De HDC HSG Toan 8 1213 Que Son

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND H. QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT. KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề). ĐỀ CHÍNH THỨC. Bài 1 (2.5 điểm): a) Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab  bc  ca 0 . 2 b) Cho f ( x)  ax  bx  c với a, b, c là các số thỏa mãn: 13a  b  2c 0 .. Chứng tỏ rằng: f ( 2). f (3) 0 . 2 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  x  y  xy  x  y  1. Bài 2 (2.0 điểm): Giải các phương trình sau: x 1 x 2 x 3 x 4    2013 2012 2011 2010 a). 3 3 3 b) (2 x  5)  ( x  2) ( x  3). Bài 3 (2.5 điểm): Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Hạ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD. a) Chứng minh DE ^ CF. b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Bài 4 (2.0 điểm): Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD. Chứng minh : a) ABC đồng dạng với  HCG 2 b) AC AB.AG  AD.AH. Bài 5 (1.0 điểm): n n n n n Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì: 5 (5  1)  6 (3  2 )  91.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT. KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề). HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1(2.5 điểm):. Có: a2 + b2  2ab; a2 + c2  2ac; b2 + c2  2ac Cộng được: 2a2 + 2b2 + 2c2  2ab + 2ac + 2bc 2. 2. 0,25. 2.  a + b + c  ab + ac + bc (1) 2 2 2 a + b + c = 0  a + b + c +2ab + 2ac + 2bc = 0. 0,25.  -a2 – b2 – c2 =2ab + 2ac + 2bc (2) Cộng (1) với (2) được 3ab + 3ac + 3bc  0  ab + bc + ca  0. 0,25. f(-2) = 4a – 2b + c; f(3) = 9a + 3b + c Có f(-2) + f(3) = 13a + b + 2c = 0 nên:. 0,25. Hoặc: f(-2) = 0 và f(3) = 0  f(-2).f(3) = 0. (1). Hoặc: f(-2) và f(3) là hai số đối nhau  f(-2).f(3) < 0 Từ (1) và (2) được f ( 2). f (3) 0. (2). 0,25 0,25. 4M 4x 2  4y 2  4xy  4x  4y  4 (2x  y  1) 2  3y2  2y  3 2 1 8 (2x  y  1) 2  3(y 2  y  )  3 9 3 1 8 (2x  y  1) 2  3(y  ) 2  3 3 8 1 2 y  3 ; x = 3 nên Giá trị nhỏ nhất của 4M là 3 tại 2 1 2 y  3; x = 3. Giá trị nhỏ nhất của M là 3 tại. Bài 2(2.0 điểm):. 0,50. 0,50.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x 1 x 2 x 4 x 3  1  1  1 1 2013 2012 2010 2011 x  1 2013 x  2 2012 x  4 2010 x  3 2011         2013 2013 2012 2012 2010 2010 2011 2011 x  2014 x  2014 x  2014 x  2014     2013 2012 2010 2011 1 1 1   1  (x  2014)      0  2013 2012 2010 2011  1 1 1 1    Do 2013 2012 2010 2011  0 nên phương trình có nghiệm x = 2014 . Đặt 2x - 5 = a; x - 2 = b  a - b = x -3 Phương trình đã cho trở thành: a3 - b3 = (a - b)3 (a-b) (a2 + ab + b2 ) = (a-b)(a2 -2ab + b2) (a-b)( a2 + ab + b2 - a2 +2ab - b2) = 0 3ab(a-b) = 0 5 x 2 ; b = 0  x = 2; a = b  x = 3 a=0. 0,25. 0,25. 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25. Bài 5 (1.0 điểm): n n n n n n n n n A = 5 (5  1)  6 (3  2 ) 25  5  18  12 n n n n A (25  18 )  (12  5 ) . A chia hết cho 7. 0,25. n n n n A (25  12 )  (18  5 ) . A chia hết cho 13 Do (13,7) =1 nên A chia hết cho 91. 0,25 0,25. 0,25. Bài 3 (2.5 điểm):. Chứng tỏ được AE = DF (Cùng bằng MF)   Chứng tỏ được CDF = DAE  FCD  EDA. 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>     Có EDA và EDC phụ nhau  ECD và EDA phụ nhau hay CF^ DE. 0,25. Tương tự có CE ^ BF Chứng minh được CM ^ EF:. 0,25. Gọi G là giao điểm của FM và BC; H là giao điểm của CM và EF.   MCG  EFM (Hai HCN bằng nhau)     CMG  FMH (Đối đỉnh)  MHF  MGC = 900 CM, FB, ED là ba đường cao của tam giác CEF nên chúng đồng quy 2 AE  ME   AE.ME  4 (AE - ME)2 0 nên (AE + ME)2  4AE.ME  AB2  SAEMF  4 . Do AB = const nên SAEMF lớn nhất khi AE = ME.. 0,50. 0,25 0,25. 0,50. Lúc đó M là trung điểm của BD. Bài 4 (2.0 điểm): Chứng tỏ được: CBG đồng dạng với CDH. CG BC BC    CH DC BA    ABC  HCG (Cùng bù với BAD )  ABC đồng dạng với HCG. 0,25 0,25 0,50. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D trên AC. AF AD   AF.AC AD.AH AFD đồng dạng AHC: AH AC AE AB   AE.AC AG.AB AEB đồng dạng AGC: AG AC Cộng được: AF.AC + AE.AC = AD.AH+AG.AB AC(AF+AE) = AD.AH+AG.AB Chứng tỏ được AE = FC. Thay được: AC(AF+FC) = AD.AH+AG.AB  AC2 = AD.AH+AG.AB. 0,25. 0,25 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>