Bài giảng Toán rời rạc: Đồ thị phẳng - Trần Vĩnh Đức

CuuDuongThanCong.com

Đồ thị phẳng
Trần Vĩnh Đức
HUST

Ngày 1 tháng 3 năm 2016

/>
1 / 36


Tài liệu tham khảo

▶

Eric Lehman, F Thomson Leighton & Albert R Meyer,
Mathematics for Computer Science, 2013 (Miễn phí)

▶

K. Rosen, Tốn học rời rạc ứng dụng trong tin học (Bản dịch
Tiếng Việt)

▶

Ngô Đắc Tân, Lý thuyết Tổ hợp và Đồ thị, NXB ĐHQG Hà
Nội, 2004.

CuuDuongThanCong.com

/>
2 / 36


Giới thiệu

CuuDuongThanCong.com

way to represent this graph in a plane without any edges crossing?

FIGURE 1 Three Houses and Three Utilities.

/>
3 / 36


Định nghĩa
Một đồ thị được gọi là phẳng nếu ta có thể vẽ nó trên mặt phẳng
mà khơng có cạnh nào cắt nhau. Hình vẽ như thế gọi là một biểu
diễn phẳng của đồ thị.

FIGURE 2 The
FIGURE 2 The
Graph K .
Graph K4 . 4

CuuDuongThanCong.com

FIGURE 3 K4 Drawn
FIGURE 3 K4 Drawn

with No Crossings.
with No Crossings.

/>
4 / 36


wn

Ví dụ
10.7 Planar Graphs 719
10.7 Planar Graphs 719

FIGURE 4 The
FIGURE
4 The
Graph Q3 .
Graph Q3 .

CuuDuongThanCong.com

FIGURE 5 A Planar
FIGURE
5 A Planar
Representation of Q3 .
Representation of Q3 .

/>
5 / 36

R22in, an
as shown
in Figure 7
R21beand
anar. We will give an example to showsubregions,
how this can
done
ad
develop some general results that can be used to do this.

Ví dụ

v

, planar?
Đồ thị K3,3 :
v1
v2
v3
draw K3,3 in the plane with no edges crossing is doomed. We now
presentation of K3,3 , the vertices v1 and v2 must be connected to both
s form a closed curve that splits the plane into two regions, R1 and
a). The vertex v3 is in either R1 or R2 . When v3 is in R2 , the inside
ges between v3 and v4 and between v3 and v5 separate R2 into two
v4
v5
v6
s shown in Figure 7(b).
khơng phẳng vì

FIGURE 6 The Graph K .

CuuDuongThanCong.com

v

F

3,3

v1

v5

v1

v5
R21

R2

R1

v3

R1

R22
v4

v2

v4

(a)

v2
(b)

/>
6 / 36


Proof: First, we specify a planar representati
a sequence of subgraphs G1 , G2 , . . . , Ge =
is done using the following inductive defini
Euler chứng minh
rằng G
mọi
biểu diễn
phẳngby
củaarbitrarily
một đồ thị đều
Gn−1
adding a
Obtain
n from
chia mặt phẳng thành cùng số miền như nhau.

CuuDuongThanCong.com

R4

R2

R6

R3
R1
R5

FIGURE 8 The Regions of the Planar R

/>
7 / 36


Định lý (Công thức Euler)
Cho G là một đồ thị phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh. Gọi r
là số miền trong biểu diễn phẳng của G. Khi đó

CuuDuongThanCong.com

r = e − v + 2.

/>
8 / 36


Ví dụ

Xét một đồ thị phẳng liên thơng có 20 đỉnh, mỗi đỉnh đều có bậc
3. Biểu diễn phẳng của đồ thị này chia mặt phẳng thành bao nhiêu
miền?
▶

Tổng bậc bằng 3v = 3 × 20 = 60

▶

Số cạnh e = 30

▶

Theo công thức Euler

CuuDuongThanCong.com

r = e − v + 2 = 30 − 20 + 2 = 12

/>
9 / 36


Chứng minh công thức Euler

▶

Ta chứng minh bằng quy nạp theo số miền r.

▶

Nếu r = 1 thì đồ thị khơng có chu trình. Tại sao?

▶

Vậy e = v − 1.

▶

Giả sử định lý đúng với r > 1.

CuuDuongThanCong.com

✓

/>
10 / 36


Chứng minh cơng thức Euler
▶

Vì r > 1, nên đồ thị có chu trình.

▶

Giả sử {u, v} là cạnh của một chu trình nào đó.

▶

Vậy {u, v} là biên của hai miền S và T. Tại sao?

▶

Xóa cạnh {u, v} làm nhập hai miền S và T làm một, còn các
miền khác giữ nguyên.

▶

Đồ thị mới thu được có e − 1 cạnh và r − 1 miền.

▶

Theo giả thiết quy nạp:
r−1=e−1−v+2

▶

Ta được r = e − v + 2.

CuuDuongThanCong.com

✓

/>
11 / 36


s

Hệ quả
Nếu G là một đồ thị phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh thỏa
mãn v ≥ 3. Vậy thì e ≤ 3v − 6.
c
7
b
R1

d

▶

Bậc của một miền là số
cạnh trên biên của miền đó.

▶

Bậc của mỗi miền ít nhất
phải bằng 3.

▶

Tổng bậc các miền bằng bao
nhiêu cạnh?

3

a
g
R3

R2
6

e

f

FIGURE 11 The Degrees of Regions.

CuuDuongThanCong.com

/>
12 / 36


Chứng minh.
▶

Tổng bậc các miền
∑

deg(R) = 2e ≥ 3r

R

Vậy ta có 2e/3 ≥ r.
▶

Theo cơng thức Euler

r = e − v + 2 ≤ 2e/3.

▶

Kết luận e ≤ 3v − 6.

CuuDuongThanCong.com

/>
13 / 36


Bài tập

E, we can produce a subgraph of G by removing the edges in E
subgraph has the same vertex set V as G. Its edge set is E − E
▶

Dùng hệ quả trước, hãy chỉ ra rằng đồ thị K5 không phẳng.

ocessors.

CuuDuongThanCong.com

a

a

e

b

d

e

c

c

FIGURE 15 A Subgraph of K5 .
/>
14 / 36


Hệ quả
Nếu G là một đồ thị phẳng liên thông thì G có một đỉnh bậc
khơng vượt q 5.

Chứng minh.
Dùng hệ quả trước & Định lý bắt tay.

CuuDuongThanCong.com

/>
15 / 36


Hệ quả
Nếu một đồ thị phẳng liên thơng có e cạnh, v đỉnh trong đó v ≥ 3

và khơng có chu trình độ dài 3 thì e ≤ 2v − 4.

Chứng minh.
▶

Nếu khơng có chu trình độ dài 3 thì bậc của mỗi miền ≥ 4.

▶

Bài tập: Chứng minh tiếp hệ quả này.

CuuDuongThanCong.com

/>
16 / 36


R2 , as shown in Figure 7(a). The ver
of the closed curve, the edges betwe
subregions, R21 and R22 , as shown in

Bài tập
▶

Dùng hệ quả trước, hãy chứng minh rằng đồ thị K3,3 không
phẳng?

CuuDuongThanCong.com

v1

v2

v3

v4

v5

v6

FIGURE 6 The Graph K3,3 .
/>
17 / 36


Định nghĩa
Độ dài của chu trình ngắn nhất trong đồ thị được gọi là chu vi
nhỏ nhất của đồ thị đó.
Nếu như đồ thị khơng tồn tại chu trình, thì chu vi nhỏ nhất của G
được định nghĩa bằng ∞.

CuuDuongThanCong.com

/>
18 / 36


Định lý (Bất đẳng thức cạnh đỉnh)
Trong đồ thị phẳng liên thông G = (V, E) bất kỳ với chu vi nhỏ

nhất g thỏa mãn 3 ≤ g < ∞ ta ln có

CuuDuongThanCong.com

|E| ≤

g
(|V| − 2).
g−2

/>
19 / 36


Bài tập

Dùng bất đẳng thức cạnh đỉnh để chứng minh rằng K3,3 và K5
không phải đồ thị phẳng.

CuuDuongThanCong.com

/>
20 / 36


Chứng minh bất đẳng thức cạnh đỉnh
▶

Xét G = (V, E) là đồ thị phẳng liên thông với chu vi nhỏ
nhất 3 ≤ g ≤ ∞.

▶

Đặt tập cạnh E = {e1 , e2 , . . . , et }.

▶

Xét một biểu diễn phẳng bất kỳ của G với ℓ miền là
{R1 , R2 , . . . , Rℓ }.

▶

Xây dựng bảng X = (xij ) gồm t hàng và ℓ cột như sau
{
1 nếu ei là một cạnh trên biên của của miền Rj
xij =
0 trong trường hợp ngược lại

CuuDuongThanCong.com

/>
21 / 36


Ví dụ
e1

e2

R3

R1
e4

e3

e5

R2
e6

e7

e1
e2
e3
e4
e5
e6
e7

▶

Mỗi hàng có nhiều nhất 2 số 1. Tại sao?

▶

Mỗi cột có ít nhất g số 1. Tại sao?

CuuDuongThanCong.com

/>
R1
1
1
0
1
1
0
0

R2
0
0
1
1
0
1
1

R3
1
1
1
0
1
1
1

22 / 36

Chứng minh (tiếp)

▶

Mỗi cạnh chỉ nằm trên biên của nhiều nhất hai miền, nên mỗi
hàng của X có nhiều nhất hai số 1.

▶

Các cạnh trên biên của mỗi miền tạo ra một chu trình trong
G, nên mỗi cột có ít nhất g số một.

▶

Đặt
s := số lượng số 1 trong X
ta được
gℓ ≤ s ≤ 2t.
với ℓ là số miền và t là số cạnh.

CuuDuongThanCong.com

/>
23 / 36


Chứng minh (tiếp)

Kết hợp với công thức Euler
ℓ = t − |V| + 2
ta được
gℓ = gℓ − g|V| + 2g ≤ 2t
Vậy thì
t(g − 2) ≤ g(|V| − 2)

⇐⇒

|E| ≤

g
(|V| − 2)
g−2

Ta hoàn thành chứng minh của bất đẳng thức cạnh đỉnh.

CuuDuongThanCong.com

/>
24 / 36


Hai đồ thị đồng phơi
Định nghĩa
▶

Phép tốn loại bỏ cạnh {u, v} và thêm một đỉnh mới w cùng
hai cạnh {u, w}, {w, v} gọi là phép phân chia sơ cấp.

▶

Hai đồ thị gọi là đồng phơi nếu chúng có thể nhận được từ
cùng một đồ thị bằng một dãy phép phân chia sơ cấp.
10.7 Planar Graphs

G1

a

b

G2

a

b

G3

h

a

g
c

d

FIGURE 12

e

b
i

f

c

e

c

k
j

g
d

723

d

e

Homeomorphic Graphs.

Using r = e − v + 2 (Euler’s formula), we obtain
e − v + 2 ≤ (2/3)e.

CuuDuongThanCong.com

/>
25 / 36