phuong trinh duong thang di qua hai diem cuc tri cua ham bac ba

BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM
CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC BA
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
MƠN TỐN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN CƠNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM
A. LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP
1. Phương pháp tổng quát
2
f  x   ax3  bx
 cx  CHÍNH
d  a  0  . – GV TUYENSINH247.COM
Xét hàm đaTHẦY
thức bậcGIÁO:
ba y  NGUYỄN
CƠNG

+ Ta có: y '  3ax 2  2bx  c,  ' y '  b 2  3ac  0 .

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG
 2c– GV

b 
2b 2 TUYENSINH247.COM
bc 
 x CHÍNH


+ Thực hiện phép chia y cho y ' ta được: y     y '  
xd  
9a 
 3 9a 


 3 9a 
Hay y  y '.q  x   r  x  với bậc r  x   1 .
+ Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  là điểm cực trị của đồ thị.

 y1  r  x1 
 y '  x1   0
Do 
nên 
.
 y2  r  x2 
 y '  x2   0
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y  r  x  .

 2c 2b2  
bc 
Với công thức giải nhanh tổng quát: y   
 x d   .
9a 
 3 9a  

bc 
 2 '  
Hay y   
 x d   .
9a 
 9a  
Ngồi ra ta có thể tìm tọa độ A, B và thay vào phương trình y  ax  b .
2. Phương pháp khác
Nếu tọa đọ các điểm cực trị A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  tính được dễ dàng, khơng chứa tham số thì:

+ Dạng đại số: Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng y  ax  b , thay tọa độ các điểm và giải hệ phương
trình tìm a, b .

1

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


+ Dạng phương trình chính tắc:

x  xA
y  yA
.

xB  x A y B  y A

…
3. Một số kiến thức và dạng bài thường gặp
Gọi phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là AB, d cho trước:
+ AB song song d  k AB  kd , b  b ' .
+ AB vng góc d  k AB  

1
.
kd

+ AB tạo với trục Ox một góc   k AB   tan  .
+ AB tạo với d một góc   tan  

k AB  kd

.
k AB  k AB .kd

+ ABC có diện tích S với C cho trước: SABC 

1
AB.d  C; AB  .
2

+ A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước
 AB  d
Gọi I là trung điểm AB, khi đó 
.
I  d

+ A, B cách đều đường thẳng  cho trước d  A;    d  B;   .
+ Hệ thức liên quan yCD , yCT ta sử dụng y của AB.
+ Khoảng cách AB max hoặc min, ta sử dụng phương pháp hàm số, đánh giá…
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1: Cho hàm số y  x3  3x 2  9 x  1 . Viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
trên.
A. y  8x  2

B. y  8x  2

C. y  8x  2

D. y  8x  2

Giải

Cách 1: Ta có y '  3x 2  6 x  9 .

2

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


 x  1  y  6  A  1;6 
+ y'  0  
.
 x  3  y  26  B  3; 26 
+ Gọi phương trình đường thẳng AB: y  ax  b . Thay A, B ta có hệ phương trình:
a  b  6
a  8

 y  8 x  2 .

3a  b  26 b  2

Chọn B.
Cách 2: y '  3x 2  6 x  9
2
x3  3x 2  9 x  1 3x  6 x  9
 3
1
1
x  2 x 2  3x
x
3
3

 x2  6 x  1

 x2  2 x  3
 8x  2

1
1
+ Ta có y   x   y ' 8 x  2 .
3
3

+ Gọi M  x0 ; y0 


1
1
 y0   x0   y ' 8 x0  2
3
là điểm cực trị thì 
 y0  8 x0  2 .
3
 y ' x   0
0


+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT: y  8x  2 .
Chọn B.
Cách 3: Sử dụng công thức giải nhanh

 2c 2b 2  

bc 
y  
 x d  
9a 
 3 9a  
 2.  9  2.9 
27
y 

 8 x  2
 x 1
9 
9
 3
+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT: y  8x  2 .
Chọn B.

3

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


Câu 2: Biết đồ thị hàm số y  x3  3x  1 có hai điểm cực trị A, B và phương trình đường thẳng AB có dạng
y  ax  b . Tính giá trị S  a  b .
B. S  0

A. S  1

C. S  1

D. S  2

Giải
Cách 1: Ta có y '  3x 2  3 .

 x  1  y  3  A  1;3
+ y'  0  
.
x

1

y


1

B
1;

1



+ Gọi phương trình đường thẳng AB: y  ax  b . Thay A, B ta có hệ phương trình:
a  b  3 a  2

 S  1 .

a  b  1 b  1

Chọn C.
Cách 2: y '  3x 2  3

1 
+ Ta có y   x  y ' 2 x  1.
3 

+ Gọi M  x0 ; y0 


1 
 y0   x0  y ' 2 x0  1
là điểm cực trị thì 
 y0  2 x0  1 .
3 
 y ' x   0
0


+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT: y  2 x  1 .

S  2  1  1 .
Chọn C.
Cách 3: Sử dụng công thức giải nhanh

 2c 2b 2  
bc 
y  
 x d  

9a 
 3 9a  
 2.  3

y 
 0  x  1  0  2 x  1
 3

+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT: y  2 x  1 .

4

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


S  2  1  1 .
Chọn C.
Câu 3: Biết đồ thị hàm số y   x3  3x 2  1 có hai điểm cực trị A, B. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng AB?
A. M  3;5 

B. N  1;3

C. P  0;1

D. Q 1; 1

Giải
Cách 1: Ta có y '  3x 2  6 x .

 x  0  y  1  A  0; 1

+ y'  0  
.
 x  2  y  3  B  2;3
+ Gọi phương trình đường thẳng AB: y  ax  b . Thay A, B ta có hệ phương trình:
b  1
a  2

 y  2 x  1.

2a  b  3 b  1

Chọn A.
Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh

 2c 2b 2  
bc 
y 
 x d  
9a 
 3 9a  
2.9 

y  0
 x   1  0   2 x  1
9 

+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT: y  2 x  1, M  AB .
Chọn A.
Câu 4: Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x3  x  m đi qua
điểm M  3; 1 ?

A. m  1

B. m  1

C. m  3

D. m  3

Giải
Cách 1: Ta có y '  3x 2  1 .
2
1 
Ta có y   x  y ' x  m .
3
3 

5

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


2
+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT: y   x  m  d  .
3
+ M  3; 1  d  2  m  1  m  1 .
Chọn B.
Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh

 2c 2b 2  
bc 

y 
 xd  
9a 
 3 9a  
2
 2
y     x   m  0   x  m
3
 3
+ M  3; 1  d  2  m  1  m  1 .
Chọn B.
Câu 5: Tìm các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y  2 x3  3  m  1 x 2  6m 1  2m  x có các điểm cực đại,
cực tiểu nằm trên d : y  4 x .
 1 
A. m   ;1
 3 

1

B. m  0;1; 
2


1
 1
C. m   ;0;1; 
2
 3

D. m  1

Giải
+ y '  6 x 2  6  m  1 x  6m 1  2m  .
+ y '  0  x 2   m  1 x  m 1  2m   0 .
   m  1  4m 1  2m   9m 2  6m  1   3m  1 .
2

2

1
+ Hàm số có CĐ, CT    0  m  .
3
Sử dụng CTGN phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:

 2c 2b 2  
bc 
y  
 x d  
9a 
 3 9a  
 2.6m 1  2m  2.9.  m  12   3  m  1 6m 1  2m  
y 

x 


 
3
9.1
9.2




y    3m  1 x  m  m  1 2m  1   
2

6

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


2

  3m  1  4
Để các điểm CĐ, CT nằm trên d : y  4 x thì d    
 m  1.
m
m

1
2
m

1

0







Chọn D.
Câu 6: Gọi d là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x3  3x 2  mx  2 . Tìm
các giá trị thực của m để d song song với  : y  4 x  3 .
A. m  3

B. m  3

C. m  2

D. m  9

Giải
+ y '  3x 2  6 x  m .
+ y '  0  3x 2  6 x  m  0 .
+ Hàm số có CĐ, CT    0  9  3m  0  m  3 .
Sử dụng CTGN phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:

 2c 2b 2  
bc 
y 
 x d  
9a 
 3 9a  
 2.  m  2.9  
3m 
y

 x 2


9  
9 
 3
m
 2m
 
y  
 2 x   2   d 
3
 3
 
Do d  : y  4 x  3
 2m
 3  2  4
m  3  tm 


 m  3.
m  3
2  m  3

3

Chọn A.
Câu 7: Gọi d là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x3  3x 2  mx  2 . Tìm
các giá trị thực của m để d cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân.
 9 3 
A. m   ;  ;6 
 2 2 

 3 
B. m   ;6 
 2 

 9 
C. m   ;6 
 2 

 3
D. m   
 2

Giải

7

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


+ y '  3x 2  6 x  m .
+ y '  0  3x 2  6 x  m  0 .
+ Hàm số có CĐ, CT    0  9  3m  0  m  3 .
m
 2m


+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: y   
 2 x   2   d 
3

 3


 m6   m6
;0  , B  0;
+ d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A 
.
3 
 2m  6  

+ OAB cân  OA  OB .


m  6

m6
6m
9


 m  

2m  6
3
2

3
m  

2

3
m  6  A  B (loại), so với điều kiện nhận m   .
2
Chọn D.
Câu 8: Gọi d là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x3  mx 2  7 x  3 . Tính
tổng các giá trị thực của m để d vng góc với  : y  3x  7 .

A.

3 10
2

B. 

3 10
2

C. 0

D. 3 10

Giải
+ y '  3x 2  2mx  7 .
+ y '  0  3x 2  2mx  7  0 .
+ Hàm số có CĐ, CT    0  m2  21  0  m  21 .
+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:
 2.7 2m 2 
7 m   14 2m 2 
27  7 m


y

 x  3
x
 
9 
9   3
9 
9

 3

8

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


 14 2m 2 
45
3 10
2
 21  m  
Do d   : y  3x  7 nên 3  
 tm  .
  1  m 
9 
2
2
 3

Tổng các giá trị m thỏa mãn bằng 0.
Chọn C.
Câu 9: Cho hàm số y  x3  3x 2  m 2 x  m  C  . Tìm giá trị thực của m để  C  có các điểm cực đại, cực tiểu
đối xứng nhau qua  : y 

A. m  0

1
5
x .
2
2
B. m  1

 m  1
C. 
m  0

D. m  1

Giải
+ y '  3x 2  6 x  m2 .
+ y '  0  3x 2  6 x  m2  0 .
+ Hàm số có CĐ, CT    0  9  3m2  0  m  3 .
+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:
 2m 2 2.9 


3m 2   2m 2

m2
y 

x

m



2
x

 m d 


 

9 
9   3
3
 3



+ Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  là các điểm cực trị và I là trung điểm AB, xI 

x1  x2 2
 1.
2
2

+ A, B đối xứng nhau qua   d   tại I.

 2m 2
 1
 2  .  1

k .k  1  3
 2
m  0
 d 


m0
2
2
m
m

1

0
I








2
m
m
1
5



 3  2  .1  3  m  2 .1  2



 tm 

Chọn A.

1
Câu 10: Cho hàm số y  x3  mx 2  x  m  1  C  . Tìm giá trị thực của m để  C  có các điểm cực đại, cực
3
tiểu mà khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.
A. m  1

9

B. m  0
C. m  1
D. m  1
Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!

Giải
+ y '  x 2  2mx  1 .
+   m2  1  0 m nên y '  0 ln có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 hay hàm số ln có 2 điểm cực trị.
+ Phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm cực trị:

 2.  1 2m2  
m
y 

 x   m 1 
3  
3
 3
2
 2m 
y   1  m2  x  
 1  d 
3
 3

+ Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  là các điểm cực trị của  C  .
+ AB 2   x2  x1    y2  y1 
2

2

2
4
2
1  m2   x2  x1 


9
2
2
 4
  x2  x1   4 x1 x2  . 1  1  m 2  

  9

2 
4  52
 4
  4m2  4  1  1  m2   4 1   
 9
  9 9

  x2  x1  
2

 AB 

2 13
2 13
. Vậy min AB 
xảy ra khi m  0 .
3
3

Chọn B.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số y  x3  3x 2  6 x  8 . Viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
trên.
Đáp số: y  6 x  6 .
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng
y   x 3  3mx 2  3 1  m 2  x  m3  m 2  C  .

đi

qua

hai

điểm

cực

trị

của

đồ

thị

hàm

số

Đáp số: y  2 x  m2  m .
Bài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y   x 3  3 x 2  3  m 2  1 x  3m 2  1  C  có các điểm

cực đại, cực tiểu cách đều gốc tọa độ O .

10

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


Giải
TXĐ: D 

.

Ta có: y '  3x 2  6 x  3m2  3 .
Xét y '  0   x 2  2 x  m2  1  0 .
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt   '  0 .
 1  m2  1  0  m2  0  m  0 .

1  m

 x1  1  1  m
Khi đó phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt 
.
 x  1  m  1  m
 2
1
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

 2.3  m2  1
3.3  m2  1 
2.9  

2
 x   3m  1 

y 


3
9.  1  
9.  1 

 

y   2m2  2  2  x   3m2  1  m2  1
y  2m 2 x  2m 2  2  d 
Phương trình đường thẳng đi qua O và vng góc với d là: y  

1
x  m  0   d ' .
2m2

Xét phương trình hồnh độ giao điểm

2m 2 x  2m 2  2  

1
x
2m 2

1 


  2m 2 
x  2m 2  2
2 
2m 

4m 4  1

x  2m 2  2
2
2m
4m 4  4m 2
x
4m 4  1
1 4m 4  4m 2
4m 4  4m 2
 y 2.


2m
4m 4  1
8m6  2m2
 4m 4  4m 2 4m 4  4m 2 
 d d ' I 
; 6

4
8m  2m2 
 4m  1

11

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


Vì A, B cách đều O nên I là trung điểm của AB, do đó ta có: xI 

xA  xB
2

4m 4  4m 2

1
4m 4  1
 4m 4  4m 2  4m 4  1
1
 m2 
4
1
 m    tm 
2

1
Đáp số: m   .
2
Bài 4: Cho hàm số y  x3  3x 2  C  . Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng qua điểm cực trị của  C 
tạo với đường thẳng  : x  my  3  0 một góc  biết cos  
Đáp số: m  2 hoặc m  

4
.

5

2
.
11

Bài 5: Cho hàm số y  x3  3  m  1 x 2  9 x  m  2  C  . Tìm tất cả các giá trị thực của m để  C  có các điểm
cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng  : y 

1
x.
2

Ta có: y '  3x 2  6  m  1 x  9

 y '  0  3x 2  6  m  1 x  9  0
 x 2  2  m  1 x  3  0 *
Hàm số có 2 điểm cực trị  * có hai nghiệm phân biệt   '  0

m  1  3
m  3  1
2
  m  1  3  0  

 m  1   3
 m   3  1
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số là:
 2.9 2.9  m  12 
3  m  1 .9
d: y


x  m 2
 3

9
9


   2m 2  4m  4  x  4m  1.

12

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!






Khi đó ta có hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là: A x1;   2m2  4m  4 x1  4m  1





B x2 ;   2m2  4m  4 x2  4m  1

và

x x


Gọi I là trung điểm của AB  I  1 2 ;   m 2  2m  2   x1  x2   4m  1
 2




 I m  1;   m 2  2m  2  . 2m  2   4m  1
 I  m  1;  2m3  6m 2  4m  5 



Hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng  : y 

1
x
2

 1
2
 2 . 2m  4m  4   1
d  


I  
2m3  6m 2  4m  5  m  1

2

2m  4m  4  2


3
2
4m  12m  8m  10  m  1
2m 2  4m  6  0
 3
2
4m  12m  7m  9  0
m  1

  m  3

 m  1
 m  1  tm 
  m  3, 22

  m  0,67
2

Vậy m  1 thỏa mãn bài toán.
Bài 6: Cho hàm số y   x3  3mx 2  3m  1  C  . Tìm tất cả các giá trị thực của m để  C  có các điểm cực đại,
cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng  : x  8 y  74  0 .
Ta có: y '  3x 2  6mx

 y '  0  3x 2  6mx  0
x  0
 3x  x  2m   0  
 x  2m

 Hàm số có 2 điểm cực trị  2m  0  m  0.

13

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số  A  0;  3m  1 và B  2m; 4m3  3m  1
Gọi I là trung điểm của AB  I  m; 2m3  3m  1
Ta có phương trình đường thẳng AB là: y  

18m2
x  3m  1  2m2 x  3m  1
9

1
37
Ta có: A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng  : x  8 y  74  0  y   x 
8
4
 2  1
m  2
2

 AB  d
2m .  8   1
m  4

 




   m  2  m  2  tm 
3
I  d

m  8. 2m3  3m  1  74  0
16m  23m  82  0
m  2



Vậy m  2 thỏa mãn bài toán.
Bài 7: Tìm tất cả các giá trị thực của m để khoảng cách từ điểm M  0;3 đến đường thẳng nối hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số y  x3  3mx  1  C  bằng

2
.
5

Đáp số: m  1 .
Bài 8: Cho hàm số y  x3  3x 2  mx  m  2  C  . Tìm tất cả các giá trị thực của m để  C  có các điểm cực
đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hồnh.
Ta có: y '  3x 2  6 x  m

 y '  0  3 x 2  6 x  m  0  *
Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị  * có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
   0  9  3m  0  m  3.

Khi đó x1 , x2 là hai điểm cực trị của hàm số đã cho.
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số đã cho là:

3m
2m  6
2m  6
 2m 2.9 
d: y


x
x  m 2
9 
9
3
3
 3

2m  6 
2m  6
2m  6 
 2m  6

x1 
x2 
 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là: A  x1;
 và B  x2 ;

3
3 
3
3 




14

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


Hai điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành  y1 y2  0

2m  6  2m  6
2m  6 
 2m  6

x1 
x2 

0
3  3
3 
 3
 2m  6 
 2m  6 
 2m  6 

 x1 x2  
  x1  x2   
 0
 3 
 3 
 3 

2


 2m  6 
 x1 x2   x1  x2   1  0  do 
 0



 3 


m
m
  2 1 0  1  m  3
3
3
2

2

2

Vậy m  3 thỏa mãn bài toán.
Bài 9: Cho hàm số y   x3  3x 2  3  m 2  1 x  3m 2  1  C  . Tìm tất cả các giá trị thực của m để  C  có các
điểm cực trị A, B tạo thành OAB vuông tại O với O là gốc tọa độ.
TXĐ: D 

.

Ta có: y '  3 x 2  6 x  3  m 2  1
Cho y '  0  x 2  2 x  m2  1  0 .
Để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị thì phương trình y '  0 phải có 2 nghiệm phân biệt.
  '  1  m2  1  m2  0  m  0 .

 x1  1  m  y  2m3  2
Khi đó phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt 
.
3
 x2  1  m  y2  2m  2

 Đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị là: A 1  m; 2m3  2  ; B 1  m; 2m3  2  .
Ta có: OA 1  m; 2m3  2  ; OB 1  m; 2m3  2  .
Để tam giác OAB vng tại O thì OAOB
.  0.

15

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


 1  m 1  m    2m3  2  2m3  2   0
 1  m 2  4  m3  1 m3  1  0
 1  m 2  4  m  1 m  1  m 2  m  1 m 2  m  1  0
 1  m 2   4 1  m 2  m 2  m  1 m 2  m  1  0
 1  m 2  1  4  m 2  m  1 m 2  m  1   0
 m  1
Do 1  4  m 2  m  1 m 2  m  1  0 m .
Vậy m  1 .
Bài 10: Cho hàm số y  x3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x  12m  8  C  . Tìm tất cả các giá trị thực của m để  C 

có các điểm cực đại, cực tiểu là A, B sao cho  MA  MB  nhỏ nhất với M  3; 2  .
Ta có: y '  3x 2  6  m  1 x  3m  m  2   3x 2  6  m  1 x  3m 2  6m

 y '  0  3x 2  6  m  1  3m2  6m  0  x 2  2  m  1 x  m2  2m  0 *
Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị  * có 2 nghiệm phân biệt
  '  0   m  1  m 2  2m  0  1  0 m
2

 Hàm số đã cho có hai điểm cực trị với mọi m.
Gọi A  x1; y1  và B  x2 ; y2  là hai điểm cực trị của hàm số đã cho.

2
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A, B là: y   x  m3  3m2  10m  8
9
Ta có: MA  MB  AB  Min  MA  MB   AB  M  AB

2
 2   .3  m3  3m 2  10m  8
9
 6  2  m3  3m 2  10m  8
 m3  3m 2  10m  0
 m  m  2  m  5   0
m  0
m  0

  m  2  0   m  2
 m  5  0
 m  5

16

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


Vậy với m  5; 0; 2 thỏa mãn bài toán.

17

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!