Chuyen de Nhi thuc Newton 2013

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (442.5 KB, 22 trang )

(1)Chuyên. NH TH C NEWTON. Chuyên. Luy n thi. i h c 2013. NH TH C NEWTON. :. I-LÝ THUY T: Xét khai tri n:. (a + b). n. n. =. Cnk a n − k b k = Cn0 a n + Cn1a n −1b + ... + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n. (1). k =0. Các tính ch t: S h ng t ng quát th k + 1 c a khai tri n là: Cnk a n − k b k n. Khai tri n ( a + b ) có n + 1 s h ng. S h ng ng gi a c a khai tri n: Khi n ch n: M t s h ng. Khi n l : Hai s h ng. n + 1. 2 n +1 n +1 ng th và + 1. 2 2. ng gi a là s h ng. ng gi a là s h ng. ng th. M t s l u ý quan tr ng: 1) Phân bi t gi a: s h ng và h s c a s h ng. VD:. (2 + x). 4. 4. =. C4k 24− k x k = C40 24 + C41 23 x + C42 22 x 2 + C43 2 x3 + C44 x 4. k =0. Lúc ó s h ng. ng th 4 (ch a x3 ) là: C43 2 x 3 .. Còn h s c a s h ng ng th 4 (ch a x 3 ) là: C43 2 . khai tri n (1) thì s h ng ng th k + 1 thì ng v i giá tr 2) Theo cách ánh s th t k. VD: S h ng ng th 6 thì ng v i k = 5 , s h ng th 12 thì ng v i k = 11. 3) L u ý trong khai tri n (1): S h ng t ng quát th k + 1 là: Cnk a n − k b k thì trong s h ng này có hai ph n: a. Ph n s c g i là h s . b. Ph n ch a b c x . Thông th ng ta gom phân bi t hai ph n rõ ràng, bài toán yêu c u tìm s h ng ch a x b c (m ) m y thì t ng ng bi u th c c a ph n m này ph i có giá tr t ng ng. -----------------------------------------------II- LUY N T P: 1) Khai tri n các nh th c sau: 4 1 6 5 2 a) ( x − 2 y ) b) +a c) ( x + 3) 2 a 3 d) x + y 2) Cho các khai tri n: 12. (1 − 3x ). 7. 1 e) − a 3a. , 2−. x 2. 4. 20. , x2 +. f). 1 x. 3. 2 x+ 4 x. 12. ,. (. x + 2x. 6. 12. ). V i m i khai tri n: a) Tìm s h ng th 6, th 7 c a khai tri n. b) Tìm h s c a s h ng th 8 c a khai tri n. c) Tìm s h ng c a khai tri n ch a x12 . Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 1. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(2) Chuyên. NH TH C NEWTON. Luy n thi. 3) Cho h s c a s h ng th 3 trong khai tri n x −. 1 3. i h c 2013. n. b ng 5. Tìm s h ng. ng gi a c a. khai tri n. n 4) Bi t h s c a x 2 trong khai tri n c a (1 + 3 x ) là 90. Hãy tìm n. n. 5) Trong khai tri n c a (1 + ax ) , ta có s h ng. u là 1, s h ng th hai là 24x và s h ng th. 3 là 252x 2 . Tìm a và n . 6) Tìm s h ng không ch a x trong các khai tri n sau: 2x −. 1 x2. 6. ,. 3. x+. 2 4 x. 7. ( x > 0) ,. x 3 + 3 x. 12. 1 2 x2. , 2x −. 9. n. 1 7) Cho khai tri n x + 2 . x a) Xác nh s h ng th 1, 2, 3 c a khai tri n. b) Bi t t ng 3 h s c a 3 s h ng nói trên là 11. Tìm h s c a s h ng ch a x12 . n 8) Tìm h s c a x 5 trong khai tri n (1 + x ) bi t t ng t t c các h s trong khai tri n trên là 1024. n 1 9) Tìm s h ng ch a x8 trong khai tri n 3 + x5 bi t r ng: Cnn++41 − Cnn+3 = 7(n + 3) x 3. 8. 10) Xác. x nh h s c a s h ng ch a x trong khai tri n: ( 2 + 5 x ) 1 − . 2. 11) Xác. nh h s c a s h ng ch a x9 trong khai tri n: (1 + 2 x )( 3 + x ) .. 12) Tìm a. 3. 11. 6. trong khai tri n (1 + ax )(1 − 3 x ) h s c a s h ng ch a x3 là 405. 3. 13) Trong khai tri n nh th c x x + x. 28 15. −. n. . Hãy tìm s h ng không ph thu c vào x bi t:. Cnn + Cnn −1 + Cnn − 2 = 79 .. 14) a th c P ( x) = (1 + x) + 2(1 + x) 2 + 3(1 + x)3 + ... + 20(1 + x) 20 , P ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a20 x 20 (1) Hãy xác nh h s a15 trong bi u th c (1). 15) V i n là s nguyên d. (x. 2. n. n. + 1) ( x + 2 ) . Tìm n. ng, g i a3n −3 là h s c a x3 n −3 trong khai tri n thành a th c c a a3n −3 = 26n.. 16) Cho bi t trong khai tri n: là 46. Tìm h ng t! không. +. . T ng các h s c a các h ng t! th nh t, th hai, ba. c a khai tri n.. 17) Cho bi t t ng c a ba h s c a ba h ng t! h ng t! c a h ng t! ch a 18) Tính. c vi t l i:. u tiên trong khai tri n. là 97. Tìm. −. .. bi t h ng t! th 6 trong khai tri n. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 2. +. không ph thu c. .. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(3) Chuyên. NH TH C NEWTON. M TS. Luy n thi. i h c 2013. D NG TOÁN KHAI TRI N NH TH C -----------------------------. D ng 1: CH NG MINH. NG TH C_GI I PT, BPT VÀ H PT. I- LÝ THUY T: Công th c: Ank =. n! (n − k )!. Cnk =. n! k !( n − k )!. Tính ch t: k. n−k. * Cn = Cn. * Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 II- LUY N T P: Bài t p 1: k, n k k −1 k −2 a) C n + 2C n + C n = Cnk+ 2 b) Cnk + Cnk − + Cnk − + Cnk − = Cnk+ Bài gi i: a) VT = ( Cnk + Cnk − ) + ( Cnk − + Cnk − ) = Cnk+ + Cnk+− = Cnk+ = VP ( .p.c.m) b) VT = ( Cnk + Cnk − ) +. (C. k− n. + Cnk − ) + ( Cnk − + Cnk − ) = Cnk+ + Cnk+− + Cnk+− = Cnk+ = VP. (theo a). Bài t p 2:Tính giá tr c a bi u th c. (. ). +. ( ⇔(. ) + ). −. ⇔%. +. (. +. +. ). (. +. )(. +. ( +. +. )+ (. ). +. ). =. Ta có: (1) ⇔. ). ( )(. +. + % = (y.c.b.t) % Bài t p 3: Gi i các ph ng trình sau: a) Ax3 + C xx − 2 = 14 x (1) Bài gi i: x≥ a) i"u ki n: x∈ N *. Lúc ó:. +. +. +. +. +. +. +. +. =. .. ). +. )+(. +. = +. )(. +. )=. =! " # $ = − "( ) $. − &' = ' ⇔. +. (. , bi t. n∈ N *. (. +. ). n≥. Bài gi i: i"u ki n: Ta có:. (. + +. +. =. %. x! x! + = ( x − )! ( x − )!. !. ⇔ x(x −. b) C 1x + 6C x2 + 6C x3 = 9 x 2 − 14 x (2). x ⇔ x(x −. )( x − ) + x ( x − ) = x=!. ⇔ x − !x − ! = ' ⇔. K t lu n: V y nghi m c a ph. x=−. x⇔. )( x − ) +. x( x −. )=. x. ( x − )( x − ) + ( x − ) =. "* x ≥ ). " + $ !. "( ) $. ng trình là x = !.. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 3. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(4) Chuyên. NH TH C NEWTON x≥ b) i"u ki n: x∈ N * x! x! x! Ta có: (1) ⇔ + %. + %. = x − ( x − )! ( x − )!. ! ( x − )!. ! ⇔ x + x(x −. ) + x ( x − )( x − ) = x (. ⇔ x − x+. ='⇔. x=&. x−. )⇔. +. Luy n thi. i h c 2013. x. ( x − ) + ( x − )( x − ) =. x−. "* x ≥ ). " + $. x= "( ) $ K t lu n: V y nghi m c a ph ng trình là x = &. Bài t p 4: Gi i các b t ph ng trình sau: a) Ax3 + 5. Ax2 ≤ 21x (1) b) C nn+−12 − C nn+−11 ≤ 110 (2) Bài gi i: x≥ a) i"u ki n: x∈ N * x! x! + !. ≤ x ⇔ x ( x − )( x − ) + ! x ( x − ) ≤ x Ta có: (1) ⇔ ( x − )! ( x − ) ! ⇔ (x −. )( x − ) + ! ( x − ) ≤. "* x ≥ ). ≤ ' ⇔ −% ≤ x ≤ ≤x≤ i chi u v i i"u ki n ta có x= ; x= . x∈ N * K t lu n: V y b t ph ng trình có t p nghi m là T = { ; ⇔ x + x−. a) i"u ki n:. }.. n≥. n∈ N * ( n + )! − ( n + )! ≤ Ta có: (1) ⇔ ( n − )!. ! ( n − )!. !. '⇔. (n + ) n(n − ) − (n + )n ≤ %. '. ⇔ n − n − n − %%' ≤ ' ⇔ ( n − ' ) ( n + &n + %% ) ≤ ' ⇔ n − ' ≤ ' ( * n + &n + %% > ' ∀n ) ⇔n≤ ' i chi u v i i"u ki n ta có. ≤n≤ '. n ∈ { ; ; ; !; %; &; ; ; '} n∈ N * K t lu n: V y b t ph ng trình có t p nghi m là T = { ; ; ; !; %; &; ; ; '} . Bài t p 5: Gi i các h ph ng trình sau: C xy++11 = C xy+1 2 Axy + 5C xy = 90 a) (I) b) 5 Axy − 2C xy = 80 3C xy+1 = 5C xy+−11 Bài gi i: x≥. a) i"u ki n:. y≥' x≥ y. . #t u = Axy , v = Cxy ( u > ', v > ' ). x, y ∈ N. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 4. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(5) Chuyên. NH TH C NEWTON u + !v = ' u= ' Lúc ó, h (I) tr thành: . ⇔ !u − v = ' v= ' y x. A = '. Suy ra:. C xy = '. ⇔. x! x! = '⇔ . = '" $ y !( x − y )! y ! ( x − y )!. c:. vào (1) ta. y! c. . '= '⇔. x! = ' ⇔ x(x − ( x − )! K t lu n: H. i h c 2013. x! = '" $ ( x − y )!. Thay (1) vào (2) ta Thay y =. Luy n thi. )−. y!. ⇔ y! = ⇔ y =. =. y∈N). x = − "( ) $. '='⇔ x −x− '='⇔. ã cho có nghi m là ( x; y ) = ( !;. (*. x=! " # $. ).. x≥'. b) i"u ki n:. y≥ x≥ y. .. x, y ∈ N. H (II) ⇔. ⇔. ( x + )! = ( x + )! ( y + )!( x − y )! y !( x + − y )! ⇔ x + )! x + )! ( ( . = !. y !( x + − y )! ( y − )!( x − y + )! x= y. ⇔. x= y. ⇔. y+. =. x+ − y ! = y x− y+. x=%. x − y + % = !y y= y= K t lu n: H ã cho có nghi m là ( x; y ) = ( %; ) . III- BÀI T P T LUY N: Bài t p 1: Gi i các ph ng trình sau: a) Px . Ax2 + 72 = 6( Ax2 + 2.Px ) . b) Ax2 .C xx −1 = 48 .. d). 1 1 1 − x = x x C 4 C5 C6. e). Px + 2 = 210 Axx−−14 .P3. Bài t p 2: Gi i các ph ng trình sau: a) x 2 .C xx−−14 = 12.C x3+1 − x.C xx−−14. d) An2−1 − C n1 = 79 1 f) An3 + 3 An2 = Pn +1 2. e)12C xx+−31 = 55 Ax2+1 ng trình sau:. Cy C y +1 C y −1 a) x +1 = x = x 6 5 2. Bài t p 4: Gi i các b t ph a) C5n +1 < C5n. f) 35.C 2xx−1 = 132.C 2x( x −1) . b) C14x + C14x + 2 = 2C14x +1. c) C n0 + 2C n1 + 2 2 C n2 + .... + 2 n.C nn = 243. Bài t p 3: Gi i các h ph. c) 23 Ax4 = 24(Ax3+1 − C xx − 4 ). b). A5yx−3 : A5yx− 2 = 1 : 7 C5yx− 2 : C5yx− 3 = 7 : 4. 1 3 c) 1 C yx : Ayx = 24 C yx : C yx+ 2 =. ng trình sau:. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. b)14 P3 .C nn−−13 < An4+1 . 5. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(6) Chuyên. c) C n4+ 5. NH TH C NEWTON 143 Pn + 5 − . <0 96 Pn + 3. Luy n thi. i h c 2013. 5 d) C n4−1 − C n3−1 − . An2− 2 < 0 4. 1) ( H à L t A-B 99) Cho k < n (k , n ∈ N ) . Ch ng minh: Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 . 2) ( H QGHN-99) Cho 2 ≤ k ≤ n (k , n ∈ N ) . Ch ng minh: k (k − 1)Cnk = n( n − 1)Cnk−−22 3) ( H DL KTCN 99) Cho 3 ≤ k ≤ n (k , n ∈ N ) . Ch ng minh: Cnk + 3Cnk −1 + 3Cnk − 2 + Cnk −3 = Cnk+3 . 4) ( HQG TPHCM 97) Cho 4 ≤ k ≤ n (k , n ∈ N ) . Ch ng minh: Cnk + 4Cnk −1 + 6Cnk − 2 + 4Cnk −3 + Cnk − 4 = Cnk+ 4 . 5) Cho 3 ≤ k + 3 ≤ n ( k , n ∈ N ) . Ch ng minh: 2Cnk + 5Cnk +1 + 4Cnk + 2 + Cnk +3 = Cnk++22 + Cnk++33 1 1 1 1 n −1 6) ( HTL 2000) Ch ng minh: 2 + 2 + 2 ... + 2 = , ∀2 ≤ n ∈ Z A2 A3 A4 An n. D ng 2: Ch ng minh. ng th c, tính t ng d a vào khai tri n Nh th c. K thu t 1: n. n. Dùng khai tri n ( a + b ) =. Cnk a n − k b k = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + ... + Cnnb n (1). k =0. Lúc ó thay a, b trong (1) b i các giá tr c th , chúng ta có các $ng th c v" t ng. n. VD: Thay a = 1, b = x . (1) tr thành: (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n (2) + T% (2), thay b = 1 ta có k t qu : Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n n. + ……..thay b = −1 , ta có k t qu : Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 ... + ( −1) Cnn = 0. c bi t: 2n 1) T% (1 + x ) = C20n + C21n x + C22n x 2 + ... + C22nn x 2 n K t qu 1: C20n + C21n + C22n + ... + C22nn = 22 n K t qu 2: C20n + C22n + C24n + ... + C22nn − 2 + C22nn = C21n + C23n + C25n + .. + C22nn −1 2) Do Cnk = Cnn − k nên: C20n +1 + C21n +1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 = C2nn++11 + C2nn++21 + C2nn+3 + .. + C22nn++11 L u ý: D a vào các d u hi u v b c, v h s trong $ng th c (1) mà ta có th ch n a, b chính xác. LUY N T P: 1)Ch ng minh các $ng th c sau: 1) Cn0 + 6Cn1 + 62 Cn2 + ... + 6n Cnn = 7 n 2) 317C170 + 4.316 C171 + 42.315 C172 + ... + 417 C1717 = 717 3) C21n + C23n + C25n + ... + C22nn−1 = C20n + C22n + C24n + ... + C22nn 4) 316C160 + 315 C161 + 314 C162 + ... + C1616 = 216 0 1 200 5) C200 − 10C200 + 102 C202 0 + ... + 100100 C200 = 81200 2) Ch ng minh các $ng th c sau: 1) C40n − 3C41n + 32 C42n − ... + 34 n C44nn = C20n − 5C21n + 52 C22n − ... + 52 n C22nn n. 2) 4nCn0 − 4n −1Cn1 + 4n − 2Cn2 + ... + ( −1) Cnn = Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 − ... + 2n Cnn 3) Tính các t ng sau:. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 6. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(7) Chuyên. NH TH C NEWTON 1) A = Cn0 + 6Cn1 + 62 Cn2 + ... + 6n Cnn. Luy n thi. i h c 2013. n. 2) B = Cn0 − 2Cn1 + 22 Cn2 − ... + ( −1) 2n Cnn 3) C = C20n − 10C21n + 102 C22n − .. + 102 n C22nn 0 1 2 100 4) D = C100 + 5C100 + 52 C100 + ... + 5100 C100. 5) A = C9998 + C9997 + C9996 + ... + C992 4) Tính các t ng sau: P = 20 C20n + 22 C22n + 24 C24n + ... + 22 n C22nn Q = 21 C21n + 23 C23n + 25 C25n + ... + 22 n −1 C22nn −1 5) ( H D-2002) Tính s nguyên d ng n sao cho: Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + ... + 2n Cnn = 243 K thu t 2:. V n d ng N i dung ý t. o hàm. i v i khai tri n ( a + b ). n. ng:. Ta có khai tri n:. (a + b). n. n. =. Cnk a n − k b k = Cn0 a n + Cn1a n−1b + ... + Cnnb n. k =0. Thay a = 1, b = x thì khai tri n tr thành:. (1 + x ) L y. n. = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n (*). o hàm hai v c a (*): n (1 + x ). n −1. = Cn1 + 2 xCn2 + 3 x 2Cn3 + ... + nx n −1Cnn (**). Thay x = 1 : Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn = n.2n −1 Thay x = −1 : Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − ... + n ( −1) L y. o hàm hai v c a (**): n(n − 1) (1 + x ). n−2. n −1. Cnn = 0. (3) (4). = 2Cn2 + 3.2 xCn3 + ... + n(n − 1) x n − 2Cnn. Thay x = 1 : 2Cn2 + 3.2Cn3 + ... + n( n − 1)Cnn = n(n − 1)2n − 2 (5) L u ý: Các k t qu (3), (4), (5) là các k t qu quan tr ng th ng g#p. D u hi u nh n bi t d ng toán: nh n bi t d ng toán ch ng minh, tính t ng b ng nh th c thì chúng ta th ng d a vào các nh n xét sau: + o hàm b c 1: - Khai tri n không ch a Cn0 . M i s h ng "u có d ng k .a k −1Cnk ( Có ngh&a là b c c a x n m tr mà nh v y thì ch có phép o hàm m i th c hi n c) n −1 i v i d ng toán ch ng minh thì v ph i có d ng n.a . o hàm c p 2: - Khai tri n không ch a Cn0 , Cn1 . -. +. -. o hàm. c s h ng,. M i s h ng "u có d ng k (k − 1).a k − 2Cnk. i v i d ng toán ch ng minh thì v ph i có d ng n(n − 1).a n−2 . LUY N T P: 1) Ch ng minh các $ng th c sau: 1) Cn1 + 2.6Cn2 + 3.62 Cn3 ... + n6n−1 Cnn = n.7 n−1 2) 17.316C170 + 16.4.315 C171 + 15.142.314 C172 + ... + 416 C1716 = 17.716. 3) ( HTCKT-2000) Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn = n.2n −1 4) ( HKTQD-2000) 1.2n−1 Cn1 + 2.2n− 2 Cn2 + 3.2n −3 Cn3 + 4.2n−4 Cn4 + ... + nCnn = n.3n−1 Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115--- 7 CLB Giáo viên tr TP Hu.

(8) Chuyên NH TH C NEWTON Luy n thi 2 3 4 n 5) ( HAN-98) 2.1Cn + 3.2Cn + 4.3Cn + ... + n(n − 1)Cn = n( n − 1)2n − 2. i h c 2013. 6) nCn0 + ( n − 1)Cn1 + ( n − 2)Cn2 + ... + Cnn −1 = n.2n−1 7) Cn1 + 2Cn2 .10 + 3Cn3 .102 + ... + nCnn .10n−1 = n.11n−1 2) Ch ng minh $ng th c sau: Cn1 + 4Cn2 + ... + 2n n −1Cnn = n 4n −1 Cn0 − ( n − 1)4n − 2 Cn1 + ( n − 2)4n −3 Cn2 + ... + ( −1) n −1 Cnn −1 3) ( H D-2004) Tìm s nguyên d ng n sao cho: C21n +1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 − 4.23 C24n +1 + ... + ( 2n + 1) .22 n C22nn++11 = 2005 100. d b -2006) Áp d ng khai tri n nh th c ( x 2 + x ) . Ch ng minh r ng:. 4) ) (. 0 100. 100C. 1 2. 99. 100. 1 2. 1 100. − 101C. 1 2. 99 100. + ... − 199C. 198 100 100. + 200C. 1 2. 199. =0. 5) Tính các t ng sau: 1) A = Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + ... + (−1) n−1 nCnn 2 3 4 100 2) B = 1.2C100 + 2.3C100 + 3.4C100 + ... + 99.100C100 3 4 5 100 3) C = 1.2.3C100 + 2.3.4C100 + 3.4.5C100 + ... + 98.99.100C100 1000 999 0 4) D = C1001 + 2C1001 + ... + 1001C1001 1 2 0 5) E = C1001 + 2C1001 .3 + ... + 1001C1001 .31000 0 1 2000 6) F * = C2000 + 2C2000 + ... + 2001C2000 K thu t 3:. V n d ng tích phân N i dung ý t. i v i khai tri n ( a + b ). n. ng: n. Ta có khai tri n: ( a + b ) =. n. Cnk a n− k b k = Cn0 a n + Cn1 a n−1b + ... + Cnnb n. k =0. L y tích phân hai v : b. b. (1 + x ). n. a. Lúc ó:. (1 + x ) VT =. (C. dx =. 0 n. + xCn1 + x 2Cn2 + ... + x nCnn ) dx. a n +1 b. n +1. (1 + b ) =. a. n +1. − (1 + a ) n +1. x 1 x3 3 x n+1 n VP = xC + Cn + Cn + ... + Cn 2 3 n +1 0 n. 2. n +1. 2. 2. 3. a. b − a 0 b − a 1 b − a 2 b − a4 3 b n+ − a n +1 n = Cn + Cn + Cn + Cn + ... + Cn 1 2 3 4 n +1 T% ây, thi t l p c 1 $ng th c: n +1 n +1 2 b − a 0 b − a 2 1 b3 − a 3 2 b n + − a n +1 n (1 + b ) − (1 + a ) Cn + Cn + Cn + ... + Cn = (*) 1 2 3 n +1 n +1 T% $ng th c (*): 1 1 1 1 2n +1 − 1 + Thay a = 0, b = 1 : Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + ... + Cnn = 2 3 4 n +1 n +1. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 3. b. 8. 4. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(9) Chuyên. NH TH C NEWTON Luy n thi i h c 2013 2 3 n +1 2 −1 1 2 −1 2 2 − 1 n 3n +1 − 2n +1 0 + Thay a = 1, b = 2 : Cn + Cn + Cn + ... + Cn = 2 3 n +1 n +1 D u hi u nh n bi t d ng toán: nh n bi t d ng toán ch ng minh, tính t ng b ng tích phân nh th c thì chúng ta th ng d a vào các nh n xét sau: b k +1 − a k +1 k + M i s h ng c a bi u th c có d ng Cn (Ngh&a là t'n t i m(u, và m(u l n k +1 h n 1 n vi so v i b c c a x , nh v y ch) có phép tích phân m i th c hi n c vì n +1 x x n dx = ... n +1 B n +1 − An +1 + i v i d ng toán ch ng minh thì v ph i có d ng . n +1 LUY N T P: 1) Ch ng minh các $ng th c sau: n n −1) 2n +1 n 1 + ( −1) ( 2 2 1 23 2 0 a. ( HGTVT 99) 2Cn − Cn + Cn − ... + Cn = 2 3 n +1 n +1 2 3 4 n +1 n +1 2 2 2 2 3 −1 b. ( H N 2000) 2Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 ... + Cnn = 2 3 4 n +1 n +1 2 3 4 n +1 n +1 3 3 3 3 4 − 1 c. 3Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 ... + Cnn = 2 3 4 n +1 n +1 n 1 1 1 ( −1) C n = 1 d. Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 ... + n 2 3 4 n +1 n +1 2) ( H Lu t HN 97) 1. n. a. Tính I = x (1 − x 2 ) dx (1 ≤ n ∈ Z ) 0 n. ( −1) C n = 1 1 0 1 1 1 2 b. Ch ng minh r ng: Cn − Cn + Cn + ... + n 2 4 6 2n + 2 2n + 2 3) (B IVa- 81) 1. 2 n. (1 − x ). a. Tính: I n =. dx (1 ≤ n ∈ Z ). 0 n. ( −1) C n = ( 2n )!! 1 1 1 b. Ch ng minh r ng: 1 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + ... + n 3 5 7 2n + 1 ( 2n + 1)!! 4) ( H M! HN 99) 1. n. a. Tính: I n = x 2 (1 + x 3 ) dx. (2 ≤ n ∈ Z ). 0. b. Ch ng minh r ng:. 1 0 1 1 1 2 1 2n+1 − 1 Cn + Cn + Cn + ... + Cnn = 3 6 9 3n + 3 3( n + 1). 5) ( HNN 99) 1 n. a. Tính: I n = x (1 − x ) dx (1 ≤ n ∈ Z ) 0 n. ( −1) C n 1 1 1 b. Tính: S = Cn0 − Cn1 + Cn2 + ... + n 2 3 4 n+2 6) Tính các t ng sau ây: Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 9. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(10) Chuyên. NH TH C NEWTON. Luy n thi. i h c 2013. n +1. ( −1) C n 1 1 1 a. S = Cn0 − Cn1 + Cn2 + ... + n 2 3 4 n +1 1 1 1 b. S = 1 − C101 + C102 − ... + C1010 3 5 21 1 0 1 1 1 2 1 c. S = C10 − C10 + C10 − ... + C1010 2 4 6 22 2 2 − 1 1 23 − 1 2 2n+1 − 1 n 0 d. ( H B-2003) Cn + Cn + Cn + ... + Cn 2 3 n +1 ---------------------------------------------------------------------. M TS. BÀI T P TRONG K" THI. I H#C. 1) ( H A-2002) Cho khai tri n nh th c: 2. x −1 2. +2. −x 3. n. =C. 0 n. 2. x −1 2. n. +C. 1 n. 2. x −1 2. n −1. 2. −x 3. + ... + C. n −1 n. 2. x −1 2. 2. −x 3. n −1. +C. n n. 2. −x 3. n. Bi t r ng trong khai tri n ó: Cn3 = 5Cn1 và s h ng th t b ng 20n . Tìm n và x . 2) ( H D-2002) Tính s nguyên d ng n sao cho: Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + ... + 2n Cnn = 243 3) ( d bi-2002) n Gi s! n là s nguyên d ng và: (1 + x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + ak x k + ... + an x n Bi t r ng t'n t i s k nguyên ( 1 ≤ k ≤ n − 1 ) sao cho:. ak −1 ak ak +1 , tính n . = = 2 9 24. 4) ( H A-2003) 8. Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n nh th c:. 1 + x5 3 x. n. , bi t r ng:. Cnn++41 − Cnn+3 = 7(n + 3) 5) ( H B-2003) Cho n là s nguyên d ng. Tính t ng: 2 2 − 1 1 23 − 1 2 2n +1 − 1 n 0 Cn + Cn + Cn + ... + Cn 2 3 n +1 6) ( H D-2003) V i n là s nguyên d ng, g i a3n −3 là h s c a x 3n −3 trong khai tri n thành a th c n. n. c a: ( x 2 + 1) ( x + 2 ) . Tìm n. a3 n −3 = 26n .. d b 2003) Tìm s t nhiên n tho mãn: Cn2Cnn− 2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn −3 = 100 8) ( H D-2004) 7) (. Tìm các s h ng không ch a x trong khai tri n nh th c. 3. 1 x+ 4 x. 7. ( x > 0). 9) ( H A-2005) Tìm h s c a x 8 trong khai tri n thành a th c 1 + x 2 (1 − x ). 8. 10) ( H D-2004) Tìm s nguyên d ng n sao cho: C21n +1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C23n+1 − 4.23 C24n+1 + ... + ( 2n + 1) .22 n C22nn++11 = 2005. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 10. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(11) Chuyên NH TH C NEWTON Luy n thi i h c 2013 11) ( H D-2005) A4 + 3 An3 Tính giá tr bi u th c: M = n+1 , bi t r ng: Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+3 + Cn2+ 4 = 149 ( n + 1)! 12) ( d b -2005) 2n Tìm h s c a x 7 trong khai tri n thành a th c c a ( 2 − 3 x ) , trong ó n nguyên d ng tho mãn: C21n +1 + C23n+1 + C25n+1 + ... + C22nn++11 = 1024 . 13) ( d b 2004) n Gi s! (1 + 2 x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + ak x k + ... + an x n Bi t r ng a0 + a1 + a2 + ... + an = 729 . Tìm n và s l n nh t trong các s a0 , a1 ,.., an . 14) ( H A-2006) n 1 7 26 Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n 4 + x , bi t r ng: x 1 2 3 n 20 C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2 − 1 15) (. 100. d b -2006) Áp dung khai tri n nh th c ( x 2 + x ) . Ch ng minh r ng: 0 100C100. 99. 1 2. 100. 1 2. 1 − 101C100. 99 + ... − 199C100. 198. 1 2. 1 2. 100 + 200C100. 199. =0. 16) ( H A- 2007) Ch ng minh r ng:. +. !. +. % 17) ( H B- 2007) Tìm h s c a s h ng ch a '. 18) ( H D- 2007) Tìm h s c a 19) ( d b -2007) Ch ng minh: 20) ( H A-2008) Cho khai tri n ( +. !. +. −. ' −. −. ) +. −( − = +. '. ). +. + (−. + (−. +. ). −. −. (. +. +. +. = ' % ./. ). + (−. ). !. +. -. (. +. −. ). ∈. 01 (. (. ). , bi t:. +. ). = '. −. , trong ó. +. − +. =. trong khai tri n. trong khai tri n thành a th c: '. '. −. −. −. + +. −. ='. và các h s. 2 3. '. 01. '. '. ,. ,. ,. ,. ,. , ,. 21) ( H B-2008) 34. + +. + +. + +. (. =. 22) ( H D-2008) ./ 01 67 *89 23) ( H A-2012) Cho n là s nguyên d. ,. (5. +. +. 01. +. 67 *89 −. , ≤. ). = '. ng th*a mãn 5Cnn −1 = Cn3 . Tìm s h ng ch a x5. nx 2 1 trong khai tri n nh th c Niu-t n c a − 14 x. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. n. 11. , ( x ≠ 0) .. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(12) Chuyên. NH TH C NEWTON. M TS. Luy n thi. i h c 2013. D NG BÀI T P C$N L%U Ý: -----------------------------------------. Bài 1: Tìm h s c a x trong khai tri n thành a th c 1 + x 2 (1 − x ) 8. 8. G i ý: 8. 1 + x 2 (1 − x ). 2. 7. 8. = C80 + C81 x 2 (1 − x ) + C82 x 4 (1 − x ) + ... + C87 x14 (1 − x ) + C88 x16 (1 − x ) 3. V y thì nh ng s h ng c a khai tri n có ch a x 8 là: C83 x 6 (1 − x ) , C84 x8 (1 − x ). :#6. 01 ;. Bài 2: Cho a th c. + +. + '( +. +. ). ph n t! ch a ! thì ng v i = !, %, , ' ! ! ! ! ! + + ' ! = ! ! + % % + & & + Bài 3: G i , , , là h s trong khai tri n sau:. ! '. h ng ch a. !. " $=( +. )+ (. ). +. (. +. ). +. trong khai tri n thành a th c c a. +. '. ) (. +. G i ý: Nh n th y Bi n. i:. (. ! '. ) (. +. '. +. +. là h s c a. %. .. )= (. ). '. +. +. < 01 ;. %. 3. 3=. < 01 ;. %. 3. 3=. !. =. Bài 4: #t " $ = a) Tính b) Tính c) Tính G i ý: a) Bi n i:. (. )=. + +. ! '. (. +. (. +. ( (. + +. + +. '. ) '. ) ' ). ). '. . Tìm h s c a s. " $.. G i ý: Nh n th y các ph n t! c a khai tri n có d ng. (. 4. (. = , , , '.. ,. . Tìm h s. +. !. .. '. ! '. (5. % '. (5. % '. +. + +. +. ). !. =. . + + + !. ' + + − + − ' −. '. +. +. +. +. )(. +. !. .. '. +. ). !. =. (. +. )+ (. !. +. ). !. =. (. +. ). !. =( +. Nh n th y ' là h s c a ' . T% (1) suy ra s h ng ch a (Chú ý: ' = ' + ' = + = + % ): ' ! ' % ' ! , ! , ! ! ! ! ! ' = ! ! + ! ! + b, c) L n l t thay = , = − 5 " $ .. Bài 5: Tìm s nguyên d. ng bé nh t. h s liên ti p có t) s là. & . !. '. !. sao cho trong khai khai tri n. !. )(. +. ). '. (1). trong (1) là:. !. (. +. ). sao cho có hai. G i ý:. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 12. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(13) Chuyên. NH TH C NEWTON & = ⇔& = + !. Luy n thi + !⇔. + = & :/ 67 5 ≥ ' 7 bé nh t thì bé nh t, t c là = %. L p t+ s : >. , ∈. (. Bài 6: Trong khai tri n. =. + &. + +. =& − , ∈ = , , = %+ + =. ) , hãy tìm các s. +. .. h ng là s nguyên. −. G i ý: Bi n. i:. (. ). +. =. +. i h c 2013. =. −. = ='. ='. −. S h ng. là s nguyên khi ch) khi 'ng th i, ta có:. (. −. ). ⇔. '≤ ≤. = ', , ,%,. ='. = ', ,%,. =% '. V y trong khai tri n trên có 2 s h ng nguyên:. Bài 7: Trong khai tri n. (. − !. ). '. %. ,. (5. 01. 5 ! %.. , có bao nhiêu s h ng là s nguyên.. K t qu : 32. Bài 8: Trong khai tri n nh th c. . Tìm h s c a s h ng có s m c a. +. 5 b ng nhau. G i ý: −. +. −. =. −. +. %. −. =. −. %. +. =. ='. Gi i ph. ng trình:. − %. +. =− + %. − %. − + %. −. ='. −. =. Bài 9: Trong khai tri n: % (. +. %− %. +. =. % ='. ( ). (. , s h ng th 4 b ng 200. Tìm. +. BÀI TOÁN H S Bài 10: Khai tri n a th c: trong các h s. '. , , , ,. ( ). " $=. G i ý:. " $=( +. =. L&N NH'T: +. +. ?{ ' , , , ,. }. ). (1). T% (1) suy ra:. =. (t c là tìm. =. ='. ). '. .. +. +. . Tìm h s l n nh t. @. = ', , , ,. ='. Xét b t ph()ng trình <. +. ⇔. > A 63. +. +. < ⇔ + < − "> − > '$ − + ∈ 5 ≥ ' 7 = ', , ,& . V y nên < + ⇔ = , , ', , < < < > > '> > ' < <. ⇔. ⇔. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 13. <. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(14) Chuyên Vì th :. NH TH C NEWTON ?{ ' , , , , } = =. Luy n thi %& '. =. Bài 11: Xét khai tri n ( + ) = ' + + G i ý: T ng t bài 10, v i l u ý: ⇔ ⇔ < ! ⇔ = ', , , , T% ó suy ra > + ⇔ > ! ⇔ = %,&, ,. A 63. '. <. <. <. <. Bài 12: Xét khai tri n: Tìm. (. =. !. %. ). +. >. =. '. ?{ ' , , , ,. G i ý: Theo gi thi t. ?{ ' , , , , >. V y ta ph i có:. &. +. +. . Tìm. +. =. >. .V y. +. +. }.. ?{ ' , , , ,. ⇔ =!. +. ?{ ' , , , ,. }=. !. =. >. >. '. >. >. ∈. 7. =. .. %. =. !. .. +. }= , t c là:. }= &. >. ⇔. >. >. &. i h c 2013. <. '. <. <. &. ⇔. ⇔. <. !. < <. >. >. Bài 13: Xét khai tri n. (. ). +. −. =. =. +. '. +. +. +. ='. ?{ ' , , , , } = ' Tìm G i ý: T ng t bài 12, l u ý: ⇔ < <. Bài 14: Tìm h s G i ý:. (. c a. ). + +. %. :#6 = '. trong khai tri n nh th c. %. =. %. (. .. = %. ).. + +. %. ). +. (. B. =. ='. (. %. +. . Xét. ). = !,%. ='. ( c: (. Bài 15: Tìm h s c a. trong khai tri n thành a th c c a bi u th c:. + +. Bài 16: Tìm h s c a. trong khai tri n thành a th c c a bi u th. + −. Bài 17: Tính các h s c a. trong khai tr n. 5. Bài 18: Khai tri n và rút g n a th c: Ta. c: ý r ng. G i ý:. '. " $=. '. +. " $=( +. +. +. c a th c:. Bài 20: a th c. " $=. " $=( +. )+ (. +. !. &. .. .. +. ). +. %. ( + ) +( − ) . % & ' ) +( + ) + +( + ). . Tính. " $=( +. +. Tính ! = C Bài 21: Tìm s h ng không ch a. ) +( +. ). +. +. + '( +. ). ' '. '. +. . Tính. =. '. +. +( +. ). ?. +. '. +. '. trong khai tri n:. &. a). '. là h s c a s h ng ch a. Bài 19: Khai tri n và rút g n a th c: Ta. +. !. ) ). ''. b). +. c). −. +. (. −. ≠ '). Bài 22: V i giá tr nào c a. Bài 23: #t:. (. + +. thì s h ng th 6 trong khai tri n:. ). ''. =. '. +. +. +. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. '' ''. 14. '. (. +&. + '. − ( !. (. +. ). &. b ng 84?. . Tính các t ng sau:. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(15) Chuyên. NH TH C NEWTON. a). =. '. +. +. +. Luy n thi b). ''. =. '. −. +. −. +. i h c 2013. ''. c) = ' + + + + G i ý: L n l t thay = , = − ,. ''. Bài 24: Trong khai tri n. t ng các h s c a h ng t! th hai và th ba b ng 36.. ''. =. +. vào bi u th c khai tri n.. Cho bi t thêm h ng t! th ba gáp 7 l n h ng t! th hai. Tìm Bài 25: (S H NG NG GI*A). .. (. +. a) Hãy tìm hai s h ng. ng gi a trong khai tri n:. (. ). .. ). '. b) Hãy tìm m t s h ng. ng gi a trong khai tri n:. c) Cho khai tri n:. , bi t h s c a s c a s h ng th 3 b ng 5. Tìm s h ng. −. +. .. ng gi a trong khai tri n trên. 2 + x5 3 x. Bài 26: Tìm h s c a x trong khai tri n Newton c a bi u th c 20. n. ,. 1 1 1 1 bi t r ng: Cn0 − Cn1 + Cn2 + ... + ( −1) n Cnn = 2 3 n +1 13 n 0 1 2 2 G i ý: Ta có (1 − x ) = Cn − Cn x + Cn x − .... + (−1) n Cnn x n = B 1. 1. 1 1 1 1 Cnn Vì (1 − x ) dx = , Bdx = Cn0 − Cn1 + Cn2 + ... + (−1) n n +1 0 2 3 n +1 0 n. n. Ta có:. n + 1 = 13. n = 12. n−k. 12 k 2 2 5 + x = C12k . 3 x5 ) , Tk +1 = C12k .212− k .x8 k −36 ( 3 x x k =0 20 7 H s c a x là: C12 .25 = 25344. 8k − 36 = 20 ⇔ k = 7. 0 1 2 1004 Bài 27: Tính t ng: S = C2009 + C2009 + C2009 + ... + C2009 0 1 2 1004 + C2009 + C2009 + ... + C2009 G i ý: Ta có: S = C2009 (1). 2009 2008 2007 1005 ⇔ S = C2009 (2) (vì Cnk = Cnn−k ) + C2009 + C2009 + ... + C2009 0 1 2 1004 1005 2009 2 S = C2009 + C2009 + C2009 + ... + C2009 + C2009 + ... + C2009 = (1 + 1). 2009. S = 22008 Bài 28: Tìm h s c a x8 khai tri n Newt n c a bi u th c P = (1 + x 2 − x3 )8 .. G i ý: Ta có: P = 1 + x 2 (1 − x ). 8. 8. =. k. k. C8k x 2 k (1 − x ) . Mà (1 − x ) =. k =0. k. Cki (−1)i x i i =0. 8. ng v i x ta có: 2k + i = 8;0 ≤ i ≤ k ≤ 8 0 ≤ k ≤ 4 . Xét l n l t các giá tr = ho#c = tho mãn. 8 Do v y h s c a x là: a = C83C32 ( −1) 2 + C84C40 (−1)0 = 238 .. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 15. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(16) Chuyên. NH TH C NEWTON. Luy n thi. i h c 2013. TUY N T P + THI: Bài t p 1: ( H A-2006) Tìm h s c a s h ng ch a x. 26. 1 trong khai tri n 4 + x 7 x. n. , bi t. r ng: C21n +1 + C22n +1 + C23n +1 + ... + C2nn +1 = 220 − 1. G i ý: T% gi thi t suy ra: C20n +1 + C21n +1 + C22n +1 + C23n +1 + ... + C2nn +1 = 220 (1) Vì C2kn +1 = C22nn++11− k , ∀k : 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên suy ra: 1 C20n +1 + C21n+1 + C22n+1 + C23n+1 + ... + C2nn+1 = ( C20n+1 + C21n+1 + +... + C22nn++11 ) (2) 2 Xét khai tri n: 2 n +1 (1 + x ) = C20n+1 + xC21n+1 + x 2C22n+1 + ... + x 2 n+1C22nn++11 (*) Thay (*) x = 1: C20n+1 + C21n+1 + C22n+1 + ... + C22nn++11 = 22 n+1 (3). T% (1), (2), (3) suy ra: 22 n = 220 ⇔ n = 10 . T. ây ti p t c y.c.b.t 2n. 7. Bài t p 2: (. d b -2005) Tìm h s c a x trong khai tri n thành a th c c a ( 2 − 3 x ) ,. trong ó n nguyên d ng tho mãn: C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + ... + C22nn++11 = 1024 . G i ý: Ta có: 2 n +1 (1 + x ) = C20n+1 + xC21n+1 + x 2C22n+1 + ... + x 2 n+1C22nn++11 (*) Thay (*) x = 1: C20n +1 + C21n +1 + C22n +1 + ... + C22nn++11 = 22 n +1 (1) Thay (*) x = −1: C20n +1 − C21n +1 + C22n +1 + ... − C22nn++11 = 0. L y (1)-(2): 2 ( C. 1 2 n +1. +C. 3 2 n +1. +C. 5 2 n +1. + ... + C. 2 n +1 2 n +1. )=2. 2 n +1. (2). ⇔ C21n+1 + C23n+1 + C25n+1 + ... + C22nn++11 = 22 n. T% gi thi t suy ra: 22 n = 1024 = 210 ⇔ n = 5 .T ây ti p t c y.c.b.t CHÚ Ý: Hai k, n-ng trên. Suy ra: 1) C02n+1 +C12 n+1 + C22n+1 + ... + C22nn++11 = 22 n +1 (1) 2) C20n +1 + C22n +1 + C24n +1... + C22nn+1 = C21n +1 + C23n +1 + C25n +1... + C22nn++11 1 0 C2 n +1 + C21n +1 + C22n +1 + ... + C22nn++11 ) = 22 n ( 2 0 1 2 n 3) C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1... + C2 n +1 = C2nn++11 + C2nn++21 + C2nn++31... + C22nn++11 =. 1 0 ( C2n+1 + C21n+1 + C22n+1 + ... + C22nn++11 ) = 22n 2 Bài t p 3: ( H B-2003) Cho n là s nguyên d ng. Tính t ng: 2 2 − 1 1 23 − 1 2 2n +1 − 1 n Cn0 + Cn + Cn + ... + Cn 2 3 n +1 G i ý: Phân tích: 2k +1 − 1 k M i s h ng "u có d ng: Cn ( so sánh v i s h ng x k Cnk thì có d ng tích phân) k +1 n Lúc ó: Xét (1 + x ) = Cn0 + xCn1 + x Cn2 + ... + x nCnn (*) =. 1. 1 n. (C. L y tích phân hai v (*): (1 + x ) *x = 0 2. (1 + x ). V trái (*): 1. n. *x =. 0 n. + xCn1 + x Cn2 + ... + x nCnn ) *x "--$. 0. (1 + x ). n +1 1. n +1. = 0. 3n+1 − 2n+1 n +1. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 16. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(17) Chuyên. NH TH C NEWTON. Luy n thi. 2. x2 x3 x n+1 n V ph i (*): ( C + xC + x C + ... + x C ) *x = xC + Cn1 + Cn2 + ... + Cn 2 3 n +1 1 0 n. 1 n. 2 n. n. i h c 2013 2. 0 n. n n. 1. 2 2 − 1 1 23 − 1 2 2n +1 − 1 n Cn + Cn + ... + Cn = Cn0 + 2 3 n +1 2 2 − 1 1 23 − 1 2 2n +1 − 1 n 3n +1 − 2n +1 Lúc ó: Cn0 + Cn + Cn + ... + Cn = ( .p.c.m) 2 3 n +1 n +1 Bài t p 4: ( H D-2003) V i n là s nguyên d ng, g i a3n −3 là h s c a x3 n −3 trong khai n. n. tri n thành a th c c a: ( x 2 + 1) ( x + 2 ) . Tìm n. G i ý: (Dùng ph. a3n−3 = 26n .. ng pháp “th công”) n. Phân tích: ( x 2 + 1) = x 2 nCn0 + x 2 n− 2Cn1 + x 2 n− 4Cn2 + ... + Cnn. ( x + 1) n. n. = x nCn0 + x n −1Cn1 + x n − 2Cn2 + ... + Cnn. n. Xét ( x 2 + 1) ( x + 2 ) = ( x 2 nCn0 + x 2 n − 2Cn1 + x 2 n − 4Cn2 + ... + Cnn )( x nCn0 + x n −1Cn1 + x n − 2Cn2 + ... + Cnn ) D th y: H s c a x3n−3 là: a3n−3 = 23 Cn0Cn3 + 2Cn1Cn1 . T% gi thi t gi i. Cách 2: Ta có:. (. )(. +. +. ). =. +. +. c n = 5.. = ='. −. = ='. ='. − ='. − khi − − = − hay Trong khai tri n trên, lu, th%a c a x là tr ng h p tho mãn i"u ki n này là = ', = ho#c = , = . − V yh s c a là − = ' + Do ó. −. (. = % ⇔. −. )=. +. % ⇔. V y n = 5 là giá tr c n tìm (vì n nguyên d. Bài t p 5: (. + = . Ta ch) có 2. =! & =. ng) 100. d b -2006) Áp d ng khai tri n nh th c ( x 2 + x ) . Ch ng minh r ng: 99. 100. 198. 199. 1 1 1 1 99 100 1 100C − 101C100 + ... − 199C100 + 200C100 =0 2 2 2 2 ý m i s h ng trong $ng th c c n c.m “b t bình th ng”, do 99 100 1 1 1 , 101C100 (ch) s trong và s m là khác nhau, l ch 99) 2 2 0 100. G i ý: 0 100C100. 100. Nh v y, xét: ( x 2 + x ). 100. = x100 . (1 + x ). 0 1 2 100 = x100 . ( C100 + xC100 + x 2C100 + ... + x100C100 ). 0 1 2 100 = x100C100 + x101C100 + x102C100 + ... + x 200C100. L y. o hàm hai v , ta có: ⇔ 100.( x 2 + x ). (x 99. 1 Thay x = − 1 vào (*): 100. − 2 2. 2. 100. + x). /. (*). 0 1 2 100 = ( x100C100 + x101C100 + x102C100 + ... + x 200C100 ). 0 2 100 + 101.x100C100 + ... + 200.x199C100 ( 2 x + 1) = 100.x99C100. 99 0 100. C. 1 + 101. − 2. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 17. 100 2 100. C. 1 + ... + 200. − 2. /. (**). 199 100 C100 =0. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(18) Chuyên. NH TH C NEWTON 1 2. ⇔ 100.. Luy n thi. 99. 1 2. 0 C100 − 101.. 100. 1 2. 2 C100 + ... − 200.. i h c 2013. 199 100 C100 = 0 ( .p.c.m). − % + G i ý: Phân tích: $ng th c c n c.m có d ng tích phân nh ng “h i l ” vì các ch) s c a "u là l ! V n d ng k, thu t c.m trên. 2n Ta xét khai tri n: (1 + x ) = C20n + xC21n + x 2C22n + ... + x 2 nC22nn. Bài t p 6: ( H A- 2007) Ch ng minh r ng:. 1. * L y tích phân:. +. !. +. −. + +. =. 1. 2n. (C. (1 + x ) dx = 0. 0 2n. + xC21n + x 2C22n + ... + x 2 nC22nn ) dx. 0. x 2 1 x3 2 x 2 n+1 n Cn = xC + C2 n + C2 n + ... + 2 3 2n + 1. 2. 0 2n. +. Suy ra. '. c:. +. 1. * L y tích phân:. (1 + x ). +. 2n. +. + +. =. +. 1. − +. " $. 1. (C. dx =. −1. 0 2n. + xC21n + x 2C22n + ... + x 2 nC22nn ) dx. −1. x 2 1 x3 2 x 2 n +1 n = xC + C2 n + C2 n + ... + Cn 2 3 2n + 1. 1. 0 2n. −1. +. Suy ra. '. c:. + '. ⇔. L y (1)-(2), ta có:. +. + +. + +. + +. !. !. %. + +. !. =. +. + +. =. + −. +. ( =. +. (2). + −. )− +. =. − +. ( .p.c.m). Bài t p 7: Ch ng minh r ng : 1 1 1 1005 1 1 1 + 2 + ... + 2009 = + 1 + ... + 2008 1 0 C2009 C2009 C2009 2009 C2008 C2008 C2008 n! , ta có: k !(n − k )! k !( n + 1 − k )! ( k + 1)!( n − k )! k !( n − k )!( n + 2 )! n + 2 1 1 1 + k +1 = + = = . k Cn +1 Cn+1 ( n + 1)! ( n + 1)! n + 1 Cnk ( n + 1)!. G i ý: S! d ng công th c tính Cnk =. 1 n +1 1 1 = . k + k +1 (*) k Cn n + 2 Cn +1 Cn +1 Áp d ng (*) v i k = 0,1, 2..., 2008, n = 2008 ta. V y. 1 C. 0 2008. C. 1 2008. 1. =. 2009 1 1 . 0 + 1 2010 C2009 C2009. =. 2009 1 1 . 1 + 2 2010 C2009 C2009. c:. ..... Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 18. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(19) Chuyên. NH TH C NEWTON 1 C. 2008 2008. =. Luy n thi. i h c 2013. 2009 1 1 . 2008 + 2009 2010 C2009 C2009. 0 2009 C ng theo v các $ng th c trên và chú ý r ng: C2009 = C2009 = 1 , ta suy ra:. Bài t p 8: Ch ng minh r ng : Cn2 + 2Cn3 + 3Cn4 + ... + ( n − 1)Cnn = (n − 2)2n −1 + 1 n. G i ý: Xét khai tri n: (1 + x ) = Cn0 + xCn1 + x 2Cn2 + ... + x nCnn (*) Thay (*) x = 1: Cn0 + xCn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n (1) L y. o hàm (*): n (1 + x ). n −1. = Cn1 + 2 xCn2 + ... + nx n −1Cnn (**). Thay (**) x = 1: Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 ... + nCnn = n 2n −1 (2) L y (2) tr% (1) v theo v , ta có: n 2n −1 − 2n = Cn2 + 2Cn3 ... + (n − 1)Cnn − 1 Cn2 + 2Cn3 + 3Cn4 + ... + (n − 1)Cnn = ( n − 2)2n−1 + 1 ( .p.c.m) 1. n. Bài t p 9: Tích phân : I = x 2 (1 + x3 ) dx 0. 1 0 1 1 1 2 1 2n +1 − 1 Cn + Cn + Cn + ... + Cnn = 3 6 9 3n + 3 3 ( n + 1). Ch ng minh r ng:. i bi n s : u = 1 + x3 , ta có: I =. G i ý:. 2n +1 − 1 3 ( n + 1). n. M#t khác ta có: (1 + x 3 ) = C n0 + C n2 x 3 + C n3 x 6 + ... + C nn x 3 n . Nhân hai v cho x 2 . L y tích phân hai v . Suy ra y.c.b.t. Bài t p 10: 3= −. −. +. ). −. =!. (. −. ). −. :. I&. (. +. −. −. 3=. −. +. 5 01 ). =!. G4. ' , /. 5. −. )(. −. % −. ) =!. ⇔. 01 ; ? 3. 3=. − −. '⇔ !. =. &. Bài t p 11: .J. +. 3. ≥. ⇔. −. −. −. +. 67 *89 $ E F 34. =!. −. −. '. =. " n (5 01 ? 5 G i ý: .H. (. D. −. −. ='⇔. −. −. '⇔. =. 5. ;. +. =& =− = ⇔. =. (. −. ). (. −. ). G i ý: +. (. −. ). = %. '. +. (. −. )+. (. −. ). +. %. −. ). +. +. !. '. (. −. ). &. % + % ( − ) + & ( − ) + ( − ) E# ; ? 3 01 ) K + 9 , G# ; ? 3 :#6 ? L 3 01 ) , ! 01 89 A 63 = % + &' =. Bài t p 12: ./. (. 01. 67 *89. 01 ) (5. 1 (. 9 @. '. 0. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 19. CLB Giáo viên tr TP Hu. !.

(20) Chuyên. NH TH C NEWTON +. ". −. G i ý: . R26 ) 5 ( + )( +. . 6 . S. (. +. ). F =. #O +. ). +. +. Q 5. ( (. ⇔. +. +. +. +. (5 01 M NO. +. +. +. +. +. +. +(. +. +. + ) + − ). (. ). +. J. ;. (. O P. +. +. +. + ) + ( + ). O P. (. =. = ''!. +. (∀. +. (. + +. ). ∈. + +. ). +. 67 *89 , +. +. ) ). %. =. ). −. +(. +. ). ∈. (5. L. =. +. NO #O. ;. Q$. +. (. Suy ra:. =−. + +. (∀. +. =. +. :/. =. %. =!. − !='⇔. Bài t p 13: .J. #O. + +. +. ) +. " (5 01. =. +. .. ≥. +. +. +. +. ). +. i h c 2013. Q$. − + + + − + = ''! = '' + T = + 3D ; G = ( + ). G i ý: U. ⇔. +. +. +(. +. +. +. Bài t p 13: .J. O P. O P. '. +. −. +. ;. =. +. =− , F. E F 34. +. +. (5 01 M NO. Luy n thi. (. ∈. −. +. +. I!. =. % -. 7. !. +. + T! = %. *. 67 *89. ). '. .H. '. 34. G i ý: .. (. =−. −. ). −. +. *" −. %. $=−. (. ). −. "− $ ( +. (. +. ). + '. +. '. =. ). =. (. ). +. VB +. "− $. =. * =. "− $. ='. '. .H. +. '. * =. "− $. ='. '. +. ='. "− $. = ='. (. +. O. Bài t p 13:. +. G i ý: WX J O P −( − ) * = '. (. + +. −. +. +. +. + "− $. −. +. )*. −. +. =. −. +. +. +. +. +. −. "− $. −. (). '. VB , B = − , −" − $ − − * = " − $* = − * = − − ' ' ' .H " $ 5 " $ O Bài t p 13: Tính M. =. "− $. =. '. −. (. −. )*. = +. + +. +. ( ). '. +. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. + +. −. 20. +. '. −. CLB Giáo viên tr TP Hu. ).

(21) Chuyên NH TH C NEWTON G i ý: . S D Y 9 / ' − + − + ( − ) =. Luy n thi. (. )=. −. '. −. +. −. i h c 2013 +. −. '. (. ). −. '. * =. −. +. −. +. =. '. −. +. −. >. +. − = ' Bài t p 14: ( H Bách Khoa Hà N i, 1999) Cho n là s t nhiên l n h n 2, tính t ng : =. −. +. −. '. '. −. '. =. '. + "− $ −. +. G i ý: Cách 1: (S d ng k t qu ví d 1) Áp d ng k t qu ví d 1 ta có: '. =. −. −. =−. "− $ −. −. = "− $ −. − −. C ng theo v các $ng th c trên ta =. (. =. ' −. − −. Cách 2: (S d ng Xét khai tri n ( + Ch n. −. +. −. −. o hàm) ) = '+. " − $. =−. +. −. =. c + (−. −. +. +. + "− $. −. +. +. −. −. )= (. − −. (. +. ). − +. ). −. −. =' =. +. +. −. +. . V y: S = 0.. + "− $. +. Z. ). Bài t p 15: ( HDL Duy Tân, kh i A, 2001) Tính t ng sau :. '. =. +. +. +. +. +. +. G i ý: Cách 1( S d ng k t qu ví d 1) Áp d ng k t qu :. =. Thay. . Ta có:. = ', , , ,. − −. '. =. = =. '. +. +. +. +. =" + $. +. +. +. +. +. ⇔. =. +. + +. +. +. +. =. +. =. + +. ⇔" + $. +. + +. =. +. Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 21. +. (. +. +. +. +. +. +. +. + +. ). CLB Giáo viên tr TP Hu. '.

(22) Chuyên. NH TH C NEWTON. (. =. +. ). V y. (. =. ). +. (. * =. '. '. +. +. i h c 2013. ). +. − + + Cách 2:(S d ng tích phân) Xét khai tri n: " + $ =. (. −. Luy n thi. +. +. '. +. +. +. +. +. )*. +. '. Ta có:. (. ). +. ( =. *. +. +. =. +. ' +. ). +. '. − = +. '. '. =. +. +. +. +. +. +. Bài t p 16: Ch ng minh r ng : G i ý: .. (. − +. +. Y P. F. R26 ). 5. ). '. =. +. +. 8N. (. F. '. + +. +. ). + '. 8N. + +. +. '. .V y. + +. +. +. +. +. +. = −. " + − $ + +" + $ − =" + $. + '. =. +. + +. +. +. +. +. +" + $. +. = " + $ −. =" + $ " . 6 = ,. Cách khác:. 8N. (. +. R26 ). 5. F [. ) '. . 6 "-$ =. '. '. = +. "-$. +. . 6 "--$ =. +. +. +. + F. +. + +. + +. +. 8N. +. −. +. −. +" + $. −. +" + $. + + $ =" + $. −. "-$. + " $. = +. +. −. + −. =. −. +. = " + $. −. "--$. " $. − R26 " $ + " $ ' + + + + + +" + $ − =" + $ − Bài t p 17: thi HSG Toán 12 Th,a Thiên Hu 2012-2013: 1 2 3 2013 Ch ng minh r ng: A = 12 C2013 + 22 C2013 + 32 C2013 + ... + 20132 C2013 chia h t cho 22012. Bài gi i: #t f ( x ) = (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n n. f / ( x ) = n (1 + x ). n −1. = Cn1 + 2Cn2 x + ... + nCnn x n−1 (*). Nhân hai v c a (*) v i x , ta có: h ( x ) = nx (1 + x ) h / ( x ) = n ( n − 1)(1 + x ). n−2. x + (1 + x ). n −1. n −1. = xCn1 + 2Cn2 x 2 + ... + nCnn x n. = Cn1 + 22 Cn2 + ... + n 2Cnn. Ch n x = 1, n = 2013 , ta có: 1 2 3 2013 12 C2013 + 22 C2013 + 32 C2013 + ... + 20132 C2013 = 2013. 2012.22011 + 22012. = 2013.22011 ( 2012 + 2 ) = 2013.2014.22011 = ( 2013.1007 ) .22012. V y A = ( 2013.1007 ) .22012 22012 ( .p.c.m). Giáo viên: LÊ BÁ B O---0935.785.115---. 22. CLB Giáo viên tr TP Hu.

(23)

Chuyen de Nhi thuc Newton 2013

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về