Bài giảng Toán rời rạc: Ghép cặp trên đồ thị hai phần - Trần Vĩnh Đức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (999.17 KB, 39 trang )
CuuDuongThanCong.com
Ghép cặp trên đồ thị hai phần
Trần Vĩnh Đức
HUST
Ngày 24 tháng 7 năm 2018
/>
1 / 39
Ghép cặp trên đồ thị hai phần
▶ Eric Lehman, F Thomson Leighton & Albert R Meyer,
Mathematics for Computer Science, 2013 (Miễn phí)
▶ Albert R Meyer’s slides
CuuDuongThanCong.com
/>
2 / 39
Tìm bạn nhảy
▶ Tối thứ bảy, hội sinh viên tổ chức tiệc.
▶ Có 300 sinh viên tham gia.
▶ Họ khơng quen hết nhau!
▶ Trong 6 người ln có ba người đôi một quen nhau hoặc ba
người đôi một lạ nhau!
CuuDuongThanCong.com
/>
3 / 39
Tìm bạn nhảy
▶ Tối thứ bảy, hội sinh viên tổ chức tiệc.
▶ Có 300 sinh viên tham gia.
▶ Họ khơng quen hết nhau!
▶ Nhưng mỗi cô gái quen đúng 50 chàng trai, và mỗi chàng trai
quen đúng 50 cô gái!
▶ Liệu mọi sinh viên có thể nhảy đồng thời sao cho hai người
nhảy cùng nhau phải biết nhau?
CuuDuongThanCong.com
/>
4 / 39
Nội dung
Ghép cặp Nam & Nữ
Định lý Hall
Làm thế nào để tìm ghép cặp cực đại?
CuuDuongThanCong.com
/>
Đồ thị Nam & Nữ
CuuDuongThanCong.com
Nam & Nữ hợp nhau
B
G
Hợp nhau
Albert R Meyer.
April 3, 2013
/>
bipartite.2
6 / 39
Đồ thị Nam & Nữ
Compatible Boys & Girls
B
G
Albert R Meyer.
April 3, 2013
bipartite.3
Hãy tìm cách ghép cặp mỗi cơ gái với chỉ một chàng trai phù hợp.
CuuDuongThanCong.com
/>
7 / 39
Đồ thị Nam & Nữ
CuuDuongThanCong.com
Compatible Boys & Girls
B
G
Albert R Meyer.
April 3, 2013
Hình: Một ghép cặp
/>
bipartite.4
8 / 39
Đồ thị Nam & Nữ
Compatible Boys & Girls
B
G
suppose this edge was missing
Giả sử khơng có cạnh này.
CuuDuongThanCong.com
Albert R Meyer.
April 3, 2013
/>
bipartite.5
9 / 39
Đồ thị Nam & Nữ
Compatible Boys & Girls
B
G
suppose this edge was missing
Giả sử khơng có cạnh này.
CuuDuongThanCong.com
Albert R Meyer.
April 3, 2013
/>
bipartite.6
10 / 39
Đồ thị Nam & Nữ
CuuDuongThanCong.com
Compatible Boys & Girls
B
G
3
Albert R Meyer.
April 3, 2013
/>
bipartite.7
11 / 39
Không đủ số Nam
Boys &for
Girls
NotCompatible
enough boys
these girls!
B
G
2
3
3 girls
like only 2 boys
Albert R Meyer.
April 3, 2013
bipartite.8
Có 3 cơ gái nhưng chỉ có 2 chàng trai phù hợp.
CuuDuongThanCong.com
/>
12 / 39
Không tồn tại cặp ghép cho Nữ
CuuDuongThanCong.com
No match is possible!
B
G
E(S)
2
3
S
Albert R Meyer.
April 3, 2013
bipartite.9
|S| = 3 > 2 = |E(S)|
/>
13 / 39
Tắc nghẽn
a bottleneck
No match is possible!
B
G
E(S)
S
CuuDuongThanCong.com
|S| > |E(S)|
Albert R Meyer.
April 3, 2013
/>
bipartite.10
14 / 39
Tắc nghẽn
▶ Tắc nghẽn là một tập Nữ S không có đủ số Nam phù hợp.
E(S) ::= {chàng trai w |
w kề với ít nhất một cơ cái trong S}
▶ Tập S là tắc nghẽn
CuuDuongThanCong.com
|S| > |E(S)|
/>
15 / 39
Bổ đề (Tắc nghẽn)
Nếu tồn tại tắc nghẽn, vậy không tồn tại cặp ghép.
CuuDuongThanCong.com
/>
16 / 39
Định lý (Hall)
Ngược lại, nếu khơng có tắc nghẽn, vậy có tồn tại cặp ghép.
CuuDuongThanCong.com
/>
17 / 39
s
for bricklayer and plumber, and two for plumber and toolmaker.
Bài(i)tậpDraw the corresponding bipartite graph.
(ii) Check whether the marriage condition holds for this problem.
Can all of the jobs be filled by qualified people?
Tại sao đồ thị dưới đây khơng có cặp ghép nào phủ tập V ?
Explain why the graph in Fig. 25.4 has no complete matching from1 V\ to V2- Whe
the marriage condition fail?
25.4
(The 'harem problem') Let B be a set of boys, and suppose that each boy in B wish
marry more than one of his girl friends. Find a necessary and sufficient condition fo
CuuDuongThanCong.com
/>
18 / 39
Nội dung
Ghép cặp Nam & Nữ
Định lý Hall
Làm thế nào để tìm ghép cặp cực đại?
CuuDuongThanCong.com
/>
Đồ thị hai phần H
Bipartite graph H
B
G
E(H)
R(H)
L(H)
CuuDuongThanCong.com
Albert R Meyer.
April 3, 2013
/>
Hall.2
20 / 39
Ghép cặp hai phía
Định nghĩa
Một cặp ghép là một hàm đơn ánh
m : L(H) −→ R(H)
thoả mãn: Nếu m(g) = b thì {g, b} là một cạnh của H.
CuuDuongThanCong.com
/>
21 / 39
Định lý (Hall)
Nếu với mọi tập S ⊆ L(H) ta đều có
|S| ≤ |E(S)|
vậy có tồn tại một cặp ghép.
CuuDuongThanCong.com
/>
22 / 39
Chứng minh định lý Hall
Bổ đề
Giả sử khơng có tắc nghẽn. Hơn nữa, nếu S là một tập những cô
gái thoả mãn |S| = |E(S)|. Vậy khơng có tắc nghẽn giữa S và E(S).
CuuDuongThanCong.com
/>
23 / 39
s
T
Tắc nghẽn
S
E(S)
✗
Albert R Meyer.
Vậy S ∪ T là một tắc nghẽn.
CuuDuongThanCong.com
E(S)
April 3, 2013
/>
Hall.13
24 / 39
Chứng minh định lý Hall
▶ Chứng minh bằng quy nạp mạnh theo số Nữ.
▶ Nếu chỉ có 1 Nữ. Định lý hiển nhiên đúng.
▶ Với số Nữ nhiều hơn 1. Ta xét hai trường hợp.
CuuDuongThanCong.com
/>
25 / 39
