hình vẽ. Xác định các khoảng đồng biến,nghịch biến của hàm số.

Giải
+ Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta thấy đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành trên

khoảng ( −∞; −2 ) và khoảng ( 0;2 ) ⇒ f ′ ( x ) < 0 ∀x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 0;2 ) ⇒ hàm số
nghịch biến trên khoảng ( −∞; −2 ) và khoảng ( 0;2 ) .

+ Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta thấy đồ thị hàm số nằm phía trên trục hồnh trên

khoảng ( −2;0 ) và khoảng ( 2; +∞ ) ⇒ f ′ ( x ) > 0 ∀x ∈ ( −2;0 ) ∪ ( 2; +∞ ) ⇒ hàm số
đồng biến trên khoảng ( −2;0 ) và khoảng ( 2; +∞ ) .

Bài 3. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như
hình bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g ( x ) = f ( 2 − x ) .
y

y = f ′( x)

−1
O

1

4 x

Giải
+ Từ đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) ⇒ tập xác định của hàm số y = f ( x ) là

D = ¡ ⇒ tập xác định của hàm số g ( x ) = f ( 2 − x ) cũng là ¡ .
14


+ Ta có g ′ ( x ) = − f ′ ( 2 − x ) ; g ′ ( x ) = − f ′ ( 2 − x ) = 0 ⇔ f ′ ( 2 − x ) = 0

 2 − x = −1  x = 3
⇔  2 − x =1 ⇔  x =1 .


 2 − x = 4

 x = −2
+ Bảng xét dấu của g ′ ( x ) như hình vẽ
x
g′ ( x)

−∞

−

−2
0

+

+∞

3

1
0

−

0

+

+ Từ bảng xét dấu g ′ ( x ) ⇒ hàm số g ( x ) = f ( 2 − x ) đồng biến trên các khoảng

( −2;1) , ( 3;+∞ ) và nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −2 ) , ( 1;3) .

Bài 4. Cho hàm số f ( x ) xác định trên tập số thực ¡ và có đồ thị f ′ ( x ) như hình sau.
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g ( x ) = f ( x ) − x.
y
1
−1

O

1

2

x

−1

Giải
+ Từ đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) ⇒ tập xác định của hàm số y = f ( x ) là

D = ¡ ⇒ tập xác định của hàm số g ( x ) = f ( x ) − x cũng là ¡ .
 x = −1

+ Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 1; g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 1 = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 1 ⇔  x = 1 .
 x = 2
+ Bảng xét dấu của g ′ ( x ) như hình vẽ
x
g′ ( x)

−∞

+

−1
0

−

1
0

−

2
0

+∞
+

+ Từ bảng xét dấu g ′ ( x ) ⇒ hàm số g ( x ) = f ( x ) − x đồng biến trên các khoảng

( −∞; −1) , ( 2;+∞ ) và nghịch biến trên các khoảng ( −1;2 ) .
Bài 5. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ . Biết hàm số y = f ′ ( x ) liên tục trên

15


2
¡ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số y = f ( 3 − x ) đồng biến trên

khoảng

y

−6

A. ( 2;3) .

−1

O

B. ( −2; −1) .

2 x

C. ( −1;0 ) .

D. ( 0;1) .

Giải
 x = −6

Cách 1: Dựa vào đồ thị f ′ ( x ) ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = −1 (cả 3 nghiệm đều là nghiệm
 x = 2
2
đơn). Ta có: y′ = −2 x. f ′ ( 3 − x )
y ′ = 0 ⇔ −2 x. f ′ ( 3 − x 2 )

x = 0
x = 0
x = 0


 2
2
 x = ±3
3 − x = −6
x =9


=0 ⇔
⇔ 2
⇔
 3 − x 2 = −1
x = 4
 x = ±2



3 − x 2 = 2
 x 2 = 1
 x = ±1

(cả 7 nghiệm đều là nghiệm đơn)
Nhận xét: Do f ′ ( x ) mang dấu dương khi x > 2 (ta gọi là miền ngoài cùng) nên

−2 x. f ′ ( 3 − x 2 ) có miền ngồi cũng cũng mang dấu ( − ) . ( − ) = ( + ) nên ta có bảng xét dấu
y ′ = −2 x. f ′ ( 3 − x 2 ) như sau
x
−∞
−2 x. f ′ ( 3 − x

2

)

−3

−

0

−2
+

0

−1
−

0

0

1

2

+∞

3

+ 0 − 0 + 0 − 0

+

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) .

2
2
Cách 2: Hàm số y = f ( 3 − x ) đồng biến khi y′ > 0 ⇔ −2 xf ′ ( 3 − x ) > 0

⇔ 2 xf ′ ( 3 − x 2 ) < 0 .
 x < 0

TH1: 
2
 f ′ ( 3 − x )

 x > 0

TH2: 
2
 f ′ ( 3 − x )

 x < 0
x < 0
 2
 −1 < x < 0

 x < 1
2

⇔  3 − x > 2
⇔
⇔
>0
x<0
 −3 < x < −2

2
 
  −6 < 3 − x < −1
 4 < x 2 < 9
 x > 0
x > 0
 2
x > 3

 x > 9
2
⇔  3 − x < −6
⇔
⇔
.
<0
1< x < 2
x>0



2


  −1 < 3 − x < 2
 1 < x 2 < 4

So sánh với đáp án Chọn C.
Cách 3: Giải trắc nghiệm

16


x > 2
 x < −6
; f ′( x) < 0 ⇔ 
 −6 < x < −1
 −1 < x < 2

Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta có f ′ ( x ) > 0 ⇔ 

2
2
Xét hàm số y = f ( 3 − x ) ta có y′ = −2 xf ′ ( 3 − x ) .

2
2
2
Hàm số y = f ( 3 − x ) đồng biến khi y′ > 0 ⇔ −2 xf ′ ( 3 − x ) > 0 ⇔ 2 xf ′ ( 3 − x ) < 0 tức là
2
2
hàm số y = f ( 3 − x ) đồng biến khi x và f ′ ( 3 − x ) trái dấu.

2

Dựa vào đồ thị y = f ′ ( x ) ta có với ∀x ∈ ( −1;0 ) thì f ′ ( 3 − x ) > 0 (do 2 < 3 − x 2 < 3 ) nên
2
hàm số y = f ( 3 − x ) đồng biến.

Bài 6. Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) . Hai hàm số y = f ′ ( x ) và y = g ′ ( x )
có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số

y = g′ ( x ) .




Hàm số h ( x ) = f ( x + 4 ) − g  2 x −
 31 
÷.
 5

A.  5;

9

3
÷ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
2



 31



C.  ; +∞ ÷.
 5


B.  ;3 ÷.
4 




D.  6;

25 
÷.
4 

Giải
Kẻ đường thẳng y = 10 cắt đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) tại A ( a;10 ) , a ∈ ( 3;10 ) . Khi đó ta
 f ' ( x + 4 ) > 10, khi 3 < x + 4 < a
 f ' ( x + 4 ) > 10, khi − 1 < x < 4


⇒ 
có  
3
3
3
3
25 .

 g '  2 x − 2 ÷ ≤ 5, khi 0 ≤ 2 x − 2 < 11  g '  2 x − 2 ÷ ≤ 5, khi 4 ≤ x ≤ 4


 
 
3
3

Do đó h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷ > 0 khi ≤ x < 4 .


2

4

Kiểu đánh giá khác:

17


3

Ta có h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷.


2



Dựa vào đồ thị, ∀x ∈  ;3 ÷, ta có

9
4

3 < 2x −



25
< x + 4 < 7 , f ' ( x + 4 ) > f ' ( 3 ) = 10 ;
4

3
3 9

< , do đó g '  2 x − ÷ < f ' ( 8 ) = 5 .
2
2 2


3

9 
Suy ra h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷ > 0, ∀x ∈  ;3 ÷ . Do đó hàm số đồng biến trên


2

4



9 
 ;3 ÷.
4 

Bài 7. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên ¡ thỏa f ( 2) = f ( - 2) = 0 và đồ thị
hàm số y = f ¢( x) có dạng như hình vẽ bên dưới.

2

Hàm số y = ( f ( x ) ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau:
æ 3ử
- 1; ữ
ữ
A. ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2ứ

B. ( - 2; - 1)

C. ( - 1;1)

D. ( 1; 2)

Giải
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢( x) ta lập được bảng biến thiên của y = f ( x) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x) £ 0, " x Ỵ ¡ .

2

Xét hàm số y = ( f ( x ) ) , ta có y ¢= 2 f ( x ) . f ¢( x ) .
Do y = f ( x ) ≤ 0 ∀x ∈ ¡ và f ¢( x ) > 0, " x ẻ ( 1; 2) ẩ ( - Ơ ; - 2) nên hàm số y = ( f ( x ) )

2

nghịch biến trên khoảng ( - ¥ ; - 2) và ( 1; 2) .
Bài 8. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ dưới

18


1
2

2
Đặt g ( x ) = f ( x ) + x + x + 2018. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số g ( x ) đồng biến trên ( 1; 3)

B. Hàm số g ( x ) đồng biến trên

( −3; 0 )
C. Hàm số g ( x ) đồng biến trên ( 0; 3)

D. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên

( 0; 3)
Giải

Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + x + 1
Xét: g ′ ( x ) > 0 ⇔ f ′ ( x ) > − x − 1 ( 1)

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và đồ thị y = − x − 1 ta thấy:

Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nằm “phía trên” đồ thị y = − x − 1 khi x ∈ ( −3; 1) ∪ ( 3; + ∞ ) .
Do đó: ( 1) ⇔ x ∈ ( −3; 1) ∪ ( 3; + ∞ )
Vậy hàm số g ( x ) đồng biến trên ( −3; 1) và ( 3; + ∞ ) , hàm số g ( x ) nghịch biến trên

( −∞; − 3) và ( 1; 3)
Vậy khẳng định đúng là B.
3
2
Bài 9. Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị như

hình bên. Đặt g ( x ) = f

(

y

4

)

x 2 + x + 2 . Chọn khẳng định đúng

trong các khẳng định sau
O

2

x

19


A. g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
B. g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) .
 −1



C. g ( x ) nghịch biến trên khoảng  ;0 ÷.
 2 
D. g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) .
Giải
2
Hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ; f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c , có đồ thị như hình vẽ.
3

2

Do đó x = 0 ⇒ d = 4 ; x = 2 ⇒ 8a + 4b + 2c + d = 0 ; f ′ ( 2 ) = 0 ⇒ 12a + 4b + c = 0 ;
f ′ ( 0 ) = 0 ⇒ c = 0 . Tìm được a = 1; b = −3; c = 0; d = 4 và hàm số y = x3 − 3x 2 + 4 .

Ta có g ( x ) = f
⇒ g′( x) =

(

) (

x2 + x + 2 =

)

x2 + x + 2 − 3 ( x2 + x + 2) + 4
3

3
1
( 2 x + 1) x 2 + x + 2 − 3 ( 2 x + 1) = 3 ( 2 x + 1)  x 2 + x + 2 − 1÷ ;
2
2


1

x = − 2

g′( x ) = 0 ⇒ x = 1
 x = −2



Bảng xét dấu của g ( x ) :

 −1



Vậy g ( x ) nghịch biến trên khoảng  ;0 ÷.
 2 

20


Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ¡ .
A. y = x 4 + x 2 + 1 . B. y = x 3 + 1 . C. y =
Câu 2.

4x +1
.
x+2

D. y = tan x .

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ¡ ?

A. y = x 2 + x .

D. y =

B. y = x 4 + x 2 . C. y = x 3 + x .

x +1
x+3

2
3
Câu 3. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) ( 2 − x ) . Hàm số f ( x )

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( 2; +∞ ) .
Câu 4.

B. ( −1;1) .

C. ( 1; 2 ) .

D. ( −∞; −1) .

Hàm số nào sau đây đồng biến trên ¡ ?
C. y =

A. y = x 3 − x 2 + 2 x + 3. B. y = 4 x 4 + x 2 − 2.

1
x −1
. D. y =
x−2
x−2

Câu 5. Hàm số y = x 4 − 2 nghịch biến trên khoảng nào?



1

A.  −∞; ÷.
2
Câu 6.



B. ( −∞;0 ) .

1



C.  ; +∞ ÷.
2


D. ( 0; +∞ ) .

Cho hàm số y = x 3 − 3x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) và nghịch biến trên khoảng ( 1; +∞ ) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và đồng biến trên khoảng ( 1; +∞ )
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
Câu 7.

Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 5 . Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; − 1) .
B. Hàm số nghịch biến với mọi x .
C. Hàm số đồng biến với mọi x .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) và ( 1; + ∞ ) .
Câu 8. Các khoảng đồng biến của hàm số y = x 3 + 3x là
A. ( 0; +∞ ) . B. ( 0; 2 ) .
Câu 9. Cho hàm số y =

C. ¡ .

D. ( −∞;1) và ( 2; +∞ ) .

x +1
. Khẳng định nào sau đây đúng?
2− x

A. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên ¡ .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞; 2 ) ∪ ( 2; +∞ ) .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Câu 10. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên ¡ ?

21


A. y = sin x − 3 x.

B. y = cos x + 2 x.

C. y = x 3 − x 2 + 5 x − 1. D. y = x 5 .

Câu 11. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 5. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;0 ) . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; +∞ ) . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
1
3
D. ( 1; +∞ ) .

3
2
Câu 12: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số y = x − 2 x + 3x − 1 .

A. ( 1;3) . B. ( −∞;1) và ( 3; +∞ ) . C. ( −∞;3) .

Câu 13. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực ¡ ?
2
2
A. y =  ÷ . B. y = log π ( 2 x + 1) . C. y = log 1 x .
2
4
e
x

x

π 
D. y =  ÷ .
3

x +1

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
x −1
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) .

Câu 14: Cho hàm số y =

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và khoảng ( 1; +∞ ) .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên tập ¡ \ { 1} .
Câu 15. Hàm số y =

x4
+ 2 x 2 − 1 đồng biến trên khoảng
4

A. ( −∞; −1) . B. ( −∞;0 ) .

C. ( −1; +∞ ) .

D. ( 0; +∞ ) .

Câu 16. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y =

2x +1
là đúng?
x +1

A. Hàm số nghịch biến trên ¡ .
B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên ¡ .

D. Hàm số nghịch biến trên ¡ \ { −1} .
Câu 17. Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn nghịch biến trên ¡ ?
A. y = sin x − x . B. y = − x 3 + 3x 2 .C. y =

2x + 3
.
x +1

D. y = x 4 − 3x 2 − 1 .

Câu 18. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ¡ ?
A. y = tan x . B. y = x 4 + x 2 + 1 . C. y = x 3 + 1 .

D. y =

4x +1
.
x+2

Câu 19. Hàm số nào sau đây không đồng biến trên khoảng ( −∞; + ∞ ) ?
A. y = x 3 + 1 . B. y = x + 1 .

C. y =

x−2
.
x −1

D. y = x5 + x3 − 10 .

22


Câu 20. Cho hàm số y = x 3 + 3x + 2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞ ;0 ) và nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞ ;0 ) và đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞ ; + ∞ ) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞ ; + ∞ ) .
Câu 21. Hàm số y = x 2 − 4 x + 4 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. ( −∞; 2 ) . B. ( −∞; +∞ ) .

C. ( 2; +∞ ) .

D. ( −2; +∞ ) .

2x +1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
1− x
A. Hàm số nghịch biến trên ( −∞;1) và ( 1; + ∞ ) .

Câu 22: Cho hàm số y =

B. Hàm số đồng biến trên ¡ \ { 1} .

C. Hàm số đồng biến trên ( −∞;1) và ( 1; + ∞ ) .
D. Hàm số đồng biến trên ( −∞;1) ∪ ( 1; + ∞ ) .

Câu 23. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định?
A. y = x 4 − x 2 . B. y = − x 3 + 3x 2 . C. y = 2 x − sin x .

D. y =

x −1
.
x−2

Câu 24. Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 9 x − 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞; − 1) , ( 3; + ∞ ) ; nghịch biến trên ( −1;3) .
B. Hàm số đồng biến trên ( −1;3) , nghịch biến trên ( −∞; − 1) ∪ ( 3; + ∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞; − 3) , ( 1; + ∞ ) ; nghịch biến trên ( −3;1) .
D. Hàm số đồng biến trên ( −1;3) , nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞; − 1) , ( 3; + ∞ ) .
Câu 25: Cho hàm số y =

2x − 3
. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
4− x

A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
B. Hàm số đồng biến trên ¡ .
C. Hàm số nghịch biến trên ¡ .
D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Câu 26. Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = x 4 + 2 x 2 − 3 .
A. ( −1;0 ) và ( 1; +∞ ) . B. ( −∞; −1) và ( 0;1) . C. ( 0; +∞ ) . D. ( −∞;0 ) .
Câu 27. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ¡ ?
A. y = x 4 + 2 x 2 + 3 .

B. y =

x
.

x+2

C. y = x 3 + 3x + 2 .

D. y = 2 x 2 .

Câu 28. Cho hàm số y = x 3 − 3x + 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) .

23