Ảnh hưởng của môi trường khếch đại lên sự rút ngắn xung khi lan truyền trong buồng cộng hưởng vòng

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học Vinh

Trần thọ quang

ảnh hởng của môi trờng khuếch đại lên sự rút
ngắn xung khi lan truyền trong
buồng cộng hởng vòng

Chuyên ngành: Quang học

luận văn thạc sĩ vật lí

Ngời hớng dẫn khoa học:
TS. trần mạnh hùng

Vinh - 2009

1


Mục lục
Mở đầu3
Chơng I. Lý thuyết cơ bản để khảo sát xung cực
ngắn...................................................................................6
1.1. Lý thuyết bán lợng tử về Laser....6
1.2. Phơng trình ma trận mật độ.................................................................9
1.3. Hệ phơng trình tốc độ rút gọn với xung bơm dạng Gauss.................14
Chơng II. ảnh hởng của môi trờng khuếch đại
lên sự biến dạng xung của các dạng xung vào khác
nhau trong buồng cộng hởng vòng .........22

2.1.Cấu trúc buồng cộng hởng vòng ...............22
2.2.Sự tơng tác của môi trờng hoạt chất và trờng tia laser khi
điều kiện bơm không đổi...............24
2.3. Các dạng xung vào khác nhau khi đi qua môi trờng khuếch đại..27
2.3.1 Trờng hợp xung vào dạng secant-hyperbole...........28
2.3.2 Trờng hợp xung vào dạng Gauss... .....................29
2.3.3 Trờng hợp xung vào dạng Lorentz...........31
2.4. So sánh sự biến dạng xung của các dạng xung vào khác nhau khi
đi qua môi trờng khuếch đại.......... .32
Kết luận chung...............................................................................37

2


Lời cảm ơn
Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn TS Trần Mạnh Hùng vì những
giúp đỡ mà thầy đà giành cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu
vừa qua. Thầy đà định hớng nghiên cứu, cung cấp các tài liệu quan
trọng và nhiều lần thảo luận, chỉ dẫn cho tác giả các vấn đề khó khăn
gặp phải.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo trong
khoa vật lý, cùng nhóm các bạn học viên chuyên ngành Quang học
khoá Cao học 15 trừờng Đại học Vinh, đà nhiệt tình giảng dạy, giúp
đỡ tác giả trong quá trình học tập chơng trình Cao học và đà có những
thảo luận khoa học thích đáng về vấn đề luận văn quan tâm.
Tác giả cũng xin đợc gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu và Ban
chủ nhiệm khoa Sau đại học Trờng Đại học Vinh vì những quan
tâm giúp đỡ, tạo những điều kiện tốt cho việc đi lại, học tập của tác
giả đợc thuận tiện.

Tác giả xin cảm ơn BGH trờng THPT Phan Đình Phùng, đÃ
tạo diều kiện tốt nhất trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả cảm ơn những quan tâm, chăm sóc và động viên của gia
đình trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đà qua.
Cuối cùng, xin gửi đến các thầy giáo, bạn hữu và ngời thân lòng
biết ơn chân thành cùng lời chúc sức khỏe và thành công trong cuộc
sống.
Vinh, tháng 10 năm 2009

3


Mở đầu
Ngày nay, xung cực ngắn có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
khoa học và kĩ thuật, đặc biệt là trong thông tin quang thờng đợc dùng ánh
sáng có xung cực ngắn để tăng tốc độ truyền dẫn thông tin. Xung càng ngắn
thì tốc độ truyền dẫn thông tin càng cao. Vì vậy, nghiên cứu lí thuyết cũng
nh thực nghiệm để phát và truyền dẫn xung cực ngắn là vấn đề mang tính
thời sự.
Trên cơ sở các kết quả thực nghiệm của các nhà khoa học, chúng tôi
nhận thấy rằng để phát xung cực ngắn, hiện tại, các nhà thực nghiệm dùng
phơng pháp đồng bộ mode (khoá mode). Có hai phơng pháp đồng bộ mode
đó là đồng bộ mode chủ động và đồng bộ mode thụ động. Ưu ®iĨm cđa kho¸
mode thơ ®éng so víi kho¸ mode chđ động là không cần sự đồng bộ của các
thiết bị ngoại vi và độ nhạy của sự biến điệu là cao hơn, vì thế cho phép tạo
ra những xung cực ngắn và ổn định hơn. Với buồng cộng hởng vòng sử dụng
phơng pháp khoá mode thụ động bằng va chạm xung thì ảnh hởng của sự
biến điệu thụ động là rõ ràng hơn, đó là nhờ sự tơng tác của các xung trong
chất hấp thụ bÃo hòa, vì vậy, buồng cộng hởng này đợc sử dụng rất rộng rÃi.
Về lí thuyết, để giải thích cơ chế tạo ra xung cực ngắn trong các

buồng cộng hởng, hiện nay lí thuyết bán lợng tử đà đợc áp dụng rộng rÃi.
Với lí thuyết bán lợng tử thì trờng điện từ đợc khảo sát theo quan điểm cổ
điển còn hệ nguyên tử đợc khảo sát theo quan điểm lợng tử. Việc ứng dụng
4


lý thuyết bán lợng tử để nghiên cứu các yếu tố ảnh hởng đến sự phát xung
cực ngắn bằng buồng cộng hởng laser màu dạng vòng khoá mode thụ động
là cần thiết.
Một số tác giả trên thế giới đà tập trung nghiên cứu ảnh hởng của
chiều dài buồng cộng hởng, chiều dài chất hấp thụ, khuếch đại và chỉ xét
cho xung vào dạng Gauss, cũng nh ảnh hởng của các yếu tố khác đặt trong
buồng cộng hởng. Tuy nhiên, còn một vấn đề là ảnh hởng của môi trờng
khuếch đại lên sự rút ngắn xung của các dạng xung vào khác nhau nh dạng
Gauss, dạng Lorent, dạng Secant - Hyperbol khi lan truyền trong buồng
cộng hởng này thì cha đợc khảo sát.
Đề tài luận văn: ảnh hởng của môi trờng khuếch đại lên sự rút
ngắn xung khi lan truyền trong buồng cộng hởng vòng sẽ tập trung
nghiên cứu vấn đề này.
Nội dung của luận văn đợc trình bày với bố cục gồm: Mở đầu, hai
chơng nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.
Mở đầu: Trình bày tóm tắt lí do chọn đề tài nghiên cứu.
Chơng I : Lý thuyết cơ bản để khảo sát xung cực ngắn
Tập trung tìm hiểu một số lý thuyết cơ bản thờng đợc sử dụng cho khảo
sát các vấn đề liên quan đến sự biến dạng xung cực ngắn khi lan truyền
trong môi trờng phi tuyến
Chơng II: ảnh hởng của môi trờng khuếch đại lên sự biến dạng xung
của các dạng xung vào khác nhau trong buồng cộng hởng vòng .

5

Nghiên cứu tơng tác của môi trờng hoạt chất và trờng tia laser khi điều
kiện bơm không đổi.
Từ đó lần lợt khảo sát ảnh hởng của môi trờng khuếch đại lên sự biến
dạng xung của ba trờng hợp xung vào khác nhau: dạng Gauss, dạng
Secant- Hyperbol, dạng Lorentz

Chơng i
Lý thuyết cơ bản để khảo sát xung cực ngắn

6


Trong chơng này chúng tôi tìm hiểu một số lý thuyết cơ bản thờng đợc sử
dụng cho khảo sát các vấn đề liên quan đến sự biến dạng xung cực ngắn khi
lan truyền trong môi trờng phi tuyến .Từ đó chúng tôi tính toán lý thuyết để
thu đợc biểu thức tổng quát cho dạng xung ra khi xung đi qua môi trờng
khuếch đại.
1.1. Lý thuyết bán lợng tử về Laser
Lý thuyết bán lợng tử hay còn gọi là lý thuyết bán cổ điển về Laser đợc
sử dụng khá phổ biến trong nghiên cứu laser. Nó cho phép hiểu đợc nhiều
hiện tợng của laser trên cơ sở lí luận đơn giản. Theo thuyết này trờng tơng
tác với hệ nguyên tử có hai mức năng lợng mô tả bằng các đại lợng


E, H

tuân theo cặp phơng trình Maxwell, còn sự dịch chuyển trong nội nguyên tử
tuân theo các định luật cơ học lợng tử. Khi trong môi trờng xuất hiện một trờng bức xạ nào đó , nó sẽ làm xuất hiện các lỡng cực điện cảm ứng trong

môi trờng . Bằng cách sử phơng pháp ma trận mật độ ngời ta có thể thực
hiện lấy tổng thống kê để tính độ phân cực của môi trờng


P ( r,t

). Chính

độ phân cực này tác động nh một nguồn trong các phơng trình Maxwell

Trờng trong buồng cộng hởng laser tuân theo cặp phơng trình Maxwell tổng
quát , ở trong hệ đơn vị MKS , cặp phơng trình đó có dạng :
rot


E

=



B

t

,

7

div

D

=0


rot

D

Với


H

=

=


J


E



D

t

+
+


P

,

B

,

div
=à


H


B

=0

,


J

=

Điện trờng trong môi trờng quang học với độ thẩm từ môi


E
à =1

và độ dẫn

điện L = 0 tuân theo phơng trình sóng :

E

rot rot

+


1 2 E
c 2 t 2


2 P
= - à0 2
t

(1.1)

Dới tác động của điện trờng ngoài, các phân tử của môi trờng sẽ xuất hiện

mô men lỡng cực , môi trờng sẽ trở thành phân cực. Sự phân cực của môi trờng phụ thuộc vào ®iÖn trêng:




P( t ) = P L ( t ) + P t ( t )

Cã thĨ viÕt :
trong ®ã

P t (t )


P L (t )

( )


 
P =P E

(1.2)

phô thuộc tuyến tính vào cờng độ trờng


Để biến đổi Fourier
điện trêng



E (ω
)


P L (ω)

tõ


P L (t )

cã thĨ th«ng qua biÕn ®ỉi Fourier cđa

:



P L (ω) = ε 0 [ε () 1] E ( )

()



bao gồm cả phần cộng hởng tuyến tính P LR và phần phi tuyến P NL

(1.3)

là độ thẩm điện môi quang học tuyến tính

Điện trờng

E

thông thờng là sự chồng chập của những sóng phẳng đơn sắc

khác nhau, víi bng céng hëng vßng :

E



= ∑El
l

=


 
1
∑Al ( r , t )el e i (ωl t −kl r ) + c.c
2 l

8

(1.4)


Với dạng hàm trờng này chúng ta có thể chọn độ phân cực của môi trờng dới
dạng sau :

1

P = ∑Pl ( r , t )el' e i (ωl t −kl r ) + c.c
2 l

(1.5)

thay (1.4) vµ (1.5) vào phơng trình sóng (1.1) và bỏ qua đạo hàm bậc hai
theo toạ độ và thời gian vì sự thay đổi nhỏ của hàm biên độ



Al ( r , t ), Pl ( r , t ) ,

đó là :
2 Al
Al 2 Al
Al
<< k l
;
<< l
2
2
z
t
z
t

Đối với biên độ

Al

sẽ cã (khi

 
el = el' ) :

 2
∂Al  2 ω l2 
2iω ∂A
∂P ∂ 2 P
1 ∂ 2 Al ∂ 2 Al
 k l − 2  Al + 2 l l + 2
 ω l Pl − 2iω l l − 2 l
2ik l
+
− 2 = µ0 
∂z
t
c
c t c t 2
z
t





(1.6)

Để phù hợp với (1.2) , ta tách sự phân cực thành các thành phần tuyến tính
và phi tuyến bằng cách khai triển () ở tại sau đó đặt khai triển này
l
vào (1.3) và biến đổi trở về biểu diễn theo thời gian ta thu đợc :
1 d 2 2 Al ( z , t )
 dχ  ∂

Pl L ( z , t ) = ε 0 χ ( ωl ) Al ( z , t ) − iε 0 
Al ( z , t ) − ε 0 

2  dω 2 ω
∂t 2
 dω ωl ∂t

 l

(1.7)

ở đây đà dựa vào độ cảm tuyến tính : χ ( ω ) = ( ε ( ω ) 1) . Những đại lợng
d


d

và

d 2

d 2

có thể biến đổi về dạng :

2

nl
d k (ω )  
 dχ 
 dε 
2 k ( ωl )  1
=
= c 2




  = 2c
 − 
dω ωl  dω ωl  dω  ω  
c
ωl2 ν l


 ωl

9

(1.8a)

4k
k k 3k 
1
d 2χ
2
= 2c  − 3 l + 2 2 + l 2l + 4l 
2
dω ωl
ωl 
 ωlν l ωl ν l ωl
''

2

1.8b)

ω

c

l
Víi chó ý ®· ®a vµo : tèc ®é pha n = k ; tốc độ nhóm : l
l
l

và tốc độ nhóm tán sắc ngợc : k l'' = (

d
=

dk ωl

λ3 d 2 n
d 2k
) ω l = l 2 ( 2 ) l
d 2
2c d

Từ (1.2) và (1.7) đặt vào (1.6) ta thu đợc :
Al ( z, t ) 1 ∂Al ( z , t ) 
∂ 2 Al ( z, t ) ∂ 2 Al ( z, t )
1

 + ( 2 + k l k l'' )
2ik l 
+
−
= µ 0ωl2 Pl ' ( z, t )
2
2
 ν
νl
∂t 
∂t
∂z
 ∂t
l

(1.9)

Khi rót gän (1.9) ta chó ý các hệ thức :

với việc chuyển hệ toạ độ : ηl

=t−

z
,z = z
νl

ωl Pl NL >>

∂Pl NL
∂Pl LR
, ωl Pl LR >>
t
t

,

ta thu đợc :

Al ( z , l ) i '' ∂ 2 Al ( z ,η l )
iµ 0ω l2 '
− kl
=−
Pl ( z ,η l )
∂z
2
2k l

∂η 2

(1.9)

1.2. Phơng trình ma trận mật độ
1.2.1 Ma trận mật độ
Hình thức luận ma trận mật độ là một phơng pháp dùng để tính giá trị
kỳ vọng của các toán tử trong những trờng hợp không biết hàm sóng một
cách chính xác . Để đa vào khái niệm này, ta hÃy xét một hệ cơ học lợng tử
ở trạng thái

r
(

,t).

10


Hàm sóng

r
(

,t) đợc khai triển qua các hàm riêng Un :


Ψ r , t ) = ∑ n (t )U n ( r )
(
C

(1.10)



AU n ( r ) = C n (t )U n ( r )

Trong ®ã :



C n (t ) = (U ( r ))Ψ(r , t )

Và Un( r ) thuộc tập đầy đủ các hàm trực chuẩn tùy ý.Giả sử A là một toán
tử tơng ứng với đại lợng vật lý nào đó của hệ.Giá trị kỳ vọng của A là:
A = r , t ) Aψ r , t )
(
(







Ψ r , t ) A Ψ r , t ) = ∑ m (t )C n (t ) U m ( r ) A U n ( r ) = C m (t ) U m ( r ) A U n ( r ) C n
(
(
C*
∑ *

n,m

n,m

= ∑ m (t ) AmnCn (t )
C*
n,m

trong đó ta đặt
Vậy



Amn = U m ( r ) A U n ( r )

*
A = ∑C m Amn C n

(1.11)

m ,n

Bây giờ giả sử rằng ta không biết trạng thái chính xác của hệ. Sự thiếu thông
tin này đợc phản ánh trong độ bất định về giá trị Cn trong khai triển của
r


(

,t ). Tuy nhiên ,giả sử rằng ta có đầy đủ thông tin để tính đợc giá trị trung

bình theo tập hợp của C*mCn .Ta sẽ ký hiệu giá trị trung bình của một đại lợng bằng một gạch ngang trên đầu đại lợng đó. Nh vậy, ta có thể tính đợc
giá trị trung bình của giá trị kỳ vọng của A nh sau :
A = ∑ m C n Amn
C*

(1.12)

m ,n

sÏ lµ thn tiƯn nÕu ta ký hiÖu:
(1.13)

*
ρnm = C m C n

Ma trËn đợc tạo bởi các giá trị nm đợc gọi là ma trËn mËt ®é. Nh vËy:
*
A = ∑C m C n Amn = ∑ρnm Amn = ∑( ρA) nm = Tr ( ρA)
m,n

m,n

11

m,n

(1.14)

phÐp tÝnh nµy gäi lµ phÐp tÝnh lÊy vÕt cđa ma trận và ta ký hiệu ngắn gọn là
"Tr". Với ký hiệu đó ta viết lại công thức (1.14) nh sau:
A

Do

*
nm = CmCn

nên

=Tr ( )
A

nm = *
nm

quan trọng khác đó là

(1.15)
, vì vậy là ma trận liên hợp. Mét kÕt qu¶

*
Trρ = ∑C m C n = 1 .
m

Kết quả này đợc suy ra trực tiếp từ

điều kiện chuẩn hoá.
Kiểu lấy trung bình cho ở trên với một gạch ngang ở trên đầu là lấy trung

bình theo tập hợp. Qua trình lấy trung bình theo tập hợp về mặt vật lý có thể
giải thích nh sau. Ngời ta tạo ra một tập hợp gồm N hệ (N đủ lớn ) sao cho
các hệ này gần nh đồng nhất với nhau, theo một mức độ mà các thông tin
không đầy đủ có đợc cho phép. Sau đó để các hệ này tiến hoá theo thời gian.
Nh vậy mỗi hệ đợc đặc trng một hàm trạng thái:


s
( r , t ) = ∑C n (t )U ( r )

(1.16)

n

Víi s = 1,2,3,..,N. Khi đó trung bình theo tập hợp của C*mCn sẽ đợc tính theo
công thức sau:
s
nm (t ) = C m (t )C n (t ) =

1
N

N

∑C
s =1

( s )*
m

(
(t )C n s ) (t )

(1.17)

Khi trung b×nh theo tập hợp chính là trung bình trên tất cả N hệ.
Theo cách giải thích vật lý đó thì ma trận mật độ biểu diễn một số khía cạnh
xác suất của tập hợp đang xét với phần tử đờng chéo nn chính là xác suất để
trong các hệ đó ở trạng thái


U n (r ) .

Các phần tử nằm ngoài đờng chéo bằng

trung bình theo tập hợp của C*mCn, nó liên quan với lỡng cực phát xạ của tập
hợp của các hệ đang xét.
Chúng ta cũng có thể biểu diễn các hệ
phần tử ma trận của toán tử
của hàm sóng



*
CmCn

ở trên đơn giản hơn là các

đợc phản ánh thông qua các vÐc t¬ cét

.

Ψ

12


*
u m Ψ Ψu n = C m C n .

Bởi vậy một lẽ rất tự nhiên là chúng ta đồng nhất các thành phần của ma trận
của toán tử



với các thành phần của toán tử mật độ ở trên, nghĩa là:

.

=

Nh trên trình bày, trong cơ sở của { u n } toán tử mật độ đợc biĨu diƠn b»ng
mét ma trËn, gäi lµ ma trËn mËt độ với các thành phần:
*
nm = u m u n = C m C n

ở đây ta cần lu ý rằng các phần tử ma trận

mn

l hermitic, tức là:

*
* = C m C n = ρ mn ↔ ρ + = .
nm

Với những tính chất đặc biệt trên, toán tử thỏa mÃn đầy đủ các đặc trng
trạng thái của một hệ lợng tử. Nói cách khác, toán tử mật độ cho phép
chúng ta thu đợc các tiên đoán vật lý từ

. Cụ thể là chúng ta có thể diễn



tả định luật bảo toàn xác suất, tính đợc giá trị trung bình của đại lợng cần đo
hay có thể diễn tả sự tiến hoá theo thời gian của hệ lợng tử thông qua các
yếu tố thành phần cđa ρ.
Tríc hÕt chóng ta thÊy r»ng tõ to¸n tư mật độ ta có thể tìm đợc dạng của
định luật bảo toàn xác suất:

C

2
n

n

= nn = Tr = 1 .
n

Rõ ràng tổng các phần tử đờng chéo của ma trận mật độ bằng 1.
Đối với các giá trị trung bình của đại lợng cần đo, ta có công thức:
*
A = Ψ A Ψ = ∑C n C m Anm = mn Anm = Tr {A}
nm

nm

.

1.2.2.Phơng trình ma trận mật độ
Hệ các nguyên tử trong trờng điện từ tuân theo phơng tr×nh Schrodinger :

13




H = i
t

(1.18)

Thay (1.10) vào phơng trình trên ta ®ỵc
∂C (t )


i ∑ n U n ( r ) = ∑C n (t ) HU n ( r )
∂t
n

(1.19)
Nh©n vô hớng của (1.19) với


U m (r ) ,

đồng thời dùng tính trực chuẩn của các

hàm Un ta có:

i C m (t ) = ∑ n (t )H mn
C
∂
t
n
n

nhng ta cã

*
ρnm = CmCn

(1.20)

nªn ta suy ra:

∂ρ nm
∂C*
* ∂C n

m
= Cn
+Cm
t
t
t

(1.21)

Do tính liên hợp của H phơng trình (1.13) trở thành:

i
= [ , H ]
t


(1.22)

(1.22) gọi là phơng trình ma trận mật độ.
Trong phơng trình (1.18) : Hamiltonian


H

xác định cho hệ sẽ là tổng của



các Hamiltonian H 0 của các nguyên tử cô lập, Hamiltonian trờng H c và

Hamiltonian H i của tuơng tác nguyên tử và trờng, ( H

lỡng cực điện





à = er

i


= à ,
E

với momen

):




H = H0 + Hc + Hi

Nếu hệ nguyên tử có véc tơ trạng thái
pn

n

với xác suất tơng ứng

thì từ phơng trình (1.18) và kết hợp với định nghĩa toán tử mật độ, qua

14


một số biến đổi ,ta thu đợc phơng trình cho các phần tử ma trận của toán tử
mật độ là:
d
1
1
kl + iωkl ρ kl +
ρ kl =
dt
τ kl
i

∑( H

i
km

m

d
1
ρ nm + ∑( K nm ρnm − K mn ρ mm ) =

dt
i
m

i
ρ ml − ρ km H ml )

∑( H
m

i
nm

(k ≠ l)

(1.23)

i
ρmn − ρnm H mn )

(1.24)

−
Víi : ω kl = ( E ko − Elo ) /  và kl1 , K mn là xác suất liên kết riêng của hệ.

1.3. Hệ phơng trình tốc độ rút gọn với xung bơm dạng Gauss
Lý thuyết bán lợng tử xem laser nh mét hÖ vËt lý më [6, 7, 12, 4]. Mẫu
laser màu gồm trờng điện từ đơn mode trong buồng cộng hởng có chứa N
phân tử chất màu. Chất màu có 6 mức năng lợng, trong đó có 4 mức đơn
và 2 mức bội ba (hình 1-1).

E4
E3

a41

E6

T-T

a34
Laser

a23

a53

E5

E2
E1

a56

a15

a12

a16

Hình 1.1. Sơ đồ 6 mức năng lợng của hoạt chất Laser màu
Quá trình tiến triển theo thời gian của hệ mở có thể mô tả bởi phơng
trình tổng quát hoá Von Neuman [12, 14]:

15


dp
i
= − [ H .ρ ] + L ρ
dt


,

(1.25)

trong ®ã là ma trận mật độ của hệ; H là toán tử Hamiltonien; L là toán tử
mô tả ảnh hởng của môi trờng xung quanh, đó là mất mát do buồng cộng
hởng, quá trình hồi phục của hệ các nguyên tử (phân tử) và của cơ chế
bơm.
Toán tử Hamilton của hệ N phân tử và trờng điện từ đợc chọn theo
d¹ng cđa Dicke:
N

6

H N = h.ω .a .a + ∑ ∑ Ei ε ii(σ ) +
+

σ =1 i =1

+

1

N

∑ { g (a e
N
σ =1

trong ®ã:

1

+ − ikrσ

(σ
(σ
(σ
(σ
ε 23 ) + a eikrσ ε 32 ) ) + g 2 (a + e − ikrσ ε 56 ) + aeikrσ ε 65 ) }

(1.26)

 ω = E3 − E2 = E6 − E5.
g1 = Di (2π hω d )

1

2

εij = i >< j

(i = 1,2)
(i,j 1,2.6.)

(1.27)

ở đây, i là trạng thái riêng gắn với năng lợng Ei của phân tử chất màu, a và
a+ là toán tử huỷ và toán tử sinh còn d là mật độ các phân tử bị kích thích. Tơng tác lỡng cực của trờng điện từ với các phân tử đợc làm gần đúng sóng
quay. D1 và D2 ký hiệu mô men dịch chuyển lỡng cực điện giữa các trạng
thái 3 2 ; 6 5 tơng ứng. Quá trình hồi phục (tích thoát) thể hiện
trong hệ đợc mô tả bằng toán tử L có d¹ng sau:

16


L = Lm + Lf

(1.28)

trong đó, Lm và Lf là thành phần mất mát tơng ứng của hệ các phân tử và điện
trờng. Lm có thể chọn ở dạng sau:
Lm ρ =

{

}

N
1 6
a¹i ∑  ε IJσ ) , ρε IJσ )  +  ε IJσ ) ρ , ε IJσ )  −
∑=1 σ =1  ( (   ( ( 
2 i≠ j

a  (σ
a  σ

1 N 

(σ
(σ
(σ
(σ
(σ
σ
− ∑   δ 1 − 23 ÷  ε 22 ) − ε 33 ) ,  ε 22 ) − ε 33 ) , ρ   +  δ 2 − 56 ÷ ε 55 − ε 66 , ε 55 ) − ε 66 ) , ρ   

 


4 σ =1  
2 
2 


víi

δ1 −

(1.29)

a23
a
≥ 0; δ 2 − 56 0
2
2

Các aij (là xác suất dịch chuyển Ei-Ej) không đợc thể hiện trong hình
sẽ bằng không, S1 và S2 là thời gian tích thoát tơng ứng của mô men lỡng cực
cảm ứng 2 3 và 5 6 . Dạng Lm là dạng tổng quát hoá của toán tử
hố nhiệt do Haken và cộng sự đa ra mặt khác nó là dạng đặc biệt của dạng
tổng quát của hệ n mức. Dạng của Lm không tính đến quá trình trao đổi năng
lợng giữa các phân tử bởi vì quá trình này không đóng vai trò quan trọng
trong quá trình phát laser.
Trong công trình của tác giả H.Haken [7] thì toán tử hố nhiệt Lf có thể
chọn dạng sau:

{

}

{

}

L f ρ = γ1 a, ρa +  a ρ, a +  + γ 2 a + , ρa  a + ρ, a  >0








víi:

γ1 − γ 2 = K

(1.30)
(1.31)

17


mô tả mất mát trong buồng cộng hởng và tỉ số 2 / K là phôton nhiệt trong
buồng cộng hởng.
Từ các chú ý trên, phơng trình Von Neumann tổng quát có dạng sau:
(1.32)

d
i
= [ H N , ] +  Lm + L f  ρ


dt
Theo nguyªn h Kassha, chuyển dịch không bức xạ từ mức năng llý

ợng cao xuống mức năng lợng thấp và cuối cùng xuống E1, E3 sẽ nhanh hơn

một vài bậc so với dịch chuyển bức xạ, và do đó mật độ c trú tại các mức E2,
E4 xem nh bằng không. Nh vậy, sau quá trình biến đổi và sử dụng các phép
gần đúng ta có hệ phơng trình sau:

dn
= 2 Kn + b1 p3 n + b2 p5 n
dt

(1.33)

dp1
= a15 p5 − w(t )
dt

dp3
p
= w(t ) − 3 − b1 p3 n
dt
τ3
dp5
p
= a53 p3 − 5
dt
τ5

p1 + p3 + p5 = 1
trong đó: 3 = 1/(a53 + a23) là thời gian sèng cđa møc laser trªn E3;
τ5 = 1/(a15 + nb2) lµ thêi gian sèng cđa møc béi ba díi E5

W(t) = a41p1 gọi là tham số bơm.

18


Giả sử laser màu đợc bơm bởi xung dạng Gauss [6, 7]:
  t ln 2  2 
W ( t ) = Wmax exp  − 
÷
  T ữ



(1.34)

trong đó, T là thời gian tăng xung từ Wmax/2 đến Wmax. Tỷ số Wmax/T
đợc định nghĩa là tốc độ tăng xung trung bình. Với độ rộng xung 2T, giá trị
đỉnh Wmax của xung bơm đợc chọn sao cho số dịch chuyển lên mức laser trên
trong thời gian xung lµ:
N KT =

∞

∫ W ( t ) d (t ) = TW

max

−∞

π
ln 2

(1.35)

Tõ (1.23) ta thÊy r»ng víi sù thay đổi của W

max

và T thì N

KT

cũng

thay đổi theo.
Từ phơng trình đầu của hệ phơng trình (1.33) ta thấy rằng quá trình
phát laser sẽ bắt đầu khi điều kiện ngỡng sau đây thoả mÃn:
b1p3 = K - b2p5

(1.36)

trong đó, p3 (giả thiết p2 = 0) đợc xem nh xác suất nghịch đảo c trú, từ đây
ký hiệu là p. Tại thời điểm laser bắt đầu phát, c trú trên mức bội ba bằng
không.
Từ (1.33) thì xác suất nghịch đảo c tró ngìng vµ thêi gian sèng cđa
b

0
1
photon trong bng céng hởng sẽ là: P = K b (từ đó nghịch đảo c trú ng2

ỡng No = N KT Po)và tc = 1/2 K

(1.37)
19


Từ hệ phơng trình (1.33) và chú ý đến mối quan hệ cổ điển - lợng
tử của các tham số (1.37), đặc biệt đề cập đến bức xạ tự nhiên ban đầu từ E3
<-> E2 tạo ra các photon ban đầu trong buồng cộng hởng. Sau một vài biến
đổi ta có hệ phơng trình tốc độ rút gọn nh sau:
dn n ( N 3 − 1) − nN 5 + AN
=
3;
0
t c N 0σ
dt t c N
dN 3
N
nN 3
= W (t ) − 3 −
;
dt
π 3 tc N 0

(1.38)

dN 5
N
= a53 N 5 − 5 ;
dt
π5

N 3 = N KT .P ,

trong ®ã,

N 5 = N KT .P5 ,

N = N KT .P
0

0

,

b1 g12δ 2
σ= = 2
b2 g 2 δ 1

N3 là nghịch đảo mật đô c trú mức Triplet.
Trong quá trình giải hệ phơng trình (1.29) bằng số, ta đa ra các đại lợng không thứ nguyên sau:

t
x =
tc

20


Y1 ( x) =

n( x )

T .n( x)
=
t cWmax N t ln 2
KT c

Y2 ( x ) =

,

(1.39)

N3
,
N0

Y3 ( x) =



N (t )
,
N0

Sử dụng phơng trình (1.38) và (1.39) phơng trình mô tả hoạt động của
laser màu bơm xung Gauss ®ỵc ®a ra nh sau [7]:
dY1
α 
= Y1 (αY2 −1) −  Y1Y2 + BY2
dx
σ 

2
 x
  Y2 α
dY2 1 ln 2
=
exp  − 
ln 2 ÷  − −
dx γ π
 γ
  β λ



(1.40)

ln 2
Y1Y2
π

dY3 Y2
= − ρY3
dx ε

Víi α =

τ
t
N KT
T
1

π
; β = 3 ;γ = ;ε =
; ρ = c ; B = AT
N0
tc
tc
a53tc
τt
ln 2

KÕt luận chơng I
Thông qua việc tìm hiểu các tài liệu đà công bố liên quan đến xung
cực ngắn, chơng I chúng tôi đà tìm hiểu các vấn đề sau đây:
1. Lý thuyết bán lợng tử hay còn gọi là lý thuyết bán cổ điển về
Laser . Nó cho phép hiểu đợc nhiều hiện tợng của laser trên cơ sở lí luận đơn
giản. Theo thuyết này trờng tơng tác với hệ nguyên tử có hai mức năng lợng
mô tả bằng các đại lợng


E, H

tuân theo cặp phơng trình Maxwell, còn sự

dịch chuyển trong nội nguyên tử tuân theo các định luật cơ học lợng tử.
21


2. Lý thuyết bán lợng tử xem laser nh một hệ vật lý mở. Hệ phơng
trình tốc độ của Laser màu hoạt động trên cơ sở sáu mức năng lợng đà đợc
xây dựng. Kết quả cho thấy rằng: với xung bơm cỡ picô giây xung phát có

cùng dạng Gauss chen giữa xung bơm có một khoảng thời gian trễ nhất
định.
Những đặc điểm nêu trên là những điều đáng quan tâm trong quá trình
chế tạo laser màu ứng dụng trong quang phổ phân giải cao và thông tin cáp
quang. Từ đó có thể khẳng định đợc rằng phơng pháp bán lợng tử có thể sử
dụng đợc cho nghiên cứu laser màu và tính toán lý thuyết để thu đợc biểu
thức tổng quát cho dạng xung ra khi xung đi qua môi trờng khuếch đại.
Từ các đặc điểm nêu trên, phần tiếp theo của luận văn chúng tôi khảo sát
các ảnh hởng ®Õn sù biÕn d¹ng xung trong buång céng hëng laser màu khoá
mode thụ động bằng va chạm xung sử dụng môi trờng khuếch đại.

22


Chơng II
ảnh hởng của môi trờng khuếch đại lên sự biến
dạng xung của các dạng xung vào khác nhau
trong buồng cộng hởng vòng
2.1.Cấu trúc buồng cộng hởng vòng:
Trong Laser màu dạng vòng đồng bộ mode thụ động có các đặc trng
cơ bản ảnh hởng đến quá trình tạo xung và ảnh hởng đến thông số xung đó
là [8]:
1- Đặc trng của chất hấp thụ bÃo hoà.
2- Đặc trng của môi trờng kích hoạt.
3- Đặc trng của những yếu tố tán sắc.
4- Đặc trng của sự phản xạ trên gơng.
Những đặc trng này trong buồng cộng hởng đều quan trọng. ở đây,
chúng tôi chỉ xét đặc trng của môi trờng kích hoạt . Sơ đồ một laser mầu
dạng vòng khóa mode thụ động có dạng nh sau:

2

1

0

100%

Gương ra

=U/4
3

100%

Hấp thụ
khuếch đại

Xung L
R

23

Xung

Hình 2.1. Sơ đồ một laser màu dạng vòng

100%

U- thời gian xung đi một vòng quanh cộng hởng
- khoảng thời gian giữa chất hấp thụ và bộ khuếch đại.
Môi trờng hấp thụ là dòng phun dung dịch chứa chất màu DODCI đợc hoà tan trong ethylene glycol. Môi trờng khuếch đại cũng là dòng phun
dung dịch chứa chất màu rhodamin 6G (Rh6G) cũng đợc hoà tan trong
ethylene glycol có nồng độ thích hợp với tốc độ chất màu.
Khoảng cách giữa chất hấp thụ và môi trờng khuếch đại đợc chọn
bằng 1/4 chiều dài buồng cộng hởng, điều này tạo ra sự cân bằng biên độ
cho các xung khi đi đến gặp nhau trong chất hấp thụ bÃo hòa. Së dÜ chän nh
vËy v×:
- Khi b»ng L0/2 (1/2 chiỊu dài buồng cộng hởng): hai xung gặp nhau
trong chất hấp thơ b·o hoµ, sau mét thêi gian b»ng mét nưa thời gian đi
vòng quanh buồng cộng hởng, hai xung sẽ gặp nhau trong môi trờng khuếch
đại. Tuy nhiên chỉ cần lệch một ít, tức là khoảng cách chất hấp thụ và môi trờng khuếch đại khác L0/2 (rất khó có thể điều chỉnh để nó đúng bằng L0/2)
thì hai xung sẽ đợc khuếch đại khác nhau, tạo ra sự không ổn định khi quay
lại gặp nhau trong chất hấp thụ bÃo hoà.
- Khi bằng L0/4: hai xung đợc khuếch đại cách nhau khoảng thời gian
bằng nửa thời gian đi vòng quanh buồng cộng hởng, nếu có lệch chút ít
(khoảng cách giữa chất hấp thụ và môi trờng khuếch đại khác 1/4 chiều dài
buồng cộng hởng) thì cũng không ảnh hởng đến sự khuếch đại, vì trong thời
gian đó các nguyên tử sau khi bị bức xạ xuống trạng thái cơ bản, đà kịp
chuyển lên trạng thái kích thích.

24


Cơ chế tạo thành xung cực ngắn trong buồng cộng hởng này đợc giải
thích nh sau: tia laser đợc khuếch đại từ những tạp âm bị động (tiếng ồn,
nhiễu tự động), và khi mà tia laser bơm đà vợt quá ngỡng phát laser thì trờng
tia bao gồm một sự chồng chập thống kê của nhiều đỉnh thăng giáng theo
thời gian. Do tiết diện phát xạ lớn của chất màu laser, nên tia do phát xạ cỡng bức sẽ khuếch đại cho đến khi mà sự bÃo hoà của chất hấp thụ bắt đầu

đóng một vai trò quan trọng. Chất hấp thụ bÃo hoà dành u tiên cho những
thăng giáng mà có năng lợng cực đại. Bằng cách nh vậy tất cả những thăng
giáng khác sẽ bị ức chế và cuối cùng tạo thành một xung ngắn.
2.2.Sự tơng tác của môi trờng hoạt chất và trờng tia laser khi điều
kiện bơm không đổi
Môi trờng hoạt chất đợc khoả sát nh một hệ ba mức và đợc khảo sát với các
gần đúng sau :

k
T21 << T k và

22 = 0

(2.1)
3

S1

Tk

Xung bơm

2
k
T21

1

S0
Hình 2.2 Sơ đồ ba mức năng lượng của môi trường khuếch đại

25