Chiều goldie của môđun và lớp môđun đặc biệt

Mục lục
Trang
Các ký hiệu

3

Mở đầu

4

Ch-ơng I. Các khái niệm cơ bản

Đ 1. Vành Nơte.

6

Đ 2. Môđun con cốt yếu, môđun con đều

8

Đ 3. Đế của môđun.

12

Đ 4. Môđun hữu hạn sinh, CS - môđun

14

Ch-ơng II. Chiều Goldie của môđun

Đ 1. Khái niệm về chiều Goldie của môđun

17

Đ 2. Đặc tr-ng của vành có chiều Goldie hữu hạn qua
các môđun xiclic.

22

Ch-ơng III. Lớp môđun đặc biệt

31

Kết luận

38

Các tài liệu tham khảo.

39

2


Các ký hiệu

Các ký hiệu đ-ợc dùng trong luận văn chđ u dùa theo M.A. Kamal
and B.J.Muller, Ngun ViƯt Dịng, Đinh Văn Huỳnh, Smith và Wisbauer.
AB

: A là con của B

KM

: K là môđun con của M.

K * M

: K là môđun con cốt yếu của M.

K M

: K là hạng tử trực tiếp của M.



Mi

: Tổng trực tiếp của các môđun Mi, i I

Mi

: Tổng trực tiếp của các môđun Mi , 1 i n

iI

n


i 1

dimM

: Số chiều Goldie của môđun M.

r(x)

: Linh hoá tử phải của x.

Soc(M)

: Đế của môđun M.

M/A

: Môđun th-ơng M trên A, với A là môđun con của M.

3


Mở đầu
Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho đến nay đ-ợc phát triển mạnh mẽ
và có nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành. Một trong
các h-ớng để nghiên cứu vành là đặc tr-ng vành qua tính chất của một lớp xác
định nào đó các môđun trên chúng.
Năm 1964, Osofsky B. L. đà công bố kết quả của mình về vành mà mọi
môđun phải xiclic là nội xạ. Năm 1982, Chatters đà nghiên cứu và đ-a ra kết
quả về vành mà mọi môđun phải xiclic là tổng trực tiếp của một môđun xạ
ảnh và một môđun Nơte. Trên cơ sở kết quả của Chatters, năm 1994, Đinh
Văn Huỳnh đà mở rộng kết quả của Chatters: Một vành R là Nơte phải nếu
mọi R - môđun phải xiclic hoặc là nội xạ hoặc là tổng trực tiếp của một

môđun xạ ảnh và một môđun Nơte.
Tiếp cận h-ớng nghiên cứu đó, luận văn của chúng tôi đề cập đến viƯc
thay tÝnh chÊt néi x¹ bëi tÝnh chÊt CS - môđun của các môđun phải xiclic
trong định lý của Đinh Văn Huỳnh, trên cơ sở đó đà đặc tr-ng vành có chiều
Goldie hữu hạn qua các môđun xiclic.
Mặt khác, nghiên cứu lý thuyết về môđun và vành, đó là nghiên cứu cấu
trúc của môđun và từ đó đ-a ra một số đặc tr-ng của các lớp vành. Việc xét
lớp môđun đặc biệt nằm trong h-ớng nghiên cứu các cấu trúc môđun.
Lớp môđun đặc biệt là lớp môđun xiclic chuỗi đều với điều kiện chặt hơn,
đây là lớp môđun quan trọng mà việc xét cấu trúc của chúng sẽ dẫn đến việc
đặc tr-ng về vành với nhiều thuận lợi.
Nh- vậy luận văn của chúng tôi đề cập đến việc xét đến các tính chất về
chiều Goldie của môđun, từ đó góp phần nghiên cứu về lớp môđun đặc biệt.
Để nghiên cứu điều đó, luận văn cũng đề cập đến tổng trực tiếp của các
môđun đều và CS - môđun.
Cụ thể luận văn đ-ợc chia làm 3 ch-ơng:

4


Ch-ơng I: Các khái niệm cơ bản. Trình bày một số khái niệm, tính chất cơ
bản của vành và môđun Nơte, giới thiệu một số kiến thức cơ sở liên quan đến
luận văn.
Ch-ơng II: Chiều Goldie của môđun. Ch-ơng này đ-ợc chia làm 2 phần:
Phần thứ nhất: Khái niệm về chiều Goldie của môđun. Cụ thể trong phần
này chúng tôi ®-a ra ®iỊu kiƯn cđa mét m«®un chøa m«®un con đều và điều
kiện để một tổng trực tiếp các môđun con đều là cốt yếu trong một môđun.
Phần thứ hai: Đặc tr-ng của vành có chiều Goldie hữu hạn qua các môđun
xiclic. Trong phần này chúng tôi mở rộng nghiên cứu các tính chất về số chiều
của môđun. Cụ thể luận văn đ-a ra một số công thức về số chiều của môđun

( mệnh đề 2.11, bổ đề 2.13).
Việc đặc tr-ng vành có chiều Goldie hữu hạn qua các môđun xiclic đ-ợc
kết thúc bởi định lý 2.22 - kết quả chính của phần này: Nếu vành R thoả mÃn
tính chất (P'): Mọi R - môđun phải xiclic hoặc là CS - môđun hoặc là tổng trực
tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun Nơte. Khi đó mọi R - môđun phải
xiclic có chiều Goldie hữu hạn. Đặc biệt RR có chiều Goldie hữu hạn.
Ch-ơng III: Lớp môđun đặc biệt. Trong ch-ơng này chúng tôi chỉ ra sự
tồn tại của môđun không đặc biệt ( hệ quả 3.3) và chỉ ra sự tồn tại của môđun
đặc biệt đ-ợc rút ra trong định lý chính của phần này ( định lý 3.6).
Luận văn đ-ợc thực hiện và hoàn thành tại tr-ờng Đại học Vinh d-ới sự
h-ớng dẫn của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, Tác giả xin đ-ợc bày tỏ
lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới thầy giáo h-ớng dẫn đà giúp
Tác giả trong quá trình nghiên cứu đề tài này.
Tác giả xin cảm ơn tất cả các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, khoa
Sau Đại học tr-ờng Đại học Vinh và các bạn đà quan tâm, giúp đỡ trong thời
gian Tác giả học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng chúng tôi mong đ-ợc sự góp ý, chỉ bảo của các thầy, cô giáo
cùng các bạn học viên.
Vinh, ngày 10 tháng 11 năm 2002
Tác giả

5


Ch-ơng I

Các khái niệm cơ bản

Trong ch-ơng này chúng tôi đ-a ra những định nghĩa và kết quả liên quan
đến luận văn.

Các vành luôn đ-ợc giả thiết là vành có đơn vị, các môđun trên vành luôn
đ-ợc hiểu là các môđun phải.

Đ 1 Vành Nơte
Mệnh đề 1.1: Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R có đơn vị là 1:
i) Mọi dÃy tăng các ideal phải đều dừng.
ii) Mọi tập khác rỗng các ideal phải đều có phần tử cực đại theo quan hệ
bao hàm.
iii) Mọi ideal phải của R là hữu hạn sinh.
iv) Đối với A là ideal phải của R thì A và R/A có tính chất i).

Mệnh đề 1.2: Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với R - môđun phải M:
i) Mọi dÃy tăng các môđun con của M đều dừng.
ii) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại theo
quan hệ bao hàm.
iii) Mọi môđun con của M đều là hữu hạn sinh.
iv) Đối với môđun con A của M thì A và M/A có tính chất i).
Định nghĩa 1.3: Vành R thoả mÃn một trong các điều kiện của mệnh đề 1.1
đ-ợc gọi là vành Nơte phải.

6


Định nghĩa 1.4: Mọi R - môđun phải M thoả mÃn một trong các điều kiện
của mệnh đề 1.2 đ-ợc gọi là R - môđun Nơte phải.
Ví dụ 1.5: i) Z - môđun Z là Nơte
ii) Không gian véc tơ hữu hạn chiều là môđun Nơte, không gian
véc tơ vô hạn chiều không là môđun Nơte.
Hệ quả 1.6: Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những môđun con Nơte thì
M là Nơte.

Chứng minh:
n

Giả sử M =

A , ta tiến hành chứng minh qui nạp theo n.
i 1

i

Với n = 1 mệnh đề là hiển nhiên.
n 1

Giả sử mệnh ®Ị ®óng víi n - 1. Khi ®ã m«®un con N =

A
i 1

i

là Nơte.

Ta có M/An = ( N+ An)/An N/( N An).
Nếu N Nơte thì N /( NAn ) Nơte và do đó M/An cũng Nơte. Khi đó
M là Nơte.
Hệ quả 1.7: Nếu vành R là Nơte phải và M là R - môđun hữu hạn sinh thì
M là Nơte.
Chứng minh:
Với mỗi a M xét ánh xạ a: R M
r ar

Rõ ràng a là một đồng cấu R - môđun. Theo định lý về đồng cấu môđun
ta có
R/Kera Ima = aR
Do R là Nơte nên R/Kera Nơte và do đó aR cũng Nơte. Bây giờ giả sử
n

{a1,a2....,an } là hệ sinh của M, khi đó M =
M là Nơte.
7

a R . Theo hƯ qu¶ 1.7 ta suy ra
n 1

i


Đ 2 - Môđun con cốt yếu, môđun con đều.

Định nghĩa 1.8: Cho M là một R - môđun và N là môđun con của M.
Môđun con N đ-ợc gäi lµ cèt u trong M vµ ký hiƯu lµ N * M, nếu
với mọi môđun K M, K  0 th× N  K  0.
 NÕu N * M thì M đ-ợc gọi là mở rộng cốt u cđa N.
 NÕu 0 * M th× M = 0.
Định nghĩa 1.9: Cho R là vành, một R - môđun U đ-ợc gọi là đều
(hay uniform) nếu U 0 và A B 0 đối với mọi môđun con khác không
A, B của U.
Hay nói cách khác, U là đều nếu U 0 và mọi môđun con khác không là
cốt yếu trong U.

Ví dụ 1.10: i) Z - môđun Z, Z - môđun Q là đều.

ii) Mọi môđun con uniform đều cốt yếu.

Mệnh đề 1.11: Cho M là R - môđun. Khi đó ta có:
i) A * M khi vµ chØ khi  0  x  M, xR  A  0.
ii) Cho A  B, B M thì A * M khi và chØ khi A * B vµ B * M.
iii) NÕu Ai * Bi ( i=1,2...,n), Ai, Bi  M th×
Ai * M th×

n

 Ai 

*

n

*
 Ai 
i 1

n


i 1

Bi . §Ỉc biƯt nÕu

M.

i 1

iv) Cho A  B, B  M. NÕu B/A * M/A th× B * M
v) NÕu f: M N là một đồng cấu môđun và A * N th× f-1(A) * M.

8


vi) Cho M =

M
iI

i

,A=

Ai và Mi là các môđun con cđa M, iI,

trong

iI

®ã Ai * Mi. Khi ®ã tån tại

Mi và A Mi.
*

iI

iI

Chứng minh:
i) Giả sử A * M, víi 0  x M  xR  0, xR  M, hiĨn nhiªn
xR  A  0 ( theo định nghĩa).
Ng-ợc lại, nếu xR A 0, x M, x 0. Khi đó giả sư 0  X  M mµ
A  X = 0. Do X  0   x  X, x  0 ta cã 0 = (A  X)  xR  X  0.
V« lý. VËy X  A  0 hay A * M.
ii) Gi¶ sư A * M. LÊy 0  X  B  X  M  A  X  0 (do A * M)
 A * B.
LÊy 0  X  M  X  A  0  X  B  0 ( v× A  B)  B * M.
Ng-ợc lại, giả sử A * B và B * M. LÊy 0  X  M vµ B * M 
X  B  0, mµ (X  B)  B vµ A * B  (X  B)  A  0  X  A  0 
A * M.
n

 Bi

iii) LÊy 0  X 

i 1

X

n

 Ai  0. Hay
i 1

 X  Bi mµ Ai * Bi  X  Ai  0. Do ®ã

n

n

i 1

i 1

*
 Ai   Bi .

iv) LÊy 0  X  M. Gi¶ sư X  B = 0 suy ra tồn tại X B, và ta có
(X  A)/A  M/A. Do B/A * M/A nªn ((X  A)/A)  (B/A)  0  Tån t¹i
x + a + A = b + A  x = b + a’ (a’A). V« lý .
VËy X  B  0  B * M.
v) LÊy 0  X  M.
- NÕu f(X) = 0  X  f-1(A)  (X  f-1(A)) = X  0.
- NÕu f(X)  0. V× A * N  A  f(X) 0. Do đó tồn tại a 0, a  A vµ
a  f(X)  a = f(x) vµ x X, x  0. Suy ra x = f-1(a)  x f-1(A) 
X  f -1(A)  0. VËy f-1(A) * M.
9


vi) Tr-íc hÕt ta chøng minh cho tr-êng hỵp I hữu hạn. Dùng quy nạp ta
chỉ xét với n = 2.
Ta cã M = M1 + M2, A1 * M1, A2 * M2 , tån t¹i A1  A2 . Theo iii) ta cã
(A1  A2) * (M1  M2) hay 0 * M1  M2  M1  M2 = 0, do đó tồn tại tổng
M1 M2.
1: M1  M2  M1

TiÕp theo xÐt c¸c phÐp chiÕu:

2: M1  M2  M2
Do A1 * M1  1-1(A1) * (M1  M2) ( theo v)
Nh-ng -1(A1) = A1  M2  (A1  M2) * (M1  M2)

(1)

Do A2 * M2  2-1(A2) * (M1  M2)  (A2  M1) * (M1  M2)

(2)

LÊy giao tõng vÕ cña (1) vµ ( 2) ta cã
( A1  M2)  ( A2  M1)  (M1  M2)  (A1  A2) * (M1  M2).
B©y giê ta chøng minh cho tr-ờng hợp I vô hạn.
Lấy x Mi ta có biểu diễn x =
iI

hợp trên thì tồn tại

xi , với F hữu hạn thuộc I, theo tr-ờng

iF

Mi và sử biểu diễn đó là duy nhất.
iF

Tiếp theo lấy 0  X 

 Mi   0  x X; mµ x   Mi,  Ai   Mi

*

iI

(với F hữu hạn thuộc I) xR

iF

Ai  0  X   Ai  0
iF

VËy

iF

iF

X

iF

 Ai 0.
iI

Ai Mi .
*

iI

iI

Định nghĩa 1.12: Cho M là R - môđun.
Môđun A M đ-ợc gọi là đóng trong M nếu A không có mở réng cèt
yÕu thùc sù trong M, tøc lµ nÕu :
A * B M A = B
Môđun X đ-ợc gọi là bao đóng của U trong M nếu U * X và X đóng
trong M.
10


Hệ quả 1.13:
i) Nếu A là môđun con đóng trong M thì hạng tử trực tiếp của A cũng
đóng trong M.
ii) Nếu A là môđun con đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A cũng
đóng trong M.
iii) Nếu A là môđun con đóng trong X và X đóng trong M thì A là môđun
con đóng trong M.

11


Đ 3. Đế của môđun
Định nghĩa 1.14:
Môđun A 0 đ-ợc gọi là môđun đơn nếu nó chỉ có hai môđun con là
A và môđun không.
Ta gọi tổng của tất cả các môđun con đơn của M là đế của môđun M
và ký hiệu là Soc(M).
Nếu M không có môđun con đơn nào thì ta qui -ớc Soc(M) = 0.
Môđun A đ-ợc gọi là nửa đơn nếu A = Soc(A).

Mệnh đề 1.15: Các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng:
i) Soc(A) = A.
ii) A bằng tổng trực tiếp các môđun con đơn.
iii) Mọi môđun con của A là hạng tử trực tiếp của A.
Chứng minh:

S ={ A | A

i) ii) Gọi

i

iI

i

là các môđun con đơn của A}. Do A là nửa

đơn nên tồn tại môđun con đơn A0

S

Xác định thứ tự quan hệ trên

S .

S

theo quan hƯ bao hµm nh- sau

 Ai   Bj  I  J vµ Bi = Ai , iI.
jJ

iI



CËn trên là

A

k



k 1

ra tồn tại

k

S với A

Ai là tối đại trong S,



S . Nh- vậy S thoả mÃn bổ ®Ị Zorn, suy

ta sÏ chøng minh A =

iI

TÊt nhiªn

 Ai.
iI

 Ai  A, nh-ng gi¶ sư  Ai  A suy ra tồn tại môđun con đơn
iI

S mà S không chøa trong

iI

 Ai .
iI

12


Do ®ã suy ra

 Ai

 S = 0 ( do S đơn) suy ra

iI

Ai

iI

Mâu thuẫn với tính tối đại cña

 (  Ai  S).
iI

 Ai .
iI

VËy A =

 Ai.
iI

i) iii) Lấy B là môđun con của A. Gọi C là tối đại của

S

= {C | B C = 0}, ta sÏ chøng minh A = B C .
Đ-ơng nhiên (B C) A, nh-ng gi¶ sư B  C  A suy ra tån tại một

môđun con S của A mà S không chứa trong B  C, suy ra S  (B  C) = 0
(do S đơn) suy ra B ( S  C ) = 0. M©u thn víi tÝnh tối đại của C.
Vậy A = B C.
iii) i) Theo gi¶ thiÕt ta cã Soc(A)  A hay A = Soc(A)  B (*), ta sÏ
chøng B = 0. Gi¶ sư B  0   b  0, b  B . LÊy C = <b> ( C = bR).
Gäi S = {M | M  C, b  M }.
Do 0  S suy ra

S

 . Theo bổ đề Zorn tồn tại môđun con tối đại M

cđa S vµ M  C.
Theo iii) A = M N, theo luật môđula do M C ta cã
( M  N )  C = M  ( N  C ) suy ra C = M  ( N  C ), suy ra
C/ M  M  ( N  C ) /M  N C.
Do M tối đại nên C / M đơn suy ra N C đơn, do đó (N C) Soc(A)
và (N C) B. Mâu thuẫn víi (*).
VËy B = 0, suy ra A = Soc(A).

MƯnh đề 1.16: Đối với R - môđun M:
Soc(M) = C, trong đó C chạy khắp tập các môđun con cèt yÕu cña M.

13


Đ 4 - Mô đun hữu hạn sinh, CS - môđun
Định nghĩa 1.17:


Môđun M đ-ợc gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một tập sinh gồm hữu

hạn phần tử.
Nói cách khác, M là hữu hạn sinh nếu có các phần tử nào đó
s1, s2, ....,sn M sao cho: M = s1R + s2R + ...snR.


NÕu tËp sinh cña M chỉ gồm một phần tử s thì M đ-ợc gọi là môđun

xiclic sinh bởi s, và ta ký hiệu <s> = sR.
Định nghĩa 1.18: Môđun con A của M đ-ợc gọi là tối đại nếu A M và
A không chứa trong một môđun con thực sự nào của M. Tøc lµ nÕu:
A  B  M vµ A M thì B = M hoặc B = A.
Mệnh đề 1.19:
i) Môđun con của môđun hữu hạn sinh có thể không hữu hạn sinh. Tuy
nhiên môđun con là hạng tử trực tiếp của môđun hữu hạn sinh là hữu hạn
sinh.
ii) Nếu N là môđun hữu hạn sinh của M và môđun th-ơng M/N cũng là
môđun hữu hạn sinh thì M cũng là môđun hữu hạn sinh.

Ví dụ:1.20: Với Z là vành các số nguyên. Xét tập
Z = {x = (x1, x2,...), xi Z )}
Trong Z ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân nh- sau:
Với x = ( x1, x2,...) ; y = (y1,y2,...)
x + y = ( x1 + y1, x2 + y2,...)
x.y = (x1.y1, x2.y2,...)
DÔ thấy rằng Z với hai phép toán trên là một vành giao hoán có đơn vị
= ( 1, 1,...).
14


Tập Z là một Z - môđun xiclic với phần tư sinh lµ  = ( 1, 1,...).
VËy Z lµ một môđun hữu hạn sinh.
Xét tập B là con của Z xác định nh- sau:
B = { x = (x1, x2,...) Z : chỉ có một số hữu hạn xi 0 }
Dễ thấy B là một môđun con của Z - môđun Z. Môđun B không phải là
Z - môđun hữu hạn sinh. Thật vậy, nếu B có một hệ sinh hữu hạn b 1, b2....bk.
Giả sử n là chỉ số lớn nhất của các thành phần khác không của b 1, b2....bk. Khi

đó trong B sẽ có phần tử có thành phần n + 1 khác không, phần tử này không
thể là Z - tổ hợp tuyến tính của b1, b2....bk.
Mệnh đề 1.21: Trong môđun hữu hạn sinh mỗi môđun con thực sự đ-ợc chứa
trong một môđun con tối đại.
Chứng minh:
Giả sử S = { x1, x2,..., xn} lµ hƯ sinh cđa M ta cã M = <x1,x2,...,xn>, A là
môđun con của M và A M.
Gọi S ={ B | A  B  M, B  M }, ta cã S   do A S, hơn nữa S sắp
thứ tự theo quan hệ bao hàm. Đặt C = B, B

S , ta chứng minh C là cận

trên. Ta có A C, gi¶ sư C = M suy ra {x1, x2...xn} C, do đó tồn tại môđun
con B

S

sao cho {x1, x2...xn}  B suy ra B = M. Tr¸i víi gi¶ thiÕt vỊ S.

VËy C  M suy ra C S. Theo bổ đề Zorn, trong

S tồn tại phần tử tối đại T.

Ta chứng tỏ T là phần tử tối đại trong M. Thật vậy nếu N là môđun con của M
sao cho
T N M, N M
suy ra N

S, và do tính tối đại của T trong M ta cã T = N.

15


Hệ quả 1.22: Mỗi môđun hữu hạn sinh M khác không đều chứa môđun con
tối đại.

Định nghĩa 1.23: Môđun M đ-ợc gọi là CS - môđun ( hay C1 - môđun hay
extending - môđun), nếu mọi môđun con đều cốt yếu trong một hạng tử trực
tiếp của M. Tức là víi A  M,  X  M sao cho A * X, X  M.
Hay nãi c¸ch kh¸c mäi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp
của M.

Mệnh đề 1.24: Hạng tử trực tiếp của CS - môđun là CS - môđun .
Chứng minh:
Giả sử M là CS - môđun và M = P Q, ta sẽ chứng minh P là
CS - môđun. Giả sử A  P, A ®ãng trong P, ta chøng minh A là hạng tử trực
tiếp của P. Giả sử P không ®ãng trong M suy ra P * X  M mà P X, do đó
tồn tại x X, x  0, x  P  x  Q  X  Q  0.
Nh- vËy X  Q là môđun con khác không của X mà (X Q) P = 0 .
Mâu thuẫn với giả thiết P là cốt yếu trong X. Vậy P đóng trong M. Ta cã A
®ãng trong P, P ®ãng trong M suy ra A đóng trong M. Do M là CS - môđun
suy ra A là hạng tử trực tiếp của M. Do A P suy ra A là hạng tư trùc tiÕp
cđa P.

16


Ch-ơng II
Chiều Goldie của môđun

Trong ch-ơng này luận văn nghiên cứu về chiều Goldie của môđun và
các tính chất của nó. Chúng tôi đà đ-a ra và chứng minh đ-ợc công thức về số
chiều đối với các môđun con của một môđun.
Ngoài ra, trên cơ sở kết quả của Đinh Văn Huỳnh (1994): " Một vành R là
Nơte phải nếu mọi R - môđun phải xiclic hoặc là nội xạ hoặc là tổng trực tiếp
của một môđun xạ ảnh và một môđun Nơte" thì một vấn đề đặt ra là vành R
có Nơte phải hay không hoặc có chiều Goldie hữu hạn hay không nếu mọi
R - môđun phải xiclic hoặc là CS - môđun hoặc là tổng trực tiếp của một
môđun xạ ảnh và một môđun Nơte. Trong phần này của luận văn, chúng tôi
đ-a ra câu trả lời của một phần câu hỏi đó.

Đ .1 .Khái niệm về chiều Goldie của môđun
Mệnh đề 2.1: Nếu M là môđun khác không, không chứa tổng trực tiếp vô hạn
các môđun con khác không thì M chứa môđun con đều.
Chứng minh:
- Nếu M là môđun đều: chứng minh xong
- Nếu M không là môđun đều, khi đó tồn tại 0 U1, U  M mµ
U1  U = 0 suy ra (U1  U)  M .
+ NÕu U1 lµ môđun đều: chứng minh xong.
+ Nếu U1 không là môđun ®Ịu, khi ®ã tån t¹i V1, V2  U1, V1, V2  0 mµ
V1  V2 = 0 suy ra (V1  V2)  U1 suy ra tån t¹i (V1 V2 U) M.
Quá trình này tiếp tục, do M không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun
con khác không, nên quá trình trên phải dừng lại sau hữu hạn b-ớc.
Vậy tồn tại môđun Uk đều.
17


Hệ quả 2.2: Cho R - môđun M.
i) Nếu M là môđun Nơte thì M chứa môđun con đều.
ii) Nếu R là vành Nơte phải thì mọi R - môđun phải khác không đều chứa

môđun con đều.
Chứng minh:
i) Giả sử môđun M Nơte mà chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con


khác không

Ai M. Khi đó ta có dÃy tăng thực sự các môđun con của M:
i 1

A1  (A1  A2 )  ...

n

 Ai  ...
i 1

Mâu thuẫn với giả thiết M Nơte. Do đó M không chứa tổng trực tiếp vô
hạn các môđun con khác không. Theo mệnh đề 2.1, M chứa môđun con đều.
ii) Nếu M là R môđun phải, do R là vành Nơte phải nên mọi R - môđun
hữu hạn sinh là Nơ te. Vì vậy với x 0, x M, ta có xR là môđun Nơte. Do
đó theo i) xR chứa môđun con đều. Vì vậy M chứa môđun con đều.

Mệnh đề 2.3: Cho môđun M có tính chất mọi môđun con đều chứa môđun
đều. Thế thì tồn tại môđun A là tổng trực tiếp các môđun đều và A là môđun
con cốt yếu trong M.

Chứng minh:
Gọi S = {

 Ui | Ui
iI

®Ịu, Ui  M , i I }.

Xác định quan hệ thứ tự

Ui   Vj  I  J vµ Vi = Ui  i  I.
iI

jJ

Theo gi¶ thiÕt M chøa môđun đều U có

U với | I | = 1  S   .
I

Ta cã

 Ui = U

1

 U2  ...  Un ... suy ra



U
k 1

iI

bæ đề Zorn, trong S tồn tại phần tử tối đại A =

S là cận trên. Theo

Ui . Và ta cã A 

*

I

18

k

M bëi v×


nếu A không là môđun con cốt yếu trong M suy ra tån t¹i B  M, B  0 mà
A B = 0. Theo giả thiết B chứa môđun đều V, suy ra A V = 0 suy ra tồn
tại A= A V mà A A, A A. Mâu thuẫn với tính tối đại của A.
Vậy A * M .

Hệ quả 2.4:
i) Nếu môđun M là Nơte thì tồn tại môđun A =

*
Ui
iI

M, Ui đều,

iI
ii) Nếu vành R là Nơte thì với mọi R - môđun M ta có A =

Ui

*

iI

M, Ui

đều, i I.
Chứng minh:
i) Nếu môđun M Nơte thì với mọi môđun N M ta có N Nơte. Theo hệ
quả 2.2 suy ra N chứa môđun con ®Ịu. Do vËy M cã tÝnh chÊt mäi m«®un con
®Ịu chứa môđun con đều. Theo mệnh đề 2.3 tồn tại môđun A =

Ui

*

M.

iI

ii) Nếu R là vành Nơte, theo hệ quả 2.2 suy ra mọi R - môđun M đều chứa
môđun con đều. Do đó mọi môđun con của R - môđun M đều chứa môđun

con đều (do mọi môđun con của M cũng là R - môđun).
Theo mệnh đề 2.3 tồn tại môđun A =

Ui

*

M

iI

Định nghĩa 2.5: Cho R - môđun M.
M đ-ợc gọi là có chiều Goldie (hay chiều đều) hữu hạn nếu M không chứa
tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không. Ng-ợc lại ta nói M có
chiều Goldie vô hạn.

19


Ui, trong

Bổ đề 2.6: Giả sử M là môđun chứa một môđun con cốt yếu dạng

iI

đó Ui là các môđun đều i I. Khi đó một môđun con N cđa M lµ cèt u
trong M khi vµ chØ khi N  Ui  0 ,  i I.
Chøng minh:
Gi¶ sư N * M suy ra N  X  0 víi mäi X  M, X  0 suy ra
N  Ui  0, i  I.

Ng-ỵc lại, giả sử N M , N Ui 0 , i I. Đặt Ni = N  Ui , theo gi¶
thiÕt Ni  0,  i I . Vì Ui là môđun đều suy ra Ni * Ui , iI. Do cã
mµ Ni  Ui, i I nên tồn tại tổng trực tiếp
( theo mệnh đề 1.11). Theo giả thiết

Ui

*


iI

M ta có

iI

đó suy ra

Ni

*

Ni và



iI

Ui

Ni *

iI

N i Ui
*

*

iI

Ui,
iI

M, từ

iI

M ( *).

iI

Mặt khác Ni  N,  i  I, do ®ã

 Ni  N  M. V× vËy N 

*

M ( bëi vì

iI

nếu N không là môđun con cốt yếu của M suy ra tån t¹i K  0, K  M mµ
K  N = 0 suy ra K 

 Ni = 0. Mâu thuẫn với ( *) ).
iI

Định lý 2.7: Cho môđun M, nếu tồn tại các môđun Ui đều, i = 1,2...,n và
n

Ui

*

M thì:

i 1

i) Mọi tổng trực tiếp các môđun con khác không của M có nhiều nhất
n hạng tử.
ii) Nếu tồn tại các môđun Vi đều, i = 1,2...,k. và

k

Vi

*

M thì k = n.

i 1

Chứng minh:
i) Giả sử tồn tại A1  A2 ... An  An+1 trong M. Ta sÏ chøng minh

20


An+1 = 0. Do (A2  ...An+1)  A1 = 0 suy ra A2 ... An+1 không là môđun
con cốt yếu của M. Theo bổ đề 2.6 thì tồn tại Ui, 1

i

n để

(A2 ...An+1) Ui = 0 . Không mất tính tổng quát, giả sử U i = U1 ta cã
(A2  ...An+1)  U1 = 0 suy ra tån t¹i A2  ...An+1  U1.
TiÕp tôc ta cã (U1 A3  ... An+1)  U2 = 0 suy ra U1 A3  ... An+1
kh«ng là môđun con cốt yếu của M. Do đó tồn tại U2 để
(U1 A2 ...An+ 1) U2 = 0 suy ra tån t¹i U1  U2  A3 ...An+1.
Tiếp tục quá trình này ta có U1 U2  ...  Un  An+1 .
Do (U1  ...  Un ) * M suy ra An+1 = 0.
ii) Theo i) ta cã k  n vµ n  k suy ra n = k ( do vai trò của hai tổng trực
k

tiếp

Ui và
i 1

n


i 1

Vi là nh- nhau).

Định nghĩa 2.8:
Ta gọi dim M = n nếu tồn tại tổng trực tiếp hữu hạn (U1 ... Un ) * M,
với các môđun con Ui là ®Òu,  i = 1,2...,n.
Khi M = 0 ta qui -íc dim M = 0

21


Đ 2. Đặc tr-ng của vành có chiều Goldie hữu hạn qua các

môđun xiclic
Bổ đề 2.9: Giả sử M là CS - môđun và có chiều Goldie hữu hạn. Khi đó M
phân tích đ-ợc thành tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều.
Chứng minh:
Bởi M có chiều Goldie hữu hạn nên tồn tại môđun U1 là môđun con đều
của M. Gọi X1 là bao đóng của U1 trong M . Giả sử X1 không là môđun đều
suy ra tồn tại A, B X1, A, B 0 mà A  B = 0.
Do U1 

*

X1  U1  A

 0, U1  B  0. Do A  B = 0 

(U1  A )  (U1  B) = 0 U 1 không là môđun đều. Mâu thuẫn.
Vậy X1 là môđun đều.
Bởi M là CS - môđun và X1 là bao đóng của U1 X1  M, nghÜa lµ
M = X1  M1. Do M là CS - môđun và có chiều Goldie hữu hạn nên M1 cũng
là CS - môđun và có chiều Goldie hữu hạn.
Lí luận t-ơng tự nh- trên đối với M1, ta cã M1 = X2  M2 trong ®ã X2 là
môđun con đều và đóng của M1 và M2 là CS - môđun và có chiều Goldie hữu
hạn. Khi đó ta cã
M = X1  X2  M2 .
L¹i tiÕp tục áp dụng lí luận trên ta đ-ợc
M = X1  X2  ...  Xn  Mn.
Trong ®ã Xi, i = 1, 2,...,n là môđun đều và đóng trong M. Do M có chiều
Goldie hữu hạn nên quá trình đó phải dừng lại sau hữu hạn b-ớc. Nghĩa là tồn
tại n để Mn = 0 và do đó
M = X1  X2  ... 

Xn. Trong ®ã

 i = 1, 2,...,n

22

các Xi là môđun con đều


Hệ quả 2.10: Giả sử M có chiều Goldie hữu hạn. Khi đó M phân tích đ-ợc
thành tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun con không phân tích đ-ợc.

Chứng minh:
Nếu M không phân tích đ-ợc: chứng minh xong.
Nếu M phân tích đ-ợc: thì M = M1 M2, nếu cả M1, M2 không phân tích
đ-ợc: chứng minh xong.
Nếu M2 phân tích đ-ợc: ta có M = M1 M2' M2'' .
Tiếp tục quá trình trên, do M có chiều Goldie hữu hạn nên quá trình này
phải dừng lại sau hữu hạn b-ớc. Vậy M phân tích đ-ợc thành tổng trực tiếp
hữu hạn các môđun con không phân tích đ-ợc.

Mệnh đề 2.11:
i) Nếu dimM < thì dimA < với A là môđun con của M.
ii) Nếu A, B là các môđun con của M và tồn tại A B có dim(A B) <
thì dim(A  B) = dimA + dimB.
Chøng minh:
i) Gi¶ sư A chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không.
Do A M nên suy ra M chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con
khác không. Vậy M có chiều Goldie vô hạn. Mâu thuẫn với giả thiÕt
dimM < .
VËy A kh«ng chøa tỉng trùc tiÕp v« hạn các môđun con khác không hay
dimA < , với mọi A là môđun con của M.
ii) Do A, B  ( A + B), theo gi¶ thiÕt dim (A+B) <  nªn theo i)
dimA < , dimB < . Đặt dimA = n, dimB = m. Do vậy trong A tồn tại
n


i 1

Ui * A và trong B tån t¹i

m


i 1

Vj  * B, víi Ui, Vj là đều, i = 1, 2..., n;

j = 1, 2..., m. Do tån t¹i A  B  Ui  Vj = 0 víi i, j

23

1  i  n,


n

m

i 1

i 1

1  j  n  tån t¹i U = (  Ui)  (  Vj). Khi ®ã ta cã U * (A  B)
( theo mÖnh ®Ò 1.11). VËy dim(A  B) = n + m = dimA + dimB

Bổ đề 2.12: Nếu A là môđun con cốt yếu của M thì dimA = dimM.
Chứng minh:
Giả sư dimM = n  tån t¹i

n


i 1

i = 1, 2.., n. Do A 

*

Ui  * M, víi c¸c Ui là môđun đều với

M theo bổ đề 2.6 ta cã A  Ui  0, i = 1, 2..., n.

Đặt Ai = A Ui, do Ui đều Ai đều i = 1, 2..., n., và do có
n

tại


i 1

n

Ai và


i 1

n


i 1

Ui nên tồn

Ai * A. Vậy dimA = n, tõ ®ã dimA = dimM.

Bỉ ®Ị 2.13: Nếu môđun th-ơng M/A có chiều Goldie hữu hạn, A có chiều
Goldie hữu hạn thì M có chiều Goldie hữu hạn và dimM dimA + dim M/A.
Chứng minh:

S={XM
Ta có 0  S  S  .
Gäi

| X  A = 0} víi quan hƯ thø tù bao hµm.

Theo Zorn tồn tại phần tử tối đại L sao cho L  A = 0  (L  A)  * M
(bởi vì nếu L A không là môđun con cốt yếu của M thì tồn tại B M,
B  0, mµ (L  A)  B = 0  A  ( L  B ) = 0. Mâu thuẫn với tính tối đại
của L).
Ta có L ((L  A) / A)  M/A, do M/A cã chiều Goldie hữu hạn
(L A)/A có chiều Goldie hữu hạn L có chiều Goldie hữu hạn.
Giả sử dim M/A = n, dimA = m, dimL = l (l  n). Theo bỉ ®Ị 2.12 ta cã
dimM = dim( L  A) = dimL + dimA = l + m  n + m = dim M/A + dimA.
VËy dimM  dimA + dimM/A.
24


Chú ý 2.14: Nếu M có chiều Goldie hữu hạn, A có chiều Goldie hữu hạn thì
ch-a hẳn M/A có chiều Goldie hữu hạn, chẳng hạn: dimQZ = 1, dimZZ = 1
nh-ng dimQ/Z = +  .

Bỉ ®Ị 2.15: NÕu L * M th× (L  A) * A,  A M.
Chứng minh:
Giả sử L A không là môđun con cốt yếu của A, suy ra tồn tại X  0,
X  A mµ X  (L  A) = 0  L  ( X  A) = 0. Do X  A  X  A = X.
Tõ ®ã ta cã L  X = 0 L không là môđun con cốt yếu của M.
Mâu thn víi gi¶ thiÕt.
VËy (L  A) * A,  A M.
Bổ đề 2.16: Cho M là môđun sao cho  K * M th× M/K cã chiỊu Goldie hữu
hạn. Khi đó A * B thì B/A có chiều Goldie hữu hạn A, B M.
Chứng minh:
Bởi bổ đề Zorn, tồn tại môđun T tối đại trong M mà T A = 0 . Khi đó
(T A) * M . Theo gi¶ thiÕt ta cã M/(T A) có chiều Goldie hữu hạn(*).
Do A * B vµ T  A = 0  T  B = 0 tồn tại B T, và ta cã
B/A  (B  T)/(A  T )  M /(T A)
Theo mệnh đề 2.11 và kết hợp với (*) suy ra B/A có chiều Goldie hữu hạn
Mệnh đề 2.17: Cho M là môđun sao cho với mọi K * M thì M/K có chiều
Goldie hữu hạn. Khi đó M/Soc(M) có chiều Goldie hữu hạn.
Chứng minh:
Bởi bổ đề Zorn, tồn tại môđun con H tối đại của M sao cho H  Soc(M) = 0,
suy ra (H  Soc(M)) * M . Vì vậy theo giả thiết M/(H Soc(M)) có chiều
Goldie hữu hạn.
25


Bởi

vì

M/(HSoc(M))

(M/Soc(M))/(HSoc(M))/Soc(M)

nên

(M/Soc(M))/(H Soc(M))/Soc(M) có chiều Goldie hữu hạn.
Do đó để chứng minh M/Soc(M) có chiều Goldie hữu hạn, theo bổ ®Ị
2.13 ta chØ cÇn chøng minh (HSoc(M))/Soc(M) cã chiỊu Goldie hữu hạn.
Nh-ng (H Soc(M))/Soc(M) H. Vì vậy ta chỉ phải chứng minh H có
chiều Goldie hữu hạn. Giả sử ng-ợc lại, khi đó tồn tại X =

Xi là tổng trực
iI

tiếp vô hạn trong H. Do H Soc(M) = 0 vµ X =

 Xi  Xi  Soc(M) = 0,
iI

iI. Giả sử với mọi môđun K * M mµ K  Xi = Xi suy ra Xi Soc(M)
( bởi vì Soc(M) bằng giao tất cả các môđun con cốt yếu trong M). Vô lý vì
Xi Soc(M) = 0. Vậy tồn tại K * M mà K Xi Xi . Đặt Yi = K  Xi ta cã
Xi  Yi,  i I. Theo bỉ ®Ị 2.15 ta cã Yi * Xi,  i  I . Do tån t¹i X =
suy ra tån tại Y=

Xi
iI

Yi và do Xi Yi nên Xi/Yi 0. Khi đó ta có tổng trực tiếp

iI

vô hạn các môđun con khác không là
(X1/Y1) (X2/Y2) ... (Xn/Yn) ... =
Mặt khác do Yi * Xi suy ra

 (Xi/Yi)  X/Y ( *).
iI

 Yi  
*

iI

iI

®Ị 2.16 ta cã X/Y cã chiỊu Goldie

Xi nghÜa lµ Y * X. áp dụng bổ

hữu hạn. Điều này mâu thuẫn với

đẳng cấu (*). Và vì vậy chứng tỏ H có chiều Goldie hữu hạn .
Bổ đề 2.18: Nếu M là môđun hữu hạn sinh và M =

Mi, khi đó | I | hữu hạn.
iI

Chứng minh:
Giả sử S = { x1,x2...xn} là hệ sinh của M. Do đó M = x1R + x2R +...+xnR.

Khi ®ã :

x1 = m11 + ...+mk1

mi1  Mi1.

x2 = m12 + ...+mk2

mi2  Mi2.

...............................................
xn = m1n + ...+mkn
26

min  Min.