Bài giảng Toán rời rạc: Đồ thị Hamilton - Trần Vĩnh Đức

CuuDuongThanCong.com

Đồ thị Hamilton
Trần Vĩnh Đức

Ngày 11 tháng 3 năm 2016

/>
1 / 24


Tài liệu tham khảo

▶

Ngô Đắc Tân, Lý thuyết Tổ hợp và Đồ thị, NXB ĐHQG Hà
Nội, 2004.

▶

Douglas B. West. Introduction to Graph Theory. 2nd Edition,
2000.

▶

K. Rosen, Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học (Bản dịch
Tiếng Việt)

CuuDuongThanCong.com

/>

2 / 24


Đi vòng quanh thế giới

CuuDuongThanCong.com

10.5 Euler

(a)

(b)

FIGURE 8 Hamilton’s “A Voyage Round the
World” Puzzle.

FIGU
the “A
World

Because the author cannot supply each reader with a wooden solid w
will consider the equivalent question: Is there a circuit in the graph sho
/>passes through
each vertex exactly once? This solves the puzzle because
3 / 24 th


Con Mã đi trên bàn cờ

CuuDuongThanCong.com

/>
4 / 24


Con Mã đi trên bàn cờ 2

CuuDuongThanCong.com

/>
5 / 24


Định nghĩa (Đồ thị nửa Hamilton)
▶

Một đường đi trong đồ thị G được gọi là đường đi Hamilton
nếu nó chứa tất cả các đỉnh của G.

▶

Một đồ thị được gọi là đồ thị nửa Hamilton nếu nó có đường
đi Hamilton.

Nói cách khác, đồ thị nửa Hamilton là đồ thị có đường đi bao
trùm.

CuuDuongThanCong.com

/>

6 / 24


Solution: G1 has a Hamilton circuit: a, b, c, d, e, a. There is no Hamilton circuit in G
be seen by noting that any circuit containing every vertex must contain the edge {a
but G2 does have a Hamilton path, namely, a, b, c, d. G3 has neither a Hamilton c
Hamilton
Ví dụ path, because any path containing all vertices must contain one of the ed
{e, f }, and {c, d} more than once.

Đồ thị nào dưới đây là nửa Hamilton?
a

b

e

a

c

d

b

a

b

c

d

c

G2

G1

g

e

f

G3

d

FIGURE 10 Three Simple Graphs.
CONDITIONS FOR THE EXISTENCE OF HAMILTON CIRCUITS Is there a

to determine whether a graph has a Hamilton circuit or path? At first, it might seem
should be an easy way to determine this, because there is a simple way to answer
question of whether a />graph has an Euler circuit. Surprisingly, there are no kno
CuuDuongThanCong.com
7 / 24


Định nghĩa (Đồ thị Hamilton)

▶

Một chu trình trong đồ thị G được gọi là chu trình Hamilton
nếu nó chứa tất cả các đỉnh của G.

▶

Một đồ thị được gọi là đồ thị Hamilton nếu nó có chu trình
Hamilton.

Nói cách khác, đồ thị Hamilton là đồ thị có chu trình bao trùm.

CuuDuongThanCong.com

/>
8 / 24


Solution: G1 has a Hamilton circuit: a, b, c, d, e, a. There is no Hamilton circuit in G
be seen by noting that any circuit containing every vertex must contain the edge {a
but G2 does have a Hamilton path, namely, a, b, c, d. G3 has neither a Hamilton c
Hamilton
Ví dụ path, because any path containing all vertices must contain one of the ed
{e, f }, and {c, d} more than once.

Đồ thị nào dưới đây là Hamilton?
a

b

e

a

c

d

b

a

b

c

d

c

G2

G1

g

e

f

G3

d

FIGURE 10 Three Simple Graphs.
CONDITIONS FOR THE EXISTENCE OF HAMILTON CIRCUITS Is there a

to determine whether a graph has a Hamilton circuit or path? At first, it might seem
should be an easy way to determine this, because there is a simple way to answer
question of whether a />graph has an Euler circuit. Surprisingly, there are no kno
CuuDuongThanCong.com
9 / 24


raphs Ví dụ
Đồ thị nào dưới là Hamilton? Nếu khơng, có là nửa Hamilton?

MPLE 6

CuuDuongThanCong.com

a

d

e

a

d

c

b

c

b

G

e
H

FIGURE 11 Two Graphs That Do Not Have a H

Show that neither graph displayed in Figure 11 has a
/>
10 / 24


Ví dụ
Chứng minh rằng đồ thị đầy đủ Kn có chu trình Hamilton với mọi
n ≥ 3.

CuuDuongThanCong.com

/>
11 / 24

Mệnh đề
Nếu G = (V, E) có chu trình Hamilton, vậy thì với mọi tập đỉnh
khác rỗng S ⊆ V, đồ thị thu được từ G bằng cách xóa các đỉnh
thuộc S chỉ có nhiều nhất |S| thành phần liên thông.

Chứng minh.

CuuDuongThanCong.com

/>
12 / 24


Ví dụ
Đồ thị sau có phải là Hamilton khơng?

CuuDuongThanCong.com

/>
13 / 24


Ví dụ
Đồ thị sau đây chỉ ra rằng điều kiện cần trước không phải điều
kiện đủ. Tại sao?

CuuDuongThanCong.com

/>
14 / 24

Bài tập

Alice và Bob nhìn trộm đề thi Tốn Rời Rạc của thầy Đức. Alice
thấy thầy đang mô tả một đồ thị với 17 đỉnh và 129 cạnh; còn
Bob thấy thầy hỏi xem đồ thị này có chu trình Hamilton khơng.
- Bob nói rằng: ”khơng cần biết chi tiết đồ thị thầy đang vẽ thế
nào, chắc chắn đồ thị này có chu trình Hamilton.”
- Cịn Alice nói: ”Nếu khơng biết chi tiết thì khơng thể quyết định
được đồ thị này có chu trình Hamilton hay khơng.”
Ai đúng, ai sai? Bạn hãy giải thích.

CuuDuongThanCong.com

/>
15 / 24


Định lý (Ore)
Giả sử G là một đơn đồ thị với n ≥ 3 đỉnh thỏa mãn: với mọi cặp
đỉnh khơng liền kề u và v, ta có
deg(u) + deg(v) ≥ n,
khi đó G là đồ thị Hamilton.

CuuDuongThanCong.com

/>
16 / 24

Chứng minh định lý Ore

▶

Giả sử định lý không đúng.

▶

Tồn tại đồ thị G = (V, E) với n đỉnh và có nhiều cạnh nhất
thỏa mãn điều kiện của định lý Ore nhưng khơng là Hamilton.
Tại sao?

▶

Vì G có nhiều cạnh nhất có thể nên đồ thị thu được bằng
cách thêm một cạnh mới nối hai đỉnh không kề nhau phải có
chu trình Hamilton chứa cạnh thêm đó. Tại sao?

▶

Vậy giữa hai đỉnh bất kỳ trong G có thể nối với nhau bằng
một đường Hamilton.

CuuDuongThanCong.com

/>
17 / 24

Chứng minh (tiếp)

▶

Vì đồ thị Kn có chu trình Hamilton nên G ̸= Kn .

▶

Vậy tồn tại hai đỉnh v1 và vn không kề nhau trong G,

▶

và tồn tại đường Hamilton:

CuuDuongThanCong.com

v1

v2

...

vn−1

/>
vn

18 / 24

Chứng minh (tiếp)
▶

Giả sử v1 kề với k đỉnh là: vi1 , vi2 , · · · , vik và
2 = i1 < i2 < · · · < ik

▶

Đỉnh vn không thể kề với đỉnh vij −1 nào (2 ≤ j ≤ k) vì nếu
khơng sẽ tồn tại chu trình Hamilton:

CuuDuongThanCong.com

v1

v2

...

vij −1

vij

/>
...

vn−1

vn

19 / 24


Chứng minh (tiếp)

v1

▶

v2

...

vij −1

vij

...

vn−1

vn

Vậy vn khơng kề với ít nhất k đỉnh {vi1 −1 , vi2 −1 , . . . , vik −1 , }.
Tức là
deg(vn ) ≤ n − 1 − k

▶

Nhưng vậy thì

CuuDuongThanCong.com

n ≤ deg(v1 ) + deg(vn ) ≤ k + (n − 1 − k) = n − 1

/>
✗
20 / 24


Định lý (Dirac)
Nếu G là một đồ thị với n ≥ 3 đỉnh thỏa mãn: bậc của mỗi đỉnh ít
nhất bằng n/2, khi đó G là đồ thị Hamilton.

Chứng minh.
▶

Với hai đỉnh không kề nhau bất kỳ u và v ta có
deg(u) + deg(v) ≥ n/2 + n/2 = n

▶

Suy ra, G thỏa mãn các điều kiện của định lý Ore, vì thế nó
có chu trình Hamilton.

CuuDuongThanCong.com

/>
21 / 24

Bài tập

▶

Hãy chỉ ra rằng các điều kiện trên không phải điều kiện cần.

▶

Có nghĩa rằng: chỉ ra tồn tại đồ thị khơng thỏa mãn điều kiện
Dirac mà vẫn có chu trình Hamilton.

CuuDuongThanCong.com

/>
22 / 24


one position from the preceding bit string, and the last string differ
position. We can model this problem using the n-cube Qn . What is
is a Hamilton circuit in Qn . Such Hamilton circuits are easily fou
Chia đường tròn thành 2n cung có độ dài bằng nhau, và gán
mỗi xâu bít độ dài n cho một cung.

Mã Gray
▶

(a)

(b)

111

000

100

110

001

101

101

010

111

100 011

▶

000
001
011

110

010

Tìm cách
gán đảm
rằng haithe
cung
cạnh nhau
chỉ khácinto Digita
FIGURE
12 bảo
Converting
Position
of a Pointer
nhau một bit.

CuuDuongThanCong.com

/>
23 / 24


Mã Gray 2

CuuDuongThanCong.com

110

111

100

101

010

000

011

001

FIGURE 14 A Hamilton
/>
24 / 24